三角函数高三总复习作业文科
高考总复习二轮文科数学精品课件 专题1 三角函数与解三角形 考点突破练1 三角函数的图象与性质
7.(2023 陕西榆林二模)已知函数
π
π
2 7π
f(x)=2sin(2x+6 )在[-4 , 6 ]和[ 5 , 12 ]上都是单调
的,则 a 的取值范围是( D )
π
f(x)=2sin(ωx+6 )(ω>0),若方程|f(x)|=1
在区间(0,2π)内恰有 5 个实
根,则 ω 的取值范围是( D )
7 5
A.( , ]
6 3
解析 由|f(x)|=
5 13
B.( , ]
3 6
π
|2sin(ωx+ )|=1
6
4
C.(1, ]
3
可得
π
1
sin(ωx+ )=± ,若
6
5
π·
=1,∴当
2
5
f(2)>f(1)=2,当
5
2
x=2时,f(x)< +sin
5
x=2时,得
πx 不成立,即
5
5 2
4
4
g(2)=f(2)- 5 >f(1)-5=2-5
2
=
6
>sin
5
5
5π
g(2)<sin 2 不成立,由此可在坐标系
中画出 g(x)与 y=sin πx 大致图象如图所示:
由图象可知,当 x∈(-∞,-1)∪(0,1)时,g(x)<sin πx,即
f(x)的单调递增区间为[kπ-
5π
π
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.3.函数的值域为．【答案】【解析】令，则.【考点】1、三角函数；2、二次函数；3、换元法.4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．5.已知函数.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间是：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用正弦函数的单调区间，即可求得其单调递增区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而求得的范围.试题解析：.函数的单调减区间是：.的范围为，所以，所以即：【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的单调区间及范围.6.如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度；⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？【答案】⑴;⑵当为时，取得最小值．【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，则 2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为． 6分⑵设，则，． 8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值， 12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值． 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．8.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.9.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】，故选B．【考点】1．三角函数诱导公式；2．三角函数平方关系．10.在△ABC中，角均为锐角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】D．【解析】又角均为锐角，则且中，，故选D．【考点】1．诱导公式；2．正弦函数的单调性．11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.【答案】②③④．【解析】当，等号成立时当且仅当“即”，显然不成立，则命题①不正确；在中，若，则或，则是等腰或直角三角形，故②正确；由，因为正实数，满足，所以，故③正确；如果是可导函数，若函数在处取到极值，则，当，，但函数在处无极值，则是函数在处取到极值的必要不充分条件，故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为；（2）将代入，得，因为，所以，再利用余弦定理，解出，最后根据三角形面积公式求出. 试题解析：（1）由题意所以.由（1），因为,所以，解得.又余弦定理，所以，解得，所以.【考点】1.三角函数恒等变形；2.三角函数周期；3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知，，其中，若函数，且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为．(l)求的值；(2)在△ABC中，以a，b，c(分别是角A，B，C的对边，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)先根据，结合二倍角公式以及和角公式化简，求得，函数最大值是，那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期，然后根据求解的值；(2)先将代入函数的解析式得到：，由已知条件以及，结合三角函数的图像与性质可以解得，所以，由正弦定理得，那么的周长可以表示为：，由差角公式以及和角公式将此式化简整理得，，结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析：（1）， 3分∵，∴函数的周期，∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴，解得. 4分（2）由（Ⅰ）可知，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得. 7分由正弦定理得：，所以周长为：， 10分，所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式；2.差角公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质；5.正弦定理16.已知向量，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题主要利用向量平行的坐标运算得到，然后解出，再利用二倍角正切公式可得；（Ⅱ）本小题首先化简函数解析式，然后根据三角函数的图像与性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域；试题解析：（Ⅰ），， 2分即，， 4分6分（Ⅱ）=10分，12分，即 14分【考点】1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的拆角方法.18.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．19.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.20.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。
高三文科数学三角函数数列与导数试卷
高三文科数学三角函数数列与导数试卷（完卷时间：120分钟，满分：150分）命题及审题：周建梅一、选择题（每小题5分，共60分）： 1.sin15cos75cos15sin105+等于（ ）Ａ．0Ｂ．12Ｄ．12．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 2－1（n ≥1），则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5等于（ ）A ．－1B ．1C ．0D ．23．{a n }是等差数列，且a 1＋a 4＋a 7＝45，a 2＋a 5＋a 8＝39，则a 3＋a 6＋a 9的值是（ ）A ．24B ．27C ．30D ．33 4．函数y ＝Asin(ωx ＋φ) (A ＞0，ω＞0，|φ|＜2π＝的图象如图所示，则y 的表达式为（ ） A ．y ＝2sin(611x 10π+) B ．y ＝2sin(611x 10π-)C ．y ＝2sin(2x ＋6π)D ．y ＝2sin(2x －6π)5.函数y ＝f(x)的图象在点P （1，f(1)）处的切线方程为y ＝－2x ＋10, 导函数为()f x '，则f(1)＋(1)f '的值为 ( )A. －2B.2 C .6 D. 86．已知等差数列{a n }的公差为正数，且a 3·a 7＝－12，a 4＋a 6＝－4，则S 20为（ ）A ．180B ．－180C ．90D ．－90 7．函数13)(23+-=x x x f 是减函数的区间为( )A ．),2(+∞B ．)2,(-∞C ．)0,(-∞D ．（0，2）8．由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1＋a 4， a 2＋a 5， a 3＋a 6…是（ ）A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 9. 曲线3231y x x =-+在点（1，－1）处的切线方程为（A ．34y x =- B.32y x =-+ C.43y x =-+ 10．设函数f(x)在定义域内可导，y ＝f(x)的图象如图1可能为（ ）11．函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a ＝ ( )A ．2B ．3C ．4D ．5A B C D12. 要得到)42sin(3π+=x y 的图象只需将y ＝3sin2x 的图象（ ）A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位二、填空题（每小题4分，共16分）：13．已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为________. 14．首项是125，从第10项开始比1大，则该等差数列的公差d 的取值范围是__________. 15．若函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1时有极大值，在x ＝3时有极小值，则a ＝____，b ＝____． 16．等差数列{}n a 中，30216131074=++++a a a a a ,则其前19项和19S ＝_________. 三、解答题（共74分）： 17．（本小题共12分）（1）在等差数列}{n a 中，已知94=a ，69-=a ，求满足63=n S 的所有的n 的值。
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。
题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。
这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。
题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。
这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。
题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。
题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。
题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。
题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。
题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。
需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。
2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.在中,已知,若分别是角所对的边,则的最大值为．【答案】【解析】由正余弦定理得：，化简得因此即最大值为.【考点】正余弦定理,基本不等式2. sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【答案】A【解析】sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选A．3.三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin C)，则的值是( )A．1B．－1C．3D．4【答案】B【解析】因为三角形ABC是锐角三角形，所以A＋B>90°，即A＞90°－B，则sin A＞sin(90°－B)＝cos B，sin A－cos B＞0，同理cos A－sin C＜0，所以点P在第四象限，＝－1＋1－1＝－1，故选B.4.已知函数则=【答案】【解析】因为函数由需要求的x都是整数，所以当x为奇数时的解析式为，当x为偶数时的解析式为.所以.所以.【考点】1.分段函数的性质.2.归纳推理的思想.3.三角函数的运算.4.等差数列的求和公式.5.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．6.设，将函数在区间内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）先根据三角函数的恒等变换化简，得，再根据三角函数的性质找到极值点，利用等差数列的性质写出数列的通项公式；（2）先根据（1）中的结果写出的通项公式，然后写出的解析式，在构造出，利用错位相减法求，计算量比较大，要细心.试题解析：（1），其极值点为， 2分它在内的全部极值点构成以为首项，为公差的等差数列， 4分所以； 6分（2）， 8分所以，，相减，得，所以. 12分【考点】1、三角函数的恒等变换及化简；2、三角函数的性质的应用；3、等差数列的通项公式；4、错位相减法求数列的前项和；5、等比数列的前项和.7.已知函数d的最大值为2，是集合中的任意两个元素，且的最小值为.（1）求函数的解析式及其对称轴；（2）若，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式、诱导公式、三角函数的最小正周期、单调性等基础知识，考查运算能力.第一问，利用倍角公式化简表达式，先利用周期求出，再求最值，通过解方程求出，确定了解析式后求正弦函数的对称轴；第二问，通过角之间的关系转化角，考查诱导公式和倍角公式.试题解析：（1），由题意知：的周期为，由，知 2分由最大值为2，故，又， 4分∴ 5分令，解得的对称轴为 7分（2）由知，即， 8分∴ 10分12分【考点】1.倍角公式；2.两角和与差的三角函数；3.函数的周期；4.函数的对称轴.8.是偶函数，，则 .【答案】【解析】，，所以，因为为偶函数，所以对任意的，都有即成立，又，所以.【考点】三角函数的恒等变换，偶函数.9.已知方程在上有两个不同的解、，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于方程在上有两个不同的解、，即方程在上有两个不同的解、，也就是说，直线与函数在轴右侧的图象有且仅有两个交点，由图象可知，当时，直线与曲线相切，且切点的横坐标为，当时，，则，故，在切点处有，即，，两边同时乘以得，，故选C.【考点】1.函数的零点；2.函数的图象；3.利用导数求切线的斜率10.将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将函数的图像按题中要求变换后得到函数的图像，令，则，当时，.【考点】1.三角函数的变换；2.三角函数图象的对称轴.11.函数f(x)=sin+ACos(＞0)的图像关于M(,0)对称,且在处函数有最小值,则的一个可能取值是( )A．0B．3C．6D．9【答案】D【解析】根据题意：相邻对称点与最小值之间可以相差也可以是不妨设为：＝，可以为９，故选D.【考点】三角函数的最值；正弦函数的对称性．12.已知函数，（1）求的值；（2）若，且，求.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）直接将代入计算即可；（2）用二倍角的正弦、余弦公式化简，再将正弦、余弦合为同一个的三角函数；根据已知条件，求出的值.试题解析：(1)(2)因为，且，所以，所以【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的基本运算.13.已知函数的最小正周期为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）讨论在区间上的单调性.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）当，即时，单调递增；当，即，单调递减.【解析】（1）由题意，所以由（1）知若，则当，即时，单调递增；当，即，单调递减.第（1）题根据三角函数的和差化简，二倍角公式以及辅助角公式，最后化成的形式，利用确定的值；第（2）题用整体法的思想确定的单调性，再反求出在指定范围内的单调性.本题属简单题.【考点】本题主要考查三角恒等变形、三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换.考查逻辑推理和运算求解能力，中等难度.14.已知函数若方程有三个不同的实根，且从小到大依次成等比数列，则m的值为 .【答案】【解析】设三个根由小到大依次为，结合余弦函数图像可知关于直线对称，关于直线对称，代入计算得【考点】三角函数图像及性质点评：题目中主要结合三角函数图像的轴对称性找到三根之间的联系15.已知，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，即，，所以，=，故选B。
高三数学三角函数练习题
高三数学三角函数练习题1. 已知角A的终边经过点P(-3, 4)，求角A的三角函数值。
解析：根据点P的坐标可以得出三角形的边长。
设角A的终边与x轴的交点为Q，连接OQ。
则OQ = OP = √((-3)^2 + 4^2) = √(9+16)= √25 = 5。
所以sinA = PQ/OQ = 4/5，cosA = OQ/OQ = 5/5 = 1，tanA =PQ/OQ = 4/5。
答案：sinA = 4/5，cosA = 1，tanA = 4/5。
2. 已知tanA = -3/4，求sinA和cosA的值。
解析：根据三角函数间的关系式，我们可以利用勾股定理求出A的终边与x轴的交点的坐标。
设角A的终边与x轴的交点为Q，连接OQ。
由于tanA = PQ/OQ = -3/4，我们可以设定PQ = -3x，OQ = 4x，其中x为一个正数。
根据勾股定理可得4x^2 + (-3x)^2 = OQ^2 = 16x^2，化简得25x^2 = 16x^2，解得x = 0。
所以OQ = 4x = 0，PQ = -3x = 0。
根据点的坐标可知，角A的终边与x轴无交点，因此sinA和cosA不存在。
答案：sinA和cosA不存在。
3. 已知sinA = 1/2，求A的余弦值。
解析：根据sinA = 1/2可知，A为30度或150度。
计算A的余弦值时我们可以利用三角函数间的关系式cos^2A + sin^2A = 1，代入已知条件即可得到cosA的值。
由于sinA = 1/2，代入可得cosA^2 + (1/2)^2 = 1，化简得cosA^2 = 3/4，解得cosA = ±√3/2。
根据A的角度在第一象限或第二象限，所以cosA = √3/2。
答案：cosA = √3/2。
4. 已知cosA = -2/3，求A的正切值。
解析：根据cosA = -2/3可知，A的终边位于x轴右侧，并与x轴夹角大于90度。
高三数学三角函数试题答案及解析
高三数学三角函数试题答案及解析1.某广告公司设计一个凸八边形的商标，它的中间是一个正方形，外面是四个腰长为，顶角为的等腰三角形.（1）若角时，求该八边形的面积；（2）写出的取值范围，当取何值时该八边形的面积最大，并求出最大面积.【答案】（1）；（2），当时，八边形的面积取最大值.【解析】（1）先利用结合余弦定理确定正方形的边长，然后将八边形分为一个正方形与四个等腰三角形求面积，最后将面积相加得到八边形的面积；（2）利用得到角的取值范围，利用正弦定理求出正方形的边长（利用含的代数式表示），然后利用面积公式求出八边形的面积关于的三角函数，结合降幂公式、辅助角公式将三角函数解析式进行化简，最后求出相应函数在区间的最大值.（1）由题可得正方形边长为，；（2）显然，所以，，，，故，，此时.【考点】1.三角形的面积；2.二倍角；3.辅助角公式；4.三角函数的最值2.“θ≠”是“cos θ≠”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为“cos θ＝”是“θ＝”的必要不充分条件，所以“θ≠”是“cos θ≠”的必要不充分条件，选B.3.已知函数，则一定在函数图象上的点是（）A．B．C．D．【答案】C．【解析】根据的解析式，求出，判断函数的奇偶性，由函数的奇偶性去判断四个选项是否在图象上．．为奇函数，在图象上．故选C．【考点】函数的奇偶性．4.据市场调查，某种商品一年中12个月的价格与月份的关系可以近似地用函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋7(A＞0，ω＞0，|φ|＜)来表示(x为月份)，已知3月份达到最高价9万元，7月份价格最低，为5万元，则国庆节期间的价格约为()A．4.2万元B．5.6万元C．7万元D．8.4万元【答案】D【解析】由题意得函数f(x)图象的最高点为(3,9)，相邻的最低点为(7,5)，则A＝＝2，＝7－3，∴T＝8，又∵T＝，∴ω＝，∴f(x)＝2sin＋7，把点(3,9)代入上式，得sin＝1，∵|φ|＜，∴φ＝－，则f(x)＝2sin＋7，∴当x＝10时，f(10)＝2sin＋7＝＋7≈8.4.5.若向量m=(sinωx,0),n=(cosωx,-sinωx)(ω>0),在函数f(x)=m·(m+n)+t的图象中,对称中心到对称轴的最小距离为,且当x∈[0,]时,f(x)的最大值为1.(1)求函数f(x)的解析式.(2)求函数f(x)的单调递增区间.【答案】(1) f(x)=sin(2x-)-(2) [kπ-,kπ+π](k∈Z)【解析】(1)由题意得f(x)=m·(m+n)+t=m2+m·n+t=3sin2ωx+sinωx·cosωx+t=-cos2ωx+sin2ωx+t=sin(2ωx-)++t.∵对称中心到对称轴的最小距离为,∴f(x)的最小正周期为T=π.∴=π,∴ω=1.∴f(x)=sin(2x-)++t,当x∈[0,]时,2x-∈[-,],∴当2x-=,即x=时,f(x)取得最大值3+t.∵当x∈[0,]时,f(x)=1,max∴3+t=1,∴t=-2,∴f(x)=sin(2x-)-.(2)由(1)知f(x)=sin(2x-)-.2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,2kπ-≤2x≤2kπ+π,kπ-≤x≤kπ+π,∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+π](k∈Z).6.若方程有实根，则实数的取值范围为【答案】【解析】由方程得，，即，因为，所以，若方程有实根，则，解得．【考点】方程的根．7.已知函数f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x(x∈R)．(1)当x取什么值时，函数f(x)取得最大值，并求其最大值；(2)若θ为锐角，且f＝，求tan θ的值．【答案】(1) x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，其最大值为.(2)【解析】解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝＝sin.∴当2x＋＝2kπ＋ (k∈Z)，即x＝kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，其最大值为.(2)∵f＝，∴sin＝，∴cos 2θ＝.∵θ为锐角，即0<θ<，∴0<2θ<π，∴sin 2θ＝＝，∴tan 2θ＝＝2，∴＝2，∴tan2θ＋tan θ－＝0，∴(tan θ－1)(tan θ＋)＝0，∴tan θ＝或tan θ＝－ (不合题意，舍去)，∴tan θ＝.8.已知的三个内角所对的边分别为，且，则角的大小为 .【答案】【解析】根据正弦定理：，，即：，，【考点】1、正弦定理；2、两角和与差的三角函数公式.9.若函数的一个对称中心是，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由于正切函数的对称中心坐标为，且函数的一个对称中心是，所以，因此有，因为，所以当时，取最小值，故选B.【考点】三角函数的对称性10.在锐角中，，，则的值等于；的取值范围为 .【答案】；【解析】，所以，由正弦定理得，即，所以，为锐角三角形，则，且，即，则有，且有，所以，故有，，所以，即，故的取值范围为.【考点】1.正弦定理；2.三角函数的取值范围11.已知函数时有极大值，且为奇函数，则的一组可能值依次为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为当时有极大值，所以=0，解得当k=0时,；因为=为奇函数，所以,当k=0时,,故选D.【考点】1.求函数的导数及其导数的性质；2.三角函数的性质.12.已知函数．（Ⅰ）求函数图像的对称中心；（Ⅱ）求函数在区间上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）最大值为，最小值为－2.【解析】(Ⅰ) 通过三角恒等变换化简函数，然后利用图形来求；(Ⅱ)分析函数的单调性，然后求最值.试题解析：（I）因此，函数图象的对称中心为，．(Ⅱ)因为在区间上为增函数，在区间上为减函数，又，，故函数在区间上的最大值为，最小值为－2．【考点】三角恒等变换、函数图象与性质，考查分析问题、解决问题的能力．13.在中，角的对边分别为向量，,且．（１）求的值；（２）若,,求角的大小及向量在方向上的投影．【答案】（1）；（2），向量在方向上的投影．【解析】（1）由向量数量积坐标形式列式，可求得的值，再利用平方关系可求得的值；（2）先利用正弦定理可求得的值，再利用大边对大角可求得角的大小．由投影的定义可求得向量在方向上的投影．试题解析：(１)由,得, 1分, 2分.. ３分．４分(２)由正弦定理，有, ５分．６分，, ７分． 8分由余弦定理，有， 9分或（舍去）． 10分故向量在方向上的投影为 11分． 12分【考点】1、向量数量积、投影；2、三角恒等变换；3、解三角形．14.已知四边形是矩形，，，是线段上的动点，是的中点．若为钝角，则线段长度的取值范围是 .【答案】.【解析】法一：如下图所示，设，则，由勾股定理易得，，，，，由于为钝角，则，则有，即，即，解得；法二：如下图所示，设，则，以点为坐标原点，、所在的直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，则，，，，，是钝角，则，即，整理得，解得，且、、三点不共线，故有，解得.【考点】余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积15.已知函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数周期由余弦定理得【考点】三角函数性质及解三角形点评：三角函数中，解三角形时常借助于正余弦定理实现边与角的互化，本题中由三边长度利用余弦定理求得三角形内角，进而利用同角间的三角函数关系式求得正切值16.已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）当时,求函数的最大值,最小值．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）的最大值为1,最小值【解析】（I）.的最小正周期为.（II）..当时,函数的最大值为1,最小值.【考点】本小题主要考查三角函数的化简、求值和三角函数的性质.点评：求三角函数的性质（如周期、单调性、最值等），都必须把函数式画出或的形式再求解.17.已知，则A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，则tan =-2,那么，故答案为A.【考点】二倍角的正切公式点评：主要是考查了同角公式和二倍角的公式的运用，属于基础题。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
高三文科周末辅导11(三角函数专题练习)
1.已知函数2()2cos 3sin 2x f x x =-． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos21tan αα-的值．2.设函数23()3sin sin cos (0)2f x x x x ωωωω=-->，且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4π. (Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求()f x 的单调增区间，对称轴，对称中心； （III ）求()f x 在区间3[,]2ππ上的最大值和最小值； (IV)求()f x 在区间 上的单调区间.3.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，已知向量(2,),(cos ,cos ),p c a b q B C =-= p q ⊥ 且． （1）求角B 的大小； （2）若b =23，求△ABC 面积的最大值．4.在ABC ∆中,角A B C 、、的对边分别为a b c ,,,且满足2cos .c b A =（1）求证：A B =；（2）若ABC ∆的面积152S =,4cos 5C =,c 求的值.16、解：（Ⅰ）因为 ()1cos 3sin f x x x =+- ……………………1分 12cos()3x π=++， ……………………3分所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………………5分 （Ⅱ）因为 1()33f πα-=， 所以 112cos =3α+，即1cos 3α=-． ……………………6分 因为 22cos 2cos sin cos sin 1tan cos ααααααα-=-- ……………………8分 cos (cos sin )ααα=+2cos cos sin ααα=+， ……………………10分 因为α为第二象限角， 所以 22sin 3α=． ……………………11分 所以 cos 21221221tan 999αα-=-=-． 【解析】（1）p q ⊥ 由，可得(2)cos cos 0p q c a B b c =-+= ，由正弦定理：sin cos 2sin cos sin cos 0,sin()2sin cos .C B A B B C C B A B -+=+=从而（3分） 又B + C =π– A ，sin(C + B ) = sin A ，且sin A ＞0，故1cos ,(0,),23B B B ππ=∈∴=又（6分）（2）由余弦定理b2 = a2 + c2– 2ac cos B = a2 + c2 –ac≥ac，又b =23，从而ac≤12 （9分）故113sin1233222ABCS ac B=≤⨯⨯=，因此当a = c =23时，△ABC的面积最大且最大值为33．。
高三复习高中数学三角函数基础过关习题有复习资料
2021 年高三复习高中数学三角函数根底过关习题一．选择题〔共15小题〕5．〔2021•宝鸡二模〕函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为〔〕A．4πB．πC．2πD．6．〔2021•宁波二模〕将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是〔〕A．B．x=C．x=D．x=﹣7．〔2021•邯郸二模〕函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，那么函数图象的一条对称轴的方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=8．〔2021•上海模拟〕将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象的一条对称轴是〔〕A．B．C．x=πD．x=1．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π2．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π3．〔2021•香洲区模拟〕函数是〔〕A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数4．〔2021•浙江模拟〕函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为〔〕A．B．4πC．2πD．π9．〔2021•云南模拟〕为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上全部的点的〔〕A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变10．〔2021•陕西〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcosC+ccosB=asinA，那么△ABC的形态为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定11．〔2021•湖南〕在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．假设2asinB=b，那么角A等于〔〕A．B．C．D．12．〔2021•天津模拟〕将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是〔〕A．y=cos〔﹣〕B．y=cos〔2x﹣〕C．y=sin2x D．y=cos〔﹣〕13．〔2021•安庆三模〕将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=cos2x B．g〔x〕=﹣cos2x C．g〔x〕=sin2x D．g〔x〕=sin〔2x+〕14．〔2021•泰安一模〕在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，那么BC的长为〔〕A．B．3C．D．715．〔2021•杭州一模〕函数，下面四个结论中正确的选项是〔〕A．函数f〔x〕的最小正周期为2πB．函数f〔x〕的图象关于直线对称C．函数f〔x〕的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数二．解答题〔共15小题〕18．〔2021•长安区三模〕函数f〔x〕=sin〔2x﹣〕+2cos2x﹣1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f〔A〕=，求△ABC的面积．19．〔2021•诸暨市模拟〕A、B是直线图象的两个相邻交点，且．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设的面积为，求a的值．16．〔2021 •重庆一模〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+．〔1〕求f〔x〕的最小正周期；〔2〕假设f〔x〕＜m在上恒成立，务实数m的取值范围．17．〔2021•东莞二模〕函数．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕假设，α是第二象限的角，求sin2α．20．〔2021•广安一模〕函数f〔x〕=sin2x+2cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f〔C〕=3，假设向量=〔sinA，﹣1〕及向量=〔2，sinB〕垂直，求a，b的值．21．〔2021•张掖三模〕f〔x〕=sinωx﹣2sin2〔ω＞0〕的最小正周期为3π．〔Ⅰ〕当x∈[，]时，求函数f〔x〕的最小值；〔Ⅱ〕在△ABC，假设f〔C〕=1，且2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，求sinA的值．22．〔2021•漳州三模〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，假设向量=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，且∥．〔Ⅰ〕求b，c的值；〔Ⅱ〕求角A的大小及△ABC的面积．23．〔2021•青岛一模〕a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满意，函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕在区间上单调递增，在区间上单调递减．〔Ⅰ〕证明：b+c=2a；〔Ⅱ〕假设，证明：△ABC为等边三角形．24．〔2021•南昌模拟〕函数．〔1〕假设f〔α〕=5，求tanα的值；〔2〕设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f〔x〕在〔0，B]上的值域．25．〔2021•河北区一模〕函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，成等差数列，且=9，求a的值．26．〔2021•韶关一模〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔1〕求f〔〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间及其图象的对称轴方程．27．〔2021•杭州一模〕函数f〔x〕=．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔Ⅱ〕现保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕；〔ⅰ〕求h〔x〕的解析式；〔ⅱ〕△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满意，h〔A〕=，c=2，试求△ABC的面积．28．〔2021•辽宁〕△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假设c2=b2+a2，求B．29．〔2021•合肥二模〕将函数y=f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来的〔纵坐标不变〕，再向左平移个单位后，得到的图象及函数g〔x〕=sin2x的图象重合．〔1〕写出函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴方程；〔2〕假设A为三角形的内角，且f〔A〕=•，求g〔〕的值．30．〔2021•河池模拟〕△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=〔sinB，1﹣cosB〕及向量n=〔2，0〕的夹角为，求的最大值．2021 年高三复习高中数学三角函数根底过关习题〔有答案〕参考答案及试题解析一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：依据复合三角函数的周期公式得，函数f〔x〕=cos〔2x﹣〕的最小正周期是π，应选B．点评：此题考察了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于根底题．2．〔2021•陕西〕函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是〔〕A．B．πC．2πD．4π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意得ω=2，再代入复合三角函数的周期公式求解．解答：解：依据复合三角函数的周期公式得，函数f〔x〕=cos〔2x+〕的最小正周期是π，应选：B．点评：此题考察了三角函数的周期性，以及复合三角函数的周期公式应用，属于根底题．3．〔2021•香洲区模拟〕函数是〔〕A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的奇偶性．专题：计算题．分析：利用诱导公式化简函数，然后干脆求出周期，和奇偶性，确定选项．解答：解：因为：=2cos2x，所以函数是偶函数，周期为：π应选B．点评：此题考察三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考察计算实力，是根底题．4．〔2021•浙江模拟〕函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为〔〕A．B．4πC．2πD．π考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件利用利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期为，求得结果．解答：解：函数f〔x〕=sin〔2x+〕〔x∈R〕的最小正周期为T==π，应选：D．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期性，利用了函数y=Asin〔ωx+φ〕的周期为，属于根底题．5．〔2021•宝鸡二模〕函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为〔〕A．4πB．πC．2πD．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像及性质．分析：依据y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于T=，得出结论．解答：解：函数y=2sin〔2x+〕的最小正周期为T==π，应选：B．点评：此题主要考察三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin〔ωx+φ〕的周期等于T=，属于根底题．6．〔2021•宁波二模〕将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位，纵坐标不变，所得函数图象的一条对称轴的方程是〔〕A．B．x=C．x=D．x=﹣考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：利用函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，可求得变换后的函数的解析式为y=sin〔8x﹣〕，利用正弦函数的对称性即可求得答案．解答：解：将函数y=sin〔4x﹣〕图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数解析式为：g〔x〕=sin〔2x ﹣〕，再将g〔x〕=sin〔2x﹣〕的图象向左平移个单位〔纵坐标不变〕得到y=g〔x+〕=sin[2〔x+〕﹣]=sin〔2x+﹣〕=sin〔2x+〕，由2x+=kπ+〔k∈Z〕，得：x=+，k∈Z．∴当k=0时，x=，即x=是改变后的函数图象的一条对称轴的方程，应选：A．点评：此题考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换，求得变换后的函数的解析式是关键，考察正弦函数的对称性的应用，属于中档题．7．〔2021•邯郸二模〕函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，那么函数图象的一条对称轴的方程为〔〕A．x=0 B．x=C．x=D．x=考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由题意可得2sinφ=1，且2cosφ＜0，可取φ=，可得函数f〔x〕的解析式，从而得到函数的解析式，再依据z余弦函数的图象的对称性得出结论．解答：解：∵函数f〔x〕=2sin〔x+φ〕，且f〔0〕=1，f'〔0〕＜0，∴2sinφ=1，且2cosφ＜0，∴可取φ=，函数f〔x〕=2sin〔x+〕．∴函数=2sin〔x+〕=2cosx，故函数图象的对称轴的方程为x=kπ，k∈z．结合所给的选项，应选：A．点评：此题主要考察三角函数的导数，余弦函数的图象的对称性，属于根底题．8．〔2021•上海模拟〕将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象的一条对称轴是〔〕A．B．C．x=πD．x=考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律可得得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，再利用余弦函数的图象的对称性求得所得函数图象的一条对称轴方程．解答：解：将函数的图象向左平移个单位，可得函数y=cos[2〔x+〕﹣]=cos2x的图象；再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，所得函数图象对应的函数解析式为y=cosx，故所得函数的对称轴方程为x=kπ，k∈z，应选：C．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于根底题．9．〔2021•云南模拟〕为了得到函数y=sin x的图象，只需把函数y=sinx图象上全部的点的〔〕A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变B．横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D．纵坐标伸长到原来的倍，横坐标不变考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．解答：解：把函数y=sinx图象上全部的点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，可得函数y=sin x的图象，应选：A．点评：此题主要考察函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．10．〔2021•陕西〕设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，假设bcosC+ccosB=asinA，那么△ABC的形态为〔〕A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形态．解答：解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，那么由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin〔B+C〕=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，应选B．点评：此题主要考察正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，依据三角函数的值求角，属于中档题．11．〔2021•湖南〕在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．假设2asinB=b，那么角A等于〔〕A．B．C．D．考点：正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．解答：解：∵在△ABC中，2asinB=b，∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，∴A=．应选D．点评：此题考察正弦定理，将“边〞化所对“角〞的正弦是关键，属于根底题．12．〔2021•天津模拟〕将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是〔〕A．y=cos〔﹣〕B．y=cos〔2x﹣〕C．y=sin2x D．y=cos〔﹣〕考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：三角函数的图像及性质．分析：由条件利用y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，可得结论．解答：解：将函数y=cos〔x﹣〕的图象上全部点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，可得函数y=cos〔x﹣〕的图象再将所得图象向左平移个单位，那么所得函数图象对应的解析式是y=cos[〔x+〕﹣]=cos〔x ﹣〕，应选：D．点评：此题主要考察y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换规律，属于根底题．13．〔2021•安庆三模〕将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕的图象，那么g〔x〕的解析式为〔〕A．g〔x〕=cos2x B．g〔x〕=﹣cos2x C．g〔x〕=sin2x D．g〔x〕=sin〔2x+〕考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像及性质．分析：干脆利用平移原那么，左加右减上加下减，化简求解即可．解答：解：将函数f〔x〕=sin〔2x〕的图象向左平移个单位，得到g〔x〕=sin[2〔x+〕+]=sin〔2x+〕=cos2x，g〔x〕的解析式：g〔x〕=cos2x，应选A．点评：此题考察三角函数的平移．三角函数的平移原那么为左加右减上加下减．以及诱导公式的应用．14．〔2021•泰安一模〕在△ABC中，∠A=60°，AB=2，且△ABC的面积为，那么BC的长为〔〕A．B．3C．D．7考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：由△ABC的面积S△ABC=，求出AC=1，由余弦定理可得BC，计算可得答案．解答：解：∵S△ABC==×AB×ACsin60°=×2×AC×，∴AC=1，△ABC中，由余弦定理可得BC==，应选A．点评：此题考察三角形的面积公式，余弦定理的应用，求出AC，是解题的关键．15．〔2021•杭州一模〕函数，下面四个结论中正确的选项是〔〕A．函数f〔x〕的最小正周期为2πB．函数f〔x〕的图象关于直线对称C．函数f〔x〕的图象是由y=2cos2x的图象向左平移个单位得到D．函数是奇函数考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；三角函数的周期性及其求法；余弦函数的奇偶性；余弦函数的对称性．专题：计算题．分析：由f〔x〕=2cos〔2x+〕可求得周期T=π，从而可推断A的正误；将代入f〔x〕=2cos〔2x+〕可得f〔〕的值，看是否为最大值或最小值，即可推断B的正误；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2〔x+〕=2cos〔2x+〕，明显C不对；f〔x+〕=2cos〔2x+〕=﹣2sinx，可推断D的正误．解答：解：∵f〔x〕=2cos〔2x+〕，故周期T=π，可解除A；将代入f〔x〕=2cos〔2x+〕可得：f〔〕=2cos=0≠±2，故可解除B；y=2cos2x的图象向左平移个单位得到y=2cos2〔x+〕=2cos〔2x+〕，故可解除C；f〔x+〕=2cos〔2x+〕=﹣2sinx，明显为奇函数，故D正确．应选D．点评：此题考察余弦函数的奇偶性及对称性及其周期的求法，关键是娴熟驾驭三角函数的性质，易错点在于函数图象的平移变换的推断，属于中档题．二．解答题〔共15小题〕16．〔2021 •重庆一模〕函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+．〔1〕求f〔x〕的最小正周期；〔2〕假设f〔x〕＜m在上恒成立，务实数m的取值范围．考点：三角函数的最值；两角和及差的正弦函数．专题：三角函数的图像及性质．分析：〔1〕由条件利用三角函数的恒等变换求得f〔x〕的解析式，再依据正弦函数的周期性求得f〔x〕的最小正周期．〔2〕由条件利用正弦函数的定义域和值域求得f〔x〕的最大值，可得实数m的取值范围．解答：解：〔1〕∵函数f〔x〕=cosx•sin〔x+〕﹣cos2x+=cosx〔sinx+cosx 〕﹣•+=sin2x﹣cos2x=sin〔2x﹣〕，∴函数的最小正周期为．〔2〕∵，∴，∴．∵f〔x〕＜m在上恒成立，∴．点评：此题主要考察三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数的恒成立问题，属于根底题．17．〔2021•东莞二模〕函数．〔Ⅰ〕求的值；〔Ⅱ〕求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕假设，α是第二象限的角，求sin2α．考点：正弦函数的定义域和值域；同角三角函数间的根本关系；两角和及差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：常规题型；计算题．分析：〔Ⅰ〕将代入函数关系式计算即可；〔Ⅱ〕利用协助角公式将f〔x〕化为f〔x〕=2sin〔2x+〕即可求f〔x〕的最大值和最小正周期；〔Ⅲ〕由f〔〕=2sinα=，可求得sinα，α是第二象限的角，可求得cosα=，利用正弦函数的二倍角公式即可求得sin2α．解答：解：〔Ⅰ〕f〔〕=sin〔2×〕+cos〔2×〕=×﹣×=0；〔Ⅱ〕∵f〔x〕=2〔sin2x+cos2x〕=2〔cos sin2x+sin cos2x〕=2sin〔2x+〕．∴f〔x〕的最大值为2，最小正周期T==π；〔Ⅲ〕由〔Ⅱ〕知f〔x〕=2sin〔2x+〕，∴f〔〕=2sinα=，即sinα=，又α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××〔﹣〕=﹣．点评：此题考察两角和及差的正弦函数，考察同角三角函数间的根本关系，考察正弦函数的性质及应用，利用协助角公式求得f〔x〕=2sin〔2x+〕是关键，属于中档题．，18．〔2021•长安区三模〕函数f〔x〕=sin〔2x﹣〕+2cos2x﹣1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且a=1，b+c=2，f〔A〕=，求△ABC的面积．考点：正弦函数的单调性；余弦定理．分析：〔Ⅰ〕函数f〔x〕绽开后，利用两角和的询问公司化简为一个角的一个三角函数的形式，结合正弦函数的单调增区间求函数f〔x〕的单调增区间．〔Ⅱ〕利用f〔A〕=，求出A的大小，利用余弦定理求出bc的值，然后求出△ABC的面积．解答：解：〔Ⅰ〕因为===所以函数f〔x〕的单调递增区间是〔〕〔k∈Z〕〔Ⅱ〕因为f〔A〕=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b2+c2﹣2bccosA，即1=4﹣3bc．故bc=1从而S△ABC=点评：此题是根底题，考察三角函数的化简求值，单调增区间的求法，余弦定理的应用，考察计算实力，留意A 的求法，简洁出错．常考题型．19．〔2021•诸暨市模拟〕A、B是直线图象的两个相邻交点，且．〔Ⅰ〕求ω的值；〔Ⅱ〕在锐角△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，假设的面积为，求a的值．考点：余弦定理的应用；由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．专题：计算题．分析：〔I〕利用二倍角公式，两角差的正弦公式，化简函数f〔x〕的解析式为﹣sin〔ωx﹣〕，依据周期，解得ω的值．〔II〕由f〔A〕=﹣，求得sin〔2A﹣〕=，结合A的范围求得A的值，再依据三角形的面积求出边b 的值，利用余弦定理求出a的值．解答：解：〔I〕．由函数的图象及，得到函数的周期，解得ω=2．〔II〕∵，∴．又∵△ABC是锐角三角形，，∴，即．由，由余弦定理，得，即．点评：此题考察正弦定理、余弦定理的应用，二倍角公式，两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，依据三角函数的值求角，求出A的大小，是解题的关键．20．〔2021•广安一模〕函数f〔x〕=sin2x+2cos2x+1．〔Ⅰ〕求函数f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕设△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f〔C〕=3，假设向量=〔sinA，﹣1〕及向量=〔2，sinB〕垂直，求a，b的值．考点：余弦定理；两角和及差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法．专题：计算题．分析：〔I〕利用二倍角公式即公式化简f〔x〕；利用三角函数的周期公式求出周期；令整体角在正弦的递增区间上求出x的范围即为递增区间．〔II〕先求出角C，利用向量垂直的充要条件列出方程得到边a，b的关系；利用余弦定理得到a，b，c的关系，求出a，b．解答：解：〔Ⅰ〕∵〔2分〕令，∴函数f〔x〕的单调递增区间为，〔4分〕〔Ⅱ〕由题意可知，，∴，∵0＜C＜π，∴〔舍〕或〔6分〕∵垂直，∴2sinA﹣sinB=0，即2a=b〔8分〕∵②〔10分〕由①②解得，a=1，b=2．〔12分〕点评：此题考察三角函数的二倍角公式、考察三角函数的公式、考察求三角函数的性质常用的方法是整体角处理的方法、考察三角形中的余弦定理．21．〔2021•张掖三模〕f〔x〕=sinωx﹣2sin2〔ω＞0〕的最小正周期为3π．〔Ⅰ〕当x∈[，]时，求函数f〔x〕的最小值；〔Ⅱ〕在△ABC，假设f〔C〕=1，且2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，求sinA的值．考点：三角函数的最值；三角函数的恒等变换及化简求值；由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式．专题：综合题．分析：先利用二倍角公式的变形形式及协助角公式把函数化简为y=2sin〔ωx+〕﹣1，依据周期公式可求ω，进而求f〔x〕〔I〕由x的范围求出的范围，结合正弦函数的图象及性质可求〔II〕由及f〔C〕=1可得，，结合C的范围可求C及A+B，代入2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕，整理可得关于sinA的方程，解方程可得解答：解：==依题意函数f〔x〕的最小正周期为3π，即，解得，所以〔Ⅰ〕由得，所以，当时，〔Ⅱ〕由及f〔C〕=1，得而，所以，解得在Rt△ABC中，，2sin2B=cosB+cos〔A﹣C〕2cos2A﹣sinA﹣sinA=0，∴sin2A+sinA﹣1=0，解得∵0＜sinA＜1，点评：以三角形为载体，综合考察了二倍角公式的变形形式，协助角公式在三角函数化简中的应用，考察了三角函数的性质〔周期、单调区间、最值获得的条件〕时常把ωx+φ作为一个整体．22．〔2021•漳州三模〕在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，，假设向量=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，且∥．〔Ⅰ〕求b，c的值；〔Ⅱ〕求角A的大小及△ABC的面积．考点：解三角形；平面对量共线〔平行〕的坐标表示．分析：〔Ⅰ〕通过向量平行，求出A，B的关系式，利用正弦定理求出b的值，通过余弦定理求出c的值；〔Ⅱ〕干脆利用正弦定理求出A的正弦函数值，然后求角A的大小，结合C的值确定A的值，利用三角形的面积公式干脆求解△ABC的面积．解答：解：〔Ⅰ〕∵=〔1，sinA〕，=〔2，sinB〕，，∴sinB﹣2sinA=0，由正弦定理可知b=2a=2，又∵c2=a2+b2﹣2abcosC，，所以c2=〔〕2+〔2〕2﹣2cos=9，∴c=3；〔Ⅱ〕由，得，∴sinA=，A=或，又C=，∴A=，所以△ABC的面积S===．点评：此题是中档题，考察正弦定理及余弦定理的应用，留意向量的平行条件的应用，考察计算实力．23．〔2021•青岛一模〕a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满意，函数f〔x〕=sinωx〔ω＞0〕在区间上单调递增，在区间上单调递减．〔Ⅰ〕证明：b+c=2a；〔Ⅱ〕假设，证明：△ABC为等边三角形．考点：余弦定理的应用；三角函数恒等式的证明；正弦定理．专题：解三角形．分析：〔Ⅰ〕通过表达式，去分母化简，利用两角和及差的三角函数，化简表达式通过正弦定理干脆推出b+c=2a；〔Ⅱ〕利用函数的周期求出ω，通过，求出的值，利用余弦定理说明三角形是正三角形，即可．解答：〔本小题总分值12分〕解：〔Ⅰ〕∵∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinAsin〔A+B〕+sin〔A+C〕=2sinA…〔3分〕sinC+sinB=2sinA…〔5分〕所以b+c=2a…〔6分〕〔Ⅱ〕由题意知：由题意知：，解得：，…〔8分〕因为，A∈〔0，π〕，所以…〔9分〕由余弦定理知：…〔10分〕所以b2+c2﹣a2=bc因为b+c=2a，所以，即：b2+c2﹣2bc=0所以b=c…〔11分〕又，所以△ABC为等边三角形．…〔12分〕点评：此题考察三角函数的化简求值，两角和及差的三角函数，正弦定理及余弦定理的应用，考察计算实力．24．〔2021•南昌模拟〕函数．〔1〕假设f〔α〕=5，求tanα的值；〔2〕设△ABC三内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，求f〔x〕在〔0，B]上的值域．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的恒等变换及化简求值；解三角形．专题：计算题．分析：〔1〕把f〔α〕=5代入整理可得，，利用二倍角公式化简可求tanα〔2〕由，利用余弦定理可得，，即，再由正弦定理化简可求B，对函数化简可得f〔x〕=2sin〔2x+〕+4，由可求．解答：解：〔1〕由f〔α〕=5，得．∴．∴，即，∴．〔5分〕〔2〕由，即，得，那么，又∵B为三角形内角，∴，〔8分〕又==〔10分〕由，那么，故5≤f〔x〕≤6，即值域是[5，6]．〔12分〕点评：此题主要考察了利用正弦及余弦定理解三角形，协助角公式的应用，及正弦函数性质等学问的简洁综合的运用，属于中档试题．25．〔2021•河北区一模〕函数．〔Ⅰ〕求f〔x〕的单调递增区间；〔Ⅱ〕在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，成等差数列，且=9，求a的值．考点：正弦函数的单调性；数列及三角函数的综合；三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题．分析：〔I〕利用两角和差的三角公式化简f〔x〕的解析式，得到sin〔2x+〕，由2kπ﹣≤〔2x+〕≤2kπ+，解出x的范围，即得f〔x〕的单调递增区间．〔II〕在△ABC中，由，可得sin〔2A+〕值，可求得A，用余弦定理求得a 值．解答：解：〔I〕f〔x〕==sin2x+cos2x=sin〔2x+〕．令2kπ﹣≤〔2x+〕≤2kπ+，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z．即f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．〔II〕在△ABC中，由，可得sin〔2A+〕=，∵＜2A+＜2π+，∴＜2A+=或，∴A=〔或A=0 舍去〕．∵b，a，c成等差数列可得2b=a+c，∵=9，∴bccosA=9．由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA=〔b+c〕2﹣3bc=18，∴a=3．点评：此题考察等差数列的性质，正弦函数的单调性，两角和差的三角公式、余弦定理的应用，化简函数的解析式是解题的打破口．26．〔2021•韶关一模〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1〔ω＞0〕的最小正周期为π．〔1〕求f〔〕的值；〔2〕求函数f〔x〕的单调递增区间及其图象的对称轴方程．考点：由y=Asin〔ωx+φ〕的部分图象确定其解析式；三角函数的化简求值；三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的单调性．分析：〔1〕利用三角函数的恒等变换化简函数f〔x〕的解析式为2sin〔2ωx+〕，由此求得f〔〕的值．〔2〕由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函数f〔x〕的单调递增区间．由2x+=kπ+求得x的值，从而得到f〔x〕图象的对称轴方程．解答：解：〔1〕函数f〔x〕=2cos2ωx+2sinωxcosωx﹣1=cos2ωx+sin2ωx=2sin〔2ωx+〕，因为f〔x〕最小正周期为π，所以=π，解得ω=1，所以f〔x〕=2sin〔2x+〕，f〔〕=2sin=1．〔2〕由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，所以，函数f〔x〕的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．由2x+=kπ+可得x=kπ+，k∈z．所以，f〔x〕图象的对称轴方程为x=kπ+，k∈z．…〔12分〕点评：此题主要考察三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．27．〔2021•杭州一模〕函数f〔x〕=．〔Ⅰ〕求f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔Ⅱ〕现保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕；〔ⅰ〕求h〔x〕的解析式；〔ⅱ〕△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满意，h〔A〕=，c=2，试求△ABC的面积．考点：正弦定理的应用；两角和及差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换．分析：〔I〕利用二倍角的三角函数公式降次，再用协助角公式合并得f〔x〕=sin〔2x+〕﹣，再结合函数y=Asin 〔ωx+φ〕的图象及性质的有关公式，可得f〔x〕的最小正周期、对称轴方程及单调区间；〔II〕〔i〕依据函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换的公式，不难得到h〔x〕的解析式为h〔x〕=sin〔x+〕﹣；〔ii〕依据h〔A〕的值结合三角形内角的范围和特别三角函数的值，求得A=，再由结合正弦定理，探讨得三角形是等腰三角形或是直角三角形，最终在两种状况下分别解此三角形，再结合面积公式可求出△ABC的面积．解答：解：〔I〕∵f〔x〕==sin2x﹣=sin2xcos+cos2xsin﹣，∴f〔x〕=sin〔2x+〕﹣，f〔x〕的最小正周期为T==π．令2x+=+kπ，得x=+kπ，k∈Z，所以函数图象的对称轴方程为：x=+kπ，〔k∈Z〕令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，解之得﹣+kπ≤x≤+kπ，所以函数的单调增区间为[﹣，+kπ]，〔k∈Z〕同理可得，函数的单调减区间为[+kπ，+kπ]，〔k∈Z〕〔II〕∵保持纵坐标不变，把f〔x〕图象上全部点的横坐标伸长到原来的4倍，得到新的函数h〔x〕∴h〔x〕=f〔x〕=sin〔x+〕﹣，〔i〕h〔x〕的解析式为h〔x〕=sin〔x+〕﹣；〔ii〕∵h〔A〕=sin〔A+〕﹣=，∴sin〔A+〕=，结合A∈〔0，π〕得A=∵=∴sinAcosA=sinBcosB，可得sin2A=sin2B，即A=B或A+B=①当A=B时，因为c=2，A=，所以△ABC是边长为2的等边三角形，因此，△ABC的面积S=×22=．②当A+B=时，因为c=2，A=，所以△ABC是斜边为2的直角三角形∴a=csinA=2×=，b=ccosA=2×=1因此，△ABC的面积S=××1=．综上所述，得△ABC的面积是或．点评：此题综合了三角恒变换、函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换、利用正余弦定理解三角形等学问，对三角函数的学问进展了综合考察，是一道中档题．28．〔2021•辽宁〕△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．〔Ⅰ〕求；〔Ⅱ〕假设c2=b2+a2，求B．考点：解三角形．专题：计算题．分析：〔Ⅰ〕先由正弦定理把题设等式中边转化成角的正弦，化简整理求得sinB和sinA的关系式，进而求得a和b的关系．〔Ⅱ〕把题设等式代入余弦定理中求得cosB的表达式，把〔Ⅰ〕中a和b的关系代入求得cosB的值，进而求得B．解答：解：〔Ⅰ〕由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=sinA，即sinB〔sin2A+cos2A〕=sinA∴sinB=sinA，=〔Ⅱ〕由余弦定理和C2=b2+a2，得cosB=由〔Ⅰ〕知b2=2a2，故c2=〔2+〕a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°点评：此题主要考察了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进展了互化．29．〔2021•合肥二模〕将函数y=f〔x〕的图象上各点的横坐标缩短为原来的〔纵坐标不变〕，再向左平移个单位后，得到的图象及函数g〔x〕=sin2x的图象重合．〔1〕写出函数y=f〔x〕的图象的一条对称轴方程；〔2〕假设A为三角形的内角，且f〔A〕=•，求g〔〕的值．考点：函数y=Asin〔ωx+φ〕的图象变换；两角和及差的正弦函数；正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：〔1〕由题意可知将函数g〔x〕=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f〔x〕的图象可得f〔x〕=sin〔x﹣〕，令可求答案．〔2〕由f〔A〕=可得，sin〔A﹣=结合0＜A＜π，且0＜sin〔A﹣=可得从而可求得cos〔A﹣〕=而=代入可求答案．解答：解：〔1〕由题意可知将函数g〔x〕=sin2x的图象向右平移个单位，再将横坐标伸长到原来的2倍即可得的到f〔x〕的图象，∴f〔x〕=sin〔x﹣〕由得∴〔2〕由f〔A〕=可得，sin〔A﹣=∵0＜A＜π，且0＜sin〔A﹣=。
2021年高三数学(文科)高考总复习阶段测试卷(第28周) 含答案
2021年高三数学（文科）高考总复习阶段测试卷（第28周）含答案说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己姓名、考号、考试科目用2B铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．3．将第Ⅰ卷选择题的答案涂在答题卡上，第Ⅱ卷每题的答案写在答题纸的指定位置．4．考试结束，将答题纸和答题卡一并交回，答案写在试卷上视为无效答案．参考公式：圆锥表面积公式：（是圆锥底面半径，是母线）圆锥体积公式：（是圆锥底面半径，是高）球体积公式：（R是球的半径）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．命题“存在R，0”的否定是（）A．不存在R，>0 B．存在R，0C．对任意的R，0 D．对任意的R，>03．已知：，则的大小关系为（）A．B．C．D．4．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的体积为：（）C．cm3 D．cm3（）D．“”的（）B．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件（）A．B．C．D．8．已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．9．已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，则（）A．B．C．D．10．已知向量，，那么= （）A．B．C．D．111．定义两种运算：，，则函数（）A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数12．已知定义在上的函数满足，且，，有穷数列()的前项和等于, 则n等于（）A．4 B．5 C．6 D．7第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题纸相应位置上．）13．函数的定义域为____________________．14．已知m>0,n>0,向量，且，则的最小值是 .15．对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值－1叫做的下确界，则函数的下确界为 .16．已知中，所对的边长分别为,则下列条件中能推出为锐角三角形的条件是_________. （把正确答案的序号都写在横线上）①. ②.③,. ④.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．(本题满分10分)设函数，（Ⅰ）不等式的解集为，求的值;（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求不等式的解集.18．(本题满分12分)已知函数.（I）求函数的最小正周期；（II）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．19．(本题满分12分)设数列的前项和为，对，都有成立，(Ⅰ) 求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列，试求数列的前项和.20．(本题满分12分)如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，直线的倾斜角为，，设，.(Ⅰ)用表示；(Ⅱ)若，求的值．21．(本题满分12分)已知数列的各项都为正数，，前项和满足（）.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令（），数列的前项和为，若对任意正整数都成立，求实数的取值范围.22． (本题满分12分)已知函数（）.（Ⅰ）若，求在上的最大值；（Ⅱ）若，求的单调区间.参考答案：1.【答案】D【分析】根据集合的含义，把集合具体求出来，再根据集合的运算法则进行计算。
高考三角函数复习专题
三角函数复习专题一、核心知识点归纳：★★★1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：★★2.正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===R 为ABC ∆外接圆半径2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩ ⇒ sin 2sin 2sin 2a A R b B R c C R ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆===③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩三、例题集锦： 考点一：三角函数的概念1.如图,设A 是单位圆和x 轴正半轴的交点,Q P 、是 单位圆上的两点,O 是坐标原点,6π=∠AOP ,[)παα,0,∈=∠AOQ ．1若34(,)55Q ,求⎪⎭⎫⎝⎛-6cos πα的值；2设函数()f OP OQ α=⋅,求()αf 的值域． 2．已知函数2()22sin f x x x =-.Ⅰ若点(1,P在角α的终边上,求()f α的值； Ⅱ若[,]63x ππ∈-,求()f x 的值域.考点二：三角函数的图象和性质3.函数()sin()(0,0,||)2f x A x A ωφωφπ=+>><部分图象如图所示．Ⅰ求()f x 的最小正周期及解析式；Ⅱ设()()cos 2g x f x x =-,求函数()g x 在区间[0,]x π∈上的最大值和最小值．考点三、四、五：同角三角函数的关系、 诱导公式、三角恒等变换4．已知函数x x x f 2cos )62sin()(+-=π.1若1)(=θf ,求θθcos sin ⋅的值；2求函数)(x f 的单调增区间.3求函数的对称轴方程和对称中心 5.已知函数2()2sin cos 2cos f x x x x ωωω=-0x ω∈>R ，,相邻两条对称轴之间的距离等于2π．Ⅰ求()4f π的值；Ⅱ当 02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时,求函数)(x f 的最大值和最小值及相应的x 值． 6、已知函数2()2sin sin()2sin 12f x x x x π=⋅+-+ ()x ∈R . Ⅰ求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；Ⅱ若0()23x f =,0ππ(, )44x ∈-,求0cos 2x 的值.7、已知πsin()410A +=,ππ(,)42A ∈． Ⅰ求cos A 的值； Ⅱ求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．考点六：解三角形8．已知△ABC 中,2sin cos sin cos cos sin A B C B C B =+. Ⅰ求角B 的大小；Ⅱ设向量(cos , cos 2)A A =m ,12(, 1)5=-n ,求当⋅m n 取最 小值时,)4tan(π-A 值.9．已知函数23cos sin sin 3)(2-+=x x x x f ()R x ∈． Ⅰ求)4(πf 的值；Ⅱ若)2,0(π∈x ,求)(x f 的最大值；Ⅲ在ABC ∆中,若B A <,21)()(==B f A f ,求AB BC 的值．10、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 分,且满足2cos cos c b Ba A-=． Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ若a =求△ABC 面积的最大值．11、 在△ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且b 2+c 2-a 2=bc ．9第题图Ⅰ求角A 的大小；Ⅱ设函数2cos 2cos 2sin 3)(2x x xx f +=,当)(B f 取最大值23时,判断△ABC 的形状．12、在ABC ∆中,内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ,已知1tan 2B =,1tan 3C =,且1c =. Ⅰ求tan A ； Ⅱ求ABC ∆的面积.13、在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,且274sin cos222A B C +-=． Ⅰ求角C 的大小； Ⅱ求sin sin A B +的最大值．高三文科---三角函数专题11.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线2y x =上,则cos2θ=A .45- B .35- C .35 D .452.如图,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为)2,2(0-P ,角速度为1,那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为3.动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间0t =时,点A 的坐标是13(,)22,则当012t ≤≤时,动点A 的纵坐标y 关于t 单位：秒的函数的单调递增区间是A 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1和[]7,124.函数f (x)Asin(wx ),(A,w,=+φφ）为常数,)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则f (0)____的值是5.已知函数f (x)A tan(x )=ω+ϕω＞0,2π＜ϕ,y f (x)=的部分图象如下图,则f24π=__________. 6. 函数f x=sinx －cosx ＋6π的值域为A ． －2 ,2B .33C .－1,1D .－33 8.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,且()()2f f ππ>,则()f x 的单调递增区间是 A ,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ,()2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦C 2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ D ,()2k k k Z πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦14.定义在⎪⎭⎫⎝⎛20π,的函数y=6cosx 图像与y=5tanx 图像的交点为P,过点P 作PP 1⊥x轴于点P 1,直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为 .16.如图,四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,各自作出三个函数sin 2y x =, sin()6y x π=+,sin()3y x π=-的图像如下,结果发现其中有一位同学作出的图像有错误,那么有错误．．的图像是 A B C D17.已知0ω>,函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是20.设sin 1+=43πθ（）,则sin 2θ=A 79- B 19- C 19 D 7922.已知,2)4tan(=+πx 则x x2tan tan 的值为__________25.若tan θ＋1tan θ=4,则sin 2θ=A ．15B . 14C . 13D . 1226.已知α为第二象限角,33cos sin =+αα,则cos2α=A 555527.若02πα<<,02πβ-<<,1cos ()43πα+=,3cos ()42πβ-=则cos ()2βα+= A33 B 33-53 D 628. 设α为锐角,若4cos 65απ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则)122sin(π+a 的值为 ． 29.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,,1若,cos 2)6sin(A A =+π 求A 的值；2若c b A 3,31cos ==,求C sin 的值.30.如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=3点D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD 的长度等于___.31.在ABC ∆中,内角A,B,C 所对的边分别是c b a ,,,已知8b=5c,C=2B,则cosC=A257 B 257- C 257± D 2524 34.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且53cos =A ,135cos =B ,3=b 则c =35. 如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使1AE =,连接EC 、ED 则sin CED ∠=A 、31010 B 、1010 C 、510 D 、51536. 在ABC ∆中,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c , 若2222a b c +=,则cos C 的最小值为A .3. 22C . 12D . 12-37.在ABC 中,60,3B AC ==则2AB BC +的最大值为 . 39. 设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边为,,a b c ；则下列命题正确的是①若2ab c >；则3C π<②若2a b c +>；则3C π<③若333a b c +=；则2C π<④若()2a b c ab +<；则2C π>⑤若22222()2a b c a b +<；则3C π>43. 已知函数()tan(2),4f x x =+πⅠ求()f x 的定义域与最小正周期；II 设0,4⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πα,若()2cos 2,2f =αα求α的大小45. 设函数22())sin 4f x x x π=++. I 求函数()f x 的最小正周期；II 设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.47.设426f (x )cos(x )sin x cos x π=ω-ω+ω,其中.0>ω Ⅰ求函数y f (x )= 的值域Ⅱ若y f (x )=在区间322,ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数,求 ω的最大值.48. 函数2()6cos 33(0)2xf x x ωωω=->在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B 、C 为图象与x 轴的交点,且ABC ∆为正三角形.Ⅰ求ω的值及函数()f x 的值域； Ⅱ若083()f x =,且0102(,)33x ∈-,求0(1)f x +的值. 52. 已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边,cos 3sin 0a C a C b c --= 1求A ； 2若2a =,ABC ∆的面积为3；求,b c .53.在∆ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ．已知cos A ＝23,sin B ＝5C ．Ⅰ求tan C 的值； Ⅱ若a 2求∆ABC 的面积．54.在△ABC中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知,sin()sin()444A b C cB a πππ=+-+= 1求证： 2B C π-=2若2a =,求△ABC 的面积.56.已知向量(cos sin ,sin )x x x ωωω=-a ,(cos sin ,23cos )x x x ωωω=--b ,设函数()f x λ=⋅+a b ()x ∈R 的图象关于直线πx =对称,其中ω,λ为常数,且1(,1)2ω∈.Ⅰ求函数()f x 的最小正周期；Ⅱ若()y f x =的图象经过点π(,0)4,求函数()f x 在区间3π[0,]5上的取值范围. 57.在ABC ∆中,已知3AB AC BA BC =． 1求证：tan 3tan B A =； 2若5cos 5C =，求A 的值．58. 已知△ABC 得三边长成公比为2的等比数列,则其最大角的余弦值为_____.59.已知ABC ∆ 的一个内角为120o ,并且三边长构成公差为4的等差数列,则ABC ∆的面积为_______60.已知等比数列{a n }的公比q=3,前3项和313.3S = I 求数列{a n }的通项公式；II 若函数()sin(2)(0,0)f x A x A p ϕϕπ=+><<<在6x π=处取得最大值,且最大值为a 3,求函数fx 的解析式.63.函数22xy sin x =-的图象大致是 64.函数fx=sin x ωϕ+的导函数()y f x '=的部分图像如图4所示,其中,P 为图像与y 轴的交点,A,C 为图像与x 轴的两个交点,B 为图像的最低点.1若6πϕ=,点P 的坐标为0,332,则ω= ； 2求∆ABC 面积65设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()()a b c a b c ac ++-+=.I 求BII 若1sin sin 4A C =,求C .66在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且222a b c =++.Ⅰ求A ;Ⅱ设a =S 为△ABC 的面积,求3cos cos S B C +的最大值,并指出此时B 的值.67在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3cos()cos sin()sin()5A B B A B A c ---+=-.Ⅰ求sin A 的值;Ⅱ若a =5b =,求向量BA 在BC 方向上的投影68已知函数()sin cos f x x a x =+的一个零点是3π4. Ⅰ求实数a 的值;Ⅱ设22()[()]2sin g x f x x =-,求()g x 的单调递增区间.69在△ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知sin (tan tan )tan tan B A C A C +=.Ⅰ求证：,,a b c 成等比数列； Ⅱ若1,2a c ==,求△ABC 的面积S .三角函数1、在ABC ∆中,已知内角3A π=,边BC =设内角B x =,面积为y .1求函数()y f x =的解析式和定义域； 2求y 的最大值.2、已知a ＝coos α,sin α,b ＝coos β,sin β,其中0＜α＜β＜π． 1求证：a ＋b 与a －b 互相垂直；2若k a ＋b 与a －k b 的长度相等,求β－α的值k 为非零的常数．3、已知3sin22B A ++cos 22BA -=2, cocacobs ≠0,求tanAtanB 的值; 5、已知ABC ∆中,1||=AC ,0120=∠ABC ,θ=∠BAC ,记→→•=BC AB f )(θ, 1求)(θf 关于θ的表达式； 2求)(θf 的值域；6、已知向量],2[),2cos ),122(cos(),2cos ),122(sin(ππππ∈-+=+=x x x b x x a ,函数b a x f ⋅=)(.I 若53cos -=x ,求函数)(x f 的值；II 将函数)(x f 的图象按向量c ＝)0)(,(π<<m n m 平移,使得平移后的图象关于原点对称,求向量c .9、在ABC ∆中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,向量(2sin ,m B =,2cos 2,2cos 12B n B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且//m n ;I 求锐角B 的大小；II 如果2b =,求ABC ∆的面积ABC S ∆的最大值; 10、已知向量()()3cos2,1,1,sin2,,m a x n b a x a b R ==-∈,集合{}2cos ,22M x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦,若函数()f x m n x M =∈在时,取得最大值3,最小值为－1,求实数,a b 的值16、在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且.cos cos 3cos B c B a C b -= I 求cos B 的值；II 若2=⋅BC BA ,且22=b ,求c a 和b 的值.21、已知向量m =()B B cos 1,sin -, 向量n = 2,0,且m 与n 所成角为错误!,其中A 、B 、C 是ABC ∆的内角;ＡＢＣ1201求角B 的大小;2求 C A sin sin +的取值范围;26、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,C ＝2A,43cos =A , 1求B C cos ,cos 的值；2若227=⋅BC BA ,求边AC 的长; 30、已知ABC △的面积为3,且满足60≤⋅≤AC AB ,设AB 和AC 的夹角为θ． I 求θ的取值范围；II 求函数)4(sin 2)(2πθθ+=f －θ2cos 3的最大值与最小值．33、已知△ABC 的面积为３,且06,AB AC AB AC θ→→→→≤•≤设和的夹角为; 1求θ的取值范围；2求函数22()(sin cos )f θθθθ=+-的最大值和最小值; 36、已知A B 、是△ABC 的两个内角,向量2cos, sin 22A B A Ba +-=（）,若6||2a =. Ⅰ试问B A tan tan ⋅是否为定值若为定值,请求出；否则请说明理由； Ⅱ求C tan 的最大值,并判断此时三角形的形状. 38、在△ABC 中,已知35=BC ,外接圆半径为5. Ⅰ求∠A 的大小； Ⅱ若ABC AC AB ∆=⋅，求211的周长. 40、如图A 、B 是单位圆O 上的点,C 是圆与x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为)54,53(,三角形AOB 为正三角形． Ⅰ求COA ∠sin ；Ⅱ求2||BC 的值．45、已知函数fx=4sin 24π42x ππ≤≤1求)(x f 的最大值及最小值；2若不等式|fx －m|<2恒成立, 求实数m 的取值范围49、已知函数fx ＝·,其中＝sin ωx ＋cos ωx,错误!cos ωx,＝cos ωx －sin ωx,2sin ωx ω＞0,若fx 相邻的对称轴之间的距离不小于错误!. 1求ω的取值范围；2在△ABC 中,a,b,c 分别为A,B,C 的对边,a ＝错误!,b+c ＝3,当ω最大时,fA ＝1,求△ABC 的面积.56、已知角C B A ,,为ABC ∆的三个内角,其对边分别为c b a ,,,若)2sin ,2cos (A A -=m ,)2sin ,2(cos A A =n ,32=a ,且21=⋅n m ．1若ABC ∆的面积3=S ,求c b +的值． 2求c b +的取值范围．59、在锐角△ABC 中,已知内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且tanA －tanB＝1＋tanA ·tanB ．1若a 2－ab ＝c 2－b 2,求A 、B 、C 的大小；2已知向量m ＝sinA,cosA,n ＝cosB,sinB,求｜3m －2n ｜的取值范围．62、已知函数0)6(,cos sin cos 2)(2=+=πf x x a x x f1求函数)(x f 的最小正周期及单调增区间；2若函数)(x f 的图象按向量)1,6(-=πm 平移后得到函数)(x g 的图象,求)(x g 的解析式.64、设向量)2,(),,0(),0,1(),sin ,cos 1(),sin ,cos 1(ππβπαββαα∈∈=-=+=c b a ,2sin,3,,2121βαπθθθθ-=-求且的夹角为与的夹角为与c b c a 的值;68已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角,向量65(,cos )22A B A B +-=a ,且3|| 5.5=a 1求tan tan A B 的值；2求C 的最大值,并判断此时ABC ∆的形状.74、在△ABC 中,,0),1,(),cos ,sin 3(),2cos ,(cos πλ≤≤--x C x x B x x A 若△ABC 的重心在y 轴负半轴上,求实数λ的取值范围．76、在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若).(R k k BC BA AC AB ∈=⋅=⋅ Ⅰ判断△ABC 的形状； Ⅱ若k c 求,2=的值.77、在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且cos cos B C ba c=-+2. I 求角B 的大小；II 若b a c =+=134，,求△ABC 的面积.78、已知ABC ∆中,a 、b 、c 是三个内角A 、B 、C 的对边,关于x 的不等式2cos 4sin 60x C x C ++<的解集是空集． 1求角C 的最大值；2若72c =,ABC ∆的面积S =求当角C 取最大值时a b +的值． 84、在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,且tan 21tan A c Bb+=． Ⅰ求角A ； Ⅱ若m (0,1)=-,n ()2cos ,2cos 2C B =,试求|m +n |的最小值． 90、已知锐角△ABC 三个内角为A 、B 、C,向量22sin ,cos sin pA A A 与向量sin cos ,1sin qA A A 是共线向量.Ⅰ求角A. Ⅱ求函数232sin cos 2C By B 的最大值.96、已知]),0[,0)(cos()(πωωπ∈Φ>Φ+=x x f 是R 上的奇函数,其图像关于直线43=x 对称,且在区间]41,41[-上是单调函数,求ω和Φ的值; 98、已知向量(1tan ,1),(1sin 2cos 2,3)x x x =-=++-b a ,记().f x =⋅b a1求fx 的值域及最小正周期；2若224f f ααπ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求角.α。
高三数学(文) 三角函数大题20道训练(附详答)
高三数学(文) 三角函数大题20道训练(附详答)1. 题目已知函数 $f(x) = \\cos(x) + \\sin(x)$ 在区间 $[0, 2\\pi]$ 上有若干个不同的零点，试求这些零点的个数并说明理由。
解答要求 $f(x) = \\cos(x) + \\sin(x) = 0$，可以将其转化为 $f(x) = \\cos(x) = -\\sin(x)$。
根据三角函数的性质，当 $x =\\frac{3\\pi}{4} + n\\pi$ 时，f(f)=0，其中f为整数。
在区间 $[0, 2\\pi]$ 上，f(f)=0的解有两种情况：1.当f=0时，$x = \\frac{3\\pi}{4}$；2.当f=1时，$x = \\frac{7\\pi}{4}$。
因此，函数f(f)在区间$[0, 2\\pi]$ 上有两个不同的零点。
2. 题目已知 $\\sin(A) = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$，$\\cos(B) =\\frac{\\sqrt{3}}{2}$，且f,f是锐角，求 $\\sin(A + B)$ 的值。
解答根据三角函数的加法公式，$\\sin(A + B) = \\sin(A)\\cos(B) + \\cos(A)\\sin(B)$。
已知$\\sin(A) = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$，$\\cos(B) = \\frac{\\sqrt{3}}{2}$。
由于f,f是锐角，所以 $\\sin(A) > 0$，$\\cos(B) > 0$。
因此，$\\sin(A + B) = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\times\\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\cos(A)\\sin(B)$。
由于 $\\sin(A) = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$，可以推导出$\\cos(A) = \\frac{1}{\\sqrt{2}}$。
2022高三总复习数学 三角函数的图象与性质(含解析)
课时过关检测（二十二） 三角函数的图象与性质A 级——基础达标1．下列函数中，周期为2π的奇函数为( ) A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x解析：选A y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A ．2．(2021·辽宁辽河模拟)已知函数f (x )＝2cos 4x ＋1，则下列判断错误的是( ) A ．f (x )为偶函数B ．f (x )的图象关于直线x ＝π4对称C ．f (x )的值域为[－1,3]D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π8，0对称 解析：选D ∵f (－x )＝1＋2cos 4x ＝f (x )，∴f (x )为偶函数，A 判断正确；令4x ＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π4(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝π4，则f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，B 判断正确；∵2cos 4x ∈[－2,2]，∴f (x )的值域为[－1,3]，C 判断正确；f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π8，1对称，D 判断错误．故选D.3．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3，则f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为( ) A ．⎣⎡⎦⎤－13，13 B ．⎣⎡⎦⎤－1，13 C ．[]－1，1D ．⎣⎡⎦⎤－π4，π4 解析：选B 令2k π－π2≤π2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得x ∈⎣⎡⎦⎤4k －53，4k ＋13，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－1，13. 4．若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( ) A ．14B ．13C ．12D ．32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又因为0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12. 5．(多选)(2021·郑州市高三联考)以下函数在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为单调递增函数的有( ) A ．y ＝sin x ＋cos x B ．y ＝sin x －cos x C ．y ＝sin x cos xD ．y ＝sin xcos x解析：选BD 对于A 选项，y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，x ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4，所以，函数y ＝sin x ＋cos x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上不单调；对于B 选项，y ＝sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4，所以，函数y ＝sin x －cos x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增；对于C 选项，y ＝sin x cos x ＝12sin 2x ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，2x ∈(0，π)，所以，函数y ＝sin x cos x 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上不单调；对于D 选项，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin xcos x ＝tan x ，所以，函数y ＝sin xcos x在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增．故选B 、D. 6．(多选)若函数f (x )＝cos x ＋|cos x |，x ∈R ，则函数f (x )( ) A ．最小正周期为π B ．是区间[0,1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)(k ∈Z )对称 D ．是周期函数且图象有无数条对称轴解析：选BDf (x )＝⎩⎨⎧2cos x ，－π2＋2k π ≤x ≤π2＋2k π，0，π2＋2k π ≤x ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，对应图象如图．由图象知函数f (x )的最小正周期为2π，故A 错误；函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上为减函数，故B 正确；函数f (x )的图象关于直线x ＝2k π(k ∈Z )对称，故C 错误；函数f (x )的图象有无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确．故选B 、D.7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象的对称中心是 ．解析：由x 2＋π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π－2π3(k ∈Z )，即其对称中心为⎝⎛⎭⎫k π－2π3，0，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎫k π－2π3，0，k ∈Z 8．(2021·扬州中学高三模拟)已知f (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)－3cos ⎣⎡⎦⎤π3(x ＋1)，则f (x )的最小正周期为 ，f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝ .解析：依题意可得f (x )＝2sin π3x ，其最小正周期T ＝6，且f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝0，故f (1)＋f (2)＋…＋f (2 020)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝ 3.答案：639．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为直线x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．解析：由函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为直线x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴ω＝k ＋23，又ω∈(1,2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 答案：6π510．(2021·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π10－2在区间⎣⎡⎦⎤π2，a 上单调递减，则实数a 的最大值是 ．解析：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤2π5，7π5上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎣⎡⎦⎤π2，a 上单调递减，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5. 答案：7π511．已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程； (2)讨论函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解：(1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即函数f (x )图象的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )．(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．注意到x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，3π8；同理，其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8，π2.12．(2021·山东泰安模拟)在①函数f ⎝⎛⎭⎫x －π3为奇函数；②当x ＝π3时，f (x )＝3；③2π3是函数f (x )的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，f (x )的图象相邻两条对称轴间的距离为π， . (1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解：∵函数f (x )的图象相邻对称轴间的距离为π，∴T ＝2πω＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝2sin(x ＋φ)．选条件①.∵f ⎝⎛⎭⎫x －π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋φ－π3为奇函数， ∴φ－π3＝k π，k ∈Z ，解得φ＝π3＋k π，k ∈Z .(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤76π，2π. 选条件②.f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝3，∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32， ∴φ＝2k π，k ∈Z 或φ＝π3＋2k π，k ∈Z ，(1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤76π，2π. 选条件③.∵23π是函数f (x )的一个零点，∴f ⎝⎛⎭⎫23π＝2sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，∴φ＝k π－2π3，k ∈Z . (1)∵0<φ<π2，∴φ＝π3，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)由－π2＋2k π≤x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－56π＋2k π≤x ≤π6＋2k π，k ∈Z ，∴令k ＝0，得－5π6≤x ≤π6，令k ＝1，得7π6≤x ≤13π6，∴函数f (x )在[0,2π]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π6，⎣⎡⎦⎤76π，2π. B 级——综合应用13．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)设函数f (x )＝cos 2x2＋sin x cos x，则( )A ．f (x )＝f (x ＋π)B ．f (x )的最大值为12C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，0单调递增 D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4单调递减 解析：选AD f (x ＋π)＝cos 2(x ＋π)2＋sin (x ＋π)cos (x ＋π)＝cos 2x2＋sin x cos x＝f (x )，故A 正确；∵f (x )＝cos 2x 2＋sin x cos x ＝2cos 2x4＋sin 2x，∴f ′(x )＝(2cos 2x )′(4＋sin 2x )－2cos 2x (4＋sin 2x )′(4＋sin 2x )2＝－4(1＋4sin 2x )(4＋sin 2x )2，令f ′(x )＝0，解得sin 2x ＝－14，cos 2x ＝±154.所以f (x )max ＝215＞12，故B 错误； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－π4，0时，2x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 此时－4sin 2x －1∈(－1,3)，∴f ′(x )有正有负，f (x )在⎝⎛⎭⎫－π4，0上不单调，故C 错误； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，2x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，此时－4sin 2x －1∈(－5，－1)，f ′(x )＜0恒成立，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π4单调递减，故D 正确． 14．(2021·石家庄市质量检测)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，x 1，x 2为函数图象与x 轴的两个交点的横坐标，若|x 1－x 2|的最小值为π2，则( )A ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π6，π6上单调递增 B ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－2π3，π3上单调递减 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上单调递增D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，2π3上单调递减解析：选C 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，且|x 1－x 2|的最小值为π2，所以f (x )的最小正周期为π，即2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－5π12，π12上单调递增，故选C ．15．已知函数f (x )＝sin 2x －3cos 2x ，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t 的值； (3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |<3恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝sin 2x －3cos 2x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin 2x －32cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2t －π3. 令2×⎝⎛⎭⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )， 得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或t ＝5π6.(3)当x ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3， 所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |<3，即f (x )－3<m <f (x )＋3，所以2－3<m <1＋3，即－1<m <4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．C 级——迁移创新16．(2021·全国卷联考节选)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫其中A ＞0，ω＞0，|φ|≤π2的图象离原点最近的对称轴为直线x ＝x 0，若满足|x 0|≤π6，则称f (x )为“近轴函数”．若函数y＝2sin(2x －φ)是“近轴函数”，求φ的取值范围．解：函数y ＝2sin 2x 的图象离原点最近的对称轴是直线x ＝±π4，函数y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －φ2满足|x 0|≤π6，当φ＞0时，π4－π6≤φ2≤π4＋π6，即π6≤φ≤5π6，又|φ|≤π2，∴π6≤φ≤π2；当φ＜0时，－π6－π4≤φ2≤π6－π4，即－5π6≤φ≤－π6，又|φ|≤π2， ∴－π2≤φ≤－π6.综上所述，φ的取值范围是⎣⎡⎦⎤－π2，－π6∪⎣⎡⎦⎤π6，π2.。
专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案
第一讲 三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数 性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)； 单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性 奇 偶 奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析 取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ， 显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析 由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一 三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析 依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案 －34解析 原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用 例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2， 所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3； 当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和． 变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析 由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三 三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值． 审题破题 利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2， 当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析 因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四 三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2， 所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳 确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究 在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析 当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分． 阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3． 若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4． 设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析 当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5． 已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析 由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6． 函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析 由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1． 已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析 根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2． 设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析 由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3． 函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析 由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4． 设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析 由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5． 将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析 依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4， 得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6． 已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析 由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析 由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8． 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9． 函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析 由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)． 答案 ①③解析 由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象． 所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点， 由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。
高三三角函数习题练习-含解析
三角函数习题练习一、单选题（共12题）1.若则( )A. B. C. D.2.将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度，所得的图象关于轴对称，则（）A. B. C. D.3.若，则的值为A. B. C. D.4.（2013•四川）函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）（4题）（5题）A. B. C. D.5.（2016•全国）函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（）A.y=2sin（2x﹣）B.y=2sin（2x﹣）C.y=2sin（x+ ）D.y=2sin（x+ ）6.（2018•天津）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A.在区间上单调递增B.在区间上单调递减C.在区间上单调递增D.在区间上单调递减7.（2018•卷Ⅰ）已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则（）A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为48.（2018•卷Ⅲ）若，则=（）A. B. C.- D.-9.若锐角满足，则（）A. B. C. D.10.（2013•浙江）已知，则tan2α=（）A. B. C. D.11.（2013•辽宁）在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= b，且a＞b，则∠B=（）A. B. C. D.12.设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则（）A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b二、填空题（共4题；共0分）13.函数（）的部分图象如图所示，则________；函数在区间上的零点为________．（13题）（14题）14.函数的图象如右图所示，则的表达式是________.15.函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若函数在区间上的值域为，则________.16.在中，角所对的边分别为，，的面积，则的周长为________．三、解答题（共6题；共0分）17.已知函数（1）用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数在上的图象．（2）先将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的对称中心．18.已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式;（2）将函数的图象向右平移个单位得到函数，当时，求函数的值域.19.如图四边形中，分别为的内角的对边，且满足．（1）证明：；（2）若，设, 求四边形面积的最大值.20.已知函数的部分图象如图所示．（1）求的值及的单调增区间；（2）求在区间上的最大值和最小值．21.函数的部分图象如图所示.（1）求及图中的值；（2）设，求函数在区间上的最大值和最小值.22.已知函数的部分图象如图所示.（1）将函数的图象保持纵坐标不变,横坐标向右平移个单位后得到函数的图象,求函数在上的值域;（2）求使的x的取值范围的集合.三角函数习题练习答案第 1 题:【答案】C【解析】【解答】，所以，第 2 题:【答案】A【解析】【解答】横坐标伸长到原来的2倍，说明周期变成原来的2倍，则，再把图象向左平移个单位长度，说明，而关于y轴对称，则，结合，计算得到，故答案为：A。
三角函数高三练习题
三角函数高三练习题1. 某直角三角形中，已知一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4。
求该直角三角形的正弦、余弦和正切值。
解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边可以通过勾股定理求解。
假设斜边的长度为c，有：c² = a² + b²c² = 3² + 4²c² = 9 + 16c² = 25c = 5根据三角函数的定义：正弦函数（sin）：对于一个直角三角形，正弦值等于其斜边与直角边的比值。
sinθ = 斜边/斜边sinθ = 5/5sinθ = 1余弦函数（cos）：对于一个直角三角形，余弦值等于其直角边与斜边的比值。
cosθ = 直角边/斜边cosθ = 3/5正切函数（tan）：对于一个直角三角形，正切值等于其直角边与另一条直角边的比值。
tanθ = 直角边/直角边tanθ = 3/42. 某航班飞机正从一个城市出发，飞向目的地的方位角为30°，飞行距离为800 km。
请问飞机在飞行过程中，x轴和y轴上的分量是多少？解析：根据三角函数的定义：余弦函数（cos）：对于某一角度的余弦值等于该角度的邻边与斜边的比值。
正弦函数（sin）：对于某一角度的正弦值等于该角度的对边与斜边的比值。
根据题意，目的地的方位角为30°，飞行距离为800 km。
假设x轴上的分量为x，y轴上的分量为y，则有：cos30° = x/800sin30° = y/800cos30° = √3/2sin30° = 1/2根据上述计算可得：x = cos30° * 800 = (√3/2) * 800 ≈ 692.82 kmy = sin30° * 800 = (1/2) * 800 = 400 km所以飞机在飞行过程中，x轴上的分量约为692.82 km，y轴上的分量约为400 km。
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《三角函数》
题型一、三角函数的求值、化简问题 1．已知1cos 7
α=
，13cos()14
αβ-=
，且π02
βα<<<。
（Ⅰ）求tan 2α的值；（Ⅱ）求β。
变式：
已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==- ,且0.m n ⋅=
(Ⅰ)求tanA 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R)的值域。
题型二、三角函数的图像与性质问题 2．函数()3sin(2)3
f x x π
=-
的图象为
C
① 求图象C 的对称轴； ② 图象C 的对称中心； ③ 函数()f x )的单调区间；
④ 由3sin 2y x =的图象经过怎样的平移可以得到图象C 。
例3. 已知函数()2sin cos(
)3sin()cos sin(
)cos 2
2
f x x x x x x x
π
π
π=--+++
（1）求函数()y f x =的最小正周期和最值；
（2）指出()y f x =图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。
变式：
已知函数1()(3sin cos )cos 2
f x x x x ωωω=++（0ω>）的最小正周期为π．
（1）求函数()f x 的单调递增区间；
（2）画函数f （x ）在区间［0，π］上的图象；
（3）将函数()f x 图象按向量a 平移后所得的图象关于原点对称，求向量a
的坐标（一个
即可）．
题型三、三角形中的三角函数问题
4. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且
2
8sin
2cos 27.
2
B C A +-=
(I) 求角A 的大小；(II) 若a =3， b + c =3，求b 和c 的值。
5. 已知在ABC ∆中，三条边c b a ,,所对的角分别为C B A ,,，向量)cos ,(sin A A m =→
，
)sin ,(cos B B n =→
且满足C
n m 2sin =⋅→
→。
（1）求角C 的大小；
（2）若B C A sin ,sin ,sin 成等比数列，且18)(=-⋅→
→
→
AC AB CA ，求c 的值。
变式：
已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，a ，b ，c 为其对应边，向量
.1),sin ,(cos ),3,1(=⋅=-=n m A A n m 且
（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若.,cos cos ),1,2(S ABC c
b C
B AB 的面积求∆=
=
题型四、三角函数与其他知识交汇问题
6．已知在A B C ∆中，3AB BC ⋅= ，记,AB BC θ=
．
（1）若A B C ∆的面积满足323S ≤≤，求θ的取值范围； （2）若3
π
θ=，求A B C ∆的最大边长的最小值。
变式：
已知向量a (cos ,2cos )x x =，向量b ()(2cos ,sin )x x π=-，若()f x =a ·b +1 ． （I ）求函数)(x f 的解析式和最小正周期； (II) 若⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，求)(x f 的最大值和最小
值．
浙江高考题
（18）(10年理科l4分)在△ABC 中,角A 、B 、c 所对的边分别为a,b,c ．已知1cos 24
C =
(I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2．2sinA=sinC 时．求b 及c 的长．
18．（09年理科14分）在A B C ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足25cos
25A =，
3AB AC ⋅=
． （I ）求A B C ∆的面积； （II ）若6b c +=，求a 的值．
（18）（07年理科14分）已知A B C △的周长为21+，且sin sin 2sin A B C +=． （I ）求边A B 的长；
（II ）若A B C △的面积为1
sin 6C ，求角C 的度数．
（15）（06年理科）如图，函数y=2sin(πx φ),x ∈R,(其中0≤φ≤2
π
)的图象与y 轴交于
点（0，1）.
(Ⅰ)求φ的值；
(Ⅱ)设P 是图象上的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，求.的夹角与PN PM
理科小题： 2006（6）函数y=2
1sin2x +4sin 2x,x R ∈的值域是
(A)［-2
1,
2
3］ (B)［-2
3,
2
1］ (C)［2
12
2,
2
12
2+
+
-
］ (D)［2
12
2,
2
12
2-
-
-
］
2007（2）若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2
ϕπ<）
的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ）
A ．1
26
ωϕπ==
， B ．12
3ωϕπ==
， C ．26
ωϕπ==
， D ．23
ωϕπ==
，
2007（12）已知1sin cos 5
θθ+=，且32
4
θππ≤≤，则cos 2θ的值是 ．
2008 5．在同一平面直角坐标系中，函数3πcos 2
2x y ⎛⎫
=+
⎪
⎝⎭
（[02π]x ∈，）的图象和直线12y =的交点个数是（ ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．4
2008 8．若cos 2sin 5αα+=-，则tan α=（ ） A ．
12
B ．2
C ．12
-
D ．2-
2008 13．在A B C △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若(3)cos cos b c A a C -=，则cos A = ．
2009 8．已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．
是 ( )
2010（4）设02
x π
＜＜
，则“2sin 1x x ＜”是“sin 1x x ＜”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 π。