高考数学一轮总复习第二单元函数第11讲幂函数练习理含解析新人教A版

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3.3-幂函数课件-2025届高三数学一轮复习

•
(1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函
数，否则就不是幂函数．
•
(2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y＝xα(α为常
数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②
底数为自变量，③底数系数为1.
知识点2 幂函数的图象与性质
1．五个幂函数的图象
5
6
5
∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
6
5
例12 (2024·湖南省长沙市期末)已知幂函数y =
m2
+m−5
2 −2m−3
m
x
,当
2
x ∈ 0, +∞ 时，y随x的增大而减小，则实数m的值为___.
【解析】∵ y
=（m2
+m
2 −2m−3
m
− 5）x
是幂函数，
(x α 的系数为1，注意该隐含条件)
高中数学人教版必修第一册A版
第三章函数的概念与性质
3.3-幂函数
知识点1 幂函数的概念
一般地，函数________叫做幂函数，其中
x是自变量，α是常数．
y＝xα
基础过关
例1-1 在函数y = x −4 ,y = 3x 2 ,y = x 2 + 2x,y = 1中,幂函数的个数为(
A.0
B.1
C.2
对于C，由幂函数的性质可知，幂函数的图象一定不经过第四象限，故C正确；
对于D，幂函数y = x与y = x 3 的图象的交点为(−1, −1)， 0,0 ， 1,1 ，共3个，故D
错误.

第十一讲幂函数与对勾函数(学案)——高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

第十一讲幂函数与对勾函数知识清单1. 幂函数的图像和性质2. 对勾函数的图像和性质重点：常见幂函数的概念、图象和性质。

难点：幂函数的单调性及比较两个幂值的大小。

幂函数的定义：____________________幂函数在第一象限内的性质： ① 均过定点__________ ② a >0时单调性为________， ③ a <0时单调性为________例1 （1）如图，曲线是幂函数y =x a 在第一象限内的图象，已知α分别取 -1,1,212,四个值，则相应图象依次为（2）作出函数()()x x g x x f ==-,2, 的草图并指出其性质例2（1）若幂函数y =(m 2−3m +3)x m−2的图像不经过原点，则实数m 应满足的条件为__________(2)已知幂函数过点()2,2，解不等式()21≤+x f例3 比较下列各题中两个值的大小：幂函数 y=x y=x 2 y=x 3y=x 12y=x -1定义域值域奇偶性单调性公共点(1) 1.1−12与0.9−12 (2) 1.334与0.334(3)312-，343.1-，327.1-例4(1)已知(a +1)12>(3−2a )12,则实数a 的取值范围为__________(2)已知()353x x x f +=，若()()0212>-+++m m f m f ，求m 的取值范围？.二．对勾函数b y ax x =+)0,0(>>b a 的图像与性质：1.定义域：),0()0,(+∞⋃-∞2.值域：),2[]2,(+∞⋃--∞ab ab 。

3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(=-+x f x f4.图像在一、三象限, 当0x >时，by ax x =+≥ab 2（当且仅当x =，即)(x f 在x=ab 时，取最小值ab 25.单调性：增区间为______________________,减区间是_________________________6.渐进线:y=ax例题1.函数xx x x f 1)(2++=的对称中心为例题2.（1）求函数32)(++=x x x f 的值域（3）求函数1716)(22++=x x x f 的值域例题3已知函数()xax x x f +-=22，(1)若a=1,求函数)(x f 在[]4,2的值域（2）若在上有最小值和最大值，求实数a 的取值范围。

2020年高考人教A版理科数学一轮复习(全册PPT课件 1520张)

人教A版数学（理科）一轮
2020版高考全册精品 PPT课件
第1章集合与常用逻辑用语第一节集合第二节命题及其关系、充分条件与必要条件第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
第2章函数、导数及其应用第一节函数及其表示第二节函数的单调性与最值第三节函数的奇偶性与周期性第四节二次函数与幂函数第五节指数与指数函数第六节对数与对数函数第七节函数的图象
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
23 答案
2 ． ( 教材改编 ) 若集合 A ＝ D [由题意知 A＝{0,1,2}，由 a＝ {x∈N|x≤2 2}，a＝ 2，则下列结 2，知 a∉A.] 论正确的是( ) A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
解2析4 答案
22
[基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打 “×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( ) (2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}．( ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( ) (4)直线 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点组成的集合是{1,4}．( )
第8章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第二节两条直线的位置关系第三节圆的方程第四节直线与圆、圆与圆的位置关系第五节椭圆
第1课时椭圆的定义、标准方程及其性质第2课时直线与椭圆的位置关系
第六节双曲线第七节抛物线第八节曲线与方程第九节圆锥曲线中的定点、定值、范围、最值问题高考大题增分课(五) 平面解析几何中的高考热点问题
第9章算法初步、统计与统计案例第一节算法与程序框图第二节随机抽样第三节用样本估计总体第四节变量间的相关关系与统计案例

高考数学专题《幂函数》习题含答案解析

专题3.4 幂函数1．（2021·全国高一课时练习）下列命题中，不正确的是（）A ．幂函数y =x -1是奇函数B ．幂函数y =x 2是偶函数C ．幂函数y =x 既是奇函数又是偶函数D ．y =12x 既不是奇函数，又不是偶函数【答案】C 【解析】根据奇偶函数的定义依次判断即可.【详解】因为11xx -=，11=--xx ，所以A 正确；因为22()x x -=，所以B 正确；因为x x -=不恒成立，所以C 不正确；因为12y x =定义域为[0，+∞)，不关于原点对称，所以D 正确.故选：C.2.（2020·上海高一课时练习）下列函数中，既是偶函数，又在(,0)-∞上单调递增的函数是( )A ．2y x -=-B ．23y x=-C ．13y x=-D ．3y x -=【答案】B 【解析】A: 2y x -=-为偶函数，且在()0,∞+上递增，即2y x -=-在(,0)-∞上单调递减，排除；B: 23y x =-为偶函数，在(,0)-∞上单调递增；C: 13y x=-为奇函数，故排除；D: 3y x -=为奇函数，故排除.故选:B.练基础3．（2020·石嘴山市第三中学高二月考（文））幂函数()221()21m f x m m x -=-+在()0,∞上为增函数，则实数m 的值为（）A ．0B ．1C ．1或2D ．2【答案】D 【解析】由题意()f x 为幂函数，所以2211m m -+=，解得0m =或2m =.因为()f x 在()0,∞上为增函数，所以210m ->，即12m >，所以2m =.故选D.4．（2020·上海高一课时练习）下面是有关幂函数3()-=f x x 的四种说法，其中错误的叙述是( )A ．()f x 的定义域和值域相等B ．()f x 的图象关于原点中心对称C ．()f x 在定义域上是减函数D ．()f x 是奇函数【答案】C 【解析】3()-=f x x ，函数的定义域和值域均为()(),00,-∞⋃+∞，A 正确；3()-=f x x ，()()33()f x x x f x ---=-=-=-，函数为奇函数，故BD 正确；()f x 在(),0-∞和()0,∞+是减函数，但在()(),00,-∞⋃+∞不是减函数，C 错误.故选：C.5．（2020·上海高一课时练习）若幕函数()f x 的图像经过点1,42⎛⎫⎪⎝⎭，则该函数的图像（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】B 【解析】设()f x x α=，依题意可得1(42α=，解得2α=-，所以2()f x x -=，因为22()()()f x x x f x ---=-==，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称.故选：B.6．（2019·延安市第一中学高三月考（文））已知幂函数()f x x α=的图像过点1(2，则方程()2f x =的解是（）A ．4BC ．2D ．12【答案】A 【解析】依题意得1(2α=，解得12α=，所以12()f x x =，由()2f x =得122x =，解得4x =.故选：A.7．（2021·浙江高一期末）幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B 【解析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果.【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =.故选：B.8．（2021·全国高一课时练习）下列结论正确的是（）A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2y x =既是二次函数，也是幂函数【答案】D 【解析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x =可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确.【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确；函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确；函数2y x =在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x =是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D.9．（2021·全国高一课时练习）幂函数的图象过点(3， )，则它的单调递增区间是（）A ．[-1，+∞)B ．[0，+∞)C ．(-∞，+∞)D ．(-∞，0)【答案】B 【解析】根据利用待定系数法求出幂函数的解析式，再根据幂函数求出单调增区间即可.【详解】设幂函数为f (x )=x α，因为幂函数的图象过点(3， )，所以f (3)=3α=123，解得α=12，所以f (x )=12x ，所以幂函数的单调递增区间为[0，+∞).故选：B10．（2021·全国高三专题练习）下列关于幂函数图象和性质的描述中，正确的是（）A ．幂函数的图象都过(1,1)点B ．幂函数的图象都不经过第四象限C ．幂函数必定是奇函数或偶函数中的一种D ．幂函数必定是增函数或减函数中的一种【答案】AB 【解析】举反例结合幂函数的性质判断即可.【详解】因为11α=，所以的幂函数都经过(1,1)，故A 正确；当0x >时，0x α>，幂函数的图象都不经过第四象限，故B 正确；12y x =的定义域为[)0,+∞，为非奇非偶函数，故C 错误；1y x=在(),0-∞和()0,∞+上为减函数，但在定义域内不是减函数，故D 错误.故选：AB1．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））若a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23，b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23，c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜b C ．b ＜c ＜a D ．b ＜a ＜c【答案】D 【解析】∵y ＝x 23 (x >0)是增函数，∴a ＝12⎛⎫⎪⎝⎭23>b ＝15⎛⎫ ⎪⎝⎭23.∵y ＝12⎛⎫⎪⎝⎭x 是减函数，∴a ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭23＜c ＝12⎛⎫ ⎪⎝⎭13，∴b ＜a ＜c .故本题答案为D.2．（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数f (x )=x m的图象过点(2,4)，且a =m 12，b =(13)m，c =―log m 3，则a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a >c >bB ．b >c >aC ．a >b >cD ．c >a >b 【答案】C练提升【解析】幂函数f (x )=x m 的图象过点(2,4)，∴2m ＝4，m ＝2；∴a =m 12=2>1，b =(13)m =19∈(0,1)，c =―log m 3＝﹣log 23＜0，∴2＞19＞―log 23，∴a >b >c ．故选：C ．3．（2021·全国高三专题练习）已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．b a c >>D ．b c a>>【答案】C 【解析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小.【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=，∴13α=，即()13f x x =.由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=，∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e<，于是4log 2ln 2<，12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>.故选：C.4．（2021·安徽高三二模（理））函数()nxf x x a =，其中1a >，1n >，n 为奇数，其图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析()f x 在()0,∞+、(),0-∞上的函数值符号，及该函数在()0,∞+上的单调性，结合排除法可得出合适的选项.【详解】对任意x ∈R ，0x a >，由于1n >，n 为奇数，当0x <时，0n x <，此时()0f x <，当0x >时，0n x >，此时()0f x >，排除AC 选项；当0x >时，任取1x 、()20,x ∈+∞且12x x >，则120x x a a >>，120n nx x >>，所以()()12f x f x >，所以，函数()f x 在()0,∞+上为增函数，排除D 选项.故选：B.5．（2021·新疆高三其他模拟（理））若实数m ，n 满足m n >，且0mn ≠，则下列选项正确的是（）A ．330m n ->B ．1122m n⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()lg 0m n ->D ．11m n<【答案】A 【解析】利用幂函数、指数函数单调性和对数的运算可求解.【详解】解：∵函数3y x =，在R x ∈时单调递增，且m n >，∴330m n ->，故A 正确；∵函数1(2x y =，在R x ∈时单调递减，且m n >，∴11()()22mn<，故B 错误；当11,2m n ==时，()1lg lg 02m n -=<，故C 错误；当,11m n ==-时，1111m n=>=-，故D 错误；故选：A.6.【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若，则D ．若，则.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数得：，则.所以，显然在定义域上为增函数，所以A 正确.的定义域为，所以不具有奇偶性，所以B 不正确.当，即，所以C 正确.当若时，=..=.即成立，所以D 正确.()f x x α=1x >()1f x >120x x <<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x x α=2=4α1=2α12()f x x =()f x [0,)+∞()f x [0,)+∞()f x 1x >1>()1f x >120x x <<()()122212(()22f x f x x x f ++-22-122x x +-0<()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：ACD.7．【多选题】（2021·湖南高三月考）已知函数1,0(),0x x e x f x xe x -⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有且仅有一个实数解，且幂函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值可能是（）A ．1B ．1eC ．2D ．e【答案】AD 【解析】作出()f x 的图象，根据方程根的个数判断参数a 的取值，再结合函数()a g x x =在()0,∞+上单调递增，即可求解出结果．【详解】当0x ≤时，()x f x xe =，()()1xf x e x '=+，当1x <-时()0f x '<，当10x -<<时()0f x '>所以()x f x xe =在(),1-∞-上单调递减，在()1,0-上单调递增，最小值为1(1)f e --=-；所以()f x 的图象如图所示，因为()f x a =有且仅有一个实数解，即()y f x =的图象与y a =有且只有一个交点，所以[)1,1,0,a e e ⎧⎫∈+∞-⎨⎬⎩⎭，又因为()a g x x =在()0,∞+上单调递增，所以0a >，所以[){},1a e ∈+∞ .故选：AD8.（2019·上海高考模拟）设α∈12,―1,―2,3，若f (x )=x α为偶函数，则α=______．【答案】―2【解析】由题可知，α=―2时，f (x )=x ―2，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；α=13,12,―1,3时，不满足f(-x)=f(x), ∴α=―2．故答案为：―2．9．（2021·全国高三专题练习（理））已知幂函数()39*N m y x m -=∈的图像关于y 轴对称，且在()0,∞+上函数值随着x 的增大而减小.（1）求m 值.（2）若满足()()22132mma a +<-，求a 的取值范围.【答案】（1）1m =；（2）()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【解析】（1）由题意可知39m -为负偶数，且*N m ∈，即可求得m 值；（2）将所求不等式化为()()22132a a +<-，求解，即可得出结果.【详解】（1）因为函数39*()m y x m N -=∈在()0,∞+上单调递减，所以390m -<，解得3m <.又因为*m N ∈，所以1m =，2；因为函数的图象关于y 轴对称，所以39m -为偶数，故1m =.（2）由（1）可知，1m =，所以得()()22132a a +<-，解得4a >或23<a ，即a 的取值范围为()2,4,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.10．（2021·浙江高一期末）已知幂函数2242()(1)mm f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2g x x k =-．（1）求m 的值；（2）当[1,2)x ∈时，记(),()f x g x 的值域分别为集合A ，B ，设:,:p x A q x B ∈∈，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围．（3）设2()()1F x f x kx k =-+-，且|()|F x 在[0,1]上单调递增，求实数k 的取值范围．【答案】（1）0m =；（2）01k ≤≤；（3）[][)1,02,-+∞ 【解析】（1）由幂函数的定义2(1)1m -=，再结合单调性即得解.（2）求解()f x ，()g x 的值域，得到集合A ，B ，转化命题p 是q 成立的必要条件为B A ⊆，列出不等关系，即得解.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，根据二次函数的性质，分类讨论02k ≤和12k ≥两种情况，取并集即可得解.【详解】（1）由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.（2）由（1）得：2()f x x =，当[1,2)x ∈时，[)()1,4f x ∈，即[)1,4A =，当[1,2)x ∈时，[)()2,4g x k k ∈--，即[)2,4B k k =--，由命题p 是q 成立的必要条件，则B A ⊆，显然B ≠∅，则2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≤⎧⎨≥⎩，所以实数k 的取值范围为：01k ≤≤.（3）由（1）可得22()1F x x kx k =-+-，二次函数的开口向上，对称轴为2k x =，要使|()|F x 在[0,1]上单调递增，如图所示：或即02(0)0k F ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩或12(0)0k F ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，解得：10k -≤≤或2k ≥.所以实数k 的取值范围为：[][)1,02,-+∞ 1.（2019·全国高考真题（理））若a >b ，则（）A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │【答案】C【解析】取，满足，，知A 错，排除A ；因为，知B 错，排除B ；取，满足，，知D 错，排除D ，因为幂函数是增函数，，所以，故选C ．2．（2020·天津高考真题）已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩…若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（）A．1,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭ B．1,(0,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C．(,0)(0,-∞ D．(,0))-∞+∞ 【答案】D 【解析】2,1a b ==a b >ln()0a b -=9333a b =>=1,2a b ==-a b >12a b =<=3y x =a b >33a b >练真题注意到(0)0g =，所以要使()g x 恰有4个零点，只需方程()|2|||f x kx x -=恰有3个实根即可，令()h x =()||f x x ，即|2|y kx =-与()()||f x h x x =的图象有3个不同交点.因为2,0()()1,0x x f x h x x x ⎧>==⎨<⎩，当0k =时，此时2y =，如图1，2y =与()()||f x h x x =有2个不同交点，不满足题意；当k 0<时，如图2，此时|2|y kx =-与()()||f x h x x =恒有3个不同交点，满足题意；当0k >时，如图3，当2y kx =-与2y x =相切时，联立方程得220x kx -+=，令0∆=得280k -=，解得k =，所以k >综上，k 的取值范围为(,0))-∞+∞ .故选：D.3.（2020·江苏高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23f x x = ，则f (-8)的值是____.【答案】4-【解析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f -【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=-故答案为：4-4. (2018·上海卷)已知α∈{－2，－1，－12，12，1，2，3}.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝ .【答案】-1【解析】∵幂函数f (x )＝x α为奇函数，∴α可取－1,1,3，又f (x )＝x α在(0，＋∞)上递减，∴α＜0，故α＝－1.5.（浙江省高考真题（文））已知函数()2,1{ 66,1x x f x x x x≤=+->，则()2f f ⎡⎤-=⎣⎦ ， ()f x 的最小值是．【答案】162-【解析】如图根据所给函数解析式结合其单调性作出其图像如图所示，易知()()min 12,62f f f x f ⎡⎤-=-==⎣⎦.6．（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________．【答案】－1【解析】试题分析：设点1,P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥ 令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时()g t 取得最小值()22g a a =-，=，解得a =（2）当2a <时，()g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，()g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.。

高三数学一轮复习单元评估检测(2) 第2章函数、导数及其应用理新人教A版

单元评估检测（二）（第二章）（120分钟 150分）一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列图形中可以表示以M ＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N ＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( )2.(2012·韶关模拟)已知函数f(x)＝ax 3＋bx －3，若f(－2)＝7，则f(2) ＝( )(A)13 (B)－13 (C)7 (D)－73.(2011·广东高考)设函数f(x)和g(x)分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )(A)f(x)＋|g(x)|是偶函数 (B)f(x)－|g(x)|是奇函数 (C)|f(x)|＋g(x)是偶函数 (D)|f(x)|－g(x)是奇函数4.已知函数f(x)＝a x(a>0，a≠1)是定义在R 上的单调递减函数，则函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象大致是( )5.设函数f(x)＝13x －lnx(x ＞0)，则y ＝f(x)( )(A)在区间(1e，1)，(1，e)内均有零点(B)在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点(C)在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点(D)在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点6.(2012·珠海模拟)函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )(A)y ＝a x(B)y ＝log a x (C)y ＝xe x (D)y ＝xlnx7.(易错题)设函数f(x)＝x·sinx，若x 1，x 2∈[－π2，π2]，且f(x 1)＞f(x 2)，则下列不等式恒成立的是( )(A)x 1＞x 2 (B)x 1＜x 2 (C)x 1＋x 2＞0 (D)x 12＞x 228.(2011·湖南高考)已知函数f(x)＝e x－1，g(x)＝－x 2＋4x －3.若有f(a)＝g(b)，则b 的取值范围为( )(A)[ 2－2，2＋2] (B)(2－2，2＋2) (C)[1,3] (D)(1,3)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.请把正确答案填在题中横线上)9.(2011·四川高考)计算(lg 14－lg25)÷10012 ＝ .10.定积分∫0ln2e xdx 的值为 .11.已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a)相切，则a 的值为 .12.当x∈(1,2)时，不等式(x －1)2＜log a x 恒成立，则实数a 的取值范围为 . 13.函数f(x)＝(x ＋a)3对任意t∈R，总有f(1＋t)＝－f(1－t)，则f(2)＋ f(－2)等于 .14.(2011·四川高考)函数f(x)的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f(x 1)＝f(x 2)时总有x 1＝x 2，则称f(x)为单函数.例如，函数f(x)＝2x ＋1(x∈R)是单函数.下列命题：①函数f(x)＝x 2(x∈R)是单函数；②若f(x)为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f(x 1)≠f(x 2)；③若f ：A→B 为单函数，则对于任意b∈B，A 中至多有一个元素与之对应； ④函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数. 其中的真命题是 .(写出所有真命题的编号)三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12分)(2012·广州模拟)设函数f(x)＝lg(2x ＋1－1)的定义域为集合A ，函数g(x)＝1－a 2－2ax －x 2的定义域为集合B.(1)求证：函数f(x)的图象关于原点成中心对称；(2)a≥2是A∩B＝的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)，并证明你的结论.16.(13分)两个二次函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 与g(x)＝－x 2＋2x ＋d 的图象有唯一的公共点P(1，－2).(1)求b ，c ，d 的值；(2)设F(x)＝(f(x)＋m)·g′(x)，若F(x)在R 上是单调函数，求m 的取值范围，并指出F(x)是单调递增函数，还是单调递减函数.17.(13分)(2011·北京高考)已知函数f(x)＝(x －k)2e x k. (1)求f(x)的单调区间；(2)若对于任意的x∈(0，＋∞)，都有f(x)≤1e，求k 的取值范围.18.(14分)某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a 件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x 2.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是y(元). (1)写出y 与x 的函数关系式；(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大. 19.(14分)已知幂函数f(x)＝2m 2m 3x －＋＋(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设函数g(x)＝14f(x)＋ax 3＋92x 2－b(x∈R)，其中a ，b∈R.若函数g(x)仅在x ＝0处有极值，求a 的取值范围.20.(14分)(预测题)已知f(x)＝xlnx ，g(x)＝12x 2－x ＋a.(1)当a ＝2时，求函数y ＝g(x)在[0,3]上的值域； (2)求函数f(x)在[t ，t ＋2](t>0)上的最小值；(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有xlnx>g′(x)＋1e x－2e 成立.答案解析1. 【解析】选C.由题意知，自变量的取值范围是[0,1]，函数值的取值范围也是[0,1]，故可排除A 、B ；再结合函数的定义，可知对于集合M 中的任意x ，N 中都有唯一的元素与之对应，故排除D.2.【解析】选B.∵f(－2)＝－a ·23－2b －3＝－(a ·23＋2b)－3＝7， ∴a ·23＋2b ＝－10，∴f(2)＝a ·23＋2b －3＝－10－3＝－13.3. 【解析】选A.∵g(x)是奇函数，其图象关于原点对称， ∴|g(x)|的图象关于y 轴对称，是偶函数，又f(x)为偶函数，∴f(x)＋|g(x)|是偶函数. 【方法技巧】函数奇偶性与函数图象的关系(1)函数的奇偶性，揭示了函数图象的对称性.已知函数的奇偶性可得函数图象的对称性；反之，已知函数图象的对称性可得函数的奇偶性.(2)从图象判断函数的奇偶性是很有效的方法.利用图象变换，可以很容易地画出形如|f(x)|或f(|x|)的函数图象，进而可判断函数的奇偶性.4. 【解题指南】由指数函数的单调性可得a 的取值范围，再判断函数g(x)＝log a (x ＋1)的图象.【解析】选D.由题可知0<a<1，函数g(x)的图象由函数y ＝log a x 的图象向左平移一个单位得到，故选D.5. 【解析】选D.∵f ′(x)＝13－1x ，∴x ∈(3，＋∞)时，y ＝f(x)单调递增； x ∈(0,3)时，y ＝f(x)单调递减. 而0＜1e＜1＜e ＜3，又f(1e )＝13e ＋1＞0，f(1)＝13＞0，f(e)＝e3－1＜0，∴在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点.【一题多解】选D.令g(x)＝13x ，h(x)＝lnx ，如图，作出g(x)与h(x)在x>0的图象，可知g(x)与h(x)的图象在(1e，1)内无交点，在(1，e)内有1个交点，故选D.【变式备选】已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4，x ≤1x 2－4x ＋3，x ＞1，则关于x 的方程f(x)＝log 2x 解的个数为( )(A)4 (B)3 (C) 2 (D)1【解析】选B.在同一直角坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝log 2x 的图象，从图象中可以看出两函数图象有3个交点，故其解有3个.6.【解析】选D.由图知，导函数的定义域为(0，＋∞)， ∵(a x)′＝a xlna ，(xe x)′＝e x＋xe x，导函数的定义域为R ， ∴排除选项A ，C.由图象知导函数的值是先负后正，又(log a x)′＝1xlna ，导函数的符号与参数a 有关，排除B ，故选D.7.【解析】选D.显然f(x)为偶函数，当x ∈(0，π2]时，f ′(x)＝sinx ＋xcosx ＞0，∴f(x)在(0，π2]上单调递增.又f(x 1)＞f(x 2)⇔f(|x 1|)＞f(|x 2|)⇔|x 1|＞|x 2|⇔x 12＞x 22.8.【解析】选B.∵f(a)>－1，∴g(b)>－1， ∴－b 2＋4b －3>－1，∴b 2－4b ＋2<0， ∴2－2<b<2＋ 2.故选B. 9.【解析】(lg 14－lg25)÷12100-＝lg 1425÷1100＝lg 1100÷110＝10×lg10－2＝－20. 答案：－2010.【解析】∫0ln2e xdx ＝e x|0ln2＝e ln2－e 0＝2－1＝1. 答案：111.【解析】y ′＝1x ＋a (x ＋a)′＝1x ＋a，设切点为(x 0，x 0＋1)，则⎩⎪⎨⎪⎧1x 0＋a ＝1x 0＋1＝ln(x 0＋a)，解得a ＝2. 答案：212.【解析】设y 1＝(x －1)2，则y 1的图象如图所示：设y 2＝log a x ，则当x ∈(1,2)时，y 2的图象应在y 1的图象上方， ∴a ＞1且log a 2≥(2－1)2＝1， ∴a ≤2，∴1＜a ≤2. 答案：{a|1＜a ≤2}13.【解析】令t ＝1，则f(2)＝－f(0). ∴(2＋a)3＝－a 3， ∴a ＝－1，∴f(2)＋f(－2)＝(2－1)3＋(－2－1)3＝－26. 答案：－26 14.【解析】答案：②③15.【解析】(1)A ＝{x|2x ＋1－1>0}，2x ＋1－1>0⇒x －1x ＋1<0⇒(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x<1.∴A ＝(－1,1)，故f(x)的定义域关于原点对称. 又f(x)＝lg 1－x x ＋1，则f(－x)＝lg 1＋x －x ＋1＝lg(1－x x ＋1)－1＝－lg 1－xx ＋1，∴f(x)是奇函数.即函数f(x)的图象关于原点成中心对称. (2)B ＝{x|x 2＋2ax －1＋a 2≤0}，得－1－a ≤x ≤1－a ，即B ＝[－1－a,1－a]，当a ≥2时，－1－a ≤－3,1－a ≤－1，由A ＝(－1,1)，B ＝[－1－a,1－a]，有A ∩B ＝∅. 反之，若A ∩B ＝∅，可取－a －1＝2，则a ＝－3，a 小于2. 所以，a ≥2是A ∩B ＝∅的充分不必要条件.16.【解题指南】(1)把点P 的坐标代入两函数解析式，结合x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d 有唯一解，可求得b ，c ，d ，(2)若F(x)在R 上是单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≥0或F ′(x)≤0.【解析】(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝－2－1＋2＋d ＝－2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝－3d ＝－3，且x 2＋bx ＋c ＝－x 2＋2x ＋d ，即2x 2＋(b －2)x ＋c －d ＝0有唯一解，所以Δ＝(b －2)2－8(c －d)＝0，即b 2－4b －8c －20＝0，消去c 得b 2＋4b ＋4＝0，解得b ＝－2，c ＝－1，d ＝－3. (2)由(1)知f(x)＝x 2－2x －1，g(x)＝－x 2＋2x －3，故g ′(x)＝－2x ＋2， F(x)＝(f(x)＋m)·g ′(x) ＝(x 2－2x －1＋m)·(－2x ＋2)＝－2x 3＋6x 2－(2＋2m)x ＋2m －2， F ′(x)＝－6x 2＋12x －2－2m.若F(x)在R 上为单调函数，则F ′(x)在R 上恒有F ′(x)≤0或F ′(x)≥0成立. 因为F ′(x)的图象是开口向下的抛物线，所以F ′(x)≤0在R 上恒成立，所以Δ＝122＋24(－2－2m)≤0，解得m ≥2，即m ≥2时，F(x)在R 上为单调递减函数.17.【解析】(1)f ′(x)＝1k (x 2－k 2)e xk ，令f ′(x)＝0，得x ＝±k.当k ＞0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k ，＋∞)；单调递减区间是(－k ，k). 当k ＜0时，f(x)与f ′(x)的情况如下：所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k ，＋∞)；单调递增区间是(k ，－k).(2)当k ＞0时，因为f(k ＋1)＝ek 1k+＞1e ，所以不会有∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e. 当k ＜0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝4k2e .所以∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e ，等价于f(－k)＝4k 2e ≤1e ，解得－12≤k ＜0.故对∀x ∈(0，＋∞)，f(x)≤1e 时，k 的取值范围是[－12，0).18.【解析】(1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x 2)件，则月平均利润y ＝a(1－x 2)·[20(1＋x)－15](元)，∴y 与x 的函数关系式为 y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1).(2)y ′＝5a(4－2x －12x 2)，令y ′＝0得x 1＝12，x 2＝－23(舍)，当0<x<12时y ′>0；12<x<1时y ′<0，∴函数y ＝5a(1＋4x －x 2－4x 3)(0<x<1)在x ＝12处取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为20(1＋12)＝30元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.【变式备选】某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距m 米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元. (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？【解析】(1)设需要新建n 个桥墩，(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1，所以y ＝f(x)＝256n ＋(n ＋1)(2＋x)x ＝256(m x －1)＋mx (2＋x)x＝256m x＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x)＝－256m x 2＋1212mx －＝m2x2(x 32－512).令f ′(x)＝0，得x 32＝512，所以x ＝64，当0<x<64时，f ′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当64<x<640时，f ′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数，所以f(x)在x ＝64处取得最小值，此时， n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小.19.【解题指南】(1)由函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，可得－m 2＋2m ＋3>0，再由f(x)为偶函数得m 的值.(2)g(x)仅在x ＝0处有极值，则意味着g ′(x)＝0有唯一一个变号零点是0.【解析】(1)∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴－m 2＋2m ＋3>0即m 2－2m －3<0，∴－1<m<3.又m ∈Z ，∴m ＝0,1,2，而m ＝0,2时，f(x)＝x 3不是偶函数，m ＝1时，f(x)＝x 4是偶函数， ∴f(x)＝x 4.(2)g(x)＝14x 4＋ax 3＋92x 2－b ， g ′(x)＝x(x 2＋3ax ＋9)，显然x ＝0不是方程x 2＋3ax ＋9＝0的根.为使g(x)仅在x ＝0处有极值，则有x 2＋3ax ＋9≥0恒成立，即有Δ＝9a 2－36≤0，解不等式，得a ∈[－2,2].这时，g(0)＝－b 是唯一极值，∴a ∈[－2,2].20.【解析】(1)∵g(x)＝12(x －1)2＋32，x ∈[0,3]，当x ＝1时，g(x)min ＝g(1)＝32；当x ＝3时，g(x)max ＝g(3)＝72，故g(x)在[0,3]上的值域为[32，72]. (2)f ′(x)＝lnx ＋1，当x ∈(0，1e)，f ′(x)<0，f(x)单调递减，当x ∈(1e，＋∞)，f ′(x)>0，f(x)单调递增. ①0<t<t ＋2<1e，t 无解； ②0<t<1e <t ＋2，即0<t<1e 时，f(x)min ＝f(1e) ＝－1e； ③1e ≤t<t ＋2，即t ≥1e时，f(x)在[t ，t ＋2]上单调递增，f(x)min ＝f(t)＝tlnt ；所以f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t<1e tlnt ，t ≥1e .(3)g ′(x)＋1＝x ，所以问题等价于证明xlnx>x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，由(2)可知f(x)＝xlnx(x ∈(0，＋∞))的最小值是－1e ，当且仅当x ＝1e时取到；设m(x)＝x e x －2e(x ∈(0，＋∞))，则m ′(x)＝1－x e x ，易得m(x)max ＝m(1)＝－1e，当且仅当x ＝1时取到，从而对一切x ∈(0，＋∞)，都有xlnx>g ′(x)＋1e x －2e成立.。

2020高考文科数学(人教版)一轮复习作业手册第11讲幂函数含解析

因为>，所以(3)52>(2)52，即a>c.55又令g(x)＝()x，因为0<<1，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，3．(2018·郑州三模)若x∈(e－1,1)，a＝ln x，b＝()ln x，c＝e ln x，则(A)a＝ln x∈(－1,0)，()ln x>e ln x>0，所以b>c.232232第11讲幂函数1．在下列函数中，定义域和值域不同的函数是(C)A．y＝x13B．y＝x12C．y＝x23D．y＝x－12．设a＝(3)5，b＝(2)5，c＝(2)5，则a，b，c的大小关系是(A)555A．a>c>b B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a设f(x)＝x5，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，32552525所以(2)5<(2)5，即b<c.所以a>c>b.5512A．b>c>a B．c>b>aC．b>a>c D．a>b>c因为x∈(e－1,1)，所以－1<ln x<0，12从而b>c>a.4．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是(D)因为a>0，且a≠1，所以f(x)＝x a在(0，＋∞)上单调递增，所以排除A.设 y ＝f(x)＝x α，则 3＝3α，所以 α＝，所以 f(x)＝x ，所以 f(2)＝2 ＝ 2. 1 7 2 - 2 π - 2 - 5；②8> 3.1 所以 3 2 >3.1 2 ，①真；(2)求函数 g (x)＝h (x)＋ 1－2h (x )，x ∈[0， ]的值域．所以 g (x)＝x ＋ 1－2x ，x ∈[0， ]．令 1－2x ＝t ，则 0≤t ≤1，且 x ＝ . 所以 g (x)＝x ＋ 1－2x ＝－ t 2＋t ＋，令 φ(t)＝－ t 2＋t ＋＝－ (t －1)2＋1，t ∈[0,1]．所以 ≤φ(t)≤1，即 g (x)的值域为[ ，1]． 1 当 0<a <1 或 a >1 时，B ，C 中 f(x)与 g (x)的图象矛盾．故选 D. 5．(2018· 湖州期中)若幂函数 y ＝f(x)的图象经过点(3， 3)，则 f(2)的值为2 . 1 21 21 25 7 6．下列三个命题：① 3 2 - 2 - 8 < ( ) 8 ；③(- ) 3 < (- ) 3 .其中正确命题的序号是 ①③ .9 3 6因为 y ＝ x- 5 2 在(0，＋∞)上单调递减，又 3<3.1，- 5 - 5 1 7 7 7 7 又 ( ) 8 ＝ 9- 8 ，因为 8<9，所以 8- 8 > 9- 8 ，②假； 92 2 π 2 ( )-3 < (- )- 3 ， 3 62 2 π 2 (- )-3 < (- )- 3 ，③真． 3 6故正确命题的序号为①和③.7．(2018· 启东模拟)已知函数 h (x)＝(m 2－5m ＋1)x m ＋为幂函数，且为奇函数． (1)求 m 的值；1 2(1)因为 h (x)为幂函数，所以 m 2－5m ＋1＝1，解得 m ＝5，或 m ＝0.若 m ＝5，此时 h (x)＝x 6 为偶函数，不满足条件，舍去；若 m ＝0，此时 h (x)＝x 为奇函数，满足条件．故所求 m 的值为 0.(2)由(1)知 h (x)＝x ，1 21－t 2 21 12 21 1 12 2 2易知 φ(t)在[0,1]上单调递增， 1 21 2对于 A ，y ＝3－x ＝( )x 为减函数，故 A 错误． - 1 3 33 38．若函数 y ＝log a x(a >0，且 a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(B)由 y ＝log a x 的图象可知 log a 3＝1，所以 a ＝3.1 3对于 B ，y ＝x 3，显然满足条件．对于 C ，y ＝(－x)3＝－x 3 在 R 上为减函数，C 错误．对于 D ，y ＝log 3(－x)，当 x ＝－3 时，y ＝1，D 错误． 9．函数 y ＝x a ，y ＝x b ，y ＝x c 的图象如图所示，则 a ，b ，c 的大小关系为 c <b <a .当 0<x <1 时，x c >x b >x a ，由指数函数的性质可知 c <b <a.10．已知幂函数 y ＝ x m 2-2m -3 (m ∈N *)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足 (a + 1)- m < (3 - 2a)- m 的 a 的取值范围．因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以 m 2－2m －3<0，解得－1<m <3.又因为 m ∈N *，所以 m ＝1,2.又因为函数图象关于 y 轴对称，所以 m 2－2m －3 是偶数．而 22－2×2－3＝－3 为奇数，12－2×1－3＝－4 为偶数，所以 m ＝1.而 y ＝ x 3 在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以 (a + 1)- m < (3 - 2a)- m等价于解得 a <－1 或 <a < . 故 a 的取值范围为{a|a <－1 或 <a < }． a ＋1>3－2a >0 或 3－2a <a ＋1<0 或 a ＋1<0<3－2a ， 2 3 3 22 3 3 2。

人教A版数学必修一(课件)幂函数复习课.pptx

在—(—0,——内) y随x的增大而减
小，且在定义域内图象关于y轴
对称，求p的值及相应的幂函数。
• 解：由题意可得 • ∴ -1<p<3
1 p2 p 3 0
2
2
• 又∵p∈Z ∴P∈{0，1，2}
• 又∵图象关于y轴对称 ∴p=1
y x • ∴ 所求的幂函数为
2
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在此输入您的封面副标题
幂函数复习课
幂函数的指数大于0的情况
2
2/3 2
31 2
2/3 1/2
1
1/3
-2
-1
-1
1/3 3
1
2
幂指2/3数为2正数时2幂函数3的2 性1 质12/
• 1、图象都过点（0，1 0）、（1，11）/3； • 2、在第一象限当自变量x增大时，函
数值y也随着增大；
-6 一-1、/3第-4 二-1象-限2 关于y轴对2称； 4
6
• 幂图1指象/3数在的第分一子、3、第分三-2 母象都限是关奇于数坐时标，原点对称。1 -3
例一将下列函数序号填在相应图象下面的括号里。
4
(1) y= x5
1
-1
4
( 2 ) y = x3
(3
)
y=
x 1 2
(4 )
y = 1 3
x
4 2
4
2 1
2
-4
-2
-6
-4
-2
2
4
6
2
4
6
-2 -1
-2
-4 -4
例二幂函数 y___xm__y___x_n __y___x p
在第一象限的图象如图所示，

2014高考数学一轮汇总训练《二次函数与幂函数》理新人教A版

第五节二次函数与幂函数[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．二次函数的解析式(1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)顶点式：若二次函数的顶点坐标为(h ，k )，则其解析式为f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)； (3)两根式：若相应一元二次方程的两根为x 1，x 2，则其解析式为f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．2．二次函数的图象和性质上递减[探究] 1.ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)与ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件分别是什么？其几何意义如何？提示：(1)ax 2＋bx ＋c >0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0，其几何意义是抛物线恒在x 轴上方；(2)ax 2＋bx ＋c <0恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0，其几何意义是抛物线恒在x 轴下方．3．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． 4．五种幂函数的图象5．五种幂函数的性质[探究] 2.为何幂函数在第四象限没有图象？幂函数的图象最多出现在几个象限内？提示：幂函数y ＝x α，当x >0时，根据幂运算，幂函数y ＝x α>0恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象；幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．3．函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝1x 在区间(0,1)上图象的上、下位置与幂指数的大小有什么关系？提示：在区间(0,1)上幂指数越大其图象越靠下．[自测·牛刀小试]1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝－(x －1)2＋1 C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：选D 由图象开口向上且关于直线x ＝1对称，可排除A 、B 选项；由图象过点(0,0)可排除C 选项．2．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，120B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎪⎫120，＋∞D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－120，0解析：选C ∵函数f (x )＝ax 2＋x ＋5在x 轴上方，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－20a <0，即a >120.3．(教材习题改编)已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为( )A ．[0,1]B ．[1,2]C ．(1,2]D ．(1,2)解析：选B 如图，由图象可知m 的取值范围[1,2]．4．(教材习题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12解析：选B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线C 1，C 2，C 3，C 4所对应的n 依次为2，12，－12，－2.5．(教材习题改编)下列函数是幂函数的序号是________． ①y ＝2x ；②y ＝2x －1；③y ＝(x ＋2)2；④y ＝3x 2； ⑤y ＝1x.解析：y ＝3x 2＝x 23，y ＝1x ＝x －12故④⑤为幂函数．答案：④⑤[例1] 已知二次函数f (x )同时满足以下条件： (1)f (1＋x )＝f (1－x )； (2)f (x )的最大值为15；(3)f (x )＝0的两根的立方和等于17. 求f (x )的解析式．[自主解答] 依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15(a <0)，即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15.令f (x )＝0，即ax 2－2ax ＋a ＋15＝0，则x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15a.而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2) ＝23－3×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋15a ＝2－90a.即2－90a＝17，则a ＝－6.故f (x )＝－6x 2＋12x ＋9.在本例条件下，若g (x )与f (x )的图象关于坐标原点对称，求g (x )的解析式．解：设p (x ，y )是函数g (x )图象上的任意一点，它关于原点对称的点p ′(－x ，－y )必在f (x )的图象上．则－y ＝－6(－x )2＋12(－x )＋9，即y ＝6x 2＋12x －9.故g (x )＝6x 2＋12x －9. ———————————————————二次函数解析式的求法根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．解：∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)·(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.[例2] (2013·盐城模拟)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间． [自主解答] (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1.又∵x ∈[－4,6]，∴函数f (x )在[－4,2]上为减函数，在[2,6]上为增函数． ∴f (x )max ＝f (－4)＝(－4－2)2－1＝35，f (x )min ＝f (2)＝－1.(2)∵函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的对称轴为x ＝－a ，且f (x )在[－4,6]上是单调函数， ∴－a ≥6或－a ≤－4，即a ≤－6或a ≥4. (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，∴f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3，x ∈0，6]，x 2－2x ＋3，x ∈[－6，0]，∴f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0]．——————————————————— 解决二次函数图象与性质时的注意点(1)分析二次函数的图象，主要有两个要点：一个是看二次项系数的符号，它确定二次函数图象的开口方向；二是看对称轴和最值，它确定二次函数的具体位置．对于函数图象判断类似题要会根据图象上的一些特殊点进行判断，如函数图象与正半轴的交点，函数图象的最高点与最低点等．2抛物线的开口，对称轴位置定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论.2．已知函数f (x )＝ax 2－2ax ＋2＋b (a ≠0)，若f (x )在区间[2,3]上有最大值5，最小值2.(1)求a ，b 的值；(2)若b <1，g (x )＝f (x )－m ·x 在[2,4]上单调，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝a (x －1)2＋2＋b －a . 当a >0时，f (x )在[2,3]上为增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ f 3＝5，f 2＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 9a －6a ＋2＋b ＝5，4a －4a ＋2＋b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0.当a <0时，f (x )在[2,3]上为减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧f 3＝2，f 2＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧9a －6a ＋2＋b ＝2，4a －4a ＋2＋b ＝5，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)∵b <1，∴a ＝1，b ＝0，即f (x )＝x 2－2x ＋2.g (x )＝x 2－2x ＋2－mx ＝x 2－(2＋m )x ＋2，∵g (x )在[2,4]上单调， ∴2＋m 2≤2或m ＋22≥4.∴m ≤2或m ≥6.[例3] 已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)； ③f x 1x 1>f x 2x 2；④f x 1x 1<f x 2x 2. 其中正确结论的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②④D ．②③[自主解答] 法一：依题意，设f (x )＝x α，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24，即⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812，所以α＝12，于是f (x )＝x 12. 由于函数f (x )＝x 12在定义域[0，＋∞)内单调递增，所以当x 1<x 2时，必有f (x 1)<f (x 2)，从而有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故②正确；又因为f x 1x 1，f x 2x 2分别表示直线OP 、OQ 的斜率，结合函数图象，容易得出直线OP 的斜率大于直线OQ 的斜率，故f x 1x 1>f x 2x 2，所以③正确．法二：设f (x )＝x α，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝24即⎝ ⎛⎭⎪⎫18α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1812，所以α＝12，所以f (x )＝x 12.设g (x )＝xf (x )＝x 32，因为g (x )＝x 32在定义域内是增函数，当x 1<x 2时，必有x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，所以②正确；设h (x )＝f x x即h (x )＝x 12-，因为h (x )＝x 12-在定义域内是减函数，所以当x 1<x 2时，f x 1x 1>f x 2x 2，所以③正确． [答案] D ———————————————————幂函数y ＝x α图象的特征(1)α的正负；α>0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸； 0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸． (3)幂函数的图象最多只能出现在两个象限内．(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．3．幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．－1<m <3B ．0C ．1D ．2解析：选C 从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m 2－2m －3<0，即－1<m <3；又从图象看，函数是偶函数，故m 2－2m －3为负偶数，将m ＝0,1,2分别代入，可知当m ＝1时，m 2－2m －3＝－4，满足要求．4．当0<x <1时，f (x )＝x 1.1，g (x )＝x 0.9，h (x )＝x －2的大小关系是________．解析：如图所示为函数f (x )，g (x )，h (x )在(0,1)上的图象，由此可知h (x )>g (x )>f (x )．答案：h (x )>g (x )>f (x )1类最值——二次函数在给定区间上的最值二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，且只能在区间的端点或顶点处取得．对于“轴变区间定”和“轴定区间变”两种情形，要借助二次函数的图象特征，抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合函数的单调性进行分类讨论求解．2种思想——数形结合与分类讨论思想(1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法．特别是涉及二次方程、二次不等式的时候常常要结合图形寻找思路．(2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论．比如讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，讨论二次不等式根的大小等．5种方法——二次函数对称轴的判断方法(1)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.(2)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)．(3)对于二次函数y ＝f (x )定义域内所有x ，都有f (x ＋2a )＝f (－x )，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝a (a 为常数)．注意：(2)(3)中，f (a ＋x )＝f (a －x )与f (x ＋2a )＝f (－x )是等价的． (4)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴方程为x ＝－b2a.(5)利用方程根法求对称轴方程．若二次函数y ＝f (x )对应方程f (x )＝0的两根为x 1，x 2，那么函数y ＝f (x )图象的对称轴方程为x ＝x 1＋x 22.数学思想——分类讨论在求二次函数最值中的应用二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的最值情况进行分类讨论．[典例] (2013·青岛模拟)已知f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求f (x )的最小值． [解] (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0,1]上递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.①当1a≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＝－1a.②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0,1]的右侧，∴f (x )在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0,1]上递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.[题后悟道]二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (不妨设a >0)在区间[m ，n ]上的最大或最小值如下： (1)当－b2a∈[m ，n ]，即对称轴在所给区间内时，f (x )的最小值在对称轴处取得，其值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝4ac －b 24a ，f (x )的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是f (m )，f (n )中的较大者．(2)当－b2a∉[m ，n ]，即给定的区间在对称轴的一侧时，f (x )在[m ，n ]上是单调函数．若－b 2a <m ，f (x )在[m ，n ]上是增函数，f (x )的最小值是f (m )，最大值是f (n )；若n <－b2a ，f (x )在[m ，n ]上是减函数，f (x )的最小值是f (n )，最大值是f (m )．[变式训练]1．设函数y ＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，求函数的最小值g (a )．解：∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴对称轴为直线x ＝1，而x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，应进行讨论．而－2<a <1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y min ＝a 2－2a ；当a ≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y min ＝－1.综上，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.2．(2013·玉林模拟)是否存在实数a ，使函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a 的值；若不存在，说明理由．解：f (x )＝x 2－2ax ＋a ＝(x －a )2＋a －a 2. 当a <－1时，f (x )在[－1,1]上为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝－2，f 1＝1－a ，解得a ＝－1(舍去)；当－1≤a ≤0时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f 1＝1－a ＝2，解得a ＝－1.当0<a ≤1时，⎩⎪⎨⎪⎧f a ＝a －a 2＝－2，f －1＝1＋3a ＝2，a 不存在．当a >1时，f (x )在[－1,1]上为减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝1＋3a ＝2，f 1＝1－a ，a 不存在．综上可知a ＝－1.一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1．已知点⎝⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )是( ) A ．奇函数 B ．偶函数C ．定义域内的减函数D ．定义域内的增函数解析：选A 设f (x )＝x α，由已知得⎝⎛⎭⎪⎫33α＝3，解得α＝－1，因此f (x )＝x －1，易知该函数为奇函数．2．(2013·临沂模拟)已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )解析：选D ∵a >b >c ，a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c <0，∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．3．已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( ) A ．f (－2)<f (0)<f (2) B ．f (0)<f (－2)<f (2) C ．f (0)<f (2)<f (－2) D ．f (2)<f (0)<f (－2)解析：选C ∵f (1＋x )＝f (－x )， ∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c . ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12.∴f (0)<f (2)<f (－2)．4．若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)等于( ) A ．－b2aB ．－b aC ．cD.4ac －b 24a解析：选C ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－b a. ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a ＋c ＝c .5．已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c ，若f (0)＞0，f (p )＜0，则必有( ) A ．f (p ＋1)＞0 B ．f (p ＋1)＜0C ．f (p ＋1)＝0D ．f (p ＋1)的符号不能确定解析：选A 函数f (x )＝x 2＋x ＋c 的对称轴为x ＝－12，又因为f (0)＞0，f (p )＜0，故－1＜p ＜0，p ＋1＞0，所以f (p ＋1)＞0.6．(2013·温州模拟)方程x 2＋ax －2＝0在区间[1,5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ B ．(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－235，1 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－235解析：选C 令f (x )＝x 2＋ax －2，由题意，知f (x )图象与x 轴在[1,5]上有交点，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1≤0，f 5≥0.解得－235≤a ≤1.二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以Δ＝0，即a 2＝4b ，所以x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m m ＋6＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：98．若二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c 的值域是[0，＋∞)，则a ＋c 的最小值为________．解析：由已知a >0，4ac －44a ＝0，∴ac ＝1，c >0.∴a ＋c ≥2ac ＝2.当且仅当a ＝c ＝1时，取等号， ∴a ＋c 的最小值为2. 答案：29．已知函数y ＝mx 2＋m －3x ＋1的值域是[0，＋∞)，则实数m 的取值范围是________．解析：当m ＝0时，y ＝－3x ＋1，显然成立．当m ≠0时，要使y ∈[0，＋∞)，只要⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m －32－4×m ×1≥0，解得0＜m ≤1或m ≥9.综上m 的取值范围是[0,1]∪[9，＋∞)．答案：[0,1]∪[9，＋∞)三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且f (x )>－2x 的解集为{x |1<x <3}，方程f (x )＋6a ＝0有两相等实根，求f (x )的解析式．解：设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a <0)，则f (x )＝ax 2－4ax ＋3a －2x ，f (x )＋6a ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ，Δ＝(4a ＋2)2－36a 2＝0，16a 2＋16a ＋4－36a 2＝0,20a 2－16a －4＝0， 5a 2－4a －1＝0，(5a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝－15，或a ＝1(舍去)．因此f (x )的解析式为f (x )＝－15x 2－65x －35.11．已知f (x )＝－4x 2＋4ax －4a －a 2在区间[0,1]内有最大值－5，求a 的值及函数表达式f (x )．解：∵f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－4a ，∴抛物线顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－4a . ①当a2≥1，即a ≥2时，f (x )取最大值－4－a 2.令－4－a 2＝－5，得a 2＝1，a ＝±1<2(舍去)； ②当0<a 2<1，即0<a <2时，x ＝a2时，f (x )取最大值为－4a .令－4a ＝－5，得a ＝54∈(0,2)；③当a2≤0，即a ≤0时，f (x )在[0,1]内递减，∴x ＝0时，f (x )取最大值为－4a －a 2，令－4a －a 2＝－5，得a 2＋4a －5＝0，解得a ＝－5，或a ＝1，其中－5∈(－∞，0]．综上所述，a ＝54或a ＝－5时，f (x )在[0,1]内有最大值－5.∴f (x )＝－4x 2＋5x －10516或f (x )＝－4x 2－20x －5.12．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解：(1)由已知c ＝1，∵f (－1)＝a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x >0，－x ＋12，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8. (2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在x ∈(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在x ∈(0,1]上恒成立，根据单调性可得1x－x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2，所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围为[－2,0]1．已知函数f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1，g (x )＝x ，若对于任一实数x ，f (x )与g (x )至少有一个为正数，则实数a 的取值范围是( )A ．[0,3)B ．[3,9)C ．[1,9)D ．[0,9)解析：选D 据题意只需转化为当x ≤0时，ax 2－(3－a )x ＋1>0恒成立即可．结合f (x )＝ax 2－(3－a )x ＋1的图象，当a ＝0时验证知符合条件．当a ≠0时必有a >0，当x ＝3－a 2a ≥0时，函数在(－∞，0)上单调递减，故要使原不等式恒成立，只需f (0)>0即可，解得0＜a ≤3；当x ＝3－a 2a <0时，只需f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a 2a >0即可，解得3<a <9，综上所述可得a 的取值范围是0≤a ＜9.2．已知函数f (x )＝(m 2－m －1)x －5m －3，m 为何值时，f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数？解：∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x－5m －3是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 当m ＝2时，－5m －3＝－13，函数y ＝x－13在(0，＋∞)上是减函数；当m ＝－1时，－5m －3＝2，函数y ＝x 2在(0，＋∞)上是增函数． ∴m ＝－1.3．已知f (x )＝x 2＋3x －5，x ∈[t ，t ＋1]，若f (x )的最小值为h (t )，写出h (t )的表达式．解：如图所示，函数图象的对称轴为x ＝－32，(1)当t ＋1≤－32，即t ≤－52时，h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋3(t ＋1)－5，即h (t )＝t 2＋5t －1⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－52.(2)当t ≤－32<t ＋1，即－52＜t ≤－32时，h (t )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－294.(3)当t >－32时，h (t )＝f (t )＝t 2＋3t －5.综上可得，h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋5t －1⎝⎛⎭⎪⎫t ≤－52，－294⎝ ⎛⎭⎪⎫－52<t ≤－32，t 2＋3t －5⎝ ⎛⎭⎪⎫t >－32.4．设f (x )是定义在R 上的偶函数，当0≤x ≤2时，y ＝x ，当x >2时，y ＝f (x )的图象是顶点为P (3,4)，且过点A (2,2)的抛物线的一部分．(1)求函数f (x )在(－∞，－2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f (x )的草图；(3)写出函数f (x )的值域．解：(1)设顶点为P(3,4)且过点A(2,2)的抛物线的方程为y＝a(x－3)2＋4，将(2,2)代入可得a＝－2，所以y＝－2(x－3)2＋4，即x>2时，f(x)＝－2x2＋12x－14.又f(x)为偶函数，当x<－2，即－x>2时，f(x)＝f(－x)＝－2×(－x)2－12x－14，即f(x)＝－2x2－12x－14.故函数f(x)在(－∞，－2)上的解析式为f(x)＝－2x2－12x－14.(2)函数f(x)的图象如图：(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(－∞，4]．。

高中数学(人教A版)必修一课后习题：幂函数(课后习题)【含答案及解析】

幂函数课后篇巩固提升合格考达标练1.(2021山西运城高一期中)下列函数既是幂函数又是偶函数的是( )A.f (x )=3x 2B.f (x )=√xC.f (x )=1x 4 D.f (x )=x -3f (x )=3x 2,不是幂函数;函数f (x )=√x ,定义域是[0,+∞),是幂函数,但不是偶函数;函数f (x )=1x4=x -4是幂函数,也是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数;函数f (x )=x -3是幂函数,但不是偶函数.故选C .2.(2021河北唐山高一期末)已知幂函数y=f (x )的图象过点(2,√2),则下列关于f (x )的说法正确的是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域为(0,+∞)D.在(0,+∞)上单调递增f (x )=x α(α为常数),∵幂函数y=f (x )图象过点(2,√2),∴2α=√2,∴α=12,∴幂函数f (x )=x 12.∵12>0,∴幂函数f (x )在(0,+∞)上单调递增,所以选项D 正确;∵幂函数f (x )=x 12的定义域为[0,+∞),不关于原点对称,∴幂函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数,所以选项A,B,C 错误,故选D . 3.已知a=1.212,b=0.9-12,c=√1.1,则()A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.a<c<b0.9-12=(910)-12=(109)12,c=√1.1=1.112,∵12>0,且1.2>109>1.1,∴1.212>(109)12>1.112,即a>b>c.4.若(a+1)13<(3-2a )13,则a 的取值范围是 .-∞,23)f (x )=x 13的定义域为R ,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a ,解得a<23.5.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=x α(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是 .y=x α(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=12,则y=x 12.由x 12=3,得x=9,即明文是9. 6.已知幂函数f (x )=(2m 2-6m+5)x m+1为偶函数. (1)求f (x )的解析式;(2)若函数y=f (x )-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a 的取值范围.由f (x )为幂函数知2m 2-6m+5=1,即m 2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f (x )=x 2,是偶函数,符合题意;当m=2时,f (x )=x 3,为奇函数,不合题意,舍去.故f (x )=x 2.(2)由(1)得y=x 2-2(a-1)x+1,函数的对称轴为x=a-1,由题意知函数在区间(2,3)上为单调函数, ∴a-1≤2或a-1≥3,相应解得a ≤3或a ≥4. 故实数a 的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).等级考提升练7.(2021四川成都七中高一期中)若幂函数f (x )=(m 2-2m-2)·x m 在(0,+∞)上单调递减,则f (2)=( )A.8B.3C.-1D.12f (x )=(m 2-2m-2)x m 为幂函数,则m 2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f (x )=x -1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意,当m=3时,f (x )=x 3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f (x )=1x ,所以f (2)=12,故选D .8.(2021吉林延边高一期末)已知幂函数f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),则a 的取值范围是( ) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞)f (x )=x 12,若f (a-1)<f (14-2a ),可得√a -1<√14-2a ,即{a -1≥0,14-2a ≥0,a -1<14-2a ,得1≤a<5.所以a 的取值范围为[1,5).9.已知幂函数g (x )=(2a-1)x a+2的图象过函数f (x )=32x+b 的图象所经过的定点,则b 的值等于( ) A.-2 B.1 C.2 D.4g (x )=(2a-1)x a+2为幂函数,则2a-1=1,∴a=1,函数的解析式为g (x )=x 3,幂函数过定点(1,1),在函数f (x )=32x+b 中,当2x+b=0时,函数过定点(-b 2,1),据此可得-b2=1,故b=-2.故选A . 10.函数f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,对任意x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,若a ,b ∈R ,且a+b>0,ab<0,则f (a )+f (b )的值 ( )A.恒大于0B.恒小于0C.等于0D.无法判断f (x )=(m 2-m-1)x m2+m -3是幂函数,可得m 2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f (x )=x 3,当m=-1时,f (x )=x -3,对任意的x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1≠x 2,满足f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0,函数在(0,+∞)上单调递增,所以m=2,此时f (x )=x 3.又a+b>0,ab<0,可知a ,b 异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f (a )+f (b )恒大于0,故选A .11.(多选题)(2020江苏常州高级中学高一期末)下列说法正确的是( ) A.若幂函数的图象经过点(18,2),则解析式为y=x -3B.若函数f (x )=x -45,则f (x )在区间(-∞,0)上单调递减C.幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1)D.若函数f (x )=√x ,则对于任意的x 1,x 2∈[0,+∞)有f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x22)(18,2),则解析式为y=x-13,故A 错误;函数f (x )=x-45是偶函数且在(0,+∞)上单调递减,故在(-∞,0)上单调递增,故B 错误;幂函数y=x α(α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),故C 正确;任意的x 1,x 2∈[0,+∞),要证f (x 1)+f (x 2)2≤f (x 1+x 22),即√x 1+√x 22≤√x 1+x22,即x 1+x 2+2√x 1x 24≤x 1+x 22,即(√x 1−√x 2)2≥0,易知成立,故D 正确.12.(多选题)(2021广东佛山南海高一期中)已知幂函数y=x α(α∈R )的图象过点(3,27),下列说法正确的是( )A.函数y=x α的图象过原点B.函数y=x α是偶函数C.函数y=x α是减函数D.函数y=x α的值域为R(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x 3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R 上单调递增,值域是R ,故A,D 正确,B,C 错误.故选AD . 13.(2021广东深圳宝安高一期末)幂函数f (x )=x m 2-5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m= ,f 12= .或3 4y=x m2-5m+4为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m 2-5m+4<0,且m 2-5m+4是偶数,由m 2-5m+4<0得1<m<4. 由题知m 是整数,故m 的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f (x )=x -2,则f 12=4. 14.已知幂函数f (x )=(m-1)2x m 2-4m+2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g (x )=2x -k.(1)求实数m 的值;(2)当x ∈(1,2]时,记ƒ(x ),g (x )的值域分别为集合A ,B ,若A ∪B=A ,求实数k 的取值范围.依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.当m=2时,f (x )=x -2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.当m=0时,f (x )=x 2,符合题设,故m=0.(2)由(1)可知f (x )=x 2,当x ∈(1,2]时,函数f (x )和g (x )均单调递增.∴集合A=(1,4],B=(2-k ,4-k ]. ∵A ∪B=A ,∴B ⊆A.∴{2-k ≥1,4-k ≤4.∴0≤k ≤1.∴实数k 的取值范围是[0,1].新情境创新练15.(2020青海高一期末)已知函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数. (1)求函数f (x )的解析式;(2)判断函数f (x )的奇偶性,并证明你的结论;(3)判断函数f (x )在区间(0,+∞)上的单调性,并证明你的结论.提示:若m ∈N *,则x -m =1x m.∵函数f (x )=(m 2-2m+2)x 1-3m 是幂函数,∴m 2-2m+2=1,解得m=1, 故f (x )=x -2(x ≠0).(2)函数f (x )=x -2为偶函数.证明如下:由(1)知f (x )=x -2,其定义域为{x|x ≠0},关于原点对称,∵对于定义域内的任意x ,都有f (-x )=(-x )-2=1(-x )2=1x2=x -2=f (x ),故函数f (x )=x -2为偶函数.(3)f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.证明如下:在区间(0,+∞)上任取x 1,x 2,不妨设0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1-2−x 2-2=1x 12−1x 22 =x 22-x 12x 12x 22=(x 2-x 1)(x 2+x 1)x 12x 22, ∵x 1,x 2∈(0,+∞)且x 1<x 2,∴x 2-x 1>0,x 2+x 1>0,x 12x 22>0,∴f (x 1)>f (x 2).∴f (x )在区间(0,+∞)上单调递减.。

2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题12：幂函数(讲解版)

专题12 幂函数精讲温故知新1.概念：形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图像及性质1y x=12y x =2y x =3y x =y x =y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞){x |x ∈R 且x ≠0}值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性增 x ∈[0，＋∞)时，增；x ∈(－∞，0]时，减增增 x ∈(0，＋∞)时，减；x ∈(－∞，0)时，减3. 幂值的大小比较（1）直接法:当幂指数相同时,可直接利用幂函数的单调性来比较.（2）转化法:当幂指数不同时,可以先转化为相同幂指数,再运用单调性比较大小.（3）中间值法:当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性比较大小时,可选取适当的中间值与两数分别比较,从而达到比较大小的目的. 4.幂函数性质的应用利用幂函数的性质解不等式,实际上就是利用幂函数的单调性,将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系,解不等式(组)求参数范围时,注意分类讨论思想的应用。

题型一：幂函数的定义例1：（2021·江西·模拟预测）已知幂函数()f x mx α=的图象过点()2,8，则m α+=（） A ．0B ．2C ．4D ．5【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的形式及过定点即可求解. 【详解】解：因为()f x mx α=为幂函数所以1m =又()f x mx α=的图象过点()2,8 即82α= 解得3α= 所以4m α+= 故选：C.举一反三（2022·四川达州·二模（文））已知幂函数()f x 的图象经过点()2,4，则()3f =______．【答案】9 【解析】【分析】根据题意设()f x x α=，进而待定系数得2α=，再求函数值即可.【详解】解：设()f x x α=，则24α=，解得2α=，所以()2f x x = 所以()2393f ==．故答案为：9题型二：幂函数的定义域例2：（2022·上海·高考真题）下列幂函数中，定义域为R 的是（） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠ 对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥ 故答案选：C举一反三（2021·上海市控江中学三模）函数()12f x x -=的定义域为_______．【答案】()0,∞+ 【解析】将函数解析式变形为()f x=，即可求得原函数的定义域. 【详解】 ()12f x x-==0x >. 因此，函数()12f x x -=的定义域为()0,∞+. 故答案为：()0,∞+.题型三：幂函数的值域例3：（2020·江苏·高考真题）已知y =f (x )是奇函数，当x ≥0时，()23 f x x = ，则f (-8)的值是____. 【答案】4- 【解析】【分析】先求(8)f ，再根据奇函数求(8)f - 【详解】23(8)84f ==，因为()f x 为奇函数，所以(8)(8)4f f -=-=- 故答案为：4-【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题.举一反三（2015·湖北·高考真题（理））设x R ∈，[]x 表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[]1t =，2[]2t =，…，[]n t n =同时成立，则正整数n 的最大值是A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B 【解析】【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数．由得，由得，由得，所以，所以，由得，所以，由得，与矛盾，故正整数n 的最大值是4．考点：函数的值域，不等式的性质．题型四：幂函数的单调性例4：（2011·上海·高考真题（文））下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,)+∞上单调递减的函数为（） A ．2yxB ．1y x -=C ．2y xD ．13y x =【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C. 2y x 在区间(0,)+∞上单调递增函数，故选A ．考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质．点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称．举一反三（2022·北京房山·二模）已知函数()3,,.x x a f x x x a ≤⎧=⎨>⎩，若函数()f x 在R 上不是增函数，则a 的一个取值为___________.【答案】-2(答案不唯一，满足1a <-或01a <<即可) 【解析】【分析】作出y =x 和y =3x 的图象，数形结合即可得a 的范围，从而得到a 的可能取值．【详解】y =x 和y =3x 的图象如图所示：∴当1a <-或01a <<时，y =3x 有部分函数值比y =x 的函数值小，故当1a <-或01a <<时，函数()f x 在R 上不是增函数．故答案为：-2．题型五：幂函数的奇偶性例5：（2022·吉林吉林·模拟预测（文））设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2【答案】A 【解析】【分析】把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】当12α=时，y x x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠；当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A举一反三（2012·山东·高考真题（文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(14)g x m x =-在[0,)+∞上是增函数，则a ＝______.【答案】14【解析】【详解】当1a >时，有214,a a m -==，此时12,2a m ==，此时()g x x =-为减函数，不合题意.若01a <<，则124,a a m -==，故11,416a m ==，检验知符合题意题型六：幂函数的图像判断与应用例6：（2021·河北石家庄·模拟预测）已知幂函数a y x =与b y x =的部分图象如图所示，直线14x =，12x =与a y x =，b y x =的图象分别交于A ､B ､C ､D 四点，且AB CD =，则1122a b +=（）A ．12 B ．1 C 2D ．2【答案】B 【解析】【分析】把AB CD =用函数值表示后变形可得．【详解】由AB CD =得11114422a b a b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即1111110222222a b a b a b⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-≠⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以11122a b⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B ．举一反三（2021·江西·模拟预测）函数43()f x x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】从函数()f x 的定义域、奇偶性及在第一象限的变化快慢三个方面逐一分析各选项即可判断作答. 【详解】幂函数()f x 定义域为R ，选项C 不满足；()f x =()()f x f x -=，即()f x 是偶函数，选项B 不满足；因413>，则函数43()f x x =在第一象限单调递增，且增长趋势越来越快，选项A 不满足，显然选项D 满足幂函数()f x 的上述特点，即大致图象是D. 故选：D题型七：幂函数过定点问题例7：（2021·浙江浙江·高一期末）以下结论正确的是（） A ．当0α=时，函数y x α=的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过()0,0、()1,1两点C ．若幂函数y x α=的图象关于原点对称，则y x α=在定义域内y 随x 的增大而增大D ．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限【答案】D【解析】对于A 选项，当0α=时，函数01y x ==的定义域为{}0x x ≠，所以，函数0y x =的图象是两条射线，A 选项错误；对于B 选项，幂函数1y x -=不经过原点，B 选项错误；对于C 选项，幂函数1y x -=的图象关于原点对称，但函数1y x -=在定义域内不单调，C 选项错误；对于D 选项，由于幂函数在第一象限必有图象，若幂函数在第四象限有图象，与函数的定义矛盾，所以，幂函数的图象不可能在第四象限，若幂函数为偶函数，则幂函数在第二象限有图象，D 选项正确.故选：D.举一反三以下命题正确的是（） ①幂函数的图像都经过()0,0②幂函数的图像不可能出现在第四象限③当0n =时，函数n y x =的图像是两条射线（不含端点）④()3f x x -=是奇函数，且()3f x x -=在定义域内为减函数A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③【答案】C【解析】①幂函数1y x -=不经过原点，所以①不正确；②形如y x α=，α∈R 的函数是幂函数，当0x >时，0y >，所以函数的图象不可能出现在第四象限，所以②正确；③0y x =的定义域是{}0x x ≠，1y =，所以0n =时，n y x =的图象是两条射线（不含端点），所以③正确；④()3f x x -=是奇函数，函数的定义域是()(),00,-∞⋃+∞，函数在(),0-∞是减函数，在()0,∞+也是减函数，但在定义域内不是减函数，所以④不正确.故选：C题型八：幂函数中的参数问题例8：（2021·福建·漳州三中高一期中）已知函数()2222()1m m f x m m x --=--是幂函数，且在(0,)+∞上递增，则实数m =（）A ．2B ．1-C ．4D ．2或1-【答案】B【解析】因函数()2222()1mm f x m m x--=--是幂函数，则211m m --=，即220m m --=，解得1m =-或2m =，当1m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上递增，则1m =-，当2m =时，函数2()f x x -=在(0,)+∞上递减，不符合要求，实数1m =-.故选：B 。

高考数学一轮总复习第二单元函数第11讲幂函数理新人教A版

(方法 3)特殊值排除．令 a＝3，b＝2，c＝21，代入 A，得 3< 2，排除 A；代入 B,3 2<2 3，不正确，排除 B；代入 D，左边＝log321＝－log32，右边＝log221＝－1.排除 D.故应选 C. 答案：C
【变式探究】
2．(2018·浙江十二校第二次联考)设21<(12)b<(12)a<1，那么
() A．aa<ab<ba
B．aa<ba<ab
C．ab<aa<ba
D．ab<ba<aa
解：因为 y＝(21)x 在 R 上单调递减，又21<(21)b<(21)a<1，可得 0<a<b<1. 所以指数函数 y＝ax 在 R 上为减函数，所以 ab<aa. 幂函数 y＝xa 在(0，＋∞)上是增函数，所以 aa<ba. 综上可得 ab<aa<ba，故选 C.
①对代数式进行恰当的等价变形； ②恰时地利用特例进行排除； ③合理地利用函数图象．如判断例 2 中 D 选项的正确性，也可采用图象法进行．作出函数 y＝logax， y＝logbx(a>b>1)，又 0<c<1，所以 logac>logbc.D 不正确．
考点3·幂函数的图象和性质的综合应用
1．幂函数 y＝xα 的性质和图象，由于 α 的取值不同而比较
复杂，因此，重点要求掌握
y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝
x
1 2
这
五种幂函数的图象和性质．
2．幂函数 y＝xα(α 为常数)的定义域是使解析式有意义的自
变量 x 的取值范围．当 α 为分数指数幂时，常常将其改写成根

[新课标]高考第一轮复习第2单元第11讲幂函数精品课件

故a c b.
1．幂函数的定义一般地，型如① __________的函数叫幂函数，
其中x是自变量，是常数，常见的幂函数有
1
y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x3，y＝x 2 .
2．幂函数的图象和性质
3．幂函数的性质推广所有的幂函数在(0，＋)上都有定义，且图象
都过1,1点．当为奇数时，幂函数为奇函数；
了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，
1
y＝x3，y＝x－1，y＝x 2的图象，了解它们的
变化情况及基本性质．
1 .给出下列函数：①y＝
1 x3
；②y＝3x－2；③y＝x4＋x
2；
④y＝3 x2 .其中是幂函数的有
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
解析：根据幂函数的定义进行判断．在所给函数
伸展．当 0时，幂函数y＝x 有下列性质：
1图象都通过点⑥ __________； 2在第一象限内，函数值⑦ __________________； 3 在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右
与x轴无限地接近．
【要点指导】
①y＝x；② 0；③ 0；④0,0，1,1； ⑤随x的增大而增大；⑥1,1；
关于原点对称，
又f
(－x)
1
－x 3
－－x
－1 3
=－
x 13－x－13
=－f
素材1：已知函数f x ＝(m2－m－1)xm2－2m－1.
1若f x是反比例函数，则
；
2若f x是幂函数，则
.
解析：1若f
x
是反比例函数，则
m2＋m－1＝1 m2＋2m 0
m＝0或2.
2若f x是幂函数，

高考数学一轮复习第二章函数2.6《幂函数》收尾精炼理新人教A版.pdf

2014届高考一轮复习收尾精炼：　幂函数一、选择题 1．已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点，则f(4)的值为( )． A．16 B． C． D．2 2．设＜b＜a＜1，则下列不等关系成立的是( )． A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa 3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )． A．y＝x3 B．y＝cos x C．y＝ D．y＝ln |x| 4．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )． A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a 5．下列说法正确的是( )． A．幂函数一定是奇函数或偶函数 B．任意两个幂函数图象都有两个以上交点 C．如果两个幂函数的图象有三个公共点，那么这两个幂函数相同 D．图象不经过(－1,1)的幂函数一定不是偶函数 6. 幂函数y＝x－1及直线y＝x，y＝1，x＝1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“区域”：，，，，，，，(如图所示)，那么幂函数y＝的图象经过的“区域”是( )． A．， B．， C．， D．， 7．若函数f(x)是幂函数，且满足＝3，则f的值等于( )． A．－3 B．－ C．3 D．二、填空题 8．若函数f(x)＝则f(f(f(0)))＝__________. 9．若y＝是偶函数，且在(0，＋∞)内是减函数，则整数a的值是__________． 10．给出下列四个命题：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与函数y＝logaax(a＞0，且a≠1)的定义域相同；函数y＝x3与y＝3x的值域相同；函数y＝＋与y＝都是奇函数；函数y＝(x－1)2与y＝2x－1在区间[0，＋∞)上都是增函数．其中正确命题的序号是__________．三、解答题 11．已知f(x)＝(m2＋m)·，当m取什么值时， (1)f(x)是正比例函数； (2)f(x)是反比例函数； (3)在第一象限内它的图象是上升曲线． 12. 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象的示意图如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2. (1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数？ (2)若x1[a，a＋1]，x2[b，b＋1]，且a，b{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}，指出a，b的值，并说明理由； (3)结合函数图象示意图，请把f(8)， g(8)，f(2 011)，g(2 011)四个数按从小到大的顺序排列．一、选择题 1．C　解析：由已知，得＝2α，即2α＝，∴α＝－， ∴f(x)＝. ∴f(4)＝＝. 2．C　解析：＜b＜a＜11＞b＞a＞0，在A和B中，y＝ax(0＜a＜1)在定义域内是单调递减的，则aa＞ab，所以结论不成立；在C中，y＝xn(n＞0)在(0，＋∞)内是单调递增的，又a＜b，则aa＜ba，即ab＜aa＜ba. 3．D　解析：y＝x3是奇函数，排除A选项；y＝cos x在(0，＋∞)不单调，排除B；y＝＝x－2在(0，＋∞)单调递减，排除C.故选D. 4．A　解析：构造指数函数y＝(x∈R)，由该函数在定义域内单调递减，所以b＜c；又y＝(x∈R)与y＝(x∈R)之间有如下结论成立：当x＞0时，有＞，故＞， ∴a＞c，故a＞c＞b. 5．D 6．D　解析：对幂函数y＝xα，当α∈(0,1)时，其图象在x∈(0,1)的部分在直线y＝x上方，且图象过点(1,1)，当x＞1时其图象在直线y＝x下方，故经过第①⑤两个“卦限”． 7．D　解析：依题意设f(x)＝xα(α∈R)，则有＝3，即2α＝3，得α＝log23，则f(x)＝，于是f＝＝＝＝. 二、填空题 8．1　解析：f(f(f(0)))＝f(f(－2))＝f(1)＝1. 9．1,3,5或－1　解析：由题意得，a2－4a－9应为负偶数，即a2－4a－9＝(a－2)2－13＝－2k(k∈N*)，(a－2)2＝13－2k，当k＝2时，a＝5或－1；当k＝6时，a＝3或1. 10．①③　解析：①中y＝ax与y＝logaax＝x的定义域均为R； ②中y＝x3的值域为R，而y＝3x的值域为(0，＋∞)； ③y＝＋是奇函数， y＝＝ (2x＋＋2)也是奇函数； ④y＝(x－1)2在[0，＋∞)上不单调，y＝2x－1在[0，＋∞)上是单调递增函数，故①③正确．三、解答题 11．解：(1)由题意知解得m＝1±. (2)由题意知解得m＝0(舍)或2，∴m＝2. (3)由题意知解得m∈(－∞，－1)∪(1＋，＋∞)． 12．解：(1)由图象可知C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)a＝1，b＝9，因为f(1)＝2＞g(1)＝1， f(2)＝4＜g(2)＝8，所以x1∈[1,2]，即a＝1. f(3)＝8＜g(3)＝27，f(4)＝16＜g(4)＝64，f(5)＝32＜g(5)＝125，…，f(9)＝512＜g(9)＝729，f(10)＝1024＞g(10)＝1 000，所以x2∈[9, 10]，即b＝9. (3)由题意可得，f(8)＜g(8)＜g(2 011)＜f(2 011)．。

2021年高中数学幂函数同步复习新人教A版必修1

2021年高中数学幂函数同步复习新人教A版必修1
知识填空：
1、幂函数的定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为自变量，为常数，常
见的幂函数有：，其主要性质有：
（1）所有幂函数在上有意义，并且都过点；
（2）当时，幂函数的图像过原点，且在上为增函数，当时，在上为减函数.
2、函数图像的作法：
（1）描点法作图：①确定函数的；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性）；④画出函数的图像.
（2）图像变换法：平移变换
函数的图像可以由的图像 _______得到.
函数的图像可以由的图像得到.
3、基本初等函数的图像
4、常见结论
（1）若，则关于对称；
（2）函数与函数的图像关于对称；
例题分析：
例1、关于的方程的解的个数是 .例2、比较三个值的大小，并说明理由.
例3、作出下列函数的图像：
（1）（2）
例4、已知函数
21
()(0,0,)
ax
y f x a b c R
bx c
+
==>>∈
+
是奇函数，当时，有最小值
2，其中，试求函数的解析式.
例5、作出函数的图像.33016 80F8 胸32569 7F39 缹`28635 6FDB 濛25148 623C 戼31314 7A52 穒P
22831 592F 夯&;31676 7BBC 箼35864 8C18 谘Q23724 5CAC 岬。

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高考数学一轮总复习第二单元函数第11讲幂函数练习理
含解析新人教A 版
第11讲幂函数
1．已知f (x )＝x 1
2，若0<a <b <1，则下列各式中正确的是(C) A ．f (a )<f (b )<f (1a )<f (1
b
)
B ．f (1a )<f (1
b
)<f (b )<f (a )
C ．f (a )<f (b )<f (1b )<f (1
a
)
D ．f (1a )<f (a )<f (1
b
)<f (b )
因为f (x )＝x 1
2在(0，＋∞)上单调递增，又a <b <1b <1a .所以f (a )<f (b )<f (1b )<f (1
a
)．
2．(2018·郑州三模)若x ∈(e －1，1)，a ＝ln x ，b ＝(12)ln x ，c ＝e ln x
，则(A)
A. b >c >a B ．c >b >a C ．b >a >c D ．a >b >c
因为若x ∈(e －1
，1)，所以－1<ln x <0，
a ＝ln x ∈(－1，0)，(12
)ln x >e ln x >0，所以b >c .
从而b >c >a .
3.在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a
(x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是(D)
因为a >0，且a ≠1，所以f (x )＝x a
在(0，＋∞)上单调递增，所以排除A. 当0<a <1或a >1时，B 、C 中f (x )与g (x )的图象矛盾．故选D.
4．(2017·河北武邑第三次调研)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3
，若不等式f (－4t )>f (2m ＋mt 2
)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是(A)
A ．(－∞，－2)
B ．(－2，0)
C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3
，所以f (x )＝x 3
(x ∈R )，易知f (x )在R 上是增函数，
由f (－4t )>f (2m ＋mt 2
)对任意实数t 恒成立，得－4t >2m ＋mt 2
对任意实数t 恒成立，即mt 2
＋4t ＋2m <0对任意实数t 恒成立，
所以⎩
⎪⎨⎪⎧
m <0，Δ＝16－8m 2
<0，解得m ∈(－∞，－2)．
5．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点(9，13)，则f (25)的值为 15
.
设y ＝x α
，则13＝9α，所以α＝－12，所以f (x )＝x －12，
所以f (25)＝25－12＝1
5
.
6．下列三个命题：①3－52>3.1－52；②8－78<(19)78；③(－23)－23<(－π6)－2
3.其中正确命
题的序号是 ①③ .
因为y ＝x －5
2在(0，＋∞)单调递减，又3<3.1，
所以3－52>3.1－5
2
，①真；
又(19)78＝9－78，因为8<9，所以8－78>9－7
8，②假． (23)－23<(π6)－23⇒(－23)－23<(－π6)－2
3，③真．故正确命题的序号为①和③.
7．(2017·杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2
－5m ＋1)x m ＋1
为幂函数，且为奇函数．
(1)求m 的值；
(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h x ，x ∈[0，1
2
]的值域．
(1)因为h (x )为幂函数，所以m 2
－5m ＋1＝1，解得m ＝5，或m ＝0.
若m ＝5，此时h (x )＝x 6
为偶函数，不满足条件，舍去；若m ＝0，此时h (x )＝x 为奇函数，满足条件．故所求m 的值为0. (2)由(1)知h (x )＝x ，
所以g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈[0，1
2]．
令1－2x ＝t ，则0≤t ≤1，且x ＝1－t
2
2.
所以g (x )＝x ＋1－2x ＝－12t 2＋t ＋1
2
，
令φ(t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2
＋1，t ∈[0,1]．
易知φ(t )在[0,1]上单调递增，所以1
2≤φ(t )≤1.
即g (x )的值域为[1
2，1]．
8．(2017·山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2
的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是(B)
A ．(0,1]∪[23，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞) D．(0，2]∪[3，＋∞)
在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2
(x －1m
)2与g (x )＝x ＋m
的大致图象．
分两种情形：
(1)当0＜m ≤1时，1
m
≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符
合题意；
①
②
(2)当m ＞1时，0＜1
m
＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，
只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2
，解得m ≥3或m ≤0(舍去)．
综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 9．(2017·山西一模)已知f (x )＝x 2－m
是定义在区间[－3－m ，m 2
－m ]上的奇函数，则f (m )
＝－1 .
由题意得m 2
－m ＝3＋m ，即m 2－2m －3＝0，解得m ＝3或m ＝－1.
当m ＝3时，f (x )＝x －1
，[－3－m ，m 2
－m ]为[－6,6]，f (x )在x ＝0处无意义，故舍去．当m ＝－1时，f (x )＝x 3
，[－3－m ，m 2
－m ]为[－2,2]，满足题意．所以f (m )＝f (－1)＝(－1)3
＝－1. 10．已知幂函数y ＝x
m 2－2m －3
(m ∈N *
)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，
求满足(a ＋1)－
m
3<(3－2a )－
m
3的a 的取值范围．
因为函数在(0，＋∞)上单调递减，所以m 2
－2m －3<0，解得－1<m <3. 又因为m ∈N *
，所以m ＝1,2.
又因为函数图象关于y 轴对称，所以m 2
－2m －3是偶数．而22
－2×2－3＝－3为奇数，12
－2×1－3＝－4为偶数，所以m ＝1.
而y ＝x －13在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，所以(a ＋1)－
1
3<(3－2a )－
13等价于
a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，
解得a <－1或23<a <3
2
.
故a 的取值范围为{ a | a <－1或23< a <3
2}．。

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