河北省蔚县第一中学高二数学上学期期中考试试题新人教A版

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2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试(含解析)

2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 已知集合，，则( )A.B.C.D.2. 函数的定义域为A.B.C.D.3. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.A ={x ∈Z||x|<5}B ={x|≥4}2x A ∩B =(2,5)[2,5){2,3,4}{3,4,5}y =12+x −x 2−−−−−−−−−√lg(2x −2)()(1,)∪(,4]3232(1,4][−3,4][−3,)∪(,4]3232434C.D.4. 乔家大院是我省著名的旅游景点，在景点的一面墙上，雕刻着如图所示的浮雕，很好地展现了我省灿烂辉煌的“晋商文化”．某陶艺爱好者，模仿着烧制了一个如图的泥板作品，但在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．若烧制作品的材质、烧制环境均不变，那么想烧制一个体积为的正四面体，烧制前的陶坯棱长应为（）A.B.C.D.5. 命题：，的否定是( )A.，B.，C.，D.，6. “”是“”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 下列命题中，真命题是（）A.函数＝的周期为B.，223(1)(2)12cm 9cm 18c 2–√m 36cm7cm8cm9cm∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x ≤0−x −2≤0x 2∃≤0x 0−−2≤0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2∃>0x 0−−2≤0x 20x 0x <2lg(x −1)<0y sin |x |2π∀x ∈R >2x x 2C.“＝”的充要条件是“”D.函数＝是奇函数 8. 在中，角，，所对的边是，，，若，且，则等于( )A.B.C.D.9. 等比数列中，若，，则其前项的积为( )A.B.C.D.10. 瑞士数学家欧拉（）年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心﹑重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知的顶点，其欧拉线方程为，则顶点的坐标可以是( )．A.B.C.D.11. ""是"方程表示的曲线为椭圆"的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件a +b 0y ln△ABC A B C a b c c ⋅cos B =b ⋅cos C cos A =23sin B 6–√63–√2130−−√6{}a n +=a 1a 294+=18a 4a 556481192243LeonhardEuler 1765△ABC A (−4,0),B (0,4)x −y +2=0C (2,0)(0,2)(−2,0)(0,−2)n >m >0+=1x 2m y 2n()D.既不充分也不必要条件12. 在四棱锥中，已知平面平面, 是以为底边的等腰三角形，是矩形，且，则四棱锥的外接球的表面积为（ A.B.C.D.卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 已知异面直线，的方向向量分别为，，若异面直线，所成角的余弦值为，则的值为________.14. 设为等差数列的前项和，，则________，若，则使得不等式成立的最小整数________．15. 已知平面向量，，，若，则________．16. 已知的顶点，在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．（1）求圆的方程；（2）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．18. 已知向量．（1）求向量与的夹角；（2）若，求实数的值． 19. 在平面四边形中，，，，．P −ABCD ABCD ⊥PAD △PAD AD ABCD AB =AP =2AD =2P −ABCD O )π12415π3115π25615π6415m n =(2,−1,1)a →=(1,λ,1)b →m n 6–√6λS n {}a n n +a 6a 7=1S 12=<0a 7<0S n n==(2,λ)a →=(−3,6)b →=(4,2)c →//a →b →(−)⋅=a →c →b →△ABC B C +=1x 23y 2A BC △ABC xOy O x −y −4=03–√O P(3,2)P O θλABCD ∠BAD =∠BCD =90∘AB =5BC =8AC =7(1)∠ADC求的大小；求的长度．20. 已知两直线：，，当为何值时，与，（1）相交，（2）平行，（3）重合，（4）垂直． 21. 已知命题：函数且在定义域上单调递增；命题：不等式对任意实数恒成立.若为真命题,求实数的取值范围；若为真命题,求实数的取值范围.22. 已知数列的前项和为，且，，成等差数列．求数列的通项公式；数列满足，求数列的前项和．(1)∠ADC (2)CD L 1(m +3)x +5y =5−3m:2x +(m +6)y =8L 2m L 1L 2p y =(x +1)(a >0，log a a ≠1)q (a −2)+2(a −2)x +1>0x 2x (1)q a (2)“p ∧(¬q)”a {}a n n S n 2a n S n (1){}a n (2){}b n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n {}1b n n Tn参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】据题意，分析可得，，，进而求其交集可得答案．【解答】解：集合，，则．故选．2.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据条件可得解不等式可得结果．【解答】解：由已知可根据条件可得解不等式可得.故选.A ={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|x ≥2}A ={x ∈Z||x|<5}={−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}B ={x|≥4}={x|x ≥2}2x A ∩B ={2,3,4}C 12+x −≥0x 22x −2>02x −2≠112+x −≥0,x 22x −2>0,2x −2≠1,{x |1<x ≤4且x ≠}32A3.【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】由三视图可知，该几何体为正四棱锥，再求体积即可.【解答】解：由已知中几何体的三视图，可得该几何体为正四棱锥，且底面正方形边长为，高为，所以该几何体的体积为.故选.4.【答案】C【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，求出，再利用烧制前后边长的变化，即可得到答案.【解答】解：设烧制后正四面体的边长为，由题意得到，，解得.∵在烧制的过程中发现，直径为的作品烧制成功后直径缩小到．那么烧制前正四面体陶坯棱长为.故选.5.【答案】C【考点】21V =×2×2×1=1343A acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a acm ==18V 正四面体2–√12a 32–√a =612cm 9cm 6×=8cm 129C命题的否定【解析】命题，为特称量词命题，其否定为全称量词命题，写出其否定即可.【解答】解：命题，为特称量词命题，所以其否定为全称量词命题，其否定为，.故选.6.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由，可得，再利用集合之间的包含关系求充分必要条件即可.【解答】解：由，可得，解得，因为，所以“”是“”的必要不充分条件.故选.7.【答案】D【考点】命题的真假判断与应用【解析】分析函数的周期性，可判断；举出反例＝，可判断；根据充要条件的定义，可判断；分析函数的奇偶性，可判断．【解答】函数＝不是周期函数，故是假命题；当＝时＝，故是假命题；“＝”的必要不充分条件是“”，故是假命题；∃>0x 0−−2>0x 20x 0∃>0x 0−−2>0x 20x 0∀x >0−x −2≤0x 2C lg(x −1)<00<x −1<1lg(x −1)<00<x −1<11<x <2{x|x <2} {x|1<x <2}x <2lg(x −1)<0B A x 2B C D y sin |x |A x 22x x 2B a +b 0C函数＝＝的定义域关于原点对称，且满足＝，故函数是奇函数，即是真命题．8.【答案】D【考点】正弦定理两角和与差的正弦公式诱导公式半角公式【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式整理后得到，用表示出，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：在中，，利用正弦定理化简得：,即，∴，即，则.故选．9.【答案】D【考点】等比数列的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得，解得，又，y f(x)ln (−2,2)f(−x)−f(x)f(x)D B =C A B △ABC c cos B =b cos C sin C cos B =sin B cos C sin C cos B −sin B cos C =sin(C −B)=0C −B =0C =B sin B =sin =cos =π−A 2A 21+cos A 2−−−−−−−−√=30−−√6D ==8+a 4a 5+a 1a 2q 3q =2+=+2=a 1a 2a 1a 1943所以，所以.故选.10.【答案】A,D【考点】三角形五心【解析】此题暂无解析【解答】解：设的垂直平分线为，的外心为欧拉线方程为与直线的交点为∴，①由重心为，代入欧拉线方程，得，②由①②可得或.故选.11.【答案】A【考点】椭圆的定义必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则，，且，故" "是“方程"表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件.=a 134==×=243a 1a 2a 3a 4a 5a 51q 10()345210D C (x,y),AB y =−x △ABC x −y +2=0y =−x M (−1,1),MC|=,∴+=1010−−√(x +1)2(y −1)2A (−4,0),B (0,4),△ABC (,)x −43y +43x −y +2=0x −y −z =0x =2,y =0x =0,y =−2AD +=1x 2m y 2n m >0n >0m ≠n n >m >0+=1x 2m y 2nA故选.12.【答案】A【考点】球内接多面体球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，将四棱锥补为一个三棱柱，∵是以为底边的等腰三角形，，∴的外接圆的半径为，∴球的半径的平方，∴球的表面积为.故选.二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角A P −ABCD PAD −QBC △PAD AD AP =2AD =2△PAD 415−−√O =+1=R 216153115O S =4π=R 2124π15A 76【解析】此题暂无解析【解答】略14.【答案】,【考点】等差数列的前n 项和等差数列的性质【解析】根据题意，由等差数列的前项和公式和性质可得＝＝，代入数据可得第一空答案，同理可得，即可得第二空答案．【解答】解：因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以.故答案为：；.15.【答案】【考点】平面向量的坐标运算平面向量数量积的运算【解析】根据，求得，进而求得的坐标，然后利用数量积求解．【解答】解：因为向量，，且，613n S 12<0S 13+=1a 6a 7=6(+)=6S 12a 6a 7<0a 7>0a 6{}a n =6>0S 12=13<0S 13a 7=13n min 613−30//a →b →λ−a →c →=(2,λ)a →=(−3,6)b →//a →b →所以，所以.故答案为：．16.【答案】【考点】椭圆的定义【解析】设另一个焦点为，根据椭圆的定义可知，最后把这四段线段相加求得的周长．【解答】解：椭圆中，．设另一个焦点为，则根据椭圆的定义可知，．∴三角形的周长为：．故答案为：．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．【考点】直线与圆相交的性质圆的切线方程−=(−2,−6)a →c →(−)⋅=−30a →c →b →−3043–√F |AB |+|BF |=2a|AC |+|FC |=2a △ABC +=1x 23y 2a =3–√F |AB |+|BF |=2a =23–√|AC |+|FC |=2a =23–√|AB |+|BF |+|AC |+|FC |=43–√43–√+=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0（1）根据半径即为圆心到切线的距离求得半径的值，可得所求的圆的方程．（2）由题意可得点在圆外，用点斜式设出切线的方程，再根据圆心到切线的距离等于半径，求得斜率的值，可得所求切线方程．【解答】解：（1）设圆的方程为，由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故，∴圆的方程是．（2）∵，∴点在圆外．显然，斜率不存在时，直线与圆相离．故可设所求切线方程为，即．又圆心为，半径，而圆心到切线的距离，即，∴或，故所求切线方程为或．18.【答案】∵向量，∵这两个向量的夹角为，，则＝＝＝，∴＝．若，则（+）-•-，∴＝．【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答19.【答案】..r P k +=x 2y 2r 2r ==244–√+=4x 2y 2|OP |==>29+4−−−−√13−−√P y −2=k(x −3)kx −y +2−3k =0O(0,0)r =2d ==2|2−3k |+1k 2−−−−−√|3k −2|=2+1k 2−−−−−√k =125k =012x −5y −26=0y −2=0θθ∈[0cos θθ⋅(λ+(λ−7)λ余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答20.【答案】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．（2）由（1）知当时，直线与相交；当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由得，所以时直线与垂直．【考点】两条直线平行的判定两条直线垂直的判定【解析】（1）两直线与相交；（2）两直线与平行；（3）两直线与重合；（4）两直线与垂直．【解答】解：（1）当时，直线方程为，方程为，显然两直线相交；当时，由解得，，所以，时直线与相交．m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2m =−6L 1L 2m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔≠(m ≠0,n ≠0)a m b n ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔=≠(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔==(m ≠0,n ≠0,d ≠0)a m b n c d ax +by +c =0mx +ny +d =0⇔am +bn =0m =−6L 1−3x +5y =23L 2x =4m ≠−6≠m +325m +6m ≠−1m ≠−8m ≠−1m ≠−8L 1L 2当时，由得（舍去），或，所以时直线与平行．（3）由得，所以时直线与重合．（4）由得，所以时直线与垂直．21.【答案】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数在定义域上单调递增，所以，因为命题为假,由可知，或，所以即，所以实数的取值范围为 .【考点】复合命题及其真假判断【解析】此题暂无解析【解答】解:因为命题为真命题，所以或得，即实数的取值范团是.因为 " "为真命题，故真假.因为命题:函数在定义域上单调递增，所以，因为命题为假,由可知，或，所以即，所以实数的取值范围为 .22.【答案】解：，，成等差数列，可得，m ≠−6=≠m +325m +65−3m 8m =−1m =−8m =−8L 1L 2==m +325m +65−3m 8m =−1m =−1L 1L 22(m +3)+5(m +6)=0m =−367m =−367L 1L 2(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)q a =2{a −2>0，Δ=4(a −2−4(a −2)×1<0，)22≤a <3[2,3)(2)p ∧(¬q)p q p y =(x +1)log a a >1q (1)a <2a ≥3{a <2或a ≥3，a >1，a ∈(1,2)∪[3,+∞)a (1,2)∪[3,+∞)(1)2a n S n 2=a n 2+S n化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．【考点】等差中项数列的求和等比数列的通项公式【解析】（1）由题意可得＝，运用数列的递推式：当＝时，＝，时，＝，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；（2）求得＝＝，，，由数列的裂项相消求和，化简整理，可得所求和．【解答】解：，，成等差数列，可得，当时，，解得，时，，化为，可得数列为首项为，公比为的等比数列，即有，.，，，即数列的前项和．n n n−1n n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +12a n 2+S n n 1a 1S 1n ≥2a n −S n S n−1log 2a n log 22n n =n(n +1)b n 12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1(1)2a n S n 2=a n 2+S n n =1=a 1=S 12−2a 1=a 12n ≥2=a n −=S n S n−12−2−2+2a n a n−1=a n 2a n−1{}a n 22=a n 2n n ∈N ∗(2)=log 2a n =log 22n n =b n ++⋯+log 2a 1log 2a 2log 2a n =1+2+⋯+n =n(n +1)12==2(−)1b n 2n(n +1)1n 1n +1{}1b n n =T n 2(1−+−+⋯+−)1212131n 1n +1=2(1−)=1n +12n n +1。

高中数学人教A版选修2-1高二(上)期中数学试卷.docx

2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）2．已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．3．点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B． C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）4．若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．5．若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．6．已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．7．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．79．双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．1610．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=．14．抛物线y=4x2的准线方程为．15．已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是．16．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．18．已知抛物线y2=4x和点M（6，0），O为坐标原点，直线l过点M，且与抛物线交于A，B两点．（1）求•；（2）若△OAB的面积等于12，求直线l的方程．19．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别是面对角线A1B与B1D1的中点，设=，=，=．（1）以{，， }为基底，表示向量；（2）求证：MN∥平面BCC1B1；（3）求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．22．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．2016-2017学年河北省衡水市武邑中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y2=8x的焦点坐标（）A．（0，2）B．（2，0）C．（4，0）D．（0，4）【考点】抛物线的简单性质．【分析】确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点在x轴上，且p=4，∴=2，∴抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0）故选：B．2．已知命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，总有2x≤1 B．∀x≤0，总有2x≤1C．D．【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题否定的方法，结合已知中的原命题，可得答案．【解答】解：命题p：∀x＞0，总有2x＞1，则¬p：∃，故选：D3．点A（a，1）在椭圆+=1的内部，则a的取值范围是（）A．B． C．（﹣2，2）D．（﹣1，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】将点A代入椭圆方程可得+＜1，解不等式可得a的范围．【解答】解：点A（a，1）在椭圆的内部，即为+＜1，即有a2＜2，解得﹣＜a＜，故选A．4．若双曲线﹣=1（b＞0）的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的虚轴长是（）A．2 B．1 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题设知b=，b==，由此可求出双曲线的虚轴长．【解答】解：双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于=b，∵双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，∴b=，∴b==，∴b=1，∴该双曲线的虚轴长是2．故选A．5．若椭圆+=1的离心率为，则m=（）A．B．4 C．或4 D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】分焦点在x轴和y轴得到a2，b2的值，进一步求出c2，然后结合离心率求得m值．【解答】解：当焦点在x轴上时，a2=3，b2=m，c2=3﹣m，由，得，即，解得m=；当焦点在x轴上时，a2=m，b2=3，c2=m﹣3，由，得，即，解得m=4．∴m=或4．故选：C．6．已知平面α的一个法向量=（2，1，2），点A（﹣2，3，0）在α内，则P（1，1，4）到α的距离为（）A．10 B．4 C．D．【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】利用d=，即可得出．【解答】解：=（3，﹣2，4），则P（1，1，4）到α的距离d===4，故选：B．7．空间四边形ABCD中，若向量=（﹣3，5，2），=（﹣7，﹣1，﹣4）点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（）A．（2，3，3）B．（﹣2，﹣3，﹣3） C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）【考点】空间向量的概念．【分析】点E，F分别为线段BC，AD的中点，可得=，，=．代入计算即可得出．【解答】解：∵点E，F分别为线段BC，AD的中点，∴=，，=．∴=﹣== [（3，﹣5，﹣2）+（﹣7，﹣1，﹣4）]==（﹣2，﹣3，﹣3）．故选：B．8．设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交于C于A，B两点，则|AB|=（）A．B．6 C．12 D．7【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出焦点坐标，利用点斜式求出直线的方程，代入抛物线的方程，利用根与系数的关系，由弦长公式求得|AB|．【解答】解：由y2=3x得其焦点F（，0），准线方程为x=﹣．则过抛物线y2=3x的焦点F且倾斜角为30°的直线方程为y=tan30°（x﹣）=（x﹣）．代入抛物线方程，消去y，得16x2﹣168x+9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=，所以|AB|=x1++x2+=++=12故选：C9．双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线与抛物线y2=4x交于O，A，B三点，O为坐标原点，则|AB|等于（）A．4 B．6 C．8 D．16【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，代入抛物线的方程，求得交点A，B的坐标，可得AB 的长．【解答】解：双曲线x2﹣y2=1的两条渐近线方程为y=±x，代入抛物线的方程y2=4x，可得A（4，4），B（4，﹣4），可得|AB|=8．故选：C．10．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．11．正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H．有以下四个命题：①点H是△A1BD的垂心；②AH垂直平面CB1D1；③AH=；④点H到平面A1B1C1D1的距离为．其中真命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据正方体AC1的棱长为1，AH⊥平面A1BD，逐一分析四个命题的真假，可得答案．【解答】解：∵正方体AC1的棱长为1，AH⊥平面A1BD，∴①点H是△A1BD的垂心，正确；②AH垂直平面CB1D1，正确；③AH=AC1=，正确；④点H到平面A1B1C1D1的距离为，错误．故选：C．12．设点P（x，y）是曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0）上任意一点，其坐标（x，y）均满足，则a+b取值范围为（）A．（0，2]B．[1，2]C．[1，+∞）D．[2，+∞）【考点】抛物线的简单性质．【分析】曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），对x，y分类讨论．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），可得：2|PM|≤2，|BD|≤2，解出即可．【解答】解：曲线a|x|+b|y|=1（a≥0，b≥0），当x，y≥0时，化为ax+by=1；当x≥0，y≤0时，化为ax﹣by=1；当x≤0，y≥0时，化为﹣ax+by=1；当x≤0，y≤0时，化为﹣ax﹣by=1．画出图象：表示菱形ABCD．由，即+．设M（﹣1，0），N（1，0），则2|PM|≤2，|BD|≤2，∴，，解得b≥1，，∴a+b≥1+1=2．∴a+b取值范围为[2，+∞）．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），则|﹣|=6．【考点】空间向量运算的坐标表示．【分析】根据空间向量的坐标运算，求出﹣，再求它的模长．【解答】解：∵=（1，﹣3，1），=（﹣1，1，﹣3），∴﹣=（2，﹣4，4），∴|﹣|==6．故答案为：6．14．抛物线y=4x2的准线方程为．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得p，再根据抛物线性质得出准线方程．【解答】解：整理抛物线方程得x2=y，∴p=∵抛物线方程开口向上，∴准线方程是y=﹣故答案为：．15．已知两定点M（﹣2，0），N（2，0），若直线kx﹣y=0上存在点P，使得|PM|﹣|PN|=2，则实数k的取值范围是（﹣，）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，求得双曲线的方程，代入y=kx，解方程可令3﹣k2＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得|MN|=4，|PM|﹣|PN|=2＜|MN|，由双曲线的定义可得P的轨迹为以M，N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，由a=1，c=2，可得b2=c2﹣a2=3，可得方程为x2﹣=1（x＞0），由y=kx代入双曲线的方程，可得：（3﹣k2）x2=3，由题意可得3﹣k2＞0，解得﹣＜k＜．故答案为：（﹣，）．16．如图，在底面半径和高均为4的圆锥中，AB、CD是底面圆O的两条互相垂直的直径，E是母线PB的中点，若过直径CD与点E的平面与圆锥侧面的交线是以E为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为．【考点】圆锥曲线的范围问题；抛物线的简单性质；平面与圆锥面的截线．【分析】根据圆锥的性质，建立坐标系，确定抛物线的方程，计算出EF的长度，结合直角三角形的关系进行求解即可．【解答】解：如图所示，过点E作EH⊥AB，垂足为H．∵E是母线PB的中点，圆锥的底面半径和高均为4，∴OH=EH=2．∴OE=2．在平面CED内建立直角坐标系如图．设抛物线的方程为y2=2px（p＞0），F为抛物线的焦点．C（2，4），∴16=2p•（2），解得p=2．F（，0）．即OF=，EF=，∵PB=4，PE=2，∴该抛物线的焦点到圆锥顶点P的距离为==，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知命题p：空间两向量=（1，﹣1，m）与=（1，2，m）的夹角不大于；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若￢q与p∧q均为假命题，求实数m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由￢q与p∧q均为假命题，可得q为真命题，p为假命题．分别求出两个命题对应的参数的范围，进而可得答案．【解答】解：若命题p为真，则有0，即，解得m≤﹣1或m≥1，若命题q 为真，则有1＜＜4，解得：0＜m ＜15，∵￢q 与p ∧q 均为假命题， ∴q 为真命题，p 为假命题．则有解得0＜m ＜1．故所求实数m 的取值范围是0＜m ＜1．18．已知抛物线y 2=4x 和点M （6，0），O 为坐标原点，直线l 过点M ，且与抛物线交于A ，B 两点．（1）求•；（2）若△OAB 的面积等于12，求直线l 的方程．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）由x=my +6与抛物线y 2=4x 得y 2﹣4my ﹣24=0，利用•=x 1x 2+y 1y 2，求•；（2）S △OAB =|OM |•|y 1﹣y 2|=3=12=12，求出m ，即可求直线l的方程．【解答】解：（1）设直线l 的方程为x=my +6，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由x=my +6与抛物线y 2=4x 得y 2﹣4my ﹣24=0，显然△＞0， y 1+y 2=4m ，y 1y 2=﹣24，x 1x 2=36可得•=x 1x 2+y 1y 2=12．…（2）S △OAB =|OM |•|y 1﹣y 2|=3=12=12，∴m 2=4，m=±2．那么直线l 的方程为x +2y ﹣6=0和x ﹣2y ﹣6=0…19．如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点M 、N 分别是面对角线A 1B 与B 1D 1的中点，设=，=，=．（1）以{，， }为基底，表示向量；（2）求证：MN ∥平面BCC 1B 1；（3）求直线MN 与平面A 1BD 所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用向量的加法，即可得出结论；（2）连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，证明MN∥BC1，即可证明结论；（3）以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面A1BD的法向量，即可求直线MN与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】（1）解：．（2）证明：连A1C1、BC1，则N为A1C1的中点，又M为A1B的中点，∴MN∥BC1，又MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，∴MN∥平面BCC1B1．（3）解：∵DA、DC、DD1两两垂直，∴可以D为原点，DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz．设正方体棱长为2，则M（2，1，1），N（1，1，2），A1（2，0，2），B（2，2，0），D（0，0，0），A（2，0，0），C1（0，2，2），∴，，，，∵，，∴，，∴为平面A1BD的法向量，设直线MN与平面A1BD所成的角为θ，则，所以直线MN与平面A1BD所成角的正弦值为．20．如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角．【分析】（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出异面直线A1B与C1D所成角的余弦值．（2）分别求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函数知识能求出平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．【解答】解：（1）以{}为单位正交基底建立空间直角坐标系A﹣xyz，则由题意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为．（2）是平面ABA1的一个法向量，设平面ADC1的法向量为，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量为，设平面ADC1与ABA1所成二面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为．21．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，AP=1，AD=2，E为线段PD上一点，记=λ．当λ=时，二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为．（1）求AB的长；（2）当时，求异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【考点】异面直线及其所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，利用向量法能求出AB．（2）分别求出，，利用向量法能求出异面直线BP与直线CE所成角的余弦值．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，∴AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则D（0，2，0），E（0，1，），=（0，1，）．设B（m，0，0）（m＞0），则C（m，2，0），=（m，2，0）．设=（x，y，z）为平面ACE的法向量，则，取z=2，得=（，﹣1，2）．…又=（1，0，0）为平面DAE的法向量，…∵二面角D﹣AE﹣C的平面角的余弦值为，∴由题设知|cos＜＞|=，即，解得m=1，即AB=1．…（2），∴，，…，∴异面直线BP与直线CE所成角的余弦值为．…22．已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线x2=8y的焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）已知P（2，m）、Q（2，﹣m）（m＞0）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，解出即可得出．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得t范围，利用根与系数的关系可得|x1﹣x2|，由此可得：四边形APBQ的面积S．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设C方程为，则，由，a2=b2+c2，得a=4，∴椭圆C的方程为．（2）①设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，代入，得x2+tx+t2﹣12=0，由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由韦达定理得x1+x2=﹣t，．∴，由此可得：四边形APBQ的面积，∴当t=0，．②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2），由整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0，∴，同理直线PB的直线方程为y﹣3=﹣k（x﹣2），可得∴，，，所以直线AB的斜率为定值．2016年11月28日。

高二上册数学期中考试卷(人教A版)

高二上册数学期中考试卷（人教A版）高二数学期中检测试卷内容：必修5+选修2-1第一二章班级姓名得分一、选择题：本大题共8小题，每题5分，总分 40分。

1、在数列中，等于〔〕A、11B、12C、13D、142、．在△ABC中，A=45o，B=30o， b=2，则a的值为〔〕A、4B、2C、D、 33、不等式的解集是〔〕A、 B、 C、 D、4、已知且不为0，那么以下不等式成立的是〔〕A、 B、 C、 D、5、已知等差数列中，的值是〔〕A、64B、30C、 31D、 156、等比数列中, 则的前4项和为〔〕A、 81B、120C、168D、1927、等差数列的前2项和为30，前4项和为100，则它的前6项和是〔〕A、130B、170C、210D、2608、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是〔〕A、 B、 C、 D、二、填空题：本大题共7小题，每题5分，总分 35分。

9、命题“存在”的否认是10、在锐角中，三边所对的角分别为A、B、C，已知的面积，则角C =11、椭圆上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距离为12、若抛物线上一点M到焦点的距离为5，则点M的纵坐标是13、设实数满意，则的最大值是14、已知数列满意则15、某校要建筑一个容积为4800 ，深为3 的长方体无盖水池，池底和池壁的造价每平方米分别为150元和120元，那么水池的最低总造价为元。

三、解答题：本大题共6小题，总分 75分。

请写出文字说明、证明过程和演算步骤。

16、求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点的坐标。

17、已知在等差数列中， .〔1〕求通项公式；〔2〕求前项和的最大值。

18、一缉私艇发觉在方位角45°方向，距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃离，若缉私艇的速度为14海里/小时，缉私艇沿方位角的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需时间和角的正弦.〔注：方位角是指正北方向按顺时针方向旋转形成的角〕19、已知点P〔3，4〕是椭圆上的一点，为椭圆的两焦点，若，试求：〔1〕椭圆的方程；〔2〕的面积。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中考试含答案及解析064336.pdf)

2022-2023学年高中高二上数学期中考试学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：95 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 2020年12月4日，嫦娥五号探测器在月球表面第一次动态展示国旗．1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO 1，OO 2，OO 3，OO 4分别是大星中心点与四颗小星中心点的联结线．α≈16∘．则第三颗小星的一条边AB 所在直线的倾斜角约为( )A.0∘B.1∘C.2∘D.3∘2. 若命题p:∀x ∈R ， x 2−x >0，则命题p 的否定是( )A.∀x ∈R ，x 2−x ≤0B.∃x ∈R ，x 2−x >0C.∃x ∈R ， x 2−x ≤0D.∃x ∈R ， x 2−x <03. 已知F 是双曲线C:x 2−y 28=1的右焦点，P 是C 左支上一点，A(0,6√6)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为( )A.2√6B.4√6C.12√6D.8√64. 设函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2，且f(1+x)+f(1−x)=2，则ab =( )A.−1B.2C.−3D.45. 已知抛物线C:y 2＝x ，M 为x 轴负半轴上的动点，MA ，MB 为抛物线的切线，A ，B 分别为切点，则→MA ⋅→MB 的最小值为（）A.−14B.−18C.−116D.−126. “直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 过点A(1,4)，且横、纵截距的绝对值相等的直线的条数为（）A.1B.2C.3D.48. 已知倾斜角为45∘的直线l 过椭圆x 24+y 2=1的右焦点，则l 被椭圆所截的弦长是（）A.25B.45C.65D.859. 已知△ABC 的周长为10，且顶点B(−2,0)，C(2,0)，则顶点A 的轨迹方程( )A.x 29+y 25=1(y ≠0)B.x 25+y 29=1(y ≠0)C.x 26+y 24=1(y ≠0)D.x 24+y 26=1(y ≠0)10. 已知方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，且该椭圆两焦点间的距离为4，则离心率e =（）A.√66B.√63C.√33D.√3211. 设直线x +2020y −1＝0的斜率为k ，则k ＝（）A.2020B.−2020C.12020D.−1202012. 已知双曲线ω：(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线ω上的一点，若∠F 1PF 2＝120∘，且△F 1PF 2外接圆与内切圆的半径之比为8:1，则双曲线ω的离心率为（） A. B. C.D.2卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13. （5分）设F 1，F 2是双曲线x 2−y 2=4的两个焦点，P 是双曲线上任意一点，过F 1作∠F 1PF 2平分线的垂线，垂足为M ，则点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是________.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，P 是椭圆C 上任意一点，且点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若过点M(2,0)的直线与椭圆C 相交于不同两点A ，B ，设N 为椭圆上一点，是否存在整数t ，使得t ⋅→ON =→OA +→OB （其中O 为坐标原点）？若存在，试求整数t 的所有取值；若不存在，请说明理由．15. 如图，光线从点 A(−4,1) 出发经过x 轴反射后恰好过点 B(1,4).(1)求反射光线l 所在的直线方程；(2)若反射光线l 与两坐标轴交于C,D 两点，点P 在圆 x 2+y 2−2x =0 上运动，求△PCD 的面积的最大值. 16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−2,1)，P 是动点，且k OP +k OA ＝k PA ．（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过A 作斜率为1的直线与轨迹C 相交于点B ，点T(0,t)(t >0)，直线AT 与BT 分别交轨迹C 于点A 1、B 1，设直线A 1B 1的斜率为k ，是否存在常数λ，使得t ＝λk ，若存在，求出λ值，若不存在，请说明理由． 17. 已知双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±√3x ，右顶点为(1,0)．（1）求双曲线C 的方程；（2）已知直线y =x +m 与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，且线段AB 的中点为M(x 0,y 0)．当x 0≠0时，求y 0x 0的值．18. 已知抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2) .(1)求抛物线C 的标准方程；(2)经过点A(−1,0)的直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），O 是坐标原点，圆O 与直线l 相切于点E ，设→AE =λ→AB ，求实数λ的值． 19. 已知F 是椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点，点M 在椭圆上， MF ⊥x 轴，|MF|=√2，椭圆的短轴长等于4．(1)求椭圆的标准方程；(2)设P 为直线l:x =3√2上一点，Q 为椭圆C 上一点，且以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，求|OP|2−16|OQ|2的取值范围．参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中考试一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】C【考点】直线的倾斜角【解析】【解答】解：过O 3作x 轴平行线O 3E ，则∠OO 3E =α≈16∘．由五角星的内角为36∘，可知∠BAO 3=18∘，所以直线AB 的倾斜角为18∘−16∘=2∘．故选C ．2.【答案】C【考点】命题的否定全称命题与特称命题【解析】由全称命题的否定为特称命题，即可得出答案.【解答】解：由全称命题的否定为特称命题可知，命题p:“∀x ∈R ，x 2−x >0"的否定为“∃x ∈R ，x 2−x ≤0”.故选C.3.【答案】C【考点】双曲线的标准方程双曲线的定义【解析】利用双曲线的定义，确定△MNF 周长最小时，N 的坐标，即可求出△MNF 周长最小时，该三角形的面积【解答】解：双曲线C:x 2−y 28=1，∴左焦点为F 1(−3,0)，右焦点为F(3,0)，△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(|PF 1|+2a)=|AF|+|AP|+|PF 1|+2a≥|AF|+|AF 1|+2a ，当且仅当A ，P ，F 1三点共线时，三角形周长最小．此时直线AF 1的方程为y =2√6x +6√6，代入双曲线方程中，可求得的纵坐标为2√6（负值舍去），∴△APF 周长最小时，该三角形的面积为12×6×(6√6−2√6)=12√6．故选C.4.【答案】C【考点】函数的对称性【解析】无【解答】解：因为f(1+x)+f(1−x)=2，所以函数f(x)=x 3+ax 2+bx +2的图象关于点(1,1)对称，所以函数f(x)=(x −1)3+k(x −1)+1=x 3−3x 2+(3+k)x −k ，所以a =−3，b =3+k ，−k =2，解得，a =−3，b =1，所以ab =−3．故选C ．5.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，分别求出A ，B ，M 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出【解答】设切线MA 的方程为x ＝ty +m ，代入抛物线方程得y 2−ty −m ＝0，由直线与抛物线相切可得△＝t 2+4m ＝0，则A(t 24,t2)，B(t 24,−t2)，将点A 的坐标代入x ＝ty +m ，得m =−t 24，∴M(−t 24,0)，∴→MA ⋅→MB =(t 22,t2)⋅(t 22,−t2)=t 44−t 24=14(t 2−12)2−116，则当t 2=12，即t ＝±√22时，→MA ⋅→MB 的最小值为−1166.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】本题的关键是弄清两直线平行的等价条件，再结合充分必要条件的判断【解答】解：充分性：若“直线 ax +2y −1=0与直线 x +(a +1)y +4=0平行”，那么a(a +1)=2×1，所以a =1或a =−2.必要性：若a =1，那么直线x +2y −1=0与直线 x +2y +4=0显然是平行的.故“直线ax +2y −1=0和直线x +(a +1)y +4=0平行”是“a =1”的必要不充分条件.故选B.7.【答案】C【考点】各直线方程式之间的转化直线的截距式方程【解析】当截距为0时，设y ＝kx ，待定系数法求k 值，即得所求的直线方程；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或xa +y−a =1，待定系数法求a 值，即得所求的直线方程．【解答】当截距为0时，设y ＝kx ，把点A(1,4)代入，则得k ＝4，即y ＝4x ；当截距不为0时，设 xa +ya =1，或 xa +y−a =1，过点A(1,4)，则得a ＝5，或a ＝−3，即x +y −5＝0，或x −y +3＝0这样的直线有3条：y ＝4x ，x +y −5＝0，或x −y +3＝0．8.【答案】D【考点】椭圆的定义和性质与椭圆有关的中点弦及弦长问题【解析】求出椭圆的焦点坐标，根据点斜率式设直线方程，与椭圆方程消去y ，利用根与系数的关系，根据弦长公式即可算出弦长．【解答】解：椭圆x 24+y 2=1，a =2，b =1，c =√a 2−b 2=√3，则椭圆的右焦点 (√3,0)，直线倾斜角为45∘，即斜率为1，设直线方程为y =x +m ，代入椭圆右焦点(√3,0)，解得： m =−√3，则直线方程为y =x −√3.设直线与椭圆两交点分别为A (x 1，y 1),B(x 2，y 2)，则{x 24+y 2=1，y =x −√3，整理得：54x 2−2√3x +2=0，由韦达定理可知：x 1+x 2=8√35，x 1x 2=85，由弦长公式可知l 被椭圆所截的弦长为|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√2⋅√(8√35)2−4×85=85，∴|AB|=85．故选D ．9.【答案】A【考点】椭圆的定义轨迹方程【解析】由椭圆的定义求出a ，b ，再结合当A 与C ，B 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，得到顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).【解答】解：由题意知，|BC =4|，所以|AC|+|AB|=10−|BC|=6>|BC|，故动点A 在以B ，C 为焦点的椭圆上，且2a =6，2c =4，所以a =3，c =2，即a 2=9，c 2=4，从而b 2=a 2−c 2=5，当A 与B ，C 共线时，A ，B ，C 三点不能围成三角形，故轨迹不含x 轴上的两点，所以顶点A 的轨迹方程为x 29+y 25=1(y ≠0).故选A ．10.【答案】B【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程椭圆的离心率【解析】此题暂无解析【解答】解：因为方程x 24−n 2+y 24+n 2=1表示椭圆，所以a 2=4+n 2，b 2=4−n 2，所以c 2=a 2−b 2=4+n 2−(4−n 2)=2n 2，所以c =√2|n|，因为焦距为4，所以2c =2√2|n|=4，解得|n|=√2，所以a =√6，c =2，所以e =ca =2√6=√63，故选B ．11.【答案】D【考点】直线的斜率【解析】将直线方程化为斜截式，可得它的斜率．【解答】将直线方程化为斜截式，y =−12020x +12020，斜率为−12020．12.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本题共计 1 小题，共计5分）13.【答案】5【考点】双曲线的应用点到直线的距离公式直线与双曲线结合的最值问题直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，延长PF 2与直线F 1M 交于N ，连接OM ，可得|PF 1|=|PN|，|MF 1|=|MN|.又|F 1O|=|OF 2|，所以OM//F 2N ，OM =12F 2N ，所以|OM|=12|F 2N|=12(|PN|−|PF 2|)=12(|PF 1|−|PF 2|)=12×2a =2，故点M 的轨迹为以O 为圆心，2为半径的圆，所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=4，则圆心O 到直线x +y −3√2=0的距离为：d =|−3√2|√1+1=3，所以圆上一点到直线x +y −3√2=0的距离的最大值为：3+2=5，即点M 到直线x +y −3√2=0的距离的最大值是5.故答案为：5.三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）14.【答案】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的定义【解析】(Ⅰ)由离心率为√22，可得a 2＝2b 2，代入点(0,−1)，可求解a ，b 的值，则椭圆方程可求；(Ⅱ)设出直线方程，和椭圆联立后化为关于x 的一元二次方程，由判别式大于0求出k 的范围，利用根与系数关系得到A ，B 两点的横坐标的和与积，代入t ⋅→ON =→OA +→OB 后得到P 点的坐标，把P 点坐标代入椭圆方程后得到t 与k 的关系，由k 的范围确定t 的范围，可得结论．【解答】（1）由题知离心率为√22，所以a 2＝2b 2．又因为点P 到椭圆C 的一个焦点的最大距离等于√2+1，所以a +c =√2+1，所以b 2＝1，a 2＝2．故C 的方程为x 22+y 2=1（2）由题意知直线直线AB 的斜率存在．设AB 方程为y ＝k(x −2)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x,y)，由y ＝k(x −2)代入x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2−8k 2x +8k 2−2＝0．△＝64k 2−4(2k 2+1)(8k 2−2)>0，∴k 2<12． x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2−21+2k 2，∵t ⋅→ON =→OA +→OB ，∴(x 1+x 2,y 1+y 2)＝t(x,y)．∴x =8k 2t(1+2k 2)，y =−4kt(1+2k 2)．∵点N 在椭圆上，∴[8k 2t(1+2k 2)]2+2•[−4kt(1+2k 2)]＝2，∴16k 2＝t 2(1+2k 2)，∴t 2=161k 2+2<4，∴−2<t <2．∴整数t 值为−1，0，1．15.【答案】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可知：点 A(−4,1) 关于x 轴的对称点为 A ′(−4,−1)，所以直线l 的斜率为 k =1，所以直线l 的方程为 x −y +3=0 ；(2)由(1)可知： C(−3,0),D(0,3),∴|CD|=3√2.将圆 x 2+y 2−2x =0 化为标准方程为 (x −1)2+y 2=1,故圆心 (1,0) 到直线l 的距离为 d =4√2=2√2,所以P 到直线l 的最大距离为 2√2+1,所以 △PCD 的面积的最大值为S =12×3√2×(2√2+1)=12+3√22.16.【答案】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．【考点】轨迹方程【解析】（1）设P 的坐标，可得直线OA ，OP ，PA 的斜率，由题意可得P 的轨迹C 的方程；（2）由题意可得直线AB 的方程，与轨迹C 的方程联立求出B 的坐标，进而求出直线AT ，BT 的方程，分别与曲线C 联立求出A 1，B 1的坐标，求出直线A 1B 1的斜率k 的表达式可得k 与t 的关系，进而可得常数λ的值满足条件．【解答】设P(x,y)，由题意可得k OP ＝，k OA ＝，k PA ＝，而k OP +k OA ＝k PA ．所以-＝，整理可得：x 2＝4y ，所以动点P 的轨迹C 的方程为：x 2＝4y(x ≠0且x ≠−2)；由题意直线AB 的方程为：y −1＝x +2，即y ＝x +3，代入曲线C 中可得x 2−4x −12＝0，解得x ＝6或x ＝−2，所以可得B(6,9)，直线AT 的方程为：y ＝x +t ，代入抛物线的方程：x 2−2(t −1)x −t ＝0，所以−2⋅x ＝−t ，所以x ＝，所以y ＝，所以A 1（，），直线BT 的方程为：y ＝x +t ，与抛物线联立x 2+x −t ＝0，所以6⋅x ＝−t ，所以x ＝-，y ＝，所以B 1(−，），由题意可得k ＝＝，所以t ＝3k ，由题意t ＝λk ，所以λ＝3．所以存在λ＝3满足条件．17.【答案】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．【考点】圆锥曲线的综合问题双曲线的标准方程【解析】（1）由双曲线的渐近线方程为：y =±ba x ，得到ba =√3，又a =1，即可得到双曲线的方程；（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y ，得到x 的方程，再由判别式大于0，运用韦达定理，以及中点坐标公式，得到中点的横坐标，再由直线方程得到纵坐标，进而得到答案．【解答】解：（1）双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线方程为：y =±ba x ，则由题意得，ba =√3，a =1，解得b =√3，则双曲线的方程为：x 2−y 23=1；（2）联立直线方程和双曲线方程，得到，{y =x +mx 2−y 23=1，消去y ，得2x 2−2mx −m 2−3=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则判别式△=4m 2+8(m 2+3)>0，x 1+x 2=m ，中点M 的x 0=m2，y 0=x 0+m =32m ，则有y 0x 0=3．18.【答案】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．【考点】抛物线的标准方程抛物线的性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线的综合问题抛物线的求解【解析】无无【解答】解：(1)由题意，得抛物线C:y 2=2px(p >0)经过点P (12,√2)，则2p ×12=2，解得p =2，故抛物线C 的标准方程为y 2=4x ．(2)由题意可知，直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立{y =k(x +1)，y 2=4x ，整理，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，又直线l 与抛物线C 相切于点B （点B 在第一象限），则Δ=(2k 2−4)2−4k =0，解得k =1或k =−1（不符合题意，舍去），当k =1时，x 2−2x +1=0，解得x =1，则点B 的坐标为B(1,2)，∴|AB|=2√2．如图，连接OE ，则OE ⊥AB ，且△AOE 为等腰直角三角形，|AE|=|OE|=√22，∴|AB|=4|AE|，∴λ=14．19.【答案】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．【考点】椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用圆锥曲线的综合问题【解析】无无【解答】解：(1)由题意设F(c,0)，则M(c,y 0)，将点M(c,y)带入椭圆方程，解得y 0=b 2a ，则|MF|=|y 0−0|=b 2a =√2，2b =4，解得b =2，a =2√2，故椭圆的标准方程为x 28+y 24=1．(2)设P (3√2,t )，Q (x 1,y 1)，∵以PQ 为直径的圆过坐标原点O ，∴→OP ⋅→OQ =0，即3√2x 1+ty 1=0，联立{3√2x 1+ty 1=0,x21+2y 21=8,得x 21=8t 2t 2+36，y 21=144t 2+36，∴|OP|2−16|OQ|2=18+t 2−16(x 21+y 21)=18+t 2−16(8t 2+144t 2+36)=t 2+2304t 2+36−110=t 2+36+2304t 2+36−146≥96−146=−50，当且仅当t 2+36=2304t 2+36=48，即t =±2√3时等号成立.综上，|OP|2−16|OQ|2≥−50．。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1. 直线的倾斜角的取值范围是 A.B.C.D.2. 下列直线与直线平行的是( )A.B.C.D.3. 在中，为线段的中点，点在边上，且，与交于点，则（）A.B.C.D.x +(+1)y +1=0(a ∈R)a 2()[0,]π4[,π)3π4[0,]∪(,π)π4π2[,)∪[,π)π4π23π4x −2y +1=02x +y −1=0x +2y −1=02x −y −1=0x −2y −1=0△ABC D AC E BC =BE −→−13EC −→−AE BD O =AO −→−+25AB −→−45AC −→−AB +3515AC −→−+15AB −→−35AC −→−+25AB −→−25AC −→−:+=124. 已知为椭圆的左、右焦点，点在上，，则等于（）A.B.C.D.5. 垂直于直线且与圆相切于第三象限的直线方程是（）A.B.C.D.6. 已知直线与单位圆相交于，两点，且圆心到的距离为，则的取值范围是（）A.B.C.D.7. 如图，在正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，且，点是的中点，则直线与侧面所成角的正切值的最小值是( )A.,F 1F 2C :+=1x 24y 2P C ∠P =F 1F 260∘⋅PF 1−→−PF 2−→−243234y =x −2+=1x 2y 2x +y +=02–√x +y −=02–√x +y +1=0x +y −1=0l O A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2O l 3–√2|+|+|+|x 1y 1x 2y 2[,]6–√26–√[,]3–√6–√[,]6–√23–√[,]2–√3–√ABC −A 1B 1C 1a b a ≥b D BC 1AD ABB 1A 1130−−−√13–√B.C.D.8. 如图，已知是双曲线的左、右交点，若直线与双曲线交于两点，且四边形是矩形，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.9. 到直线的距离为的直线方程是（）A.B.或C.D.或10. 已知圆：，则过点的圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是( )A.B.C.D.6–√33–√339−−√13，F 1F 2C ：−=1(a >0，b >0)x 2a 2y 2b 2y =x 3–√C P ，Q P O F 1F 25−25–√5+25–√+13–√−13–√3x −4y −1=023x −4y −11=03x −4y −11=03x −4y +9=03x −4y +9=03x −4y +11=03x −4y −9=0C (x −1+=25)2y 2P(2,−1)C 1031−−√1023−−√921−−√911−−√=1(m >6)2211. 已知椭圆的焦距为，则 A.B.C.D. 12. 能说明命题“若为无理数，则也是无理数”是假命题的反例是（）A.B.C.D.卷II （非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若直线和直线互相垂直，则的值为________.14. 椭圆的离心率是________．15. 已知点是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和．若圆心到直线的距离的最大值为，则实数________ .16. 已知，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆动时，的内心的轨迹方程为________．三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分） 17. 已知椭圆的两个焦点分别为，，离心率．求椭圆的方程；一条不与坐标轴平行的直线与椭圆交于不同的两点，，且线段的中点的横坐标为，求直线的斜率的取值范围．18. 已知点在圆上．+=1(m >6)x 26y 2m2m =()37−−√37749x x 2x =−12–√x =+12–√x =32–√x =−3–√2–√ax +y +1=0x +a (a +1)y +1=0a +=1x 29y 24P l :y =x +m(m >0)P O :+=4x 2y 2A B O AB 2–√m =F 1F 2C :+=1x 24y 23P C △PF 1F 2I (0,−2)F 12–√(0,2)F 22–√e =22–√3(1)(2)l M N MN −12l (2,−3)C :+−8x +6y +m =0x 2y 2(1)求该圆的圆心坐标及半径长；过点，斜率为的直线与圆相交于，两点，求弦的长．19. 双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点，求其方程.20. 已知椭圆经过一点，左、右焦点分别为，，是椭圆上一动点，当垂直于轴时，．求椭圆的标准方程；过点，斜率为的直线交椭圆于，两点，且为钝角（为坐标原点），求的取值范围． 21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，平面平面，点、分别为、的中点．（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，并求出的值；若不存在，说明理由．22. 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为且双曲线过点求双曲线的方程；若点在双曲线上，（其中，求的值．(1)(2)M (−1,1)−43l C A B AB +=1x 227y 236(,4)15−−√C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(1,)3–√2F 1F 2P PF 2x |P |=F 212(1)C (2)F 1k l A B ∠AOB O k P −ABCD ABCD PA =PD PAD ⊥ABCD M N BC PA MN//PCD BD Q MNQ ⊥ABCD BQ DQ F 1F 22–√P(4,−)10−−√(1)(2)M (3,m)m <0)⋅MF 1−→−−MF 2−→−−参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、选择题（本题共计 12 小题，每题 5 分，共计60分）1.【答案】B【考点】直线的倾斜角【解析】由直线的方程得斜率等于，由于，设倾斜角为，则，，求得倾斜角的取值范围．【解答】解：直线的斜率等于，由于，设倾斜角为，则，，∴.故选．2.【答案】D【考点】两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】分别求出各条直线的斜率，然后利用平行直线的斜率关系即可求解.【解答】解：由题意，直线的斜率为，−1+1a 20>−≥−11+1a 2α0≤α<π−1≤tan α<0αx +(+1)y +1=0(a ∈R)a 2−1+1a 20>−≥−11+1a 2α0≤α<π−1≤tan α<0≤α<π3π4B x −2y +1=012A直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故错误；直线的斜率为，故正确.所以与平行的是.故选.3.【答案】B【考点】向量在几何中的应用【解析】设，，将分别用含有、的算式表示出来，根据向量相等得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，即可表示出【解答】解：依题意，设，，则同理，所以解得 2x +y −1=0−2A x +2y −1=0−12B 2x −y −1=02C x −2y −1=012D x −2y +1=0x −2y −1=0D =λBO −→−OD −→−=μAO −→−AE −→−||AO −→−λμλμλμAO−→−=λBO −→−BD −→−=μAO −→−AE −→−=μ=μ(+)AO −→−AE −→−AB −→−BE −→−=μ(+)AB −→−14BC −→−=μ[+(−)]=+AB −→−14AC −→−AB −→−3μAB −→−4μ4AC −→−=+=+λAO −→−AB −→−BO −→−AB −→−BD −→−=+λ(−)=+λ(−)AB −→−AD −→−AB −→−AB −→−12AC −→−AB −→−=(1−λ)+AB −→−λ2AC −→− =1−λ,3μ4=,μ4λ2 λ=25μ=45+−→−3−→−1−→−所以．故选．4.【答案】C【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】设点在椭圆上，则，在中，由余弦定理知，即，又，∴.．5.【答案】A【考点】点到直线的距离公式【解析】【解答】解：设所求方程为，圆心到直线的距离为，所以．故选．6.【答案】A【考点】直线与圆相交的性质=+AO −→−35AB −→−15AC −→−B P C |P |+|P |=4F 1F 2△PF 1F 24=|P +|P c 2F 1|2F 2|2−2|P |⋅|P |cos F 1F 260∘|P +|P −|P |⋅F 1|2F 2|2F 1|P |=12F 2|P +|P −|P |⋅|P |=F 1|2F 2|2F 1F 2(|P |+|P |−3|P |⋅|P |=12F 1F 2)2F 1F 2|P |F 1|P |=,⋅=F 243PF 1−→−PF 2−→−23y =−x +m(m <0)r ==1|m|2–√m =−2–√A直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】17.【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】此题暂无解析【解答】解：如图所示，取中点，连接．过作于点，过点作交平面于点，连接.易知是的中位线，∴.平面平面，平面平面，平面，∴平面，则是直线与侧面所成的平面角.，平面，平面，∴平面.平面平面，∴∴四边形是平行四边形，，，BC E DE E EF ⊥AB F D DG //EF ABB 1A 1G AG,FG,AE DE △BCC 1DE//C //B C 1B 1∵AB ⊥B 1A 1ABC AB ∩B 1A 1ABC =AB EF ⊥AB ，∴EF ⊥AB .B 1A 1∵DG//EF DG ⊥ABB 1A 1∠DAG AD ABB 1A 1∵DE//BB 1DE ⊂ABB 1A 1B ⊂B 1ABB 1A 1DE//ABB 1A 1∵DEFG∩AB =FG B 1A 1DE//FG,DEFG ∴GD =EF =×BC =a 3–√2123–√4FB =×BC =a 121214F =a 3∴ .又，∴ .在中，．∴，得.∴，当且仅当时取等号.故直线与侧面所成角的正切值的最小值是.故选.8.【答案】C【考点】双曲线的离心率【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】B【考点】直线的一般式方程两条平行直线间的距离AF =a 34FG =DE =C =b 12C 112AG ==A +F F 2G 2−−−−−−−−−−√+(a)342(b)122−−−−−−−−−−−−−−√=+916a 214b 2−−−−−−−−−−√Rt △DAG tan ∠DAG =GD AG =a 3–√4+916a 214b 2−−−−−−−−−−√=a 3–√9+4a 2b 2−−−−−−−−√==3a 29+4a 2b 2−−−−−−−−√39+4b 2a 2−−−−−−− ∵a ≥b,≤b 2a 20<≤1b 2a 2tan ∠DAG =≥=39+4b2a 2−−−−−−− 39+4×1−−−−−−−−√39−−√13a =b AD ABB 1A 139−−√13D【解析】设到直线的距离为的直线方程是，由两平行线间的距离公式得，解方程求出值，即得所求的直线的方程．【解答】解：设到直线的距离为的直线方程是，由两平行线间的距离公式得，，或．∴到直线的距离为的直线方程是，或，故选．10.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意，为经过点的圆的直径，而是与垂直的弦．因此算出的长，利用垂直于弦的直径的性质算出长，根据四边形的面积公式即可算出四边形的面积．【解答】解：∵圆的方程为：，∴圆心坐标为，半径．∵是该圆内一点，∴经过点的直径是圆的最长弦，且最短的弦是与该直径垂直的弦．结合题意，得是经过点的直径，是与垂直的弦．∵，∴由垂径定理，得．因此，四边形的面积是．故选．11.【答案】C3x −4y −1=023x −4y +c =0=2|c +1|5c 3x −4y −1=023x −4y +c =0=2|c +1|5c =−11c =93x −4y −1=023x −4y −11=03x −4y +9=0B AC P BD AC PM BD ABCD (x −1+=25)2y 2M(1,0)r =5P(2,−1)P AC P BD AC |PM |=2–√|BD |=2=225−2−−−−−√23−−√ABCD S =|AC |⋅|BD |12=×10×2=101223−−√23−−√B椭圆的定义和性质【解析】【解答】解：依题意可得，则．故选.12.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用命题的否定四种命题间的逆否关系【解析】此题暂无解析【解答】解：、，是无理数，不符合题意；、，是无理数，不符合题意；、，是有理数，符合题意；、，是无理数，不符合题意；故选．二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】或【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系【解析】=m −6=1c 2m =7C A ==3−2x 2(−1)2–√22–√B ==3+2x 2(+1)2–√22–√C ==18x 2(3)2–√2D ==5−2x 2(−)3–√2–√26–√C −20【解答】解：因为直线与直线互相垂直，所以，解得或．故答案为：或．14.【答案】【考点】椭圆的定义和性质【解析】此题暂无解析【解答】由题意得，所以，所以，则椭圆的离心率．【易错点拨易错点拨】在椭圆中有，在双曲线中有，注意区分记忆．本题考查椭圆的概念．15.【答案】【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程点到直线的距离公式【解析】【解答】解：连接，，，，如图，ax +y +1=0x +a (a +1)y +1=0a ×1+a (a +1)=0a =0a =−2−205–√3=9,=4a 2b 2=−=5c 2a 2b 2a =3,c =5–√e ==c a 5–√3=−c 2a 2b 2=+c 2a 2b 24OA OB OP AB设与相交于点，则被垂直平分，∵为圆的切线，∴，圆心到直线的距离为，在中，有，即，∴圆心到直线的距离最大时，最小，的最小值为 .又∵的最小值为圆心到直线的距离，∴，解得 . ∵，∴ .故答案为：.16.【答案】＝【考点】椭圆的离心率【解析】求得椭圆的，，，延长交轴于，设，，，设＝，＝，运用内角平分线定理和椭圆的定义，由代入法即可得到所求轨迹方程．【解答】椭圆的＝，，＝，延长交轴于，设，，，连接，，设＝，＝，则＝＝，＝，＝，由内角平分线定理可得，，可得，，由椭圆的焦半径公式可得：AB OP E AB OP AP O OA ⊥AP O AB OE Rt △OAP |OA =|OE|⋅|OP||2|OE|⋅|OP|==4r 2O AB OE OP |OP|22–√|OP|O y =x +m =2|m|2–√2–√|m|=4m >0m =44+3x 2y 21(y ≠0)a b c PI x M P(,)x 0y 0I(x,y)M(m,0)PF 1s PF 2t C :+=1x 24y 23a 2b =3–√c 1PI x M P(,)x 0y 0I(x,y)M(m,0)IF 1IF 2PF 1s PF 2t s +t 2a 4MF 1m +1MF 21−m =s t m +11−m ====2PI IM s m +1t 1−m s +t 2x =+2m x 01+2y ==y 01+2y 03，即，可得＝，＝，代入椭圆可得，即有＝，三、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：根据题意，设椭圆的标准方程为，，，∵∴，，∴椭圆的标准方程为：．设直线的方程为，联立方程组整理，得，∴，化简，得，，，∵的中点的横坐标，∴，∴，可得，两边平方并整理得，，∴，又，∴，解得或（舍去），∴或，∴的取值范围为．【考点】=m +11−m 2+12x 02−12x 0m =14x 0x 02x y 03y +=14x 249y 23+3x 2y 21(y ≠0)(1)+=1y 2a 2x 2b 2(a >b >0)c ==2,−a 2b 2−−−−−−√2–√e ==,c a 22–√3a =3b =1+=1y 29x 2(2)l y =kx +b y =kx +b,+=1,y 29x 2(9+)+2kbx +−9=0k 2x 2b 2Δ=(2kb −4(9+)(−9)>0)2k 2b 2−+9>0k 2b 2+=−x 1x 22kb 9+k 2⋅=x 1x 2−9b 29+k 2MN −12(+)=−12x 1x 212+=−1x 1x29+=2kb k 2(9+=4k 2)2k 2b 2=b 2(9+k 2)24k 2−+9>0k 2b 2−+9>0k 2(9+k 2)24k 2>3k 2<−9k 2k <−3–√k >3–√k (−∞,−)∪(,+∞)3–√3–√椭圆的标准方程【解析】（1）首先，根据椭圆的焦点位置，设出其标准方程，然后，结合离心率求解其中参数，从而确定其标准方程；（2）设直线的方程，然后，联立方程组，消去一个未知量，转化成一元二次方程的思想求解．【解答】解：根据题意，设椭圆的标准方程为，，，∵∴，，∴椭圆的标准方程为：．设直线的方程为，联立方程组整理，得，∴，化简，得，，，∵的中点的横坐标，∴，∴，可得，两边平方并整理得，，∴，又，∴，解得或（舍去），∴或，∴的取值范围为．18.【答案】解：由题可知：，解得，，所以圆的标准方程为，(1)+=1y 2a 2x 2b 2(a >b >0)c ==2,−a 2b 2−−−−−−√2–√e ==,c a 22–√3a =3b =1+=1y 29x 2(2)l y =kx +b y =kx +b,+=1,y 29x 2(9+)+2kbx +−9=0k 2x 2b 2Δ=(2kb −4(9+)(−9)>0)2k 2b 2−+9>0k 2b 2+=−x 1x 22kb9+k 2⋅=x 1x 2−9b 29+k 2MN −12(+)=−12x 1x 212+=−1x 1x 29+=2kb k 2(9+=4k 2)2k 2b 2=b 2(9+k 2)24k 2−+9>0k 2b 2−+9>0k 2(9+k 2)24k 2>3k 2<−9k 2k <−3–√k >3–√k (−∞,−)∪(,+∞)3–√3–√(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．【考点】圆的一般方程圆的标准方程直线和圆的方程的应用点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由题可知：，解得，，所以圆的标准方程为，所以圆心坐标为，半径.由题意得，直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为：，所以弦长．19.【答案】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．4x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125(1)+−8×2+6×(−3)+m =022(−3)2m =21C +=4(x −4)2(y +3)2C (4,−3)r =2(2)l y −1=(−)(x +1)434x +3y +1=0C l d ==|4×4+3×(−3)+1|+4232−−−−−−√85|AB|=2=−r 2d 2−−−−−−√125=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m(，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25双曲线的标准方程【解析】【解答】解：由题意得：，．∵，∴．∴椭圆的焦点，．设双曲线方程为，∵点在曲线上，代入双曲线的方程可得或（舍）．∴双曲线的方程为．20.【答案】解：∵椭圆经过一点，∴①，又当垂直于轴时，，∴②，联立①②，解得，，故椭圆的标准方程为.由可知，椭圆的标准方程为，∴，∴，当直线斜率时，显然，不符合题意；当时，设直线，且，，则整理，得，∴，，∴.又为钝角，=36a 2=27b 2=−=9c 2a 2b 2c =3(0,−3)F 1(0,3)F 2−=1y 2m x 29−m (，4)15−−√m =4m =36−=1y 24x 25(1)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(1,)3–√2+=11a 234b 2PF 2x |P |=F 212=b 2a 12a =2b =1C +=1x 24y 2(2)(1)C +=1x 24y 2c =3–√(−,0)F 13–√k =0∠AOB =180∘k ≠0l :y =k (x +)3–√A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2 +=1，x 24y 2y =k (x +)，3–√(1+4)+8x +12−4=0k 2x 23–√k 2k 2+=−x 1x 283–√k 21+4k 2=x 1x 212−4k 21+4k 2=k (+)⋅k (+)y 1y 2x 13–√x 23–√=[+(+)+3]k 2x 1x 23–√x 1x 2=−k 21+4k 2∠AOB综上所述，的取值范围为．【考点】椭圆的定义和性质椭圆的标准方程椭圆的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：∵椭圆经过一点，∴①，又当垂直于轴时，，∴②，联立①②，解得，，故椭圆的标准方程为.由可知，椭圆的标准方程为，∴，∴，当直线斜率时，显然，不符合题意；当时，设直线，且，，则整理，得，∴，，∴.又为钝角，k (−,0)∪(0,)211−−√11211−−√11(1)C :+=1(a >b >0)x 2a 2y 2b 2(1,)3–√2+=11a 234b 2PF 2x |P |=F 212=b 2a 12a =2b =1C +=1x 24y 2(2)(1)C +=1x 24y 2c =3–√(−,0)F 13–√k =0∠AOB =180∘k ≠0l :y =k (x +)3–√A (,)x 1y 1B (,)x 2y 2 +=1，x 24y 2y =k (x +)，3–√(1+4)+8x +12−4=0k 2x 23–√k 2k 2+=−x 1x 283–√k 21+4k 2=x 1x 212−4k 21+4k 2=k (+)⋅k (+)y 1y 2x 13–√x 23–√=[+(+)+3]k 2x 1x 23–√x 1x 2=−k 21+4k 2∠AOB综上所述，的取值范围为．21.【答案】【考点】与二面角有关的立体几何综合题直线与平面平行的判定【解析】【解答】22.【答案】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上，，即，∴．【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题双曲线的标准方程k (−,0)∪(0,)211−−√11211−−√11(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−此题暂无解析【解答】解：∵，∴可设双曲线的方程，∵双曲线过点，∴，即，∴双曲线的方程.∵∴∵点在双曲线上，，即，∴．(1)e =2–√−=λx 2y 2P(4,−)10−−√16−10=λλ=6−=6x 2y 2(2)=(−3−2,−m),MF 1−→−−3–√MF 2−→−−=(2−3,−m)3–√⋅=(−3−2)×(2−3)MF 1−→−−MF 2−→−−3–√3–√+=−3+m 2m 2M ∴9−=6m 2−3=0m 2⋅=0MF 1−→−−MF 2−→−−。

高二数学上学期期中考试试题A试题_2(共9页)

咸水(xián shuǐ)沽镇2021-2021学年高二数学上学期期中考试试题〔无答案〕新人教A版一、选择题〔一共10小题,每一小题5分,一共50分.在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项最符合题目要求的，请将正确答案的序号填涂到答题卡上．〕1．以下说法不正确的选项是．．．．．．．A.空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B．同一平面的两条垂线一定一共面；C. 过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D. 过一条直线有且只有一个平面与平面垂直.2．直线经过第一、第二、第四象限，那么应满足A ．B ．C ． D．3. 如图，在正方体中，分别为的中点，那么异面直线与所成的角等于A ．B ．C ．D ．4．假如两直线与互相垂直，垂足为，那么A ．B ．C ．D ．5．圆与直线的位置关系是A．相交(xiāngjiāo) B. 相切C.相离D.直线过圆心6．一空间几何体三视图如下图，那么该几何体的体积为A． B． C．2 D．67. 圆在点处的切线方程为A BC DC、都和两坐标轴相切，且都过点，那么两圆心的间隔8. 设两圆1=A．4 B．8 C． D．9 设是两条直线，是两个平面，那么使成立条件是A. B.C. D.10．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，那么四边形的面积为A．B．C．D．第卷 (非选择题一共100分)二、填空题：〔每一小题4分，一共24分将正确之答案填写上到答题卷的相应位置〕11．直线(zhíxiàn)截圆得到的弦长为。

12．过作直线，使点到l的间隔等于2，那么此直线l的方程。

13．三棱锥的高为，假设三个侧面两两垂直，那么H为△的心。

14．假设直线与曲线有两个交点，那么k的取值范围是。

15．假设直线被圆截得的弦长为4，那么的最小值是。

16．是两条不重合的直线，是三个不重合的平面，给出以下结论：①假设，那么；②假设；③假设；④那么；⑤假设，那么⑥那么。

2022-2023学年人教A版高二上数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高二上数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 已知集合，，则等于( )A.B.C.D.2. 中，点、、分别为、、的中点，则 A.B.C.D.3. 吃开河鱼，是北京人迎接春天的仪式．开河鱼又叫“活人参”，随着冰雪的消融，这个时间打捞上来的鱼，肉质极为鲜美滑嫩，并且营养价值极高．从河里打捞上来的条开河鱼的重量（单位：千克）分别为，，，，，则这组数据的中位数是________.A.B.C.D.4. 设，，则“”是“”的( )A.充要条件A ={x|<4}2xB ={x|y =}x −1−−−−−√A ∩B (2,+∞)[1,+∞)(1,2)[1,2)△ABC D E F AB BC CA −=(AF −→−DB −→−)FD−→−FC−→−FE−→−BE−→−61.58 1.43 1.63 1.85 1.71 1.67.1.631.671.641.65x >0y ∈R x >y x >|y |B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件5. 从装有个红球和个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（）A.至少有一个黑球与都是黑球B.至少有一个黑球与至少有一个红球C.恰有一个黑球与恰有两个黑球D.至少有一个黑球与都是红球6. （理）在正方体中，点在上，且，则（）A.B.C.D.7. 定义在上的偶函数满足，且在区间上是增函数，若，是锐角三角形的两个内角，则( )A.B.C.D.8. 以和为端点的线段的中垂线方程是（）A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）22ABCD −A 1B 1C 1D 1E A 1C 1|E |=||A 114A 1C 1=x +y +z AE −→−AA 1−→−AB −→−AD −→−x =1,y =，z =1212x =，y =1，z =1212x =1,y =，z =1312x =1,y =，z =1414R f (x)f (x +2)=f (−x)[−3,−2]A B f (sin A)>f (cos B)f (sin A)<f (cos B)f (sin A)>f (sin B)f (cos A)>f (cos B)A(1,3)B(−5,1)AB 3x −y +8=0x −3y +8=03x +y +8=03x +y +4=09. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为和，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是 A.目标恰好被命中一次的概率为B.目标恰好被命中两次的概率为C.目标被命中的概率为D.目标被命中的概率为10. 已知函数若，且，则下列结论正确的是( )A.B.C.D.11. 已知是边长为的等边三角形，，分别是，上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是( )A.B.C.D.在方向上的投影为12. 已知动点在双曲线上，双曲线的左、右焦点分别为，，下列结论正确的是( )A.的离心率为B.的渐近线方程为1213()+1213×1213×+×122312131−×1223f(x)={−−2x ，x ≤0，x 2|x|，x >0，log 2<<<x 1x 2x 3x 4f()=f()=f()=f()x 1x 2x 3x 4+=−1x 1x 2=1x 3x 41<<2x 40<<1x 1x 2x 3x 4△ABC 2D E AC AB =AE −→−EB −→−=2AD −→−DC −→−BD CE O ⋅=−1AB −→−CE −→−+=OE −→−OC −→−0→|++|=OA −→−OB −→−OC −→−3–√2ED −→−BC −→−76P C:−=1x 2y 23C F 1F 2C 2C y =±x 3–√3C.动点到两条渐近线的距离之积为定值D.当动点在双曲线的左支上时，的最大值为卷II（非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 如图，已知正方形边长为，点，分别为线段，上一点，且，，为内一点（含边界），设（，为实数），则的最大值为________．14. 已知直线，直线．若直线的倾斜角为，则________；若，则两平行直线间的距离为________．15. 已知函数的图像恒过定点，若点在一次函数的图像上，其中，则的最小值是________．16. 已知棱长为的正方体的各顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17. 已知两直线与，求与间的距离．18. 已知甲袋中装有只白球，只黑球；乙袋中装有只白球，只黑球．在甲袋中任取球，求取出的两球颜色不同的概率；若在甲、乙两袋中各取一球，求取出的两球颜色相同的概率．19. 已知函数图象的对称中心到对称轴的最短距离为．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，其中点是函数图象的一个对称中心．求的解析式；若，且，求的值．20. 如图，在长方体中，底面是边长为的正方形．PP C|P|F1|PF2|214OABC3M N BC AB2BM=MC AN=NB P△BNM=λ+μOP−→−OA−→−OC−→−λμλ−μ13:ax+y−1=0l1:x−y−3=0l2l1π3a= //l1l2A A2:6x−8y−3=0l1:3x−4y+6=0l2l1l22423(1)2(2)f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)π8f(x)2π3g(x)(,0)π12g(x)(1)g(x)(2)g(A)=6–√3<A<5π243π4cos2AABCD−A1B1C1D1ABCD2证明：平面；求异面直线与所成角的大小．21. 某学校为了了解学生对新冠病毒的传播和预防知识的掌握情况，学校决定组织一次有关新冠病毒预防知识竞答．竞答分为必答题（共题）和选答题（共题）两部分．每位同学答题相互独立，且每道题答对与否互不影响．已知甲同学答对每道必答题的概率为，答对每道选答题的概率为.求甲恰好答对道必答题的概率；在选答阶段，若选择回答且答对奖励分，答错扣分，选择放弃回答得分．已知甲同学对于选答的两道题，选择回答和放弃回答的概率均为，试求甲同学在选答题阶段，得分的分布列． 22. 如图，在四棱锥中，，，且，，，和分别是棱和的中点．求证：；求直线与平面所成的角的正弦值．(1)//A 1C 1ACD 1(2)CD AD 1524525(1)4(2)52012X P −ABCD ∠PAB =90°AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘E F CD PC (1)CD ⊥BF (2)PB PCD参考答案与试题解析2022-2023学年高中高二上数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】可以求出集合，，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，所以．故选．2.【答案】D【考点】向量的减法及其几何意义【解析】本题考查的知识点是向量的减法及其几何意义，由、、分别为、、的中点，我们易得，然后根据图形分析答案中的四个变量，易求出与相等的向量，即可求出答案．【解答】解：如下图所示：A B A ={x|<4}={x|x <2}2x B ={x|y =}={x|x ≥1}x −1−−−−−√A ∩B ={x|1≤x <2}=[1,2)D D E F AB BC CA −==AF −→−DB −→−12BC −→−DF −→−DF −→−中，点、、分别为、、的中点则．故选．3.【答案】D【考点】众数、中位数、平均数、百分位数【解析】此题暂无解析【解答】解：将条开河鱼的重量按照从小到大的顺序排列为，，，，，1.，则中位数为.故答案为：.4.【答案】C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】直接根据必要性和充分判断即可．【解答】解：设，，△ABC D E F AB BC CA−AF −→−DB −→−=−12AC −→−12AB−→−=(−)12AC −→−AB −→−===12BC −→−DF −→−BE −→−D 6 1.43 1.581.63 1.67 1.7185(1.63+1.67)=1.65121.65x >0y ∈R x >|y |当，时，满足，但不满足，故“”推不出“”，充分性不成立；而“”“”，必要性成立，故“”是“”的必要不充分条件.故选.5.【答案】C【考点】互斥事件与对立事件【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可【解答】对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴不正确对于：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴不正确对于：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是红球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴正确对于：事件：“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，∴这两个事件是对立事件，∴不正确6.【答案】D【考点】空间向量的基本定理及其意义【解析】利用向量的加减运算，借助于空间向量的基本定理，空间任意一个向量都可用不共面的基向量唯一表示可求．【解答】解：由题意，，故选．7.【答案】x =1y =−1x >y x >|y |x >y x >|y |x >|y |⇒x >y x >y x >|y |C A A B B C C D D =+=+=+(+)AE −→−AA 1−→−E A 1−→−AA 1−→−14A 1C 1−→−−AA 1−→−14AB −→−AD −→−DB【考点】函数的周期性运用诱导公式化简求值函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以，即函数是周期为的函数，又在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，因为偶函数关于轴对称，所以在区间上是减函数；又，是锐角三角形的两个内角，所以即，因此，即，所以 .故选．8.【答案】D【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系直线的一般式方程【解析】先求出线段的中垂线的斜率，再求出线段的中点的坐标，点斜式写出的中垂线得方程，并化为一般式．f (x)f (x +2)=f (−x)f (x +2)=f (−x)=f (x)f (x)2f (x)[−3,−2]f (x)[−1,0]y f (x)[0,1]A BA +B >，π20<A <，π20<B <，π20<−B <A <π2π20<sin(−B)<sin A <1π20<cos B <sin A <1f (sin A)<f (cos B)B AB AB AB【解答】解：直线的斜率为，所以线段的中垂线得斜率，又线段的中点为，所以线段的中垂线得方程为即，故选：．二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】B,D【考点】相互独立事件【解析】①目标恰好被命中一次即是：甲中而乙不中，乙中而甲不中，再依据结论：若，相互独立，则，即可得到正确结论；②目标恰好被命中两次表示甲中并且乙中，再依据结论，即可得到正确结论；③目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，再依据结论，即可；④结合题意，目标没命中为目标被命中的对立事件，依据结论：若，相互对立，则，即可得到正确结论．【解答】解：由题意知，甲、乙两人射击是否命中目标相互独立．目标恰好被命中一次的概率为，故错误；由于目标恰好被命中两次，则两人全部命中，其概率为，故正确；由于目标被命中包括恰好被命中一次，恰好被命中两次，则其概率为，故错误；由于目标没命中的概率是，则目标被命中的概率为，故正确．故答案为．10.【答案】B,C,D【考点】分段函数的应用函数的图象AB =1−3−5−113AB k =−3AB (−2,2)AB y −2=−3(x +2)3x +y +4=0D A B P(AB)=P(A)⋅P(B)A B P(A)=1−P(B)×(1−)+×(1−)12131312×1213×(1−)+×(1−)+×121313121213(1−)×(1−)=×121312231−×1223BD【解析】此题暂无解析【解答】解：画出函数的大致图象如下图，得出，，故错误，正确；由图可知，故正确；因为，，所以，故正确．故选．11.【答案】B,C,D【考点】向量的模向量的加法及其几何意义平面向量数量积向量的投影【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意可知，为中点，则，如图，以为原点，，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系．f(x)+=−2x 1x 2=1x 3x 4A B 1<<2x 4C −2<<−1x 1=(−2−)x 1x 2x 1x 1=−−2=−(+1+1∈(0,1)x 21x 1x 1)2=∈(0,1)x 1x 2x 3x 4x 1x 2D BCD E AB CE ⊥AB E EA EC x y所以，，，，.设，，因为，，而，所以，解得，所以，所以是的中点.选项，，所以，故选项错误；选项，因为是的中点，所以，故选项正确；选项，，所以，故选项正确；选项，，，所以在方向上的投影为：，故选项正确．故选．12.【答案】A,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率基本不等式在最值问题中的应用点到直线的距离公式E (0,0)A (1,0)B (−1,0)C (0,)3–√D (,)1323–√3O (0,y)y ∈(0,)3–√=(1,y)BO −→−=(−,y −)DO −→−1323–√3//BO −→−DO −→−y −=−y 23–√213y =3–√2O(0,)3–√2O CE A ⊥AB −→−CE −→−⋅=0AB −→−CE −→−A B O CE +=OE −→−OC −→−0→B C ++=2+=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−OC −→−OE −→−|++|=||=OA −→−OB −→−OC −→−OE −→−3–√2C D =(,)ED −→−1323–√3=(1,)BC −→−3–√ED −→−BC −→−==⋅ED −→−BC −→−|BC|+213276D BCD【解析】此题暂无解析【解答】解：对于双曲线，，，，∴双曲线的离心率为，渐近线方程为，故选项正确，选项错误；设点的坐标为，则，双曲线的两条渐近线方程分别为：和，则点到两条渐近线的距离之积为：，故选项正确；当动点在双曲线的左支上时，，，，当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为，故选项错误．故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】向量在几何中的应用【解析】如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，表示各点的坐标，根据向量的坐标运算得到，构造目标函数，利用可行域即可求出最值．【解答】C :−=1x 2y 23a =1b =3–√c =2C e ==2cay =±x 3–√A B P (,)x 0y 0−=1x 20y 203C x −y =03–√3x +y =03–√3P |−||+|x 03√3y 0x 03√3y 01+()3√32−−−−−−−−−√1+(−)3√32−−−−−−−−−−√==|−|x 20y 2034334C P C |P |≥c −a =1F 1|P |=2a +|P |=|P |+2F 2F 1F 1|P |F 1|PF 2|2=|P |F 1(|P |+2)F 12=|P |F 1|P +4+4|P |F 1|2F 1=1|P |++4F 14|P |F 1≤=12+4|P |⋅F 14|P |F 1−−−−−−−−−−√18|P |=2F 1|P |F 1|PF 2|218D AC 56OA x OC y λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919OA OC解：如图，以为轴，以为轴，建立直角坐标系，则，，，，∵，，∴，，设，∵（，为实数），∴，∴，即，∴，令，即，由，，得到直线的方程为，则，满足的区域为，如图所示，当目标函数，过点时，最大，则，∴故答案为：14.【答案】,【考点】两条平行直线间的距离直线的倾斜角【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，对于直线，变形可得，若其倾斜角为，则其斜率，则有，即．对于直线，直线，若，则有，解得，则的方程可以变形为．OA x OC y O(0,0)A(3,0)C(0.3)B(3,3)2BM =MC AN =NB M(1,3)N(3,)32P(x,y)=λ+μOP −→−OA −→−OC −→−λμ=λ(3,0)+μ(0,3)=(3λ,3μ)OP −→−{x =3λy =3μλ=x 3μ=y3λ−μ=−=(3x −y)13x 3y 919z =3x −y y =3x −z M(1,3)N(3,)32MN 3x +4x −15=0x y1≤x ≤3≤y ≤3323x +4y −15≥0z =3x −y N(3,)32Z =3×3−=9−=z max 3232152(λ−μ)max =×=13191525656−3–√22–√:ax +y −1=0l 1y =−ax +1π3k =tan =π33–√−a =3–√a =−3–√:ax +y −1=0l 1:x −y −3=0l 2//l 1l 2a ×(−1)+1×1=0a =−1l 1x −y +1=0==2|1−(−3)|则两平行直线间的距离．故答案为：；．15.【答案】【考点】函数的概念及其构成要素空间两点间的距离公式【解析】可得定点，代入一次函数得，利用展开由基本不等式求解．【解答】由可得当时，，故点在一次函数的图像上，，即．当且仅当，即时等号成立，故的最小值是故答案为：16.【答案】【考点】球的表面积和体积【解析】此题暂无解析【解答】四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）d ==2|1−(−3)|+(−112)2−−−−−−−−−√2–√−3–√22–√8A (4,1)2m +n =1+=(+)(2m +n)1m 2n 1m 2ny =(x −3)+1(a >0,a ≠1)log a x =4y =1A (4,1)A y =x +n m 21=×4+n m22m +n =1m >0,n >0+=(+)(2m +n)=++4≥2+4=81m 2n 1m 2n n m 4m n ⋅n m 4m n−−−−−−−√=n m 4m n m =,n =1412+1m 2n 8.8.【答案】解：，，把的方程化为，与间的距离．【考点】两条平行直线间的距离【解析】【解答】解：，，把的方程化为，与间的距离．18.【答案】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率古典概型及其概率计算公式【解析】∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032∵=≠63−8−4−36∴//l 1l 2l 26x −8y +12=0l 1l 2d ===|12+3|+6282−−−−−−√151032(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815无【解答】解：设甲袋中白球为，，黑球为，，，，从中抽取球，可能抽取的情况如下：，，，，，，，，，，，，，，共种情况，两球颜色不同共有种，所以．在甲袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为；在乙袋中取一个球，白球的概率为，黑球的概率为，设在甲、乙两袋中各取一球，取出的两球颜色相同为事件，∴．19.【答案】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以，因为，所以．所以．【考点】正弦函数的周期性两角和与差的余弦公式函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性(1)a 1a 2b 1b 2b 3b 42(,)a 1a 2(,)a 1b 1(,)a 1b 2(,)a 1b 3(,)a 1b 4(,)a 2b 1(,)a 2b 2(,)a 2b 3(,)a 2b 4(,)b 1b 2(,)b 1b 3(,)b 1b 4(,)b 2b 4(,)b 2b 4(,)b 3b 4158P =815(2)13232535A P (A)=×+×=13252335815(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6同角三角函数间的基本关系函数解析式的求解及常用方法【解析】（1）答案未提供解析．【解答】解：，由题意可知，所以．于是，，．因为点是函数图象的一个对称中心，所以，，即，．因为，所以．故函数的解析式为．由，得，因为，所以，因为，所以．所以．20.【答案】（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）异面直线与所成角为．【考点】二面角的平面角及求法异面直线及其所成的角【解析】此题暂无解析(1)f(x)=sin(ωx +φ)−cos(ωx +φ)=sin(ωx +φ−)2–√π4T =×4=π8π2ω==42ππ2f (x)=sin(4x +φ−)2–√π4g(x)=sin(2x +φ−)2–√11π12(,0)π12g(x)2×+φ−=kππ1211π12k ∈Z φ=kπ+3π4k ∈Z 0<φ<πφ=3π4g(x)g(x)=sin(2x −)2–√π6(2)g(A)=sin(2A −)=2–√π66–√3sin(2A −)=π63–√3<A <5π243π4<2A −<π4π64π3<3–√32–√2cos(2A −)=−π66–√3cos 2A =cos[(2A −)+]π6π6=−×−×6–√33–√23–√312=−3+2–√3–√6A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD AD 190∘【解答】解：（1）证明：在长方体中，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵不在平面内，平面，∴平面．（2）解：∵平面，平面，∴，∴异面直线与所成角为．21.【答案】解：甲恰好答对道必答题的概率为依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为【考点】相互独立事件的概率乘法公式离散型随机变量及其分布列【解析】【解答】解：甲恰好答对道必答题的概率为A =C A 1C 1A//C A 1C 1AC A 1C 1//AC A 1C 1A 1C 1ACD 1AC ⊂ACD 1//A 1C 1ACD 1CD ⊥ADD 1A 1A ⊂D 1ADD 1A 1CD ⊥AD 1CD AD 190∘(1)4P =()=.C 45()45415256625(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)4P =()=.C 45()45415256625=121依题意，每道题选择回答并答对的概率为，选择回答且答错的概率为，选择放弃回答的概率为．甲得分的可能性为分，分，分，分，分和分．所以，，，，，．所以的分布列为22.【答案】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，∵，，且，，∵，，(2)×=122515×=123531012−4−203510P(X =−4)=9100P(X =−2)=××()=C 12121235310P(X =0)=×=121214P(X =3)=××()×()=C 1212122535325P(X =5)=××()=C 1212122515P(X =10)=××(=121225)2125X (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.【考点】用空间向量求直线与平面的夹角两条直线垂直的判定【解析】（1）推导出四边形为矩形，从而平面，进而平面，由此能证明．（2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成的角的正弦值．【解答】证明：∵，为中点，∴，∵，，∴，且，∴四边形为矩形，∴，，，而，又，∴平面，∴平面，又∵平面，平面，∴，且，又∵在平面中，，于是，∵，平面，平面，又，∴平面，∵平面，∴．解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n → ⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6ABED AB ⊥PAD CD ⊥BEF CD ⊥BF A AB x AD y A ABCD z PD PBC (1)BC =BD E CD BE ⊥CD AB //CD CD =2AB AB //DE AB =DE ABED BE //AD BE =AD AB ⊥AD AB ⊥PA PA ∩AD =A AB ⊥PAD CD ⊥PAD PD ⊂PAD AD ⊂PAD CD ⊥PD CD ⊥AD PCD EF //PD CD ⊥EF EF ∩BE =E FE ⊂BEF BE ⊂BEF CD ⊥BE CD ⊥BEF BF ⊂BEF CD ⊥BF (2)A AB x AD y A ABCD z∵，，且，，∵，，∴，，，，，，设平面的一个法向量，则令，则.设直线与平面所成的角为，又，∴.∴直线与平面所成的角的正弦值为.AB ⊥PA AB //CD PB =BC =BD =6–√CD =2AB =22–√∠PAD =120∘AB ⊥AD PA ==26−2−−−−√AD ==26−2−−−−√P(0,−1,)3–√C(2,2,0)2–√B(,0,0)2–√D(0,2,0)PCD =(x,y,z)n →⋅=0，n →PD −→−⋅=0，n →CD −→−y =1=(0，1，)n →3–√PB PCD θ=(,1,−)PB −→−2–√3–√sin θ=|cos , |=n →PB −→−|⋅|n →PB −→−||⋅||n →PB −→−==2⋅2+1+3−−−−−−−√1+3−−−−√6–√6PB PDC 6–√6。

河北省蔚县第一中学高二数学上学期期中考试试题新人教A版

题号一二三四五总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单项选择1. 以下各组向量中，不能作为基底的是（） A ．（－2,1）和（0,1） B ．（1,2）和（2,1） C ．（2,4）和（－1,2） D ．（1, 3）和（2,6）2. 已知向量a =(sin ,cos )，b =（3，4），且a //b ，则tan 等于（）A ．43 B ．34 C ． 34 D ．433. 下列给出的赋值语句正确的是（）Ａ．3A = Ｂ．M M =-Ｃ．B A 2== Ｄ．0x y +=4. 若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值是（） A.34- B. 43 C. 43± D.34±5. 从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是( )．、6. 函数)42sin(log 21π+=x y 的单调减区间为（）A ．)(],4(Z k k k ∈-πππ B ．)(]8,8(Z k k k ∈+-ππππC ．)(]8,83(Z k k k ∈+-ππππD ．)(]83,8(Z k k k ∈++ππππ7. 函数2cos2cosxyx+=-的最大值为（）A． 1 B．2 C. 3 D．不存在8. 设甲、乙两名射手各打了10发子弹，每发子弹击中环数如下：甲：10，6，7，10，8，9，9，10，5，10；乙：8，7，9，10，9，8，7，9，8，9则甲、乙两名射手的射击技术评定情况是( )A．甲比乙好 B．乙比甲好 C．甲、乙一样好 D．难以确定9. 若函数则f(x)的最大值为( )10. 设A、B、C是圆21x2＋y＝上不同的三个点，且OA·OB＝0，存在实数λ，μ使OC＝λOA＋μOB，实数λ，μ的关系为（）A．221λμ＋＝ B．111λμ＋＝ C．1λμ⋅＝ D．1λμ＋＝11. 已知函数xxy cossin+=,则下列结论正确的是( )A．此函数的图象关于直线4π-=x对称 B．此函数的最大值为1C．此函数在区间(,)44ππ-上是增函数D．此函数的最小正周期为π12. 函数)(xf=)sin(ϕω+x∈x()2(πϕω<>,部分图像如图所示，如)3,6(,21ππ-∈xx且)()(21xfxf=，则=+)(21xxfA．21B．22C．23D．1第II卷（非选择题）评卷人得分二、填空题13. 如果0tansin>αα且0cotcos<αα，则角α的所在的象限为xyO6π-3π114. 已知α是第二象限的角，其终边上一点为(,5)P a ，且2cos 4a α=，则sin α的值等于15. 一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为 16. 在区间[－1,1]上随机取一个数x ，则使得之间的概率为________．17. 设21,e e 是相互垂直的单位向量，并且向量21213,23e e x b e e a +=+=，如果b a ⊥，那么实数x 等于18. 若点B 分CE 的比为21-，且有CE BC λ=，则λ等于评卷人得分三、解答题19. 某校高中三年级的295名学生已经编号为1，2，……，295，为了了解学生的学习情况，要按1：5的比例抽取一个样本，用系统抽样的方法进行抽取，并写出过程. 20. 某海滨浴场每年夏季每天的海浪高度y （米）是时间x （024x ≤≤，单位：小时）的函数，记作()y f x =，下表是每年夏季每天某些时刻的浪高数据：x （时） 0 3 6 91215 18 21 24 y （米）1.5 1.0 0.5 1.0 1.51.00.51.01.5（1）经观察发现可以用三角函数b x A y +=ωcos 对这些数据进行拟合，求函数()f x 的表达式；（2）浴场规定，每天白天当海浪高度高于1.25米时，才对冲浪爱好者开放，求冲浪者每天白天可以在哪个时段到该浴场进行冲浪运动？21. 设函数αααcos 3sin )(+=f ，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点),(y x P ，且πα≤≤0.（1）若P 点的坐标为)1,3(，求)(αf 的值；（2）若点),(y x P 为平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≥+11y x y y x 上的一个动点，试确定角α的取值范围，并求函数)(αf 的最小值和最大值.22. 已知函数cos()3y x π=+，（1）用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图；（2）求使函数y 取最大值和最小值时自变量x 的集合,并求出它的最大值和最小值；（3）指出该函数的增区间。

高二数学上学期期中试题理A试题 3(共9页)

一中2021-2021学年高二数学上学期(xuéqī)期中试题理〔无答案〕新人教A版参考公式：台体的体积公式柱体的体积公式锥体的体积公式一、选择题〔本大题一一共10个小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面只有一项是哪一项符合要求的．〕的倾斜角为〔〕平分的直线是〔〕的正方形沿对角线折成的二面角，那么的长为〔〕的离心率为，那么的值是〔〕与椭圆的位置关系为〔〕相交相切相离不确定作直线与圆交于、两点，假如，那么直线l的方程为〔〕EDBAC和一共(y īg òng)面的两条直线，以下命题中真命题的是〔〕8.如图，在多面体中，，，且那么多面体ABCDE 的体积为〔〕和圆关于直线对称，动圆与圆相外切，且与直线相切，那么动圆P 的圆心的轨迹方程是〔〕10. 以为直径的圆有一内接梯形ABCD ，且，假如双曲线以A 、B 为焦点且过C 、两点，那么当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的离心率为〔〕.3B二、填空题〔本大题一一共7小题，每一小题4分，一共28分．〕的准线方程是__________.12.假设一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下(rúxià)图，那么其侧视图的面积为__________.平面的一个充分条件：___________________________________________.的一条渐近线的斜率为，离心率为，那么的最小值为__________.的所有棱长都相等，那么直线AB与平面所成角的余弦值为__________.，过不在,a b上的任意一点，以下三个结论：①一定可作直线l与,a b都相交；②一定可作直线l与,a b都垂直；③一定可作直线l与,a b都平行；其中所有正确命题的序号是__________.的左右焦点分别为，过作斜率为2的直线交椭圆E于P点，假设为直角三角形，那么椭圆E的离心率为__________.一中2021学年度第一学期期中考试试卷高二数学(sh ùxu é)〔理〕答题卷一、选择题：〔10×5’=50’〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：〔7×4’=28’〕11、_____________ 12、_____________ 13、______________________________________14、_______________ 15、________________ 16、_____________17、______________三、解答题〔本大题一一共5小题，一共72分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤．〕18. 〔本小题满分是14分〕在正方体中，〔1〕求所成角的大小；〔2〕假设E 是的中点，.求证：.试场号_________ 班级_____________ 姓名______________ 学号________ 座位号_________……………………………………………………密……………………………………封……………………………线……………………………………………………19. 〔本小题满分(mǎn fēn)是14分〕的顶点，AB边上的中线所在直线方程，AC边上的高所在直线方程为.求：〔1〕顶点C的坐标；〔2〕直线的方程.20. 〔本小题满分是14分〕直线假设过l上任一点P可作圆的两条切线，设切点为A、B.(1)求a的范围；(2)假设当两条切线长最短时，他们的夹角是60 ，求a的值.,F F是椭圆的22. 〔本小题满分(mǎn fēn)是15分〕12F的直线l焦点，过1交C于两点，且的周长为8，C上的动点到焦点间隔的最小值为1，(1)求椭圆C的方程；(2)假设点P是椭圆C上不与椭圆顶点重合的任意一点，点是椭圆C上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点,点M关于轴的对称点是点,直线是否为定值，假设为定值，求出该定值，假设不为(bù wéi)定值，请说明理由.内容总结（1）线。

河北省张家口市蔚县一中高二数学上学期月考试题新人教

高二上学期月考数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、单项选择1. 为了得到函数sin(2)6y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象 A ．向左平移6π个长度单位 B ．向右平移6π个长度单位 C ．向右平移12π个长度单位 D ．向左平移12π个长度单位 2. 已知角α的终边过点P （4a,－3a ）（a<0）,则2sin α＋cos α的值是（） A ． B ．－ C ．0 D ．与a 的取值有关3. sin 585o 的值为（）A ．2B 2C ．33 4. 若[0,2)απ∈221cos1sin sin cos αααα-+-=-，则α的取值范围是（）A ．[0,]2πB ．[,]2ππC ．3[,]2ππD ．3[,2)2ππ 5. 若等边ABC ∆的边长为2，平面内一点M 满足1132CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MA MB ⋅=u u u r u u u r （） A ．98 B ．913 C ．98- D ．913-6. 已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈u u r u u r 。

下列命题中真命题是（） A ．若∀n ∈N *总有n c u u r ∥n b u u r 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若∀n ∈N *总有n c u u r ∥n b u u r 成立，则数列{a n }是等比数列 C ．若∀n ∈N *总有n c u u r ⊥n b u u r 成立，则数列{a n }是等差数列 D ．若∀n ∈N *总有n c u u r ⊥n b u u r 成立，则数列{a n }是等比数列 7. 将函数y=sin(2x+3π)的图象经过怎样的平移后所得的图象关于点(－12π，0)中心对称( ) A ．向左平移12π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移12π个单位 D ．向右平移6π个单位 8. 函数()sin()24f x x c π=+-（c 为常数），若f(x)＝0的根成公差为4的等差数列，则()4f 的值是（）A ．0B ．1C ．－1D ．4π 9. 平行六面体1111D C B A ABCD -中，设1123,AC xAB yBC zCC =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r 则++=x y z ( )A ．1B D 10. 若tan 2α=，）A ．0B ．1 D11. 已知53415,0,,===<⋅==∆∆S ABC ABC 中，，则与的夹角为（）A.65π-B.6πC. 6π或65π D.65π 12. 在ABC ∆中，若1tan tan >B A ，则ABC ∆是（）（A ）锐角三角形（B ）直角三角形（C ）钝角三角形（D ）无法确定第II 卷（非选择题）请修改第II 卷的文字说明二、填空题13. 在平行四边形ABCD 中，若2,1,60AB AD BAD ==∠=o u u u r u u u r ，则AB BD ⋅=u u u r u u u r ___________.14. 已知sin ,cos ((0,))θθθπ∈是方程210()x mx m R m-+=∈的两个根，则实数θ的值为15. 已知12122(1,1,0),(1,1,1),,,,a b b b b b b b a ===+⊥u r u u r u r u u r u u r r r r r 若且∥1b u r 则=_____________，2b u u r =___________．16. 已知12,10OA OB a OC b ==-=u u u r u u u r u u u r （，-），（），（-，）（其中0,0>>b a ，O 是坐标原点）,若,,A B C 三点共线，则ba 21+的最小值为__________.17. 函数12()3sin log f x x x π=-的零点的个数是．评卷人得分三、解答题18. 已知<α<π,0<β<,tan α=－ ,cos(β－α)=,求sin β的值.19. 已知向量33(cos ,sin ),(cos ,sin )2222x x x x a b ==-r r ,且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x ．（1）若3a b +>r r 求x 的范围;（2）()f x a b a b =⋅++r r r r 若对任意1x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,22x 恒有|t x f x f <-|)()(21求t 的取值范围． 20. 如图所示，在△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP ∶PM 的值．21. 已知函数2()23cos 2sin cos 3f x x x x =--,(1) 求函数的最小正周期及取得最小值的x 的集合；(2) 求函数()f x 的单调递增区间.（3）求()f x 在.22. 已知x a x y x cos 2cos ,202-=≤≤求函数π的最大值M （a ）与最小值m （a ）.参考答案一、单项选择因为在ABC ∆中，若1tan tan >B A ，则由两角和的正切公式可知， tan A tan B tan(A B)1tan A tan B++=-，则说明A,B 角都是锐角，同时A+B 是锐角，ABC ∆是锐角三角形，选A二、填空题三、解答题19.【答案】解：x x b a x b a b a cos 22cos 222cos ,1-=+=+=⋅==（1）23cos 3cos 2-<⇒>-x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ,2x Θ ππ≤<∴x 65（2）23)21(cos 2cos 22cos )(2--=-=x x x x f 0cos 1≤≤-x Θ3)(1≤≤-∴x f 4|)1(3|)()(21=--≤-⇒x f x f 4>∴t所以所以所以所以即AP ∶PM ＝4∶1.函数()f x 的单调递增区间为 7[,],1212k k k Z ππππ--∈ （3）因为()/4cos 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭所以/23k f π⎛⎫==- ⎪⎝⎭而33f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22.【答案】解：（1）0()0,()12a m a M a a <==-时,；（2）a a M a a m a 21)()(2102-=-=<≤时；（3）0)()(1212=-=<≤a M a a m a 时；（4）1()12,()0a m a a M a ≥=-=时,．。

2022-2022学年县第一中学高二上学期期中考试数学试题—附答案

2022-2022学年县第一中学高二上学期期中考试数学试题—附答案(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为.求椭圆的方程；若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形,,对角线与交于点,底面.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（1）求抛物线的方程；（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.参考答案时量：120分钟总分：150分命题人：(2)求直线与平面所成角的正弦值.解析：（1）连接,易知且，所以是平行四边形，所以，又在平面外，所以平面；…………………6分（2）…………………12分19.（本小题满分12分）某产品的三个质量指标分别为，用综合指标评价该产品的等级.若，则该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取件产品作为样本，其质量指标列表如下：②设事件为“在取出的件产品中，每件产品的综合指标都等于”，求事件发生的概率.解析：（1）…………………………5分（2）①该样本中一等品中，随机抽取件产品的所以可能结果为 (8)分②这批样品中综合指标为有，则事件发生的可能结果为共种，……………12分20.（本小题满分12分）已知椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为.求椭圆的方程；若直线与椭圆交于两点，与以为直径的圆交于两点，且满足，求直线的方程.解答：（1）根据题意，，………………………………………………………1分又离心率，所以…………………………………………………3分所以椭圆的方程为……………………………………………………5分（2）设，联立直线与椭圆的方程可得，………………………………………6分因此，………………………………7分根据垂径定理，可得，………………………8分由已知，可得…………………………………10分解得，因此直线的方程为………………………………12分21.（本小题满分12分）如图所示,四棱锥的底面为等腰梯形,,对角线与交于点,底面.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若四棱锥的体积,求二面角的平面角的正弦值.【解】(Ⅰ)证明在等腰梯形中,知,又,所以,故,即,又底面,得,且,所以面,即.………………………………………5分BCOSAHD某yz(Ⅱ)由,于是,得.法一由两两垂直,故以为原点,分别以为轴建系如图;则,,设平面的法向量为,则由得,令,得,即同理可得平面的一个法向量为,设二面角的平面角为,则,又,故.……………………………………………12分BCOSAHD某yz法二过点作于点,连接,则由知面,所以(三垂线定理)所以为二面角的平面角.由等面积知,故,,由余弦定理有,即,即求.22.（本小题满分12分）已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形.（1）求抛物线的方程；（2）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，（i）证明：直线过定点，并求出定点坐标；（ii）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.解析：：(1)由题意知当点的横坐标为时，不妨设设，则点的纵坐标为……………2分因此，（舍去）所以抛物线的方程为…………………4分(2)①证明：由(1)知．设因为，则，由得，故．故直线的斜率…………5分因为直线和直线平行，设直线的方程为，代入抛物线方程得，由题意，得………………6分设，则，.当时，，可得直线的方程为，………………7分由，整理可得，直线恒过点F(1，0)．当时，直线的方程为，过点．所以直线过定点………………8分②由①知，直线过焦点，所以.设直线的方程为，因为点)在直线上，故 (9)分设．直线的方程为，由，得代入抛物线方程得，所以，可求得，.………………10分所以点到直线的距离为则的面积当且仅当，即时，等号成立．所以的面积的最小值为.……………12分。

高二数学上学期期中试卷理新人教A版

高二数学上学期期中试卷理新人教A 版期中试卷（共150分，答题时间：120分钟）一. 选择题（共12题，每题5分，共60分） 1. 对于简单随机抽样，个体被抽到的机会 A. 相等B. 不相等C. 不确定D. 与抽取的次数有关2. 在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的 A. 平均状态 B. 分布规律 C. 波动大小D. 最大值和最小值3. 在500mL 的水中有一个草履虫，现从中随机取出2mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是（）A. 0.5B. 0.4C. 0.004D. 不能确定4. 线性回归方程ˆy=b ˆx ＋a ˆ必过（） A. （0，0）点 B. （x ，0）点 C. （0，y ）点 D. （x ，y ）点5. 一个容量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下表组别 ]10,0(]20,10((]20,30]40,30( (40,50] (50,60] (60,70]频数12 13 2415 16 13 7则样本数据落在]40,10(上的频率为（）A. 0.13B. 0.39C. 0.52D. 0.646. 某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛、9位评委为参赛作品A 打出的分数如茎叶图所示。

记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x ）无法看清，若记分员计算无误，则数字x 应该是。

A. 1B. 2C. 3D. 47. 对变量y x ,有观测数据)10,,2,1)(,( =i y x i i ，得散点图1；对变量v u ,有观测数据)10,,2,1)(,( =i v u i i 。

得散点图2。

由这两个散点图可以判断。

A. 变量y x 与正相关，v u 与正相关B. 变量y x 与正相关，v u 与负相关C. 变量y x 与负相关，v u 与正相关D. 变量y x 与负相关，v u 与负相关图1 图28. 样本中共有五个个体，其值分别为a ，0，1，2，3，若该样本的平均值为1，则样本方差为A.65B.65C.2 D. 29. 某工厂对一批产品进行了抽样检测。

河北省魏县第一中学2022高二数学上学期期中考试理新人教A版

2022-2022学年第一学期期中考试本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷共150分，考试时间为120分钟。

可能用到的公式：1122211()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nxyb x x x nx====---==--∑∑∑∑ a y bx =-第Ⅰ卷选择题共60分一、选择题（每小题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1下面事件：①连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面朝上；②异性电荷，相互吸引；③在标准大气压下，水在100OC 结冰，是随机事件的有（）A ．②；B ．③；C ．①；D ．②、③ 2 下列程序运行后，a ，b ，c 的值各等于什么（1）a =3 b =－5 c=8 a =b b =c的线段AB 上任取一点2与49 cm 2之间的概率为（）A ．B ．C ．D ．7．若2222345363,n C C C C ++++=则自然数（）（0，σ2），若5025001250(2),a a x a x a x -=++++01250,,,a a a a 22024*******()()a a a a a a a a ++++-++++BCF EDA,,,,,A B C D E F/（1（2）分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度（m/）数据的平均数、中位数、标准差，并判断选谁参加比赛更合适 19（本小题满分12分）已知21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b +展开式的二项式系数的和大,求21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项20:（本小题满分12分）假设关于某设备的使用年限和所支出的维修费用（万元），有如下表的统计资料：若由资料可知对呈线性相关关系，试求： 1 线性回归直线方程；2 估计使用年限为 10年时，维修费用是多少 21．（本小题满分12分）A 、B 两个试验方案在某科学试验中成功的概率相同，已知A 、B 两个方案至少一个成功的概率为，（1）求两个方案均获成功的概率；（2）设试验成功的方案的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望． 22．（本小题满分12分）某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道．若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间。

高二数学上学期期中复习卷(人教A版2019)(解析版)

2021-2022学年高二数学上学期期中期末必考题精准练期中测试卷(A 卷)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量(2a = ，3-，5)，向量(3b = ，λ，)μ，且//a b ，则λμ+=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】 //a b ，∴存在实数k 使得ka b = ，∴3235k k k λμ=⎧⎪=-⎨⎪=⎩，解得：32k =，92λ=-，152μ=，则159322λμ+=-=，故选C ．2．如图，空间四边形OABC 中，OA a = ，OB b = ，OC c = ，点M 在线段OA 上，且2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =A ．211322a b c -++B ．121232a b c -+C ．111222a b c +-D ．221332a b c +- 【答案】A【解析】MN MA AB BN =++ ，1132OA OB OA BC =+-+ ，211322OA OB OC OB =-++- ，211322OA OB OC =-++ ，OA a = ，OB b = ，OC c = ，∴211322MN a b c =-++ ，故选A ．3．已知(2a = ，1，3)-，(1b =- ，2，3)，(7c = ，6，)λ，若a ，b ，c 共面，则λ等于A ．3-B ．3C ．9-D ．9【答案】C【解析】(2a = ，1，3)-，(1b =- ，2，3)，(7c = ，6，)λ，a ，b ，c 共面，∴设a mb nc =+ ，则(2，1，3)(7m n -=-+，26m n +，3)m n λ+，∴7226133m n m n m n λ-+=⎧⎪+=⎨⎪+=-⎩，解得14m =-，14n =，解得9λ=-．故选C ．4．过点(2,2)P -且平行于直线210x y ++=的直线方程为A ．220x y +-=B ．220x y --=C ．260x y +-=D ．220x y ++=【答案】A【解析】设与直线210x y ++=平行的直线方程为20x y m ++=，代入(2,2)P -，可得2220m ⨯-+=，即2m =-．∴过点(2,2)P -且平行于直线210x y ++=的直线方程为220x y +-=．故选A ．5．若直线1:210l mx y ++=与直线2:20l x y +-=互相垂直，则实数m 的值为A ．2B ．2-C ．12D ．12-【答案】B【解析】直线1:210l mx y ++=与直线2:20l x y +-=互相垂直，1210m ∴⨯+⨯=，解得2m =-．故选B ．6．在圆22260x y x y +--=内，过点(0,1)E 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】把圆的方程化为标准方程得：22(1)(3)10x y -+-=，则圆心坐标为(1,3)根据题意画出图象，如图所示：由图象可知：过点E 最长的弦为直径AC ，最短的弦为过E 与直径AC 垂直的弦，则AC =，MB =，ME =，所以2BD BE ===，又AC BD ⊥，所以四边形ABCD 的面积1122S AC BD =⋅=⨯=故选B ．7．已知1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△12PF F 为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】由题意可知：(,0)A a -，1(,0)F c -，2(,0)F c ，直线AP 的方程为：)y x a =+，由12120F F P ∠=︒，212||||2PF F F c ==，则(2)P c ，代入直线3)6AP c a =+，整理得：4a c =，∴题意的离心率14c e a ==．故选D．8．已知22:2220M x y x y +---= ，直线:220l x y ++=，P 为l 上的动点．过点P 作M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当||||PM AB ⋅最小时，直线AB 的方程为A ．210x y --=B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ++=【答案】D【解析】化圆M 为22(1)(1)4x y -+-=，圆心(1,1)M ，半径2r =．1222PAM PAMB S PM AB S PA AM PA ∆=⋅==⋅==四边形．∴要使||||PM AB ⋅最小，则需||PM 最小，此时PM 与直线l 垂直．直线PM 的方程为11(1)2y x -=-，即1122y x =+，联立1122220y x x y ⎧=+⎪⎨⎪++=⎩，解得(1,0)P -．则以PM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=．联立2222222010x y x y x y y ⎧+---=⎨+--=⎩，相减可得直线AB 的方程为210x y ++=．故选D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是60︒，下列说法中正确的是A ．221()2()AA AB AD AC ++=B ．1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点C ．1AA 与平面ABCD 所成角大于45︒D ．1BD 与AC 所成角的余弦值为63【答案】AC【解析】对于A ，由题意可得，11111cos 602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=，所以22211111()2221113262AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++=+++⋅+⋅+⋅=+++⨯⨯=，又AC AB AD =+ ，则2222()21113AC AB AD AB AB AD AD =+=+⋅+=++= ，所以221()2()AA AB AD AC ++=，故选项A 正确；对于B ，设BD 的中点为O ，连接1A O ，则1111111222A O A A AO A A AC A A AD AB =+=+=++，假设1A 在底面ABCD 上的射影是线段BD 的中点，则1A O ⊥平面ABCD ，由AB ⊂平面ABCD ，则1A O AB ⊥，即10A O AB ⋅= ，因为2111111111111()022*******A B AB A A AD AB AB A A AB AD AB AB ⋅=++⋅=-⋅+⋅+=-+⨯+=≠ ，所以产生矛盾，故假设不成立，故选项B 错误；对于D ，11BD AD AA AB =+- ，AC AB AD =+ ，所以1||BD ==，||AC == ，则221111()()1BD AC AD AA AB AB AD AD AB AD AA AB AA AD AB AB AD ⋅=+-⋅+=⋅++⋅+⋅--⋅= ，故111cos ,||||BD AC BD AC BD AC ⋅<>== ，1BD 与AC故选项D 错误；对于C，11||||BD A C == ，则△1A AC中，11||1,|||A A A C AC ===，所以22211||||||A A AC AC +=，则11A A A C ⊥，故直线1AA 与平面ABCD 所成的角为1A AC ∠，又1tan 1A AC ∠=>，即145A AC ∠>︒，所以1AA 与平面ABCD 所成角大于45︒，故选项C 正确．故选AC ．10．已知直线l 过点(1,1)P -，且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是A ．直线l 与直线1l 的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 的距离为55【答案】ACD 【解析】由题意可知，直线l 与直线1:230l x y -+=的倾斜角互补，如图所示，所以直线l 的斜率为2-，故选项A 正确；直线l 过点(1,1)P -，则直线l 的方程为12(1)y x -=-+，即210x y ++=，所以所围成的等腰三角形的面积为1131()12222⨯-+⨯=，故选项B 错误；则直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=，故选项C 正确；原点到直线l=，故选项D 正确．故选ACD ．11．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ∆，AB AC =，点(2,4)B -，点(5,3)C -，且其“欧拉线”与圆222:(5)M x y r -+=相切，则下列结论正确的是A ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最小距离为C ．若点(,)x y 在圆M 上，则x y +的最小值是3-D ．圆22(1)()2x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是[2+【答案】BD【解析】设BC 的中点为D ，AB AC =，所以AD BC ⊥，43125BC k +==---，所以1AD k =，且25322D x -+==，43122D y -==，所以3(2D ，1)2，由题意可得欧拉线为直线AD ，则直线AD 的方程为：1322y x -=-，即10x y --=，因为圆222:(5)M x y r -+=的圆心坐标(5,0)，半径r ，由欧拉线与圆M 相切，所以r ==，所以圆心到直线30x y -+=的距离d ==，所以圆上点到直线的距离为[||r d -，||]r d +=，，所以A 不正确，B 正确；C 设(5M θ+，)θ，所以554sin()[14x y πθθθ+=++=++∈，9，所以C 不正确；D 中，圆22(1)()2x a y a --+-=的圆心(1,)a a +，半径为r '=，要使该圆与圆M 有公共点，则两圆内切，相交，外切的情况，则圆心距范围[||r r '-，||]r r '+=，，[2a ∈，2+，所以D 正确，故选BD ．12．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F 、A 、B 三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a 、2b 、2c ，则A ．a c m R-=+B ．a c n R +=+C ．2a m n =+D ．b =【答案】ABD 【解析】设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，半焦距为c ，则由题意可知：a c R m --=，a c R n +-=，可得a c m R -=+，所以A 正确；a c R n +=+，所以B 正确；可得2m n a R +=+，2n m c -=．则22222()()()()22m n n m b a c R m R n R +-=-=+-=++．则b =．所以D 正确；故选ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(3c = ，4，2)，则()a b c ⋅+=．【答案】3【解析】因为(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(3c = ，4，2)，所以(5,4,5)b c += ，所以()25(3)415101253a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-+= ．故答案为：3．14．过点(1,2)P 且在x 轴，y 轴上截距相等的直线方程是．【答案】30x y +-=或20x y -=【解析】当直线过原点时，可设直线的方程为y kx =，代点(1,2)P 可得2k =，故方程为2y x =，化为一般式可得20x y -=；当直线不过原点时，可设直线的方程为1x y a a +=，代点(1,2)P 可得3a =，故方程为133x y +=，化为一般式可得30x y +-=，综上可得所求直线的方程为：30x y +-=或20x y -=．故答案为：30x y +-=或20x y -=15．已知点(1,1)P 和圆22:2460C x y mx y m +-+++=，若过点P 作圆C 的切线有两条，则实数m 的取值范围是．【答案】(-∞，1)(2-⋃，12)【解析】点(1,1)P ，圆22:2460C x y mx y m +-+++=，即222()(2)2x m y m m -++=--，若过点P 作圆C 的切线有两条，则点P 在圆C 外部，∴22211246020m m m m ⎧+-+++>⎨-->⎩，解得1m <-或212m <<．∴实数m 的取值范围是(-∞，1)(2-⋃，12)．故答案为：(-∞，1)(2-⋃，12)．16．已知Q 为椭圆22:13x C y +=上一动点，且Q 在y 轴的右侧，点(2,0)M ，线段QM 的垂直平分线交y 轴于点N ，则当四边形OQMN 的面积取最小值时，点Q 的横坐标为．【答案】32【解析】设直线MQ 的中点为D ，由题意知ND MQ ⊥，直线ND 的斜率存在，设0(Q x ，0)y ，0(0y ≠，00)x >，∴点D 的坐标为02(2x +，0)2y ，且直线MQ 的斜率002MQ y k x =-，0021ND MQ x k k y -∴=-=，∴直线ND 的方程为000022()22y x x y x y -+-=-，令0x =，可得2200042x y y y +-=，220004(0,)2x y N y +-∴，由220013x y +=可得220033x y =-，20021(0,)2y N y --∴，2200000000212111122222222OQM OMN OQMN y y S S S y y y y y y ∆∆--+∴=+=⨯⨯+⨯⨯=+=+四边形，即012y =±，032x =等号成立，故Q 的横坐标为32，故答案为：32四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知空间向量(2a = ，4，2)-，(1b =- ，0，2)，(c x = ，2，1)-．（Ⅰ）若//a c ，求||c ；（Ⅱ）若b c ⊥ ，求cos a < ，c > 的值．【答案】（Ⅰ）空间向量(2a = ，4，2)-，(1b =- ，0，2)，(c x = ，2，1)-，因为//a c ，所以存在实数k ，使得c ka = ，所以22412x kk k=⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得1x =，则||c = ；（Ⅱ）因为b c ⊥ ，则020b c x ⋅=-+-= ，解得2x =-，所以(2,2,1)c =-- ，故cos a <，||||6a c c a c ⋅>===．18．已知两条直线1:(1)10l x a y a +++-=，2:260l ax y ++=．（1）若12//l l ，求a 的值（2）若12l l ⊥，求a 的值【答案】（1）当1a =-时，直线1l 的斜率不存在，直线2l 的斜率为12，1l 与2l 既不平行，也不垂直，当1a ≠-时，直线1l 的斜率为11a -+，直线2l 的斜率为2a-，因为12//l l ，所以112aa -=-+，解得1a =或2a =-．当1a =时，直线1:20l x y +=，2:260l x y ++=，1l 与2l 平行，当2a =-时，直线1l 与2l 的方程都是30x y --=，此时两直线重合，故1a =．（2）因为12l l ⊥，所以1(()112aa -⨯-=-+，解得23a =-．经检验23a =-符合题意，故23a =-．19．（1）求过点(5,2)M ，(3,2)N 且圆心在直线23y x =-上的圆的标准方程；（2）已知圆22:30C x y Dx Ey ++++=，圆心在直线10x y +-=，求圆的一般方程．【答案】（1）设圆心为(,)C x y ，而圆心在线段MN 的垂直平分线4x =上，由423x y x =⎧⎨=-⎩，求得圆心为(4,5)C ，故半径为r CM ===故要求的圆的方程为22(4)(5)10x y -+-=，（2）将圆C 化成标准方程，得22221(()(12)224D E x y D E +++=+-，∴圆C 的圆心坐标为(2D -，)2E -，半径r =，圆C 关于直线10x y +-=对称，半径为1022D E ∴---=且r ==，解之得24D E =⎧⎨=-⎩或42D E =-⎧⎨=⎩，结合圆心C 在第二象限，得C 的坐标为(1,2)-，（舍去(1,2))C -，∴圆C 的方程是22(1)(2)2x y ++-=，∴圆的一般方程为222430x y x y ++-+=．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，平面PAD ⊥底面ABCD ，PB PC ==．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）已知点M 是线段PC 的中点，求钝二面角A BM C --的余弦值．【答案】（1）证明：底面ABCD 是正方形，AD CD ∴⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ⋂底面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD ，CD ∴⊥平面PAD ，而AP 、PD ⊂平面PAD ，AP CD ∴⊥，PD CD ⊥，同理AB PA ⊥，在Rt PAB ∆和Rt PDC ∆中，由2AB DC ==，PB PC ==，得PA PD ===，又2AD = ，222PA PD AD ∴+=，得PA PD ⊥，PD CD D = ，PA ∴⊥平面PCD ，而PA ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD ；（2）解：由（1）知，PA PD =，取AD 的中点O ，连接PO ，在平面ABCD 内作ON AD ⊥PO AD ∴⊥，平面PAD ⊥底面ABCD ，且平面PAD ⋂底面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，且112PO AD ==，PO ON ⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则点(1A ，0，0)，(1B ，2，0)，(1C -，2，0)(0P ，0，1)1(2M -，1，1)2，所以(0AB = ，2，0)，3(2AM =- ，1，1)2，(2CB = ，0，0)，1(2CM = ，1-，12设平面AMB 的一个法向量(n x = ，y ，)z ，则00n AMn AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以203122y x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩令1x =，则0y =，3z =，所以平面AMB 的一个法向量(1n = ，0，3)，设平面BMC 的一个法向量(m a = ，b ，)c 则00m CB m CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以201122x x y z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令2c =，则0a =，1b =，所以平面BMC 的一个法向量(0m = ，1，2)，所以32cos ,5n m n m n m ⋅<>== ，∴钝二面角A BM C --的余弦值为325-．21．已知圆22:(2)4C x y +-=，直线:10()l mx y m m R -+-=∈．（1）判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程．【答案】（1）直线:10()l mx y m m R -+-=∈，即(1)10m x y --+=，∴直线l 过定点(1,1)，圆22:(2)4C x y +-=，∴圆心(0,2)C ，∴22(10)(12)2-+-，即圆心到定点(1,1)的距离小于圆的半径，即定点(1,1)在圆内，∴直线与圆相交．（2）直线l 与圆C 交于A 、B 两点，且120ACB ∠=︒，圆22:(2)4C x y +-=，∴圆心到直线10mx y m -+-=的距离为1，∴2|021|11m =+，解得0m =，∴直线l 的方程为0y =．22．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为(2A ，0)2，过点(0,2)B -及左焦点1F 的直线交椭圆于C ，D 两点，右焦点设为2F ．（1）求椭圆的方程；（2）求2CDF ∆的面积．【答案】（1）由题意可得，2a =又222c e a ===，1c ∴=，则2221b a c =-=．可得椭圆方程为2212x y +=；（2）1(1,0)F - ，∴直线1BF 的方程为22y x =--，由222212y x x y =--⎧⎪⎨+=⎪⎩，得291660x x ++=． △216496400=-⨯⨯=>，∴直线与椭圆有两个公共点，设为1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，则121216923x xx x ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，12||||CD x x ∴-===又点2F 到直线1BF 的距离455d =，故21110245||2295CDF S CD d =⋅=⨯=．。

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