数学教育心理学简介
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―他走进的是一片空地，留下的却是伟大的建筑。” （Sfard, 2002）
工具性理解与关系性理解
前者是指“只管公式，不管理由” ，而后者则“ 不仅知道要做什么，而且知道理由” 。
工具性数学的优点
1. 工具性数学一般比较容易理解。有些课题，如两个负数相 乘，或分数相除，很难从关系上去理解。 “负负得正”以 及“除以分数等于乘以这个分数的倒数”是很容易记住的规 则，但不易解释其原因。如果想要的是正确的答案，工具性 数学可以快速而轻易的提供。 2. 教学的效果立竿见影，而且更明显。首先，学生如果能够 迅速地得出正确的答案，当然是一件好事；其次，我们不能 低估学生从中得到成功感受的重要性。在调查中，斯根普经 常听到学生说自己是“笨蛋”，老师也这样说这些学生。这 使他很难受，他觉得，对这些学生来说，最重要的是需要成 功的体验来恢复自信心，而在工具性数学上，将比在关系性 数学上更容易获得成功。 3. 由于比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，用工具性 数学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案。以至于 一些数学家也常运用机械式数学思考。
著 作
论 文
对斯根普的工作的评价
斯根普（Richard Skemp）可以称得上是数学教 育心理学的先驱之一。在2002年出版的一本纪念 斯根普的著作中，作为主编的韬尔与托马斯（ Michael Thomas）在序言中写道：“理查德•斯 根普是数学教育中的独一无二的人物——他是广 大教师和教育者的一个思想先知，他们从他的工 作中获得了启示；他也是创建国际数学教育心理 学协作组（International Group for the Psychology of Mathematics Education）的精神 领袖。
数学教育心理学
高师数学专业课程 高等数学类课程 公共教育类课程 数学课程论 数学教学论 数学学习论 思想方法论 数学评价论 新课程改革 ……
数学教育类课程
数学方法论
数学教育学
（中小学教育实践）
数学课程理论 -------教什么，学什么？
数学教学论 -------- 怎样教，为什么教？
数学学习理论-------教给谁？怎样学？
数学思想方法论-------为什么这样教与学？ 数学教育评价理论------教得怎样，学得怎样？ *数学新课程改革理论------改革创新，反思发展
为什么要学习数学教育心理学
学生是如何学习数学的？这是数学教 学和数学教育研究的核心问题。学是教的 习过程中会出现哪些困难以及如何去诊断 我国著名数学教育家曹才翰先生指出： “数学教育的主要任务在于使学生形成完 善的思维结构，并借助于这种结构去掌握 数学知识、提高教学能力。”
重要的数学学习理论
• 皮亚杰的认识发生论 （1）感觉运动阶段（0～2岁） ； （2）前运演阶段（2～7岁） ； （3）具体运演阶段（7、8-11、12岁）； （4）形式运演阶段（（11、12-15、16岁）
孩子们的数学理解（11～1 6 岁）
• 英国伦敦大学乔西学院（Chelsea College， University of London，1974～1979） （1）给字母赋值； （2）忽略字母的意义； （3）把字母当成物体； （4）把字母看成特定未知量 ； （5）把字母看成广义的数； （6）把字母看成变量。
水平的划分
层次0︰视觉 ( visuality)
层次1︰分析(analysis) 层次2︰非形式化的演绎 (informal deduction) 层次3︰形式的演绎 (formal deduction) 层次4︰严密性( rigior )
层次0︰视觉 ( visuality)
儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构 图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标 准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操 作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名 称分析图形，也无法对图形做概括的论述. 例如： 儿童可能会說某个图形是三角形，因为它看起來像 一个三明治。
数学学习理论研究的基本问题
• 针对某特定学科的学生的学习过程，杜纳凡 （Donovan,1999）认为，现代学习理论的研究 应聚焦于以下几个问题： （1 概念？这些概念会对学生的学习产生哪些影响？ （2）要发展某些学科领域的能力，学生必须具备 哪些学科知识？如何帮助学生形成学科的理论框 架？ （3）如何帮助学生掌握解决学科问题的基本策略， 以及问题解决过程的自我监控与调节策略？
数学教学心理学
• • • • • • • • • • • • 第1章 数学教学心理研究的历史沿革 第2章 数学知识表征 第3章 数学认知结构 第4章 数学学习迁移 第5章 数学学习中的元认知因素 第6章 数学教学中的认识信念 第7章 数学学习中的非智力因素 第8章 数学学习策略 第9章 数学概念教学心理 第10章 数学命题教学心理 第11章 数学解题教学心理 第12章 中小学生的数学能力
英国沃瑞克大学（Warwick University）
Modern Records Centre University of Warwick Library Coventry CV4 7AL
斯根普的工作
March 10, 1919 – June 22, 1995
代表作
1. The Psychology of Learning Mathematics (1971) in several different versions 2. Intelligence Learning and Action (1979) 3. Mathematics in the Primary School 4. Understanding Mathematics (a series of text-books for secondard school) 5. Structured Activities in Intelligent Learning (a series for Primary School). 6. Further information about these and other publications will appear shortly.
数学学习理论研究的基本问题
•
（1）学习的实质，有机体是如何获得个体经验的？ （2）学习的结果，学习要使学生头脑中形成什么？ （3）学习的过程，学生头脑中进行怎样的加工才能实现 学习的结果？
（4）学习的规律与条件，要顺利完成学习需要哪些条件？
数学学习理论研究的基本问题
• 从纵的方面看，则包括以下以环节： （1）知识，包括知识的类型，如安德森 （Anderson,1994）分为陈述性知识与程序性知识； （2）知识的获得，不同类型的知识有不同的获得途径； （3）迁移与问题解决，即如何将获得知识运用于新的 情境； （4）元认知，即如何对自己的认知活动进行监控与调 节； （5）情感与态度，包括兴趣、信念、喜好等。
层次3︰形式的演绎
学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素” 、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要 形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具 备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其 猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、 定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网 络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中 的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至 少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件 ，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件； 能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相 平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四 边形。
层次4︰严密性
在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定 理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非 欧氏几何系统的比较。
SOLO理论
SOLO是“学习结果的结构性观察”（ Structure Of the Observed Learning Outcome） 的缩写，由澳大利亚学者Collis和Biggs（1982） 所创，SOLO分类法的理论基础是结构主义学说和 皮亚杰认知发展阶段理论
评价
前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文 （1959）在1963年就由皮什卡罗（A. M. Pyshkalo）作了详 尽的报道。10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在 1974年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普 （Isaak Wirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者， 并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展”。威兹普的报 告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表 在Martin 和Bradbard主编的著作上（Wirszup，1976）。 与此同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习 中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平 发展的（Freudenthal, 1973, p123）。所有这一些，使范希 尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何 教学研究的一个热点。
1. Instrumental Understanding and Relational Understanding 2. The Silent Music of Mathematics 3. Theoretical Foundations of Problem-Solving: A Position Paper (1993)
范希尔的几何思维水平
在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很 普遍的（Freudenthal, 1958）。范希尔夫妇 （Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作为荷兰一 所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。 最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所 需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平， 这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间 的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成 果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共 同完成的的博士论文上。
数学trick, et al., 2001）认为数 学学习的主要研究对象是： （1）概念理解，包括多数学概念、运算和关系的 理解； （2）技能习得，包括技能灵活性、准确性、有效 性和适切性； （3）问题解决，包括形成问题、表征问题和解决 问题的能力； （4）数学理解，包括逻辑思维、反思、阐释与决 策； （5）信念与态度，包括对数学和数学学习的态度， 及对自身效率的信念等。
层次2︰非形式化的演绎 (informal deduction)
儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出 非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步 探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定 义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定 理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果 的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。例 如：学生了解了等腰三角形的性质后，他们会推出 等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为 等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质的限制 。因此，学童能作一些非正式的说明但还不能作系 统性的证明.
SOLO水平分类
SOLO 层次 前结构 单结构 规则描述 学生无法解决问题或只会重复问题。学生不能理解 要点。 学生注意到了问题的一个相关特征，但事实或观点 之间没有联系。 理解是有名无实的。
多元结构 学生找到了许多独立的相关特征，但还无法将他们 有机联系起来。 关联结构 整合各部分内容使其成为一个有机整体。 扩展抽象 学生会归纳问题或重新概念化到更高的抽象层次
数学教育心理学的产生
• 1976年在德国卡尔斯鲁市举行的第三届国际 数学教育大会（International Congress on Mathematics Education，简称ICME ）成 立了国际数学教育心理学组织 （International Group for the Psychology of Mathematics education,简称PME）。 • 1977年，在弗赖登塔尔组织下，在荷兰的乌 特列支召开了第一届数学教育心理学大会。
层次1︰分析(analysis)
儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立 图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无 法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义； 能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做 图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联 ，也无法导出公式和使用正式的定义。例如：儿 童会知道三角形有三条边和三个角，但不能理解 如果内角愈大，则对边愈长的性质。
工具性理解与关系性理解
前者是指“只管公式，不管理由” ，而后者则“ 不仅知道要做什么，而且知道理由” 。
工具性数学的优点
1. 工具性数学一般比较容易理解。有些课题，如两个负数相 乘，或分数相除，很难从关系上去理解。 “负负得正”以 及“除以分数等于乘以这个分数的倒数”是很容易记住的规 则，但不易解释其原因。如果想要的是正确的答案，工具性 数学可以快速而轻易的提供。 2. 教学的效果立竿见影，而且更明显。首先，学生如果能够 迅速地得出正确的答案，当然是一件好事；其次，我们不能 低估学生从中得到成功感受的重要性。在调查中，斯根普经 常听到学生说自己是“笨蛋”，老师也这样说这些学生。这 使他很难受，他觉得，对这些学生来说，最重要的是需要成 功的体验来恢复自信心，而在工具性数学上，将比在关系性 数学上更容易获得成功。 3. 由于比起关系性数学来牵涉的知识较少，因此，用工具性 数学思考，可以更快速而且可靠的得到正确答案。以至于 一些数学家也常运用机械式数学思考。
著 作
论 文
对斯根普的工作的评价
斯根普（Richard Skemp）可以称得上是数学教 育心理学的先驱之一。在2002年出版的一本纪念 斯根普的著作中，作为主编的韬尔与托马斯（ Michael Thomas）在序言中写道：“理查德•斯 根普是数学教育中的独一无二的人物——他是广 大教师和教育者的一个思想先知，他们从他的工 作中获得了启示；他也是创建国际数学教育心理 学协作组（International Group for the Psychology of Mathematics Education）的精神 领袖。
数学教育心理学
高师数学专业课程 高等数学类课程 公共教育类课程 数学课程论 数学教学论 数学学习论 思想方法论 数学评价论 新课程改革 ……
数学教育类课程
数学方法论
数学教育学
（中小学教育实践）
数学课程理论 -------教什么，学什么？
数学教学论 -------- 怎样教，为什么教？
数学学习理论-------教给谁？怎样学？
数学思想方法论-------为什么这样教与学？ 数学教育评价理论------教得怎样，学得怎样？ *数学新课程改革理论------改革创新，反思发展
为什么要学习数学教育心理学
学生是如何学习数学的？这是数学教 学和数学教育研究的核心问题。学是教的 习过程中会出现哪些困难以及如何去诊断 我国著名数学教育家曹才翰先生指出： “数学教育的主要任务在于使学生形成完 善的思维结构，并借助于这种结构去掌握 数学知识、提高教学能力。”
重要的数学学习理论
• 皮亚杰的认识发生论 （1）感觉运动阶段（0～2岁） ； （2）前运演阶段（2～7岁） ； （3）具体运演阶段（7、8-11、12岁）； （4）形式运演阶段（（11、12-15、16岁）
孩子们的数学理解（11～1 6 岁）
• 英国伦敦大学乔西学院（Chelsea College， University of London，1974～1979） （1）给字母赋值； （2）忽略字母的意义； （3）把字母当成物体； （4）把字母看成特定未知量 ； （5）把字母看成广义的数； （6）把字母看成变量。
水平的划分
层次0︰视觉 ( visuality)
层次1︰分析(analysis) 层次2︰非形式化的演绎 (informal deduction) 层次3︰形式的演绎 (formal deduction) 层次4︰严密性( rigior )
层次0︰视觉 ( visuality)
儿童能通过整体轮廓辨认图形，并能操作其几何构 图元素（如边、角）；能画图或仿画图形，使用标 准或不标准名称描述几何图形；能根据对形状的操 作解决几何问题，但无法使用图形之特征或要素名 称分析图形，也无法对图形做概括的论述. 例如： 儿童可能会說某个图形是三角形，因为它看起來像 一个三明治。
数学学习理论研究的基本问题
• 针对某特定学科的学生的学习过程，杜纳凡 （Donovan,1999）认为，现代学习理论的研究 应聚焦于以下几个问题： （1 概念？这些概念会对学生的学习产生哪些影响？ （2）要发展某些学科领域的能力，学生必须具备 哪些学科知识？如何帮助学生形成学科的理论框 架？ （3）如何帮助学生掌握解决学科问题的基本策略， 以及问题解决过程的自我监控与调节策略？
数学教学心理学
• • • • • • • • • • • • 第1章 数学教学心理研究的历史沿革 第2章 数学知识表征 第3章 数学认知结构 第4章 数学学习迁移 第5章 数学学习中的元认知因素 第6章 数学教学中的认识信念 第7章 数学学习中的非智力因素 第8章 数学学习策略 第9章 数学概念教学心理 第10章 数学命题教学心理 第11章 数学解题教学心理 第12章 中小学生的数学能力
英国沃瑞克大学（Warwick University）
Modern Records Centre University of Warwick Library Coventry CV4 7AL
斯根普的工作
March 10, 1919 – June 22, 1995
代表作
1. The Psychology of Learning Mathematics (1971) in several different versions 2. Intelligence Learning and Action (1979) 3. Mathematics in the Primary School 4. Understanding Mathematics (a series of text-books for secondard school) 5. Structured Activities in Intelligent Learning (a series for Primary School). 6. Further information about these and other publications will appear shortly.
数学学习理论研究的基本问题
•
（1）学习的实质，有机体是如何获得个体经验的？ （2）学习的结果，学习要使学生头脑中形成什么？ （3）学习的过程，学生头脑中进行怎样的加工才能实现 学习的结果？
（4）学习的规律与条件，要顺利完成学习需要哪些条件？
数学学习理论研究的基本问题
• 从纵的方面看，则包括以下以环节： （1）知识，包括知识的类型，如安德森 （Anderson,1994）分为陈述性知识与程序性知识； （2）知识的获得，不同类型的知识有不同的获得途径； （3）迁移与问题解决，即如何将获得知识运用于新的 情境； （4）元认知，即如何对自己的认知活动进行监控与调 节； （5）情感与态度，包括兴趣、信念、喜好等。
层次3︰形式的演绎
学生可以了解到证明的重要性和了解“不定义元素” 、“定理”和“公理”的意义，确信几何定理是需要 形式逻辑推演才能建立的，理解解决几何问题必须具 备充分或必要条件；能猜测并尝试用演绎方式证实其 猜测，能够以逻辑推理解释几何学中的公里、定义、 定理等，也能推理出新的定理，建立定理间的关系网 络，能比较一个定理的不同证明方式；能理解证明中 的必要与充分条件，例如至少有一个边对应相等或至 少一个角对应相等是证明两个三角形全等的必要条件 ，两角夹边对应相等则是两三角形全等的充分条件； 能写出一定理的逆定理，如平行四边形的对角线互相 平分，其逆定理是对角线互相平分的四边形是平行四 边形。
层次4︰严密性
在这个层次能在不同的公理系统下严谨地建立定 理以分析比较不同的几何系统，如欧氏几何与非 欧氏几何系统的比较。
SOLO理论
SOLO是“学习结果的结构性观察”（ Structure Of the Observed Learning Outcome） 的缩写，由澳大利亚学者Collis和Biggs（1982） 所创，SOLO分类法的理论基础是结构主义学说和 皮亚杰认知发展阶段理论
评价
前苏联学者很快就注意到了范希尔的思想，他的论文 （1959）在1963年就由皮什卡罗（A. M. Pyshkalo）作了详 尽的报道。10年之后，美国人才开始了解范希尔的工作。在 1974年召开的大西洋城NCTM年会上，芝加哥大学的威兹普 （Isaak Wirszup）将范希尔的思想正式介绍给了美国学者， 并同时介绍了前苏联几何教学的“惊人进展”。威兹普的报 告后来以“几何教学心理学中的一个重大突破”为标题发表 在Martin 和Bradbard主编的著作上（Wirszup，1976）。 与此同时，弗赖登塔尔也提供了思维水平在数学归纳法学习 中的范例。他发现，数学归纳实际上也是沿着五个思维水平 发展的（Freudenthal, 1973, p123）。所有这一些，使范希 尔理论引起了全世界的广泛关注，并成为上世纪80年代几何 教学研究的一个热点。
1. Instrumental Understanding and Relational Understanding 2. The Silent Music of Mathematics 3. Theoretical Foundations of Problem-Solving: A Position Paper (1993)
范希尔的几何思维水平
在50年代的荷兰，几何教学所面临的问题是很 普遍的（Freudenthal, 1958）。范希尔夫妇 （Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作为荷兰一 所中学的数学教师，每天都亲身经历着这些问题。 最让他们感到困惑的是教材所呈现的问题或作业所 需要的语言及专业知识常常超出了学生的思维水平， 这使得他们开始关注皮亚杰的工作。经过一段时间 的研究，他们提出了几何思维的五个水平。这一成 果最初发表在他们夫妇于1957年在乌特勒克大学共 同完成的的博士论文上。
数学trick, et al., 2001）认为数 学学习的主要研究对象是： （1）概念理解，包括多数学概念、运算和关系的 理解； （2）技能习得，包括技能灵活性、准确性、有效 性和适切性； （3）问题解决，包括形成问题、表征问题和解决 问题的能力； （4）数学理解，包括逻辑思维、反思、阐释与决 策； （5）信念与态度，包括对数学和数学学习的态度， 及对自身效率的信念等。
层次2︰非形式化的演绎 (informal deduction)
儿童能建立图形及图形性质之间的关系，可以提出 非形式化的推论，了解建构图形的要素，能进一步 探求图形的内在属性和其包含关系，使用公式与定 义及发现的性质做演绎推论。但不能了解证明与定 理的重要性，不能由不熟悉的前提去建立证明结果 的成立，也未能建立定理网络之间的内在关系。例 如：学生了解了等腰三角形的性质后，他们会推出 等腰直角三角形同时也是直角三角形的一种，因为 等腰直角三角形较直角三角形多了一些性质的限制 。因此，学童能作一些非正式的说明但还不能作系 统性的证明.
SOLO水平分类
SOLO 层次 前结构 单结构 规则描述 学生无法解决问题或只会重复问题。学生不能理解 要点。 学生注意到了问题的一个相关特征，但事实或观点 之间没有联系。 理解是有名无实的。
多元结构 学生找到了许多独立的相关特征，但还无法将他们 有机联系起来。 关联结构 整合各部分内容使其成为一个有机整体。 扩展抽象 学生会归纳问题或重新概念化到更高的抽象层次
数学教育心理学的产生
• 1976年在德国卡尔斯鲁市举行的第三届国际 数学教育大会（International Congress on Mathematics Education，简称ICME ）成 立了国际数学教育心理学组织 （International Group for the Psychology of Mathematics education,简称PME）。 • 1977年，在弗赖登塔尔组织下，在荷兰的乌 特列支召开了第一届数学教育心理学大会。
层次1︰分析(analysis)
儿童能分析图形的组成要素及特征，并依此建立 图形的特性，利用这些特性解决几何问题，但无 法解释性质间的关系，也无法了解图形的定义； 能根据组成要素比较两个形体，利用某一性质做 图形分类，但无法解释图形某些性质之间的关联 ，也无法导出公式和使用正式的定义。例如：儿 童会知道三角形有三条边和三个角，但不能理解 如果内角愈大，则对边愈长的性质。