高中数学(北师大版)必修2课下能力提升：(二十四)

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2017-2018学年高中数学必修2：课下能力提升十四两点

课下能力提升(十四) 两点式1．若直线l 的横截距与纵截距都是负数，则l 的倾斜角为________角，l 不过第________象限．2．直线x a 2－y b 2＝1在y 轴上的截距是________． 3．设A ，B 两点是x 轴上的点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为y ＝x ＋1，则PB 的方程为________．4．若直线y ＝(3－2t )x －6不经过第一象限，则t 的取值范围是________．5．直线l 过点P (1,3)，且与x ，y 轴正半轴所围成的三角形的面积等于6，则l 的方程是________．6．直线l 经过点A (2,1)和点B (a,2)，求直线l 的方程．7．某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价P 与上市时间t 的关系可以用图中的一条折线表示，写出图中表示的西红柿市场售价与上市时间的关系式P ＝f (t )．8．直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程．答案1．钝一2．解析：据直线方程的截距式表示形式，原方程应化为x a 2＋y (－b 2)＝1，直线在y 轴上的截距为－b 2.答案：－b 23．解析：因为点P ，A 都在直线x －y ＋1＝0上，所以P (2,3)，A (－1,0)，又P (2,3)在x 轴上的射影为(2,0)，所以点B (5,0)，则PB 的方程为x ＋y －5＝0.答案：x ＋y －5＝04．解析：若直线不经过第一象限，则斜率小于等于零，且在y 轴上的截距小于或等于零，即3－2t ≤0，解得t ≥32. 答案：[32，＋∞) 5．解析：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知⎩⎨⎧ 1a ＋3b ＝1，12ab ＝6，a ＞0，b ＞0，解得a ＝2，b ＝6， ∴直线l 的方程为x 2＋y 6＝1，即3x ＋y －6＝0. 答案：3x ＋y －6＝0 6．解：①当a ＝2时，直线的斜率不存在，直线上每点的横坐标都为2，所以直线方程为x ＝2；②当a ≠2时，由y －21－2＝x －a 2－a得x ＋(2－a )y ＋a －4＝0. ∴当a ＝2时，所求直线方程为x ＝2；当a ≠2时，所求直线方程为x ＋(2－a )y ＋a －4＝0.7．解：据题意知直线MQ 过点M (0,300)，Q (200,100)，故直线MQ 的方程为P －100300－100＝t －2000－200，整理得t ＋P ＝300.同理，直线QR 的方程为P －300100－300＝t －300200－300，整理得2t －P ＝300.从而P ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，(0≤t ≤200)，2t －300，(200<t ≤300). 8．解：由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ 12ab ＝2|a －b |＝3①. 当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1b ＝－4(舍去)；当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4b ＝－1(舍去)．所以，直线l的方程为x4＋y＝1或x＋y4＝1，即x＋4y－4＝0或4x＋y－4＝0.。

2019-2020学年高中数学(北师大版)必修2 课下能力提升：(二十一) Word版含解析

课下能力提升(二十一)一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或02．已知圆C 的半径长为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线3x ＋4y ＋4＝0与圆C 相切，则圆C 的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x －3＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －3＝0D ．x 2＋y 2－4x ＝03．圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )A ．2B ．1＋2C ．2＋22D ．1＋22 4．已知圆C ：x 2＋y 2＋mx －4＝0上存在两点关于直线x －y ＋3＝0对称，则实数m 等于( )A ．8B ．－4C ．6D ．无法确定5．圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，当圆面积最大时，圆心坐标为( )A ．(－1,1)B ．(1，－1)C ．(－1,0)D ．(0，－1)二、填空题6．过点(－3，－2)的直线l 经过圆x 2＋y 2－2y ＝0的圆心，则直线l 的倾斜角大小为________．7．若直线3x －4y ＋12＝0与两坐标轴交点为A ，B ，则以线段AB 为直径的圆的一般方程为________．8．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．三、解答题9．若点A (1，－1)，B (1,4)，C (4，－2)，D (a,1)共圆，求a 的值．10．求经过A (4,2)、B (－1,3)两点，且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程．答案1．解析：选C 由圆的方程得圆心坐标为(1,2)．再由点到直线的距离公式得|1－2＋a|2＝22，解得a ＝2或a ＝0.2．解析：选D 设圆心为(a,0)，且a ＞0，则(a,0)到直线3x ＋4y ＋4＝0的距离为2，即|3×a ＋4×0＋4|32＋42＝2⇒3a ＋4＝±10⇒a ＝2或a ＝－143(舍去)，则圆的方程为(x －2)2＋(y －0)2＝22，即x 2＋y 2－4x ＝0. 3．解析：选B 圆的方程变为(x －1)2＋(y －1)2＝1，∴圆心为(1,1)，半径为1，圆心到直线的距离d ＝|1－1－2|12＋－＝2，∴所求的最大值为1＋2.4．解析：选C 因为圆上两点A ，B 关于直线x －y ＋3＝0对称，所以直线x －y ＋3＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－m 2，0，从而－m 2＋3＝0，即m ＝6. 5．解析：选D 方程变形为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝1－34k 2， ∴r 2＝1－34k 2，当k ＝0时，r 有最大值．∴圆心坐标为(0，－1)． 6．解析：由x 2＋y 2－2y ＝0，得x 2＋(y －1)2＝1，∴圆心为(0,1)，∴k ＝错误!＝错误!＝错误!.∴直线的倾斜角为60°.答案：60°7．解析：依题意A (－4,0)，B (0,3)，∴AB 中点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－2，32，半径r ＝|AC |＝错误!＝错误!，∴圆的方程为(x ＋2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522，即x 2＋y 2＋4x －3y ＝0.答案：x 2＋y 2＋4x －3y ＝08．解析：∵点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0内部，∴错误!即2a ＜2，a ＜1.答案：(－∞，1)9．解：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，将A ，B ，C 三点坐标代入，整理得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ D －E ＋F ＝－2，D ＋4E ＋F ＝－17，4D －2E ＋F ＝－20，解得D ＝－7，E ＝－3，F ＝2.∴圆的方程为x 2＋y 2－7x －3y ＋2＝0.又∵点D 在圆上，∴a 2＋1－7a －3＋2＝0.∴a ＝0或a ＝7.10．解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，令y ＝0得x 2＋Dx ＋F ＝0，∴圆在x 轴上的截距之和为x 1＋x 2＝－D .令x ＝0得y 2＋Ey ＋F ＝0，∴圆在y 轴的截距之和为y 1＋y 2＝－E .由题设x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝－(D ＋E )＝2.∴D ＋E ＝－2.①又A (4,2)，B (－1,3)在圆上，∴16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，②1＋9－D＋3E＋F＝0.③由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12. 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.。

高中数学(北师大版)必修2 课下能力提升：(十) Word版含解析

一、选择题1．如果直线l ，m 与平面α，β，γ满足：l ＝β∩γ，l ∥α，m α和m ⊥γ，那么必有( ) A ．α⊥γ且l ⊥m B ．α⊥γ且m ∥β C ．m ∥β且l ⊥m D ．α∥β且α⊥γ2．(浙江高考)设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面( ) A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β C ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α D ．若m ∥α，α⊥β，则m ⊥β3．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝1，PE ⊥DE ，则PE 的长为( )A.292 B.135C.175D.11954．设平面α⊥平面β，且α∩β＝l ，直线a α，直线b β，且a 不与l 垂直，b 不与l垂直，那么a 与b ( )A ．可能垂直，不可能平行B ．可能平行，不可能垂直C ．可能垂直，也可能平行D ．不可能垂直，也不可能平行A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 二、填空题7．已知平面α⊥平面β，在α，β的交线上取线段AB ＝4 cm ，AC ，BD 分别在平面α和β内，它们都垂直于AB ，并且AC ＝3 cm ，BD ＝12 cm ，则CD 的长为________ cm.①若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥β； ②若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ；③若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； ④若α∩β＝m ，m ∥n ，且n α，n β，则n ∥α且n ∥β.三、解答题9．如图，A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝2，等边△ADB 所在的平面以AB为轴可转动．(1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2)当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．10．如图，已知四边形ABCD是矩形，P A⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．(1)求证：MN⊥AB；(2)若P A＝AD，求证：MN⊥平面PCD.答案1. 解析：选A∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ，m⊥l；B错，有可能mβ；C错，有可能mβ；D错，有可能α与β相交．2.解析：选C逐一判断可知，选项A中的m，n可以相交，也可以异面；选项B中的α与β可以相交；选项D中的m与β的位置关系可以平行、相交、m在β内，故选C.3.解析：选B如图所示，连接AE.∵P A⊥平面ABCD，BD平面ABCD，∴P A⊥BD.又∵BD ⊥PE ，P A ∩PE ＝P ，∴BD ⊥平面P AE ，∴BD ⊥AE .∴AE ＝3×45＝125.所以在Rt △P AE 中，由P A ＝1，AE ＝125，得PE ＝135.4. 解析：选B 当a ，b 都平行于l 时，a 与b 平行，假设a 与b 垂直，如图所示，由于b 与l 不垂直，在b 上任取一点A ，过点A 作b ′⊥l ，∵平面α⊥平面β，∴b ′⊥平面α，从而b ′⊥a ，又由假设a ⊥b 易知a ⊥平面β，从而a ⊥l ，这与已知a 不与l 垂直矛盾，∴假设不正确，a 与b 不可能垂直．5. 解析：选D 在图①中，∵∠BAD ＝90°，AD ＝AB ， ∴∠ADB ＝∠ABD ＝45°.∵AD ∥BC ，∴∠DBC ＝45°.又∵∠BCD ＝45°， ∴∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD .在图②中，此关系仍成立．∵平面ABD ⊥平面BCD ， ∴CD ⊥平面ABD .∵BA 平面ADB ，∴CD ⊥AB . ∵BA ⊥AD ，∴BA ⊥平面ACD .∵BA 平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ACD .6. 解析：利用面面垂直的判定，可知①③④⇒②为真；利用面面垂直的性质，可知②③④⇒①为真．答案：若①③④，则②(或若②③④，则①) 7. 解析：如图，连接AD ，CD .在Rt △ABD 中，AB ＝4，BD ＝12， ∴AD ＝122＋42＝410 cm. 又∵α⊥β，CA ⊥AB ，CA α， ∴CA ⊥β.∴△CAD 为直角三角形．∴CD ＝CA 2＋AD 2＝32＋42×10＝169＝13(cm)．答案：13设α∩β∩γ＝m，过m上任意一点，在γ内作n⊥m，则直线n既不垂直于α，∵α∥β，∴α与β无公共点，∴直线m与直线n也无公共点．又m∈γ，n∈γ，∴m∥n.∵n∥m，mα，mβ，nα，nβ，∴必有n∥α，n∥β.∴应填②④.答案：②④9. 解：(1)设AB中点为O，连接OC、OD，则OC⊥AB，∵平面ADB⊥平面ABC，平面ADB∩平面ABC＝AB.∴OC⊥面ADB.∵OD平面ADB，∴OC⊥OD.即∠COD＝90°.在等边△ADB中，AB＝2，∴OD＝ 3.在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝2，∴OC＝1.在Rt△COD中，CD＝OC2＋OD2＝2.(2)当△ADB在转动过程中，总有OC⊥AB，OD⊥AB，∴AB⊥平面COD.∴AB⊥CD.当△ADB转动到与△ABC共面时，仍然有AB⊥CD.故△ADB转动过程中，总有AB⊥CD.10. 证明：(1)取CD的中点E，连接EM、EN，则CD⊥EM，且EN∥PD.∵P A⊥平面ABC，CD平面ABC，∴P A⊥CD，又CD⊥AD.∴CD⊥平面P AD.∵PD平面P AD.∴CD⊥PD.∴CD⊥EN.又CD⊥ME，∴CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.又CD∥AB，∴MN⊥AB.(2)在Rt△P AD中有P A＝AD，取PD的中点K，连接AK，KN，则KN 12DC AM，且AK⊥PD.∴四边形AMNK为平行四边形，从而MN∥AK.因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC.又PD∩DC＝D，∴MN⊥平面PCD.。

高中数学(北师大版)必修2 课下能力提升(三) Word版含解析

一、选择题．下列说法中正确的个数是( )①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点．．．．．利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，正确的是如图所示中的( )．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为，则此正方形的面积是( )．．．或．都不对．如图，直观图所表示(′′∥′′，′′∥′′)的平面图形是( )．正三角形．锐角三角形．钝角三角形．直角三角形．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形，则原平面四边形的面积等于( )．二、填空题5．如图所示，为一个水平放置的正方形，它在直角坐标系中，点的坐标为()，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点′到′轴的距离为．6．水平放置的△的斜二测直观图如图所示，已知′′＝，′′＝，则边上的中线的实际长度为．．如图所示是水平放置的△在直角坐标系中的直观图，其中是的中点，原△中，∠≠°，则原图形中与线段的长相等的线段有条．三、解答题．画出一个正三棱台的直观图(尺寸：上、下底面边长分别为、，高为 )．10.用斜二测画法得到一水平放置的三角形为直角三角形，＝，∠＝°，如图所示，试求原图的面积．答案.解析：选只有③④正确．.解析：选正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为∶..解析：选当其中在′轴上的边长为时，正方形面积为；当其中在′轴上的边长为时，正方形面积为..解析：选由′′∥′′，′′∥′′，∠′′′＝°知对应的平面图形为直角三角形．.解析：选由题意知，平行四边形的直观图为。

高中数学(北师大版)必修2 课下能力提升(二十) Word版含解析

课下能力提升(二十)一、选择题．已知圆：(－)＋(－)＝，则()( )．是圆心．在圆外．在圆内．在圆上．圆(－)＋(＋)＝关于直线＋＝对称的圆的方程是( )．(＋)＋(－)＝．(－)＋(＋)＝．(＋)＋(－)＝．(－)＋(－)＝．在方程(－)＋(＋)＝＋(∈)表示的所有圆中，面积最小的圆的圆心和半径分别是()．(－)，．(，－)，．(－), ．(，－),．方程＝表示的曲线是( )．一条射线．一个圆．两条射线．半个圆．设是圆(－)＋(－)＝上的点，则到＋－＝的最小距离是( )．．．．二、填空题．圆心在轴上，且过点()和(，－)的圆的标准方程为．．已知圆的方程(＋)＋(－)＝，圆与圆是同心圆且过点()，则圆的标准方程为．．设点(，)是圆＋(＋)＝上任意一点，则的最大值为．三、解答题．已知直线与圆相交于点(，)和点()．()求圆心所在的直线方程；()若圆的半径为，求圆的方程．答案．解析：选由圆的方程知圆心()，半径＝，故排除.又∵＝＝＜＝，∴在圆内部．．解析：选对称后，圆的半径不变，只需将圆心关于＋＝的对称点作为圆心即可．∵已知圆的圆心(，－)关于＋＝的对称点(，－)为所求圆的圆心，∴所求圆的方程为(－)＋(＋)＝.．解析：选当＝时，圆的半径最小且为，这时圆的面积最小，圆心为(，－)．．解析：选由＝，知≥，两边平方移项，得＋＝.∴原方程等价于(\\(＋＝，≥，))表示圆心在原点，半径为的圆的上半部分．．解析：选圆心()到直线＋－＝的距离＝＝＝，∴所求的最小距离是－＝.．解析：法一：设圆的方程为(－)＋(－)＝.则(\\(＝，,(－(＋(－(＝，,(－(＋(－－(＝，))解得(\\(＝，＝，＝()，))∴所求圆的方程为(－)＋＝.法二：∵圆过()，(，－)两点，∴圆心一定在线段的中垂线上．中垂线的方程为＝－(－)，令＝，得＝.即圆心坐标()，∴＝＝＝，∴所求圆的方程为(－)＋＝.答案：(－)＋＝．解析：由圆的方程知圆心(－)，因为与是同心圆，所以的圆心也为(－)．可设的方程为(＋)＋(－)＝.又由过点()，所以(＋)＋(－)＝，＝.故圆的方程为(＋)＋(－)＝.答案：(＋)＋(－)＝．解析：理解的几何意义，即为动点(，)到定点()的距离．因为点(，)是圆＋(＋)＝上的任意一点，因此表示点()与该圆上点的距离．易知点()在圆＋(＋)＝外，结合图易得的最大值为＋＝＋.答案：＋．解：()的方程为＋－＝.中点，＝－，所以圆心所在的直线方程为＝.()由条件设圆的方程为：(－)＋(－)＝.。

2017-2018学年高一数学(北师大)必修2 课下能力提升：(二十四)

课下能力提升(二十四)一、选择题1．有下列叙述：①在空间直角坐标系中，在x轴上的点的坐标一定可记为(0，b,0)；②在空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定可记为(0，b，c)；③在空间直角坐标系中，在z轴上的点的坐标一定可记为(0,0，c)；④在空间直角坐标系中，在xOz平面上的点的坐标一定可记为(a,0，c)．其中正确叙述的个数是()A．1B．2C．3 D．42．已知点A(－3,1,4)，则点A关于原点的对称点的坐标为()A．(1，－3，－4) B．(－4,1，－3)C．(3，－1，－4) D．(4，－1,3)3．在空间直角坐标系中P(2,3,4)，Q(－2,3,4)两点的位置关系是()A．关于x轴对称B．关于yOz平面对称C．关于坐标原点对称D．以上都不对4．设z为任一实数，则点(2,2，z)表示的图形是()A．z轴B．与平面xOy平行的一直线C．平面xOyD．与平面xOy垂直的一直线5．已知点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7二、填空题6．点A(－5,5,6)关于坐标平面yOz对称的点为A1，则点A1关于坐标平面xOy的对称点A2的坐标为________．7．点A(2,4,6)关于y轴对称的点的坐标为________．8．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．三、解答题9．如图，棱长为a 的正方体OABC -D ′A ′B ′C ′中，对角线OB ′与BD ′相交于点Q ，顶点O 为坐标原点，OA 、OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，试写出点Q 的坐标．10．如右图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是D 1D ，BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E ，F ，G ，H 的坐标．答案1．解析：选C ①错误，②③④正确．2．解析：选C 空间直角坐标系中一点关于原点对称点的坐标特点是：三个坐标都变为它的相反数．∴A (－3,1,4)关于原点对称点的坐标为(3，－1，－4)．3．解析：选B ∵P ，Q 两点对应的三个坐标横坐标互为相反数，∴P ，Q 关于yOz 平面对称．4．解析：选D (2,2，z )表示过点(2,2,0)且与z 轴平行的直线，即与平面xOy 垂直的直线．5．解析：选D 两个点关于x 轴对称，那么这两个点的x 坐标不变，y 坐标与z 坐标均互为相反数，故有λ＝2,7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v )，∴λ＝2，μ＝10，v ＝7.6．解析：点A (－5,5,6)关于yOz 对称的点A 1坐标为(5,5,6)，则点A 1关于坐标平面xOy 的对称点A 2的坐标为(5,5，－6)．答案：(5,5，－6)7．解析：关于y 轴对称的点的纵坐标不变，横坐标和竖坐标变成相反数，故A (2,4,6)关于y 轴对称的点的坐标为(－2,4，－6)．答案：(－2,4，－6)8．解析：点M 在xOz 上的射影为(－2,0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2,0,3)．答案：(2,0,3)9．解：因为OB ′与BD ′相交于点Q ，所以Q 点在xOy 平面内的投影应为OB 与AC的交点，所以Q 的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，z . 同理可知Q 点在xOz 平面内的投影也应为AD ′与OA ′的交点，所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫12a ，12a ，12a . 10．解：以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DD 1所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．∵点E 在z 轴上，且为D 1D 的中点，故点E 坐标为⎝⎛⎭⎫0，0，12. 过F 作FM ⊥AD ，FN ⊥DC ，则|FM |＝|FN |＝12，故点F 坐标为⎝⎛⎭⎫12，12，0；点G 在y 轴上，又|GD |＝34，故点G 坐标为⎝⎛⎭⎫0，34，0；过H 作HK ⊥CG 于点K ，由于H 为C 1G 的中点，故|HK |＝12，|CK |＝18. ∴|DK |＝78.故点H 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，78，12.。

2021-2022年高中数学课下能力提升二十四化简证明问题北师大版

一、选择题1．已知tan α＝2.则cos2α1－cos α＋cos2α1＋cos α＝( )A．1 B．2C.12D．±22．若π2<x<π，则cos x|cos x|＋1－cos2xsin x的值是( )A．0 B．－1C．2 D．－23．若sin2θ＋cos4θ＝1，则sin θ－cos θ＝( ) A．1 B．±1C. 2 D．±24．已知tan α－1cos α＝－3，则cos αsin α＋1＝( )A. 3 B．－3C. 2 D．－2二、填空题5．(1＋tan2θ)cos2θ＝________．果是________．7．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝________．8．化简1－sin6θ－cos6θ1－sin4θ－cos4θ＝________．三、解答题9．若sin αtan α<0，化简1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α.10．证明：cos α1＋sin α－sin α1＋cos α＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α.1．解析：选Ccos2α1－cos α＋cos2α1＋cos α＝cos2α（1＋cos α＋1－cos α）（1－cos α）（1＋cos α）＝2cos2αsin2α＝2tan2α＝12.2．解析：选A ∵π2<x<π，∴原式＝cos x－cos x＋|sin x|sin x＝－1＋sin xsin x＝0.3．解析：选B 由sin2θ＋cos4θ＝1，得cos4θ＝1－sin2θ＝cos2θ.∴cos4θ－cos2θ＝0，cos2θ(cos2θ－1)＝0.∴cos2θsin2θ＝0，sin θcos θ＝0，∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1.故sin θ－cos θ＝±1.4．解析：选A ∵tan α－1cos α＝sin αcos α－1cos α＝sin α－1cos α＝－3，∴1－sin αcos α＝3，∴cos αsin α＋1＝cos α（1－sin α）1－sin2α＝1－sin αcos α＝ 3.5．解析：原式＝cos2θ＋tan2θcos2θ＝cos2θ＋sin2θ＝1.答案：16．解析：由题意知，角α是第二或第四象限的角．则原式＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0.答案：07．解析：由已知可得(cos α＋2sin α)2＝5，即4sin2α＋4sin αcos α＋cos2α＝5(sin2α＋cos2α)，∴tan2α－4tan α＋4＝0，∴tan α＝2.答案：28．解析：原式＝1－[（sin2θ）3＋（cos2θ）3]1－[（sin2θ）2＋（cos2θ）2]＝1－（sin2θ＋cos2θ）（sin4θ－sin2θcos2θ＋cos4θ）1－[（sin2θ＋cos2θ）2－2sin2θcos2θ]＝1－[（sin2θ＋cos2θ）2－3sin2θcos2θ]2sin2θcos2θ＝3sin2θcos2θ2sin2θcos2θ＝32.答案：329．解：1－sin α1＋sin α＋1＋sin α1－sin α＝（1－sin α）2（1＋sin α）（1－sin α）＋（1＋sin α）2（1－sin α）（1＋sin α）＝（1－sin α）21－sin2α＋（1＋sin α）21－sin2α＝（1－sin α）2cos2α＋（1＋sin α）2cos2α＝|1－sin α||cos α|＋|1＋sin α||cos α|.∵|sin α|≤1，∴1－sin α≥0，1＋sin α≥0.又∵sin αtan α<0，∴α是第二、三象限角，从而cos α<0.∴原式＝1－sin α－cos α＋1＋sin α－cos α＝－2cos α.10．证明：左边＝cos α＋cos2α－sin α－sin2α（1＋sin α）（1＋cos α）＝（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）1＋sin α＋cos α＋sin αcos α＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）1＋sin2α＋cos2α＋2sin α＋2cos α＋2sin αcos α＝2（cos α－sin α）（1＋sin α＋cos α）（1＋sin α＋cos α）2＝2（cos α－sin α）1＋sin α＋cos α＝右边．27874 6CE2 波<37697 9341 鍁37251 9183 醃33232 81D0 臐r{K 27512 6B78 歸a23047 5A07 娇363588E06 踆g。

高中数学课下能力提升十二北师大版必修2

课下能力提升12一、选择题1．下面的框图中是循环结构的是( )A．①②B．②③C．③④D．②④2．(天津高考)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A．8 B．18 C．26 D．803．(北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )A．2 B．4 C．8 D．164．图中所示的是一个算法的框图，则其表达式为( )A.11＋2＋3＋…＋99 B.11＋2＋3＋…＋100 C.199 D.11005．(天津高考)阅读如图所示的算法框图，运行相应的算法．若输入x 的值为1, 则输出S 的值为( )A ．64B ．73C ．512D ．585二、填空题6．阅读如图所示的框图，若输入m ＝4，n ＝3，则输出a ＝________，i ＝________.7．(江西高考)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．8．若算法框图所给的程序运行的结果为S ＝90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是________．三、解答题9．设计求1＋4＋7＋10＋…＋40的一个算法，并画出相应的算法框图．10．以下是某次考试中某班15名同学的数学成绩：72, 91, 58, 63, 84, 88, 90, 55, 61, 73, 64, 77, 82, 94, 60.要求将80分以上的同学的平均分求出来，画出算法框图．答案1. 解析：选C ①是顺序结构，②是选择结构，③④是循环结构．2. 解析：选C 程序执行情况为S ＝31－30＝2，n ＝2；S ＝2＋32－31＝8，n ＝3；S ＝8＋33－32＝26，n ＝4≥4，跳出循环．故输出26.3. 解析：选C 框图的功能为计算S ＝1·20·21·22的值，计算结果为8. 4. 解析：选 A 依题意当i ≤99时，S ＝1＋2＋…＋99，当i ＝100时，S ＝11＋2＋3＋…＋99.5. 解析：选B 第1次循环，S ＝1，不满足判断框内的条件，x ＝2；第2次循环，S ＝9，不满足判断框内的条件，x ＝4；第3次循环，S ＝73，满足判断框内的条件，跳出循环，输出S ＝73.6. 解析：由算法框图可知，当a ＝m ×i ＝4×i 能被n ＝3整除时输出a 和i 并结束程序．显然，当i ＝3时，a 可以被3整除，故i ＝3，此时a ＝4×3＝12.答案：12 37. 解析：此框图依次执行如下循环：第一次：T ＝0，k ＝1，sin π2>sin 0成立，a ＝1，T ＝T ＋a ＝1，k ＝2,2<6，继续循环；第二次：sin π>sin π2不成立，a ＝0，T ＝T ＋a ＝1，k ＝3，3<6，继续循环；第三次：sin 3π2>sin π不成立，a ＝0，T ＝T ＋a ＝1，k ＝4,4<6，继续循环；第四次：sin 2π>sin 3π2成立，a ＝1，T ＝T ＋a ＝2，k ＝5，5<6，继续循环；第五次：sin 5π2>sin 2π成立，a ＝1，T ＝T ＋a ＝3，k ＝6，跳出循环，输出的结果是3.答案：38. 解析：由算法框图可知其作用是计算S＝1×10×9×…，当运行结果为S＝90时，应有S ＝1×10×9，∴当k＝8时应符合条件且k＞8不符合条件，∴条件应为k≤8或k<9.答案：k≤8或k<99. 解：算法：1．令S＝0，i＝1.2．S＝S＋i.3．i＝i＋3.4．若i≤40，返回第2步；重新执行第2、3、4步；若i>40，执行第5步．5．输出S的值．算法框图如图所示：法一：法二：10. 解：算法框图如下所示：。

高中数学课下能力提升(十三)球北师大版必修2(2021学年)

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课下能力提升（十三）球一、选择题1.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π，则球的体积为( )A。

错误!π B。

错误!C．82π Ｄ。

错误!π2．若三个球的表面积之比是1∶2∶３，则它们的体积之比是（)A．１∶2∶3 Ｂ．1∶＼r（2）∶错误!C．1∶2＼r(2）∶3错误! D.1∶4∶７３．平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为２,则此球的体积为（ )A．错误!π B．4错误!πC.46πD.６3π4.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πa2 B．错误!πa2C.错误!πa2Ｄ．5πa25．(新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高８ cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度,则球的体积为（ )A.＼f(500π,3) ｃm3B.错误! cm3Ｃ。

错误! cm3Ｄ.错误! cｍ3二、填空题6.一个平面截一球得到直径为６ cm的圆面,球心到这个平面的距离为４ｃm，则球的体积为＿__＿____ cｍ3.7．一个底面直径是32 cｍ的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cｍ，则这个球的表面积是＿__＿__＿_.8.如图所示,正四棱锥S.ABＣD的底面边长和各侧棱长都为错误!，点S,A,B,C，Ｄ都在同一个球面上,则该球的体积为_＿___＿＿_．三、解答题9．如图,AＢＣD是正方形,是以A为圆心的弧,将正方形ABCＤ以AB为轴旋转一周，求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三部分旋转所得旋转体的体积之比．1０．如图,半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰,且半圆O分别切ＡB，BC，ＣD于点A、E、D．将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周,得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为3∶４,求圆台的体积.答案1。

高中数学课下能力提升九北师大版必修20169

课下能力提升9一、选择题1．想泡茶喝，当时的情况是：火已经生起了，凉水和茶叶也有了，开水没有，开水壶要洗，茶壶和茶杯要洗，下面给出了四种不同形式的算法过程，你认为最好的一种算法是( )A ．洗开水壶，灌水，烧水，在等待水开时，洗茶壶、茶杯、拿茶叶，等水开了后泡茶喝B ．洗开水壶，洗茶壶和茶杯，拿茶叶，一切就绪后，灌水，烧水，坐等水开后泡茶喝C ．洗开水壶，灌水，烧水，坐等水开，等水开后，再拿茶叶，洗茶壶、茶杯，泡茶喝D ．洗开水壶，灌水，烧水，再拿茶叶，坐等水开，洗茶壶、茶杯，泡茶喝3．下列叙述能称为算法的个数为( )①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤．②顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100.③从枣庄乘火车到徐州，从徐州乘飞机到广州．④3x >x ＋1.⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….A ．2B ．3C ．4D ．54．下列所给问题中：①二分法解方程x 2－3＝0(精确到0.01)；②解方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＋5＝0，x －y ＋3＝0；③求半径为2的球的体积；④判断y ＝x 2在R 上的单调性．其中可以设计一个算法求解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．45．已知算法：1．输入n ；2．判断n 是否是2，若n ＝2，则n 满足条件；若n ＞2，则执行第3步；3．依次检验从2到n －1的整数能不能整除n ，若不能整除n ，满足条件．上述满足条件的数是( )A ．质数B ．奇数C ．偶数D ．4的倍数二、填空题6．下列关于算法的说法，正确的个数有________．①求解某一类问题的算法是唯一的；②算法必须在有限步操作之后停止；③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；④算法执行后一定产生确定的结果．7．给出下列算法：1．输入x 的值．2．当x >4时，计算y ＝x ＋2；否则执行下一步．3．计算y ＝4－x . 4．输出y . 当输入x ＝10时，输出y ＝__________.8．已知直角三角形的两条直角边长分别为a ，b ，写出求斜边c 的算法步骤．1．________________________________________________________________________；2．________________________________________________________________________；3．________________________________________________________________________.三、解答题9．请设计求18的所有正约数的算法．10．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1 x ≤－1，log 2x ＋1 －1<x <2，x 2 x ≥2，试设计一个算法，输入x 的值，求对应的函数值．答案1. 解析：选A 解决一个问题可以有多种算法，可以选择其中最优、最简单、步骤尽可能少的算法．选项中的四种算法中都符合题意，但算法A运用了统筹法原理，因此这个算法要比其余的三种算法科学．2. 解析：选C 算法指的是解决一类问题的方法或步骤，选项C只是一个纯数学问题，没有解问题的步骤，不属于算法．3. 解析：选 B 根据算法的含义和特征：①②③都是算法．④⑤不是算法．其中④，3x>x ＋1不是一个明确的逻辑步骤，不符合逻辑性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有穷性矛盾．4. 解析：选C 由算法的特征可知①②③都能设计算法．对于④，当x＞0或x＜0时，函数y＝x2是单调递增或单调递减函数，但当x∈R时，由函数的图像可知在整个定义域R上不是单调函数，因此不能设计算法求解．5. 解析：选A 由质数的定义知，满足条件的是质数．6. 解析：由算法的特征(有限性、确定性、有序性等)可知②③④正确，但解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错．答案：37. 解析：∵x＝10＞4，∴计算y＝x＋2＝12.答案：128. 解析：先输入a、b的值，再根据勾股定理算出斜边c的长，最后输出c的结果．答案：输入两直角边长a、b的值计算c＝a2＋b2输出斜边长c的值9. 解：1.18＝2×9；2．18＝2×32；3．列出18的所有正约数：1,2,3,32,2×3,2×32.10. 解：算法如下：1．输入x的值．2．当x≤－1时，计算y＝2x－1；否则执行第三步．3．当x<2时，计算y＝log2(x＋1)，否则执行第四步．4．计算y＝x2.5．输入y.。