冀教版2019-2020年八年级数学下册12.微专题：平行四边形中的典型模型问题

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人教版2020年八年级数学下册12微专题平行四边形中的典型模型问题习题(新版)冀教版

微专题：平行四边形中的典型模型问题◆模型一平行四边形＋内角平分线→等腰三角形1．(2017·石家庄长安区期末)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝7，∠ABC的平分线BE 交AD于点E，则DE的长为( )A．4 B．3 C．3.5 D．2第1题图第2题图2．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E.若AB ＝3，EF＝1，则BC长为( )A．4 B．5 C．6 D．73．如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是________．◆模型二平行四边形中求面积或判断全等三角形模型(根据中心对称性或等高求面积)4．如图，平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部分，分别记作S1，S2，S3，S4，下列关系式成立的是( )A．S1＜S2＜S3＜S4 B．S1＝S2＝S3＝S4C．S1＋S2＞S3＋S4 D．S1＝S3＜S2＝S4第4题图第5题图5．如图，已知▱ABCD的面积为24，点E为AD边上一点，则图中阴影部分的面积是( ) A．6 B．9 C．12 D．156．如图，在平行四边形ABCD中，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC 于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF；③△EAM≌△FCN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．③④第6题图第7题图7．如图，AC，BD为▱ABCD的对角线，已知BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为________．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N.若△CON的面积为2，△DOM的面积为3，则△AOB的面积为________．第8题图第9题图9．(2017·南充中考)如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB.若CG＝2BG，S△BPG＝1，则S▱AEPH＝________．◆模型三平行四边形中利用面积法求高的问题10．(2017·邢台县校级期末)如图，平行四边形ABCD的邻边AD∶AB＝5∶4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.若AE＝2cm，则AF＝________cm.第10题图变式题图【变式题】高在内部→高在外部如图，▱ABCD的周长是103＋62，AB的长是5 3 ，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于点F，DE的长是3，则DF的长为________．参考答案与解析1．B 2.B3．24 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°.又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB ＋∠PBA ＝12(∠DAB ＋∠CBA )＝90°.∴∠APB ＝90°.∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP ＝∠PAB .∵AB ∥CD ，∴∠PAB ＝∠DPA ，∴∠DAP ＝∠DPA ，∴DP ＝AD ＝5.同理PC ＝CB ＝5，则AB ＝DC ＝DP ＋PC ＝10.在Rt△APB 中，AB ＝10，AP ＝8，∴BP ＝102－82＝6，∴△APB 的周长为6＋8＋10＝24.4.B5.C6.B7.128.59．4 解析：∵EF ∥BC ，GH ∥AB ，∴四边形HPFD 、BEPG 为平行四边形，∴S △PHD ＝S △DFP ，S △PEB ＝S △BGP .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S △ABD ＝S △CDB ，∴S △ABD －S △PEB －S △PHD ＝S △CDB －S △BGP －S △DFP ，即S 四边形AEPH ＝S 四边形PFCG .∵CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，∴S 四边形AEPH ＝S 四边形PFCG ＝4S △BPG ＝4×1＝4.10．2.5 【变式题】562 解析：∵▱ABCD 的周长是103＋62，∴CD ＝AB ＝53，AD ＝BC ＝(103＋62－2×53)÷2＝32.∵S ▱ABCD ＝AB ·DE ＝BC ·DF ，即53×3＝32·DF ，∴DF ＝562.。

《平行四边形的判定》冀教版八年级数学下册课件ppt(3篇)

数学语言表示：
A
D
∵AB＝CD，AD＝BC（已知）
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形B是平行四边形C）
• 将两根细木条AC，BD的中点重叠，用小钉绞合在一起，用橡皮筋连接木条的顶点，做成一个四边形ABCD。转动两根木条，四边形ABCD一直是一个平行四边形吗？
已知：在四边形ABCD中,AC、BD交于点O且OA=OC，
求证：四边形ABCD是平行四边形
A
D
B
C
对角线互相平分的四边形为平行四边形
A
D
o
B
C
平行四边形判定
1.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
2. 对角线互相平分的四边形为平行四边形
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ6.已知:如图平行四边形ABCD中,E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF。
求证：四边形BFDE是平行四边形
O
B
F
C
判断对错
(1)一组对边平行且另一组对边相等的四边形是
平行四边形;
(× )
(2)两组对角都相等的四边形是平行四边形 ( √ )
(3)一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行
边形;
(√ )
(4)一组对边平行,一组邻角互补的四边形是平行
四边形;
( ×）
(5)两组邻角互补的四边形是平行四边形. (× )
OB=OD
求证：四边形ABCD是平行四边形
证明：在△AOB和△COD中
A
31
O 2
OA=OC（已知） ∠AOB=∠COD（对顶角相等）
D
OB=OD（已知）
4 ∴△AOB≌△COD（SAS）
∴ ∠3 = ∠4（全等三角形对应角相等）

八年级下册数学几何模型大全

八年级下册数学几何模型大全数学几何模型是数学中的一个重要分支，其在实际生活中有着广泛的应用。

下面就是八年级下册数学几何模型的大全，将其按照列表形式呈现：1. 立方体模型立方体是一种有六个正方形面的多面体，每个面都是相等的正方形。

立方体的模型可用于求解立方体的表面积、体积等问题。

2. 棱柱模型棱柱是一种有两个平面相等的多面体，其中底面为一个n边形，侧面为n个矩形。

棱柱的模型可用于求解棱柱的表面积、体积等问题。

3. 圆锥模型圆锥是一种由一个圆锥面和一条顶点到圆锥面上一点的直线组成的多面体。

圆锥的模型可用于求解圆锥的表面积、体积等问题。

4. 圆柱模型圆柱是一种有两个平面相等的多面体，其中底面为一个圆形，侧面为若干个矩形。

圆柱的模型可用于求解圆柱的表面积、体积等问题。

5. 三棱锥模型三棱锥是一种由一个三角形面和三条顶点到三角形面上一点的直线组成的多面体。

三棱锥的模型可用于求解三棱锥的表面积、体积等问题。

6. 球模型球是一种由无数个相等的圆周组成的多面体，每个圆周都在一个球心上。

球的模型可用于求解球的表面积、体积等问题。

7. 勾股定理模型勾股定理模型是用来求解平面直角三角形的模型，它是勾股定理的视觉体现。

8. 直线模型直线是数学中的基本概念，它是欧氏几何中的基本构件之一。

直线模型可以用于求解空间中的直线问题。

9. 平面模型平面是数学中的一个基本概念，它是欧氏几何中的基本构件之一。

平面模型可以用于求解空间中的平面问题。

总之，数学几何模型是数学中不可或缺的一部分，它们不仅有着美妙的几何形态，还能够解决实际生活中的各种问题。

以上列出的是八年级下册数学几何模型的大全，相信对学习数学几何有所帮助。

八年级数学特殊的平行四边形冀教版知识精讲

初二数学特殊的平行四边形冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：1. 矩形的性质和识别方法．2. 菱形的性质和识别方法．3. 正方形的性质和识别方法．二. 知识要点：1. 矩形（1）定义：当平行四边形有一个内角为直角时，我们把它叫做矩形．（2）矩形的性质：①矩形的四个内角都是直角；②矩形的对角线相等；③矩形具有平行四边形的一切性质，矩形既是轴对称图形又是中心对称图形．④直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．（3）矩形的识别方法：①定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．②有三个角是直角的四边形是矩形．③对角线相等的平行四边形是矩形或对角线相等且互相平分的四边形是矩形．2. 菱形（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（2）菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，其对称轴为对角线所在的直线；④菱形的周长等于边长的4倍．⑤菱形的面积等于对角线乘积的一半．B（3）菱形的识别：①四条边都相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形3. 菱形与矩形的区别与联系：菱形和矩形虽都是特殊的平行四边形，不同的是菱形是在边上的特殊，四条边都相等，这一点一般平行四边形不具有，对角相等这一特征一般平行四边形也具有；而矩形是在内角上有不同于一般平行四边形的特征，即四个角都是直角．另外菱形具有的而一般平行四边形不具有的还有对角线互相垂直，矩形具有而一般平行四边形不具有的是对角线相等，矩形和菱形在特征上的相同之处是都具有平行四边形所具有的性质． 4. 正方形（1）定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的所有性质． ①正方形各边的性质：四条边相等，对边平行． ②正方形各角的性质：四个角都是直角．③正方形对角线的性质：正方形的对角线互相平分、互相垂直、相等，且每一条对角线平分一组对角．④正方形的对称性：正方形是轴对称图形，对边中点所在直线和对角线所在直线都是正方形的对称轴．正方形也是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．B（3）正方形的识别：①有一组邻边相等的矩形是正方形； ②对角线互相垂直的矩形是正方形； ③一个内角是直角的菱形是正方形； ④对角线相等的菱形是正方形；⑤有一组邻边相等且互相垂直的平行四边形是正方形； ⑥对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形． 5. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系平行四边形三. 重点难点：重点是掌握矩形、菱形、正方形的性质和识别方法；难点是平行四边形、矩形、菱形、正方形的区别与联系．【典型例题】例1. 如图所示，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AB ＝4cm ．（1）判定△AOB 的形状；（2）求对角线的长．AB CDO分析：要判定△AOB 的形状，由于∠AOB ＝60°，所以可考虑这个三角形是等边三角形．由矩形的性质知：OA ＝OB ，即△AOB 是等边三角形．由“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”得出结论；要求对角线的长可直接应用矩形的性质求出．解：（1）由于四边形ABCD 是矩形，所以对角线AC 与BD 互相平分且相等，即OA ＝OB ．又∠AOB ＝60°．所以△AOB 是等边三角形．（2）OA ＝AB ＝4cm ，DB ＝CA ＝2OA ＝8cm ．因此对角线的长为8cm ．评析：利用矩形的性质；矩形的对角线相等且互相平分，可以得到4个等腰直角三角形，然后再加以利用．例2. 如图所示，矩形ABCD 中AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ，试说明BE ＝CF ．AB CDEFO分析：BE 和CF 分别为R t △BEO 和R t △CFO 中的一边，可通过证三角形全等来证BE ＝CF解：因为四边形ABCD 是矩形．所以 AC ＝BD ，所以 BO ＝CO ．因为 BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F ．所以 ∠BEO ＝∠CFO ＝90°．又因为 ∠BOE ＝∠COF ，所以 △BOE ≌△COF ．所以 BE ＝CF ．评析：矩形对角线相等且互相平分的性质，为证三角形全等提供了条件．例3. 如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB 交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，试说明四边形AEFG 是菱形．分析：由已知可知，图中有平行线可证等角，等线段，因此可先证四边形AEFG 是平行四边形，再证一组邻边相等．解：因为∠BAC ＝90°，EF ⊥BC ，∠1＝∠2，所以AE ＝EF ，∠3＝∠4，因为AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，所以EF ∥AD ，所以∠4＝∠5，所以∠3＝∠5，所以AE ＝AG ．所以EF ∥AG 且EF ＝AG ，所以四边形AEFG 是平行四边形．又因为AE ＝EF ，所以平行四边形AEFG 是菱形．评析：在识别菱形时，容易犯忽视前提条件的错误，如对于四边形，已知一组邻边相等，或对角线互相垂直，就说这个四边形是菱形．事实上，只有在四边形是平行四边形的前提下，才能由一组邻边相等或对角线互相垂直说明这个平行四边形是菱形．若不具备这一前提，一定要先证明这个四边形是平行四边形．例4. 如图所示，E 是正方形ABCD 的对角线BD 上一点，EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，垂足分别是F 、G ．试说明AE ＝FG ．A BC DEFG分析：由EF ⊥BC ，EG ⊥CD 可得矩形EFCG ，则FG ＝EC ，再证△ABE ≌△CBE ，得AE ＝EC ，即可得到AE ＝FG ．解：连结EC ，因为四边形ABCD 是正方形， EF ⊥BC ，EG ⊥CD ，所以四边形EFCG 为矩形．所以FG ＝CE ．因为BD 是正方形ABCD 的对角线．所以∠ABE ＝∠CBE ．又BE ＝BE ，AB ＝CB ，所以△ABE ≌△CBE ．所以AE ＝EC ，所以AE ＝FG ．评析：用CE 沟通AE 和FG 之间的联系．例5. （1）下列命题中正确的是（）A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两条对角线相等的四边形是矩形C ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形D ．两条对角线互相垂直且平分的四边形是正方形（2）如图所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若再补充一个条件能使菱形ABCD 成为正方形，则这个条件是__________（只填一个条件即可）．A DBO第(2)题第(3)题A BCD（3）如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠D ＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是__________．（写出一种情况即可）分析：（1）这个问题可以这样考虑：对角线互相平分的四边形是平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形是矩形；对角线互相垂直平分的四边形是菱形；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．故选A ．（2）这个问题实际上是问什么样的菱形是正方形？有一个角是直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，考虑角可补充的条件是∠BAD ＝90°或AD ⊥AB ；考虑对角线补充：AC ＝BD ．（3）本题应考虑和角相关的矩形的识别方法，有一个角是直角的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形．可添加的条件是∠A ＝90°或∠B ＝90°，AD ＝BC ，AB ∥CD 等．解：（1）A （2）∠BAD ＝90°（或AD ⊥AB ，AC ＝BD 等）（3）∠A ＝90°或AD ＝BC 或AB ∥CD例6. 如图所示，在菱形ABCD 中，E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，AB ＝a ．（1）求∠ABC 的度数；（2）求对角线AC 的长；（3）求菱形ABCD 的面积．ABCD OE分析：本题考查菱形的定义，解题的关键是作辅助线，将菱形问题转化为三角形问题进行求解．解：（1）连结BD ，交AC 于点O ．因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ．因为E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，所以AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形，所以∠ABC ＝60°×2＝120°．（2）因为四边形ABCD 是菱形，所以AC 、BD 互相垂直平分，所以OB ＝12BD ＝12AB ＝12a ．所以OA ＝AB 2－OB 2＝a 2－（12a ）2＝32a ，所以AC ＝2AO ＝3a ．（3）S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝12·3a ·a ＝32a 2．评析：菱形被对角线分成四个全等的直角三角形，利用三角形面积公式可得菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半．【方法总结】这部分内容之间联系比较紧密，研究问题的思路和方法也类似，推理论证的难度也不大．相对来说，平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系与区别，是学习的难点．因为各种平行四边形概念交错，容易混淆，常会出现“张冠李戴”的现象．在应用它们的性质和判定的时候，也常常会出现用错、多用、少用条件的错误．学习中要注意分清这些四边形的从属关系，梳理它们的性质和判定方法，克服这一难点．【模拟试题】（答题时间：60分钟）一. 选择题1. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 对角线平分一组对角2. 在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量一组对角线是否互相垂直D. 测量其中三角是否都为直角 3. 下列判断中正确的是（） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 四角相等的四边形是正方形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是正方形D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形4. 如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（） A. AB ＝CD B. AD ＝BC C. AB ＝BC D. AC ＝BDABCDO5. 已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中∠1与∠2一定不相等的是（）AD12B ADC B AC 12D 12BAD C D CBA6. 已知：如图所示，在矩形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 的中点．若AB ＝2，AD ＝4，则图中阴影部分的面积为（）A. 3B. 4C. 6D. 8CD G H*7. 如图所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，E 、F 为垂足，且E 、F 又分别是BC 、CD 的中点，则∠EAF 的度数为（）A. 75°B. 60°C. 45°D. 30°CABDEF**8. 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边CD 、AD 上的点，且CE ＝DF ，AE 、BF 相交于点O ，下列结论①AE ＝BF ；②AE ⊥BF ；③AO ＝OE ；④S △AOB ＝S 四边形DEOF 中，错误的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个ABC DEFO二. 填空题1. 已知菱形ABCD 的周长为20cm ，∠A ∶∠ABC ＝1∶2，则对角线BD 的长等于__________cm ．2. 正方形是特殊的平行四边形，请写出一条正方形具有而平行四边形不具有的性质：__________．3. 如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PF ＝3cm ，则P 点到AB 的距离是__________cm ．ABCD E FP4. 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，已知∠AOD ＝120°，AB ＝2.5，则AC 的长为__________．ABC DO5. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝1，点P 是对角线AC 上的一点，分别以AP 、PC 为对角线作正方形，则两个小正方形的周长的和是_________．ABCDP6. 如图所示，直线l 是四边形ABCD 的对称轴，如果AD ∥BC ，有下列结论：（1）AB ∥CD ；（2）AB ＝BC ；（3）AB ⊥BC ；（4）AO ＝OC ．其中正确的结论有__________（把你认为正确的结论的序号都填上）．A BCDlO7. 任意一个平行四边形，当它的一个锐角增大到_______度时，就变成了矩形；当它的一组邻边变到_______时，就变成了菱形；当它的两条对角线变到______时，就变成了正方形． 8. 如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM ＋PN 的最小值是_____________．AB CDPMN三. 解答题1. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于点E 、F ．试说明四边形AFCE 是菱形．ABCDE FO2. 如图，正方形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，∠OCF ＝∠OBE ．求证：OE ＝OF ．ABCD E FO*3. 如图，四边形ABCD 是正方形，G 是BC 上任意一点（点G 与B 、C 不重合），AE ⊥DG于E ，CF ∥AE 交DG 于F ．（1）在图中找出一对全等三角形，并加以证明；（2）求证：AE ＝FC+EF ．AB CDE FG4. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 为BC 上两点，且BE ＝CF ，AF ＝DE ．求证：（1）△ABF ≌△DCE ；（2）四边形ABCD 是矩形．A BCDE F*5. 如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2AB ＝4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．ABCDEF【试题答案】一. 选择题1. C2. D3. D4. D5. D6. B7. B8. A二. 填空题1. 52. 四边相等；对角线相等；对角线互相垂直等．3. 34. 55. 46. （1）（2）（4）7. 90，相等，互相垂直且相等8. 5（提示：取CD的中点K，则点K和点N关于直线AC对称，PM＋PN的最小值即为KP＋PM的最小值，点K、P、M在同一直线上时，其和最小）三. 解答题1. 因为四边形ABCD是平行四边形，所以AE∥FC，∠DAC＝∠BCA．因为EF垂直平分AC，所以∠AOE＝∠COF＝90°，AO＝CO，所以△AOE≌△COF．所以AE＝CF，所以四边形AFCE是平行四边形，又EF⊥AC，所以四边形AFCE是菱形．2. 在正方形ABCD中，OC＝OB，∠COB＝∠EOB＝90°．又因为∠OCF＝∠OBE，所以△OCF≌△OBE，所以OE＝OF．3. （1）ΔAED≌ΔDFC．因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝DC，∠ADC＝90°．又因为AE⊥DG，CF∥AE，所以∠AED＝∠DFC＝90°，所以∠EAD＋∠ADE＝∠FDC＋∠ADE＝90°，所以∠EAD＝∠FDC．所以ΔAED≌ΔDFC（AAS）．（2）因为ΔAED≌ΔDFC，所以AE＝DF，ED＝FC．因为DF＝DE＋EF，所以AE＝FC＋EF．4. （1）在平行四边形ABCD中，AB＝CD；因为BE＝CF，所以BE＋EF＝CF＋EF，即BF=CE；又AF＝DE．所以△ABF≌△DCE．（2）由（1）知∠B＝∠C，又因为AB∥CD，∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝90°，所以平行四边形ABCD是矩形．5. （1）因为E、F分别是BC、AD的中点，所以BE＝DF．又因为AB＝CD，∠B＝∠D．所以△ABE≌△CDF（SAS）；（2）当四边形AECF为菱形时，△ABE为等边三角形，四边形ABCD的高为3，所以菱形AECF的面积为23．。

《平行四边形的性质》冀教版八年级数学下册教材课件PPT(3篇)

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∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
2020年12月10日星期四
2
C
11
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分. A
D
O
符号语言：
B
C
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ OA=OC OB=OD
2020年12月10日星期四
12
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B
D
如图，在平面直角坐标系中， OBCD的顶点
O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的
Y
坐标为（ C ）
D(2,3) C
A. (3,7) B. (5,3) C. (7,3) D. (8,2)
O (0,0) B(5,0) x
2020年12月10日星期四
19
如图,在 ABCD中, 对角线AC﹑BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,
B
16
选择：平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ B ）
A、不稳定性
B、对角线互相平分
C、内角的为360度 D、外角和为360度
2020年12月10日星期四

[荐]初中八年级数学下必考点-平行四边形几何模型详解

【下载后获高清版】初中八年级数学下必考点-平行四边形几何模型详解一、基础知识条件的组合搭配是解决几何综合题目的基本思路，在进行组合搭配中往往遇到一些常用的结构．可以通过补全图形，从而构造熟悉的结构：三角形的三线：底边上的中线、底边上的高线、顶角的角平分线.二、方法技能1．几何计算、证明的基本思考流程①标注条件，合理转化；②组合特征，分析结构；③由因导果，执果索因．2．特殊四边形中隐含条件①平行四边形中隐含条件：平行、中点；②菱形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直；③矩形中隐含条件：平行、中点、垂直；④正方形中隐含条件：平行、中点、角平分线、垂直．3．四边形中常见几何结构举例①中点结构：直角+中点，平行+中点，多个中点；②旋转结构：等线段共点，对角互补；③弦图结构：外弦图，内弦图，等腰直角，三垂；④面积结构：三个“一半”，平行转化．三、典例精讲1．如图，在平行四边形ABCD 中，BC= 2AB ，CE⊥AB 于点E，F为AD的中点，若∠AEF = 54°，则∠B = ．【分析】（体会条件组合与搭配）方法一：①AB∥CD ，F为AD 的中点；→平行夹中点→延长证全等；②∠GCE = ∠CEB= 90°，F为AD的中点；→直角+中点→直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．∴易证△AFE≌△DFG (SAS) ，∴EF=FG∵∠GCE=∠CEB = 90°，∴EF=GF=CF∵BC=2AB ，∴FD=CD∵∠AEF=54°，∴∠FEC=∠FCE = 36°，∠CFD=∠FCD=∠G=54°∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°方法二：F为AD的中点，取CE中点造梯形AECD 的中位线（构成△CEF 两线合一）∵∠AEF=54°，∴∠FEC=∠FCE=36°，∠CFD=∠FCD=54°∴∠B=∠CDF=180°-108°=72°方法三：∵CE⊥ AB 于点E ，∴取BC中点，构造直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半又∵BC=2AB ，∴BG=EG=CG=CD=FD=AF ，∴AB∥FG∥CD ，∴∠GEF=∠GFE=∠AEF=54°，∠B=∠GEB=72°2．如图，在菱形ABCD中，∠A =110°，E 、F分别是边AB 、BC的中点，若EP⊥CD于点P ，则∠FPC= ．【分析】四边形ABCD是菱形，F分别是边BC的中点，构成平行夹中点→延长证△BEF≌△CGF(SAS)∴EF=FG=FP ，AE=BE=BF=FG（菱形的四边相等）∴∠B=70°,∠BFE=∠BEF=∠G=∠FPC=55°3．如图，在菱形ABCD中，AB=BD,点E，F分别在边AB，AD上，且AE=DF连接BF,与DE相交于点G，连接CG,与BD相交于点H ．则下列结论：①△AED≌△DFB；②∠BGD=120°其中正确的是．（填序号）【分析】①△AED≌△DFB（SAS），∴①正确②由△AED≌△DFB 得∠1 = ∠2 ，∴∠BGE=∠1+∠3=∠2+ ∠3 = 60°，∠BGD =120°∴②正确③∵∠BGD+∠BCD=120°+ 60°=180°（对角互补）,CD =CB（等线段共点C）∴可以考虑将△CDG绕点C逆时针旋转60°到△CBM ，也可将△CBG绕点C 顺时针旋转60°注意：辅助线的叙述与三点共线叙述一：将△CDG旋转到△CBM ，必须根据对角互补说明G、B、M三点在一条直线上；叙述二：延长GB至M ，使BM=DG（保证了G、B 、M 三点在一条直线上)，连接CM，此法只需要证明△CBM≌△CDG(SAS) ，从而证得△CGM是等边三角形.∴∴③正确4.（2019）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，点D为BC的中点，点P是射线AD (与A重合)上的一个动点，则当△PBC为直角三角形时，AP 的长为 .【分析】∵点P是射线AD上的一点，且不与A重合，∴∠BCP=90°∵∠ACB=90°，AC=BC=6，点D为BC的中点，∴四、典型练习【思路分析】本题给出F为AD的中点，结合平行四边形提供的对边平行，故考虑“平行夹中点”，借助全等转移边、转移角．综上，其中一定正确的是①②④．【思路分析】本题给出AB=OB ，点E是OA的中点（等腰+中点构三线合一）∴连接BE得BE⊥ AC3．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC ，点E在BC边上，AE=BE ，F是CD边的中点，且AF⊥AB ．若AD=2.7 ，AF=4，AB=6，则CE的长为．【思路分析】本题给出AD∥BC，F是CD边的中点，这是很典型的“平行夹中点”∴延长AF，BC交于点G ，易证△ADF≌△GCF，∴AF=FG=4 ，∵AF⊥AB ，∴由勾股定理可得BG=10．∵AE=BE ，∴∠B=∠2 ，∴∠B+∠G=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠G ，AE=EG=BE=5，∴CE=5-2.7=2.3【思路分析】本题给出正方形内含有正方形结构，∴构造弦图易证：△ABC≌△GFB，△AOB≌△GOF得OA=OG，∠AOG=90°，AG=12 ，∴AC=GB=12+4=16【思路分析】本题给出ABCD是正方形，∠CED=90°，∴∠COD+∠CED=180°，∠ODE+∠OCE=180°构成对角互补，∵OC=OD ，构成等线段共点，∴可考虑将△ODE顺时针旋转90°∴将OE顺时针旋转90°到OF，连接CF，易证△ABC≌△GFB ，∴∠ODE=∠OCF，DE=CF，OE=OF6．如图，两个边长均为2的正方形重叠在一起，正方形OPQR的顶点O与正方形ABCD的中心重合．给出以下结论：①四边形OECF 的面积为1；②CE+CF=2；③OE+OF=2；④四边形OECF 的周长为4 ．其中正确的是．（填序号）【思路分析】本题给出正方形OPQR的顶点O与正方形ABCD的中心重合．方法一：∴∠EOF+∠ECF=90°+90°=180°（对角互补），连接OC、OD，△OEC与△OFD构成旋转型全等.方法二：∵∠EOF这个直角的两边不是水平线和铅垂线（称为斜直角），解决“斜直角”问题常用的方法就是“斜直角放正”（直角的两边由水平线和铅垂线构成），这种方法在直角坐标系中用得很多！∴作OG⊥BC于G，OH⊥CD于H ，易证△OGE≌△OHF，同样可得上述结论．【思路分析】∠AMF是斜直角，可考虑“斜直角放正”，得△AMG≌△BMF ，∴AG=FB，GM=FM∴四边形OGMF是正方形，OG=OF=3，AG=FB=1；△OAB≌△EBC（三垂全等），∴BE=OA=2，CE=OB=4，∴点C的坐标为（6,4）构造弦图可得：△OAB≌△EBC（三垂全等），△OME 是等腰直角三角形，∴OE=6, BE=OA=2 ,CE=OB=4 ,∴点C的坐标为（6，4）8．如图，正方形ABCD的面积为18，菱形AECF的面积为6，则菱形的边长为．【思路分析】本题给出正方形和菱形，他们的对角线都是互相垂直平分的，∴连接BD，AC9．如图，四边形ABCD和CEFG都是菱形，连接AG、GE、AE，若∠F=60°，EF=4，则△AEG的面积为．【思路分析】本题给出两个锐角为60°的菱形，∴连接AC，可得∠ACB=∠GEC=60°，∴AC∥BG，∴（构造平行线造等底等高，平行转移）10．如图，E是□ABCD内任一点，若□ABCD的面积为8，则图中阴影部分的面积为．【思路分析】过点E作AD的平行线交AB于G，交CD于F，利用平行转移得：11．如图，在边长为4的菱形ABCD中,∠B=60°，点E，F，G，H分别在边AB ，AD，DC，CB上，且AF=CH，BE=DG=2.P是直线EF，GH之间的任一点，连接PE，PF，PG，PH，则△PEF与△PGH的面积之和为 .【思路分析】由已知易证△AEF≌△CGH，△BEH≌△DGF，∴EF=GH，EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形，∴由“三个一半，平行转化”知连接EG，过点P作EF的平行线因此12．如图，在平行四边形ABCD中，AB:BC=3:2，∠DAB=60°，点E在AB边上，且AE:EB=1:2，F为BC边的中点，过点D作DP⊥AF于点P，DQ⊥CE 于点Q，则DP:DQ的值为【思路分析】∵DQ⊥CE，DP⊥AF，由“三个一半”得(求两高之比，由面积公式转化为底边之反比) 由已知数据求得：五、重点提升【中点结构】【垂直结构】。

冀教版数学八年级下册同步课件：2第1课时平行四边形的概念及边、角的性质

第二十二章四边形
22.1 第1课时平行四边形的概念及边、角的性质
知识回顾问题1 全等三角形的判定方法有哪些？
问题2 什么叫做中心对称图形？如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这
个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，其中对称的点叫做对应点.
情景导入视察与思考
2.表示方法：记作： ABCD . 读作：平行四边形ABCD.
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线.如图AC,BD. 其交点O叫做平行四边形的中心. 4.平行四边形中，相对的边称为对边，相对的角称为对角.
A
B
AB∥CD AC∥BD
C D
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
1
2
3
4
A B
D ●O
C
现象：从上述结果看出，□ABCD绕
点O旋转180° ，与自身重合.
结论： 1.平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 2.关于O成中心对称的三角形有左与右，上与下两组.
A
D
O
●
B
C
2. 在上面的活动过程中，你发现了▱ABCD的对边AD与CB，AB与CD之间具有怎样的数量关系？对角∠BAD与∠DCB，∠ABC与∠CDA之间具有怎样的数量关系？线段OA与OC，OB与OD之间具有怎样的数量关系?
A
D
O
●
B
C
发现平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点. 平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分.
证明
已知:如图所示,四边形ABCD是平行四边形.
A
D
求证:(1)AD=CB,AB=CD. (2)∠BAD=∠DCB,∠ABC=∠CDA.

八年级数学下册课件(冀教版)平行四边形的性质

别是A (a，b)，B (4，－2)，C (－a，－b)，则关于点D 的说法
正确的是( B )
甲：点D 在第一象限．
乙：点D 与点A 关于原点对称．
丙：点D 的坐标是(－4，2)．
丁：点D 与原点距离是2 5 .
A．甲乙 B．丙丁
C．甲丁 D．乙丙
知识点 3 平行四边形的性质——对边相等
探究根据定义画一个平行四边形，观察它，除了“两组对边
读作“平行四边形 ABCD ”．
AB∥CD 3. 数学表达： AD∥BC
⇔四边形ABCD 是平行四边形.
即：若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD 是平行
四边形；若四边形ABCD 是平行四边形，则AB∥CD，
AD∥BC.
例1 如图，在▱ABCD 中，过点P 作直线EF，GH 分别平
行于AB，BC，那么图中共有__9____
解：在▱ABCD 中，AB＝CD， ∠B＝∠D，
AB＝CD,
在△ABE 和△CDF 中，B＝D,
BE＝DF，
所以△ABE ≌△CDF，所以AE＝CF.
7 如图，在▱ABCD 中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°， AB＝2，则BC 的长是( C )
A. 2 B．2 2 C．2 D．4 2
8 如图，在▱ABCD 中，CE⊥AB，E 为垂足，如果∠A＝120°，那么∠BCE 的度数是( D )
A．1
B．2
C．3
D．4
导引：根据BM 平分∠ABC 和AB∥CD 可以判定△BCM 是等腰三角形，从而得到BC＝MC＝2，再结合▱ABCD 的周长是14 得到CD 的长，进而得到DM 的长．具体过程如下： ∵在▱ABCD 中，AB∥CD，BM 是∠ABC 的平分线， ∴∠CBM＝∠ABM＝∠CMB.∴BC＝MC＝2. 又∵▱ABCD 的周长是14，∴AB＝CD＝5.∴DM＝3.

八年级数学下册第二十二章四边形22.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定一课件新版冀教版

解析：∵AD∥BC，∴DF∥BC，又∵DF＝BC， ∴四边形 BDFC 为平行四边形．
4．如图所示，已知 ABCD 为一平行四边形纸片，将它沿 EF 对折．若四边形 ABFE 为平行四边形，则四边形 CDEF 为平行四边形；若连接 AD，BC，则四边形 ABCD 是平行四边形．
5．如图所示，木工师傅把曲尺的一边紧靠木板边缘，从曲尺的另一边上可以读出木板边缘的刻度，然后将曲尺移动到另一边 (紧靠木板边缘)，如果两次读数相同，说明木板两个边缘平行，你知道为什么吗？
解：∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°. 又∵∠B＝∠D，∴∠C＋∠D＝180°， ∴AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝6. ∴四边形 ABCD 的周长为 2×6＋2×3＝18.
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 3．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 DC 上一点，连接 BE 并延长交 AD 延长线于点 F，连接 BD，CF，请你只添加一个条件：DF＝BC，使得四边形 BDFC 为平行四边形．
随堂演基础练训(1练0分钟)
应用平行四边形的定义判定 1．如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，且 BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF 的度数是 45°.
解析：根据定义可判定四边形 EBFD 是平行四边形．
2．如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝∠D，BC＝6， AB＝3，求四边形 ABCD 的周长．
证明：(1)∵点 C 是 AB 的中点，
∴AC＝BC.在△ADC 与△CEB 中，∵CADD＝＝CBEE，， AC＝BC，
∴△ADC≌△CEB(SSS)．
(2)连接 DE，如图所示：

(优选)2019年八年级数学下册12微专题平行四边形中的典型模型问题习题(新版)冀教版

微专题：平行四边形中的典型模型问题◆模型一平行四边形＋内角平分线→等腰三角形1．(2017·石家庄长安区期末)如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝7，∠ABC的平分线BE交AD 于点E，则DE的长为( )A．4 B．3 C．3.5 D．2第1题图第2题图2．如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E.若AB＝3，EF＝1，则BC长为( )A．4 B．5 C．6 D．73．如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是________．◆模型二平行四边形中求面积或判断全等三角形模型(根据中心对称性或等高求面积)4．如图，平行四边形的两条对角线将平行四边形的面积分成四部分，分别记作S1，S2，S3，S4，下列关系式成立的是( )A．S1＜S2＜S3＜S4 B．S1＝S2＝S3＝S4C．S1＋S2＞S3＋S4 D．S1＝S3＜S2＝S4第4题图第5题图5．如图，已知▱ABCD的面积为24，点E为AD边上一点，则图中阴影部分的面积是( ) A．6 B．9 C．12 D．156．如图，在平行四边形ABCD中，直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD，BC于点M，N，交BA，DC的延长线于点E，F，下列结论：①AO＝BO；②OE＝OF；③△EAM≌△FCN；④△EAO≌△CNO，其中正确的是( )A．①② B．②③ C．②④ D．③④第6题图第7题图7．如图，AC，BD为▱ABCD的对角线，已知BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为________．8．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点M，N.若△CON的面积为2，△DOM的面积为3，则△AOB的面积为________．第8题图第9题图9．(2017·南充中考)如图，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB.若CG ＝2BG，S△BPG＝1，则S▱AEPH＝________．◆模型三平行四边形中利用面积法求高的问题10．(2017·邢台县校级期末)如图，平行四边形ABCD的邻边AD∶AB＝5∶4，过点A作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E，F.若AE＝2cm，则AF＝________cm.第10题图变式题图【变式题】高在内部→高在外部如图，▱ABCD的周长是103＋62，AB的长是5 3 ，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于点F，DE的长是3，则DF的长为________．参考答案与解析1．B 2.B3．24 解析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°.又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB ＋∠PBA ＝12(∠DAB ＋∠CBA )＝90°.∴∠APB ＝90°.∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP ＝∠PAB .∵AB ∥CD ，∴∠PAB ＝∠DPA ，∴∠DAP ＝∠DPA ，∴DP ＝AD ＝5.同理PC ＝CB ＝5，则AB ＝DC ＝DP ＋PC ＝10.在Rt△APB 中，AB ＝10，AP ＝8，∴BP ＝102－82＝6，∴△APB 的周长为6＋8＋10＝24.4.B5.C6.B7.128.59．4 解析：∵EF ∥BC ，GH ∥AB ，∴四边形HPFD 、BEPG 为平行四边形，∴S △PHD ＝S △DFP ，S △PEB ＝S △BGP .∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S △ABD ＝S △CDB ，∴S △ABD －S △PEB －S △PHD ＝S △CDB －S △BGP －S △DFP ，即S 四边形AEPH ＝S 四边形PFCG .∵CG ＝2BG ，S △BPG ＝1，∴S 四边形AEPH ＝S 四边形PFCG ＝4S △BPG ＝4×1＝4.10．2.5 【变式题】562 解析：∵▱ABCD 的周长是103＋62，∴CD ＝AB ＝53，AD ＝BC ＝(103＋62－2×53)÷2＝32.∵S ▱ABCD ＝AB ·DE ＝BC ·DF ，即53×3＝32·DF ，∴DF ＝562.。

冀教版数学八下课件专题(三)与平行四边形的性质与判定有关的计算与证明

灿若寒星
类型二：与平行四边形的判定有关的计算与证明
6．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形” 为结论构成命题．
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例；
8．如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF，BE和CF.
(1)求证：△BCE≌△FDC； (2)判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．
证明： (1) ∵ △ ABC 为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，又∵CD＝CE，∴△CDE 为等边三角形∴∠DEC＝60°，∴∠AEF＝ 60°，又∵EF＝AE，∴△AEF为等边三角形， ∴AE＋EC＝EF＋DE，即AC＝DF，又∵AC ＝BC，∴DF＝BC，又∵∠FDC＝∠BCE＝ 60°，∴△BCE≌△FDC (2)四边形ABDF 为平行四边形．理由：∵∠FAE＝∠BCA＝ 60°，∴AF∥BC，又∵BC＝AC，DC＝EC， ∴BD＝AE，又∵AE＝AF，∴BD＝AF，∴ 四边形ABDF为平行四边形．
求证：(1)∠1＝∠2；(2)DG＝B′G. 解：(1)∵在平行四边形ABCD中，DC∥AB，
∴∠2＝∠FEC，由折叠得∠1＝∠FEC，∴∠1 ＝∠2 (2)∵∠1＝∠2，∴EG＝GF，∵AB∥DC， ∴ ∠ DEG ＝ ∠ EGF ，由折叠得： EC′ ∥ B′F ， ∴∠B′FG＝∠EGF，∠DEG＝∠B′FG，∵DE＝ BF＝B′F，∴△DEG≌△B′FG，∴DG＝B′G
4．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE.

翼教版八年级数学下册微专题矩形中的典型模型问题

微专题：矩形中的典型模型问题◆模型一面积问题1．(2017·北京中考)现代数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两长方形面积相等(如图所示)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．请根据该图完成这个推论的证明过程．证明：S矩形NFGD＝S△ADC－(S△ANF＋S△FGC)，S矩形EBMF＝S△ABC－(________＋ ________)．易知，S△ADC＝S△ABC，________＝________，________＝________．可得S矩形NFGD＝S矩形EBMF.2．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN.若AB＝2 3 ，BC＝25，则图中阴影部分图形的面积和为________．第2题图第3题图3．如图，点P是矩形ABCD内任意一点，连接PA，PB，PC，PD，得到的四个三角形的面积分别为S1，S2，S3，S4，其中S1＝2，S4＝6，则S3－S2＝________．◆模型二矩形中根据面积法求两垂线段的定值问题4．如图，P是矩形ABCD的边AD上一点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F(P与A，D不重合)，若AB＝2，BC＝23，则PE＋PF的值为( )A．2 B．1 C. 3 D．无法确定第4题图第5题图5.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点E为AD的中点，点F为BC边上任一点，过点F分别作EB，EC的垂线，垂足分别为点G，H，则FG＋FH的值为________．【变式题】含角平分线，本质不同如图，四边形ABCD是矩形，E为AD上一点，且∠CBD＝∠EBD，P为对角线BD上一点，PN⊥BE于点N，PM⊥AD于点M.(1)求证：BE＝DE；(2)判断AB和PM，PN的数量关系并说明理由．◆模型三矩形内部含45°角的问题6．(2017·包头中考)如图，在矩形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC上一点，且FC＝2BF，连接AE，EF.若AB＝2，AD＝3，则∠AEF的度数为________．参考答案与解析1．S △AEF S △FCM S △ANF S △AEF S △FGC S △FMC 2．2153．4 解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC .设点P 到AD ，AB ，BC ，CD 的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，则S 1＝12AD ·h 1，S 2＝12AB ·h 2，S 3＝12BC ·h 3，S 4＝12CD ·h 4.∵12AD ·h 1＋12BC ·h 3＝12BC ·CD ，12AB ·h 2＋12CD ·h 4＝12AB ·BC ，∴12AD ·h 1＋12BC ·h 3＝12AB ·h 2＋12CD ·h 4，即∴S 2＋S 4＝S 1＋S 3，∴S 3－S 2＝S 4－S 1＝6－2＝4. 4．C5.3105解析：连接EF .∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，AD ＝BC ＝2，∠A ＝∠D ＝90°.∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ＝1.在Rt △ABE 中，BE ＝AE 2＋AB 2＝12＋32＝10，在Rt △DCE 中，CE ＝DE 2＋DC 2＝12＋32＝10，∴BE ＝CE ＝10.∵S △BCE ＝S △BEF ＋S △CEF ，∴12BC ·AB ＝12BE ·FG ＋12CE ·FH ，即BE (FG ＋FH )＝BC ·AB ，∴10(FG ＋FH )＝2×3，解得FG ＋FH ＝3105.【变式题】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠CBD＝∠EBD，∴∠ADB＝∠EBD，∴BE＝DE.(2)解：AB＝PM＋PN.理由如下：如图，延长MP交BC于Q.∵AD∥BC，PM⊥AD，∴PQ⊥BC.∵∠CBD＝∠EBD，PN⊥BE，∴PQ＝PN，∴AB＝MQ＝PM＋PQ＝PM＋PN.6．45°解析：连接AF.∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝2，BC＝AD＝3.∵FC＝2BF，∴BF＝1，FC＝2，∴AB＝FC.∵E是CD的中点，∴CE＝12CD＝1，∴BF＝CE.在△ABF和△FCE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝FC，∠B＝∠C，BF＝CE，∴△ABF≌△FCE(SAS)，∴∠BAF＝∠CFE，AF＝FE.∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∴∠CFE＋∠AFB＝90°，∴∠AFE ＝180°－90°＝90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴∠AEF＝45°.易错专题：求二次函数的最值或函数值的范围——类比各形式，突破给定范围求最值◆类型一没有限定自变量的取值范围求最值 1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为________．2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是【方法12】( )A ．3B ．2C ．1D ．－13．函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值． ◆类型二限定自变量的取值范围求最值4．在二次函数y ＝x 2－2x －3中，当0≤x ≤3时，y 的最大值和最小值分别是【方法12】( )A ．0，－4B ．0，－3C ．－3，－4D ．0，05．已知0≤x ≤32，则函数y ＝x 2＋x ＋1( )A ．有最小值34，但无最大值B ．有最小值34，有最大值1C ．有最小值1，有最大值194D ．无最小值，也无最大值6．已知二次函数y ＝－2x 2－4x ＋1，当－5≤x ≤0时，它的最大值与最小值分别是( )A ．1，－29B ．3，－29C ．3，1D ．1，－37．已知0≤x ≤12，那么函数y ＝－2x 2＋8x －6的最大值是________．◆类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围8．从y ＝2x 2－3的图像上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是( )A ．－1≤y ≤5B ．－5≤y ≤5C ．－3≤y ≤5D ．－2≤y ≤19．(贵阳中考)已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是( )A ．y ≥3B ．y ≤3C ．y ＞3D ．y ＜310．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图像如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值CA ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y ＝m11．二次函数y＝2x2－6x＋1，当0≤x≤5时，y的取值范围是______________．◆类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值12．当二次函数y＝x2＋4x＋9取最小值时，x的值为( )A．－2 B．1 C．2 D．913．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为( )A．3 B．－1 C．4 D．4或－114．已知y＝－x2＋(a－3)x＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是( )A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤515．已知a≥4，当1≤x≤3时，函数y＝2x2－3ax＋4的最小值是－23，则a＝________.16．若二次函数y＝x2＋ax＋5的图像关于直线x＝－2对称，已知当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，则m的取值范围是_____________.参考答案与解析1．5 2.C3．解：∵y ＝x (2－3x )＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－23x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132＋13，∴该抛物线的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.∵－3＜0，∴该抛物线的开口方向向下，∴当x ＝13时，该函数有最大值，最大值是13. 4．A 5.C6．B 解析：首先看自变量的取值范围－5≤x ≤0是否包含了顶点的横坐标．由于y ＝－2x 2－4x ＋1＝－2(x ＋1)2＋3，其图像的顶点坐标为(－1，3)，所以在－5≤x ≤0范围内，当x ＝－1时，y 取最大值，最大值为3；当x ＝－5时，y 取最小值，最小值为y ＝－2×(－5)2－4×(－5)＋1＝－29.故选B.7．－2.5 解析：∵y ＝－2x 2＋8x －6＝－2(x －2)2＋2，∴该抛物线的对称轴是直线x ＝2，当x ＜2，y随x 的增大而增大．又∵0≤x ≤12，∴当x ＝12时，y 取最大值，y 最大＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12－22＋2＝－2.5. 8．C9．B 解析：当x ＝2时，y ＝－4＋4＋3＝3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而减小，∴当x ≥2时，y 的取值范围是y ≤3.故选B.10．C 解析：当x ＝a 时，y ＜0，则a 的范围是x 1＜a ＜x 2，又对称轴是直线x ＝12，所以a －1＜0.当x ＜12时，y 随x 的增大而减小，当x ＝0时函数值是m .因此当x ＝a －1＜0时，函数值y 一定大于m . 11．－72≤y ≤21 解析：二次函数y ＝2x 2－6x ＋1的图像的对称轴为直线x ＝32.在0≤x ≤5范围内，当x ＝32时，y 取最小值，y 最小＝－72；当x ＝5时，y 取最大值，y 最大＝21.所以当0≤x ≤5时，y 的取值范围是－72≤y ≤21.12．A13．C 解析：∵二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a －1有最小值2，∴a ＞0，y 最小值＝4ac －b 24a ＝4a （a －1）－424a ＝2，整理得a 2－3a －4＝0，解得a ＝－1或4.∵a ＞0，∴a ＝4.故选C.14．D 解析：第一种情况：当二次函数的对称轴不在1≤x ≤5内时，∵在1≤x ≤5时，y 在x ＝1时取得最大值，∴对称轴一定在1≤x ≤5的左边，∴对称轴直线x ＝a －32＜1，即a ＜5；第二种情况：当对称轴在1≤x ≤5内时，∵－1<0，∴对称轴一定是在顶点处取得最大值，即对称轴为直线x ＝1，∴a －32＝1，即a ＝5.综上所述，a≤5.故选D.15．5 解析：抛物线的对称轴为直线x＝3a4.∵a≥4，∴x＝3a4≥3.∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴当1≤x≤3时，函数取最小值－23时，x＝3.把x＝3代入y＝2x2－3ax＋4中，得18－9a＋4＝－23，解得a＝5.16．－4≤m≤－2 解析：∵二次函数图像关于直线x＝－2对称，∴－a2×1＝－2，∴a＝4，∴y＝x2＋4x ＋5＝(x＋2)2＋1.当y＝1时，x＝－2；当y＝5时，x＝0或－4.∵当m≤x≤0时，y有最大值5，最小值1，∴－4≤m≤－2.。

冀教版八年级数学下册22.2平行四边形的判定第2课时平行四边形的判定优秀教学案例

5.教学策略的灵活运用：教师根据学生的实际情况，灵活运用了情景创设、问题导向、小组合作和反思与评价等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中掌握了平行四边形的判定方法，提高了学生的学习效果和数学素养。
3.教师针对作业中出现的问题，进行讲解和辅导，确保学生掌握平行四边形的判定方法。
五、案例亮点
1.情境创设：本节课通过展示生活中常见的平行四边形图片，让学生在真实的情境中感受数学与生活的紧密联系，激发了学生的学习兴趣和积极性。
2.问题导向：教师设计了一系列由浅入深的问题，引导学生思考和探索平行四边形的判定方法，使学生在解决问题的过程中，培养了逻辑思维能力和求知欲。
3.教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，激发学生的学习动力。
4.设计课后作业，让学生巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
5.定期进行复习，帮助学生巩固记忆，提高学生的长期记忆能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示生活中常见的平行四边形图片，如电梯、推拉门等，引导学生关注数学与生活的联系。
3.注重动手操作能力的培养，让学生在实践中感受数学的乐趣，提高学生的动手实践能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣，激发学生学习数学的内在动力，提高学生的学习积极性。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，使学生学会面对困难时保持积极向上的心态。
3.通过本节课的学习，使学生认识到数学在生活中的重要性，培养学生的数学素养。
3.小组合作：在学生学习过程中，教师组织学生进行小组讨论和合作，培养了学生的团队协作精神和沟通能力，同时也提高了学生的动手操作能力和解决问题的能力。
4.反思与评价：教师引导学生进行自我反思和评价，让学生认识到自己的优点和不足，培养了学生的自我管理能力和自律意识。同时，教师对学生的学习情况进行评价，关注学生的个体差异，激发了学生的学习动力。

冀教版数学八年级下册平行四边形

第11讲平行四边形一．教学目标掌握平行四边形的性质和判定。

二．知识点梳理1．平行四边形的性质（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．（2）平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．（3）平行线间的距离处处相等．（4）平行四边形的面积：①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．2．平行四边形的判定（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AD∥BC∴四边行ABCD是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB=DC，AD=BC∴四边行ABCD 是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB∥DC，AB=DC∴四边行ABCD是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵∠ABC=∠ADC，∠DAB=∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA=OC，OB=OD∴四边行ABCD是平行四边形．3．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行．线段相等．角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等．两角相等，可考虑将要证的直线．线段．角．分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．三．典型例题例1 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠BCD的平分线CE与边AB相交于E，若EB=EA=EC，那么下列结论正确的个数有（）①∠ACE=30°②OE∥DA ③S▱ABCD=AC•AD ④CE⊥DBA．1 B．2 C．3 D．4例2 已知四边形ABCD，有以下四个条件：①OA=OC；②OB=OD；③AB=CD；④AB∥CD．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）A．2种B．4种C．5种D．6种例3 如图，在▱ABCD中，连接BD，E是DA延长线上的点，F是BC延长线上的点，且AE=CF，连接EF交BD于点O．求证：OB=OD．例4 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．（1）求证：DC=BE；（2）连接BF，若BF⊥AE，求证：△ADF≌△ECF．例5 已知：如图，在平行四边形ABCD中，E．F是对角线BD上的两点，且AE∥CF，求证：四边形AECF是平行四边形．例6 如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD 交于点F，且AF=DF．①求证：AB=DE；②若AB=3，BF=5，求△BCE的周长．例7 如图，D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点F，若FA=FC．（1）求证：四边形ADCE是平行四边形；（2）若AE⊥EC，EF=EC=1，求四边形ADCE的面积．四．课堂练习1．如图，在▱ABCD中，对角线AC．BD相交于O，α=60°．若AB=OD=2，则▱ABCD的面积是（）A．8 B．C．2D．42．如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC=∠CAD=45°，AB=，则BC的长是（）A．B．2 C．2D．43．如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF=2：3，▱ABCD 的周长为40，则AB的长为（）A．8 B．9 C．12 D．154．如图，▱ABCD与▱DCFE的周长相等，且∠BAD=60°，∠F=110°，则∠DAE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°5．如图，在平行四边形ABCD中，∠D=5∠A，则∠A=（）A．15°B．30°C．60°D．150°6．如图，四边形AOEF是平行四边形，点B为OE的中点，延长FO至点C，使FO=3OC，连接AB．AC．BC，则在△ABC中S△ABO：S△AOC：S△BOC=（）A．6：2：1 B．3：2：1 C．6：3：2 D．4：3：27．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BC=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A．2 B．3 C．4 D．68．如图，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AD∥BC，AB=CD B．∠A=∠B，∠C=∠DC．∠A=∠C，∠B=∠D D．AB=AD，CB=CD9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（）A．OA=OC，OB=OD B．AB∥CD，AD∥CBC．AB=CD，AD=CB D．AB∥CD，AD=CB10．已知四边形ABCD，下面给出的条件能判断它是平行四边形的是（）A．AB=AC，BD=CD B．AB=CD，AC=BDC．AB=CD，∠A=∠C D．AB∥CD，∠B=∠D11．在△ABC中，AB=6，AC=8，则BC边上中线AD的取值范围为（）（提示：可以构造平行四边形）A．2＜AD＜14 B．1＜AD＜7 C．6＜AD＜8 D．12＜AD＜1612．甲．乙两人想在正五边形ABCDE内部找一点P，使得四边形ABPE为平行四边形，其作法如下：（甲）连接BD．CE，两线段相交于P点，则P即为所求（乙）先取CD的中点M，再以A为圆心，AB长为半径画弧，交AM于P点，则P即为所求．对于甲．乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确13．如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）．以BD．BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP BE（点P．E在直线AB的同侧），如果BD=AB，那么△PBC的面积与△ABC面积之比为（）A．B．C．D．14．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的中点，CE⊥AB，垂足为E，AF⊥BC，垂足为F，AF与CE相交于点G；（1）求证：△CFG≌△AEG；（2）若AB=6，求四边形AGCD的对角线GD的长．15．在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为BC上一点．（1）如图1，若AF⊥BC，垂足为F，BF=3，AF=4，求EF的长．（2）如图2，若DE和AF相交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC，求证：PC=2AQ．16．在▱ABCD中，连接对角线BD，AB=BD，E为线段AD上一点，AE=BE，F为射线BE上一点，DE=BF，连接AF（1）如图1，若∠BED=60°，CD=2，求EF的长；（2）如图2，连接DF并延长交AB于点G，若AF=2DE，求证：DF=2GF．17．已知：如图，在▱ABCD中，DE．BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB．CD 于点E．F，连接BD．EF．（1）求证：BD．EF互相平分；（2）若∠A=60°，AE=2EB，AD=4，求四边形DEBF的周长和面积．18．如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，AD∥BC，DF∥BE，AE=CF．求证：（1）△AFD≌△CEB；（2）四边形ABCD是平行四边形．五．课后作业1．如图，四边形ABCD为平行四边形，对角线相交于点O，蚂蚁甲沿路线A﹣B﹣C爬行，蚂蚁乙沿路线B﹣C﹣D爬行，两只蚂蚁爬行的速度相同且同时出发，则下列结论中，正确的是（）A．甲到达B点时，乙也正好到达C点B．甲．乙在终点时离点O的距离相等C．甲．乙所走过的路程相同D．甲．乙在爬行中所转过的角度相等2．如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（）A．∠1=∠2 B．∠1=∠3 C．AB=CD D．BO=DO3．平行四边形ABCD中，∠A比∠B大70°，则∠B的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°4．若平行四边形中两个内角的度数比是3：2，则其中较大的角是（）A．45°B．60°C．72°D．108°5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于G，H，试判断下列结论：①△ABE≌△CDF；②AG=GH=HC；③2EG=BG；④S△ABG：S四边形GHDE=2：3，其中正确的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个6．根据下列条件，能作出平行四边形的是（）A．两组对边的长分别是3和5B．相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线长为9C．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8D．一边的长为7，两条对角线的长分别为6和57．四边形ABCD中，若（1）∠A+∠B=180°，∠C+∠D=180°；（2）∠A+∠D=180°，∠B+∠C=180°；（3）∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°；（4）∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个8．如图，在平行四边形ABCD中，∠B．∠C的平分线交于P，且分别与AD交于E．F，（1）求证：△BPC为直角三角形；（2）若BC=16，CD=3，PE=8，求△PEF的面积．9．如图，在▱ABCD中，E是AD的中点，延长CB到点F，使BF=，连接BE．AF．（1）完成画图并证明四边形AFBE是平行四边形；（2）若AB=6，AD=8，∠C=60°，求BE的长．10．如图，已知∠A=∠D，AB=DC，AC．BD相交于O，（1）求证：△AOB≌△DOC；（2）若AB=BC，∠A=32°，求∠AOB的度数；（3）作△BDC关于直线BC的对称图形△BEC，求证：四边形ABEC是平行四边形．11．已知：如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，且BF=DE．求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．12．如图，平行四边形ABCD中，∠ABC=60°，点E，F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，CF=．（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）求AB的长．13．如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E．F．求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．14．已知，如图1，D是△ABC的边上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA=MC．（1）求证：四边形ADCN是平行四边形．（2）如图2，若∠AMD=2∠MCD，∠ACB=90°，AC=BC．请写出图中所有与线段AN相等的线段（线段AN除外）。

八年级数学下册第二十二章四边形22.2平行四边形的判定平行四边形及其由来素材(新版)冀教版

平行四边形及其由来平行四边形——这是一个漂亮和有用的图形，它使我们记起重量单位，事实上与重量单位一点没有关系．作两对平行直线，如图1．考虑这样形成的四边形．它的边成对平行：，．这种四边形称做平行四边形．在图2上画着各种不同的平行四边形．是的，是的，不要奇怪，连菱形、矩形和正方形都是平行四边形．它们是带有某些补充性质的平行四边形．菱形——这是一个所有边都相等的平行四边形．矩形——这是一个所有角都是直角的平行四边形．那么事实上矩形是不是平行四边形呢？和对不对（图3）？我们回忆一下三条垂直的直线的性质（94页）．它说，在同一平面内垂直于同一条直线的两条直线彼此平行．在矩形中，，，这就是说，．而角与也都是直角，也即，．于是就有．由此得到，矩形的边成对平行．因此，矩形是平行四边形．正方形是非常有趣的四边形，能够给它几个定义．1．正方形像菱形一样，所有边都相等，只是还要所有角都是直角．这就是说，正方形是具有直角的菱形．2．正方形像矩形一样，所有角都是直角．只是还要所有边都相等．这就是说，正方形是所有边都相等的矩形．3．正方形像平行四边形一样，边成对平行的．只是还要所有边都相等和所有角都是直角．这就是说，正方形是所有角都是直角和所有边都相等的平行四边形．正方形还有一整套有趣的性质．例如，如果要用给定长度的篱笆围住一个最大面积的四边形区域，那么应当把这区域选成正方形形状．用纸张的实验能帮助我们更好地学习平行线、垂线和平行四边形．用纸张的实验在纸上标明两点和，随后把纸对折，使得与重合．直线与折线相对位置是怎样的？通过折一张纸，去得到一对平行直线和一对垂直直线．从一张任意形状的纸折叠并且随后剪出一个矩形．指明在这矩形中哪些边彼此平行或垂直．剪切一个矩形，使其得到一个正方形．剪下这一正方形并研究它．通过正方形两个相对顶点的折叠线称为正方形的对角钱．用折叠的方法可得到两条对角钱．只用折叠纸的方法你们还能发现哪些性质？记录下这些性质．如果寻找这些性质有困难，下面的研究计划可能有帮助：1．按长度比较两条对角线．2．两条对角线之间相对位置怎样？3．交点把对角线分成什么比例？4．每一条对角线把正方形分成什么样的图形？5．这些图形是哪种类型？6．对它们彼此之间进行比较．把正方形这样对折，使它的两条对边重合．折叠线经过哪些点？折叠线相对正方形各边的位置怎样？它把正方形分成什么样的图形？教师给孩子们一个任务，从一张彩色纸中剪出一个正方形．瓦夏剪出了一个正方形时，这样检验它：他比较了边的长度．全部4条边发现是相等的，瓦夏就判定地完成了这个任务．这种检验可信赖吗？阿廖沙用另一种方法检验了工作：他量的不是边，而是对角线．对角线是相等的，阿廖沙就。