(完整)专题：基本不等式常见题型归纳(教师版),推荐文档

专题函数常见题型归纳

三个不等式关系：

（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号．

（2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b 时取等号．

ab （3）a ，b ∈R ，

≤()2，当且仅当a ＝b 时取等号．

a 2＋

b 2

2

a ＋b

2上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．

其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2(或ab ≤()2)，当且仅当ab a ＋b

2a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号．【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知且

1，，b a ，则的最小值为 .

7log 3log 2=+a b b a 1

1

2-+

b a 【解析】∵且∴，解得

1，，b a 7log 3log 2=+a b b a 3

2log 7log a a b b

+

=或，∵∴，即．1log 2a b =

log 3a b =1，，b a 1

log 2a b =2a b =2111111

a a

b a +=-++--

．13≥=练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数,x y 满足

0x y >>，且22log log 1x y +=，则22

x y x y

+-的最小值为

．

解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么

y x y x -+22=y x xy y x -+-2)(2=（x －y ）+y x -4

≥2y x y x -⋅-4)(=4，当且仅当（x －y ）=

y

x -4

，即x=3+1，y=3－1时等号成立，故y x y x -+22的最小值为4．

2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数满足

,x y

，则的最小值为 ．

1

33(02

xy x x +=<<313x y +

-3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知，且，则

0,0,2a b c >>

>2a b +=的最小值为 .

2ac c c b ab +-+

【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则＋

4x

4x ＋y 的最大值为 ．

y

x ＋y 解析：由于＋==4x 4x ＋y y

x ＋y ))(4()

4()(4y x y x y x y y x x +++++2

2

225484y

xy x y xy x ++++=1+

=1+≤1+

=，

22543y xy x xy ++345x y y x ⋅++5423

+⋅x

y y x 43当且仅当4

=，即y=2x 时等号成立．y x x

y

【典例3】若正数、满足,则的最小值为__________.a b 3ab a b =++a b +解析：由,得,解得,a b R +∈2

23(

),()4()1202

a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥(当且仅当且,即时,取等号).

6a b +≥a b =3ab a b =++3a b ==变式：1.若,且满足,则的最大值为_________.

,a b R +∈22a b a b +=+a b +解析：因为,所以由,,a b R +∈22

2

2

2

()2

a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥2

()a b +-

,解得(当且仅当且,即时,取等号).

2()0a b +≤02a b <+≤a b =22a b a b +=+1a b ==2.设，，则的最小值为_______ 40,0>>y x 822=++xy y x y x 2+3.设，，则的最大值为_________

R y x ∈,14

2

2

=++xy y x y x +2105

24.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数，满a b 足

，则的最小值为 19

5a b

+=-ab 【题型二】含条件的最值求法

【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数满足，则

y x ,1=+y x

的最小值为 1

1

24++

+y x 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数满足

，则y x ,11

1=+y

x 的最小值为 .

1

914-+

-y y

x x 解析：对于正数x ，y ，由于

+=1，则知x>1，y>1，那么x 1y

1

+=（+）（1+1－－）=（+）（+）≥（

14-x x 14-y y 14-x x 14-y y x 1y 1

14-x x 14-y y x x 1-y

y 1-+）2

=25，当且仅当·=·时等号成x x x x 114-⋅-y y y y 114-⋅-14-x x y y 1-1

4-y y x x 1-立．

2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数,x y 满足22x y +=，则

8x y

xy

+的最小值为 ．

解析：

8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当82x y

y x

=

时，取等号．故答案为：9．3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数的图像经过点

(0)x

y a b b =+>，如下图所示，则

的最小值为 .

(1,3)P 41

1a b

+-

解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么

+=（a －1+b ）（+）=（4+14-a b 12114-a b 12

1