(江苏考试重点推荐)2018-最新高中数学 课时分层作业7 椭圆的几何性质 苏教版选修1-1练习试卷
高中数学选修1-1课时作业7：2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)
2.1.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1与椭圆C 2：x 2＋y 24＝1在扁圆程度上( ) A.C 1较扁B.C 2较扁C.C 1与C 2的扁圆程度一样D.不能确定2.椭圆x 225＋y 29＝1与椭圆x 2a 2＋y 29＝1有( ) A.相同短轴B.相同长轴C.相同离心率D.以上都不对3.曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A.有相等的焦距，相同的焦点B.有相等的焦距，不同的焦点C.有不等的焦距，不同的焦点D.以上都不对4.过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( ) A.22B.33C.12D.135.设AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的长轴，若把线段AB 分为100等份，过每个分点作AB 的垂线，分别交椭圆的上半部分于点P 1，P 2，…，P 99，F 1为椭圆的左焦点，则|F 1A |＋|F 1P 1|＋|F 1P 2|＋…＋|F 1P 99|＋|F 1B |的值是( )A.98aB.99aC.100aD.101a6.在△ABC 中，AB ＝BC ，cos B ＝－718.若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e 等于( ) A.34B.37C.38D.318二、填空题7.若椭圆x 2k ＋8＋y 29＝1的离心率为23，则k 的值为__________.8.若椭圆的两焦点为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，点P 在椭圆上，且△PF 1F 2的最大面积是12，则椭圆的短半轴长为________.9.一个顶点为(0,2)，离心率e ＝12，坐标轴为对称轴的椭圆方程为________________. 10.已知B 1、B 2为椭圆短轴的两个端点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则椭圆的离心率为________.三、解答题11.(1)求与椭圆x 29＋y 24＝1有相同的焦点，且离心率为55的椭圆的标准方程； (2)已知椭圆的两个焦点间的距离为8，两个顶点坐标分别是(－6,0)，(6,0)，求焦点在x 轴上的椭圆的标准方程.12.已知F 1，F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若△ABF 2是正三角形，求该椭圆的离心率.13.如图所示，在Rt △ABC 中，∠CAB ＝90°，AB ＝2，AC ＝22，一曲线E 过点C ，动点P 在曲线E 上运动，且保持|P A |＋|PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系，求曲线E 的方程；(2)试判断该方程是否为椭圆方程，若是，请写出其长轴长、焦距、离心率.[[答案]]精析1.B2.D3.B4.B5.D [由椭圆的定义及其对称性可知，|F 1P 1|＋|F 1P 99|＝|F 1P 2|＋|F 1P 98|＝…＝|F 1F 49|＋|F 1P 51|＝|F 1A |＋|F 1B |＝2a ，|F 1P 50|＝a ，故结果应为50×2a ＋|F 1P 50|＝101a .]6.C [设|AB |＝x >0，则|BC |＝x ，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB |·|BC |·cos B ＝x 2＋x 2－2x 2·(－718) ＝259x 2， ∴|AC |＝53x ， 由条件知，|AC |＋|BC |＝2a ，|AB |＝2c ，∴53x ＋x ＝2a ，x ＝2c ， ∴e ＝c a ＝2c 2a ＝x 83x ＝38.] 7.415或－3 8.3 9.3x 216＋y 24＝1或y 24＋x 23＝1 [[解析]] 当椭圆焦点在x 轴上时，由已知得b ＝2，e ＝c a ＝12， ∴a 2＝163，b 2＝4， ∴方程为3x 216＋y 24＝1. 当椭圆焦点在y 轴上时，由已知得a ＝2，e ＝c a ＝12， ∴a 2＝4，b 2＝3，∴方程为y 24＋x 23＝1.10.22 11.解 (1)∵c ＝9－4＝5， ∴所求椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0).设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0). ∵e ＝c a ＝55，c ＝5， ∴a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝20.∴所求椭圆的标准方程为x 225＋y 220＝1. (2)因椭圆的焦点在x 轴上，设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0). ∵2c ＝8，∴c ＝4，又a ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝20.∴椭圆的标准方程为x 236＋y 220＝1. 12.解 如图，不妨设椭圆的焦点在x 轴上，∵AB ⊥F 1F 2，且△ABF 2为正三角形，∴在Rt △AF 1F 2中，∠AF 2F 1＝30°.令|AF 1|＝x ，则|AF 2|＝2x .∴|F 1F 2|＝|AF 2|2－|AF 1|2＝3x ＝2c .由椭圆定义，可知|AF 1|＋|AF 2|＝2a .∴e ＝2c 2a ＝3x 3x ＝33. 13.解 (1)以AB 所在直线为x 轴，AB 的中点O 为原点建立直角坐标系，则A (－1,0)，B (1,0)，由题设可得|P A |＋|PB |＝|CA |＋|CB |＝22＋22＋⎝⎛⎭⎫222＝2 2.由椭圆定义知动点P 的轨迹为椭圆.不妨设动点P 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a ＝2，c ＝1，b ＝a 2－c 2＝1， ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由(1)的求解过程知曲线E 的方程是椭圆方程，其长轴长为22，焦距为2，离心率为22.。
精选江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理
（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第62练 椭圆的几何性质练习 理1．设椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP→＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析 1.33解析 由题意知sin 30°＝PF 2PF 1＝12， ∴PF 1＝2PF 2.又∵PF 1＋PF 2＝2a ， ∴PF 2＝2a3.∴tan 30°＝PF 2F 1F 2＝2a 32c ＝33. ∴c a ＝33. 2.63解析不妨设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆定义，得|MF 1→|＋|MF 2→|＝2a ，再结合条件可知|MO →|＝|MF 2→|＝2a 3.如图，过M 作MN ⊥OF 2于N ，则|ON →|＝c2，|MN →|2＝|MO →|2－c24.设|MF 2→|＝x ，则|MF 1→|＝2x .在Rt△MF 1N 中，4x 2＝94c 2＋x 2－c 24，即3x 2＝2c 2，而x 2＝4a 29，所以43a 2＝2c 2，即e 2＝c 2a 2＝23，所以e ＝63. 3.15解析 不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.4.32解析 设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b 2)＝a 2×b 2－y 20b2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝ 3b 24b2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x，y )，点B 为点A在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12× 16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析 设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 216＋y 1－y 2y 1＋y 29＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0. 7．±34解析 由离心率为12可得c 2a 2＝14，可得a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ，则M (c ，±34a )，直线MF 1的斜率为kMF 1＝±3a 8c ＝±38×2＝±34.8.57解析 设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.9．(0，－1)解析 设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1， QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)． 10. 2解析 由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24，∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1，F (32a,0)．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF →＝3FB →， ∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ， 即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得 9x 2B －x 2Aa2＝8，x B ＋x Ax B －x Aa2＝8，∴3x B －x A ＝433a ，∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a＝ 2. 11.57解析 cos α＝55⇒sin α＝255，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)．设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，由正弦定理得r 111525＝r 2255＝2c 35⇒r 1＋r 221525＝2c 35⇒e ＝c a ＝57.12.23或38解析 依题设，得椭圆的方程为x 24＋y 2＝1，直线AB ，EF 的方程分别为x ＋2y ＝2，y ＝kx (k ＞0)．如图，设D (x 0，kx 0)，E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1＜x 2.则x 1，x 2满足方程(1＋4k 2)x 2＝4， 故x 2＝－x 1＝21＋4k2.由ED →＝6DF →，知x 0－x 1＝6(x 2－x 0)， 可得x 0＝17(6x 2＋x 1)＝57x 2＝1071＋4k2. 由D 在AB 上，知x 0＋2kx 0＝2， 得x 0＝21＋2k ，所以21＋2k ＝1071＋4k 2，化简，得24k 2－25k ＋6＝0，解得k ＝23或k ＝38.13．(2－1,1)解析 由a sin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，得c a ＝sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2. 又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ， 即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ， 所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)．14．[38，34]解析 由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)， 当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0， 解得x ＝2或x ＝2619.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时， 直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)， 代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0， 解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫27，127， 此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。
2018版高中数学苏教版选修1-1学案：2.2.2 椭圆的几何性质(二)
2．2.2 椭圆的几何性质(二) 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系思考1 判断点P (1,2)与椭圆x 24＋y 2＝1的位置关系．思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系的判定吗？梳理 设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示： 位置关系满足条件 P 在椭圆外x 20a 2＋y 20b 2>1 P 在椭圆上x 20a 2＋y 20b 2＝1 P 在椭圆内x 20a 2＋y 20b2<1知识点二 直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2如何判断y＝kx＋m与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的位置关系？梳理直线与椭圆的三种位置关系位置关系解的个数Δ的取值相交两解Δ>0相切一解Δ＝0相离无解Δ<0知识点三直线与椭圆的相交弦思考若直线与椭圆相交，如何求相交弦弦长？梳理弦长公式：(1)AB＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]；(2)AB＝1＋1k2|y1－y2|＝(1＋1k2)[(y1＋y2)2－4y1y2](直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，k为直线的斜率)．其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y或x后得到关于x或y的一元二次方程，由一元二次方程的根与系数的关系而得到．类型一直线与椭圆的位置关系命题角度1直线与椭圆位置关系的判定。
江苏省—高二数学—随堂练习及答案：第二章 椭圆的几何性质
高二数学随堂练习：椭圆的几何性质一、填空题 1．若椭圆x 2k ＋2＋y 24＝1的离心率e ＝13，则k 的值为________． 2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程是____________．3．已知椭圆的焦点在x 轴上，长、短半轴之和为10，焦距为45，则该椭圆的标准方程为____________．4．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P .若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．5．以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于四个不同的点，顺次连结这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．6．已知两椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)，则它们有相同的________．7．若F 1、F 2是椭圆C ：x 28＋y 24＝1的焦点，则在C 上满足PF 1⊥PF 2的点P 的个数为________．8．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)焦距的一半为c ，直线y ＝2x 与椭圆的一个交点的横坐标恰为c ，则该椭圆的离心率为________．9．已知点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，则2m ＋4的取值范围是____________．10．如图，椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一条直线l 经过F 1与椭圆交于A 、B 两点．(1)求△ABF 2的周长；(2)若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积．11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在直线的方程．12.如图，点A、B分别是椭圆x236＋y220＝1长轴的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.(1)求P点坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．答案1解析：当焦点在x 轴上时，a ＝k ＋2，b ＝2，c ＝k －2，e ＝c a＝k －2k ＋2＝13，解得k ＝52；当焦点在y 轴上时，a ＝2，b ＝k ＋2，c ＝2－k ，e ＝c a ＝2－k 2＝13，解得k ＝149.所以k 的值为52或149.答案：52或1492解析：由两个焦点三等分长轴知3·2c ＝2a ，即a ＝3c .由a ＝9得c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝72，所以椭圆的标准方程是x 281＋y 272＝1.答案：x 281＋y 272＝13解析：由题意知a ＋b ＝10，c ＝25，又因为c 2＝a 2－b 2，所以a ＝6，b ＝4，所以该椭圆的标准方程为x 236＋y 216＝1.答案：x 236＋y 216＝14解析：由题意知，PF 2＝F 1F 2＝2c ，PF 1＝2PF 2＝22c ，∴PF 2＋PF 1＝2c (2＋1)＝2a ， ∴e ＝c a＝12＋1＝2－1.答案：2－15解析：如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，焦距的一半为c .由题意知∠F 1AF 2＝90°，∠AF 2F 1＝60°.∴AF 2＝c ，AF 1＝2c ·sin60°＝3c . ∴AF 1＋AF 2＝2a ＝(3＋1)c . ∴e ＝c a＝23＋1＝3－1.答案：3－16解析：∵c 21＝25－9＝16，∴c 1＝4，∵c 22＝(25－k )－(9－k )＝16，∴c 2＝4. ∵∴c 1＝c 2，∴2c 1＝2c 2，∴有相同的焦距． 答案：焦距7解析：∵椭圆C ：x 28＋y 24＝1，∴c ＝2，∴F 1(－2,0)，F 2(2,0)，其短轴的端点为B (0,2)，A (0，－2)，∴∠F 1BF 2＝∠F 1AF 2＝90°.又短轴端点与F 1、F 2连线所成的角是椭圆上动点P 与F 1、F 2连线所成角中的最大角，∴满足PF 1⊥PF 2的点有2个．答案：28解析：由题设可得2c ＝b 2a，即b 2＝2ac ，∴c 2＋2ac －a 2＝0，即e 2＋2e －1＝0，又0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－19解析：因为点(m ，n )在椭圆8x 2＋3y 2＝24上，即在椭圆x 23＋y 28＝1上，所以点(m ，n )满足椭圆的范围|x |≤3，|y |≤22，因此|m |≤3，即－3≤m ≤3，所以2m ＋4∈[4－23，4＋23]．答案：[4－23，4＋23]10解：由椭圆的方程x 216＋y 29＝1知，a ＝4，b ＝3，∴c ＝a 2－b 2＝7.(1)△ABF 2的周长为AB ＋AF 2＋BF 2＝(AF 1＋AF 2)＋(BF 1＋BF 2)＝4a ＝4×4＝16. (2)由c ＝7知F 1(－7，0)、F 2(7，0)， 又k 1＝tan45°＝1，∴直线l 的方程为x －y ＋7＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋7＝0x 216＋y 29＝1，消去x 整理，得25y 2－187y －81＝0，∴y 1＋y 2＝18725，y 1y 2＝－8125.∴|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝187252＋4×8125＝72252，∴S △ABF 2＝12F 1F 2·|y 1－y 2|＝12×27×72252＝722514.11解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由(1)知，5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 由根与系数的关系，得 x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)．所以AB ＝ x 1－x 22＋y 1－y 22＝2x 1－x 22＝2[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m 225－45m 2－1 ＝2510－8m 2， 所以当m ＝0时，AB 的值最大，此时直线方程为y ＝x .12 解：(1)由已知可得点A (－6,0)，F (4,0)，设点P (x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋6x －4＋y 2＝0，消去y 得2x 2＋9x －18＝0.∴x ＝32或x ＝－6.∵y >0，∴x ＝32，y ＝532.∴P 点坐标是(32，532)．(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设M (m,0)(－6≤m ≤6)， 则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2.又MB ＝6－m ，∴|m ＋6|2＝6－m .∵－6≤m ≤6，∴m ＝2. 椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离d ＝x －22＋y 2＝x －22＋20－59x 2＝49x －922＋15.由于－6≤x ≤6，9 2时，d取最小值为15.∴当x＝。
2018-2019学年高二数学苏教版选修2-1课时跟踪训练： 椭圆的几何性质 Word版含解析
课时跟踪训练(九) 椭圆的几何性质1．(新课标全国卷Ⅱ改编)设椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(广东高考改编)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是________________________________________________________________________．3．曲线x225＋y29＝1与曲线x225－k＋y29－k＝1(k <9)的________相等．(填“长轴长”或“短轴长”或“离心率”或“焦距”)4．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率是63，过椭圆上一点M 作直线MA ，MB 分别交椭圆于A ，B 两点，且斜率分别为k 1，k 2，若点A ，B 关于原点对称，则k 1·k 2的值为________．5．设F 1，F 2是椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率是________．6．已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率e ＝35，经过点A (5 32，－2)，求椭圆的标准方程．7．已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．8．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．答 案1．解析：法一：由题意可设|PF 2|＝m ，结合条件可知|PF 1|＝2m ，|F 1F 2|＝3m ，故离心率e ＝c a ＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝3m 2m ＋m ＝33.法二：由PF 2⊥F 1F 2可知P 点的横坐标为c ，将x ＝c 代入椭圆方程可解得y ＝±b2a ，所以|PF 2|＝b2a .又由∠PF 1F 2＝30°可得|F 1F 2|＝3|PF 2|，故2c ＝3·b2a，变形可得3(a 2－c 2)＝2ac ，等式两边同除以a 2，得3(1－e 2)＝2e ，解得e ＝33或e ＝－3(舍去)．答案：332．解析：依题意，设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，c a ＝12，c2＝a2－b2，解得a 2＝4，b 2＝3.答案：x24＋y23＝13．解析：c 2＝25－k －(9－k )＝16，c ＝4.故两条曲线有相同的焦距．答案：焦距4．解析：设点M (x ，y )，A (x 1，y 1)，B (－x 1，－y 1)，则y 2＝b 2－b2x2a2，y 21＝b 2－b2x21a2.所以k 1·k 2＝y －y1x －x1·y ＋y1x ＋x1＝y2－y21x2－x21＝－b2a2＝c2a2－1＝e 2－1＝－13，即k 1·k 2的值为－13.答案：－135．解析：设直线x ＝3a 2与x 轴交于点M ，则∠PF 2M ＝60°.由题意知，F 1F 2＝PF 2＝2c ，F 2M ＝3a2－c .在Rt △PF 2M 中，F 2M ＝12PF 2，即3a 2－c ＝c .∴e ＝c a ＝34.答案：346．解：设椭圆的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，则754a2＋4b2＝1.①由已知e ＝35，∴c a ＝35，∴c ＝35a .∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－(35a )2，即b 2＝1625a 2.②把②代入①，得754a2＋4×2516a2＝1，解得a 2＝25，∴b 2＝16，∴所求方程为x225＋y216＝1.7．解：椭圆方程可化为x2m ＋y2mm ＋3＝1，由m >0，易知m >mm ＋3，∴a 2＝m ，b 2＝mm ＋3.∴c ＝a2－b2＝错误!.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1，∴椭圆的标准方程为x 2＋y214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为F 1⎝⎛⎭⎫－32，0，F 2⎝⎛⎭⎫32，0，顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎫0，12.8．解：令x ＝－c ，代入x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)，得y 2＝b 2(1－c2a2)＝b4a2，∴y ＝±b2a.设P (－c ，b2a)，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP ＝k AB ，∴－b2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x210＋y25＝1.。
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 第五节 椭圆-第2课时 椭圆的几何性质
4
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3
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2
2
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2
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C. + = 1或 + = 1D. + = 1或 + = 1
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3
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9
9
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[解析]因为离心率为 ,则有 = = ,所以 = ,又椭圆的面积为
所以 =
+
,又
= .故选B.
=
+ ,解得
=
,
∴ = ,解得 = ,
∵ = × ,∴ = ,
∴椭圆的标准方程为
+ = ；
+
= > > ,∵椭圆过点 , ,
若焦点在轴上,设方程为
= ,
又 = × ,∴ =
+
=
或
1 = + 0 , 2 = − 0 .
自测诊断
1.椭圆3 2 + 4 2 = 12的长轴长、短轴长分别为() C
A.2, 3B. 3,2C.4,2 3D.2 3,4
[解析]把
+
短轴长为 .
=
化成标准形式为
+
= ,得 = , = ,则长轴长为4,
+
= .
3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为( A )
2018年优课系列高中数学苏教版选修2-1： 2.2.2 椭圆的几何性质 (70张)
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46
业文档
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
2019年4月29日
眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专
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业文档
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
2019年4月29日
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业文档
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
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y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
2019年4月29日
眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专
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业文档
x2 y2 a2 b2 1(a b 0)
Y
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
O
X
关于原点对称
2019年4月29日
P3（-x，-y）
P1（x，-y）
关于x轴对称
y2
2
b
=1
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眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专
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业文档
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
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b
=1
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眼皮蹦跳跳专业文档眼皮蹦跳跳专
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业文档
y
· · F1
o F2
x
x2 ＋ a2
y2
2
b
=1
2019年4月29日
课时分层作业51椭圆的定义、标准方程及其性质
长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆 C 的焦点在 y 轴上，且椭圆 C
的离心率为35，面积为 20π，则椭圆 C 的标准方程为( )
A．x52＋y42＝1
B．2x52 ＋1y62 ＝1
C．x42＋y52＝1
D．1x62 ＋2y52 ＝1
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1
2
3
课时分层作业(五十一) 椭圆 的定义、标准方程及其性质
直线 l：a2x－b2y－1＝0，若圆 C 上任一点关于直线 l 的对称点仍在圆 C 上，
则点(a，b)必在( )
A．一个离心率为21的椭圆上 B．一条离心率为 2 的双曲线上
C．一个离心率为 22的椭圆上 D．一条离心率为 2的双曲线上
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1
2
3
课时分层作业(五十一) 椭圆 的定义、标准方程及其性质
是以 F1，F2 为焦点的椭圆，其中 a＝5，c＝3，b＝ a2－c2＝4，故点 P 的轨迹方程为2x52 ＋1y62 ＝1.]
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1
2
3
课时分层作业(五十一) 椭圆 的定义、标准方程及其性质
A组
在基础中考查学科功底
B组
在综合中考查关键能力
C组
在创新中考查理性思维
A组
在基础中考查学科功底
B组
在综合中考查关键能力
C组
在创新中考查理性思维
C [依题意可知，直线 l 过圆 C 的圆心(2，－1)，则 2a2＋b2＝1， 所以点(a，b)必在椭圆 2x2＋y2＝1 上，且该椭圆的离心率为 22. 故选 C．]
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苏教版 高中数学选择性必修第一册 椭圆的几何性质-范围 课件1
例 2 (1)已知椭圆的左、右焦点坐标分别为(－ 2，0)，( 2， 0)，离心率是 6，求椭圆的方程．
3 (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦 点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6，且 cos∠OFA＝23，求 椭圆的方程．
【解析】 (1)由题意设方程为xa22＋yb22＝1(a＞b＞0)． ∵c＝ 2，ca＝ 36，∴a＝ 3，∴b2＝1，∴方程为x32＋y2＝1. (2)∵椭圆的长轴长是 6，cos∠OFA＝23， ∴点 A 不是长轴的端点(是短轴的端点)． ∴|OF|＝c，|AF|＝a＝3， ∴3c＝23，∴c＝2，b2＝32－22＝5， ∴椭圆的方程是x92＋y52＝1 或x52＋y92＝1.
例3 已知椭圆 x2 + y2 ＝1（a>b>0）与椭圆 x2 + y2 ＝1有相同的长轴，椭圆 x2 + y2 ＝ 1（a>b>0）的短
a2 b2
25 16
a2 b2
轴长与 y2 + x2 ＝1的短轴长相等，则 （ ）
21 9
A.a2＝15，b2＝16
B.a2＝9，b2＝25
C.a2＝25，b2＝9或a2＝9，b2＝25
5 所以 a＝10,c＝8，从而 b＝6. 又因为焦点在 x 轴上， 所以椭圆的标准方程为 x2 ＋ y2 ＝1.
100 36 (2) 由题意知焦点在 y 轴上，所以 b＝3. 又因为长轴长是短轴长的 3 倍，所以 a＝9， 从而椭圆的标准方程为x2＋y2 ＝1.
9 81
训练 1 已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个 端点与两焦点组成一个正三角形，焦点在 y 轴上， 且 a－c＝ 3，求椭圆的方程．
(D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
2018_2019学年高中数学课时分层作业7椭圆的几何性质苏教版必修4
课时分层作业(七) 椭圆的几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、填空题1．若椭圆x236＋y2a＝1(0＜a ＜36)的焦距为4，则a ＝________.[解析]∵0＜a ＜36，∴36－a ＝22，∴a ＝32.[答案]322．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是________.【导学号：71392069】[解析]方程可化为y225＋x29＝1，易知a ＝5，b ＝3，c ＝4，所以长轴长为10，短轴长为6，离心率为45.[答案]10,6，453．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1与椭圆x225＋y216＝1有相同的长轴，椭圆x2a2＋y2b2＝1的短轴长与椭圆y221＋x29＝1的短轴长相等，则a 2＝________，b 2＝________. [解析]因为椭圆x225＋y216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y221＋x29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9.[答案]2594．已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G 的方程为________．[解析]由题意得2a ＝12，c a ＝32，所以a ＝6，c ＝33，b ＝3.故椭圆方程为x236＋y29＝1.[答案]x236＋y29＝15．椭圆x2m ＋y24＝1的离心率为12，则实数m 的值为________．[解析]当椭圆的焦点在x 轴上时，a 2＝m ，b 2＝4，且m ＞4，则e 2＝c2a2＝1－b2a2＝1－4m ＝14，∴m ＝163；当椭圆的焦点在y 轴上时，a 2＝4，b 2＝m ，且0＜m ＜4， 则e 2＝c2a2＝1－b2a2＝1－m 4＝14，∴m ＝3.[答案]3或1636．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左焦点F 到过顶点A (－a ，0)，B (0，b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为________.【导学号：71392070】[解析]由题意知直线AB 的方程为x －a ＋yb ＝1，即bx －ay ＋ab ＝0.左焦点为F (－c,0)，则|－cb ＋ab|a2＋b2＝b7.∴7(a －c )＝a2＋b2，∴7(a －c )2＝a 2＋b 2＝a 2＋a 2－c 2＝2a 2－c 2，即5a 2－14ac ＋8c 2＝0， ∴8e 2－14e ＋5＝0，解得e ＝12或e ＝54.又∵0<e <1，∴e ＝12.[答案]127．某航天飞行控制中心对某卫星成功实施了第二次近月制动，卫星顺利进入周期为3.5 h 的环月小椭圆轨道(以月球球心为焦点)．卫星远月点(距离月球表面最远的点)高度降至1 700 km ，近月点(距离月球表面最近的点)高度是200 km ，月球的半径约是1 800 km ，且近月点、远月点及月球的球心在同一直线上，此时小椭圆轨道的离心率是________．图224[解析]可设小椭圆的长轴长为2a ，焦距为2c ，由已知得2a ＝1 700＋2×1 800＋200，∴a ＝2 750.又a ＋c ＝1 700＋1 800，∴c ＝750.∴e ＝c a ＝7502 750＝311.[答案]3118．过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点作倾斜角为30°的直线，交椭圆于A ，B 两点，则弦长AB＝________.[解析]椭圆左焦点为(－2，0)，∴直线方程为y ＝33(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33(x ＋2)，x2＋2y2＝4得5x 2＋42x －8＝0，∴x 1＋x 2＝－425，x 1x 2＝－85，∴弦长AB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4252－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－85＝165.[答案]165 [答案]165二、解答题9．若椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，点P 是椭圆上的一点，P 在x 轴上的射影恰为椭圆的左焦点，P 与中心O 的连线平行于右顶点与上顶点的连线，且左焦点与左顶点的距离等于10－5，试求椭圆的离心率及其方程．[解] 令x ＝－c ，代入x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)，得y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c2a2＝b4a2，∴y ＝±b2a .设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b2a ，椭圆的右顶点A (a,0)，上顶点B (0，b )．∵OP ∥AB ，∴k OP＝k AB，∴－b2ac ＝－ba，∴b ＝c .而a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，∴a ＝2c ，∴e ＝c a ＝22.又∵a －c ＝10－5，解得a ＝10，c ＝5，∴b ＝5，∴所求椭圆的标准方程为x210＋y25＝1.。
2018版高中数学苏教版选修1-1学案：第二章 2.2.2 椭圆的几何性质(二) Word版含答案
2.2.2 椭圆的几何性质(二)[学习目标] 1.巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆的三种位置关系，特别是直线与椭圆相交的有关问题.知识点一 点与椭圆的位置关系点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系： 点P 在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1； 点P 在椭圆内部⇔x 20a 2＋y 20b 2<1； 点P 在椭圆外部⇔x 20a 2＋y 20b 2>1. 知识点二 直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系判断方法：联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1.消去y 得到一个关于x 的一元二次方程. 位置关系解的个数 Δ的取值 相交两解 Δ>0 相切一解 Δ＝0 相离无解 Δ<0 知识点三 弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，∴AB ＝(x 1－x 2)2＋(kx 1－kx 2)2＝1＋k 2(x 1－x 2)2＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，或AB ＝ (1k y 1－1k y 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝ 1＋1k2(y 1＋y 2)2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y (或x )后得到关于x (或y )的一元二次方程求得.题型一 直线与椭圆的位置关系 例1 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离.解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ， 代入x 24＋y 27＝1， 并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4， 显然y ＝32x －4距l 最近， d ＝|16－8|32＋(－2)2＝813＝81313， 切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 反思与感悟 本题将求最小距离问题转化为直线与椭圆的位置关系问题.解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0.所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具.跟踪训练1 已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最短，并求出最短距离.解 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线为x －y ＋a ＝0，。
2020江苏高考数学一轮配套精练：第58课椭圆的几何性质
线段PF 1的中点在y 轴上，若/ PF 1F 2 = 30°则椭圆C 的离心率为第58课椭圆的几何性质A.课时精练一、填空题2 21. (2018全国卷I)已知椭圆C :令+y= 1 (a>0)的一个焦点为(2, 0),那么椭圆 a 4 C 的离心率为 _________ .2 22. 已知椭圆C : X 2 + 1 ( a>b>0)与直线y = x + 3只有一个公共点，且椭圆的离心率a b为一5,那么椭圆C 的方程为 52 2 3. 已知椭圆X 2 + y 2= 1 (a>b>0)的一个焦点为F ,若椭圆上有一点 A ，满足△ OAF 是等 a b边三角形(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率是 ____________ .2 24. 如图，已知P 是以F 1,F 2为左、右焦点的椭圆 弓+右=1( a>b>0) 上一点，若PF 1丄PF 2, a b1tan / PF 1F 2 = 则该椭圆的离心率是范围为 5.如图，已知F 1, F 2分别为椭圆垂直于x 轴的直线交椭圆 C 于A , 取值范围为 ___________ .6.若焦点在y 轴上的椭圆 2 y_ 4 B 两点若△ ABF 2为钝角三角形，则椭圆C 的离心率e 的 2 m =1( °<m <4)的e € 1，1 ,则实数m 的取值右焦点，过点 F 1且7.已知F1, F2分别是椭圆C: 2 2治=1 (a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上,线段PF1的中点在y轴上，若/ PF1F2 = 30°则椭圆C的离心率为2 28. 已知椭圆C : a ? +古=1 (a > b >0)的左、右焦点分别为 F i , F 2,过点F ?作x 轴的垂线与椭圆C 交于A ，B 两点，F i B 与y 轴交于点D ，若AD 丄F i B ，则椭圆C 的离心率 为 .二、解答题2 29.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆％+1 (a >b >0)的离心率为2, C a b 3为椭圆上位于第一象限内的一点 • (1)若点C 的坐标为2, 3，求a ,b 的值；(2)设A 为椭圆的左顶点,B 为椭圆上一 1 — =-OC ,求直线AB 的斜率. 3 (第 9 题)10. (2017镇江期末)已知椭圆C：拿+ *= 1(a>b>0)的离心率为三3,且点—.3, g 在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线I交椭圆C于P, Q两点，线段PQ的中点为H , 0为坐标原点，且0H =1，求△ POQ 面积的最大值.2 211. 已知A (X1, y1), B (X2, y2)是椭圆y2+ X2= 1 (a>b>0)上的两点, a ba , n=曽，y2，且满足m n= 0，椭圆的离心率e^^3，短轴长为2, 0为坐标原点(1)求椭圆的方程；(2)若存在斜率为k的直线AB过椭圆的焦点F (0, c) (c为半焦距)，求直线AB的斜率k的值.。
[推荐学习]2018年秋高中数学 课时分层作业7 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修1-1
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课时分层作业(七) 椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 A [由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝10c ＝25c 2＝a 2－b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4因此所求椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.]2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距D [由25－9＝(25－k )－(9－k )知，两椭圆有相等的焦距．]3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )【导学号：97792065】A.12 B.13 C.14D.22A [由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A.22B.32 C.3－12D.5－12D [在Rt△ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.] 5．如图216，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝( )图216A ．35B ．30C ．25D ．20A [设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性，知|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，所以原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋|P 4F |＝7a ＝35.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.] 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．x 245＋y 236＝1 [设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2＋16b 2＝1c a ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45b 2＝36因此所求椭圆方程为x 245＋y 236＝1.]8．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________.【导学号：97792066】[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]三、解答题9．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．[解] 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b2a ＝b2－b23b＝223. 10．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程．(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.【导学号：97792067】[解] (1)因为a ＝2，c ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又因为x 204＋y 2＝1，所以x －24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1，即为中点M 的轨迹方程． [能力提升练]1．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x轴，若|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14B.34C.12D.32 B [由于PF ⊥x 轴，则令x ＝－c ，代入椭圆方程，解得，y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b4a2，y ＝±b 2a ，又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，即有4(a 2－c 2)＝a 2＋ac ， 即有(3a －4c )(a ＋c )＝0，则e ＝c a ＝34，故选B.]2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．]3．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．12 [由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12.] 5．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：97792068】[解] (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x－922＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝92时，d取最小值为15.。
2019最新高中数学 课时分层作业7 椭圆的简单几何性质 新人教A版选修1-1
课时分层作业(七) 椭圆的简单几何性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．焦点在x 轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的方程为( ) A.x 236＋y 216＝1 B.x 216＋y 236＝1 C.x 26＋y 24＝1 D.y 26＋x 24＝1 A [由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝10c ＝25c 2＝a 2－b2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6b ＝4因此所求椭圆的方程为x 236＋y 216＝1.]2．椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k ＝1(0<k <9)的关系为( )A ．有相等的长轴B ．有相等的短轴C ．有相同的焦点D ．有相等的焦距D [由25－9＝(25－k )－(9－k )知，两椭圆有相等的焦距．]3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )【导学号：97792065】A.12 B.13 C.14D.22A [由题意知a ＝2c ，∴e ＝c a ＝c 2c ＝12.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，A ，B 分别为椭圆的左顶点和上顶点，F 为右焦点，且AB ⊥BF ，则椭圆的离心率为( )A.22B.32 C.3－12D.5－12D [在Rt△ABF 中，|AB |＝a 2＋b 2，|BF |＝a ，|AF |＝a ＋c ，由|AB |2＋|BF |2＝|AF |2，得a 2＋b 2＋a 2＝(a ＋c )2.将b 2＝a 2－c 2代入，得a 2－ac －c 2＝0，即e 2＋e －1＝0, 解得e ＝－1±52，因为0<e <1，所以e ＝5－12.故选D.] 5．如图216，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1，P 2，…，P 7七个点，F 是椭圆的左焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝( )图216A ．35B ．30C ．25D ．20A [设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性，知|P 1F |＝|P 7F ′|，|P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，所以原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋(|P 5F |＋|P 5F ′|)＋|P 4F |＝7a ＝35.]二、填空题6．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A ，B 为焦点，且过C 、D 的椭圆的离心率为________．12 [如图，AB ＝2c ＝4，∵点C 在椭圆上，∴CB ＋CA ＝2a ＝3＋5＝8，∴e ＝2c 2a ＝48＝12.] 7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过P (－5,4)，则椭圆的方程为________________．x 245＋y 236＝1 [设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧25a 2＋16b 2＝1c a ＝55，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝45b 2＝36因此所求椭圆方程为x 245＋y 236＝1.]8．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是________.【导学号：97792066】[1,2] [因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2.]三、解答题9．设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)与x 轴交于点A ，以OA 为边作等腰三角形OAP ，其顶点P在椭圆上，且∠OPA ＝120°，求椭圆的离心率．[解] 不妨设A (a,0)，点P 在第一象限内，由题意知，点P 的横坐标是a 2，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，y ，由点P 在椭圆上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22a 2＋y 2b 2＝1，y 2＝34b 2，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，32b ，又∠OPA ＝120°，所以∠POA ＝30°，故tan∠POA ＝32b a 2＝33，所以a ＝3b ，所以e ＝c a ＝a 2－b2a ＝b2－b23b＝223. 10．已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F 1(－3，0)，且右顶点为D (2,0)．设点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. (1)求该椭圆的标准方程．(2)若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程.【导学号：97792067】[解] (1)因为a ＝2，c ＝3，所以b ＝a 2－c 2＝1. 所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，由中点坐标公式，得⎩⎨⎧x ＝x 0＋12，y ＝y 0＋122，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －12.又因为x 204＋y 2＝1，所以x －24＋⎝⎛⎭⎪⎫2y －122＝1，即为中点M 的轨迹方程． [能力提升练]1．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，且PF ⊥x轴，若|PF |＝14|AF |，则该椭圆的离心率是( )A.14B.34C.12D.32 B [由于PF ⊥x 轴，则令x ＝－c ，代入椭圆方程，解得，y 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2a 2＝b4a2，y ＝±b 2a ，又|PF |＝14|AF |，即b 2a ＝14(a ＋c )，即有4(a 2－c 2)＝a 2＋ac ， 即有(3a －4c )(a ＋c )＝0，则e ＝c a ＝34，故选B.]2．“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，当0<m <4时，4－m 2＝12，得m ＝3， 当m >4时，m －4m＝12，得m ＝163， 即“m ＝3”是“椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12”的充分不必要条件．]3．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C 的标准方程为________．x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝3，故所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是________．12 [由AP →＝2PB →，得|AO |＝2|FO |(O 为坐标原点)，即a ＝2c ，则离心率e ＝12.] 5．已知点A ，B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1的左、右顶点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的一点，且M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值.【导学号：97792068】[解] (1)由已知可得A (－6,0)，B (6,0)，F (4,0)， 设点P 的坐标是(x ，y )，则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )．由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1，x ＋x －＋y 2＝0，则2x 2＋9x －18＝0，解得x ＝32或x ＝－6.由于y >0，所以只能取x ＝32，于是y ＝523.所以点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523.(2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0. 设点M 的坐标是(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，又B (6,0)，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2，设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d ，有d 2＝(x －2)2＋y 2＝x 2－4x ＋4＋20－59x 2＝49⎝⎛⎭⎪⎫x－922＋15，由于－6≤x≤6，所以当x＝92时，d取最小值为15.。
高中数学 课时分层作业7 椭圆及其标准方程 新人教A版选修2-1
课时分层作业(七) 椭圆及其标准方程(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．椭圆x 225＋y 2169＝1的焦点坐标为( )A ．(5,0)，(－5,0)B ．(0,5)，(0，－5)C ．(0,12)，(0，－12)D ．(12,0)，(－12,0)C [c 2＝169－25＝144.c ＝12，故选C.]2．已知椭圆过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－4和点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，3，则此椭圆的标准方程是( ) A ．x 2＋y 225＝1B.x 225＋y 2＝1或x 2＋y 225＝1 C.x 225＋y 2＝1 D ．以上都不对A [设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )， 则⎩⎪⎨⎪⎧925m ＋16n ＝1，1625m ＋9n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝125.∴椭圆的方程为x 2＋y 225＝1.]3．设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，则△F 1PF 2的面积等于( )【导学号：46342065】A ．5B ．4C ．3D ．1B [由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又|PF 1|∶|PF 2|＝2∶1，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2，可知△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B.]4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，M 为椭圆上一动点，F 1为椭圆的左焦点，则线段MF 1的中点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．线段D ．直线B [|PF 1|＋|PO |＝12|MF 1|＋12|MF 2|＝12(|MF 1|＋|MF 2|)＝a >|F 1O |，因此点P 的轨迹是椭圆．]5．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(3，＋∞)∪(－∞，－2)D ．(3，＋∞)∪(－6，－2) D [由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧(a ＋2)(a －3)＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.] 二、填空题6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆与x 轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.【导学号：46342066】x 24＋y 23＝1 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝3a －c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3，故椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.]7．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.3 [依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|·|PF 2|＝18，|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3.]8．已知P 是椭圆x 24＋y 23＝1上的一动点，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹方程是________．(x ＋1)2＋y 2＝16 [如图，依题意，|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a 是常数且a ＞0)．又|PQ |＝|PF 2|， ∴|PF 1|＋|PQ |＝2a ， 即|QF 1|＝2a .由题意知，a ＝2，b ＝3，c ＝a 2－b 2＝4－3＝1. ∴|QF 1|＝4，F 1(－1,0)，∴动点Q 的轨迹是以F 1为圆心，4为半径的圆， ∴动点Q 的轨迹方程是(x ＋1)2＋y 2＝16.] 三、解答题9．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点．设椭圆C 上一点⎝⎛⎭⎪⎫3，32到两焦点F 1，F 2的距离和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标．[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4， ∴2a ＝4，a 2＝4， ∵点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32是椭圆上的一点， ∴(3)24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，∴b 2＝3，∴c 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．10．已知点A (0，3)和圆O 1：x 2＋(y ＋3)2＝16，点M 在圆O 1上运动，点P 在半径O 1M 上，且|PM |＝|PA |，求动点P 的轨迹方程.【导学号：46342067】[解] 因为|PM |＝|PA |，|PM |＋|PO 1|＝4，所以|PO 1|＋|PA |＝4， 又因为|O 1A |＝23<4，所以点P 的轨迹是以A ，O 1为焦点的椭圆，所以c ＝3，a ＝2，b ＝1. 所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 24＝1.[能力提升练]1．已知椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为F 1、F 2，点M 在该椭圆上，且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x轴的距离为( )A.233 B ．.263C.33D. 3C [设M (x 0，y 0)，由F 1(－3，0)，F 2(3，0)得MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，由MF 1→·MF 2→＝0得x 20＋y 20＝3， 又x 204＋y 20＝1，解得y 0＝±33. 即点M 到x 轴的距离为33，故选C.] 2.如图223，∠OFB ＝π6，△ABF 的面积为2－3，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为一个焦点的椭圆方程为__________．图223x 28＋y 22＝1 [设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题意可知，|OF |＝c ，|OB |＝b ， ∴|BF |＝a .∵∠OFB ＝π6，∴b c ＝33，a ＝2b .∴S △ABF ＝12·|AF |·|BO |＝12(a －c )·b ＝12(2b －3b )b ＝2－3，解得b 2＝2，则a ＝2b ＝2 2.∴所求椭圆的方程为x 28＋y 22＝1.]3．若椭圆2kx 2＋ky 2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k 的值为________.【导学号：46342068】k ＝132 [易知k >0，方程2kx 2＋ky 2＝1变形为y 21k ＋x 212k＝1，所以1k －12k ＝16，解得k ＝132.] 4．如图224所示，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝________.图2242 3 [设正三角形POF 2的边长为c ，则34c 2＝3， 解得c ＝2，从而|OF 2|＝|PF 2|＝2，连接PF 1(略)，由|OF 1|＝|OF 2|＝|OP |知，PF 1⊥PF 2 则|PF 1|＝|F 1F 2|2－|PF 2|2＝42－22＝2 3 所以2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝23＋2，即a ＝3＋1 所以b 2＝a 2－c 2＝(3＋1)2－4＝2 3.]5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点(如图225所示)，∠F 1F 2B ＝2π3，△F 1F 2A 的面积是△F 1F 2B 面积的2倍．若|AB |＝152，求椭圆C 的方程．图225[解] 由题意可得S △F 1F 2A ＝2S △F 1F 2B ，∴|F 2A |＝2|F 2B |， 由椭圆的定义得|F 1B |＋|F 2B | ＝|F 1A |＋|F 2A |＝2a ， 设|F 2A |＝2|F 2B |＝2m ， 在△F 1F 2B 中，由余弦定理得(2a －m )2＝4c 2＋m 2－2·2c ·m ·cos 2π3⇒m ＝2(a 2－c 2)2a ＋c.在△F 1F 2A 中，同理可得m ＝a 2－c 22a －c，所以2(a 2－c 2)2a ＋c ＝a 2－c 22a －c ，解得2a ＝3c ，可得m ＝5c 8，|AB |＝3m ＝15c 8＝152，c ＝4.由c a ＝23，得a ＝6，b 2＝20， 所以椭圆C 的方程为x 236＋y 220＝1.。
江苏2018版高考数学复习第九章平面解析几何9.5椭圆教师用书理苏教版
第九章平面解析几何 9.5 椭圆教师用书理苏教版1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ )(5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧10－m >m －2>0，－m －m －2＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，m －－－m ＝4，解得m ＝4或m ＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点F (－1,0)的距离与P 到定直线x ＝－4的距离的比值为12.则动点P 的轨迹C 的方程为______________.答案x 24＋y 23＝1 解析 设点P (x ，y )，由题意知x ＋2＋y 2|x ＋4|＝12，化简得3x 2＋4y 2＝12，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________.答案 12解析 如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ，OD ＝14·2b ＝12b .在Rt△FOB 中，OF ·OB ＝BF ·OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 将椭圆方程化为x 22＋y 22k＝1，因为焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1，又k >0，所以0<k <1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1 解析 设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫152，1或⎝ ⎛⎭⎪⎫152，－1.题型一 椭圆的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________.答案 椭圆解析 由条件知PM ＝PF ， ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________________________________________. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0)，∴02a 2＋32b2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.即⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，②①②两式联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1. 命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析 设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，因为2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22) ＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又因为1221219,2PF F S rr b ===△ 所以b ＝3. 引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程. 解 由原题得b 2＝a 2－c 2＝9， 又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5， 故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2.在例3中，若将条件“PF 1→⊥PF 2→”“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“12PF F S =△ 解 PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°， 所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60° ＝F 1F 22，即(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2＝4c 2， 所以3PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2， 所以PF 1·PF 2＝43b 2，又因为12121··sin 602PF F S PF PF =︒△ ＝12·43b 2·32 ＝33b 2＝33， 所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式. (3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF 1·PF 2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________.(2)(2016·镇江模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是______. 答案 (1)x 264＋y 248＝1 (2)1解析 (1)设圆M 的半径为r ，则MC 1＋MC 2＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝C 1C 2， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，121= 1.2F PF S mn ∴=△题型二 椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________.(2)(2016·全国丙卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________.答案 (1)2 (2)13解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)，PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)，∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20 ＝22－2y 20＋y 20 ＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2. (2)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，am a －c ，又B ，D ，M 三点共线，所以m a －c ＝m a ＋c ，a ＝3c ，e ＝13. 思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.答案63解析 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32a ，b 2，又F (c,0)， 则FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a＝23＝63. 题型三 直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OF ＋1OA ＝3eFA，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围. 解 (1)设F (c,0)，由1OF ＋1OA ＝3eFA，即1c ＋1a ＝3c aa －c，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)， 则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k x －消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0， 解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意，得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )， 有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k 212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y ＝－1k x ＋9－4k212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋9k 2＋.在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ， 即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋9k 2＋≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－64∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫64，＋∞.思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋1k2y 1＋y 22－4y 1y 2](k为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，B ，C 分别为椭圆O 的上，下顶点，P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC交椭圆O 于另一点M .(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积；(2)①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围.(1)解 由题意知B (0,1)，C (0，－1)，焦点F (3，0)，当直线PM 过椭圆O 的右焦点F 时，直线PM 的方程为x3＋y－1＝1，即y ＝33x －1. 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y＝－1(舍去)，即点M 的坐标为(837，17).连结BF ，则直线BF 的方程为x3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0.又BF ＝a ＝2， 点M 到直线BF 的距离为d ＝|837＋3×17－3|12＋32＝2372＝37， 故△FBM 的面积为S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(2)方法一 ①证明 设P (m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－－0－m ＝－1m，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1m x －1，x24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＝0，解得点M 的坐标为(－8m m 2＋4，4－m2m 2＋4)，所以k 1＝4－m2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－－0－m＝－3m，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值.②解 由①知，PB →＝(－m,3)， PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m2m 2＋4＋2)＝(－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)，所以PB →·PM →＝(－m,3)·(－m 3＋12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)＝m 2＋m 2＋m 2＋4.令m 2＋4＝t >4， 则PB →·PM →＝t ＋t －t＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7.因为y ＝t －8t＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).方法二 ①证明 设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)， 则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1， 令y ＝－2，得点P 的坐标为(－x 0y 0＋1，－2)，所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝y 0＋x 0，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·y 0＋x 0＝y 20－x 20＝y 20－－y 20＝－34为定值. ②解 由①知，PB →＝(x 0y 0＋1，3)，PM →＝(x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2)，所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1(x 0＋x 0y 0＋1)＋3(y 0＋2)＝x 20y 0＋2y 0＋12＋3(y 0＋2)＝41－y 2y 0＋2y 0＋12＋3(y 0＋2) ＝7－y 0y 0＋2y 0＋1.令t ＝y 0＋1∈(0,2)， 则PB →·PM →＝－tt ＋t＝－t ＋8t＋7.因为y ＝－t ＋8t＋7在t ∈(0,2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析 离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________.解析 左焦点F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎥⎤0，32. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 典例2 (14分)(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k1＋a 2k2，因此AM ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. [6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2， 且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.[8分]由(1)知AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22， 所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 21＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)，①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. [12分] 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22].[14分]1.(2016·苏北四市联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为____________. 答案x 24＋y 23＝1 解析 依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点A 、B 1、B 2、F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在直线x ＝a 2c上，则椭圆的离心率为________. 答案 12解析 由题意知直线AB 2：－x a ＋y b ＝1，直线B 1F ：x c －y b ＝1，联立解得x ＝2aca －c，若交点在椭圆的右准线上，则2ac a －c ＝a 2c ，即2c 2＋ac －a 2＝0，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.3.(2017·青岛月考)已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C上异于A 1，A 2的任意一点，若直线PA 1，PA 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为________.答案53解析 设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ·y 0x 0－a ＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝ 1－b a2＝1－49＝53. 4.(2016·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________________. 答案 9x ＋y －5＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y29＋x 2＝1上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 219＋x 21＝1，y229＋x 22＝1，两式相减，得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，即y 1－y 2y 1＋y 29＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P (12，12)平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， 将其代入上式，得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9， 即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为y －12＝－9(x －12)，即9x ＋y －5＝0.5.(2016·宿迁模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取得最大值的点P 为__________. 答案 (0,1)或(0，－1)解析 由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，PF 1·PF 2取得最大值.*6.(2016·苏州质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·PA 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是____________. 答案 (22，1) 解析 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，PA 2→＝(a －x ，－y )， ∵PO →·PA 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0， ∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a .将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解， 令f (x )＝(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2， ∵f (0)＝－a 2b 2<0，f (a )＝0， 如图，Δ＝(a 3)2－4(b 2－a 2)·(－a 2b 2) ＝a 2(a 4－4a 2b 2＋4b 4) ＝a 2(a 2－2b 2)2≥0， ∴对称轴满足0<－a 3b 2－a 2<a ，即0<a 3a 2－b 2<a ，∴a 22c 2<1，∴c 2a 2>12. 又0<c a <1，∴22<c a<1. 7.若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________. 答案x 220＋y 216＝1 解析 设切点坐标为(m ，n )， 则n －1m －2·nm＝－1， 即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0， 即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.8.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________. 答案 7解析 由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.9.(2017·连云港质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (－263，263)解析 设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )， 则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0， 即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①，得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263).10.已知过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________. 答案255解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a ). 设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →， ∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0).∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－23a ，y 0＝a3，代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15，∴e ＝1－b 2a 2＝255. 11.(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且AB ＝52BF .(1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程.解 (1)由已知AB ＝52BF ， 即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0， 即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而－4b 217－12817＋4＝0， 解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12.(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ， 又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b ＋－14b ＋74b＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点.过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q ). (1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程.解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2，y －b 2＝a b (x －a 2)， 于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac 2b). 所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac 2b≤0， 整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0，所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2. 所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1. (2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ， 此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c2＝1， 设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，MF →＝(－c －x ，－y )，OD →＝(b ＋1,0)，MO →＝(－x ，－y )，所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12. 当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2； 当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2， 即12(2c )2－2c ＋c 2＝72， 解得c ＝2＋304，不合题意，舍去. 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.。
选修1-1步步高40分钟课时作业 椭圆的简单几何性质(二)
40分钟课时作业 椭圆的简单几何性质(二)一、选择题1.椭圆x 225＋y 29＝1上的点P 到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是( ) A.8,2 B.5,4 C.5,1 D.9,12.过椭圆x 2＋2y 2＝4的左焦点F 作倾斜角为π3的弦AB ，则弦AB 的长为( ) A.67 B.167 C.716 D.763.已知AB 为过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中心的弦，F (c,0)为椭圆的右焦点，则△AFB 面积的最大值为( )A.b 2B.abC.acD.bc 4.若直线ax ＋by ＋4＝0和圆x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(a ，b )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的公共点个数为( )A.0B.1C.2D.需根据a ，b 的取值来确定5.已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M (1,1)为中点的弦所在直线的方程是( )A.x ＋2y －3＝0B.2x ＋y －3＝0C.x －2y ＋3＝0D.2x －y ＋3＝06.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标x 0＝b ，则k 的值为( ) A.22 B.±22 C.12 D.±12二、填空题7.直线x ＝a 与椭圆x 23＋y 24＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________. 8.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c ，若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________.9.过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，则△OAB 的面积为________.10.若椭圆mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)与直线x ＋y －1＝0交于A ，B 两点，若n m ＝2，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为________.三、解答题11.已知点A ，B 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)与直线x －3y ＋2＝0的交点，点M 是AB 的中点，且点M 的横坐标为－12，若椭圆C 的焦距为8，求椭圆C 的方程.12.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →⊥OQ →(O 为坐标原点). (1)求证：1a 2＋1b 2等于定值； (2)若椭圆的离心率e ∈[33，22]，求椭圆长轴长的取值范围.13.椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点(1，32)，离心率为12，左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆C 的方程；(2)当△F 2AB 的面积为1227时，求直线的方程.。
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课时分层作业(七) 椭圆的几何性质(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、填空题1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，焦距为2，则C 的方程为__________.【导学号：95902097】【解析】 根据已知条件知c a ＝12，又2c ＝2，得a ＝2，又b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆方程为x 24＋y 23＝1.【答案】x 24＋y 23＝1 2．设F 1、F 2为椭圆的两个焦点，以F 2为圆心作圆F 2，已知圆F 2经过椭圆的中心，且与椭圆的一个交点为M ，若直线MF 1恰与圆F 2相切，则该椭圆的离心率e 为________． 【解析】 由题意知圆F 2的半径为c ，在Rt△MF 1F 2中， |MF 2|＝c ，|MF 1|＝2a －c ，|F 1F 2|＝2c 且MF 1⊥MF 2. 所以(2a －c )2＋c 2＝4c 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a －2＝0，∴e ＝c a＝3－1. 【答案】3－13．直线y ＝k (x －2)＋1与椭圆x 216＋y 29＝1的位置关系是________.【导学号：95902098】【解析】 直线y ＝k (x －2)＋1过定点P (2,1)，将P (2,1)代入椭圆方程，得416＋19＜1，∴P (2,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．【答案】 相交4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为________．【解析】 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2， 椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】x 23＋y 22＝1 5．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________. 【导学号：95902099】【解析】 ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4，又∵a2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.【答案】 (2,4]6．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在y 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆方程为________．【解析】 因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以设椭圆的方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝12，c a ＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，c ＝2，由a 2＝b 2＋c 2，得b 2＝32.故椭圆的方程为：y 236＋x 232＝1.【答案】y 236＋x 232＝1 7．椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△FAB 的周长最大时，△FAB 的面积是________.【导学号：95902100】【解析】 如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【答案】 38．已知椭圆方程是x 29＋y 24＝1，则以A (1,1)为中点的弦MN 所在的直线方程为________．【解析】 方法一：易知直线MN 的斜率存在，设为k ，则其直线方程为y －1＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －，x 29＋y24＝1，得(4＋9k 2)x 2－18k (k －1)x ＋9k 2－18k －27＝0，又设直线与椭圆的交点为M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝18k k －4＋9k 2＝2，解得k ＝－94，则所求的直线方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.方法二：设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 219＋y 214＝1 ①x 229＋y 224＝1 ②①－②得x 1＋x 2x 1－x 29＝－y 1＋y 2y 1－y 24∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－4x 1＋x 29y 1＋y 2＝－4×29×2＝－49. ∴直线l 的方程为y －1＝－49(x －1)，即4x ＋9y －13＝0.【答案】 4x ＋9y －13＝0 二、解答题9．(1)已知椭圆的焦距与短轴长相等，求椭圆的离心率．(2)若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率． 【解】 (1)由题意得：b ＝c ，∴e 2＝c 2a 2＝c 2b 2＋c 2＝c 22c 2＝12，∴e ＝22.(2)由题意得：2b ＝a ＋c ，∴4b 2＝(a ＋c )2. 又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，即3a 2－2ac －5c 2＝0，∴3－2·c a －5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝0，即5·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋2·c a －3＝0，∴e ＝c a ＝35.10．过椭圆x 216＋y 24＝1内点M (2,1)引一条弦，使弦被M 平分，求此弦所在直线的方程.【导学号：95902101】【解】 方法一：依题意，该直线l 的斜率存在．设所求直线方程为y －1＝k (x －2)，代入椭圆方程并整理，得(4k 2＋1)x 2－8(2k 2－k )x ＋4(2k －1)2－16＝0.又设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则x 1、x 2是方程的两个根，于是x 1＋x 2＝82k 2－k 4k 2＋1.又M 为AB 的中点，∴x 1＋x 22＝42k 2－k 4k 2＋1＝2，解之得k ＝－12.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.方法二：设直线与椭圆的交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，M (2,1)为AB 的中点．∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.又A 、B 两点在椭圆上，则x 21＋4y 21＝16，x 22＋4y 22＝16. 两式相减得(x 21－x 22)＋4(y 21－y 22)＝0.于是(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 24y 1＋y 2＝－12， 即k AB ＝－12.故所求直线方程为x ＋2y －4＝0.[能力提升练]1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若∠BAO ＋∠BFO＝90°，则椭圆离心率为__________．【解析】 令右焦点为F ′，连结BF ′，由题意得A (－a,0)，B (0，b )，F ′(c,0)，由椭圆的对称性知∠BFO ＝∠BF ′O ，又∠BAO ＋∠BFO ＝90°，所以∠BAO ＋∠BF ′O ＝90°，∴AB →·BF ′→＝0，∴(a ，b )·(c ，－b )＝ac －b 2＝ac －a 2＋c 2＝0，得e 2＋e －1＝0，求得e ＝5－12. 【答案】5－122.如图223，P 是椭圆x 225＋y 216＝1在第一象限上的动点，F 1，F 2是椭圆的焦点，M 是∠F 1PF 2的平分线上的一点，且F 2M →·MP →＝0，则OM 的取值范围是________.图223【导学号：95902102】【解析】 延长 F 2M 交PF 1于点N ，由已知条件可知OM ＝12NF 1＝12(PF 1－PF 2)＝a －PF 2，而a －c <PF 2<a ，所以OM ∈(0，c )，即OM ∈(0,3)．【答案】 (0,3)3．已知椭圆x 236＋y 29＝1以及椭圆内一点P (4,2)，则以P 为中点的弦所在直线的斜率为________．【解析】 设弦的端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减，得x 1＋x 2x 1－x 236＋y 1＋y 2y 1－y 29＝0，∴2x 1－x 29＝－4y 1－y 29，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 【答案】 －124.如图224，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P (3,1)在椭圆上，△PF 1F 2的面积为2 2.。