新教材高中数学人教A版必修第一册课时作业：4.3.2 对数的运算
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课时作业(含解析)新人教A版必修第一册
新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课时作业（含解析）新人教A 版必修第一册4.3.2 对数的运算一、选择题1．若a ＞0，a ≠1，x ＞y ＞0，下列式子：①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )；②log a x －log a y ＝log a (x －y )；③log a x y＝log a x ÷log a y ；④log a (xy )＝log a x ·log a y .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：根据对数的性质知4个式子均不正确．答案：A2．化简12log 612－2log 62的结果为( ) A ．6 2 B ．12 2C ．log 6 3 D.12解析：12log 612－2log 62＝12(1＋log 62)－log 62＝12(1－log 62)＝12log 63＝log 6 3. 答案：C3．设lg 2＝a ，lg 3＝b ，则lg 12lg 5＝( ) A.2a ＋b 1＋a B.a ＋2b 1＋a C.2a ＋b 1－a D.a ＋2b 1－a 解析：lg 12lg 5＝lg 3＋lg 4lg 5＝lg 3＋2lg 21－lg 2＝2a ＋b 1－a. 答案：C4．若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( )A ．3B ．9C ．18D ．27解析：原式可化为log 8m ＝2log 34，lg m 3lg 2＝2lg 4lg 3， 即lg m ＝6lg 2·lg 32lg 2，lg m ＝lg 27，m ＝27. 故选D.答案：D二、填空题5．lg 10 000＝________；lg 0.001＝________.解析：由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0.001＝－3，注意常用对数不是没有底数，而是底数为10.答案：4 －36．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x 等于________． 解析：由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg x lg 6＝2， lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125. 答案：1257.lg 2＋lg 5－lg 12lg 12＋lg 8·(lg 32－lg 2)＝________. 解析：原式＝lg (2×5)－0lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122×8×lg 322＝1lg 2·lg 24＝4. 答案：4三、解答题8．化简：(1)lg 3＋25lg 9＋35lg 27－lg 3lg 81－lg 27； (2)(lg 5)2＋lg 2lg 50＋211+log252.解析：(1)方法一 (正用公式)：原式＝lg 3＋45lg 3＋910lg 3－12lg 34lg 3－3lg 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋45＋910－12lg 3lg 3＝115. 方法二 (逆用公式)：原式＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×925×2712×35×3－12lg 8127＝lg 3115lg 3＝115. (2)原式＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋1)＋21·22log ＝lg 5·(lg 5＋lg 2)＋lg 2＋25＝1＋2 5.9．计算：(1)log 1627log 8132；(2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)．解析：(1)log 1627log 8132＝lg 27lg 16×lg 32lg 81＝lg 33lg 24×lg 25lg 34＝3lg 34lg 2×5lg 24lg 3＝1516. (2)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋log 32log 39⎝ ⎛⎭⎪⎫log 23log 24＋log 23log 28 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 32＋12log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＋13log 23 ＝32log 32×56log 23＝54×lg 2lg 3×lg 3lg 2＝54. [尖子生题库]10．已知2x ＝3y ＝6z ≠1，求证：1x ＋1y ＝1z. 证明：设2x ＝3y ＝6z ＝k (k ≠1)， ∴x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝log 6k ， ∴1x ＝log k 2，1y ＝log k 3，1z＝log k 6＝log k 2＋log k 3， ∴1z ＝1x ＋1y.。
新教材2020-2021学年高中人教A版数学必修第一册学案：4.3.2 对数的运算含解析
4．3.2对数的运算 内 容 标 准学 科 素 养1.理解对数的运算性质.数学抽象、逻辑推理 数学运算 2.知道换底公式能将一般对数化成自然对数或常用对数．3.会用对数运算性质进行对数运算.[教材提炼]知识点一对数的运算性质预习教材，思考问题lg2＋lg5如何计算？lg 110能直接计算吗？ 知识梳理如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N .(2)log a M N＝log a M －log a N . (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．知识点二对数换底公式预习教材，思考问题lg N 与ln N 之间有联系吗？知识梳理log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)． 特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．即log a b ＝1log b a. [自主检测]1．lg8＋3lg5的值为( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3答案：D2．log 23·log 32的值为( )A.12B ．1 C.32D ．2 答案：B3．lne 2＝________.答案：24．log 312－log 34＝________.答案：1授课提示：对应学生用书第59页探究一对数运算性质的应用[例1]求下列各式的值：(1)lg52＋lg2×lg50＋(lg2)2；(2)log 2748＋log 212－12log 242； (3)lg5·lg8000＋(lg23)2lg600－12lg0.036－12lg0.1； (4)lg(3＋5＋ 3－5)．[解析](1)原式＝2lg5＋lg2×lg(5×10)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2×lg5＋lg2＋(lg2)2＝2lg5＋lg2×(lg5＋lg2)＋lg2＝2lg5＋lg2＋lg2＝2(lg5＋lg2)＝2.(2)原式＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫743×12×17×6＝－12. (3)分子＝lg5(3＋3lg2)＋3(lg2)2＝3lg5＋3lg2(lg5＋lg2)＝3lg5＋3lg2＝3(lg5＋lg2)＝3； 分母＝(lg6＋2)－lg361000×110＝lg6＋2－lg 6100＝4. ∴原式＝34. (4)原式＝12lg(3＋5＋3－5)2＝12lg(3＋5＋3－5＋29－5)＝12lg10＝12. 1．对于有关对数式的化简问题，解题时常用的方法是：(1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；(2)“并”：将同底对数的和(差)的对数并成积(商)的对数．2．注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为求值而进行的． 3．对于常用对数式化简问题应注意充分运用性质“lg5＋lg2＝1”解题．计算：(1)2(lg 2)2＋lg 2×lg5＋ (lg 2)2－lg2＋1； (2)log 535＋2log 122－log 5150－log 514. 解析：(1)原式＝lg 2×(2lg 2＋lg5)＋(lg 2－1)2＝lg 2×(lg2＋lg5)＋(1－lg 2)＝lg 2＋1－lg 2＝1.(2)原式＝log 535×5014＋2log 12212＝log 553－1＝3－1＝2. 探究二用换底公式求对数值[例2][教材P 126练习3变式探究](1)计算(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432. [解析](log 43＋log 83)(log 32＋log 92)－log 12432 ＝⎝⎛⎭⎫log 23log 24＋log 23log 28⎝⎛⎭⎫log 32＋log 32log 39－log 23214log 212＝(12log 23＋13log 23)⎝⎛⎭⎫log 32＋12log 32＋14log 232＝56log 23×32log 32＋54＝56×32×log 23×log 32＋54＝54＋54＝52. (2)计算(log 43－log 83)(log 32－log 92)．[解析]原式＝(lg3lg4－lg3lg8)(lg2lg3－lg2lg9) ＝(lg32lg2－lg33lg2)(lg2lg3－lg22lg3) ＝lg36lg2×lg22lg3＝112. (3)计算(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 52＋log 254＋log 1258)．[解析](1)法一：原式＝⎝⎛⎭⎫log 253＋log 225log 24＋log 25log 28⎝⎛⎭⎫log 52＋log 54log 525＋log 58log 5125 ＝⎝⎛⎭⎫3log 25＋2log 252log 22＋log 253log 22(log 52＋2log 522log 55＋3log 523log 55)＝(3＋1＋13)log 25·(3log 52)＝13log 25·log 22log 25＝13. 法二： 原式＝⎝⎛⎭⎫lg125lg2＋lg25lg4＋lg5lg8⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋lg4lg25＋lg8lg125 ＝⎝⎛⎭⎫3lg5lg2＋2lg52lg2＋lg53lg2⎝⎛⎭⎫lg2lg5＋2lg22lg5＋3lg23lg5＝⎝⎛⎭⎫13lg53lg2⎝⎛⎭⎫3lg2lg5＝13. 换底公式的作用是将不同底数的对数式转化成同底数的对数式，将一般对数式转化成自然对数式或常用对数式来运算．要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．探究三含附加条件的对数式的求值[例3] (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645.[解析]因为log 189＝a,18b ＝5，所以log 185＝b ，于是法一：log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(9×5)log 181829＝log 189＋log 1852log 1818－log 189＝a ＋b 2－a. 法二：因为lg9lg18＝log 189＝a ，所以lg9＝a lg18， 同理得lg5＝b lg18，所以log 3645＝lg45lg36＝lg (9×5)lg 1829＝lg9＋lg52lg18－lg9＝a lg18＋b lg182lg18－a lg18＝a ＋b 2－a . (2)设3a ＝5b ＝15，求1a ＋1b的值． [解析]∵3a ＝5b ＝15，两边取常用对数，得a lg3＝b lg5＝12lg15， ∴a ＝lg152lg3，b ＝lg152lg5， ∴1a ＋1b ＝2lg3lg15＋2lg5lg15＝2(lg3＋lg5)lg15＝2lg15lg15＝2. 应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．左右两边同时取常用对数．1．将本例(1)改为：已知log 23＝a ，log 37＝b ，试用a ，b 表示log 1456.解析：由已知log 32＝1a，log 37＝b ， log 1456＝log 356log 314＝log 3(23×7)log 3(2×7)＝3log 32＋log 37log 32＋log 37＝3a ＋b 1a＋b ＝3＋ab 1＋ab . 2．将本例(2)变为设2x ＝5y ＝m ，且1x ＋1y＝2，则m ＝( ) A ．±10B.10C ．10D ．100 解析：∵2x ＝5y ＝m ，两边取常用对数．得x ＝log 2m ＝lg m lg2，y ＝log 5m ＝lg m lg5， ∴1x ＋1y ＝lg2＋lg5lg m ＝1lg m＝2， ∴lg m ＝12，∴m ＝1012＝10. 答案：B授课提示：对应学生用书第60页一、对数运算性质及换底公式的拓展变形1．换底公式的意义在于把对数的底数改变，把不同底问题转化为同底问题进行化简、计算和证明．换底公式在实际应用中究竟换成以什么为底，要由具体已知的条件来确定，一般换成以10为底的常用对数．2．几个特殊的对数换底公式的拓展变形(a ＞0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈N *)(1)log a nb n ＝log a b ；(2)log a mb n ＝n mlog a b ； (3)log a b ＝1log b a；(4)log a b ·log b c ＝log a c . [典例]已知f (3x )＝4x log23＋234，求f (2)＋f (4)＋…＋f (28)． [解析]f (3x )＝4x log 23＋234，即f (3x )＝4x log 23＋234，即f (3x )＝4log 23x ＋234，∴f (x )＝4log 2x ＋234.∴f (2)＋f (4)＋…＋f (28)＝(4log 22＋234)＋(4log 24＋234)＋…＋(4log 228＋234)＝8×234＋4(log 22＋log 24＋…＋log 228)＝1872＋4(log 22＋2log 22＋…＋8log 22)＝1872＋144＝2016.二、忽略对数的限制条件导致错误[典例]若lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg2＋lg x ＋lg y ，求x y的值． [解析]因为lg(x －y )＋lg(x ＋2y )＝lg[(x －y )(x ＋2y )]＝lg(2xy )，所以(x －y )(x ＋2y )＝2xy ，即x 2－xy －2y 2＝0，所以(x －2y )(x ＋y )＝0，所以x y ＝2或x y＝－1. 因为x ＞0，y ＞0，所以x y ＞0，故舍去x y ＝－1，所以x y＝2. 纠错心得 对数式中，若含字母参数，要注意其有意义的隐含条件，此题易忽略x －y ＞0，x ＋2y ＞0，x ＞0，y ＞0，而出现增解x y ＝－1.。
2020-2021学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：4.3.2对数的运算含解析
4.3.2对数的运算必备知识·探新知基础知识知识点1对数的运算性质条件a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0性质log a(MN)＝__log a M＋log a N__log aMN＝__log a M－log a N__log a M n＝__n log a M__(n∈R)思考1：在积的对数运算性质中，三项的乘积式log a(MNQ)是否适用？你能得到一个怎样的结论？提示：适用，log a(MNQ)＝log a M＋log a N＋log a Q，积的对数运算性质可以推广到真数是n 个正数的乘积．知识点2换底公式若a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1，则有log a b＝__log c blog c a__.思考2：(1)对数的换底公式用常用对数、自然对数表示什么形式？(2)你能用换底公式和对数的运算性质推导出结论log Nn M m＝mn log N M吗？提示：(1)log a b＝lg blg a，log a b＝ln bln a.(2)log N n M m＝lg M mlg N n＝m lg Mn lg N＝mn·lg Mlg N＝mn log N M.基础自测1．若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数是(A)①log a x·log a y＝log a(x＋y)；②log a x－log a y＝log a(x－y)；③log axy＝log a x÷log a y；④log a (xy )＝log a x ·log a y . A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由对数运算法则知，均不正确．故选A ． 2．log 62＋log 63等于( A ) A ．1 B ．2 C ．5D ．6[解析] log 62＋log 63＝log 6(2×3)＝log 66＝1.3．(2020·天津和平区高一期中测试)计算：log 25·log 32·log 59＝__2__. [解析] 原式＝lg5lg2·lg2lg3·lg9lg5＝lg5lg2·lg2lg3·2lg3lg5＝2. 4．求下列各式的值： (1)log 3(27×92)；(2)lg5＋lg2； (3)ln3＋ln 13；(4)log 35－log 315.[解析] (1)方法一：log 3(27×92)＝log 327＋log 392＝log 333＋log 334＝3log 33＋4log 33＝3＋4＝7；方法二：log 3(27×92)＝log 3(33×34)＝log 337＝7log 33＝7. (2)lg5＋lg2＝lg(5×2)＝lg10＝1. (3)ln3＋ln 13＝ln(3×13)＝ln1＝0.(4)log 35－log 315＝log 3515＝log 313＝log 33－1＝－1.关键能力·攻重难题型探究题型一 对数的运算性质的应用例1 用log a x ，log a y ，log a z 表示：(1)log a (xy 2)；(2)log a (x y )；(3)log a3x yz 2. [解析] (1)log a (xy 2)＝log a x ＋log a y 2＝log a x ＋2log a y . (2)log a (x y )＝log a x ＋log a y ＝log a x ＋12log a y .(3)log a3x yz 2＝13log a x yz 2＝13[log a x －log a (yz 2)] ＝13(log a x －log a y －2log a z )． [归纳提升] 对对数式进行计算、化简时，一要注意准确应用对数的性质和运算性质．二要注意取值范围对符号的限制．【对点练习】❶ 用log a x 、log a y 、log a z 表示下列各式： (1)log a (x 3y 5)； (2)log ax yz. [解析] (1)log a (x 3y 5)＝log a x 3＋log a y 5 ＝3log a x ＋5log a y . (2)log axyz＝log a x －log a (yz ) ＝log a x 12－(log a y ＋log a z )＝12log a x －log a y －log a z . 题型二 利用对数的运算性质化简、求值例2 化简下列各式： (1)log 2(23×45)； (2)lg3＋2lg2－1lg1.2；(3)lg14－2lg 73＋lg7－lg18；(4)log 28＋43＋log 28－43； (5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3)．[分析] 熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键．进行对数运算，要注意法则的正用和逆用．在化简变形的过程中，要善于观察、比较和分析，从而选择快捷、有效的运算方案．[解析] (1)log 2(23×45)＝log 223＋log 245＝3＋5log 24＝3＋5×2＝13.(2)lg3＋2lg2－1lg1.2＝lg3＋lg4－1lg1.2＝lg1.2lg1.2＝1.(3)方法一：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg(2×7)－2(lg7－lg3)＋lg7－lg(32×2) ＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－2lg3－lg2＝0. 方法二：lg14－2lg 73＋lg7－lg18＝lg14－lg(73)2＋lg7－lg18＝lg14×7(73)2×18＝lg1＝0.(4)log 28＋43＋log 28－4 3＝log 2[(8＋43)(8－43)]＝log 264－48＝log 24＝2.(5)log 2(1＋2＋3)＋log 2(1＋2－3) ＝log 2[(1＋2)2－(3)2]＝log 2(3＋22－3) ＝log 222＝log 2232＝32. [归纳提升] 利用对数运算性质化简与求值的原则 (1)正用或逆用公式，对真数进行处理．(2)选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． 【对点练习】❷ 计算下列各式的值：(1)(2020·湖南衡阳高一期末测试)log 327＋lg 25－lg4；(2)(2020·江苏、苏州市高一期中测试)(lg5)2＋lg2×lg50. [解析] (1)原式＝log 3332 ＋lg 254＝32＋lg 110＝32＋lg10－1 ＝32－1＝12.(2)原式＝(lg5)2＋lg2×lg(5×10) ＝(lg5)2＋lg2×(1＋lg5) ＝(lg5)2＋lg2＋lg2·lg5 ＝lg5(lg5＋lg2)＋lg2 ＝lg5＋lg2＝lg10＝1. 题型三 换底公式的应用例3 (1)计算log 2125·log 318·log 519；(2)若log 34·log 48·log 8m ＝log 42，求m 的值．[分析] (1)对数的底数不同，如何将其化为同底的对数？(2)等式左边前一个对数的真数是后面对数的底数，利用换底公式很容易进行约分求解m 的值．[解析] (1)原式＝lg 125lg2·lg 18lg3·lg 19lg5＝(－2lg5)·(－3lg2)·(－2lg3)lg2·lg3·lg5＝－12.(2)由题意，得lg4lg3·lg8lg4·lg m lg8＝lg m lg3＝12，∴lg m ＝12lg3，即lg m ＝lg312 ，∴m ＝ 3.[归纳提升] 关于换底公式的用途和本质：(1)换底公式的主要用途在于将一般对数式化为常用对数或自然对数，然后查表求值，以此来解决对数求值的问题．(2)换底公式的本质是化异底为同底，这是解决对数问题的基本方法．(3)在运用换底公式时，若能结合底数间的关系恰当选用一些重要的结论，如log a b ＝1log b a ；log a a n ＝n ，log am b n ＝nmlog a b ；lg2＋lg5＝1等，将会达到事半功倍的效果．【对点练习】❸ 计算下列各式的值： (1)log 89·log 2732； (2)log 927；(3)log 21125·log 3132·log 513.[解析] (1)log 89·log 2732＝lg9lg8·lg32lg27＝lg32lg23·lg25lg33＝2lg33lg2·5lg23lg3＝109.(2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32.(3)log 21125·log 3132·log 513＝log 25－3·log 32－5·log 53－1 ＝－3log 25·(－5log 32)·(－log 53) ＝－15·lg5lg2·lg2lg3·lg3lg5＝－15.误区警示忽视真数大于零致误例4 解方程：log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1. [错解] 原方程变形为log 2(x ＋1)－12log 2(x ＋4)＝1，∴log 2(x ＋1)－log 2x ＋4＝1，∴log 2x ＋1x ＋4＝log 22， ∴x ＋1x ＋4＝2，∴x 2－2x －15＝0，∴x ＝－3或x ＝5， 故原方程的解为x ＝－3或x ＝5.[错因分析] 解题过程中忽视对数log a N 中真数N 必须大于0时对数才有意义．实际上，在解答此类题时，要时刻关注对数本身是否有意义．另外，在运用对数运算性质或相关公式时也要谨慎，以防出错．[正解] ∵log 2(x ＋1)－log 4(x ＋4)＝1， ∴log 4(x ＋1)2x ＋4＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x＋1>0，x＋4>0，(x＋1)2x＋4＝4，解得x＝5或x＝－3(舍去)．∴方程log2(x＋1)－log4(x＋4)＝1的解为x＝5.[方法点拨]在将对数方程化为代数方程的过程中，未知数的范围扩大或缩小就容易产生增根．故解对数方程必须把所求的解代入原方程进行检验，否则易产生增根，造成解题错误．也可以像本题的求解过程这样，在限制条件下去求解．学科素养转化与化归思想的应用与综合分析解决问题的能力例5 (1)设3x＝4y＝36，求2x＋1y的值；(2)已知log23＝a,3b＝7，求log1256.[分析](1)欲求2x＋1y的值，已知3x＝36,4y＝36，由此两式怎样得到x，y，容易想到对数的定义——故可用等式两端取同底的对数(指对互化)来解决．(2)已知条件中有指数式，也有对数式，而待计算式为对数式，因此可将指数式3b＝7化为对数式解决．观察所给数字特征、条件式中为2、3、7，又12＝3×22,56＝7×23，故还可以利用换底公式的推论log a n b m＝mn log a b，将条件中的对数式log23＝a化为指数式解答．[解析](1)由已知分别求出x和y，∵3x＝36,4y＝36，∴x＝log336，y＝log436，由换底公式得：x＝log3636log363＝1log363，y＝log3636log364＝1log364，∴1x＝log363，1y＝log364，∴2x＋1y＝2log363＋log364＝log36(32×4)＝log3636＝1.(2)解法一：因为log23＝a，所以2a＝3.又3b＝7，故7＝(2a)b＝2ab，故56＝23＋ab，又12＝3×4＝2a×4＝2a＋2，从而log 1256＝log 2a ＋223＋ab ＝3＋aba ＋2. 解法二：因为log 23＝a ，所以log 32＝1a .又3b ＝7，所以log 37＝b .从而log 1256＝log 356log 312＝log 37＋log 38log 33＋log 34＝log 37＋3log 321＋2log 32＝b ＋3·1a 1＋2·1a ＝ab ＋3a ＋2.[归纳提升] 1.应用换底公式应注意的事项 (1)注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式，注意转化与化归思想的运用．2．对数式的条件求值问题要注意观察所给数字特征，分析找到实现转化的共同点进行转化．3．利用换底公式计算、化简、求值的一般思路：思路一：用对数的运算法则及性质进行部分运算→换成同一底数． 思路二：一次性统一换为常用对数(或自然对数)→化简、通分、求值．课堂检测·固双基1．2log 510＋log 50.25的值为( C ) A ．0 B ．1 C ．2D ．4[解析] 原式＝log 5100＋log 50.25 ＝log 5(100×0.25)＝log 525＝log 552＝2.2．(2019·北京丰台区高一期末测试)lg25＋lg4＋(19)－12的值为( B )A ．73B ．5C ．313D ．13[解析]原式＝lg(25×4)＋(3－2)－12＝lg100＋3 ＝2＋3＝5.3.12log 612－log 62＝__12__. [解析] 原式＝12log 612－12log 62＝12log 6122＝12log 66＝12. 4．计算下列各式的值： (1)2lg5＋lg4＋e ln2＋log 222； (2)(log 23＋log 89)(log 34＋log 98＋log 32)．[解析] (1)原式＝2lg5＋2lg2＋2＋3＝2(lg5＋lg2)＋5＝7. (2)原式＝(log 23＋log 29log 28)(log 322＋log 38log 39＋log 32)＝(log 23＋23log 23)(2log 32＋32log 32＋log 32)＝53log 23×92log 32＝152.。
(新教材)高中数学人教A必修第一册同步练习：4.3.2对数的运算
.
1
1
解析 由题意得 27 3+ lg 4 + 2lg 5 -eln 3= (3 3)3 + (lg 4 + lg 25) -eln 3= 3+ 2-3= 2.
答案 2
6.log 35log 46log 57log 68log 79=
.
解析
log
35log
46log
57log
68log
79=
lg5 lg3
3.2
x=
5y=m
(
m>
0),
且
1+
??
1
??= 2,则
m 的值为
.
解析 由 2x= 5y=m (m> 0), 得 x= log 2m,y= log5m,
由
1
??+
1
1
??= 2,得 log 2 ?? +
1
log 5??= 2,
即 log m2+ log m5= 2,log m(2×5)= 2.故有 m= √10. 答案 √10
x5
+
1)
=
(log
x5)
2,
整理得 2(log x5)2-logx5-1= 0,
解得
log
x5=-
1
(log
2
x5=
1
舍去
),∴
1
=
??
25.
从而 P= √1??-??= √25 -16= 3,
即存在一个正数 P= 3,使得 P= √1??-??成立 .
2,因为
??+
??
??=
??
log
人教版(新教材)高中数学必修1(第一册)学案：4.3.2 对数的运算
4．3.2 对数的运算学习目标 1.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件.2.掌握换底公式及其推论.3.能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．知识点一 对数运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )． 知识点二 换底公式1．log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．2．对数换底公式的重要推论：(1)log a N ＝1log N a (N >0，且N ≠1；a >0，且a ≠1)；(2)log n m a b ＝mnlog a b (a >0，且a ≠1，b >0)；(3)log a b ·log b c ·log c d ＝log a d (a >0，b >0，c >0，d >0，且a ≠1，b ≠1，c ≠1)． 预习小测 自我检验1．计算log 84＋log 82＝________. 『答 案』 12．计算log 510－log 52________. 『答 案』 13．(1)lg 10＝________；(2)已知ln a ＝0.2，则ln ea ＝________.『答 案』 (1)12 (2)0.84.log 29log 23＝________. 『答 案』 2一、对数运算性质的应用 例1 计算下列各式： (1)log 53625；(2)log 2(32×42)； (3)log 535－2log 573＋log 57－log 595.解 (1)原式＝13log 5625＝13log 554＝43.(2)原式＝log 232＋log 242＝5＋4＝9.(3)原式＝log 5(5×7)－2(log 57－log 53)＋log 57－log 595＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2log 55＝2. 反思感悟 对数式化简与求值的基本原则和方法 (1)基本原则对数式的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行． (2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数； ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)． 跟踪训练1 计算下列各式的值： (1)(lg5)2＋2lg2－(lg2)2； (2)lg3＋25lg9－35lg 27lg81－lg27.解 (1)原式＝(lg5＋lg2)(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg10(lg5－lg2)＋2lg2 ＝lg5－lg2＋2lg2 ＝lg5＋lg2＝1.(2)原式＝lg3＋45lg3－910lg34lg3－3lg3＝⎝⎛⎭⎫1＋45－910lg3(4－3)lg3＝910. 二、对数换底公式的应用例2 (1)计算：(log 43＋log 83)log 32＝________. 『答 案』 56『解 析』 原式＝⎝⎛⎭⎫1log 34＋1log 38log 32 ＝⎝⎛⎭⎫12log 32＋13log 32log 32 ＝12＋13＝56. (2)已知log 189＝a ,18b ＝5，求log 3645.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以b ＝log 185. 所以log 3645＝log 1845log 1836＝log 18(5×9)log 18(2×18)＝log 185＋log 189log 182＋log 1818＝a ＋b 1＋log 182＝a ＋b 1＋log 18189＝a ＋b 2－log 189＝a ＋b 2－a .延伸探究若本例(2)条件不变，求log 915.(用a ，b 表示) 解 因为18b ＝5，所以log 185＝b . 所以log 915＝log 1815log 189＝log 18(3×5)log 189＝log 183＋log 185a ＝log 189＋ba＝1218log9ba＝12log189＋ba＝12a＋ba＝a＋2b2a.反思感悟 利用换底公式化简与求值的思路跟踪训练2 (1)log 89log 23的值是( )A.23B.32C ．1D ．2 『答 案』 A『解 析』 方法一 将分子、分母利用换底公式转化为常用对数， 即log 89log 23＝lg9lg8lg3lg2＝2lg33lg2·lg2lg3＝23. 方法二 将分子利用换底公式转化为以2为底的对数， 即log 89log 23＝log 29log 28log 23＝2log 233log 23＝23. (2)计算：log 52·log 79log 513·log 734.解 原式＝log 52log 513·log 79log 73423122114233log 2log log 23log 3==⋅＝－12·log 32·3log 23＝－32.三、对数的综合应用例3 2018年我国国民生产总值为a 亿元，如果平均每年增长8%，估计约经过多少年后国民生产总值是2018年的2倍？(lg2≈0.3010，lg1.08≈0.0334，精确到1年) 解 设经过x 年后国民生产总值为2018年的2倍． 经过1年，国民生产总值为a (1＋8%)， 经过2年，国民生产总值为a (1＋8%)2， …，经过x 年，国民生产总值为a (1＋8%)x ＝2a ， 所以1.08x ＝2，所以x ＝log 1.082＝lg2lg1.08＝0.30100.0334≈9，故约经过9年后国民生产总值是2018年的2倍． 反思感悟 解决对数应用题的一般步骤跟踪训练3 在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (单位：m/s)和燃料的质量M (单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m (单位：kg)满足e v ＝⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000(e 为自然对数的底数，ln3≈1.099)．当燃料质量M 为火箭(除燃料外)质量m 的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．解 因为v ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm 2000 ＝2000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 所以v ＝2000·ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．故当燃料质量M 为火箭质量m 的两倍时，火箭的最大速度为2198m/s.1．计算：log 123＋log 124等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 『答 案』 A2．若lg2＝m ，则lg5等于( ) A ．m B.1m C ．1－m D.10m『答 案』 C 『解 析』 lg 5＝lg102＝lg 10－lg 2＝1－m . 3．化简12log 612－2log 62的结果为( )A ．62B ．122C ．log 63D.12『答 案』 C『解 析』 原式＝log 612－log 62＝log 6122＝log 6 3. 4．下列各等式正确的为( ) A ．log 23·log 25＝log 2(3×5) B ．lg3＋lg4＝lg(3＋4) C ．log 2xy＝log 2x －log 2yD ．lg nm ＝1n lg m (m >0，n >1，n ∈N *)『答 案』 D『解 析』 A ，B 显然错误，C 中，当x ，y 均为负数时，等式右边无意义． 5．计算：log 513·log 36·log 6125＝________.『答 案』 2『解 析』 原式＝lg 13lg5·lg6lg3·lg 125lg6＝－lg3lg5·lg6lg3·－2lg5lg6＝2.1．知识清单： (1)对数的运算性质． (2)换底公式． (3)对数的实际应用． 2．方法归纳：(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度． (2)利用结论log a b ·log b a ＝1，log n m a b ＝m n log a b 化简求值更方便．3．常见误区：要注意对数的运算性质(1)(2)的结构形式，易混淆．。
高中数学第四章指数函数与对数函数4.3对数4.3.2对数的运算课件新人教A版必修第一册
答案 C
解析
log512＝llgg152＝2l1g－2＋lgl2g
3 2a＋b ＝ 1－a ，故选
C.
10．设 2a＝5b＝m，且1a＋1b＝2，则 m＝(
)
A. 10 B．10 C．20 D．100
答案 A
解析 ∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m.1a＋1b＝logm2＋logm5＝logm10 ＝2，∴m2＝10.又 m>0，∴m＝ 10，选 A.
解析 由对数的运算性质知 A，B 错误，C 正确；D 中－2 不能作底数， ∴D 错误，故选 C.
2．若 lg x－lg y＝a，则 lg 2x3－lg 2y3＝(
)
A．3a
3 B.2a
C．a
a D.2
答案 A
解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg x－lg y)＝3a.
－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5
＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12lg 10＝12.
解法二：原式＝lg
4 7
2－lg
4＋lg
7
5＝lg
4
2×7 7×4
5＝lg (
2×
5)＝lg
10＝12.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5×(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
12．方程 log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________． 答案 4 解析 由换底公式得 log9(x＋5)＝12log3(x＋5)． ∴原方程可化为 2log3(x－1)＝log3(x＋5)， 即 log3(x－1)2＝log3(x＋5)， ∴(x－1)2＝x＋5. ∴x2－3x－4＝0，解得 x＝4 或 x＝－1.
高一上学期数学人教A版必修第一册4.3.2对数的运算课件
问题2 结论
探究新知
现代社会，由于有了计算器（机）等计算工具，对数的运算性质的这 种作用好像有些微不足道，但在数学发展过程中，由于当时没有计算 工具，对于天文学中大数的乘、除等运算，仅靠纸笔运算是相当繁琐、 复杂的，而对数的发明“延长了天文学家的寿命”．因此，对数运算 性质在数学发展史上是伟大的成绩．
归纳小结
问题4 回顾本节课，我们是如何得到对数的运算性质的？这对我们有什么启 示？谈谈对数的换底公式为什么非常重要？
答案：（1）我们是根据对数的定义，以及对数与指数间的关系，通 过指数幂运算推导出对数的运算性质．这对我们的启示是，数学知识、 数学运算不是相互孤立的，它们之间有着密切的联系．所以我们在今 后的学习中，也应当重视在现有知识的基础上，进行新知识的拓展， 并且注意新旧知识之间的联系．
探究新知
问题2 追问2 根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1）
aras ars a 0，r，s R ，你能将指数式 aman amn 转换为对数
式的情势么？由此你可以得出的对数的运算性质是什么？
答案：这样，就得到了对数的一个运算性质：
loga MN loga M loga N
探究新知
问题1 追问1 请回忆指数幂的运算性质．
答案：对于任意实数r，s，均有下面的指数幂运算性质．
（1）aras ars a 0，r，s R ；
（2） ar s ars a 0，r，s R；
（3）abr arbr a 0，b 0，r R．
探究新知
问题2 追问2 根据对数与指数间的关系，结合指数幂的运算性质（1）
追问 类比例3中具体数值的计算，本题可以根据对数的哪些运算性质？
答案：通过视察，本题需要综合运用对数的3条运算性质进行求解．
人教A版高中数学必修第一册4.3.2 对数的运算(课件)
易错防范：错因是忽视了 x＞0，y＞0，x－2y＞0，从而xy＞2．防范 措施是解与对数相关问题，首先让对数符号有意义．
正解：由已知 x＞0，y＞0，x－2y＞0，故xy＞2，由 lg x＋lg y＝2lg(2 －2y)，得 x·y＝(x－2y)2，即xy＝4 或xy＝1(舍去)，所以 log4xy＝1．
• 【答案】(1)2 (2)3
【解析】(1)原式＝llgg
2 lg 3·lg
29＝2．
(2)原式可化为 lg 10＋llgg 32·llgg 43＝3．
|课堂互动|
• 题型1 利用对数的运算性质化简、求值
•
计算下列各式的值：
(1)21lg3429－43lg 8＋lg 245；
(2)lg 25＋23lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2．
|素养达成|
• 1．换底公式可完成不同底数的对数式之间的转 化，可正用、逆用．使用的关键是恰当选择底数， 换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化 简(体现了数学运算核心素养)．
• 2．运用对数的运算性质应注意：
• (1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性 质．
• (2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用．
• 利用对数式与指数式互化求值的方法
• (1)在对数式、指数式的互化运算中，要注意灵 活运用定义、性质和运算法则，尤其要注意条件和 结论之间的关系，进行正确的相互转化．
• (2)对于连等式可令其等于k(k＞0)，然后将指数 式用对数式表示，再由换底公式可将指数的倒数化 为同底的对数，从而使问题得解．
3．已知 3a＝5b＝M，且a1＋b1＝2，则 M＝____________． 【答案】 15 【解析】因为 3a＝5b＝M，所以 a＝log3M，b＝log5M，则a1＝logM3， 1b＝logM5，所以1a＋1b＝logM3＋logM5＝logM15＝2，即 M2＝15，解得 M＝ ± 15．又因为 M＞0，所以 M＝ 15．
高中数学必修第一册人教A版4.3.2《对数的运算---习题课》名师课件
=
1
log ( )
= 1.
(2)∵ 3 = 5, ∴ = log 3 5, ∵ log 3 2 =
∴ log 3
1
1
1
1
30 = log 3 30 = log 3 (2 × 5 × 3) = log 3 2 + log 3 5 + 1 = ( + + 1)
2
1
2log4
=
1
.
2
方法归纳
解决指数恒等式问题的方法：
通过引入对数式，将互相不便转化运用的条件有机地联系在
一起，尤其是换底公式的运用，使得条件之间的内在关系显
现出来，问题求解也就顺理成章了.
变式训练
4. (1)已知 > 0， ≠ 1， ≠ 1， ≠ 1， ≠ 1， ≠ 1，, , > 0且log +
经检验知， = 10−5 或 = 102 都是原方程的解.
(2)由题意得， > 0且 ≠
化简，得 lg
2
1
，原方程可化为lg
10
+
2lg
1+lg
= 2，
+ lg − 2 = 0, 解得lg = 1或lg = −2，解得 =10和 =
经检验知， = 10和 =
1
都是原方程的解.
∴ lg = 10，两边取以10为底的对数，
得 lg
2
= 1,lg= ±1，
解得 =10或 =
1
.
10
经检验， = 10和 =
1
都是原方程的解.
10
二、带附加条件的指、对数问题
典例讲解
人教A版高中数学必修第一册4.3.2对数的运算【课件】
(2)log798-log72=log7 =log749=2;
(3)lo 9=lo ( )4=4lo
答案:(1)1 (2)2 (3)4
=4.
二、换底公式
1.假设
=x,则 log25=xlog23,即 log25=log23x,从而有 3x=5,再
(1)loga(MN)= logaM+logaN ;
(2)loga = logaM-logaN ;
(3)logaMn= nlogaM (n∈R).
4.计算:(1)log62+log63=
(2)log798-log72=
(3)lo 9=
.
;
;
解析:(1)log62+log63=log6(2×3)=log66=1;
B.log53=
C.lo m=2logam(a>0,且 a≠1)
D.logab=
-
-
解析:log36=,lo m=logam,故选项 A,C 错误;
选项 D 中的底数不能为-2;log53=
答案:B
=
,故选项
提示:(1)3,3;(2)5,5;(3)-1,-1;(4)8,8,每组中两个式子的值均相等.
两个正数的乘积的对数等于两个正数对数的和.
2.计算下列各组式子的值:
(1)lg 10-lg 100,lg ;(2)log39-log327,log3 ;(3)lo -lo 8,lo
(3)(方法一)lg
=lg
14-2lg+lg
高中数学必修一4.3.2 对数的运算(课时作业) (2)
4.3.2 对数的运算[对应学生用书P 60]知识点1 对数的运算性质如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么 (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ； (2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M . [微思考]1．运算性质中底数a 能等于零或小于零吗，真数M ，N 呢？提示：由对数的定义知底数a >0且a ≠1，故a 不能小于或等于0，M ，N 均为正数． 2．当M >0，N >0时，log a (M ＋N )＝log a M ＋log a N ，log a (MN )＝log a M ·log a N 是否成立？ 提示：不一定．知识点2 对数的换底公式与对数恒等式 1．对数的换底公式log a b ＝log c b log c a (a >0，a ≠1，b >0，c >0，c ≠1)．特别地：log a b ·log b a ＝1(a >0，a ≠1，b >0，b ≠1)； log a n b m ＝mn log a b (a ＞0，a ≠1，b ＞0)．2．对数恒等式a log a N ＝N (a ＞0，且a ≠1)． [微体验]1．2log 23＝________.答案 32．log 23·log 32＝________. 解析 log 23·log 32＝lg 3lg 2×lg 2lg 3＝1.答案 13．若lg 3＝a ，lg 2＝b ，用a ，b 表示log 43＝________. 解析 log 43＝lg 3lg 4＝lg 32lg 2＝a2b .答案a 2b[对应学生用书P 60]探究一 对数恒等式的应用计算：31＋log 35－24＋log 23＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫12log 25.解 31＋log35－24＋log 23＋103lg 3＋⎝⎛⎭⎫12log 25＝3×3 log 35－24×2 log 23＋(10lg 3)3＋(2 log 25)－1 ＝3×5－16×3＋33＋5－1 ＝－295.[方法总结]对数恒等式a log a N ＝N 的应用(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可．(2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解．[跟踪训练1] 求值： (1)10lg 2＝________；(2)31＋log34＝________；(3)22log 25－1＝________；(4)⎝⎛⎭⎫13log 43－2＝________. 解析 (1)10lg 2＝2.(2)31＋log34＝3×3log 34＝3×4＝12. (3)22log 25－1＝2log 2522＝522＝252. (4)⎝⎛⎭⎫13log 43－2＝32－log 34＝323log 34＝94. 答案 (1)2 (2)12 (3)252 (4)94探究二 对数运算性质的运用计算下列各式的值：(1)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；(2)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.解 (1)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.(2)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8＝lg 1.82lg 1.8＝12.[方法总结]底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法及注意事项(1)基本原则．对数的化简、求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用方法．①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数． ②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差). (3)注意事项．①对于常用对数的化简要充分利用“lg 5＋lg 2＝lg 10＝1”解题． ②准确应用以下结论：log a 1＝0，log a a ＝1，a log a N ＝N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)． [跟踪训练2] 求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25. 解 (1)原式＝lg 25＋lg 2·(lg 5＋lg 10) ＝l g 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2·lg 10 ＝lg 10(lg 5＋lg 2) ＝lg 10·lg 10 ＝1(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25 ＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5 ＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 25＋lg 2＋lg 2·lg 5 ＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3. 探究三 对数换底公式已知log 37＝a,2b ＝3，试用a ，b 表示log 1456.解 因为 2b ＝3，所以b ＝log 23，即log 32＝1b，log 1456＝log 356log 314＝log 3(23×7)log 3(2×7)＝3log 32＋log 37log 32＋log 37＝3b ＋a1b＋a ＝3＋ab 1＋ab.[变式探究1] 本例条件不变，试用a ，b 表示lo g 2898.解 log 2898＝log 398log 328＝log 3(72×2)log 3(22×7)＝2log 37＋log 322log 32＋log 37＝2a ＋1b 2b＋a ＝2ab ＋12＋ab.[变式探究2] 若把本例中条件“2b ＝3”换为3b ＝2，其他条件不变，则结论又如何呢？解 因为3b＝2，所以b ＝log 32，又因为a ＝log 37，所以log 1456＝log 356log 314＝log 3(23×7)log 3(2×7)＝3log 32＋log 37log 32＋log 37＝3b ＋a a ＋b. [方法总结]1．利用换底公式化简、求值时应注意的问题 (1)针对具体问题，选择恰当的底数． (2)注意换底公式与对数运算法则结合使用． (3)换底公式的正用与逆用．(4)恰当应用换底公式的两个常用结论． 2．利用换底公式计算、化简、求值的思路[跟踪训练3] 已知log 23＝a ，log 37＝b ，用a ，b 表示log 4256. 解 ∵log 23＝a ，则1a＝log 32，又∵log 37＝b ，∴log 4256＝log 356log 342＝log 37＋3log 32log 37＋log 32＋1＝b ＋3·1a b ＋1a＋1＝ab ＋3ab ＋a ＋1.[对应学生用书P 62]1．使用对数恒等式应注意的三点对于对数恒等式a log a N ＝N (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．2．对数的运算性质及应用(1)能用语言准确叙述对数的运算性质．log a (M ·N )＝log a M ＋log a N →积的对数等于对数的和． log a MN＝log a M －log a N →商的对数等于对数的差．log a M n ＝n log a M (n ∈R )→真数的n 次幂的对数等于对数的n 倍．(2)利用对数的运算性质可以把乘、除、乘方的运算转化为对数的加、减、乘运算，反之亦然．(3)对于每一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．3．利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质．课时作业(二十四) 对数的运算[见课时作业(二十四)P 166]1．log 24等于( )A ．12B ．14C ．2D ．4D [log 24＝log 2(2)4＝4.]2．设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a cB [由log a b ·log c b ＝lg b lg a ·lg b lg c ≠log c a ，故A 错；由log a b ·log c a ＝lg b lg a ·lg a lg c ＝lg b lg c ＝log c b . ]3．21＋log 25等于( ) A ．7 B ．10 C ．6 D ．92B [21＋log25＝2×2log 25＝2×5＝10.]4．求值：lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝________.解析 lg 3＋2lg 2－1lg 1.2＝lg 3＋lg 22－1lg 1.2＝lg 12－1lg 1.2＝lg1210lg 1.2＝lg 1.2lg 1.2＝1. 答案 15．计算：log 225·log 322·log 59的结果为________．解析 原式＝lg 25lg 2·lg 22lg 3·lg 9lg 5＝2lg 5lg 2·32lg 2lg 3·2lg 3lg 5＝6.答案 66．已知log a 2＝m ，log a 3＝n . (1)求a 2m －n 的值； (2)求log a 18.解 (1)因为log a 2＝m ，log a 3＝n ，所以a m ＝2，a n ＝3. 所以a 2m －n ＝a 2m ÷a n ＝22÷3＝43.(2)log a 18＝log a (2×32)＝log a 2＋log a 32＝log a 2＋2log a 3＝m ＋2n .1．化简： (log 23)2－4log 23＋4＋log 213＝( )A ．2B ．2－2log 23C ．－2D ．2log 23－2B [因为(log 23)2－4log 23＋4＝(log 23－2)2＝2－log 23，所以原式＝2－log 23＋log 23－1＝2－2log 23.] 2．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝2，则A 的值是( )A ．7B ．7 2C ．±72D ．98B [因为2x ＝72y ＝A ，所以x ＝log 2A,2y ＝log 7A ，1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A ＝log A 2＋2log A 7＝log A (2×72)＝log A 98＝2，所以A 2＝98，又A >0，所以A ＝7 2.]3．已知f (x )＝kx ＋6x －4(k ∈R )，f (lg 2)＝0，则f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝________. 解析 f (lg 2)＝k lg 2＋6lg 2－4＝0，∴k ＝4－6lg 2lg 2＝4lg 2－6lg 2·lg 2，f ⎝⎛⎭⎫lg 12＝4lg 2－6lg 2·lg 2·(－lg 2)－6lg 2－4＝－8.答案 －84．计算⎝⎛⎭⎫－278－23 ＋log 827log 23＋(2－3)0－log 31＋2lg 5＋lg 4－5log 52＝________. 解析 ∵⎝⎛⎭⎫－278－23 ＝1⎝⎛⎭⎫－27823 ＝1⎝⎛⎭⎫－323×23＝49， log 827log 23＝log 227log 28·log 23＝3log 233log 23＝1，(2－3)0＝1， log 31＝0，2lg 5＋lg 4＝lg(52×4)＝lg 102＝2， 5log 52＝2，∴原式＝49＋1＋1－0＋2－2＝229.答案2295．(多空题)若实数a ＞b ＞1，且log a b ＋log b a ＝52，则log a b ＝________；ab 2＝________.解析 log a b ＋log b a ＝52⇒log a b ＋1log a b ＝52⇒log a b ＝2或12，因为a ＞b ＞1，所以log a b ＜1，所以log a b ＝12⇒b ＝a 12 ⇒b 2＝a ，所以b 2a＝1.答案 1216．(拓广探索)若a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0， 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， 所以t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又因为a ，b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， 所以t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.所以lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·⎝⎛⎭⎫lg b lg a ＋lg a lg b ＝(lg a ＋lg b )·lg 2b ＋lg 2alg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a lg blg a lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.。
2020-2021学年高中数学人教A版第一册课时作业4-3-2对数的运算
课时作业31 对数的运算时间：45分钟-—基础巩固类——错误!1．2log 510＋log 50。
25＝( C )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：原式＝log 5102＋log 50。
25＝log 5(100×0.25）＝log 525＝2。
2．若lg （ab )＝1,则lg a 2＋lg b 2＝（ C )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：由lg （ab ）＝1，得ab ＝10.lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2）＝lg102＝2.3.错误!的值是( A )A.92B ．1C 。
错误!D ．3 解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!.4．若2。
5x ＝1 000，0。
25y ＝1 000，则错误!－错误!＝( A )A.错误! B ．3 C ．－错误! D ．－3解析：∵x ＝log 2.51 000，y ＝log 0。
251 000，∴错误!＝错误!＝错误!＝log 1 0002.5,同理错误!＝log 1 0000.25，∴错误!－错误!＝log 1 0002。
5－log 1 0000。
25＝log 1 00010＝错误!＝错误!。
5．log56·log67·log78·log89·log910＝( C ）A．1 B．lg5C.错误!D．1＋lg2解析：原式＝错误!·错误!·错误!·错误!·错误!＝错误!＝错误!。
( C ）A．lg3 B．－lg3 C。
错误!D．－错误!解析：错误!7．方程log3（x2－10)＝1＋log3x的解是x＝5.解析：原方程可化为log3(x2－10)＝log3（3x)，所以x2－10＝3x，解得x＝－2或x＝5。
经检验知x＝5.8。
错误!×(lg32－lg2)＝4。
解析：原式＝错误!×lg错误!＝错误!×lg24＝4。
9．已知4a＝5b＝10，则错误!＋错误!＝2.解析：∵4a＝5b＝10,∴a＝log410，1a＝lg4，b＝log510，错误!＝lg5,∴1a＋错误!＝lg4＋2lg5＝lg4＋lg25＝lg100＝2。
2020-2020学年高中数学新教材人教A版必修第一册学案：第4章 4.3.2 对数的运算
4.3.2对数的运算学习目标核心素养1.理解对数的运算性质．(重点)2．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)1.借助对数的运算性质化简、求值，培养数学运算素养．2．通过学习换底公式，培养逻辑推理素养.问题：(1)计算log24，log28及log232的值，你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗？(2)计算lg 10，lg 100，lg 1 000及lg 104的值，你能发现什么规律？提示：(1)∵log24＝2，log28＝3，log232＝5，∴log24＋log28＝log2(4×8)＝log232；log232－log28＝log2328＝log24；log232－log24＝log2324＝log28.(2)lg 10＝1，lg 100＝lg 102＝2，lg 1 000＝lg 103＝3，lg 104＝4，可见lg 10n ＝n lg 10＝n.1．对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)log a(MN)＝log a M＋log a N；(2)log a MN＝log a M－log a N；(3)log a M n＝n log a M(n∈R)．思考：当M>0，N>0时，log a(M＋N)＝log a M＋log a N，log a(MN)＝log a M·log a N 是否成立？提示：不一定．2．对数的换底公式若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，则有log a b＝log c b log c a.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)log2x2＝2log2x. ()(2)log a[(－2)×(－3)]＝log a(－2)＋log a(－3)．()(3)log a M·log a N＝log a(M＋N)．()(4)log x2＝1log2x. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．计算log84＋log82等于()A．log86B．8 C．6 D．1 D[log84＋log82＝log88＝1.]3．计算log510－log52等于()A．log58 B．lg 5 C．1 D．2 C[log510－log52＝log55＝1.]4．log a b·log b c·log c a＝________.1[log a b·log b c·log c a＝lg blg a·lg clg b·lg alg c＝1.]对数运算性质的应用(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2； (3)lg 2＋lg 3－lg 10lg 1.8.[解] (1)原式＝12(5lg 2－2lg 7)－43·32lg 2＋12(2lg 7＋lg 5) ＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5 ＝12lg 2＋12lg 5 ＝12(lg 2＋lg 5) ＝12lg 10 ＝12.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2 ＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2 ＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. (3)原式＝12(lg 2＋lg 9－lg 10)lg 1.8＝lg 18102lg 1.8 ＝lg 1.82lg 1.8＝12.1．利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．2．对于复杂的运算式，可先化简再计算．化简问题的常用方法： (1)“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)； (2)“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．[跟进训练]1．求下列各式的值： (1)lg 25＋lg 2·lg 50；(2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25.[解] (1)原式＝lg 25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg 25＋1－lg 25＝1. (2)23lg 8＋lg 25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＋lg 2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.对数的换底公式(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)． (2)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645(用a ，b 表示)．[解] (1)(log 2125＋log 425＋log 85)·(log 1258＋log 254＋log 52)＝(log 253＋log 2252＋log 235)·(log 5323＋log 5222＋log 52)＝⎝⎛⎭⎪⎫3＋1＋13log 25·(1＋1＋1)log 52＝133·3＝13. (2)∵18b ＝5，∴b ＝log 185.又log189＝a，∴log3645＝log1845log1836＝log185＋log1891＋log182＝a＋b2－log189＝a＋b2－a.(变结论)在本例(2)的条件下，求log915(用a，b表示)[解]∵log189＝a，∴log183＝a2.又log185＝b，∴log915＝log1815log189＝log183＋log185log189＝a2＋ba＝a＋2b2a.1．在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式．2．常用的公式有：log a b·log b a＝1，log an b m＝mn log a b，log a b＝1log b a等．[跟进训练]2．求值：(1)log23·log35·log516；(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．[解](1)原式＝lg 3lg 2·lg 5lg 3·lg 16lg 5＝lg 16lg 2＝4lg 2lg 2＝4.(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.对数运算性质的综合应用[探究问题]1．若2a＝3b，则ab 等于多少？提示：设2a ＝3b ＝t ，则a ＝log 2t ，b ＝log 3t ，∴ab ＝log 23. 2．对数式log a b 与log b a 存在怎样的等量关系？ 提示：log a b ·log b a ＝1， 即log a b ＝1log ba .【例3】 已知3a ＝5b ＝c ，且1a ＋1b ＝2，求c 的值． [思路点拨]求c 的值[解] ∵3a ＝5b ＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴1a ＝log c 3，1b ＝logc 5， ∴1a ＋1b ＝logc 15.由log c 15＝2得c 2＝15，即c ＝15.1．把本例条件变为“3a ＝5b ＝15”，求1a ＋1b 的值． [解] ∵3a ＝5b ＝15，∴a ＝log 315，b ＝log 515， ∴1a ＋1b ＝log 153＋log 155＝log 1515＝1.2．若本例条件改为“若a ，b 是正数，且3a ＝5b ＝c ”，比较3a 与5b 的大小． [解] ∵3a ＝5b ＝c ，∴a ＝log 3c ，b ＝log 5c ， ∴3a －5b ＝3log 3c －5log 5c＝3lg clg 3－5lg clg 5＝lg c(3lg 5－5lg 3)lg 3lg 5＝lg c(lg 125－lg 243)lg 3lg 5<0，∴3a<5b.应用换底公式应注意的两个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用.(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式.1．记牢2个知识点(1)对数的运算性质；(2)换底公式．2．掌握2种方法(1)利用对数的运算性质，可以把乘、除、乘方运算转化为加、减、乘的运算，加快计算速度．(2)利用结论log a b·log b a＝1，log an b m＝mn log a b化简求值更方便．1．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式：(1)(log a x)n＝n log a x；(2)(log a x)n＝log a x n；(3)log a x＝－log a 1 x；(4)nlog a x＝1n log a x；(5)log a xn＝log anx.其中正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个A[根据对数的运算性质log a M n＝n log a M(M>0，a>0，且a≠1)知(3)与(5)正确．] 2．计算log92·log43＝()A．4B．2C.12D．14D[log92·log43＝lg 2lg 9·lg 3lg 4＝lg 22lg 3·lg 32lg 2＝14.]3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝()A.ba B.a＋baC．ab D．a＋b B[∵10a＝2，∴lg 2＝a，∴log26＝lg 6lg 2＝lg 2＋lg 3lg 2＝a＋ba.]5．计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1.[解](1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122＝log22－32＝－32.。