不等式的性质第2课时

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不等式的性质(第二课时

不等式的性质(第二课时
§6.1:不等式的性质
(二)
学习要求: 1.能够推导出不等式的性质. 2.初步掌握不等式性质的应用.
一. 复习
1.不等式的定义: 用不等号表示不等关系的式子叫不等式。
2.初中所学不等式的性质: ①不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式, 不等号的方向不变。 ②不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数, 不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数, 不等号的方向改变。
推论2.(加法法则)若a>b,c>d,则a+c>b+d
证明: a b a c b c cd bcbd
ac bd
结论:同向不等式对相加,不等号不变
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b,则b<a;若b<a,则a>b.(对称性) 即:a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c.(传递性)
(a c) (b c) a b 0
a c b c
Байду номын сангаас
二.学习新课—不等式的性质
定理1:若a>b,则b<a;若b<a,则a>b.(对称性) 即:a>b⇔ b<a.
定理2:若a>b且b>c,则a>c.(传递性)
即:a>b,b>c a>c.
定理3:若a>b,则a+c>b+c.(可加性)
推论1.(移项法则)若a+b>c,则a>c-b
3.实数的性质(不等式的基本原理)
a - b > 0 <=> a > b
a - b = 0 <=> a = b

9-1-2不等式的性质(第二课时)-七年级数学下册同步精品课件(人教版)

9-1-2不等式的性质(第二课时)-七年级数学下册同步精品课件(人教版)
第二场:女老师为一方,五个同学(一男四女)为另一方进行
比赛,女老师赢了;
第三场:男老师加一个男同学为一方,女老师与三个女同学为
另一方进行比赛,男老师一方赢了.
问:女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛,
结果将会怎么样?为什么?
课堂练习
解:设男老师力量为x,女老师力量为y,男生力量为z,女生
位数的个位与十位上的数字对调,得到的两位数大于原来的两位数,那
么a与b哪个大?
解:根据题意,得
10b+a<10a+b,
所以,9b<9a,
所以,b<a,即a>b.
课堂练习
4.用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集.
(1)x的3倍大于或等于1; (2)x与3的和不小于6;
(3)y与1的差不大于0;
D.a<0
提示:考虑什么时候需要变号——两边同时除以负数时变号.
课堂练习
2.5名学生身高两两不同,把他们按从高到低排列,设前三名的平
均身高为a米,后两名的平均身高为b米.又前两名的平均身高为
c米,后三名的平均身高为d米,则( B

课堂练习
3.有一个两位数,个位上的数字为a,十位上的数字为b,如果把这个两
A.4
B.5
C.6
D.7
探究新知
单击此处添加大标题
9.如图,某班进行拔河比赛,一共有两个老师,一个男老师,
一个女老师,六个学生,三个男学生,三个女学生.其中每个
男学生的力量相同,每个女学生的力量相同.
如果有三场比赛的结果是:
第一场:一个男老师为一方,五个同学(两男三女)为另一方
进行比赛,男老师输了;
式表示出来.
解:设北京气温为x℃:

2.1 等式性质与不等式性质(2课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)

2.1 等式性质与不等式性质(2课时)(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的
明暗使它看上去像一个风车,代表中国人民热情好客.
思考:
D
你能在这个图中找出些相等关系和不等关系吗
1.正方形ABCD的面积S=____
+
?
2.四个直角三角形的面积和S’ =____

3.S与S’有什么样的关系? S > S′
追问:那么它们有相等的情况吗?
>
+ )( + ) > ( + )( + ).

所以(
追问4:还有其他的方法比较两个实数的大小吗?
4
学习目标
课堂导入
知识点2 重要不等式
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
∀ a,b∈R,有a²+b²≥2ab, 当且仅当a=b时,等号成立.
如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,
性质7(同向同正可乘方性)如果 > > 0, ∈ ∗ , 那么 >
根据性质6,你能自己证明性质7吗?
4
新知1.并集
学习目标
课堂导入
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
知识点1 不等式的性质
【例2】已知 > > , < , 求证


>


证明:∵ 已知 > >
掌握不等式的基本
性质
重点
数学抽象
不等式的基本性质
应用不等式的基本
性质
难点
逻辑推理




重、难点 核心素养
学习目标

第三章 3.1 第2课时 不等式的性质

第三章 3.1 第2课时 不等式的性质
答案:D
-15-
第2课时 不等式的性质
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Z Z D 知识梳理 HISHISHULI
重难聚焦
HONGNANJUJIAO
典例透析
IANLITOUXI
不等式变形应注意的问题
剖析(1)在应用传递性时,如果两个不等式中有一个带等号而另一
个不带等号,那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c⇒a<c.
(2)在乘法法则中,要特别注意“乘数c的符号”.例如当c≠0时,有
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典例透析
IANLITOUXI
题型一 题型二 题型三 题型四
比较大小
【例1】 (1)比较下列两个代数式的大小:x2+3与3x;
(2)已知a,b均为正数,且a≠b,比较a3+b3与a2b+ab2的大小.
分析我们知道,a-b>0⇔a>b,a-b<0⇔a<b,因此,要比较两个代数式
名师点拨证明:∵a>b,∴a-b>0.
由正数的相反数是负数,得-(a-b)<0.
即b-a<0,∴b<a.
同理可证,如果b<a,那么a>b. 【做一做2-1】 与m≥(n-2)2等价的是( ). A.m<(n-2)2 B.(n-2)2≥m C.(n-2)2≤m D.(n-2)2<m 答案:C
-4-
第2课时 不等式的性质
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1.关于实数大小的比较 (1)事实:如果a-b是正数,那么a>b;如果a-b等于零,那么a=b;如果ab是负数,那么a-b<0.反过来也对. (2)符号表示: a-b>0⇔a>b; a-b=0⇔a=b; a-b<0⇔a<b. (3)说明:“⇔”表示“等价于”,即“⇔”两边可以互相推出. (4)作用:比较两个代数式大小或证明不等式. 【做一做1】 已知x∈R,则x2+2与2的大小关系是 ( ). A.x2+2>2 B.x2+2≥2 C.x2+2<2 D.x2+2≤2 答案:B

《不等式的性质》第2课时示范课教学设计【人教七数下册】

《不等式的性质》第2课时示范课教学设计【人教七数下册】

《不等式的性质》教学设计第2课时一、教学目标1.进一步巩固对不等式的性质的理解.2.会根据不等式的性质把不等式逐步化为x>a或x<a的形式,并能在数轴上表示其解集.3.知道符号“≥”和“≤”的意义及在数轴上表示不等式的解集时,实心点与空心圈的区别.4.学会运用类比和化归思想来解不等式,培养学生观察、分析和归纳的能力.二、教学重难点重点:用不等式的性质解不等式.难点:不等式的性质3的应用.三、教学用具多媒体课件四、教学过程设计【探究】1、通过例1中4个简单的不等式探究如何利用不等式的性质解不等式,可类比方程的解法进行求解,同时让学生说一说解方程和解不等式的相同点和不同点.例1利用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:(1)x – 7>26;(2)3x<2x+1;(3)23x>50;(4) – 4x>3.分析:解不等式,就是要借助不等式的性质使不等式逐步化为x>a或x<a(a为常数)的形式.解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边加7,不等号的方向不变,所以x-7+7>26+7,x>33.在数轴上表示如下图:(2)根据不等式的性质1,不等式两边减2x,不等号的方向不变,所以3x – 2x<2x + 1 – 2x,x<1.在数轴上表示如下图:(3)根据不等式的性质2,不等式两边乘32,不等号的方向不变,所以32×23x>32×50,x>75.在数轴上表示如下图:根据不等式的性质3,不等式两边除以– 4,不等号的方向改变,所以−4x−4<3−4,x<– 34.总结:不等式的解集的表示方法主要有两种:(1)用式子形式(如x>2),即用最简单形式的不等式x>a 或x<a(a为常数)表示;(2)数轴,用数轴表示不等式的解集时应确定两点:一是确定“边界点”,若解集包含“边界点”,则用实心圆点;若解集不包含“边界点”,则用空心圆圈;二是确定“方向”,大于“边界点”向右画,小于“边界点”向左画.这两种形式分别是用“数”和“形”表示不等式的解集.2、探究“≥”与“>”、“≤”与“<”的意思有什么区别?在表示两个数量大小关系时,我们会经常用到像a≥b或a≤b这样的式子,如一天内的温度变化t≥19℃且t≤28℃.提出问题:符号“≥”与“>”的意思有什么区别?“≥”是“不等号”与“等号”的合写形式,读作“大于或等于”,也可以说是“不小于”.也就是“≥”比“>”多了一层相等的含义.同理,“≤”是“不等号”与“等号”的合写形式,读作“小于或等于”,也可以说是“不大于”.即,“≤”比“<”多了一层相等的含义.追问:“≥”与“≤”是否具有与前面所说的不等式类似的性质呢?通常我们把用符号“≥”和“≤”表示大小关系的式子,也称为不等式,它们同样具有类似前面所说的不等式的性质.3、借助实际生活中的问题,进一步了解巩固含有“≥、≤”的不等式的解法和应用.例2某长方体形状的容器长 5 cm,宽3 cm,高10 cm.容器内原有水的高度为3 cm,现准备向它继续注水.用V(单位:cm³ )表示新注入水的体积,写出V的取值范围.解:新注入水的体积V与原有水的体积的和不能超过容器的容积,即V+3×5×3≤3×5×10,V ≤105.又由于新注入水的体积V 不是负数,因此,V 的取值范围是:V≥0并且V≤105.这样的解集如何在数轴上表示呢?在表示0 和105的点上画实心圆点,表示取值范围包含这两个数.总结:解决实际问题时,不等式的解决要符合实际意义.【典型例题】注意:大于或等于、不小于都用“≥”表示;不大于、小于或等于都用 “≤”表示.例2 用炸药爆破时,如果导火索燃烧的速度是0.8 cm/s ,人跑开的速度是每秒4 m ,为了使点导火索的战士在爆破时能够跑到100 m 以外(不含100 m)的安全区域,这个导火索的长度应大于多少厘米?请将解集在数轴上表示出来.解析:设导火索要x m 长,根据导火索燃烧的速度为0.8cm/s ,人跑开的速度是5m/s ,为了使点导火索的战士在爆破时能跑到离爆破点100m 的安全地区,可列不等式求解.解:设导火索的长度是x cm , 根据题意得:x0.8>1004.解得:x >20.在数轴上表示x 的取值范围如图所示:教师给出练习,随时观察学生完成情况并相应指导,最后给出答案,根据学生完成情况适当分析讲解.1.用不等式的性质解下列不等式,并在数轴上表示解集:解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边减5,不等号的方向不变,(2)根据不等式的性质1,不等式两边减3x,不等号的方向不变,(3)根据不等式的性质2,不等式两边乘7,不等号的方向不变,(4)根据不等式的性质3,不等式两边除以–8,不等号的方向改变,2.用不等式表示下列语句并写出解集,并在数轴上表示解集:(1)x的3倍大于或等于1;(2)x与3的和不小于6;(3)y与1的差不大于0;(4)y的 1小于或等2于–2.3.在某次的知识竞赛中共有20 道题.对于每一道题,答对了得10 分,答错了或不答扣 5 分,至少要答对几道题,其得分不少于80 分?思维导图的形式呈现本节课的主要内容:教科书第120页习题第2、5、8题.。

第2课时 不等式的基本性质

第2课时 不等式的基本性质

第2课时 不等式的基本性质【教学目标】掌握不等式的基本性质,能正确运用不等式的基本性质将不等式变形. 【教学重点】不等式的性质及不等式的变形. 【教学难点】不等式的性质3及其在不等式变形中的运用;正确分析实际问题中的不等关系并用不等式表示. 教学过程一、组织教学,复习提问1.等式的基本性质(在师生问答的过程中,多媒体同步演示). 师:等式有哪几条基本性质?生:等式有两条基本性质:(1)等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子),结果仍是等式.如果a =b ,那么a±c =b±c.(2)等式两边都乘以同一个数,或除以同一个不等于0的数,结果仍是等式.即:如果a =b ,那么ac =bc ;如果a =b(c ≠0),那么a c =b c .2.填空.师:如果x =y ,在等式两边都________,得x +5=y +5,根据是________.生:加上5,等式的基本性质1.师:如果x =y ,在等式两边都________,得5x =5y ,根据是________.生:乘以5,等式的基本性质2.师:如果x =y ,在等式两边都________,得x 5=y5,根据是________. 生:除以5,等式的基本性质2.师:依据等式的基本性质,可以把一个等式两边变形,所得结果仍然是一个等式,等式的基本性质是解一元二次方程的依据. 二、创设情境,引入新课师:类比等式的基本性质,我们可以得到不等式的基本性质,不等式的基本性质是研究不等式的重要依据.1.探究不等式的基本性质1. (1)创设情境.多媒体演示课本第24页图形,引导学生观察图形,思考问题1. 问题1:如果将倾斜的天平看成不等式,类比等式的基本性质.对于不等式a >b ,从上图中你能得出什么结论?师:图中两个天平上砝码的质量分别满足怎样的关系? 生:左图中满足a >b ;右图中满足a +c >b +c.师:类比等式的基本性质1,对于不等式a >b ,你从图中能得出什么结论?生:如果a >b ,那么a +c >b +c ,a -c >b -c. (2)引入新课.不等式的基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.即:如果a >b ,那么a±c >b±c.2.探究不等式的基本性质2. (1)创设情境.多媒体演示课本第24页图形,引导学生观察图形,思考问题2. 问题2:对于倾斜的天平,如果两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一,那么天平的倾斜方向会改变吗?生:不改变.师:我们利用下面的计算来验证一下这个结论. 7>3,那么7×5________3×5,15×7________15×3; -7<3,那么-7×5________3×5,15×(-7)________15×3. 生:7>3,那么7×5>3×5,15×7>15×3; -7<3,那么-7×5<3×5,15×(-7)<15×3;师:由此,我们验证了问题2的结论.类比等式的基本性质2,可以得出不等式的基本性质2.(2)引入新课.不等式的基本性质2:不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.即:如果a >b ,c >0,那么ac >bc ,a c >bc .3.探究不等式的基本性质3. (1)创设情境.问题3:多媒体演示课本第25页探究.如果a >b ,那么它们的相反数-a 与-b 哪个大?你能用数轴上的点的位置关系和具体的例子加以说明吗?师:如图,请同学们依据相反数的意义,在图中标出a 、b 的相反数-a 和-b ,再依据实数的大小比较法则,判断-a 与-b 的大小关系.生:(在上图标出-a ,-b)-a <-b. 师:请同学们再举几个具体的例子加以验证. 生:如果5>3,那么-5<-3.师:如果a >b ,那么-a <-b ,这个式子可理解为: a ×(-1)<b ×(-1)师:对于不等式a >b ,两边同乘以-3,会得到什么结果呢? 我们来进行逐步分析:因此,对于不等式a >b ,那么a ×(-3)<b ×(-3).师:如果a >b ,c <0,那么ac 与bc 有怎样的大小关系? 生:ac <bc. (2)引入新课.不等式的基本性质3:不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向前改变,即如果a >b ,c <0,那么ac <bc ,a c <bc4.探究不等式的另外两条基本性质.师:请同学们举例验证:如果a >b ,那么b <a. 生:如果8>-2,那么-2<8;如果3>x ,那么x <3. 师:不等式的对称性:如果a >b ,那么b <a. 请同学们举例验证:如果a >b ,b >c ,那么a >c. 生1:如13>0,0>-5,那么13>-5.生2:因为∠A >∠B ,∠B >30°,那么∠A >30°. 师:不等式的同向传递性:如果a >b ,b >c ,那么a >c. 三、巩固练习1.课本第26页练习1,2,3题.教师让学生完成课本第26页练习1,2,3题.在完成练习1时,要让学生分别说说每个不等式的变形分别依据了不等式的哪一条基本性质.2.交流与思考.师:请同学们思考下面的问题并相互交流各自的看法. 问题4:等式与不等式的基本性质有哪些相同和不同的地方?生:等式的基本性质与不等式的基本性质1、2相同,即对于a 、b 两数,都加上或减去同一个数,都乘以或除以同一个正数,所得结果的大小关系与a 、b 两数的大小关系一样.不同点是:当都乘以或除以同一个负数时,所得结果的大小关系与a 、b 两数的大小关系相反.师:在不等式的两边能同乘以0吗?为什么?生:不能.若在不等式的两边都乘以0,那么不等式就变成了等式. 四、提升练习师:将下列不等式化为“x>a”或“x<a”的形式. 1.8-x >0 2.x >12x -6 解:x <8解:x >-12 3.2x +5<0 4.-13x <-4 解:x <-52解:x >12 5.12x ≥12(5-x) 6.-0.3x <-1.5 解:x ≥52解:x >5五、课堂小结1.不等式的基本性质有哪些,运用哪一条性质时,要改变不等号的方向?2.等式的基本性质与不等式的基本性质有哪些异同?。

不等式的性质:数学七年级下册第九章第一节第二课时

不等式的性质:数学七年级下册第九章第一节第二课时

此,不等式在区间[0,5]内的整数解个数为3。
案例三:含参数的一元一次不等式问题
问题描述
含参数的一元一次不等式问题是指在不等式中包含未知数或参数的问题。这类问题需要根 据参数的不同取值范围,分别讨论不等式的解集。
解题思路
首先,对参数进行分类讨论,确定参数的不同取值范围。然后,针对每个取值范围,分别 解出对应的不等式,得到不同的解集。最后,综合各个取值范围的解集,得出最终结论。
同向正数可乘性说明,当两个不等式方向相同时,我们可以在不等式的两边同时乘 以一个正数,而不改变不等式的方向。
特殊性质
不等式两边同时乘以一个负数时,不等号的方向会发 生反转。例如,如果 $a < b$ 且 $c < 0$,则 $ac > bc$。
当不等式的一边是0时,需要注意特殊情况。例如,如 果 $a < 0$,则 $a^2 > 0$;如果 $a > 0$,则 $a^2 > 0$。
不等式的性质数学七年级下册 第九章第一节第二课时

CONTENCT

• 不等式的基本概念 • 不等式的性质 • 一元一次不等式 • 一元一次不等式组 • 案例分析
01
不等式的基本概念
不等式的定义
不等式是用不等号连接两个解析式而成的数学式子,它表示两个 量之间的大小关系。
常见的不等号有“>”、“<”、“≥”、“≤”、“≠”,分别表示 “大于”、“小于”、“大于等于”、“小于等于”、“不等于”。
不等式的表示方法
文字语言表示法
用文字描述两个量之间的大小关系,如“x大于y” 。
符号语言表示法
用不等号和字母表示不等式,如“x > y”。
图形语言表示法

_第九章 9-1-2 不等式的性质 第2课时 含“≤”“≥”的不等式 课件(共1七年级下册数学人教版

_第九章 9-1-2 不等式的性质 第2课时 含“≤”“≥”的不等式 课件(共1七年级下册数学人教版

例2 某长方体形状的容器长 5 cm,宽 3 cm,高 10 cm,容器
内原有水的高度为 3 cm,现准备向它继续注水.用V(单位:
cm3)表示新注入水的体积,写出 V 的取值范围. 容器的总体积为: 3×5×10 被占用的容器的体积为: 3×5×3
根据题意有: V+3×5×3≤3×5×10
解:新注入水的体积 V 与原有水的体积的和
9.1.2 不等式的性质 第2课时 含“≤≥”的不等式
1.进一步了解不等式的概念,认识 几种不等号的含义;
2.学会并准确运用不等式表示数量 关系,形成在表达中渗透数形结合的思。
目标导学:含“≤”“≥”的不等式
在表示两个数量大小关系时,我们会经常用到 像 a≥b 或 a≤b 这样的式子,如一天内的温度变化 t≥19℃ 且 t≤28℃.
课堂练习
1.用不等式的性质解下列不等式,并在 数轴上表示解集:
(1)x+5>–1; (2)4x<3x–5;
(3) 17x<67;
(4)– 8x>10.
解:(1)根据不等式的性质1,不等式两边减5,不等号的方向不变,
x+5–5>–1–5 x>–6
–6
0
2. 小鸣就读的学校上午第一节课的上课时间是 8 点. 小鸣家距学校有 2 千米,而他的步行速度为每小时 10 千米. 那么,小鸣上午几点从家里出发才能保证不迟到?
不等式的 基本性质1

如果a>b,那
么a+c>b+c,
应 用 性
a-c>b-c

不等式
不等式 如果 a b, c 0,

的基本 性质
基本性 质2

那么ac

高中数学《等式性质与不等式性质》第2课时教学设计

高中数学《等式性质与不等式性质》第2课时教学设计

等式性质与不等式性质第2课时教学设计一、内容和内容解析1.内容梳理等式性质及其蕴含的思想方法;不等式的基本性质及其研究方法;不等式的其他性质.2.内容解析等式性质可分为相等关系自身特性和运算中的不变性两类.从自身特性看, 包括“对称性”和“传递性”.“对称性”即两个相等的实数放在等号两边的两种不同的表现形式;“传递性”是实数相等的内在关系, 两者均是实数序的特征.从运算角度看, 有基本层面的“加法”“乘法”运算中的不变性, 即等式两边同加或同乘同一个实数, 等式保持不变;也有其派生出来的在“乘方”“开方”等运算中的不变性.不等式与等式的性质蕴含了同样的数学思想方法,也包含不等关系自身的特性和运算中的不变性两类.不等关系自身的特性有“自反性”和“传递性”两种.“自反性”是不相等的两个实数大小关系的两种不同表达形式,是实数序特性的体现.“传递性”是三个不相等的实数之间大小关系的内在联系,也是实数序特性的体现.运算中的不变性、规律性是指对不等号两边的实数同时进行“加法”“乘法”等运算,得出新的不等关系.由于“正数乘正数大于0”“负数乘正数小于0”,所以不等式对于乘法运算失去了“保号性”,这也是不等式性质与等式的性质的差异.实际上,在代数问题中,运算中的不变性、规律性就是性质,它是发现代数性质的“引路人”,在代数领域中具有基础地位.利用不等式的基本性质可推导出不等式的一些其他性质, 即以基本性质为理论依据, 以运算中的不变性和规律性为研究方向, 通过“猜想—证明—修正—再证明—得出性质”的方法探究出其他的性质.结合以上分析, 确定本节课的教学重点:两个实数大小关系的基本事实及其简单应用;梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法;在等式基本性质蕴含的数学思想方法引导下, 类比等式基本性质, 探究不等式的基本性质.二、目标和目标解析1.目标(1)梳理等式基本性质中蕴含的数学思想方法, 即实数序关系的特性和运算中的不变性.(2)运用等式基本性质中蕴含的思想方法, 类比等式的基本性质研究不等式的基本性质, 掌握不等式的基本性质;体会“运算中的不变性”在研究不等式的基本性质中的“引路人”的作用, 发展学生逻辑推理素养.(3)运用不等式的基本性质发现并证明一些常用的不等式性质;运用不等式的性质证明一些简单的命题, 发展学生逻辑推理素养.2.目标解析达成上述目标的标志是:(1)学生能够梳理出等式的基本性质, 并探究总结出等式的基本性质包含两个方面, 其一是实数序关系的特性, 即等式自身的特性, 包括“对称性”和“传递性”;其二是在加法、乘法运算中的不变性.(2)学生能够运用类比的方法, 从“实数序关系的特性(等式自身的特性)”和“运算中的不变性”两个方面, 猜想并证明不等式的基本性质, 并能够对比不等式与等式的基本性质说出其共性与差异.(3)学生能从运算的角度出发, 猜测并进行证明不等式的一些常用性质(性质5, 6, 7);并能说出为什么性质1—4称为“基本性质”.(4)学生能够分析简单不等式的证明思路, 利用不等式的性质证明简单的不等关系.三、教学问题诊断分析不等式性质的探究是以两个实数大小关系的基本事实为依据, 以梳理等式性质中所蕴含的思想方法为前提, 以类比等式的基本性质为方法展开的.学生虽然在初中阶段接触过一些内容, 然而是运用由特殊到一般的归纳方法得到的, 没能从根源上探索其成立的道理.高中阶段的等式与不等式的学习强调逻辑推理和数学的理性思维, 因此学生会有以下几个方面的困难.1.学生对梳理等式基本性质包括相等关系自身的特性和运算中的不变性两个方面存在困难.等式的五个基本性质是学生熟知的, 但对性质中所蕴含的思想方法缺乏上位的思考, 尤其是体会相等关系自身的特性较为困难.教学中采用让学生对性质的特点进行归类的方法, 总结每类性质的特点, 引导学生从实数序关系的特性角度体会相等关系自身的特性.2.学生类比等式基本性质及其蕴含的思想方法猜想并证明不等式的基本性质存在困难.由于初中时学生学习过不等式的基本性质3和性质4, 而性质1和性质2学生认为是显然成立的, 学生思维达不到从逻辑推理角度证明性质.教学中在强调逻辑推理的重要性的同时, 还要强调两个实数比较大小的基本事实和实数的一些其他事实是证明的依据.3.学生缺少从代数角度证明不等式的经验,运用两个实数大小关系的基本事实和不等式的性质证明一些简单命题存在一定的困难.教学中,要帮助学生运用“分析法”进行分析,适当采用问题串的形式引导学生生成证明思路,引导学生领会“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.本节课的教学难点为:梳理出等式基本性质中蕴含的思想方法;类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法, 猜想证明不等式的基本性质.四、教学过程设计(一)确定研究内容, 明确研究方法导入语: 同学们,通过上节课的学习,我们知道现实世界的大小关系包括相等关系和不等关系两类,数学中用“等式”和“不等式”表达这两类关系.上节课我们提到解不等式要用不等式的性质,不等式到底都有哪些性质呢?今天我们一起学习不等式性质.既然不等式和等式一样,都是对大小关系的刻画,我们就可以从等式的性质及其蕴含的思想方法中获得启发,来研究不等式的性质.好!我们一起走进“等式性质与不等式性质”.设计意图: 此环节以单元教学理念为指导, 着眼于学生的最近发展区, 唤醒学生与所研究内容相关的认知。

第2课时 等式性质与不等式性质 高一数学

第2课时 等式性质与不等式性质 高一数学
又x<y,所以x-y<0,所以-4<x-y<0.
反思感悟
1.利用几个不等式的取值范围来确定某代数式的取值范围是
一类常见的综合问题,解题时要紧扣不等式的基本性质,不能
直接将几个已知不等式相加减或相乘除.
2.注意提升逻辑推理和数学运算能力.
【变式训练3】 若x>1,y>2,则:
(1)2x+y>
;
(2)xy>
解:(1)因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.
(2)由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.
将本例条件改为“-1<x<y<3”,求x-y的取值范围.
解:因为-1<x<3,-1<y<3,所以-3<-y<1,所以-4<x-y<4.
当c=0时,|c|=0,∴a|c|=b|c|=0.
∴该命题是假命题.
(3)∵c<d,∴-c>-d.
又a>b,∴a+(-c)>b+(-d).
即a-c>b-d.∴该命题是真命题.
(4)∵b<a<0,∴-b>-a>0.
∴(-b)n>(-a)n(n∈N,n>1).
∵n为奇数,∴-bn>-an,∴an>bn.
.
答案:(1)4 (2)2
易 错 辨 析
错用不等式的性质致错
【典例】 已知1≤a-b≤2,且2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围.

4.2 第2课时 不等式基本性质2,3

4.2 第2课时 不等式基本性质2,3

当堂测评
1.[2018·广西]若m>n,则下列不等式正确的是( B )
A.m-2<n-2
B.m4 >n4
C.6m<6n
D.-8m>-8n
2.[2018秋·乐至县期末]下列不等式的变形错误的是( C ) A.若a>b,则2a>2b B.-2a<-2b,则a>b C.若a>b,则a-1<b-1 D.若a>b,则1-a<1-b
若 a<b,则不等式(a-b)x>a-b 化为“x>m”或“x<m”的形式是( C )
A.x>-1
B.x>1
C.x<1
D.x<-1
【解析】不等式(a-b)x>a-b 的两边同时除以 a-b 即可将不等式化为“x>m” 或“x<m”的形式,但必须看清楚 a-b 的符号,才能确定不等号改变方向还是不变 方向.由于 a<b,∴a-b<0,∴(a-b)x>a-b 可化为 x<1.故选 C.
图4-2-4 B.a+c<b+c D.ab<bc
【解析】 由数轴可以看出 a<b<0<c. A.∵a<b,∴a-c<b-c,故此选项错误; B.∵a<b,∴a+c<b+c,故此选项正确; C.∵a<b,c>0,∴ac<bc,故此选项错误; D.∵a<c,b<0,∴ab>bc,故此选项错误. 故选 B.
11.如图 4-2-5,P,Q,R,S 四人去公园玩跷跷板,从图中的示意图,你该 如何判断这四人的轻重呢?请用不等号按从轻到重的顺序排列.
解:Q<P<S<R.
图 4-2-5
分层作业
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学生独立完成,举手回答问题。
复习解方程的过程,解方程的目标及解方程过程中所用到的等式性质,为探索利用不等式的等式性质,为探索利用不等式的性质解不等式作出铺垫。
类比解方程,了解解不等式的目标及化简的依据是不等式的性质,为学生自主探索,积累经验。
将例1变成一道开放性问题,采用数学游戏的方式进行探究,让学生有效地参与到课堂教学中,调动学生的学习兴趣和积极性,努力做到教学过程中体现“自己提出问题、分析问题、解决问题”的教学思想,把知识的形成过程化为学生观察、发现、探索、归纳形成体系的过程。
展示学生的成果,让学生在学习的过程中感受学习的乐趣和成功的喜悦。
让学生用自己的语言清楚地表达解决问题的过程,有利于提高语言表达能力。
使学生在更加贴近实际的问题情景中运用所学数学知识。
问题与情境
师生行为
设计意图
【活动3】
阅读课本P132第二自然段完成下列练习:
1、用不等式表示下列语句:
1)x的3倍大于或等于1;
2、能否用“≥”或“≤”来表示具有这些关系特征的事例。
通过阅读理解像a≥b或a≤b这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系,能发现日常生活中具有这类关系特征的事例,并能利用不等式表示这些问题,培养学生自主探索的能力和阅读理解的能力。
【活动4】
例2
问题:
1、你能表示水的体积与容积之间的关系吗?
2、能求出这个不等式的解集吗?
活动4教科书P132例2
能表示出具有“≤”关系的问题,能解出用“≤”表示的不等式,并能根据实际意义在数轴上表示出解集。
活动5巩固练习
通过学习巩固本节课的知识,并能用本节课的知识进行简单的应用。
活动6小结布置作业
学生归纳本节课的主要内容,交流在探索过程中的心得体会,不断积累数学活动经验。
教学过程设计
问题与情境
情感态度
通过师生共同探索求出不等式的解集的过程,体验数学活动充满探索性和创造性,培养学生团结协作的精神,提高学生的能力。
重点
不等式的性质及利用性质解不等式,并把解集在数轴上表示出来。
难点
体会在解不等式时,什么情况要改变不等号的方向。
教学流程安排
活动流程图
活动内容和目的
活动1问题感知
情景导入
通过实际问题导入新课,激发学生的学习兴趣和求知欲望。
本次活动为本节课的核心活动,教师应重点关注:
1)学生能否抓住不等式的特点,用不等式的性质解不等式;
2)对于不等式的解集,能否准确地在数轴上表示出来;
3)学生对不等式性质3是否能正确应用;
4)书写是否规范;
5)讨论过程中,是否敢于发表自己的想法,并说明想法的根据。
引导学生用自己的语言归纳,利用不等式的性质来解不等式的方法,根据情况出示“帮你归纳”的内容。
问题:解不等式的目标是什么?上述变形能达到这一目的吗?
问题3:用“>”或“<”结合下列代数式写出一个不等式,求解集,并将解集表示在数轴上。
1)x-7 2)26 3)3x
4)2x+5 5)
6)50 7)-4x 8)3
问题4:比较方程的解法,你能谈谈怎样用不等式的性质来解不等式吗?
问题5:解答导入时出现的问题,判断谁的说法正确。
本次活动重点关注:
1、学生能否正确地解答问题,能否说出错误的原因;
2、学生能否正确地解不等式,并能利用数轴求出符合条件的正整数解。
3、学生能否独立思考或讨论交流来解决问题。
把不等式的解集用数轴表示也是本节的重要内容,一方面可以加深对不等式的解集及解不等式的理解,另一方面为今后的学习作出准备。
师生行为
设计意图Hale Waihona Puke 【活动1】问题感知,情景导入
教师提问,学生讨论判断谁的说法正确,得出解不等式的需要,导入新课。
设计问题情景,导入新课,激发学生学习的积极性。
【活动2】
问题1:解方程7x-5=5x+3,并复习解方程的目标及解方程过程中用到的等式的性质。
问题2:将解方程过程中的“=”全部换成“>”可得到一组不等式的变形,用不等式的性质判断变形是否成立。
不等式的性质(第2课时)
黄冈中学蔡盛
教学任务分析




知识技能
理解不等式的性质,并能利用性质解简单的一元一次不等式,能
在数轴上表示出解集。
教学思考
通过类比解一元一次方程,来探索利用不等式的性质解简单的一元一次不等式,初步掌握类比的思想方法。
解决问题
通过经历探索解不等式的过程,体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。
3、注入的水的体积能为负数吗?
4、怎样把解集表示在数轴上?
学生通过回答4个问题来解答例2。
本次活动重点关注:
1、学生能否结合长方体体积计算公式,正确地用不等式表示出容器内水的体积与容积之间的关系;
2、学生能否正确解答不等式;
3、学生能否根据实际情况表示出V的范围;
4、能否正确地把解集表示在数轴上;
5、学生在讨论的教程中,能否敢于发表自己的想法。
学生口答,教师利用课件展示出解方程的过程,并复习解方程的目标及解方程过程中所用到的等式的性质。
教师用课件展示出得到的一组不等式的变形,然后提问,学生口答判断的结果及依据,并用课件填写依据。
类比解方程的目标回答解不等式的目标:将不等式化简成X>a或X<a的形式。
采取数学游戏的方式,每组选一名代表给其他组的同学出一道题,独自探究也可合作探究,然后每组选一个最好的在班上交流。
通过设计4个小的探究点分情况分问题进行探究,激发兴趣,获得解决问题的方法,培养学生进行类比和数形结合的思想方法。
【活动5】
1、下图表示的是不等式的解集,其中错误的是()
A.x≥-2
B.x<1
C.x+1≥0
D.x<0
2、求满足不等式x+3≤6的所有正整数解。
练习1:让学生独自完成,举手回答;
练习2:分组讨论,交流解决。
活动2探索利用不等式的性质解简单的一元一次不等式
通过用不等式的性质解一元一次不等式,使学生进一步理解不等式的性质,并学会用不等式的性质解不等式的方法。
活动3理解像a≥b或
a≤b的不等式的含义
理解像a≥b或a≤b这样的式子,也经常用来表示两个数量的大小关系,并能利用这样的不等式来表示日常生活中具有这样特征的不等关系的量。
2)x与3的和不小于6;
3)y与1的差不大于0;
4)y的 小于或等于-2.
2、能举出一些日常生活中用“≥”或“≤”表示的例子吗?
学生分组阅读课文,理解“≥”或“≤”的含义。
练习1:独自完成举手回答,教师填写答案。
练习2:分组讨论、思考,然后举手回答。
本次活动重点关注:
1、对于“≥”或“≤”的含义是非正确解决;
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