2019届人教A版(理科数学) 待定系数法——求曲线的方程 单元测试

【精选精练】1.【2018届云南省昆明市第一中 高三第五次月考】直线l 过点()0,2且圆2220x y x +-=相切，则直线的l 的方程为（ ）A. 3480x y +-=B. 3420x y ++=C. 3480x y +-=或0x =D. 3420x y ++=或0x = 【答案】C【解析】当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，而圆心为()1,0，半径为1，所以1d ，解得34k =-；当直线l 的斜率不存在，即直线l 为0x =时，直线l 与圆2220x y x +-=相切，所以直线l 的方程为3480x y +-=或0x =， 故选：C ．2.已知圆2222210x x y my m -+-+-=，当圆的面积最小时，直线y x b =+与圆相切，则b =（ ） A ．1± B ．1 C． D【答案】C 【解析】由题意可知：圆的标准方程为()()()111222+-=-+-m m y x ，所以当1=m 时圆的面积最小，此时圆的圆心为()1,1，半径为1，又因为直线y x b =+与圆相切，所以212±=⇒==b b d . x .w3.的焦点为上一动点，）【答案】B4.，为椭圆的左顶点，在椭圆上，若四边形，则椭圆的离心率为（）B.【答案】C，代入椭圆方程，所以，C.5.【2018届江西省南昌市高三第一次模拟】，为坐标原点，是椭圆上两点，( )B. C.【答案】C，本题选择C 选项.6.【2018届江苏省镇江市高三上 期期末】已知圆C 与圆2210100x y x y +++=相切于原点，且过点()0,6A -，则圆C 的标准方程为__________．【答案】()()223318x y +++=【解析】设圆C 的标准方程为()()222x a y b r -+-=，其圆心为(),C a b ，半径为(0)r r >∵2210100x y x y +++=可化简为()()225550x y +++=故答案为()()223318x y +++=7.【2018届内蒙古集宁第一中 高三上 期第二次月考】已知双曲线Ｓ与椭圆221934x y +=的焦点相同,如果34y x =是双曲线Ｓ的一条渐近线,那么双曲线Ｓ的方程为_______________. 【答案】221916y x -= 【解析】∵椭圆方程为221934x y +=，双曲线Ｓ与椭圆221934x y +=的焦点相同 ∴双曲线Ｓ的焦点坐标为()0,5±设双曲线方程为22221y x a b-= (0,0)a b >>，则c=5∵34y x =是双曲线Ｓ的一条渐近线 ∴34a b =, ∵222c a b =- ∴3a =， 4b =∴双曲线Ｓ的方程为221916y x -=. 故答案为221916y x -=8.在直角坐标系中，O 为坐标原点，设直线l 经过点)2,3(P ，且与x 轴交于点F （2，0）。

（I ）求直线l 的方程；（II ）如果一个椭圆经过点P ，且以点F 为它的一个焦点，求椭圆的标准方程。

【答案】（1）).2(2-=x y .（2）181222=+y x . 【解析】（I ）由于直线l 经过点)2,3(P 和F （2，0），则根据两点式得，所求直线l 的方程为.23220--=--x y9.【2018届全国名校大联考高三第四次联考】（1）求圆心在直线2y x =-上，且与直线1y x =-+相切于点()2,1P -的圆的方程；（2）求与圆22240x y x y +--=外切于点()2,4且半径为.【答案】(1) ()()22122x y -++=；(2) ()()224820x y -+-=. 【解析】试题分析：(1)由题意可得圆的一条直径所在的直线方程为30x y --=，据此可得圆心()1,2C -，半径r CP ==，则所求圆的方程为()()22122x y -++=.(2)圆的标准方程为()()22125x y -+-=，得该圆圆心为()1,242221k -==-.设所求圆心为(),a b ，结合弦长公式可得4a =， 8b =.则圆的方程为()()224820x y -+-=.试题解析：（1）过点()2,1P -且与直线1y x =-+垂直的直线为30x y --=，()13a a -=⇒-=，∴4a =，26b b -=⇒-=，∴8b =. ∴()()224820x y -+-=.x. + w10.【2018届广东省汕头市高三上 期期末】已知圆C 的圆心在直线1y x =-上，且圆C 经过曲线268y x x =-+-与x 轴的交点.(1) 求圆C 的方程；(2) 已知过坐标原点O 的直线l 与圆C 交,M N 两点，若2ON OM =，求直线l 的方程.【答案】（1）()223)25x y -+-=（（2）0y =或125y x =. 【解析】试题分析：（1）先求出曲线与x 轴的交点为()()2,04,0，，再根据圆心在直线1y x =-，由待定系数法可求得圆的方解得2x =或4x =，所以曲线268y x x =-+-与x 轴的交点坐标为()()2,04,0，．设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，依题意得()()()()2222221{2 4b a a b r a b r =--+-=-+-=，解得3{2 a b r ===，所以圆C 的方程为()223)25x y -+-=（．(2)解法一：由题意知直线l 的斜率显然存在，故设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y kx =．由()()22{325y kxx y =-+-=消去y 整理得()()2216480k x k x +-++=，因为直线l 与圆C 交,M N 两点， 所以()()22264321162840k k kk ∆=+-+=-++>．设()()1122,,,M x y N x y ， 则121222864,11kx x x x k k +==++ 因为2ON OM =， 所以212x x =，所以()()22112122264648,213131k k x x x x k k k ⎡⎤++⎢⎥====+++⎢⎥⎣⎦解得0k =或125k =， 经检验得0k =或125k =满足0∆>，所以直线l 的方程为0y =或125y x =. 解法二：解得1{2m d ==所以圆心C 到直线l 的距离等于2，设直线l 的方程为y kx =，即0kx y -=所以2d ， 解得0k =或125k =， 所以直线l 的方程为0y =或125y x =.11.【2018届山西省晋中市高三1月高考适应性调研】已知抛物线C ： 22y px =（0p >）的焦点是椭圆M ： 22221x y a b +=（0a b >>）的右焦点，且两曲线有公共点23⎛ ⎝ （1）求椭圆M 的方程；（2）椭圆M 的左、右顶点分别为1A ， 2A ，若过点()40B ，且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ， Q 两点，已知直线1A P 与2A Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【答案】(1) 22143x y += (2) 点G 在定直线1x =上()2222343264120k x k x k +-+-=有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可. 试题解析：（1）将23⎛ ⎝代入抛物线2:2C y px =得2p = ∴抛物线的焦点为()1,0，则椭圆M 中1c =，又点23⎛ ⎝在椭圆M 上，∴22221{ 424199a b a b-=+=， 解得224,3a b ==， 椭圆M 的方程为22143x y += （2）方法一当点P 为椭圆的上顶点时，直线l40y +-=，此时点(P ，85Q ⎛ ⎝，则直线120A P l y -+=和直线2:20A Q l y +-=，联立20 20y y -+=+-=，解得G ⎛ ⎝，/()()()24222324434163169140k k k k ∆=-⋅+-=⋅->， 2104k ∴<<设()()1122,,,P x y Q x y ，则21223234k x x k +=+， ()21226412*34k x x k -⋅=+则直线()111:22A P y l y x x =++与直线()222:22A Q yl y x x =-- 联立两直线方程得()()12122222y yx x x x +=-+-（其中x 为G 点横坐标） 将1x =代入上述方程中可得1212322y y x x -=+-， 即()()()()122134242k x x k x x --=--+， 即证()1212410160x x x x -++= 将()*代入上式可得()2222464121032163434k kk k ⨯-⨯-+++()2222161632034034k k k k --++==+，此式成立∴点G 在定直线1x =上. 方法二12x x∴-==由1A，P，G三点共线，有：311322yyx x=++由2A，Q，G三点共线，有：323222y yx x=--上两式相比得()()()()()()212133121224222242y x k x xxx y x k x x+-++==----()()()()12122112121238338x x x x x xx x x x x x-++--==--++-+，解得31x=∴点G在定直线1x=上．12.【2018届广东省深圳市高三第一次调研】已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，直线:24l x y+=与椭圆有且只有一个交点T.(1)求椭圆C的方程和点T的坐标；(2) O为坐标原点，与OT平行的直线'l与椭圆C交于不同的两点A，B，求OAB的面积最大时直线'l 的方程.【答案】（1）椭圆C的方程为2222413x ya a+=，点T的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）32y x=或32y x=+.【解析】试题分析：(1) 根据椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，直线:24l x y +=与椭圆有且试题解析：(1)由12c a =，得2234b a =，故2234b a =. 则椭圆C 的方程为2222413x y a a +=. 由222224{ 413x y x y a a +=+=，消去x ，得2216161603y y a -+-=.① 由0∆=，得24a =.故椭圆C 的方程为22143x y +=.由()()22124124120t t ∆=-⨯⨯->，得212t <，AB===设原点到直线'l的距离为d. / -则d所以12OABS d AB===.所以当2612t=<时，即t=时，OAB的面积最大.所以直线'l的方程为32y x=或32y x=+.点睛：本题主要考查待定系数求椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x ya ba b+=>>或22221x yb a+=()0a b>>；③找关系：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.。