《平方差公式》集体备课导学案(第二稿)
《平方差公式》第二课时参考教案
《平方差公式》第二课时参考教案第一篇：《平方差公式》第二课时参考教案1.7平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力.2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)第二张：例3，记作(§1.7.2 B)第三张：例4，记作(§1.7.2 C)第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.1 / 8这个正方形的面积是多少？［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗？图1－23 ［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a－b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).图1－24 / 8［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a－b)=a2－b2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习习近平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课［师］出示投影片(§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎧7⨯9=⎨⎩8⨯8=⎨⎧11⨯13=⎩12⨯12=⎨⎧79⨯81=⎩80⨯80=(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］(1)中算式算出来的结果如下⎧7⨯9=63⎨⎩8⨯8=64 ⎨⎧11⨯13=143⎩12⨯12=144 ⎨⎧79⨯81=6399⎩80⨯80=6400［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1.［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎧1⨯3=3⎨⎩2⨯2=4 ⎨⎧99⨯101=9999⎩100⨯100=10000 ⎨⎧24⨯26=624⎩25⨯25=625［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a－1,a+1,则有(a+1)(a－1)=a2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？(同学们惊讶，然后讨论)［生］a可以代表任意一个数.3 / 8 ［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢？(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.出示投影片(§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97(2)118×122 ［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2 118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2 =a(a－b)+ab =a－ab+ab/ 84222222222=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x－25－4x+6x =6x－25 注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用(1)(x+y)2－(x－y)2(2)252－242 分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y =4xy(2)252－242 =(25+24)(25－24)=49 Ⅲ.随堂练习 1.(课本P32)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)(3)x(x－1)－(x－1)(x+1)3322(可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠)解：(1)704×696=(700+4)(700－4)=490000－16=489984(2)(x+2y)(x－2y)+(x+1)(x－1)=(x2－4y2)+(x2－1)=x2－4y2+x2－1 =2x2－4y2－1/ 8(3)x(x－1)－(x－1)(x+1)33=(x2－x)－［x2－(1)2］3=x2－x－x2+1=1－x 992.(补充练习)出示投影片(§1.7.2 D)解方程：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x－1)+3(x+2)(x－2)=(7x+1)(x－1)(2x)2－1+3(x2－4)=7x2－6x－1 4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1 6x=12 x=2 Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.…… Ⅴ.课后作业课本习题1.12.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.6 / 8［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=1990⨯(1990+1)2=1981045 ●板书设计§1.7.2平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习●备课资料参考练习1.选择题(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是()A.(－a－b)(a－b)B.(c2－d2)(d2+c2)C.(x3－y3)(x3+y3)D.(m－n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x－1)(x+1)(x2+1)结果正确的是()A.x4－1B.x4+1C.(x－1)4D.(x+1)4(3)下列各式中，结果是a2－36b2的是()A.(－6b+a)(－6b－a)B.(－6b+a)(6b－a)C.(a+4b)(a－4b)D.(－6b－a)(6b－a)2.填空题(4)(5x+3y)·()=25x2－9y2(5)(－0.2x－0.4y)()=0.16y2－0.04x2(6)(－3x－11y)()=－94x2+121y22/ 8(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n2－49m2,则A=，B=.3.计算(8)(2x2+3y)(3y－2x2).(9)(p－5)(p－2)(p+2)(p+5).(10)(x2y+4)(x2y－4)－(x2y+2)·(x2y－3).4.求值(11)(上海市中考题)已知x2－2x=2,将下式先化简，再求值(x－1)2+(x+3)(x－3)+(x－3)(x－1)5.探索规律(12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式：9×0+1=1 9×1+2=11 9×2+3=21 9×3+4=31 9×4+5=41 ……猜想：第n个等式(n为正整数)应为.答案：1.(1)D(2)A(3)D2.(4)(5x－3y)(5)(0.2x－0.4y)(6)(3x－11y)(7)A=4n,B=7m 23.(8)9y2－4x4(9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).8 / 8第二篇：平方差公式教案《平方差公式》教学设计牟平实验中学隋玲一、教材分析《平方差公式》是在学习了有理数运算、列简单的代数式、一次方程、整式的加减及整式乘法等知识的基础上，在学生已经掌握了多项式乘法之后，自然过渡到具有特殊形式的多项式的乘法，是从一般到特殊的认知规律的典型范例.对它的学习和研究，不仅给出了特殊的多项式乘法的简便算法，而且为以后的因式分解、分式的化简、二次根式中的分母有理化、解一元二次方程、函数等内容奠定了基础，同时也为完全平方公式的学习提供了方法.因此，平方差公式在初中阶段的教学中也具有很重要地位，是初中阶段的第一个乘法公式.本节课的教学重点是：经历探索平方差公式的全过程，并能运用公式进行简单的运算.二、教学目标知识与技能目标：掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单的运算；过程与方法目标：经历平方差公式的探索过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力；情感态度与价值观：会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的思想方法.三、教学重点、难点：本节课的重点：平方差公式的特点以及会运用公式进行简单计算。
平方差公式(第二课时)教案
平方差公式 （第二课时）一、学习目标：1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3. 了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法.二、重点：会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理.三、难点：会推导平方差公式，并掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算和推理.四、讲授新课：前面利用了两课时的时间，学习了平方差公式。
课后我抽查了学生的学习情况，大部分学生反映，对三项及更多项能够运用平方差公式解决的问题，还存在一定的困惑，不容易找到整体项。
于是，我搜集和整理了一些类似的题型，如)32)(32(),)(+--++--+y x y x c b a c b a （，然后给学生讲解。
下面是一些实际例子：()()()[]()[]()2222)222(2221c bc b a c bc b a c b a c b a c b a c b a c b a -+-=+--=--=---+=+--+、你会发现：在解题过程中，通过变形，把()c b -看作一个整体。
()()()[]()[]()()9124912432323232322222222-+-=+--=--=---+=+--+y y x y y x y x y x y x y x y x 、通过变形，把()32-y 看作一个整体。
当我讲完第二个题后，突然，有一个学生就提问了：“老师，怎么才能一下就看出整体项，有没有简单的方法，对于类似的题，我还不易掌握？”。
我一下愣住了，怎么能一下就看出整体项，简单的方法？我想了想：既然平方差公式是两项和与两项差的积，那么这两项就是符号上的差别。
对于三项，我们也可以找出它们之间的符号差别，例如在()()c b a c b a +--+中，对比观察两组括号里的各项，相同的项a ，相反的项b +与b -,c -与c +。
然后把相同的项a 看成一个整体，相反的项c b -看作另一个整体。
6《平方差公式》导学案
14.2乘法公式14.2.1平方差公式1.知道平方差公式,能用几何拼图的方式验证平方差公式,能灵活应用平方差公式进行计算.3.重点:平方差公式的探究及应用.问题探究平方差公式阅读教材“思考”前所有内容,解决下面的问题.1.计算: (1)(x+2)(x-2)=; (2)(y+3)(y-3)=;(3)(3y+1)(3y-1)=.2.观察上面三个等式,说说左边和右边的两个多项式各有什么特点?3.用字母表示上述几个式子反映的规律为. 【归纳总结】两个数的与这两个数的的积,等于这两个数的平方差.【讨论】根据教材“思考”中的问题验证平方差公式.1.图中②和③的面积相等吗?为什么?2.你能用a、b表示图中①和②的面积之和吗?3.由1、2中的问题,你能直接说出图中①和③的面积之和吗?4.图中①和③的面积之和还可以等于哪两个图形的面积之差?你能写出这个差吗?5.由3、4你可以得到什么结论?【预习自测】(1)(x+5)(x-5)=; (2)(a+b)(b-a)=;(3)(-3+a)(-3-a)=()2-()2=;互动探究1:下列多项式相乘时,可以用平方差公式的是() A.(a+b)(-a-b)B.(-a-b)(a-b)C.(a-b)(-a+b)D.(a-2)(a+3)互动探究2:下列计算中,结果正确的是() A.(x-3)(3+x)=x2-3 B.(3x-2)(2+x)=3x2-4C.(7ab-c)(7ab+c)=49a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y2【方法归纳交流】平方差公式的特征:①公式的左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项,另项;②右边是因式中的两项的平方差(减去). 互动探究3:运用平方差公式计算：(1)(7c-2b)(7c+2b) (2)(-x-1)(1-x);(3)(x+3)(x-3)-(x-1)(x+2).互动探究4:计算:(x-3)(x2+9)(x+3).。
平方差公式导学案
4.3 公式法第1课时 平方差公式学习目标：1.了解运用公式法分解因式的意义；2.会用平方差公式进行因式分解；本节重难点：用平方差公式进行因式分解中考考点：正向、逆向运用平方差公式。
预习作业：请同学们预习作业教材P54~P55的内容：1. 平方差公式字母表示: .2. 结构特征：项数、次数、系数、符号活动内容：填空：（1）（x+3）（x –3） = ；（2）（4x+y ）（4x –y ）= ；（3）（1+2x ）（1–2x ）= ；（4）（3m +2n ）（3m –2n ）= ． 根据上面式子填空：（1）9m 2–4n 2= ；（2）16x 2–y 2= ；（3）x 2–9= ；（4）1–4x 2= ．结论：a 2–b 2=（a+b ）（a –b ）平方差公式特点：系数能平方，指数要成双，减号在中央例1： 把下列各式因式分解：（1）25–16x 2 （2）9a 2–241b变式训练：（1）24420.1649a b m n - （2）2219a b -+例2、将下列各式因式分解：（1）9（x –y ）2–（x +y ）2 （2）2x 3–8x变式训练：（1）22()()x m n y n m -+- （2）5a a -注意：1、平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式2、公式中的a 和b 可以是单项式，也可以是多项式3、各项都有公因式，一般先提公因式。
例3：已知n 是整数，证明：2(21)1n +-能被8整除。
拓展训练：1、计算：2、分解因式：22122x y -3、已知a,b,c 为△ABC 的三边，且满足222244a cbc a b -=-，试判断△ABC 的形状。
)1)......(1)(1)(1(22221001413121----。
平方差公式导学案(2)
《平方差公式》 导学案【学习目标】1. 会推导平方差公式，说出平方差公式的结构特点，并能正确地运用公式进行简单的运算；2. 经历探索平方差公式的过程，认识“特殊”与“一般”的关系，了解“特殊到一般”的认识规律和数学发现的方法；3. 在数学学习的过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受数学发现学习的乐趣。
【学习重点】公式的理解与正确运用 。
【学习难点】平方差公式的灵活运用。
【学习过程】（一） 自主探究、归纳发现问题１：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）（x +1）（x -1）= ；（2）（m +2）（m -2）= ；（3）（2x +1）（2x -1）= ；（4） ()()=-+p p 2323问题２：依照以上四道题的计算回答下列问题：①式子的左边具有什么共同特征？②它们的结果有什么特征？③能不能用字母a 、b 表示你的发现？问题3；你能否推导该公式？推导的依据是什么？问题4：你能用文字语言表示所发现的规律吗？问题5：让学生说明以上四个算式中，确定公式中a 和b 可以表示数字吗？可以表示单项式吗？可以表示多项式吗？问题6：活动探究：将长为（a+b），宽为（a－b）的长方形，剪下宽为b的长方形条，拼成有空缺的正方形，并请用等式表示你剪拼前后的图形的面积关系．（二）公式的运用.1.思考：判断下列式子能不能用平方差公式计算：2、例题的学习：例1运用平方差公式计算()()()2-x3x31+2()())aa+;b-2b2(2()())-x--;y+22x(3y巩固练习运用平方差公式计算（1）()();322a(-a++b3b3aa-2+()());3例2 用简便方法计算。
（1）98102⨯; (2)()())5)(1(22+---+y y y y ;巩固练习();49511⨯ ()).23)(32()43)(43(2-+--+x x x x反思拓展1、本节课你收获了什么新知识？本节内容的学习中运用了前面学的哪些知识？2、 对于这节课的知识内容，还有那些方面需要注意的？【当堂检测】（6分钟完成）1．计算下列各题：（1）19992001⨯（2）)2)(2(n m n m -+（3）)23)(23(y x y x +-－－●作业1.必做题：教材156页“习题15.2 第1题”2. 选做题：高效课堂 92页“跟踪训练6，7，8”。
平方差公式导学案
《平方差公式》导学案课型：探究交流课[学习目标]1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用平方差公式进行化简、计算。
3、培养学生的观察、分析和总结能力和敏捷的思维能力。
4、让学生在公式的运用中积累解题的经验、体会成功的喜悦。
[教学重难点]重点：1、理解掌握平方差公式及其结构特征；2、会运用此公式进行计算。
难点：辨析公式的特征和公式的灵活运用。
[学法指导]从“动态的数学观”出发，根据数形结合思想，积极主动参与探究学习，对同一个问题寻求不同的思路，依靠自己的活动去探索问题、解决问题，并注意独立探究与合作学习有机结合，在交流和讨论中培养实践能力和创新意识。
[教学过程设计]一、课前延伸。
1、根据多项式乘法法则化简：（a+b）（a-b）=______________=________2、你能借助图形的面积关系来验证这个关系吗？平方差公式：________________________；语言描述：___________________________________________。
二、课内探究。
[环节1：自主探究]自主探究例题1、2.【环节2：合作交流】1、 小组交流：把自主探究例题时的收获与疑惑在组内交流解决，然后仿照例题计算课后练习。
(1)(a+6)(a-6) (2) (1+x)(1-x)(3) (x+2y)(x-2y) (4) (-x+4y 2)(-x-4y 2)2、 组际交流（班内展示）。
每组选派代表板示计算结果，然后集体订正答案。
【环节3：精讲点拨】师生共同总结平方差公式的特点、规律，应用的注意事项，注意以下变式：1、（-a – b ) ( -a + b) = a 2- b 22、（b + a )( -b + a ) = a 2- b 2【环节4：巩固检测】 （有效训练）A 组：判断下列多项式乘法中,哪些可以用平方差公式来计算.1、（x －2y ）（x ＋2y ） ( )2、（a －2b ）（－a －2b ） ( )3、（－2m －n ）(n + 2m) ( )4、(2c －b)( －b －2c) ( )B 组：计算：（2x ＋21）（2x －21） （－x ＋2）（－x －2）（－2x ＋y ）（2x ＋y ） （y －x ）（－x －y ）C 组：简便计算：（1）498×502 （2）999×1001（课堂小结）1、本节你学到了什么？2、本节课用到了哪些数学思想或方法？3、你还有什么疑惑?（当堂检测）A、判断正误，如果错误，应怎样改正？( 1 ) (-a-b)(a-b)=-a2+b2 ( ) ( 2 ) (-a+b)(-a-b)=-a2- b2 ( )( 3 ) (2x+3)(2x-3)=2x2-9 ( ) ( 4 ) (3x-1)(-3x-1)=9x2-1 ( )( 5 ) (a+b)(-a-b)=a2-b2 ( ) ( 6 ) (2x+3)(3x-3)=6x-9 ( )B、计算：（1）、( ab + 8)( ab - 8) （2）、( 3a+2b)(-3a+ 2b)（3）、 103 × 97根据集体订正的答案，本节学习情况为：A、优秀 B、一般 C、较差三、课后延伸。
平方差公式导学案
导学案
课题: 14.2.1平方差公式
主备人龙来文审核学生班级
学习目标
1、经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式；
2、掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简单计算. 自主学习
1．计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（1）（x＋1）（x－1）
（2）（m＋2）（m－2）
（3）（2x+1）（2 x−1）
2．你能通过计算验证你发现的规律吗？
合作探究
1．你能根据图形的面积说明你发现的规律吗？
2．平方差公式的结构有什么特征？
3．运用平方差公式计算：
（1）(3x+2) (3x −2)
（2）(−x＋2y) (−x−2y)
（3）(-3x-5)(3x-5)
（4）102×98 导学提示
教师复备
先观察下列多项式有什么特点，再观察计算结果有什么特点
多项式乘以多项式
先做一个边长为a的大正方形，再减去一个边长为b 的小正方形，想一想剩下的几何图形的面积怎么计算？把这个图形拼成规则图形，想一想它的面积又该如何计算
能力提升
课堂练习
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)(x+3)(x-3)=x2-3
(2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4
2、运用平方差公式计算：
（1）(a +3b)(a−3b)
（2）(3 +2a)(−3 + 2a)
（3）51×49
（4）(3x+4) (3x −4) −(2x +3) (3x−2)
课堂小结只有符合公式条件的乘法，才能运用公式化简运算，其余的的运算仍按乘法法则运算.
()()()() (1) 2215
y y y y
+---+。
课题：平方差公式导学案
课题：14.2.1平方差公式导学案学习目标：1、会推导平方差公式，理解平方差公式的结构特征。
2、能够运用平方差公式进行整式乘法的运算。
学习重点：理解平方差公式的结构特征，会运用公式进行运算。
学习难点：平方差公式的灵活运用。
学习过程：一、回顾中引入1、多项式与多项式的乘法法则是什么？请写出来。
2、王兴荣同学去商店买了单价是9.8元/千克的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器，王兴荣就说出应付99.96元，结果与售货员计算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说：“你真是个神童！”王兴荣同学说：“过奖了，我只是利用了在数学上刚学过的一个公式.”思考：这用的是一个什么公式？二、探究中归纳1、计算下列各式的积;(1)、()()11-+xx(2)、()()22-+mm(3)、()()1212-+xx观察算式结构，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？它们都是两个数的与的 .(填“和”“差”“积”) 根据大家作出的结果，你能猜想（a+b）（a－b）= 。
2、为了验证大家猜想的结果，我们来证明一下：代数的角度：（ a+b）（a－b）= = .几何的角度：你能根据下图解释平方差公式吗？请试一试？得出结论：()()=-+b a b a 。
其中a 、b可以表示任意的单项式、多项式，这个公式叫做整式乘法的 ，用语言叙述为 。
三、应用中理解 1、填一填： （ a+b ）（a －b ） ab22b a -结果 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (1+a)(-1+a)2、能否运用公式，若能直接说出结果：(l)(-a+b)(a+b)= _________ (2)(a-b)(b+a)= __________ (3)(-a-b)(-a+b)= ________ (4)(a-b)(-a-b)= _________ (5)(a+b)(-a-b)=________ (6)(a-b)(-a+b)=________ 思考：平方差公式与整式的乘法有何关系？ （回顾总结，深化理解）例1：运用平方差公式计算（1）()()2323-+x x （2）()()y x y x 22--+-1、下面各式的计算对不对?如果不对,应当怎样改正?（练习课本P108 ） (1) (x +2)(x -2) = x 2-2 ; (2) (-3a -2) (3a -2) = 9a 2 -4 2.运用平方差公式计算.(1) (a +3b ) (a -3b ); (2) (3+2a ) (-3 + 2a ) ;例2，运用平方差公式计算：（1）102×98（2） (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5)2.运用平方差公式计算.（练习课本P108）(3) 51×49; (4) (3x+4)(3x-4) – (2x+3)(3x-2).四、深化练习(1) (2+3a2)(3a2-2) (2) (3y −x)(− x − 3y）(3) (-5x-3y)(-5x+3y)五、思维拓展，挑战自我1.计算 20042 －2003×2005)231)(231)(4(baba-+课堂检测1、选择题(1)下列各式，可以利用平方差公式计算的是（）A （a-nb）（nb-a）B（-1-a）（a+1）C （-m+n）（-m-n）D（ax+b）（a-bx）(2)、（m2-n2）-（m+n）（m-n）等于（）A 、-2n2B、0 C、2m2D、2m2-2n22、计算:（1）（a+3b）（a-3b）（2）（3+2a）（-3+2a）（3）498 ×502 （4）（3x+1）（3x-1）+5x(x+1)3、先化简，再求值（2x-y）（y+2x）-（2y+x）（2y-x）,其中x=1, y=2。
《平方差公式》第二课时参考教案
平方差公式(二)●教学目标(一)教学知识点1.了解平方差公式的几何背景.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.3.体会符号运算对证明猜想的作用.(二)能力训练要求1.用符号运算证明猜想，提高解决问题的能力..2.培养学生观察、归纳、概括等能力.(三)情感与价值观要求1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观的几何解释，体验学习数学的乐趣.2.体验符号运算对猜想的作用，享受数学符号表示运算规律的简捷美.●教学重点平方差公式的几何解释和广泛的应用.●教学难点准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能.【●教学方法启发——探究相结合●教具准备一块大正方形纸板，剪刀.投影片四张第一张：想一想，记作(§1.7.2 A)第二张：例3，记作(§1.7.2 B)第三张：例4，记作(§1.7.2 C)]第四张：补充练习，记作(§1.7.2 D)●教学过程Ⅰ.创设问题情景，引入新课［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a.这个正方形的面积是多少［生］a2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的小正方形(如图1－23).现在我们就有了一个新的图形(如上图阴影部分)，你能表示出阴影部分的面积吗。
图1－23［生］剪去一个边长为b的小正方形，余下图形的面积，即阴影部分的面积为(a2－b2).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦.［师］讲给大伙听一听.［生］我是把剩下的图形(即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开)，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a－b),长是a;下面的小长方形长是(a －b),宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a－b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形(阴影部分)，它的长和宽分别为(a+b),(a－b),面积为(a+b)(a－b).!图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a －b)=a 2－b 2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式.［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了.［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证. ［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用.Ⅱ.讲授新课》［师］出示投影片(§1.7.2 A)想一想：(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点⎩⎨⎧=⨯=⨯8897 ⎩⎨⎧=⨯=⨯12121311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯80808179 (2)从以上的过程中，你发现了什么规律(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗［生］(1)中算式算出来的结果如下⎩⎨⎧=⨯=⨯64886397 ⎩⎨⎧=⨯=⨯14412121431311 ⎩⎨⎧=⨯=⨯6400808063998179 …［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. ［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢［生］我猜想是.我又找了几个例子如：⎩⎨⎧=⨯=⨯422331 ⎩⎨⎧=⨯=⨯10000100100999910199 ⎩⎨⎧=⨯=⨯62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗［生］设这个自然数为a,与它相邻的两个自然数为a －1,a+1,则有(a+1)(a －1)=a 2－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明.［生］可是，我有一个疑问，a 必须是一个自然数，还必须大于2吗—(同学们惊讶，然后讨论)［生］a 可以代表任意一个数.［师］很好！同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间的一种关系.在平时有什么用途呢(陷入沉思)［生］例如：计算29×31很麻烦，我们就可以转化为(30－1)(30+1)=302－1=900－1=899.［师］的确如此.我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”的方法，太好了.我们不妨再做几个类似的练习.…出示投影片(§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：(1)103×97 (2)118×122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦.但注意观察就会发现新的奥妙.［生］我发现了，103=100+3,97=100－3,因此103×97=(100+3)(100－3)=10000－9=9991.太简便了！［生］我观察也发现了第(2)题的“奥妙”.118=120－2,122=120+2118×122=(120－2)(120+2)=1202－4=14400－4=14396.(［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出.［师］我们再来看一个例题(出示投影片§1.7.2 C).［例4］计算：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2;(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简.解：(1)a2(a+b)(a－b)+a2b2=a2(a2－b2)+a2b2【=a4－a2b2+a2b2=a4(2)(2x－5)(2x+5)－2x(2x－3)=(2x)2－52－(4x2－6x)=4x2－25－4x2+6x=6x－25注意：在(2)小题中，2x与2x－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.［例5］公式的逆用《(1)(x+y)2－(x－y)2(2)252－242分析：逆用平方差公式可以使运算简便.解：(1)(x+y)2－(x－y)2=［(x+y)+(x－y)］［(x+y)－(x－y)］=2x·2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25－24)！=49Ⅲ.随堂练习1.(课本P 32)计算(1)704×696(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)(3)x(x －1)－(x －31)(x+31) (可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：(1)704×696=(700+4)(700－4)^=490000－16=489984(2)(x+2y)(x －2y)+(x+1)(x －1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 2－4y 2－1(3)x(x －1)－(x －31)(x+31) =(x 2－x)－［x 2－(31)2］ =x 2－x －x 2+91=91－x 、2.(补充练习)出示投影片(§1.7.2 D)解方程：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x －1)(先由学生试着完成)解：(2x+1)(2x －1)+3(x+2)(x －2)=(7x+1)(x －1)(2x)2－1+3(x 2－4)=7x 2－6x －14x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x －1！6x=12 x=2Ⅳ.课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面.［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方.例如a(a+1)－(a+b)(a－b)一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a－b),算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.……Ⅴ.课后作业$课本习题.Ⅵ.活动与探究计算：19902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.［结果］原式=(19902－19892)+(19882－19872)+…+(22－1)=(1990+1989)(1990－1989)+(1988+1987)(1988－1987)+…+(2+1)(2－1)=1990+1989+1988+1987+…+2+1=2)11990(1990+⨯=1981045\●板书设计§1.7.2 平方差公式(二)一、平方差公式的几何解释：二、想一想特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明即(a+1)(a－1)=a2－1三、例题讲解：例3 例4四、练习（●备课资料参考练习1.选择题(1)在下列多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是( )A.(－a －b)(a －b)B.(c 2－d 2)(d 2+c 2)C.(x 3－y 3)(x 3+y 3)D.(m －n)(－m+n)(2)用平方差公式计算(x －1)(x+1)(x 2+1)结果正确的是( ) －1 +1*C.(x －1)4D.(x+1)4(3)下列各式中，结果是a 2－36b 2的是( )A.(－6b+a)(－6b －a)B.(－6b+a)(6b －a)C.(a+4b)(a －4b)D.(－6b －a)(6b －a)2.填空题(4)(5x+3y)·( )=25x 2－9y 2(5)(－－( )=－(6)(－23x －11y)( )=－49x 2+121y 2 <(7)若(－7m+A)(4n+B)=16n 2－49m 2,则A= ，B= .3.计算(8)(2x 2+3y)(3y －2x 2).(9)(p －5)(p －2)(p+2)(p+5).(10)(x 2y+4)(x 2y －4)－(x 2y+2)·(x 2y －3).4.求值(11)(上海市中考题)已知x 2－2x=2,将下式先化简，再求值 (x －1)2+(x+3)(x －3)+(x －3)(x －1)5.探索规律(12)(北京市中考)观察下列顺序排列的等式：9×0+1=19×1+2=119×2+3=219×3+4=319×4+5=41……猜想：第n个等式(n为正整数)应为.答案：1.(1)D (2)A (3)D2.(4)(5x－3y) (5)－3x－11y) (7)A=4n,B=7m(6)(23.(8)9y2－4x4(9)p4－29p2+100(10)x2y－104.(11)原式=3(x2－2x)－5=3×2－5=15.(12)9×(n－1)+n=(n－1)×10+1(n为正整数).。
平方差公式导学案
14.2.1平方差公式学案学生姓名雄县双堂乡中学学习目标：1.理解平方差公式，能运用公式进行计算。
2.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感知数形结合思想。
学习过程：一、探究新知计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（1）=)1)(1(-+xx（2）=)2)(2(-+mm（3）=)2)(2(yxyx-+平方差公式=-+))((baba两个数的与这两个数的的乘积，等于这两个数的二、学以致用1.争先恐后算式与平方差公式中a对应的项与平方差公式中b对应的项写成“a2-b2”的形式计算结果(m+2)(m-2) (2m+3)(2m-3) (х-2y)(-х-2y) (1+3y)(1-3y)2.火眼金睛下列哪些式子可以用平方差公式进行计算？1、(х+8)(х-8)2、(2х+3)(х-3)3、(-х+2)(-х-2)4、(х-5)(-х-5)3.巩固新知（一）计算(-5a+3b)(-5a-3b) (-х+1)(х+1)（二）解救苏西41x39= 102x98=三、课堂小结谈谈你的收获：1、什么是平方差公式？2、运用公式要注意什么？3、平方差公式起什么作用？四、课后作业：练习1、2题。
平方差公式导学案
平方差公式导学案李店中心中学：八年级数学组学习目标： 1. 理解平方差公式的意义，掌握公式的结构特征，会用几何图形说明公式的意义，并能正确运用平方差公式；2.通过独立思考，小组合作交流提升分析能力，培养创新精神；3.激情投入，阳光展示，全力以赴，挑战自我.重 点：平方差公式的推导及应用.难 点：用公式的结构特点及其灵活运用.教学过程：一. 练习检测：（学生独立完成，并在组内交流，组长点评组内部分学生出现的问题。
教师巡视，有针对性地指明个别组长展示点评。
）计算下列多项式的积，你能发现什么规律？（１）（ｘ＋１）（ｘ－１）＝__________（2）（m+2）（m-2）= ___________（3）（２ｘ＋１）（２ｘ－１）＝___________我发现的规律是________________________________________________.二．自学探究：Ｐ151－153（学生独立思考，对照课本解答。
）1．根据以上计算题思考：（1）根据以上计算，我发现了这样的规律，可以用字母表示为：_________________________________________（2）式子的左右两边各有什么共同特点？左边：_________________________________________________;右边:___________________________________________________;（3）它们的结果有什么特征？__________________________________________________________________（4）试试用文字语言表示所发现的规律：_____________________________________________________________________（5）对照Ｐ151，看看你的想法是否正确？____________________________2.你能根据图15.2-1中的面积说明平方差公式吗?图2图1如图1从一个正方形边上剪下一个边长为b的小正方形，拼成如图2的长方形，你能根据两个图形的面积说明平方差公式吗？我是这样说明的：________________________________________________________________________3.例1 运用平方差公式计算;(1)(3x+2)(3x-2); (2)(b+2a)(b-2a);(3)(-x+2y)(-x-2y).4.例2 计算:(1)102×98; (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5).三．合作互学：（学生独立完成，然后小组讨论交流。
【范文】平方差公式导学案
平方差公式导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址章节与课题§9.4.2平方差公式课时安排2课时使用人使用日期或周次本课时学习目标或学习任务、经历探索平方差公式的过程，能总结出平方差公式及语言叙述.2、能正确运用平方差公式进行简单的计算.3、培养语言表达能力、逻辑思维能力.本课时重点难点或学习建议教学重点：理解平方差公式，运用平方差公式进行计算.教学难点：平方差公式的推导.本课时教学资源的使用电脑、投影仪.学习过程学习要求或学法指导教师二次备课栏自学准备与知识导学：、看图回答：边长为的小正方形纸片放置在边长为的大正方形纸片上，你能求出阴影部分的面积吗？⑴阴影部分由2个相同的直角梯形组成，梯形的上底等于_____，下底等于_____，高等于_____，因此梯形的面积等于___________，阴影部分的面积等于____________________.⑵大正方形的面积等于_____，小正方形的面积等于_____，因此阴影部分的面积等于____________.⑶显然，⑴和⑵中求得的面积一样.由此可得出的结论是：__________________=____________，这个公式称为平方差公式.2、你还能用多项式乘多项式法则得到同样的结论吗？请写出你的过程.=3、你能说出平方差公式的特点，以及它与完全平方公式的不同点吗？4、平方差公式的语言叙述是：_____________________________________.5、总结：完全平方公式（2个）、平方差公式通常称为乘法公式，在计算时可以直接使用.分别从整体和局部两个方面去思考.梯形的面积=×高÷2.公式的语言叙述：两数和乘两数差等于这两个数的平方差.学习交流与问题研讨：、例题一用平方差公式计算：⑴⑵2、例题二计算：⑴⑵分析：把⑴中的看作平方差公式中的，把看作，把⑵中的看作平方差公式中的，把看作，再用平方差公式进行计算.与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．练习检测与拓展延伸：、巩固练习一⑴口答下列各题①②③④⑵判断正误①（）②（）③（）④（）⑶填空①②③④2、巩固练习二⑴课本P67练一练1、2；⑵补充习题P38、2.3、提升训练⑴课本P67练一练3；⑵计算：4、当堂测试探究与训练P45-464-9.分析：与公式比较，哪个相当于公式中的，哪个相当于公式中的．要更好、更灵活的掌握平方差公式.课后反思或经验总结：、通过适量的练习使学生能够正确熟练的运用乘法公式进行混合运算，引导学生运用公式简单计算，让学生在应用公式的过程中，提高变形应用公式的能力.。
平方差公式 导学案
两数和乘以这两数的差（前置作业）海口山高实验中学八年级（）班执笔：席志明 2011/9/27 【学习目标】：1．学生掌握两数和乘以它们的差公式，会推导两数和乘以它们的差公式，并能运用公式进行简单的计算。
2．了解两数和乘以它们的差公式的几何背景。
【教学重点】：对两数和乘以它们的差公式的理解，掌握两数和乘以它们的差公式的结构特征，熟练运用两数和乘以它们的差公式进行简单计算。
【教学难点】：理解两数和乘以它们的差公式的几何意义及特点，理解公式中字母的广泛含义，代数推理能力的培养。
【教学过程】：一、知识回顾（3x＋2y）（x－3y）（x＋2）（x－2）二、尝试练习（1）（x＋3）（x－3）（2）(a＋b)(a－b)【观察思考回答下列问题】1、两数和与这两数差的积，等于这两数的。
用字母表示为：(a＋b)(a－b) =2、平方差公式结构特征：①左边是两个项式相乘，这两个式子中，有一项完全，另一项互为。
②右边是乘式中两项的平方差，即项的平方与项的平方的差。
三、自主学习解决问题你能用以下图解释两数和乘以它们的公式吗？（见教材29页的图）方法：把图甲沿虚线剪开，用剪开后的两个长方形拼成图乙的形状。
学生动手，动脑。
得出面积相等推得两数和乘以它们的差公式：四、计算（1）（a＋3）（a－3）（2）（2a＋3b）（2a－3b）（3）（1＋2c）（1－2c）（4）（－2x－y）（2x－y）五、达标测评1.下面各式能不能用两数和乘以它们的差公式进行计算？如果能的话，每一式可以看作是哪两式（或数）的和与差的积？（1）（－4a－0.1）（4a＋0.1）（2）（2x＋y）(2x－y)（3）（－a+b）（a+b）2、用简便方法计算（2a＋b）（2a－b） 1997 × 20033、联系生活应用街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西长要缩短2米，问改造后的长方形草坪的面积是多少？。
《平方差公式（2）》导学案
课题：平方差公式（2）导学案科 目：_数学_ 课 题：1.6平方差公式（2）课 型：新授___ 班 级：_七 六 姓 名：赵伟芳 时 间： 执笔人：___赵伟芳_ 审核者审核者 __________ 审批者：_________ 学习目标 ：1.1.了解平方差公式的几何背景了解平方差公式的几何背景了解平方差公式的几何背景. .2.2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算. .3.3.体会符号运算对证明猜想的作用体会符号运算对证明猜想的作用体会符号运算对证明猜想的作用. .学习重点 ：平方差公式的几何解释和广泛的应用平方差公式的几何解释和广泛的应用学习难点：准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本的运算技能. .学法指导：自主探究、合作交流：自主探究、合作交流学习过程：一.类比引入类比引入［师］同学们，请把自己准备好的正方形纸板拿出来，设它的边长为a. 这个正方形的面积是多少？这个正方形的面积是多少？［生］［生］a a 2.［师］请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，请你用手中的剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为剪下一个边长为b 的小正方形(如图1－23).23).现在我们就有了一个新的图形现在我们就有了一个新的图形现在我们就有了一个新的图形((如上图阴影部分如上图阴影部分))，你能表示出阴影部分的面积吗？阴影部分的面积吗？图1－23［生］［生］剪去一个边长为剪去一个边长为b 的小正方形，的小正方形，余下图形的面积，余下图形的面积，余下图形的面积，即阴影部分的面积即阴影部分的面积为(a 22－b 22).［师］你能用阴影部分的图形拼成一个长方形吗？同学们可在小组内交流讨论.(教师可巡视同学们拼图的情况，了解同学们拼图的想法)［生］老师，我们拼出来啦［生］老师，我们拼出来啦. .［师］讲给大伙听一听［师］讲给大伙听一听. .［生］我是把剩下的图形［生］我是把剩下的图形((即上图阴影部分即上图阴影部分))先剪成两个长方形先剪成两个长方形((沿上图虚线剪开剪开))，我们可以注意到，上面的大长方形宽是(a (a－－b),b),长是长是a;a;下面的小长方形下面的小长方形长是长是(a (a (a－－b),b),宽是宽是b.b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方是由于大长方形的宽和小长方形的长都是形的宽和小长方形的长都是(a (a (a－－b),b),我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示的图形所示的图形((阴影部分阴影部分))，它的长和宽分别为，它的长和宽分别为(a+b),(a (a+b),(a (a+b),(a－－b),b),面积为面积为(a+b)(a (a+b)(a－－b).图1－24［师］比较上面两个图形中阴影部分的面积，你发现了什么？［生］这两部分面积应该是相等的，即(a+b)(a (a+b)(a－－b)=a 2－b 2.［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式［生］这恰好是我们上节课学过的平方差公式. .［生］我明白了［生］我明白了..上一节课，我们用多项式与多项式相乘的法则验证了平方差公式差公式..今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式的一个几何解释，太妙了. .［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证利用面积相等就可推证. . ［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识［师］由此我们对平方差公式有了更多的认识..这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用差公式，也许你会发现它更“神奇”的作用. .想一想：想一想：(1)(1)计算下列各组算式，并观察它们的特点计算下列各组算式，并观察它们的特点îíì=´=´8897 îíì=´=´12121311 îíì=´=´80808179 (2)(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？从以上的过程中，你发现了什么规律？(3)(3)请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？请你用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗？［生］［生］(1)(1)(1)中算式算出来的结果如下中算式算出来的结果如下中算式算出来的结果如下îíì=´=´64886397 îíì=´=´14412121431311 îíì=´=´6400808063998179 ［生］从上面的算式可以发现，一个自然数的平方比它相邻两数的积大1. ［师］是不是大于1的所有自然数都有这个特点呢？的所有自然数都有这个特点呢？［生］我猜想是［生］我猜想是..我又找了几个例子如：我又找了几个例子如：îíì=´=´422331 îíì=´=´10000100100999910199 îíì=´=´62525256242624 ［师］你能用字母表示这一规律吗？［师］你能用字母表示这一规律吗？［生］设这个自然数为a,a,与它相邻的两个自然数为与它相邻的两个自然数为a －1,a+1,1,a+1,则有则有则有(a+1)(a (a+1)(a －1)=a 22－1.［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明［生］这个结论是正确的，用平方差公式即可说明. .［生］可是，我有一个疑问，［生］可是，我有一个疑问，a a 必须是一个自然数，还必须大于2吗？吗？ (同学们惊讶，然后讨论同学们惊讶，然后讨论) )［生］［生］a a 可以代表任意一个数可以代表任意一个数. .二.思考讨论思考讨论例如：计算2929××31很麻烦，我们就可以转化为很麻烦，我们就可以转化为(30(30(30－－1)(30+1)=3022－1=900－1=899.［师］［师］的确如此的确如此的确如此..我们在做一些数的运算时，我们在做一些数的运算时，如果能一直有这样如果能一直有这样如果能一直有这样“巧夺天工”“巧夺天工”的方法，太好了的方法，太好了. .我们不妨再做几个类似的练习我们不妨再做几个类似的练习. .出示投影片出示投影片((§1.7.2 B)［例3］用平方差公式计算：］用平方差公式计算：(1)103(1)103××97 (2)11897 (2)118××122［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦［师］我们可以发现，直接运算上面的算式很麻烦..但注意观察就会发现新的奥妙的奥妙. .，［生］我发现了，103=100+3,97=100103=100+3,97=100－3,3,因因此103103××97=(100+3)(100－3)=100003)=10000－－9=9991.9=9991.太简便了！太简便了！太简便了！［生］我观察也发现了第［生］我观察也发现了第(2)(2)(2)题的“奥妙”题的“奥妙”题的“奥妙”. .118=120118=120－－2,122=120+2118118××122=(120122=(120－－2)(120+2)=12022－4=144004=14400－－4=14396. ［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出［生］遇到类似这样的题，我们就不用笔算，口算就能得出. .三例题学习例题学习 ［例4］计算：］计算：(1)a 22(a+b)(a (a+b)(a－－b)+a 22b 22; (2)(2x (2)(2x－－5)(2x+5)5)(2x+5)－－2x(2x 2x(2x－－3).分析：上面两个小题，是整式的混合运算，平方差公式的应用，能使运算简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简便；还需注意的是运算顺序以及结果一定要化简. .解：解：(1)a (1)a 2(a+b)(a (a+b)(a－－b)+a 2b 2=a 2(a 2－b 2)+a 2b 2=a 44－a 22b 22+a 22b 22=a 4(2)(2x (2)(2x－－5)(2x+5)5)(2x+5)－－2x(2x 2x(2x－－3)=(2x)22－522－(4x 22－6x)=4x 2－2525－－4x 2+6x =6x =6x－－25注意：在注意：在(2)(2)(2)小题中，小题中，小题中，2x 2x 与2x 2x－－3的积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体是一个整体. .［例5］公式的逆用］公式的逆用(1)(x+y)22－(x (x－－y)22 (2)2522－2422分析：逆用平方差公式可以使运算简便分析：逆用平方差公式可以使运算简便. .解：解：(1)(x+y)(1)(x+y)2－(x (x－－y)2=［(x+y)+(x (x+y)+(x－－y)y)］］［(x+y)(x+y)－－(x (x－－y)y)］］=2x =2x··2y=4xy(2)252－242=(25+24)(25=(25+24)(25－－24)=49.随堂练习随堂练习1.(1.(课本课本P 32)计算计算(1)704(1)704××696(2)(x+2y)(x (2)(x+2y)(x－－2y)+(x+1)(x 2y)+(x+1)(x－－1)(3)x(x (3)x(x－－1)1)－－(x (x－－31)(x+31) (可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中的错误，或同桌互查互纠) 解：解：(1)704(1)704(1)704××696=(700+4)(700696=(700+4)(700－－4)=490000=490000－－16=489984(2)(x+2y)(x (2)(x+2y)(x－－2y)+(x+1)(x 2y)+(x+1)(x－－1)=(x 2－4y 2)+(x 2－1)=x 2－4y 2+x 2－1=2x 22－4y 22－1(3)x(x (3)x(x－－1)1)－－(x (x－－31)(x+31) =(x 22－x)x)－［－［－［x x 22－(31)22］ =x 2－x －x 2+91=91－x四.应用拓展应用拓展解方程：解方程：(2x+1)(2x (2x+1)(2x (2x+1)(2x－－1)+3(x+2)(x 1)+3(x+2)(x－－2)=(7x+1)(x 2)=(7x+1)(x－－1)(先由学生试着完成先由学生试着完成) )解：解：(2x+1)(2x (2x+1)(2x (2x+1)(2x－－1)+3(x+2)(x 1)+3(x+2)(x－－2)=(7x+1)(x =(7x+1)(x－－1)(2x)22－1+3(x 22－4)=7x 22－6x 6x－－14x 2－1+3x 2－12=7x 2－6x 6x－－16x=12 x=2五.小结作业小结作业课时小结课时小结［师］同学们这节课一定有不少体会和收获［师］同学们这节课一定有不少体会和收获. .［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释..也就是说对平方差公式的理解又多了一个层面解又多了一个层面. .［生］［生］平方差公式不仅在计算整式时，平方差公式不仅在计算整式时，平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，可以使运算简便，可以使运算简便，而且数的运算如果而且数的运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇. .［生］我觉得这节课我印象最深的是犯错误的地方例如a(a+1)a(a+1)－－(a+b)(a －b)b)一定要先算乘法，同时减号后面的积一定要先算乘法，同时减号后面的积一定要先算乘法，同时减号后面的积(a+b)(a (a+b)(a (a+b)(a－－b),b),算出来一定先放在括号算出来一定先放在括号里，然后再去括号里，然后再去括号..就不容易犯错误了就不容易犯错误了. .……课后作业课后作业课本习题1.12.活动与探究活动与探究计算：计算：199019902－19892+19882－19872+…+22－1.［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式平方差公式. .。
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八年级数学科集体备课导学案集体备课参与人：戴林均姜东郑博卿余德清
课题14.2.1平方差公式课
型
新授
任课教
师
周次第 13 周
年级班级章
节
14.2.1 课时第 1课时
时
间
11月25日
学习目标知识与技
能
1．掌握平方差公式，并能正确运用公式进行简单的运算；
2、经历探索、推导平方差公式的过程，学会观察、抽象、归纳、概括；发
展符号感和推理能力；
3、在合作交流中，体会从一般到特殊的认识事物；感悟类比、数形结合的
思想方法。
过程与方
法
情感态度
与价值观
学习重点平方差公式的推导和应用
学习难点理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式学法指导自主探究合作交流
导案自学【问题情境】为了迎接玉山县教体局现场督评需要，文成中学操场东侧有一块边长为a米的正方形草地，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草地的面积是多少？
【自主探究】：计算下列多项式的积
（1）(1)(1)
x x
+-=
（2）(2)(2)
m m
+-=
（3）(21)(21)
x x
+-=
【合作交流】观察上述算式，你发现什么规律？运算出结果后，你又发现什么规律？
◆从刚才的运算我发现：
等号的一边：
等号的另一边：
【归纳总结】从上面的运算中你发现什么规律？
()()=
-
+b
a
b
a
你能用文字语言表达这一规律吗？
（乘法的）平方差公式：
【应用】1、判断：下列哪些多项式相乘可以用平方差公式？
（a+2b）（-a-2b）（a-2b）（-2b-a）
（2a+b）（b+2a） -（a-3b）（a+3b）
思考：你能说说平方差公式的结构特征吗？
课中班
级
展
示
2、你能用右面的几何图形的面积来解释平方差公式吗？
从中你有何体会与感悟？
3、运用平方差公式计算：(1) (3x+2)(3x-2)
(2) (b+2a)( 2a -b) （3）(-x+2y)(-x-2y)
4、运用平方差公式计算：102×98
5、计算：(y+2)(y－2)－(y－1)(y+5)
测
评
反
馈
当
堂
检
测
1、运用平方差公式计算：
(1)(a+b)(-b+a) (2)(-a-b)(a-b)
2、王剑同学去商店买了单价是9.8元／千克的糖块10.2千克，售货员刚拿起计
算器，王剑就说出应付99.6元，结果与售货员计算出的结果相吻合。
售货员惊
讶地问：“这位同学，你怎么算得这么快?”王剑同学说：“我利用了在数学上刚
学过的一个公式。
”你知道王剑同学用的是一个什么样的公式吗?
能
力
提
高
计算： (x+1)(x-1)(x2+1)
课堂小结：本节课，你学会了什么？课后反思：。