2018-2019高三理科数学二轮复习：回扣教材纠错例析4.数列-含解析(1)

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2019年度高考数学(全国通用)二轮复习课件回扣4 数列

板块四考前回扣
回扣4 数列
内容索引
回归教材易错提醒回扣训练
回归教材
1.牢记概念与公式
等差数列、等比数列
等差数列
通项公式 an＝a1＋(n－1)d
等比数列
an＝a1qn－1(q≠0)
前n项和
na1＋an Sn ＝＝ na1 ＋ 2 nn－1 d 2
a11－qn a1－anq (1)q≠1，Sn＝＝； 1－q 1－q (2)q＝1，Sn＝na1
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解析
答案
3.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，且 a1>0 ， a3 ＋ a10>0 ， a6a7<0 ，则满足
Sn>0的最大自然数n的值为
A.6 B.7
C.12
√
D.13
解析 ∵a1>0，a6a7<0， ∴a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0， ∴S12>0，S13<0， ∴满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
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答案
12.若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ 50 ln a2＋„＋ln a20＝________.
解析 ∵数列{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，

2018-2019年高考数学(理)热点题型数列及答案

数列热点一等差数列、等比数列的综合问题解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n 项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.【例1】已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值.解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数，当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.【对点训练】已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5－2a 2＝25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设T n 是数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由. 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∴⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋5×42d －2（a 1＋d ）＝25，（a 1＋3d ）2＝a 1（a 1＋12d ），解得a 1＝3，d ＝2，∴a n ＝2n ＋1. ∵b 1＝a 1＝3，b 2＝a 4＝9，∴等比数列{b n }的公比q ＝3，∴b n ＝3n .(2)不存在.理由如下： ∵1a n a n ＋1＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3， ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3， ∴1－2T k ＝23＋12k ＋3(k ∈N *)，易知数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫12k ＋3为单调递减数列， ∴23<1－2T k ≤1315，又1b k ＝13k ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13， ∴不存在k ∈N *，使得等式1－2T k ＝1b k成立.热点二数列的通项与求和数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等. 【例2】设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)当d >1时，记c n ＝a n b n，求数列{c n }的前n 项和T n . (1)解由题意有⎩⎨⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎨⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎨⎧a n ＝2n －1，b n＝2n －1或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝19（2n ＋79），b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)解由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故c n ＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，①12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n，故T n ＝6－2n ＋32n －1. 【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板第一步：(判断结构)若数列{a n ·b n }是由等差数列{a n }与等比数列{b n }(公比q )的对应项之积构成的，则可用此法求和. 第二步：(乘公比)设{a n ·b n }的前n 项和为T n ，然后两边同乘以q . 第三步：(错位相减)乘以公比q 后，向后错开一位，使含有q k (k ∈N *)的项对应，然后两边同时作差. 第四步：(求和)将作差后的结果求和，从而表示出T n.【对点训练】设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2＝3S n－S n＋1＋3，n∈N*.(1)证明：a n＋2＝3a n；(2)求S2n.(1)证明由条件，对任意n∈N*，有a n＋2＝3S n－S n＋1＋3，因而对任意n∈N*，n≥2，有a n＋1＝3S n－1－S n＋3.两式相减，得a n＋2－a n＋1＝3a n－a n＋1，即a n＋2＝3a n，n≥2.又a1＝1，a2＝2，所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，故对一切n∈N*，a n＋2＝3a n.(2)解由(1)知，a n≠0，所以an＋2an＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列. 因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝32(3n－1).热点三数列的综合应用热点3.1 数列与函数的综合问题数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.【例3－1】设等差数列{a n}的公差为d，点(a n，b n)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n b n 的前n 项和T n .解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2. 所以，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意知，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.热点3.2 数列与不等式的综合问题数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.【例3－2】在等差数列{a n }中，a 2＝6，a 3＋a 6＝27. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n 3·2n －1，若对于一切正整数n ，总有T n ≤m成立，求实数m 的取值范围. 解 (1)设公差为d ，由题意得： ⎩⎨⎧a 1＋d ＝6，2a 1＋7d ＝27，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝3，∴a n ＝3n . (2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝32n (n ＋1)，∴T n ＝n （n ＋1）2n，T n ＋1＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1，∴T n ＋1－T n ＝（n ＋1）（n ＋2）2n ＋1－n （n ＋1）2n＝（n ＋1）（2－n ）2n ＋1，∴当n ≥3时，T n >T n ＋1，且T 1＝1<T 2＝T 3＝32，∴T n 的最大值是32，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

2018-2019年最新高考总复习数学(理)第二次复习效果检测试题及答案解析

2018-2019学年下期三年级第二次素质检测数学试题（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷共150分。

考试时间为120分钟。

第I 卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在下列每个小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

） 1.已知集合},4|{},,1|1||{Z x x x B R x x x A ∈≤=∈≤-=，则=⋂B A （） A.[0, 2]B.(0, 2)C.{0, 2}D.{0, 1, 2}2.已知命题P 1：平面向量b a ,共线的充要条件是a 与b 方向相同；P 2：函数x x y --=22在R上为增函数，则在命题：213212211)(:,:,:P P q P P q P P q ∨⌝∧∨和）（214:P Pq ⌝∧中，真命题是（） A.q 1, q 3 B.q 2, q 3 C.q 1,q 4D.q 2,q 43.已知),0(,2cos sin πααα∈=+，则)3tan(πα-=（）A.32-B. 32--C. 32+-D. 32+4.已知}{n a 是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（） A.32-B.31-C. 31D. 325.某校安排四个班到三个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有（）A.24B.36C.48D.606.已知直线m 和平面βα,，则下列四个命题中正确的是（） A.若αββα⊥⊂⊥m m 则,, B. 若βαβα//,//,//m m 则 C. 若βαβα⊥⊥m m 则,,//D. 若βαβα//,//,//则m m7.曲线x e y 21=在点（4，2e ）处的切线与坐标轴围成三角形的面积为（） A.229e B.4 2e C.2 2e D. 2e8.某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了10000粒，对于没有发芽的种，每粒需要再补2粒，补种的种子数记为x ，则x 的数学期望为（） A.1000B.2000C.3000D.40009.设偶函数)(x f 满足)0(8)(3≥-=x x x f ，则=>-}0)1(|{x f x （） A.}32|>-<x x x 或｛ B. }20|><x x x 或｛ C. }30|><x x x 或｛ D. }31|>-<x x x 或｛10.设F 1，F 2是椭圆E ：)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点P 为直线23ax =上一点，12PF F ∆是底角为︒30的等腰三角形，则E 的离心率（） A.21 B.32C.43D.5411.若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则2y x的最小值为（） A.1B.21C.32D.9112.用max(a, b, c)表示a, b, c 三个数中的最大值，设函数)0}(10,2,2max{)(≥-+=x x x x f x ，若)(0x f 是)(x f 的最小值，则x 0在区间内（） A.(1,2)B.(2,3)C.(0,1)D.(3,4)第II 卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2018届高三数学二轮复习：数列专题及其答案名师制作优质教学资料

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1q n －1.(4)等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)．(7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n －m .(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .【真题体验】1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【考点突破】考点一、等差（比）的基本运算1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

2019高考数学(理科)二轮复习(全国通用版)：回扣4 数列Word版含答案

回扣4数列1．牢记概念与公式等差数列、等比数列2.活用定理与结论(1)等差、等比数列{a n}的常用性质(2)判断等差数列的常用方法①定义法a n＋1－a n＝d(常数)(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．②通项公式法a n＝pn＋q(p，q为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．③中项公式法2a n＋1＝a n＋a n＋2(n∈N*)⇔{a n}是等差数列．④前n项和公式法S n＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)判断等比数列的常用方法①定义法a n＋1a n＝q(q是不为0的常数，n∈N *)⇔{an}是等比数列．②通项公式法a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． ③中项公式法a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列． 3．数列求和的常用方法(1)等差数列或等比数列的求和，直接利用公式求和．(2)形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列，利用错位相减法求和． (3)通项公式形如a n ＝c (an ＋b 1)(an ＋b 2)(其中a ，b 1，b 2，c 为常数)用裂项相消法求和．(4)通项公式形如a n ＝(－1)n ·n 或a n ＝a ·(－1)n (其中a 为常数，n ∈N *)等正负项交叉的数列求和一般用并项法．并项时应注意分n 为奇数、偶数两种情况讨论．(5)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列． (6)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .1．已知数列的前n 项和求a n ，易忽视n ＝1的情形，直接用S n －S n －1表示．事实上，当n ＝1时，a 1＝S 1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．易混淆几何平均数与等比中项，正数a ，b 的等比中项是±ab .3．等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，灵活整体代换进行基本运算．如等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝n ＋12n ＋3，求a n b n 时，无法正确赋值求解．4．易忽视等比数列中公比q ≠0导致增解，易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解．5．运用等比数列的前n 项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论．6．利用错位相减法求和时，要注意寻找规律，不要漏掉第一项和最后一项． 7．裂项相消法求和时，裂项前后的值要相等，如1n (n ＋2)≠1n －1n ＋2，而是1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.8．通项中含有(－1)n 的数列求和时，要把结果写成n 为奇数和n 为偶数两种情况的分段形式．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 13>0，S 14<0，若a k ·a k ＋1<0，则k 等于( ) A ．6B ．7C ．13D ．14 答案 B解析因为{a n }为等差数列，S 13＝13a 7，S 14＝7(a 7＋a 8)，所以a 7>0，a 8<0，a 7·a 8<0，所以k ＝7.2．已知在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝12，则a 5＋a 6等于( ) A ．3B ．15C ．48D ．63 答案 C解析 a 3＋a 4a 1＋a 2＝q 2＝4，所以a 5＋a 6＝(a 3＋a 4)·q 2＝48.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．12 D ．13答案 C解析 ∵a 1>0，a 6a 7<0，∴a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0， ∴S 12>0，S 13<0，∴满足S n >0的最大自然数n 的值为12.4．已知数列{a n }满足13n a ＋＝9·3n a(n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则15793log ()a a a ＋＋等于( ) A ．－13B ．3C ．－3 D.13答案 C解析由已知13n a＋＝9·3n a＝23n a ＋，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列，a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d ) ＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，所以15793log ()a a a ＋＋＝13log 27＝－3.故选C.5．已知正数组成的等比数列{a n }，若a 1·a 20＝100，那么a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在答案 A解析在正数组成的等比数列{a n }中，因为a 1·a 20＝100，由等比数列的性质可得a 1·a 20＝a 7·a 14＝100，那么a 7＋a 14≥2a 7·a 14＝2100＝20，当且仅当a 7＝a 14＝10时取等号，所以a 7＋a 14的最小值为20.6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4(n ∈N *)，则a n 等于( ) A ．2n ＋1B ．2nC ．2n －1D ．2n －2答案 A解析 a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－4－(2a n －4)⇒a n ＋1＝2a n ，再令n ＝1，∴S 1＝2a 1－4⇒a 1＝4， ∴数列{a n }是以4为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝4·2n －1＝2n ＋1，故选A.7．已知等差数列{a n }的公差和首项都不等于0，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3等于( )A ．2B ．3C ．5D ．7 答案 B解析 ∵在等差数列{a n }中，a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d ，∵d ≠0，∴d ＝a 1，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝15a 15a 1＝3，故选B.8．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，若a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)(n ∈N *)，则S 20等于( ) A ．31 B ．122 C ．324 D ．484答案 B解析由题意可知，因为a n (4＋cos n π)＝n (2－cos n π)，所以a 1＝1，a 2＝25，a 3＝3，a 4＝45，a 5＝5，a 6＝65，…，所以数列{a n }的奇数项构成首项为1，公差为2的等差数列，偶数项构成首项为25，公差为25的。

2018年高考数学二轮复习第三部分专题二回扣溯源查缺补漏——考前提醒4 数列与不等式讲义

x21＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值．
[回扣问题 6] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则 y＝1a＋4b 的最小值是________．
解析：因为 a>0，b>0，a＋b＝1，所以 y＝1a＋4b·(a＋b)＝5＋ba＋4ba≥9，当且仅当 b＝ 2a 时等号成立．答案：9
x－2y＋4＝，
由
得 A(2，3)，
3x－y－3＝0，
|0＋0－2|
所以 dmax＝|OA|＝ 22＋32＝ 13，dmin＝
＝ 2＋12
2 5.
则 d2 的最小值为45，最大值为 13，
所以 x2＋y2 的取值范围是45，13. 答案：45，13
8．对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求 Sn 时，切莫忘记讨论 n 的奇偶性；遇到已知 an＋1－an－1＝d 或aann＋－11＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分 n 的奇偶性讨论．
[回扣问题 8] (2015·山东卷改编)若 an＝2n－1，且 bn＝(－1)n－1an4ann＋1，则数列{bn}的前 n 项和 Tn＝________．
解析：bn＝(－1)n－1an4ann＋1＝(－1)n－12n1－1＋2n1＋1，
当 n 为偶数时，Tn＝1＋13－13＋15＋15＋17－…＋ 2n1－3＋2n1－1－2n1－1＋2n1＋1，
1．已知数列的前 n 项和 Sn 求 an，易忽视 n＝1 的情形，直接用 Sn－Sn－1 表示．事实上，当 n＝1 时，a1＝S1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1.
[回扣问题 1] 已知数列{an}对任意的 n∈N*都满足 a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n，则数列{an}的通项公式为________．

(完整word)2018届高三年级数学二轮复习_数列专题与答案

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d .(2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1q n －1. (4)等比数列前n 项和公式： S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)．(7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m q n －m .(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .【真题体验】1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【考点突破】考点一、等差（比）的基本运算1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

2018届高考数学(理)二轮复习讲义：指导2 回扣溯源,查缺补漏,考前提醒

专题研读解决“会而不对，对而不全”问题是决定高考成败的关键，高考数学考试中出现错误的原因很多，其中错解类型主要有：知识性错误，审题或忽视隐含条件错误，运算错误，数学思想、方法运用错误，逻辑性错误，忽视等价性变形错误等.下面我们分几个主要专题对易错的知识点和典型问题进行剖析，为你提个醒，力争做到“会而对，对而全”.溯源回扣一集合与常用逻辑用语1.描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素.如：{x|y ＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集.[回扣问题1]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝________.2.遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况.[回扣问题2]设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是____________.3.注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值.[回扣问题3]已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝1－x}，集合B＝{x|0≤x≤2}，则(∁I A)∪B等于()A.[1，＋∞)B.(1，＋∞)C.[0，＋∞)D.(0，＋∞)4.“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否命题p的结论.[回扣问题4]已知实数a，b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题是________，命题的否定是________.5.要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .[回扣问题5] (2017·天津卷)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.含有量词的命题的否定，不仅是把结论否定，而且要改写量词，全称量词变为存在量词，存在量词变为全称量词.[回扣问题6] 命题p ：∀x ∈R ，e x －x －1>0，则綈p 是________.7.存在性或恒成立问题求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想.[回扣问题7] 若存在a ∈[1，3]，使得不等式ax 2＋(a －2)x －2>0成立，则实数x 的取值范围是________.溯源回扣二函数与导数1.求函数的定义域，关键是依据含自变量x 的代数式有意义来列出相应的不等式(组)求解，如开偶次方根，被开方数一定是非负数；对数式中的真数是正数；列不等式时，应列出所有的不等式，不应遗漏.[回扣问题1] 函数f (x )＝ln x x －1＋x 12的定义域为( ) A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)2.求解与函数、不等式有关的问题(如求值域、单调区间、判断奇偶性、解不等式等)，要注意定义域优先的原则.[回扣问题2] (2017·全国Ⅱ卷改编)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调增区间是________.3.定义域必须关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.函数y ＝f (x )为奇函数，但不一定有f (0)＝0成立.[回扣问题3] 函数f (x )＝ln （1－x 2）|x －2|－2的奇偶性是________. 4.理清函数奇偶性的性质.(1)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；(2)f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)；(3)定义域含0的奇函数满足f(0)＝0.[回扣问题4]若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是________.5.记准函数周期性的几个结论：由周期函数的定义“函数f(x)满足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，则f(x)是周期为a的周期函数”得：(1)函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期T＝2a的周期函数；(2)若f(x＋a)＝1f（x）(a≠0)成立，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f（x）(a≠0)恒成立，则T＝2a；(4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，则T＝2a.[回扣问题5]对于函数f(x)定义域内任意的x，都有f(x＋2)＝－1f（x），若当2<x≤3时，f(x)＝x，则f(2 017)＝________.6.求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连接，可用“和”连接，或用“，”隔开.单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替.[回扣问题6]函数f(x)＝x3－3x的单调增区间是________.7.图象变换的几个注意点.(1)混淆平移变换的方向与单位长度.(2)区别翻折变换：f(x)→|f(x)|与f(x)→f(|x|).(3)两个函数图象的对称.①函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称.②函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称.[回扣问题7](2016·全国Ⅲ卷)函数y＝sin x－3cos x的图象可由函数y＝2sin x 的图象至少向右平移________个单位长度得到.8.不能准确理解基本初等函数的定义和性质.如函数y＝a x(a>0，a≠1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视a x>0；对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)忽视真数与底数的限制条件.[回扣问题8]函数f(x)＝log4(7＋6x－x2)的单调增区间为________.9.分段函数的图象，一定要准确看清楚分界点的函数值.[回扣问题9]已知函数f(x)＝是R上的增函数，则实数k的取值范围是________.10.易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化.[回扣问题10]函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点个数为()A.1B.2C.3D.411.混淆y＝f(x)在某点x0处的切线与y＝f(x)过某点x0的切线，导致求解失误. [回扣问题11](2017·天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________.12.利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)>0，那么f(x)在该区间内为增函数；如果f′(x)<0，那么f(x)在该区间内为减函数；如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，那么f(x)在该区间内为常函数.注意如果已知f(x)为减函数求参数取值范围，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要验证f′(x)是否恒等于0，增函数亦如此.[回扣问题12]若函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函数，则a的取值范围是________.13.对于可导函数y＝f(x)，错以为f′(x0)＝0是函数y＝f(x)在x＝x0处有极值的充分条件.[回扣问题13]若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极小值10，则a＋b＝________.溯源回扣三三角函数与平面向量1.三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P (x ，y )在终边上的位置无关，只由角α的终边位置决定.[回扣问题1] 已知角α的终边经过点P (3，－4)，则sin α＋cos α的值为________.2.求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号.若ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间.[回扣问题2] 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的递减区间是________. 3.在三角函数求值中，忽视隐含条件的制约导致增解.[回扣问题3] 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，则cos β＝________.4.已知三角形两边及一边对角，利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可能有一解、两解或无解.在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B .[回扣问题4] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a ＝1，c ＝ 3.若C ＝π3，则角A ＝________.5.设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，当θ为锐角时，a ·b >0，且a ，b 不同向；故a ·b >0是θ为锐角的必要不充分条件；当θ为钝角时，a ·b <0，且a ，b 不反向，故a ·b <0是θ为钝角的必要不充分条件.[回扣问题5] 已知向量a ＝(2，1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，设a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是____________.6.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.[回扣问题6] 若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA→|，则△ABC 的形状为________.溯源回扣四数列与不等式1.已知数列的前n项和S n求a n，易忽视n＝1的情形，直接用S n－S n－1表示.事实上，当n＝1时，a1＝S1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1.[回扣问题1]已知数列{a n}对任意的n∈N*都满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1a n＝8－5n，则数列{a n}的通项公式为________.2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n和T n，已知S nT n＝n＋12n＋3，求a nb n时，无法正确赋值求解.[回扣问题2]等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S nT n＝3n－12n＋3，则a8b8＝________.3.运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论.一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论.[回扣问题3]设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3＋S6＝S9，则公比q＝________.4.利用等差数列定义求解问题时，易忽视a n－a n－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中，b n＋1b n＝q(常数且q≠0)，忽视n∈N*的条件限制.[回扣问题4](2015·安徽卷改编)已知数列{a n}中，a1＝a2＝1，a n＋1＝a n＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________.5.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a>0，a<0进行讨论.[回扣问题5]若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对x∈R恒成立，则实数m的取值范围是________.6.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝x2＋2＋1x2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值.[回扣问题6]已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝1a＋4b的最小值是________.7.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y－2 x＋2是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1，1)的距离的平方等.[回扣问题7](2016·江苏卷)已知实数x，y满足则x2＋y2的取值范围是________.8.对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求S n时，切莫忘记讨论n的奇偶性；遇到已知a n＋1－a n－1＝d或a n＋1a n－1＝q(n≥2)，求{a n}的通项公式，要注意分n的奇偶性讨论.[回扣问题8](2015·山东卷改编)若a n＝2n－1，且b n＝(－1)n－14na n a n＋1，则数列{b n}的前n项和T n＝________.9.求解不等式、函数的定义域、值域时，其结果一定要用集合或区间表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次项系数符号的影响.溯源回扣五立体几何1.由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线.在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主.[回扣问题1] 在如图所示的空间直角坐标系O －xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).给出编号为①，②，③，④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②2.易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13. [回扣问题2] (2017·郑州质检)某几何体的三视图如图所示，其中侧视图为半圆，则该几何体的体积V ＝________.3.不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错.如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，这是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件.[回扣问题3] 已知m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面.给出下列命题： ①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β.②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n .③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线.④若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ⊄α，n ⊄β，则n ∥α，且n ∥β.⑤若m ，n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α.其中正确的命题序号是________.4.忽视三视图的实、虚线，导致几何体的形状结构理解错误.[回扣问题4] 如图，一个简单凸多面体的三视图的外轮廓是三个边长为1的正方形，则此多面体的体积为____________.5.空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，忽视法向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.[回扣问题5] 如图，四面体ABCD 中，AB ＝1，AD ＝23，BC ＝3，CD ＝2，∠ABC ＝∠DCB ＝π2，则二面角A －BC －D 的大小为________.6.注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系.对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系.[回扣问题6] (2017·广州模拟)如图①，在平面四边形ABCD 中，已知∠A ＝45°，∠C ＝90°，∠ADC ＝105°，AB ＝BD ，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD⊥平面BDC(如图②)，设点E，F分别为棱AC，AD的中点.(1)求证：DC⊥平面ABC；(2)设CD＝a，求三棱锥A－BFE的体积.溯源回扣六平面解析几何1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范围时出错.[回扣问题1]直线x cos θ＋3y－2＝0的倾斜角的范围是________.2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两坐标轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情况.[回扣问题2]已知直线过点P(1，5)，且在两坐标轴上的截距相等，则此直线的方程为________.3.求两条平行线之间的距离时，易忽视两直线x，y的系数相等的条件，而直接代入公式d＝|C1－C2|A2＋B2，导致错误.[回扣问题3]直线3x＋4y＋5＝0与6x＋8y－7＝0的距离为________.4.两圆的位置关系可根据圆心距与半径的关系判定，在两圆相切的关系中，误认为相切为两圆外切，忽视相内切的情形；求圆的切线方程时，易忽视斜率不存在的情形.[回扣问题4](1)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.(2)双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1，顶点为A1，A2，P是双曲线右支上任意一点，则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两圆的位置关系为________.5.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a ，b ，c 三者之间的关系，导致计算错误.[回扣问题5] (2015·广东卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝16.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a <|F 1F 2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.[问题回扣6] 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________.7.由圆锥曲线方程讨论几何性质时，易忽视讨论焦点所在的坐标轴导致漏解.[回扣问题7] 已知椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率等于32，则m ＝________.8. 直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的系数是否为零，判别式Δ≥0的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式Δ≥0”；在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题都应在“Δ>0”下进行.[回扣问题8] (2017·西安调研)已知椭圆W ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为－1，O 为坐标原点.(1)求椭圆W的方程；(2)设斜率为k的直线l与W相交于A，B两点，记△AOB面积的最大值为S k，证明：S1＝S2.溯源回扣七概率与统计1.混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错.[回扣问题1] 从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生检验表中视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为________.2.在独立性检验中，K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）(其中n ＝a ＋b ＋c ＋d )所给出的检验随机变量K 2的观测值k ，并且k 的值越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可能性越大，可以利用数据来确定“X 与Y 有关系”的可信程度.[回扣问题2] 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下的2×2列联表：则至少有).附：K 2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）3.应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意确定各事件是否彼此互斥，并且注意对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.[回扣问题3] 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件A 为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P (A )＝12，P (B )＝16，求出现奇数点或2点的概率之和为________.4.二项式(a ＋b )n 与(b ＋a )n 的展开式相同，但通项公式不同，对应项也不相同，在遇到类似问题时，要注意区分.还要注意二项式系数与项的系数的区别与联系，同时明确二项式系数最大项与展开式系数最大项的不同.[回扣问题4] 设⎝⎛⎭⎪⎫x －2x 6的展开式中x 3的系数为A ，二项式系数为B ，则A ∶B ＝________.5.要注意概率P (A |B )与P (AB )的区别(1)在P (A |B )中，事件A ，B 发生有时间上的差异，B 先A 后；在P (AB )中，事件A ，B 同时发生.(2)样本空间不同，在P (A |B )中，事件B 成为样本空间；在P (AB )中，样本空间仍为Ω，因而有P (A |B )≥P (AB ).[回扣问题5] 设A ，B 为两个事件，若事件A 和B 同时发生的概率为310，在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率为12，则事件A 发生的概率为________.6.正态密度曲线具有对称性，注意X ～N (μ，σ2)时，P (X ≥μ)＝0.5的灵活应用.[回扣问题6] 已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.27.混淆直线方程y ＝ax ＋b 与回归直线y ^＝b ^x ＋a ^系数的含义，导致回归分析中致误.[回扣问题7] (2017·西安调研)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y－b x ，据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元8.几何概型的概率计算中，几何“测度”确定不准而导致计算错误.[回扣问题8] 在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________.9.易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的数学期望和方差公式计算致误.[回扣问题9]现有4人去旅游，旅游地点有A，B两个地方可以选择.但4人都不知道去哪里玩，于是决定通过掷一枚质地均匀的骰子去决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷出其他的则去B地.(1)求这4个人中恰好有1个人去A地的概率；(2)用X，Y分别表示这4个人中去A，B两地的人数，记ξ＝X·Y.求随机变量ξ的分布列与数学期望E(ξ).溯源回扣八复数、程序框图、推理与证明1.复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋b i(a，b∈R)).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.[回扣问题1] 设i 是虚数单位，复数z ＝1＋a i 2＋i为纯虚数，则实数a ＝________. 2.复平面内，复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )对应的点为Z (a ，b )，不是Z (a ，b i)；当且仅当O 为坐标原点时，向量OZ→与点Z 对应的复数相同. [回扣问题2] (2016·北京卷改编)设a ∈R ，若复数z ＝(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于虚轴上，则a ＝________.3.类比推理易盲目机械类比，不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑，应从本质上类比.[回扣问题3] 图①有面积关系：S △P A ′B ′S △P AB ＝P A ′·PB ′P A ·PB，则图②有体积关系：________.4.反证法证明命题进行假设时，应将结论进行否定，特别注意“至少”“至多”的否定要全面.[回扣问题4] 用反证法证明命题：“已知a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是( )A.a ，b 都不能被5整除B.a ，b 都能被5整除C.a ，b 中有一个不能被5整除D.a ，b 中有一个能被5整除5.控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件.在解答这类题目时，易混淆两变量的变化次序，且容易错误判定循环体结束的条件.[回扣问题5] (2017·全国Ⅲ卷)执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为( )A.5B.4C.3D.26.用数学归纳法证明时，易盲目认为n0的起始取值n0＝1，另外注意证明传递性时，必须用n＝k成立的归纳假设.[回扣问题6]设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－a n x－a n＝0有一根为S n －1(n∈N*).(1)求a1，a2；(2)猜想数列{S n}的通项公式，并给出证明.。

2018年高三年级数学二轮复习-数列专题及答案解析

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式(1)等差数列通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)等差数列前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2.(3)等比数列通项公式：a n a 1qn －1.(4)等比数列前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1（q ＝1）a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q （q ≠1）.(5)等差中项公式：2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)． (6)等比中项公式：a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2)． (7)数列{a n }的前n 项和与通项a n 之间的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1）S n －S n －1（n ≥2）.2．重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，a n ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列中，a n ＝a m qn －m.(2)增减性：①等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列． ②等比数列中，若a 1＞0且q ＞1或a 1＜0且0＜q ＜1，则数列为递增数列；若a 1＞0且0＜q ＜1或a 1＜0且q ＞1，则数列为递减数列． 3．易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件． (2)漏掉等比中项：正数a ，b 的等比中项是±ab ，容易漏掉－ab .【真题体验】1．(2015·新课标Ⅰ高考)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和．若S 8＝4S 4，则a 10＝( )A.172 B.192C ．10D ．12 2．(2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12 D.183．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1)已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【考点突破】考点一、等差（比）的基本运算1．(2015·湖南高考)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．2．(2015·重庆高考)已知等差数列{a n }满足a 3＝2，前3项和S 3＝92.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 15，求{b n }的前n 项和T n .考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017·全国1 )记S n 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知S 2=2，S 3=-6.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列。

2018-2019年最新高考总复习数学(理)高三期末教学质量检测及答案解析

2017-2018学年普通高中高三教学质量检测（二）数学（理科）一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．函数1ln(1)y x=-的定义域为（） A ． (,0]-∞ B ．(0,1) C ．(1,)+∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞ 【答案】D2．已知复数(2)1,z i ai a R +=+∈,i 是虚数单位，若z 是纯虚数，则a =（） A ．－2 B ．－12C ．12D 、2 【答案】A3．已知正项等差数列{}n a 中，12315a a a ++=，若1232,5,13a a a +++成等比数列，则10a =（）A ．19B ．20C ．21D ．22 【答案】C4．已知函数sin(2)y x ϕ=+在6x π=处取得最大值，则函数cos(2)y x ϕ=+的图象（） A ．关于点(0)6π,对称 B ．关于点(0)3π,对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】A5．已知直线:20l x y b +-=，圆C ：22(3)4x y -+=，则“0＜b ＜1”是“l 与C 相交”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A6. 已知集合 Q ＝(,)|1040y xx y y x y ⎧≤⎫⎧⎪⎪⎪-≥⎨⎨⎬⎪⎪⎪+-≤⎩⎩⎭，P ＝{}2(,)|2,0x y x py p =>，若P Q ≠∅。

则 p 的最小值为( )A. 2B. 1C.12D.14【答案】C7．下列函数中，a ∀∈R ，都有得()()1f a f a +-=成立的是（） A ．2()ln 1f x x =+ B ．2()cos ()4f x x π=-C ．22(1)()1x f x x -=+ D ．2()21xx f x =-【答案】B8．现从男、女共8名学生干部中选出3名同学(要求3人中既有男同学又有女同学)分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动,共有270 种不同的安排方案,那么8 名学生男、女同学的人数分布可能是( ) A. 男同学1人,女同学7 人 B. 男同学2 人,女同学6 人C. 男同学3 人,女同学5 人D. 男同学4 人,女同学4 人【答案】C9．执行如图的程序框图，若输出i 的值为12，则①、②处可填入的条件分别为（） A ．384,1S i i >=+ B ．384,2S i i ≥=+ C ．3840,1S i i >=+ D ．3840,2S i i ≥=+ 【答案】D10.已知一个几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积为( )S=1,i =2i输出结束开始否是①②S S i =⨯A．233B．433C．3D．23【答案】B11．已知双曲线C 的两条渐近线为l 1 , l 2，过右焦点F 作FB // l 1且交l 2于点B ，过点B 作BA⊥l 2且交l 1于点A .若AF⊥x 轴，则双曲线C 的离心率为( ) ）A．3B．233C．62D．22【答案】B12．定义在( 0, +¥∞) 上的函数f ( x ) 满足:对任意正数a , b ,若f ( a) －f ( b ) = 1 ,则a－b < 1 ,称f ( x ) 是( 0, +∞) 上的“Ⅰ级函数”.给出函数f ( x) = x 3 , g ( x ) = e x , h( x) = x + ln x ,其中“Ⅰ级函数”的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)13．广铁集团针对今年春运客流量进行数据整理,调查广州南站从2 月4 日到2 月8 日的客流量,根据所得数据画出了五天中每日客流量的频率分布图如图3 所示.为了更详细的分析不同时间的客流人群,按日期用分层抽样的方法抽样,若从2 月7 日这个日期抽取了40 人,则一共抽取的人数为________.【答案】20014、定积分220(2)x x dx --⎰的值为＿＿＿＿＿【答案】12π-15.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =-，32n n a S n =+（其中*)n ∈N ，则n S = . 【答案】1(1)(2)6n n n ++ 16．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点Q 边CD 上一个动点，CQ QD λ=，点P 为线段BQ(含端点)上一个动点,若λ= 1 ,则PA PD 的取值范围为【答案】4[,4]5三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 、D 为同一平面上的四个点，且满足2AB =，1BC CD DA ===，设BAD θ∠=，ABD ∆的面积为S ，BCD ∆的面积为T ．（1）当3πθ=时，求T 的值；（2）当S T =时，求cos θ的值；【解析】（1）在ABC ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD θ=+-⋅2211221232=+-⨯⨯⨯=，在BCD ∆中，由余弦定理得222cos 2BC CD BD BCD BC CD+-∠=⋅22211(3)12112+-==-⨯⨯，∵(0,180)BCD ∠∈，∴cos 60BCD ∠=． ∴1133sin 112224T BC CD BCD =⋅∠=⨯⨯⨯=．（2）1sin sin 2S AD AB BCD θ=⋅∠=．2222cos 54cos BD AB AD AB AD θθ=+-⋅=-,2224cos 3cos 22BC CD BD BCD BC CD θ+--∠==⋅,11sin sin 22T BC CD BCD BCD =⋅∠=∠,∵S T =,∴1sin sin 2BCD θ=∠, ∴2224cos 34sin sin 1cos 1()2BCD BCD θθ-=∠=-∠=-, ∴7cos 8θ=．18．（本小题满分12分）从2016年1月1日起，广东、湖北等18个保监局所辖地区将纳入商业车险改革试点范围，其中最大的变化是上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：上一年的出险次数 0 1 2 3 4 5次以上（含5次）下一年保费倍率85%100%125%150%175%200%连续两年没有出险打7折，连续三年没有出险打6折经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(,)x y （其中x （万元）表示购车价格，y （元）表示商业车险保费）：(8,2150)、(11,2400)、(18,3140)、(25,3750)、(25,4000)、(31,4560)、(37,5500)、(45,6500)，设由这8组数据得到的回归直线方程为：1055y bx =+．（1）求b ； (Ⅱ) 有评估机构从以往购买了车险的车辆中随机抽取1000 辆调查,得到一年中出险次数的频数分布如下(并用相应频率估计车辆2016 年度出险次数的概率):广东李先生2016 年1月购买一辆价值20 万元的新车.根据以上信息,试估计该车辆在2017 年1月续保时应缴交的保费(精确到元),并分析车险新政是否总体上减轻了车主负担.(假设车辆下一年与上一年都购买相同的商业车险产品进行续保）【解析】（1）1200(811182525313745)2588x =+++++++==万元， 13200(21502400314037504000456055006500)400088y =+++++++==元，直线1055y bx =+经过样本中心(,)x y ，即(25,4000)． ∴105540001055117.825y b x---===．(Ⅱ)设该车辆2017 年的保费倍率为X ,则X 为随机变量, X 的取值为0.85 ,1,1.25 ,1.5 ,1.75 , 2 . ………7 分且 X 的分布列为计算得下一年保费的期望倍率为EX ＝0.85×0.5＋1×0.38+ 1.25×0.1 +1.5×0.015 +1.75×0.004 + 2×0.001 = 0.9615 … 10 分该车辆估计2017年应缴保费为:(1 17.8× 20 +1055) × 0.9615 = 3279.677 ≈3280 元. … 11 分因0.96 < 1 (或3280 < 3411 ),基于以上数据可知,车险新政总体上减轻了车主负担.… 12 分19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A BC D -中，60,,BAD AB BD BC CD ∠===．（1）求证：平面11ACC A ⊥平面1A BD ；（2）若BC CD ⊥,直线BC 与平面A1BD 所成的角能否为45°？并说明理由．【解析】（1）证明：∵,60AB BD BAD =∠=， ∴ABD ∆为正三角形，∴AB AD =． ∵CB CD =,AC 为公共边， ∴ABC ADC ∆≅∆．∴CAB CAD ∠=∠,∴AC BD ⊥．∵四棱柱1111ABCD A BC D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，∴1AA BD ⊥． ∵1AC AA A =，∴BD ⊥平面11ACC A ．∵BD ⊂平面1A BD ，∴平面1A BD ⊥平面11ACC A ．（2）ABCD A 1C 1B 1D 1设AC BD= O ,以O为原点,建立空间直角坐标系O- xyz 如图所示,不妨设AB = 2 , AA1 = h ( h > 0 ),则OA = 3, OB = OD = OC = 1 ,设平面A1 BD 的法向量为n = ( x, y, z ) ,则若直线BC 与平面A1 BD 所成的角为45°,则故直线BC 与平面A1 BD 所成的角不可能为45° .…12 分20．（本小题满分12分）已知点C 是圆F : ( x -1) 2 + y 2 = 16 上任意一点,点F'与点F 关于原点对称.线段CF'的中垂线与CF 交于P 点.(Ⅰ) 求动点P 的轨迹方程E ；(Ⅱ) 设点A ( 4,0 ) ,若直线PQ ⊥x 轴且与曲线E 交于另一点Q,直线AQ 与直线PF 交于点B .(1) 证明:点B 恒在曲线E 上；(2) 求△PAB 面积的最大值．所以点B 恒在椭圆E 上.…………………………8 分21．（本小题满分12分）设函数()ln (0)f x ax b x x a =+->，函数22()1x g x x =+．若直线 y = e - x 是曲线C :y = f ( x ) 的一条切线,其中e 是自然对数的底数,且 f ( 1) = 1 . (Ⅰ) 求a , b 的值；(Ⅱ) 设0 < n < m < 1 ,证明: f ( m) > g ( n )选做题：请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，点,,,A B D E在O上，ED、AB的延长线交于点C，AD、BE交于点F，AE EB BC==．（1）证明：DE BD=；（2）若2DE=，4AD=，求DF的长．【解析】（1）证明：∵EB BC=，∴C BEC∠=∠．∵BED BAD∠=∠，∴C BED BAD∠=∠=∠．∵2EBA C BEC C∠=∠+∠=∠，AE EB=，∴2EAB EBA C∠=∠=∠，又C BAD∠=∠．∴EAD C∠=∠，∴BAD EAD∠=∠．∴DE BD=．（2）由（1）知EAD C FED∠=∠=∠，∵EAD FDE∠=∠，∴EAD∆∽FED∆，∴DE ADDF ED=．∵2DE=，4AD=，∴1DF=．FCODBEA23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程为4sin()3πρθ=-,以极点为原点, 极轴为x 轴正半轴，建立直角坐标系xOy ．（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线C 上，点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ（其中)ϕ∈R ，求PQ 的最大值．【解析】（1）∵4sin()3πρθ=-，∴4(sin coscos sin )33ππρθθ=-， ∴22sin 23cos ρρθρθ=-，∴曲线C 的直角坐标方程为222320x y x y ++-=．（2）曲线C 可化为22(3)(1)4x y ++-=， ∴曲线C 是圆心，半径为2的圆， ∵点Q 的直角坐标是(cos ,sin )ϕϕ， ∴点Q 在圆O ：221x y +=，∴125PQ OC ≤++=，即PQ 的最大值为5．24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()32,f x x x t t =-++∈R ．（1）当1t =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在实数a 满足()32f a a +-<，求t 的取值范围．【解析】（1）当1t =时，()321f x x x =-++，由()5f x ≥，得3215x x -++≥，∴35122x x ⎧-≥<⎪⎨⎪-⎩，或13254x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+⎩≥，或3325x x ≥>⎧⎨-⎩，解得1x ≤-或13x ≤≤或3x >， ∴原不等式的解集为(,1][1,)-∞-+∞．（2）()3232f x x x x t +-=-++(26)(2)6x x t t ≥--+=+，∵原命题等价于min (()3)2f x x +-<， ∴62t +<，解得84t -<<-，∴t 的取值范围是(8,4)--．。

2018年高三数学(理科)二轮复习完整版

专题限时集训 (一)A
基础演练
[ 第 1 讲集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
1．设 U＝ {1 ， 2， 3， 4， 5} ， A＝ {1 ， 5} ， B＝{2 ， 4} ，则 B∩ (?UA)＝ ( )
A ． {2 ， 3， 4}
B ． { 2}
C． {2 ， 4}
专题限时集训 (一 )B
[ 第 1 讲集合与常用逻辑用语 ] (时间： 5 分钟＋ 30 分钟 )
基础演练
1．已知全集 U＝ R ，A＝ { x|x≤ 0} ，B＝ { x|x≥ 1} ，则集合 ?U(A∪ B) ＝( )
A ． { x|x≥ 0}
B ． { x|x≤ 1}
C． { x|0≤ x≤ 1}
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
4．已知集合 M ＝ { x|－ 2≤ x<2} ，N＝{ x|y＝ log 2(x－ 1)} ，则 M ∩ N＝ ( )
A ． { x|－ 2≤ x<0}
B ． { x|－ 1< x<0}
C． { x|1<x<2}
形成系统化、条理化的知识框架．四是看练习检测与高考是否对路，不拔高，不降低，难度适宜，效度良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法．二、时间安排：
1．第一阶段为重点主干知识的巩固加强与数学思想方法专项训练阶段，月 30 日。
时间为 3 月 10—— 4
2．第二阶段是进行各种题型的解题方法和技能专项训练，时间为
7.试卷讲评随意，对答案式的讲评。对答案式的讲评是影响讲评课效益的大敌。评讲的较好做法应该为，讲评前认真阅卷，讲评时将归类、纠错、变式、辩论等方式相结合，抓错误点、失分点、模糊点，剖析根源，彻底矫正。四、在第二轮复习过程中，我们安排如下： 1. 继续抓好集体备课。每周一次的集体备课必须抓落实，发挥集体智慧的力量研究数学高考的动向，学习与研究《考试大纲》，注意哪些内容降低要求，哪些内容成为新的高考热点，每周一次研究课。 2．安排好复习内容。 3．精选试题，命题审核。 4．测试评讲，滚动训练。 5．精讲精练：以中等题为主。

2018-2019年最新最新高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析

高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．765．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=211．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．212．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.63520．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求）1．设集合A={﹣1，0，1，2，3}，B={x|x2﹣2x＞0}，则A∩B=（）A．{3} B．{2，3} C．{﹣1，3} D．{0，1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．解答：解：由B中不等式变形得：x（x﹣2）＞0，解得：x＜0或x＞2，即B={x|x＜0或x＞2}，∵A={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，3}，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．在复平面内，复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=（）A．2+i B．2﹣i C．﹣2+i D．﹣2﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，又复数z与的对应点关于虚轴对称，则z=2﹣i．故选：B．点评：本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．}的公差为d，解答：解：设等差数列{an∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．4．执行如图的程序框图，若输入的a=209，b=76，则输出的a 是（）A．19 B．3 C．57 D．76考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，c 的值，当b=0时满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=209，b=76c=57a=76，b=57，不满足条件b=0，c=19，a=57，b=19不满足条件b=0，c=0，a=19，b=0满足条件b=0，退出循环，输出a的值为19．故选：A．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模，本题属于基础知识的考查．5．设a=log3π，b=logπ3，c=cos3，则（）A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数函数与指数函数、三角函数的单调性即可得出．解答：解：∵a=log3π＞1，0＜b=logπ3＜1，c=cos3＜0，∴a＞b＞c．故选：D．点评：本题考查了对数函数与指数函数、三角函数的单调性，属于基础题．6．函数y=4sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π）部分图象如图，其中点A（，0），B（，0），则（）A．ω=，φ=﹣ B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=﹣D．ω=1，φ=﹣考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：结合图象，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．解答：解：由函数的图象可得==﹣，∴ω=．再根据五点法作图可得•+φ=0，求得φ=﹣，故选：C．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．7．设实数x，y满足约束条件，则z=的取值范围是（）A．[，1] B．[，] C．[，] D．[，]考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：z=的几何意义为区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知AD的斜率最大，BD的斜率最小，由，解得，即A（，），此时z==，由，解得，即B（），此时z==，故z=的取值范围是[，]，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及直线斜率公式是解决本题的关键．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体．解答：解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V1=1×1=1；三棱锥的底面是等腰直角三角形，其面积S=×1×2=1，高为1；故其体积V2=×1×1=；故该几何体的体积V=V1+V2=；故选：A．点评：三视图中长对正，高对齐，宽相等；由三视图想象出直观图，一般需从俯视图构建直观图，本题考查了学生的空间想象力，识图能力及计算能力．9．一种团体竞技比赛的积分规则是：每队胜、平、负分别得2分、1分、0分，已知甲球队已赛4场，积4分，在这4场比赛中，甲球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有（）A．7种B．13种C．18种D．19种考点：计数原理的应用．专题：应用题；排列组合．分析：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，即可得出结论．解答：解：由题意4=1+1+2+0=2+2+0+0=1+1+1+1，所以球队胜、平、负（包括顺序）的情况共有++1=19种，故选：D．点评：本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．10．在△ABC中，AB=2BC，以A，B为焦点，经过C的椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则（）A．﹣=1 B．﹣=2C．﹣=1 D．﹣=2考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，再通过椭圆及双曲线的基本概念即可得到答案．解答：解：以AB所在直线为x轴，其中点为原点，建立坐标系，则A（﹣1，0），B（1，0），C（1+cosθ，sinθ），所以AC==，对于椭圆而言，2c=2，2a=AC+BC=+1，所以==；对于双曲线而言，2c=2，2a=AC﹣BC=﹣1，所以==；故﹣=﹣=1，故选：A．点评：本题考查椭圆、双曲线的概念，建立坐标系是解决本题的关键，属于中档题．11．已知函数f（x）=﹣，g（x）=xcosx﹣sinx，当x∈[﹣3π，3π]时，方程f（x）=g（x）根的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．2考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：先对两个函数分析可知，函数f（x）与g（x）都是奇函数，且f（x）是反比例函数，g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；从而作出函数的图象，由图象求方程的根的个数即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=﹣在[﹣3π，3π]是奇函数且是反比例函数，g（x）=xcosx﹣sinx在[﹣3π，3π]是奇函数；g′（x）=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx；故g（x）在[0，π]上是减函数，在[π，2π]上是增函数，在[2π，3π]上是减函数，且g（0）=0，g（π）=﹣π；g（2π）=2π；g（3π）=﹣3π；故作函数f（x）与g（x）在[﹣3π，3π]上的图象如下，结合图象可知，有6个交点；故选：B．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的图象的性质应用，同时考查了函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．12．已知圆C：x2+y2=1，点M（t，2），若C上存在两点A，B满足=，则t的取值范围是（）A．[﹣2，2] B．[﹣3，3] C．[﹣，] D．[﹣5，5]考点：椭圆的简单性质．专题：平面向量及应用．分析：通过确定A是MB的中点，利用圆x2+y2=1的直径是2，可得MA≤2，即点M到原点距离小于等于3，从而可得结论．解答：解：如图，连结OM交圆于点D．∵=，∴A是MB的中点，∵圆x2+y2=1的直径是2，∴MA=AB≤2，又∵MD≤MA，OD=1，∴OM≤3，即点M到原点距离小于等于3，∴t2+4≤9，∴≤t≤，故选：C．点评：本题考查向量知识的运用，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知||=，||=2，若（+）⊥，则与的夹角是150°．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件即可得到，所以根据进行数量积的运算即可得到3，所以求出cos＜＞=，从而便求出与的夹角．解答：解：∵；∴=；∴；∴与的夹角为150°．故答案为：150°．点评：考查两非零向量垂直的充要条件，以及数量积的计算公式，向量夹角的范围．14．设S n是数列{a n}的前n项和，a n=4S n﹣3，则S4= ．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：a n=4S n﹣3，当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，利用等比数列的通项公式即可得出．解答：解：∵a n=4S n﹣3，∴当n=1时，a1=4a1﹣3，解得a1=1．当n≥2时，S n﹣S n﹣1=4S n﹣3，化为，∴数列是等比数列，首项为，公比为﹣，∴=．令n=4，则S4=+=．故答案为：．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了变形能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PBC都是等边三角形，侧面PBC⊥底面ABC，AB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为20π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，求出x，可得r，即可求出该三棱锥的外接球的表面积．解答：解：由题意，等边三角形的高为3，设球心到底面的距离为x，则r2=22+x2=12+（3﹣x）2，所以x=1，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πr2=20π．故答案为：20π．点评：本题考查求三棱锥的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定球的半径是关键．16．曲线+=1与两坐标轴所围成图形的面积是．考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：首先由题意，画出图象，然后利用定积分表示面积解答：解：曲线+=1，即y=（1﹣）2即图象与两坐标轴围成的图形如图阴影部分其面积为（1﹣）2dx=（1﹣2+x）dx=（+x）|=；故答案为：点评：本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积；关键是正确利用定积分表示面积，然后计算．三、解答题（本大题共70分，其中17-21题为必考题，22-24题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2（a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．考点：余弦定理；正弦定理．专题：三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ）由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=，又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．解答：解：（Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2）=a2+c2﹣b2+bc．…（2分）整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（4分）（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=BD•sinB，∠DAC=．…（6分）在△ACD中，有=，又因为BD=3CD，所以3sinB=2sinC，…（9分）由B=﹣C得cosC﹣sinC=2sinC，…（11分）整理得tanC=．…（12分）点评：本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，三角函数恒等变换的应用，综合性较强，属于基本知识的考查．18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，M，N分别是棱PC，AB的中点，且MN⊥CD．（Ⅰ）求证：AD⊥CD；（Ⅱ）若AB=AD，求直线MN与平面PBD所成角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用．分析：（Ⅰ）取PD边中点E，连接AE，EM，根据MN⊥CD 容易得到CD⊥AE，而根据已知条件可以说明PO⊥平面ABCD，从而得到CD⊥PO，这样CD就垂直于平面PAD内两条相交直线，由线面垂直的判定定理从而得到AD⊥CD；（Ⅱ）取BC中点F，连接OF，由（Ⅰ）便可知道OA，OF，OP三条直线两两垂直，从而可分别以这三条直线为x，y，z轴，可设AB=2，这样即可求得图形中一些点的坐标．从而求出向量的坐标，这时候设平面PBD的法向量为，根据即可求出的坐标，若设MN和平面PBD所成角为θ，从而根据sinθ=即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）证明：如图，取PD中点E，连AE，EM，则EM∥AN，且EM=AN；∴四边形ANME是平行四边形，MN∥AE；∵MN⊥CD，∴AE⊥CD，即CD⊥AE；取AD中点O，连PO，△PAD是等边三角形，则PO⊥AD；又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD；∴PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，即CD⊥PO；故CD⊥平面PAD，AD⊂平面PAD；∴CD⊥AD，即AD⊥CD；（Ⅱ）由AB=AD，AD⊥CD，得▱ABCD是正方形；取BC边的中点F，连接OF，则分别以OA，OF，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系；设AB=2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），P（0，0，），E（﹣，0，）；=（2，2，0），=（1，0，）；设平面PBD的法向量，则：；∴；∴，取z=1，∴；==（，0，﹣）；设直线MN与平面PBD所成的角为θ，则：sinθ=|cos＜，＞|==．点评：考查面面垂直的性质定理，线面垂直的判定定理，以及建立空间直角坐标系，利用向量解决直线和平面所成角的问题，能求空间点的坐标，注意线面角和直线和平面法向量所成角的关系，以及向量夹角余弦的坐标公式．19．某市工业部门计划对所辖中小型工业企业推行节能降耗技术改造，对所辖企业是否支持改造进行问卷调查，结果如下表：支持不支持合计中型企业80 40 120小型企业240 200 440合计320 240 560（Ⅰ）能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关？（Ⅱ）从上述320家支持节能降耗改造的中小企业中按分层抽样的方法抽出12家，然后从这12家中选出9家进行奖励，分别奖励中、小企业每家50万元、10万元，记9家企业所获奖金总数为X万元，求X的分布列和期望．附：K2=P（K2≥k0）0.050 0.025 0.010k0 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验的应用．专题：应用题；概率与统计．分析：（Ⅰ）由题意知根据表中所给的数据，利用公式可求K2的值，从临界值表中可以知道K2＞5.024，根据临界值表中所给的概率得到与本题所得的数据对应的概率是0.025，得到结论；（Ⅱ）按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．X 的可能取值为90，130，170，210，求出相应的概率，即可求出X的分布列和期望．解答：解：（Ⅰ）K2=≈5.657，因为5.657＞5.024，所以能在犯错概率不超过0.025的前提下认为“是否支持节能降耗技术改造”与“企业规模”有关．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知“支持”的企业中，中小企业家数之比为1：3，按分层抽样得到的12家中，中小企业分别为3家和9家．设9家获得奖励的企业中，中小企业分别为m家和n家，则（m，n）可能为（0，9），（1，8），（2，7），（3，6）．与之对应，X的可能取值为90，130，170，210．…（6分）P（X=90）=，P（X=130）=，P（X=170）=，P（X=210）=，…（10分）分布列表如下：X 90 130 170 210P期望EX=90×+130×+170×+210×=180．…（12分）点评：本题考查独立性检验的应用，考查X的分布列和期望，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知抛物线E：x2=4y，m、n是过点A（a，﹣1）且倾斜角互补的两条直线，其中m与E有唯一公共点B，n与E相交于不同的两点C，D．（Ⅰ）求m的斜率k的取值范围；（Ⅱ）是否存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：抛物线的简单性质．专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x﹣a），代入抛物线方程，运用判别式等于0和大于0，解不等式即可得到k的范围；（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），代入直线方程，由条件结合二次方程的韦达定理，再由判别式为0，即可判断．解答：解：（Ⅰ）设直线m：y+1=k（x﹣a），n：y+1=﹣k（x ﹣a），分别代入x2=4y，得x2﹣4kx+4ka+4=0（1），x2+4kx﹣4ka+4=0（2），由△1=0得k2﹣ka﹣1=0，＞0得k2+ka﹣1＞0，由△2故有2k2﹣2＞0，得k2＞1，即k＜﹣1，或k＞1．（Ⅱ）假设存在常数λ，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2，设B（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），则（y1+1）（y2+1）=λ（y0+1）2．将y1+1=﹣k（x1﹣a），y2+1=﹣k（x2﹣a），y0+1=k（x0﹣a）代入上式，得（x1﹣a）（x2﹣a）=λ（x0﹣a）2，即x1x2﹣a（x1+x2）+a2=λ（x0﹣a）2．由（2）得x1+x2=﹣4k，x1x2=﹣4ka+4，由（1）得x0=2k，代入上式，得4+a2=λ（4k2﹣4ka+a2）．又△1=0得k2﹣ka﹣1=0，即4k2﹣4ka=4，因此4+a2=λ（4+a2），λ=1．故存在常数λ=1，使得|AC|•|AD|=λ|AB|2．点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线和抛物线方程联立，运用判别式和韦达定理，考查运算化简的能力，属于中档题．21．设函数f（x）=x++alnx，g（x）=x++（﹣x）lnx，其中a∈R．（Ⅰ）证明：g（x）=g（），并求g（x）的最大值；（Ⅱ）记f（x）的最小值为h（a），证明：函数y=h（a）有两个互为相反数的零点．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数零点的判定定理；利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用已知函数g（x）的解析式，分别计算g（），g（x），可得两者相等；再利用g′（x）求得最大值；（Ⅱ）利用f′（x）可得f（x）的最小值h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t），由（Ⅰ）可知g（）＜0，g（1）＞0，利用函数零点的判定定理即得结论．解答：解：（Ⅰ）∵g（）=+x+（x﹣）ln=x++（﹣x）lnx，∴g（x）=g（），则g′（x）=﹣（1+）lnx，当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减．所以g（x）的最大值为g（1）==2．（Ⅱ）∵f（x）=x++alnx，∴f′（x）=1﹣+=．令f′（x）=0，即x2+ax﹣1=0，则△=a2+4＞0，不妨取t=＞0，由此得：t2+at﹣1=0或写为：a=﹣t．当x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．从而f（x）的最小值为f（t）=t++alnt=t++（﹣t）lnt，即h（a）=t++（﹣t）lnt=g（t）（或h（a）=+aln）．由（Ⅰ）可知g（）=g（e2）=﹣e2＜0，g（1）=2＞0，分别存在唯一的c∈（0，1）和d∈（1，+∞），使得g（c）=g （d）=0，且cd=1，因为a=﹣t（t＞0）是t的减函数，所以y=h（a）有两个零点a1=﹣d和a2=﹣c，又﹣d+﹣c=﹣（c+d）=0，所以y=h（a）有两个零点且互为相反数．点评：本题考查利用导数判断函数的单调性及零点判定定理，考查转化与化归思想、运算求解能力、数据处理能力和推理论证能力．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB为圆O的直径，PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，延长BA，PC相交于点D．（Ⅰ）证明：AC∥OP；（Ⅱ）若CD=2，PB=3，求AB．考点：与圆有关的比例线段；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）利用切割线定理，可得PB=PC，且PO平分∠BPC，可得PO⊥BC，又AC⊥BC，可得AC∥OP；（Ⅱ）由切割线定理得DC2=DA•DB，即可求出AB．解答：（Ⅰ）证明：因PB，PC分别与圆O相切于B，C两点，所以PB=PC，且PO平分∠BPC，所以PO⊥BC，又AC⊥BC，即AC∥OP．…（4分）（Ⅱ）解：由PB=PC得PD=PB+CD=5，在Rt△PBD中，可得BD=4．则由切割线定理得DC2=DA•DB，得DA=1，因此AB=3．…（10分）点评：本题考查切割线定理，考查学生分析解决问题的能力，正确运用切割线定理是关键．【选修4-4：极坐标与参数方程】23．在极坐标系中，曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），l：ρcos（θ﹣）=，C与l有且仅有一个公共点．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）O为极点，A，B为C上的两点，且∠AOB=，求|OA|+|OB|的最大值．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（I）把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质即可得出a；（II）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函数的单调性即可得出．解答：解：（Ⅰ）曲线C：ρ=2acosθ（a＞0），变形ρ2=2ρacos θ，化为x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．∴曲线C是以（a，0）为圆心，以a为半径的圆；由l：ρcos（θ﹣）=，展开为，∴l的直角坐标方程为x+y﹣3=0．由直线l与圆C相切可得=a，解得a=1．（Ⅱ）不妨设A的极角为θ，B的极角为θ+，则|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），当θ=﹣时，|OA|+|OB|取得最大值2．点评：本题考查了把圆与直线的极坐标方程分别化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、极坐标方程的应用、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）=|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为m．（Ⅰ）求m；（Ⅱ）若a，b，c∈（0，+∞），a2+2b2+c2=m，求ab+bc的最大值．考点：绝对值不等式的解法；基本不等式．专题：计算题；分类讨论；不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）运用零点分区间，讨论x的范围，去绝对值，由一次函数的单调性可得最大值；（Ⅱ）由a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2），运用重要不等式，可得最大值．解答：解：（Ⅰ）当x≤﹣1时，f（x）=3+x≤2；当﹣1＜x＜1时，f（x）=﹣1﹣3x＜2；当x≥1时，f（x）=﹣x﹣3≤﹣4．故当x=﹣1时，f（x）取得最大值m=2．（Ⅱ）a2+2b2+c2=（a2+b2）+（b2+c2）≥2ab+2bc=2（ab+bc），当且仅当a=b=c=时，等号成立．此时，ab+bc取得最大值=1．点评：本题考查绝对值不等式的解法和运用，主要考查分类讨论的思想方法和重要不等式的解法，属于中档题．。

2019年高考数学大二轮复习第三篇考前回扣查缺补漏回扣落实四数列与不等式课件理

x－2y＋4＝0， [回扣问题 5] 已知实数 x，y 满足2x＋y－2≥0，
3x－y－3≤0，则 x2＋y2 的取值范围是________．
答案 45，13
6．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即 “一正、二定、三相等”导致错解，如求函数 f(x)＝
x2＋2＋ x21＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数 y＝x＋3x(x＜0)时应先转化正数再求解．
[回扣问题 6] 已知 a>0，b>0，a＋b＝1，则 y＝1a＋ 4b的最小值是________．
答案 9
[回扣问题 4] 若 an＝2n－1，且 bn＝(－1)n－1an4ann＋1，
则数列{bn}的前 n 项和 Tn＝________．
答案
Tn＝121＋ n＋2＋n22nn2（（nn为为偶奇数数）），
5．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如xy－＋22是指已知区域内的点(x， y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2)的距离的平方等．
[回扣问题 3] 已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝ an＋12(n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于________．
答案 23
4．对于通项公式中含有(－1)n 的一类数列，在求 Sn 时，切莫忘记讨论 n 的奇偶性；遇到已知 an＋1－an－1 ＝d 或aann＋－11＝q(n≥2)，求{an}的通项公式，要注意分 n 的奇偶性讨论．
2．运用等比数列的前n项和公式时，易忘记分类讨论．一定分q＝1和q≠1两种情况进行讨论．
[回扣问题2] 设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3 ＋S6＝S9，则数列{an}的公比q＝________．
答案 1或－1

2018届高考数学理科二轮总复习练习：第四篇回归教材

4.数列、不等式1．等差数列及其性质(1)等差数列的判定：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1 (n ≥2)． (2)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．⑤⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列． [问题1] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为________．答案 152．等比数列及其性质(1)等比数列的判定：a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．(2)等比数列的性质①当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p . ②S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k (S k ≠0)成等比数列．[问题2] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)103．求数列通项的常见类型及方法(1)已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳、猜想法．(2)如果给出的递推关系式符合等差或等比数列的定义，可直接利用等差或等比数列的公式写出通项公式．(3)若已知数列的递推公式为a n ＋1＝a n ＋f (n )，可采用累加法．(4)数列的递推公式为a n ＋1＝a n ·f (n )，则采用累乘法．(5)已知S n 与a n 的关系，利用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 ，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，求a n .(6)构造转化法：转化为等差或等比数列求通项公式．[问题3] 已知f (x )是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (xy )＝xf (y )＋yf (x )成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________. 答案 n ·2n解析令x ＝2，y ＝2n －1，则f (xy )＝f (2n )＝2f (2n －1)＋2n －1f (2)，即a n ＝2a n －1＋2n ，a n 2n ＝a n －12n －1＋1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，由此可得a n2n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝n ·2n .4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．答案 925．如何解含参数的一元二次不等式解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小，也是分大于、等于、小于三种情况．在解一元二次不等式时，一定要画出二次函数的图象，注意数形结合． [问题5] 解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0 (a >0)．解原不等式化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. ∴当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a<x <1；当a ＝1时，不等式的解集为∅. 6．处理二次不等式恒成立的常用方法(1)结合二次函数的图象和性质用判别式法，当x 的取值为全体实数时，一般应用此法． (2)转化为求函数最值问题，如大于零恒成立可转化最小值大于零． (3)能分离变量的，尽量把参变量和变量分离出来． (4)数形结合，结合图形进行分析，从整体上把握图形．[问题6] 如果kx 2＋2kx －(k ＋2)<0恒成立，则实数k 的取值范围是__________．答案 (－1,0]解析当k ＝0时，原不等式等价于－2<0，显然恒成立，所以k ＝0符合题意．当k ≠0时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧k <0，(2k )2－4k ·[－(k ＋2)]<0，解得－1<k <0.所以－1<k ≤0.7．利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正，二定，三相等”．常用技巧：(1)对不能出现定值的式子进行适当配凑． (2)对已知条件的最值可代入(常数代换法)或消元．(3)当题中等号条件不成立，可考虑从函数的单调性入手求最值． [问题7] 若log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是__________．答案 7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，所以3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1.所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫4a ＋3b ＝7＋4b a ＋3a b ≥7＋24b a ·3ab＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab 时取等号．8．解决线性规划问题有三步(1)画：画出可行域(有图象)．(2)变：将目标函数变形，从中抽象出截距或斜率或距离． (3)代：将合适的点代入到原来目标函数中求最值．利用线性规划思想能解决的几类值域(最值)问题 (1)截距型：如求z ＝y －x 的取值范围． (2)条件含参数型：①已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且z ＝y －x 的最小值是－4，则实数k ＝2，②已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y ＋k ≥0，且存在无数组(x ，y )使得z ＝y ＋ax 取得最小值，则实数a ＝12.(3)斜率型：如求y ＋bx ＋a的取值范围．(4)距离型(圆半径平方型R 2)：如求(x －a )2＋(x －b )2的取值范围． [问题8] 已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0.若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝________.答案 2解析画出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则最优解为x ＝1，y ＝1或x ＝2，y ＝0，经检验知x ＝2，y ＝0符合题意，所以2a ＋0＝4，此时a ＝2.易错点1 忽视等比数列中q 的范围例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列{a n }的公比q ＝________.易错分析没有考虑等比数列求和公式S n ＝a 1(1－q n )1－q 中q ≠1的条件，本题中q ＝1恰好符合题目条件．解析 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立．②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9，得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q .∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求S n ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.易错分析要去掉|a n |的绝对值符号，要考虑a n 的符号，对n 不讨论或讨论不当容易导致错误．解 a n ＝21－4(n －1)＝25－4n . 令a n ≥0，得n ≤6，n ∈Z . 当n ≤6时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－2n 2＋23n ；当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝2n 2－23n ＋132.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n ，n ≤6，2n 2－23n ＋132，n ≥7.易错点3 已知S n 求a n 时忽略n ＝1例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，求数列{a n }的通项a n . 易错分析 a n ＝S n －S n －1成立的条件是n ≥2，若忽略对n ＝1时的验证则出错．解因为a n ＋1＝2S n ，所以S n ＋1＝3S n ，所以S n ＋1S n ＝3.因为S 1＝a 1＝1，所以数列{S n }是首项为1、公比为3的等比数列，S n ＝3n －1 (n ∈N *)．所以当n ≥2时，a n ＝2S n －1＝2×3n －2(n ≥2)，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2×3n －2，n ≥2，n ∈N *.易错点4 数列最值问题忽略n 的限制例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n (n ∈N *)，则数列{a n }的最大项是__________．易错分析求解数列{a n }的前n 项和S n 的最值，无论是利用S n 还是利用a n 来求，都要注意n 的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误．解析因为a n ＋1－a n ＝(n ＋3)⎝⎛⎭⎫910n ＋1－(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n ＝⎝⎛⎭⎫910n ·7－n 10，当n ＜7时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝7时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞7时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n .故a 1＜a 2＜…＜a 7＝a 8＞a 9＞a 10…，所以此数列的最大项是第7项或第8项．答案第7项或第8项易错点5 裂项法求和搞错剩余项例5 在数列{a n }中，a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1，又b n ＝1a n a n ＋1，则数列{b n }的前n 项和为__________．易错分析裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误．一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的．解析由已知得a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝1n ＋1(1＋2＋…＋n )＝n2，从而b n ＝1a n a n ＋1＝1n 2·n ＋12＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以数列{b n }的前n 项和为S n ＝4⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14 ＋…⎦⎤＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝4nn ＋1.答案4nn ＋1易错点6 线性规划问题最优解判断错误例6 P (x ，y )满足|x |＋|y |≤1，求ax ＋y 的最大值及最小值．易错分析由ax ＋y ＝t ，得y ＝－ax ＋t ，欲求t 的最值，要看参数a 的符号．忽视参数的符号变化，易导致最值错误．解 ①当a <－1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过点(－1,0)与(1,0)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为－a ，a .②当－1≤a ≤1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过(0,1)与(0，－1)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为1，－1.③当a >1时，直线y ＝－ax ＋t 分别过点(1,0)与(－1,0)时，ax ＋y 取得最大值与最小值，其值分别为a ，－a .易错点7 运用基本不等式忽视条件例7 函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为________．易错分析应用基本不等式求函数最值，当等号成立的条件不成立时，往往考虑函数的性质，结合函数的单调性，同时注意函数的定义域．解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4.设t ＝x 2＋4，则t ≥2，所以函数变为f (t )＝t ＋1t (t ≥2)．这时，f (t )在[2，＋∞)上单调递增，所以f (t )≥f (2)＝52，所以函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为52.答案 521．(2017·江苏龙岗中学调研)不等式2211()2xx +-＞1的解集是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，12 解析 ∵不等式2211()2xx +-＞1，∴2x 2＋x －1＜0，即(2x －1)(x ＋1)＜0，解得－1＜x ＜12，∴原不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1，12. 2．(2017·江苏苏州质检)已知等差数列{a n }的公差为d ，若a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的方差为8，则d 的值为________．答案 ±2解析因为{a n }成等差数列，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的均值为a 3，所以方差为15[(－2d )2＋(－d )2＋0＋(d )2＋(2d )2]＝2d 2＝8⇒d ＝±2.3．已知数列{a n }满足13n a +＝9·3n a (n ∈N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则13log (a 5＋a 7＋a 9)＝________.答案－3解析由已知13n a +＝9·3n a ＝23n a +，所以a n ＋1＝a n ＋2，所以数列{a n }是公差为2的等差数列， a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋3d )＋(a 4＋3d )＋(a 6＋3d )＝(a 2＋a 4＋a 6)＋9d ＝9＋9×2＝27，13log (a 5＋a 7＋a 9)＝13log 27＝－3.4．若命题“∀x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”为真命题，则实数a 的取值范围是________．答案 [－8,0]解析当a ＝0时，－2≤0，不等式显然成立；当a ≠0时，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0. 综上可知，－8≤a ≤0.5．(2017·江苏湖滨中学月考)若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为________．答案 ±4 2解析由⎩⎪⎨⎪⎧ S 9＝9a 5＝－36，S 13＝13a 7＝－104，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝－4，a 7＝－8，所以d ＝a 7－a 57－5＝－2，所以a 1＝4.设a 5与a 7的等比中项为x ，则x 2＝a 5a 7＝32，所以x ＝±4 2.6．(2017·江苏沛县中学质检)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋6>0，x ≤0，y ≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________．答案 (－4,0]解析由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，作出不等式对应的平面区域(阴影部分)如图，平移直线y ＝2x －z ，由图象可知当直线y ＝2x －z 经过点A (－2,0)时，直线y ＝2x －z 的截距最大，此时z 最小．当直线y ＝2x －z 经过点O (0,0)时，直线y ＝2x －z 的截距最小，此时z 最大．所以z 的最小值为－4，最大值为0. 即－4＜z ≤0.7．对于数列{a n }，定义数列{b n }满足：b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，且b n ＋1－b n ＝1(n ∈N *)，a 3＝1，a 4＝－1，则a 1＝________. 答案 8解析由b n ＋1－b n ＝1知，数列{b n }是公差为1的等差数列，又b 3＝a 4－a 3＝－2，所以b 1＝－4，b 2＝－3，b 1＋b 2＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＝a 3－a 1＝－7，解得a 1＝8.8．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋2b ≤8c ，2a ＋3b ≤2c ，则3a ＋8b c 的取值范围为________．答案 [27,30]解析方法一由题意可得⎩⎨⎧a c ＋2bc ≤8，2c a ＋3cb ≤2，设a c ＝x ，bc＝y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，2x ＋3y ≤2，x ，y >0，所求可转化为t ＝3x ＋8y .又⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，2x ＋3y ≤2，x ，y >0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤8，y ≥3x 2x －2＝32x －2＋32，x >1，y >0，可行域如图所示，当直线t ＝3x ＋8y 与曲线y ＝3x2x －2相切时有最小值，当直线t ＝3x ＋8y 经过点A 时有最大值．令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，y ＝3x2x －2，解得A (2,3)，即t max ＝30. 又y ＝3x 2x －2，所以y ′＝－6(2x －2)2＝－38，解得x ＝3，y ＝94，即切点坐标为⎝⎛⎭⎫3，94，所以t min ＝27，即t 的取值范围为[27,30]．方法二因为2a ＋3b ≤2c ≤16a ＋2b ，所以8＋4b a ＋3a b ≤16，即4b a ＋3ab ≤8，解得23≤ab ≤2，所以3a ＋8b c ≤8(3a ＋8b )a ＋2b＝8⎝⎛⎭⎫3＋2b a ＋2b ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋2a b ＋2≤30；由2a ＋3b ≤2c 可知，1c ≥1a ＋32b ，则3a ＋8b c ≥(3a ＋8b )⎝⎛⎭⎫1a ＋32b ＝15＋8b a ＋9a2b≥27，当且仅当8b a ＝9a2b ，即3a ＝4b 时，取等号．故3a ＋8bc的取值范围为[27,30]． 9．已知a ＋b ＝2，b >0，当12|a |＋|a |b取最小值时，实数a 的值是________．答案－2解析方法一 12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2 b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当a <0，且b 4|a |＝|a |b ，即a ＝－2，b ＝4时取等号．方法二因为a ＋b ＝2，b >0，所以12|a |＋|a |b ＝12|a |＋|a |2－a，a <2. 设f (a )＝12|a |＋|a |2－a，a <2，则f (a )＝⎩⎨⎧12a ＋a 2－a ，0≤a <2，－12a －a 2－a ，a <0.当a <0时，f (a )＝－12a －a 2－a，从而f ′(a )＝12a 2－2(a －2)2＝－(3a －2)(a ＋2)2a 2(a －2)2，故当a <－2时，f ′(a )<0；当－2<a <0时，f ′(a )>0，故f (a )在(－∞，－2)上是减函数，在(－2,0)上是增函数，故当a ＝－2时，f (a )取得极小值34；同理，当0≤a <2时，函数f (a )在a ＝23处取得极小值54. 综上，当a ＝－2时，f (a )min ＝34. 10．若a ，b 均为正实数，且a ＋b －a ≤m b 恒成立，则实数m 的最小值是________．答案 2解析由于a ，b 均为正实数，且a ＋b －a ≤m b ，显然有m ＞0，b ≥a ，两边平方得a ＋b －a ＋2a (b －a )≤m 2b ，即b ＋2a (b －a )≤m 2b ，于是m 2≥1＋2a b －⎝⎛⎭⎫a b 2，令a b＝t (0＜t ≤1)，则m 2≥1＋2t －t 2在0＜t ≤1时恒成立，即m 2≥1＋2 －⎝⎛⎭⎫t －122＋14，从而m 2≥2，故m 的最小值为 2.11．已知函数f (x )＝2x x 2＋6. (1)若f (x )＞k 的解集为{x |x ＜－3或x ＞－2}，求k 的值；(2)对任意x ＞0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围．解 (1)f (x )＞k ⇔kx 2－2x ＋6k ＜0.由已知{x |x ＜－3或x ＞－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2.由根与系数的关系可知，(－2)＋(－3)＝2k，即k ＝－25. (2)因为x ＞0，f (x )＝2x x 2＋6＝2x ＋6x ≤226＝66，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x ＞0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是⎣⎡⎭⎫66，＋∞. 12．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3(n ∈N *)，且a 1，a 2，a 7依次是等比数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }及{b n }的通项公式；(2)是否存在常数a ＞0且a ≠1，使得数列{a n －log a b n }(n ∈N *)是常数列？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．解 (1)当n ＝1时，8a 1＝a 21＋4a 1＋3，a 1＝1或a 1＝3.当n ≥2时，8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3，a n ＝S n －S n －1＝18(a 2n ＋4a n －a 2n －1－4a n －1)，从而(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－4)＝0.因为{a n }的各项均为正数，所以a n －a n －1＝4.所以，当a 1＝1时，a n ＝4n －3；当a 1＝3时，a n ＝4n －1.又因为当a 1＝1时，a 1，a 2，a 7分别为1,5,25，构成等比数列，所以b n ＝5n －1. 当a 1＝3时，a 1，a 2，a 7分别为3,7,27，不构成等比数列，舍去．所以数列{a n }和{b n }的通项公式分别为a n ＝4n －3，b n ＝5n －1，n ∈N *. (2)存在满足条件的a ，理由如下：由(1)知，a n ＝4n －3，b n ＝5n －1，从而a n－log ab n＝4n－3－log a5n－1＝4n－3－(n－1)·log a5＝(4－log a5)n－3＋log a5.由题意，得4－log a5＝0，所以a＝4 5.。

2018-2019学年高三理科数学二轮复习：专题三数列第一讲等差数列、等比数列-含解析

专题三数列
第一讲等差数列、等比数列
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对等差、等比数列基本量的考查，常以客观题的形式出现，考查利用通项公式、前n 项和公式建立方程组求解．
2．对等差、等比数列性质的考查主要以客观题出现，具有“新、巧、活”的特点，考查利用性质解决有关计算问题．
3．对等差、等比数列的判断与证明，主要出现在解答题的第一问，是为求数列的通项公式而准备的，因此是解决问题的关键环节.
1．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( )
A ．100
B ．99
C ．98
D ．97
[解析] 设{a n }的公差为d ，由等差数列前n 项和公式及通项公
式，得⎩⎪⎨⎪⎧ S 9＝9a 1＋9×82d ＝27，a 10＝a 1＋9d ＝8，解得⎩⎨⎧ a 1＝－1，d ＝1，a n ＝a 1＋(n －1)d
＝n －2，∴a 100＝100－2＝98.故选C.
[答案] C。

2018届高三数学二轮复习：数列专题及其答案

2018届高三第二轮复习——数列第1讲等差、等比考点【高考感悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：1．必记公式（1)等差数列通项公式:a n＝a1＋（n－1）d。

（2)等差数列前n项和公式：S n＝错误!＝na1＋错误!.(3)等比数列通项公式：a n a1q n－1.（4)等比数列前n项和公式:S n＝错误!.（5）等差中项公式：2a n＝a n－1＋a n＋1(n≥2）．（6）等比中项公式：a错误!＝a n－1·a n＋1(n≥2)．(7）数列{a n}的前n项和与通项a n之间的关系：a n＝错误!。

2．重要性质（1)通项公式的推广：等差数列中，a n＝a m＋（n－m)d;等比数列中，a n＝a m q n－m。

（2)增减性：①等差数列中，若公差大于零,则数列为递增数列;若公差小于零，则数列为递减数列．②等比数列中，若a1＞0且q＞1或a1＜0且0＜q＜1,则数列为递增数列；若a1＞0且0＜q＜1或a1＜0且q＞1，则数列为递减数列．3．易错提醒(1）忽视等比数列的条件:判断一个数列是等比数列时,忽视各项都不为零的条件．（2)漏掉等比中项：正数a,b的等比中项是±错误!，容易漏掉－错误!.【真题体验】1．(2015·新课标Ⅰ高考）已知｛a n｝是公差为1的等差数列，S n为｛a n}的前n项和．若S8＝4S4，则a10＝(）A 。

172B 。

192C ．10D ．122．（2015·新课标Ⅱ高考)已知等比数列｛a n ｝满足a 1＝错误!，a 3a 5＝4（a 4－1），则a 2＝( ）A ．2B ．1 C.12D 。

错误!3．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零．若a 2,a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝__________，d ＝________．4．(2016·全国卷1）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，，. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和。