2020年中考数学《角平分线》靶向专题能力提升练习

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八年级数学沪科版上册【能力培优】专题训练：15.4角的平分线(含答案)

15.4角的均分线专题一角均分线知识的应用1. 如图， BD 是∠ A.BC 的角均分线， DE⊥ A.B 于点 E， DF ⊥ BC 于点 F ，S△A.BC=36cm2，?A.B=18cm， BC=12cm，求 DE 的长．2.已知：如图，在△ A.BC 中，∠ A.BC ＝3∠ C，∠ 1＝∠ 2， BE⊥ A.E.求证： A.C－ A.B＝ 2BE.A1 24M35EB C专题二作图与实质问题3.如图，点 B、 C 在∠ SA.T 的两边上，且 A.B=A.C.（1）请按以下语句用尺规画出图形（不写画法，保存作图印迹）①A.N⊥ BC，垂足为 N；②∠ SBC 的均分线交 A.N 延伸线于M；③连结 CM .（2）该图中有 __________对全等三角形 .SBA TC4. 夏令营组织学员到某一景区游乐，老师交给同Y轴5学一张画有直角坐标系和标有 A.、 B、C、D 四个景点4D地点的地图，指出：今日我们游乐的景点 E 是新开发B的，地图上还没来得及标明，但已知这个景点 E 知足：3A2①与景点 A.、C 和景点 B、D 所在的两条直线等距离；②到 B、C 两景点等距离 . 请你在平面直角坐标系中，1CX轴5画出景点 E 的地点，并注明坐标（用整数表示）.专题三角均分线中的研究题5. 已知：点O 到△ A.BC 的两边 A.B 、A.C 所在直线的距离相等，且OB＝OC.（ 1）如图 1，若点 O 在 BC 上，求证： A.B＝ A.C；A AOBO C B C图1图2（2）如图 2，若点 O 在△ A.BC 的内部，求证： A.B＝ A.C；（3）若点 O 在△ A.BC 的外面， A.B＝ A.C 建立吗？请绘图表示。

6. 如图，△ A.BC 中，∠ A.BC 与∠ A.CB 的均分线交于点I，过 I 作 DE∥ BC 交 BA.?于 D ，交A.C于E．（1）你能发现哪些结论？把它们一一列出来，并选择一个加以证明．（2）若 A.B=7， A.C=5，你能求△ A.DE 的周长吗？（ 3）作∠ A.BC 与∠ A.CB 的外角均分线，他们订交于点 O，过 O 点作 BC?的平行线分别交A.B、 A.C 的延伸线于 F、 G，你还可以发现什么结论？【知识重点】1. 角均分线上随意一点到角的两边的距离相等.2.在一个角的内部 , 到角的两边距离相等的点在这个角的均分线上.【温馨提示】1. 角均分线性质定理中的“角均分线上的点”是指角的均分线上的随意一点.2. 角均分线性质和判断定理中的“距离”是指点到直线的距离, 它是过角的均分线上任意一点向角的两边作垂线 , 该点与垂足间的距离 , 是指点到直线的垂线段的长 , 而不是该点与角的两边上随意一点的距离 .【方法技巧】1.利用角均分线的性质可证明两条线段相等,利用角均分线的判断可证明两个角相等,要注意不要再利用全等三角形证明.2. 碰到证明相关角均分线的问题时, 可作角的两边的垂线 , 证明垂线段相等 .参照答案1. 解: ∵ BD 是∠ A.BC 的角均分线， DE ⊥A.B ， DF ⊥ A.B ，∴ DE=DF ．∵ S △ A.BC =36cm 2， S △ A.BD = 1BC · DF ．2又∵ S △ A.BC = S △ A.BD +S △BCD ， A.B=18cm ， BC=12cm ，∴ 1 × 18DE + 1× 12DF =36，22∴ 9DE +6DF =36．又∵ DE=DF ，∴ 9DE +6DE =36，∴ DE=12cm ．52. 证明：延伸 BE 交 A.C 于点 M ，∵ BE ⊥ A.E ，∴∠ A.EB ＝∠ A.EM ＝90° .在△ A.BE 中，∵∠ 1＋∠ 3＋∠ A.EB ＝180°，∴∠ 3＝90°－∠1 .同理，∠ 4＝90°－∠2 .S∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ 3＝∠ 4，∴ A.B ＝ A.M .∵ BE ⊥ A.E ，∴ BM ＝ 2BE ，∴ A.C － A.B ＝ A.C －A.M ＝BCM .NM∵∠4 是△ BCM 的外角，∴∠ 4＝∠ 5＋∠C .T∵∠ A.BC ＝3∠C ，∴∠ A.BC ＝∠ 3＋∠ 5＝∠ 4＋∠ 5，AC∴3∠ C ＝∠ 4＋∠ 5＝2∠5＋∠ C.∴∠ 5＝∠ C ，∴ CM ＝BM. ∴ A.C － A.B ＝ BM ＝ 2BE.3. （1）如图 ; （ 2）3.4. 如图 , 坐标为 (2,2).5. （ 1）过点 O 分别作 OE ⊥ A.B ，OF ⊥A.C ，E 、F 分别是垂足，由题意知，OE ＝ OF ， OB ＝OC ，∴ Rt △OEB ≌ Rt △ OFC , ∴∠ B ＝∠ C ，进而 A.B ＝ A.C.（ 2）过点 O 分别作 OF ⊥A.B ，OE ⊥ A.C ，F 、 E 分别是垂足，由题意知， OE ＝ OF .在 Rt △OFB 和 Rt △ OEC 中，∵ OF ＝OE ，OB ＝ OC ，∴ Rt △ OFB ≌ Rt △ OEC.∴∠ OBF ＝∠ OCE ，又由 OB ＝OC 知∠OBC ＝∠ OCB ，∴∠ A.BC ＝∠ A.CD ，∴ A.B ＝ A.C.（ 3）不必定建立。

2021年中考数学复习：三角形的角平分线、中线和高专项练习题(含答案)

2021年中考数学复习：三角形的角平分线、中线和高专项练习题一．选择题1．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（）A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC ＝2S△ABF2．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，则下列结论正确的有（）①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF；④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC．A．4个B．3个C．2个D．1个3．钝角三角形三条高所在的直线交于（）A．三角形内B．三角形外C．三角形的边上D．不能确定4．画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（）A．B．C．D．5．下列说法错误的是（）A．三角形的高、中线、角平分线都是线段B．三角形的三条中线都在三角形内部C．锐角三角形的三条高一定交于同一点D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点6．在下列各图形中，分别画出了△ABC中BC边上的高AD，其中正确的是（）A．B．C．D．7．下列四个图形中，线段BE是△ABC的高的图形是（）A．B．C．D．8．如图所示，AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，图中可以作为三角形“高”的线段有（）A．1条B．2条C．3条D．5条9．如图，已知BD＝CD，则AD一定是△ABC的（）A．角平分线B．高线C．中线D．无法确定10．如图，在△ABC中，AB边上的高是（）A．AD B．BE C．BF D．CF二．填空题11．如图，AD⊥BC于D，那么图中以AD为高的三角形有个．12．已知：AD、AE分别是△ABC的高，中线，BE＝6，CD＝4，则DE的长为．13．若线段AD是△ABC的中线，且BD＝3，则BC长为．14．如图，在△ABC中，BC边上的中垂线DE交BC于点D，交AC于点E，AB＝5cm，AC＝8cm，则△ABE的周长为．15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1＝30°，∠2＝20°，则∠B＝．16．如图，已知AD是△ABC的中线，且△ABD的周长比△ACD的周长多4cm．若AB＝16cm，那么AC＝cm．。

2020年中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练分式的计算

2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练分式的计算一．选择题.1. 某机车加工车间共有26名工人,现要加工2 100个A 零件,1 200个B 零件,已知每人每天加工A 零件30个或B 零件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)?设安排x 人加工A 零件,由题意列方程得 ( ) A.2 10030x =1 20020(26-x ) B.2 100x =1 20026-xC.2 10020x =1 20030(26-x ) D.2 100x ×30=1 20026-x ×202.关于x 的分式方程x+m x -2+2m2-x =3的解为正实数,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m<-6且m ≠2 B.m>6且m ≠2 C.m<6且m ≠-2D.m<6且m ≠23. 对于实数a,b,定义一种新运算“”为ab=1a -b 2,这里等式右边是实数运算.例如:13=11-3=-18.则方程x (-2)=2x -4-1的解是 ( ) A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7二．填空题. 1. a,b 为实数,且b=√a 2-9+√9-a 2a+3+4,则a+b 的值为______.2. 化简a+1a 2-2a+1÷(1+2a -1)的结果是________.3. 若关于x 的分式方程2x -a x -2=12的解为非负数,则a 的取值范围是______. 三．解答题. 1. 先化简:(a 2+1a+1-a)÷a 2-2a+1a+1再从-1,0,1中选取一个数并代入求值.2.先化简,再求值:x 2+2x+1y·(1-1x+1)-x 2y 其中x=2,y=√2.3. 解方程:2x+93x -9=4x -7x -3+2.4. 解分式方程:x -3x -2+1=3x -2.5.某校学生利用双休时间去距学校10 km 的炎帝故里参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min 后,其余学生乘汽车沿相同路线出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度和汽车的速度.6. A,B 两种型号的机器加工同一种零件,已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件,A 型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同,求A 型机器每小时加工零件的个数.2020中考数学高频考点靶向专题复习与提升专练分式的计算（答案版）一．选择题.1. 某机车加工车间共有26名工人,现要加工2 100个A 零件,1 200个B 零件,已知每人每天加工A 零件30个或B 零件20个,问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务(每人只能加工一种零件)?设安排x 人加工A 零件,由题意列方程得 ( ) A.2 10030x =1 20020(26-x ) B.2 100x =1 20026-xC.2 10020x =1 20030(26-x ) D.2 100x ×30=1 20026-x ×20【解析】选A.设安排x 人加工A 零件,根据等量关系“共有26人”可知有(26-x)人加工B 零件,根据等量关系“完成A 零件时间=完成B 零件时间”可列方程:2 10030x=1 20020(26-x ).2.关于x 的分式方程x+m x -2+2m2-x =3的解为正实数,则实数m 的取值范围是 ( ) A.m<-6且m ≠2 B.m>6且m ≠2 C.m<6且m ≠-2D.m<6且m ≠2【解析】选D.x+m x -2+2m2-x =3,方程两边同乘(x-2)得,x+m-2m=3x-6, 解得,x=6-m 2,∵6-m 2≠2,∴m ≠2, 由题意得,6-m 2>0,解得,m<6,实数m 的取值范围是m<6且m ≠2. 3. 对于实数a,b,定义一种新运算“”为ab=1a -b 2,这里等式右边是实数运算.例如:13=11-32=-18.则方程x (-2)=2x -4-1的解是 ( )A.x=4B.x=5C.x=6D.x=7【解析】选B.根据题意,得1x -4=2x -4-1, 去分母得1=2-(x-4), 解得x=5,经检验x=5是分式方程的解. 二．填空题. 1. a,b 为实数,且b=√a 2-9+√9-a 2a+3+4,则a+b 的值为______.【解析】∵b=√a 2-9+√9-a 2a+3+4,∴a 2-9=0且a+3≠0,解得a=3,b=0+4=4,则a+b=3+4=7. 答案:72. 化简a+1a 2-2a+1÷(1+2a -1)的结果是________. 【解析】原式=a+1(a -1)2÷a+1a -1=a+1(a -1)2·a -1a+1=1a -1. 答案:1a -13. 若关于x 的分式方程2x -a x -2=12的解为非负数,则a 的取值范围是______. 【解析】去分母得,2(2x-a)=x-2, 解得x=2a -23, 由题意得2a -23≥0且2a -23≠2,解得a ≥1且a ≠4.答案:a ≥1且a ≠4 三．解答题. 1. 先化简:(a 2+1a+1-a)÷a 2-2a+1a+1再从-1,0,1中选取一个数并代入求值.【解析】原式=(a 2+1-a (a+1)a+1)·a+1(a -1)2=1-a (a -1)2=11-a .∵a+1≠0,a-1≠0,∴a ≠-1,a ≠1,∴a=0. 当a=0时,原式=11-0=1. 2.先化简,再求值:x 2+2x+1y·(1-1x+1)-x 2y 其中x=2,y=√2.【解析】原式=(x+1)2y·xx+1-x 2y=x 2+x y -x 2y=xy .将x=2,y=√2代入,得:原式=√2=√2.3. 解方程:2x+93x -9=4x -7x -3+2. 去分母得2x+9=3(4x-7)+6(x-3), 整理得-16x=-48, 解得x=3.检验:当x=3时,3(x-3)=0, 则x=3是原方程的增根. 故原方程无解.4. 解分式方程:x -3x -2+1=3x -2. 【解析】去分母得:x-3+x-2=3, 解得:x=4,经检验x=4是分式方程的解.5.某校学生利用双休时间去距学校10 km 的炎帝故里参观,一部分学生骑自行车先走,过了20 min 后,其余学生乘汽车沿相同路线出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍,求骑车学生的速度和汽车的速度.【解析】设骑车学生的速度为x 千米/小时,汽车的速度为2x 千米/小时, 可得:10x =102x +2060, 解得:x=15,经检验x=15是原方程的解,2x=2×15=30.答:骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15 km,30 km.6. A,B 两种型号的机器加工同一种零件,已知A 型机器比B 型机器每小时多加工20个零件,A 型机器加工400个零件所用时间与B 型机器加工300个零件所用时间相同,求A 型机器每小时加工零件的个数.【解析】设A 型机器每小时加工零件x 个,则B 型机器每小时加工零件(x-20)个.根据题意列方程得:400x=300x -20,解得:x=80,经检验,x=80是原方程的解. 答:A 型机器每小时加工零件80个.。

2020年中考数学专题训练(三)与角平分线有关的全等证明的三种模型

专题训练(三)与角平分线有关的全等证明的三种模型模型一过角平分线上的点向角的两边作垂线如图3-ZT-1,P是∠MON的平分线上一点,过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B.图3-ZT-1结论:PB=PA.1.如图3-ZT-2,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AP平分∠BAC.图3-ZT-22.感知:如图3-ZT-3①,AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°,∠B=90°.易知:DB=DC.探究:如图3-ZT-3②,AD平分∠BAC,∠ABD+∠ACD=180°,∠ABD<90°.求证:DB=DC.图3-ZT-33.如图3-ZT-4,P为∠ABC的平分线上的一点,点D和点E分别在AB和BC上,且BD<BE,PD=PE,试探究∠BDP与∠BEP的数量关系,并给予证明.图3-ZT-44.如图3-ZT-5,△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P,若∠BPC=40°,求∠PAC 的度数.图3-ZT-5模型二截取构造对称全等(截长补短)如图3-ZT-6,P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上任意一点,在ON上截取OB=OA,连接PB.图3-ZT-6结论:△OPB≌△OPA.5.如图3-ZT-7所示,在△ABC中,AD是△ABC的外角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PB+PC 与AB+AC的大小,并说明理由.图3-ZT-76.如图3-ZT-8所示,AD是△ABC的内角平分线,P是AD上异于点A的任意一点,试比较PC-PB与AC-AB 的大小,并说明理由.图3-ZT-87.如图3-ZT-9所示,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,延长BD至点E,使ED=AD.求证:BC=AB+CE.图3-ZT-9模型三角平分线+垂线(延长法)如图3-ZT-10,P是∠MON的平分线上的一点,AP⊥OP于点P,延长AP交ON于点B.图3-ZT-10结论:OA=OB.8.如图3-ZT-11,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BE⊥AD于点E.探究∠ABE,∠DBE,∠C之间的数量关系.图3-ZT-119.如图3-ZT-12,已知等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E.求证:BD=2CE.图3-ZT-12教师详解详析1.证明:如图,过点P作PQ⊥AB于点Q,PN⊥BC于点N,PM⊥AC于点M.∵∠1=∠2,∠3=∠4,∴PQ=PN,PN=PM.∴PQ=PM.又∵PQ⊥AB,PM⊥AC,∴AP平分∠BAC.2.证明:如图,过点D分别作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠F=∠DEB=90°,DE=DF.∵∠ABD+∠ACD=180°,∠ACD+∠FCD=180°,∴∠ABD=∠FCD.在△DFC和△DEB中,{∠F=∠DEB,∠FCD=∠EBD, DF=DE,∴△DFC≌△DEB.∴DC=DB.3.解:∠BDP+∠BEP=180°.证明:过点P作PM⊥AB于点M,PN⊥BC于点N,则∠PMD=∠PNE=90°.∵BP平分∠ABC,∴PM=PN.在Rt△DPM和Rt△EPN中,{PD=PE,PM=PN,∴Rt△DPM≌Rt△EPN(HL).∴∠ADP=∠BEP.∵∠BDP+∠ADP=180°,∴∠BDP+∠BEP=180°.4.解:如图,过点P作PN⊥BD,PF⊥BA,PM⊥AC,垂足分别为N,F,M.设∠PCD=x °.∵CP 平分∠ACD ,∴∠ACP=∠PCD=x °,PM=PN. ∵BP 平分∠ABC , ∴∠ABP=∠PBC ,PF=PN. ∴PF=PM. ∵∠BPC=40°,∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=(x-40)°.∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x °-(x °-40°)-(x °-40°)=80°. ∴∠CAF=100°.在Rt △PFA 和Rt △PMA 中,{PA =PA,PF =PM,∴Rt △PFA ≌Rt △PMA (HL). ∴∠FAP=∠PAC=50°.5.解:PB+PC>AB+AC.理由如下:如图,在BA 的延长线上截取一点F ,使AF=AC ,连接PF.在△ACP 和△AFP 中,{AC =AF,∠CAP =∠FAP,AP =AP,∴△ACP ≌△AFP (SAS). ∴AC=AF ,PC=PF. ∵PB+PF>BF , ∴PB+PC>AB+AC.6.解:PC-PB<AC-AB.理由如下:如图,在AC上截取一点F,使AF=AB,连接PF.在△ABP和△AFP中,{AB=AF,∠BAP=∠FAP, AP=AP,∴△ABP≌△AFP(SAS).∴PB=PF.∵AF=AB=AC-CF,∴CF=AC-AB.∵PC-PF<CF,∴PC-PB<AC-AB.7.证明:如图,在BC上截取一点F,使得FB=AB,连接DF.∵BD是∠ABC的平分线,∠ABC=40°,∴∠ABD=∠FBD=20°.在△ABD和△FBD中,{AB=FB,∠ABD=∠FBD, BD=BD,∴△ABD≌△FBD(SAS).∴AD=FD,∠BDF=∠BDA=180°-∠A-∠ABD=60°.∴∠FDC=∠BDA=∠EDC=60°.又∵ED=AD,∴ED=FD.在△EDC和△FDC中,{ED =FD,∠EDC =∠FDC,DC =DC,∴△EDC ≌△FDC (SAS). ∴CE=CF.∴BC=FB+CF=AB+CE.8.解:如图,延长BE 交AC 于点F.在△ABE 和△AFE 中,{∠BAE =∠FAE,AE =AE,∠AEB =∠AEF =90°,∴△ABE ≌△AFE (ASA). ∴∠ABE=∠AFE. ∵∠AFB=∠DBE+∠C , ∴∠ABE=∠DBE+∠C.9.证明:如图,延长CE ,BA 交于点F.在△BEF 和△BEC 中,{∠FBE =∠CBE,BE =BE,∠BEF =∠BEC,∴△BEF ≌△BEC (ASA). ∴FE=CE=12CF ,即CF=2CE.∵∠ABD+∠ADB=90°,∠EDC+∠DCE=90°,∠ADB=∠EDC , ∴∠ABD=∠DCE.在△ABD 和△ACF 中,{∠ABD =∠DCE,AB =AC,∠BAD =∠CAF =90°,∴△ABD≌△ACF(ASA).∴BD=CF.∴BD=2CE.。

人教新课标版初中八上11.3角的平分线的性质能力提高题

人教新课标版初中八上11.3角的平分线的性质能力提高题一、综合题（12分）1．如图11-3-14所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，试证明∠A+∠C=180°．二、应用题（12分）2．如图11-3-15所示，△ABC为等边三角形，D为三角形内一点，且有DA=DB，BP=BA，∠BPD=30°．求证：BD平分∠PBC．三、创新题（12分）3．如图11-3-16所示，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，BD是∠ABC的平分线，DE ⊥BC于E，BC=10 cm．求△DEC的周长．四、中考题（每小题10分，共20分）（一）中考真题再现4．（2007·宜宾）如图11-3-17所示，将△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，再过点O 任意画一条与AC、BD都相交的直线MN，交点分别为M和N，试问：线段OM=ON 成立吗？若成立，请进行证明；若不成立，请说明理由．（二）中考命题探究5．已知如图11-3-18所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，DE，DF分别垂直AB，AC，垂足分别为E，F．求证：EB=FC．五、附加题（20分）6．如图11-3-19所示，BD 是∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 延长线上，PM ⊥AD于M ， PN ⊥CD 于N ．求证:PM=PN ．参考答案一、1．分析：要证∠A+∠C=180°，可把∠C 转化成∠A 的邻补角，故过D 作DE ⊥BA ，DF ⊥BC ，从而有△EBD ≌△FBD ，故DE=DF ，进而有Rt △AED ≌Rt △FCD ，故∠EAD=∠C ，从而∠BAD+∠C=180°．解：如图11-3-6′所示，作DE ⊥BA 于E ，DF ⊥BC 于F ，则∠BED=∠BFD=90°，又∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2，在△EBD 和△FBD 中，12,,,BED BFD BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EBD ≌△FBD （AAS ），∴DE=DF （全等三角形的对应边相等）．在Rt △AED 和Rt △FCD 中，,,D E D F AD D C =⎧⎨=⎩ ∴Rt △AED ≌Rt △CFD(HL)，∴∠C=∠EAD （全等三角形的对应角相等）．∵∠EAD+∠A=180°，∴∠A+∠C=180°．点拨：有角平分线的，过角平分线上的点向角两边作垂线，则垂线段相等．二、2．分析：证明BD 平分∠PBC ，即证∠DBC=∠DBP ，因为这两个角不在同一三角形内，则应证明两个三角形全等，因此，应作辅助线，连接DC ，先证明出△BCD ≌△BPD ．证明：如图11-3-7′所示，连接DC ，CP ，∵△ABC 为等边三角形，∴AC=BC ，再根据DA=DB （已知）， DC=DC ．∴△ADC ≌△BDC （SSS ）．∴∠BCD=∠ACD （全等三角形的对应角相等），∵∠A=∠B=∠C=60°，则∠BCD=∠ACD=36°．再根据AB=PB （已知），则AB=BC=PB ．∵∠BPD=30°，BD=BD ，∴△BCD ≌△BPD （SAS ）．则∠DBP=∠DBC （全等三角形的对应角相等），即BD平分∠PBC．点拨：画出正确的辅助线是解题的关键．三、3．分析：欲求△DEC的周长，首先联系到BC=10 cm，这唯一的已知线段长度，看△DEC的周长与BC有怎样的联系，根据已知可先证出△ABD≌EBD，再根据AB=AC，可以得到BE=AC，则AD+DC=DE+DC．证明：由△ABC为等腰三角形，∠A=90°，有AB=AC．由ABC90,, BDA D E BC⎧∠⎨∠=︒⊥⎩为平分线，则有DE=DA（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．再利用BD=BD，可得到Rt△ABD≌Rt△EBD(HL)．则有AB=EB=AC．因为AC=AD+DC，由于AD=DE，则AC=DE+DC，BC=10 cm，即EB=DE+DC，所以△DEC周长等于EB+EC=BC=10(cm)．点拨：利用角平分线上的点到角两边距离相等证出全等三角形是关键．四、（一）4．分析：先△ODB≌△OCA，再证△AOM≌△BON．解：成立．∵△BOD绕点O旋转180°后得到△AOC，∴△ODB≌△OCA，∴∠A=∠B，OA=OB，A，O，B三点共线．∵直线MN过点O，∴∠AOM=∠BON．∴△AOM△BON, ∴OM=ON．点拨：旋转烃换是一种全等变换，可利用全等三角形的有关知识解决问题．（二）5．分析：考虑以EB，FC为边的两个三角形全等，但是条件不够，如果能证出DE=DF 就可以了，所以需要利用角平分线的性质证明．证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．又∵BD=CD（已知），∠DEB=∠DFC=90°（已知），∴Rt△DEB≌Rt△DFC(AAS)．则EB=FC（全等三角形的对应边相等）．点拨：牢记角平分线的性质，并能灵活运用．五、6．分析：欲证PM=PN，则先证明DP平分∠ADC，根据已知条件可先证明△ADB≌△CBD,得到∠ADB=∠CDB，则有∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC，则此题可证明．证明：∵BP为∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠CBP．∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)．∴∠ADB=∠CDB(全等三角形对应角相等)．∴∠ADP=∠CDP（等角的补角相等）．∴DP为∠ADC的平分线．∵PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，∴PM=PN（角平分线上的点到角两边的距离相等）．点拨：找准可利用的条件，对所学知识要灵活地运用．。

专题05 三角形中的角平分线模型--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题05三角形中的角平分线模型【模型1】如图，已知OP 平分AOB ∠，过点P 作OA PD ⊥,OB PE ⊥；可根据角平分线性质证得ODP ∆≌OEP ∆，从而可得OPE OPD ∠=∠，PE PD OE OD ==;。

【模型拓展】与角平分线有关的辅助线作法【辅助线作法一】如图，已知OP 平分AOB ∠，点C 是OA 上的一点，通常情况下，在OB 上取一点D，使得OC OD =，连接PD，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，可证得OPC ∆≌OPD ∆。

从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，DPO CPO ∠=∠。

【辅助线作法二】如图，已知OP 平分AOB ∠，OP CP ⊥，通常情况下，延长CP 交OB 于点D，结合OP OP =，POD POC ∠=∠，︒=∠=∠90OPD OPC ，可证得OPC ∆≌OPD ∆。

从而可得PD PC =，PDO PCO ∠=∠，OD OC =。

【辅助线作法三】如图，已知OP 平分AOB ∠，通常情况下，过点P 作PC//OB，根据平行线性质：两直线平行内错角相等；结合POD POC ∠=∠，从而可得PC OC =，CPO COP ∠=∠。

【例1】如图，OC 为∠AOB 的角平分线，点P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，F 为OC 上另一点，连接DF ，EF ，则下列结论：①OD ＝OE ；②DF ＝FE ；③∠DFO ＝∠EFO ；④S △DFP ＝S △EFP ，正确的个数为（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】证明△ODP ≌△OEP （AAS ），由全等三角形的性质可推出OD =OE ，证明△DPF ≌△EPF （SAS ），由全等三角形的性质可推出DF =EF ．∠DFP =∠EFP ，S △DFP =S △EFP ，则可得出答案．【解析】解：①∵OC 平分∠AOB ，∴∠DOP =∠EOP ，∵PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠ODP =∠OEP =90°，∵OP =OP ，∴△ODP ≌△OEP （AAS ），∴OD =OE ．故①正确；②∵△ODP ≌△OEP ，∴PD =PE ，∠OPD =∠OPE ，∴∠DPF =∠EPF ，∵PF =PF ，∴△DPF ≌△EPF （SAS ），∴DF =EF ．故②正确；③∵△DPF ≌△EPF ，∴∠DFO =∠EFO ，故③正确；④∵△DPF ≌△EPF ，∴S △DFP =S △EFP ，故④正确．故选：D ．【例2】如图，已知OC 平分∠MON ，点A 、B 分别在射线OM ，ON 上，且OA ＝OB ．求证：△AOC ≌△BOC．【答案】见解析【分析】根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法可以证明结论成立．【解析】证明：∵OC 平分∠MON ，∴∠AOC ＝∠BOC ，在△AOC 和△BOC 中，OA OB AOC BOC OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOC ≌△BOC （SAS ）．【例3】请阅读以下材料，并完成相应的问题：角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AB BD AC CD=，下面是这个定理的部分证明过程：证明：如图2，过C 作CE ∥DA ，交BA 的延长线于E ．…任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，已知Rt △ABC 中，AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，AD 平分∠BAC ，求BD 的长．（请按照本题题干的定理进行解决）【答案】(1)见解析；(2)．【分析】（1）如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，利用平行线分线段成比例定理得到BD CD ＝BA EA，利用平行线的性质得∠2=∠ACE ，∠1=∠E ，由∠1=∠2得∠ACE =∠E ，所以AE =AC 即可证明结论；（2）先利用勾股定理计算出AC =5，再利用（1）中的结论得到AC AB ＝CD BD ，即53＝CD BD ，则可计算出BD =32，然后利用勾股定理计算出AD =2，从而可得到△ABD 的周长．【解析】（1）解：如图2：过C 作CE ∥DA ．交BA 的延长线于E ，∵CE //AD ，∴BD CD ＝BA EA，∠2＝∠ACE ，∠1＝∠E ，∵AD 平分∠BAC∴∠1＝∠2，∴∠ACE ＝∠E ，∴AE ＝AC ，∴AB AC ＝BD CD；（2）∵AB ＝3，BC ＝4，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5，∵AD 平分∠BAC ，∴AC AB ＝CD BD ，即53＝4BD BD -，∴BD ＝32，∴AD∴△ABD 的周长＝32+3+2＝92+．一、单选题1．如图，ABC 中，5AB =，6BC =，10CA =，点D ，E 分别在BC ，CA 上，DE AB ∥，F 为DE 中点，AF 平分BAC ∠，则BD 的长为（）A ．32B ．65C ．85D ．2【答案】B【分析】根据角平分线和平行可得EA EF =，从而可得2DE AE =，然后证明EDC ABC △△∽，利用相似三角形的性质即可求出AE ，DE ，进而求出CD ，最后进行计算求出BD 即可解答．【解析】解：∵F 为DE 中点，∴2ED EF =，∵AF 平分BAC ∠，∴EAF FAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴FAB AFE ∠=∠，∴EAF AFE ∠=∠，∴EA EF =，∴2DE AE =，设AE x =，则2DE x =，∵DE AB ∥，∴EDC B ∠=∠，∵C C ∠=∠，∴EDC ABC △△∽，∴ED EC DC AB AC BC==，∵5AB =，6BC =，10CA =，∴210510x x -=，∴2x =，∴24DE x ==，∴456CD =，∴245CD =，∴246655BD BC CD =-=-=．故选：B ．2．如图，平行四边形ABCD 中，∠A 的平分线AE 交CD 于E ，若AB =5，BC =3，则EC 的长为（）A ．1B ．2C ．2.5D ．4【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质可得AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD ，然后根据平行线的性质可得∠EAB =∠AED ，然后根据角平分线的定义可得∠EAB =∠EAD ，从而得出∠EAD =∠AED ，根据等角对等边可得DA =DE =3，即可求出EC 的长．【解析】解:∵四边形ABCD 是平行四边形，AB =5，BC =3，∴AB =CD =5，AD =BC =3，AB ∥CD∴∠EAB =∠AED∵AE 平分∠DAB∴∠EAB =∠EAD∴∠EAD =∠AED∴DA =DE =3∴EC =CD －DE =2故选B ．3．如图，OP 平分MON ∠，PA ON ⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．PA PQ=B ．PA PQ <C ．PA PQ >D ．PA PQ≤【答案】D 【分析】连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，根据角平分线的性质得出PQ =PA ，利用直线外一点到直线的垂线段最短即可得出结论．【解析】解：连接PQ ，当PQ ⊥OM 时，∵OP 平分∠MON ，PQ ⊥OM ，PA ⊥ON ，∴PQ =PA ，此时点P 到OM 的距离PQ 最小，∴PA ≤PQ ，故选：D ．4．如图，CD ，CE ，CF 分别是ABC 的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（）A．2AB BF=B．12ACE ACB∠=∠C．AE BE=D．CD BE⊥【答案】C【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解．【解析】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，∴CD⊥AB，∠ACE＝12∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE．故选：C．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④BE+AC=AB，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据题中条件，结合图形及角平分线的性质得到结论，与各选项进行比对，排除错误答案，选出正确的结果．【解析】解：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=∠DAE，∵∠C=90°，DE⊥AB，∴∠C=∠E=90°，∵AD=AD，∴△DAC≌△DAE，∴∠CDA=∠EDA，∴①AD平分∠CDE正确；无法证明∠BDE =60°，∴③DE 平分∠ADB 错误；∵BE +AE =AB ，AE =AC ，∴BE +AC =AB ，∴④BE +AC =AB 正确；∵∠BDE =90°-∠B ，∠BAC =90°-∠B ，∴∠BDE =∠BAC ，∴②∠BAC =∠BDE 正确．综上，正确的个数的3个，故选：C ．6．如图，∠BAC ＝30°，AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB 交AB 于F ，DE ⊥DF 交AC 于E ，若AE ＝8，则DF 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B 【分析】过点D 作DG AC ⊥，根据角平分线的性质可得DF DG =，根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定，可得AE ED =，进而根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．【解析】如图，过点D 作DG AC ⊥ AD 平分∠BAC ，DF ⊥AB ，DG AC⊥∴DF DG =，CAD BAD∠=∠DE DF ⊥ ，DF ⊥AB ，AB DE∴∥BAD EDA∴∠=∠EAD EDA∴∠=∠EA ED∴=8AE = 8DE AE ∴== ∠BAC ＝30°，30DEG ∴∠=︒142DG DE ∴==4DF ∴=故选B二、填空题7．如图，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，请你添加一个条件________，使四边形AEDF 是菱形．【答案】DF ∥AB【分析】添加DF ∥AB ，根据DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，可以判断四边形AEDF 是平行四边形，再根据角平分线的性质和平行线的性质即可证明结论成立．【解析】解：DF ∥AB ，理由如下：∵DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB 交AC 于点F ，∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴∠EAD ＝∠FAD ，∴∠ADF ＝∠FAD ，∴FA ＝FD ，∴平行四边形AEDF 是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．8．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分∠ADC ，AD ＝8，BE ＝3，则AB 的长为________．【答案】5【分析】首先由在平行四边形ABCD 中，AD =8，BE =3，求得CE 的长，然后由DE 平分∠ADC ，可证CD =CE =5，即可求解．【解析】∵在平行四边ABCD 中，AD =8，∴BC =AD =8，AD //BC ，∴CE =BC -BE =8-3=5，∠ADE =∠CED ，∴DE 平分∠ADC ，∴∠ADE =∠CDE ，∴∠CDE =∠CED ，∴CD =CE =5=AB ，故答案为：5．9．如图，在ABC 中，ACB ∠的平分线交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ．F 为BC 上一点，若DF AD =，6ACD CDF S S -=△△，则AED 的面积为______．【答案】3【分析】在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG ．根据题意易证()CDG CDF SAS ≅ ，得出DG DF =，CDG CDF S S = ．即可求出AD DG =，6ADG S = ．最后根据等腰三角形“三线合一”的性质即可求出ADE S ．【解析】如图，在CA 上截取CG ＝CF ，连接DG，∵CD 平分ACB ∠，∴ACD BCD ∠=∠．在CDG 和CDF 中，CG CF GCD FCD CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CDG CDF SAS ≅ ，∴DG DF =，CDG CDF S S = ．∵6ACD CDF S S -=△△，∴6ACD CDG S S -= ，即6ADG S = ．∵AD DF =，∴AD DG=．∴AE=EG，∴132ADE GDE ADGS S S===．故答案为：3．10．如图，AB＝BE，∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，则下列结论正确的是：_____．（填序号）①BC平分∠DCE；②∠ABE+∠ECD＝180°；③AC＝2BE+CE；④AC＝2CD﹣CE．【答案】①②④【分析】根据已知∠DBC＝12∠ABE，BD⊥AC，想到构造一个等腰三角形，所以延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，就得到∠FBC＝2∠DBC，然后再证明△FAB≌△CBE，就可以判断出BC平分∠DCE，再由角平分线的性质想到过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，从而证明△ABD≌△EBG，即可判断．【解析】解：延长CD，以B为圆心，BC长为半径画弧，交CD的延长线于点F，则BF＝BC，过点B作BG⊥CE，交CE的延长线于点G，∵FB＝BC，BD⊥AC，∴DF＝DC，∠DBC＝∠DBF＝12∠FBC，∵∠DBC＝12∠ABE，∴∠FBC＝∠ABE，∴∠FBA＝∠CBE，∵AB＝AE，∴△FAB≌△CBE（SAS），∴∠F＝∠BCE，∵BF＝BC，∴∠F＝∠BCD，∴∠BCD＝∠BCE，∴BC平分∠DCE，故①正确；∵∠FBC+∠F+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠BCE+∠BCD＝180°，∴∠ABE+∠DCE＝180°，故②正确；∵∠BDC＝∠BGC＝90°，BC＝BC，∴△BDC≌△BGC（AAS），∴AD＝GE，CD＝CG，∵AC＝AD+DC，∴AC＝AD+CG＝AD+GE+CE＝2GE+CE，∵GE≠BE，∴AC≠2BE+CE，故③错误；∵AC＝CF﹣AF，∴AC＝2CD﹣CE，故④正确；故答案为：①②④．11．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，BE＝2，则DE的长是___．【答案】2【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，等量代换得到∠DBE＝∠BDE，得到DE＝BE，于是得到结论．【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠DBE＝∠BDE，∴DE＝BE，∵BE＝2，∴DE＝2．故答案为：2．12．如图，△ABC中，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠CAE、内角∠ABC、外角∠ACF，AD∥BC．以下结论：①∠ABC=∠ACB；②∠ADC+∠ABD=90°；③BD平分∠ADC；④2∠BDC=∠BAC．其中正确的结论有____________．（填序号）【答案】①②④【分析】根据角平分线的定义得到∠EAD=∠CAD，根据平行线的性质得到∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，求得∠ABC=∠ACB，故①正确；根据角平分线的定义得到∠ADC=90°12-∠ABC，求得∠ADC+∠ABD=90°故②正确；根据全等三角形的性质得到AB=CB，与题目条件矛盾，故③错误，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到2∠BDC=∠BAC，故④正确．【解析】解：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD=∠CAD，∵AD∥BC，∴∠EAD=∠ABC，∠CAD=∠ACB，∴∠ABC=∠ACB，故①正确；∵AD，CD分别平分∠EAC，∠ACF，∴可得∠ADC=90°12-∠ABC，∴∠ADC+12∠ABC=90°，∴∠ADC+∠ABD=90°，故②正确；∵∠ABD =∠DBC ，BD =BD ，∠ADB =∠BDC ，∴△ABD ≌△BCD （ASA ），∴AB =CB ，与题目条件矛盾，故③错误，∵∠DCF =∠DBC +∠BDC ，∠ACF =∠ABC +∠BAC ，∴2∠DCF =2∠DBC +2∠BDC ，2∠DCF =2∠DBC +∠BAC ，∴2∠BDC =∠BAC ，故④正确，故答案为：①②④．三、解答题13．如图，AC ＝BC ，∠1＝∠2，求证：OD 平分∠AOB ．【答案】见详解【分析】证明△ACO ≌△BCO 即可求证．【解析】证明：∵∠1=∠2，∠1+∠ACO =180°，∠2+∠BCO =180°，∴∠ACO =∠BCO ，∵AC =BC ，CO =CO ，∴△ACO ≌△BCO ，∴∠AOC =∠BOC ，∴OD 平分∠AOB ．14．如图，在ABC 中，AE 平分BAC BE AE ∠⊥，于点E ，延长BE 交AC 于点D ，点F 是BC 的中点．若35AB AC ==，，求EF 的长．【答案】1【分析】根据角平分线的定义结合题意，即可利用“ASA”证明BAE DAE ≅ ，即得出3AD AB ==，BE DE =，从而可得出2CD =，点E 为BD 中点，从而可判定EF 为BCD △的中位线，进而可求出EF 的长．【解析】∵AE 平分BAC BE AE∠⊥，∴BAE DAE ∠=∠，90AEB AED ∠=∠=︒．又∵AE =AE ，∴BAE DAE ≅ (ASA)，∴3AD AB ==，BE DE =，∴2CD AC AD =-=，点E 为BD 中点．∵F 是BC 的中点，∴EF 为BCD △的中位线，∴112EF CD ==．15．已知：如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =100°，BD 是∠ABC 的平分线，BD =BE ．求证：(1)△CED 是等腰三角形；(2)BD +AD =BC ．【答案】(1)见解析；(2)见解析【分析】（1）由AB =AC ，∠A =100°求出∠ABC =∠C =40°，再由BD 是∠ABC 的平分线求出∠DBC =12∠ABC =20°，根据BD =BE 求出∠BED =∠BDE =80°，再根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和求得∠EDC =40°，则∠EDC =∠C ，从而证明ED =EC ，即△CED 是等腰三角形；（2）在BE 上截取BF =BA ，连结DF ，先证明△FBD ≌△ABD ，则FD =AD ，∠BFD =∠A =100°，可证明∠EFD =∠FED =80°，则AD =FD =ED =EC ，即可证明BD +AD =BE +EC =BC ．【解析】（1）∵AB =AC ，∠A =100°，∴∠ABC =∠C =12×（180°-100°）=40°，∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC =12∠ABC =20°，∵BD =BE ，∴∠BED =∠BDE =12×（180°-20°）=80°，∴∠EDC =∠BED -∠C =80°-40°=40°，∴∠EDC =∠C ，∴ED =EC ，∴△CED 是等腰三角形．（2）如图，在边BC 上取点F ，使BF BA =，在ABD △和FBD 中∵AB FB ABD FBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD FBD≌△△∴AD DF =，100BFD A ∠=∠=︒，∴18010080DFE ∠=︒-︒=︒，∴DFE DEF∠=∠∴DF DE=∴AD EC=∴BD AD BE EC BC +=+=．16．如图，AD 为△ABC的角平分线．(1)如图1，若CE ⊥AD 于点F ，交AB 于点E ，AB =8，AC =5．则BE =_______．(2)如图2，若∠C =2∠B ，点E 在AB 上，且AE =AC ，AB =a ，AC =b ，求CD 的长；（用含a 、b 的式子表示）(3)如图3，BG ⊥AD ，点G 在AD 的延长线上，连接CG ，若△ACG 的面积是7，求△ABC 的面积．【答案】(1)3；(2)CD =a －b ；(3)ABC S =14【分析】（1）利用ASA 证明△AEF ≌△ACF ，得AE ＝AC ＝5，得出答案；（2）利用ASA 证明△ADE ≌△ADC ，得∠C =∠AED ，DC =DE ，再证明∠B =∠BDE ，得出BE =DE ，即可得到结论；（3）利用ASA 证明△AGB ≌△AGH ，得出BG =HG ，即可得出△ABC 的面积．【解析】（1）∵AD 是△ABC 的平分线，∴∠BAD ＝∠CAD ，∵CE ⊥AD ，∴∠CFA ＝∠EFA ，∵在△AEF 和△ACF 中EAF CAF AF AF AFE AFC ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AEF ≌△ACF （ASA ），∴AE ＝AC ＝5，∵AB =8，∴BE ＝AB −AC ＝8−5＝3，故答案为：3；(2)∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，在△ADE 和△ADC 中AE AC EAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ADC∴∠C =∠AED ，DC =DE又∵∠C =2∠B ，∠AED =∠B +∠BDE∴∠B =∠BDE∴DE =BE ，∴DC =DE =BE =AB －AE =AB －AC=a －b ；(3)如图，分别延长AC ，BG 交于点H ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵AG ⊥BH ，∴∠AGB =∠AGH =90°，∵在△AGB 和△AGH 中BAD CAD AG AG AGB AGH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AGB ≌△AGH ，∴BG =HG ，∴22BCH BCG HCG S S S == ，又∵2ABC BCH ACG CGH S S S S +=+ （）∴ABC S =14．17．已知：如图1，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，60B ∠=︒，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM AB ⊥，FN BC ⊥，垂足分别为M ，N ．【思考说理】（1）求证：FE FD =．【反思提升】（2）爱思考的小强尝试将【问题背景】中的条件“90ACB ∠=︒”去掉，其他条件不变，观察发现（1）中结论（即FE FD =）仍成立．你认为小强的发现正确吗？如果不正确请举例说明，如果正确请仅就图2给出证明．【答案】（1）证明见详解；（2）正确，证明见详解；【分析】（1）由角平分线的性质、三角形内角和定理证()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠即可求解；（2）在AB 上截取CP =CD ，分别证()CDF CPF SAS ∆≅∆、()AFE AFP ASA ∆≅∆即可求证；【解析】证明：（1）∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴点F 是ABC ∆的内心，∵FM AB ⊥，FN BC ⊥，∴FM FN =，∵90ACB ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴30CAB ∠=︒∴15CAD ∠=︒∴75ADC ∠=︒∵45ACE ∠=︒∴75CEB ∠=︒∴ADC CEB∠=∠∴()Rt FDN Rt FEM AAS ∆≅∆∠∴FE FD=（2）如图，在AB 上截取CP =CD ，在CDF ∆和CPF ∆中，∵CD CP DCF PCF CF CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CDF CPF SAS ∆≅∆∴FD FP =，∠CFD =∠CFP ，∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，∴∠CAD =∠BAD ，∠ACE =∠BCE ，∵∠B =60°，∴∠ACB +∠BAC =120°，∴∠CAD +∠ACE =60°，∴∠AFC =120°，∵∠CFD =∠AFE =180°-∠AFC =60°，∵∠CFD =∠CFP ，∴∠AFP =∠CFP =∠CFD =∠AFE =60°，在AFE ∆和AFP ∆中，∵AFE AFP AF AF PAF EAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()AFE AFP ASA ∆≅∆∴FP =EF∴FD =EF ．18．如图，∠MAN 是一个钝角，AB 平分∠MAN ，点C 在射线AN 上，且AB ＝BC ，BD ⊥AC ，垂足为D．(1)求证：BAM BCA ∠=∠；(2)动点P ，Q 同时从A 点出发，其中点Q 以每秒3个单位长度的速度沿射线AN 方向匀速运动；动点P 以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC ＝5，设动点P ，Q 的运动时间为t 秒．①如图②，当点P 在射线AM 上运动时，若点Q 在线段AC 上，且52ABP BQC S S =△△，求此时t 的值；②如图③，当点P 在直线AM 上运动时，点Q 在射线AN 上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得 APB 与 BQC 全等？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)见解析(2)①2517t =；②存在，54t =或52t =【分析】（1）①先证Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），推出∠BAC ＝∠BCA ．再由角平分线的定义得∠BAM ＝∠BAC ，等量代换即可证明BAM BCA ∠=∠；（2）①作BH ⊥AM ，垂足为M ．先证△AHB ≌△ADB （AAS ），推出BH ＝BD ，再由S △ABP ＝52S △BQC ，推出52AP CQ =，结合P ，Q 运动方向及速度即可求解；②分“点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC 上”，以及“点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出AP 与CQ 的关系即可求解．【解析】（1）证明：∵BD ⊥AC ，∴90BDA BDC ∠=∠=︒，在Rt △BDA 和Rt △BDC 中，BD BD AB CB=⎧⎨=⎩，∴Rt △BDA ≌Rt △BDC （HL ），∴∠BAC ＝∠BCA ．∵AB 平分∠MAN ，∴∠BAM ＝∠BAC ，∴∠BAM ＝∠BCA ．（2）解：①如下图所示，作BH ⊥AM ，垂足为M ．∵BH ⊥AM ，BD ⊥AC ，∴∠AHB ＝∠ADB ＝90°，在△AHB 和△ADB 中，AHB ADB BAH BAD AB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，，∴△AHB ≌△ADB （AAS ），∴BH ＝BD ，∵S △ABP ＝52S △BQC ，∴151222AP BH CQ BD =⨯ ，∴52AP CQ =，∴5(53)2t t =-，∴2517t =．②存在，理由如下：当点P 沿射线AM 方向运动，点Q 在线段AC上时，如下图所示，∵AB ＝BC ，又由（1）得∠BAM ＝∠BCA ，∴当AP ＝CQ 时，△APB ≌△CQB ，∴53t t =-，∴54t =；当点P 沿射线AM 反向延长线方向运动，点Q 在线段AC 延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴35t t=-，∴52 t=．综上所述，当54t=或52t=时，△APB和△CQB全等．。

初中考数学专题总复习《三角形》与角平分线有关的问题

第2题图
方法三利用角平分线，构造对称图形方法解读 (1)截取：如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，连接AP.
【结论】△OPB≌△OPA
(2)延长：如图，P是∠MON的平分线上一点，AP⊥OP于点P. 【结论】△AOB是等腰三角形，AP＝BP，Rt△AOP≌Rt△BOP.

方法应用 3. 如图，在△ABC中，∠BAC＝108°，AB＝AC，CD平分∠ACB交AB于点D.若BD ＝4，BC＝9，则AC＝___5_____.
第3题图
4. 如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1， BC＝3，则AC的长为____5____．
第4题图
与角平分线有关的问题
微专题与角平分线有关的问题
方法一过角平分线上的点向角两边作垂线方法解读已知点P是∠MON平分线上的一点，PA⊥OM于点A.
【结论】BP＝AP，Rt△AOP≌Rt△BOP.
方法应用 1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E.若AB＝6，则△DEB的周长为__6______．
第1题图
方法二角平分线遇平行线，构造(找)等腰三角形方法解读 (1)如图，点P在∠AOB的平分线上．
【结论】OQ＝PQ，△POQ是等腰三角形．
【结论】OD＝OE，△EOD是等腰三角形．
方法应用 2. 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BE平分∠ABC交 AC于点E，过E作EF∥BC交AB于点F.若EC＝1，则BF＝____2____．

中考数学专题练习三角形的角平分线、中线和高(含解析)-精选文档

中考数学专题练习-三角形的角平分线、中线和高（含解析）一、单选题1.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 等腰三角形2.已知AD是△ABC的中线，且△ABD比△ACD的周长大3cm，则AB与AC的差为（）A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm3.钝角三角形的高线在三角形外的数目有（）A. 3B. 2C. 1D. 04.三角形的三条中线的交点的位置为（）A. 一定在三角形内B. 一定在三角形外C. 可能在三角形内，也可能在三角形外D. 可能在三角形的一条边上5.三角形的重心是（）A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点6.如图，△ABC中BC边上的高为（）A. AEB. BFC. ADD. CF7.下列说法正确的是（）A. 三角形的中线就是过顶点平分对边的直线B. 三角形的三条角平分线的交点有可能在三角形外部C. 三角形的三条高线的交点必在三角形内部D. 以上说法都错8.三角形的角平分线是（）A. 射线B. 直线C. 线段D. 线段或射线9.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A. 形状相同的三角形B. 面积相等的三角形C. 直角三角形D. 周长相等的三角形10.如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE，若BD=4，CE=6，则△ABC 的面积为（）A. 12B. 24C. 16D. 3211.下列说法错误的是（）．A. 锐角三角形的三条高线、三条中线、三条角平分线分别交于一点B. 钝角三角形有两条高线在三角形外部C. 直角三角形只有一条高线D. 任意三角形都有三条高线、三条中线、三条角平分线12.如图，，垂足为D，，下列说法正确的是（）A. 射线AC是的角平分线B. 直线BD是的边AD上的高C. 线段AC是的中线D. 线段AD是的边BC上的高13.在下图中，正确画出AC边上高的是( )A. B.C. D.14.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O，则①AO是△ABE的角平分线；②BO 是△ABD的中线；③DE是△ADC的中线；④ED是△EBC的角平分线的结论中正确的有（）A. 1 个B. 2个C. 3个D. 4个15.如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分别为C，D，E，则下列说法不正确的是（）A. AC是△ABC的高B. DE是△BCD的高C. DE是△ABE的高D. AD是△ACD的高16.三角形的角平分线、中线和高（）A. 都是线段B. 都是射线C. 都是直线D. 不都是线段17.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，则CD是△ABC（）A. BC边上的高B. AB边上的高C. AC边上的高D. 以上都不对18.如图，下面的四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）A. B. C. D.二、填空题19.AD是△ABC的边BC上的中线，已知AB=5cm，AC=3cm，△ABD与△ACD的周长之差为________cm.20.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，则∠BPC的大小是________度．21.如图所示，在△ABC中，∠1=∠2，G是AD的中点，延长BG交AC于点E，F为AB上一点，CF⊥AD交AD于点H．①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线；③CH为△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高线，其中判断正确的有________.22.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠1=30°，∠2=20°，则∠B=________23.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线，则AB=2________，BD=________，AE=________．24.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是线段BC、AD、CE的中点，且，则________cm2．25.一个等腰但不等边的三角形，它的角平分线、高、中线的总条数为________ 条．三、解答题26.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为13cm，求AC的长．27.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上高AD=12，试求△ABC周长。

专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用(知识解读)-备战2023年中考数学《重难点解读专项训练

N M O A B PPO N M B A专题01 角平分线四大模型在三角形中的应用（知识解读）【专题说明】角平分线在几何中占有重要地位，是解决许多问题的桥梁和纽带，角平分线把一个角分成相等的两个部分，其“轴承对称功能”衍生出“角平分线上的点到角两边的距离相等”以及“等腰三角形三线合一”、“三角形的内心到三边的距离相等”等性质，而角平分线与平行线相结合构造出等腰三角形，也常在解题中给我们带来帮助，本专题介绍四种常考解题方法。

【方法技巧】模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

【模型分析】利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

P O N MB AQP O N M 【模型分析】利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP ⊥OP 于P 点，延长AP 于点B 。

结论：△AOB 是等腰三角形。

【模型分析】构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。

这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4 角平分线+平行线如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点P 作PQ ∥ON ，交OM 于点Q 。

结论：△POQ 是等腰三角形。

【模型分析】有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题(含答案解析)

中考数学复习----《角的平分线与线段的垂直平分线》知识点总结与专项练习题（含答案解析）知识点总结1.角平分线的定义：角的内部把角平均分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。

2.角平分线的性质：①平分角。

②角平分线上任意一点到角两边的距离相等。

3.角平分线的判定：角的内部到角两边相等的点一定在角平分线上。

4.角平分线的尺规作图：具体步骤：①以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，圆弧与角的两边分别交于两点M、N。

如图①。

②分别以点M与点N为圆心，大于MN长度的一半为半径画圆弧，两圆弧交于点P。

如图②。

③连接OP，OP即为角的平分线。

5.线段的垂直平分线的定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。

6.垂直平分线的性质：①垂直且平分线段。

②垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等。

7.垂直平分线的判定：到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上。

8.垂直平分线的吃规作图：具体步骤：①以线段两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于M、N。

如图①②连接MN，过MN的直线即为线段的垂直平分线。

如图②练习题1、（2022•鄂尔多斯）如图，∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，DE∥OB交OA于点D，EC⊥OB，垂足为C．若EC＝2，则OD的长为（）A．2 B．2C．4 D．4+2【分析】过点E作EH⊥OA于点H，根据角平分线的性质可得EH＝EC，再根据平行线的性质可得∠ADE的度数，再根据含30°角的直角三角形的性质可得DE的长度，再证明OD＝DE，即可求出OD的长．【解答】解：过点E作EH⊥OA于点H，如图所示：∵OE平分∠AOB，EC⊥OB，∴EH＝EC，∵∠AOE＝15°，OE平分∠AOB，∴∠AOC＝2∠AOE＝30°，∵DE∥OB，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2HE＝2EC，∵EC＝2，∴DE＝4，∵∠ADE＝30°，∠AOE＝15°，∴∠DEO＝15°，∴∠AOE＝∠DEO，∴OD＝DE＝4，故选：C．2、（2022•北京）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC＝2，DE＝1，则S △ACD＝．【分析】过D点作DH⊥AC于H，如图，根据角平分线的性质得到DE＝DH＝1，然后根据三角形面积公式计算．【解答】解：过D点作DH⊥AC于H，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DH⊥AC，∴DE＝DH＝1，∴S△ACD＝×2×1＝1．故答案为：1．3、（2022•黑龙江）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AC＝6，BC＝8，CD＝．【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用勾股定理列式求出AB，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD＝DE，然后根据△ABC的面积列式计算即可得解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DE，∴S△ABC＝AC•CD+AB•DE＝AC•BC，即×6•CD+×10•CD＝×6×8，解得CD＝3．故答案为：3．4、（2022•宜昌）如图，在△ABC中，分别以点B和点C为圆心，大于BC长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线MN，交AC于点D，交BC于点E，连接BD．若AB＝7，AC＝12，BC＝6，则△ABD的周长为（）A．25 B．22 C．19 D．18【分析】根据题意可知MN垂直平分BC，即可得到DB＝DC，然后即可得到AB+BD+AD ＝AB+DC+AD＝AB+AC，从而可以求得△ABD的周长．【解答】解：由题意可得，MN垂直平分BC，∴DB＝DC，∵△ABD的周长是AB+BD+AD，∴AB+BD+AD＝AB+DC+AD＝AB+AC，∵AB＝7，AC＝12，∴AB+AC＝19，∴△ABD的周长是19，故选：C．5、（2022•湖北）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论：①四边形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC•EF＝CF•CD；④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根据题意分别证明各个结论来判断即可．【解答】解：根据题意知，EF垂直平分AC，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴OE＝OF，∴AE＝AF＝CF＝CE，即四边形AECF是菱形，故①结论正确；∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，∴∠FAO＝∠ACB，∴∠AFB＝2∠ACB，故②结论正确；∵S四边形AECF＝CF•CD＝AC•OE×2＝AC•EF，故③结论不正确；若AF平分∠BAC，则∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，∴AF＝2BF，∵CF＝AF，∴CF＝2BF，故④结论正确；故选：B．33．（2022•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，边BC的垂直平分线DE交AB于点D，连接DC，若AB＝3.7，AC＝2.3，则△ADC的周长是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BD＝CD，进一步即可求出△ADC的周长．【解答】解：∵边BC的垂直平分线DE交AB于点D，∴BD＝CD，∵AB＝3.7，AC＝2.3，∴△ADC的周长为AD+CD+AC＝AB+AC＝6，故答案为：6．34．（2022•青海）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC 于点D，交BC于点E，∠BAE＝10°，则∠C的度数是．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AE＝EC，从而可得∠EAC＝∠C，然后利用三角形内角和定理可得∠EAC+∠C＝80°，进行计算即可解答．【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C，∵∠ABC＝90°，∠BAE＝10°，∴∠EAC+∠C＝180°﹣∠BAE﹣∠ABC＝80°，∴∠EAC＝∠C＝40°，故答案为：40°．。

中考数学复习题方法技巧专题七角平分线训练(含答案)

方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 ()图F7-1A.30°B.35°C.45°D.60°2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()图F7-2A.B.2C.D.33.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()图F7-3A.B.2C.D.34.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是()图F7-4A.-1B.2+C.+1D.5.[2017·滨州] 如图F7-5,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变.其中正确的个数为()图F7-5A.4B.3C.2D.16.[2016·宁夏] 如图F7-6,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于.图F7-67.[2017·十堰] 如图F7-7,△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,∠ACB的平分线交☉O于点D,若AC=6,BD=5,则BC的长为.图F7-78.如图F7-8,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC= .(结果保留根号)图F7-89.如图F7-9,已知☉O的直径AB=5,AC,AE为弦,且AC=4,AC平分∠BAE,求AE的长.图F7-910.[2017·盐城] 如图F7-10,矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.图F7-1011.[2017·临沂] 如图F7-11,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证:DE=DB;(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.图F7-1112.如图F7-12,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连结ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.图F7-12参考答案1.B2.C[解析] ∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EBD=30°.∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°.∴DE=BE.∵∠BAD=90°-60°=30°,∴∠BAD=∠ABE=30°,∴AE=BE=2DE,∴AE=AD.在Rt△ACD中,sin C=,∴AD=AC sin C=8×=4,∴AE=×4=.故选C.3.C[解析] ∵△ABC的周长为19,BC=7,∴AB+AC=12.∵∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∴BA=BE,N是AE的中点.∵∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,∴AC=DC,M是AD的中点,∴DE=AB+AC-BC=5.∵MN是△ADE的中位线,∴MN=DE=.故选C.4.C[解析] 如图,过点F作FG⊥AD于点G.依题意可知△ABC是等腰直角三角形,∴△AFG也是等腰直角三角形.设FG=1,则AG=1,AF=.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=22.5°.∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°,∠AFE=∠CAB+∠ABE=67.5°.∴∠AEB=∠AFE,∴AE=AF=,∴EG=-1.∵FG⊥AD,∠DAB=90°,∴FG∥AB.∴===+1.故选C.5.B[解析] 结论(1),如图,过点P分别作OA,OB的垂线段,由于∠PEO=∠PFO=90°,因此∠AOB与∠EPF互补,由已知“∠MPN与∠AOB互补”,可得∠MPN=∠EPF,可得∠MPE=∠NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”,可证PE=PF,即可证得Rt△PME≌Rt△PNF,因此对于结论(1),“PM=PN”由全等即可证得是成立的;结论(2),也可以由全等得到ME=NF,即可证得OM+ON=OE+OF,由于OE+OF保持不变,因此OM+ON的值也保持不变;结论(3),由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等,因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等,因此结论(3)是正确的;结论(4),如图,连结EF,对于△PMN与△PEF,这两个三角形都是等腰三角形,且顶角相等,但由于腰长不等,因此这两个三角形不可能全等,所以底边MN与EF不可能相等.所以MN的长是变化的.故选B.6.27.8[解析] 连结DA,因为∠ACB=90°,所以AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°.因为CD平分∠ACB,所以BD=AD.在△ABD 中,AB===10.在△ABC中,BC===8.8.6+3[解析] 如图,延长EF和BC,交于点G.矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,所以∠ABE=∠GBE=45°,所以在Rt△ABE中,∠ABE=∠AEB=45°,所以AB=AE=9.在Rt△ABE中,根据勾股定理,得BE===9.又因为∠BED的平分线EF与DC相交于点F,所以∠BEG=∠DEF.因为AD∥BC,所以∠G=∠DEF,所以∠BEG=∠G,所以BG=BE=9.由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,所以===.设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC.因为BG=BC+CG,所以9=9+2x+x,解得x=3-3,所以BC=9+2x=9+2(3-3)=6+3.9.解:如图,连结BC,BE,OC,OC交BE于点G.因为∠BAE=2∠BAC=∠BOC,且∠BAE+∠ABE=90°,所以∠OGB=90°,即OC⊥BE,所以BG=EG,AE=2OG.设OG=x,则CG=-x,BC=3,由勾股定理可得OB2-OG2=BC2-CG2,即-x2=9--x2,解得x=,故AE=2x=.10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠EBD=∠ABD,∠FDB=∠CDB.∴∠EBD=∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD,∴四边形BEDF是平行四边形. (2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形.理由如下:∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°.∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.∵四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形.11.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.又∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∴∠DBE=∠BED,∴DE=BD.(2)如图,连结CD.∵∠BAC=90°,∴BC是直径,∴∠BDC=90°.∵AD平分∠BAC,BD=4,∴BD=CD=4,∴BC==4,∴△ABC外接圆的半径为2.12.解:(1)四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB.∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF.在△EFD和△GFB中,∴△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四边形EBGD是菱形.(2)如图,分别过点E,D作EM⊥BC于点M,DN⊥BC于点N,连结EC交BD于点H,此时HG+HC最小, 在Rt△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=2,∴EM=BE=.∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2.在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,∴∠NDC=∠NCD=45°,∴DN=NC=,∴MC=3.在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=,MC=3,∴EC===10.∵HG+HC=EH+HC=EC,∴HG+HC的最小值为10.。

微专题8 角平分线常见问题及辅助线作法++++课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)

【解析】(1)在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,
∵AD=AD,∴△ABD≌△AED(SAS),
∴∠B=∠AED,BD=DE,
∵∠B=2∠C,
∴∠AED=2∠C,∠AED=∠C+∠EDC,∴∠C=∠EDC,
∴DE=CE,
∴BD=EC,
∵AE+EC=AC,
BE和MN分别平分∠ABC和∠EMC.下列结论不正确的是
A.∠MBE=∠MEB
B.MN∥BE
C.S△BEM=S△BEN
D.∠MBN=∠MNB
(D )
4
2.(2024·东营河口区模拟)如图,在△ABC中,∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O,
过点O作EF∥AB交BC于F,交AC于E,过点O作OD⊥BC于D,下列四个结论:
1
①∠AOB=90°+ ∠C;
2
②AE+BF=EF;
③当∠C=90°时,E,F分别是AC,BC的中点;
④若OD=a,CE+CF=2b,则S△CEF=ab.
其中正确的是 ( C )
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①③④
5
3.(2023·枣庄市中区模拟)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE
12
类型3
特点
相遇角平分线的垂线,联想“三线合一”
从角一边上的一点作角平分线的垂线,构造等腰三角形利用“三线合一”
解题
示例
P是∠MON的平分线上一点,A是射线OM上一点,AP⊥OP于点P,延长AP
结论交ON于点B,Rt△AOP≌Rt△BOP,
△AOB是等腰三角形

2020中考数学复习靶向专题能力提升练习(四边形练习)(无答案)

2020中考数学复习靶向专题能力提升练习（四边形练习）一.选择题.1.多边形外角和等于( )A.180°B.360°C.720°D.(n-2)·180°2.如图所示,已知E是▱ABCD的边AD的中点,CE与BA的延长线交于点F,若∠FCD=∠D,则下列结论不成立的是( )A.AD=CFB.BF=CFC.AF=CDD.DE=EF3.下列性质中菱形不一定具有的性质是 ( )A.对角线互相平分B.对角线互相垂直C.对角线相等D.既是轴对称图形又是中心对称图形4.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC=8,BD=6,过点O作OH⊥AB,垂足为H,则点O到边AB的距离OH等于( )A.2B.C.D.5.如图,矩形ABCD中,AB=2,BC=3,对角线AC的垂直平分线分别交AD,BC于点E,F,连接CE,则CE的长为( )A. B. C. D.6.如图,将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°,那么图中阴影部分的面积为( )A.3B.C.3-D.3-7.如图,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.若四边形EFGH 为菱形,则对角线AC,BD应满足的条件是( )A.AC⊥BDB.AC=BDC.AC⊥BD且AC=BDD.不确定8.如图所示,在平行四边形ABCD中,AE是∠DAB的平分线,EF∥AD交AB于点F,若AB=9,CE=4,AE=8,则DF等于( )A.4B.8C.6D.99.如图,正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ACB的角平分线分别交AB,BD于M,N两点,若AM=2,则正方形的边长为( )A.4B.3C.2+D.+110.如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B.图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为( )A. B.2 C. D.211.如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE平分∠BCD交BD于点F,交AB于点E,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE,下列结论①∠ACD=30°;②S▱ABCD =AC·BC;③OE∶AC=1∶4;④S△OCF=2S△OEF,其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个12.在平面直角坐标系中,第一个正方形ABCD的位置如图所示,点A的坐标为(2,0),点D的坐标为(0,4),延长CB交x轴于点A1,作第二个正方形A1B1C1C;延长C1B1交x轴于点A2,作第三个正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去,第2 018个正方形的面积为( )A.20×B.20×C.20×D.20×二.填空题.13.如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作射线AP,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD 的周长为________.14.如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,如果AB=5,BC=8,sin B=,那么EC=________.15.如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点B落在AD边上的点G处,点C落在点H处,已知∠DGH=30°,连接BG,则∠AGB=________.16.如图,在正方形ABCD中,AB=,点P为边AB上一动点(不与A,B重合),过A,P 在正方形内部作正方形APEF,交边AD于F点,连接DE,EC,当△CDE为等腰三角形时,AP=________.17.如图,正方形AFCE中,D是边CE上一点,B是CF延长线上一点,且AB=AD,若四边形ABCD的面积是24 cm2,则AC长是________cm.三.解答题.18.如图,四边形ABCD是平行四边形,E,F是对角线BD上的两点,且BF=ED,求证:AE∥CF.19.如图,在▱ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF⊥AC,垂足F在AC的延长线上.求证:AE=CF.20.如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点D作DE∥AC且DE=OC,连接CE,OE,连接AE交OD于点F.(1)求证:OE=CD.(2)若菱形ABCD的边长为4,∠ABC=60°,求AE的长.21.如图所示,△ABC中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.(1)求证:D是BC的中点.(2)若AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.22.如图,在▱ABCD中,点E在边BC上,点F在边AD的延长线上,且DF=BE,EF与CD交于点G.(1)求证:BD∥EF.(2)若=,BE=4,求EC的长.23.在△ABC中,点O是AC边上的一点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角的平分线于点F,连接AE,AF.(1)求证:OE=OF.(2)当点O在何处时,四边形AECF是矩形?(直接写出结果)(3)在(2)的条件下,当△ABC是什么形状的三角形时,四边形AECF是正方形?(直接写出结果)24.如图①,△ABC是等腰直角三角形,∠BAC= 90°,AB=AC,四边形ADEF是正方形,点B,C分别在边AD,AF上,此时BD=CF,BD⊥CF成立.(1)当△ABC绕点A逆时针旋转α(0°<α<90°)时,如图②,BD=CF成立吗?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时,如图③,延长DB交CF于点H,交FA于点N.(ⅰ)求证:BD⊥CF;(ⅱ)当AB=2,AD=3时,求线段DH的长.。

2020年中考数学考点考点特训十二点、线、面、角附答案解析

2020年中考数学考点特训12 点、线、面、角一、直线、射线、线段1．直线的性质（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=12AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC =12∠AOB，∠AOB=2∠AOC =2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．三、立体图形1．常见的立体图形有：球、柱体和锥体．圆柱和棱柱的区别：圆柱的底面是圆，棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是曲面，棱柱的侧面是四边形；圆锥和棱锥的区别：圆锥的底面是圆，侧面是曲面；棱锥的底面是多边形，侧面是三角形．2．点动成线，线动成面，面动成体，线没有粗细，点没有大小．3．设立体图形的面数为F，顶点数为V，棱数为E，则F+V-E=2．4．正方体的平面展开图有如下11种类型：考向一直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．典例1 如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，其运用到的数学原理是A．两点之间，线段最短B．两点确定一条直线C．垂线段最短D．过一点有且只有一条直线和已知直线平行【答案】B【解析】建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这种做法运用到的数学原理是：两点确定一条直线，故选B．典例2 已知AB=10，C是射线AB上一点，且AC=3BC，则BC的长为A．2.5 B．103C．2.5或5 D．103或5【答案】C【解析】①如图，10×14=2.5；②如图，10×12=5，故选C．1．下列叙述中，①延长直线AB到点C；②延长射线AB到点C；③延长线段AB到点C；④反向延长线段BA到点C；⑤反向延长射线AB到点C，其中正确的有A．1 B．2C．3 D．42．如图，在数轴上有A、B、C、D四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A、D两点表示的数分别为-5和6，且AC的中点为E，BD的中点为M，BC之间距点B的距离为13BC的点N，则该数轴的原点为A．点E B．点FC．点M D．点N考向二角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=13∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例3 一副三角尺按如图所示摆放，已知∠1比∠2的3倍少10°，则∠1的值为A．20°B．70°C．25°D．65°【答案】D【解析】根据图示可知∠1+∠2=90°，根据题意可知∠1=3∠2-10°，所以∠2=（90°+10°）÷4=25°，所以∠1=65°，故选D．【名师点睛】本题考查了互余以及一元一次方程的应用，找到∠1和∠2之间的关系是解决此题的关键．典例4 如图，要修建一条公路，从A 村沿北偏东75°方向到B 村，从B 村沿北偏西25°方向到C 村．若要保持公路CE 与AB 的方向一致，则∠ECB 的度数为A ．80°B ．90°C ．100°D ．105°【答案】A【解析】如图，由题意可得：AN FB ∥，EC BD ∥，故75NAB FBD ∠=∠=︒，∵25CBF ∠=︒，∴100CBD ∠=︒，则18010080ECB ∠=-=︒︒︒．故选A ．典例5 如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ．（1）若∠AOC =70°，∠DOF =90°，求∠EOF 的度数；（2）若OF 平分∠COE ，∠BOF =15°，若设∠AOE =x °． ①用含x 的代数式表示∠EOF ； ②求∠AOC 的度数．【解析】（1）由对顶角相等可知：∠BOD=∠AOC=70°，∵∠FOB=∠DOF-∠BOD，∴∠FOB=90°-70°=20°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=12∠BOD=12×70°=35°，∴∠EOF=∠FOB+∠BOE=35°+20°=55°．（2）①∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=∠DOE，∵∠BOE+∠AOE=180°，∠COE+∠DOE=180°，∴∠COE=∠AOE=x，∵OF平分∠COE，∴∠FOE=12 x．②∵∠BOE=∠FOE-∠FOB，∴∠BOE=12x-15°，∵∠BOE+∠AOE=180°，∴12x-15°+x=180°，解得x=130°，∴∠AOC=2∠BOE=2×（180°-130°）=100°．【名师点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质、对顶角的性质以及角度之间的关系，在解决角的问题时，我们一定要将未知的角通过对顶角和角平分线的性质转化为已知的角，然后根据题目中给出的角度进行求解得出答案．对于这种题目还经常会出现一些隐含的条件，我们一定要能够根据题目发现条件．3．计算：18°30′=__________°．4．如图，∠AOB=180°，∠BOC=80°，OD平分∠AOC，∠DOE=3∠COE，求∠BOE．考向三立体图形的平面展开图1．从不同方向看物体，看得见的轮廓线画实线，看不见的轮廓线画虚线．2．在正方体的平面展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；展开图中不会出现“田”字形、“凹”字形的形状．典例6 下列各图中，可以是一个正方体的表面展开图的是A．B．C．D．【答案】B【解析】正方体的展开图形共有11种情况，选项中只有B选项符合，故选B．典例7 如图是一个正方体的表面展开图，若正方体中相对的面上的数互为相反数，则2x-y的值为________．【答案】–3【解析】两数互为相反数，和为0．本题应对图形进行分析，可知y对应x，5对应2x–3，由此可得：y=–x，2x–3=–5，解得：x=–1，y=1，∴2x–y=2×（–1）–1=–3．故答案为：–3．5．如图所示的立方体，如果把它展开，可以是下列图形中的A．B．C．D．6．如图是一个正方体包装盒的表面积展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个表面展开图沿虚线折成正方体后，相对面上的两数互为相反数，则填在A、B、C内的三个数依次为A．0，-2，1 B．0，1，2C．1，0，-2 D．-2，0，17．如图是正方体的表面展开图，折叠成正方体后，其中哪两个完全相同__________．1．将如图所示的几何图形，绕直线l旋转一周得到的立体图形A．B．C．D．2．如图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是A．B．C．D．3．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°4．如果一个角的余角是50°，那么这个角的度数是A．30°B．40°C．50°D．130°5．将一副三角板按如图方式摆放，∠1与∠2不一定互补的是A．B．C．D．6．如图，A，B，C，D是直线L上顺次四点，M，N分别是AB，CD的中点，且MN=6 cm，BC=1 cm，则AD的长等于A．10 cm B．11 cmC．12 cm D．13 cm7．如图，D是AB的中点，E是BC的中点．（1）若AB=3，BC=5，则DE=__________；（2）若AC=8，EC=3，则AD=__________．8．已知∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，则∠β等于__________°．9．如图，一只蜘蛛从长、宽都为3，高为8的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点，那么它所爬行的最短路线的长是__________．10．某人下午6点到7点之间外出购物，出发和回来时发现表上的时针和分针的夹角都为110°，此人外出购物共用了__________分钟．11．已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧）．（1）当D点与B点重合时，AC=__________；（2）点P是线段AB延长线上任意一点，在（1）的条件下，求PA+PB–2PC的值；（3）M、N分别是AC、BD的中点，当BC=4时，求MN的长．12．已知∠AOB=120°，OC、OD过点O的射线，射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB．（1）如图①，若OC、OD是∠AOB的三等分线，求∠MON的度数；（2）如图②，若∠COD=50°，∠AOC≠∠DOB，求∠MON的度数；（3）如图③，在∠AOB内，若∠COD=α（0°<α<60°），求∠MON的度数．1．（2019·广西北部湾经济区）如图，将下面的平面图形绕直线l 旋转一周，得到的立体图形是A ．B ．C ．D ．2．（2019·甘肃）下列四个几何体中，是三棱柱的为A ．B ．C ．D ．3．（2019·毕节）由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“中”字所在面的对面的汉字是A ．国B ．的C ．中D ．梦4．（2019·遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为2-的面与其对面上的数字之积是A ．12-B ．0C ．8-D ．10-5．（2019·玉林）若2945'α=︒，则α的余角等于 A ．6055'︒B ．6015'︒C ．15055'︒D ．15015'︒6．（2019·怀化）与30°的角互为余角的角的度数是 A ．30°B ．60︒C ．70︒D ．90︒7．（2019·梧州）如图，钟表上10点整时，时针与分针所成的角是A ．30°B ．60︒C ．90︒D ．120︒8．（2019·湖州）已知6032'α∠=︒，则α∠的余角是 A ．2928'︒B ．2968'︒C ．11928'︒D ．11968'︒9．（2019·淄博）如图，小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处，则ABC ∠等于A ．130︒B ．120︒C ．110︒D ．100︒10．（2019·常州）如果∠α=35°，那么∠α的余角为__________．11．（2019·日照）如图，已知AB =8 cm ，BD =3 cm ，C 为AB 的中点，则线段CD 的长为__________cm ．1．【答案】C【解析】①直线是无限延伸的，不能延长，故本选项错误； ②射线可以反方向延长，不能延长，故本选项错误； ③延长线段AB 到点C ，故本选项正确； ④反向延长线段BA 到点C ，故本选项正确； ⑤反向延长射线AB 到点C ，故本选项正确．变式拓展故选C．2．【答案】D【解析】∵2AB=BC=3CD，∴设CD=x，则BC=3x，AB=1.5x，∵A、D两点表示的数分别为-5和6，∴AD=11，∴x+3x+1.5x=11，解得x=2，故CD=2，BC=6，AB=3，∵AC的中点为E，BD的中点为M，∴AE=EC=4.5，BM=MD=4，则E点对应的数是-0.5，M点对应的数为2，∵BC之间距点B的距离为13 BC的为点N，∴BN=13BC=2，∴AN=5，∴N点对应的数为0，即为原点，故选D．3．【答案】18.5【解析】18°30′=18.5°，故答案为：18.5．4．【解析】∵∠AOB=180°，∠BOC=80°，∴∠AOC=100°，∵OD平分∠AOC，∴∠COD=12∠AOC=50°，又∵∠DOE=3∠COE，∴∠COE=12∠COD=25°，∴∠BOE=∠BOC-∠COE=55°．5．【答案】D【解析】把正方体展开有四种情况：A是2-2-2型；B是1-4-1型；C是1-4-1型；D是1-4-1型，把这几个图形分别折成正方体，会发现三个阴影的面相邻，但又不在同一列上，而且直角三角形的锐角所在的顶点与呈正方形阴影的面共用一个顶点．只有D是上面正方体的展开图，故选D．6．【答案】A【解析】由正方体展开图的特征，相对的面展开后中间会间隔一个面可知，和A相对的是0，和B相对的是2，和C相对的是-1，所以A、B、C内依次填0、-2、1，故选A．7．【答案】（2）（4）【解析】∵（1）菱形对面是×，正方形对面是※，+对面是；（2）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）；（3）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，菱形，正方形，X）；（4）菱形对面是×，对面是※，+对面是正方形；以※为正面，（上，左，下，右）=（+，X，正方形，菱形）．∴两个完全相同的是（2）（4）．故答案是：（2）（4）．【名师点睛】此题考查了立体图形的展开图．培养了学生的立体思维与空间想象能力，注意找同一个基准图形，再将其周围四个图案按照顺时针或逆时针顺序排列．1．【答案】C【解析】绕直线l旋转一周，可以得到的圆台，故选C．2．【答案】B【解析】A、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；B、展开得到，能和原图相对，故本选项正确；C、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误；D、展开得到，不能和原图相对应，故本选项错误．故选B．3．【答案】A【解析】如图，AP∥BC，∴∠2=∠1=50°．∠3=∠4–∠2=80°–50°=30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选A．考点冲关4．【答案】B【解析】设这个角为x°，由题意得：90-x=50，解得：x=40，故选B．5．【答案】D【解析】A、∵∠1+∠2=360°–90°×2=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；B、∵∠1=30°+90°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；C、∵∠1=180°–60°=120°，∴∠1+∠2=120°+60°=180°，∴∠1与∠2一定互补，故本选项不符合题意；D、∠1度数无法确定，∠2=60°，所以∠1与∠2不一定互补，故本选项符合题意．故选D．6．【答案】B【解析】∵MN=6 cm，∴MB+CN=6-1=5 cm，AB+CD=10 cm，∴AD=11 cm，故选B．7．【答案】4；1【解析】（1）∵D是AB的中点，E是BC的中点，AB=3，BC=5，∴BD=12AB=32，BE=12BC=52，∴DE=BD+BE=3522+=4，故答案为：4．（2）∵EC=3，E是BC的中点，∴BC=2EC=6，∵AC=8，∴AB=AC-BC=8-6=2，∵D是AB的中点，∴AD=12AB=1，故答案为：1．8．【答案】75【解析】∵∠α和∠β互为补角，且∠β比∠α小30°，∴18030αββα∠+∠=︒⎧⎨∠=∠-︒⎩，解得：∠α=105°，∠β=75°，故答案为：75． 9．【答案】10【解析】如图1，AB =()22383130++=，如图2，AB =226810+=，又∵13010>，∴最短路径为10，故答案为：10． 10．【答案】40【解析】设此人外出购物共用了x 分钟，则（6−0.5）x =110+110，解得x =40，所以此人外出购物共用了40分钟，故选D ．11．【解析】（1）当D 点与B 点重合时，AC =AB –CD =6；故答案为：6；（2）由（1）得AC =12AB ，∴CD =12AB ， ∵点P 是线段AB 延长线上任意一点， ∴PA +PB =AB +PB +PB ，PC =CD +PB =12AB +PB ， ∴PA +PB –2PC =AB +PB +PB –2（12AB +PB ）=0；（3）如图1，∵M 、N 分别为线段AC 、BD 的中点，∴AM =12AC =12（AB +BC ）=8， DN =12BD =12（CD +BC ）=5，∴MN =AD –AM –DN =9；如图2，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，∴AM=12AC=12（AB–BC）=4，DN=12BD=12（CD–BC）=1，∴MN=AD–AM–DN=12+6–4–4–1=9．12．【解析】（1）∵OC，OD是∠AOB的三等分线，∴∠AOC=∠COD=∠DOB=13∠AOB=13×120°=40°，∵OM平分∠AOC，ON平分∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC=20°，∠DON=12∠DOB=20°，∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=80°．（2）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=50°，∴∠AOC+∠DOB=120°-50°=70°，∴∠MOC+∠DON=35°，∴∠MON=50°+35°=85°．（3）∵射线OM、ON分别平分∠AOC和∠DOB，∴∠MOC=12∠AOC，∠DON=12∠DOB，∴∠MOC+∠DON=12（∠AOC+∠DOB），∵∠AOB=120°，∠COD=α，∴∠AOC+∠DOB=120°-α，∴∠MOC+∠DON=60°-12α，∴∠MON=60°-12α+α=60°+12α=120()2+︒α．1．【答案】D【解析】面动成体，直角三角形绕直角边旋转一周可得圆锥，长方形绕一边旋转一周可得圆柱，那么所求的图形是下面是圆锥，上面是圆柱的组合图形．故选D ． 2．【答案】C【解析】A 、该几何体为四棱柱，不符合题意； B 、该几何体为四棱锥，不符合题意； C 、该几何体为三棱柱，符合题意； D 、该几何体为圆柱，不符合题意．故选C ． 3．【答案】B【解析】相对的面的中间要相隔一个面，“中”字所在的面的对面的汉字是“的”，故选B ． 4．【答案】A【解析】数字为2-的面的对面上的数字是6，其积为2612-⨯=-．故选A ． 5．【答案】B【解析】∵2945'α=︒，∴α的余角等于：9029456015''-︒︒︒=．故选B ． 6．【答案】B【解析】与30︒的角互为余角的角的度数是：60︒．故选B ． 7．【答案】B【解析】∵钟面分成12个大格，每格的度数为30°， ∴钟表上10点整时，时针与分针所成的角是60°，故选B ． 8．【答案】A【解析】α∠的余角为9060322928︒-︒'=︒'，故选A ． 9．【答案】C 【解析】如图，直通中考∵小明从A 处沿北偏东40︒方向行走至点B 处，又从点B 处沿东偏南20︒方向行走至点C 处， ∴40DAB ∠=︒，20CBF ∠=︒， ∵向北方向线是平行的，即AD BE P ， ∴40ABE DAB ∠=∠=︒， ∵90EBF ∠=︒，∴902070EBC ∠=︒-︒=︒，∴4070110ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选C ． 10．【答案】55°【解析】∵∠θ=35°，∴它的余角等于90°-35°=55°．故答案为：55°． 11．【答案】1【解析】∵C 为AB 的中点，AB =8 cm ， ∴BC =12AB =12×8=4（cm ）， ∵BD =3 cm ，∴CD =BC -BD =4-3=1（cm ），则CD 的长为1 cm ，故答案为：1．。

通用版2020年中考数学二轮专题提升训练课件难点题型专练(三)

(3)应用：如图 3，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC ＝45°.若 BD＝9，CD＝3，求 AD 的长．
图1
图2
图3
解：(1)BC＝DC＋EC.理由如下：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.
AB＝AC，在△ BAD 和△ CAE 中，∠BAD＝∠CAE，
∵OA＝OC，∴∠COD＝∠AOD＝α.
由对称性可知 OM′垂直平分 AC，∴∠OCA＝90°－α.
∵OA＝OB，OA＝OC，∴OB＝OC.
∵∠BOC＝120°－2α，∴∠BCO＝30°＋α，
∴∠BCA＝90°－α＋30°＋α＝120°，
∴∠ACD＝180°－120°＝60°，故②错误．
答图
∵CD＝AD，∴△ACD 为等边三角形．
答图1
(3)如答图 2，作 AE⊥AD，使 AE＝AD，连接 CE，DE.
∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.
AB＝AC，在△ BAD 和△ CAE 中，∠BAD＝∠CAE，
AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE＝9.
∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，
答图2
∵EH 是⊙O 的直径，∴EH＝2r，∠EFH＝90°＝∠EGO.
∵∠OEG＝∠HEF，∴△OEG∽△HEF，∴OHEE＝EEGF，
∴OE·EF＝HE·EG＝2r(156－r)＝－2(r－85)2＋12258，
∴r＝85时，OE·EF 的最大值为12258.
1．[2018·荆州]已知正方形 ABCD 与正方形 CEFG，M 是 AF 的中点，连接 DM，EM.

【中考数学】《角的平分线》专项练习题2套含答案

角的平分线第1课时角的平分线的性质01基础题知识点1角的平分线的作法1．如果要作已知∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(C)①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于12DE长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③B．②①③C．②③①D．③②①2．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(A)A．SSSB．ASAC．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等3．已知△ABC，用尺规作图作出∠ABC的角平分线，保留作图痕迹，不写作法．解：作图略．知识点2角的平分线的性质4．(茂名中考)如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P 到边OB的距离为(A)A ．6B ．5C ．4D ．35．(怀化中考)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是(B )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，BO ⊥AC ，CO ⊥AB ， ∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA )． ∴OB ＝OC.知识点3 文字命题的证明7．命题“全等三角形对应边上的高相等”的已知是两个三角形全等，结论是这两个三角形对应边上的高相等．8．(咸宁中考)证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．已知：如图，∠AOC ＝∠BOC ，点P 在OC 上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ．求证：PD ＝PE ．请你补全已知和求证，并写出证明过程.证明：∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴∠PDO ＝∠PEO ＝90°. 在△PDO 和△PEO 中，⎩⎨⎧∠PDO ＝∠PEO ，∠AOC ＝∠BOC ，OP ＝OP ，∴△PDO ≌△PEO(AAS )． ∴PD ＝PE. 02 中档题9．(淮安中考)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC ，AB 于点M ，N ，再分别以M ，N 为圆心，大于12MN 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积为(B )A ．15B ．30C ．45D ．6010．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(A) A．M点B．N点C．P点D．Q点11．(湖州中考)如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是(C)A．8 B．6 C．4 D．212．已知，如图，△ABC的角平分线AD交BC于D，BD∶DC＝2∶1，若AC＝3 cm，则AB＝6_cm．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，且AB＝10 cm，求△DEB的周长．解：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE.又∵AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED.∴AE＝AC.∴△DEB 的周长为DE ＋DB ＋EB ＝CD ＋DB ＋BE ＝BC ＋BE ＝AC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB ＝10 cm .14．求证：有两个角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等．已知：如图，在△ABC 和△A′B′C′中，∠B ＝∠B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的平分线，且AD ＝A′D′.求证：△ABC ≌△A′B′C′.证明：∵∠BAC ＝∠B′A′C′，AD ，A ′D ′分别是∠BAC ，∠B ′A ′C ′的角平分线， ∴∠BAD ＝∠B′A′D′. ∵∠B ＝∠B′，AD ＝A′D′， ∴△ABD ≌△A ′B ′D ′(AAS )． ∴AB ＝A′B′.在△ABC 和△A′B′C′中，⎩⎨⎧∠B ＝∠B′，AB ＝A′B′，∠BAC ＝∠B′A′C′，∴△ABC ≌△A ′B ′C ′(ASA )． 03 综合题15．(长春中考)感知：如图1，AD 平分∠BAC ，∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°.易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°.求证：DB ＝DC.证明：过点D 分别作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. ∵DA 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°， ∠ACD ＋∠FCD ＝180°， ∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎨⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB. ∴DC ＝DB.第2课时角的平分线的判定01 基础题知识点1 角的平分线的判定1．如图，OC 是∠AOB 内部的一条射线，P 是射线OC 上任意点，PD ⊥OA ，PE ⊥OB.下列条件中：①∠AOC ＝∠BOC ；②PD ＝PE ；③OD ＝OE ；④∠DPO ＝∠EPO ，能判定OC 是∠AOB 的角平分线的有(D )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．如图，∠AOB ＝70°，QC ⊥OA 于点C ，QD ⊥OB 于点D ，若QC ＝QD ，则∠AOQ ＝35°．3．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC.∴DE ＝DF. ∴AD 是∠BAC 的平分线．4．如图，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE ，CD 相交于点O.求证：(1)当∠1＝∠2时，OB ＝OC ； (2)当OB ＝OC 时，∠1＝∠2.证明：(1)∵∠1＝∠2，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴OE ＝OD ，∠ODB ＝∠OEC ＝90°. 在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠BOD ＝∠COE ，OD ＝OE ，∠ODB ＝∠OEC ，∴△BOD ≌△COE(ASA )． ∴OB ＝OC.(2)在△BOD 和△COE 中，⎩⎨⎧∠ODB ＝∠OEC ，∠BOD ＝∠COE ，OB ＝OC ，∴△BOD ≌△COE(AAS )． ∴OD ＝OE.又∵OD ⊥AB ，OE ⊥AC ， ∴AO 平分∠BAC ，即∠1＝∠2.知识点2 三角形的角平分线5．到△ABC 的三条边距离相等的点是△ABC 的(B )A ．三条中线的交点B ．三条角平分线的交点C ．三条高的交点D ．以上均不对6．如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O ，则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO ＝4∶5∶6．知识点3角的平分线的性质与判定的实际应用7．如图，铁路OA和铁路OB交于O处，河道AB与铁路分别交于A处和B处，试在河岸上建一座水厂M，要求M到铁路OA，OB的距离相等，则该水厂M应建在图中什么位置？请在图中标出M点的位置．解：图略．提示：∠AOB的平分线与AB的交点即为点M的位置．8．如图，某市有一块由三条公路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭子，供人们休息，而且要使小亭中心到三条公路的距离相等，试确定小亭的中心位置．解：△ABC的角平分线的交点就是小亭的中心位置，图略．02中档题9．(永州中考)如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若点P使得S△＝S△PCD，则满足此条件的点P(D)PABA．有且只有1个B．有且只有2个C．组成∠E的角平分线D．组成∠E的角平分线所在的直线(E点除外)10．如图，已知△ABC的周长是20 cm，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，若OD＝3 cm，则△ABC的面积为30_cm2．11．如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD.求证：AD是∠BAC的外角平分线．证明：过点D分别作DE⊥AB，DG⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，G，F.又∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACF，∴DE＝DF，DG＝DF.∴DE＝DG.∴AD平分∠EAC，即AD是∠BAC的外角平分线．12．如图所示，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上一动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，E，F分别为垂足，则当D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC，请说明理由．解：当D移动到BC的中点时，AD恰好平分∠BAC.理由：∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB ＝∠DFC ＝90°.又∵∠B ＝∠C ，∴△DEB ≌△DFC(AAS )．∴DE ＝DF.又∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴AD 平分∠BAC.03 综合题13．如图，在四边形ABDC 中，∠D ＝∠B ＝90°，O 为BD 的中点，且AO 平分∠BAC.求证：(1)CO 平分∠ACD ；(2)OA ⊥OC ；(3)AB ＋CD ＝AC.证明：(1)过点O 作OE ⊥AC 于点E ，∵∠B ＝90°，AO 平分∠BAC ，∴OB ＝OE.∵点O 为BD 的中点，∴OB ＝OD.∴OE ＝OD.又∵∠D ＝90°，∠OEC ＝90°.∴CO 平分∠ACD.(2)在Rt △ABO 和Rt △AEO 中，⎩⎨⎧AO ＝AO ，OB ＝OE ，∴Rt △ABO ≌Rt △AEO(HL )．∴∠AOB ＝∠AOE ＝12∠BOE. 同理，∠COD ＝∠COE ＝12∠DOE.∵∠AOC ＝∠AOE ＋∠COE ，∴∠AOC ＝12∠BOE ＋12∠DOE ＝12×180° ＝90°.∴OA ⊥OC.(3)∵Rt △ABO ≌Rt △AEO ，∴AB ＝AE.同理可得CD ＝CE.∵AC ＝AE ＋CE ，∴AB ＋CD ＝AC.。

【人教版】2020届中考数学系统复习第四单元方法技巧训练(一)与角平分线有关的基本模型练习

方法技巧训练(一) 与角平分线有关的基本模型方法指导1三角形中角平分线的夹角的计算类型1 两个内角平分线的夹角如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线BE ，CF 相交于点G ，则∠BGC ＝90°＋12∠A.图1 图2图3解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的和．类型2 一个内角平分线和一个外角平分线的夹角如图2，在△ABC 中，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与CP 相交于点P ，则∠P ＝12∠A.解题通法：三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三个内角的一半．类型3 两外角平分线的夹角如图3，在△ABC 中，BO ，CO 是△ABC 的外角平分线，则∠O ＝90°－12∠A.解题通法：三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一半的差．Ｋ1．如图，在△ABC 中，∠A ＝40°，点D 是∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，则∠BDC ＝110°．【变式1】如图，若点D 是∠ABC 的平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝20°．【变式2】如图，若点D 是∠ABC 外角平分线与∠ACB 外角平分线的交点，则∠D ＝70°．【变式3】如图，BA 1和CA 1分别是△ABC 的内角平分线和外角平分线，BA 2是∠A 1BD 的平分线，CA 2是∠A 1CD 的平分线，BA 3是∠A 2BD 的平分线，CA 3是∠A 2CD 的平分线．若∠A 1＝α，则∠A 2 019＝α22 018．方法指导2与角平分线有关的图形与辅助线1．角平分线＋平行线→等腰三角形如图4，BD是∠ABC的平分线，点O是BD上一点，OE∥BC交AB于点E，则△BOE是等腰三角形．解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可以得到一个等腰三角形．图4 图5 图6 图72．与角平分线有关的辅助线①过角平分线上的点作角两边的垂线如图5，BO是∠ABC的平分线，过点O作OE⊥AB于点E，过点O作OF⊥BC于点F，则OE＝OF，△BEO≌△BFO.②角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形如图6，BO是∠ABC的平分线，在BA，BC上取线段BE＝BF，则△BEO≌△BFO.解题通法：遇到角平分线时，我们通常过角平分线上的一点向两边作垂线或在角平分线的两端取相等的线段构造全等三角形．③过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形．如图7，BD是∠ABC的平分线，点E是BD上一点，过点E作BD的垂线，则△BGH是等腰三角形且BD垂直平分GH.2.如图，在△ABC中，AB＝10 cm，AC＝8 cm，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作BC的平行线MN交AB于点M，交AC于点N，则△AMN的周长为(D)A．10 cm B．28 cm C．20 cm D．18 cm3.如图，矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积(B)A．8 cm2B．10 cm2C．15 cm2D．20 cm24．(2018·大庆)如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC＝110°，则∠MAB＝(B) A．30°B．35°C．45°D．60°5．如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB＝10，BC＝15，MN＝3，则AC的长是16．提示：延长BN交AC于点E.因为AN平分∠BAC，BN⊥AN，可证△ABN≌△AEN，则AN是△ABE的中线，即点N 平分BE，所以MN是△BEC的中位线．6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE相交于点O，试说明BE，CD，BC的数量关系，并加以说明．解：BC ＝BE ＋CD.理由如下：在BC 上取点G ，使得CG ＝CD ，连接OG.∵∠BOC ＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12×(180°－60°)＝120°，∴∠BOE ＝∠COD ＝60°.∵BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ， ∴∠EBO ＝∠GBO ，∠OCG ＝∠OCD. 在△COD 和△COG 中，⎩⎪⎨⎪⎧CO ＝CO ，∠DCO ＝∠GCO ，CD ＝CG ，∴△COD ≌△COG(SAS)．∴∠COG ＝∠COD ＝60°.∴∠BOG ＝120°－60°＝60°＝∠BOE. 在△BOE 和△BOG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BOE ＝∠BOG ，BO ＝BO ，∠EBO ＝∠GBO ，∴△BOE ≌△BOG(ASA)．∴BE ＝BG.∴BE ＋CD ＝BG ＋CG ＝BC.7．感知：如图1，AD 平分∠BAC.∠B ＋∠C ＝180°，∠B ＝90°，易知：DB ＝DC.探究：如图2，AD 平分∠BAC ，∠ABD ＋∠ACD ＝180°，∠ABD ＜90°，求证：DB ＝DC.应用：如图3，在四边形ABCD 中，∠B ＝45°，∠C ＝135°，DB ＝DC ＝a ，则AB －AC 用含a 的代数式表示)．图1 图2图3证明：过点D 作DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于点F. ∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.∵∠B ＋∠ACD ＝180°，∠ACD ＋∠FCD ＝180°，∴∠B ＝∠FCD. 在△DFC 和△DEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠F ＝∠DEB ，∠FCD ＝∠B ，DF ＝DE ，∴△DFC ≌△DEB(AAS)．∴DC ＝DB.。

广猛2020年中考数学复习第8讲角平分线处理策略word版含答案)

第8讲角平分线处理策略题目：(1)(2019・潮州)如图8－1－1，已知在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，BD 平分∠ABC ，AB ＝6，BC ＝9，CD ＝4，则四边形ABCD 的面积是（） A .24 B . 30 C . 36 D .42解答：解析：(1)方法一:如图8－1－4，作DE ⊥BA 于点E ，由BD 平分∠ABC 及∠BCD ＝90°，易证△BCD ≌△BED ，则DE ＝CD ＝4，BE ＝BC ＝9，从而AE ＝3，故S 四边形ABCD ＝S 四边形ABCD －S △ADE ＝2S △BCD －S △ADE ＝36－6＝30，选B方法二:如图8－1－5，作点A 关于BD 的对称点A ＇，由BD 平分∠ABC ，易知点A 在BC 上，故AB ＝A ＇B ＝6，AC ＝3;又CD ＝4，从而AD ＝A ＇D ＝5，因此S 四边形ABCD ＝2S △BA ’D ＋S △A ’CD ＝24＋6＝30，选B2(2019・威海)如图8－1－2，在四边形ABCD 中，AB ∥DC ，过点C 作CE ⊥BC ，交AD 于点E ，连接BE ，∠BFC ＝∠DFC ，若AH ＝6，则CD ＝；解答：解析：(2)如图8－1－6，延长BC 、ED 交于点F ，由题易证△CBE ≌△CFE ，则BC ＝FC ;图8-1-1DCBA图8-1-4E AD图8-1-5A'DCBADB C AE 图8-1-2又AB ∥DC ，故△FCD ∽△FBA ，从而12CD FC BA FB ==，即CD ＝12BA ＝3(3)(2019・十堰)如图8－1－3，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB 交CB 的延长线于点E ，若BA 平分∠DBE ，AD ＝5，CEAE ＝（） A . 3 B. C. D.解答：解析：(3)方法一:如图8－1－7，作AF ⊥BD 于点F ，连接AC ，易证Rt △ABEC ≌△ABF ，则AE ＝AF :又∠ACE ＝∠ADF ，故Rt △AEC ≌Rt △AFD ，从而AC ＝AD ＝5; 因为CEAE＝，选D ; 方法二:如图8－1－8，连接AC ，由题易得∠ABE ＝∠ADC ，∠ABD ＝∠ACD ，又BA 平分∠DBE ，故∠ABE ＝∠ABD ，从面∠ADC ＝∠ACD ，因此AC ＝AD ＝5，下略. 图8-1-6FE AC D图8-1-3图8-1-7图8-1-8反思：以上三个问题的解决都体现了角平分线的对称策略，包活“见角平分线，作双垂，得全等”(1)结合勾股定理求边长 (2)结合平行型相似求边长:(3)结合全等及勾股定理求边长，当然也可以通过导角避开全等，遇之，“对称性是角平分的本质特性” 题目2：（1）(2019・海南)如图8－2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝4.点P 是边AC 上一动点，过点P 作PQ ∥AB 交BC 于点Q ，D 为线段PQ 的中点，当BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为( ) A .813 B . 1513 C . 2513 D .3213解答：解析：(1)如图8－2－4，作DG ⊥BC 于点G ，由题易得cos ∠PQC ＝cos ∠ABC ＝45, ∠BDQ ＝∠DBA ＝∠DBQ .故QD ＝QB ;可设DG ＝3m ，QG ＝4m ，则QD ＝QB ＝5m ,由D 为线段PQ 的中点，易证QG ＝CG ＝4m ，CP ＝2DG ＝6m ，从而BC ＝QB ＋QG ＋CG ＝13m ＝4，解得m ＝413因此CP ＝6m ＝24,13 AP ＝AC －CP ＝3－24151313选B(2)(2019・哈尔滨)如图8－2－2，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，∠A ＝60°，点F 为AD 边上一点，连接BD 、CE ，CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB ，若AB ＝8，CE ＝6，则BC 的长为 ;图8-2-2EFABC D解析：(2)如图8－2－5，连接AC 交BD 于点O ，易证AC 垂直平分BD ，则∠BAC ＝∠DAC ; 又由CE ∥AB ，可得∠BAC ＝∠ACE ，故∠DAC ＝∠ACE ，从而AE ＝CE ＝6, 易证△ABD 与△EFD 均为等边三角形，则AB ＝AD ＝BD ＝8，DE ＝DF ＝EF ＝2，故OF ＝2，CF ＝4，因此OC＝，BC＝(3)(2019・温州)三个形状大小相同的菱形按如图8－2－3所示方式摆放，已知∠AOB ＝∠AOE ＝90°，菱形的较短对角线长为2cm ，若点C 落在AH 的延长线上，则△ABE 的周长为 cm解答：解析：(3)如图8－2－6，達接IC 交OB 于点K ，易证△COH 是等腰直角三角形，则∠OHC ＝45°，从面∠IBC ＝∠HAG ＝∠OHC ＝45°故∠IBK ＝22.5°；在BK 上取点T ，使BT ＝IT ，则∠ITK ＝45°，又IK ＝CK ＝1cm ，因此KT ＝1cm ，BT ＝IT， OB ＝2BK ＝(2＋cm .进而易得AB ＝AE ＝4)cm ，BE ＝(4＋cm ， △ABE 的周长为12)cm反思：前两个小题都及”角平分线十平行线→等腰三角形”基本结构，其中(1)结合“中点十平行→中位线”结构，狠抓不变角，设比例列方程;(2)结合等边三角形及勾股定理计算边长，第(3)问利用菱形的性质以及“倍半角模型”＂(即22.5°→45°)，导边导角. 图8-2-5DC BAFEO 图8-2-3图8-2-6A（1）如图8－3－1，在△ABC 中，∠A ＝90，AB ＝AC ，∠ABC 的角平分线交AC 于点D ，CE ⊥BD 于点E ，求证:BD ＝2CE ；解答：解析：(1)如图8－3－4，延长BA 、CE 交于点F ，易证Rt △BCE ≌Rt △BFE 及 Rt △ABD ≌Rt △ACF ，故BD ＝CF ＝2CE(2)如图8－3－2，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 、CE 分别是△ABC 的两条角平分线，BD 与CE 的交点为O ，求证:①DO ＝EO ， ②BC ＝BE ＋CD ；解答：解析：(2)如图8－3－5，在BC 上取点F ，使BF ＝BE ，连接OF ，易证△BOE ≌△BOF 及∠BOC ＝90°＋12∠A ＝120°则∠BOE ＝∠BOF ＝60°，故∠COD ＝∠COF ＝60°，从而可证△COD ≌△COF ，因此DO ＝FO ＝ED 且BC ＝BF ＋CF ＝BE ＋CD ; 图8-3-1E ABCDF DCAE 图8-3-4图8-3-2OEABCD图8-3-5（3）如图8－3－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 、BE 分别是△ABC 的两条角平分线，AD 与BE 的交点为F ，且AF ＝4，EFAC ＝ .解答：解析：(3)如图8－3－6，连接CF ，作EG ⊥AF 于点G ,同上易证∠AFB ＝90°＋12∠ACB ＝135° 及∠ACF ＝45°，则∠AFE ＝∠ACF ＝45°，△AFE ∽△ACF ,从而,AF AE AC AF =・即AF 2＝AE ・AC ; 又易得EG ＝FG ＝1，AG ＝3,故AEAC＝2AF AE = 反思：前两小题都涉及角平分的对称策略，后两小题都涉及与角平分相关的内心的性质，其中(3)还结合解三角形及相似三角形等基本图形与方法题目：(2019・凉山)如图8－4－1，∠ABD ＝∠BCD ＝90°，DB 平分∠ADC ，过点B 作BM ∥CD 交AD 于M ，连接CM 交DB 于N (1)求证:BD 2＝AD ・CD :(2)若CD ＝6，AD ＝8，求MN 的长.解答：解析：易证Rt △BCD ∽Rt △ABD 则,BDBD CD AD =即BD 2＝AD ・CD (2)由DB 平分∠ADC 及BM ∥CD ，可证∠MBD ＝∠BDC ＝∠MDB ，则BM ＝DM ，图8-3-3F AED进而可证∠MBA ＝∠A ，故BM ＝AM ＝12AD ＝4:又易得BC＝，则CM＝设MN ＝x ，CN＝,x 由△BMN ∽△DCN ，可得,DC MN BMCN = 即4,6= 解得x，即MN. 本题蕴含“角平分线十平行线→等腰三角形”基本结构，结合相似三角形解决问题.题目：(2019·重庆B 卷)在平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E (1)如图8－5－1，若∠D ＝30°，ABABE 的面积:(2)如图8－5－2，过点A 作AF ⊥DC ，交DC 的延长线于点F ，分别交BE 、BC 于点G 、H ，且AB ＝AF ，求证:ED －AG ＝F C .解答：解析：(1)如图8－5－3，作BK ⊥DA 于点K ，易证∠ABE ＝∠EBC ＝∠AEB ，则AB ＝AE又易得∠BAK ＝30°，则BKS △ABE ＝3.2(2)如图8－5－4过点A 作BE 的垂线，交DC 的廷长线于点P ，连接PB 、PE ，易证Rt △ABG ≌Rt △F AP (ASA )，则AG ＝FP ;同(1)可得AB ＝AE ，故AP 垂直平分BE ，从而PB ＝PE ，∠PBE ＝∠PEB ，则∠ABP ＝∠AEP ;又易知∠ABP ＋∠BPC ＝180°， ∠AEP ＋∠PED ＝180°，故∠BPC ＝∠PED ，进一步可证△BPC ≌△PED (AAS )，因此ED －AG ＝PC －AG ＝PC －FP ＝F C .反思：本题依然蕴含“角平分线十平行线→等腰三角”基本结构，结合全等三角形解决问题，难在全等三角形的构造与判断. 图8-5-1ECBAD图8-5-2图8-5-3KDABCE 图8-5-4题目：(2019・孝感)如图8－6－1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，一同学利用直尺和圆规完成如下操作： ①以点C 为圆心，CB 为半径画弧，交AB 于点G ；分别以点G ，B 为圆心，以大于12GB 的长为半径画弧，两孤交点K ，作射线CK ；②以点B 为圆心，以适当的长为半径画弧，交BC 于点M ，交AB 的延长线于点N ；分别以点M ，N 为圆心，以大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作直线BP 交AC 的延长线于点D ，交射线CK 于点E 请你观察图形，根据操作结果解答下列问题;(1)线段CD 与CE 的大小关系是；(2)过点D 作DF ⊥AB 交AB 的延长线于点F ，若AC ＝12，BC ＝5，求tan ∠DBF 的值.解答：解析：（1）CD ＝CE ;（2)如图8－6－2，延长CB 至点Q ，使BQ ＝AB ，易证∠DBF ＋∠BDF ＝90°，∠CAQ ＋∠Q ＝90°，且∠Q ＝12∠ABC ，∠BDF ＝12∠CDF ，又∠A ＝∠CDF ，故∠DBF ＝∠CAQ . 因此tan ∠DBF ＝tan ∠CAQ ＝183.122CQ AC ==基于确定性思想分析，当∠BAC 确定时，∠ADF 确定，其半角∠BDF 确定，从而∠DBF 确定，“怎么确定怎么求”；要求tan ∠DBF 的值，只要求tan ∠BDF 的值，而∠BDF ＝12∠ABC ，故这里涉及角平分线的另一种重要的处理策略，即构造倍半角模型，由“倍角∠ABC 求“半角∠BDF ”. 图8-6-1图8-6-2题目(2019・广州)如图8－7－1，⊙O 的直径AB ＝10，弦AC ＝8，连接B C .(1)尺規作图:作弦CD ，使CD ＝BC (点D 不与B 重合)，连接AD ;(保留作图痕迹，不写作法) (2)在(1)所作的图中，求四边形ABCD 的周长解答：解析：(1) 如图8－7－2所示(2)方法一：如图8－7－3，连接BD ，在AC 上取点E ，使BE ＝AE ，易证∠BAD ＝2∠BAC ，∠BEC ＝2∠BAC ，故∠BAD ＝∠BEC ；设CE ＝x ，则BE ＝AE ＝8－x ，在Rt △BEC 中，由勾股定理得x 2＋36＝(8－x )2，解得 x ＝7,4故cos ∠BEC ＝7,25CE BE =即cos ∠BAD ＝7,25即7,1025AD =因此AD ＝14,5四边形ABCD 的周长为6＋6＋1412410;55+=方法二:如图8－7－4，连接BD 、OC ，设OC 与BD 交于点G ，易得cos ∠GCB ＝cos ∠ABC ＝3,5则CG ＝BC ·cos ∠GCB ＝18,5OG ＝5－187,55=从而AD ＝14,5下略.反思：第(2)同中AC 平分∠BAD ，基于确定性思想分析，整个图形依然是确定的，其解法众多，这里提供两种较为简便的方法，其中方法一构造倍半角模型，由“半角∠BAC ”求“倍角∠BAD ”，方法二则抓住“定角定比”，巧施比例，实现口算. 图8-7-1图8-7-2图8-7-3图8-7-4题8 (2019·大庆)如图8－8－1，抛物线y ＝p41x 2(p ＞0)，点F (O ，p )，直线l ：y ＝－p ，已知抛物线上的点到点F 的距离与到直线l 的距离相等，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，AA 1⊥l ，BB 1⊥l ，垂足分别为A 1、B 1，连接A 1F 、B 1F 、A 1O 、B 1O 。

人教版2020年八年级数学上册《角平分线性质》培优练习卷(含答案)

AB、AC 于 E、F. ① 求证：OE=BE； ② 若△ABC 的周长是 25，BC=9，试求出△AEF 的周长；（2）如图 2，若∠ABC 的平分线与∠ACB 外角∠ACD 的平分线相交于点 P，连接 AP，试探求∠BAC 与∠PAC 的数量关系式.
1.D 2.答案为：C. 3.C 4.D 5. 答案为：A； 6. 答案为：D； 7.A． 8.C 9.C 10.A 11.B 12.答案为：D. 13.答案为：3cm． 14.答案为：2.4． 15.答案为：9; 16.答案为：125°． 17.答案为：36． 18.答案为：6； 19.证明：连接 AD，
三、解答题 19.如图所示，已知 AB=AC，BD=CD，DE⊥AB 于点 E，DF⊥AC 于点 F.
求证：DE=DF．
20.如图，四边形 ABDC 中，∠D=∠ABD=90°，点 O 为 BD 的中点，且 OA 平分∠BAC. (1)求证：CO 平分∠ACD； (2)求证：AB+CD=AC.
21.如图，已知 AC 平分∠BAD，CE⊥AB 于 E，CF⊥AD 于 F，且 BC=CD. (1)求证：△BCE≌△DCF； (2)求证：AB+AD=2AE.
）
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
10.如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于 D1，∠ABD1 与∠ACD1 的角平分线交于点 D2，依此类推，∠ABD4 与∠ACD4 的角平分线交于点 D5，则∠BD5C 的度数是（）
A．56°
B．60°
C．68°
B．CM=MD
C．∠OCD=∠ECD D．S 四边形 OCED= CD•OE
3.如图，△ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三

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一．选择题.
1. 如图,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,S
△ABC
=7,DE=2,AB=4,则AC 的长是 ( )
A.3
B.4
C.6
D.5
2. 到△ABC的三条边距离相等的点是△ABC的是( )
A．三条中线的交点, B．三条角平分线的交点
C．三条高线的交点, D．三条边的垂直平分线的交点
3. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示,则能说明∠AOC=∠BOC 的依据是( )
A.SSS
B.ASA
C.AAS
D.角平分线上的点到角两边距离相等
4. 如图，直线l
1，l
2
，l
3
表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，
要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）
A.1处
B.2处
C.3处
D.4处
5. 如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（）
A.4㎝
B.6㎝
C.10㎝
D.不能确定
6. 如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT＝MP，连接TQ，则下列结论中不正确的是( )
A.TQ＝PQ
B.∠MQT＝∠MQP
C.∠QTN＝90°
D.∠NQT＝∠MQT
7. 如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )
A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm
8. 如图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则对于下列结论：①△ABE
≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上．其中正确的是( ) A．①B．② C．①和② D．①②③
二.填空题.
1. 已知点A(2a+5，-4)在二、四象限的角平分线上，则a= ．
2. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是________.
3. 如图,OP平分∠MON,PE⊥OM于点E,PF⊥ON于点F,OA=OB.则图中有对全等三角形.
4. 如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC= cm．
5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,DC=3,AB=10,则△DAB 的面积是 .
6. 已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：DC=9：7，则点D到AB边的距离为 .
三.解答题.
1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC.
2. 如图所示,在图中作出点C,使得C是∠MON平分线上的点,且AC=OA, 并简述步骤.
3. 如图所示,已知∠AOB和两点M、N画一点P,使得点P到∠AOB的两边距离相等,且PM=PN,简述步骤.
4.在△ABC中，CE⊥AB于E，在△ABC外作△ACD，使∠CAD=∠CAB，且DC=BC，过C作CF⊥AD，交AD的延长线于F．
（1）说明CE=CF的理由；
（2）说明BE=DF的理由．
5. 如图,在△ABC中,∠C为直角,AC<BC,D为BC上一点,且到A,B两点的距离相等.
(1)用直尺和圆规,作出点D的位置(不写作法,保留作图痕迹).
(2)连接AD,若∠B=37°,求∠CAD的度数.
6. 如图：已知：E是∠AOB的平分线上的一点，ED⊥OB, EC⊥OA, D、C是垂足，连接CD，求证：（1）∠ECD=∠EDC；(2)OD=OC；（3）OE是CD的垂直平分线.
7. 如图：CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的大小关系，并说明理由.
8. 在四边形中，对角线平分．
（1）如图①，当，时，求证：；（2）如图②，当，与互补时，线段有怎样的数量关系?写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图③，当，与互补时，线段有怎样的数量关系?直接写出你的猜想.。