厚度剪切振动石英晶体板双层电极的热效应

Cr-Ag不同b 2下 的温度-频率特性曲线
相同电极层2厚度b 2，不同基底层厚度b 1的结果比较
我们同样以Ni-Au ，Ni-Ag ，Cr-Au ，Cr-Ag为组合，看看不同搭配下的 温度-频率特性曲线。
Ni-Au 不同b 1下 的温度-频率特性曲线
Ni-Ag 不同b 1下 的温度-频率特性曲线
E 0 = 80.2 × 10 9 N/m 2 ,ν = 0.42
不相同电极厚度比b 1/ b 2下的结果比较
• 我们取以Ni-Au ，Ni-Ag ，Cr-Au ，Cr-Ag为组合，看看不同搭配下的温 度-频率特性曲线。
Ni-Au 不同b 1/ b 2下 的温度-频率特性曲线
Ni-Ag 不同b 1/ b 2下 的温度-频率特性曲线
基本理论
• 增温场理论（ITF）（Lee 和 Yong）下的 运动方程：
&& β ik t kj , j − ρui = 0
这里
β ik = δ ik + α
tp = D s ij
pq
θ
ik
Sq
1 (β kj u k , i + β ki β k , j = 2
)
θ • 这里值得一提的是，热膨胀系数α ik 以及 弹性模量D pq 都是与温升相关的量
• 现今生产实践中对电极热效应的研究
下层电极（基底层）相对与上层电极较薄 在研究电极热效应中，通常忽略基底层的影响，即： 将电极看成只有上层电极组成的单层电极
• 由此产生的问题
（1）若按单层板计算所得的结果是否可靠？ （2）若可靠，那么这样所得的结论与按双层板理 论所得的结论是否存在偏差？这样的偏差是否显著？ （3）用不同的金属材料分别作为下层电极（基底 层）与上层电极，它对石英谐振器的固有频率有何 差异？哪种搭配下的温度—频率稳定性最好？
( ( ( θ α ik = α ik1)θ + α ik2)θ 2 + α ik3)θ 3 (1 (2 (3 D pq = c pq + D pq) Θ + D pq) Θ 2 + D pq) Θ3
Θ = T − 25
• 假设位移为：
s6 = 2 s12 = s12 = (β k1uk , 2 + β k 2uk ,1 ) 1 1 = (β k1u k , 2 ) = (β11u1, 2 + β 21u2, 2 + β 31u3, 2 ) 2 2 1 = (β1u1, 2 ) == Aβη cosηx2 eiωt 2
• 现将该行列式展如下
′2 ′′ β1′4 D66η ′2 tan ηb tan 2η ′b′ + β12 β1′′2 D66 D66ηη ′′ tan 2η ′′b′′ tan 2η ′b′ ′ ′′ ′ + β1′2 β1′′2 D66 D66η ′η ′′ tan ηb tan 2η ′′b′′ − β12 β1′2 D66 D66ηη ′ = 0
• （Ⅱ）不同基底电极的性能比较
我们知道，在实际生产设计中，双层电极的结果 通常有如下的组合：Ni-Au ，Ni-Ag ，Cr-Au ，Cr-Ag。 那么就产生了一个问题，同样与Au或Ag相组合，NiAu 与Cr-Au ，或Ni-Ag与 Cr-Ag哪个温度-频率稳定性 更好呢？我们就将这个问题做如下讨论。 o 我们取两层电极总厚度不变，为1500 A，电极厚度 比为不同值时，分别绘出Ni Au 与Cr Au ，同Ni Ag Ni-Au Cr Cr-Au Ni-Ag Ni Ni Ag与 Cr-Ag Ag各自的温-频曲线，进行温度稳定性比较。 Cr Ag
ρ
ρFra Baidu bibliotek
• 我们定义波数如下
X = 2ξ
π
.
• 我们得到
β2
β′ C 66 P tan X tan πBkX + β 2
π
2
′ C 66 P ′ tan πBkX tan πB ′k ′X C 66 P
′ + β ′ 2 C 66 P ′ tan
π
2
X tan πB ′k ′X − 1 = 0
• 为了计算方便，我们进行如下归一化处理
′ ′ ′ ′′ v22 2 v2′2 2 D66 2 D66 2 D66 ′ ′ , v2 = , v2′ = η ′ = kη ,η ′′ = k ′η , k = 2 , k ′ = 2 , v2 = v2 v2 ρ ρ′ ρ ′′
2
′ ′′ D66 D66 β 1′ β 1′′ b′ b ′′ ′ B = , B ′ = , C 66 = , C 66 = ,β = ,β′= β1 β1 b b D66 D66 ρ′ ρ ′′ ξ = ηb, S 66 = 2 BD66 , P = , P ′ =
• 由应力—位移关系 ，我们得到：
t6 = β1 D66 Aη cosηx2 , ′ ′ t6 = β ′D66η ′[ m A sin ηb sin η ′( x 2 m b) + A′ cosη ′( x 2 m b)], ′ ′′ t6′ = β1′′D66η ′′[ A′′ cosη ′′( x2 m b m 2b′) m ( A′ sin 2η ′b′ + A sin ηb cos 2η ′b′) sin η ′′( x 2 m b m 2b′)],
Ni-Au与Cr-Au 的温度-频率稳定性比较
Ni-Ag与Cr-Ag 的温度-频率稳定性比较
结论与展望
我们主要得到以下结论：
（1） 当两层电极的厚度比 b 1/ b 2比较小时，即基底层非常薄时， ） 它得出的结论同单层板热效应理论的偏差很小，但当厚度比逐渐 增大时，这种偏差也跟着逐渐增大，变得不可忽略。在Ni-Au ， Ni-Ag ，Cr-Au ，Cr-Ag组合下，单层板热效应计算得出的结论 是偏于保守的。 2） Ag Ni Cr （2） 以Ag做电极，无论是与Ni还是与Cr搭配，它的性能都优与以 Au做电极。Ag的性能优越性主要体现在以下两个方面：
• 由于电极1的存在，我们假设位移如下：
u1 = A sin ηx2 ,−b ≤ x2 ≤ b, ′ u1 = ± A sin ηb cosη ′( x2 m b ) + A′ sin η ′(x2 m b ), b ≤ x2 ≤ b + 2b′,
• 由于电极2的存在，我们又假设位移如下：
u1 = A sin ηx2 ,−b ≤ x2 ≤ b, ′ u1′ = A′′ sin η ′′( x2 m b m 2b′) ± ( A′ sin 2η ′b′ + A sin ηb cos 2η ′b′) cosη ′′( x2 m b m 2b′) b + 2b′ ≤ x2 ≤ b + 2b′ + 2b′′,
• 我们就可以得到在各个温度下的波数X，然后将波数X 代入
ω=
f =
π
2b 1 4b
D66
ρ
D66
β1 β1
2ξ
π
2ξ
= ω 0 β1 X , = f 0 β1 X ,
ρ
π
由此求得在对应温度下双层热效应影响下的频率。
算例中的材料参数
• Ni的材料参数
ρ = 8902 kg/m
3
C11 = 32.4 ×1010 N/m2 , C44 = 8.0 ×1010 N/m2
• 传统的石英晶体谐振器
石英板尺寸较大，电极相对较薄 金属电极层对于石英板振动频率的影响非常小 在各种研究分析中，包括谐振器的温度-频率特性分 析中，都假定金属电极对整个谐振器是没有影响的
• 现今的石英晶体谐振器
随着显微机械加工的发展，谐振器被做得越来越小 电极层的影响，特别是由金属电极热效应所产生的 影响变得不可忽略。 因此，在设计和性能评估过程中我们必须对这种影 响展开深入的研究
α 11 = 12.88 × 10 −4
E0 = 21.377 ×1010 , v = 0.3361
• Cr的材料参数
ρ = 7140 kg/m
3
C11 = 31.4 ×1010 N/m2 , C 44 = 11.5 ×1010 N/m2
α 11 = 4.9 × 10 −4
E 0 = 27.854 × 1010 , v = 0.2111
• 代入运动方程（3.1），得到
β12 D66η 2 − ω 2 ρ = 0,
′ β1′2 D66η ′2 − ω 2 ρ ′ = 0, ′′ β1′′2 D66η ′′2 − ω 2 ρ ′′ = 0,
• 由边界条件和层与层之间的连续性条件
β1′′ 6′ = 0, x2 = ± (2b′′ + 2b′ + b ), t′ ′ t′ β1′t6 = β1′′ 6′, x2 = ± (2b′ + b ), ′ β1t6 = β1′t6 , x2 = ±b,
Cr-Au不同b 1/ b 2下 的温度-频率特性曲线
Cr-Ag不同b 1/ b 2下 的温度-频率特性曲线
由以上各图中我们看到，当电极1与电极2的厚度比很小时，如当b 1/ b 2 =1/16时，它的温-频曲线与单层板得出的温-频曲线是非常接近的，但当厚 度比变得比较大时，这种偏差就变的不可忽略。
• 于是，我们得到了
A′′ cos 2η ′′b′′ − ( A′ sin 2η ′b′ + A sin ηb cos 2η ′b′) sin 2η ′′b′′ = 0, ′ ′′ β1′2 D66η ′( A′ cos 2η ′b′ − A sin ηb sin 2η ′b′) − β1′′2 D66η ′′A′′ = 0, ′ β12 D66η cosηbA − β1′2 D66η ′A′ = 0,
相同基底层厚度b 1，不同电极层2厚度b 2的结果比较
我们同样以Ni-Au ，Ni-Ag ，Cr-Au ，Cr-Ag为组合，看看不同搭配下的 温度-频率特性曲线。
Ni-Au 不同b 2下 的温度-频率特性曲线
Ni-Ag 不同b 2下 的温度-频率特性曲线
Cr-Au不同b 2下 的温度-频率特性曲线
厚度剪切振动石英晶体板双层电 的热效应
指导老师: 王 骥 作者: 吴 振
毕业设计报告
石英晶体谐振器
• 石英晶体谐振器是一个电子元件，它常 被用作频率稳定和选择的参考来源。 • 石英晶体谐振器的结构：石英板+电极 • 电极的结构：在制造过程中，为了使得 石英板与金属电极粘接得更好，通常将 石英板上的电极制成了双层结构。
• 因为A,A’,A”有解，所以我们有系数行列式为零
sin ηb cos 2η ′b′ sin 2η ′′b′′ sin 2η ′b′ sin 2η ′′b′′ − cos 2η ′′b′′ ′ ′ ′′ β1′2 D66η ′ sin ηb sin 2η ′b′ − β1′2 D66η ′ cos 2η ′b′ β1′′2 D66η ′′ = 0 ′ β12 D66η cosηb − β1′2 D66η ′ 0
u1 = A sinηx2 e iωt ,
X2
2b”
Metal electrode 2
2b’
Metal electrode 1
Crystal b
O
X1
在石英谐振器的制造过程中，为了使得石英板与金属电极粘接得 更好、更牢固，通常将石英板上的传导金属电极制成了双层结构。 它的结构如图所示，因为对称，我们只画出它的上半部分。
Cr-Au不同b 1下 的温度-频率特性曲线
Cr-Ag不同b 1下 的温度-频率特性曲线
结果探讨
（Ⅰ）Au和Ag做电极时性能比较 和 做电极时性能比较
若以单层板热效应理论，以银做电极它的温-频 稳定性要好与以金做电极。若双层板理论，从 无论和Ni或Cr搭配，以银做电极它体现出的温 -频稳定性同样要好与以金做电极。从这一点上 来看，它们各自得到的结论是相同的。但我们 应该看到，以单层板理论得出结果是偏与保守 的。
Ag做电极时的它的温度-频率曲线更加平坦，也就是说，它具有更 好的温度-频率稳定性。 以Ag做电极时，当电极总厚度不变的情况下，当基底曾层度占电极 总厚度之比变化时，它的温频-曲线变化非常小。这就表明在实际生产中 以单层电极热效应理论来进行设计的实际可行性。
• Ag Ag的材料参数
ρ = 10490 kg/m
3
C66 = 29.4 ×109 N/m2 , α 11 = 19.1×10 −6
E0 = 80.5 × 109 N/m 2 ,ν = 0.38
• Au的材料参数 Au
ρ = 19302 kg/m
3
C 66 = 78 × 10 9 N / m 2 , α 11 = 14.1 × 10 −4