2011年高考数学试题分类汇编 立体几何

【答案】
23.（湖北理14） 如图，直角坐标系 所在的平面为 ，直角坐标系 （其中 轴一与 轴重合）所在的平面为 ， 。
（Ⅰ）已知平面 内有一点 ，则点 在平面 内的射影 的
坐标为（2，2）；
（Ⅱ）已知平面 内的曲线 的方程是 ，则曲线 在平面 内的射影 的方程是。
【答案】
24.（福建理12）三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于______。
A． B． C． D．
【答案】B
13.（北京理7）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A．8B． C．10D．
【答案】C
14.（安徽理6） 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
（A）48
（B）32+8
（C）48+8
（D）80
【答案】C
15.（辽宁理8）。如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD 底面ABCD，则下列结论中不正确的是
所以
（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，
由GC=CD，得 ，
从而 ，即
设
，
在 中，
这与GB=GD矛盾。
所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点B，C，D的距离都相等，
从而，在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。
29.（广东理18）
四、立体几何
一、选择题
1.（重庆理9）高为 的四棱锥S-ABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为
A． B． C．1D．
【答案】C
2.（浙江理4）下列命题中错误的是
A．如果平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面
B．如果平面α不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面
A． B． C． D．1
【答案】C
9.（全国大纲理11）已知平面α截一球面得圆M，过圆心M且与α成 二面角的平面β截该球面得圆N．若该球面的半径为4，圆M的面积为4 ，则圆N的面积为
A．7 B．9 C．11 D．13
【答案】D
10.（湖南理3）设图1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为
A． B．
C． D．
（I）（综合法）
证明：设G是线段DA与EB延长线的交点.由于△OAB与△ODE都是正三Байду номын сангаас形，所以
∥ ，OG=OD=2，
同理，设 是线段DA与线段FC延长线的交点，有
又由于G和 都在线段DA的延长线上，所以G与 重合.
在△GED和△GFD中，由 ∥ 和OC∥ ，可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.
A． B．
C． D．
【答案】A
5.（浙江理3）若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是
【答案】D
6.（山东理11） 右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，
其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯
视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命
因为∠BAD=60°，PA=PB=2,
所以BO=1，AO=CO= .
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O—xyz，则
P（0，— ，2），A（0，— ，0），B（1，0，0），C（0， ，0）.
所以
设PB与AC所成角为 ，则
.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知
设P（0，－ ，t）（t>0），
则
设平面PBC的法向量 ,
（i）设平面PCD的法向量为 ，
由 ， ，得
取 ，得平面PCD的一个法向量 ，
又 ，故由直线PB与平面PCD所成的角为 ，得
解得 （舍去，因为AD ），所以
（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，
设G（0，m，0）（其中 ）
则 ，
由 得 ，（2）
由（1）、（2）消去t，化简得 （3）
27.（北京理16）
如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 是菱形， .
(Ⅰ)求证： 平面
（Ⅱ）若 求 与 所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面 与平面 垂直时，求 的长.
证明：（Ⅰ）因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD.
所以PA⊥BD.
所以BD⊥平面PAC.
（Ⅱ）设AC∩BD=O.
（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理
由。
本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象根据能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。
解法一：
（I）因为 平面ABCD，
题的个数是
A．3B．2
C．1D．0
【答案】A
7.（全国新课标理6） 。在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为
【答案】D
8.（全国大纲理6）已知直二面角α− ι−β，点A∈α，AC⊥ι，C为垂足，B∈β，BD⊥ι，D为垂足．若AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于
【答案】
三、解答题
25.（江苏16） 如图，在四棱锥 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点
求证：（1）直线EF∥平面PCD；
（2）平面BEF⊥平面PAD
本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分14分。
证明：（1）在△PAD中，因为E、F分别为
26.（安徽理17） 如图， 为多面体，平面 与平面 垂直，点 在线段 上， △OAB，,△ ，△ ，△ 都是正三角形。
（Ⅰ）证明直线 ∥ ；
（II）求棱锥F—OBED的体积。
本题考查空间直线与直线，直线与平面、平面与平面的位置关系，空间直线平行的证明，多面体体积的计算等基本知识，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力.
平面ABCD，
所以 ，
又
所以 平面PAD。
又 平面PAB，所以平面 平面PAD。
（II）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系
A—xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
在 中，DE= ，
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以 ，
【答案】B
11.（江西理8）已知 ， ， 是三个相互平行的平面．平面 ， 之间的距离为 ，平面 ， 之间的距离为 ．直线 与 ， ， 分别相交于 ， ， ，那么“ = ”是“ ”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
12.（广东理7）如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
（向量法）
过点F作 ，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点， 为 轴正向， 为y轴正向， 为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.
由条件知
则有
所以 即得BC∥EF.
（II）解：由OB=1，OE=2， ，而△OED是边长为2的正三角形，故
所以
过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ= ，所以
则 。
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于点E，则
在 中，DE= ，
设AB=AP=t，则B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以 ，
设平面PCD的法向量为 ，
由 ， ，得
取 ，得平面PCD的一个法向量 ，
又 ，故由直线PB与平面PCD所成的角为 ，得
解得 （舍去，因为AD ），
则
所以
令 则
所以
同理，平面PDC的法向量
因为平面PCB⊥平面PDC,
所以 =0，即
解得
所以PA=
28.（福建理20）
如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD= ， ．
（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；
（II）设AB=AP．
（i）若直线PB与平面PCD所成的角为 ，求线段AB的长；
（A）AC⊥SB
（B）AB∥平面SCD
（C）SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
（D）AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
【答案】D
16.（辽宁理12）。已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB= ， ，则棱锥S—ABC的体积为
（A） （B） （C） （D）1
【答案】C
如图5．在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60 ， ,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点．
（1）证明：AD 平面DEF;
（2）求二面角P-AD-B的余弦值．
法一：（1）证明：取AD中点G，连接PG，BG，BD。
因PA=PD，有 ，在 中， ，有 为等边三角形，因此 ，所以 平面PBG
又PB//EF，得 ，而DE//GB得AD DE，又 ，所以AD 平面DEF。
（2） ，
为二面角P—AD—B的平面角，
在
在
法二：（1）取AD中点为G，因为
又 为等边三角形，因此， ，从而 平面PBG。
延长BG到O且使得PO OB，又 平面PBG，PO AD，
所以PO 平面ABCD。
以O为坐标原点，菱形的边长为单位长度，直线OB，OP分别为 轴，z轴，平行于AD的直线为 轴，建立如图所示空间直角坐标系。
设
由于
得
平面DEF。
（2）
取平面ABD的法向量
设平面PAD的法向量
由
取
30.（湖北理18）
如图，已知正三棱柱 的各棱长都是4， 是 的中点，动点 在侧棱 上，且不与点 重合．
（Ⅰ）当 =1时，求证： ⊥ ；
（Ⅱ）设二面角 的大小为 ，求 的最小值．
本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）
C．如果平面 ，平面 ， ，那么
D．如果平面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面
【答案】D
3.（四川理3） ， ， 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A． ， B． ，
C． ， ， 共面D． ， ， 共点 ， ， 共面
【答案】B
【解析】A答案还有异面或者相交，C、D不一定
4.（陕西理5）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是
【答案】
【解析】 时，
，则
20.（辽宁理15）一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 ，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．
【答案】
21.（天津理10）一个几何体的三视图如右图所示（单位： ），则该几何体的体积为__________
【答案】
22.（全国新课标理15）。已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC= ，则棱锥O-ABCD的体积为_____________．
由（I）知 侧面A1C，根据三垂线定理得
所以 是二面角C—AF—E的平面角，即 ，
设
在 中，
在
故
又
故当 时， 达到最小值；
，此时F与C1重合。
解法2：（I）建立如图3所示的空间直角坐标系，则由已知可得
由于方程（3）没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，C，D的距离都相等。
从而，在线段AD上不存在一个点G，
使得点G到点P，B，C，D的距离都相等。
解法二：
（I）同解法一。
（II）（i）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A—xyz（如图）
在平面ABCD内，作CE//AB交AD于E，
AP，AD的中点，所以EF//PD.
又因为EF 平面PCD，PD 平面PCD，
所以直线EF//平面PCD.
（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，
所以△ABD为正三角形，因为F是AD的
中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面
ABCD，BF 平面ABCD，平面PAD 平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF 平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.
解法1：过E作 于N，连结EF。
（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，
底面ABC 侧面A1C。
又度面 侧面A，C=AC，且 底面ABC，
所以 侧面A1C，NF为EF在侧面A1C内的射影，
在 中， =1，
则由 ，得NF//AC1，
又 故 。
由三垂线定理知
（II）如图2，连结AF，过N作 于M，连结ME。
17．（上海理17）设 是空间中给定的5个不同的点，则使 成立的点 的个数为
A．0B．1C．5D．10
【答案】B
二、填空题
18.（上海理7）若圆锥的侧面积为 ，底面积为 ，则该圆锥的体积为。
【答案】
19.（四川理15）如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是．