高二数学下学期期中试题 文3
2021年高二下学期期中数学试卷(文科)含解析
A．y=B．y=e﹣xC．y=﹣x2+1D．y=lg|x|
3．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有有理根，那么a，b，c中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）
A．假设a，b，c不都是偶数
B．假设a，b，c都不是偶数
A．3.50分钟B．3.75分钟C．4.00分钟D．4.25分钟
【考点】二次函数的性质．
【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．
【解答】解：将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，
解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，
∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．
故选：B．
6．设a=log37，b=21.1，c=0.83.1，则（ ）
A．b＜a＜cB．c＜a＜bC．c＜b＜aD．a＜c＜b
【考点】对数值大小的比较．
【分析】分别讨论a，b，c的取值范围，即可比较大小．
【解答】解：1＜log37＜2，b=21.1＞2，c=0.83.1＜1，
则c＜a＜b，
故选：B．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】根据函数偶函数的性质，利用对称性即可得到结论．
【解答】解：若x＜0，则﹣x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x2﹣4x，
∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=x2+4x，
∵f（x）是定义域为R的偶函数，
∴f（﹣x）=x2+4x=f（x），
即当x＜0时，f（x）=x2+4x，
2018-2019学年重庆市第一中学高二下学期期中考试数学试题(文)
重庆市第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试（文） 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上。
2. 作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题意的）1．已知集合{}=1,0,1,2M -,{}230N x x x =-<,则MN =（ ） A ．{}0,1 B ．{}1,0- C ．{}1,2 D ．{}1,2-2．当1m <时，复数2(1))m i i +-（为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．已知命题p q ∨为真，p ⌝为真，则下列说法正确的是（ ）A ．p 真q 真B ．p 假q 真C ．p 真q 假D ．p 假q 假4．设函数()241,0,log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．1- B ．1 C ．12-D ．22 5．设,x R ∈则2x ≤“”是11x +≤“”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．根据如下样本数据： x1 2 3 4 5 y 1a - 1- 0.5 1b + 2.5得到的回归方程为,y bx a =+若样本点的中心为(3,0.1)，则b 的值为（ ）A ．0.8B ．0.8-C ．2.3D ． 2.3-7．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线与圆()2224a x a y ++=相切，则双曲线的离心率等于（ ）A ．2B ．3C ．2D ．233 8．下列函数中，既是奇函数，又在0+∞（，）上是增函数的是（ ） A ．()sin f x x = B ．()x x f x e e -=+ C ．3()f x x x =+ D. ()ln f x x x = 9．如右图所示是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．6432π+B ．6464π+C ．25664π+D ．256128π+ 10．已知函数1,0(=2,0x x x f x x +<⎧⎨≥⎩（））（），则不等式2(2)(34)f x x f x -<-的解集为（ ） A ．(1,2) B ．(1,4) C ．(0,2) D ．4(1,]311．函数()f x 对于任意实数，都有()()f x f x -=与(1)(1)f x f x +=-成立，并且当01x ≤≤时，2()f x x =.则方程()02019x f x -=的根的个数是（ ） A ．2020 B ．2019 C ．1010 D ．1009 12．已知函数()g x 满足121()(1)(0),2x g x g e g x x -'=-+且存在实数0x 使得不等式021()m g x -≥成立，则m 的取值范围为（ ）A ．[0,)+∞B ．[1,)+∞C ．2∞（-,] D ． 3∞（-,] 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若函数()f x 的定义域为[2,3],-则函数(2)f x 的定义域是__________．14．若函数3()(1)2f x a x x a =+-+为奇函数，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为__________．15. 直线(1)y k x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，若4,AB =则弦AB 的中点到抛物线的准线的距离为__________．16．在正三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，且2,PA PB PC ===则正三棱锥P ABC -的内切球的半径为__________．解答题;共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．（本小题满分12分）已知函数21lg(43)x y x x x-=+-+的定义域为M . （1）求M ；（2）当[0,1]x ∈时，求()42x x f x =+的最小值．18．（本小题满分12分）某校开展了知识竞赛活动．现从参加知识竞赛活动的学生中随机抽取了100名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：[)40,50,[)50,60,[)60,70,[)70,80,[)80,90,[]90,100,得到如右图所示的频率分布直方图．（1）求a 的值；（2）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”．请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？(结果精确到0.001） 优秀 非优秀 合计 男生40 女生 50合计100 参考公式及数据：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++19．（本小题满分12分）如右图所示，直三棱柱111ABC A B C -中，D 是BC 的中点，四边形11A B BA 为正方形.（1）求证：1A C //平面1AB D ；（2）若ABC ∆为等边三角形, 4BC =，求点B 到平面1AB D 的距离.20．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率为12，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）斜率为12的直线l 与椭圆C 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中垂线交x 轴于点P ，求点P 横坐标的取值范围．21．（本小题满分12分）已知215(),(=122x f x e g x x x =--）（为自然对数的底数）． （1）记()ln (),F x x g x =+求函数()F x 在区间[]1,3上的最大值与最小值；（2）若,k Z ∈且()()0f x g x k +-≥对任意x R ∈恒成立，求k 的最大值．选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，直线14:23x t l y t=--⎧⎨=+⎩（t 为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22sin().4πρθ=+ （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）设点P 的直角坐标为(1,2),-直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值.23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()21f x x a x =+--（1）当1a =时，求不等式()0f x >的解集；（2）若0a >,不等式()1f x <对x R ∈都成立，求a 的取值范围．。
山东省临沂市高二数学下学期期中试卷 文(含解析)
山东省临沂市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）一.选择题（每小题5分，共50分每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B3．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除4．（5分）已知x，y的取值如下表所示：x 2 3 4y 6 4 5如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A．B．C．D．5．（5分）如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（）A．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列6．（5分）集合M={x|（x﹣1）（x﹣2）＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．，存在x0∈，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A．B．C．二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）的共轭复数为．12．（5分）函数y=的定义域是．13．（5分）已知函数y=a x﹣2+3（a＞0且a≠1），无论a取何值，该函数的图象恒过一个定点，此定点坐标为．14．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=．15．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是．三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．17．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）数据如表：编号 1 2 3 4 5 6 7身高x 163 164 165 166 167 168 169体重y 52 52 53 55 54 56 56（1）求根据女大学生的身高x预报体重y的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，．20．（13分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．21．（14分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=+f（x）恒成立．（1）判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；（2）证明函数f（x）=log2x属于集合M，并找出一个常数k；（3）已知函数f（x）=log a x（ a＞1）与y=x的图象有公共点，证明f（x）=log a x∈M．山东省临沂市2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=25，则z=（）A．3﹣4i B．3+4i C．﹣3﹣4i D．﹣3+4i考点：复数相等的充要条件．专题：数系的扩充和复数．分析：根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得z 的值．解答：解：∵复数z满足（3+4i）z=25，则z====3﹣4i，故选：A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈A B．3∉B C．A∩B=B D．A∪B=B考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：先求出集合A，从而找出正确选项．解答：解：∵|x|≥0，∴|x|﹣1≥﹣1；∴A={y|y≥﹣1}，又B={x|x≥2}∴A∩B={x|x≥2}=B．故选C．点评：注意描述法所表示集合的元素．3．（5分）用反证法证明命题：“已知a、b∈N*，如果ab可被5整除，那么a、b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（）A．a、b都能被5整除B．a、b都不能被5整除C．a、b不都能被5整除D．a不能被5整除考点：反证法．专题：证明题；反证法；推理和证明．分析：反设是一种对立性假设，即想证明一个命题成立时，可以证明其否定不成立，由此得出此命题是成立的．解答：解：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b 都不能被5整除”．故选：B．点评：反证法是命题的否定的一个重要运用，用反证法证明问题大大拓展了解决证明问题的技巧．4．（5分）已知x，y的取值如下表所示：x 2 3 4y 6 4 5如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为，则b=（）A．B．C．D．考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：估计条件中所给的三组数据，求出样本中心点，因为所给的回归方程只有b需要求出，利用待定系数法求出b的值，得到结果．解答：解：∵线性回归方程为，又∵线性回归方程过样本中心点，，∴回归方程过点（3，5）∴5=3b+，∴b=﹣故选A．点评：本题考查线性回归方程，考查样本中心点满足回归方程，考查待定系数法求字母系数，是一个基础题，这种题目一旦出现是一个必得分题目．5．（5分）如图给出了一个算法程序框图，该算法程序框图的功能是（）A．求a，b，c三数的最大数B．求a，b，c三数的最小数C．将a，b，c按从小到大排列D．将a，b，c按从大到小排列考点：设计程序框图解决实际问题．专题：操作型．分析：逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此不难推断程序的功能．解答：解：逐步分析框图中的各框语句的功能，第一个条件结构是比较a，b的大小，并将a，b中的较小值保存在变量a中，第二个条件结构是比较a，c的大小，并将a，c中的较小值保存在变量a中，故变量a的值最终为a，b，c中的最小值．由此程序的功能为求a，b，c三个数的最小数．故答案选B点评：算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新2015届高考中的一个热点，应高度重视．要判断程序的功能就要对程序的流程图（伪代码）逐步进行分析，分析出各变量值的变化情况，特别是输出变量值的变化情况，就不难得到正确的答案．6．（5分）集合M={x|（x﹣1）（x﹣2）＜0}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（）A．B．M没有最大元素，N也没有最小元素C．M有一个最大元素，N有一个最小元素D．M有一个最大元素，N没有最小元素考点：子集与真子集．专题：计算题；集合．分析：由题意依次举例对四个命题判断，从而确定答案．解答：解：若M={x∈Q|x＜0}，N={x∈Q|x≥0}；则M没有最大元素，N有一个最小元素0；故A正确；若M={x∈Q|x＜}，N={x∈Q|x≥}；则M没有最大元素，N也没有最小元素；故B正确；若M={x∈Q|x≤0}，N={x∈Q|x＞0}；M有一个最大元素，N没有最小元素，故D正确；M有一个最大元素，N有一个最小元素不可能，故C不正确；故选C．点评：本题考查了学生对新定义的接受与应用能力，属于基础题．8．（5分）已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：5x﹣6＞x2，则￢p是￢q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：通过解二次不等式化简条件q，求出￢q，求出￢p；由于￢p与￢q对应的数集无包含关系，判断出非p是非q的什么条件．解答：解：q：x2﹣5x+6＜0解得2＜x＜3，所以￢q：x≥3或x≤2，又p：x＞1或x＜﹣3，所以￢p：﹣3≤x≤1，￢p是￢q的充分不必要条件，故选：A．点评：解决一个条件是另一个的什么条件常先化简各个条件，将判断条件问题转化为判断集合的包含关系问题，属于基本知识的考查．9．（5分）有10个乒乓球，将它们任意分成两堆，求出这两堆乒乓球个数的乘积，再将每堆乒乓球任意分成两堆并求出这两堆乒乓球个数的乘积，如此下去，直到不能再分为止，则所有乘积的和为（）A．45 B．55 C．90 D．100考点：归纳推理．专题：等差数列与等比数列；推理和证明．分析：用特殊值法，假设每次分出一个，分别求出每一次的乘积，然后等差数列的性质相加可得答案．解答：解：假设每次分堆时都是分出1个球，第一次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣1个，则乘积为1×（n﹣1）=n﹣1；第二次分完后应该一堆是1个球，另一堆n﹣2个，则乘积为1×（n﹣2）=n﹣2；依此类推最后一次应该是应该一堆是1个球，另一堆1个，则乘积为1×1=1；设乘积的和为T n，则T n=1+2+…+（n﹣1）=n（n﹣1）当n=10时，T10=×10×（10﹣1）=45故选：A点评：本题主要考查等差数列的求和．属基础题．在解答选择填空题时，特殊值法是常用方法之一．解决本题的关键在于特殊值法的应用．10．（5分）f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意的x1∈，存在x0∈，使g（x1）=f（x0），则a的取值范围是（）A．B．C．考点：函数的值域；集合的包含关系判断及应用．专题：计算题；压轴题．分析：先求出两个函数在上的值域分别为A、B，再根据对任意的x1∈，存在x0∈，使g （x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围，注意条件a＞0．解答：解：设f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在上的值域分别为A、B，由题意可知：A=，B=∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故选：A点评：此题是个中档题．考查函数的值域，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）的共轭复数为﹣i．考点：复数的基本概念．专题：计算题．分析：根据复数的除法法则，化简得=+i，再由共轭复数的定义即可得到答案．解答：解：∵==+i，∴的共轭复数为﹣i故答案为：﹣i点评：本题给出复数，求它的共轭复数，着重考查了复数的四则运算和共轭复数的概念等知识，属于基础题．12．（5分）函数y=的定义域是（﹣∞，0]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由函数y的解析式得，二次根式的被开方数大于或等于0，列出不等式，求解集即可．解答：解：∵函数y=，∴0.2x﹣1≥0，∴0.2x≥1，∴x≤0；∴函数y的定义域是（﹣∞，0]．故答案为：（﹣∞，0]．点评：本题考查了求函数定义域的问题，解题时应根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式（组），求出解集，得出函数的定义域，是基础题．13．（5分）已知函数y=a x﹣2+3（a＞0且a≠1），无论a取何值，该函数的图象恒过一个定点，此定点坐标为（2，4）．考点：指数函数的单调性与特殊点．专题：函数的性质及应用．分析：利用指数函数过定点的性质进行求解即可．解答：解：∵y=a x过定点（0，1），∴将函数y=a x向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到y=a x﹣1+3，此时函数过定点（2，4），故答案为：（2，4）．点评：本题主要考查指数函数过定点的性质，如果x的系数为1，则可以使用平移法，但x的系数不为1，则用解方程的方法比较简单．14．（5分）若f（x）为R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），则f（0）+f（2）=﹣2．考点：函数奇偶性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：运用奇函数的定义，已知解析式，可得f（0）=0，f（2）=﹣2，即可得到结论．解答：解：f（x）为R上的奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），即有f（0）=0，f（﹣2）=﹣f（2），当x＜0时，f（x）=log2（2﹣x），f（﹣2）=log2（2+2）=2，则f（0）+f（2）=0﹣2=﹣2．故答案为：﹣2．点评：本题考查函数的奇偶性的运用：求函数值，考查运算能力，属于基础题．15．（5分）甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说真话．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是甲．考点：进行简单的合情推理．专题：探究型；推理和证明．分析：利用反证法，即可得出结论．解答：解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立；假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分；故答案为：甲．点评：本题考查进行简单的合情推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．三.解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知z为复数，z+2i和均为实数，其中i是虚数单位．（Ⅰ）求复数z；（Ⅱ）若复数（z+ai）2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．考点：复数代数形式的混合运算；复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：（I）设出复数的代数形式，整理出z+2i和，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．（II）根据上一问做出的复数的结果，代入复数（z+ai）2，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果．解答：解：（Ⅰ）设复数z=a+bi（a，b∈R），由题意，z+2i=a+bi+2i=a+（b+2）i∈R，∴b+2=0，即b=﹣2．又，∴2b+a=0，即a=﹣2b=4．∴z=4﹣2i．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知z=4﹣2i，∵（z+ai）2=（4﹣2i+ai）2=2=16﹣（a﹣2）2+8（a﹣2）i对应的点在复平面的第一象限，∴解得a的取值范围为2＜a＜6．点评：本题考查复数的加减乘除运算，考查复数的代数形式和几何意义，考查复数与复平面上点的对应，考查解决实际问题的能力，是一个综合题．17．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．考点：函数奇偶性的判断；对数的运算性质；对数函数的定义域；对数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：（1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域．（2）利用函数解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），进而判断出函数为奇函数．（3）根据当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知进而求得x的范围．解答：解：（1）f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），则解得﹣1＜x＜1．故所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）f（x）为奇函数由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣=﹣f（x），故f（x）为奇函数．（3）因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，所以．解得0＜x＜1．所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}．点评：本题主要考查了函数的定义域，奇偶性的判断和单调性的应用．要求考生对函数的基本性质熟练掌握．18．（12分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．（1）求f（x）；（2）若不等式（）x+（）x﹣m≥0在x∈（﹣∞，1]时恒成立，求实数m的取值范围．考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；指数函数单调性的应用．专题：计算题；综合题；转化思想；待定系数法．分析：（1）根据函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1）的图象经过点A （1，6），B（3，24），把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，解此方程组即可求得a，b，的值，从而求得f（x）；（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可，利用函数的单调性求函数的最小值，即可求得实数m的取值范围．解答：解：（1）把A（1，6），B（3，24）代入f（x）=b•a x，得结合a＞0且a≠1，解得：∴f（x）=3•2x．（2）要使（）x+（）x≥m在（﹣∞，1]上恒成立，只需保证函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上的最小值不小于m即可．∵函数y=（）x+（）x在（﹣∞，1]上为减函数，∴当x=1时，y=（）x+（）x有最小值．∴只需m≤即可．点评：此题是个中档题．考查待定系数法求函数的解析式，和利用指数函数的单调性求函数的最值，体现了转化的思想，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．19．（12分）从某大学中随机选取7名女大学生，其身高x（单位：cm）和体重y（单位：kg）数据如表：编号 1 2 3 4 5 6 7身高x 163 164 165 166 167 168 169体重y 52 52 53 55 54 56 56（1）求根据女大学生的身高x预报体重y的回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析这7名女大学生的身高和体重的变化，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：=，．考点：线性回归方程．专题：应用题；概率与统计．分析：（1）计算平均数，求出b，a，即可求出回归方程；（2）b＞0，可得这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，代入公式，预报一名身高为172cm的女大学生的体重．解答：解：（1）∵==166，==54，∴b==，∴a=54﹣=﹣70.5，∴y=x﹣70.5；（2）∵b＞0，∴这7名女大学生的身高和体重的变化具有正的线性相关关系，x=172时，y=×172﹣70.5=58.5（kg）．点评：本题考查回归方程，考查学生的计算能力，正确求出回归方程是关键．20．（13分）已知命题：“∃x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命题，（1）求实数m的取值集合M；（2）设不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求a的取值范围．考点：复合命题的真假；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：（1）利用参数分离法将m用x表示，结合二次函数的性质求出m的取值范围，从而可求集合M；（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N分类讨论①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a ＜x＜a}，②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，③当a=2﹣a即a=1时，N=φ三种情况进行求解解答：解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）若x∈N是x∈M的必要条件，则M⊆N①当a＞2﹣a即a＞1时，N={x|2﹣a＜x＜a}，则即②当a＜2﹣a即a＜1时，N={x|a＜x＜2﹣a}，则即③当a=2﹣a即a=1时，N=φ，此时不满足条件综上可得点评：本题主要考查了二次函数在闭区间上的值域的求解，集合之间包含关系的应用，体现了分类讨论思想的应用．21．（14分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=+f（x）恒成立．（1）判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；（2）证明函数f（x）=log2x属于集合M，并找出一个常数k；（3）已知函数f（x）=log a x（ a＞1）与y=x的图象有公共点，证明f（x）=log a x∈M．考点：对数函数的图像与性质；元素与集合关系的判断．专题：压轴题；新定义．分析：（1）假设g（x）∈M，即：存在k≠0，使g（kx）=+g（x）得出a（k﹣1）x=恒成立，与假设矛盾，从而得出结论；（2）由于当log2（kx）=+log2x成立时，等价于log2k=，此式显然当k=4时此式成立，可见，存在非零常数k=4，使g（kx）=+g（x），从而得出答案．（3）因为y=log a x（ a＞1）与y=x有交点，由图象知，y=log a x与y=必有交点．从而存在k，f（kx）=log a（kx）=log a k+log a x=+f（x），成立．解答：解：（1）若f（x）=ax+b∈M，则存在非零常数k，对任意x∈D均有f（kx）=akx+b=+f （x），即a（k﹣1）x=恒成立，得无解，所以f（x）∉M．（2）log2（kx）=+log2x，则log2k=，k=4，k=2时等式恒成立，所以f（x）=log2x∈M．（3）因为y=log a x（ a＞1）与y=x有交点，由图象知，y=log a x与y=必有交点．设log a k=，则f（kx）=log a（kx）=log a k+log a x=+f（x），所以f（x）∈M．点评：本小题主要考查元素与集合关系的判断、对数的运算法则、对数函数的性质、方程式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．。
2021-2022学年四川省凉山州西昌市高二下学期期中考试数学(文)试题(解析版)
2021-2022学年凉山州西昌市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．用反证法证明命题“若整系数一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 存在有理数根，那么,,a b c 中至少有一个是偶数”时，要做的假设是A ．,,a b c 至多有两个偶数B ．,,a b c 都是偶数C ．,,a b c 至多有一个偶数D ．,,a b c 都不是偶数【答案】D【详解】因为“至少有一个”的否定是“都不是”，因此要做的假设是,,a b c 都不是偶数，故选D ．2．设z 是复数，若()1i i z -=-(i 是虚数单位)，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为i2B ．1i2z -+=C ．1z =D ．1z z +=【答案】D【分析】先求得z ，由此判断出正确选项. 【详解】依题意()11i i z --==， ()()1111112i i z i i i ++===--+，B 错， 所以z 的虚部为12，A 错，z ==C 错， 11122z z +=+=，D 正确. 故选：D3．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此口袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为（ ）A ．18B ．316 C ．14D ．12【答案】C【分析】由古典概型的概率计算公式可得.【详解】由题意，甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b ，共有4416⨯=个基本事件；而使不等式a －2b ＋4<0成立的事件包含：(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)共有4个基本事件；由古典概型公式得所求概率41=164P =． 故选：C ．4．若()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与B 的关系是 A ．互斥不对立 B ．对立不互斥C ．互斥且对立D ．以上答案都不对 【答案】D【详解】试题分析：若是在同一试验下，由P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，说明事件A 与事件B 一定是对立事件，但若在不同试验下，虽然有P （A ∪B ）=P （A ）+P （B ）=1，但事件A 和B 也不见得对立，所以事件A 与B 的关系是不确定的． 【解析】互斥事件与对立事件5．已知()f x 的定义域为R ，()f x 的导函数fx 的图象如所示，则（ ）A ．()f x 在1x =处取得极小值B ．()f x 在1x =处取得极大值C ．()f x 是R 上的增函数D ．()f x 是(),1-∞上的减函数，1,上的增函数【答案】C【分析】由导函数图象可知0f x在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,即可判断选项.【详解】由图可得,0fx在R 上恒成立,即()f x 在R 上单调递增,故C 正确、D 错误；所以()f x 没有极值,故A 、B 错误； 故选:C【点睛】本题考查导函数图象的应用,属于基础题.6．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”他体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式11111+++⋅⋅⋅中“．．．”即代表着无限次重复，但它却是个定值，可以通过方程11x x +=求得51x +=282828+++=（ ）A ．432-B ．4C ．432+D ．432±【答案】C【分析】282828x +++=28x x +=，注意到0x >，解出x 即可．【详解】282828x +++=28x x +，其中0x >，28x x +两边平方，得282x x =+，即2820x x --=，解得432x =-或432x =+ 故选：C ． 7．设曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，则=a （ ） A ．12B ．1-C ．12-D ．1【答案】C【分析】求出函数的导数，然后可得答案 【详解】由2x y x =-可得()()222222y x x x x '=---=--，所以当4x =时12y '=-，因为曲线2xy x =-在点(4,2)处的切线与直线0ax y -=平行，所以12a =-， 故选：C8．ACB △是等腰直角三角形，在斜边AB 上任取一点M ，则AM AC <的概率（ ） A 2B ．34C ．12D ．23【答案】A【分析】设1BC AC ==，先求出点M 的可能位置的长度，然后可得答案. 【详解】设1BC AC ==，则2AB =在斜边AB 上任取一点M ，满足AM AC <的点M 的可能位置的长度为1， 22=，故选：A9．若函数()21y ax x =-在区间33(上为减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <1【答案】A【分析】先对函数求导，由函数在区间33(上为减函数，可得导数小于零的范围为33(，可求得a 的取值范围. 【详解】由函数()21y ax x =-，求导可得()22331y ax a a x '=-=-，因为函数在区间33(上为减函数， 所以在区间33(上()2310y a x '=-≤， 因为231x -在区间33(小于零，且0a ≠， 所以只需0a >即可， 故选：A.10．已知函数431()232f x x x m =-+，x R ∈，若()90f x +≥恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．32m ≥B ．32m >C ．32m ≤D ．32m <【答案】A【详解】试题分析：因为函数431()232f x x x m =-+，所以()3226f x x x '=-． 令f′（x ）=0得x=0或x=3，当()()''3,0;03,0;x f x x f x >><<< 经检验知x=3是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f （3）=3m-272． 不等式f （x ）+9≥0恒成立，即f （x ）≥-9恒成立，所以3m-272≥-9，解得m≥32【解析】函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值11．袋内装有6个球，这些球依次被编号为1，2，3，…，6，设编号为n 的球重n 2－6n ＋12(单位：克)，这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响)．如果不放回的任意取出2个球，则它们重量相等的概率为（ ）． A ．215B ．715 C ．13D ．15【答案】A【分析】计算出总的取法数和列出满足重量相等的情况，即可得到答案.【详解】总共有2615C =种取法，其中满足重量相等的有：取出的球的编号为1,5和2,4，所以概率为215故选：A12．设函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值，求实数a 的取值范围（ ） A ．1e 2e ,∞⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭B ．1e ,e ∞⎛⎫++ ⎪⎝⎭C ．1e ,e ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭D ．1e 2e ,∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据函数导函数在区间1(0,)e内有零点，结合常变量分离法，导数的性质进行求解即可.【详解】由22(2)1()ln ()1(1)a x a x f x x f x x x x -++'=+⇒=--， 因为函数f (x )＝ln x ＋1ax -在1(0,)e内有极值， 所以22(2)1()0(1)x a x f x x x -++'==-在1(0,)e内有解， 即2()(2)10g x x a x =-++=在1(0,)e内有解，21(2)102x a x a x x-++=⇒=+-， 设222111()2()1x h x x h x x x x-'=+-⇒=-=，当1(0,)e x ∈时，()0,()h x h x '<单调递减，所以min 1()(e)e 2eh x h ==+-，要想方程12a x x =+-在1(0,)e x ∈时有解，只需min 1()e 2ea h x a >⇒>+-，故选：A 二、填空题13．若复数z 满足(1)2z i ⋅+=(i 为虚数单位)，则z =___________. 【答案】1i -【分析】直接进行复数除法. 【详解】解：因为(1)2z i ⋅+=， 所以22(1)2211(1)(1)2i iz i i i i --====-++-. 故答案为：1i -.14．国家级邛海湿地公园在每天上午8点起每半小时会有一趟观光车从景区入口发车入园，某人在9点至10点之间到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待的时间不超过10分钟的概率____________【答案】13【分析】根据几何概型计算公式进行求解即可.【详解】根据题意可知，在9:20~9.30,9:50~10:00这两段时间内到达，等待的时间不超过10分钟，所以等待的时间不超过10分钟的概率为10101603+=， 故答案为：1315．已知函数()()1ln 21f x x x x =+-+，则()()121lim x f x f x∆→-∆-∆的值为____________【答案】2ln 22--【分析】求导后代入1x =可得()1f '，由导数定义可知所求式子为()21f '-，由此可得结果. 【详解】()1ln 21x f x x x+'=+-，()1ln 21f '∴=+， ()()()()()00121121lim2lim 212ln 222x x f x f f x f f x x∆→∆→-∆--∆-'∴=-⨯=-=--∆-∆.故答案为：2ln 22--.16．定义在R 上的函数31()33f x x x =-+．①()f x 在(0,1)上是减函数，在(1,)+∞上是增函数． ②()f x y x'=在(0,)+∞上存在极小值． ③()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+垂直．④设()4ln g x x m =-，若存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，则25m e >-． 以上对函数的描述中正确的选项是：___________ 【答案】①④【分析】根据导数的性质，结合导数的几何意义、存在性的性质逐一判断即可. 【详解】由321()3()1(1)(1)3f x x x f x x x x '=-+⇒=-=-+.①：当(0,1)x ∈时，()0f x '<，所以此时函数单调递减，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以以时函数单调递增，因此本结论正确； ②：()1f x y x x x '==-，因为函数1y x x=-在(0,)+∞上单调递增，所以此时函数没有极值，因此本结论不正确；③：(0)1f '=-，直线22y x =+的斜率为2，因为2(1)21⨯-=-≠-，所以()f x 的图象在0x =处的切线与直线22y x =+不垂直，因此本选项结论不正确；④：2()()4ln 1g x f x x m x <⇒-<-'，存在[1,e]x ∈，使()()g x f x '<，转化为存在[1,e]x ∈，使24ln 1x m x -<-成立，由224ln 14ln 1x m x m x x -<-⇒>-+， 设2()4ln 1h x x x =-+，[1,e]x ∈，所以42(2)(2)()22x x h x x x -+-'=-=， 当[1,2]x ∈时，()0,()h x h x '>单调递增，当(2,e]x ∈，()0,()h x h x '<单调递减， 所以当2x =时，函数有最大值，因为22(1)0,(e)4e 15e h h ==-+=-，所以2min ()5e h x =-，要想存在[1,e]x ∈，使24ln 1m x x >-+成立，只需2min ()5e m h x >=-，因此本结论正确，故答案为：①④ 三、解答题17．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬残奥会吉祥物“雪容融”，它们的设计充分体现了中国优秀传统文化和奥运精神的融合.如下图．某老师为了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班级学生中的印象，进行了拼词游戏．请同学在大小相同的6个乒乓球上分别写上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再请其他同学从6个乒乓球中一次取出3个，进行拼词游戏．(1)若某同学一次抽取三个乒乓球进行拼词游戏，求能拼成吉祥物名称的概率． (2)若某位同学抽取的三个乒乓球中，至少抽到一个“墩”的概率． 【答案】(1)110(2)45【分析】（1）首先运用组合数求出基本事件的总数，再根据古典概型即可求出概率； （2）首先运用组合数求出基本事件的总数和对立事件的总数，再根据对立事件的概率即可求解.【详解】(1)记“能拼成吉祥物”为A 事件.基本事件总数在6个乒乓球中任取3个有3620C =种.而满足条件的只有2种，即“冰墩墩”和“雪容融”. ∴()212010P A ==； (2)记至少抽到一个“墩”为B 事件，则一个“墩”也抽不到的种类数为34C ，则()3436415C P B C =-=.18．若直线L 与曲线2,(0)y x x =>和2249x y +=都相切，则求L 的方程． 【答案】222y x =-【分析】设切点00(,)x y ，再利用导数的几何意义可求得曲线2,(0)y x x =>的切线方程20020x x y x --=，再由切线与圆2249x y +=20202314x =+，从而可求出0x ，进而可求出切线方程【详解】设切点00(,)x y ，即200(,)x x ，00x >.∴02k x =，则切线方程：20002()y x x x x -=-，即20020x x y x --=.20202314x =+，得420091640x x --=. 解得202x =，∵00x >，∴02x =故L 的方程为：222(2)y x -=， 即22y x =-.19．i 是虚数单位，已知数列{n a }，若2i n n a n =⋅，求该数列{n a }的前4n 项的和4n S ． 【答案】44i n n -【分析】利用错位相减法求和即可.【详解】由23441242i 4i 6i 8i nn n S a a a n =++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+ ....①则234414i 2i 4i 6i 8i n n S n +=++⋅⋅⋅+ ....②由①-②得234414(1i)2i 2i 2i 2i 8i n n n S n +-=+++⋅⋅⋅+-即234414142(i i i i )8i 8i 44i 1i 1in n n nn n S n n +++++⋅⋅⋅+--===---.20．已知函数2()2ln f x x a x =-，(0)a >． (1)若1a =时，求函数()f x 的单调区间．(2)若()0f x >在[1,2]x ∈上恒成立，求a 的取值范围．【答案】(1)函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)(),4e ∞-.【分析】（1）由题可求函数的导数，然后利用导数与单调性的关系即得； （2）利用参变分离法，求函数的最值即得.【详解】(1)当1a =时，()22ln ,(0)f x x x x =->.则由()'f x ()()2121140x x x x x-+=-=>，得12x >， ()0f x '<，得102x <<∴()f x 在1(0,)2上单调递减，在1(,)2+∞上单调递增，即函数()f x 的单调减区间为1(0,)2，单调增区间为1(,)2+∞；(2)∵()0f x >在[1,2]上恒成立. ①当1x =时，()0f x >恒成立.②当(1,2]x ∈时，ln 0x >，则由()0f x >得22ln x a x<在(1,2]x ∈上恒成立.令()(]()22,1,2ln x g x x x=∈，则由()g x '()()222ln 10ln x x x -=>， 得2e x >>，()0g x '<得1e x <<即()g x 在e]上单调递减，在e,2⎡⎤⎣⎦上单调递增.∴()(min e 4e g x g==.∴(),4e a ∞∈-.21．观察：下面三个式子的结构规律 ①223sin sincoscos 66334ππππ+⋅+=②22553sin sincoscos 9918184ππππ+⋅+= ③223sin sincoscos 1212444ππππ+⋅+=你能否提出一个猜想？并证明你的猜想．【答案】223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明见解析【分析】根据三个式子的结构规律可得结论；利用两角和差余弦公式化简整理即可证得结论.【详解】猜想：223sin sin cos cos 664ππαααα⎛⎫⎛⎫+⋅+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；证明如下：222sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 6666ππππαααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅+++=+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222223131cos cos sin sin sin cos sin cos sin 66244ππαααααααα⎛⎫+-=-++ ⎪⎝⎭223333cos sin cos 444αααα=+=. 22．设函数()()x ln ,bf xg x ax x ==+，函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线. (Ⅰ) 求a 、b 的值；(Ⅱ) 设0x >，试比较()f x 与()g x 的大小.【答案】（I ）11,22a b ==-; (II)当()0,1x ∈时，()()f xg x >；当()1,x ∈+∞时，()() f x g x <；当1x =时，()() f x g x =.【分析】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点也在函数()g x 的图象上，且在此点处()f x 与()g x 有公切线列方程求解即可；(Ⅱ) 设0x >，令()()()11In 2F x f x g x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，利用导数研究函数的单调性，分三种情况讨论，分别比较()f x 与()g x 的大小即可.【详解】（I ）函数()f x 的图象与x 轴的交点()1,0也在函数()g x 的图象上， 且在此点处()f x 与()g x 有公切线 ()()21',bf xg x a x x'==-， ∴由题意可得：011,122a b a b a b +=⎧⇒==-⎨-=⎩ （Ⅱ）由（I ）可知()112g x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令()()()()2221111111211n 11102222F x f x g x l x x F x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=-+=-+-=--≤ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭'，()F x ∴是()0,+∞上的减函数，而F(1)=0，11 ∴当()0,1x ∈时，()0F x >，有()()f x g x >；当()1,x ∈+∞时，()0F x <，有()()f x g x <；当1x =时，()0F x =，有()()f x g x =.【点睛】本题主要考查利用导数求切线斜率，利用导数比较大小，考查了分类讨论思想的应用，属于中档题.。
2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二年级下册学期期中考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省内江市威远中学校高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．命题“”的否定为（ ）[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-A ．B ．(]2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--<，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞<，-C ．D ．[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-](2000,02020cos 0x x x ∞∃∈--≤，【答案】C【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义求解.【详解】因为是全称量词命题，[)20,2020cos 0x x x ∀∈+∞>，-所以其否定为存在量词命题，即，[)20000,2020cos 0x x x ∃∈+∞≤，-故选：C2．双曲线的渐近线方程是（ ）22134x y -=A ．B ．43y x =±34y x =±C ．D ．y x =y =【答案】C【分析】根据焦点在x 轴上双曲线的渐近线方程直接求解即可.【详解】根据双曲线的渐近线方程：，22221x y a b -=b y x a =±知：的渐近线方程为.22134x y -=y x =故选：C.3．抛物线的准线方程是，则实数a 的值（ ）21x ya =2y =A ．B ．C ．8D ．-818-18【答案】A【分析】根据准线方程列出方程，求出实数a 的值.【详解】由题意得：，解得：.124a -=18a =-故选：A4．若f ′(x 0)＝，则 等于（ ）2-0limx ∆→00()()f x f x x x -+∆∆A ．－1B ．－2C ．1D ．2【答案】D【分析】利用导数的定义求解,【详解】解：因为f ′(x 0)＝，2-所以 ，0lim x ∆→00()()f x f x x x -+∆∆Δ0limx →=-000()()()2f x x f x f x x +∆-'=-=∆故选：D5．焦点在x 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是( )A ．＋＝1B ．＋y 2＝124x 23y 24x C ．＋＝1D ．x 2＋＝124y 23x 24y 【答案】A【分析】设出椭圆的标准方程，由题意可得，解得a ，c ，利用b 2＝a 2﹣c 2得到b 2,从而得23a a c =⎧⎨+=⎩到标准方程.【详解】设椭圆的方程为（a>b>0），由右焦点到短轴端点的距离为2知a=2, 右焦点到22221x y a b +=左顶点的距离为3知a+c=3,解得a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2﹣c 2＝3，因此椭圆的方程为＋＝1．24x 23y 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，属基础题．6．设k 为正实数，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）35k <<22153x y k k +=--A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据方程表示椭圆得出k 的范围，再由充分必要条件的定义判断即可.【详解】方程表示椭圆，则，解得.22153x y k k +=--503053k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩(3,4)(4,5)k ∈⋃即“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.35k <<22153x y k k +=--故选：B7．若双曲线C 1：－＝1与C 2：－＝1(a >0，b >0)的渐近线相同，且双曲线C 2的焦距22x 28y 22x a 22y b 为b ＝（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B【解析】根据的方程求得渐近线的斜率，进而得到中的a,b 的关系，结合已知焦距，可求得b1C 2C 的值.【详解】由,1C 2=的渐近线斜率为,2C ba 由于它们有相同的渐近线，∴，2,2bb a a ∴＝＝C2的焦距2c＝c =又c == ，，2a ∴=4b ∴=故选B.【点睛】根据两双曲线有相同的渐近线，利用渐近线的斜率相等得到的关系是关键，双曲线的,a b 的平方关系为,椭圆的a,b,c 的关系为,一定要准确掌握.,,a b c 222a b c +=222b c a +=8．已知双曲线的左、右焦点分别为、，离心率为，点在双曲线的右支()222103x y a a -=>1F 2F 2P 上，且，则的面积为（ ）12PF PF ⊥12F PF △A ．B ．C ．D ．8643【答案】D【分析】利用离心率公式可求得的值，利用双曲线的定义以及勾股定理求出的值，再a 12PF PF ⋅利用三角形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线的离心率为，所以，，2c e a ===1a =因为点在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得，P 1222PF PF a -==因为，由勾股定理可得，12PF PF ⊥22221212416PF PF F F c +===所以，，()2221212121221624PFPF PF PF PF PF PF PF -=+-⋅=-⋅=所以，，因此，.126PF PF ⋅=1212116322PF F S PF PF =⋅=⨯=△故选：D.9．“米”是象形字.数学探究课上，某同学用拋物线和构造了()21:20=->C y px p ()22:20C y px p =>一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线，的焦点分别为，，点在拋物线上，1C 2C 1F 2F P 1C 过点作轴的平行线交抛物线于点，若，则（ ）P x 2C Q 124==PF PQ p =A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D【分析】根据抛物线的对称性求出P 点横坐标，再由抛物线定义求出即可.p 【详解】因为，即，由抛物线的对称性知，24PQ =2PQ =1p x =-由抛物线定义可知，，即，解得，1||2P p PF x =-4(1)2p=--6p =故选：D10．已知，是椭圆的两个焦点，若存在点为椭圆上一点，使得1F 2F ()222210x y a b a b +=>>P ，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．1260F PF ∠=︒eA ．B ．C ．D．⎫⎪⎪⎭⎛ ⎝1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭12⎡⎢⎣【答案】C【分析】根据题意分析，当且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值，此时在P 0P 12F PF ∠中，，转化为，消去b ，求出椭圆离心率的取值范围.02Rt P OF △0230OP F ∠≥︒b ≤e【详解】如图，当动点在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，对两个焦点的张角渐渐增大，当P P 12F PF ∠且仅当点位于短轴端点处时，张角达到最大值．由此可得：P 0P 12F PF ∠存在点为椭圆上一点，使得，P 1260F PF ∠=︒中，，可得中，，012P F F ∴△10260F P F ∠≥︒02Rt P OF △0230OP F ∠≥︒所以，即，其中02P O OF≤b ≤c =，可得，即2223a c c ∴-≤224a c ≤2214c a ≥椭圆离心率，且 c e a =0a c >>112e ∴≤<故选:C11．已知F 是双曲线C ：的右焦点，P 是C 的左支上一点，，则的最2218y x -=(A PA PF +小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【分析】根据双曲线的定义得，利用平面几何的知识，两点间线段最短，即可求出最12PF PF =+值.【详解】由双曲线方程可知，，，故右焦点，左焦点，2218y x -=1a =3c =()3,0F ()13,0F -当点在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知，所以，P 12PF PF -=12PF PF =+从而，又为定值，1122PA PF PA PF AF +=++≥+14AF ==所以，此时点在线段与双曲线的交点处（三点共线距离最短），6PA PF +≥P 1AF 故选：B.12．法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆的蒙日圆方程为()2222:10x y C a b a b +=>>，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M ，过点M 作椭圆C 的两条切线，与2222x y a b +=+222:116x y C a +=该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若面积的最大值为41，则椭圆C 的长轴长为（ ）MPQ A ．5B ．10C ．6D ．12【答案】B【分析】由题意可知为圆的一条直径，利用勾股定理得出PQ 22216x y a +=+，再利用基本不等式即可求解.222216)4(MP MQ PQ a ++==【详解】椭圆C 因为，所以为蒙日圆的直径，MP MQ ⊥PQ 所以，所以.PQ =222216)4(MP MQ PQ a ++==因为，当22216)2(2MP MQMP MQ a ≤++⋅=MP MQ ==所以面积的最大值为：.MPQ 26121MP MQ a =+⋅由面积的最大值为41，得，得，MPQ 24116a +=5a =故椭圆的长轴长为.C 10故选：B13．“”是“”的充分不必要条件，若，则取值可以是___________（满足条件即可）1x >x >m Z m ∈m .【答案】0（答案不唯一，满足且均可）.1m <Z m ∈【分析】利用充分不必要条件的定义求解.【详解】解：因为“”是“”的充分不必要条件，且，1x >x >m Z m ∈所以且，故可取0，1m <Z m ∈故答案为：0（答案不唯一，满足且均可）1m <Z m ∈14．已知直线与椭圆交于两点，是椭圆的左焦点，则的周长是3x =2212516x y +=,A B 1F 1ABF ___________.【答案】20【分析】根据题意可知直线经过椭圆的右焦点，结合椭圆的定义即可求解.3x =2212516x y +=2F 【详解】椭圆,所以，2212516x y +=22225169c a b =-=-=得，则椭圆的右焦点为，3c =2(3,0)F 所以直线经过椭圆的右焦点，3x =2212516x y +=2F 由椭圆的定义可知，的周长为1ABF .11121244520AF BF AB AF AF BF BF a ++=+++==⨯=故答案为：20.15．已知是抛物线的焦点，为坐标原点，点A 是抛物线上的点，且，则F 28C y x =：O C 8AF =的面积为_____________.AOF【答案】【分析】设，由抛物线的方程求得，再由抛物线定义列方程求得，从而求得(),A m n 4p =6m =n =±【详解】设，由抛物线方程得：，所以，(),A m n 28y x =28p =4p =由抛物线的定义得：，解得：，82p AF m =+=6m =又解得：，28n m =n =±所以的面积为：AOF 11222S OF n =⨯⨯=⨯⨯=故答案为：16．已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，2219y x +=11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭则直线AB 的方程为______．【答案】950x y +-=【分析】已知相交弦的中点，用点差法求出斜率，即可求解.【详解】在椭圆内，过点的直线与椭圆必11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭相交于A ，B 两点，设，()1122,,(,)A x yB x y 且弦AB 被点P 平分，故直线AB 的斜率存在，两式相减得，222212121,1,99y y x x +=+=，121212120,99y y y yx x x x --+-=∴=--直线AB 的方程为.950x y +-=故答案为:950x y +-=【点睛】本题考查相交弦的中点问题，利用点差法得到中点坐标与相交弦的斜率关系，属于基础题.三、解答题17．分别求适合下列条件的方程：(1)长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；(2)经过点的抛物线的标准方程.()2,4P --【答案】(1)或2212521x y +=2212521y x +=(2)或28y x =-2x y=-【分析】（1）根据长轴和焦距的定义求出a 、c ，进而求出b ，即可求解；（2）设抛物线方程为或，将点P 坐标代入，即可求解.22(0)y px p =->22(0)x my m =->【详解】（1）设椭圆的长轴长为，焦距为()20a a >()20c c >由条件可得.所以.210,24a c ==5,2a c ==所以，22225421b a c =-=-=当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为；x 2212521x y +=当椭圆的焦点在轴上时，标准方程为.y 2212521y x +=（2）当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，x 22(0)y px p =->将点的坐标代入抛物线的标准方程得，P 1644p p =⇒=此时，所求抛物线的标准方程为；28y x =-当抛物线的焦点在轴上时，可设所求抛物线的标准方程为，y 22(0)x my m =->将点的坐标代入抛物线的标准方程得，解得，P 48m =12m =此时，所求抛物线的标准方程为.2x y =-综上所述，所求抛物线的标准方程为或.28y x =-2x y =-18．设集合，命题，命题{13},{11,0}A x B xm x m m =-<<=-<<+>∣:p x A ∈:q x B ∈(1)若是的充要条件，求正实数的取值范围；p q m (2)若是的充分不必要条件，求正实数的取值范围.p qm 【答案】(1){}2(2).()2,+∞【分析】（1）根据是的充要条件转化为求解即可；p qA B =（2）根据是的充分不必要条件，得真包含于，列出不等式求解即可.p qA B 【详解】（1）由条件， 是的充要条件，{13}A x =-<<p q 得，即，解得，A B =1113m m -=-⎧⎨+=⎩2m =所以实数的取值范围是.m {}2（2）由是的充分不必要条件，得真包含于，p qA B 所以，或，解得，01113m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩01113m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩m>2综上实数的取值范围是.a ()2,+∞19．已知，命题，；命题，a R ∈[]:1,2p x ∀∈2a x ≤:q x R ∃∈()2220x ax a +--=(1)若p 是真命题，求a 的最大值；(2)若为真命题，为假命题，求a 的取值范围.p q ∨p q ∧【答案】(1)1(2)()()2,11,∞-⋃+【分析】（1）由p 是真命题，列不等式，即可求得；（2）先求出p 、q 为真命题时a 的范围，再由复合命题的真假分类讨论，即可求解.【详解】（1）若p 是真命题，只需.()2mina x ≤因为在上单增，所以，所以.2y x =[]1,2x ∈()2min1x =1a ≤即a 的最大值为1.（2）若q 是真命题，即为关于x 的方程有实根，()2220x ax a +--=只需，解得：或.()24420a a ∆=+-≥1a ≥2a ≤-若p 是真命题，解得：.1a ≤因为为真命题，为假命题，p q ∨p q ∧所以p 、q 一真一假.当p 真q 假，则有：，所以.121a a ≤⎧⎨-<<⎩21a -<<当p 假q 真，则有：，所以.112a a a >⎧⎨≥≤-⎩或1a >综上所述：或.1a >11a -<<即a 的取值范围.()()2,11,-⋃+∞20．已知曲线C 上的每一个点到的距离减去它到y 轴的距离的差都是2.(2,0)F(1)求曲线C 的方程；(2)过F 作倾斜角为的直线交曲线C 于A 、B 两点，点，求ABD 的面积.45(2,0)D - 【答案】(1)()280y x x =≥(2)【分析】（1）利用求轨迹的直接法求解；（2）先设，与抛物线方程联立，求得弦长，再求得点D 到直线的距离，利用三角:20AB l x y --=形的面积公式求解.【详解】（1）解：设曲线上动点坐标为，,)x y （由题设得，)20x x +≥整理得.()280y x x =≥（2）设，:20AB l x y --=由，得，2208x y y x --=⎧⎨=⎩21240x x -+=所以，因为直线经过抛物线的焦点，1212x x +=故，1216AB x x p =++=又点D 到的距离，ABl d所以Δ12ABD S AB d =⋅=21．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C 过点与点，过点的直线l 与椭圆C 12A ⎛ ⎝()2,0B ()1,0交于P ，Q 两点，直线，分别交直线于E ，F 两点．BP BQ 3x =(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．PE QF ⋅ 【答案】(1)2214x y +=(2)见解析【分析】（1）设椭圆C 的方程为，由两点得出椭圆C 的标准方程；221mx ny +=,A B （2）联立直线l 与椭圆方程，由直线的方程得出坐标，再由韦达定理以及数量积公式，,BP BQ ,E F 得出的范围，进而得出的最值.PE QF ⋅ PE QF ⋅ 【详解】（1）设椭圆C 的方程为且，221(0,0,mx ny m n +=>>)m n ≠因为椭圆C 过点与点，所以，解得.12A ⎛ ⎝()2,0B 15141641m n m ⎧+=⎪⎨⎪=⎩141m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以椭圆C 的标准方程为.2214x y +=（2）设直线，:1l x ty =+()()1122,,,P x y Q x y 由，得，22114x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(1)440ty y ++-=即，则.()224230t y ty ++-=12122223,44t y y y y t t +=-=-++直线的方程分别为.,BP BQ 1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---令，则.3x =12123,,3,22y y E F x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭则，()()11111111323,2,21y x y ty PE x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ，()()22222222323,2,21y x y ty QF x ty x ty --⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 所以()()()()()()12121212222211y y ty ty PE QF ty ty ty ty --⋅=--+-- ()()2121212212122411y y t y y t y y t y y t y y ⎡⎤⎡⎤=-+++⎢⎥⎣⎦-++⎣⎦2222222223344413244144t t t t t t t t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫-+=+++ ⎪ ⎪-++⎝⎭⎪++ ⎪++⎝⎭.()()()2222254451651444444t t t t t +-+===-+++因为，所以.244t +≥22115150,144444t t <≤≤-<++即的取值范围为.PE QF ⋅ 51,4⎡⎫⎪⎢⎣⎭所以存在最小值，且最小值为.PE QF ⋅ 1【点睛】关键点睛：解决问题（2）时，关键在于利用韦达定理将双变量变为单变量问题，从12,x x 而由的范围，得出的取值范围.25144t -+PE QF ⋅ 22．以椭圆的中心为半径的圆称为该椭圆的“准圆”．设2222:1(0)x y C a b a b +=>>O 椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，．C P F Q 2PQ =OPQ OFQ S = (1)求椭圆及其“准圆”的方程；C (2)若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，当C ED C M N 、时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．0OM ON ⋅= ED 【答案】（1）；（2）弦的长为定值224x y +=ED 【分析】（1）设椭圆的左焦点，，由得，又，即C (),0F c -0c >OPQ OFQ S = a =2PQ =且，所以，由“准圆”得定义即可求出结果；224a b +=222b c a +=223,1a b ==（2）设直线的方程为，且与椭圆的交点，联列方程组ED (,R)y kx b k b =+∈C 1122(,)(,)M x y N x y 、代入消元得：，由韦达定理和，以及点到直2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=0OM ON ⋅= 线的距离的公式即可求出结果.【详解】（1）设椭圆的左焦点，，由得，C (),0F c -0c >OPQ OFQ S = a =又，即且，所以，2PQ =224a b +=222b c a +=223,1a b ==则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为．C 2213x y +=C 224x y +=（2）设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈且与椭圆的交点，C 1122(,),(,)M x y N x y 联列方程组代入消元得：，2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222136330k x kbx b +++-=由．2121222633,1313kb b x x x x k k --+==++可得，22121223()()13b k y y kx b kx b k -=++=+由得，0OM ON ⋅= 12120x x y y +=即，所以，222222223334330131313b b k b k k k k ----+==+++()22314b k =+此时成立，()()2222236413332730k b k b k ∆=-+-=+>则原点到弦的距离O EDd====得原点到弦，则，O ED ED ==故弦的长为定值．ED 【点睛】关键点睛：本题的关键是采取设线法，设直线的方程为，ED (,R)y kx b k b =+∈，联立椭圆方程，得到韦达定理式，根据，得，1122(,),(,)M x y N x y 1122(,)(,)M x y N x y 、12120x x y y +=利用，再代入整理成韦达定理可直接代入得式子，化简得到，再1212()()y y kx b kx b =++()22314b k =+利用几何法即可计算弦长为定值.。
甘肃省白银市第九中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题
白银九中2021-2022学年第二学期高二文科数学期中试卷考试范围：选修1-2，4-4考试时长：120分钟；总分：150分姓名：班级：考号：一、单选题（每小题5分，共60分）1．复数34i2iz +=-（其中i 为虚数单位）在复平面内对应的点在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限2．当用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则关于x 的方程24230x ax b -+=至少有一个实根”时，要做的假设是（）A ．方程24230x ax b -+=没有实根B ．方程24230x ax b -+=至多有一个实根C ．方程24230x ax b -+=至多有两个实根D ．方程24230x ax b -+=恰好有两个实根3．将点的直角坐标()2,2化成极坐标得（）A．2π3⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．2π4,3⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．π4,3⎛⎫- ⎪⎝⎭D．π4⎛⎫ ⎪⎝⎭4．在同一坐标系中，将曲线2sin 3y x =变为曲线''sin y x =的伸缩变换是（）A ．312x x y y ''=⎧⎪⎨=⎪⎩B ．312x xy y ='='⎧⎪⎨⎪⎩C ．32x x y y =⎧⎨=''⎩D ．32x x y y''=⎧⎨=⎩5．椭圆的参数方程为5cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A ．()0,4±B ．()4,0±C ．()5,0±D ．()0,3±6．为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验，经计算2K 的观测值 6.668k =，则所得的结论是：有多大把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”（）附表：()20P K k ≥0.100.0250.010.0010k 2.7065.0246.63510.828A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%7．过点2,6π⎛⎫⎪⎝⎭且平行于极轴的直线的极坐标方程是（）A．sin ρθ=B ．sin 1ρθ=C．cos ρθ=D ．cos 1ρθ=8．执行如图所示的程序框图，若输入的2k =，则输出的S =（）A ．6B ．5C ．4D ．2.89．在极坐标系中，点π23⎛⎫ ⎪⎝⎭，和圆2cos ρθ=的圆心的距离为（）A．B ．2CD10．直线10x y --=与圆1x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）相交于M 、N 两点，则MN =（）A ．1BC ．2D．11．甲、乙、丙三人中，只有一人会弹吉他.甲说：“我会”，乙说：“我不会”，丙说：“甲不会”.如果这三句话中只有一句是真的，那么会弹吉他的是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．无法确定12．方程())23110x y +-=表示的曲线是()A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线二、填空题（每小题5分，共20分）13．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（其中α为参数），则曲线C 的普通方程为______．14．若复数z 满足()12i i 3z +-=（i 是虚数单位），则z =___________.15．把极坐标方程cos 16πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程是________________16．在极坐标系中，以点π3,2A ⎛⎫⎪⎝⎭､(4,0)B 和极点O 为顶点的三角形的面积为________.三、解答题（17题10分，其余各题均12分，共70分）17．已知复数22(32)(43),z m m m m i m R =-++-+∈.（1）若z 对应复平面上的点在第四象限，求m 的范围；（2）若z 是纯虚数，求m 的值.18．在极坐标系下，已知圆C ：cos sin ρθθ=+和直线l ：20x y -+=.（Ⅰ）求圆C 的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（Ⅱ）求圆C 上的点到直线l 的最短距离．19．为了改善贫困地区适龄儿童的教育环境，某市教育行政部门加大了对该地区的教育投资力度，最近4年的投资金额统计如下：（第x 年的年份代号为x ）年份代号x1234投资金额y （万元）12162024（Ⅰ）请根据最小二乘法求投资金额y 关于年代代号x 的回归直线方程；（Ⅱ）试估计第8年对该地区的教育投资金额.附：122ˆˆ.ˆ,ni ii nix y nxybay bx xn x=--==--∑∑20．某校计划面向高二年级文科学生开设社会科学类和自然退坡在校本选修课程，某文科班有50名学生，对该班选课情况进行统计可知：女生占班级人数的60％，选社会科学类的人数占班级人数的70％，男生有10人选自然科学类．（1）根据题意完成以下22⨯列联表：选择自然科学类选择社会科学类合计男生女生合计（2）判断是否有99％的把握认为科类的选择与性别有关？()20P K k ≥0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010k 0.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．21．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1:4sin C ρθ=，曲线2:4cos C ρθ=.（1）求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；（2）若直线3C 的极坐标方程为()3R πθρ=∈，设3C 与1C 和2C 的交点分别为M，N ，求MN .22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩，(α为参数)，直线C 2的方程为 y =，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求11||||OA OB +.2021-2022学年第二学期期中考试高二数学文科答案一．选择题1-5DADBB6-10CBAAC11-12BD12．【解析】由())23110x y +-=，得2x +3y −1=010=.即2x +3y −1=0(x ⩾3)为一条射线，或x =4为一条直线.∴方程())23110x y +-=表示的曲线是一条直线和一条射线.二．填空题13．2215x y +=14．15．20y +-=16．6三．解答题17．（1）23m <<（2）2m =【详解】（1）由题意可得22320430m m m m ⎧-+>⎨-+<⎩，解得23m <<（2）由题意可得22320430m m m m ⎧-+=⎨-+≠⎩，解得2m =18．（Ⅰ）C :220xy x y +--=，l :cos sin 20ρθρθ-+=；（Ⅱ）2【详解】（Ⅰ）圆C ：cos sin ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，圆C 的直角坐标方程为：22x y x y +=+，即220x y x y +--=；直线l ：20x y -+=，则直线l 的极坐标方程为cos sin 20ρθρθ-+=.（Ⅱ）由圆C 的直角坐标方程为220x y x y +--=可知圆心C 坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为2，因为圆心CC 上的点到直线l 的最短距离为22=.【点睛】本题考查直角坐标与极坐标互化以及直线与圆位置关系，考查基本分析求解能力，属中档题.19．(1)ˆ48yx =+.(2)第8年对该地区的教育投资约为40万元.【解析】【详解】分析：（Ⅰ）由表中数据，计算x ，y ，求出ˆb，ˆa ，写出y 关于x 的回归方程；（Ⅱ）利用回归方程计算8x =时ˆy的值即可.详解：（Ⅰ）2123260964 2.5182.5.18,4,184 2.58,149164 2.5ˆˆx y ba +++-⨯⨯====∴=-⨯=+++-⨯即所求回归直线的方程为ˆ48yx =+；（Ⅱ）当8x =时，40y =，故第8年对该地区的教育投资约为40万元.点睛：本题考查了线性回归方程的计算与应用问题.20．（1）列联表见解析（2）没有99％的把握认为科类的选择与性别有关【详解】解：（1）根据题意可知，女生人数为500.630⨯=，男生人数为20，选社会科学类人数为500.735⨯=，选自然科学类人数为15，且其中男生占10人，则22⨯列联表如下：选择自然科学类选择社会科学类合计男生101020女生52530合计153550（2）由（1）中数据，2K 的观测值()25010525104006.349 6.6353515302063k ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有99％的把握认为科类的选择与性别有关．【点睛】本题考查由已知关系完善22⨯列联表，还考查了由独立性检验的实际应用，属于基础题.21．（1）2240x y y +-=，2240x y x +-=；（2）2-.【详解】解：（1）由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为2240x y y +-=.由4cos ρθ=，得24cos ρρθ=，∴曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x +-=.（2）联立4sin 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得M ρ=联立4cos 3ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，得2N ρ=，.故2M N MN ρρ=-=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及利用极坐标方程解决曲线与曲线的交点问题．属于基础题.22．（1）1C ：ρ2﹣4ρcos θ﹣4ρsin θ+7=0，2C ：=()3R πθρ∈；（2）27+.【解析】【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求11||||OA OB +.【详解】（1）曲线C 1的参数方程为2cos 2sin x y αα=+⎧⎨=+⎩(α为参数)，直角坐标方程为(x ﹣2)2+(y ﹣2)2=1，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y +7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ﹣4ρsin θ+7=0直线C 2的方程为y，极坐标方程为=()3R πθρ∈；（2）直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2﹣ρ+7=0，设A，B两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2ρ1ρ2=7，∴11||||OA OB+=121227ρρρρ++=.。
陕西省宝鸡市金台区2022-2023学年高二下学期期中文科数学试题
A． b c 0
B． (a c)(b c) 0
C． (a b)(a c) > 0
D． (a b)(b c) 0
7．在一次独立性检验中得到如下列联表：
A1 A2
总计
试卷第 1 页，共 5 页
B1 200 800
1000
B2 180 a
180＋a
总计 380 800＋a 1180＋a
2i 平面内对应的点在第一象限. (1)求 z ； (2)求 a 的取值范围. 20．某车间为了规定工时定额，需要确定加共某零件所花费的时间，为此作了四次实验， 得到的数据如下：
零件的个数 x(个) 2 3 4 5
加工的时间 y(小时) 2.5 3 4 4.5
(1)求出 y 关于 x 的线性回归方程；
4．独立性检验中，假设：变量 X 与变量Y 没有关系，则在上述假设成立的情况下，估
算概率 P(K 2 6.635) 0.01，表示的意义是
A．变量 X 与变量Y 有关系的概率为1%
B．变量 X 与变量Y 没有关系的概率为 99.9%
C．变量 X 与变量Y 没有关系的概率为 99%
D．变量 X 与变量Y 有关系的概率为 99%
僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几个?程序框图反映了对此题的一
个求解算法，则输出 n 的值为（ ）
A． 20
B． 25
C． 75
D． 80
10．已知 y 与 x 及 与 v 的对应数据如下表，且 y 关于 x 的线性回归方程为 $y 1.2x 0.6 ，
则 关于 v 的线性回归方程为（ ）
重要的地位.根据欧拉公式可知， ei 表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
2022-2023学年宁夏银川市高二下学期期中考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年宁夏银川市高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．下列各式中：①{}{}00,1,2∈；②{}{}0,1,22,1,0⊆；③{}0,1,2∅⊆；④{}0∅=；⑤{}(){}0,10,1=；⑥{}00=.正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据相等集合的概念，元素与集合、集合与集合之间的关系，空集的性质判断各项的正误.【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则{}{}0,1,22,1,0⊆，正确；③空集是任意集合的子集，故{}0,1,2∅⊆，正确；④空集没有任何元素，故{}0∅≠，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故{}(){}0,1,0,1为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.2．若22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则[(1)]f f -的值为（）A ．1B ．2C ．-1D ．0【答案】D【分析】根据分段函数的对应法则，即可得到结果.【详解】∵22,0()log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，∴(1)121f -=-+=∴()2[(1)]1log 10f f f -===，故选：D.【点睛】本题考查分段函数的应用，考查学生对法则的理解，属于基础题.3．已知函数()()0.1102,11log 1,111ax x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩ 的值域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．()0,∞+B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】判断当111x <≤时，()0.1()=log 1f x x -的取值范围，从而判断11x >时，()102f x ax =-的取值范围应包含(),1-∞-，由此列出不等式，求得答案.【详解】由题意知当111x <≤时，()[)0.1()=log 11,f x x -∈-+∞，由于函数()()0.1102,11log 1,111ax x f x x x ->⎧=⎨-<≤⎩的值域为R ，故11x >时，()102f x ax =-的取值范围应包含(),1-∞-，故此时0a >，且110221,2a a -≥-∴≤，故102a <≤，故选：C.4．若命题“0x ∃∈R ，200220x mx m +++<”为假命题，则m 的取值范围是（）A ．12m -≤≤B ．12m -<<C ．1m ≤-或2m ≥D ．1m <-或m>2【答案】A【分析】先转化为命题的否定，再由一元二次不等式的性质求解即可.【详解】命题“0x ∃∈R ，200220x mx m +++<”的否定为“x ∀∈R ，2220x mx m +++≥”，该命题为真命题，即()24420m m ∆=-+≤，解得[]1,2m ∈-.故选：A5．设集合1|,36k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，2|,63k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则A ．M N =B ．NM ⊂≠C ．N M ⊂≠D ．M N ⋂=∅【答案】B 【详解】因为()()112121,4,366636k k x k x k k Z =+=+=+=+∈，所以NM ⊂≠，故选B.6．已知()11fx x -=+，则函数()f x 的解析式为（）A ．()2f x x=B ．()()211f x x x =+≥C ．()()2221f x x x x =++≥-D ．()()221f x x x x =-≥【答案】C【分析】利用换元法求解即可.【详解】因为()11fx x -=+，0x ≥，令1t x =-，则221x t t =++，1t ≥-，所以()2221122f t t t t t =+++=++，1t ≥-，故()222f x x x =++，1x ≥-，故选：C7．若35225a b ==，则11a b+=（）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】A【分析】由指数式与对数式的转化,结合换底公式和对数的运算,即可求解.【详解】由题意3225,5225a b ==根据指数式与对数式的转化可得35log 225,log 225a b ==由换底公式可得lg 2252lg15lg 2252lg15,lg 3lg 3lg 5lg 5a b ====由对数运算化简可得11lg 3lg 52lg152lg15a b +=+lg 3lg 52lg15+=lg1512lg152==故选:A【点睛】本题考查了指数式与对数式的转化,对数的运算及换底公式的应用,属于中档题.8．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在()0,∞+上单调递增，则（）A ．()()()0.633log 132f f f -<-<B ．()()()0.6332log 13f f f -<<-C ．()()()0.632log 133f f f <-<-D ．()()()0.6323log 13f f f <-<【答案】C【分析】根据函数()f x 是定义在R 上的偶函数，比较0.632log ,13,3的大小，再由()f x 在()0,∞+上单调递增判断.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，所以()()(||)f x f x f x =-=因为0.632,212log 133<<<<，所以0.632log 133<<,又因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()0.632log 133f f f <<,即()()()0.632log 133f f f <-<-，故选：C 9．若()1ln 121f x m n x =++--为奇函数，则n =（）A ．ln 2B ．2C ．11ln2-D ．11ln2+【答案】C【分析】利用奇函数的定义，对m 分类讨论即可得解.【详解】因为函数()f x 为奇函数，所以()f x 的定义域关于原点对称.若0m =，则()f x 的定义域12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭不关于原点对称，所以()0,m f x ≠的定义域为12x x ⎧≠⎨⎩且1122x m ⎫≠-⎬⎭，所以111222m -=-，解得12m =.所以()11ln1221f x n x =++--，定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭.令()00f =，得1ln 102n +-=，故11ln 2n =-，此时经检验，()f x 为奇函数.故选：C.10．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家.用其名字命名的“高斯函数”为：[]()y x x =∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]1.62-=-，[]1.61=，[]22=，已知()e 11e 12xx f x -=++，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为（）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}1,0,1-D ．{}2,1,0--【答案】C【分析】先进行分离，然后结合指数函数与反比例函数性质求出()f x 的值域，结合已知定义即可求解．【详解】因为()e 1132e 1221e x x xf x -=+=-++又e 11x +>，所以2021e x<<+，所以2201e x-<-<+所以()3213,21e 22x f x ⎛⎫=-∈- ⎪+⎝⎭，则()[()]g x f x =的值域{}1,0,1-．故选：C ．11．有下列几个命题，其中正确的共有（）①函数221y x x =++在()0,∞+上单调递增；②函数11y x =+在()(),11,-∞--+∞ 上是减函数；③函数254y x x =+-的单调区间是[)2,-+∞④已知()f x 在R 上是增函数，若0a b +>，则有()()()()f a f b f a f b +>-+-；⑤已知函数()()23,0,,0x x g x f x x ->⎧=⎨<⎩是奇函数，则()23f x x =+.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4【答案】C【分析】对于①，根据二次函数的性质，可知函数221y x x =++在1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上单调；对于②，11y x =+在(),1-∞-和()1,-+∞上均为减函数，但在并集上并不是减函数；对于③，首先要求函数254y x x =+-的定义域，才可研究函数单调性；对于④，通过函数的单调性，0a b +>，可得出答案；对于⑤，根据函数奇偶性即可求出函数的解析式.【详解】由221721248y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭在1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增知，函数221y x x =++在()0,∞+上是增函数，故①正确；11y x =+在(),1-∞-，()1,-+∞上均是减函数，但在()(),11,-∞--+∞ 上不是减函数，如20-<，但112101<-++，故②错误；254y x x =+-在[)2,1--上无意义，从而在[)2,-+∞上不是单调函数，故③错误；由0a b +>得a b >-，又()f x 在R 上递增，所以()()f a f b >-，同理，()()f b f a >-，所以()()()()f a f b f a f b +>-+-，故④正确；设0x <，则0x ->，()23g x x -=--，因为()g x 为奇函数，所以()()()23f x g x g x x ==--=+，故⑤正确.故选：C12．已知函数()f x 的定义域为R ，若函数()21f x +为奇函数，且()()4f x f x -=，20231()1k f k ==∑，则()0f =（）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【分析】根据奇函数的性质得到()()2112f x f x +=--，由条件()()4f x f x -=结合函数的对称性和周期性的定义得到函数()f x 的周期为4，且()()()()12340f f f f +++=，()()02f f =-，即可求解.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且函数()21f x +为奇函数，则()()2112f x f x +=--，即函数()f x 关于点()1,0对称，所以有()()=2f x f x --①，又()()4f x f x -=②，所以函数()f x 关于直线2x =对称，则由②得：()()()34110f f f =-==，()()()0404f f f =-=，所以()()()()02240f f f f +=+=，则()()()()12340f f f f +++=又由①和②得：()()42f x f x -=--，得()()2f x f x =--，所以()()()22f x f x f x +=-=-，即()()4f x f x =+，所以函数()f x 的周期为4，则()()()()()()()()20231()505123412321k f k f f f f f f f f ==++++++==⎡⎤⎣⎦∑，所以()()021f f =-=-，故选：A.【点睛】结论点睛：函数()y f x =的定义域为D ，对x D ∀∈，（1）存在常数a ，b 使得()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=，则函数()y f x =图象关于点(,)a b 对称.（2）存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.二、填空题13．函数212()log (6)f x x x =--的单调递增区间是________【答案】1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.【详解】26032x x x -->∴-<<Q 当122x -<<时，26u x x =--单调递减，而12()log f x u =也单调递减，所以212()log (6)f x x x =--单调递增，故答案为：1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查复合函数单调性、对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.14．已知()111(0)42x xf x x =-++>，则此函数的值域是______【答案】51,4⎛⎤⎥⎝⎦【分析】令1()2xt =,由x 的范围求得t 的范围,再由二次函数求值域.【详解】解:令1()2xt =,0x > ,()0,1t ∴∈,则原函数化为()21g t t t =-++,(01)t <<.()()()011g t g g >== ,15()24max g t g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴原函数的值域为51,.4⎛⎤⎥⎝⎦故答案为:51,.4⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查利用换元法求函数的值域,属于基础题.15．若函数()1f x +的定义域为[]2,3-，则函数()()11g x f x x =+-的定义域为______．【答案】(]1,4【分析】根据抽象函数的定义域及开偶数次方根号里的数大于等于零，分母不等于零求解即可.【详解】因为函数()1f x +的定义域为[]2,3-，所以[]11,4x +∈-，即函数()f x 的定义域为[]1,4-，由函数()()11g x f x x =+-，得1410x x -≤≤⎧⎨->⎩，解得14x <≤，即函数()()11g x f x x =+-的定义域为(]1,4.故答案为：(]1,4.16．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()e ax f x =．若(ln 2)4f =-，则实数a 的值为____________．【答案】2-【分析】根据给定条件，确定ln 20>，再借助奇函数性质及给定值列式计算作答.【详解】函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()e ax f x =，而ln 20>，于是1ln 2ln 24e 1(ln 2)(ln 2)(ln )22e a a a f f f --=--=-==-=--=-，解得2a =-，所以实数a 的值为2-.故答案为：2-三、解答题17．已知集合{}13A x x =<<，集合{}21B x m x m =<<-．(1)若A B ⋂=∅，求实数m 的取值范围；(2)命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 成立的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．【答案】(1){}0mm ≥∣(2){}2mm ≤-∣【分析】（1）讨论B =∅，B ≠∅两种情况，结合交集运算的结果得出实数m 的取值范围；（2）由p 是q 成立的充分不必要条件，得出A 是B 的真子集，再由包含关系得出实数m 的取值范围．【详解】（1）由A B ⋂=∅，得①若21m m ³-，即13m ≥时，B =∅，符合题意；②若21m m <-，即13m <时，需1311m m ⎧<⎪⎨⎪-≤⎩或1323m m ⎧<⎪⎨⎪≥⎩，解得103m ≤<．综上，实数m 的取值范围为{}0mm ≥∣．（2）由已知A 是B 的真子集，知122113m mm m ->⎧⎪≤⎨⎪-≥⎩两个端不同时取等号，解得2m ≤-．由实数m 的取值范围为{}2mm ≤-∣．18．选修4-4：坐标系与参数方程:在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :1sin x tC y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos 333πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.（1）求曲线1C 的极坐标方程；（2）已知点()2,0M ，直线l 的极坐标方程为6πθ=，它与曲线1C 的交点为O ，P ，与曲线2C 的交点为Q ，求MPQ ∆的面积.【答案】（1）1:2sin C ρθ=（2）1【分析】（1）首先把参数方程转化为普通方程，利用普通方程与极坐标方程互化的公式即可得到曲线1C 的极坐标方程；（2）分别联立1C 与l 的极坐标方程、2C 与l 的极坐标方程，得到P 、Q 两点的极坐标，即可求出PQ 的长，再计算出M 到直线l 的距离，由此即可得到MPQ ∆的面积．【详解】解：（1）1cos :1sin x tC y t =⎧⎨=+⎩，其普通方程为()2211x y +-=，化为极坐标方程为1:2sin C ρθ=（2）联立1C 与l 的极坐标方程：2sin 6ρθπθ=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得P 点极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭联立2C 与l 的极坐标方程：2cos 3336πρθπθ⎧⎛⎫-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得Q 点极坐标为3,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2PQ =，又点M到直线l 的距离2sin 16d π==，故MPQ ∆的面积112S PQ d =⋅=.【点睛】本题考查参数方程、普通方程、极坐标方程的互化，利用极径的几何意义求三角形面积是解题的关键，属于中档题．19．已知函数()112f x x x =-++．(1)求不等式()3f x ≤的解集；(2)设函数()2g x x a x =-+-，若对任意1x ∈R ，都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围．【答案】(1)75[,]44-；(2)17[,]22.【分析】（1）化函数()f x 为分段函数，再分段解不等式作答.（2）求出函数()f x 、()g x 的值域，再借助集合的包含关系求解作答.【详解】（1）依题意，函数12,1231(),122112,22x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，则不等式()3f x ≤化为：11232x x ≤-⎧⎪⎨--≤⎪⎩或112332x ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩或121232x x ⎧>⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得714x -≤≤-或112x -<≤或1524x <≤，则7544x -≤≤，所以不等式()3f x ≤的解集为75[,]44-.（2）由（1）知，当1x ≤-时，3()2f x ≥，当112x -<≤时，3()2f x =，当12x >时，3()2f x >，因此函数()(R)f x x ∈的值域为3[,)2+∞，x ∈R ，()2|()(2)||2|g x x a x x a x a =-+-≥---=-，当且仅当()(2)0x a x --≤时取等号，因此函数()(R)g x x ∈的值域为[|2|,)a -+∞，因为对任意1R x ∈，都存在2R x ∈，使得()()12f x g x =成立，则有3[,)[|2|,)2a +∞⊆-+∞，即3|2|2a -≤，解得1722a ≤≤，所以实数a 的取值范围是17[,]22.20．已知()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2e 2e x f x -=-.(1)当0x <时，求()f x 的解析式；(2)若()()30f a f +<，求a 的取值范围.【答案】(1)()2e2e x f x --=-(2)(3ln 3,3ln 3)--+【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求得答案；（2）判断函数的单调性，将不等式()()30f a f +<转化为()||(3ln 3)f a f <+，结合函数的单调性奇偶性，即可求得答案.【详解】（1）()f x 为R 上的偶函数，当0x ≥时，()2e 2e x f x -=-,故当0x <时，0x ->，故()2()e2e x f x f x --=-=-.（2）当0x ≥时，()2e 2e x f x -=-为增函数，()323e 2e e f -=-=-，令()2e 2e e x f x -=-=，则3ln 3x =+，当0x <时，()2e2e x f x --=-为减函数，故()()30f a f +<，即()()3e (3ln 3)f a f f <-==+，()f x 为R 上的偶函数，故()||(3ln 3)f a f <+，故||3ln 3,3ln 33ln 3a a <+∴--<<+，即a 的取值范围为(3ln 3,3ln 3)--+.21．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为13x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为232cos 2ρθ=-(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程;(2)若曲线1C 和曲线2C 交于A 、B 两点，且点()1,0P ，求11PA PB+的值.【答案】(1)1:330C x y --=，222:13x C y +=(2)212【分析】（1）利用消参法可得1C 的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的转化公式可得2C 的直角坐标方程；（2）利用直线参数方程的几何意义直接计算.【详解】（1）由1C 的参数方程为13x t y t=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消参可得()31y x =-，即1:330C x y --=；又2C 的极坐标方程为232cos 2ρθ=-，即22312sin ρθ=+，2222sin 3ρρθ+=，所以2233x y +=，即222:13x C y +=（2）由（1）的222:13x C y +=，即2233x y +=将1C 的参数方程13x t y t =+⎧⎪⎨=⎪⎩转化为标准参数方程11232x y μμ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（μ为参数）代入2C 得25202μμ+-=，即25240μμ+-=，1225μμ+=-，1245μμ=-，又由1C 的参数方程可知1C 过点()1,0P ，所以1212122211111215425PA PB μμμμμμ-+=+===-.22．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【答案】（1）2a ≤（2）03a ≤<【分析】（1）分析当02x <≤时的单调性，可得2x >的单调性，由二次函数的单调性，可得a 的范围；（2）分别讨论当a<0，当02a ≤≤时，当23a <<时，当37a ≤<，结合函数的单调性和最值，即可得到所求范围．【详解】（1）由题意，当02x <≤时，4()f x x x=-为减函数，当2x >时，()()222f x x a x a =-++-，若2a ≤时，()()222f x x a x a =-++-也为减函数，且()()20f x f <=，此时函数()f x 为定义域上的减函数，满足条件；若2a >时，()()222f x x a x a =-++-在22,2a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则不满足条件．综上所述，2a ≤．（2）由函数的解析式，可得()()13, 20f f ==，当a<0时，()()20, 13f a f a =>=>，不满足条件；当02a ≤≤时，()f x 为定义域上的减函数，仅有()13f a =>成立，满足条件；当23a <<时，在02x <≤上，仅有()13f a =>，对于2x >上，()f x 的最大值为22(2)1244a a f a +-⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，不存在x 满足()0f x a ->，满足条件；当37a ≤<时，在02x <≤上，不存在整数x 满足()0f x a ->，对于2x >上，22(2)(4)123444a a a ----=<-，不存在x 满足()0f x a ->，不满足条件；综上所述，03a ≤<．【点睛】本题主要考查了分段函数的运用，以及函数的单调性的判断和不等式有解问题，其中解答中熟练应用函数的单调性，以及把函数的有解问题转化为函数的最值问题是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档题．。
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案
高二下学期期中考试数学(文科)试题与答案高二年级下学期期中考试数学（文）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.复数 $2-i$ 与 $2+i$ 的商为（）A。
$1-\frac{4}{5}i$。
B。
$\frac{33}{43}+\frac{4}{5}i$。
C。
$1-\frac{1}{5}i$。
D。
$1+\frac{1}{5}i$2.设有一个回归方程为 $y=2-2.5x$，则变量 $x$ 增加一个单位时（）A。
$y$ 平均增加 $2.5$ 个单位。
B。
$y$ 平均减少$2.5$ 个单位。
C。
$y$ 平均增加 $2$ 个单位。
D。
$y$ 平均减少 $2$ 个单位3.所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，属于哪种推理（）.A。
类比推理。
B。
演绎推理。
C。
合情推理。
D。
归纳推理4.点 $M$ 的极坐标 $(5,\frac{2\pi}{3})$ 化为直角坐标为（）A。
$(-\frac{5\sqrt{3}}{2},-2)$。
B。
$(2,-2)$。
C。
$(-\frac{5}{2},2)$。
D。
$(2,2)$5.用反证法证明命题“若 $a^2+b^2=0$，则 $a$、$b$ 全为$0$（$a$、$b\in R$）”，其假设正确的是（）A。
$a$、$b$ 至少有一个不为 $0$。
B。
$a$、$b$ 至少有一个为 $0$。
C。
$a$、$b$ 全不为 $0$。
D。
$a$、$b$ 中只有一个为 $0$6.直线 $y=2x+1$ 的参数方程是（$t$ 为参数）（）A。
$\begin{cases}x=t^2\\y=2t^2+1\end{cases}$。
B。
$\begin{cases}x=2t-1\\y=4t+1\end{cases}$。
C。
$\begin{cases}x=t-1\\y=2t-1\end{cases}$。
D。
$\begin{cases}x=\sin\theta\\y=2\sin\theta+1\end{cases}$7.当 $\frac{2}{3}<m<1$ 时，复数 $m(3+i)-(2+i)$ 在复平面内对应的点位于（）A。
高二数学下学期期中考试试卷含答案
高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。
）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。
$(-\infty。
-1]\cup [2,+\infty)$B。
$(-1,+\infty)$C。
$(-\infty,1]$D。
$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。
$5x-y-3=0$B。
$5x-y+3=0$C。
$3x-y-1=0$D。
$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。
$x=\frac{\pi}{6}$B。
$x=\frac{\pi}{4}$C。
$x=\frac{\pi}{3}$D。
$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。
$90^\circ$B。
$60^\circ$C。
$45^\circ$D。
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
山东省潍坊市2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题1．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若23a =，292S =，则公比q =（ ） A ．12B ．13C ．3D ．22．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且()020.4P ξ<<=，则()0P ξ>=（ ）A ．0.9B ．0.8C ．0.4D ．0.13．函数()f x 的图象如图所示，且()f x '是()f x 的导函数，记()()43a f f =-，()3b f ='，()4c f ='，则（ ）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b<c<aD ．c<a<b4．若银行的储蓄卡密码由六位数字组成，小王在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，但记得密码的最后一位是奇数，则不超过2次就按对密码的概率是（ ）A ．15B ．25C ．110D ．3105．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()()121nn a n =--，则101S =（ ） A ．301B ．101C ．101-D ．301-6．函数()()322,f x x ax bx a a b =+++∈R 在0x =处取得极大值9，则a b +=（ ）A ．3B ．3-C ．3-或3D ．07．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()f x '为其导函数．当0x >时，()()0xf x f x '->，()10f =，则不等式()0f x >的解集为（ ）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．()(),10,1-∞-⋃C ．()()1,00,1-UD ．()()1,01,-⋃+∞8．某高校为研究学生每周平均体育运动时间进行了一次抽样调查，已知被抽取的男、女生人数相同．调查显示：抽取的男生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为45，抽取的女生中每周平均体育运动时间超过4小时的人数占比为35，若在犯错误的概率不超过1%的前提下，可以认为该校学生每周平均体育运动时间与性别有关，则被抽取的男生人数至少为（ ） 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++A ．60B ．65C ．70D ．75二、多选题9．下列函数的导数运算正确的是（ ） A ．()e e e x x x x x '=+B ．'=C ．2sin 1cos cos x x x '⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()1lg 2ln10x x '=⎡⎤⎣⎦10．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（ ）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．黎曼函数（Riemann function ）在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：[]0,1x ∈时，()()*1,,,0,0,10,1p p x p q q q q R x x ⎧⎛⎫=∈⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩N 为既约真分数和内的无理数，若数列2221n n n a R ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，*n ∈N ，则（ ）A ．121n n a =- B ．12n n a a ++>C ．()111112321nii i n i a a ++==--∑ D ．1211ni i a n =≤-+∑三、填空题12．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中至少有1名女生的概率是．13．记公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()15485k S a a a =++，则k =． 14．已知函数()ln x f x x=，设()()()2g x f x af x =-，若()g x 只有一个零点，则实数a 的取值范围是；若不等式()0g x >的解集中有且只有三个整数，则实数a 的取值范围是．四、解答题15．已知函数()2ln f x x x x =+-．(1)求()f x 的单调区间和极值；(2)求()f x 在区间1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最值．16．某高中学校组织乒乓球比赛，经过一段时间的角逐，甲、乙两名同学进入决赛．决赛采取7局4胜制，假设每局比赛中甲获胜的概率均为23，且各局比赛的结果相互独立． (1)求比赛结束时恰好打了5局的概率；(2)若前三局比赛甲赢了两局，记还需比赛的局数为X ，求X 的分布列及数学期望． 17．已知数列{}n a 满足123111n n a a a a a n -⋅⋅⋅=+． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令21n n b a =，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式2122n n n S n λ⋅-≥+对*n ∀∈N 恒成立，求实数λ的取值范围．18．近年来，中国新能源汽车产业，不仅技术水平持续提升，市场规模也持续扩大，取得了令人瞩目的成就．以小米SU7、问界M9等为代表的国产新能源汽车，正逐步引领全球新能源汽车的发展潮流，某新能源汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行了调研，数据如下：(1)已知y 与x 线性相关，求出y 关于x 的线性回归方程，并估计该地区新能源汽车在2024年5月份的销量；(2)该企业为宣传推广新能源汽车，计划在宣传部门开展人工智能工具使用的培训．该次培训分为四期，每期培训的结果是否“优秀”相互独立，且每期培训中员工达到“优秀”标准的概率均为()01p p <<．该企业规定：员工至少两期培训达到“优秀”标准．才能使用人工智能工具，（i ）记某员工经过培训后，恰好两期达到“优秀”标准的概率为()f p ．求()f p 的最大值点0p ； （ii ）该企业宣传部现有员工100人，引进人工智能工具后，需将宣传部的部分员工调整至其他部门，剩余员工进行该次培训已知开展培训前，员工每人每年平均为企业创造利润12万元，开展培训后，能使用人工智能工具的员工预计每人每年平均为企业创造利润16万元，本次培训费每人1万元．现要求培训后宣传部员工创造的年利润不低于调整前的年利润，以（i ）中确定的0p 作为p 的值．预计最多可以调多少人到其他部门？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 19．已知函数()()220m f x mx m m x-=+->． (1)当1m =时，求函数()f x 在()()1,1f 处的切线方程；(2)若()2ln 2f x x ≥-在[)1,+∞上恒成立，求实数m 的取值范围； (3)证明：()()*11ln 122nk n n n kn =>++∈+∑N ．。
陕西师范大学附属中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题
陕西师大附中2021—2022学年度第二学期期中考试高二年级(文科数学)试题注意事项：1．本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．答案均写在答题卡上，满分120分，时间120分钟．2．答卷前检查答题卡上条形码的信息是否正确．3．答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰．并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效．4．只交答题卡，不交试题卷．第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合={|10}A x x <，={|2}B x x <，则A B =ð().A {|2}x x <.B 10|2{}x x ≤<.C {|10}x x ≥.D {|210}x x <≤2．已知复数z 满足|1|1zi i=+-，则z 的共轭复数对应的点位于复平面的().A 第一象限.B 第二象限.C 第三象限.D 第四象限3．若k R ∈，则“1k >”是方程“22112x y k k+=--”表示椭圆的().A 充分不必要条件.B 必要不充分条件.C 充要条件.D 既不充分也不必要条件4．函数21()cos 221x xf x x +=-的图象大致是().A .B .C .D 5．已知曲线e ln xy a x x =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则().A ,1a e b ==-.B ,1a eb ==.C 1,1a e b -==.D 1,1a eb -==-xyOxyOxyOxyO6．已知函数ln ,(0,1]()2(1),(1,)x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，则7(2f =().A 16ln 2-.B 16ln 2.C 8ln 2-.D 32ln 2-7．在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为11B D 的中点，则直线PB 与1AD 所成的角为().A 2π.B 3π.C 4π.D 6π8．丹麦数学家琴生(Jensen)是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果．设函数()f x 在(,)a b 上的导函数为()f x '，()f x '在(,)a b 上的导函数为()f x ''，在(,)a b 上()0f x ''>恒成立，则称函数()f x 在(,)a b 上为“凹函数”．则下列函数在(0,2)π上是“凹函数”的是().A ()sin f x x x =-.B 2()sin f x x x =+.C ()ln f x x x=+.D ()ln x f x e x x=-9．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知25,3c B π==，ABC ∆的面积为1534，则b =().A 7.B .C .D 610．已知函数()sin ()cos 4f x x f x π'=-，则3()4f π的值为().A .B .C 1.D 1-11．已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点，且BF 垂直于x 轴．若AB 的斜率为6，则C 的离心率为().A 5.B 6.C 7.D 812．()f x 是定义在区间(0,)+∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且满足()2()0xf x f x '+>，则不等式(2022)(2022)3(3)32022x f x f x ++<+的解集为().A {|2019}x x >-.B {|2019}x x <-.C {|20220}x x -<<.D {|20222019}x x -<<-第Ⅱ卷（非选择题共72分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）13．为了研究某种细菌在特定环境下，繁殖个数y (千个)随天数x (天)变化的繁殖规律，根据如下实验数据，计算得回归直线方程为ˆ0.85yx a =+，由此预测第7天细菌繁殖个数为千个．天数x (天)12345繁殖个数y (千个) 2.5344.5614．已知球面上三点,,A B C ，6,8,10AB BC AC ===，球半径为13R =，则球心到平面ABC 的距离是．15．已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=．16．已知函数,0()2ln ,0x f x x x ⎪<=⎨⎪>⎩，若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点，则实数k的取值范围．三、解答题：本大题共5小题，共56分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．18．(本小题满分12分)某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”．调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(1)完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工男性员工合计100(2)已知被抽取的这100名员工中有6名是人事部的员工，这6名中有3名属于“追光族”．现从这6名中随机抽取3名，求抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率．附：22()()()()()()a b c d ad bc K a b c d a c b d +++-=++++．2()K k P ≥0.150.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819．(本小题满分12分)已知函数()ln 1()f x a x x a R =-+∈．(1)当0a >时，求函数()f x 的单调区间；(2)对任意的12,(0,1]x x ∈，当12x x <时都有121211()()4()f x f x x x -<-，求实数a 的取值范围．20．(本小题满分12分)已知点(0,2)A -，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点．(1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．请考生在第21、22题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写．21．(本小题满分10分)选修44-：坐标系与参数方程选讲．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()4ρθπ+=．(1)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标．22．(本小题满分10分)选修45-：不等式选讲．已知()1()f x x x a a R =++-∈．(1)若2a =，求不等式()5f x >的解集；(2)若对任意x R ∈，关于x 的不等式()5f x ≥恒成立，求a 的取值范围．陕西师大附中2021—2022学年度第二学期期中考试高二年级数学（文）参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）题号123456789101112答案B A BCD C D B A C AD二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）三、解答题（本大题共5小题，共56分）17.解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得1114(3)(6)15a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以1(1)2n a a n d n =+-=+．(2)由(1)可得2nn b n =+．所以231012310(21)(22)(23)(210)b b b b +++⋅⋅⋅+=++++++⋅⋅⋅++2310(2222)(12310)=+++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+102(12)(110)10122-+⨯=+-11(22)55=-+112532101=+=．18.解：(1)由题，22⨯列联表如下：属于“追光族”属于“观望者”合计女性员工204060男性员工202040合计4060100∵()2210020202040252.7783.841406040609K ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯．∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性別”有关.(2)设人事部的这6名中的3名“追光族”分别为“a ，b ，c ”，3名“观望者”分别为“A ，B ，C ”．则从人事部的这6名中随机抽取3名的所有可能情况有“,,a b c ；,,a b A ；,,a b B ；,,a b C ；,,a c A ；,,a c B ；,,a c C ；,,b c A ；,,b c B ；,,b c C ；,,a A B ；,,a A C ；,,a B C ；,,b A B ；,,b A C ；,,b B C ；,,c A B ；,,c A C ；,,c B C ；,,A B C ”共20种．其中，抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的所有可能情况有“,,a A B ；,,a A C ；,,a B C ；,,b A B ；,,b A C ；,,b B C ；,,c A B ；,,c A C ；,,c B C ”共9种．∴抽取到的3名中恰有1名属于“追光族”的概率920P =．19.解：(1)定义域为(0,)+∞，()1a a x f x x x-'=-=．当0a >时，由()0f x '<解得x a >，由()0f x '>解得0x a <<．即()f x 在(0,)a 上单调递增，在(,)a +∞上单调递减．(2)121211()()4()f x f x x x -<-，即()()121244f x f x x x -<-．令4()()g x f x x=-，则可知函数()g x 在(0,1]上单调递增．所以2244()()10a g x f x x x x''=+=-+在(0,1]上恒成立．即4a x x -在(0,1]上恒成立，只需max 4()a x x- ，而函数4y x x =-在(0,1]单调递增．所以max 4()143a x x-=-=-．综上所述，实数a 的取值范围为[3,)-+∞.20.解：(1)设(),0F c ，因为直线AF 的斜率为233，()0,2A -．所以2233c =，c =.又2223,2c b a c a ==-解得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．(2)设()()1122,,,P x y Q x y 由题意可设直线l 的方程为2y kx =-，联立22142x y y kx ⎧⎪⎨⎪+=-⎩=消去y 得()221416120k x kx +-+=，当()216430k ∆=->，所以234k >，即32k <-或32k >时1212221612,1414k x x x x k k +==++.所以2414314PQ k ===+点O 到直线l 的距离d =所以21214OPQk S d PQ k ∆==+，0t =>，则2243k t =+，244144OPQ t S t t t∆==≤=++，当且仅当2t =2=，解得72k =±时取等号，满足234k >-所以OPQ ∆的面积最大时直线l的方程为：722y x =-或722y x =--.21．解：(1)1C 的普通方程为2213xy +=，2C的直角坐标方程为40x y +-=.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为,sin )αα，因为2C 是直线，所以||PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()d α的最小值，π()|sin(2|3d αα==+-.当且仅当π2π()6k k α=+∈Z 时，()d α，此时P 的直角坐标为31(,)22.22．解：(1)2a =时，21,1()123,1221,2x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，所以，当1x ≤-时，不等式变为215x -+>，解得2x <-；当12x -<≤时，不等式变为35>，不等式无解；当2x >时，不等式变为215x ->，解得3x >．所以原不等式的解集为,2(),)3(-∞-⋃+∞．(2)因为()()111f x x x a x x a a =++-≥+--=+，当且仅当0()1)(x x a +-≤时等号成立，所以min ()1f x a =+．由题意知15a +≥，所以15a +≥，或15a +≤-，所以4a ≥，或6a ≤-．所以a 的取值范围为(][),64,-∞-⋃+∞．。
安徽省合肥市2023-2024学年高二下学期期中检测数学试题含答案
智学大联考·皖中名校联盟合肥2023-2024学年第二学期高二年级期中检测数学试题卷（答案在最后）注意事项：1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟.2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡上）1.甲乙两人独立的解答同一道题，甲乙解答正确的概率分别是112p =，213p =，那么只有一人解答对的概率是（）A.16B.12C.13D.56【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率公式，即可求解.【详解】只有1人答对的概率()()1212121111123232P p p p p =-+-=⨯+=.故选：B2.若6x⎛- ⎝的展开式中常数项为15，则=a （）A.2 B.1C.1± D.2±【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理的通项公式和常数项为15，求解出a【详解】6x⎛- ⎝的通项公式()3662166C C rr r r r r r T x a x --+⎛==- ⎝,令3602r -=，则4r =，由展开式中的常数项为15，故()446C =15a -，所以1a =±.故选：C3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若530S =，84a =，则10S =（）A.50 B.63C.72D.135【答案】A 【解析】【分析】思路一：由已知利用等差数列的求和公式和通项公式求解1a 和d ，即可求解10S ；思路二：由530S =得36a =，结合84a =、等差数列求和公式以及等差数列下标和性质即可求解.【详解】方法一：设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知可得1154530274d a a d ⨯⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得134525a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10110910502dS a ⨯=+=.方法二：()()5152433530S a a a a a a =++++==，所以36a =，从而由等差数列求和公式得()()()()11010110381055564502a a S a a a a +==+=+=⋅+=.故选：A .4.若曲线2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直，则实数a 的值为（）A.1B.C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】求导2ay x x'=-，12x y a ='=-与直线2y x =-垂直，求出a 的值.【详解】由2ln y x a x =-，求导2a y x x'=-，则2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线的斜率为12x y a ='=-，而2ln y x a x =-在点()1,1P 处的切线与直线2y x =-垂直,则21a -=-，故3a =.故选：D5.将分别标有数字1,2,3,4,5的五个小球放入,,A B C 三个盒子，每个小球只能放入一个盒子，每个盒子至少放一个小球.若标有数字1和2的小球放入同一个盒子，则不同放法的总数为（）A.2B.24C.36D.18【答案】C 【解析】【分析】将所有情况分为标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球和共有3个小球两种情况，结合分组分配、平均分组问题的求法，利用分类加法计数原理可求得结果.【详解】若标有数字1和2的小球所放入盒子中无其他小球，则剩余三个小球需放入两个不同的盒子中，将剩余三个小球分为12+的两组，则共有13C 3=种分法；将分组后的小球放入三个盒子中，共有33A 6=种放法，则共有1863=⨯种方法；若标有数字1和2的小球所放入盒子中共有3个小球，则需选择一个小球与标有数字1和2的小球放在一起，有13C 3=种选法；将剩余两个小球平均分为两组，有1222C 1A =种分法；将分组后的小球放入三个中，共有33A 6=种放法，则共有31618⨯⨯=种方法；综上：不同放法的总数为181836+=.故选：C.6.已知12e a -=，3ln 2b =，12c =，则（）A.a b c >>B.c b a>> C.c a b>> D.a c b>>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数及对数函数的单调性判断即可.2<12>，即a c >，又322lnl 94n ln e=12b ==<，所以12b c <=，所以a c b >>.故选：D.7.随机变量X 的取值为1，2，3，若()115P X ==，()2E X =，则()D X =（）A.15B.25C.5D.5【答案】B 【解析】【分析】根据概率之和为1，以及方差公式，即可解得()2P X =和()3P X =，进而利用方差公式直接求解即可.【详解】由题知，()()()423115P X P X P X =+==-==，又()()()()122332E X P X P X P X ==+=+==，所以()()922335P X P X =+==，所以()325P X ==，()135P X ==，所以()()()()22213121222325555D X =-⨯+-⨯+-⨯=.故选：B8.设O 为坐标原点，直线1l 过抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点F 且与C 交于A B 、两点（点A 在第一象限），min 4AB =，l 为C 的准线，AM l ⊥，垂足为M ，()0,1Q ，则下列说法正确的是（）A.4p =B.AM AQ +的最小值为2C.若3MFO π∠=，则5AB = D.x 轴上存在一点N ，使AN BN k k +为定值【答案】D 【解析】【分析】对于A 选项，利用过焦点的弦长最短时是通径的结论即可得到；对于B 选项，利用抛物线上的点的性质进行转化，再结合图象，三点共线时，对应的线段和最小；对于C 选项，得到A 点的坐标，直线方程，联立直线与抛物线的方程求得B 点的坐标进而求得；对于D 选项，设出直线方程，与抛物线方程联立，得到韦达定理，代入AN BN k k +进行化简，要使得为定值，1t =-，从而存在点N .【详解】A 选项，因为1l 过焦点F ，故当且仅当AB 为通径时，AB 最短，即min 24AB p ==，从而2p =，故A 错误；B 选项，由抛物线的定义知AM AF =，所以AM AQ AF AQ +=+，由图知，当且仅当Q A F 、、三点共线时，AF AQ +取得最小值，即()minAM AQ QF +==B 错误；C 选项，由图K 是抛物线的准线l 与准线的交点，所以2FK p ==，在MFK Rt 中，3MFO π∠=，所以KM =，所以A y =，所以(3,A，所以1:l y =-，联立24y y x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩得231030x x -+=，得13,3A B x x ==，从而123,33B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以1163233AB =++=，故C 错误；D 选项，设1:1l x my =+，联立241x xy y m =+=⎧⎨⎩得2440y my --=，216160m +>，设()()1122,,,A x y B x y ，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，设x 轴上存在一点(),0N t ，则1212121211AN BN y y y y k k x t x t my t my t+=+=+--+-+-()()()()()()()()()()()1212222222212122124414111441114my y t y y m m tm t m y y m t y y t m t m t t m t+-+-+--+===+-++--+-+---，故当1t =-时，0AN BN k k +=，即存在()1,0N -使得AN BN k k +为定值0，故D 正确.故选：D .二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，两个选项部分选对得3分；三个选项选对一个得2分，选对两个得4分，选错得0分.请把正确答案涂在答题卡上）9.已知数列{}n a 满足11a =，()*12N nn n a a n ++=∈，则下列结论中正确的是（）A.45a = B.{}n a 为等比数列C.221221213a a a -+++=D.231222213a a a -+++=【答案】AC 【解析】【分析】利用递推式可求得234,,a a a 的值，可判断A ，B ，利用并项求和法结合等比数列的求和公式判断C ，D.【详解】数列{}n a 满足11a =，()*12nn n a a n ++=∈N，则122a a+=，234+=a a ，3342a a +=，有21a =，33a =，45a =，A 正确；显然211a a =，323a a =，因此数列{}n a 不是等比数列，B 错误；1221123520214()()()a a a a a a a a a a +++=++++++++ 11112224201(14)412112+2++2===1433⨯---=+- ，C 正确.()()()122212342122a a a a a a a a a +++=++++++ ()1111231321214242222+2++2===1433-⨯--=- ，D 错误；故选：AC 10.已知()14P A =，()13P B A =.若随机事件A ，B 相互独立，则（）A.()13P B =B.()112P AB =C.()34P A B =D.()1112P A B +=【答案】ABC 【解析】【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的乘法公式，结合条件概率逐项计算即得.【详解】随机事件A ，B 相互独立，()14P A =，()13P B A =，对于A ，()()()()1()()()3P A P B P AB P B P B A P A P A ====，A 正确；对于B ，()111()()4312P AB P A P B ==⨯=，B 正确；对于C ，()()()()3()1()()()4P AB P A P B P A B P A P A P B P B ====-=，C 正确；对于D ，()11113()()()1)43434P A B P A P B P AB +=+-=+---=，D 错误.故选：ABC11.已知函数()2ln x f x x=，下列说法正确的是（）A.()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-B.()f x 的单调递减区间为()e,+∞C.若()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<D.对任意两个不相等正实数1x ，2x ，若()()12f x f x =，则212ex x ⋅>【答案】AD 【解析】【分析】选项A ，根据条件，利用导数的几何意义，即可求解；选项B ，对()f x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；选项C ，作出()2ln x f x x =的图象，数形结合即可求解；选项D ，由条件知1212ln ln x x x x =，设120e x x <<<，构造函数ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，利用2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调性，得到2121e ()()()h x h x h x =<，再利用ln ()x h x x =的单调性即可求解.【详解】对于选项A ，因为()2ln x f x x=，所以当0x >时，()222ln x f x x -'=，所以()12f '=，又()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为22y x =-，故选项A 正确，对于选项B ，易知函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，因为()222ln x f x x-='，由()0f x '<，得到22ln 2ln e x >=，解得e x <-或e x >，所以()f x 的单调递减区间为(),e ∞--，()e,∞+，所以选项B 错误，对于选项C ，因为()222ln x f x x -='，由()222ln 0x f x x-'=>得到e e x -<<且0x ≠，所以()f x 的增区间为区间()e,0-，()0,e ，由选项B 知，()f x 的减区间为(),e ∞--，()e,∞+，又22(e),(e)e ef f =-=-，当x →-∞时，()0f x <，且()0f x →，当x →+∞时，()0f x >，且()0f x →，当0x <且0x →时，()f x →+∞，当0x >且0x →时，()f x →-∞，其图象如图所示，由图知，()f x a =有三个不同的解，则22e ea -<<且0a ≠，所以选项C 错误，对于选项D ，由题知()1212122ln 2ln ()x x f x f x x x ===，得到1212ln ln x x x x =，由图，不妨设120e x x <<<，设ln ()x h x x =，2e ()()()H x h x h x =-，则222222222e e 1ln 1ln (1ln )(e )()()()e ex x x x H x h x h x x x x ----'''=+=-=，当0e x <<时，1ln 0x ->，22e 0x ->，所以()0H x '>，即2e ()()()H x h x h x =-在区间(0,e)上单调递增，又(e)(e)(e)0H h h =-=，所以2111e ()()()0H x h x h x =-<，得到2121e ()()()h x h x h x =<，又21ln ()x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即ln ()xh x x =在区间(e,)+∞上单调递减，又221e e,e x x >>，所以221e >x x ，得到212e x x ⋅>，所以选项D 正确，故选：AD.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.）12.已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，132n n S S +=+，则5a =____________.【答案】108【解析】【分析】由题设可得122n n a S +=+，利用,n n a S 的关系求出数列通项，进而求出5a 即可.【详解】由题意可知，111,32n n a S S +==+，所以122n n a S +=+，则12)2(2n n a S n -=+≥，所以12n n n a a a +=-，则13(2)n n a a n +=≥，又因为11a =，所以21224a S =+=，所以数列{}n a 从第二项开始成等比数列，因此通项公式为22,143,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩，，所以3543108a =⨯=.故答案为：108.13.设()525012512x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则135a a a ++=____________.【答案】122【解析】【分析】分别令1x =和=1x -，作差即可求得结果.【详解】令1x =，则50123453243a a a a a a +++++==；令=1x -，则()501234511a a a a a a -+-+-=-=-；两式作差得：()()135********a a a ++=--=，135122a a a ∴++=.故答案为：122.14.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，经过点F 作直线l 与双曲线的一条渐近线垂直，垂足为点M ，直线l 与双曲线的另一条渐近线相交于点N ，若3MN MF =，则双曲线的离心率e =____________.【答案】3【解析】【分析】设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，从而有22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，根据条件有212y y =-，从而得到2229b t a =，再利用bt a=-，即可求出结果.【详解】易知(c,0)F ，如图，由对称性不妨设直线:(0)MN ty x c t =-<，11122(,)(0),(,)M x y y N x y >，由22220x y a b ty x c ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，消x 得到2222222()20b t a y b tcy b c -++=，则22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a+=-=--，因为3MN MF =，所以212111(,)3(,)x x y y c x y --=--，得到2113y y y -=-，即212y y =-，将212y y =-代入22212122222222,b tc b c y y y y b t a b t a +=-=--，整理得到2229b t a =，又易知b t a =-，所以2229(b b a a -=，得到223b a =，即2213b a =，所以双曲线的离心率c e a ===，故答案：3.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22a =，37S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=（2）()121nn T n =-⋅+【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 公比为q ，根据题意列式求1,a q ，即可得通项公式；（2）由（1）可知：12n n b n -=⋅，利用错位相减法分析求解.【小问1详解】设等比数列{}n a 公比为q ，由题意可得212311127a a q S a a q a q ==⎧⎨=++=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或1412a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，又因为等比数列{}n a 为递增数列，可知112a q =⎧⎨=⎩，所以12n n a -=.【小问2详解】由（1）可知：12n n b n -=⋅，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯ ，可得12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()0211222222212112n n nn n n T n n n ---=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，所以()121n n T n =-⋅+.16.某大学为丰富学生课余生活，举办趣味知识竞赛，分为“个人赛”和“对抗赛”，竞赛规则如下：①个人赛规则：每位学生需要从“历史类、数学类、生活类”问题中随机选1道试题作答，其中“历史类”有8道，“数学类”有6道，“生活类”有4道，若答对将获得一份奖品.②对抗赛规则：两位学生进行答题比赛，每轮只有1道题目，比赛时两位参赛者同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得1分，答错者得1-分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分，对抗赛共设3轮，每轮获得1分的学生会获得一份奖品，且两位参赛者答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）学生甲参加个人赛，若学生甲答对“历史类”“数学类”“生活类”的概率分别为15，25，35，求学生甲答对所选试题的概率；（2）学生乙和学生丙参加对抗赛，若每道题学生乙和学生丙答对的概率分别为13，12，求三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率.【答案】（1）1645；（2）2572.【解析】【分析】（1）根据题意可知分三类求解：选题为历史类并且答对，选题为数学类且答对，选题为生活类且答对，由条件概率和全概率计算即可；（2）可先求出乙同学每轮获得1分的概率，然后由二项分布概率模型计算即可.【小问1详解】设学生甲选1道“历史类”试题为事件A ，选1道“数学类”试题为事件B ，选1道“生活类”试题为事件C ，答对试题为事件D ，则()844689P A ==++，()614683P B ==++，()424689P C ==++，()15P D A =，()25P D B =，()35P D C =，所以：()()()()()()()41122316|||95359545P D P A P D A P B P D B P C P D C =++=⨯+⨯+⨯=，故学生甲答对所选试题的概率为1645.【小问2详解】由题可知每一轮中学生乙得1分的概率为1111326⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，在3轮比赛后，学生乙得1分的概率为21131525C 6672P ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭，故三轮结束学生乙仅获得一份奖品的概率为：2572.17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，且120AF AF ⋅= ，动直线l 与椭圆交于,P Q 两点；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，2PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0E ，椭圆的左顶点为B ，当BPQ V时，求直线l 的斜率k .【答案】（1）22142x y +=（2）1±【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标运算和通径长可构造方程组求得,a b ，进而得到椭圆方程；（2）设:1l x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的结论；根据1212BPQ S EB y y =⋅- ，结合韦达定理可构造方程求得结果.【小问1详解】由题意得：()1,0F c -，()2,0F c ，()0,A b ，()1,AF c b ∴=-- ，()2,AF c b =- ，22120AF AF c b ∴⋅=-+= ，即22b c =，22222a b c b ∴=+=；当直线l 过焦点且与x 轴垂直时，:l x c =±，不妨令:l x c =，由22221x c x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2b y a =±，222b PQ a ∴==，由222222a b b a⎧=⎪⎨=⎪⎩得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的方程为：22142x y +=.【小问2详解】由题意知：直线l 斜率不为0，可设:1l x ty =+，由221142x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()222230t y ty ++-=，则()222Δ412216240t t t =++=+>，设()()1122,,,P x y Q x y ，则12222t y y t +=-+，12232y y t =-+，1222462y y t ∴-=+，又()2,0B -，()123EB ∴=--=，12213222BPQ S EB y y t ∴=⋅-=⨯=+ ，解得：1t =±，∴直线l 的斜率11k t==±.18.已知函数()()1ln 1a x x g x x +-=-，（R a ∈）.（1）若1a =，求函数()g x 的单调区间；（2）若函数()1y g x x=+有两个零点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()g x 单调递增区间()0,1，()g x 单调递减区间()1,+∞（2）2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）求导后构造函数()21ln x x x ϕ=--，再求导分析单调性，得到()10ϕ=，进而得到()g x 的单调性即可；（2）问题等价于2ln 0a x x a -+=有两解，构造函数()2ln f x a x x a =-+，求导分析单调性，得到202f ⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭，再结合对数运算解得2e a >，之后构造函数()8ln 414e g t t t t a ⎛⎫=-+=> ⎪⎝⎭，求导分析单调性和最值，验证即可.【小问1详解】当1a =，()ln x g x x x=-，()221ln ,0x x g x x x--=>，当0x >，令()21ln x x x ϕ=--，则()12,0x x x xϕ=-->'，因为()0x ϕ'<恒成立，所以()x ϕ在()0,∞+上为减函数，因为()10ϕ=，所以当()0,1x ∈，()0g x '>，()g x 单调递增；()1,x ∞∈+，()0g x '<，()g x 单调递减.【小问2详解】根据条件()1y g x x=+有两个零点等价于2ln 0a x x a -+=有两解.不妨令()2ln f x a x x a =-+，则()2a f x x x='-（0x >），当0a ≤时，()0f x '<在定义域()0,∞+内恒成立，因此()f x 在()0,∞+递减，最多一个零点，不符.当0a >时，由()0f x '>，解得02x <<；()0f x '<，解得2x >；所以，0a >时，()f x 的单调减区间为,2∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭，增区间为0,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；若()f x 有两个零点，则必有2222ln 0222f a a ⎛⎫⎛=-+> ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，化简得ln 102a +>，解得2e a >，又因2110e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()()24ln 416ln 4161f a a a a a a a a =-+=-+，即()()8114ln 4144e t h t t t t a h t t t -⎛⎫=-+=>⇒=-= ⎪⎝'⎭，当8,e t ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()0h t '<恒成立，即()h t 在8,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，可得()883283232ln 1ln ln e ln 80e e e e e eh t g ⎛⎫≤=-+=-+=-< ⎪⎝⎭，也即得()0h t <在8,et ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭恒成立，从而可得()f x 在1,e 2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,42a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭区间上各有一个零点，综上所述，若()f x 有两个零点实数a 的范围为2,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：函数零点问题可理解为方程根的个数问题，求导分析单调性和极值可求解.19.英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当()f x 在0x =处n （*n ∈N ）阶导数都存在时，()()()()()()()()323000002!3!!n n f f f f x f f x x x x n =++++++''' .注：()f x ''表示()f x 的2阶导数，即为()f x '的导数，()()n f x （3n ≥）表示()f x 的n 阶导数，该公式也称麦克劳林公式.（1）写出()11f x x =-泰勒展开式（只需写出前4项）；（2）根据泰勒公式估算1sin 2的值，精确到小数点后两位；（3）证明：当0x ≥时，2e sin cos 02xx x x ---≥.【答案】（1）()231f x x x x =+++（2）0.48（3）证明见解析【解析】【分析】（1）分别求解()f x 的一阶，二阶，三阶导数，代入公式可得答案；（2）写出sin x 的泰勒公式，代入12可得答案；（3）方法一利用泰勒公式得2e 12xx x ≥++，把不等式进行转化，求最小值可证结论；方法二构造函数，通过两次导数得出函数的最小值，进而可证结论.【小问1详解】()11f x x=-，()()21=1f x x '-，()()32=1f x x ''-，()()()346=1f x x -；()()00=1f f '=，()0=2f ''，()()30=6f ；所以()23111f x x x xx ==+++-.【小问2详解】因为()()sin cos ,cos sin x x x x ''==-，由该公式可得357sin 3!5!7!x x x x x =-+-+ ，故111sin 0.482248=-+≈ .【小问3详解】法一：由泰勒展开2345e 12!3!4!5!!nxx x x x x x n =++++++++ ，易知当0x ≥，2e 12xx x ≥++，所以222e sin cos 1sin cos 222xx x x x x x x x ---≥++---1sin cos sin x x x x x =+--≥-，令()sin x x x f -=，则()1cos 0f x x '=-≥，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，故()()00f x f ≥=，即证得2e sin cos 02xx x x ---≥.法二：令()2e sin cos 2xG x x x x =---，()πe 4x x G x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭'，易知当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，e x y x =-，π4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭均为增函数，所以()πe 4x x G x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭'单调递增，所以()()00G x G '≥='，所以当3π0,4x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，()G x 单调递增，所以()()00G x G ≥=，当3π,4x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()22e sin cos e 222x x x x G x x x =---≥--，令()2e 22xF x x =--，则()e 0x x F x =-≥'，则()2e 22x F x x =--单调递增，则()()22e 2e 2022xF x F x =--≥=-≥，综上，原不等式得证.【点睛】方法点睛：导数证明不等式的常用方法:1、最值法：移项构造函数，求解新函数的最值，可证不等式；2、放缩法：利用常用不等式对所证不等式进行放缩，利用传递性进行证明.。
河南省濮阳市第一高级中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学(文)试题
濮阳市一高2020级高二下学期期中质量检测文科数学试题命题人：濮阳市一高数学命题中心一、单选题（每小题5分，12小题，共60分）1．命题“x ∃∈R ，使得2320x x ++≤”的否定是（）A ．x ∃∈R ，使得2320x x ++>B ．x ∃∈R ，使得2320x x ++≥C ．x ∀∈R ，都有2320x x ++≤D ．x ∀∈R ，都有2320x x ++>2．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z =)A ．1BC ．2D．3．已知关于x 的不等式20x mx n ++<的解集为{}12x x -<<，则m n -的值为（）A ．1B ．1-C ．3D ．3-4．已知实数,x y 满足条件：0301x y x y x -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则1yx +的最大值为（）A ．12B ．2C ．35D ．15．“0＜λ＜4”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在用反证法证明“已知x ，y ∈R ，且0x y +<，则x ，y 中至多有一个大于0”时，假设应为（）A ．x ，y 都小于0B ．x ，y 至少有一个大于0C ．x ，y 都大于0D ．x ，y 至少有一个小于07．在等比数列{}n a 中，已知1236a a a ++=，2343a a a ++=-，那么345678a a a a a a +++++等于（）A ．2116B ．1916C ．98D ．348．已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．2B ．4C ．9D ．929．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且满足24n n S a =-，则5a =（）A ．16B ．32C ．64D ．12810．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(b +a +c )(a +b －c )=3ab ，2cos A sin B =sin C ，则△ABC 是（）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形11．已知12,F F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且|PF 2|>|PF 1|，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，112||||PF F F =，则2133e e +的最小值为（）A ．4B ．6C．D ．812．设奇函数()f x 的定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，且()f x 的图象是连续不间断，,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，若()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭，则m 的取值范围是（）A ．,23ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,23ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题（每小题5分，4小题，共20分）13．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则下列说法中正确的序号是______.①由样本数据得到的回归直线方程y bx a =+$$$必过样本点的中心②残差平方和越小的模型，拟合的效果越好③用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好④若变量y 和x 之间的相关系数为0.946r =-，则变量y 和x 之间线性相关性强14．已知ABC ∆的面积为2,3AB B π=∠=，则sin sin BC=____．15．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A (2，1)，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则△MAF 周长的最小值为____．16．已知不等式21e 0x x a +-≥有且只有两个整数解，则实数a 的范围为___________．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4ρ=．（1）求l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；（2）若l 与圆C 相交于A ，B 两点，(1,0)P ，求||||PA PB ⋅．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足()2cos b c A acosC -=.（1）求角A ；（2）若a =，5b c +=，求△ABC 的面积.19．2021年1月1日新中国成立以来第一部以“法典”命名的法律《中华人民共和国民法典》颁布施行，我国将正式迈入“民法典”时代.为深入了解《民法典》，大力营造学法守法用法的良好氛围，高三年级从文科班和理科班的学生中随机抽取了100名同学参加学校举办的“民法典与你同行”知识竞赛，将他们的比赛成绩分为6组：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求a 的值；（2）估计这100名学生比赛成绩的中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）在抽取的100名学生中，规定：比赛成绩不低于80分为“优秀”，比赛成绩低于80分为“非优秀”，请将下面的22⨯列联表补充完整，并判断是否有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”？优秀非优秀合计文科生30理科生55合计100参考公式及数据：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d-=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥0.100.050.0250.0100.0050.0010k 2.7063.8415.0246.6357.87910.82820．已知数列{}n a 的首项113a =，且满足132n n n a a a +=-．(1)证明：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；(2)设11n nb a =-，21n c n =-，求数列{}n n b c ⋅的前n 项和n S ．21．已知()ln 2f x x =-，()()()()g x f x af x a R '=+∈．（1）讨论函数()g x 的单调性；（2）若函数()g x 在区间1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个不同的零点，求a 的取值范围．22．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，F 1，F 2分别是椭圆的左，右焦点，P是椭圆C 上一点，且△PF 1F 2的周长是6．（1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率为k 的直线交x 轴于T 点，交曲线C 于A ，B 两点，是否存在k 使得22AT BT +为定值，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．1．D 【分析】由特称命题的否定：存在改为任意并否定原结论，即可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为x ∀∈R ，都有2320x x ++>.故选：D 2．B 【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+，||z ∴B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算．3．A 【分析】由题得1-、2为方程20x mx n ++=的根，将1-代入20x mx n ++=，即得解【详解】由题得1-、2为方程20x mx n ++=的根，将1-代入20x mx n ++=，得10m n -+=，即1m n -=，故选：A 4．C 【分析】画出可行域，利用斜率的几何意义求解.【详解】根据约束条件画出可行域如图所示，1yx +表示可行域内的点与定点()1,0-的连线的斜率.解方程组030x y x y -=⎧⎨+-=⎩的33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭,1yx +的最大值为3323512=+故选C.5．A 【分析】先根据双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上得到λ的范围，进而求得答案.【详解】由双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上可知，0λ>.于是“04λ<<”是“双曲线2241x y λ=-的焦点在x 轴上”的充分不必要条件.故选：A.6．C 【分析】反证法，应假设命题结论的否定.【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x ，y 都大于0”．故选：C 7．A根据题中条件求出等比数列{}n a 的公比，再由345678a a a a a a +++++=()()25123q q a a a +++可计算出345678a a a a a a +++++的值.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，()23412312363a a a a q a q a q q a a a q ++=++=++==-Q ，12q ∴=-，222345655751231238a q a q a q a q a a a a a a a a q q =++++∴++++++()()2525123112162216q q a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-⨯=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故选A.【点睛】本题考查等比数列性质的应用，在求解等比数列的问题时，一般要结合题中条件求出公比的值，充分利用等比数列的性质求解，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题.8．D 【分析】由直线20ax by ++=过圆22(1)(2)4x y +++=的圆心求得,a b 的等量关系式，结合基本不等式求得12a b+的最小值.【详解】圆22(1)(2)4x y +++=的圆心为()1,2--，由于圆22(1)(2)4x y +++=关于直线20ax by ++=对称，所以直线20ax by ++=过圆22(1)(2)4x y +++=的圆心，即220,22a b a b --+=+=()0,0a b >>，()512122211222b a b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+⎪+=+=+ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+19522⎛≥+= ⎝，当且仅当222,3b a a b a b ===时等号成立.9．C 【解析】根据n S 与n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求出n a ，进而求得5a ．【详解】因为24n n S a =-，当1n =时，1124a a =-，∴14a =；当2n ≥时，1124n n S a --=-，与24n n S a =-相减，得12n n a a -=，又14a =，∴0n a >，即可得12nn a a -=，由此可知，数列{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，即有()1*42n n a n N -=⨯∈∴454264a =⨯=.故选：C.【点睛】本题主要考查n S 与n a 的关系11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩的应用，属于基础题．10．D 【分析】由()()3a b c a b c ab +++-=有222a b c ab +-=，根据余弦定理可求出角C ，再将2cos sin sin A B C =化为2cos sin sin()A B A B =+，化简然后可得出A B =，可得答案.【详解】由()()3a b c a b c ab +++-=有222a b c ab +-=,由余弦定理有：2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，又角0C π<<，所以3C π=.又2cos sin sin A B C =，即2cos sin sin()A B A B =+，所以2cos sin sin cos cos sin A B A B A B=+则cos sin sin cos 0A B A B -=，即in 0()s A B -=,又2233A B ππ-<-<，所以0A B -=,即A B =，故为ABC 等边三角形.故选：D 11．D 【分析】由题意可得112||||2PF F F c ==，再设椭圆和双曲线得方程，再利用椭圆和双曲线的定义和离心率可得2133e e +的表达式，化简后再用均值不等式即可求解.【详解】由题意得：112||||2PF F F c ==，设椭圆方程为221122111(0)x y a b a b +=>>，双曲线方程为222222221(0,0)x y a b a b -=>>，又∵121212||||2,||||2PF PF a PF PF a +=-=.∴2122||+22,||22PF c a PF c a =-=，∴122a a c -=，则22112122393333e a a a c c e a c ca ++=+=2222229(2)3633c a a c a c ca c a ++==++2236683a c c a =++≥+=，当且仅当2233a c c a =，即23e =时等号成立.则2133e e +的最小值为8.故选：D 【点睛】考查椭圆和双曲的定义,焦半径公式以及离心率，其中将2133e e +化为22911(18)18)833a c c a ++≥=为解题关键，注意取等号.12．D 【解析】构造函数()()cos f x g x x=，可知该函数为奇函数，利用导数可判断出函数()y g x =在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，进而得出该函数在定义域,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，将所求不等式变形为()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，利用函数()y g x =的单调性可解出所求不等式.【详解】令()()cos f x g x x=，定义域为,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，因为函数()y f x =为奇函数，()()()()()cos cos f x f x g x g x x x-∴-==-=--，则函数()()cos f x g x x=是定义在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数，()()()2cos sin cos f x x f x xg x x +''=，因为,02x π⎛⎫∀∈- ⎪⎝⎭，有()()cos sin 0f x x f x x '+<，∴当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()()cos f x g x x =在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.则函数()()cos f x g x x =是,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的奇函数并且单调递减，又()2cos 3f m f m π⎛⎫< ⎪⎝⎭等价于()3cos cos 3f f m m ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()3g m g π⎛⎫< ⎪⎝⎭，3m π∴>，又22m ππ-<<，因此，32m ππ<<.故选：D.【点睛】本题主要考查利用构造函数求解函数不等式，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.13．①②④【分析】根据两个变量线性相关的概念及性质，逐项判定，即可求解.由题意，根据回归直线方程的特征，可得线性回归直线方程一定过样本中心，所以①正确；根据残差的概念，可得残差平方和越小的模型，拟合效果越好，所以②正确；根据相关指数的概念，可得2R 越大说明拟合效果越好，所以③不正确；若变量y 和x 之间的相关系数为0.946r =-，则变量y 和x 之间负相关，且线性相关性强，所以④正确；故答案为：①②④.【点睛】本题主要考查了两个变量的线性相关性的概念与判定，其中解答中熟记线性相关的基本概念和结论是解答的关键，属于基础题.14【分析】利用面积公式求得a 的值，利用余弦定理求得b 的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案.【详解】2AB c ==,11sin 222ABC S ac B a ==⨯⨯⨯ 4a =,所以22212cos 164242122b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，∴b =∴sin sin B b C c ==【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化.15．3【分析】过M 作MN 垂直于抛物线的准线l ，由抛物线的定义得到MF |＋|AM |＝|AM |＋|MN |，然后由A 、M 、N 三点共线时求解.【详解】过M 作MN 垂直于抛物线的准线l ，垂足为N ．易知F (1，0)，因为△MAF 的周长为|AF |＋|MF |＋|AM |，|AF |，|MF |＋|AM |＝|AM |＋|MN |，所以当A 、M 、N 三点共线时，△MAF 的周长最小，最小值为2＋13=+故答案为：316．25,1e ⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与12相邻的整数点的函数值大小关系求出实数a 的范围.【详解】210x x ae +-≥整理为：e 21x a x +≤，即函数()21e xx g x +=在y a=上方及线上存在两个整数点，()1e 2x x g x -'=，故显然()g x 在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，且与12相邻的整数点的函数值为：()1e g -=-，()01g =，()31eg =，()25g 2=e ，显然有()()()()1201g g g g -<<<，要恰有两个整数点，则为0和1，此时()()20g a g <≤，解得：251e a <≤，如图故答案为：25,1e ⎛⎤⎥⎝⎦17．（1）y =2216x y +=；（2）||||15PA PB ⋅=．【分析】(1)根据参数方程和普通方程之间的互化可得直线的普通方程，根据极坐标方程和直角方程之间的互化可得圆的直角坐标方程；(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程得到关于t 的一元二次方程，结合参数的几何意义与韦达定理即可得到结果.【详解】（1）对直线l的参数方程消参得y =-则l的普通方程为y 由2224x y ρρ=+=，，得2216x y +=，则圆C 的直角坐标方程为2216x y +=．（2）将1122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2216x y +=，得2150t t +-=．设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1215t t =-，故12||||15PA PB t t ⋅==．18．（1）A 3π=；（2）【解析】（1）利用正弦定理完成边化角，再根据在三角形中有()sin sin B A C =+，完成化简并计算出A 的值；（2）利用A 的值以及余弦定理求解出bc 的值，再由面积公式1sin 2S bc A =即可求解出△ABC 的面积.【详解】（1）在三角形ABC 中，()2cos acos b c A C -= ，由正弦定理得：()2sin cos sin cos B sinC A A C -=，化为：()2sin cos sin cos sin cos sin sin B A C C A C A C B =+=+=，三角形中sin 0B ≠，解得cos A 12=，()0,A π∈，∴A 3π=.（2）由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，a=5b c +=，()2213353b c cb bc ∴=+-=-，化为4bc =，所以三角形ABC 的面积S 12=sin bc A 12=⨯42=【点睛】本题考查正余弦定理和三角形面积公式的综合运用，涉及三角函数恒等变换，属基础题.熟练掌握利用正弦定理边化角，并结合三角函数两角和差公式化简，注意余弦定理与三角形面积公式的综合运用.19．（1）0.015；（2）73.75；（3）列联表见解析，没有.【分析】（1）利用直方图面积和为1可求得实数a 的值；（2）利用中位数左边的矩形面积和为0.5可列等式求出中位数的值；（3）根据题中信息完善22⨯列联表，计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论.【详解】（1）由题意可知：()0.00520.010.020.04101a +⨯+++⨯=，解得0.015a =；（2）前三个矩形的面积和为()0.0050.010.02100.350.5++⨯=<，前四个矩形的面积和为0.350.04100.750.5+⨯=>，设中位数为m ，则()70,80m ∈，由题意可得()0.35700.040.5m +-⨯=，解得73.75m =，因此，这100名学生比赛成绩的中位数估计值为73.75分；（3）抽取的100名学生中，“优秀”的人数为()1000.0150.011025⨯+⨯=人，“非优秀”的人数为1002575-=人，22⨯列联表如下表：优秀非优秀合计文科生153045理科生104555合计2575100()2210015451030 3.030 3.84125755545K ⨯⨯-⨯∴=<⨯⨯⨯，因此，没有95%的把握认为“比赛成绩是否优秀与文理科别有关”.【点评】本题主要考查了频率分布直方图的实际应用，考查了独立性检验的实际应用，是基础题.20．(1)11231n n a -=⨯+(2)()1322n nn S -⨯+=【分析】（1）对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可求解.【详解】（1）由132n n n a a a +=-，两边取倒数得132312nn n n a a a a +-==-，即11313n n a a +-=-，即111131n n a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为1112a -=，公比为3的等比数列，所以11123n n a --=⨯，11123nn a -∴=+⨯，即11231n n a -=⨯+所以数列{}n a 的通项公式为11231n n a -=⨯+（2）由（1）知123n n b -=⨯，21n c n =-，()12123n n n n b c -=-⨯⨯⋅()01211233235221233n n S n -=⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯+∴⨯⨯+L ①()12331233235232123n n S n =⨯⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯+L ②两式相减得：()121222232232221233n n n S n --=+⨯⨯+⨯⨯+--⨯⨯⨯⨯+L()()()233244212321344132313n n nnn n n n -=+⨯-+⨯----⨯⨯=--⨯⨯=-⨯-()2213n nn S ∴-+=⨯21．（1）()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增；（2）3,e e ⎛⎫⎪⎝⎭.【分析】（1）求出()f x '得到()g x ，再求出()g x '，讨论0a、0a >可得答案；（2）0a时不合题意；0a >时由()g x 的单调性得到min ()()ln 1g x g a a ==-，由()220a g e e =>和函数()g x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个不同的零点得到关于a 的不等式组可得答案.【详解】（1）因为()ln 2f x x =-，所以1()f x x'=，()ln 2ag x x x=+-，2()(0)x ag x x x '-=>，若0a，则()0g x '>，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增；若0a >，由()0g x '>，得x a >，由()0g x '<得0x a <<，所以()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．（2）当0a时，由（1）知，()g x 在定义域上是增函数，()g x 最多有一个零点，不合题意；0a >时，由（1）知，函数()g x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，所以x a =时()g x 取最小值，min ()()ln 1g x g a a ==-．因为()220a g e e =>，又因为函数()g x 在区间1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上有两个不同的零点，所以21,ln 10,130,a e e a g ae e ⎧<<⎪⎪⎪-<⎨⎪⎛⎫⎪=-> ⎪⎪⎝⎭⎩解得3a e e<<，所以实数a 的取值范围是3,e e ⎛⎫⎪⎝⎭．22．（1）22143x y +=；（2）存在；k 【分析】（1）由椭圆的定义及△PF 1F 2的周长为6，得226a c +=①，椭圆C 的离心率12c e a ==，所以2a c =②，解得,,a c b 进而可得椭圆的方程．（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线:AB x my n =+，联立椭圆的方程，结合韦达定理，代入化简22AT BT +，即可得出答案．【详解】解：（1）由题意知226a c +=；12c a =，解得2,1a c ==，∵222a b c =+，∴23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）假设存在k ，则0k ≠，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线:AB x my n =+，(,0)T n 22143x my n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222(34)63120m y mny n +++-=，∴122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -⋅=+，222222364(312)(34)48(34)0m n n m m n ∆=--+=+->222222222112212()()(1)()AT BT x n y x n y m y y +=-++-+=++222221212226312(1)[()2](1)23434mn n m y y y y m m m ⎡⎤-⎛⎫=++-⋅=+--⋅⎢⎥ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎣⎦2222226(1)(34)4(34)(34)m m n m m +⎡⎤=-++⎣⎦+，要使22AT BT +为定值，则有2340m -=，所以m =12k m ==±．【点睛】方法点睛：（1）解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x （或y ）建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形.。
专题03 复数-高二数学(文)下学期期中专项复习(人教A版选修1-2+4-4+4-5)(解析版)
专题03复数【专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期中专项复习一、单选题1．（2021·全国高三专题练习（文））复数12iz i -=+（i 为虚数单位)的虚部为（ ） A ．15B ．35C ．-35D ．35i【答案】C 【分析】先化简，再求虚部. 【详解】()()222121221313225555i i i i i i i z i i i -----+-=====-+-，所以复数z 的虚部为35. 故选：C.2．（2021·全国高三其他模拟（文））已知复数z 满足23iz i+=+，则z =（ ）A ．2B C D【答案】A 【分析】 先计算23iz i+=+，再求模. 【详解】由()()()()2327,33310i i i iz i i i +-++===++-则z =故选：A. 【点睛】复数的计算常见题型：(1) 复数的四则运算直接利用四则运算法则； (2) 求共轭复数是实部不变，虚部相反； (3) 复数的模的计算直接根据模的定义即可.3．（2021·北京朝阳区·高三一模）如果复数2()bib i+∈R 的实部与虚部相等，那么b =（ ） A ．2- B ．1C ．2D ．4【答案】A 【分析】把复数化为代数形式，得实部和虚部，由此可求得b ． 【详解】2(2)2bi i b i b i i i+-==-，所以实部为b ，虚部为2-，所以2b =-． 故选：A ．4．（2021·四川高三一模（文））已知复数12iz i+=，则z 的共轭复数为（ ） A ．2i + B ．2i -C ．2i -+D ．2i --【答案】A 【分析】 先把12iz i+=化简，再写出z 的共轭复数. 【详解】 因为122iz i i+==-， 则2z i =+. 故选：A5．（2021·陕西宝鸡市·高三二模（文））已知复数21iz i=+（i 为虚数单位），则复数z 对应点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A 【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用复数的几何意义可得出结论. 【详解】()()()()21211111i i i z i i i i i i -===-=+++-，因此，复数z 对应点位于第一象限.6．（2021·全国高一课时练习）已知复数z ＝a 2＋(2a ＋3)i ()a R ∈的实部大于虚部，则实数a 的取值范围是（ ） A ．－1或3B ．{3a a >或}1a <-C ．{3a a >-或}1a < D ．{3a a >或}1a =-【答案】B 【分析】根据题意实部大于虚部列式求解不等式，即得结果. 【详解】由已知实部大于虚部，可得a 2>2a ＋3，即a 2－2a －3>0，即()()130a a +->，解得3a >或1a <-，故实数a 的取值范围是{3a a >或}1a <-. 故选：B.7．（2021·全国高一课时练习）复数2341i i i i++-＝（ ）A ． 1122i -- B ． 1122+i -C ．1122i - D ． 1122+i【答案】C 【分析】直接利用复数的运算化简求解. 【详解】因为i 2＝－1，i 3＝－i ，i 4＝1，所以234(1)1111222i i i i i i i i i ++--+===---.故选：C8．（2021·全国高二单元测试）集合(){}4,5,33M m m i =-+- (其中i 为虚数单位)，{}9,3N =-，且M N ≠∅，则实数m 的值为（ ）A ．-3B ．3C ．3或-3D ．-1【答案】B由题知()33m m i -+-必须为实数，进而得答案. 【详解】 解：因为MN ≠∅，所以M 中的()33m m i -+-必须为实数，所以3m =，此时实部恰为9-，满足题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了数的概念的扩展简单应用，属于基础试题，解题的关键在于根据集合交集运算得()33m m i -+-必须为实数，进而求解.．9．（2021·全国高二单元测试）设()f z z =，134z i =+，22z i =--，则12()f z z -等于( ) A ．13i - B ．211i -+ C ．2i -+ D ．55i +【答案】D 【分析】直接利用复数的加、减法，结合函数的解析式，求解即可． 【详解】解：134z i =+，22z i =--，则1255z z i -=+． ()f z z =，则1212()55f z z z z i -=-=+． 故选：D ．10．（2021·湖南高三月考（文））在复平面内，若复数z 与1i12i-+表示的点关于虚轴对称，则复数z =（ ）．A ．13i 55-B ．13i 55--C ．1355i +D ．13i 55-+ 【答案】A 【分析】 首先化简112ii-+，再根据对称性求复数z . 【详解】()()()()11211313121212555i i i i i i i i -----===--++-，因为复数z 与112i i-+表示的点关于虚轴对称，所以1355z i =-. 故选：A 二、填空题11．（2021·全国高一课时练习）已知1＋2i 是方程x 2－mx ＋2n ＝0(m ，n ∈R )的一个根，则m ＋n ＝____. 【答案】92【分析】将12x i =+代入方程，根据复数的乘法运算法则，得到()()32420m n m i --++-=，再由复数相等的充要条件得到方程组，解得即可； 【详解】解：将12x i =+代入方程x 2－mx ＋2n ＝0，有(1＋2i )2－m (1＋2i )＋2n ＝0，即144220i m mi n +---+=，即()()32420m n m i --++-=，由复数相等的充要条件，得320420m n m --+=⎧⎨-=⎩解得522n m ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故59222m n +=+=. 故答案为：9212．（2021·全国高一课时练习）以下四个命题： ①满足1z z=的复数只有±1，±i ； ②若a 、b 是两个相等的实数，则(a －b )＋(a ＋b )i 是纯虚数； ③|z ＋z |＝2|z |；④复数z ∈R 的充要条件是z ＝z ，其中正确的有_____. 【答案】④ 【分析】利用复数的四则运算以及共轭复数的概念、复数的模逐一判断即可.【详解】①令z ＝a ＋bi (a ，b ∈R )，则z ＝a －bi ， 若z ＝1z ，则有a －bi ＝1a bi+，即a 2＋b 2＝1＝|z |2，错误； ②(a －b )＋(a ＋b )i ＝2ai ，若a ＝b ＝0，(a －b )＋(a ＋b )i ＝0，不是纯虚数，错误； ③若z ＝i ，|i －i |≠2|i |，错误； ④z ＝z ，则其虚部为0，正确， 综上所述，正确的命题为④. 故答案为：④13．（2021·江苏高一课时练习）i是虚数单位，2020⎝⎭＋611i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝________.【答案】－2 【分析】按照复数除法、乘方运算法则计算即可. 【详解】()22212ii i ii ⎛⎫-=== ⎪ ⎪---⎝⎭()()()211111i ii i i i ++==--+2020⎝⎭＋611i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝()()505310106112i i +=-+-=- 故答案为：2-14．（2021·江苏高一课时练习）如果zz 100＋z 50＋1＝________. 【答案】i 【分析】先求出复数)12z i =+，计算出2z 后可求100501z z ++的值. 【详解】因为z =，故)1z i =+，所以()22112z i i =+=，故()()251210025021,z i z i i i ==-=⋅=，故100501z z i ++=，故答案为：i . 【点睛】 知识点睛： 对任意的*n N ∈，若41,n k k N =+∈，则41k i i +=，若42,n k k N =+∈，则421k i +=-， 若43,n k k N =+∈，则43k i i +=-，若44,n k k N =+∈，则441k i +=.三、解答题15．（2021·全国高一课时练习）（1）201611i i +⎛⎫⎪-⎝⎭；（220161i ⎛⎫⎪ ⎪-⎝⎭（3）55(1)(1)11i i i i +-+-+；（4）201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；（5；（6）23201920202320192020i i i i i +++++.【答案】（1）1；（2）1i +；（3）0；（4）2i -；（5）516；（6）10101010i -. 【分析】根据复数四则运算法则计算、化简即可求得结果. 【详解】（1）()()()211111i i i i i i ++==--+，又21i =-，3i i =-，41i =， 201620164504111i i i i ⨯+⎛⎫∴= =⎪⎝⎭=-；（220161008122i i --⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭⎝⎭()100842521311113i i i i i ⨯=+=+=+-； （3）()()()()()()()()()()332255662211111111111111i i i i i i i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤+-+-+-⎣⎦⎣⎦+=+=+-+-+-+--()()33332244022i i i i -=+=-=；（4）()()()21121112i i i i i i i ++===--+，()()()21121112i i i i i i i ---===-++-，201920192019420192019504331111()2222i i i i i i i i i i ⨯++-⎛⎫⎛⎫∴ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭-=--====-；（5）==()545488452525251642i⨯⨯====⨯+； （6）23201920202320192020i i i i i +++⋅⋅⋅++()()()23456782017201820192020i i i i i i =--++--++⋅⋅⋅+--+ ()()()222222i i i =-+-+⋅⋅⋅+-()50522i =⨯-10101010i =-.16．（2021·全国高一课时练习）已知复数z ＝a ＋i (a >0，a ∈R )，i 为虚数单位，且复数2z z+为实数.（1）求复数z ；（2）在复平面内，若复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）1z i =+；（2）()0,∞+. 【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解. （2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】（1）因为z ＝a ＋i (a >0)，所以z ＋2z ＝a ＋i ＋2a i+ ＝a ＋i ＋()()()2a i a i a i -+-＝a ＋i ＋2221a ia -+＝2222111a a i a a ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 由于复数z ＋2z 为实数，所以1－221a +＝0， 因为a >0，解得a ＝1，因此，z ＝1＋i . （2）由题意(m ＋z )2＝(m ＋1＋i )2＝(m ＋1)2－1＋2(m ＋1)i ＝(m 2＋2m )＋2(m ＋1)i ，由于复数(m ＋z )2对应的点在第一象限，则()220210m m m ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩，解得m >0.因此，实数m 的取值范围是(0，＋∞).。
2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二年级下册学期期中考试数学(文)试题【含答案】
2022-2023学年四川省宜宾市高县中学高二下学期期中考试数学（文）试题一、单选题1．命题“，使”的否定是（ ）0x ∃<2310x x -+≥A ．，使B ．，使0x ∃<2310x x -+<0x ∃≥2310x x -+<C ．，使D ．，使0x ∀<2310x x -+<0x ∀≥2310x x -+<【答案】C【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断.【详解】命题“，使”的否定是“∀x ，x 2﹣3x +1<0”,0x ∃<2310x x -+≥0<故选C.【点睛】本题主要考查全称与特称命题的否定，属于基础题.2．已知，向量，，则“”是“”的（ ）R λ∈()3,a λ=()1,2b λ=-3λ=//a bA ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】首先利用向量平行的坐标表示求，再根据充分，必要条件的定义判断.λ【详解】若向量，则，即//a b ()3210λλ⨯--=260λλ--=解得：或,2λ=-3λ=所以“”是“”的充分不必要条件.3λ=//a b故选：B 3．已知多项式 ，当 时的函数值时用秦九韶算法计算V 2的值是()764221f x x x x x ++++＝2x ＝A ．1B ．5C ．10D ．12【答案】C 【详解】，当时的函数值时用秦()()()()()()()76422121111f x x x x x x x x x x x x =++++=++++2x =九韶算法计算：，故选C.0122,2215,5210v v v ==⨯+==⨯=4．已知命题：空间中两条直线没有公共点，则这两条直线平行；命题：空间中三个平面，p qα，，若，，，则．则下列命题为真命题的是（ ）βγαγ⊥βγ⊥l αβ= l γ⊥A ．B ．C ．D ．p q ∧p q∧⌝p q∨⌝p q⌝∧【答案】D【分析】根据直线与直线的位置关系定义、面面垂直的性质，结合与、或、非的真假性质逐一判断即可.【详解】因为空间中两条直线没有公共点，两条直线可以是异面直线，所以命题是假命题，p 因此是真命题，p ⌝由面面垂直的性质可知命题是真命题，为假命题，qq ⌝所以为假命题，为假命题，为假命题，为真命题，p q ∧p q ∧⌝p q ∨⌝p q ⌝∧故选：D5．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少A =有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（ ）A A ．都是黑球B ．恰好有1个黑球C ．恰好有1个红球D ．至少有2个红球【答案】B【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解即可．【详解】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故错误，A A 在中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故正确，B B 在中，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故错误，C C 在中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故错误．D D 故选：．B 6．若函数，则（ ）()3sin2x f x x=+A ．()3ln32cos2x f x x=+'B ．()32cos2x f x x =+'C ．()3ln3cos2x f x x=+'D ．()3ln32cos2x f x x=-'【答案】A【分析】用函数的求导法则、常用函数的导数及复合函数的导数可得解.【详解】因为，()3sin2x f x x=+所以.()3ln32cos2x f x x=+'故选：A.7．“天津之眼”摩天轮是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，兼具观光和交通功用，是天津地标建筑之一，摩天轮的整体高度为，如图，摩天轮底座中心为（即为圆的最低点，且与地面的距120m A 离忽略不计），过点且距离处有一标志点，、之间距离处有一遮挡物，A A 120m B A B A 90m CD 高为，将旋转轮看成圆，把游客看成圆上的点，若游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点30m 的概率为（ ）BA ．B ．C ．D ．1413π8π6【答案】A【分析】设圆心为，延长交圆于、两点，取线段的中点，连接、O BD O E F EF G OE 、，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求OF OG A AB AO x y xAy 出，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率.EOF ∠【详解】如下图所示，设圆心为，延长交圆于、两点，取线段的中点，O BD O E F EF G 连接、、，OE OF OG 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，A AB AO x y xAy因为，，BC CD ⊥1209030BC CD =-==则为等腰直角三角形，所以，，则直线的倾斜角为，BCD △π4CBD ∠=BD 3π4易知点、，直线的方程为，即，()120,0B ()0,60O BD ()120y x =--1200x y +-=，所以，，sin OFG ∠=π4OFG ∠=所以，，ππ22EOF OFG ∠=-∠=因此，游客乘坐座舱旋转一周，则能看到标志点的概率为.B π122π4P ==故选：A.8．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”现给出该问题算法的程序框图，其中表示正整数除以正()mod N n b m ≡N 整数后的余数为，例如 表示11除以3后的余数是2．执行该程序框图，则输m n ()112mod 3b ≡出的等于N A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】B【解析】根据程序框图的条件，利用模拟运算法进行计算即可．【详解】第一次，7除以3的余数是1，不满足条件，除以3的余数是2满足条件，N=7,N=8,88除以5的余数是3满足条件，输出N=8故选B【点睛】本题考查程序框图的相关内容，根据框图模拟运算即可得出结果，比较基础．9．函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】首先确定函数的奇偶性，然后结合函数在处的函数值排除错误选项即可确定函数的x π=图象.【详解】因为，则，()cos sin f x x x x=+()()cos sin f x x x x f x -=--=-即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，据此可知选项CD 错误；且时，，据此可知选项B 错误.x π=cos sin 0y ππππ=+=-<故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．10．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）()21ln 2f x x a x x =-+[)1,+∞a A ．B ．C ．D ．0a ≤01a ≤≤2a ≤2a <【答案】C【解析】由题可知在上恒成立.再参变分离求解函数最值即可.[)1,+∞()'0f x ≥【详解】由题,在上恒成立.即在上恒成立.()'10af x x x =-+≥[)1,+∞2a x x ≤+[)1,+∞又,其导函数恒成立.故的最小值为[)2,1,y x x x =+∈+∞'210y x =+>[)2,1,y x x x =+∈+∞.故.2112y =+=2a ≤故选：C【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求解参数范围的问题,需要根据题意求导,参变分离求函数的最值.属于基础题.11．已知抛物线的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线于M ，N 两点，则的最216y x =l 49NFMF-小值为A ．B ．-C ．-D ．23231313【答案】D【分析】根据抛物线的定义和直线与抛物线的位置关系，将所求的表达式转化成一个量的函数求最值.【详解】由题意知，抛物线的焦点坐标为.设，，216y x =(40)，11(,)M x y 22(,)N x y 将：代入抛物线方程，l 4x my =+可得，且有，216(4)y my =+1216y y m +=1264y y =-所以，又因为.212121244()8168x x my my m y y m +=+++=++=+221212161616y y x x =⋅=由抛物线的定义可得，.14MF x =+24NF x =+故，121212811111()44(4)(4)4x x MF NF x x x x +++=+==*++++由可得，()*1114MF NF=-从而有，，441MF NF-=-4441119933NFNF MF NF -=+-≥-=当且仅当时取等号.6NF =故选D.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于将问题转化为关于一条线段的长的函数的最值问题，属于中档题.12．已知函数，，若，，使得，则实数()exf x x -=()21ln 2g x x x a =-+1x ∃[]212x ∈，()()12f x g x =a 的取值范围是 （ ）A ．B ．2112,ln 222e e⎛⎫--+ ⎪⎝⎭2112,ln 222e e⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦C ． D ．2211ln 22,ee 2⎛⎫+-- ⎪⎝⎭2211ln 22,ee 2⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦【答案】D【分析】利用导数，分别求两个函数的值域，将条件转化为两个值域有交集，列不等式，即可求解.【详解】，，当时，，()e x x f x =()1e x xf x -'=[]1,2x ∈()0f x '≤函数单调递减，函数的值域是，()f x 221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，当时，，()21ln 2g x x x a =-+()211x g x x x x -'=-=[]1,2x ∈()0g x '≥函数单调递增，函数的值域是，()g x 1,2ln 22a a ⎡⎤+-+⎢⎥⎣⎦因为，，使得，1x ∃[]212x ∈，()()12f x g x =所以，解得：，2112e 22ln 2e a a ⎧+≤⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩2211ln 22e e 2a +-≤≤-所以实数a 的取值范围是.2211ln 22,e e 2⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦故选：D二、填空题13．命题“若都是实数，则”的否命题是__________,x y 220≥+x y 【答案】若不都是实数，则,x y 220+<x y 【分析】利用否命题的定义求解.【详解】因为否命题是既否定原命题的条件，也否定原命题的结论，所以命题“若都是实数，则”的否命题是“若不都是实数，则”，,x y 220≥+x y ,x y 220+<x y故答案为：若不都是实数，则,x y 220+<x y 14．若函数在处取得极小值，则实数a 的取值范围是323232af x x x ax =-+++（）（）2x =__________．【答案】6a <【分析】首先求函数的导数，再讨论零点的大小关系，即可判断极小值点，并求得实数的取值范a 围.【详解】，()()()()236223f x x a x a x x a '=-++=--当，即，，函数单调递增，不成立，23a=6a =()0f x '≥()f x 当时，即，此时或时，，23a >6a >2x <3a x >()0f x ¢>当时，，23ax <<()0f x '<所以函数的单调递增区间是和，减区间是，(),2-∞,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭2,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以是极大值点，不满足条件，2x =当时，即，此时或时，，23a<6a <3a x <2x >()0f x ¢>当时，，23ax <<()0f x '<所以函数的单调递增区间是和，减区间是，,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭()2,+∞,23a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以是极小值点，满足条件，2x =综上可知：.6a <故答案为：6a <15．某莲藕种植塘每年的固定成本是2万元，每年最大规模的种植量是10万千克，每种植1万千克莲藕，成本增加1万元，销售额（单位：万元）与莲藕种植量（单位：万千克）满足y x （为常数），若种植3万千克，销售利润是万元，则要使销售利润最大，每3216=-++y x ax xa 232年需种植莲藕 ________万千克．【答案】8【分析】由已知求参数a ，再利用导数研究函数的单调性，进而确定销售利润最大时每年需种植莲藕量.【详解】设当莲藕种植量为万千克时，销售利润为万元，则x ()g x （）．()3232112266g x x ax x x x ax =-++--=-+-010x <≤∵，()32123333262g a =-⨯+⨯-=∴，即，则，2a =()321226g x x x =-+-()()2114822g x x x x x '=-+=--当时，，当时，，()0,8x ∈()0g x '>()8,10x ∈()0g x '<∴在上单调递增，在上单调递减，故当时，取得最大值，()g x ()0,8()8,108x =()g x 故要使销售利润最大，每年需种植莲藕8万千克．故答案为：816．已知函数为定义在上的可导函数，且．则不等式()f x ()0,∞+()()f x xf x '>的解集为________．()21()0f x x f x -<【答案】(0,1)【分析】构造函数，可得函数在上单调递减，所求不等式可化为，()()f x x x ϕ=()0,∞+1(()x x ϕϕ<进而即得.【详解】因为，()()f x xf x '>令，则，()()f x x x ϕ=2()()()0xf x f x x x ϕ'-'=<∴在上单调递减，()x ϕ()0,∞+由，可得，21()()x f f x x <1()(f x xf x x <即，1()()1f f x x x x <∴，1()()x xϕϕ<∴，又∵，1x x >0x >∴.01x <<故答案为：(0,1).三、解答题17．已知函数.3()395f x x x =-+（1）求函数的单调递减区间；()f x （2）求函数在上的最大值和最小值.()f x []3,3-【答案】（1）；（2）最大值为，最小值为()1,1-5949-【解析】（1）求出，令，得到函数的单调递减区间；()f x '()0f x '<()f x （2）求出函数在的单调性，根据极值和端点值，求得最值.[]3,3-【详解】（1），()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=x R∈令，得，所以的减区间为.()0f x '<11x -<<()f x ()1,1-（2）由（1），令，得或知：，为增函数，()0f x ¢>1x <-1x >[]3,1x ∈--()f x ，为减函数，，为增函数.[]1,1x ∈-()f x []1,3x ∈()f x ，，，.()349f -=-()111f -=()11f =-()539f =所以在区间上的最大值为，最小值为.()f x []3,3-5949-【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．已知.()2e x x af x -=(1)当时，求曲线在点处的切线方程；1a =()y f x =()()0,0f (2)若对恒成立，求的取值范围.()1f x x ≤-[)1,x ∞∈+a 【答案】(1)10x y --=(2)1a ≥【分析】（1）利用导数的几何意义以及直线方程的点斜式即可求解.（2）分离参数，转化成不等式恒成立问题，利用导数求最值即可.a 【详解】（1）当时，，，1a =()21e xx f x -=()01f =-，，()22(1)e x x xf x --'=(0)1k f '∴==所以切线方程为：，即.11(0)y x +=⨯-10x y --=（2）恒成立，即在上恒成立，()1f x x ≤-2(1)e x a x x ≥--[)1,x ∞∈+设，，2()(1)e x g x x x =--()(2e )xg x x '=-令，得，()0g x '=120,ln 2x x ==在上，，[)1,+∞()0g x '<所以函数在上单调递减，2()(1)e xg x x x =--[)1,+∞所以，，max ()(1)1g x g ==max ()a g x ∴≥故有.1a ≥19．某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了位同100学月份玩手机的时间单位：小时，并将这个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：8（）100玩手机时间[015，）[1530，）[3045，）[4560，）[6075，）[7590，）[90+∞，）人数112282415137将月份玩手机时间为小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，小时以下者视为“手机自我87575管理到位”．(1)请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位22⨯99%与性别有关”；手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生女生1240合计(2)根据（1）中的条件，在抽查的“手机自我管理不到位”的人中按性别分层抽样抽取名，这名55“手机自我管理不到位”的人中恰有位男生和位女生喜欢体育运动，现在从这名“手机自我管理115不到位”的人中随机抽取人，求这个人中男女生均有，并且个人中有人喜欢体育运动的概率．333独立性检验临界值表：2K 20P K k ≥（）0.100.050.0100.0010k 2.706 3.841 6.63510.828【答案】(1)列联表答案见解析；没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”22⨯(2)45【分析】（1）根据题中已知数据统计出表格中的数据，题中有卡方独立性检验的计算公式，根据列联表的数据计算出卡方数值，与独立性检验临界值表进行比较得出结论.22⨯2K （2）列出满足要求的所有可能的基本事件，找出满足要求的事件，根据概率计算公式得出结果.【详解】（1）列联表如下：手机自我管理到位手机自我管理不到位合计男生52860女生281240合计8020100的观测值，2K 22()100(5212828) 4.167 6.635()()()()60408020n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==≈<++++⨯⨯⨯所以没有99%的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”．（2）设这5名“手机自我管理不到位”的人中，2名男生记为，，3名女生记为，，，0A 1A 0B 1B 2B 其中喜欢运动的为，，则从这5名“手机自我管理不到位”的人中随机抽取3人的所有结果组0A 0B 成的基本事件为，010011012001002012101102112012,,,,,,,,,A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B A B B A B B B B B 以上共计10个基本事件，且这些基本事件的出现是等可能的．其中这3个人中男女生均有，并且3个人中有人喜欢体育运动的基本事件为，共计8个事件，010011012001002012101102,,,,,,,A A B A A B A A B A B B A B B A B B A B B A B B 故所求事件的概率．84105P ==20．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，CD AB ，AB =4，AD =CD =2．将△ADC 沿AC 折//起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D ﹣ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ；(2)求几何体D ﹣ABC 的体积．【答案】(1)证明见解析【分析】（1）方法一：作出辅助线，得出AC ⊥BC ，由面面垂直，得线面垂直，即证．方法二：得到AC ⊥BC 后，作出辅助线，由面面垂直得到DH ⊥BC ，从而证明BC ⊥平面ACD .（2）在第一问的基础上，由高和底面积，求得三棱锥B ﹣ACD 的体积即是几何体D ﹣ABC 的体积．【详解】（1）方法一：在图1中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，因为在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，，AB =4，AD =CD =2．//CD AB 所以，2AE BE CE ===由勾股定理得：，AC BC ==∴，222AC BC AB +=∴AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面ABC =AC ，BC 平面ABC ， ⊂从而BC ⊥平面ACD ；方法二：在图1中，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，因为在直角梯形ABCD 中，∠ADC =90°，，AB =4，AD =CD =2．//CD AB 所以，2AE BE CE ===由勾股定理得：，AC BC ==∴，222AC BC AB +=∴AC ⊥BC ，取AC 的中点H ，连接DH ，因为AD =DC ，所以DH ⊥AC ，因为平面ADC ⊥平面ABC ，且平面ADC 平面ABC =AC ，DH 平面ACD ， ⊂从而DH ⊥平面ABC ；因为BC 平面ABC ，⊂所以DH ⊥BC ，因为，平面ACD ，DH AC H ⋂=,DH AC ⊂从而BC ⊥平面ACD ；（2）由（1）知，BC 为三棱锥B ﹣ACD 的高，BC =，1122222ACD S AD CD =⋅=⨯⨯=△所以三棱锥B ﹣ACD 的体积为：11233B ACD ACD V S h -=⋅=⨯⨯=由等积性知几何体D ﹣ABC21．已知长轴长为的一个焦点为．()2222:10x y C a b a b +=>>()1,0-(1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为l 的直线交椭圆于，，求直线的方程．l C A B l 【答案】(1)2212x y +=(2)或1y x =+1y x =-【分析】（1）根据题意结合椭圆性质，运算可求出结果；（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，结合弦长公式即可求出结果.【详解】（1）由题意，，1c=a =∴，1b ==∴椭圆的方程为．C 2212x y +=（2）设直线的方程为，点，l y x m =+()11,A x y ()22,B x y 联立方程组2212x y y x m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩化简，得，2234220x mx m ++-=，即()2221612228240m m m ∆=--=-+>m<<且，，1243mx x +=-212223m xx -=∴1||AB x=-===解得，符合题意，1m =±∴直线的方程为或.l 1y x =+1y x =-22．设常数，函数.0a ≥()()()2ln 2ln 10,f x x x a x x =-+-∈+∞（1）令时，求的最小值，并比较的最小值与零的大小；()()()0g x xf x x '=>()g x ()g x （2）求证：在上是增函数；()f x ()0,∞+（3）求证：当时，恒有.1x >2ln 2ln 1x x a x >-+【答案】（1）最小值为，最小值大于零.（2）证明见解析.（3）证明见解析()21ln 22a-+【分析】（1）对函数进行求导，确定函数的解析式，再对函数求导，列表判断出该()f x ()g x ()g x 函数的单调性以及极值，最后确定函数的最小值，再判断的最小值与零的大小即可；()g x ()g x（2）利用（1）中的结论，可以判断出函数的正负性，进而能证明出的单调性；()()0f x x '>()f x （3）利用（2）中的结论进行证明即可.【详解】（1）因为，()()()2ln 2ln 10,f x x x a x x =-+-∈+∞所以.1122ln 2()1ln (ln )1a x a f x x x x x x x x ⎡⎤'=-⋅+⋅+=-+⎢⎥⎣⎦所以，()()()2ln 20g x xf x x x a x '==-+>所以，令，得.()221x g x x x -'=-=()0g x '=2x =列表如下：x()0,22()2,∞+()g x '-+()g x 减极小值()2g 增所以在处取得极小值，()g x 2x =()222ln 22g a=-+即的最小值为，()g x ()()222ln 2221ln 22g a a=-+=-+因为，所以，ln 21<1ln 20->又，所以即的最小值大于零.0a ≥()20g >()g x （2）由（1）知，的最小值为正数，()g x 所以对一切，恒有.()0,x ∈+∞()()0g x xf x '=>从而当时，恒有，故在上是增函数.0x >()0f x ¢>()f x ()0,∞+（3）由（2）知在上是增函数，()f x ()0,∞+所以当时，.1x >()()1f x f >又，()211ln 12ln110f a =-+-=所以，即，()0f x >2ln 2ln 10x x a x -+->所以，2ln 2ln 1x x a x >-+故当时，恒有.1x >2ln 2ln 1x x a x >-+【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值､单调性，考查了利用函数的单调性证明不等式恒成立问题，考查了数学运算能力.。
黑龙江省哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)
哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题分数：150分时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1. 的展开式中的系数为（ ）A. 80 B. 40 C. 10 D.2. 在等比数列中，，则（ ）A. B. 3 C. D. 23. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值4. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D.5. 在等差数列中，若，则（ ）A. 45B. 6C. 7D. 86. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）A. 300B. 360C. 390D. 420522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 40-{}n a 35727a a a =-5a =3-2-()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =()33f x x x =-()y f x =()()22f ,9160x y --=9160x y +-=6120x y --=6120x y +-={}n a 25192228a a a a +++=12a =7. 若函数有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）9. 下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）A. 若数列的前项和，则数列为等比数列B. 若的前项和，则数列为等差数列C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列11. 已知函数在区间上单调递减，则的值可能为（ ）A B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12. 已知函数，则的最大值为_______．13. 展开式中的系数为，则的值为______．14. 大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A ，B ，的的.21()42ln 2f x x x a x =-+-(,1)-∞(0,1)(0,2)(,2)-∞{}n a n S 2n n n a =(1)n n n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ 32853C 2C 148-=()()111!A !m n n m n ---=-(2,,N)n m m n ³³Î11A A m m n n n --=(2,,N)n m m n ³³Î333345610C C C C 328++++= {}n a n 122n n S +=-{}n a {}n b n 22=++n S n n {}n b {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S -- {}n b n S n 232,,,n n n n n S S S S S -- ()e ln x f x a x =-()1,2a 2e 2e -3e -e-()[],0,πf x x x x =∈()f x ()2024(1)a x x +-2024x 2023-aC ，D ，E 五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A 不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有__________种．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．（1）求频率分布直方图中值；（2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．16. 已知数列满足，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.17. 已知函数，当时，取得极值．（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）求在区间上的最值．18. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的[)76,84,a b [)60,68[]92,100[)60,68{}n a 12(N )n n a a n *+-=∈5a 8a 9a {}n a {}n a n n S n S n 32()1(R)f x ax bx a =++∈2x =()f x 3-()f x ()f x ()f x []23-，{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b的前项和为，请写出的前6项，并求出和．19. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：当时，.哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 简要答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）【9题答案】{}n b n n T {}n b 6T 2n T ()()ln R m f x x m x=+∈()f x 1m =1x ≥()e e 0xxf x x --+≤【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】CD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】84四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1），（2）．【16题答案】【答案】（1）（2），【17题答案】【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）最大值1，最小值为【18题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【19题答案】【答案】（1）答案略 为π0.01a =0.045b =35219n a n =-()min 81n S =-9n =32()31f x x x =-+(,0),(2,)-∞+∞(0,2)19-2n n a =22425272826438T =()26817n n T =-。
2021-2022学年内蒙古师范大学附属高二年级下册学期期中数学(文)试题【含答案】
2021-2022学年内蒙古师范大学附属第二中学高二下学期期中数学（文）试题一、单选题1．已知集合A ＝｛3，1，2｝，，，若A∩B ＝B ，则实数的取值集合是 {1B =}a a ()A ．B ．C ．，D ．，1，{3}{2}{32}{32}【答案】C【分析】由A ∩B ＝B 得B ⊆A ，得a ＝2或3．【详解】∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴a ＝2或3．∴实数a 的取值集合是{2，3}．故选C ．【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，集合关系中的参数问题，属于基础题．2．已知复数满足，则复数的虚部是（ ）z ()43i 34i z -=+z A ．i B ．1C ．D ．i-1-【答案】B【分析】首先根据复数的除法运算求出复数，即可求解的虚部．z z 【详解】解：解法一：由得，()43i 34iz -=+()()()()34i 43i 34i 25ii 43i 43i 43i 25z +++====--+∴复数的虚部是1．z 解法二：设，()i ,z a b a b =+∈R 由得，即，()43i 34iz -=+()()i 43i 34i a b +-=+()4343i 34i a b b a ++-=+所以，解得，433434a b b a +=⎧⎨-=⎩01a b =⎧⎨=⎩∴复数的虚部是1．z 故选：B ．3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A ．，B ．()f x x=()g x =()f x =()2g x =C ．，D ．，()211x f x x -=-()1g x x =+()f x =()g x =【答案】A【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.【详解】对于A ，与定义域均为与为相等函数，A 正确；()f x ()g x R ()f x \()g x 对于B ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B 错误；()f x R ()g x [)0,∞+()f x \()g x 对于C ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C 错误；()f x {}1x x ≠()g x R ()f x \()g x 对于D ，定义域为，定义域为，与不是相等函数，()f x [)1,+∞()g x (][),11,-∞-⋃+∞()f x \()g x D 错误.故选：A.4．命题“，使得”的否定是（ ）0R x ∃∈2001>-x x A ．，使得B ．，使得0R x ∃∈2001≤-x x 0R x ∃∈2001x x <-C ．，都有D ．，都有R x ∀∈21≤-x x R x ∀∈21x x >-【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，使得”的否定是“，都有” .0R x ∃∈2001>-x x R x ∀∈21≤-x x 故选：C5．已知p ：，那么p 的一个充分不必要条件是（ ）02x <<A ．B ．13x <<11x -<<C ．D ．01x <<03x <<【答案】C【分析】利用集合的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】对于A ，，且，即是p 的不充分不必要条件，A 不是；(1,3)(0,2)⊄(0,2)(1,3)⊄13x <<对于B ，，且，即是p 的不充分不必要条件，B 不是；(1,1)(0,2)-⊄(0,2)(1,1)⊄-11x -<<对于C ， ，即是p 的一个充分不必要条件，C 是；(0,1)(0,2)01x <<对于D ， ，即是p 的必要不充分条件，D 不是.(0,2)(0,3)03x <<故选：C6．2022年3月15日国家统计局发布了截止到2022年前两个月的主要经济数据，其中按消费类型分零售额同比增速折线图如图所示，下列说法中错误的是（ ）A ．2022年1-2月份，餐饮收入同比增速为8.9%B ．2022年1-2月份，商品零售同比增速为6.5%C ．2021年每月的餐饮收入的同比增速为正D ．2021年每月的商品零售的同比增速为正【答案】C【分析】根据折线图逐一判断即可【详解】由图可知A 正确；由图可知B 正确；对于C ，由图可知2021年8月，11月同比增速为负，故C 错误；由图可知，D 正确故选：C7．已知，，，则432a =254b =1325c =A ．B ．b a c <<a b c <<C ．D ．b<c<a c<a<b【答案】A 【详解】因为，，，4133216a ==2155416b ==1325c =因为幂函数在R 上单调递增，所以，13y x =a c <因为指数函数在R 上单调递增，所以，16xy =b a <即b <a <c .故选：A.8．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升，问米几何？”如图是执行该计算过程的一个程序框图，当输出的（单位：升），则器中米应为（ ）1.5S =kA ．2升B ．3升C ．4升D ．6升【答案】D【分析】模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，列方程求解．【详解】程序运行变量值变化如下：，满足，，；满足，1,n S k ==4n <2n =22k k S k =-=4n <，；满足，，；不满足，输出，3n =2233kk k S =-=4n <4n =3344k k k S =-=4n <4k S =∴，．1.54k=6k =故选：D ．【点睛】本题考查程序框图，考查循环结构，模拟程序运行，观察变量值的变化是解题的常用方法．9．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣．”它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中11111+++ “…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程求得，类似上述过11xx +=x=的值为（）A ．B ．3C ．D ．122【答案】B ，然后转化为一元二次方程，解出的值，并排=x =x x 除不正确的值，即可得到结果.，整理，得，=x =x 260x x --=解得，或，，，3x =2x =-0x >3x ∴=.∴3=故选：B.10．小强和小华两位同学约定周末下午在学校篮球场见面，约定谁先到后必须等10分钟，这时若另一人还没有来就可以离开.如果小强是1：40分到达的，假设小华在1点到3点内到达，且小华在1点到3点之间何时到达是等可能的，则他们会面的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．19161413【答案】B【分析】由已知得小华在1点到3点内到达，所包含的所有事件对应的集合是集合对应的是长为120的线段，而满足条件的事件对应的集合是{}|0120,x x Ω=≤≤，得到其长度为20的线段，根据几何概型公式可求得答案.{}|3050A x x =≤≤【详解】解：∵小华在1点到3点内到达，所包含的所有事件对应的集合是集{}|0120,x x Ω=≤≤合对应的是长为120的线段，而满足条件的事件对应的集合是，得到长度为20的线段，{}|3050A x x =≤≤∴两人能够会面的概率是，2011206=故选：B.11．已知函数若，则（ ）()21,0,1,0,x x f x x x ⎧-⎪=⎨<⎪⎩ (())1f f a =-=a A ．1或B ．1或0C ．1或或0D ．或01-1-1-【答案】C【分析】讨论对应区间上对应的x 值，结合题设即可确定的值，再根据解析式求参()1f x =-()f a 数a .【详解】当时，若，则，0x ≥2()11f x x =-=-0x =要使，即，显然，即，可得；(())1f f a =-()0f a =0a ≥210a -=1a =当时，若，则，0x <1()1f x x ==-=1x -要使，即，(())1f f a =-()1f a =-此时，若则，可得，0a ≥211a -=-0a =若则，可得；a<011a =-1a =-综上，或0.1a =±故选：C 12．已知函数，，其中，若，，使得()f x x=()2g x ax x=-0a >[]11,3x ∀∈[]21,3x ∃∈成立，则（ ）()()()()1212f x f x g x g x ==a A ．B ．C ．D ．32432312【答案】B【解析】首先已知等式变形为，构造两个函数，，问题可转1212()()()()f x g x g x f x =()()g()f x h x x =()()()g x m x f x =化为这两个函数的值域之间的包含关系．【详解】∵，，∴，又，∴，()f x x =[1,3]x ∈()0f x >()()()()1212f x f x g x g x =()0g x ≠∴由得，，()()()()1212f x f x g x g x =1212()()()()f x g x g x f x =设，，()()g()f x h x x =11ax =-()()()g x m x f x =1ax =-则，，，∴的值域是值域的子集．[]11,3x ∀∈[]21,3x ∃∈12()()h x m x =()h x ()m x ∵，时，，显然，（否则0属于的值域，但0a >[1,3]x ∈()[1,31]m x a a ∈--0[1,31]a a ∉--()h x ）．()0h x ≠∴，11()[,311h x a a ∈--∴ (*)．11311311a a a a ⎧≥-⎪⎪-⎨⎪≤-⎪-⎩由上讨论知同号，1,31a a --时，(*)式可化为，∴，，1a >(1)(31)1(1)(31)1a a a a --≤⎧⎨--≥⎩(1)(31)1a a --=43a =当时，(*)式可化为，∴，无解．103a <<(1)(31)1(1)(31)1a a a a --≥⎧⎨--≤⎩(1)(31)1a a --=综上：．43a =故选：B ．【点睛】本题考查函数恒成立问题，解题关键是掌握转化与化归思想．首先是分离两个变量，12,x x 然后构造新函数，问题转化为两个函数值域之间的包含关系．其次通过已知关系确定函数值域的形式（或者参数的一个范围），在这个范围解不等式才能非常简单地求解．二、填空题13．若样本数据的方差为8，则数据的方差为________．1210,,,x x x ⋅⋅⋅⋅121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-【答案】32【分析】根据方差的性质计算即可.【详解】若样本数据的方差为8，则数据的方差为，1210,,,x x x ⋅⋅⋅⋅121021,21,,21x x x --⋅⋅⋅-22832⨯=故答案为：3214．若是奇函数，则实数__.()(22)x xf x x a -=+⋅=a 【答案】1【分析】根据题意，由奇函数的定义可得，()()0f x f x -+=即，变形分析可得答案.()()()22220x x x x x a x a ---+⋅++⋅=【详解】解：根据题意，若是奇函数，则，()()22x x f x x a -=+⋅()()0f x f x -+=即，()()()22220x x x x x a x a ---+⋅++⋅=变形可得恒成立，()()1220x x a x ---=必有，1a =故答案为：1.15．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是___________.()()()()212log 1a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩(),-∞+∞a 【答案】4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据对数函数的性质及一次函数的性质得到不等式组，需注意断点处函数值的大小关系；【详解】解：函数在上单调递增，()()()()212log 1a a a x x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩(,)-∞+∞所以，解得，即；1202log 102a a a a a ⎧⎪>⎪->⎨⎪⎪--≤=⎩423a < 4,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故答案为：．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭16．已知R 上的偶函数在区间上单调递增，且恒有成立，给()y f x =[]1,0-()()110f x f x -++=出下列判断：①；②在上是增函数；③的图象关与直线对称；④函()30f -=()f x []1,2()f x 1x =数在处取得最小值；⑤函数没有最大值，其中判断正确的序号是______ ．()f x 2x =()y f x =【答案】①④【分析】由可得函数的图象关于点对称，结合偶函数可得()()110f x f x -++=()y f x =(1,0)是周期函数，再逐一分析各个命题判断作答.()f x 【详解】由恒成立知，函数的图象关于点对称，()()110f x f x -++=()y f x =(1,0)又是偶函数，由得，()y f x =()()110f x f x -++=()()11(1)f x f x f x +=--=--则有，即，因此，是周期为4的周期函数，(2)()f x f x +=-(4)(2)()f x f x f x +=-+=()f x 对于①，在中，当时，，则，①正确；()()110f x f x -++=0x =(1)0f =(3)(1)0f f -==对于②，是偶函数，且在上单调递增，则在上单调递减，而的图象关于()f x []1,0-[0,1]()y f x =点对称，(1,0)所以在上是减函数，②不正确；()f x []1,2对于③，函数的图象关于点对称，③不正确；()y f x =(1,0)对于④，由①②的信息知，在上单调递减，由是偶函数知，在上单调()f x [0,2]()f x ()f x [2,0]-递增，由周期是4知，在上单调递增，在上单调递减，()f x ()f x [42,4](Z)k k k -∈[4,42](Z)k k k +∈所以函数在处取得最小值，④正确；()f x 2x =对于⑤，由④的信息知，函数在上单调递增，在上单调递()f x [42,4](Z)k k k -∈[4,42](Z)k k k +∈减，当时，函数取得最大值，⑤不正确.4(Z)x k k =∈()f x 故答案为：①④【点睛】论点睛：函数的定义域为D ，，存在常数a ，b 使得()y f x =x D ∀∈，()(2)2()()2f x f a x b f a x f a x b +-=⇔++-=则函数图象关于点对称.()y f x =(,)a b 三、解答题17．设命题p :实数x 满足，命题q :实数x 满足，其中a >0.23x <≤22430x ax a -+<(1)若a =1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案】(1)；23x <<(2).12a <≤【分析】（1）解一元二次不等式求为真时x 的范围，由已知及复合命题的真假确定x 的范围；q（2）解含参一元二次不等式求为真时x 的范围，根据充分不必要关系列不等式求a 的范围.q【详解】（1）由题设，则为真有，而为真有，243(1)(3)0x x x x -+=--<q 13x <<p 23x <≤所以p ∧q 为真，即有.23x <<（2）由且，可得，2243()(3)0x ax a x a x a -+=--<0a >3a x a <<所以为真有，而为真有，q3a x a <<p 23x <≤又p 是q 的充分不必要条件，即，则.2{33a a ≤>12a <≤18．某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，为了估计以后每月的产量，以这三个月的产量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量，与月份的关系，模拟y x 函数可以选用二次函数或函数、、为常数）已知四月份该产品的产量为1.37万件，(xy a b c a =+ b c 请问用以上哪个函数作模拟函数较好？说明理由．【答案】见解析【分析】先设二次函数为y ＝px 2+qx +r 由已知得出关于a ，b ，c 的方程组，从而求得其解析式，得出x ＝4时的函数值；又对函数y ＝a •bx +c 由已知得出a ，b ，c 的方程，得出其函数式，最后求得x ＝4时的函数值，最后根据四月份的实际产量决定选择哪一个函数式较好．【详解】设二次函数为由已知得，2y px qx r =++142 1.293 1.3p q r p q r p q r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解之得，0.060.350.7p q r =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以，250.350.7y x x =-++当时，，4x =210.0540.3540.7 1.3y =-⨯+⨯+=又对函数由已知得，·xy a b c =+2311.21.3ab c ab c ab c +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解之得，0.80.51.4a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，10.8 1.42xy ⎛⎫∴=-⨯+ ⎪⎝⎭当时， .4x =410.8 1.4 1.352y ⎛⎫=-⨯+= ⎪⎝⎭根据四月份的实际产量为1.37万元，而,211.370.020.07 1.37y y -=<=-所以函数作模拟函数较好.417·525xy ⎛⎫=-+⎪⎝⎭【点睛】考查了根据实际问题选择函数类型，考查了求函数的解析式及比较优劣等问题，考查了建模思想，属于中等题型．19．2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种新冠疫苗第三针.某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数（单位：万），得到如下表格：A 区B 区C 区D 区疫苗接种人数x /万681012第三针接种人数y /万2356(1)请用相关系数说明y 与x 之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y 关于x 的线性回归方程（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）.y a bx =+ 0.75r ≥(2)若A 区市民甲､乙､丙､丁均在某日接种疫苗，若安排4人中的2人在上午接种，其余2人在下午接种，求甲､乙不都在上午接种的概率.参考公式和数据：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小r =y a bx =+二乘估计公式分别为，.1221ni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑ a y bx =-1.414≈【答案】(1)说明答案见解析，0.7 2.3y x =-(2)56【分析】(1) 利用相关系数公式及最小二乘法即得；(1)列出所有基本事件，再确定事件甲､乙都在上午接种的基本事件数，利用古典概型的概率公式和对立事件概率公式求解即可.【详解】（1）由题：，，68101294x +++==235644y +++==，，，416283105126158i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯=∑4222221681012344ii x==+++=∑42174ii y==∑所以相关系数，0.990.75r ==≈>说明y 与x 之间的性相关程度很高，所以可用线性回归模型拟合y 与x 之间的关系.，2158494140.73444920b -⨯⨯===-⨯ 40.79 2.3a y bx =-=-⨯=-故y 关于x 的线性回归方程为.0.7 2.3y x =-（2）设{}A =甲乙都在上午接种疫苗所以基本事件为：甲乙､甲丙､甲丁､乙丙､乙丁､丙丁共6个.A 中包含：甲乙所以，()()516P A P A =-=答：甲､乙不都在上午接种的概率为5620．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为（为参数），以坐标原点22cos sin 2x y αα⎧=⎨=⎩αO 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为.cos 04a πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭(1)求曲线C 的极坐标方程及直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且，求a .4AOB π∠=【答案】(1)，2cos ρθ=0x y -=(2)a =【分析】（1）首先利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将曲线的参数方程化为普通方程，C 再根据化为极坐标方程，根据公式将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩l （2）根据圆心角的性质得到，利用点到直线的距离2ACB π∠=公式得到方程，解得，再检验即可；a 【详解】（1）解：因为曲线C 的参数方程为（为参数）22cos sin2x y αα⎧=⎨=⎩α所以，所以曲线C 的普通方程为，即，1cos2sin2x y αα-=⎧⎨=⎩22(1)1x y -+=2220x y x +-=又，所以，222cos sin x y x y ρρθρθ⎧+=⎪=⎨⎪=⎩22cos 0ρρθ-=所以曲线C 的极坐标方程为.2cos ρθ=因为直线l 的极坐标方程为，cos 04a πρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所以，cos sin 0ρθρθ-=即直线l 的直角坐标方程为.0x y -=（2）解：设曲线C 的圆心为，半径，因为点O 在圆上，且，(1,0)C 1r =4AOB π∠=所以，则点到直线，2ACB π∠=(1,0)C l 所以或d 0a=a =当时，直线l 过原点O ，不符合题意；0a =所以a =21．为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了200名学生，统计他们在寒假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过30分钟的记为“运动达标”，时间不超过30分钟的记为“运动欠佳”，统计情况如下：(1)完成列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关？运动达标运动欠佳总计男生女生总计(2)现从“运动欠佳”的学生中按性别用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任选2人进行体育运动指导，求选中的2人都是女生的概率.参考公式：，其中.()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++n a b c d =+++参考数据：()20P K k ≥0.250.100.050.0250.0100.001k 1.323 2.706 3.841 5.024 6.63510.828【答案】(1)列联表见解析，能(2)310【分析】（1）根据统计图，算出对应人数，即可完成列联表，再根据公式计算判断即可；（2）通过列举法得出5人中任选2人的不同情况，根据定义即可得到选中的2人都是女生的概率【详解】（1）列联表为运动达标运动欠佳总计男生6832100女生5248100总计12080200，()2220068485232 5.333 5.02410010012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“运动达标”与“性别”有关.（2）由（1）知“运动欠佳”的男生、女生分别有32人和48人，按分层抽样的方法从中抽取5人，则男生、女生分别抽到2人和3人，记两名男生分别为A ，B ，三名女生分别为a ，b ，c .则从5人中任选2人有，，，，，，，，，(),A B (),A a (),A b (),A c (),B a (),B b (),B c (),a b (),a c 共10种情况，其中两人全是女生的情况有，，共3种，所以，即选中(),b c (),a b (),a c (),b c 310P =的2人都是女生的概率为.31022．定义在上的函数，若满足:对任意，存在常数，都有成立，则称D ()f x x D ∈0M >()f x M≤是上的有界函数，其中称为函数的上界()f x D M ()f x（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所()1=+x f x x ()f x 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()f x 有上界的值的集合；若不是，也请说明理由.（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.()124x xg x a =++⋅[]0,2x ∈3a 【答案】（1）是有界函数;（2）[)1,+∞11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【分析】（1）分离常数后,可得函数的单调性,在区间内求得最大值与最小值,即可根据()f x 11,22⎡⎤-⎢⎣⎦有界函数的定义求得的取值范围.M （2）根据有界函数定义,可得的值域.代入解析式可分离得的不等式组.利用换元法转化为二()g x a 次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得的取值范围.a 【详解】（1）()1111x f x x x ==-++则在上单调递增()f x 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以对任意满足()f x 11,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()1122f f x f ⎛⎫⎛⎫-≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭而11,21123f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以()113f x -≤≤若恒成立,则()f x M≤1M ≥即所有上界的值的集合为()f x [)1,+∞（2）函数在上是以为上界的有界函数()124x xg x a =++⋅[]0,2x ∈3根据有界函数定义,可知在上恒成立()3≤g x []0,2x ∈所以()33g x -≤≤即31243x xa -≤++⋅≤化简变形可得41214242xx x x a --≤≤-令11,,142xt t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦则在上恒成立2242t t a t t --≤≤-1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦即满足()()22maxmin42tt a t t --≤≤-由二次函数性质可知,,当时, 2211144816y t t t ⎛⎫=--=-++ ⎪⎝⎭14t =()21max 1114442y ⎛⎫=-⨯-=-⎪⎝⎭,所以当时,222112248y t t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭14t =()22min 111124488y ⎛⎫=⨯--=- ⎪⎝⎭即,1128a -≤≤-故的取值范围为a 11,28⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查了函数新定义的内容,对函数单调性与值域的综合应用,换元法的应用,恒成立问题的解法,属于中档题.。
2022-2023学年上海市徐汇中学高二下学期期中数学考试卷含详解
徐汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中2023.4一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1.设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________.2.若方程2212x y m m +=-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______.3.若直线l 经过点(1,3)，且与圆2210x y +=相切，则直线l 的方程是___________.4.设m 为实数，若方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则m 的取值范围为______．5.平行直线0x +=与390y +-=之间的距离为__________．6.经过点()5,2A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 为______．7.双曲线22:1824x y C -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为______．8.已知双曲线22149x y -=，1F 、2F 是其两个焦点，点M 在双曲线上，若1260F MF ∠=︒，则12F MF △的面积为______．9.已知在ABC 中，其中()()1,4,6,3,B C BAC∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则A 点坐标为__________.10.已知直线:2l y tx =+和双曲线22:8C x y -=，若l 与C 的右支交于不同的两点，则t 的取值范围是______．11.已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点()3,4的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______．12.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点12(,0),(,0)-F a F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点.下列说法中正确的有________.①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④.||PO.二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13.方程222143x y λλ+=--表示焦距为5λ的值为（）A.1B.-4或1C.-2或-4或1D.-2或114.若直线:3(1)l y k x -=-与曲线2:1C y x =-恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A.4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.43,32⎛⎤⎥⎝⎦C.40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.43,32⎛⎫⎪⎝⎭15.当点A 在椭圆2214x y +=上运动时，连接点A 与定点()2022,0B ，则AB 的中点P 的轨迹方程为（）A.()2220221164x y -+= B.()2220221164x y ++=C.()22101114x y -+= D.()22101141x y -+=16.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线.如图，已知1r =，起始位置时大圆与小圆的交点为A （A 点为x 轴正半轴上的点），滚动过程中A 点形成的轨迹记为星形线C .有如下结论：①曲线C 上任意两点间距离的最大值为8；②曲线:4D x y +=的周长大于曲线C 的周长；③曲线C 与圆224x y +=有且仅有4个公共点.其中正确的个数为（）A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题共有5题，满分48分）17.已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：2(1)10x a y a +-+-=.（1）当l 1//l 2时，求实数a 的值；（2）当l 1⊥l 2时，求实数a 的值.18.在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段PQ 长度的最小值称为“点P 到线段l 的距离”，记为(),d P l ．（1）设点()2,0P ，线段():02l y x x =≤≤，求(),d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合(){},1D P d P l =≤所表示的图形面积．19.已知双曲线C 的方程为2222x y -=．（1）直线y x m =+截双曲线C 所得的弦长为，求实数m 的值；（2）过点()2,1-作直线交双曲线C 于P 、Q 两点，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．20.已知圆M 方程为()2221x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）若P 点坐标为)(0,0，求APB∠（2）经过A 、P 、M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．21.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 相切于点T ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）求椭圆E 的标准方程及点T 的坐标；（3）设O 为坐标原点，直线l ＇平行于直线OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，那么是否存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．徐汇中学2022学年第二学期高二年级数学期中2023.4一、填空题（本大题共有12题，每题3分，满分36分）要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，否则一律得零分．1.设a ∈R ，若直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，则直线l 的斜率是___________.【答案】1【分析】利用直线的斜率公式求解.【详解】解：因为直线l 经过点(,2)A a ､(1,3)B a +，所以直线l 的斜率是3211k a a-==+-，故答案为：12.若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围是______.【答案】()()0,11,2U 【分析】由题意可得0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组可得答案【详解】因为方程2212x y m m +=-表示椭圆，所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，得02m <<且1m ≠.所以实数m 的取值范围是()()0,11,2U ，故答案为：()()0,11,2U 3.若直线l 经过点(1,3)，且与圆2210x y +=相切，则直线l 的方程是___________.【答案】3100x y +-=【分析】分析可得点(1,3)在圆2210x y +=上，故直接根据过圆心与切点的直线与直线l 垂直即可求得直线l 的斜率，进而求得方程【详解】因为221310+=，故点(1,3)在圆2210x y +=上，又圆心()0,0到()1,3的斜率为30310-=-，故直线l 的斜率13k =-，故直线l 的方程是()1313y x -=--，化简可得3100x y +-=故答案为：3100x y +-=4.设m 为实数，若方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则m 的取值范围为______．【答案】(),5-∞【分析】将方程配成圆的标准方程形式，根据圆的标准方程即可求解.【详解】方程22240x y x y m ++-+=，即22(1)(2)5x y m ++-=-，若它表示圆，则50m ->，即 5.m <故答案为：(),5-∞.5.平行直线330x y ++=与3390x y +-=之间的距离为__________．【答案】23【分析】直接由平行线的距离公式求解即可.【详解】直线3390x y +-=即为3330x y +-=，则平行直线330x y ++=与3390x y +-=之间的距离为()3332313--=+.故答案为：236.经过点()5,2A ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线l 为______．【答案】250x y -=或70x y +-=【分析】根据给定条件，利用直线l 过原点和不过原点分类，结合直线方程的截距式求解作答.【详解】依题意，当直线l 过原点时，直线l 在两坐标轴上的截距相等，方程为25y x =，即250x y -=；当直线不l 不过原点时，设直线l 的方程为1x y a a +=，于是521a a+=，解得7a =，方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为250x y -=或70x y +-=.故答案为：250x y -=或70x y +-=7.双曲线22:1824x y C -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为______．【答案】2【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的渐近线方程，再利用几何法求出弦长作答.【详解】双曲线22:1824x y C -=0y ±=，圆()2224x y -+=的圆心为(2,0)，半径2r =，点(2,0)到渐近线的距离d ==，所以所求弦长为2==.故答案为：28.已知双曲线22149x y -=，1F 、2F 是其两个焦点，点M 在双曲线上，若1260F MF ∠=︒，则12F MF △的面积为______．【答案】【分析】根据给定条件，利用双曲线定义、余弦定理求出12||||MF MF ⋅，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】双曲线22149x y -=的实半轴长2a =，半焦距c =，有124|||||2|MF MF a -==，在12F MF △中，由余弦定理得22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即有21212122|)|(||(1o |s60F F MF MF MF MF =-+- ，因此2212)((12||2||14MF MF +-=，解得126||||3MF MF ⋅=，所以12F MF △的面积为12121sin 602F MF S MF MF =⋅= .故答案为：9.已知在ABC 中，其中()()1,4,6,3,B C BAC ∠的平分线所在的直线方程为10x y -+=，则A 点坐标为__________.【答案】()0,1【分析】求出B 关于直线10x y -+=的对称点B '，可得CB '的直线方程，联立解出即可得出A 的坐标．【详解】(1,4)B 关于直线10x y -+=的对称点(),B a b '；141022411a b b a ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩⇒32a b =⎧⎨=⎩，()3,2B ∴'，(6,3)C ，CB ∴'的直线方程为330x y -+=，则由角平分线以及对称可知(),B a b '一定在直线AC 上，联立33010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩，(0,1)A ∴，故答案为：()0,110.已知直线:2l y tx =+和双曲线22:8C x y -=，若l 与C 的右支交于不同的两点，则t 的取值范围是______．【答案】6(,1)2--【分析】联立直线l 与双曲线C 的方程，利用判别式及韦达定理求解作答.【详解】由2228y tx x y =+⎧⎨-=⎩消去y 得：22(1)4120t x tx -++=，由于l 与C 的右支交于不同的两点，则直线l 与双曲线C 的两个交点横坐标均为正，且不等，于是2222Δ1648(1)04011201t t t t t ⎧⎪=-->⎪⎪->⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得612t -<<-，所以t 的取值范围是6(,1)2--.故答案为：6(,1)2--11.已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点()3,4的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______．【答案】1003【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答.【详解】依题意，圆()()2268100x y -+-=的圆心()6,8M ，半径10r =，点()3,4Q 与圆心()6,8M 的距离22(36)(48)510QM =-+-=<，则点()3,4Q 在圆内，过点()3,4Q 及圆心的直线与圆相交，得最长弦长220AC r ==，当QM BD ⊥时，BD 最短，过()3,4Q 的最短的弦长222210025103BD r QM =-=-=所以四边形ABCD 的面积11320322ABCD S AC BD =⋅=⨯=.故答案为：100312.2022年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点12(,0),(,0)-F a F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点.下列说法中正确的有________.①双纽线C 关于原点O 中心对称；②022a ay -≤≤；③双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个；④.||PO 2a .【答案】①②④【分析】对于①，根据双纽线的定义求出曲线方程，然后将(,)x y --替换方程中的(,)x y 进行判断，对于②，根据三角形的等面积法分析判断，对于③，由题意得12PF PF =，从而可得点P 在y 轴上，进行可判断，对于④，由向量的性质结合余弦定理分析判断.【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系xOy 中，把到定点12(,0),(,0)-F a F a 距离之积等于2(0)a a >的点的轨迹称为双纽线C ，22222()()x a y x a y a ++-+=，用(,)x y --替换方程中的(,)x y ，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O 中心对称，所以①正确，对于②，根据三角形的等面积法可知1212011sin 222PF PF F PF a y ∠=⨯⨯，即012sin 22a a y F PF =∠≤，所以022a ay -≤≤，所以②正确，对于③，若双纽线C 上的点P 满足12PF PF =，则点P 在y 轴上，即0x =，22222a y a y a ++=，得0y =，所以这样的点P 只有一个，所以③错误，对于④，因为121()2PO PF PF =+，所以()()2222211221*********cos 44PO PF PF PF PF PF PF PF F PF PF =+⋅+=+⋅∠+ ，由余弦定理得22211212242cos a PF PF PF F PF PF =-⋅∠+ ，所以22222121212cos cos 2PO a PF PF F PF a a F PF a =+⋅∠=+∠≤ ，所以||PO ，所以④正确，故答案为：①②④二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13.方程222143x y λλ+=--表示焦距为λ的值为（）A.1B.-4或1C.-2或-4或1D.-2或1【答案】A【分析】分类讨论24λ-和3λ-分别小于0时的情况，即可得到实数λ的值【详解】解：由题意在双曲线222143x y λλ+=--中，焦距2c =即c =当24030λλ⎧-<⎨->⎩即22λ-<<时，c ===解得：2λ=-（舍）或1λ=当24030λλ⎧->⎨-<⎩即3λ>时，c =解得：4λ=-（舍）或3λ=（舍）综上，1λ=故选：A.14.若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A.4,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B.43,32⎛⎤⎥⎝⎦C.40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D.43,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系即可得出结论，利用数形结合作出图像进行研究即可【详解】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线2:1C y x =-为以(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离2311kd k -==+，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B 15.当点A 在椭圆2214x y +=上运动时，连接点A 与定点()2022,0B ，则AB 的中点P 的轨迹方程为（）A.()2220221164x y -+= B.()2220221164x y ++=C.()22101114x y -+= D.()22101141x y -+=【答案】D【分析】设()00,A x y ，(),P x y ，结合中点坐标公式，利用P 点坐标表示出A 点坐标，代入椭圆方程中即可求得P 点轨迹方程.【详解】设()00,A x y ，(),P x y ，P 为AB 中点，00202222x x y y +⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，则00220222x x y y =-⎧⎨=⎩，即()22022,2A x y -，又A 在椭圆2214x y +=上，()2222022414x y -∴+=，即()22101141x y -+=，P ∴点轨迹方程为：()22101141x y -+=.故选：D.16.数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任点形成的轨迹即为星形线.如图，已知1r =，起始位置时大圆与小圆的交点为A （A 点为x 轴正半轴上的点），滚动过程中A 点形成的轨迹记为星形线C .有如下结论：①曲线C 上任意两点间距离的最大值为8；②曲线:4D x y +=的周长大于曲线C 的周长；③曲线C 与圆224x y +=有且仅有4个公共点.其中正确的个数为（）A .0 B.1 C.2 D.3【答案】C【分析】根据题意，分析曲线C 经过的特殊点，据此分析3个结论，即可得答案．【详解】根据题意,大圆周长是小圆周长的4倍，故当大圆转动14周时，小圆转动了一周，根据对称性，故可知曲线C 经过(4,0)A ，(0,4)B ，(4,0)C -，4(0,)D -，且这些点是曲线C 距离原点最远的点，对于①，曲线C 上，AC 或BD 之间的距离最大，且||||8AC BD ==，即任曲线C 上任意两点间距离的最大值为8，正确；对于②曲线:||||4D x y +=，图形为图中的正方形，必有D 的周长小于曲线C 的周长；对于③，曲线C 与圆224x y +=有且仅有4个公共点，即ABCD 四点，正确；正确的是①③，故选：C三、解答题（本大题共有5题，满分48分）17.已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：2(1)10x a y a +-+-=.（1）当l 1//l 2时，求实数a 的值；（2）当l 1⊥l 2时，求实数a 的值.【答案】（1）-1；（2）23.【分析】（1）根据两直线平行的位置关系建立关系式求解参数即可；（2）根据两直线垂直的位置关系建立关系式求解参数即可.【详解】解：由题意得：（1）(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1不平行于l 2；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不平行于l 2；当a ≠1且a ≠0时，两直线可化为l 1：32a y x =--，l 2：()111y x a a=-+-12l l //时，()12131a a a ⎧-=⎪-⎨⎪-≠-+⎩解得a ＝-1综上可知，当a ＝-1时，l 1//l 2(方法2)∵l 1//l 2∴2(1)120(1)160a a a a --⨯=⎧⎨--⨯≠⎩⇔2220(1)6a a a a ⎧--=⎨-≠⎩解得a ＝－1故当a ＝－1时，l 1//l 2.（2）(方法1)当a ＝1时，l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：x ＝0，l 1与l 2不垂直，故a ＝1不成立；当a ＝0时，l 1：y ＝－3，l 2：x －y －1＝0，l 1不垂直于l 2，故a ＝0不成立；当a ≠1且a ≠0时，l 1：32a y x =--，l 2：1(1)1y x a a =-+-由1121a a⎛⎫-⋅=- ⎪-⎝⎭，得23a =(方法2)∵l 1⊥l 2，∴a ＋2(a －1)＝0，解得23a =18.在平面直角坐标系内，已知点P 及线段l ，Q 是线段l 上的任意一点，线段PQ 长度的最小值称为“点P 到线段l 的距离”，记为(),d P l ．（1）设点()2,0P ，线段():02l y x x =≤≤，求(),d P l ；（2）设l 是长为2的线段，求点的集合(){},1D P d P l =≤所表示的图形面积．【答案】（1（2）4π+【分析】（1）根据“点P 到线段l 的距离”的定义结合两点的距离公式即可得出答案；（2）设线段l 的端点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,,则集合(){},1D P d P l =≤所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，从而可求解.【小问1详解】可设(),,02Q a a a ≤≤，则PQ ==当1a =时，min PQ =所以(,)d P l =【小问2详解】设线段l 的端点分别为A ，B ，以直线AB 为x 轴，AB 的中点为原点建立直角坐标系，则()1,0A -，()10B ,，点集D 由如下曲线围成：1:1l y =，()1x ≤，2:1l y =-，()1x ≤，()221:11C x y ++=，()1x ≤-，()222:11C x y -+=，()1x ≥，∴集合(){},1D P d P l =≤所表示的图形是一个边长为2的正方形和两个半径是1的半圆，∴其面积为22π4πS =+=+.19.已知双曲线C 的方程为2222x y -=．（1）直线y x m =+截双曲线C 所得的弦长为，求实数m 的值；（2）过点()2,1-作直线交双曲线C 于P 、Q 两点，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．【答案】（1）1m =±（2）22240x y x y ---=【分析】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出m 值；（2）设()()1122,,,,(,)P x y Q x y M x y ,()2,1A -，利用点差法结合中点公式即可得到212x y y x +=-，化简即可.【小问1详解】联立2222y x m x y =+⎧⎨-=⎩,得22220x mx m ---=， 直线y x m =+被双曲线C截得的弦长为224480m m ∴∆=++>,设直线与双曲线交于()()1122,,,A x y B x y ,则212122,2x x m x x m ==--+,由弦长公式得=,解得1m =±.【小问2详解】设()()1122,,,,(,)P x y Q x y M x y ,()2,1A -，则12122,2x x x y y y +=+=，2222112222,22x y x y ∴-=-=，上式作差得()()1212420x x x y y y ---=，当直线PQ 的斜率不存在时，根据双曲线对称性知()2,0M ，当直线PQ 的斜率存在时，但120y y +=时，此时直线PQ 为直线OA ，根据双曲线对称性知()0,0M ，当直线PQ 的斜率存在时，且120y y +≠时，12122PQ y y x k x x y-==-，12AM y k x +=- ，212x y y x +∴=-，化简得22240x y x y ---=，其中2,0x y ≠≠，而点()2,0，()0,0适合上述方程，则线段PQ 的中点M 的轨迹方程是22240x y xy ---=.20.已知圆M 方程为()2221x y +-=，直线l 的方程为20x y -=，点P 在直线l 上，过P 作圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．（1）若P 点坐标为)(0,0，求APB∠（2）经过A 、P 、M 三点的圆是否经过异于点M 的定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．【答案】（1）60APB ∠=o （2）是，42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）利用特殊角的三角函数和对称性即可得到答案；（2）设()2,P m m ，计算出MP 中点坐标，写出圆的方程，整理，利用方程恒成立得到方程组，解出即可.【小问1详解】因为点P 坐标为()0,0，所以2MP =，又因为1MA MB ==，所以30MPA MPA ︒∠=∠=,故60APB ∠=o .【小问2详解】设()2,,P m m MP 的中点,12m Q m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为PA 为圆M 的切线，所以经过A P M 、、三点的圆是以Q 为圆心，MQ 为半径的圆，故其方程为()22221122m m x m y m ⎛⎫⎛⎫-+--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得()222220x y y m x y +--+-=，由2220220x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩，解得02x y =⎧⎨=⎩（舍）或4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以经过A P M 、、三点的圆经过异于点M 的定点42,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.21.已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l ：3y x =-+与椭圆E 相切于点T ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）求椭圆E 的标准方程及点T 的坐标；（3）设O 为坐标原点，直线l ＇平行于直线OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ，那么是否存在常数λ，使得2PT PA PB λ=⋅如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2（2）22163x y +=，()2,1T （3）45【分析】（1）由题意可得a =，由离心率的公式求解即可.（2）利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，消去y 得关于x 的方程有两个相等的实数根，解出b 的值，从而得到椭圆E 的方程；（3）设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，由方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，，解出P 点的坐标，求出2PT ，把直线l '方程与椭圆方程联立，消元后，可得1212,x x x x +，再把PA PB ⋅用12,x x 表示出来，即可得出答案.【小问1详解】椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，所以a =，则22b a =，22c e a ===.所以椭圆E 的离心率为22.【小问2详解】由（1）知，a =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=.由方程组2222123x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此时方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=.点T 坐标为（2,1）.【小问3详解】由已知可设直线l '的方程为1(0)2y x m m =+≠，由方程组123y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，，可得22321.3m x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以P 点坐标为（222,133m m -+），2289PT m =.设点A ，B 的坐标分别为1122,,()()A x y B x y ，.由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<.由②得212124412=,33m m x x x x -+-=.所以123m PA x =--，同理223m PB x =--，所以12522(2)(2)433m m PA PB x x ⋅=----21212522(2)(2)()433m m x x x x =---++225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数4=5λ，使得2PT PA PB λ=⋅.。
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江苏省泰兴中学高二年级数学（文科）期中考试试题一、填空题(本题包括14个小题，每题5分，共70分)1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,{|25,M N x x x ==-<<∈Z }，则集合M N = ▲ . 2．命题“∀x ∈R ，有x 2+1≥x ”的否定是 ▲ .3．已知函数25,5()(2),5x x x f x f x x ⎧-≤=⎨->⎩，则(8)f 的值为 ▲ .4．如图是2015年“隆力奇”杯第19届CCTV 青年歌手电视大奖 赛上某一位选手的部分得分的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为 ▲ . 5．超速行驶已成为马路上最大杀手之一，已知某中段属于限速路段， 规定通过该路段的汽车时速不超过80 km/h ，否则视为违规．某天， 有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车运行时 速的频率分布直方图，则违规的汽车大约为 ▲ .辆． 6．如图所示，程序框图输出的值为 ▲ . 9．设偶函数)(x f 在区间[0，+∞)单调递增，则使得f (x )>f (2x −1)成立的x 的取值范围是 ▲ .10．求函数x x y -+=1的值域 ▲ . 11．已知f (x )定义在(−∞，0)∪(0，+∞)上奇函数，且1)()25(=+x f x f ，若1)1(>-f ，第5题图第6题图3)2016(+=a f ，则a 的范围 ▲ .13．若关于x 的方程54(5)|4|x x m x x+--=在(0,)+∞内恰有四个相异实根，则实数m 的取值范围为 ▲ .14．已知函数)1ln()12()(+++-=a x a x x f 的定义域为),1(+∞--a ，若0)(≥x f 恒成立，则a 的值是 ▲ .二、解答题(本题包含6大题，共90分)15．(本题14分)为了解社会对学校办学质量的满意程度，某学校决定用分层抽样的方法从高中三个年级的家长委员会中共抽取6人进行问卷调查，已知高一、高二、高三的家长委员会分别有54人，18人，36人．(1)求从三个年级的家长委员会中分别应抽的家长人数；(2)若从抽到的6人中随机抽取2人进行调查结果的对比，求这2人中至少有一人是高三学生家长的概率．16．(本题14分) 设集合}023|{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B(1)若A ∩B ={2}，求实数a 的值；. (2) 若A∪B=A，求实数a 的取值范围；17．(本题15分) 已知p ：R x ∈∀，)1(22+>x m x ，q ：R x ∈∃0，012020=--+m x x ，(1)若q 是真命题，求m 的范围；(2)若)(q p ⌝∧为真，求实数m 的取值范围．18．(本题15分)市场上有一种新型的强力洗衣液，特点是去污速度快.已知每投放a (1≤a ≤4，且a ∈R)个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y (克/升)随着时间x (分钟)变化的函数关系式近似为)(x f a y ⋅=，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤--=)104(215)40(1816)(x x x xx f ，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4(克/升)时，它才能起到有效去污的作用.(1)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时间可能达几分钟？(2)若第一次投放个2单位的洗衣液，6分钟后再投放2个单位的洗衣液，问能否使接下来的4分钟内持续有效去污？说明理由.19．(本题16分)方程x 2+(k −2)x +2k −1=0，(1)一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围. (2)两根都在(0,1)之间，求k 的范围. (3)在(0,1)之间有一个零点，求k 的范围.20．(本题16分)已知函数()2f x x x a x =-+．(1)当a =3时，方程m x f =)(的解的个数；(2) 对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方，求a 的取值范围； (3) ()f x 在)2,4(-上单调递增，求a 的范围；江苏省泰兴中学高二年级数学（文科）期中考试试题参考答案一、填空题(本题包括14个小题，每题5分，共70分) 1． {1,2,3,4}； 2． ∃x ∈R ，x 2+1<x ； 3． −76； 4．807 5． 2806． 127． −1 8． 349．(1,31)10．]45,(-∞11．0<a <312．213．(6,10)14二、解答题(本题包含6大题，共90分)18，16．解A={1，2}(1)∵A ∩B={2}，∴2∈B ，即4+4(a+1)+a 2-5=0，a 2+4a+3=0，即a=-1或a=-3------4分 若a=-1时，x 2-4=0，x=±2，满足题意 若a=-3时，x 2-4x+4=0，x=2，满足题意综上a=-1或a=-3.---- --------------------------------------------------6分 (2) (2)A ∪B=A ，∴B ⊆A----------------------------------------------------7分 ①B=∅，△=[2(a+1)]2-4(a 2-5)<0，即a<-3②B 为单元集，△=0，即a=-3，若a=-3时，x 2-4x+4=0，x=2，满足题意① B 为双元集，B={1，2}，⎩⎨⎧=--=+253)1(22a a ，a ∈∅----------------------------13分综上a ≤-3--------------------------- -----------------------------------14分17、解：(1) 若q ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0－m －1＝0为真，则方程x 2＋2x －m －1＝0有实根， ∴4＋4(m＋1)≥0，∴m ≥－2.-----------------------------------------------------------------------4分 (2)2x ＞m (x 2＋1)可化为mx 2－2x ＋m ＜0. 若p ：∀x ∈R,2x ＞m (x 2＋1)为真． 则mx 2－2x ＋m ＜0对任意的x ∈R 恒成立．当m ＝0时，不等式可化为－2x ＜0，显然不恒成立； 当m ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，4－4m 2＜0，∴m ＜－1.-------------------------------------------------------12分q ⌝：m ＜-2又q p ⌝∧为真，故p 、⌝q 均为真命题．⎩⎨⎧-<-<21m m ∴m ＜－2.---------------------15分18、解：(1))(4x f y =当0≤x ≤4，4)1816(4≥--x，得x ≥0； 当4＜x ≤10，4)215(4≥-x ，得4＜x ≤8，∴有效去污时间可能达8分钟.答：有效去污时间可能达8分钟。
----------------------------------------------------------------7分 (2)能在接下来的4分钟内持续有效去污，设6分钟后水中洗衣液的浓度为g(x) )1)6(816(2)215(2)(---+-=x x x g ，106≤≤x x xx g --+=14328)(，令x t -=14，]8,4[∈t 628632-≥-+=tt y 当且仅当24=t 即2414-=x ∈[6,10]时，洗衣液的浓度最小为628-克/升，大于4克/升，所以能在接下来的4分钟持续去污. 答：能在接下来的4分钟持续去污.-----------------------------------------------------------15分19． 令12)2()(2-+-+=k x k x x f(1)⎪⎩⎪⎨⎧><>0)2(0)1(0)0(f f f ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><>413221k k k ，3221<<k -------------------------------------------------------------4分 (2)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><--<≥∆0)1(0)0(12200f f k ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><<+≥-≤322120726726k k k k k 或，72632-≤<k ------------------------9分 (3)法一：①当f(0)=0时，21=k ，代入检验0232=-x x ，x=0，23=x ，不满足题意. ②当f(1)=0，32=k ，代入检验031342=+-x x ，x=1，或31=x ，满足题意.③0)1()0(<f f ，3221<<k④⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>><--<=∆0)1(0)0(12200f f k ，726-=k 综上：3221≤<k 或726-=k -------------------------------------------------------------16分 法二：2122+++-=x x x k ，令t=x+2，t ∈(2，3)t t t k 762-+-==67+--t t ，令g(t)= 67+--tt ，)7,2(∈t 时函数单调递增，)3,7(∈t 时函数单调递减，f(x)只有一个零点，即y=k 与y=67+--tt 两个函数图象有一个交点 ∴3221≤<k 或726-=k20．(1)当a=3时，⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=3,53,)(22x x x x x x x f ，当6=m 或425时，方程有两个解； 当6<m 或425>m 时，方程一个解；当4256<<m 时，方程有三个解.--------------------------------------------------------------3分(2) 由题意知)()(x g x f <恒成立，即1||<-a x x 在x ∈[1,2]上恒成立，xa x 1||<-在x ∈[1,2]上恒成立xx a x x 11+<<-在x ∈[1,2]上恒成立，∴223<<a -----------------------------------------9分(3) ⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥-+=ax x a x ax x a x x f ,)2(,)2()(22①a a ≤-22且a a ≥+22，即22≤≤-a ，f(x)在R 单调递增，满足题意； ②a a >-22且a a ≥+22，即2-<a ，f(x)在(−∞，a)和(22-a ，+∞)单调递增， ∵f(x)在(-4，2)上单调递增，∴a ≥2或-4，∴6-≤a ；③a a >-22且a a <+22，即2-<a 且2>a ，舍去； ④a a <-22且a a <+22，即2>a ，f(x)在(−∞，22+a )和(a ，+∞)上单调递增， ∵f(x)在(-4，2)上单调递增，∴222≥+a 或a ≤-4，∴a>2综上：26-≥-≤a a 或-----------------------------------------------------16分。