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三角函数的图像及性质

三角函数的图像及性质三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

本文将探讨三角函数的图像及其性质，包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

正弦函数（Sine Function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，表示为sin(x)，其中x为自变量，表示角度。

正弦函数的图像是一条连续的曲线，其值在-1到1之间变化。

当自变量x为0时，正弦函数的值为0，而当自变量为90度或π/2时，正弦函数的值达到最大值1。

正弦函数的图像是一条周期性的波形曲线，每个周期的长度为360度或2π。

在图像上，正弦函数的曲线在自变量为0、180度、360度等处穿过x轴，并在自变量为90度、270度等处达到最大值或最小值。

余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数中另一个重要的函数，表示为cos(x)。

余弦函数的图像也是一条连续的曲线，其值同样在-1到1之间变化。

当自变量x为0时，余弦函数的值为1，而当自变量为90度或π/2时，余弦函数的值为0。

余弦函数的图像也是一条周期性的波形曲线，每个周期的长度同样为360度或2π。

在图像上，余弦函数的曲线在自变量为90度、270度等处穿过x轴，并在自变量为0、180度、360度等处达到最大值或最小值。

正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中最复杂的函数，表示为tan(x)。

正切函数的图像是一条连续的曲线，其值可以取任意实数。

正切函数的图像在自变量为0度时，函数值为0，而在自变量为90度或π/2时，正切函数的值趋近于无穷大。

正切函数的图像也是周期性的，每个周期的长度为180度或π。

在图像上，正切函数的曲线在自变量为0度、180度、360度等处穿过x轴，并在自变量为45度、225度等处达到最大值或最小值。

三角函数的性质除了图像外，三角函数还具有一些重要的性质。

1. 周期性：正弦函数、余弦函数和正切函数都是周期性的，周期分别为360度或2π、360度或2π、180度或π。

三角函数的图象与性质 (共44张PPT)

(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. －， 2 2
解析：当故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数－ π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝时，ymax＝，当 t＝－时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0，解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋，k∈Z， 2 得－3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；

三角函数图像与性质

三角函数图像与性质在数学中，三角函数是研究角与角度关系的一类函数。

其中最重要的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。

这些函数在数学和科学领域中有着广泛的应用，尤其是在研究周期性现象时起到了关键作用。

本文将详细介绍三角函数的图像特征和性质。

正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，通常用符号$\\sin$表示。

它的图像是一条连续的波浪线，呈现出周期性的特点。

正弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。

在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，正弦函数的取值分别为0、1、0、-1和0。

正弦函数是奇函数，即$\\sin(-x)=-\\sin(x)$，具有对称性。

余弦函数的图像与性质余弦函数是另一个重要的三角函数，通常用符号$\\cos$表示。

它的图像类似于正弦函数，也是一条连续的波浪线，同样呈现周期性。

余弦函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，值域为闭区间[−1,1]。

在0度、90度、180度、270度和360度等特殊角度上，余弦函数的取值分别为1、0、-1、0和1。

余弦函数是偶函数，即$\\cos(-x)=\\cos(x)$，具有对称性。

正切函数的图像与性质正切函数是三角函数中的另一个重要函数，通常用符号$\\tan$表示。

它的图像是一组相互平行的直线，具有间断点。

正切函数的定义域为整个实数集$\\mathbb{R}$，在某些特殊角度上可能不存在定义，例如在90度和270度时。

正切函数的值域为整个实数集$\\mathbb{R}$。

正切函数是奇函数，即$\\tan(-x)=-\\tan(x)$。

三角函数的性质除了上述基本性质外，三角函数还有一些重要的性质：1.周期性：正弦函数和余弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$范围内图像重复；2.奇偶性：正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数；3.最值：正弦函数和余弦函数的最大值为1，最小值为-1；正切函数在定义域内取值范围较广；4.单调性：正弦函数、余弦函数和正切函数在各自的定义域上具有不同的单调性特点。

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质三角函数是数学中的一类重要函数，由于其广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域，对三角函数的图像和性质进行了深入的研究。

本文将就三角函数的图像和性质展开讨论。

一、正弦函数（Sine Function）正弦函数是最基本的三角函数之一，用sin(x)表示，其中x是一个实数。

正弦函数的图像可以通过绘制函数y = sin(x)来得到，横坐标x 表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示sin(x)的值。

正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期性函数，其周期是2π（360度）。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)。

3. 定义域和值域：正弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。

4. 最值：正弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。

二、余弦函数（Cosine Function）余弦函数是三角函数的另一个重要代表，用cos(x)表示，其中x是一个实数。

余弦函数的图像可以通过绘制函数y = cos(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示cos(x)的值。

余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数也是周期性函数，其周期是2π（360度）。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)。

3. 定义域和值域：余弦函数的定义域是整个实数集，值域在闭区间[-1, 1]内。

4. 最值：余弦函数在区间[0, 2π]取得最大值1和最小值-1。

三、正切函数（Tangent Function）正切函数是三角函数中的另一种形式，用tan(x)表示，其中x是一个实数。

正切函数的图像可以通过绘制函数y = tan(x)来得到，横坐标x表示角度（以弧度为单位），纵坐标y表示tan(x)的值。

正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数是周期性函数，其周期是π（180度）。

2. 对称性：正切函数是奇函数，即满足tan(-x) = -tan(x)。

三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数s i n y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质三角函数是数学中重要的概念之一，它们不仅在几何学和三角学中起着重要作用，还在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

本文将探讨三角函数的图像和性质，帮助读者更好地理解和应用三角函数。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，记为y = sin(x)。

它的图像是一条连续的曲线，在坐标系中呈现周期性变化。

正弦函数的性质如下：1. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，y = sin(x)的值在0到2π之间循环变化。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足y = sin(-x) = -sin(x)。

这意味着正弦函数在原点对称。

3. 取值范围：正弦函数的值域在[-1, 1]之间，即-1 ≤ sin(x) ≤ 1。

当x = 0时，sin(x) = 0，当x = π/2时，sin(x) = 1，当x = -π/2时，sin(x) = -1。

4. 单调性：在一个周期内，正弦函数先递增后递减。

当x = π/2 +2kπ（k为整数）时，取得极大值1；当x = -π/2 + 2kπ（k为整数）时，取得极小值-1。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数，记为y = cos(x)。

它的图像也是一条连续的曲线，具有周期性变化。

余弦函数的性质如下：1. 周期性：余弦函数的周期同样为2π，即在一个周期内，y = cos(x)的值在0到2π之间循环变化。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足y = cos(-x) = cos(x)。

这意味着余弦函数关于y轴对称。

3. 取值范围：余弦函数的值域同样在[-1, 1]之间，即-1 ≤ cos(x) ≤ 1。

当x = 0时，cos(x) = 1，当x = π/2时，cos(x) = 0，当x = π时，cos(x) = -1。

4. 单调性：在一个周期内，余弦函数先递减后递增。

当x = 2kπ（k为整数）时，取得极大值1；当x = π + 2kπ（k为整数）时，取得极小值-1。

三角函数公式、图像大全

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα三角函数的性质反三角函数的图形反三角函数的性质三角函数公式两角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtan(A+B) =tanAtanB -1tanBtanA +tan(A-B) =tanAtanB 1tanBtanA +-cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB +cot(A-B) =cotAcotB 1cotAcotB -+倍角公式tan2A =Atan 12tanA2- Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3π-a)sin(2A )=2cos 1A -cos(2A)=2cos 1A +tan(2A)=A A cos 1cos 1+-cot(2A )=A A cos 1cos 1-+tan(2A )=A A sin cos 1-=AA cos 1sin + 和差化积sina+sinb=2sin2b a +cos 2ba - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2ba -cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2ba -cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2ba -tana+tanb=ba b a cos cos )sin(+积化和差sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 21[cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = 21[sin(a+b)-sin(a-b)]sin(-a) = -sina cos(-a) = cosasin(2π-a) = cosacos(2π-a) = sinasin(2π+a) = cosacos(2π+a) = -sinasin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosatgA=tanA =aacos sin万能公式sina=2)2(tan 12tan2aa + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1aa+- tana=2)2(tan 12tan2aa -a•sina+b•cosa=)b (a 22+×sin(a+c) [其中tanc=a b ] a•sin(a)-b•cos(a) =)b (a 22+×cos(a-c) [其中tan(c)=b a ] 1+sin(a) =(sin 2a +cos 2a )2 1-sin(a) = (sin 2a -cos 2a )2其他非重点三角函数 csc(a) =asin 1 sec(a) =a cos 1 双曲函数 sinh(a)=2e -e -aa cosh(a)=2e e -aa + tg h(a)=)cosh()sinh(a a 公式一设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2kπ＋α）= sinαcos （2kπ＋α）= cosαtan （2kπ＋α）= tanαcot （2kπ＋α）= cotα设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα2π±α及23π±α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π+α）= cosα cos （2π+α）= -sinα tan （2π+α）= -cotα cot （2π+α）= -tanα sin （2π-α）= cosα cos （2π-α）= sinα tan （2π-α）= cotα cot （2π-α）= tanα sin （23π+α）= -cosα cos （23π+α）= sinα tan （23π+α）= -cotα cot （23π+α）= -tanα sin （23π-α）= -cosα cos （23π-α）= -sinα tan （23π-α）= cotα cot （23π-α）= tanα (以上k ∈Z)这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A•sin(ωt+θ)+ B•sin(ωt+φ) =)cos(222ϕθ⋅++AB B A ×sin )cos(2)Bsin in arcsin[(As t 22ϕθϕθω⋅++++AB B A三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h-------------------------------------------------------------------------------------------- 三角函数积化和差和差化积公式记不住就自己推，用两角和差的正余弦：cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：cosAcosB=[cos(A+B)+cos(A-B)]/2相减：sinAsinB=-[cos(A+B)-cos(A-B)]/2sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosAsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA这两式相加或相减，可以得到2组积化和差:相加：sinAcosB=[sin(A+B)+sin(A-B)]/2相减：sinBcosA=[sin(A+B)-sin(A-B)]/2这样一共4组积化和差，然后倒过来就是和差化积了不知道这样你可以记住伐，实在记不住考试的时候也可以临时推导一下正加正正在前正减正余在前余加余都是余余减余没有余还负正余正加余正正减余余余加正正余减还负.3.三角形中的一些结论：(不要求记忆)(1)anA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC(2)sinA+tsinB+sinC=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)(3)cosA+cosB+cosC=4sin(A/2)·sin(B/2)·sin(C/2)+1(4)sin2A+sin2B+sin2C=4sinA·sinB·sinC(5)cos2A+cos2B+cos2C=-4cosAcosBcosC-1 ...........................已知sinα=m sin(α+2β), |m|<1,求证tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ解:sinα=m sin(α+2β)sin(a+β-β)=msin(a+β+β)sin(a+β)cosβ-cos(a+β)sinβ=msin(a+β)cosβ+mcos(a+β)sinβ sin(a+β)cosβ(1-m)=cos(a+β)sinβ(m+1)tan(α+β)=(1+m)/(1-m)tanβ。

三角函数的定义、图像和性质

0 3
极值点：函数在其周期内取得最大值和最小值的点，即最值点的横坐标
0 4
诱导公式
三角函数的诱导公式是三角函数性质的重要组成部分，它可以帮助我们简化复杂的三角函数计算。
添加标题
诱导公式包括正弦、余弦和正切的诱导公式，它们可以通过三角函数的周期性和对称性推导出来。
添加标题
奇偶性
奇函数：满足f(-x)=-f(x) 的函数
偶函数：满足f(-x)=f(x) 的函数
奇偶性的判断方法：根据定义来判断
奇偶性在三角函数中的应用：判断函数的图像对称
性
最值和零点
最大值和最小值：三角函数在其周期内可以达到的最大和最小值
0 1
零点：函数值为零的点，即解方程的根
0 2
周期性：三角函数图像呈现周期性变化，每个周期内存在一个最大值和一个最小值
利用诱导公式，我们可以将任意角的三角函数转化为锐角或0到 360度之间的角的三角函数，从而
简化计算。
添加标题
诱导公式在三角函数的图像和性质中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解三角函数的性质
和图像。
添加标题
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三角函数的定义、图像和性质
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目录
01 三角函数的定义 02 三角函数的图像 03 三角函数的性质
01
三角函数的定义
正弦函数
定义：正弦函数是三角函数的一种，定义为y=sinx，x∈R。图像：正弦函数的图像是一个周期函数，形状类似于波浪。性质：正弦函数具有一些重要的性质，如奇偶性、周期性、单调性等。

三角函数的图像及其性质

三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。

三角函数的图像和性质

当0<A<1时，图像在y轴方向压缩。
02
周期变换
ω表示周期变换的系数，周期T=2π/|ω|。当ω>1时，周期减小，图像
在x轴方向压缩；当0<ω<1时，周期增大，图像在x轴方向拉伸。
03
相位变换
φ表示相位变换的角度，当φ>0时，图像左移；当φ<0时，图像右移。
正弦型曲线应用举例
振动问题
在物理学中，正弦函数常用来描述简谐振动，如弹簧振子、单摆等。通过正弦函数的振幅、周期和相位等参数，可以描述振动的幅度、频率和初始状态。
三角函数的图像和性质
汇报人：XX 2024-01-28
contents
目录
• 三角函数基本概念 • 正弦函数图像与性质 • 余弦函数图像与性质 • 正切函数图像与性质 • 三角函数复合与变换 • 三角函数在解决实际问题中的应用
01
三角函数基本概念
角度与弧度制
角度制
01
将圆周分为360等份，每份称为1度，用度（°）作为单位来度量
角的大小。
弧度制
02
以弧长等于半径所对应的圆心角为1弧度，用符号rad表示，是
国际通用的角度度量单位。
角度与弧度的换算
03
1° = (π/180)rad，1rad = (180/π)°。
三角函数定义及关系
正弦函数
sinθ = y/r，表示单位圆上任意一点P(x,y)与x轴正方向形成的角θ的正弦值。
光学
在光的反射、折射等现象中，三角函数可以帮助计算入射角、折射角等角度问题。
在工程问题中的应用
1 2
建筑设计
在建筑设计中，三角函数可以帮助计算建筑物的角度、高度、距离等参数，确保设计的准确性和安全性。

高中数学必修一-三角函数图像性质总结(精华版)

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ；偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为之并；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当 0,非奇非偶当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包；一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定；由周期确定；由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和的符号，通过诱导公式先将化正。

(完整版)三角函数公式和图像大全(最新整理)

初等函数的图形幂函数的图形指数函数的图形各三角函数值在各象限的符号sinα·cscαcosα·secαtanα·cotα反三角函数的图形设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinαcos（π＋α）= -cosαtan（π＋α）= tanαcot（π＋α）= cotα公式三任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan（-α）= -tanαcot（-α）= -cotα公式四利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαtan（π-α）= -tanαcot（π-α）= -cotα公式五利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinαcos（2π-α）= cosαtan（2π-α）= -tanαcot（2π-α）= -cotα三角函数公式证明（全部）公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-b+√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1*X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2)sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2)cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA))tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA))ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2) tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/41*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R 表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角正切定理[(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2 注：（a,b）是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r >0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h。

三角函数图像与性质

三角函数的图像与性质一.正弦函数和余弦函数的图象:y=sinx打 3口正弦函数y = sin x 和余弦函数y = cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,-,兀,3-,2兀的2 2五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

二、正弦函数y = sin x (x G R )、余弦函数 y = cos x (x G R )的性质：(1)定义域：都是R 。

(2)值域：1、都是［-1,1］，2、y = sin x ，当 x = 2 k -+-(k G Z )时，y 取最大值 1；当 x = 2 k -+ 3-( k G Z )时，y 取最小值一1； 2 2 3、y = cos x ，当 x = 2k - (k G Z )时，y 取最大值 1,当 x = 2k -+-(k G Z )时，y 取最小值一1。

例：(1)若函数y = a - b sin(3x + -)的最大值为3，最小值为-L 则a = , b =622——(答：a = —, b = 1或 b = —1 )；22.函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是课堂练习：1、函数y = sin x - sin x 的值域是2.已知f (x )的定义域为[0, 1],求f (c os x )的定义域；(3)周期性：①y = sin x 、y = cos x 的最小正周期都是2兀；2兀②f (x ) = A sin (3x +。

和f (x ) = A cos (3x +中)的最小正周期都是T = ——。

13| 兀x例：(1)若 f (x ) = sin 一，则 f (1)+ f (2) + f (3) + .・・ + f (2003)=—(答：0)； ^3⑵.下列函数中，最小正周期为兀的是()(4)奇偶性与对称性：1、正弦函数y —sin x (x E R ) 7是奇函数，对称中心是(k 兀,0)(k E z ),对称轴是直线x — k K+-(k E Z )；2 2、余弦函数y — cos x (x E R )是偶函数，对称中心是(k K +-,0 ](k E Z ),对称轴是直线x — k R (k E Z ) I 2)(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点)。

三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质函数y＝sin x y＝cos x图象定义域R R值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Zππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Zππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2kπ－π，2kπ] (k∈Z)递减区间：[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)最值x＝2kπ＋π2(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ(k∈Z)时，y max＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z) 时，y min二、正切函数的图象与性质三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数；（3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅；(2)2T πω=称为周期；(3)1f T=称为频率；(4)xωϕ+称为相位；(5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.。

三角函数的图像与性质详解

三角函数的图像与性质详解三角函数是数学中重要的一个分支，它们在许多领域中都有广泛的应用。

本文将详细解析三角函数的图像与性质，帮助读者更好地理解和运用三角函数。

在介绍三角函数之前，我们首先需要了解什么是角度和弧度。

角度是常用的衡量角的单位，它用度（°）表示。

而弧度则是圆的弧与半径的比值，用弧度符号表示。

角度和弧度之间的相互转换可以通过下面的公式实现：弧度 = 角度× π / 180角度 = 弧度× 180 / π三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。

它们的图像可以通过绘制对应的函数图像来表示。

下面我们一一来详细介绍这些三角函数的图像特点和性质。

一、正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，它的周期是2π。

在一个周期内，正弦函数的取值范围在[-1, 1]之间。

当自变量的取值增大时，正弦函数的图像呈现上升的趋势，而当自变量的取值减小时，正弦函数的图像呈现下降的趋势。

在角度单位下，正弦函数的最小正周期是360°，即相邻两个正弦函数图像重合的最小角度为360°。

二、余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，它的周期同样是2π。

在一个周期内，余弦函数的取值范围也在[-1, 1]之间。

与正弦函数相比，余弦函数的图像在横轴上与正弦函数的图像对称。

当自变量的取值增大时，余弦函数的图像呈现下降的趋势，而当自变量的取值减小时，余弦函数的图像呈现上升的趋势。

余弦函数的最小正周期同样也是360°。

三、正切函数（tan）正切函数的周期是π，因此在一个周期内，正切函数的取值范围是无穷的，即正切函数在某些点上没有定义。

正切函数图像在自变量取不同值的时候，会出现若干个奇点，这些奇点对应着正切函数图像的无穷大值和无穷小值。

正切函数的最小正周期是180°。

除了图像外，三角函数还具有以下重要性质：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足sin(-x) = -sin(x)；余弦函数和正切函数是偶函数，即满足cos(-x) = cos(x)和tan(-x) = tan(x)。

三角函数的图象和性质

在区间 [0,
2
]
上是单调函数,
必有
2
≤
,
即 0<≤2.
∴0<
4k+2 3
≤2(kZ).
解得 k=0 或 1.
∴=2
或
2 3
.
综上所述,
=
2
,
=2 或
2 3
.
6.如果函数的值.
y=sin2x+acos2x
的图象关于直线
x=-
8
对称,
求a
解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+), 其中, tan=a.
3.周期性: ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是
Asin(x+) 和 f(x)=Acos(x+)的最小正周期都是
2;
T=
2|②| .f(x)=
4.奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(xR)是奇函数, 对称中心
是 (x(kR),是0)偶(k函Z数),,对对称称轴中是心直是线(kx=+k2,+02)((kkZZ)),;对余称弦轴函是数直y=线coxs=x k (kZ) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂
性, 如果是周期函数, 求出它的一个周期.
解:
(1)由∴∵∴2kfsfs((iixnx+n))xx=的4--lcoc<定oogxss<21xx义(2s=>ik域n0,x2+为-s即ic5n4o{(xsx,x2|-k)s2≥ik4nlZ)(o≤x+g-21424<2,)x>=<0-2得k12:.+
5
4

考点07 三角函数的图像与性质(核心考点讲与练)-2023年(新高考专用)(解析版)

考点07 三角函数的图像与性质（核心考点讲与练）一、同角三角函数基本关系式与诱导公式 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin αcos α＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角 2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin__α －sin__αsin__αcos__αcos__α 余弦 cos α －cos__α cos__α －cos__α sin__α －sin__α正切 tan αtan__α－tan__α －tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限二、三角函数的图象与性质1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心 (k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无三、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与性质1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T ＝2πω f ＝1T ＝ω2πωx ＋φ φ3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的两种途径4．三角函数应用(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.1.求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用复合函数的单调性列不等式求解.(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间.2.确定y＝A sin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入；②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π. 3．识别函数图象的方法技巧函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复.(5)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.4.(1)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)的变换：向左平移(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度.(2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值.三角函数图象性质1.（多选题）（2021湖北省新高考高三下2月质检）已知函数()cos sin f x x x =-在[]0,a 上是减函数，则下列表述正确的是（）A.()2min f x =﹣B.()f x 的单调递减区间为32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，C.a 的最大值是34π， D.()f x 的最小正周期为2π 【答案】BCD【分析】由于函数()cos sin 2os 4)(f x x x x π=-=+在[]0,a 上是减函数，从而可得4a ππ+≤，进而可求出a 取值范围，函数的周期和最值，从而可判断ACD ，再利用余弦函数的性质求出单调区间，可判断B【详解】解：∵函数()cos sin 2os 4)(f x x x x π=-=+在[]0,a 上是减函数，,444[]x a πππ+∈+， ∴4a ππ+≤，∴304a π<≤，故()f x 的最小值为2-，a 的最大值是34π，()f x 的最小正周期为2π，故A 错，C 、D 正确；在32,2()44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，[]2,2()4x x k k k Z ππππ++∈+∈，函数()f x 单调递减，所以B 正确故选：BCD.2. 已知函数()π3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（）A. 导函数为()π3cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭' B. 函数()f x 的图象关于直线π2x =对称 C. 函数()f x 在区间π5π,1212⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 D. 函数()f x 的图象可由函数3sin 2y x =的图象向右平移π3个单位长度得到【答案】C【分析】利用复合函数的求导法则判定选项A 错误，利用π()2f 不是函数的最值判定选项B 错误，利用π5π1212x -<<得到πππ2232x -<-<，进而判定选项C 正确，利用图象平移判定选项D 错误. 【详解】对于A ：因为π()3sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以()ππ3cos 226cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯=- ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭，即选项A 错误；对于B ：因为πππ2π3sin 23sin 32233f ⎛⎫⎛⎫=⨯-==≠±⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象不关于直线π2x =对称，即选项B 错误；对于C ：当π5π1212x -<<时，πππ2232x -<-<，故()f x 在π5π(,)1212-上是增函数，即选项C 正确；对于D ：因为ππ()3sin 23sin[2()]36f x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以()f x 的图象可由3sin 2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，即选项D 错误. 故选：C .根据三角函数图象求解析式1.（2022年安徽省亳州市第一中学高三上学期9月检测）已知函数()()sin 0,010,2f x K x K πωϕωϕ⎛⎫=+><<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，点370,,,1224A B π⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则将函数()f x 图象向左平移12π个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是（）A.5sin 212y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B.5sin 812y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C.2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D.2sin 83y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭【答案】C【分析】首先根据三角函数的图象求得各个参数，由振幅求得1K =，由定点坐标代入函数解析式求得43ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再通过平移伸缩变化，即可得解. 【详解】因为函数()f x 的部分图象经过点3A ⎛ ⎝⎭，7,124K π⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()()130sin 077sin 1,2424010,,2K f f ωϕππωϕωπϕ=⎧⎪⎪=⨯+=⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫=⨯+=-⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪<⎪⎩解得43ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 将函数()sin 43f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，然后横坐标变为原来的2倍､纵坐标不变，得到2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象. 故选：C.2 （2020广东省潮州市高三第二次模拟）函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象如图所示．则函数()f x 的单调递增区间为（）A. ,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈B. ,33k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈C. ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈D. ,66k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k z ∈ 【答案】C【分析】利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，然后根据正弦函数的单调性列不等式求解即可.【详解】根据函数2sin()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<的部分图象，可得：332113441264T ππππω=⋅=-=，解得：2ω=，由于点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数图象上，可得：2sin 226πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，可得：2262k ππϕπ⨯+=+，k ∈Z ，解得：26k πϕπ=+，k ∈Z ，由于：0ϕπ<<，可得：6π=ϕ，即2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222262k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 解得：36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z ，可得：则函数()f x 的单调递增区间为：,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．故选C ．三角函数图象判断1.（2020江西省靖安中学高三上学期第二次月考）已知函数()2cos f x x x =，则函数()f x 的部分图象可以为（）A. B. C. D.【答案】A【分析】由奇偶性可排除BD ，再取特殊值4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭可判断AC ，从而得解【详解】因为()f x 的定义域为R ，且()()()()2cos 2cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以()f x 为奇函数，故BD 错误；当0x >时，令()2cos 0f x x x ==，易得cos 0x =，解得()2x k k Z ππ=+∈，故易知()f x 的图象在y 轴右侧的第一个交点为,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，又22cos 04444f ππππ⎛⎫=⨯⨯=>⎪⎝⎭，故C 错误，A 正确；故选：A2. . （2022广东省深圳市普通中学高三上学期质量评估）函数()4cos x xxf x e e-=+在[],ππ-上的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A【分析】由奇偶性可排除BC ，由x →+∞时，()0f x →可排除D ，由此得到结果.【详解】()()()()4cos 4cos x xx x x xf x f x e ee e------===++，()f x ∴为偶函数，图象关于y 轴对称，可排除BC ；当x →+∞时，()0f x →，可排除D ，知A 正确. 故选：A.三角函数图象变换1.（2021浙江省金华十校高三模拟）已知奇函数()y g x =的图象由函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移(0)m m >个单位后得到，则m 可以是（）A.12π- B.1π- C.12π+ D.1π+ 【答案】A【分析】逐项验证()g x 是否等于()g x --可得答案. 【详解】当12m π-=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π-个单位后得到()()g()sin 21sin 2sin 212x x x x g x ππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎛⎫=+++=-=-- ⎝⎦⎪⎭，故A 正确；当1m π=-时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π-个单位后得到()()()()sin 21sin 121g x x x g x π⎡⎤-=++-≠⎦-=-⎣，故B 错误；当12m π+=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π+个单位后得到()()()122()sin 21sin 2sin 22g x x x x g x ππ⎡⎤⎛⎫=+++=-+≠-- ⎪⎝⎭+=+⎢⎥⎣⎦，故C 错误；当1m π=+时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π+个单位后得到()()()()sin 21sin 123g x x x g x π⎡⎤+=+++≠⎦-=-⎣，故D 错误；故选：A.2. （2020安徽省合肥市高三第三次教学质量检测）为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像A. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B. 横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位 C. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D. 横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A【分析】由条件利用()sin y A x ωϕ=+ 的图像变换规律，得到结论．【详解】把函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再将函数sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像上所有点向右平移6π个单位得到函数sin y x =．故选A1. （2021年全国高考乙卷）函数()sin cos 33x xf x =+的最小正周期和最大值分别是（） A. 3π2 B. 3π和2C. 6π2D. 6π和2【答案】C【分析】利用辅助角公式化简()f x，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，()sin cos3s3323234x x x xf xxπ=+=+⎛+⎫⎪⎝⎭，所以()f x的最小正周期为2613T.故选：C．2. （2021年全国高考乙卷）把函数()y f x=图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像，则()f x=（）A.7sin212xπ⎛⎫-⎪⎝⎭B. sin212xπ⎛⎫+⎪⎝⎭C.7sin212xπ⎛⎫-⎪⎝⎭D. sin212xπ⎛⎫+⎪⎝⎭【答案】B【分析】解法一：从函数()y f x=的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f xπ⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin34f x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x=的解析表达式；解法二：从函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x=的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x=图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x=的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f xπ⎡⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin4y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，所以2sin34f x xππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭,则,234212t tx xπππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.3. （2021年全国新高考Ⅰ卷）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭单调递增的区间是（） A. 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭C. 3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭，32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 故选：A.4. （2021年全国高考甲卷）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为________．【答案】2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7(),()43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得. 【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，()2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2. 故答案为：2.一、单选题1．（2022·福建·模拟预测）已知α为锐角，且sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan α=（）A 3B ．23C 6D 63【答案】B【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值【详解】因为sin sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1331sin cos 22αααα=-，所以)()31cos 31sin αα=，所以3tan 2331α==-故选：B2．（2022·辽宁锦州·一模）若()sin π1cos 3αα-=，则sin 2cos2αα+的值为（）A ．15B ．75C ．120D ．3120【答案】B【分析】先利用诱导公式得到tan α，再将弦化切，代入求解. 【详解】()sin πsin 1tan cos cos 3ααααα-===，从而2222222sin cos cos sin sin 2cos 22sin cos cos sin cos sin αααααααααααα+-+=+-=+222112tan 1tan 73911tan 519ααα+-+-===++ 故选：B3．（2022·江西九江·二模）已知函数()y f x =的部分图像如图所示，则()y f x =的解析式可能是（）A ．()sin e e x xxf x -=+B ．()sin e e x xxf x -=-C ．()cos e e x xxf x -=-D ．()cos e e x xxf x -=-【答案】D【分析】根据函数的定义域、奇偶性与函数值的正负即可得到结果【详解】函数()f x 在0x =处无定义，排除选项A函数()f x 的图像关于原点对称，故()f x 为奇函数，排除选项B 当01x <<时，cos 0x >，e e x x ->，故cos 0e ex xx->-，排除选项C 故选：D.4．（2022·天津市宁河区芦台第一中学模拟预测）已知函数 ()()4cos 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ 的最小正周期为π，将其图象沿 x 轴向右平移 ()0m m >个单位，所得函数为奇函数，则实数m 的最小值为（） A ．12πB ．6πC ．512π D ．4π 【答案】C【分析】根据余弦型函数的最小正周期公式，结合余弦型函数图象的变换性质进行求解即可. 【详解】因为该函数的最小正周期为π，0>ω，所以22ππωω=⇒=，即()4cos(2)3f x x π=+，将该函数图象沿x 轴向右平移 ()0m m >个单位得到函数的解析式为()()4cos(22)3g x f x m x m π=-=-+，因为函数()g x 为奇函数，所以有12()()32212m k k Z m k k Z πππππ-+=+∈⇒=--∈，因为0m >，所以当1k =-时，实数m 有最小值512π，故选：C5．（2022·浙江·模拟预测）已知E ，F 分别是矩形ABCD 边AD ，BC 的中点，沿EF 将矩形ABCD 翻折成大小为α的二面角．在动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中，记二面角B AP C --的大小为θ，则（） A ．当90α<︒时，sin θ先增大后减小 B ．当90α<︒时，sin θ先减小后增大 C ．当90α>时，sin θ先增大后减小 D ．当90α>时，sin θ先减小后增大【答案】C【分析】根据二面角的定义通过作辅助线, 找到二面角的平面角，在Rt △1C HC 中表示出tan θ的值，利用tan θ的值的变化来判断sin θ的变化即可.【详解】当90α<︒时，由已知条件得EF ⊥平面FBC ,过点C 作1CC FB ⊥,垂足为1C ，过点1C 作1C H AP ⊥，垂足为H ， ∵ 1CC ⊂平面FBC ，∴1EF CC ⊥, ∴1CC ⊥平面ABFE ,又∵AP ⊂平面ABFE ，∴1CC AP ⊥, ∴AP ⊥平面1CC H , ∴AP CH ⊥, 则1C HC ∠为二面角B AP C --的平面角，在Rt △1C HC 中，11tan CC C Hθ=, 动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中,1C H 不断减小，则tan θ不断增大，即sin θ不断增大，则A 、B 错误；当90α>时，由已知条件得EF ⊥平面FBC ,过点C 作1CC BF ⊥,垂足1C 在BF 的延长线上，过点1C 作CH AP ⊥,垂足在AP 延长线上， ∵ 1CC ⊂平面FBC ，∴1EF CC ⊥, ∴1CC ⊥平面ABFE ,又∵AP ⊂平面ABFE ，∴1CC AP ⊥, ∴AP ⊥平面1CC H , ∴AP CH ⊥, 则1C HC ∠为二面角B AP C --的平面角的补角β，即πθβ=-，在Rt △1C HC 中，11tan CC C Hβ=, 如下图所示，动点P 从点E 沿线段EF 运动到点F 的过程中,1C H 先变小后增大，则tan β先变大后变小，sin β先变大后变小，()sin sin πsin θββ=-=，则sin θ也是先变大，后变小, 则C 正确，D 错误；故选：C .6．（2022·四川达州·二模（理））设()3sin 2cos 22cos 4x x f x x+=，则下列说法正确的是（）A ．()f x 值域为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭B ．()f x 在0,16π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减D ．()4f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】由题可得2cos 4sin 43y x x -=，()()22213y +-≥，可判断A ，利用三角函数的性质可判断B ，利用导函数可判断C ，由题可得sin 4342cos 4x f x x π-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可判断D.【详解】∵()3sin 2cos 2sin 432cos 42cos 4x x x f x xx++==，由sin 432cos 4x y x+=，可得2cos 4sin 43y x x -=，3，即y ≤y ≥∴函数的值域为(),∞∞-⋃+，故A 错误； ∵()sin 4313tan 42cos 422cos 4x f x x x x+==+，当0,,40,164x x ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，1tan 42y x =单调递增，2cos 4y x =单调递减，32cos 4y x =单调递增，故()f x 在0,16π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；∵,0,4,082x x ππ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin 432cos 4x f x x+=，令sin 3,,02cos 2t y t t π+⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，则()2222cos 2sin sin 313sin 4cos 2cos t t t ty t t+++'==，由0y '=，可得1sin 3t =-，,02t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，根据正弦函数在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，可知在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的实数001,0,sin 23t t π⎛⎫∈-=- ⎪⎝⎭，当0,2t t π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，0y '<，sin 32cos t y t +=单调递减，当()0,0t t ∈时，0y '>，sin 32cos t y t +=单调递增，所以()f x 在,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有增有减，故C 错误；由()sin 432cos 4x f x x+=，可得()()()sin 43sin 43sin 4342cos 42cos 42cos 4x x x f x f x x x x πππ++-+-⎛⎫+===≠ ⎪+-⎝⎭，故D 错误.故选：B.7．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（） A ．x y e = B ．tan y x = C ．sin y x = D ．y x x =【答案】D【分析】A.利用指数函数的性质判断；B.利用正切函数的性质判断；C.利用正弦函数的性质判断；D.利用函数的图象判断.【详解】A. ()()()(),,x xf x e f x e f x f x -=-=-≠-，不是奇函数，故错误；B. tan y x =在,,22k k k Z ππππ⎛⎫-++∈ ⎪⎝⎭上递增，但在定义域|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭上不单调，故错误；C. sin y x =在2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦上递增，但在定义域R 上不单调，故错误；D. 2,0,0x x y x x x x ⎧≥==⎨-<⎩，其图象如图所示：由图象知：定义域上既是奇函数又是增函数，故正确，故选：D8．（2022·山西长治·模拟预测（理））若函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 可以是（） A ．2()(1)f x x =- B ．()|2|f x x =-C ．()sin 2f x x π⎫⎛=⎪⎝⎭D ．()tan 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据周期函数的定义，结合特例法进行判断求解即可. 【详解】因为(2)()f x f x +=，所以函数的周期为2. A ：因为(1)0,(3)4f f ==，所以(1)(3)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意； B ：因为(2)0,(4)2f f ==，所以(2)(4)f f ≠，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；C ：该函数的最小正周期为：242ππ=，因此函数的周期不可能2，本选项不符合题意；D ：该函数的最小正周期为：22ππ=，因此本选项符合题意，故选：D9．（2022·天津·一模）已知函数()2sin y x ωϕ=+（0>ω，0πϕ<<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=，5π6ϕ= B ．12ω=，5π6ϕ=C ．2ω=，6π=ϕ D ．12ω=，6π=ϕ 【答案】A【分析】根据图象与y 轴的交点纵坐标与振幅的关系，结合所处的区间的单调性，以及后续的单调递增区间上的零点，列出方程组求解即得.【详解】由函数图象与y 轴的交点纵坐标为1，等于振幅2的一半，且此交点处于函数的单调减区间上，同时在同一周期内的后续单调区间上的零点的横坐标为7π12,并结合0>ω，0πϕ<<，可知()2sin 01π3π0227π212ωϕωϕωϕπ⎧⎪⨯+=⎪⎪<⨯+<⎨⎪⎪⨯+=⎪⎩，解得2ω=，5π6ϕ=,故选：A10．（2022·新疆·模拟预测（理））我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标中抽象出一个函数的图象如图，其对应的函数解析式可能是（）A ．()11f x x =- B ．()211f x x =- C ．()11tan2f x xπ=-D ．()11f x x =- 【答案】D【分析】由定义域判断A ；利用特殊函数值：(0)f 、2()3f 的符号判断B 、C ；利用奇偶性定义及区间单调性判断D.【详解】A ：函数的定义域为{|1}x x ≠，不符合；B ：由1(0)101f ==--，不符合； C ：由2()0313f =<-，不符合； D ：11()()|||1||||1|f x f x x x -===---且定义域为{|1}x x ≠±，()f x 为偶函数，在(0,1)上1()1f x x=-单调递增，(1,)+∞上1()1f x x =-单调递减，结合偶函数的对称性知：(1,0)-上递减，(,1)-∞-上递增，符合. 故选：D11．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））己知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间52,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f .有下列结论：①02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π；②若4()3π⎛⎫-=⎪⎝⎭f x f x ，则函数()f x 的最小正周期为3π； ③关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有5个不相等的实数根； ④若函数()f x 在区间13,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为12,35⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中正确的结论的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】对于①：利用对称性直接求得；对于②：直接求出函数的最小正周期，即可判断；对于③：先判断出周期234232T πππ⎛⎫= ⎪⎝≥-⎭，直接解出()1f x =在区间[0,2)π上最多有3个不相等的实数根，即可判断.对于④：由题意分析1352622T T ππ<-≤,建立关于ω的不等式组，求出ω的取值范围. 【详解】函数()()sin f x x ωϕ=+满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f .对于①：因为57121222πππ+=,所以02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π.故①正确；对于②：由于4()3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭f x f x ,所以函数()f x 的一条对称轴方程为42323x ππ==.又,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭为一个对称中心，由正弦图像和性质可知，所以函数的最小正周期为224323T πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.故②错误；对于③：函数()()sin f x x ωϕ=+在区间52,123ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，且满足571212ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f f ，可得：02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，所以周期234232T πππ⎛⎫=⎪⎝≥-⎭.周期越大，()1f x =的根的个数越少. 当23T π=时,()cos3f x x =,所以()1f x =在区间[0,2)π上有3个不相等的实数根：0x =，23x π=或43x π=.故③错误.对于④：函数()f x 在区间13,26ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点,所以1352622T T ππ<-≤, 所以213522622ππππωω⋅<-≤⋅，解得：1235ω<≤.且满足234232T πππ⎛⎫= ⎪⎝≥-⎭，即2224323ππππω⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭,即3ω≤，故12,35ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故④正确.故选：B12．（2022·山西吕梁·模拟预测（文））将函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移56π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则（） A ．2()cos 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．()g x 在(0,)3π上的最小值为1-D ．直线4x π=平是()g x 的一条对称轴【答案】D【分析】根据三角函数的图象变换，可判定A 错误；利用函数的图象与性质，可判定B ，C 错误；根据14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，可判定D 正确.【详解】由题意，函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上的所有点向左平移56π个单位长度，可得53()cos 2cos 2sin 2662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故A 错误；令222()22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()g x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以B ，C 错误；因为14g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故直线4x π=为()g x 的一条对称轴，故D 正确.故选:D.13．（2022·内蒙古呼和浩特·一模（理））如图是一大观览车的示意图，已知观览车轮半径为80米，观览车中心O 到地面的距离为82米，观览车每30分钟沿逆时针方向转动1圈.若0P 是从距地面42米时开始计算时间时的初始位置，以观览车的圆心O 为坐标原点，过点O 的水平直线为x 轴建立平面直角坐标系xOy .设从点0P 运动到点P 时所经过的时间为t （单位：分钟），且此时点P 距离地面的高度为h （单位：米），则h 是关于t 的函数.当t R ∈时关于()h t 的图象，下列说法正确的是（）A ．对称中心为515,0,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭B ．对称中心为515,82,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭C ．对称轴为155,t k k Z =+∈D ．对称轴为515,2t k k Z =+∈【答案】B【分析】先由题意得到06xoP π∠=，进而得到min t 后，以ox 为始边，oP 为终边的角156t ππ-，从而得到点P 的纵坐标为80sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，即P 距地面的高度函数求解.【详解】解：由题意得06xoP π∠=，而6π-是以ox 为始边， 0oP 为终边的角，由OP 在min t 内转过的角为23015t t ππ=，可知以ox 为始边，oP 为终边的角为156t ππ-，则点P 的纵坐标为80sin 156t ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以P 距地面的高度为80sin 82156h t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令,156t k k Z πππ-=∈，得515,2t k k Z =+∈，所以对称中心为515,82,2k k Z ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，令,1562t k k Z ππππ-=+∈，得1015,t k k Z =+∈，所以对称轴为1015,t k k Z =+∈，故选：B14．（2022·河南·模拟预测（理））密位制是度量角的一种方法，把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．在角的密位制中，单位可省去不写，采用四个数码表示角的大小，在百位数与十位数之间画一条短线，如7密位写成“0－07”，478密位写成“4－78”．如果一个半径为4的扇形，其圆心角用密位制表示为12－50，则该扇形的面积为（） A ．10π3B ．2πC ．5π3D ．5π6【答案】A【分析】根据题意中给的定义可知该扇形的圆心角为75︒，结合扇形的面积公式计算即可. 【详解】依题意，该扇形的圆心角为1250360756000⨯︒=︒．又5π7512︒=，故所求扇形的面积为 22115π10π422123S r α==⨯⨯=．故选：A. 二、多选题15．（2022·河北·模拟预测）已知角α的终边经过点()8,3cos P α．则（） A ．1sin 3α=B ．7cos 29α= C ．2tan 4α=±D ．22cos 3α=【答案】ABD【分析】根据同终边角的正弦和余弦可知223cos 8sin ,cos 649cos 649cos ααααα==++，然后解出方程并判断sin 0,cos 0αα>>，逐项代入即可.【详解】解：由题意得：如图所示：()22283cos 649cos OP αα=+=+22sin 649cos 649cos PQ OQ OP OP αααα∴==++ 2sin 649cos 3cos αα∴+=，即()222sin 649cos 9cos ααα+= ()222sin 649(1sin )91sin ααα⎡⎤∴+-=-⎣⎦，即429sin 82sin 90αα-+= 解得：2sin 9α=（舍去）或21sin 9α=cos 0α>sin 0α∴>1sin 3α=，故A 正确； 22cos α∴D 正确；222217cos2cos sin39ααα⎛⎫∴=-=-=⎪⎝⎭⎝⎭，故B正确；1sintancosααα==C错误；故选：ABD16．（2022·重庆八中模拟预测）下列函数的图像中，与曲线sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭有完全相同的对称中心的是()A．sin26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭B．cos26y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭C．cos23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭D．tan6y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】BD【分析】根据正弦、余弦、正切函数的图像，求出各个函数的对称中心，比较即可得出答案．【详解】设k∈Z，对于sin23y xπ⎛⎫=-⎪⎝⎭，由2362kx k xππππ-=⇒=+；对于A：由26122kx k xππππ+=⇒=-+；对于B：由26262kx k xπππππ+=+⇒=+；对于C：由5232122kx k xπππππ-=+⇒=+；对于D：由6262k kx xππππ-=⇒=+；则B和D的函数与题设函数有完全相同的对称中心．故选：BD．17．（2022·江苏·海安高级中学二模）已知0e sin e siny xx y x yπ<<<，＝，则（）A．sin sinx y<B．cos cosx y>-C．sin cosx y>D．cos sinx y>【答案】ABC【分析】将e sin e siny xx y＝变为e sine sinyxyx=结合指数函数的性质，判断A;构造函数e(),(0,)sinxf x xxπ=∈，求导，利用其单调性结合图象判断x,y的范围，利用余弦函数单调性，判断B;利用正弦函数的单调性判断C，结合余弦函数的单调性，判断D.【详解】由题意，0e sin e siny xx y x yπ<<<，＝，得0y x->，e sin e sin y x y x=，e 1y x->，∴sin 1sin y x >，∴sin sin y x >，A 对； e e sin sin y x y x =，令e (),(0,)sin xf x x xπ=∈，即有()()f x f y =，令2e (sin cos )()0,sin 4x x x f x x x π=='-=， ()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上递减，在,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，因为()()f x f y = ，∴04x y ππ<<<<，作出函数e (),(0,)sin xf x x xπ=∈以及sin ,[0,]y x x π=∈ 大致图象如图：则30sin sin 4y y x ππ<-<>，，∴sin()sin y x π->，结合图象则y x π->， ∴cos()cos y x π-<，∴cos cos x y >-，B 对；结合以上分析以及图象可得2x y π+>，∴2x y π>-，且,4224y y πππππ<<-<-<，∴sin sin cos 2x y y π⎛⎫>-= ⎪⎝⎭，C 对；由C 的分析可知，224y x πππ-<-<<，在区间[,]24ππ-上，函数cos y x = 不是单调函数，即cos()cos 2y x π-<不成立，即sin cos y x <不成立，故D 错误；故选：ABC ．【点睛】本题综合考查了有条件等式下三角函数值比较大小问题，设计指数函数性质，导数的应用以及三角函数的性质等，难度较大，解答时要注意构造函数，数形结合，综合分析，进行解答. 18．（2022·湖北·一模）已知函数()sincos 22x xf x ( )A ．()f x 的图象关于2x π=对称B ．()f x 的最小正周期为2π C ．()f x 的最小值为1 D ．()f x 的最大值为342【答案】ACD【分析】A ：验证()f x π-与()f x 是否相等即可；B ：验证()f x π+与()f x 相等，从而可知π为f (x )的一个周期，再验证f (x )在(0，π)的单调性即可判断π为最小正周期；C 、D ：由B 选项即求f (x )最大值和最小值.【详解】()()f x f x π-==，故选项A 正确；∵()()f x f x π+，故π为()f x 的一个周期. 当(0,)x π∈时，()f x =此时3322cossin()cos sin 22x x x x f x '⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎥==- ⎪⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦，令()0f x '=，得cossin 22x x=，故,242x x ππ==.∵当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，故()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故()f x 的最小正周期为π，选项B 错误；由上可知()f x 在[0,]x π∈上的最小值为()(0)1f f π==，最大值为3422f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()f x 的周期性可知，选项CD 均正确. 故选：ACD. 三、解答题19．（2022·浙江宁波·二模）已知()πsin2cos 26f x x x ⎛=++⎫ ⎪⎝⎭()R x ∈.(1)求函数()y f x =的最小正周期及单调递增区间； (2)求函数()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的取值范围.【答案】(1)最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)12⎡-⎢⎣⎦【分析】（1）将()πsin2cos 26f x x x ⎛=++⎫ ⎪⎝⎭化为只含一个三角函数形式，根据正弦函数的性质即可求得答案；（2）将()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭展开化简为12πsin 423y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，结合π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求出2π43x +的范围，即可求得答案.(1)()π1sin 2cos 2sin 22sin 262f x x x x x x ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭1sin 222πsin 23x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭=，所以2ππ2T ==；因为πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，Z k ∈，所以5ππππ1212k x k -+≤≤+，Z k ∈，函数()y f x =的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈； (2)()ππππsin 2sin 24323y f x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+=+⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ12πsin 2cos 2sin 43323x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为π04x ≤≤，所以2π2π5π4333x ≤+≤，12π1sin 4232y x ⎡⎛⎫=+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，因此函数()π4y f x f x ⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭在π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的取值范围为12⎡-⎢⎣⎦.20．（2022·天津三中一模）已知()22sin cos 222f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(1)若0θπ≤≤，求θ使函数()f x 为偶函数；(2)在（1）成立的条件下，求满足()1f x =，[],x ππ∈-的x 的集合．【答案】(1)6πθ=(2)55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 【分析】（1）由恒等变换得()2sin 23f x x πθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，进而根据奇偶性求解即可；（2）由题知1cos 22x =，再根据[],x ππ∈-得23x π=-或523x π=-或23x π=或523x π=，进而解得答案.(1)解：()22sin cos 222f x x x x θθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 2sin 22x x θθ++=++()()sin 222sin 23x x x πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 为偶函数，所以,32k k Z ππθπ+=+∈，即,6k k Z πθπ=+∈，因为0θπ≤≤，所以6πθ=(2)解：在（1）成立的条件下，()2sin 22cos 236f x x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，所以由()1f x =得1cos 22x =，因为[],x ππ∈-，所以[]22,2x ππ∈-，所以23x π=-或523x π=-或23x π=或523x π=，所以6x π=-或65x π=-或6x π=或56x π=，所以，满足题意的x 的集合为55,,,6666ππππ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 21．（2022·河北秦皇岛·二模）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-.(1)求A ；(2)求cos cos B C -的取值范围.【答案】(1)3π(2)⎛ ⎝⎭【分析】（1）利用正弦定理角化边，再根据余弦定理可求出1cos 2A =，进而求出A 的大小；（2）依题意可化简cos cos 6B C B π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，根据B 的范围求出cos cos B C -的取值范围即可.(1)因为()()()sin sin sin a b A B c b C +-=-，所以()()()a b a b c b c +-=-，即222a b c bc =+-.因为2222cos a b c b A =+-，所以1cos 2A =.因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=.(2)由（1）知2cos cos cos cos 3B C B B π⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭13cos cos cos 226B B B B B B π⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭. 因为203202B B πππ⎧<-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩，所以62B ππ<<，因为2363B πππ<+<，所以11cos ,622B π⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos cos B C ⎛-∈ ⎝⎭，即cos cos B C -的取值范围是⎛ ⎝⎭. 22．（2022·浙江嘉兴·二模）设函数()sin cos f x x x =-(R)x ∈ .(1)求函数()()y f x f x =⋅-的最小正周期及其对称中心；(2)求函数22[()]4y f x f x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域. 【答案】(1)周期π，对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)[2 【分析】（1）利用二倍角公式将()()y f x f x =⋅-的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数()()y f x f x =⋅-的对称中心；（2）将函数22[()]4y f x f x π⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的表达式展开，并化简，根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的范围，结合正弦函数的性质可确定答案.(1)函数22()()cos sin cos 2y f x f x x x x =⋅-=-=，所以最小正周期22T ππ==；令2(Z)2x k k ππ=+∈，解得(Z)42k x k ππ=+∈，所以对称中心为,0(Z)42k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭； (2)函数2222[()]sin cos )[sin()cos()]44(4y f x f x x x x x πππ⎡⎤⎛⎫=++-++-+ ⎪⎢⎭⎣=⎥⎝⎦ 1sin 21sin(2)2x x π=-+-+ 2sin 2cos2x x =--224x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，故sin 2[4x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故[2y ∈.23．（2022·山东枣庄·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinsin 2B C b a B +=．求： (1)A ； (2)a c b-的取值范围．【答案】(1)3π(2)1(,1)2- 【分析】（1）由正弦定理及正弦的2倍角公式可求解；（21cos 1sin 2B B --的范围，再利用2倍角公式化为122B -即可求解. (1)因为sin sin 2BC b a B +=，所以sin cos sin sin 2A B A B =, 因为()0,,sin 0B B π∈∴≠，()1cos 2sin cos 0,cos 0,sin =222222A A A A A A π∴=∈∴≠∴，，，因为0,,22263A A A πππ<<∴=∴=. (2)由正弦定理，2sin sin()sin sin 33sin sin B a c A C b B B ππ----==1sin 222sin B B B-=1cos 1sin 2B B -=-21(12sin )1122222sin cos 22B B B B ---=-，因为203B π<<，所以023B π<<，所以0tan 2B <<。

(完整版)三角和反三角函数图像性质总结

arc tan x
arc cot x
arcsin x arccos x
2
, x [ 1,1]
2
x
R
三角函数的图像和性质
kZysin x
ycosxytan x
一个周
．．．11
3
期的图
2
426
．
O
2
2
像-1-1
-2
定义域R
值域
[ 1,1]
奇偶性奇函数
周期2
对
称直线xk，kZ
2
对轴
称
对
性
称
点(k,0)，kZ
22
无减区间
22
y arctanx
定义域
1,1
1,1
R
值域
2
,
[0，π]
,
2
2
2
在
1,1
上单一递加
在1,1上单一递减在R上单递加单一性无减区间
无减区间
无增区间
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
2
图象
运算公
式1
运算公
式2
运算公
式3
运算公
式4
2
3
2
1
2
1
-1
2
2
2
4
6
-2
8
2
4
O
1
1
-1
-1
-2
-
1
2
-2
6
-1
O
4
-2
2
反三角函数的图像和性质arcsin定义域111111上单调递增无减区间11上单调递减无增区间上单调递增无减区间奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数12122arcsinarccosarctancottan一个周12121232奇偶性奇函数偶函数奇函数周期

(最新整理)三角函数的图像与性质ppt

f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周
期函数？ 2021/7/26
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例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x＋1)=f(x－1)，且当x∈[0，2]时， f(x)=x－4，求f(10)的值.
2021/7/26
34
小结作业
1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(x ＋T)=f(x)恒成立.
现
“
周
而
复
始
”
的变化规律，如年有四季更替，月有阴
晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，
在函数领域里，周期性是函数的一个重
要性质.
2021/7/26
25
2021/7/26
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知识探究（一）：周期函数的概念
思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？
思考2：函数f(x)=sinx（x>0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是否为周期函数？
思考3：函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]
是否为周期函数？周期函数的定义域有
什么特点？ 2021/7/26
31
思考4：函数y=3sin(2x＋4)的最小正周期是多少？
思考5：一般地，函数y Asin( x ) (A 0, 0)的最小正周期是多少?
21
3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.
作业：P34练习：2 P46习题1.4 A组: 1
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22
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质第一课时