(完整)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版),推荐文档

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基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形（1）若*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

（2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论（1）若0x >，则1

2x x

≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则

2111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当

b a =时取“=” 6、柯西不等式

（1）若,,,abc d R ∈，则22222

()

()()a b c d a c b d ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 2

基本不等式的比较几大题型(教师版)

基本不等式是数学中的重要概念，它帮助我们比较数字大小关

系并解决实际问题。在这份文档中，我们将介绍基本不等式的比较

几大题型，帮助教师更好地教授这一知识点。

1. 常见的不等式类型

在教学中，我们常见到以下几种类型的不等式：

- 单变量一次不等式：类似于 $ax + b < 0$ 或 $cx + d > 0$ 的形式。

- 单变量二次不等式：类似于 $ax^2 + bx + c < 0$ 或 $dx^2 + ex + f > 0$ 的形式。

- 双变量不等式：例如 $ax + by < c$ 或 $dx + ey > f$ 的形式。

针对每种类型的不等式，我们可以采用不同的解题方法和策略，下面将介绍其中的一些重点。

2. 单变量一次不等式的解法

对于单变量一次不等式，我们可以通过以下步骤来解题：

1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。

2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。

3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。

4. 根据测试点的结果确定每个区间的解集。

5. 将所有区间的解集合并得出最终解集。

通过这种方法，我们可以清晰地展示单变量一次不等式的解题过程，并帮助学生理解不等式的含义。

3. 单变量二次不等式的解法

单变量二次不等式的解法也可以采用类似的步骤：

1. 将不等式转化成等式，确定不等式的基准点。

2. 根据基准点将数轴划分成不等式的区间。

3. 在每个区间内选择一个测试点，并判断测试点是大于还是小于基准点。

基本不等式专题完整版(非常全面)教学内容

基本不等式专题辅导

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若 a,b R ,则 a b 2 ab

3、基本不等式的两个重要变形（1）若 a,b R *，则

■ ab

2 2 2

a b c ab bc ca

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数

的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当a b 时取“=”

a b

特别说明：以上不等式中，当且仅当 a b 时取“=”

6、柯西不等式 (1)

若 a, b,c, d R ，则(a 2 b 2)(c 2 d 2) (ac bd)2

(2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有：

2 2 2 2 2 2

(a 1 a 2

a 3 )(柑

b ?

b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s )

(3) 设a 1,a 2, ,a n 与db, ,b 是两组实数，则有

a')®2 b 22 b/) (a^

a 2

b 2

a n

b n )2

一、知识点总结 1、基本不等式原始形式二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

(1)若 a, b R ，则 a 2 b 2 2ab (2)右 a, b R ，则 ab

、设a 'b 均为正数，证明不等式"b 门

a b

2、已知a,b,c 为两两不相等的实数，求证：

(2)若 a, b R ,则 ab

4、求最值的条件：“一正，二定，三相

等”

5、常用结论

(1)若 x 0，则 x —

2 （当且仅当 x 1时取“=”)

1 (2)若 x 0,则 X -

2 （当且仅当 x

基本不等式常见题型(解析版)

基本不等式常见题型（解析版）

题型一：由基本不等式比较大小

1．（多选）若10a b -<<<，则（） A ．222a b ab +> B ．

a b

< C

．a b +>D ．11a b a b

2．（多选）设0a >，0b >，则下列不等式中成立．．

的是（） A ．()114a b a b ⎛⎫

++≥ ⎪⎝⎭

B ．3322a b ab +≥

C ．22222a b a b ++≥+ D

3．（多选）已知实数0a >，0b >，1a b +=．则下列不等式正确的是（）

A ．22a b +≥ B

C ．112216a b ⎛⎫⎛⎫++≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

D ．222a b a b b a +≤

题型二：有基本不等式证明不等式

1．（多选）以下结论正确的是（）

A ．函数1

y x x =+

的最小值是2； B ．若,R a b ∈且0ab >，则2b a a b

+≥； C ．y =2； D ．函数12(0)y x x x =++<的最大值为0．

2．已知a ，b ，c 均为正实数.

(1)求证：a b c ++≥若1a b +=，求证：11119a b ⎛⎫⎛⎫

++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭

1．当0x >时，

234

x +的最大值为 __．

2．实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为___________.

3．（1）已知1x >，求1

411

x x ++

-的最小值；（2）已知01x <<，求()43x x -的最大值．

2023年高三一轮复习专题一基本不等式及其应用-教师版

高三一轮复习专题一基本不等式及其应用

【考点预测】 1.基本不等式

如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤

，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2

a +叫作

b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．

基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，+R ，则

ab b

a ≥+2

（或ab b a 2≥+）

，当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式

（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +

∈，则2

a b

ab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a b

a a a

b a

≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：

①()2

a b a b ++≥

(沟通两和a b +与两平方和22

a b +的不等关系式)

②222

a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22

a b +的不等关系式)

③2

2a b ab +⎛⎫

≤ ⎪⎝⎭

(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)

④重要不等式串：

)

,1122a b a b ab a b R a b

专题一：基本不等式（二）-------三变二、二变一（2）

基本不等式（二）-------三变二、二变一（2）

叶老师说：叶老师把那些年考过的常见的三元不等式都列出来了，希望大家先写，写完后看看完整解析，哪个题目哪个知识点有遗漏的，及时的去补救，基本原则还是降元，变成自己已经熟悉的内容。

叶老师说：最终的结果分母含有和，那么就把条件中的积利用基本不等式化成和。

叶老师说：其实这个题目，考虑半天还是选择放上去，江苏此类题考的不是很多，但是万一考到，都可以用同一种方法解决问题，待定系数，自己先判断让谁的系数待定，谁出现的次数多谁待定，自己尝试下，将题目中的3换成2，看最值是多少。

叶老师说：本题是高考题，括号内给的提示一定要注意，分母化简不太容易，但是观察下分母相加刚好是前面多出来的a平方，顺势就把a平方变成两个相加。

叶老师说：山东高考题PK江苏高考题，谁更难一些，叶老师也不知道，因为这两个对于叶老师来说都不是难题，希望看过解析的同学们也能这么认为。

叶老师说：16还是有点难度的，要先去观察要求出前三项的最值，然后再求出最终的最值。

叶老师说：2014,2016江苏高考的14都考了三角与基本不等式，14年的14题，考了正弦定理，余弦定理与基本不等式，16年的14题体现了本专题的名字，三变二、二变一，A用B,C表示，B,C用一个字母x表示，关于x的表达式求最值。

(完整版)高中数学基本不等式题型总结

专题基本不等式

【一】基础知识

基本不等式：)0,0a b a b +≥>>

（1）基本不等式成立的条件：；

（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号.

2.几个重要的不等式

（1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>；

【二】例题分析

【模块1】“1”的巧妙替换

【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 .

【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 .

【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>，则

1||2||a a b +的最小值为 .

【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足

211a b +=，则2a b +的最小值为 .

【变式】已知正实数,a b 满足

211a b

+=，则2a b ab ++的最小值为 .

【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 .

【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则

8x y xy +的最小值为 .

【例5】已知0,0a b >>，若不等式

212m a b a b

+≥+总能成立，则实数m 的最大值为 .

【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则

12a b +的最小值为 .

【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则

基本不等式专题完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形（1）若*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

（2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论（1）若0x >，则1

2x x

+≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1

2x x

≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则2

2111

22b a b

a a

b b

a +≤+

≤≤+ （1）若,,,a b c d R ∈，则2

()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 222(a a a ++⋅⋅⋅+)222)b b b ++⋅⋅⋅+(2()a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+

(完整版)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版)

专题函数常见题型归纳

三个不等式关系：

（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．

ab （3）a ，b ∈R ，

≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．

a 2＋

b 2

a ＋b

2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．

其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b

2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且

1，，b a ，则的最小值为 .

7log 3log 2=+a b b a 1

2-+

b a 【解析】∵且∴，解得

1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 3

2log 7log a a b b

=或，∵∴，即．1log 2a b =

log 3a b =1，，b a 1

log 2a b =2a b =2111111

a a

b a +=-++--．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足

0x y >>，且22log log 1x y +=，则22

x y x y

+-的最小值为

．

解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么

基本不等式常见题型归纳汇总

与求值相关的数学问题和与不等式相关的数学问题是高中数学中大的两个考察方向，而基本不等式作为不等式问题的重要组成部分，贯穿高中数学中圆锥曲线、数列、函数、三角函数等多个知识点，所有掌握基本不等式的基本题型，对解决与基本不等式相关的问题显得尤为重要。现笔者对基本不等式常出现的题型予以总结，以供师生参考。

主要知识

题型一

基于简单变换的基本不等式问题

此类题型以求和的取值范围转化为积为定值求解，求积的取值范围问题转化为和为定值求解为突破口，借助构造思想，构造为可以使用基本不等式的形式；常见的构造变换方法有凑项变换、拆项变换、系数变换、平方变换、常量代换、三角代换等。

题目

思路点拨

以上8题借助常见的转换形式，往和为定值或者积为定值的方向转化即可。

解析

变式提升

思路点拨

借助常见的转换形式，往常见基本不等式相关形式转化即可。注意基本不等式“一正二定三相等”条件的限制。

题目

思路点拨

解析

变式提升

思路点拨

分离参量，然后分子分母同除，再借助分离变换即可。

题型二

基于ax+by+cxy=d类型的构造

此类题型常常以和以及积的等式形式出现，然后求和或者积的取值范围，题型切入口为将等式转化为不等式，常见的解题思路有构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等。

题目

思路点拨

将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。解析

题目

思路点拨

将等式转化为不等式，找出可以利用的不等量关系即可。解析

变式提升

思路点拨

借助构造与变形转化为不等式或者单变量函数关系式，然后利用构造法、判别式法、化法，变量代换、整体代换等方法求解即可。

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基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形（1）若*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

（2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=”

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论（1）若0x >，则1

2x x

≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则12x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则

22111

22b a b a ab b a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式

（1）若,,,abc d R ∈，则22222

()

()()a b c d a c b d ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

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基本不等式专题辅导之迟辟智美创作

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*,R b a ∈，则ab b

a ≥+2

（2）若*

,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅那时b a =取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、经常使用结论（1）若0x >，则1

2x x

≥ (当且仅那时1x =取“=”）（2）若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅那时1x =-取“=”）

（3）若0>ab ，则2≥+a

b a (当且仅那时b a =取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则22111

2b a b a ab b

a +≤

+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅那时b a =取“=” 6、柯西不等式

（1）若,,,a b c d R ∈，则22222

()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

(完整版)基本不等式全题型

题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab

例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1

(x ∈R )值域为________；

(2)函数f (x )＝x 2

＋

x 2

＋1

的值域为________．解析：(1)∵x >0，x ＋1

≥2

x ·1

＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)；当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2

＋

1x 2

＋1＝(x 2

＋1)＋1x 2＋1

－1≥2x 2＋1·1

x 2＋1

－1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立．

答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)

4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4

x －1

的最小值为________．

解析：x ＋

4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1

，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4

＋x 的最大值为________．

(1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－⎣⎢⎡⎦

⎥⎤4

－x ＋

－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4

－x ，即x

＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－⎣⎢⎡⎦

⎥

⎤4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.

例：当x ＞0时，则f (x )＝

x 2

＋1

的最大值为________．解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝

(完整版)基本不等式知识点和基本题型

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+ （2）若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形

（1）若*

,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论

（1）若0x >，则1

2x x +

≥ (当且仅当1x =时取“=”）（2）若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

（3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2

)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则22111

22b a b a ab b

a +≤+≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当

b a =时取“=” 6、柯西不等式

（1）若,,,a b c d R ∈，则22222

()()()a b c d ac bd ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222

1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

高中数学基本不等式(教师版)

第4讲基本不等式思维导图

知识梳理1．基本不等式ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .

2．算术平均数与几何平均数

设a ＞0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2

，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值问题

已知x >0，y >0，则

(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．

(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24

(简记：和定积最大)．核心素养分析

(,0)2

a b a b +≤≥。结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题。重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.

题型归纳题型1 利用基本不等式求最值

【例1-1】（2019·济南模拟）（1）已知2x <，求9()2f x x x =

+-的最大值；（2）已知x ，y 是正实数，且9x y +=，求

13x y +的最小值．【分析】（1）由题意可得99()222(2)22f x x x x x

=+-+=-+---，然后结合基本不等式即可求解；（2）由题意可得13113()()9x y x y x y

+=++，然后结合基本不等式可求．【解答】解：（1）因为2x <，则999()222(2)224222f x x x x x =

基本不等式专题 ---完整版(非常全面)

基本不等式专题辅导

一、知识点总结

1、基本不等式原始形式

（1）若R b a ∈,，则ab b a 22

≥+

（2）若R b a ∈,，则2

2b a ab +≤

2、基本不等式一般形式（均值不等式）

若*

,R b a ∈，则ab b a 2≥+

3、基本不等式的两个重要变形（1）若*

,R b a ∈，则

ab b

a ≥+2

（2）若*,R b a ∈，则2

2⎪

⎭

⎫ ⎝⎛+≤b a ab

总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；

当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；

4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”

5、常用结论

（1）若0x >，则1

2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）

（2）若0x <，则1

2x x

+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）

（3）若0>ab ，则2≥+a

b b a (当且仅当b a =时取“=”）

（4）若R b a ∈,，则2)2(2

22b a b a ab +≤

+≤ （5）若*

,R b a ∈，则

21112

2b a b a ab b

a +≤+

≤

≤+

6、柯西不等式

（1）若,,,a b c d R ∈，则2

()()()a b c d ac bd ++≥+

（2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：

22222221231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++

（3）设1212,,,,,,n n a a a b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅与b 是两组实数，则有 22212(n a a a ++⋅⋅⋅+)22212)n b b b ++⋅⋅⋅+(21122()n n a b a b a b ≥++⋅⋅⋅+