2021-2022年高一数学圆和方程基础训练
2021_2022年高中数学第四章圆的方程3
空间两点间的距离公式整体设计教学分析平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣.三维目标1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题.2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.重点难点教学重点：空间两点间的距离公式.教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x 1-x 2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.推进新课新知探究提出问题①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？③给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据.④同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示什么图形？在空间中方程x 2+y 2+z 2=r 2表示什么图形？⑥试根据②③推导两点之间的距离公式.活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用③的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导.讨论结果：①平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,它是利用直角三角形和勾股定理来推导的.图1②如图1,设A(x,y,z)是空间任意一点,过A 作AB ⊥xOy 平面,垂足为B,过B 分别作BD ⊥x 轴,BE ⊥y 轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO 、BOD 是直角三角形,所以BO 2=BD 2+OD 2,AO 2=AB 2+BO 2=AB 2+BD 2+OD 2=z 2+x 2+y 2,因此A 到原点的距离是d=222z y x ++.③利用求长方体的对角线长的方法,分别量出这块砖的三条棱长,然后根据对角线长的平方等于三条边长的平方的和来算.④由于平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是d=212212)()(y y x x -+-,是同名坐标的差的平方的和再开方,所以我们猜想,空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-,即在原来的基础上,加上纵坐标差的平方.⑤平面直角坐标系中的方程x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心,r 为半径的圆;在空间x 2+y 2+z 2=r 2表示以原点为球心,r 为半径的球面;后者正是前者的推广.图2 ⑥如图2,设P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P 1P 2作xOy 平面的垂线,垂足是M,N,则M(x 1,y 1,0),N(x 2,y 2,0),于是可以求出|MN|=212212)()(y y x x -+-.再过点P 1作P 1H ⊥P 2N,垂足为H,则|MP 1|=|z 1|,|NP 2|=|z 2|,所以|HP 2|=|z 2-z 1|.在Rt △P 1HP 2中,|P 1H|=|MN|=212212)()(y y x x -+-,根据勾股定理,得|P 1P 2|=2221||||HP H P +=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.因此空间中点P 1(x 1,y 1,z 1),P 2(x 2,y 2,z 2)之间的距离为|P 1P 2|=221221221)()()(z z y y x x -+-+-. 于是空间两点之间的距离公式是d=212212212)()()(z z y y x x -+-+-.它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根.应用示例例1 已知A(3,3,1),B(1,0,5),求：(1)线段AB 的中点坐标和长度；(2)到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,已知的两点A 、B 都是空间直角坐标系中的点,我们直接利用空间两点间的距离公式求解即可.知识本身不难,但是我们计算的时候必须认真,决不能因为粗心导致结果错误.解:(1)设M(x,y,z)是线段AB 的中点,则根据中点坐标公式得x=213+=2,y=203+=23,z=215+=3.所以AB 的中点坐标为(2,23,3). 根据两点间距离公式,得 d(A,B)=29)15()30()31(222=-+-+-,所以AB 的长度为29.(2)因为点P(x,y,z)到A,B 的距离相等,所以有下面等式： 222222)5()0()1()1()3()3(-+-+-=-+-+-z y x z y x .化简得4x+6y-8z+7=0,因此,到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)的坐标满足的条件是4x+6y-8z+7=0. 点评:通过本题我们可以得出以下两点：①空间两点连成的线段中点坐标公式和两点间的距离公式是平面上中点坐标公式和两点间的距离公式的推广,而平面上中点坐标公式和两点间的距离公式又可看成空间中点坐标公式和两点间的距离公式的特例.②到A,B 两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB 的中垂面.变式训练在z 轴上求一点M,使点M 到点A(1,0,2),B(1,-3,1)的距离相等.解:设M(0,0,z),由题意得|MA|=|MB|,2222222)1()30()30()10()2()00()10(-+++++-=++-+-z z ,整理并化简,得z=-3,所以M(0,0,-3).例2 证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的△ABC 是一等腰三角形.活动：学生审题,教师引导学生分析解题思路,证明△ABC 是一等腰三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,根据边长来确定.证明：由两点间距离公式得： |AB|=,72)12()31()47(222=-+-+- |BC|=6)23()12()75(222=-+-+-, |CA|=6)31()23()54(222=-+-+-.由于|BC|=|CA|=6,所以△ABC 是一等腰三角形.点评:判断三角形的形状一般是根据边长来实现的,因此解决问题的关键是通过两点间的距离公式求出边长.变式训练三角形△ABC 的三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),试证明△ABC 是一直角三角形.活动：学生先思考或交流,然后解答,教师及时提示引导,要判定△ABC 是一直角三角形,只需求出|AB|,|BC|,|CA|的长,利用勾股定理的逆定理来判定.解:因为三个顶点坐标为A(1,-2,-3),B(-1,-1,-1),C(0,0,-5),所以 |AB|=222)13()12()11(+-++-++=3, |BC|=23)15()10()10(222=+-++++, |CA|=222)53()02()01(+-+--+-=3.又因为|AB|2+|CA|2=|BC|2,所以△ABC 是直角三角形.例3 已知A(x,5-x,2x-1),B(1,x+2,2-x),则|AB|的最小值为( ) A.0 B.735 C.75 D.78 活动：学生阅读题目,思考解决问题的方法,教师提示,要求|AB|的最小值,首先我们需要根据空间两点间的距离公式表示出|AB|,然后再根据一元二次方程求最值的方法得出|AB|的最小值.解析:|AB|=222)33()23()1(-+-+-x x x =1932142+-x x =73575)78(142≥+-x . 当x=78时,|AB|的最小值为735. 故正确选项为B.答案：B点评:利用空间两点间的距离公式转化为关于x 的二次函数求最值是常用的方法. 知能训练课本本节练习1、2、3、4.拓展提升已知三棱锥P —ABC(如图4),PA ⊥平面ABC,在某个空间直角坐标系中,B(3m,m,0),C(0,2m,0),P(0,0,2n),画出这个空间直角坐标系并求出直线AB 与x 轴所成的较小的角.图3解:根据已知条件,画空间直角坐标系如图3：以射线AC 为y 轴正方向,射线AP 为z 轴正方向,A 为坐标原点建立空间直角坐标系O —xyz,过点B 作BE ⊥Ox,垂足为E,∵B(3m,m,0),∴E(3m,0,0).在Rt △AEB 中,∠AEB=90°,|AE|=3m,|EB|=m,∴tan ∠BAE=m m AE EB 3|||| =33.∴∠BAE=30°, 即直线AB 与x 轴所成的较小的角为30°.课堂小结1.空间两点间的距离公式的推导与理解.2.空间两点间的距离公式的应用.3.建立适当的空间直角坐标系,综合利用两点间的距离公式.作业习题4.3 A 组3,B 组1、2、3.。
2020学年高中数学课时训练(二十二)圆的一般方程苏教版必修2(2021-2022学年)
课时跟踪检测（二十二) 圆的一般方程层级一学业水平达标１．圆ｘ2+y２＋４ｘ－６ｙ－3＝0的标准方程为( )A．（x－2)2+(y-3)2＝16 B.(ｘ－2）2＋（y+3)2=16C．(ｘ＋2)2＋(ｙ－3)２＝１6 D．(x+2)2＋（y＋3)2＝1６解析：选Ｃ将x2＋y2＋4x－6y-3=０配方,易得(x＋2)2+（y-3)2=１6.２.将圆ｘ2＋y2-２x－４y＋4＝０平分的直线是(）A.x+ｙ-1=0B．x+y＋3＝0Ｃ．x－y＋1＝０D．x-y＋3=0解析：选Ｃ要使直线平分圆,只要直线经过圆的圆心即可,圆心坐标为(1,2）．A、Ｂ、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C。
３.方程x2+y2＋2ax＋2bｙ+a２＋b２=0表示的图形为（)A.以（ａ,b)为圆心的圆ﻩB.以(-a,-b)为圆心的圆C．点(a,b) ﻩ D.点(－a,－ｂ)解析：选Ｄ原方程可化为(x+ａ）2+(y+ｂ)2=0，∴错误!未定义书签。
即错误!∴表示点(-a，-b)．4．如果方程x２＋ｙ2＋Dx+Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y=x对称,则必有（）A.D＝EB.D＝FC．E＝Ｆ D.D=E=Ｆ解析:选A由D2+E２-4F>0知,方程表示的曲线是圆，其圆心错误!未定义书签。
在直线ｙ＝x 上，故D＝Ｅ.５．当ａ为任意实数时，直线(a－1）x－y＋a+1=0恒过定点C，则以C为圆心，错误!未定义书签。
为半径的圆的方程为( )Ａ．x2+y2－2ｘ+4ｙ=０Ｂ．x２+ｙ2＋2x+4y=0C．x2＋y２＋２x－4ｙ=0 ﻩ D.ｘ２＋y2－2x－4y＝０解析:选C 直线(a－1)x－y＋a+1＝0可化为(-x－y＋1)＋ａ(1+x)=0,由错误!未定义书签。
得C（－1,2).∴圆的方程为(x+1）2＋(y－２)2＝５，即x２＋ｙ2+2ｘ－４ｙ=0.6.设Ａ为圆(x－１)２+y2=1上的动点，PA是圆的切线且ＰＡ=1，则P点的轨迹方程是____＿___．解析:设P(x,y)是轨迹上任一点，圆（x-1)2+y2=1的圆心为B(1,0)，则PA2+1＝PB２，∴(x－1)２＋y2=２。
2021-2022年高中数学第四章圆与方程章末综合测评2含解析新人教A版
2021-2022年高中数学第四章圆与方程章末综合测评2含解析新人教A 版一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在空间直角坐标系中，点A (－3,4,0)与点B (2，－1,6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D.86【解析】 由空间直角坐标系中两点间距离公式得： |AB |＝－3－22＋4＋12＋0－62＝86.【答案】 D2．当圆x 2＋y 2＋2x ＋ky ＋k 2＝0的面积最大时，圆心坐标是( ) A ．(0，－1) B ．(－1,0) C ．(1，－1)D ．(－1,1)【解析】 圆的标准方程得：(x ＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋k 22＝1－3k 24，当半径的平方1－3k 24取最大值为1时，圆的面积最大．∴k ＝0，即圆心为(－1,0)．【答案】 B3．圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( ) A ．相交 B ．相离 C ．内含D ．内切【解析】 把圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0分别化为标准式为(x －2)2＋(y －3)2＝1和(x －4)2＋(y －3)2＝9，两圆心间的距离d ＝4－22＋3－32＝2＝|r 1－r 2|，所以两圆的位置关系为内切，故选D.【答案】 D4．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的最长弦所在的直线方程为( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．x ＋3y －5＝0D ．x －3y ＋1＝0【解析】 依题意知所求直线通过圆心(1，－2)，由直线的两点式方程，得y ＋21＋2＝x －12－1，即3x －y －5＝0，故选A.【答案】 A5．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交 C ．相离D ．不确定【解析】 由题意知点在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．【答案】 B6．若P (2，－1)为圆C ：(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．2x －y －5＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0D ．x －y －3＝0【解析】 圆心C (1,0)，k PC ＝0－－11－2＝－1，则k AB ＝1，AB 的方程为y ＋1＝x －2， 即x －y －3＝0，故选D. 【答案】 D7．圆心在x 轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋y 2＝1 B ．(x ＋2)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －2)2＝1【解析】 设圆心坐标为(a,0)，则由题意可知(a －2)2＋(1－0)2＝1，解得a ＝2.故所求圆的方程是(x －2)2＋y 2＝1.【答案】 A8．圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的差是( )A ．36B ．18C ．6 2D ．5 2【解析】 圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0的圆心为(2,2)，半径为32，圆心到直线x ＋y －14＝0的距离为|2＋2－14|2＝52＞32，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R ＝6 2.【答案】 C9．把圆x 2＋y 2＋2x －4y －a 2－2＝0的半径减小一个单位则正好与直线3x －4y －4＝0相切，则实数a 的值为( )A ．－3B ．3C ．－3或3D ．以上都不对【解析】 圆的方程可变为(x ＋1)2＋(y －2)2＝a 2＋7，圆心为(－1,2)，半径为a 2＋7，由题意得|－1×3－4×2－4|－32＋42＝a 2＋7－1，解得a ＝±3. 【答案】 C10．若圆(x －5)2＋(y －1)2＝r 2(r >0)上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离等于1，则实数r 的取值范围为( )A ．[4,6]B ．(4,6)C ．[5,7]D ．(5,7)【解析】 因为圆心(5,1)到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为|20＋3＋2|5＝5，又圆上有且仅有两点到直线4x ＋3y ＋2＝0的距离为1，则4<r <6.【答案】 B11．已知圆C 1：(x ＋2)2＋(y －2)2＝2，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋3)2＋(y －3)2＝2 B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝2 D ．(x －3)2＋(y ＋3)2＝2【解析】 设点(－2,2)关于直线x －y －1＝0的对称点为Q (m ，n )，则⎩⎪⎨⎪⎧n －2m ＋2×1＝－1，m －22－n ＋22－1＝0，解得m ＝3，n ＝－3，所以圆C 2的圆心坐标为(3，－3)，所以圆C 2的方程为(x －3)2＋(y ＋3)2＝2，故选D.【答案】 D12．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3，直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2【解析】 由题意，得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为(0，－1)，半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率为－1，方程为y －0＝－(x －1)，即为x ＋y －1＝0.又圆心(0，－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2，所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12，所以△OAB 的面积为12×22×12＝1.故选A.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知A (1,2,3)，B (5,6，－7)，则线段AB 中点D 的坐标为________.【解析】 设D (x ，y ，z )，由中点坐标公式可得x ＝1＋52＝3，y ＝2＋62＝4，z ＝3－72＝－2，所以D (3,4，－2)．【答案】 (3,4，－2)14．以原点O 为圆心且截直线3x ＋4y ＋15＝0所得弦长为8的圆的方程是________． 【解析】 原点O 到直线的距离d ＝1532＋42＝3，设圆的半径为r ，∴r 2＝32＋42＝25，∴圆的方程是x 2＋y 2＝25.【答案】 x 2＋y 2＝2515．若圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0的圆心C 到直线l 的距离为2，且l 与直线3x ＋4y －1＝0平行，则直线l 的方程为________________．【解析】 圆心为(－1,2)． 设所求的直线方程为3x ＋4y ＋D ＝0， 由点到直线的距离公式，得 |3×－1＋4×2＋D |32＋42＝2，即|5＋D |5＝2， 解得D ＝5或－15.故所求的直线方程为：3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0. 【答案】 3x ＋4y ＋5＝0或3x ＋4y －15＝0 16．若x ，y ∈R ，且x ＝1－y 2，则y ＋2x ＋1的取值范围是________． 【解析】 x ＝1－y 2⇔x 2＋y 2＝1(x ≥0)，此方程表示半圆，如图，设P (x ，y )是半圆上的点，则y ＋2x ＋1表示过点P (x ，y )，Q (－1，－2)两点直线的斜率．设切线QA 的斜率为k ，则它的方程为y ＋2＝k (x ＋1)．从而由|k －2|k 2＋1＝1，解得k ＝34.又k BQ ＝3，∴所求范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)求经过两点A (－1,4)，B (3,2)且圆心在y 轴上的圆的方程． 【解】 法一：∵圆心在y 轴上， 设圆的标准方程是x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵该圆经过A 、B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧－12＋4－b2＝r 2，32＋2－b2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，r 2＝10.所以圆的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 法二：线段AB 的中点为(1,3)，k AB ＝2－43－－1＝－12，∴弦AB 的垂直平分线方程为y －3＝2(x －1)， 即y ＝2x ＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋1，x ＝0，得(0,1)为所求圆的圆心．由两点间距离公式得圆半径r 为0＋12＋1－42＝10，∴所求圆的方程为x 2＋(y －1)2＝10.18．在三棱柱ABO A ′B ′O ′中，∠AOB ＝90°，侧棱OO ′⊥面OAB ，OA ＝OB ＝OO ′＝2.若C 为线段O ′A 的中点，在线段BB ′上求一点E ，使|EC |最小．【解】 如图所示，以三棱柱的O 点为坐标原点，以OA ，OB ，OO ′所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .由OA ＝OB ＝OO ′＝2，得A (2,0,0)，B (0,2,0)，O (0,0,0)，A ′(2,0,2)，B ′(0,2,2)，O ′(0,0,2)．由C 为线段O ′A 的中点得C 点坐标为(1,0,1)， 设E 点坐标为(0,2，z )，根据空间两点间距离公式得 |EC |＝0－12＋2－02＋z －12＝z －12＋5，故当z ＝1时，|EC |取得最小值为5，此时E (0,2,1)为线段BB ′的中点． 19．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B .(1)求直线PA ，PB 的方程； (2)求过P 点的圆C 的切线长．【解】 (1)切线的斜率存在，设切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2，∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1， 故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)在Rt △PAC 中|PA |2＝|PC |2－|AC |2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8， ∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.20．(本小题满分12分)点A (0,2)是圆x 2＋y 2＝16内的定点，B ，C 是这个圆上的两个动点，若BA ⊥CA ，求BC 中点M 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么曲线．【解】 设点M (x ，y )，因为M 是弦BC 的中点，故OM ⊥BC . 又∵∠BAC ＝90°，∴|MA |＝12|BC |＝|MB |.∵|MB |2＝|OB |2－|OM |2，∴|OB |2＝|MO |2＋|MA |2，即42＝(x 2＋y 2)＋[(x －0)2＋(y －2)2]，化简为x 2＋y 2－2y －6＝0，即x 2＋(y －1)2＝7.∴所求轨迹为以(0,1)为圆心，以7为半径的圆．21．(本小题满分12分)如图1所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于E 点，定点A ，C 的坐标分别是A (－2,3)，C (2,1)．图1(1)求以线段AC 为直径的圆E 的方程；(2)若B 点的坐标为(－2，－2)，求直线BC 截圆E 所得的弦长． 【解】 (1)AC 的中点E (0,2)即为圆心， 半径r ＝12|AC |＝1242＋－22＝5，所以圆E 的方程为x 2＋(y －2)2＝5. (2)直线BC 的斜率k ＝1－－22－－2＝34，其方程为y －1＝34(x －2)，即3x －4y －2＝0.点E 到直线BC 的距离为d ＝|－8－2|5＝2，所以BC 截圆E 所得的弦长为25－22＝2. 22. (本小题满分12分)如图2，已知圆C ：x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0，点A (0,6)．图2(1)求圆心在直线y ＝x 上，经过点A ，且与圆C 相外切的圆N 的方程；(2)若过点A 的直线m 与圆C 交于P ，Q 两点，且圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，求直线m的方程．【解】 (1)由x 2＋y 2＋10x ＋10y ＝0， 化为标准方程：(x ＋5)2＋(y ＋5)2＝50. 所以圆C 的圆心坐标为C (－5，－5)， 又圆N 的圆心在直线y ＝x 上，所以当两圆外切时，切点为O ，设圆N 的圆心坐标为(a ，a )， 则有a －02＋a －62＝a －02＋a －02，解得a ＝3，所以圆N 的圆心坐标为(3,3)，半径r ＝32， 故圆N 的方程为(x －3)2＋(y －3)2＝18.(2)因为圆弧PQ 恰为圆C 周长的14，所以CP ⊥CQ .所以点C 到直线m 的距离为5.当直线m 的斜率不存在时，点C 到y 轴的距离为5，直线m 即为y 轴，所以此时直线m 的方程为x ＝0.当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为y ＝kx ＋6， 即kx －y ＋6＝0.所以|－5k ＋5＋6|1＋k 2＝5，解得k ＝4855. 所以此时直线m 的方程为4855x －y ＋6＝0，即48x －55y ＋330＝0，故所求直线m 的方程为x ＝0或48x －55y ＋330＝0.5o:25896 6528 攨; x aE30446 76EE 目;33656 8378 荸32678 7FA6 羦28129 6DE1 淡。
2021_2022学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式测评习题含解析新人教A版必修第一册
第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.不等式-x2-5x+6≥0的解集为()A.{x|-6≤x≤1}B.{x|2≤x≤3}C.{x|x≥3,或x≤2}D.{x|x≥1,或x≤-6}-x2-5x+6≥0可化为x2+5x-6≤0,即(x+6)(x-1)≤0,解得-6≤x≤1,故不等式的解集为{x|-6≤x≤1}.2.已知A={x|x2-2x>0},B={x|x-3<0},则A∪B=()x-1A.{x|1<x<2}B.{x|2<x<3}C.{x|x<0,或x>1}D.{x|x<0,或1<x<2}A={x|x>2,或x<0},B={x|1<x<3},∴A∪B={x|x<0,或x>1}.3.李辉准备用自己节省的零花钱买一台学习机,他现在已存有60元.计划从现在起以后每个月节省30元,直到他至少有400元.设x个月后他至少有400元,则可以用于计算所需要的月数x的不等式是()A.30x-60≥400B.30x+60≥400C.30x-60≤400D.30x+40≤400x月后所存的钱数为y,则y=30x+60,由于存的钱数不少于400元,故不等式为30x+60≥400.4.若a<1<b ,则下列结论正确的是() A.1a >1b B.ba >1C.a 2<b 2D.ab<a+bA,若a=-2,b=2,则不成立, 对于B,若a=-2,b=2,则不成立, 对于C,若a=-2,b=2,则不成立, 对于D,∵a<1<b ,∴a-1<0,b-1>0,∴(a-1)(b-1)<0,即ab-a-b+1<0, ∴ab+1<a+b ,∴ab<a+b ,故D 成立.5.设函数y=4x+1x -1(x<0),则y () A.有最大值3B.有最小值3 C.有最小值-5D.有最大值-5x<0,∴-x>0.∴y=4x+1x -1=-[(-4x)+1-x ]-1≤-4-1=-5,当且仅当x=-12时,等号成立.∴y 有最大值-5.6.如果a ∈R ,且a 2+a<0,那么a ,a 2,-a 的大小关系为 ()A.a 2>a>-aB.-a>a 2>aC.-a>a>a 2D.a 2>-a>aa 2+a<0,即a (a+1)<0,所以-1<a<0,因此-a>a 2>0,有-a>a 2>a.故选B .7.已知a>0,b>0,且2a+b=2,则ab 的最大值为() A.12B.√22C.1D.√2a>0,b>0,且2a+b=2,∴ab=12×(2a ·b )≤12×(2a+b 2)2=12,当且仅当2a=b ,且2a+b=2,即a=12,b=1时,取得最大值12.故选A .8.某人从甲地到乙地往返的速度分别为a 和b (a<b ),其全程的平均速度为v ,则() A.v=a+b 2B.v=√abC.a<v<√abD.√ab <v<a+b 2S ,往返的速度分别为a=St 1,b=St 2(a<b ),则其全程的平均速度为v=2St1+t 2=2SSa +S b=21a +1b<√ab ,又v>a ,故a<v<√ab .9.已知正实数a ,b 满足4a+b=30,使得1a+1b 取最小值时,实数对(a ,b )是()A.(5,10)B.(6,6)C.(10,5)D.(7,2)a ,b>0,∴1a +1b =130(4a+b )(1a +1b )=1305+b a +4a b≥130(5+2√4)=310,当且仅当{b a =4ab ,4a +b =30时,取“=”.这时a=5,b=10.10.已知不等式ax 2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},则不等式bx 2-x-a>0的解集是() A.{x |-12<x <13}B.{x |x <-13,或x >12} C.{x|x<-3,或x>-2}D.{x|-3<x<-2}ax 2+5x+b>0的解集是{x|2<x<3},所以a<0,且方程ax 2+5x+b=0的实数根为2和3,所以{2+3=-5a ,2×3=ba ,解得a=-1,b=-6.所以不等式bx 2-x-a>0为-6x 2-x+1>0, 即6x 2+x-1<0,解得-12<x<13.所以不等式bx 2-x-a>0的解集是x |-12<x<13.11.已知函数y=x 2-3x+2(x<-2),则函数y ()A.有最小值-2B.有最小值2C.有最大值-2D.有最大值-6x<-2,∴x+2<0,令x+2=t ,则t<0. ∵y=x 2-3x+2, ∴y=(t -2)2-3t =t 2-4t+1t=t+1t -4=-[(-t)+(-1t )]-4≤-2-4=-6,当且仅当t=1t ,且t<0,即t=-1,从而有x=-3时取最大值-6.故选D .12.设a>0,b>0,则下列不等式中不一定成立的是() A.a+b+√ab≥2√2B.2aba+b≥√abC.22√ab≥a+b D.(a+b )(1a +1b )≥4a>0,b>0,∴a+b+√ab≥2√ab +√ab≥2√2,当且仅当a=b ,且2√ab =√ab,即a=b=√22时,取等号,故A 成立;∵a+b ≥2√ab >0,∴2aba+b ≤2√ab=√ab ,当且仅当a=b 时,取等号,∴2aba+b ≥√ab 不一定成立,故B 不成立; ∵2aba+b ≤2√ab=√ab ,当且仅当a=b 时,取等号,∴a 2+b 2a+b=(a+b)2-2aba+b=a+b-2aba+b ≥2√ab −√ab ,当且仅当a=b 时,取等号,∴a 2+b 2a+b≥√ab ,∴22√ab≥a+b ,故C 一定成立;∵(a+b )(1a +1b )=2+ba +ab ≥4,当且仅当a=b 时,取等号,故D 一定成立.故选B .二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上) 13.设M=5a 2-a+1,N=4a 2+a-1,则M ,N 的大小关系为.M-N=5a 2-a+1-(4a 2+a-1)=a 2-2a+2=(a-1)2+1≥1>0,∴M>N.14.已知关于x 的不等式x 2-x+a-1≥0在R 上恒成立,则实数a 的取值X 围是.x 的不等式x 2-x+a-1≥0在R 上恒成立,所以其对应二次函数的图象与x 轴最多有一个交点,所以判别式Δ=(-1)2-4(a-1)≤0,解得a ≥54.≥5415.已知方程ax 2+bx+1=0的两个根为-14,3,则不等式ax 2+bx+1>0的解集为.,方程ax 2+bx+1=0的两个根为-14,3,则有(-14)×3=1a ,解得a=-43<0, 则ax 2+bx+1>0⇒-14<x<3, 即不等式的解集为{x |-14<x <3}.|-14<x <3} 16.下列命题:①设a ,b 是非零实数,若a<b ,则ab 2>a 2b ;②若a<b<0,则1a >1b ;③函数y=2√x 2+2的最小值是2;④若x ,y 是正数,且1x +4y =1,则xy 的最小值是16.其中正确的是.(填序号)ab 2-a 2b=ab (b-a ).由于a ,b 符号不定,故上式符号无法确定,故①不对.②中在a<b两边乘正数1ab ,得1a>1b,故②对.③中y=2√x2+2=√x2+2+√x2+2≥2,但由√x2+2=√x2+2,x2+2=1无解,故③不对.④中,∵1x +4y=1≥2√4xy,∴xy≥16,即④对.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)已知a>0,b>0,且a≠b,比较a2b +b2a与a+b的大小.(a2 b +b2a)-(a+b)=a2b-b+b2a-a=a2-b2b +b2-a2a=(a2-b2)(1b-1a)=(a2-b2)a-bab =(a-b)2(a+b)ab,又a>0,b>0,a≠b,∴(a-b)2>0,a+b>0,ab>0,∴(a2b +b2a)-(a+b)>0,∴a2b+b2a>a+b.18.(本小题满分12分)解关于x的不等式56x2+ax-a2<0.(7x+a)(8x-a)<0,即(x+a7)(x-a8)<0.①当-a7<a8,即a>0时,-a7<x<a8;②当-a7=a8,即a=0时,原不等式的解集为⌀;③当-a7>a8,即a<0时,a8<x<-a7.综上可知,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a7<x<a8};当a=0时,原不等式的解集为⌀;当a<0时,原不等式的解集为x|a8<x<-a7.19.(本小题满分12分)(1)已知式子√13+2x -x 2,求使式子有意义的x 的取值集合;(2)已知函数y=x 2-4ax+a 2(a ∈R ),关于x 的不等式y ≥x 的解集为R ,某某数a 的取值X 围.由13+2x -x 2≥0,得3+2x-x 2>0,解得-1<x<3,故使式子有意义的x 的取值集合是{x|-1<x<3}. (2)∵y ≥x 的解集为R ,∴当x ∈R 时,x 2-(4a+1)x+a 2≥0恒成立. ∴Δ=(4a+1)2-4a 2≤0,即12a 2+8a+1≤0,即(2a+1)(6a+1)≤0,∴-12≤a ≤-16,∴a 的取值X 围为{a |-12≤a ≤-16}.20.(本小题满分12分)已知关于x 的不等式ax -5x 2-a <0的解集为M. (1)若3∈M ,且5∉M ,某某数a 的取值X 围. (2)当a=4时,求集合M.由3∈M ,知3a -59-a <0,解得a<53或a>9; 若5∈M ,则5a -525-a <0,解得a<1或a>25.则由5∉M ,知1≤a ≤25,因此所求a 的取值X 围是1≤a<53或9<a ≤25. (2)当a=4时,4x -5x 2-4<0.4x -5x 2-4<0⇔{4x -5>0,x 2-4<0或{4x -5<0,x 2-4>0⇔{x >54,-2<x <2或{x <54,x <-2或x >2 ⇔54<x<2或x<-2.故M={x |x <-2,或54<x <2}.21.(本小题满分12分)证明不等式:a ,b ,c ∈R ,a 4+b 4+c 4≥abc (a+b+c ).a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2c2a2,∴2(a4+b4+c4)≥2(a2b2+b2c2+c2a2),即a4+b4+c4≥a2b2+b2c2+c2a2.又a2b2+b2c2≥2ab2c,b2c2+c2a2≥2abc2,c2a2+a2b2≥2a2bc,∴2(a2b2+b2c2+c2a2)≥2(ab2c+abc2+a2bc),即a2b2+b2c2+c2a2≥abc(a+b+c).∴a4+b4+c4≥abc(a+b+c).22.(本小题满分12分)某商店预备在一个月内分批购买每X价值为20元的书桌共36X,每批都购入x X(x是正整数),且每批均需付运费4元,储存购入的书桌一个月所付的保管费与每批购入书桌的总价值(不含运费)成正比,若每批购入4X,则该月需用去运费和保管费共52元,现在全月只有48元资金可以用于支付运费和保管费.(1)求该月需用去的运费和保管费的总费用y;(2)能否恰当地安排每批进货的数量,使资金够用?写出你的结论,并说明理由.设题中比例系数为k,若每批购入x X,则共需分36x批,每批价值20x.由题意,y=36x·4+k·20x,由x=4时,y=52,得k=1680=15.故y=144x+4x(0<x≤36,x∈N*).(2)可以使资金够用.理由如下:由(1)知y=144x+4x(0<x≤36,x∈N*),则y≥2√144x·4x=48(元).当且仅当144x=4x,即x=6时,上式等号成立.故只需每批购入6X书桌,可以使资金够用.。
第1-3章基础测试题-2021-2022学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册(1)
太和二中2021~2022学年第一学期 人教A 版必修一数学第1~3章基础测试卷一．选择题（本题共10道小题，每小题5分，满分50分）1.函数121)(−−−=x x x f 的定义域为( )A ． [2，3)∪(3，＋∞)B ．(2，3)∪(3，＋∞)C ． (2，＋∞)D ．(3，＋∞)2.设函数x x x f 1)(3−=，则)(x f ( )A ．是奇函数，且在()0，＋∞ 上单调递增B ．是奇函数，且在()0，＋∞ 上单调递减C ．是偶函数，且在()0，＋∞ 上单调递增D ．是偶函数，且在()0，＋∞ 上单调递减3.幂函数)(x f y =的图像经过点)3,3(，则f(x)是( )A. 偶函数，且在),0(+∞上是增函数B. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是减函数D. 非奇非偶函数，且在),0(+∞上是增函数 4.集合{}{}54|,2|2+−==−==x x y y B x y x A ，则=B A ( )A ．]2,1(B ．)2,1[C ．]5,0[D ．]2,1[5.集合{}{}a x a x B x x A −<<+=<<=3|,51|，且B B A = , 则a 的取值范围是( )A ．),23[+∞−B ．)23,2[−− C ．),2[+∞− D ．]23,2[−− 6.96,:2−≥−∈∀x x R x p ，则p ⌝是( )A ．96,2−≤−∈∃x x R x B ．96,2−≥−∈∃x x R x C ．096,2<+−∈∃x x R x D ．096,2<+−∈∀x x R x7.若定义在R 上的奇函数)(x f 在(－∞，0)上单调递减，0)2(=f ，且0)1(≥−x xf ，则x 的取值范围是( )A ．),3[]1,1[+∞−B ．]1,0[]1,3[ −−C ．),1[]0,1[+∞−D ．]3,1[]0,1[ −.众公四．解答题（本题共6道题，满分65分）18.（本题满分10分）已知{}{}m x m x S x x P +≤≤−=≤≤=11|41|，. (1)是否存在实数m ，使P x ∈是S x ∈的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．(2)是否存在实数m ，使P x ∈是S x ∈的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．19.（本题满分10分）已知关于x 的不等式0622<+−k x kx ．(1)若不等式的解集为{}32|<<x x ，求实数k 的值；(2)不等式对R x ∈恒成立，求实数k 的取值范围． 20.（本题满分10分）已知函数xx x f 212)(+=． (1)试判断函数)(x f 在区间]21,0(上的单调性，并用函数单调性定义证明；(2)对任意]21,0(∈x 时，m x f −≥2)(都成立，求实数m 的取值范围．21.（本题满分10分）已知集合{}225|−<<−∈=x x x R x A ，{}132|+≤≤+=m x m x B ．(1)若A B ⊆，求实数m 的取值范围；(2)试判断是否存在R m ∈，使得( A ð∅=)B R ，并说明理由．22.（本题满分10分）已知.1)1()(2−−+=x a ax x f (1)若0)(>x f 的解集为)21,1(−−，求关于x 的不等式013<−+x ax 的解集； (2)解关于x 的不等式0)(≥x f ．23.（本题满分15分）已知函数12||)(2−+−=a x ax x f ，其中.,R a o a ∈≥设)(x f 在区间[1，2]上的最小值为)(a g ，求)(a g 的解析式．太和二中2021~2022学年第一学期人教A 版必修一数学第1~3章基础测试卷参考答案一．选择题（本题共10道小题，每小题5分，满分50分）1.函数121)(−−−=x x x f 的定义域为( )A ． [2，3)∪(3，＋∞)B ．(2，3)∪(3，＋∞)C ． (2，＋∞)D ．(3，＋∞)【解析】要使函数有意义，则⎩⎨⎧≠−−≥−01202x x 即⎩⎨⎧≠≥32x x 所以函数的定义域为[2，3)∪(3，＋∞).故选A.2.设函数x x x f 1)(3−=，则)(x f ( )A ．是奇函数，且在()0，＋∞ 上单调递增B ．是奇函数，且在()0，＋∞ 上单调递减C ．是偶函数，且在()0，＋∞ 上单调递增D ．是偶函数，且在()0，＋∞ 上单调递减【解析】 ∵函数x x x f 1)(3−=的定义域为{}0|≠x x ，其关于原点对称，而)()(x f x f −=−，∴函数)(x f 为奇函数．又∵函数3x y =在()0，＋∞ 上单调递增，在()－∞，0 上单调递增，而x y 1=＝1−x 在()0，＋∞ 上单调递减，在()－∞，0 上单调递减，∴函数x x x f 1)(3−=在()0，＋∞ 上单调递增，在()－∞，0 上单调递增．故选A.3.幂函数)(x f y =的图像经过点)3,3(，则f(x)是( )A. 偶函数，且在),0(+∞上是增函数B. 偶函数，且在),0(+∞上是减函数C. 奇函数，且在),0(+∞上是减函数D. 非奇非偶函数，且在),0(+∞上是增函数 【答案】D解：设幂函数的解析式为：αx y =，将)3,3(代入解析式得：33=α，解得21=α，21x y =∴，则函数21x y =为非奇非偶函数，且在),0(+∞上是增函数，故选D ．公众号：潍坊高中数学4.集合{}{}54|,2|2+−==−==x x y y B x y x A ，则=B A ( )A ．]2,1(B ．)2,1[C ．]5,0[D ．]2,1[ 【答案】D5.集合{}{}a x a x B x x A −<<+=<<=3|,51|，且B B A = , 则a 的取值范围是( )A ．),23[+∞−B ．)23,2[−− C ．),2[+∞− D ．]23,2[−− 【答案】C6.96,:2−≥−∈∀x x R x p ，则p ⌝是（ ）A ．96,2−≤−∈∃x x R x B ．96,2−≥−∈∃x x R x C ．096,2<+−∈∃x x R x D ．096,2<+−∈∀x x R x 【答案】C7.若定义在R 上的奇函数)(x f 在(－∞，0)上单调递减，0)2(=f ，且0)1(≥−x xf ，则x 的取值范围是( )A ．),3[]1,1[+∞−B ．]1,0[]1,3[ −−C ．),1[]0,1[+∞−D ．]3,1[]0,1[ −【解析】 因为定义在R 上的奇函数)(x f 在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0， 所以)(x f 在(0，＋∞)上也单调递减，且0)0(,0)2(==−f f ，所以当x ∈(－∞，－2)∪(0，2)时，)(x f >0，当x ∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，)(x f <0，所以由0)1(≥−x xf 可得，⎩⎨⎧≤−≤−<0120x x 或⎩⎨⎧≤−≤>2100x x 或0=x ， 解得－1≤x ≤0或1≤x ≤3，所以满足0)1(≥−x xf 的x 的取值范围是]3,1[]0,1[ −，故选D. 8.若函数)43)((5)(x a x xx f +−=为奇函数，则=a ( )A.21 B.32 C. 1D.43 【答案】D解：)(x f 为奇函数，)()(x f x f −=−∴，)34)(())(34(+−=−−+−∴x a x a x x ，解得43=a ． 经检验，当43=a 时满足)()(x f x f −=−∴，且定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧±≠43|x x 关于原点对称，故选：D ． 9.函数)0(2)(>−=a x ax f 在]7,3[上的最大值为2，则a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B解：函数)0(2)(>−=a x ax f 在]7,3[上的最大值为2， 0>a 时，函数2)(−=x ax f 在]7,3[上单调递减，223=−∴a ，2=∴a 故选：B ．10.设函数⎩⎨⎧≥−<<=.1),1(2,10,)(x x x x x f 若)1()(+=a f a f ，则)1(a f 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8【解析】当1≥x 时，)1(2)(−=x x f 单调递增，可知)1()(+≠a f a f ；当0<a <1时，由)1()(+=a f a f ，得)11(2−+=a a ，解得a ＝14，则)1(a f ＝2×(4－1)＝6，故选C.二、多选题（本大题共2小题，共10分） 11.下列不等式中有解的是( )A. x 2+3x +3<0B. x 2+6x +9≤0C. 0122>−−−x x D. 01222≥−+−c cx x【答案】BD解：根据题意，对选项依次判断，对选项A ：函数y =x 2+3x +3开口向上，其对应一元二次方程根的判别式为△=b 2−4ac =32−4×1×3=−3<0，图像与x 轴无交点，即x 2+3x +3>0恒成立，故A 不正确;对选项B ：函数y =x 2+6x +9开口向上，其对应一元二次方程根的判别式△=b 2−4ac =公众号：潍坊高中数学众公解：根据题意可得⎩⎨⎧≥−<+=.0,4,0,4)(22x x x x x x x g{}⎪⎩⎪⎨⎧≥−<<−−≤+=∈=.6,4,62,2,2,4)()(),()(2x x x x x x x x R x x g x f max x F画出F(x)的大致图象，由图象可得：①当6≥x 时，x x x 242≥− ，x x x F 4)(2−=∴，正确；②由图象可得：函数)(x F 不为奇函数，错误；③由图象知函数)(x F 在]6,2[−上是增函数，因此函数)(x F 在]2,2[−上为增函数，正确； ④由图象易知函数)(x F 的最小值为4)2(−=−F ，无最大值．错误， 其中正确的是①③．故答案为①③.三．解答题（本题共6道题，满分65分）18.（本题满分10分）已知P ={x|1≤x ≤4},S ={x|1−m ≤x ≤1+m}.(1)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在， 请说明理由．(2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的必要条件？若存在，求出m 的取值范围；若不存在， 请说明理由．【答案】解：P ={x|1⩽x ⩽4}． (1)要使x ∈P 是x ∈S 的充要条件， 则P =S ，即{1−m =11+m =4 此方程组无解，则不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件； (2)要使x ∈P 是x ∈S 的必要条件，则S ⊆P ， ①当S =⌀时，1−m >1+m ，解得m <0； ②当S ≠⌀时，1−m ⩽1+m ，解得m ⩾0， 要使S ⊆P ，则有{1−m ≥11+m ≤4,解得m ⩽0， 所以m =0，综上可得，当实数m ⩽0时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件．众公22.（本题满分10分）已知.1)1()(2−−+=x a ax x f(1)若0)(>x f 的解集为)21,1(−−，求关于x 的不等式013<−+x ax 的解集； (2)解关于x 的不等式0)(≥x f ．【答案】解：(1)由题意得1−与21−是方程01)1(2=−−+x a ax 的两个根，且0<a ， 故⎪⎩⎪⎨⎧−=−⨯−−−=−−.1)21(11211a a a 解得2−=a ， 所以不等式的解集为),23[)1,(+∞∞ ． (2)当0=a 时，原不等式可化为x +1⩽0，解集为(−∞,−1];当0>a 时，原不等式可化为0)1)(1(≥+−x a x ，解集为),1[]1,(+∞−−∞a; 当0<a a <0时，原不等式可化为0)1)(1(≤+−x ax ，当11−>a ，即1−<a 时，解集为]1,1[a−; 当11−=a，即1−=a 时，解集为{}1−; 当11−<a ，即01<<−a 时，解集为]1,1[−a ． 23.（本题满分15分）已知函数12||)(2−+−=a x ax x f ，其中.,R a o a ∈≥设)(x f 在区间[1，2]上的最小值为)(a g ，求)(a g 的解析式．解：当x ∈]2,1[时，12)(2−+−=a x ax x f . 若a ＝0，则1)(−−=x x f 在区间]2,1[上单调递减，所以)(a g ＝)2(f ＝3−；若0>a ，则)(x f 的图象的对称轴是直线a x 21=.当0<a 21<1，即21>a 时，)(x f 在区间]2,1[上单调递增， 所以)(a g ＝23)1(−=a f ；公众号：潍坊高中数学当1≤a 21≤2，即14 ≤a ≤12时， 所以1412)21()(−−==a a a f a g ；当a 21>2，即0<a <14时，)(x f 在区间]2,1[上单调递减， 所以36)2()(−==a f a g .综上可得，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>−≤≤−−<≤−=.21,232141,1412,410,36)(a a a a a a a a g。
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案
高一数学必修二第四章圆与方程练习题及答案高一数学（必修2）第四章圆与方程基础训练一、选择题1.圆(x+2)²+y²=5关于原点P(0,0)对称的圆的方程为()A。
(x-2)²+y²=5B。
x²+(y-2)²=5C。
(x+2)²+(y+2)²=5D。
x²+(y+2)²=52.若P(2,-1)为圆(x-1)²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A。
x-y-3=0B。
2x+y-3=0C。
x+y-1=0D。
2x-y-5=03.圆x²+y²-2x-2y+1=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是（）A。
2B。
1+√2C。
1-√2D。
1+2√24.将直线2x-y+λ=0，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x²+y²+2x-4y=0相切，则实数λ的值为（）A。
-3或7B。
-2或8C。
2或10D。
1或115.在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有（）A。
1条B。
2条C。
3条D。
4条6.圆x²+y²-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为（）A。
x+3y-2=0B。
x+3y-4=0C。
x-3y+4=0D。
x-3y+2=0二、填空题1.若经过点P(-1,0)的直线与圆x²+y²+4x-2y+3=0相切，则此直线在y轴上的截距是-2.2.由动点P向圆x²+y²=1引两条切线PA,PB，切点分别为A,B，∠APB=60，则动点P的轨迹方程为x²+y²-x=0.3.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2)，则圆C的方程为(x-1)²+(y+1)²=4.4.已知圆(x-3)²+y²=4和过原点的直线y=kx的交点为P,Q，则OP·OQ的值为2.5.已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA,PB是圆x²+y²-2x-2y+1=0的切线，A,B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是3.三、解答题1.点P(a,b)在直线x+y+1=0上，求a²+b²-2a-2b+2的最小值。
2021-2022学年人教A版高中数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式 学案知识点考点汇总
第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质 (1)第一课时不等关系与比较大小 (1)第二课时等式性质与不等式性质 (8)2.2基本不等式 (14)第一课时基本不等式 (14)第二课时基本不等式的应用(习题课) (22)2.3二次函数与一元二次方程、不等式 (28)第一课时二次函数与一元二次方程、不等式 (28)第二课时二次函数与一元二次方程、不等式的应用(习题课) (35)2.1等式性质与不等式性质新课程标准解读核心素养梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的逻辑推理性质第一课时不等关系与比较大小(1)如图，某城市的高楼有高、有矮，有的高度相同．(2)任意两个实数之间有三种关系：a＞b，a＝b，a＜b.(3)同号两数的积为正值．[问题]通过以上三例我们可以发现在客观世界中，量与量之间的关系有哪些？知识点一不等关系与不等式1．不等式的概念用数学符号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式．2．不等式中文字语言与符号语言之间的转换文字语言大于，高于，超过小于，低于，少于大于或等于，至少，不低于小于或等于，至多，不多于，不超过符号语言＞＜≥≤不等式a≥b读作“a大于或等于b”，其含义是指“a＞b或a＝b”，等价于“a不小于b”，即a＞b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．1．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为()A．v＜60B．v＞60C．v≤60 D．v≥36答案：C2．一个两位数，个位数字为x，十位数字为y，且这个两位数大于70，用不等式表示为________．答案：10y＋x＞70知识点二实数大小比较的基本事实1．文字叙述如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a<b，反过来也对．2．符号表示a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b.1．在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？提示：是．2．p⇔q的含义是什么？提示：p⇔q的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推．1．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是________． 答案：m ≥n2．若实数a ＞b ，则a 2－ab ________ba －b 2.(填“＞”或“＜”) 答案：＞[例408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式；(2)用一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m ，要求菜园的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．[解] (1)设该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x >408.故不等关系表示为72＋12x >408.(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ， 所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)． 因此菜园面积S ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．将不等关系表示成不等式的思路 (1)读懂题意，找准不等式所联系的量； (2)用适当的不等号连接； (3)多个不等关系用不等式组表示．2．用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．[跟踪训练]1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t 应满足的关系式是________．解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t <28 000. 答案：4.5t <28 0002．某汽车公司因发展需要，需购进一批汽车，计划使用不超过1 000万元的资金购买单价分别为40万元、90万元的A 型汽车和B 型汽车，根据需要，A 型汽车至少买5辆，B 型汽车至少买6辆，写出满足上述所有不等关系的不等式(组)．解：设购买A 型汽车和B 型汽车分别为x 辆、y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧40x ＋90y ≤1 000，x ≥5，y ≥6，x ，y ∈N *.[例2] (2－2x 的大小； (2)已知a >0，试比较a 与1a 的大小． [解] (1)(x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34.∵x <1，∴x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴(x －1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0.即x 3－1<2x 2－2x .(2)∵a －1a ＝a 2－1a ＝（a －1）（a ＋1）a ，又∵a >0，∴当a >1时，（a －1）（a ＋1）a >0，有a >1a ；当a＝1时，（a－1）（a＋1）a＝0，有a＝1a；当0<a<1时，（a－1）（a＋1）a<0，有a<1a.综上，当a>1时，a>1a；当a＝1时，a＝1a；当0<a<1时，a<1a.作差法比较大小的步骤[注意]上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．[跟踪训练]1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则()A．a＞b B．a＜bC．a≥b D．a≤b解析：选C a－b＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，所以a≥b.2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)·(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，∵x>y>0，∴x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，∴(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，即x3－2y3>xy2－2x2y.题型三不等关系的实际应用[例3]“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．[解] 设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n 5， 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2.所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．现实生活中的许多问题都能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．[跟踪训练]某公司有20名技术人员，计划开发A ，B 两类共50件电子器件，每类每件所需人员和预计产值如下：今制订计划欲使总产值最高，则A 类电子器件应开发________件，最高产值为________万元．解析：设应开发A 类电子器件x 件，则开发B 类电子器件(50－x )件．根据题意，得x 2＋50－x3≤20，解得x ≤20.由题意，得总产值y ＝7.5x ＋6(50－x )＝300＋1.5x ≤330，当且仅当x ＝20时，y 取最大值330.所以欲使总产量最高，A 类电子器件应开发20件，最高产值为330万元．答案：20 330随堂检测1．下列说法正确的是( ) A ．x 为非正数可表示为“x ≥0”B ．小华的实际年龄n 不足18岁，表示为“n ≤18”C ．两数x ，y 的平方和不小于2，表示为“x 2＋y 2≥2”D ．甲数a 比乙数b 大，表示为“a ≥b ” 答案：C2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎨⎧x ≥95，y ≥380，z ＞45B.⎩⎨⎧x ≥95，y ＞380，z ≥45C.⎩⎨⎧x ＞95，y ＞380，z ＞45D.⎩⎨⎧x ≥95，y ＞380，z ＞45解析：选D “不低于”即“≥”，“高于”即“＞”，“超过”即“＞”，∴x ≥95，y ＞380，z ＞45.3．不等式a 2＋4≥4a 中，等号成立的条件为________． 解析：令a 2＋4＝4a ，则a 2－4a ＋4＝0， 即(a －2)2＝0，∴a ＝2. 答案：a ＝24．已知a ，b ∈R ，x ＝a 3－b ，y ＝a 2b －a ，试比较x 与y 的大小．解：因为x －y ＝a 3－b －a 2b ＋a ＝a 2(a －b )＋a －b ＝(a －b )(a 2＋1)，所以当a ＞b 时，x －y ＞0，所以x ＞y ；当a ＝b 时，x －y ＝0，所以x ＝y ； 当a ＜b 时，x －y ＜0，所以x ＜y .第二课时 等式性质与不等式性质在日常生活中，糖水中加些糖后就会变的更甜，也可以用不等式来表示这一现象．[问题] 你能利用这一事实表示出糖水浓度不等式吗？知识点一 等式的性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ； 性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ； 性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ； 性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ； 性质5 如果a ＝b ，c ≠0那么a c ＝b c ．运用等式的基本性质3时，等式两边要同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，才能保证所得结果仍是等式，否则就会破坏相等关系．知识点二 不等式的性质性质 别名 性质内容 注意 (1) 对称性 a ＞b ⇔b ＜a 可逆 (2)传递性a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c不可逆。
2022版新教材高中数学第二章直线和圆的方程4
圆的标准方程基础过关练题组一圆的标准方程的认识1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心坐标和半径分别是()A.(-2,3),1B.(2,-3),3C.(-2,3),√2D.(2,−3),√22.方程(x-a)2+(y-b)2=0表示的是()A.以(a,b)为圆心的圆B.以(-a,-b)为圆心的圆C.点(a,b)D.点(-a,-b)3.方程|x-1|=√1-(y-1)2表示的曲线是()A.一个圆B.两个半圆C.两个圆D.半圆4.方程x=√1-y2表示的图形是()A.两个半圆B.两个圆C.圆D.半圆题组二求圆的标准方程5.圆心为(1,-2),半径为3的圆的方程是 ()A.(x+1)2+(y-2)2=9B.(x-1)2+(y+2)2=3C.(x+1)2+(y-2)2=3D.(x-1)2+(y+2)2=96.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的标准方程是()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=17.若一圆的圆心坐标为(2,-3),一条直径的端点分别在x轴和y轴上,则此圆的标准方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=528.求以A(2,2),B(5,3),C(3,-1)为顶点的三角形的外接圆的标准方程.9.(2021山西怀仁一中高二上月考)已知点A(1,-2),B(-1,4),求:(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆C的标准方程.题组三点与圆的位置关系10.点(sin30°,cos30°)与圆x2+y2=1的位置关系是()2A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.不能确定11.(2020湖北宜昌高二上期末)若原点在圆(x-3)2+(y+4)2=m的外部,则实数m的取值范围是 ()A.m>25B.m>5C.0<m<25D.0<m<512.若点P(-1,√3)在圆x2+y2=m2上,则实数m=.13.已知圆C的圆心为C(-3,-4)且过原点O,求圆C的标准方程,并判断点M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)与圆C 的位置关系.能力提升练题组一圆的标准方程的求法及应用1.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知Rt△ABC的斜边的两端点A,B的坐标分别为(-3,0)和(7,0),则直角顶点C的轨迹方程为()A.x2+y2=25(y≠0)B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=252.(2020辽宁大连高二上期中,)若圆C与圆C':(x+2)2+(y-1)2=1关于原点对称,则圆C的标准方程为(深度解析)A.(x+1)2+(y-2)2=1B.(x-2)2+(y-1)2=1C.(x-1)2+(y+2)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=13.()圆C1:(x-1)2+(y-2)2=1关于直线x-y-2=0对称的圆C2的标准方程为()A.(x-4)2+(y+1)2=1B.(x+4)2+(y+1)2=1C.(x+2)2+(y+4)2=1D.(x-2)2+(y+1)2=14.(2021山东新泰中学高二上月考,)已知等腰三角形ABC的底边BC对应的顶点是A(4,2),底边的一个端点是B(3,5),则底边另一个端点C的轨迹方程是.易错5.(2021山西怀仁一中高二上月考,)经过二次函数y=x2-3x+2的图象与坐标轴的三个交点的圆的方程为.6.(2019安徽六安一中高一阶段测试,)已知直线l1经过点A(-3,0),B(3,2),直线l2经过点B,且l1⊥l2.(1)分别求直线l1,l2的方程;(2)设直线l2与直线y=8x的交点为C,求△ABC的外接圆的标准方程.题组二点与圆的位置关系7.()设P(x,y)是圆C:(x-2)2+y2=1上任意一点,则(x-5)2+(y+4)2的最大值为()A.6B.25C.26D.368.(2020四川成都石室中学高二上期中,)已知实数x,y满足x2+y2=1,则√3x+y的取值范围是()A.(-2,2)B.(-∞,2]C.[-2,2]D.(-2,+∞)9.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)已知圆过A(1,4),B(3,2)两点,且圆心在直线y=0上.(1)求圆的标准方程;(2)判断点P(2,4)与圆的关系.答案全解全析 基础过关练1.D 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2,-3),半径为√2.2.C 由(x -a )2+(y -b )2=0,解得{y =y ,y =y ,因此它只表示一个点(a ,b ).故选C .3.A 原方程可化为(x -1)2+(y -1)2=1,表示的曲线是一个圆,故选A .4.D 根据题意得x ≥0,方程两边同时平方并整理得x 2+y 2=1,由此确定图形为半圆,故选D. 5.D 由圆的标准方程得(x -1)2+(y +2)2=9. 6.A 设圆的圆心为C (0,b ),则√(0-1)2+(y -2)2=1,∴b =2,∴圆的标准方程是x 2+(y -2)2=1.7.A 易知直径两端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),可得圆的半径为√13,因为圆心坐标为(2,-3),所以所求圆的标准方程是(x -2)2+(y +3)2=13.8.解析 设所求圆的圆心为(a ,b ),标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0), 则有{(2-y )2+(2-y )2=y 2,(5-y )2+(3-y )2=y 2,(3-y )2+(-1-y )2=y 2,解得{y =4,y =1,y 2=5,所以△ABC 的外接圆的标准方程为(x -4)2+(y -1)2=5.9.解析 (1)当AB 为直径时,过点A ,B 的圆的半径最小,从而周长最小.易知所求圆的圆心为AB 的中点(0,1),半径r =12|yy |=√10,故圆的标准方程为x 2+(y -1)2=10.(2)设圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),则{(1-y )2+(-2-y )2=y 2,(-1-y )2+(4-y )2=y 2,2y -y -4=0,解得{y =3,y =2,y 2=20,∴圆的标准方程为(x -3)2+(y -2)2=20. 10.C 因为sin 230°+cos 230°=(12)2+(√32)2=1>12,所以点在圆外.11.C 依题意得,m >0,且(0-3)2+(0+4)2>m ,所以0<m <25,故选C . 12.答案 ±2解析 ∵P 点在圆x 2+y 2=m 2上, ∴(-1)2+(√3)2=4=m 2, ∴m =±2.13.解析 因为圆C 过原点O ,圆心为C (-3,-4),所以圆C 的半径r =|OC |=√(-3-0)2+(-4-0)2=5,因此圆C 的标准方程为(x +3)2+(y +4)2=25.因为(-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以点M 1(-1,0)在圆C 内;因为(1+3)2+(-1+4)2=25,所以点M 2(1,-1)在圆C 上;因为(3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以点M 3(3,-4)在圆C 外.能力提升练1.C 依题意得,直角顶点C 在以AB 为直径的圆上运动,且点C 与点A 、B 不重合,由AB 的中点坐标为(2,0),|AB |=10得,直角顶点C 的轨迹方程为(x -2)2+y 2=25(y ≠0),故选C .2.D 已知圆C 与圆C'关于原点对称,则两圆的圆心关于原点对称,半径相等,因此,圆C 的圆心为(2,-1),半径为1,从而圆C 的标准方程为(x -2)2+(y +1)2=1,故选D .解题模板 与圆有关的对称问题,由对称前后两圆全等,知两圆的半径相等,因此只要利用对称关系求出圆心坐标,就可得到圆的标准方程.3.A 由题意得,圆C 1的圆心坐标为(1,2),设圆心C 1(1,2)关于直线x -y -2=0的对称点为C 2(a ,b ),则{y -2y -1×1=-1,y +12-y +22-2=0,解得{y =4,y =-1,所以圆C 2的标准方程为(x -4)2+(y +1)2=1.4.答案 (x -4)2+(y -2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点)解析 设C (x ,y ),由题意知,△ABC 的腰长为√(3-4)2+(5-2)2=√10,∴C 的轨迹方程为(x -4)2+(y -2)2=10. 又点A 、B 、C 构成三角形,即三点不可共线, ∴需要去掉重合点(3,5),反向共线点(5,-1). 故答案为(x -4)2+(y -2)2=10(去掉(3,5),(5,-1)两点).易错警示 解决以三角形为条件的问题时,要注意隐含条件三角形的三个顶点不共线,在求出轨迹方程后,要去掉三点共线时轨迹上的点. 5.答案 (y -32)2+(y -32)2=52解析 令x =0,则y =2;令y =0,则x =1或x =2,所以二次函数y =x 2-3x +2的图象与坐标轴的三个交点不妨设为A (0,2),B (1,0),C (2,0). 线段BC 的垂直平分线方程为x =32,①线段AC 的垂直平分线为y =x ,② 设圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),③联立①②得x =32,y =32,即y =32,y =32,易求得y 2=52, 则圆的方程为(y -32)2+(y -32)2=52.6.解析 (1)因为直线l 1经过点A (-3,0),B (3,2),所以y -02-0=y +33+3,所以l 1的方程为x -3y +3=0.因为l 1⊥l 2,所以设直线l 2的方程为3x +y +c =0.因为点B (3,2)在直线l 2上,所以c =-11.所以直线l 2的方程为3x +y -11=0.(2)由{3y +y -11=0,y =8y得{y =1,y =8,即y (1,8),所以|yy |=4√5,|yy |=2√10,又|yy |=2√10,所以|AB |2+|BC |2=|AC |2,所以△ABC 是以AC 为斜边的直角三角形.又AC 的中点为(-1,4),所以Rt △ABC 的外接圆的圆心为(-1,4),半径为2√5.所以△ABC 的外接圆的标准方程为(x +1)2+(y -4)2=20. 7.D (x -5)2+(y +4)2的几何意义是点P (x ,y )到点Q (5,-4)的距离的平方.因为点P 在圆C :(x -2)2+y 2=1上,所以所求最大值为(|QC |+1)2=36.8.C 设x =sin α,y =cos α,则√3y +y =√3sin y +cos y =2sin (y +π6),所以√3x +y 的取值范围是[-2,2].故选C .9.解析 (1)∵圆心在直线y =0上,∴设圆心坐标为C (a ,0),又圆过A ,B 两点, ∴|AC |=|BC |,即√(y -1)2+16=√(y -3)2+4,即(a -1)2+16=(a -3)2+4,解得a =-1, ∴圆心为C (-1,0),半径r =|AC |=√(-1-1)2+16=√20=2√5,∴圆的标准方程为(x +1)2+y 2=20.(2)∵|PC |=√(-1-2)2+(0-4)2=√9+16=√25=5>r ,∴点P (2,4)在圆外.。
2021_2022年高中数学第四章圆的方程2
直线与圆的位置关系基础巩固一、选择题1．直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( ) A ．相离 B ．相交 C ．相切 D ．不确定[答案] B[解析] 当a ＝0时，直线y ＝0显然与该圆相交；当a ≠0时，圆心(0,0)到直线ax －y ＋2a ＝0距离d ＝2|a |a 2＋1＜2|a |a2＝2＜3(半径)，也与该圆相交． 2．设直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切于点M (12，32)，则l 的斜率是( )A ．1B ．12C ．－33D ．－ 3[答案] C[解析] 设圆心为C ，∵k CM ＝3，CM ⊥l ， ∴l 的斜率k ＝－33. 3．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0 B ．x 2＋y 2＋4x ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0 D ．x 2＋y 2－4x ＝0[答案] D[解析] 设圆心为(a,0)(a ＞0)，则|3a ＋4|5＝2，即a ＝2，∴圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4.4．圆心坐标为(2，－1)的圆在直线x －y －1＝0上截得的弦长为22，那么这个圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝16[答案] A[解析] d ＝|2＋1－1|1＋1＝2，r ＝2＋2＝2，∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.5．已知直线x ＋7y ＝10把圆x 2＋y 2＝4分成两段弧，这两段弧长之差的绝对值等于( ) A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π[答案] D[解析] 圆x 2＋y 2＝4的圆心为O (0,0)，半径r ＝2，设直线x ＋7y ＝10与圆x 2＋y 2＝4交于M ，N 两点，则圆心O 到直线x ＋7y ＝10的距离d ＝|－10|1＋49＝2，过点O 作OP ⊥MN 于P ，则|MN |＝2r 2－d 2＝2 2.在△MNO 中，|OM |2＋|ON |2＝2r 2＝8＝|MN |2，则∠MON ＝90°，这两段弧长之差的绝对值等于⎪⎪⎪⎪⎪⎪360－90×π×2180－90×π×2180＝2π. 6．圆(x －3)2＋(y －3)2＝9上到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1的点有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] C[解析] 圆心(3,3)到直线3x ＋4y －11＝0的距离，d ＝|3×3＋4×3－11|5＝2，又r ＝3，故有三个点到直线3x ＋4y －11＝0的距离等于1. 二、填空题 7．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为_________. [答案] 2 2[分析] 先判断最短弦的位置，然后构造由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形进行求解．[解析] 最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心距d ＝3－22＋1－22，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.8．过直线x ＋y －22＝0上点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P 的坐标是_________.[答案] (2，2)[解析] 本题主要考查数形结合的思想，设P (x ，y )，则由已知可得PO (O 为原点)与切线的夹角为30°，由|PO |＝2，由⎩⎨⎧x 2＋y 2＝4x ＋y ＝22可得⎩⎨⎧x ＝2y ＝2.三、解答题9．已知一个圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上，且在直线l 2：x －y ＝0上截得的弦长为27，求圆C 的方程．[分析] 设出圆心坐标，利用几何性质列方程求出圆心坐标，再求出半径即可． [解析] ∵圆心C 在直线l 1：x －3y ＝0上， ∴可设圆心为C (3t ，t )．又∵圆C 与y 轴相切，∴圆的半径为r ＝|3t |.再由弦心距、半径、弦长的一半组成的直角三角形可得(|3t －t |2)2＋(7)2＝|3t |2.解得t ＝±1.∴圆心为(3,1)或(－3，－1)，半径为3.故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．[解析] 设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP k OQ ＝－1，即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.① 又(x 1，y 1)、(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③∵P 、Q 是在直线x ＋2y －3＝0上， ∴y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125. ④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ>0成立， ∴m ＝3.能力提升一、选择题1．过点(2,1)的直线中，被圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0截得的弦最长的直线的方程是( ) A ．3x －y －5＝0 B ．3x ＋y －7＝0 C ．3x －y －1＝0 D ．3x ＋y －5＝0[答案] A[解析] x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0的圆心为(1，－2)，截得弦最长的直线必过点(2,1)和圆心(1，－2)∴直线方程为3x －y －5＝0，故选A ．2．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．(－3，3)B ．[－3，3]C ．(－33，33) D ．[－33，33] [答案] D[解析] 解法1：如图，BC ＝1，AC ＝2，∴∠BAC ＝30°， ∴－33≤k ≤33. 解法2：设直线l 方程为y ＝k (x －4)，则由题意知， |2k －0－4k |1＋k2≤1，∴－33≤k ≤33. 解法3：过A (4,0)的直线l 可设为x ＝my ＋4，代入(x －2)2＋y 2＝1中得： (m 2＋1)y 2＋4my ＋3＝0，由Δ＝16m 2－12(m 2＋1)＝4m 2－12≥0得m ≤－3或m ≥ 3.∴l 的斜率k ＝1m ∈[－33，0)∪(0，33]，特别地，当k ＝0时，显然有公共点，∴k ∈[－33，33]． 3．过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交于y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝( )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10[答案] C[解析] 由已知得k AB ＝3－21－4＝－13，k CB ＝2＋74－1＝－3，所以k AB k CB ＝－1，所以AB ⊥CB ，即△ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1，－2)，半径为5，所以外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0，得y ＝±26－2，所以|MN |＝46，故选C ．4．设圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2(r >0)上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则圆半径r 的取值范围是( )A ．3<r <5B ．4<r <6C ．r >4D ．r >5[答案] B[解析] 圆心C (3，－5)，半径为r ，圆心C 到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|12＋15－2|42＋－32＝5，由于圆C 上有且仅有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则d－1<r <d ＋1，所以4<r <6.二、填空题 5．设直线l 截圆x 2＋y 2－2y ＝0所得弦AB 的中点为(－12，32)，则直线l 的方程为_________；|AB |＝_________.[答案] x －y ＋2＝02[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＋y 21－2y 1＝0，x 22＋y 22－2y 2＝0，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)－2(y 1－y 2)＝0，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝1.故l 的方程为y －32＝1·(x ＋12)，即x －y ＋2＝0.又圆心为(0,1)，半径r ＝1，故|AB |＝ 2. 6．若圆C 经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y ＝1相切，则圆C 的方程是_________. [答案] (x －2)2＋(y ＋32)2＝254[分析] 由已知设出圆C 的方程，与直线的方程联立，利用△＝0即可求解． [解析] 因为圆过原点，所以可设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＝0.因为圆过点(4,0)，将点(4,0)代入圆的方程得D ＝－4，即圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋Ey ＝0.又圆与直线y ＝1相切，将其代入圆的方程得x 2＋1－4x ＋E ＝0，又方程只有一个解，所以Δ＝42－4(1＋E )＝0，解得E ＝3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－4x ＋3y ＝0，即(x －2)2＋(y ＋32)2＝254.三、解答题7．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0. (1)求圆心C 的坐标及半径r 的大小；(2)已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴、y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；(3)从圆外一点P (x ，y )向圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且|MP |＝|OP |，求点P 的轨迹方程．[解析] (1)圆心C 的坐标为(－1,2)，半径为 2. (2)∵直线l 在两坐标轴上的截距相等且不为零， ∴设直线l 方程为x ＋y ＝a ， ∴|－1＋2－a |2＝2， ∴a ＝－1或a ＝3.∴所求直线l 的方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋y －3＝0. (3)连接CM ，则切线PM 与CM 垂直，连接PC ， ∴|PM |2＝|PC |2－|CM |2， 又|PM |＝|OP |，∴(x ＋1)2＋(y －2)2－2＝x 2＋y 2， 即2x －4y ＋3＝0，∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋3＝0.8．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)作直线l 与圆C 交于A ，B 两点，若|AB |＝17，求直线l 的倾斜角．[解析] (1)方法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y －12＝5，mx －y ＋1－m ＝0消去y 并整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m2－5＝0.∵Δ＝(－2m 2)2－4(m 2＋1)(m 2－5)＝16m 2＋20＞0，对于一切m ∈R 恒成立，∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点． 方法二：l 的方程可变形为y －1＝m (x －1)，故直线恒过定点P (1,1)．因为|PC |2＝12＋(1－1)2＜5，所以P (1,1)在圆C 内，所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点．方法三：圆C 的圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋－12，∴d 2－5＝－4m 2－5m 2＋1＜0.即圆心到直线l 的距离小于圆的半径，所以直线l 和圆C 必有两个不同的交点．(2)圆C 的半径为r ＝5，所以圆心到直线l 的距离为d ＝r 2－|AB |22＝32. 由点到直线的距离公式，得|－m |m 2＋－12＝32， 解方程，得m ＝± 3.∴直线l 的倾斜角为π3或23π.。
高一数学基础训练题
高一数学基础训练题一、选择题：1．已知集合{}c b a A ,,=，集合{}1,0=B 。
映射)()()(:c f b f a f B A f =⋅→满足.那么这样的映射B A f →:有（ ）个. A 、0 B 、2 C 、3 D 、42．设的大小关系是、、，则，，c b a c b a 243.03.03log 4log -=== A.a <b <c B.a <c <b C.c <b <a D ．b <a <c 3．指数函数y ＝f(x)的反函数的图象过点(2，－1)，则此指数函数为A ．x y )21(=B ．x y 2=C ．x y 3=D ．x y 10=4．已知函数，，，且、、，00)(32213213>+>+∈--=x x x x R x x x x x x f 13x x +>0，则)()()(321x f x f x f ++的值A ．一定大于零 B ．一定小于零 C ．等于零D ．正负都有可能 5．若函数1log )(+=x x f a 在区间(－1，0)上有)(0)(x f x f ，则>的递增区间是A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(－1，＋∞)6．已知b a b a 、，则2log 2log 0<<的关系是A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．b >a >1D ．a >b >17．若函数432--=x x y 的定义域为[0 , m]，值域为]4,425[--，则m 的取值范围是（ ）A 、(0 , 4]B 、]4,23[C 、]3,23[D 、),23[+∞8．如果不等式x x m log 2-<0,在(0,21)内恒成立,那么实数m 的取值范围是（ ）A 、1161≠>m m 且 B 、1610<<m C 、410<<m D 、1161<≤m 9．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝(13)x ，那么f －1(－9)的值为A ．2B ．－2C ．3D ．－310．若x ≥0, y ≥0, 且x ＋2y ＝1, 则2x ＋3y 2的最小值为 ( )A. 2B. 43 C.32 D. 011．函数1log )(log 221212+-=x x y 的单调递增区间是（ ）(A)⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,284 (B)⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 (C)⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0 (D) ⎥⎦⎤ ⎝⎛22,4112．若关于x 的方程043).4(9=+++x x a 有解,则实数a 的取值范围是（ ）A 、(-∞,-8)B 、(8,-∞-]C 、[),8+∞-D 、),(+∞-∞二、填空题：13．)2log (2)9(log )(91-==-f f x x f a ，则满足函数的值是__________________．14．使函数542+-=x x y 具有反函数的一个条件是____________________________．15．设函数)(x f y =的图象与x y 2=的图象关于直线0=-y x 对称，则函数)6(2x x f y -=的递增区间为 。
2021-2022学年人教A版高中数学必修二(浙江专版)学案：4.1圆的方程 Word版含答案
4.1 圆的方程4．1.1 圆的标准方程1．确定圆的几何要素有哪些？2．圆的标准方程是什么？3．点与圆的位置关系有哪几种？怎样去推断？[新知初探]1．圆的标准方程(1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．(3)圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．2．点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则位置关系推断方法几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2点在圆内│MA│<r⇔点M在圆A内点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2点在圆外│MA│>r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2[小试身手]1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2肯定表示圆( )(2)若圆的标准方程为(x＋m)2＋(y＋n)2＝a2(a≠0)，此圆的半径肯定是a( )答案：(1)×(2)×2．点P(m,5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )A．在圆外 B．在圆内C．在圆上 D．不确定解析：选A ∵m2＋25＞24，∴点P在圆外．3．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的方程是________________．解析：圆心是(－2,0)，半径是2，所以圆的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝4预习课本P118～120，思考并完成以下问题求圆的标准方程[典例] 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的方程． [解] [法一 待定系数法]设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝r 2，a －12＋b －12＝r 2，2a ＋3b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－3，r ＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. [法二 几何法]由题意知OP 是圆的弦，其垂直平分线为x ＋y －1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心，∴由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋1＝0，x ＋y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3，即圆心坐标为(4，－3)，半径r ＝42＋－32＝5.∴圆的标准方程是(x －4)2＋(y ＋3)2＝25.确定圆的标准方程就是设法确定圆心C (a ，b )及半径r ，其求解的方法：一是待定系数法，如法一，建立关于a ，b ，r 的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．[活学活用]已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程． 解：法一：设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由于A (0,5)，B (1，－2)，C (－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程， 于是有⎩⎪⎨⎪⎧0－a 2＋5－b 2＝r 2，1－a 2＋－2－b 2＝r 2，－3－a 2＋－4－b 2＝r 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝1，r ＝5.故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.法二：由于A (0,5)，B (1，－2)，所以线段AB 的中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，直线AB 的斜率k AB ＝－2－51－0＝－7，因此线段AB 的垂直平分线的方程是y －32＝17⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x －7y ＋10＝0.同理可得线段BC 的垂直平分线的方程是2x ＋y ＋5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －7y ＋10＝0，2x ＋y ＋5＝0得圆心的坐标为(－3,1)，又圆的半径长r ＝－3－02＋1－52＝5，故所求圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y －1)2＝25.点与圆的位置关系[典例] 已知圆C 的圆心为C (－3，－4)，且过原点O ，求圆C 的标准方程，并推断点M 1(－1,0)，M 2(1，－1)，M 3(3，－4)与圆C 的位置关系．[解] 由于圆C 过原点O ，圆心为C (－3，－4) ，所以圆C 的半径长r ＝|OC |＝－3－02＋－4－02＝5，因此圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝25.由于(－1＋3)2＋(0＋4)2＝20＜25，所以点M 1(－1,0)在圆C 内；由于(1＋3)2＋(－1＋4)2＝25，所以点M 2(1，－1)在圆C 上；由于(3＋3)2＋(－4＋4)2＝36＞25，所以点M 3(3，－4)在圆C 外．推断点与圆的位置关系的方法(1)确定圆的方程：化为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)将点的坐标代入代数式(x －a )2＋(y －b )2，比较代数式的值与r 2的大小关系．(3)下结论：若(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，表示点在圆上；若(x －a )2＋(y －b )2＞r 2，表示点在圆外；若(x －a )2＋(y －b )2＜r 2，表示点在圆内．此外，也可以利用点与圆心的距离d 与半径r 的大小关系来推断．当d ＞r 时，点在圆外；当d ＝r 时，点在圆上；当d <r 时，点在圆内．[活学活用]已知M (2,0)，N (10,0)，P (11,3)，Q (6,1)四点，试推断它们是否共圆，并说明理由． 解：设M ，N ，P 三点确定的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a 2＋b 2＝r 2，10－a 2＋b 2＝r 2，11－a 2＋3－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝3，r 2＝25.∴过点M ，N ，P 的圆的方程为(x －6)2＋(y －3)2＝25.将点Q 的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25， ∴点Q 不在圆(x －6)2＋(y －3)2＝25上， ∴M ，N ，P ，Q 四点不共圆.与圆有关的最值问题[典例] 已知实数x ，y 满足方程(x －2)2＋y 2＝3.求y x的最大值和最小值．[解] 原方程表示以点(2,0)为圆心，以3为半径的圆，设yx＝k ，即y ＝kx ，当直线y ＝kx 与圆相切时，斜率k 取最大值和最小值，此时|2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝± 3.故yx的最大值为3，最小值为－ 3. [一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求y －x 的最大值和最小值． 解：设y －x ＝b ，即y ＝x ＋b ，当y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值和最小值，此时|2－0＋b |2＝3，即b ＝－2± 6.故y －x 的最大值为－2＋6， 最小值为－2－ 6.2．[变设问]在本例条件下，求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何学问知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x 2＋y 2)max ＝(2＋3)2＝7＋43，(x 2＋y 2)min ＝(2－3)2＝7－4 3.与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： (1)形如u ＝y －bx －a形式的最值问题，可转化为过点(x ，y )和(a ，b )的动直线斜率的最值 问题． (2)形如l ＝ax ＋by 形式的最值问题，可转化为动直线y ＝－ab x ＋l b截距的最值问题．(3)形如(x －a )2＋(y －b )2形式的最值问题，可转化为动点(x ，y )到定点(a ，b )的距离的平方的最值问题．层级一 学业水平达标1．方程|x |－1＝1－y －12所表示的曲线是( )A ．一个圆B ．两个圆C ．半个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧|x |－12＋y －12＝1，|x |－1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －12＝1，x ≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＋y －12＝1，x ≤－1，故原方程表示两个半圆．2．若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13 B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13 C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52 D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52解析：选A 直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为213，则半径长为13，所以所求圆的方程是(x －2)2＋(y ＋3)2＝13.3．已知点A (－4，－5)，B (6，－1)，则以线段AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝29 B ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝29 C ．(x ＋1)2＋(y －3)2＝116 D ．(x －1)2＋(y ＋3)2＝116解析：选B 圆心为线段AB 的中点(1，－3)，半径为|AB |2＝126＋42＋－1＋52＝29，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝29.故选B.4．已知直线l 过圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y －3＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选D 圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)．由于直线l 与直线x ＋y ＋1＝0垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l 的方程是y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.故选D.5．若实数x ，y 满足(x ＋5)2＋(y －12)2＝142，则x 2＋y 2的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3D. 2解析：选B x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知最小值为14－52＋122＝1.6．若点P (－1，3)在圆x 2＋y 2＝m 2上，则实数m ＝________. 解析：∵P 点在圆x 2＋y 2＝m 2上， ∴(－1)2＋(3)2＝4＝m 2， ∴m ＝±2. 答案：±27．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝2－02＋4－02＝25，故圆的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝20.答案：(x －2)2＋(y －4)2＝208．与圆(x －2)2＋(y ＋3)2＝16同圆心且过点P (－1,1)的圆的方程为________________． 解析：由于已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又r ＝2＋12＋－3－12＝5，所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.答案：(x －2)2＋(y ＋3)2＝259．求圆心在x 轴上，且过A (1,4)，B (2，－3)两点的圆的方程． 解：设圆心为(a,0)， 则a －12＋16＝a －22＋9，所以a ＝－2.半径r ＝a －12＋16＝5，故所求圆的方程为(x ＋2)2＋y 2＝25.10．求过点A (－1,3)，B (4,2)，且在x 轴，y 轴上的四个截距之和是4的圆的标准方程．解：设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.把点A ，B 的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－1－a 2＋3－b 2＝r 2，4－a2＋2－b2＝r 2.消去r 2，得b ＝5a －5.①令x ＝0，则(y －b )2＝r 2－a 2，y ＝b ±r 2－a 2， ∴在y 轴上的截距之和是2b .令y ＝0，则(x －a )2＝r 2－b 2，x ＝a ±r 2－b 2， ∴在x 轴上的截距之和是2a .∴2a ＋2b ＝4，即a ＋b ＝2.② ①代入②，得a ＝76，∴b ＝56.∴r 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－562＝16918.∴圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －762＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －562＝16918.层级二 应试力量达标1．点P (a,10)与圆(x －1)2＋(y －1)2＝2的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．不确定解析：选C ∵(a －1)2＋(10－1)2＝81＋(a －1)2>2，∴点P 在圆外．2．若直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D 由题意，知(－a ，－b )为圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心．由直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，得到a ＜0，b ＞0，即－a ＞0，－b ＜0，故圆心位于第四象限．3．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选B 画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6.由于圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.4．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y ＋1)2＝1D ．x 2＋(y －1)2＝1解析：选C 由已知圆(x －1)2＋y 2＝1得圆心C 1(1,0)，半径长r 1＝1.设圆心C 1(1,0)关于直线y ＝－x 对称的点为(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ba －1·－1＝－1，－a ＋12＝b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.所以圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.5．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是________________． 解析：圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.答案：(x －2)2＋(y ＋1)2＝16．已知圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，则点M (2,3)到圆上的点的距离的最大值为________． 解析：由题意，知点M 在圆O 内，MO 的延长线与圆O 的交点到点M (2,3)的距离最大，最大距离为2－32＋3－42＋5＝5＋ 2.答案：5＋ 27．已知圆C 的圆心为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2)． (1)求圆C 的标准方程．(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？求出此时圆C 的标准方程． 解：(1)设圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∵圆C 过定点P (4,2)，∴(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)． ∴r 2＝2x 20－12x 0＋20.∴圆C 的标准方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20. (2)∵(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20＝2(x 0－3)2＋2， ∴当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小． 此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.8．已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，直线l ：14x ＋8y －31＝0，求圆C 1关于直线l 对称的圆C 2的方程． 解：设圆C 2的圆心坐标为(m ，n )．由于直线l 的斜率k ＝－74，圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4的圆心坐标为(－3,1)，半径r ＝2，所以，由对称性知⎩⎪⎨⎪⎧n －1m ＋3＝47，14×－3＋m 2＋8×1＋n2－31＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝5.所以圆C 2的方程为(x －4)2＋(y －5)2＝4.4．1.2 圆的一般方程1．圆的一般方程是什么？有什么特点？2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的条件是什么？3．已知圆的一般方程怎样去求圆心坐标和圆的半径？4．圆的标准方程与一般方程怎样相互转化？[新知初探] 圆的一般方程1．圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程． 2．圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径长为12 D 2＋E 2－4F .[点睛] 圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(其中D ，E ，F 为常数)具有以下特点：(1)x 2，y 2项的系数均为1；(2)没有xy 项； (3)D 2＋E 2－4F ＞0. [小试身手]1．推断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程x 2＋y 2＋x ＋1＝0表示圆( )(2)方程2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)表示圆( ) 答案：(1)× (2)√2．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)预习课本P121～123，思考并完成以下问题解析：选D 圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－42，－62，即(2，－3)．3．若方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则a 的取值范围是________________．解析：若方程x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋a ＝0表示圆，则2a 2－4a ＞0，∴a 2－2a ＞0，∴a ＜0或a ＞2. 答案：(－∞，0)∪(2，＋∞)圆的一般方程的辨析[典例] 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求： (1)实数m 的取值范围； (2)圆心坐标和半径． [解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15，故m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15.(2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .推断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D 2＋E 2－4F 是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．[活学活用]1．若方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的取值范围是________．解析：法一：方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0，即为(x ＋a )2＋(y ＋a )2＝1－a ，它表示圆，需满足1－a ＞0，故a ＜1.法二：要使方程x 2＋y 2＋2ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，需满足(2a )2＋(2a )2－4(2a 2＋a －1)＞0，解得a ＜1.答案：(－∞，1)2．已知曲线C ：x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0.求证：当m ≠2时，曲线C 是一个圆，且圆心在一条直线上． 证明：∵D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20， ∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2. 又m ≠2，∴(m －2)2＞0，∴D 2＋E 2＋4F ＞0，即曲线C 是一个圆．设圆心坐标为(x ，y )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m ，y ＝－m 消去m ，得x ＋2y ＝0，即圆心在直线x ＋2y ＝0上.求圆的一般方程 [典例] 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程． [解] [法一 待定系数法]设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0， ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， ③由已知|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的两根． ∴(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.联立①②④解得，⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故所求方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. [法二 几何法]由题意得线段PQ 的中垂线方程为x －y －1＝0.∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上，设其坐标为(a ，a －1)． 又圆C 的半径长r ＝|CP |＝a －42＋a ＋12. ①由已知圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |. ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4322，代入①并将两端平方得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5，∴r 1＝13，r 2＝37. 故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.利用待定系数法求圆的方程的解题策略(1)假如由已知条件简洁求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般接受圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)假如已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般接受圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .[活学活用]求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程． 解：设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2.∵圆心在直线2x －y －3＝0上， ∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－E 2－3＝0.① 又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上， ∴52＋22＋5D ＋2E ＋F ＝0. ② 32＋(－2)2＋3D －2E ＋F ＝0. ③解①②③组成的方程组，得D ＝－4，E ＝－2，F ＝－5. ∴所求圆的一般方程为x 2＋y 2－4x －2y －5＝0.代入法求轨迹方程[典例] 已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上． (1)求圆C 的方程；(2)线段PQ 的端点P 的坐标是(5,0)，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹 方程． [解] (1)设点D 为线段AB 的中点，直线m 为线段AB 的垂直平分线，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12.又k AB ＝－3，所以k m ＝13，所以直线m 的方程为x －3y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0得圆心C (－3，－2)， 则半径r ＝|CA |＝－3－12＋－2－12＝5， 所以圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25. (2)设点M (x ，y )，Q (x 0，y 0)． 由于点P 的坐标为(5,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋52，y ＝y 0＋02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －5，y 0＝2y .又点Q (x 0，y 0)在圆C ：(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25上运动， 所以(x 0＋3)2＋(y 0＋2)2＝25， 即(2x －5＋3)2＋(2y ＋2)2＝25. 整理得(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.即所求线段PQ 的中点M 的轨迹方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝254.用代入法求轨迹方程的一般步骤[活学活用]已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程． 解：以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2＋x2＝x 0，0＋y 2＝y 0.①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ② 将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36. ∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．层级一 学业水平达标1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(2，－3)D ．(－2，－3)解析：选C 将x 2＋y 2－4x ＋6y ＋3＝0配方，得(x －2)2＋(y ＋3)2＝10，故圆心坐标为(2，－3)．故选C. 2．将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0平分的直线是( ) A ．x ＋y －1＝0 B ．x ＋y ＋3＝0 C ．x －y ＋1＝0D ．x －y ＋3＝0解析：选C 要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A 、B 、C 、D 四个选项中，只有C 选项中的直线经过圆心，故选C.3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b )D ．点(－a ，－b )解析：选D 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴表示点(－a ，－b )．4．假如方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)所表示的曲线关于直线y ＝x 对称，则必有( ) A ．D ＝E B ．D ＝F C ．E ＝FD ．D ＝E ＝F解析：选A 由D 2＋E 2－4F ＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2在直线y ＝x 上，故D ＝E .5．当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0 B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0 C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0解析：选C 直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0可化为(－x －y ＋1)＋a (1＋x )＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＋1＝0，x ＋1＝0得C (－1,2)．∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5， 即x 2＋y 2＋2x －4y ＝0.6．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程是________． 解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点， 圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)， 则|PA |2＋1＝|PB |2， ∴(x －1)2＋y 2＝2. 答案：(x －1)2＋y 2＝27．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，AB 为圆C 的一条直径，点A (0,1)，则点B 的坐标为________．解析：由x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0得，(x －1)2＋(y ＋1)2＝5，所以圆心C (1，－1)．设B (x 0，y 0)，又A (0,1)，由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋0＝2，y 0＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2，y 0＝－3，所以点B 的坐标为(2，－3)．答案：(2，－3)8．圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.解析：圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－－22，－－42，即(1,2)，故圆心到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42＝155＝3. 答案：39．当实数m 的值为多少时，关于x ，y 的方程(2m 2＋m －1)．x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆？解：要使方程(2m 2＋m －1)x 2＋(m 2－m ＋2)y 2＋m ＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m 2＋m －1＝m 2－m ＋2，得m 2＋2m －3＝0，所以m ＝－3或m ＝1.①当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝－32，不合题意，舍去；②当m ＝－3时，方程为14x 2＋14y 2＝1，即x 2＋y 2＝114，表示以原点为圆心，以1414为半径的圆．综上，m ＝－3时满足题意．10．点A (2,0)是圆x 2＋y 2＝4上的定点，点B (1,1)是圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 的中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 的中点的轨迹方程． 解：(1)设线段AP 的中点为M (x ，y )， 由中点公式得点P 坐标为P (2x －2,2y )．∵点P 在圆x 2＋y 2＝4上，∴(2x －2)2＋(2y )2＝4， 故线段AP 的中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设线段PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， ∴|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， ∴x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4，故线段PQ 的中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 层级二 应试力量达标1．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆． 2．若圆C ：x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0过坐标原点，则实数m 的值为( ) A ．2或1 B ．－2或－1 C ．2D ．1解析：选C ∵x 2＋y 2－2(m －1)x ＋2(m －1)y ＋2m 2－6m ＋4＝0表示圆，∴[－2(m －1)]2＋[2(m －1)]2－4(2m 2－6m ＋4)＞0，∴m ＞1.又圆C 过原点，∴2m 2－6m ＋4＝0，∴m ＝2或m ＝1(舍去)，∴m ＝2.3．已知动点M 到点(8,0)的距离等于点M 到点(2,0)的距离的2倍，那么点M 的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝32 B ．x 2＋y 2＝16 C ．(x －1)2＋y 2＝16D ．x 2＋(y －1)2＝16解析：选B 设M (x ，y )，则M 满足x －82＋y 2＝2x －22＋y 2，整理得x 2＋y 2＝16.4．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：选C ∵圆心(－1，－2)，r ＝124＋16＋12＝22，∴圆心到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝22＝ 2.∴共有3个点．5．已知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________． 解析：由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a ＜5，由此，得a －b ＜1.答案：(－∞，1)6．假如圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．解析：∵r ＝12 k 2＋4－4k 2＝12 4－3k 2，∴当k ＝0时，r 最大，此时圆的面积最大，圆的方程可化为x2＋y 2＋2y ＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)．答案：(0，－1)7．设定点M (－3,4)，动点N 在圆x 2＋y 2＝4上运动，以OM ，ON 为两边作平行四边形MONP ，求点P 的轨迹．解：如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2，线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线相互平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42，从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4.又点N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4. 当点P 在直线OM 上时，有x ＝－95，y ＝125或x ＝－215，y ＝285.因此所求轨迹为圆(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，除去点⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，125和点⎝ ⎛⎭⎪⎫－215，285.8．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在其次象限，半径长为2，求圆的一般方程．解：圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，∵圆心在直线x ＋y －1＝0上，∴－D 2－E2－1＝0，即D ＋E ＝－2.①又∵半径长r ＝D 2＋E 2－122＝2，∴D 2＋E 2＝20.②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2.又∵圆心在其次象限，∴－D2＜0，即D ＞0. 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4.故圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.。
2021_2022年高中数学第四章圆的方程2
直线与圆的位置关系一、选择题1．若直线ax ＋by ＝1与圆C ：x 2＋y 2＝1相交，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是( )A ．P 在圆内B ．P 在圆外C ．P 在圆上D ．不确定 解析：选B ∵直线ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交，∴圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1， ∴a 2＋b 2＞1. 2．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x 2＋y 2－4y ＝0所截得的弦长为( )A. 3B ．2 C. 6 D ．2 3解析：选D 直线的方程为y ＝3x ，圆的标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心(0,2)到直线的距离d ＝|3×0－2|32＋－12＝1，知所求弦长为d ＝222－12＝23，故选D. 3．若过点A (4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3，3]B ．(－3，3) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析：选C 设直线为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，圆心(2,0)到直线的距离d ＝|2k －4k |1＋k 2＝|2k |1＋k 2，d 应满足d ≤r ， 即|2k |1＋k 2≤1，解得k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33. 4．由直线y ＝x ＋1上的点向圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．2 2 C.7 D ．3解析：选C 圆C 的方程可变为：(x －3)2＋y 2＝1，圆心C (3,0)，半径为1.直线y ＝x＋1上点P (x 0，y 0)到圆心C 的距离|PC |与切线长d 满足d ＝|PC |2－12＝x 0－32＋y 20－12 ＝2x 20－4x 0＋9＝2x 0－12＋7≥7.5．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆过点P (3,5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．10 6B ．20 6C ．30 6D ．40 6解析：选B 如下图所示，设圆的圆心为M ，则M (3,4)，半径r ＝5.当过点P 的直线过圆心M 时，对应的弦AC 是最长的，此时，|AC |＝2r ＝10；当过点P 的直线与MP 垂直时，对应的弦BD 最小，此时在Rt △MPD 中，|MD |＝r ＝5，|MP |＝1，故|BD |＝2|MD |2－|MP |2＝4 6.此时四边形ABCD 的面积为： S ＝12|AC |·|BD |＝206，故选B.二、填空题6．过点P (－1,6)且与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4相切的直线方程是____________________．解析：当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y －6＝k (x ＋1)，则d ＝|2－6－k －3＋1|1＋k 2＝2， 解得k ＝34，此时，直线方程为：4y －3x －27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x ＝－1，验证可知符合题意．答案：4y －3x －27＝0或x ＝－17．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为____________________．解析：令y ＝0得x ＝－1，所以直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点为(－1,0)．因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r ＝|－1＋0＋3|2＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.答案：(x ＋1)2＋y 2＝28．已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为____________．解析：由题意，设所求的直线方程为x ＋y ＋m ＝0，设圆心坐标为(a,0)，则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a －1|22＋2＝(a －1)2，解得a ＝3，或a ＝－1，又因为圆心在x 轴的正半轴上，所以a ＝3，故圆心坐标为(3,0)，因为圆心(3,0)在所求的直线上，所以有3＋0＋m ＝0，即m ＝－3，故所求的直线方程为x ＋y －3＝0.答案：x ＋y －3＝0三、解答题9．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，过点P (2，－1)作圆C 的切线，切点为A ，B .(1)求直线PA ，PB 的方程；(2)过P 点的圆C 的切线长．解：(1)切线的斜率存在，设切线方程为 y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.圆心到直线的距离等于2，即|－k －3|k 2＋1＝2， ∴k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，故所求的切线方程为y ＋1＝7(x －2)或y ＋1＝－(x －2)，即7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0.(2)在Rt △PAC 中，PA 2＝PC 2－AC 2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，∴过P 点的圆C 的切线长为2 2.。
圆的标准方程基本达标训练题2021-2022学年高二上学期 人教A版(2019)数学选择性必修第一册
2.4.1圆的标准方程基本达标训练题—2021—2022人教A （2019）选择性必修第一册一、单选题1．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ） A ．221x y += B ．224x y += C ．229x y +=D ．2216x y +=2．已知点()3,2A -，()5,4B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A ．()()2211100x y ++-= B ．()()221125x y -++= C ．()()2211100x y -++=D ．()()221125x y ++-=3．方程y ） A ．一个圆 B ．两条射线 C ．半个圆D ．一条射线4．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是（ ） A ．(-1，0)，3 B ．(1，0)，3C ．()1,0-D ．()1,05．已知圆O 过点()2,1且与x 轴相切于点1,0A ，则圆O 的半径为（ ）A ．2B ．1C ．4D6．圆心为()2,5-，半径为4的圆的标准方程是（ ） A ．()()222516x y ++-= B ．()()222516x y -++= C ．()()22254x y ++-=D ．()()22254x y -++=7．已知直线l 平分圆22(3)4x y +-=，且与直线0x y +=垂直，则直线l 的方程是（） A ．20x y +-= B ．20x y -+= C ．30x y +-=D ．30x y -+=8．圆()2234x y ++=关于原点()0,0对称的圆的方程为（ ） A ．()2234x y +-= B ．()2234x y -+= C ．()2224x y +-=D ．()2224x y -+=二、多选题9．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（ ）A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝410．圆上的点(2,1)关于直线0x y +=的对称点仍在圆上，且圆的半径为5，则圆的方程可能是（ ） A ．225x y += B ．22(1)5x y -+= C ．22(1)5x y ++=D ．22(1)(1)5x y -++=11．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ） A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=12．设有一组圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（ ）． A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上 B ．所有圆k C 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆k C 有且只有一个 D ．所有圆的面积均为4π 三、填空题13．圆()()22:3681C x y -++=关于点()1,2A -中心对称的圆的方程为___________.14．自点A (－1，4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，切点为B ，则AB 的长为________． 15．写出一个与x ，y 轴都相切的圆的标准方程：________．16．AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．四、解答题17．已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．18．已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．19．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积． 20．已知直线与圆相交于点和点．（1）求圆心所在的直线方程； （2）若圆心的半径为1，求圆的方程21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线22y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点Q 的坐标为()0,1，求过A ，B ，Q 三点的圆的面积最小时圆的标准方程．22．如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=，(2,0)M 满足BM MC =，点(1,1)T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC ∆外接圆的方程；答案与提示：一、单选题1．在平面直角坐标系中，圆心在原点半径为3的圆的方程是（ ） A ．221x y += B ．224x y += C ．229x y += D ．2216x y +=【答案】C【解析】：因为圆的圆心在原点半径为3， 所以圆的方程是229x y +=.故选：C.2．已知点()3,2A -，()5,4B -，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ） A ．()()2211100x y ++-= B ．()()221125x y -++= C ．()()2211100x y -++= D ．()()221125x y ++-=【答案】D【解析】法1：以线段AB 为直径的圆的直径式方程为()()()()35240x x y y -+++-=， 整理得到：()()221125x y ++-=， 故选：D.法2：因为圆以AB 为直径，故圆心为AB 的中点()1,1-， 又228610AB =+=，故圆的半径为5，故以线段AB 为直径的圆的方程为：()()221125x y ++-=. 故选：D.3．方程y 236x - ） A ．一个圆B ．两条射线C ．半个圆D ．一条射线【答案】C【解析】由y 2236y x =-，即2236(0)x y y +=≥，∴曲线表示圆x 2＋y 2＝36在x 轴上方的半圆． 故选：C.4．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是（ ） A ．(-1，0)，3 B ．(1，0)，3 C ．()1,0-D ．()1,0【答案】D【解析】根据圆的标准方程可得，22(1)3x y -+=的圆心坐标为(1,0)D.5．已知圆O 过点()2,1且与x 轴相切于点1,0A ，则圆O 的半径为（ ） A ．2 B ．1 C ．4 D【答案】B【解析】设圆心为(),a b ，半径为r ，根据题意可得b r = 所以()()222x a y b b -+-= ，所以()()()()2222222110a b ba b b ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩， 解得1a =，1b =， 所以圆的半径为1.故选：B6．圆心为()2,5-，半径为4的圆的标准方程是（ ） A ．()()222516x y ++-= B ．()()222516x y -++= C ．()()22254x y ++-= D ．()()22254x y -++=【答案】B【解析】由题意可得所求圆的标准方程是()()222516x y -++=. 故选：B7．已知直线l 平分圆22(3)4x y +-=，且与直线0x y +=垂直，则直线l 的方程是（） A ．20x y +-= B ．20x y -+= C ．30x y +-= D ．30x y -+=【答案】D【解析】因为直线l 平分圆22(3)4x y +-=，且与直线0x y +=垂直，所以直线l 过圆心()0,3，斜率为1，即直线l 的方程是30x y -+=．故选：D ．8．圆()2234x y ++=关于原点()0,0对称的圆的方程为（ ）A ．()2234x y +-= B ．()2234x y -+= C ．()2224x y +-= D ．()2224x y -+=【答案】B【解析】由圆的方程知：圆心()3,0-，半径2r，圆心()3,0-关于原点对称的点的坐标为()3,0，则圆()2234x y ++=关于原点()0,0对称的圆的方程为()2234x y -+=.故选：B.二、多选题9．(多选)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则（ ） A ．圆心C 1到直线x －y －1＝0B ．圆心C 1到直线x －y －1＝0C ．圆C 2的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝4D ．圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝4 【答案】AD【解析】根据题意，设圆C 2的圆心为(a ，b )，圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，所以圆心C 1到直线x －y －1＝0的距离d若圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 1与圆C 2的圆心关于直线x －y －1＝0对称，且圆C 2的半径为2，则有11,11110,22b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪--=⎪⎩解得2,2,a b =⎧⎨=-⎩则圆C 2的方程为(x －2)2＋(y＋2)2＝4.故选：AD.10．圆上的点(2,1)关于直线0x y +=能是（ ） A ．225x y += B ．22(1)5x y -+= C ．22(1)5x y ++= D ．22(1)(1)5x y -++=【答案】AD【解析】圆上的点(2,1)A 关于直线0x y +=的对称点仍在这个圆上，∴圆心在直线0x y +=上，设圆心坐标为(,)a a -，则由22(2)(1)5a a -++=，解得0a =或1a =，∴所求圆的方程为22(1)(1)5x y -++=或225x y +=.故选：AD11．已知ABC 的三个顶点的坐标分别为(2)A -，3、()21B --，、(61)C -，，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ） A ．221x y += B ．22165x y +=C ．224x y +=D ．2237x y +=【答案】AD【解析】依题意，直线AC 的方程为163126y x +-=+--，化为一般式方程：240x y +-=，点O 到直线240x y +-=的距离1d ==>， 又直线AB 的方程为2x =-，直线BC 的方程为1y =-， 因此点O 到直线AB 的距离为2，到直线BC 的距离为1，当以原点为圆心的圆与直线BC 相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点； 此时圆的半径为1，所以圆的方程为221x y +=；又OA OB =OC = 由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点(61)C -，，2237x y +=. 故选：AD.12．设有一组圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（ ）．A ．不论k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上B ．所有圆kC 均不经过点(3,0) C ．经过点(2,2)的圆k C 有且只有一个D ．所有圆的面积均为4π 【答案】ABD【解析】圆心坐标为(,)k k ，在直线y x =上，A 正确； 令22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，∵364040∆=-=-<，∴22650k k -+=，无实数根，∴B 正确； 由22(2)()42k k -+=-，化简得2420k k -+=，∵16880∆=-=>，有两不等实根，∴经过点(2,2)的圆k C 有两个，C 错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4π，D 正确． 故选：ABD ． 三、填空题13．圆()()22:3681C x y -++=关于点()1,2A -中心对称的圆的方程为___________.【答案】()()2251081x y ++-=【解析】圆心()3,6C -关于点()1,2A -中心对称点的坐标为()5,10C '-， 故所求圆的方程为()()2251081x y ++-=. 故答案为：()()2251081x y ++-=.14．自点A (－1，4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线，切点为B ，则AB 的长为________． 【答案】3【解析】点A 到圆心C (2，3)＝3.故答案为：3.15．写出一个与x ，y 轴都相切的圆的标准方程：________． 【答案】答案不唯一，例如22(1)(1)1x y -+-= 【解析】：设圆心的坐标为（a ，b ），半径为r ， 因为圆与x ，y 轴都相切 所以只要满足||||r a b ==即可，如令1r a b ===，则圆的标准方程为22(1)(1)1x y -+-=， 故答案为：22(1)(1)1x y -+-=（答案不唯一）16．AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩ 解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-= 故答案为：()()22125x y -+-=四、解答题17．已知圆心为点C (－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P 1(－1，0)，P 2(1，－1)，P 3(3，－4)和圆的位置关系．【解析】因为圆心是 (3,4),C -- 且经过原点， 所以圆的半径 22(30)(40)5r =--+--=, 所以圆的标准方程是 22(3)(4)25.x y +++=因为 221(13)(04)416255PC =-+++=+=<所以 1(1,0)-P 在圆内; 因为 222(13)(14)5P C =++-+=,所以 2()1,1-P 在圆上； 因为 223(33)(44)65PC =++-+=>,所以 3(3,4)P - 在圆外. 18．已知AOB 的三个顶点分别是点()4,0A ，()0,0O ，()0,3B ，求AOB 的外接圆的标准方程．【解析】由题意知，AB 为圆的直径，设圆心为()C a b ，，则AB 中点即为3(2)2C ，，所以半径为2235=(20)(0)22OC -+-=，故外接圆的标准方程为：22325(2)()24x y -+-=. 19．已知圆心为C （4，3）的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；（2）设直线3x ﹣4y +15＝0与圆C 交于A ，B 两点，求△ABC 的面积． 【解析】：（1）圆C 的半径为 22345OC =+=， 从而圆C 的方程为（x ﹣4）2+（y ﹣3）2＝25； （2）作CD ⊥AB 于D ，则CD 平分线段AB ，在直角三角形ADC 中，由点到直线的距离公式，得|CD |＝3， 所以22||4AD AC CD -=，所以|AB |＝2|AD |＝8， 所以△ABC 的面积1122S AB CD ==．20．已知直线与圆相交于点和点．（1）求圆心所在的直线方程； （2）若圆心的半径为1，求圆的方程【解析】（1）PQ 中点M(,) ,,所以线段PQ 的垂直平分线即为圆心C 所在的直线的方程:（2）由条件设圆的方程为:，由圆过P,Q 点得得到关系式求解得到．则()()()()22221-a +01000-a +11b a b b ⎧-==⎧⎪∴⎨⎨=-=⎩⎪⎩ 或11a b =⎧⎨=⎩ 故圆的方程为2222(1)(1)11x y x y 或-+-=+= 21．在平面直角坐标系xOy 中，曲线22y x bx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点Q 的坐标为()0,1，求过A ，B ，Q 三点的圆的面积最小时圆的标准方程．【解析】设()1,0A x ，()2,0B x ，可得1x ，2x 满足220x bx +-=，可得12,0x x ≠， 因为直线BQ 的斜率为21x -，且BQ 的中点坐标为21,22x ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以线段BQ 的垂直平分线方程为22122x y x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 又由12x x b +=-，所以线段AB 的垂直平分线方程为2bx =-，联立方程组222122b x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪⎝⎭⎩，又22220x bx +-=，所以212b x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以过A ，B ，Q 三点的圆的圆心坐标为1,22b ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径222190122b b r +⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0b =时，半径r 最小为32r =，所以面积最小时圆的标准方程为221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．22．如图，已知ABC ∆的边AB 所在直线的方程为360x y --=，(2,0)M 满足BM MC =，点(1,1)T -在AC 边所在直线上且满足0AT AB ⋅=.（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC ∆外接圆的方程；【解析】（1）由0AT AB ⋅=，可得AT AB ⊥，又由T 在AC 上，所以AC AB ⊥，所以ABC 为Rt ABC ，因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，斜率为13AB k =,所以直线AC 的斜率为3AC k =-，又因为点(1,1)T -在直线AB 上，所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+， 即320x y ++=.（2）由（1）AC 边所在直线的方程为320x y ++=， 联立方程组360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，可得(0,2)A -，因为BM MC =，所以(2,0)M 为Rt ABC 斜边上的中点，即为ABC 外接圆的圆心， 又由22||(20)(02)22r AM =-++=所以ABC 外接圆的方程为22(2)8x y -+=.。
2021-2022高中数学人教版必修2作业：4.1.1圆的标准方程(系列三)Word版含解析
圆的标准方程〔45分钟100分〕一、选择题(每题6分,共30分)1.圆C：(x-2)2+(y+1)2=1,那么点C与圆x2+y2=4的位置关系是()A.在圆外B.在圆内C.在圆上D.不确定2.△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,0),B(3,0),C(3,4),那么该三角形外接圆方程是()A.(x-2)2+(y-2)2=20B.(x-2)2+(y-2)2=10C.(x-2)2+(y-2)2=5D.(x-2)2+(y-2)23.圆(x+2)2+y2=5关于原点(0,0)对称的圆的方程为()A.(x-2)2+y2=5B.x2+(y-2)2=5C.(x+2)2+(y+2)2=5D.x2+(y+2)2=54.点P(a,10)与圆(x-1)2+(y-1)2=2的位置关系是()A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.与a的值有关5.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为()A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1二、填空题(每题8分,共24分)6.圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,那么圆C的方程为.7.如果圆(x-m)2+(y-2m)2=r2关于直线x+y-3=0对称,那么圆的圆心坐标为.8.假设实数x,y满足(x+5)2+(y-12)2=196,那么x2+y2的最小值是.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.圆过点A(1,-2),B(-1,4),求(1)周长最小的圆的方程.(2)圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.10.圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)假设点M(6,9)在圆上,求a的值.(2)点P(3,3)和点Q(5,3),线段PQ与圆N有且只有一个公共点(点P,Q不在圆上),求a的取值范围.11.(能力挑战题)三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使A,B,C 三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求这个圆的方程.答案解析1.【解析】选A.因为C(2,-1)且22+(-1)2=5>4,所以点C 在圆外.2.【解析】选C.易知△ABC 是直角三角形,∠ABC=90°,所以圆心是斜边AC 的中点(2,2),半径是斜边长的一半,即,所以外接圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=5.3.【解析】选A.圆(x+2)2+y 2=5的圆心为(-2,0),那么关于(0,0)对称的圆的圆心为(2,0),半径不变.【举一反三】圆(x+2)2+y 2=5关于直线y=x 对称的圆的方程为.【解析】设圆心为(a,b),那么b 0a 2b 122a 2+-==-+，， 所以a 0b 2=⎧⎨=-⎩，，半径不变. 答案：x 2+(y+2)2=54.【解析】选A.把P(a,10)代入(x-1)2+(y-1)2可得(a-1)2+(10-1)2=(a-1)2+81>2,所以点P(a,10)在圆外.5.【解析】选A.设圆心坐标为(0,b),那么由题意知半径解得b=2,故圆的方程为x 2+(y-2)2=1.6.【解析】设圆心坐标为(a,0),=,解得a=2,所以圆心为(2,0),,所以圆C 的方程为(x-2)2+y 2=10.答案：(x-2)2+y 2=107.【解析】圆的圆心为(m,2m),由题意,圆心在直线上,即m+2m-3=0,解得m=1,所以圆心坐标为(1,2).答案：(1,2)8.【解析】表示圆上的点P(x,y)到原点的距离,的最小值即为圆心到原点的距离减去半径的绝对值,的最小值为-14|=1,所以x 2+y 2的最小值为1.答案：19.【解析】(1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小,即AB中点(0,1)为圆心,半径r=12,那么圆的方程为：x2+(y-1)2=10.(2)AB的斜率为k=-3,那么线段AB的垂直平分线的方程是y-1=13x,即x-3y+3=0,由x3y30,2x y40-+=⎧⎨--=⎩，得x3,y2=⎧⎨=⎩，即圆心坐标是C(3,2).=. 所以圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 【一题多解】待定系数法：设圆的方程为：(x-a)2+(y-b)2=r2.那么222222(1a)(2b)r,(1a)(4b)r,2a b40⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪--=⎩，解得2a3,b2,r20⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为：(x-3)2+(y-2)2=20.10.【解析】(1)因为点M在圆上, 所以(6-5)2+(9-6)2=a2,又由a>0,可得.(2)由两点间距离公式可得=因为线段PQ与圆有且只有一个公共点,即P,Q两点一个在圆内,另一个在圆外,由于,所以即a的取值范围是11.【解析】要使A,B,C三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,那么圆的半径是|PA|,|PB|,|PC|中的中间值.由于=5.即|PA|<|PB|<|PC|. 所以圆的半径故所求圆的方程为(x-2)2+(y+1)2=13.。
2021_2022年高中数学第四章圆的方程2
直线与圆的位置关系（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.直线y=x+1与圆x2+y2=1的位置关系为( )A.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离2.已知直线ax-by+c=0(abc≠0)与圆x2+y2=1相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角形( )A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在3.在平面直角坐标系xOy中,直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=4相交于A,B两点,则弦AB的长等于( )A.4.x-y+m=0与圆x2+y2-2x-2=0相切,则实数m等于( )A.-B.-或D.5.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(每小题8分,共24分)6.若直线ax+by=1与☉C：x2+y2=1相交,则点P(a,b)与☉C的位置关系是.7.若圆C经过坐标原点和点(4,0),且与直线y=1相切,则圆C的方程是.8.直线x-2y-3=0与圆(x-2)2+(y+3)2=9交于E,F两点,则△EOF(O为坐标原点)的面积等于.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知圆的方程为x2+y2=4,分别求过下列各点的圆的切线方程.,1).(2)Q(4,0).10.已知,圆C：x2+y2-8y+12=0,直线l：ax+y+2a=0.(1)当a为何值时,直线l与圆C相切.(2)当直线l与圆C相交于A,B两点,且AB=时,求直线l的方程.11.(能力挑战题)已知圆C经过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为半径小于5.(1)求圆C的方程.(2)若直线l∥PQ,且l与圆C交于点A,B,∠AOB=90°,求直线l的方程.答案解析1.【解析】选B.因为圆心(0,0)到直线y=x+1的距离为=<1,所以直线与圆相交,又直线y=x+1不过点(0,0),故选B.2.【解析】选B.因为直线与圆相切,所以=1,所以a2+b2=c2,所以以|a|,|b|,|c|为三边的三角形是直角三角形.3.【解题指南】解决本小题要先利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离,然后利用弦长公式|AB|=.【解析】选B.由圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离为d=1,所以|AB|==4.【解析】选A.圆化为标准方程为(x-1)2+y2=3,=所以m=-5.【解析】选C.圆的圆心(-1,-2),半径R=,而圆心到直线x+y+1=0.圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的点有3个.【举一反三】若把条件改为“圆x2+y2+2x+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为1的点”共有几个?【解析】有4个.因为圆的圆心(-1,-2),半径R=,而圆心到直线x+y+1=0,则直线的两侧各有两个点.6.【解析】22a 0b 01|a b +-+<1,即a 2+b 2>1,从而知P(a,b)在已知圆x 2+y 2=1外. 答案：在圆外7.【解题指南】设出圆的标准方程,得出圆心坐标和半径的关系,再代入已知点.【解析】设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2,因为圆C 经过点(0,0)和点(4,0),所以a=2.又圆与直线y=1相切,可得1-b=r,故圆的方程为(x-2)2+(y-b)2=(1-b)2,将(0,0)代入解得b=32-,r=52,所以圆的方程为(x-2)2+(3y 2+)2=254. 答案：(x-2)2+(3y 2+)2=254 【变式训练】由直线y=x+1上的一点向圆C ：(x-3)2+y 2=1引切线,则切线长的最小值为 .【解析】设过直线y=x+1上的点P 作切线,切圆C 于A,则PA 2=PC 2-1,所以要求切线长的最小值,也就是求PC 的最小值,又(PC)min =,所以(PA)min .8.【解析】圆心O 1(2,-3)到直线l ：x-2y-3=0,则EF==4,O 到l 的距离故S △EOF =12d ·9.【解题指南】先判断点在圆上还是在圆外,再选用恰当的方法求切线方程.【解析】(1)因为)2+12=4, 所以点P 在圆C 上,从而P 是切点.又过圆心O 与点P 的直线斜率k OP =所以切线的斜率k=OP1k -=故所求切线方程为y-1=-,(2)因为42+02>4,所以点Q 在圆外,可设切线方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0.因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,=2,所以k=故所求切线方程为y=即x10.【解析】将圆C 的方程x 2+y 2-8y+12=0配方得标准方程为x 2+(y-4)2=4,则此圆的圆心为(0,4),半径为2.(1)若直线l 与圆C 相切,解得a=34-. (2)过圆心C 作CD ⊥AB, 则根据题意,得2222CD CD DA AC 2,1DA AB 2⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪==⎪⎩得a=-7或-1.所以直线l 的方程是7x-y+14=0和x-y+2=0.11.【解析】(1)设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0, 由已知得24D 2E F 20,D 3E F 10,E 4F 48,⎧-+=-⎪--=⎨⎪-=⎩解得D 2,E 0,F 12=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩或D 10,E 8,F 4.=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩当D 2,E 0,F 12=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩时当D 10,E 8,F 4=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩时>5(舍), 所以所求圆的方程为x 2+y 2-2x-12=0.(2)设l 的方程为x+y+m=0, 由22x y m 0,(x 1)y 13,++=⎧⎨-+=⎩得2x 2+(2m-2)x+m 2-12=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=1-m,x 1x 2=2m 122-.因为∠AOB=90°,所以x 1x 2+y 1y 2=0, 所以x 1x 2+(x 1+m)(x 2+m)=0, 所以m 2+m-12=0,所以m=3或-4(均满足Δ>0),所以l 的方程为x+y+3=0或x+y-4=0.。
2021-2022年高中数学第二章参数方程2.2.2圆的参数方程学案新人教B版
2021-2022年高中数学第二章参数方程2.2.2圆的参数方程学案新人教B版[对应学生用书P28]如图，质点以匀角速度ω做圆周运动，圆心在原点，半径为R ，记t 为时间，运动开始时t ＝0，质点位于点A 处，在时刻t ，质点位于点M (x ，y )处，θ＝ωt ，θ为Ox 轴正向到向径所成的角，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos ωt ，y ＝R sin ωt (t ≥0)，也可写成⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)．若圆心在点M 0(x 0，y 0)处，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ≤2π)．[小问题·大思维]1．方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(0≤θ≤2π)是以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的参数方程，能否直接由圆的普通方程转化得出？提示：以坐标原点为圆心，以R 为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝R 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y R2＝1.令⎩⎪⎨⎪⎧x R ＝cos θ，y R ＝sin θ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ.2．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(0≤θ≤π)表示什么曲线？提示：表示圆心为(0,1)，半径为2的圆的上半部分即半圆(包括端点)．[对应学生用书P29]求圆的参数方程[例1] 点M 在圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r >0)上，O 为原点，x 轴的正半轴绕原点旋转到OM 形成的角为φ.以φ为参数，求圆的参数方程．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法．解答此题需要借助图形分析圆上点M (x ，y )的坐标与φ之间的关系，然后写出参数方程．[精解详析] 如图，设圆心为O ′，连接O ′M .①当M 在x 轴上方时， ∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.②当M 在x 轴下方时， ∠MO ′x ＝2φ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos －2φ，y ＝－r sin－2φ.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.③当M 在x 轴上时， 对应φ＝0或φ＝±π2.综上得圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ，－π2≤φ≤π2.(1)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，因此得到的参数方程也可以有不同的形式，形式不同的参数方程，它们表示的曲线却可以是相同的．另外在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围．(2)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题如果把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ，φ的意义就改变了．1．设y ＝tx (t 为参数)，则圆x 2＋y 2－4y ＝0的参数方程是________． 解析：把y ＝tx 代入x 2＋y 2－4y ＝0， 得x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t 2，∴参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t1＋t 2，y ＝4t21＋t 2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 1＋t 2，y ＝4t21＋t2[例2] (福建高考)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围． [思路点拨] (1)化参数方程为普通方程． (2)利用圆心到直线的距离d ≤4可求．[精解详析] (1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0， 圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16. (2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.解决此类问题的关键是化圆的参数方程为普通方程后再求解．2. 设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹的参数方程． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θcos θ＋sin θ，y 1＝sin θcos θ＋sin θ，0≤θ≤2π，即为所求的参数方程． [例3] 已知点P (x ，y )是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ0≤θ≤2π上的动点．(1)求3x ＋y 的取值范围；(2)若x ＋y ＋a ≥0恒成立，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 本题考查圆的参数方程的求法及不等式的恒成立问题．解决本题需要正确求出圆x 2＋y 2＝2y 的参数方程，然后利用参数方程求解．[精解详析] (1)∵P 在圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ上，∴3x ＋y ＝3cos θ＋sin θ＋1＝2sin(θ＋π3)＋1.∴－2＋1≤3x ＋y ≤2＋1，即3x ＋y 的取值范围为 [－1,3]．(2)x ＋y ＋a ＝cos θ＋sin θ＋1＋a ≥0，∴a ≥－(cos θ＋sin θ)－1.又－(cos θ＋sin θ)－1＝－2sin(θ＋π4)－1≤2－1，∴a ≥2－1，即a 的取值范围为[2－1，＋∞)．(1)解决此类问题的关键是根据圆的参数方程写出点的坐标，并正确确定参数的取值范围．(2)利用圆的参数方程求参数或代数式的取值范围的实质是利用正、余弦函数的有界性．3．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)转化为直角坐标方程是________________，该曲线上的点与定点A (－1，－1)的距离的最小值为________．解析：易得直角坐标方程是(x －1)2＋y 2＝1，所求距离的最小值应为圆心到点A 的距离减去半径，易求得为5－1.答案：(x －1)2＋y 2＝1 5－1[对应学生用书P30]一、选择题 1．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ0≤θ≤2π.则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0)解析：选D 圆的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4. 故圆心坐标为(2,0)．2．若直线2x －y －3＋c ＝0与曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)相切，则实数c等于( )A ．2或－8B ．6或－4C ．－2或8D ．4或－6解析：选C 将曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(0≤θ≤2π)化为普通方程为x 2＋y 2＝5，由直线2x －y －3＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝5相切，可知|－3＋c |5＝5，解得c ＝－2或8.3．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α0≤α≤2π上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)(tan φ＝34，φ为锐角)．∴最大值为36.4．已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ≤2π)和直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋b (t 为参数，b为实数)，若曲线C 上恰有3个点到直线l 的距离等于1，则b ＝( )A. 2 B ．－ 2 C ．0D ．± 2解析：选D 将曲线C 和直线l 的参数方程分别化为普通方程为x 2＋y 2＝4和y ＝x ＋b ，依题意，若要使圆上有3个点到直线l 的距离为1，只要满足圆心到直线的距离为1即可，得到|b |2＝1，解得b ＝± 2.二、填空题5．把圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0化为参数方程为________．解析：圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的标准方程是(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心为(－1,2)，半径为2，故参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(0≤θ≤2π)6．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，则实数a 的取值范围为________．解析：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.∵－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋ 2.答案：[1－2，1＋2]7．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝2sin α(0≤α≤2π)相切，则θ＝________.解析：直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为π6或5π6. 答案：π6或5π68．已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，则圆心的轨迹的参数方程为________．解析：设P (x ，y )为动圆的圆心， 由x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0， 得(x －a cos θ)2＋(y －b sin θ)2＝a 2cos 2θ＋b 2sin 2θ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ三、解答题9．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1. 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(0≤θ≤2π)．10．已知实数x ，y 满足x 2＋(y －1)2＝1，求t ＝x ＋y 的最大值． 解：方程x 2＋(y －1)2＝1表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．∴其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝1＋sin θ.∴t ＝x ＋y ＝cos θ＋sin θ＋1 ＝2sin(θ＋π4)＋1.∴当sin(θ＋π4)＝1时，t max ＝2＋1.11．已知过点M (2，－1)的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－t 2，y ＝－1＋t2(t 为参数)，与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点， 求|AB |及|AM |·|BM |.解：l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2－22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，y ＝－1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2(t 为参数)．令t ′＝t2，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22t ′，y ＝－1＋22t ′(t ′是参数)．其中t ′是点M (2，－1)到直线l 上的一点P (x ，y )的有向线段的数量，代入圆的方程x 2＋y 2＝4，化简得t ′2－32t ′＋1＝0.∵Δ>0，可设t 1′、t 2′是方程的两根，由根与系数关系得t 1′＋t 2′＝32，t 1′t 2′＝1.由参数t ′的几何意义得|MA |＝|t 1′|，|MB |＝|t 2′|，∴|MA |·|MB |＝|t 1′·t 2′|＝1，|AB |＝|t 1′－t 2′|＝t 1′＋t 2′2－4t 1′t 2′＝14.9- '25452 636C 捬x28131 6DE3 淣38400 9600 阀37423 922F 鈯27322 6ABA 檺26876 68FC 棼 28493 6F4D 潍25005 61AD 憭31172 79C4 秄。
2021_2022年高中数学第四章圆的方程2
直线与圆的方程的应用一、教材分析直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用.本小节设置了一些例题,分别说明直线与圆的方程在实际生活中的应用,以及用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程.二、教学目标1．知识与技能（1）理解掌握，直线与圆的方程在实际生活中的应用.（2）会用“数形结合”的数学思想解决问题.2．过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.3．情态与价值观让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的方程的应用，培养学生分析问题与解决问题的能力.三、教学重点与难点教学重点：求圆的应用性问题.教学难点：直线与圆的方程的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）导入新课思路1.如图1,某城市中的高空观览车的高度是100 m,图1在离观览车约150 m处有一建筑物,某人在离建筑物100 m的地方刚好可以看到观览车,你根据上述数据,如何求出该建筑物的高度？要解决这个问题,我们继续研究直线与圆的方程的应用,教师板书课题:直线与圆的方程的应用.思路2.同学们,前面我们学习了圆的方程、直线与圆的位置关系、圆和圆的位置关系,那么如何利用这些关系来解决一些问题,怎样解决?带着这些问题我们学习直线与圆的方程的应用.教师板书课题:直线与圆的方程的应用.（二）推进新课、新知探究、提出问题①你能说出直线与圆的位置关系吗？②解决直线与圆的位置关系,你将采用什么方法？③阅读并思考教科书上的例4,你将选择什么方法解决例4的问题？④你能分析一下确定一个圆的方程的要点吗？⑤你能利用“坐标法”解决例5吗？活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,发散思维.①学生回顾学习的直线与圆的位置关系的种类；②解决直线与圆的位置关系,可以采取两种方法；③首先考虑问题的实际意义,如果本题出在初中,我们没有考虑的余地,只有几何法,在这里当然可以考虑用坐标法,两种方法比较可知哪个简单；④回顾圆的定义可知确定一个圆的方程的条件；⑤利用“坐标法”解决问题的关键是建立适当的坐标系,再利用代数与几何元素的相互转化得到结论.讨论结果：①直线与圆的位置关系有三类:相交、相切、相离.②解决直线与圆的位置关系,将采用代数和几何两种方法,多数情况下采用圆心到直线的距离与半径的关系来解决.③阅读并思考教科书上的例4,先用代数方法及坐标法,再用几何法,作一比较.④你能分析一下确定一个圆的方程的要点,圆心坐标和半径,有时关于D、E、F的三个独立的条件也可.⑤建立适当的坐标系,具体解法我们在例题中展开.（三）应用示例思路1例1 讲解课本4.2节例4,解法一见课本.图2解法二：如图2,过P 2作P 2H ⊥OP.由已知,|OP|=4,|OA|=10.在Rt △AOC 中,有|CA|2=|CO|2+|OA|2设拱圆所在的圆的半径为r,则有r 2=(r-4)2+102. 解得r=14.5.在Rt △CP 2H 中,有|CP 2|2=|CH|2+|P 2H|2.因为|P 2H|=|OA 2|=2,于是有|CH|2=r 2-|OA 2|2=14.52-4=206.25.又|OC|=14.5-4=10.5,于是有|OH|=|CH|-|CO|=25.206-10.5≈14.36-10.5=3.86. 所以支柱A 2P 2的长度约为3.86 cm.点评：通过课本解法我们总结利用坐标法解决几何问题的步骤是：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.把两种解法比较可以看出坐标法通俗易懂,几何法较难想,繁琐,因此解题时要有所选择.变式训练已知圆内接四边形的对角线互相垂直,求证：圆心到一边的距离等于这条边所对边长的一半.图3解:如图3,以四边形ABCD 互相垂直的对角线CA 、DB 所在直线分别为x 轴、y 轴,建立适当的平面直角坐标系,设A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d).过四边形ABCD 的外接圆的圆心O 1分别作AC 、BD 、AD 的垂线,垂足分别为M 、N 、E,则M 、N 、E 分别为线段AC 、BD 、AD 的中点,由线段的中点坐标公式,得1O x =x m =2c a +,1O y =y n =2d b +,x E =2a ,y E =2d.所以|O 1E|=222221)222()222(c bd d b a c a +=-++-+. 又|BC|=22c b +,所以|O 1E|=21|BC|. 点评:用坐标法解决几何问题时,先用坐标和方程表示相应的几何元素、点、直线、圆.将几何问题转化为代数问题,然后通过代数运算解决代数问题,最后解释代数运算结果的几何意义,得到几何问题的结论.例2 有一种大型商品,A 、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是：每单位距离A 地的运费是B 地运费的3倍,已知A 、B 两地相距10 km,居民选择A 或B 地购买这种商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低.求A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动：学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A 地近,且费用低,列方程或不等式.解:以AB 所在直线为x 轴,线段AB 的中点为原点建立直角坐标系,则A(－5,0),B(5,0).设某地P 的坐标为(x,y),且P 地居民选择A 地购买商品的费用较低,并设A 地的运费为3a 元/km,则B 地运费为a 元/km.由于P 地居民购买商品的总费用满足条件：价格+A 地运费≤价格+B 地运费,即3a 22)5(y x ++≤a 22)5(y x +-,整理得(x+425)2+y 2≤(415)2. 所以以点C(-425,0)为圆心,415为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A 地购货费用较低,圆外的居民从B 地购货费用较低,圆上的居民从A 、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从A 、B 两地之一购货.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.思路2例1 求通过直线2x-y+3=0与圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程.活动:学生思考或交流,教师提示引导,求圆的方程无非有两种方法:代数法和几何法. 解法一:利用过两曲线交点的曲线系, 设圆的方程为x 2+y 2+2x-4y+1+λ(2x -y+3)=0, 配方得标准式(x +1+λ)2+(y-2-2λ)2=(1+λ)2+(2+2λ)2-3λ-1,∵r 2=45λ2+λ+4=45(λ+52)2+519,∴当λ=-52时,半径r=519最小.∴所求面积最小的圆的方程为5x 2+5y 2+6x-18y-1=0. 解法二:利用平面几何知识,以直线与圆的交点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)连线为直径的圆符合要求.由⎩⎨⎧=+-++=+-,0142,03222y x y x y x 消去y,得5x 2+6x-2=0. ∴判别式Δ＞0,AB 中点横坐标x 0=221x x +=-53,纵坐标y 0=2x 0+3=59, 即圆心O′(-53,59). 又半径r=21|x 1-x 2|·221+=519,∴所求面积最小的圆的方程是(x+53)2+(y-59)2=519. 点评:要熟练地进行圆的一般式与标准式之间的互化,这里配方法十分重要,方法二用到求弦长的公式|AB|=|x 1-x 2|·21k+;对于圆的弦长,还可以利用勾股定理求得,即|AB|=22d r -,其中r 为圆半径,d 为圆心到弦的距离.变式训练设圆满足①截y 轴所得弦长为2,②被x 轴分成两段弧,弧长之比为3∶1,在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.图4解:关键确定圆心坐标和半径.如图4. 设圆心A(a,b),则半径r=2|b|. 由截y 轴的弦长为2,知a 2+1=r 2=2b 2, 又圆心A 到l 的距离d=51|a-2b|,∴5d 2=a 2+4b 2-4ab≥a 2+4b 2-2(a 2+b 2)=2b 2-a 2=1,当且仅当a=b 时等号成立.这里由⎪⎩⎪⎨⎧==+=,2,1,2222r b r a b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=⎪⎩⎪⎨⎧===.2,1,12,1,1r b a r b a 或∴圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2.例2 已知x,y 是实数,且x 2+y 2-4x-6y+12=0,求(1)xy 的最值;(2)x 2+y 2的最值;(3)x+y 的最值;(4)x-y 的最值.活动：学生思考或交流,教师引导,数形结合,将代数式或方程赋予几何意义. 解:(x-2)2+(y-3)2=1表示以点C(2,3)为圆心,1为半径的圆. (1)xy表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连线的斜率k, 故当y=kx 为圆C 的切线时,k 得最值. ∵21|32|kk +-=1,∴k=2±323.∴x y 的最大值为2+323,最小值为2-323.(2)设x 2+y 2表示圆C 上的点P(x,y)与坐标原点O(0,0)连结的线段长的平方,故由平面几何知识,知当P 为直线OC 与圆C 的两交点P 1、P 2时,OP 12与OP 22分别为OP 2的最大值、最小值.∴x 2+y 2的最大值为(2232++1)2=14+213,最小值为(2232+-1)2=14-213.(3)令x+y=m,当直线l:x+y=m 与圆C 相切时,l 在y 轴上截距m 取得最值.∵2|32|m -+=1,∴m=5±2.∴x+y 的最大值为5+2,最小值为5-2. (4)令x-y=n,当直线l′:x -y=n 与圆C 相切时,l′在y 轴上截距的相反数n 取得最值. ∵2|32|n --=1,∴n=-1±2.∴x-y 的最大值为-1+2,最小值为-1-2.点评:从“数”中认识“形”,从“形”中认识“数”,数形结合相互转化是数学思维的基本方法之一.“数学是一个有机的统一体,它的生命力的一个必要条件是所有的各个部分不可分离地结合.”(希尔伯特)数形结合的思维能力不仅是中学生的数学能力、数学素养的主要标志之一,而且也是学习高等数学和现代数学的基本能力.本题是利用直线和圆的知识求最值的典型题目.例3 已知圆O 的方程为x 2+y 2=9,求过点A(1,2)所作的弦的中点的轨迹.活动：学生回想求轨迹方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,本题可利用平面几何的知识.解法一:参数法(常规方法)设过A 的弦所在的直线方程为y-2=k(x-1)(k 存在时),P(x,y),则⎩⎨⎧-+==+),2(,922k kx y y x 消y,得(1+k 2)x 2+2k(2-k)x+k 2-4k-5=0.∴x 1+x 2=1)2(22+-k k k .利用中点坐标公式及中点在直线上,得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=+-=12,1)2(22k k y k k k x (k 为参数).∴消去k 得P 点的轨迹方程为x 2+y 2-x-2y=0,当k 不存在时,中点P(1,0)的坐标也适合方程.∴P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法二:代点法(涉及中点问题可考虑此法) 设过点A 的弦MN,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2).∵M 、N 在圆O 上,∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=+.9,922222121y x y x .∴相减得(x 1+x 2)+2121x x y y --·(y 1+y 2)=0(x 1≠x 2).设P(x,y),则x=221x x +,y=221y y +. ∴M 、N 、P 、A 四点共线,2121x x y y --=12--x y (x≠1).∴2x+12--x y ·2y=0. ∴中点P 的轨迹方程是x 2+y 2-x-2y=0(x=1时亦正确). ∴点P 的轨迹是以点(21,1)为圆心,25为半径的圆.解法三:数形结合(利用平面几何知识)由垂径定理知OP ⊥PA,故P 点的轨迹是以AO 为直径的圆.(下略)点评:本题涉及求轨迹方程的三种间接方法.思路一,代表了解析几何的基本思路和基本方法,即⎩⎨⎧==,0),(,0),(y x g y x f 消y(或x)得关于x(或y)的一元二次方程Ax 2+Bx+C=0,再利用求根公式、判别式、韦达定理等得解.思路二,又叫平方差法,要求弦的中点的轨迹方程时,用此法比较简便.基本思路是利用弦的两个端点M(x 1,y 1)、N(x 2,y 2)在已知曲线上,将点的坐标代入已知方程然后相减,利用平方差公式可得x 1+x 2、y 1+y 2、x 1-x 2、y 1-y 2等.再由弦MN 的中点P(x,y)的坐标满足x=221x x +,y=221y y +,以及直线MN 的斜率k=2121x x y y --(x 1≠x 2)等,设法消去x 1、x 2、y 1、y 2,即可得弦MN 的中点P 的轨迹方程.用此法对斜率不存在的情况,要单独讨论.思路三,数形结合,利用平面几何知识等,有时能使求解过程变得非常简洁.学好解析几何,要掌握特点,注意四个结合:①数形结合:形不离数,数不离形,依形判断,就数论形;②动静结合:动中有静,静中有动,几何条件——曲线方程——图形性质;③特殊与一般结合:一般性寓于特殊性之中,特殊化与一般化是重要的数学思维方法; ④理论与实际结合:学以致用,创造开拓.（四）知能训练课本本节练习1、2、3、4.（五）拓展提升某种体育比赛的规则是:进攻队员与防守队员均在安全线l 的垂线AC 上(C 为垂足),且距C 分别为2a 和a(a ＞0)的点A 和B,进攻队员沿直线AD 向安全线跑动,防守队员沿直线方向向前拦截,设AD 和BM 交于M,若在M 点,防守队员比进攻队员先到或同时到,则进攻队员失败,已知进攻队员的速度是防守队员速度的两倍,且他们双方速度不变,问进攻队员的路线AD 应为什么方向才能取胜?图5解:如图5,以l 为x 轴,C 为原点建立直角坐标系,设防守队员速度为v,则进攻队员速度为2v,设点M 坐标为(x,y),进攻队员与防守队员跑到点M 所需时间分别为t 1=v AM 2||,t 2=vBM ||. 若t 1＜t 2,则|AM|＜2|BM|,即2222)(2)2(a y x a y x -+<-+. 整理,得x 2+(y-32a)2＞(32a)2,这说明点M 应在圆E:x 2+(y-32a)2=(32a)2以外,进攻队员方能取胜.设AN 为圆E 的切线,N 为切点,在Rt △AEN 中,容易求出∠EAN=30°,所以进攻队员的路线AD 与AC 所成角大于30°即可.（六）课堂小结1.用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算,解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论.2.对于直线和圆,熟记各种定义、基本公式、法则固然重要,但要做到迅速、准确地解题,还必须掌握一些方法和技巧.常用的有：(1)利用可再化简、对称、直交、平行等特点适当地选择坐标系；(2)善于根据图形的已知条件和论证的目标,恰当地使用曲线的方程；(3)掌握直线和圆的基本定义、基本概念、基本性质,有效运用它们来解题；(4)注意“平几”知识在简洁、直观表达问题中的作用；(5)借助数形结合进行等价转化,减少思维量、运算量；(6)灵活使用曲线系方程,方便快捷地解题；(7)根据背景的特点,巧用字母的替换法则；(8)充分运用韦达定理进行转化与化归；(9)留心引参消参、设而不求等在优化解题思路方面上的作用.3.直线和圆在现实生活中有着十分广泛的应用,主要包括两大块：一是直线与圆的直接应用,它涉及到质量、重心、气象预报、购物选址、光的折射、直线型经验公式的选用等问题,这部分涉及的知识内容比较简单,要熟练掌握直线和圆的方程形式；可以使我们更好地了解近代数学的发展,从而有利于学生应用数学意识的培养.（七）作业习题4.2 B组2、3、5.。
2021_2022学年高中数学课时分层作业20圆的一般方程(含解析)北师大版必修2
课时分层作业(二十) 圆的一般方程(建议用时：60分钟)[合格根底练]一、选择题1．圆的方程为(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y ＋4)＝0，那么圆心坐标为( ) A ．(1，－1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1 C ．(－1,2)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 D [将圆的方程化为标准方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝454，所以圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1.]2．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于( ) A.2π B ．2π C ．22πD ．4πC [圆的方程配方后可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝2， ∴圆的半径r ＝2，∴周长＝2πr ＝22π.]3．如果过A (2,1)的直线l 将圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0平分，那么l 的方程为( ) A ．x ＋y －3＝0 B ．x ＋2y －4＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －2y ＝0A [由题意知直线l 过圆心(1,2)，由两点式可得l 的方程为y －12－1＝x －21－2，即x ＋y －3＝0.]4．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最小值是( ) A ．2 B.2－1 C ．2＋22D ．1＋2 2B [圆的方程变为(x －1)2＋(y －1)2＝1， ∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d ＝|1－1－2|12＋(－1)2＝2，∴所求的最小值为2－1.]5．假设Rt△ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，那么直角顶点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0) B ．x 2＋y 2＝25 C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25C [线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C 到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足(x －2)2＋y 2＝5(y ≠0)，即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．]二、填空题6．以点A (2,0)为圆心，且经过点B (－1,1)的圆的一般方程为______．x 2＋y 2－4x －6＝0 [由题意知，圆的半径r ＝|AB |＝(－1－2)2＋(1－0)2＝10，∴圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝10，化为一般方程为x 2＋y 2－4x －6＝0.]7．圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0关于直线y ＝2x ＋b 成轴对称，那么a －b 的取值范围是________．(－∞，1) [由题意知，直线y ＝2x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b ＝4，圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝5－a ，所以a <5，由此，得a －b <1.] 8．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，那么动点M 的轨迹方程是________．x 2＋y 2＝4 [设M (x ，y )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ，又P (x 0，y 0)在圆上，∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4.] 三、解答题9．假设点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值．[解] 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2， ∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a 2＋1－7a －3＋2＝0，∴a ＝0或a ＝7.10．等腰三角形的顶点A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．[解] 设底边另一个端点C 的坐标是(x ，y )，依题意，得|AC |＝|AB |，由两点间距离公式得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10，这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆． 又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线．即点B ，C 不能重合且不能为圆A 的一条直径的两个端点，所以点C 不能为(3,5)且x ＋32≠4，y ＋52≠2，即点C 也不能为(5，－1)，故点C 的轨迹方程为(x－4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．[等级过关练]1．如果圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)关于直线y ＝x 对称，那么有( ) A ．D ＋E ＝0 B ．D ＝E C ．D ＝FD ．E ＝FB [由圆的对称性知，圆心在直线y ＝x 上，故有－E 2＝－D2，即D ＝E .]2．假设圆x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有点都在第二象限，那么a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)D [由x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0得(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4，其圆心坐标为(－a,2a )，半径为2，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－a <0，2a >0，|－a |>2，解得a >2，应选D.]3．假设点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，那么a 的取值范围是________．(－∞，1) [∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋1)2＋(a －1)2－2a (a －1)－4<0，(－2a )2－4×(－4)>0，即2a <2，a <1.]4．M (0,4)，N (－6,0)，假设动点P 满足PM ⊥PN ，那么动点P 的轨迹方程是________． (x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6) [由于PM ⊥PN ，所以动点P 的轨迹是以线段MN 为直径的圆(不包括端点M ，N )，其圆心为线段MN 的中点(－3,2)，直径|MN |＝36＋16＝213，于是半径等于13，故轨迹方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13(x ≠0，且x ≠－6)．]5．在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数f (x )＝x 2＋2x ＋b (x ∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .(1)求实数b 的取值范围；(2)求圆C的方程；(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．[解] (1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0.(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，因为过定点，那么与b无关，即y＝1代入上式，可得x＝0或x＝－2，所以圆C必过定点(0,1)，(－2,1)．。
(word完整版)高一数学圆的方程、直线与圆位置关系典型例题
高一数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 P(2,4)与圆的关系.分析：欲求圆的标准方程， 需求出圆心坐标的圆的半径的大小， 而要判断点P 与圆的位置关系, 只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系， 若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径, 则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x a)2 (y b)2 r 2•圆心在y 0上，故b 0 .二圆的方程为(x a)2 y 2 r 2•又•••该圆过 A(1,4) > B(3, 2)两点.解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心 C 必在线段AB 的垂直平分线I 上，又因为4 2k AB1，故I 的斜率为1,又AB 的中点为(2,3)，故AB 的垂直平分线I 的方程为:1 3y 3 x 2 即 x y 10 .又知圆心在直线 y 0上，故圆心坐标为 C( 1,0) •••半径r AC J(1 1)2 42 v'20 . 故所求圆的方程为(x 1)2 y 220 •又点P(2,4)到圆心C( 1,0)的距离为d PC V(2 1)2 42 V25 r ••••点 P 在圆外.例2求半径为4,与圆x 2 y 2 4x 2y 4 0相切，且和直线y 0相切的圆的方程.解：则题意，设所求圆的方程为圆C ：(x a)2 (y b)2 r 2 •圆C 与直线y 0相切，且半径为4,则圆心C 的坐标为C 1(a , 4)或C 2(a , 4). 又已知圆x 2 y 2 4x 2y 4 0的圆心A 的坐标为(2,1)，半径为3. 若两圆相切，则 CA 4 3 7或CA 4 3 1 •(1)当 G(a,4)时，(a 2)2 (4 1)2 72，或(a 2)2 (4 1)2 12(无解)，故可得a 22-10 ••••所求圆方程为(x 2 2. 10)2 (y 4)242，或(1 a)216 (3 a)2 42r 解之得:2r1 , r2 20 •所以所求圆的方程为 (x 1)2 y 220•(x 2 210)2 (y 4)242.(2)当 C 2(a, 4)时，(a 2)2 ( 4 1)2 72，或(a 2)2 ( 4 1)2 12(无解)，a 2 2 6 .•••所求圆的方程为(x 2 2..6)2(y 4)242，或(x 2 2、.6)2 (y4)242 .例3求经过点A(0,5)，且与直线x 2y 0和2x y 0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点 A ，故只需确定圆心坐标.又 圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：•••圆和直线x 2y 0与2x y 0相切，•圆心 C 在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线 x 2y 0和2x y 0的距离相等.x 2y 5x.5 2y.•••两直线交角的平分线方程是x 3y 0 或 3x y又•••0 上.设圆心C(t, 3t) •/ C 到直线2x y 0的距离等于AC ,.2t 3t.t2(3t 5)2•化简整理得t2 6t 5 0 .解得：t 1或t•圆心是(1,3)，半径为.5或圆心是(5,15)，半径为5.. 5 .•••所求圆的方程为(x 1)2 (y 3)2 5或(x 5)2 (y 15)2 125.例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2; (2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线丨：x 2y 0的距离最小的圆的方程.解法一：设圆心为P(a,b)，半径为r .则P到x轴、y轴的距离分别为b和a .由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90，故圆截x轴所得弦长为、2r .2 2 2 2•- r 2b又圆截y轴所得弦长为2.「. r a 1 .又••• P(a,b)到直线x 2y 0的距离为d a 2b•- 5d2 a 2b$ a2 4b2 4ab当且仅当a b时取“=”号，此时d min a2 4b2 2(a2 b2) 2b2 a2 1、.55 .a 1 a 1或 又r 2 2b 2 2b 1 b 1解法同解法一，故所求圆的方程为(x 1)2 (y 1)2 2或(x 1)2 (y 1)2 2 .类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O : x 2 y 24，求过点P 2,4与圆0相切的切线.根据d r因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在•易求另一条切线为x 2 .说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解. 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于 0解决(也要注意漏解)•还可以运用x °x y °y r 2，求出切点坐标x °、y °的值来解决，此时没有漏解.、 2 2 2 2例 6 两圆 G ： x yD 1xE 1 yF 1 0 与C 2: x y D 2x E 2y F 2 0相交于 A 、B 两点，求它们的公共弦 AB 所在直线的方程.分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线 AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程 太繁•为了避免求交点，可以米用“设而不求”的技巧.解：设两圆 G 、C 2的任一•交点坐标为(x o , y °) ，则有:这时有a b 2 22b a 1故所求圆的方程为(x 1)2(y 1)22 22 或(x 1) (y 1)2••• a 2b5d •••• a 24b 2 4 - 5bd 5d 2.将a 2 2b 2 1代入上式得:2 — 22b 4、、5bd 5d 1•上述方程有实根，故8(5d 2 1) 0 ,.5 5—代入方程得51 .又 2b2 a 2 1 ••• a 1 .由 a 2b 1 知 a 、b 同号.解：•••点 P2,4不在圆0上，二切线PT 的直线方程可设为 y2k 4 1 k 2 32解得k -43所以y x 2443x 4y 10 0a 2bx y°Dm Ey R 0①x0y D2«E2Y0 F 2 0②①—②得：4D2 )X0(E1 E2 ) y0F1F0 •A、B的坐标满足方程 Q D2)X (E1 E2)y F1 F20 .■■■第3页共16页■■例ii 、已知直线 3X y 2・、30和圆X 2 2y4，判断此直线与已知圆的位置关系二方程(D i D 2)X (E I E 2)y F i F 2 0是过A 、B 两点的直线方程. 又过A 、B 两点的直线是唯一的.•••两圆C i 、C 2的公共弦AB 所在直线的方程为(D i D 2)X (E i E 2)y F i F ? 0 . 练习：2 2i •求过点M(3,i)，且与圆(x i) y 4相切的直线丨的方程. 解：设切线方程为 y i k(x 3)，即kx y 3k i 0 , •••圆心(i,0)到切线丨的距离等于半径 2,|k 3k i| 2，解得k3•切线方程为y i (X 3)，即3X 4y i3 0 ,4当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为 X 3，圆心(i,0)到此直线的距离等于半径 2 ,故直线X 3也适合题意。
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（数学2必修）第四章 圆与方程
[基础训练A 组]
一、选择题 １ 圆22
(2)5x y ++=关于原点(0,0)P 对称的圆的方程为 ( ) A 22(2)5x y -+=
B 22(2)5x y +-=
C 22(2)(2)5x y +++=
D 22(2)5x y ++= 2 若)1,2(-P 为圆25)1(22
=+-y x 的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A 03=--y x B 032=-+y x C 01=-+y x D 052=--y x 3 圆01222
2=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ） A 2 B 21+ C 2
21+ D 221+ 4 将直线20x y λ-+=，沿x 轴向左平移1个单位，所得直线与
圆22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为（ ） A 37-或 B 2-或8
C 0或10
D 1或11 5 在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 6 圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（ ） A 023=-+y x B 043=-+y x C 043=+-y x D 023=+-y x
二、填空题 1 若经过点(1,0)P -的直线与圆03242
2=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是 __________________
2 由动点P 向圆221x y +=引两条切线,PA PB ，切点分别为0,,60A B APB ∠=，则动点P 的轨迹方程为。