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2015届高三文科数学基础题训练11

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2015届高三考试数学(文)试题word版含答案

2015届高三考试数学(文)试题word版含答案

高三数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{2,3,4},{2,5}A B ==，则()U B C A 等于（ ）A ．{}5B ．{}1,2,5C ．{}1,2,3,4,5D ．φ2、复数(12)z i i =+，则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ）A ．()2,1-B ．()2,1-C ．()2,1D ．()2,1--3、双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为6，则其渐近线的方程为（ ） A．2y x =± B．4y x =± C．5y x =± D．5y x =± 4、已知向量(1,),(1,)a n b n ==-，若2a b -与b 垂直，则2n 等于（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45、在等差数列{}n a 中，2632a a π+=，则4sin(2)3a π-等于（ ） A．2 B ．12 C．2-．12- 6、为了了解某学校1500名高中男生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据此估计该校高中男生体重在70~78kg 的人数为（ ）A ．240B ．210C ．180D ．607、设不等式组22042x y x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为（ ）A ．10B ．15C ．20D ．258、执行如图所示的程序框图所表述的算法，若输出的x 的值为48，则输入x 的值为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．129、函数ln x xy x =的图象大致是（ ）10、某四面体的三视图如图所示，则该四面体的六条棱的长度中，最大值的是（ ）A ．．C ．．11、已知函数()211sin 2sin cos cos sin()(0)222f x x x πϕϕϕϕπ=+--<<，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位后得到函数()g x 的图象，且1()42g π=，则ϕ等于（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．23π 12、抛物线22(0)y px p =>的交点为F ，已知点,A B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则ABMN 的最小值为（ ）A ．3B ．3C ．1D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——4)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——4)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试（4）第四章 平 面 向 量 (时间：120分钟 满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分)1. (2014·保定模拟)下列说法正确的是 A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C. 向量的大小与方向有关D. 向量的模可以比较大小2. (2013·九江模拟)已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且 a ·b ＜0，则△ABC 的形状为 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形3. (2013·西安八校联考)已知作用在点A(1，1)的三个力 F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是(B)A. (8，0)B. (9，1)C. (－1，9)D. (3，1)4. (2014·大连模拟)已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是 A. AB →＋BC →＝CA → B. AB →＋AC →＝BC → C. AC →＋BA →＝AD → D. AC →＋AD →＝DC →5. (2014·滕州质检)已知向量a ，b ，设AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，那么下列各组中三点一定共线的是A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. B ，C ，D6. (2014·大庆检测)在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y∈R)，则x ＋y 等于A. 1B. 12C. 14D. 187. (2014·佛山模拟)已知向量集M ＝{a|a ＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋μ(4，5)，μ∈R}，则M∩N 等于A. {(1，1)}B. {(1，1)，(－2，－2)}C. {(－2，－2)}D. ∅8. (2013·南昌模拟)已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于A. －25B. －20C. －15D. －109. (2014·银川模拟)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是A. (－3，0)B. (2，0)C. (3，0)D. (4，0)10. (2013·天津月考)已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为A. －17B. 17C. －16D. 1611. (2014·金华十校模拟)a ，b 为非零向量．“a⊥b”是“函数 f(x)＝(xa ＋b)·(xb－a)为一次函数”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 12. (2013·天津月考)在平面内，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m n等于A. ±3 B. ±3C. ±13D. ±33二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2014·洛阳检测)设m ＝(a ，b)，n ＝(c ，d)，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc)，若已知p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝ ．14. (2013·奉化模拟)已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝ ． 15. (2014·怀远模拟)若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB＝ ． 16. (2013·滨州模拟)定义平面向量的一种运算：a ⊗b ＝|a|·|b|sin 〈a ，b 〉，则下列命题：装订线学校 班级 姓名 考号①a⊗b＝b⊗a；②λ(a⊗b)＝(λa)⊗b；③(a＋b)⊗c＝(a⊗c)＋(b⊗c)；④若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊗b＝|x1y2－x2y1|.其中真命题是(写出所有真命题的序号)．三、解答题(共70分)17. (10分)(2013·上海模拟)已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－x，－3－y)．(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y应满足的条件；(2)若AC→＝2BC→，求x，y的值．18. (10分)(2014·中山质检)已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，m·n＝sin 2C，且A，B，C分别为△ABC的三边a，b，c所对的角．(1)求角C的大小；(2)若sin A, sin C, sin B成等比数列，且CA→·(AB→－AC→)＝18, 求c的值．19. (12分)(2014·景德镇模拟)已知O为坐标原点，向量OA→＝(sin α，1)，OB→＝(cos α，0)，OC→＝(－sin α，2)，点P满足AB→＝BP→.(1)记函数f(α)＝PB→·CA→，求函数f(α)的最小正周期；(2)若O，P，C三点共线，求|OA→＋OB→|的值．20. (12分)(2013·济南模拟)已知在等边三角形ABC中，点P为线段AB上一点，且AP→＝λAB→(0≤λ≤1)．(1)若等边三角形边长为6，且λ＝13，求|CP→|；(2)若CP→·AB→≥PA→·PB→，求实数λ的取值范围．21. (12分)(2014·南宁模拟)在钝角三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，m＝(2b －c，cos C)，n＝(a，cos A)，且m∥n.(1)求角A的大小；(2)求函数2sin2 B＋cos⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B的值域．22. (14分)(2014·武汉检测)已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，设向量a＝(sin x，2)，b＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin x，12，c＝(cos 2x，1)，d＝(1，2)，当x∈[0，π]时，求不等式f(a·b)＞f(c·d)的解集．参考答案一、 选择题(每小题5分，共60分) 1. (2014·保定模拟)下列说法正确的是(D) A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C. 向量的大小与方向有关D. 向量的模可以比较大小中不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，∴A 不正确；由A 的过程分析可知方向相同的向量也不能比较大小，∴B 不正确；C 中向量的大小即向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，∴C 不正确；D 中向量的模是一个数量，可以比较大小，∴D 正确．2. (2013·九江模拟)已知在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，且 a ·b ＜0，则△ABC 的形状为(A) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形∵a ·b ＝|a||b|cos ∠BAC ＜0，∴cos ∠BAC ＜0, ∴90°＜∠BAC ＜180°，故△ABC 是钝角三角形．3. (2013·西安八校联考)已知作用在点A(1，1)的三个力 F 1＝(3，4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3，1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是(B)A. (8，0)B. (9，1)C. (－1，9)D. (3，1)＝(8，0)，故终点坐标为(8，0)＋(1，1)＝(9，1)．4. (2014·大连模拟)已知四边形ABCD 是一菱形，则下列等式中成立的是(C) A. AB →＋BC →＝CA → B. AB →＋AC →＝BC → C. AC →＋BA →＝AD → D. AC →＋AD →＝DC →对于A ，AB →＋BC →＝AC →≠CA →；对于B ，AB →＋AC →≠BC →；对于C ，AC →＋BA →＝BA →＋AC →＝BC →，又AD →＝BC →，∴AC →＋BA →＝AD →；对于D ，AC →＋AD →≠DC →.5. (2014·滕州质检)已知向量a ，b ，设AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，那么下列各组中三点一定共线的是(C)A. A ，B ，CB. A ，C ，DC. A ，B ，DD. B ，C ，D由向量的加法法则知BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2(a ＋2b)＝2AB →，又两线段均过点B ，故A ，B ，D 三点一定共线．6. (2014·大庆检测)在△ABC 中，AD →＝14AB →，DE ∥BC ，且DE 与AC 相交于点E ，M 是BC 的中点，AM 与DE 相交于点N ，若AN →＝xAB →＋yAC →(x ，y ∈R)，则x ＋y 等于(C)A. 1B. 12C. 14D. 18→＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫14AB →＋14AC →＝18AB →＋18AC →，∴x ＝y ＝18，即 x ＋y ＝18＋18＝14.7. (2014·佛山模拟)已知向量集M ＝{a|a ＝(1，2)＋λ(3，4)，λ∈R}，N ＝{a|a ＝(－2，－2)＋μ(4，5)，μ∈R}，则M ∩N 等于 (C)A. {(1，1)}B. {(1，1)，(－2，－2)}C. {(－2，－2)}D. ∅设a ＝(x ，y)，对于M ，(x ，y)＝(1，2)＋λ(3，4)，(x －1，y －2)＝λ(3，4)，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝3λ，y －2＝4λ，∴x －13＝y －24.对于N ，(x ，y)＝(－2，－2)＋μ(4，5)，(x ＋2，y ＋2)＝μ(4，5)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝4μ，y ＋2＝5μ，∴x ＋24＝y ＋25，解得x ＝－2，y ＝－2. 8. (2013·南昌模拟)已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5，则AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →的值等于 (A)A. －25B. －20C. －15D. －10∵AB →＋BC →＋CA →＝0，∴|AB →＋BC →＋CA →|2＝|AB →|2＋|BC →|2＋|CA →|2＋2AB →·BC →＋2BC →·CA →＋2AB →·CA→＝9＋16＋25＋2(AB →·BC →＋BC →·CA →＋AB →·CA →)＝0，∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－25.9. (2014·银川模拟)已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是(C)A. (－3，0)B. (2，0)C. (3，0)D. (4，0)设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，∴点P 的坐标为(3，0)． 10. (2013·天津月考)已知a ＝(－3，2)，b ＝(－1，0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为(A)A. －17B. 17C. －16D. 16λa ＋b ＝(－3λ－1，2λ)，a －2b ＝(－1，2)，∵向量λa ＋b 与a －2b 垂直，∴(λa ＋b)(a－2b)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.11. (2014·金华十校模拟)a ，b 为非零向量．“a ⊥b ”是“函数 f(x)＝(xa ＋b)·(xb －a)为一次函数”的(B)A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件若a ⊥b ，则a ·b ＝0，f(x)＝(xa ＋b)·(xb －a)＝(a ·b)x 2＋(b 2－a 2)x －(a ·b)＝(b 2－a 2)x,若|a|＝|b|，则f(x)是常数，不是一次函数；若函数f(x)＝(xa ＋b)·(xb －a)为一次函数，则a ·b ＝0，即a ⊥b ，∴ “a ⊥b ”是“函数f(x)＝(xa ＋b)·(xb －a)为一次函数”的必要不充分条件． 12. (2013·天津月考)在平面内，已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R)，则m n等于(B)A. ± 3B. ±3C. ±13D. ±33∵∠AOC ＝30°，∴〈OA →，OC →〉＝30°.∵OC →＝mOA →＋nOB →，OA →·OB →＝0，∴|OC →|2＝(mOA →＋nOB →)2＝m 2|OA →|2＋n 2|OB →|2＝m 2＋3n 2，即|OC →|＝m 2＋3n 2.OA →·OC →＝OA →(mOA →＋nOB →)＝mOA →2＝m.又OA →·OC →＝|OA→|·|OC →|cos 30°＝m ，即m 2＋3n 2×1×32＝m ，平方得m 2＝9n 2，即m 2n 2＝9，∴m n＝±3.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2014·洛阳检测)设m ＝(a ，b)，n ＝(c ，d)，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc)，若已知p ＝(1，2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝__(－2，1)__．设q ＝(x ，y)，则由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，∴q ＝(－2，1)．14. (2013·奉化模拟)已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝． 易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.15. (2014·怀远模拟)若P 为△ABC 的外心，且PA →＋PB →＝PC →，则∠ACB ＝__120°__． 由PA →＋PB →＝PC →知四边形ACBP 为平行四边形，又P 为外心，∴四边形ACBP 为菱形，且PA＝PC ＝AC ，∠ACP ＝60°，易得∠ACB ＝120°.16. (2013·滨州模拟)定义平面向量的一种运算：a ⊗b ＝|a|·|b|sin 〈a ，b 〉，则下列命题： ①a ⊗b ＝b ⊗a ；②λ(a ⊗b)＝(λa)⊗b ；③(a ＋b)⊗c ＝(a ⊗c)＋(b ⊗c)；④若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|.其中真命题是__①④__(写出所有真命题的序号)．由定义可知b ⊗a ＝|b|·|a|sin 〈a ，b 〉＝a ⊗b, ∴①正确；②当λ＜0时，〈λa ，b 〉＝π－〈a ，b 〉，∴(λa)⊗b ＝|λa|·|b|sin 〈a ，b 〉＝－λ|a|·|b|sin 〈a ，b 〉，∴②不成立；③∵|a ＋b|的长度不一定等于|a|＋|b|，∴③不成立；④(a ⊗b)2＝|a|2·|b|2sin 2〈a ，b 〉＝|a|2·|b|2(1－cos 2〈a ，b 〉)＝|a|2·|b|2－|a|2·|b|2cos 2〈a ，b 〉＝|a|2·|b|2－(a ·b)2＝(x 21＋y 21)·(x 22＋y 22)－(x 1x 2＋y 1y 2)2＝(x 1y 2－x 2y 1)2，∴a ⊗b ＝|x 1y 2－x 2y 1|，∴④成立．∴真命题是①④.三、 解答题(共70分)17. (10分)(2013·上海模拟)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y)． (1)若点A ，B ，C 不能构成三角形，求x ，y 应满足的条件； (2)若AC →＝2BC →，求x ，y 的值．若点A ，B ，C 不能构成三角形，则这三点共线． 由OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－x ，－3－y)得 AB →＝(3，1)，AC →＝(2－x ，1－y)，(2分) ∴3(1－y)＝2－x.∴x ，y 满足的条件为x －3y ＋1＝0.(6分) (2)BC →＝(－x －1，－y),由AC →＝2BC →得(2－x ，1－y)＝2(－x －1，－y)，(8分)∴⎩⎪⎨⎪⎧2－x ＝－2x －2，1－y ＝－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－1.(10分) 18. (10分)(2014·中山质检)已知向量m ＝(sin A ，cos A)，n ＝(cos B，sin B)，m ·n ＝sin 2C ，且A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角．(1)求角C 的大小；(2)若sin A, sin C, sin B 成等比数列， 且CA →·(AB →－AC →)＝18, 求c 的值．∵m ＝(sin A ，cos A)，n ＝(cos B ，sin B)，m ·n ＝sin 2C ， ∴sin Acos B ＋cos Asin B ＝sin 2C 即sin C ＝sin 2C.(2分) ∴cos C ＝12，又角C 为三角形的内角，∴C ＝π3.(4分)(2)∵sin A ，sin C ，sin B 成等比数列，∴c 2＝ab.(6分) 又CA →·(AB →－AC →)＝18，即CA →·CB →＝18，(8分) ∴abcos C ＝18.即ab ＝36. ∴c 2＝ab ＝36，即c ＝6.(10分)19. (12分)(2014·景德镇模拟)已知O 为坐标原点，向量 OA →＝(sin α，1)，OB →＝(cos α，0)，OC →＝(－sin α，2)，点P 满足AB →＝BP →.(1)记函数f(α)＝PB →·CA →，求函数f(α)的最小正周期； (2)若O ，P ，C 三点共线，求|OA →＋OB →|的值．→＝(cos α－sin α，－1)，设OP →＝(x ，y)，则BP →＝(x －cos α，y)， 由AB →＝BP →得x ＝2cos α－sin α，y ＝－1， 故OP →＝(2cos α－sin α，－1)．(4分)则PB →＝(sin α－cos α，1)，CA →＝(2sin α，－1)，(5分) ∴f(α)＝(sin α－cos α，1)·(2sin α，－1) ＝2sin 2α－2sin αcos α－1 ＝－(sin 2α＋cos 2α) ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4. ∴f(α)的最小正周期T ＝π.(8分) (2)由O ，P ，C 三点共线可得(－1)×(－sin α)＝2×(2cos α－sin α)，得tan α＝43.(10分)sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝2425，|OA →＋OB →|＝（sin α＋cos α）2＋1 ＝2＋sin 2α＝745.(12分) 20. (12分)(2013·济南模拟)已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且AP →＝λAB →(0≤λ≤1)．(1)若等边三角形边长为6，且λ＝13，求|CP →|；(2)若CP →·AB →≥PA →·PB →，求实数λ的取值范围．当λ＝13时，AP →＝13AB →，CP →2＝(CA →＋AP →)2＝CA →2＋2CA →·AP →＋AP →2＝62－2×6×2×12＋22＝28.∴|CP →|＝27.(5分)(2)设等边三角形的边长为a ，则CP →·AB →＝(CA →＋AP →)·AB →＝(CA →＋λAB →)·AB →＝－12a 2＋λa 2，(7分)PA →·PB →＝PA →·(AB →－AP →)＝－λAB →(AB →－λAB →)＝－λa 2＋λ2a 2.(9分) 即－12a 2＋λa 2≥－λa 2＋λ2a 2，∴λ2－2λ＋12≤0，∴2－22≤λ≤2＋22.又0≤λ≤1，∴实数λ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－22，1.(12分)21. (12分)(2014·南宁模拟)在钝角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，m ＝(2b－c ，cos C)，n ＝(a ，cos A)，且m ∥n.(1)求角A 的大小；(2)求函数2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B 的值域．由m ∥n ，得(2b －c)cos A －acos C ＝0，由正弦定理得 2sin Bcos A －sin CcosA －sin Acos C ＝0.(2分)∴2sin Bcos A －sin B ＝0，∵B ，A ∈(0，π)，sin B ≠0，得 cos A ＝12，即 A ＝π3.(4分)(2)令y ＝2sin 2B ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－12cos 2B ＋32sin 2B ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1，(6分)当角B 为钝角时，角C 为锐角，则⎩⎪⎨⎪⎧π2＜B ＜π，0＜2π3－B ＜π2⇒π2＜B ＜2π3.∴5π6＜2B －π6＜7π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，(9分) 当角B 为锐角时，角C 为钝角，则⎩⎪⎨⎪⎧0＜B ＜π2，π2＜2π3－B ＜π⇒0＜B ＜π6.∴－π6＜2B －π6＜π6，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，∴y ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(11分) 综上所述，所求函数的值域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(12分)22. (14分)(2014·武汉检测)已知二次函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，设向量a ＝(sin x ，2)，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫2sin x ，12，c ＝(cos 2x ，1)，d ＝(1，2)，当x ∈[0，π]时，求不等式f(a·b)＞f(c ·d)的解集．设f(x)的二次项系数为m ，其图像上两点为(1－x ，y 1)，B(1＋x ，y 2)． ∵（1－x ）＋（1＋x ）2＝1，f(1－x)＝f(1＋x)，∴y 1＝y 2，(3分)由x 的任意性得f(x)的图像关于直线x ＝1对称，若m ＞0，则x ≥1时， f(x)是增函数；若m ＜0，则x ≥1时， f(x)是减函数．∵a ·b ＝(sin x ，2)·⎝⎛⎭⎪⎫2sin x ，12＝2sin 2x ＋1≥1，c ·d ＝(cos 2x ，1)·(1，2)＝cos 2x ＋2≥1，(6分)∴当m ＞0时，f(a ·b)＞f(c ·d)⇔f(2sin 2x ＋1)＞f(cos 2x ＋2)⇔2sin 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔1－cos 2x ＋1＞cos 2x ＋2⇔2cos 2x ＜0⇔cos 2x ＜0⇔2k π＋π2＜2x ＜2k π＋3π2，k ∈Z.∵0≤x ≤π，∴π4＜x ＜3π4.(10分)当m ＜0时，同理可得0≤x ＜π4或3π4＜x ≤π.(12分)综上所述，f(a ·b)＞f(c ·d)的解集是当m ＞0时，为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪π4＜x ＜3π4；当m ＜0时，为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ＜π4或3π4＜x ≤π.(14分)。

2015年高考文科数学真题及答案16套

2015年高考文科数学真题及答案16套

福建卷---------------------------------------------------2-18页新课标1-------------------------------------------------18-33 新课标2-------------------------------------------------33-47 重庆卷-------------------------------------------------47-62湖北卷-------------------------------------------------62-75天津卷-------------------------------------------------75-85安徽卷------------------------------------------------86-98北京卷-------------------------------------------------98-111 广东卷-------------------------------------------------111-121 湖南卷-------------------------------------------------121-136 江苏卷-------------------------------------------------136-152 山东卷-------------------------------------------------152-168 陕西卷-------------------------------------------------168-184 四川卷-------------------------------------------------184-195 上海卷-------------------------------------------------195-204 浙江卷-------------------------------------------------205-216第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若(1)(23)i i a bi ++-=+（,,a b R i ∈是虚数单位），则,a b 的值分别等于（ ） A ．3,2- B ．3,2 C ．3,3- D ．1,4- 【答案】A 【解析】试题分析：由已知得32i a bi -=+，所以3,2a b ==-，选A ． 考点：复数的概念．2．若集合{}22M x x =-≤<，{}0,1,2N =，则MN 等于（ ）A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1,2D {}0,1 【答案】D考点：集合的运算．3．下列函数为奇函数的是( ) A ．y x = B ．x y e = C ．cos y x = D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】试题分析：函数y x =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．考点：函数的奇偶性．4．阅读如图所示的程序框图，阅读相应的程序．若输入x 的值为1，则输出y 的值为（ ） A ．2 B ．7 C ．8 D ．128【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，该程序表示分段函数2,2,9,2x x y x x ⎧≥=⎨-<⎩，则(1)918f =-=，故选C ．考点：程序框图． 5．若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】C考点：基本不等式． 6．若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于（ ） A ．125 B ．125- C ．512 D ．512-【答案】D 【解析】试题分析：由5sin 13α=-，且α为第四象限角，则212cos 1sin 13αα=-=，则sin tan cos ααα= 512=-，故选D ．考点：同角三角函数基本关系式．7．设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（ ） A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A考点：平面向量数量积．8．如图，矩形ABCD 中，点A 在x 轴上，点B 的坐标为(1,0)．且点C 与点D 在函数1,0()11,02x x f x x x +≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩的图像上．若在矩形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率等于（ ） A ．16 B ．14 C ．38 D ．12xyOBCDAF【答案】B考点：古典概型．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于（ ） A ．822+ B ．1122+ C ．1422+ D ．151112【答案】B 【解析】试题分析：由三视图还原几何体，该几何体是底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，且底面直角梯形的两底分别为12，，直角腰长为1，斜腰为2．底面积为12332⨯⨯=，侧面积为则其表面积为 2+2+4+22=8+22，所以该几何体的表面积为1122+，故选B ．考点：三视图和表面积．10．变量,x y 满足约束条件02200x y x y mx y +≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，若2z x y =-的最大值为2，则实数m 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】C 【解析】x–1–2–3–41234–1–2–3–4123BOC试题分析：将目标函数变形为2y x z =-，当z 取最大值，则直线纵截距最小，故当0m ≤时，不满足题意；当0m >时，画出可行域，如图所示， 其中22(,)2121mB m m --．显然(0,0)O 不是最优解，故只能22(,)2121m B m m --是最优解，代入目标函数得4222121m m m -=--，解得1m =，故选C ． 考点：线性规划．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ． 3(0,]2 B ．3(0,]4C ．3[,1)2 D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式． 12．“对任意(0,)2x π∈，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B考点：导数的应用．第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置.13．某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为_______． 【答案】25 【解析】试题分析：由题意得抽样比例为45190020=，故应抽取的男生人数为15002520⨯=． 考点：分层抽样．14．若ABC ∆中，3AC =，045A =，075C =，则BC =_______．【答案】2 【解析】试题分析：由题意得018060B A C =--=．由正弦定理得sin sin AC BC B A =，则sin sin AC ABC B=， 所以232232BC ⨯==．考点：正弦定理．15．若函数()2()x af x a R -=∈满足(1)(1)f x f x +=-，且()f x 在[,)m +∞单调递增，则实数m 的最小值等于_______． 【答案】1 【解析】试题分析：由(1)(1)f x f x +=-得函数()f x 关于1x =对称，故1a =，则1()2x f x -=，由复合函数单调性得()f x 在[1,)+∞递增，故1m ≥，所以实数m 的最小值等于1． 考点：函数的图象与性质．16．若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9考点：等差中项和等比中项．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2nn b n =+，故可采取分组求和法求其前10项和．试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ．由已知得()()11143615a d a d a d +=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得131a d =⎧⎨=⎩．所以()112n a a n d n =+-=+．考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法． 18．（本题满分12分）全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．组号分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数． 【答案】（Ⅰ）910；（Ⅱ）6.05．解法一：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，至少有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，共9个．所以所求的概率910P =． （II ）这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于28734.55.56.57.5 6.0520202020⨯+⨯+⨯+⨯=．解法二：（I ）融合指数在[]7,8内的“省级卫视新闻台”记为1A ，2A ，3A ；融合指数在[)4,5内的“省级卫视新闻台”记为1B ，2B ．从融合指数在[)4,5和[]7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{}12,A A ，{}13,A A ，{}23,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B ，{}12,B B ，共10个．其中，没有1家融合指数在[]7,8内的基本事件是：{}12,B B ，共1个． 所以所求的概率1911010P =-=．（II ）同解法一．考点：1、古典概型；2、平均值． 19．（本小题满分12分）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且3AF =． （Ⅰ）求抛物线E 的方程；（Ⅱ）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，证明：以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．【答案】（Ⅰ）24y x =；（Ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题由3AF =可得232p+=，可求p 的值，进而确定抛物线方程；（Ⅱ）欲证明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆，必与直线GB 相切．可证明点F 到直线GA 和直线GB 的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明GF GF ∠A =∠B ，可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．试题解析：解法一：（I ）由抛物线的定义得F 22pA =+． 因为F 3A =，即232p+=，解得2p =，所以抛物线E 的方程为24y x =． （II ）因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，所以()G 22022213k A -==--，()G 20221312k B --==---， 所以G G 0k k A B +=，从而GF GF ∠A =∠B ，这表明点F 到直线G A ，G B 的距离相等， 故以F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 解法二：（I ）同解法一．（II ）设以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆的半径为r ． 因为点()2,m A 在抛物线:E 24y x =上，所以22m =±，由抛物线的对称性，不妨设()2,22A ．由()2,22A ，()F 1,0可得直线F A 的方程为()221y x =-．由()22214y x y x⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1,22⎛⎫B - ⎪⎝⎭． 又()G 1,0-，故直线G A 的方程为223220x y -+=，从而2222428917r +==+．又直线G B 的方程为223220x y ++=，所以点F 到直线G B 的距离2222428917d r +===+． 这表明以点F 为圆心且与直线G A 相切的圆必与直线G B 相切． 考点：1、抛物线标准方程；2、直线和圆的位置关系． 20．（本题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若2BC =，点E 在线段PB 上，求CE OE +的最小值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）13；（Ⅲ）262+．【解析】试题分析：（Ⅰ）要证明C A ⊥平面D P O ，只需证明AC 垂直于面D P O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明C PO ⊥A ；又C OA =O ，D 为C A 的中点，可证明C D A ⊥O ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P ABC -中，高1PO =，要使得P ABC -体积最大，则底面ABC 面积最大，又2AB =是定值，故当AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC -体积；（Ⅲ）将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，此时线段'OC 的长度即为CE OE +的最小值． 试题解析：解法一：（I ）在C ∆AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．又PO 垂直于圆O 所在的平面， 所以C PO ⊥A ． 因为D OPO =O ，所以C A ⊥平面D P O ．（II ）因为点C 在圆O 上，所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ∆AB 面积的最大值为12112⨯⨯=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =， 故三棱锥C P -AB 体积的最大值为111133⨯⨯=． （III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以22112PB =+=．同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ，C C ''P =B ， 所以C 'O 垂直平分PB ， 即E 为PB 中点． 从而2626C C 222+''O =OE +E =+=， 亦即C E +OE 的最小值为262+． 解法二：（I ）、（II ）同解法一．（III ）在∆POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，所以45∠OPB =，22112PB =+=．同理C 2P =．所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示． 当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值．所以在C '∆O P 中，由余弦定理得：()2C 12212cos 4560'O =+-⨯⨯⨯+212312222222⎛⎫=+-⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭23=+． 从而26C 232+'O =+=． 所以C E +OE 的最小值为262+． 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、三棱锥体积． 21．（本题满分12分） 已知函数()2103sincos 10cos 222x x xf x =+． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅱ）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到函数()g x 的图象，且函数()g x 的最大值为2． （ⅰ）求函数()g x 的解析式；（ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 【答案】（Ⅰ）2π；（Ⅱ）（ⅰ）()10sin 8g x x =-；（ⅱ）详见解析． 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先利用证明二倍角公式和余弦降幂公式将()f x 化为()10sin 56f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后利用2T πω=求周期；（Ⅱ）由函数()f x 的解析式中给x 减6π，再将所得解析式整体减去a 得()g x 的解析式为()10sin 5g x x a =+-，当sin x 取1的时，()g x 取最大值105a +-，列方程求得13a =，从而()g x 的解析式可求；欲证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，可解不等式()00g x >，只需解集的长度大于1，此时解集中一定含有整数，由周期性可得，必存在无穷多个互不相同的正整数0x ．试题解析：（I ）因为()2103sincos 10cos 222x x xf x =+ 53sin 5cos 5x x =++10sin 56x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数()f x 的最小正周期2πT =． （II ）（i ）将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到10sin 5y x =+的图象，再向下平移a （0a >）个单位长度后得到()10sin 5g x x a =+-的图象．又已知函数()g x 的最大值为2，所以1052a +-=，解得13a =． 所以()10sin 8g x x =-．（ii ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80x ->，即04sin 5x >． 由4352<知，存在003πα<<，使得04sin 5α=． 由正弦函数的性质可知，当()00,x απα∈-时，均有4sin 5x >． 因为sin y x =的周期为2π，所以当()002,2x k k παππα∈++-（k ∈Z ）时，均有4sin 5x >． 因为对任意的整数k ，()()00022213k k πππαπαπα+--+=->>，所以对任意的正整数k ，都存在正整数()002,2k x k k παππα∈++-，使得4sin 5k x >． 亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得()00g x >． 考点：1、三角函数的图像与性质；2、三角不等式． 22．（本小题满分14分）已知函数2(1)()ln 2x f x x -=-．(Ⅰ)求函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）证明：当1x >时，()1f x x <-；（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()()1f x k x >-．【答案】(Ⅰ) 150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）(),1-∞． 【解析】试题分析：(Ⅰ)求导函数()21x x f x x-++'=，解不等式'()0f x >并与定义域求交集，得函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）构造函数()()()F 1x f x x =--，()1,x ∈+∞．欲证明()1f x x <-，只需证明()F x 的最大值小于0即可；（Ⅲ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意；当1k >时，对于1x >， 有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意；当1k <时，构造函数()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，利用导数研究函数()G x 的形状，只要存在01x >，当0(1,)x x ∈时()0G x >即可．试题解析：（I ）()2111x x f x x x x-++'=-+=，()0,x ∈+∞．由()0f x '>得2010x x x >⎧⎨-++>⎩解得1502x +<<．故()f x 的单调递增区间是150,2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． （II ）令()()()F 1x f x x =--，()0,x ∈+∞．则有()21F x x x-'=．当()1,x ∈+∞时，()F 0x '<， 所以()F x 在[)1,+∞上单调递减，故当1x >时，()()F F 10x <=，即当1x >时，()1f x x <-． （III ）由（II ）知，当1k =时，不存在01x >满足题意．当1k >时，对于1x >，有()()11f x x k x <-<-，则()()1f x k x <-，从而不存在01x >满足题意． 当1k <时，令()()()G 1x f x k x =--，()0,x ∈+∞，则有()()2111G 1x k x x x k x x-+-+'=-+-=．由()G 0x '=得，()2110x k x -+-+=．解得()2111402k k x ---+=<，()2211412k k x -+-+=>．当()21,x x ∈时，()G 0x '>，故()G x 在[)21,x 内单调递增． 从而当()21,x x ∈时，()()G G 10x >=，即()()1f x k x >-， 综上，k 的取值范围是(),1-∞． 考点：导数的综合应用．2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标1卷）文数一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D 【解析】试题分析：由条件知，当n=2时，3n+2=8，当n=4时，3n+2=14，故A ∩B={8,14},故选D. 考点：集合运算2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)【答案】A考点：向量运算3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +【答案】C 【解析】试题分析：∴(1)1z i i -=+，∴z=212(12)()2i i i i i i ++-==--，故选C. 考点：复数运算4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A ）310 （B ）15 （C ）110 （D ）120【答案】C 【解析】试题分析：从1,2,3,4,51,2,3,4,5中任取3个不同的数共有10种不同的取法，其中的勾股数只有3,4,5，故3个数构成一组勾股数的取法只有1种，故所求概率为110，故选C. 考点：古典概型5、已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB =（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【答案】B考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯==163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）12 【答案】B 【解析】试题分析：∵公差1d =，844S S =，∴11118874(443)22a a +⨯⨯=+⨯⨯，解得1a =12，∴1011199922a a d =+=+=，故选B. 考点：等差数列通项公式及前n 项和公式8、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈（B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈ 【答案】D【解析】 试题分析：由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）（A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12【答案】C考点：程序框图10、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -= （A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14- 【答案】A【解析】试题分析：∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立， 当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A. 考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2（C ）4 （D ）8【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r ，圆柱的高为2r ，其表面积为22142222r r r r r r πππ⨯+⨯++⨯=2254r r π+=16 + 20π，解得r=2，故选B.考点：简单几何体的三视图；球的表面积公式；圆柱的测面积公式12、设函数()y f x =的图像与2x a y +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4【答案】C【解析】试题分析：设(,)x y 是函数()y f x =的图像上任意一点，它关于直线y x =-对称为（,y x --），由已知知（,y x --）在函数2x a y +=的图像上，∴2y a x -+-=，解得2log ()y x a =--+，即2()log ()f x x a =--+，∴22(2)(4)log 2log 41f f a a -+-=-+-+=，解得2a =，故选C. 考点：函数对称；对数的定义与运算二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .【答案】6【解析】试题分析：∵112,2n n a a a +==，∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2(12)12612n n S -==-，∴264n =，∴n=6. 考点：等比数列定义与前n 项和公式14. 已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a = . 【答案】1【解析】试题分析：∵2()31f x ax '=+，∴(1)31f a '=+，即切线斜率31k a =+，又∵(1)2f a =+，∴切点为（1，2a +），∵切线过（2,7），∴273112a a +-=+-，解得a =1.考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A 时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.考点：简单线性规划解法 16. 已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 【答案】126考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题 三、解答题17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B（II ）若90B =，且2,a =求ABC ∆的面积. 【答案】（I ）14（II ）1 【解析】试题分析：（I ）先由正弦定理将2sin 2sin sin B A C =化为变得关系，结合条件a b =，用其中一边把另外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角B 的余弦值；（II ）由（I ）知22b ac =，根据勾股定理和即可求出c ，从而求出ABC ∆的面积.试题解析：（I ）由题设及正弦定理可得22b ac =.又a b =，可得2b c =,2a c =, 由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==. （II ）由(1)知22b ac =.因为B =90°，由勾股定理得222a c b +=.故222a c ac +=，得2c a ==.所以D ABC 的面积为1. 考点：正弦定理；余弦定理；运算求解能力18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -的体积为63，求该三棱锥的侧面积. 【答案】（I ）见解析（II ）3+25试题解析：（I ）因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ^BD ，因为BE ^平面ABCD ，所以AC ^BE ，故AC ^平面BED.又AC Ì平面AEC ，所以平面AEC ^平面BED（II ）设AB=x ，在菱形ABCD 中，由ÐABC=120°，可得AG=GC=32x ,GB=GD=2x . 因为AE ^EC ，所以在Rt D AEC 中，可得EG=32x . 由BE ^平面ABCD ，知D EBG 为直角三角形，可得BE=22x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243E ACD V AC GD BEx -=醋?=.故x =2 从而可得AE=EC=ED=6.所以D EAC 的面积为3，D EAD 的面积与D ECD 的面积均为5.故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. x y w 21()n i i x x =-∑ 21()n i i w w =-∑ 1()()n i i i x x y y =--∑ 1()()n i i i w w y y =--∑ 46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中w 1 =x 1, ，w =181n i i w =∑（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c d x =+，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？（ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()ni ii n ii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-【答案】（Ⅰ）y c d x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）100.668y x =+（Ⅲ）46.24【解析】试题分析：（Ⅰ）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（Ⅱ）令w x =，先求出建立y 关于w 的线性回归方程，即可y 关于x 的回归方程；（Ⅲ）(ⅰ)利用y 关于x 的回归方程先求出年销售量y 的预报值，再根据年利率z 与x 、y 的关系为z=0.2y-x 即可年利润z 的预报值；（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值，列出关于x 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.考点：非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识20. （本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I ）4747,33骣-+琪琪桫（II ）2 【解析】试题分析：（I ）设出直线l 的方程，利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k 的不等式，即可求出k 的取值范围；（II ）设1122M(,y ),N(,y )x x ，将直线l 方程代入圆的方程化为关于x 的一元二次方程，利用韦达定理将1212,x x y y 用k 表示出来，利用平面向量数量积的坐标公式及12OM ON ⋅=列出关于k 方程，解出k ，即可求出|MN|.试题解析：（I ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+.因为l 与C 交于两点，所以2|231|11k k -+<+. 解得474733k -+<<. 所以k 的取值范围是4747,33骣-+琪琪桫. （II ）设1122M(,y ),N(,y )x x .将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=,整理得22(1)-4(1)70k x k x +++=, 所以1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++ ()()21212121224(1)OM ONy 1181k k x x y k x x k x x k +?+=++++=++, 由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+. 故圆心在直线l 上，所以|MN |2=.考点：直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力21. （本小题满分12分）设函数()2ln x f x e a x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数；（II ）证明：当0a >时()22ln f x a a a≥+. 【答案】（I ）当0a £时，()f x ¢没有零点；当0a >时，()f x ¢存在唯一零点.（II ）见解析【解析】试题分析：（I ）先求出导函数，分0a £与0a >考虑()f x '的单调性及性质，即可判断出零点个数；（II ）由（I ）可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，根据()f x '的正负，即可判定函数的图像与性质，求出函数的最小值，即可证明其最小值不小于22lna a a+，即证明了所证不等式. 试题解析：（I ）()f x 的定义域为()0+¥，，()2()=20x a f x e x x ¢->. 当0a £时,()0f x ¢>，()f x ¢没有零点；当0a >时，因为2x e 单调递增，a x -单调递增，所以()f x ¢在()0+¥，单调递增.又()0f a ¢>,当b 满足04a b <<且14b <时，(b)0f ¢<,故当0a >时，()f x ¢存在唯一零点. （II ）由（I ），可设()f x ¢在()0+¥，的唯一零点为0x ，当()00x x Î，时，()0f x ¢<; 当()0+x x 违，时，()0f x ¢>.故()f x 在()00x ，单调递减，在()0+x ¥，单调递增，所以当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为0()f x . 由于0202=0x a e x -，所以00022()=2ln 2ln 2a f x ax a a a x a a++?. 故当0a >时，2()2lnf x a a a ?. 考点：常见函数导数及导数运算法则；函数的零点；利用导数研究函数图像与性质；利用导数证明不等式；运算求解能力.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图AB 是O 直径，AC 是O 切线，BC 交O 与点E.（I ）若D 为AC 中点，求证：DE 是O 切线；（II ）若3OA CE = ，求ACB ∠的大小.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）60° 【解析】 试题分析：（Ⅰ）由圆的切线性质及圆周角定理知，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ，由直角三角形中线性质知DE=DC ，OE=OB ，利用等量代换可证∠DEC+∠OEB=90°，即∠OED=90°，所以DE 是圆O 的切线；（Ⅱ）设CE=1,由3OA CE =得，AB=23，设AE=x ，由勾股定理得212BE x =-，由直角三角形射影定理可得2AE CE BE =，列出关于x 的方程，解出x ，即可求出∠ACB 的大小. 试题解析：（Ⅰ）连结AE ，由已知得，AE ⊥BC ，AC ⊥AB ， 在Rt △AEC 中，由已知得DE=DC ，∴∠DEC=∠DCE ， 连结OE ，∠OBE=∠OEB ，∵∠ACB+∠ABC=90°，∴∠DEC+∠OEB=90°， ∴∠OED=90°，∴DE 是圆O 的切线. ……5分（Ⅱ）设CE=1，AE=x ,由已知得AB=23，212BE x =-， 由射影定理可得，2AE CE BE =，∴2212x x =-，解得x =3，∴∠ACB =60°. ……10分考点:圆的切线判定与性质；圆周角定理；直角三角形射影定理 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()222:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程.（II ）若直线3C 的极坐标方程为()πR 4θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积. 【答案】（Ⅰ）cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=（Ⅱ）12【解析】试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|，利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积. 试题解析：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.……5分 （Ⅱ）将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得23240ρρ-+=，解得1ρ=22，2ρ=2，|MN|=1ρ－2ρ=2，因为2C 的半径为1，则2C MN 的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12. 考点:直角坐标方程与极坐标互化；直线与圆的位置关系 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()12,0f x x x a a =+--> . （I ）当1a = 时求不等式()1f x > 的解集；（II ）若()f x 图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）2{|2}3x x <<（Ⅱ）（2，+∞）（Ⅱ）由题设可得，12,1()312,112,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩，所以函数()f x 的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为21(,0)3a A -，(21,0)B a +，(,+1)C a a ，所以△ABC 的面积为22(1)3a +. 由题设得22(1)3a +＞6，解得2a >.所以a 的取值范围为（2，+∞）. ……10分考点：含绝对值不等式解法；分段函数；一元二次不等式解法一、选择题：本大题共12道小题,每小题5分,共60分. 1．已知集合{}|12A x x =-<<,{}|03B x x =<<,则A B =（ ）A ．()1,3-B ．()1,0-C ．()0,2D ．()2,3 【答案】A考点：集合运算. 2. 若为a 实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A ．4- B ．3- C ．3 D ．4 【答案】D 【解析】试题分析：由题意可得()()2i 1i 3i 24i 4a a +=++=+⇒= ,故选D. 考点：复数运算.3. 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图,以下结论中不正确的是（ ）A ．逐年比较,2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化碳排放显现成效C ．2006年以来我国二氧化碳年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关 【答案】 D考点：柱形图4. 已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.5. 设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 【答案】A 【解析】试题解析：13533331a a a a a ++==⇒=,()15535552a a S a +===.故选A. 考点：等差数列6. 一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）1A.8 1B.7 1C.6 1D.5【答案】D 【解析】试题分析：截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的16,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为15,故选D.考点：三视图7. 已知三点(1,0),(0,3),(2,3)A B C,则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）5 A. 321B.325C.34D.3【答案】B考点：直线与圆的方程.8. 右边程序框图的算法思路于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”,执行该程序框图,若输入的,a b分别为14,18,则输出的a为（）A.0B.2C.4D.14【答案】B 【解析】试题分析：由题意输出的a 是18,14的最大公约数2,故选B. 考点：1. 更相减损术；2.程序框图. 9．已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（ ）A.2B.1 1C.2 1D.8【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得()235444412a a a a a ==-⇒=,所以34182a q q a ==⇒= ,故2112a a q == ,选C.考点：等比数列.10. 已知B A ,是球O 的球面上两点,︒=∠90AOB ,C 为该球面上的动点.若三棱锥ABC O -体积的最大值为36,则球O 的表面积为（ ）A.π36B. π64C.π144D. π256 【答案】C考点：球与几何体的切接.11. 如图,长方形的边AB =2,BC =1,O 是AB 的中点,点P 沿着边BC ,CD 与DA 运动,记BOP x ∠= ,将动点P 到A ,B 两点距离之和表示为x 的函数()f x ,则的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数图像12. 设函数21()ln(1||)1f x x x=+-+,则使得()(21)f x f x >-成立的x 的取值范围是（ ） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．()1,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】试题分析：由21()ln(1||)1f x x x =+-+可知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞是增函数,所以 ()()()()121212113f x f x f x f x x x x >-⇔>-⇔>-⇔<< .故选A.考点：函数性质二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分。

2015年山东省高考文科数学试题及答案(word版)演示教学

2015年山东省高考文科数学试题及答案(word版)演示教学

2015年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）数学（文科） 第I 卷（共50分）本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}24A x x =<< ，()(){}130B x x x =--< ，则AB =（A ）()1,3 （B ）()1,4 （C ）()2,3 （D ）()2,42、若复数z 满足1zi i=- ，其中i 为虚数单位，则z = （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+ 3、设0.61.50.60.6,0.6, 1.5a b c === ，则,,a b c 的大小关系是（A ）a b c << （B ）a c b << （C ）b a c << （D ）b c a << 4、要得到函数sin 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 4y x =的图象 （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右12π平移个单位 （C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位5、设m R ∈ ，命题“若0m > ，则方程20x x m +-= 有实根”的逆否命题是 （A ）若方程20x x m +-=有实根，则0m > （B ） 若方程20x x m +-=有实根，则0m ≤ （C ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m > （D ） 若方程20x x m +-=没有实根，则0m ≤6、为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据(单位:℃)制成如图所示的茎叶图。

考虑以下结论: ①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差； ④甲地该月14时的气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差. 其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为（A ） ①③ （B ） ①④ （C ） ②③ （D ） ②④ 7、在区间[]0,2上随机地取一个数x ，则事件“1211log 12x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭”发生的概率为 （A ）34 （B ）23 （C ）13 （D ）148、若函数()212x x f x a+=- 是奇函数，则使()3f x > 成立的x 的取值范围为（A ）(),1-∞- （B ）()1,0- （C ）()0,1 （D ）()1,+∞ 9. 已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为 （A）3 （B）3（C） （D） 10.设函数()3,1,2,1,xx b x f x x -<⎧=⎨≥⎩ 若546f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则b =（A ）1 （B ）78 （C ）34 （D ）12第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2015年全国高考文科数学试题及答案

2015年全国高考文科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页.注意事项:1。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0。

5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A={x｜x=3n+2,n ∈N｝,B=｛6，8，12，14｝，则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C）3 （D）2（2）已知点A（0,1)，B（3，2），向量AC=（—4,—3），则向量BC=（A）（—7，—4) （B)(7,4）（C）（—1，4) (D）（1,4）（3)已知复数z满足（z—1)i=i+1，则z=(A）—2—I (B)-2+I （C)2-I (D）2+i(4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为(A)103(B）15（C）110（D)120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点,则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12(6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?"其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛 C。

2015年全国高考文科数学试题及答案

2015年全国高考文科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r=（A）（-7，-4）（B）（7,4）（C）（-1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z-1）i=i+1，则z=（A）-2-I （B）-2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D）120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2=8x 的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则|AB|=（A）3 （B）6 （C）9 （D）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名着，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则=4，=（A）（B）（C）10 （D）12（8）函数f(x)=的部分图像如图所示，则f(x)的单调递减区间为（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（A）（k-, k-）,k（A）（2k-, 2k-）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）已知函数，且f（a）=-3，则f（6-a）=（A）-74（B）-54（C）-34（D）-14（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r=（A）1(B) 2(C) 4(D) 8（12）设函数y=f（x）的图像关于直线y=-x对称，且f（-2）+f（-4）=1，则a=（A）-1 （B）1 （C）2 （D）4第Ⅱ卷注意事项：第Ⅱ卷共3页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。

高三文科数学试题2015.11

高三文科数学试题2015.11

高三质量检测文科数学 2015.11本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共 4页.满分150分，考试时间120分钟. 考试结束，将试卷答题卡交上，试题不交回.第Ⅰ卷 选择题（共50分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号涂写在答题卡上.2.第Ⅱ卷试题解答要作在答题卡各题规定的矩形区域内，超出该区域的答案无效. 参考公式：(sin )cos x x '= xx 1)(ln =' )1,0(ln )(≠>='a a a a a xx )0)(()()()()()())()((2≠'-'='x v x v x v x u x v x u x v x u a x x a ln 1)(log =' 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1.已知集合},3|{},02|{2R x x y y B x xx A ∈+==≥-=，则=B A A.φ B.2|{≥x x 或}0≤x C.2|{>x x 或}0≤x D.3|{≥x x 或}0≤x 2．“函数()||f x x a =-在区间]1,(-∞上为减函数”是“2=a ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若函数()(0,1)xf x a a a -=>≠是定义域为R 的增函数，则函数()log (1)a f x x =-的图象大致是4.设0>ω，函数1)3cos(+-=πωx y 的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为A.32 B.34 C.23D.35.有下列四个判断：①在(0,2)π内，使sin cos x x >成立的x 的范围为5(,)44ππ；②ABC ∆中，若A B ∠>∠，则cos cos A B <；③“如果0x y -=，则()()0x y x y -+=”的否命题为假命题；④若p ：所有的正方形都是矩形，则p ⌝：至少存在一个正方形不是矩形． 其中正确的个数是：A.1B.2C.3D.4 6.设n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，若457a S =，则733S a = A.15 B.17 C.19 D.217.已知实数x ,y 满足210210x y x x y -+≥⎧⎪<⎨⎪+-≥⎩，则233z x y =+-的取值范围是A.11[2,]2- B.211[,]32- C.211(,)32- D. 11(2,)2-8.若m x x f -+=) sin(2)(ϕω，对任意实数t 都有)()2(t f t f -=+π，且1)4(-=πf ，则实数m 的值等于A.1-B.3C.1-或3D.3-或19.已知向量与的夹角为︒120，且3||,2||==AC AB ,若+=λ，且⊥，则实数λ的值为A.712 B.73C.6D.1310.已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使 得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合： ①{(,)|ln }M x y y x ==；②{(,)|2}x M x y y e ==-；③{(,)|cos }M x y y x ==； ④1{(,)|}M x y y x==.其中是“垂直对点集”的序号是A.① ②B.② ③C.③ ④D.② ④第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上． 11.如果二次函数)3(2-++-=m mx x y 有正值，则m 的取值范围是__________. 12.在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A c C a b sin cos +=，则角A =__ .13.在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知,101=a 且3215,22,a a a +成等比数列，则公比为 .14.已知函数⎩⎨⎧>≤+=0,10,1)(2x x x x f ，则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是 .15.已知函数()y f x =是R 上的偶函数，对于x R ∈都有)3()()6(f x f x f +=+成立，当]3,0[,21∈x x ，且12x x ≠时，都有0)()(2121<--x x x f x f ，给出下列命题：①0)3(=f ； ②函数()y f x =关于直线6-=x 对称； ③函数()y f x =在]6,9[--上为增函数； ④函数()y f x =在]3,9[-上有四个零点． 其中所有正确．．命题的序号为_____________. 三、解答题：本大题共6小题，共75分. 把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)已知b a x f ⋅=)(,其中)2sin 3,cos 2(),1,(cos x x b x a -==,R x ∈. （Ⅰ）当]0,2[π-∈x 时，求)(x f 的值域；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,32,1)(=-=a A f ，且向量)sin ,4(B =与)sin ,2(C n =共线，求ABC ∆周长.17.(本小题满分12分）已知函数)(x f 与函数15)(21+--=x x x f 关于直线0=x 对称.1ln 3)(++=m x x g .（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）求证:方程0)(=x f 的根一个在区间)0,1(-上，另一个在区间)6,5(上； （Ⅲ）是否存在实数m ，使得)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由. 18.(本小题满分12分)某同学用“五点法”画函数)2||,0)(sin()(πφωφω<>+=x A x f 在某一个周期内的图（Ⅰ）请写出上表的1x ，2x ，3x ，并直接写出函数)(x f 的解析式； （Ⅱ）设]2,0[,πβα∈，23)322(=+παf ，43)352(-=-πβf ，求)cos(βα+的值. 19.(本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，满足：22-=n n a S ．设2121log 2log 2n n n a a b -+=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（Ⅰ）求n a 和n T ；（Ⅱ）若对任意的*∈N n ，不等式n n n T )1(2--<λ恒成立，求实数λ的取值范围．20.(本小题满分13分）一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用．已知每服用m (41≤≤m 且R m ∈)个单位的药剂，药剂在血液中的含量y （克）随着时间x （小时）变化的函数关系式近似为)(x f m y ⋅=，其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+=106,25,60,410)(x x x xx f .(Ⅰ)若病人一次服用3个单位的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？(Ⅱ)若病人第一次服用2个单位的药剂，6个小时后再服用m 个单位的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m 的最小值．21.(本小题满分14分）已知函数b x b ax x x g bx x x x f +-++=+=)1(3131)(,ln )(23． （Ⅰ）若1)0(-=g ，且函数)(x g 的单调递减区间为]2,31[-，求函数)(x g 的解析式；（Ⅱ）若2=a ，)(x g 有两个极值点，求b 的取值范围；（Ⅲ）设0=a ，若[]1,x e ∃∈，使)(3)(x g x f <，求实数b 的取值范围.高三文科数学参考答案一、选择题：ADCAB CBBCD ,二、填空题：11.),2()6,(+∞--∞ 12.4π13. 2或3 14.),1()21,(+∞---∞∈ x 15. ①②③三、解答题：16.解：（Ⅰ）由题意：x x x x x f 2sin 32cos 12sin 3cos 2)(2-+=-= )62sin(21π--=x ……………………2分（也可写作)32cos(21)(π++=x x f ）由[,0]2x π∈-得72[,]666x πππ-∈--， ……………………3分 21)62sin(1≤-≤-∴πx ，3)62sin(210≤--≤∴πx ，……………………5分()f x ∴的值域为[0,3].……………………6分（Ⅱ）由题意：1)62sin(21)(-=--=πA A f ，∴1)62sin(=-πA ，),0(π∈A ，)611,6(62πππ-∈-∴A ,∴262ππ=-A ，即3π=A . ………8分a = 222222cos 12.......(1)abc bc A b c bc =+-=+-=…9分因为向量(4,sin )m B =与)sin ,2(C =共线，所以2sin 4sin B C =，由正弦定理得2........(2)b c =， ………………………11分由（1）（2）得4,2,6b c ABC ==∴∆=+周长………12分17解：（Ⅰ）设)(x f 图像上任意一点),(y x P ，则),(y x P 关于直线0=x 的对称点),(y x P -'必然在)(1x f 的图像上， ……………………1分所以有1)(5)(2+----=x x y ，即15)(2++-=x x x f . …………2分 （Ⅱ）)(x f 的对称轴为25=x ，且开口向下，所以)(x f 在区间)0,1(-和区间)6,5(上是单调的， ………………………………3分 且0)151(1)1()0(<+--⨯=-⋅f f ，0)16536)(12525()6()5(<+⨯+-++-=⋅f f …………5分所以)(x f 在区间)0,1(-和区间)6,5(上分别有一个零点，即方程0)(=x f 的根一个在区间)0,1(-上，另一个在区间)6,5(上； …………6分（Ⅲ）若)(x f y =的图象与)(x g y =的图象有且只有三个不同的交点，即函数)()()(x f x g x F -=的图象与x 轴正半轴有且只有三个不同的交点. …………7分m x x x x F +-+=5ln 3)(223253(23)(1)()25(0)x x x x F x x x x x x -+--'∴=+-==>由1230)(<>⇒>'x x x F 或，2310)(<<⇒<'x x F ，所以)(x F 在区间)1,0(和),23(+∞单调递增，在区间)23,1(单调递减，)(x F 在23,1==x x 处分别取得极大值和极小值，…8分且当x 在区间(0,1)上充分接近0时，0)(<x F ，当+∞→x 时，0)(>x F , 要使)(x F 的图象与x 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须⎪⎩⎪⎨⎧<+-+=>+-=02154923ln 3)23(04)1(m F m F , ……………10分 即23ln 34214-<<m . ……………11分 所以存在实数m ，使得函数()y f x =与()y g x =的图象有且只有三个不同的交点，m 的取值范围为)23ln 3421,4(-. ………………………………12分 18.解：（Ⅰ）321-=x ，342=x ，3103=x ，…………………………………2分)32sin(3)(ππ+=x x f . …………………………………5分（Ⅱ）由题意可知：23)32sin(3]3)322(2sin[3)322(=+=++⨯=+παππαππαf ， 21)32sin(=+∴πα. …………………………………6分 ]2,0[πα∈，]67,32[32πππα∈+∴，6532ππα=+∴，6πα=.…………7分 43)2sin(3]3)352(2sin[3)352(-=-=+-⨯=-πβππβππβf ， 41cos =∴β. …………………………………9分 ]2,0[πβ∈，415sin =∴β. …………………………………10分 βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+∴8153415214123-=⨯-⨯=. ……………………………12分19.解：（Ⅰ） 22-=n n a S （1） 2211-=∴++n n a S （2）∴（2）-（1）得：n n n a a a 2211-=++， ………………2分21=∴+nn a a ，∴数列{}n a 成等比数列，公比为2. 当1=n 时，22111-==a a S ，即21=a ，∴n n n a 2221=⋅=-. ………………4分∴2121log 2log 2n n n a a b -+=⋅1111()(21)(21)22121n n n n ==--+-+∴)1211215131311(21+--++-+-=n n T n 111)22n 121n n =-=++（．………6分 （Ⅱ）由题意： 012>+=n n T n ，得nn n T n n n n )12]()1(2[)1(2+--=--<λ对任意的*∈N n 恒成立. ……………………7分 ①当n 为偶数时,322)12)(2(--=+-<nn n n n λ恒成立，即min )322(--<n n λ，而322--n n 随n 的增大而增大，∴当2=n 时0)322(min =--nn ，∴0<λ； ……………………9分②当n 为奇数时，522)12)(2(++=++<nn n n n λ恒成立，即min )522(++<n n λ，而95222522=+⋅≥++nn n n ，当且仅当122=⇒=n n n 等号成立，∴9<λ． ……………………11分综上，实数λ的取值范围0∞（-，）. ……………………12分 20.解：（I ）因为3=m ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤+=106,2315,60,430x x x xy ． …………………1分当60<≤x 时，由2430≥+x，解得11≤x ，此时60<≤x ； …………………3分 当106≤≤x 时，由22315≥-x ，解得326≤x ，此时3266≤≤x ．…………………5分 综上所述，3260≤≤x ． 故若一次服用3个单位的药剂，则有效治疗的时间可达326小时．………………… 6分（Ⅱ）当106≤≤x 时，21010])6(410[)25(2-+-=-++-⨯=x mx x m x y ，………8分由题意：221010≥-+-x mx 对106≤≤x 恒成立， ………9分 即1016102+-≥x x m 对106≤≤x 恒成立，只需max 2)101610(+-≥x x m ，106≤≤x ． ………………… 10分 令109)5(101610)(22--=+-=x x x x g ，在]10,6[上是单调递增函数，…………11分当10=x 时，函数58)(max =x g ， …………………12分 所以845m ≥≥，所以m 的最小值为58． ………………… 13分 21．解：（Ⅰ）由1)0(-=g 得1-=b ， …………1分由题意知0322)(2≤-+='ax x x g 的解集是]2,31[-， ………2分 即03222=-+ax x 的两根分别是2,31-，由韦达定理得65352312-=⇒=+-=-a a ，1326531)(23---=∴x x x x g …………4分（Ⅱ）由2=a 得b x b x x x g +-++=)1(31231)(23，)1(314)(2-++='b x x x g ， )1(3416--=∆b ， …………5分当0>∆，即13<b ，/()0g x =有两个不同实根12,x x 且在1(,)x -∞递增，在12(,)x x 上递减，在2(,)x +∞上递减，∴12,x x 是两个不同的极值点. …………7分∴当b 的范围为)13,(-∞，)(x g 有两个极值点 . …………8分（Ⅲ）当0=a 时，b x b x x g +-+=)1(3131)(3， 由)(3)(x g x f <得b x x x x 3ln 3+-<即[]1,x e ∃∈，使x x x x b +->3ln 3设[]e x xx x x x M ,1ln )(3∈+-=，只需min )(3x M b >， …………9分∴23ln )(2+-='x x x M ， []e x ,1∈， …………10分设23ln )()(2+-='=x x x M x H ，则xx x x x H 26161)(-=-='[]0)(,,1<'∴∈x H e x ，即)(x H 在[]e ,1递减， …………12分 于是，()(1)H x H ≤，即()10H x ≤-<，即0)(<'x M)(x M ∴在[]e ,1上递减，3min 2)()(e e e M x M -==∴， …………13分∴323e e b ->，即3323e e b ->. …………14分。

2015年高考文科数学(新课标1)精彩试题及问题详解(word版)

2015年高考文科数学(新课标1)精彩试题及问题详解(word版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|32,}A x x n n N ==+∈, {6,8,12,14}B =, 则集合A B ⋂中元素的个数为 （A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC =（-4，-3），则向量BC =（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4）（3）已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（A ）2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为 （A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A ，B是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|=（A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何?”其意思为:“在屋墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）已知错误!未找到引用源。

是公差为1的等差数列，错误!未找到引用源。

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，则错误!未找到引用源。

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（B ）错误!未找到引用源。

（C ）10 （D ）12 （8）函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（A ）13(,)()44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2)()44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,)()44k k k Z -+∈（D ）13(2,2)()44k k k Z -+∈（9）执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8（10）已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩错误!未找到引用源。

2015年全国高考文科数学试题及答案

2015年全国高考文科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N},B={6,8,12,14},则集合A ⋂B 中元素的个数为（A ）5（B ）4（C ）3（D ）2（2）已知点A （0,1），B （3,2），向量AC u u u r =（-4，-3），则向量BC uuu r=（A ）（-7，-4） （B ）（7,4） （C ）（-1,4） （D ）（1，4） （3）已知复数z 满足（z-1）i=i+1，则z=（A ）-2-I （B ）-2+I （C ）2-I （D ）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A ）103 （B ）15 （C ）110 （D ）120（5）已知椭圆E 的中心在坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：y ²=8x 的焦点重合，A ，B 是C 的准线与E 的两个焦点，则|AB|= （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2015年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)

2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．43．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．25．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．116．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．149．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．2015年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分1．（5分）已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，0）C．（0，2）D．（2，3）【考点】1D：并集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}，故选：A．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）若为a实数，且=3+i，则a=（）A．﹣4B．﹣3C．3D．4【考点】A1：虚数单位i、复数．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数相等的条件进行求解即可．【解答】解：由，得2+ai=（1+i）（3+i）=2+4i，则a=4，故选：D．【点评】本题主要考查复数相等的应用，比较基础．3．（5分）根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（）A．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【考点】B8：频率分布直方图．【专题】5I：概率与统计．【分析】A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量减少的最多，故A正确；B从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，与年份负相关，故D错误．【解答】解：A从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故A正确；B2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多，从2007年开始二氧化硫排放量变少，故B正确；C从图中看出，2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故C正确；D2006年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故D错误．故选：D．【点评】本题考查了学生识图的能力，能够从图中提取出所需要的信息，属于基础题．4．（5分）=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的加法和数量积的坐标运算解答本题．【解答】解：因为=（1，﹣1），=（﹣1，2）则（2+）=（1，0）•（1，﹣1）=1；故选：C．【点评】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．5．（5分）已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．5B．7C．9D．11【考点】85：等差数列的前n项和．【专题】35：转化思想；4A：数学模型法；54：等差数列与等比数列．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：A．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其性质、前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（5分）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，把相关数据代入棱锥的体积公式计算即可．【解答】解：设正方体的棱长为1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为三棱锥，∴正方体切掉部分的体积为×1×1×1=，∴剩余部分体积为1﹣=，∴截去部分体积与剩余部分体积的比值为．故选：D．【点评】本题考查了由三视图判断几何体的形状，求几何体的体积．7．（5分）已知三点A（1，0），B（0，），C（2，）则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为（）A．B．C．D．【考点】J1：圆的标准方程．【专题】5B：直线与圆．【分析】利用外接圆的性质，求出圆心坐标，再根据圆心到原点的距离公式即可求出结论．【解答】解：因为△ABC外接圆的圆心在直线BC垂直平分线上，即直线x=1上，可设圆心P（1，p），由PA=PB得|p|=，得p=圆心坐标为P（1，），所以圆心到原点的距离|OP|===，故选：B．【点评】本题主要考查圆性质及△ABC外接圆的性质，了解性质并灵运用是解决本题的关键．8．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0B．2C．4D．14【考点】EF：程序框图．【专题】27：图表型；5K：算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构程序框图，属于基础题．9．（5分）已知等比数列{a n}满足a1=，a3a5=4（a4﹣1），则a2=（）A．2B．1C．D．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】54：等差数列与等比数列．【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵，a3a5=4（a4﹣1），∴=4，化为q3=8，解得q=2则a2==．故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．10．（5分）已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36πB．64πC．144πD．256π【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选：C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．11．（5分）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x．将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】HC：正切函数的图象．【分析】根据函数图象关系，利用排除法进行求解即可．【解答】解：当0≤x≤时，BP=tanx，AP==，此时f（x）=+tanx，0≤x≤，此时单调递增，当P在CD边上运动时，≤x≤且x≠时，如图所示，tan∠POB=tan（π﹣∠POQ）=tanx=﹣tan∠POQ=﹣=﹣，∴OQ=﹣，∴PD=AO﹣OQ=1+，PC=BO+OQ=1﹣，∴PA+PB=，当x=时，PA+PB=2，当P在AD边上运动时，≤x≤π，PA+PB=﹣tanx，由对称性可知函数f（x）关于x=对称，且f（）＞f（），且轨迹为非线型，排除A，C，D，故选：B．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据条件先求出0≤x≤时的解析式是解决本题的关键．12．（5分）设函数f（x）=ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪（1，+∞）B．（，1）C．（）D．（﹣∞，﹣，）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）﹣为偶函数，且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）﹣，导数为f′（x）=+＞0，即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），即|x|＞|2x﹣1|，平方得3x2﹣4x+1＜0，解得：＜x＜1，所求x的取值范围是（，1）．故选：B．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．二、填空题13．（3分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=﹣2．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【专题】11：计算题；51：函数的性质及应用．【分析】f（x）是图象过点（﹣1，4），从而该点坐标满足函数f（x）解析式，从而将点（﹣1，4）带入函数f（x）解析式即可求出a．【解答】解：根据条件得：4=﹣a+2；∴a=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】考查函数图象上的点的坐标和函数解析式的关系，考查学生的计算能力，比较基础．14．（3分）若x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为8．【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（3，2）将A（3，2）的坐标代入目标函数z=2x+y，得z=2×3+2=8．即z=2x+y的最大值为8．故答案为：8．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．15．（3分）已知双曲线过点且渐近线方程为y=±x，则该双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．【考点】KB：双曲线的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，求出λ，即可求出双曲线的标准方程．【解答】解：设双曲线方程为y2﹣x2=λ，代入点，可得3﹣=λ，∴λ=﹣1，∴双曲线的标准方程是x2﹣y2=1．故答案为：x2﹣y2=1．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查学生的计算能力，正确设出双曲线的方程是关键．16．（3分）已知曲线y=x+lnx在点（1，1）处的切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，则a=8．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】求出y=x+lnx的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据△=0得到a的值．【解答】解：y=x+lnx的导数为y′=1+，曲线y=x+lnx在x=1处的切线斜率为k=2，则曲线y=x+lnx在x=1处的切线方程为y﹣1=2x﹣2，即y=2x﹣1．由于切线与曲线y=ax2+（a+2）x+1相切，故y=ax2+（a+2）x+1可联立y=2x﹣1，得ax2+ax+2=0，又a≠0，两线相切有一切点，所以有△=a2﹣8a=0，解得a=8．故答案为：8．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．三．解答题17．△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC（Ⅰ）求．（Ⅱ）若∠BAC=60°，求∠B．【考点】HP：正弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；（Ⅱ）由∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合（Ⅰ）中的结论得答案．【解答】解：（Ⅰ）如图，由正弦定理得：，∵AD平分∠BAC，BD=2DC，∴；（Ⅱ）∵∠C=180°﹣（∠BAC+∠B），∠BAC=60°，∴，由（Ⅰ）知2sin∠B=sin∠C，∴tan∠B=，即∠B=30°．【点评】本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．18．某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频数分布表B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2814106（1）做出B地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CB：古典概型及其概率计算公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）根据分布表的数据，画出频率直方图，求解即可．（II）计算得出C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，P（C A），P（C B），即可判断不满意的情况．【解答】解：（Ⅰ）通过两个地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出，B地区用户满意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值，B 地区的用户满意度评分的比较集中，而A地区的用户满意度评分的比较分散．（Ⅱ）A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．记C A表示事件：“A地区用户的满意度等级为不满意”，C B表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”，由直方图得P（C A）=（0.01+0.02+0.03）×10=0.6得P（C B）=（0.005+0.02）×10=0.25∴A地区用户的满意度等级为不满意的概率大．【点评】本题考查了频率直方图，频率表达运用，考查了阅读能力，属于中档题．19．（12分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F 分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）（Ⅱ）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LJ：平面的基本性质及推论．【专题】15：综合题；5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；（Ⅱ）求出MH==6，AH=10，HB=6，即可求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值．【解答】解：（Ⅰ）交线围成的正方形EFGH如图所示；（Ⅱ）作EM⊥AB，垂足为M，则AM=A1E=4，EB1=12，EM=AA1=8．因为EFGH为正方形，所以EH=EF=BC=10，于是MH==6，AH=10，HB=6．因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为．【点评】本题考查平面与平面平行的性质，考查学生的计算能力，比较基础．20．椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【解答】解：（1）椭圆C：=1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（x M，y M），把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，故x M==，y M=kx M+b=，于是在OM的斜率为：K OM==，即K OM•k=．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．【点评】本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】26：开放型；53：导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．【点评】本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．四、选修4-1：几何证明选讲22．（10分）如图，O为等腰三角形ABC内一点，⊙O与△ABC的底边BC交于M，N两点，与底边上的高AD交于点G，且与AB，AC分别相切于E，F两点．（1）证明：EF∥BC；（2）若AG等于⊙O的半径，且AE=MN=2，求四边形EBCF的面积．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】26：开放型；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）通过AD是∠CAB的角平分线及圆O分别与AB、AC相切于点E、F，利用相似的性质即得结论；（2）通过（1）知AD是EF的垂直平分线，连结OE、OM，则OE⊥AE，利用S△ABC﹣S△AEF计算即可．【解答】（1）证明：∵△ABC为等腰三角形，AD⊥BC，∴AD是∠CAB的角平分线，又∵圆O分别与AB、AC相切于点E、F，∴AE=AF，∴AD⊥EF，∴EF∥BC；（2）解：由（1）知AE=AF，AD⊥EF，∴AD是EF的垂直平分线，又∵EF为圆O的弦，∴O在AD上，连结OE、OM，则OE⊥AE，由AG等于圆O的半径可得AO=2OE，∴∠OAE=30°，∴△ABC与△AEF都是等边三角形，∵AE=2，∴AO=4，OE=2，∵OM=OE=2，DM=MN=，∴OD=1，∴AD=5，AB=，∴四边形EBCF的面积为×﹣××=．【点评】本题考查空间中线与线之间的位置关系，考查四边形面积的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．五、选修4-4：坐标系与参数方程23．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数，t≠0），其中0≤α≤π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=2sinθ，C3：ρ=2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|=即可得出．【解答】解：（I）由曲线C2：ρ=2sinθ，化为ρ2=2ρsinθ，∴x2+y2=2y．同理由C3：ρ=2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得，，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），．（2）曲线C1：（t为参数，t≠0），化为普通方程：y=xtanα，其中0≤α≤π，α≠；α=时，为x=0（y≠0）．其极坐标方程为：θ=α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B．∴|AB|==4，当时，|AB|取得最大值4．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点、两点之间的距离公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、选修4-5不等式选讲24．（10分）设a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，证明：（1）若ab＞cd，则+＞+；（2）+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；R6：不等式的证明．【专题】59：不等式的解法及应用；5L：简易逻辑．【分析】（1）运用不等式的性质，结合条件a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，即可得证；（2）从两方面证，①若+＞+，证得|a﹣b|＜|c﹣d|，②若|a﹣b|＜|c﹣d|，证得+＞+，注意运用不等式的性质，即可得证．【解答】证明：（1）由于（+）2=a+b+2，（+）2=c+d+2，由a，b，c，d均为正数，且a+b=c+d，ab＞cd，则＞，即有（+）2＞（+）2，则+＞+；（2）①若+＞+，则（+）2＞（+）2，即为a+b+2＞c+d+2，由a+b=c+d，则ab＞cd，于是（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab，（c﹣d）2=（c+d）2﹣4cd，即有（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即为|a﹣b|＜|c﹣d|；②若|a﹣b|＜|c﹣d|，则（a﹣b）2＜（c﹣d）2，即有（a+b）2﹣4ab＜（c+d）2﹣4cd，由a+b=c+d，则ab＞cd，则有（+）2＞（+）2．综上可得，+＞+是|a﹣b|＜|c﹣d|的充要条件．【点评】本题考查不等式的证明，主要考查不等式的性质的运用，同时考查充要条件的判断，属于基础题．。

人教版通用2015年高考数学文科大题部分专练11份

人教版通用2015年高考数学文科大题部分专练11份

目录中档大题规范练——导数的应用 ........................................................................................... 1 中档大题规范练——概率与统计 ........................................................................................... 7 中档大题规范练——立体几何 ............................................................................................. 11 中档大题规范练——三角函数 ............................................................................................. 15 中档大题规范练——数列 ..................................................................................................... 18 中档大题规范练——圆锥曲线 ............................................................................................. 24 中档大题规范练——直线与圆 ............................................................................................. 31 压轴大题突破练——函数与导数(一) .................................................................................. 35 压轴大题突破练——函数与导数(二) .................................................................................. 40 压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(一) .......................................................................... 44 压轴大题突破练——直线与圆锥曲线(二) .. (47)中档大题规范练——导数的应用1．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1，g (x )＝ln x . (1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实常数k 和m ，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m ？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由．解 (1)由F (x )＝x 3－2x ＋1－ln x (x >0)， 得F ′(x )＝3x 3－2x －1x(x >0)，令F ′(x )＝0得x ＝1，易知F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )的极小值为F (1)＝0.(2)易知f (x )与g (x )有一个公共点(1,0)，而函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，下面只需验证⎩⎪⎨⎪⎧f (x )≥x －1g (x )≤x －1都成立即可．设h (x )＝x 3－2x ＋1－(x －1)(x >0)， 则h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)(x >0)．易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h (x )的最小值为h (1)＝0， 所以f (x )≥x －1恒成立．设k (x )＝ln x －(x －1)，则k ′(x )＝1－x x(x >0)．易知k (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以k (x )的最大值为k (1)＝0， 所以g (x )≤x －1恒成立．故存在这样的实常数k ＝1和m ＝－1，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m .2．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上单调递增，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递减，又f ′(12)＝32. (1)求f (x )的解析式．(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32a ，c ＝0.所以f ′(x )＝3ax 2－3ax ， 所以f ′(12)＝3a 4－3a 2＝32，所以a ＝－2，b ＝3， 所以f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0， 所以x (2x －1)(x －1)≥0， 所以0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立， 所以0<m ≤12.3．已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (其中常数a ，b ∈R )，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值． 解 (1)由题意得f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，因此g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . 因为函数g (x )是奇函数，所以g (－x )＝－g (x )， 即对任意实数x ，有a (－x )3＋(3a ＋1)(－x )2＋ (b ＋2)(－x )＋b ＝－[ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b ]， 从而3a ＋1＝0，b ＝0，解得a ＝－13，b ＝0，因此f (x )的表达式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，所以g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2， 则当x <－2或x >2时，g ′(x )<0，从而g (x )在区间(－∞，－ 2 )，(2，＋∞)上是减函数； 当－2<x <2时，g ′(x )>0，从而g (x )在区间(－2，2)上是增函数．由上述讨论知，g (x )在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在x ＝1，2，2时取得， 而g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，因此g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值g (2)＝43.4．甲方是一农场，乙方是一工厂．由于乙方生产需占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x (元)与年产量t (吨)满足函数关系x ＝2 000t .若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方S 元(以下称S 为赔付价格)．(1)将乙方的年利润ω(元)表示为年产量t (吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y ＝0.002t 2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格S 是多少？ 解 (1)因为赔付价格为S 元/吨， 所以乙方的实际年利润为ω＝2 000t －St . ω′＝1 000t －S ＝1 000－S t t ，令ω′＝0，得t ＝t 0＝(1 000S)2.当t <t 0时，ω′>0；当t >t 0时，ω′<0， 所以t ＝t 0时，ω取得最大值．因此乙方获得最大利润的年产量t 0＝(1 000S )2(吨)．(2)设甲方净收入为v 元，则v ＝St －0.002t 2 将t ＝(1 000S )2代入上式，得到甲方净收入v 与赔付价格S 之间的函数关系式． v ＝1 0002S －2×1 0003S 4.又v ′＝－1 0002S 2＋8×1 0003S 5＝1 0002×(8 000－S 3)S 5，令v ′＝0，得S ＝20.当S <20时，v ′>0；当S >20时，v ′<0， 所以S ＝20时，v 取得最大值．因此甲方向乙方要求的赔付价格S ＝20(元/吨)时，获得最大净收入． 5．已知函数f (x )＝ln x ＋2ax，a ∈R .(1)若函数f (x )在[2，＋∞)上是增函数，求实数a 的取值范围； (2)若函数f (x )在[1，e]上的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)∵f (x )＝ln x ＋2a x ，∴f ′(x )＝1x －2a x 2.∵f (x )在[2，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x －2ax 2≥0在[2，＋∞)上恒成立，即a ≤x2在[2，＋∞)上恒成立．令g (x )＝x2，则a ≤g (x )min ，x ∈[2，＋∞)，∵g (x )＝x2在[2，＋∞)上是增函数，∴g (x )min ＝g (2)＝1.∴a ≤1.所以实数a 的取值范围为(－∞，1]． (2)由(1)得f ′(x )＝x －2ax2，x ∈[1，e]．①若2a <1，则x －2a >0，即f ′(x )>0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上是增函数．所以f (x )min ＝f (1)＝2a ＝3，解得a ＝32(舍去)．②若1≤2a ≤e ，令f ′(x )＝0，得x ＝2a . 当1<x <2a 时，f ′(x )<0，所以f (x )在(1,2a )上是减函数，当2a <x <e 时，f ′(x )>0，所以f (x )在(2a ，e)上是增函数． 所以f (x )min ＝f (2a )＝ln(2a )＋1＝3， 解得a ＝e 22(舍去)．③若2a >e ，则x －2a <0，即f ′(x )<0在[1，e]上恒成立，此时f (x )在[1，e]上是减函数． 所以f (x )min ＝f (e)＝1＋2ae＝3，得a ＝e.适合题意． 综上a ＝e.6．已知函数f (x )＝a ln x ＋12ax 2＋bx (a ≠0)．(1)若函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y ＝3x －32b ，求a 、b 的值；(2)若a ＝2时，函数f (x )是增函数，求实数b 的取值范围； (3)设函数g (x )＝lnx 的图象C 1与函数h (x )＝f (x )－ag (x )的图象C 2交于点P 、Q ，过线段PQ 的中点R 作x 轴的垂线分别交C 1、C 2于点M 、N ，问是否存在点R ，使C 1在M 处的切线与C 2在N 处的切线平行？若存在，求出R 的横坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)函数f (x )＝a ln x ＋12ax 2＋bx 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ax ＋ax ＋b ＝ax 2＋bx ＋a x，当x ＝1时，f ′(1)＝2a ＋b ＝3，f (1)＝12a ＋b ，所以函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为y －(12a ＋b )＝3(x －1)，即y ＝3x ＋(12a ＋b －3)，所以12a ＋b －3＝－32b ，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝3，12a ＋b －3＝－32b ，得a ＝b ＝1. (2)由(1)知，f ′(x )＝2x ＋2x ＋b ，则f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立，即b ≥－2x－2x 在(0，＋∞)上恒成立，因为2x ＋2x ≥22x·2x ＝4(当且仅当x ＝1时等号成立)， 所以－2x －2x ≤－4，所以b ≥－4，故实数b 的取值范围为[－4，＋∞)．(3)设点P 、Q 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 且0<x 1<x 2，则点M 、N 的横坐标均为x ＝x 1＋x 22.C 1在点M 处的切线斜率为k 1＝1x |x ＝x 1＋x 22＝2x 1＋x 2.C 2在点N 处的切线斜率为k 2＝(ax ＋b )|x ＝x 1＋x 22＝a (x 1＋x 2)2＋b . 假设C 1在点M 处的切线与C 2在点N 处的切线平行， 则k 1＝k 2，则2x 1＋x 2＝a (x 1＋x 2)2＋b ，即2(x 2－x 1)x 1＋x 2＝a (x 22－x 21)2＋b (x 2－x 1)＝(a 2x 22＋bx 2)－(a 2x 21＋bx 1) ＝y 2－y 1＝ln x 2－ln x 1＝lnx 2x 1， 所以ln x 2x 1＝2(x 2－x 1)x 1＋x 2＝2(x 2x 1－1)1＋x 2x 1，令u ＝x 2x 1>1，则ln u ＝2(u －1)1＋u ，u >1，①令r (u )＝ln u －2(u －1)1＋u ，u >1，则r ′(u )＝1u －4(1＋u )2＝(u －1)2u (u ＋1)2.因为u >1，所以r ′(u )>0，所以r (u )在(1，＋∞)上单调递增， 故r (u )>r (1)＝0，则ln u >2(u －1)1＋u，这与①矛盾，故假设不成立． 即不存在满足题意的点R .中档大题规范练——概率与统计1.第12届全运会已于2013年8月31日在辽宁沈阳举行，组委会在沈阳某大学招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm 以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm 以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”．(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高180 cm 以上(包括180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这2人身高相差5 cm 以上的概率． 解 (1)根据茎叶图知，“高个子”有12人，“非高个子”有18人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是530＝16，所以抽取的5人中，“高个子”有12×16＝2人，“非高个子”有18×16＝3人．“高个子”用A ，B 表示，“非高个子”用a ，b ，c 表示，则从这5人中选2人的情况有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，共10种，至少有一名“高个子”被选中的情况有(A ，B )，(A ，a )，(A ，b )，(A ，c )，(B ，a )，(B ，b )，(B ，c )，共7种．因此，至少有一人是“高个子”的概率是P ＝710.(2)由茎叶图知，有5名男志愿者身高在180 cm 以上(包括180 cm)，身高分别为181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm ；有2名女志愿者身高为180 cm 以上(包括180 cm)，身高分别为180 cm,181 cm.抽出的2人用身高表示，则有(181,180)，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共10种情况， 身高相差5 cm 以上的有(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共4种情况，故这2人身高相差5 cm 以上的概率为410＝25.2．(2013·北京)如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；(2)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解 (1)在3月1日至3月13日到达这13天中，1日，2日，3日，7日，12日，13日共6天的空气质量优良．所以，此人到达当日空气质量优良的概率P ＝613.(2)事件“此人在该市停留期间只有1天空气重度污染”发生，则该人到达日期应在4日，5日，7日或8日．所以，只有一天空气重度污染的概率P ＝413.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．3．先后随机投掷2枚正方体骰子，其中x 表示第1枚骰子出现的点数，y 表示第2枚骰子出现的点数． (1)求点P (x ，y )在直线y ＝x －2上的概率； (1)求点P (x ，y )满足y 2<2x 的概率．解 每枚骰子出现的点数都有6种情况， 所以，基本事件总数为6×6＝36(个)．(1)记“点P (x ，y )在直线y ＝x －2上”为事件A ， 则事件A 有4个基本事件：(3,1)，(4,2)，(5,3)，(6,4)， 所以，P (A )＝436＝19.(2)记“点P (x ，y )满足y 2<2x ”为事件B ，则事件B 有12个基本事件：(1,1)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(6,1)，(6,2)，(6,3)， 所以，P (B )＝1236＝13.4．(2013·福建)某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率； (2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：χ2＝n (n 11n 22－n 12n 21)2n 1＋n 2＋n ＋1n ＋2P (χ2≥k )0.100 0.050 0.010 0.001 k2.7063.8416.63510.828(注：此公式也可以写成 K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ))解 (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名． 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)， 记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：生产能手 非生产能手合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组15 25 40 合计3070100所以得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(15×25－15×45)260×40×30×70＝2514≈1.79. 因为1.79<2.706.所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”．5．有编号为1,2,3的三个白球，编号为4,5,6的三个黑球，这六个球除编号和颜色外完全相同，现从中任意取出两个球．(1)求取得的两个球颜色相同的概率； (2)求取得的两个球颜色不相同的概率．解 从六个球中取出两个球的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)共计15个基本事件．(1)记事件A 为“取出的两个球是白球”，则这个事件包含的基本事件的是(1,2)，(1,3)，(2,3)，共计3个基本事件，故P (A )＝315＝15.记事件B 为“取出的两个球是黑球”，同理可得P (B )＝15.记事件C 为“取出的两个球的颜色相同”，则C ＝A ＋B ，且A ，B 互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得P (C )＝P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝25.(2)记事件D 为“取出的两个球的颜色不相同”，则事件C ，D 互斥，根据互斥事件概率之间的关系，得P (D )＝1－P (C )＝1－25＝35.6．(2014·福建)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1 035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085美元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：行政区 区人口占城市人口比例 区人均GDP(单位：美元) A 25% 8 000 B 30% 4 000 C 15% 6 000 D 10% 3 000 E20%10 000(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率． 解 (1)设该城市人口总数为a ，则该城市人均GDP 为1a (8 000×0.25a ＋4 000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3 000×0.10a ＋10 000×0.20a )＝6 400. 因为6 400∈[4 085,12 616)，所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准．(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是{A ，B}，{A ，C}，{A ，D}，{A ，E}，{B ，C}，{B ，D}，{B ，E}，{C ，D}，{C ，E}，{D ，E}，共10个． 设事件“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”为M ，则事件M 包含的基本事件是：{A ，C}，{A ，E}，{C ，E}，共3个，所以所求概率为P (M )＝310.中档大题规范练——立体几何1．如图所示，已知三棱锥A －BPC 中，AP ⊥PC ，AC ⊥BC ，M 为AB 的中点，D 为PB 的中点，且△PMB 为正三角形．(1)求证：DM ∥平面APC ；(2)求证：平面ABC ⊥平面APC ；(3)若BC ＝4，AB ＝20，求三棱锥D －BCM 的体积．(1)证明 由已知，得MD 是△ABP 的中位线，所以MD ∥AP .又MD ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，故MD ∥平面APC .(2)证明 因为△PMB 为正三角形，D 为PB 的中点，所以MD ⊥PB .所以AP ⊥PB .又AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC .因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC .又BC ⊥AC ，AC ∩AP ＝A ，所以BC ⊥平面APC .因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .(3)解 由(2)知，可知MD ⊥平面PBC ，所以MD 是三棱锥D －BCM 的一条高，又AB ＝20，BC ＝4，△PMB 为正三角形，M ，D 分别为AB ，PB 的中点，经计算可得MD ＝53，DC ＝5，S △BCD ＝12×BC ×BD ×sin ∠CBD ＝12×5×4×215＝221. 所以V D －BCM ＝V M －DBC ＝13×S △BCD ×MD ＝13×221×53＝107. 2．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ＝4，点E 在线段AB 上．过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，将△AEF 沿EF 折起到△PEF 的位置(点A 与P 重合)，使得∠PEB ＝30°.(1)求证：EF ⊥PB ；(2)试问：当点E 在何处时，四棱锥P —EFCB 的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P —EFCB 的体积．(1)证明 ∵EF ∥BC 且BC ⊥AB ，∴EF ⊥AB ，即EF ⊥BE ，EF ⊥PE .又BE ∩PE ＝E ，∴EF ⊥平面PBE ，又PB ⊂平面PBE ，∴EF ⊥PB .(2)解 设BE ＝x ，PE ＝y ，则x ＋y ＝4.∴S △PEB ＝12BE ·PE ·sin ∠PEB ＝14xy ≤14⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＝1. 当且仅当x ＝y ＝2时，S △PEB 的面积最大．此时，BE ＝PE ＝2.由(1)知EF ⊥平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面EFCB ，在平面PBE 中，作PO ⊥BE 于O ，则PO ⊥平面EFCB .即PO 为四棱锥P —EFCB 的高．又PO ＝PE ·sin 30°＝2×12＝1. S 梯形EFCB ＝12×(2＋4)×2＝6. ∴V P —BCFE ＝13×6×1＝2.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2BC ，P 、Q 分别是线段AB 、CD 的中点，EP ⊥平面ABCD .(1)求证：DP ⊥平面EPC ；(2)问在EP 上是否存在点F ，使平面AFD ⊥平面BFC ？若存在，求出FP AP的值；若不存在，说明理由．(1)证明 ∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥DP .又ABCD 为矩形，AB ＝2BC ，P 、Q 分别为AB 、CD 的中点，连接PQ ，则PQ ⊥DC 且PQ ＝12DC . ∴DP ⊥PC .∵EP ∩PC ＝P ，∴DP ⊥平面EPC .(2)解 假设存在F 使平面AFD ⊥平面BFC ，∵AD ∥BC ，BC ⊂平面BFC ，AD ⊄平面BFC ，∴AD ∥平面BFC .∴AD 平行于平面AFD 与平面BFC 的交线l .∵EP ⊥平面ABCD ，∴EP ⊥AD ，而AD ⊥AB ，AB ∩EP ＝P ，∴AD ⊥平面EAB ，∴l ⊥平面F AB .∴∠AFB 为平面AFD 与平面BFC 所成二面角的平面角．∵P 是AB 的中点，且FP ⊥AB ，∴当∠AFB ＝90°时，FP ＝AP .∴当FP ＝AP ，即FP AP ＝1时，平面AFD ⊥平面BFC .4．(2013·课标全国Ⅱ)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点．(1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；(2)设AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，求三棱锥C －A 1DE 的体积．(1)证明 连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)解 因为ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，所以AA 1⊥CD .又因为AC ＝CB ，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AB .又AA 1∩AB ＝A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1.由AA 1＝AC ＝CB ＝2，AB ＝22，得∠ACB ＝90°，CD ＝2，A 1D ＝6，DE ＝3，A 1E ＝3，故A 1D 2＋DE 2＝A 1E 2，即DE ⊥A 1D .所以1C A DE V －＝13×S △A 1ED ×CD ＝13×12×6×3×2＝1.5．(2013·辽宁)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O 为AB 中点，得OM ∥BC .因为QM ∩MO ＝M ，QM ⊂平面QMO ，MO ⊂平面QMO ，BC ∩PC ＝C ，BC ⊂平面PBC ，PC ⊂平面PBC .所以平面QMO ∥平面PBC .因为QG ⊂平面QMO ，所以QG ∥平面PBC .6．(2014·四川)在如图所示的多面体中，四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都为矩形．(1)若AC ⊥BC ，证明：直线BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)设D ，E 分别是线段BC ，CC 1的中点，在线段AB 上是否存在一点M ，使直线DE ∥平面A 1MC ？请证明你的结论．(1)证明 因为四边形ABB 1A 1和ACC 1A 1都是矩形，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC .因为AB ∩AC ＝A ，AB ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又由已知，AC ⊥BC ，AA 1∩AC ＝A ，AA 1⊂平面ACC 1A 1，AC ⊂平面ACC 1A 1，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.(2)解 取线段AB 的中点M ，连接A 1M ，MC ，A 1C ，AC 1，设O 为A 1C ，AC 1的交点． 由题意知，O 为AC 1的中点．连接MD ，OE ，OM ，则MD ，OE 分别为△ABC ，△ACC 1的中位线，所以MD 綊12AC ，OE 綊12AC ， 因此MD 綊OE .从而四边形MDEO 为平行四边形，则DE ∥MO .因为直线DE ⊄平面A 1MC ，MO ⊂平面A 1MC ，所以直线DE ∥平面A 1MC .即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点)，使直线DE ∥平面A 1MC .中档大题规范练——三角函数1．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递增区间．解 (1)由sin x ≠0得x ≠k π(k ∈Z )，故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }．因为f (x )＝(sin x －cos x )sin 2x sin x＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －2cos 2x＝sin 2x －(1＋cos 2x ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )． 由2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π－π8≤x ≤k π＋3π8，x ≠k π(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫k π－π8，k π和⎝⎛⎦⎤k π，k π＋3π8(k ∈Z )． 2．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，角B 所对的边b ＝3，且函数f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x －3在x ＝A 处取得最大值．(1)求f (x )的值域及周期；(2)求△ABC 的面积．解 (1)因为A ，B ，C 成等差数列，所以2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3，即A ＋C ＝2π3. 因为f (x )＝23sin 2x ＋2sin x cos x － 3 ＝3(2sin 2x －1)＋sin 2x ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以T ＝2π2＝π. 又因为sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3∈[－1,1]， 所以f (x )的值域为[－2,2]．(2)因为f (x )在x ＝A 处取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎫2A －π3＝1. 因为0<A <23π，所以－π3<2A －π3<π， 故当2A －π3＝π2时，f (x )取到最大值， 所以A ＝512π，所以C ＝π4. 由正弦定理，知3sin π3＝c sin π4⇒c ＝ 2. 又因为sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋π6＝2＋64， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝3＋34. 3．已知函数f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a .(1)求函数f (x )的最小正周期以及单调递增区间；(2)当x ∈[0，π4]时，函数f (x )有最大值4，求实数a 的值． 解 f (x )＝3sin 2x ＋2cos 2x ＋a＝cos 2x ＋3sin 2x ＋1＋a＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1. (1)函数f (x )的最小正周期为2π2＝π， 由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z .故函数f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )． (2)∵x ∈[0，π4]，∴2x ＋π6∈[π6，2π3]， 从而sin(2x ＋π6)∈[12，1]． ∴f (x )＝2sin(2x ＋π6)＋a ＋1∈[a ＋2，a ＋3]， ∵f (x )有最大值4，∴a ＋3＝4，故a ＝1.4．设向量a ＝(3sin x ，sin x )，b ＝(cos x ，sin x )，x ∈[0，π2]． (1)若|a |＝|b |，求x 的值；(2)设函数f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值．解 (1)由|a |2＝(3sin x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，|b |2＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，由|a |＝|b |，得4sin 2x ＝1.又x ∈[0，π2]，从而sin x ＝12， 所以x ＝π6. (2)f (x )＝a ·b ＝3sin x ·cos x ＋sin 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin(2x －π6)＋12. 当x ＝π3∈[0，π2]时，sin(2x －π6)取最大值1， 所以f (x )的最大值为32. 5．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1(ω>0)的最小正周期是π. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)求f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin(ωx －π6)＋1 ＝23sin ωx cos ωx －2cos 2ωx ＋1＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π6)． 最小正周期是2π2ω＝π，所以，ω＝1，从而f (x )＝2sin(2x －π6)． 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z . 解得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z . 所以函数f (x )的单调递增区间为[－π6＋k π，π3＋k π](k ∈Z )． (2)当x ∈[π8，3π8]时，2x －π6∈[π12，7π12]， f (x )＝2sin(2x －π6)∈[6－22，2]， 所以f (x )在[π8，3π8]上的最大值和最小值分别为2，6－22. 6.在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于山坡的斜度为15°，如图所示，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得斜度为45°，设建筑物的高为50 m ．求此山对于地平面的斜度θ的余弦值．解 在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠CBA ＝180°－45°＝135°，AB ＝100 m ，所以∠ACB ＝30°. 由正弦定理，得100sin 30°＝BC sin 15°，即BC ＝100sin 15°sin 30°. 在△BCD 中，因为CD ＝50，BC ＝100sin 15°sin 30°，∠CBD ＝45°，∠CDB ＝90°＋θ， 由正弦定理，得50sin 45°＝100sin 15°sin 30°sin (90°＋θ)， 解得cos θ＝3－1.因此，山对地面的斜度的余弦值为3－1.中档大题规范练——数列1．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2a 4＝64，a 1＋a 5＝18.(1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值．(2)设b n ＝n (2n ＋1)S n，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．解 (1)数列{a n }为等差数列，因为a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝18，又a 2a 4＝65，所以a 2，a 4是方程x 2－18x ＋65＝0的两个根，又公差d >0，所以a 2<a 4，所以a 2＝5，a 4＝13.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋3d ＝13，① 所以a 1＝1，d ＝4.所以a n ＝4n －3.由1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，所以a 1a 21＝a 2i ，即1×81＝(4i －3)2，解得i ＝3.(2)由(1)知，S n ＝n ×1＋n (n －1)2×4＝2n 2－n ， 所以b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)，② 所以b 1＋b 2＋…＋b n＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1， 因为n 2n ＋1＝12－12(2n ＋1)<12，③ 所以存在m ＝12使b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立． 2．设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N *.(1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{na n }的前n 项和．解 (1)令n ＝1，得2a 1－a 1＝a 21，即a 1＝a 21.因为a 1≠0，所以a 1＝1.令n ＝2，得2a 2－1＝S 2＝1＋a 2，解得a 2＝2.当n ≥2时，由2a n －1＝S n,2a n －1－1＝S n －1，两式相减得2a n －2a n －1＝a n ，即a n ＝2a n －1.于是数列{a n }是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n ＝2n －1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)知，na n ＝n ·2n －1. 记数列{n ·2n －1}的前n 项和为B n ，于是 B n ＝1＋2×2＋3×22＋…＋n ×2n －1.① 2B n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .②①－②，得－B n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n . 从而B n ＝1＋(n －1)·2n .即数列{na n }的前n 项和为1＋(n －1)·2n .3．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明：T n <3. (1)解 当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，2S n －1＝a n －2n ＋1 ⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n⇒a n ＋1＝3a n ＋2n ，从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ， 故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列，b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ， a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1， 则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，① 13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②，得23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n， 故T n ＝3－n ＋13n －1<3. 4．已知单调递增数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝12(a 2n＋n )． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)n ＝1时，a 1＝12(a 21＋1)，得a 1＝1， 由S n ＝12(a 2n ＋n )，① 则当n ≥2时，S n －1＝12(a 2n －1＋n －1)，② ①－②得a n ＝S n －S n －1＝12(a 2n －a 2n －1＋1)， 化简得(a n －1)2－a 2n －1＝0，a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，又{a n }是单调递增数列，故a n －a n －1＝1，所以{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .(2)c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1a 2n ＋1－1，n 为奇数，3×2a n －1＋1，n 为偶数，当n 为偶数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n －1)＋(c 2＋c 4＋…＋c n )＝(122－1＋142－1＋…＋1n 2－1)＋3×(21＋23＋…＋2n －1)＋n 2 ＝11×3＋13×5＋…＋1(n －1)×(n ＋1)＋3×2(1－4n 2)1－4＋n 2 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1－1n ＋1)＋2×(4n 2－1)＋n 2 ＝2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1). 当n 为奇数时，T n ＝(c 1＋c 3＋…＋c n )＋(c 2＋c 4＋…＋c n －1)＝[122－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1]＋3×(21＋23＋…＋2n －2)＋n －12 ＝12×(11－13＋13－15＋…＋1n －1n ＋2)＋2×(4n －12－1)＋n －12＝2n＋n 2－2n －92(n ＋2). 所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋n 2－2n －92(n ＋2)(n 为奇数)，2n ＋1＋n 2－2n －42(n ＋1)(n 为偶数).5．已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝1a n －1a n (n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立，求最小正整数m .解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n＝2＋3a n 3＝a n ＋23， ∴{a n }是以1为首项，23为公差的等差数列． ∴a n ＝1＋(n －1)×23＝23n ＋13. (2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1(23n －13)(23n ＋13) ＝1(2n －1)(2n ＋1)9＝92(12n －1－12n ＋1)， 又b 1＝3＝92(1－13)， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝92(1－12n ＋1)＝9n 2n ＋1， ∵S n <m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 即9n 2n ＋1<m －2 0142对一切n ∈N *恒成立， 又9n 2n ＋1<92，∴m －2 0142≥92， 即m ≥2 023.∴最小正整数m 为2 023.6．某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第一年的维护费用是4万元，从第二年到第七年，每年的维护费用均比上年增加2万元，从第八年开始，每年的维护费用比上年增加25%.(1)设第n 年该生产线的维护费用为a n ，求a n 的表达式；(2)若该生产线前n 年每年的平均维护费用大于12万元时，需要更新生产线．求该生产线前n 年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线？解 (1)由题意知，当n ≤7时，数列{a n }是首项为4，公差为2的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2.当n ≥8时，数列{a n }从a 7开始构成首项为a 7＝2×7＋2＝16，公比为1＋25%＝54的等比数列， 则此时a n ＝16×⎝⎛⎭⎫54n －7，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＋2，n ≤7，16×⎝⎛⎭⎫54n －7，n ≥8. (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，当1≤n ≤7时，S n ＝4n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋3n ， 当n ≥8时，由S 7＝72＋3×7＝70，则S n ＝70＋16×54×1－⎝⎛⎭⎫54n －71－54＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10， ∴该生产线前n 年每年的平均维护费用为S n n ＝⎩⎨⎧ n ＋3，1≤n ≤7，80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ，n ≥8.当1≤n ≤7时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为递增数列， 当n ≥8时，∵S n ＋1n ＋1－S n n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －6－10n ＋1－80×⎝⎛⎭⎫54n －7－10n ＝80×⎝⎛⎭⎫54n －7·⎝⎛⎭⎫n 4－1＋10n (n ＋1)>0， ∴S n ＋1n ＋1>S n n. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为递增数列． 又∵S 77＝10<12，S 88＝80×54－108＝11.25<12， S 99＝80×⎝ ⎛⎭⎪⎫542－109≈12.78>12，则第9年年初需更新生产线．中档大题规范练——圆锥曲线1．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，实半轴长为3.(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 的左支交于A ，B 两点，求k 的取值范围；(3)在(2)的条件下，线段AB 的垂直平分线l 0与y 轴交于M (0，b )，求b 的取值范围．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)， 由已知，得a ＝3，c ＝2，b 2＝c 2－a 2＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1. (2)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1， 得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3k 2≠0，Δ＝36(1－k 2)>0，x A ＋x B ＝62k 1－3k2<0，x A x B ＝－91－3k 2>0，解得33<k <1. 所以当33<k <1时，直线l 与双曲线C 的左支有两个交点． (3)由(2)，得x A ＋x B ＝62k 1－3k 2， 所以y A ＋y B ＝(kx A ＋2)＋(kx B ＋2)＝k (x A ＋x B )＋22＝221－3k 2， 所以AB 中点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k 1－3k 2，21－3k 2. 设l 0的方程为y ＝－1k x ＋b ，将P 点的坐标代入l 0的方程，得b ＝421－3k 2， ∵33<k <1，∴－2<1－3k 2<0，∴b <－2 2. ∴b 的取值范围是(－∞，－22)．2．已知离心率为12的椭圆C 1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2＝4mx (m >0)的焦点为F 2，设椭圆C 1与抛物线C 2的一个交点为P (x 0，y 0)，|PF 1|＝73. (1)求椭圆C 1的标准方程及抛物线C 2的标准方程；(2)直线x ＝m 与椭圆C 1在第一象限的交点为Q ，若存在过点A (4,0)的直线l 与椭圆C 1相交于不同的两点M ，N ，使得36|AQ |2＝35|AM |·|AN |，求出直线l 的方程．解 (1)∵在椭圆C 1中c ＝m ，e ＝12， ∴a ＝2m ，b 2＝3m 2，设椭圆C 1的方程为x 24m 2＋y 23m 2＝1， 联立x 24m 2＋y 23m 2＝1与y 2＝4mx ， 得3x 2＋16mx －12m 2＝0，即(x ＋6m )·(3x －2m )＝0，得x ＝2m 3或－6m (舍去)， 代入y 2＝4mx 得y ＝±26m 3， ∴设点P 的坐标为(2m 3，26m 3)， |PF 2|＝2m 3＋m ＝5m 3， |PF 1|＝2a －5m 3＝7m 3＝73， ∴m ＝1， 此时，椭圆C 1的标准方程为x 24＋y 23＝1， 抛物线C 2的标准方程为y 2＝4x .(2)由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －4)，x 24＋y 23＝1， 消去y 整理，得(3＋4k 2)x 2－32k 2x ＋64k 2－12＝0.由题意知Δ＝(32k 2)2－4(3＋4k 2)(64k 2－12)>0，解得－12<k <12. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 23＋4k 2，x 1x 2＝64k 2－123＋4k 2.由(1)知m ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝±32， ∴点Q 的坐标是(1，32)． ∴|AQ |2＝454， 由已知条件可知|AM |·|AN |＝3635×454＝817. 又|AM |·|AN |＝(4－x 1)2＋y 21·(4－x 2)2＋y 22 ＝(4－x 1)2＋k 2(4－x 1)2·(4－x 2)2＋k 2(4－x 2)2＝(k 2＋1)·(4－x 1)·(4－x 2)＝(k 2＋1)[x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋16]＝(k 2＋1)(64k 2－123＋4k 2－4×32k 23＋4k 2＋16) ＝(k 2＋1)·363＋4k 2. ∴(k 2＋1)·363＋4k 2＝817， 解得k ＝±24，经检验成立． ∴直线l 的方程为x －22y －4＝0或x ＋22y －4＝0.3．(2013·课标全国Ⅱ)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12. (1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b2＝1，① x 22a 2＋y 22b2＝1，② ①－②，得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2＝0. 因为y 1－y 2x 1－x 2＝－1，设P (x 0，y 0)， 因为P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12，所以y 0＝12x 0，即y 1＋y 2＝12(x 1＋x 2)． 所以可以解得a 2＝2b 2，即a 2＝2(a 2－c 2)，即a 2＝2c 2，又因为右焦点(c,0)在直线x ＋y －3＝0上，解得c ＝3，所以a 2＝6，所以M 的方程为x 26＋y 23＝1. (2)因为CD ⊥AB ，直线AB 方程为x ＋y －3＝0，所以设直线CD 方程为y ＝x ＋m ，将x ＋y －3＝0代入x 26＋y 23＝1得： 3x 2－43x ＝0，即A (0，3)，B ⎝⎛⎭⎫433，－33， 所以可得|AB |＝463； 将y ＝x ＋m 代入x 26＋y 23＝1得： 3x 2＋4mx ＋2m 2－6＝0，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则|CD |＝2(x 3＋x 4)2－4x 3x 4＝22318－2m 2， 又因为Δ＝16m 2－12(2m 2－6)>0，即－3<m <3，所以当m ＝0时，|CD |取得最大值4，所以四边形ACBD 面积的最大值为12|AB |·|CD |＝863. 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，⊙O ：x 2＋y 2＝b 2，点A ，F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点．(1)若P (－1，3)，P A 是⊙O 的切线，求椭圆C 的方程．(2)是否存在这样的椭圆C ，使得|P A ||PF |恒为常数？如果存在，求出这个常数及C 的离心率e ；如果不存在，说明理由．解 (1)由P (－1，3)在⊙O ：x 2＋y 2＝b 2上，得b 2＝1＋3＝4.直线P A 的斜率k P A ＝3－0－1－(－a )＝3a －1，而直线P A 的斜率k P A ＝－1k OP ＝13，所以3a －1＝13，解得a ＝4.所以a 2＝16，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 24＝1. (2)假设存在椭圆C ，使得|P A ||PF |恒为常数． 设椭圆C 的半焦距为c ，当P (－b,0)时，则有|P A ||PF |＝a －b |c －b |； 当P (b,0)时，|P A ||PF |＝a ＋b b ＋c. 依假设有a －b |c －b |＝a ＋b b ＋c. ①当c －b >0时，有a －b c －b ＝a ＋b b ＋c， 所以(a －b )(b ＋c )＝(a ＋b )(c －b )，化简整理得a ＝c ，这是不可能的．②当c －b <0时，有a －b b －c ＝a ＋b b ＋c. 所以(a －b )(b ＋c )＝(a ＋b )(b －c )，化简整理得ac －b 2＝0.所以c 2－a 2＋ac ＝0，两边同除以a 2，得e 2＋e －1＝0.解得e ＝－1＋52，或e ＝－1－52∉(0,1)(舍去)． 可见，若存在椭圆C 满足题意，只可能离心率e ＝－1＋52. 设P (x ，y )为⊙O ：x 2＋y 2＝b 2上任意一点， 则|P A ||PF |＝(x ＋a )2＋y 2(x ＋c )2＋y 2|P A |2|PF |2＝(x ＋a )2＋b 2－x 2(x ＋c )2＋b 2－x 2＝2ax ＋a 2＋b 22cx ＋c 2＋b 2＝2ax ＋2a 2－c 22cx ＋a 2.(*) 由上c 2－a 2＋ac ＝0，得a 2－c 2＝ac ，所以2a 2－c 2a 2·c a ＝a 2＋ac a 2·c a＝a ＋c a 2·c ＝ac ＋c 2a 2＝a 2a 2＝1， 从而2a 2－c 2a 2＝a c. 代入(*)式得|P A |2|PF |2＝a c ＝5＋12， 所以存在满足题意的椭圆C ，这个常数为5＋12， 椭圆C 的离心率为e ＝－1＋52. 5．已知平面内一动点P 到点F (1,0)的距离与点P 到y 轴的距离的差等于1.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 作两条斜率存在且互相垂直的直线l 1，l 2，设l 1与轨迹C 相交于点A ，B ，l 2与轨迹C 相交于点D ，E ，求AD →·EB →的最小值．解 (1)设动点P 的坐标为(x ，y )，由题意有(x －1)2＋y 2－|x |＝1. 化简得y 2＝2x ＋2|x |.当x ≥0时，y 2＝4x ；当x <0时，y ＝0.所以，动点P 的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x ≥0)和y ＝0 (x <0)．(2)由题意知，直线l 1的斜率存在且不为0，设为k ，则l 1的方程为y ＝k (x －1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实根，于是x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1. 因为l 1⊥l 2，所以l 2的斜率为－1k. 设D (x 3，y 3)，E (x 4，y 4)，则同理可得x 3＋x 4＝2＋4k 2，x 3x 4＝1.故AD →·EB →＝(AF →＋FD →)·(EF →＋FB →)＝AF →·EF →＋AF →·FB →＋FD →·EF →＋FD →·FB →＝|AF →|·|FB →|＋|FD →|·|EF →|＝(x 1＋1)(x 2＋1)＋(x 3＋1)(x 4＋1)。

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——7)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——7)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试（7）第七章 立 体 几 何 (时间：120分钟 满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分)1. (2013·广东高考)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若l∥α，l ∥β，则α∥β B. 若l⊥α，l ⊥β，则α∥β C. 若l⊥α，l ∥β，则α∥βD. 若α⊥β，l ∥α，则l⊥β2. 已知直线l 与平面α成45°角，直线m ⊂α，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角，则l 与m 所成的角是A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为A. 2B. 3C.2 D. 14. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则直线AB 与AA 1所成角的余弦值为(A. 34 B. 54 C. 74 D. 345. (2013·潍坊模拟)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m⊥α，m ⊥β，则 α∥β；③若m⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是 A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④6. (2013·郑州质检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是7. (2013·烟台诊断)如图所示，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是A. 56B. 23C. 1D. 128. (2013·石家庄模拟)已知正三棱锥P －ABC 的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为A. 4πB. 12πC.16π3 D.64π39. (2013·德州模拟)已知直线l⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列命题正确的是 ①l⊥m ⇒α∥β；②l∥m ⇒α⊥β；③α⊥β⇒l ∥m ；④α∥β⇒l ⊥m.装订线学校 班级 姓名 考号A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③10. 设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中假命题是 A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB. 如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βC. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l⊥γD. 如果α⊥β，l 与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余11. 如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是A. A 1DB. AA 1C. A 1D 1D. A 1C 112. (2013·南昌模拟)已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是A. 7π4B. 2πC.9π4D. 3π二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·江南十校联考)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为 ．14. (2013·泰安质检)已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且AB ＝8，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为 ．15. 将一个半径为5 cm 的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架由三根细金属杆PA ，PB ，PC 组成，它们两两成60°角，球与金属杆PA ，PB ，PC 的切点分别为A ，B ，C ，则水晶球的球心到支架顶点P 的距离是cm.16. (2012·安徽高考)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则 (写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱互相垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．三、 解答题(共70分)17. (10分)如图是三棱锥S －ABC 的直观图与三视图，P 为底面ABC 内一点，PS 与SA ，SB ，SC 所成的角分别为α，β，γ.求cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ的值．18. (10分)(2013·江南十校联考)如图①，等腰梯形ABCD中，BC∥AD，CE⊥AD，AD＝3BC ＝3，CE＝1.将△CDE沿CE折起得到四棱锥F－ABCE(如图②)，G是AF的中点．(1)求证：BG∥平面FCE；(2)当平面FCE⊥平面ABCE时，求三棱锥F－BEG的体积．,①),②)19. (12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？20. (12分)(2013·石家庄质检)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1.(1)若M，N分别是AB，A1C的中点，求证：MN∥平面BCC1B1；(2)若三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，∠B1BA＝∠B1BC＝60°，P为线段B1B上的动点，当PA＋PC最小时，求证：B1B⊥平面APC.21. (12分)(2013·南昌模拟)如图，多面体ABC－A1B1C1中，三角形ABC是边长为4的正三角形，AA1∥BB1∥CC1，AA1⊥平面ABC，AA1＝BB1＝2CC1＝4.(1)若O是AB的中点，求证：OC1⊥A1B1；(2)在线段AB1上是否存在一点D，使得CD∥平面A1B1C1？若存在，确定点D的位置；若不存在，请说明理由．22. (14分)(2013·天津模拟)如图所示，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝2，E，F，G分别为PA，BC，PD的中点，AD＝22.(1)求PB与平面ABCD所成的角；(2)求证：AG⊥EF；(3)求多面体P－AGF的体积．参考答案一、 选择题(每小题5分，共60分)1. (2013·广东高考)设l 为直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(B)A. 若l ∥α，l ∥β，则α∥βB. 若l ⊥α，l ⊥β，则α∥βC. 若l ⊥α，l ∥β，则α∥βD. 若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β根据空间平行、垂直关系的判定和性质，易知选B.2. 已知直线l 与平面α成45°角，直线m ⊂α，若直线l 在α内的射影与直线m 也成45°角，则l 与m 所成的角是(C)A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°设l 与m 所成的角是β，则cos β＝cos 45°cos 45°，∴cos β＝12，∴β＝60°.3. 已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，CC 1＝22，E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为(D)A. 2B. 3C.2 D. 1连接AC 交BD于点O ，连接EO ，过点O 作OH ⊥AC 1于点H ，∵AB ＝2，∴AC ＝22，又CC 1＝22，∴OH ＝2sin 45°＝1.4. 已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 上的射影为BC 的中点，则直线AB 与AA 1所成角的余弦值为(D)A.34 B. 54 C. 74 D. 34记BC 的中点为D ，该三棱柱的各棱长为a ，直线AB 与AA 1所成的角是θ，则有A 1D ⊥平面ABC ，且cos ∠A 1AD ＝AD AA 1＝32aa ＝32，cos θ＝cos ∠A 1AD ·cos ∠BAD ＝32·cos π6＝34. 5. (2013·潍坊模拟)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，给出四个命题：①若α∩β＝m ，n ⊂α，n ⊥m ，则α⊥β；②若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β；③若m⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β；④若m ∥α，n ∥β，m ∥n ，则α∥β.其中正确的命题是(B) A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④由面面垂直的性质可知②③正确．6. (2013·郑州质检)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是(C)注意到在三视图中，俯视图的宽度应与侧视图的宽度相等，而在选项C 中，其宽度为32，与题中所给的侧视图的宽度1不相等，故选C.7. (2013·烟台诊断)如图所示，某几何体的三视图均为边长为1的正方形，则该几何体的体积是(A)A. 56B. 23C. 1D. 12由题意知三视图对应的几何体如图所示，故该几何体为正方体的体积减去一个三棱锥的体积，即13－13×12×1×1×1＝56，选A.8. (2013·石家庄模拟)已知正三棱锥P －ABC 的正视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为(D)A. 4πB. 12πC. 16π3D. 64π3由正视图得到正三棱锥的侧棱长为4，由俯视图得到正三棱锥的底面是边长为23的正三角形，∴正三棱锥的高为23，∴外接球的半径为433，∴外接球的表面积为643π.故选D. 9. (2013·德州模拟)已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，下列命题正确的是(C) ①l ⊥m ⇒α∥β；②l ∥m ⇒α⊥β；③α⊥β⇒l ∥m ；④α∥β⇒l ⊥m. A. ①② B. ③④ C.②④ D. ①③①α，β有可能相交，∴错误；②正确；③当α⊥β时，由l ∥β或l ⊂β，不一定有l∥m ，∴错误；④正确．故选C.10. 设l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中假命题是(D) A. 如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于βB. 如果α不垂直于β，那么α内一定不存在直线垂直于βC. 如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l ，那么l ⊥γD. 如果α⊥β，l与α，β都相交，那么l 与α，β所成的角互余选项A ，α内平行于α与β的交线的直线与β都是平行的，故为真命题；选项B 是两个平面垂直的判定定理的逆否命题，故为真命题；选项C ，设点M ∈l ，过M 作γ的垂线m ，根据两个平面垂直的性质定理，m ⊂α，m ⊂β，于是 m ＝α∩β，∴m ，l 为同一直线，从而l ⊥γ，故为真命题；选项D 显然为假命题，故选D.11. 如图，O 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D1的底面ABCD 的中心，则下列直线中与B 1O 垂直的是(D)A. A 1DB. AA 1C. A 1D 1D. A1C 1连接B 1D 1，则易证直线A 1C 1⊥平面BDD 1B 1.而B 1O ⊂平面BDD 1B 1，故B 1O ⊥A 1C 1.12. (2013·南昌模拟)已知正三角形ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是 (C)A.7π4 B. 2π C. 9π4D. 3π 由题意知，正三角形ABC 的外接圆半径为22－12＝3，则AB ＝3，过点E 的截面面积最小时，截面是以AB 为直径的圆，截面面积S ＝π×⎝⎛⎭⎫322＝9π4，选C. 二、 填空题(每小题5分，共20分)13. (2013·江南十校联考)(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为．依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线，∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝ 3.∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.14. (2013·泰安质检ABCD 的顶点都在半径为5的球O的球面上，且AB ＝8，BC ＝23，则棱锥O －ABCD 的体积为．球心在矩形的射影为矩形对角线的交点．由题知矩形对角线长为82＋（23）2＝219，∴棱锥的高为52－（19）2＝6，∴棱锥的体积为13×6×8×23＝16 2.15. 将一个半径为5 cm 的水晶球放在如图所示的工艺支架上，支架由三根细金属杆PA ，PB ，PC PA ，PB ，PC 的切点分别为A ，B ，C ，则水晶球的球心到支架顶点P 的距离是如图所示，由已知条件可得三棱锥P －ABC 是正四面体，球心O 与正三角形ABC 构成正三棱锥，且OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，OC ⊥PC ，PA ＝PB ＝PC ＝5，则PO ＝OA sin ∠APO ＝OA sin ∠APM ＝OA AM PA ＝5PA23×32AB ＝5 3.16. (2012·安徽高考)若四面体ABCD 的三组对棱分别相等，即AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ＝BC ，则__②④⑤__(写出所有正确结论的编号)．①四面体ABCD 每组对棱互相垂直； ②四面体ABCD 每个面的面积相等；③从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°； ④连接四面体ABCD 每组对棱中点的线段互相垂直平分；⑤从四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．①错误，当AB ＝4，AC ＝3，AD ＝3时，AC 与BD 不垂直；②正确，在△ABC 与△CDA 中，AB＝CD ，AD ＝BC ，AC ＝AC ，故△ABC 与△CDA 全等，同理四面体的四个面都全等，故四面体ABCD 每个面的面积相等；③错误，从正四面体ABCD 每个顶点出发的三条棱两两夹角为一个三角形的三个内角，故其和为180°；④正确，如图所示，若E ，F ，G ，H 是所在边的中点，则四边形EFGH 为菱形，故EG 与FH 互相垂直平分，同理可得连接四面体ABCD 的每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤正确，∵AD ＝BC ，AB ＝CD，AC ＝BD ，∴从四面体ABCD 的顶点A 出发的三条棱的长可组成△BCD ，同理可得从四面体ABCD 的每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．三、 解答题(共70分)17. (10分)如图是三棱锥S －ABC 的直观图与三视图，P 为底面ABC 内一点，PS 与SA ，SB，SC 所成的角分别为α，β，γ.求cos 2α＋cos 2β＋cos2γ的值．由三视图可知SA ，SB ，SC 两两互相垂直，(2分) 以PS 为体对角线构成一个长方体SDEF －TMPN ，其中D ，F ，T 分别在SA ，SB ，SC 上．设SD ＝a ，SF ＝b ，ST ＝c ， 则cos α＝a PS ，cos β＝b PS ，cos γ＝cPSPS 2＝a 2＋b 2＋c 2，(6分) 则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝a 2＋b 2＋c 2PS2＝1.(10分) 18. (10分)(2013·江南十校联考)如图①，等腰梯形ABCD 中，BC ∥AD ，CE ⊥AD ，AD ＝3BC ＝3，CE ＝1.将△CDE 沿CE 折起得到四棱锥F －ABCE(如图②)，G 是AF 的中点．(1)求证：BG ∥平面FCE ；(2)当平面FCE ⊥平面ABCE 时，求三棱锥F －BEG 的体积．,①),②)取EF 的中点M ，连接GM ，MC ，则GM 綊12AE ，又等腰梯形ABCD 中，BC ＝1，AD ＝3，DE ＝1，∴BC 綊12AE.∴GM 綊BC ，∴四边形BCMG 是平行四边形， ∴BG ∥CM.(4分)又CM ⊂平面FCE ，BG ⊄平面FCE ， ∴BG ∥平面FCE.(5分)(2)∵平面FCE ⊥平面ABCE ，平面FCE ∩平面ABCE ＝ CE ， EF ⊂平面FCE ，FE ⊥CE ，∴FE ⊥平面ABCE.(7分) 又V F －BEG ＝V B －GEF ＝12V B －AEF ＝12V F －ABE ，(8分)S △ABE ＝12×2×1＝1，∴V F －BEG ＝12×13×1×1＝16.(10分)19. (12分)养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积； (3)哪个方案更经济些？若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积 V 1＝13Sh ＝13×π×⎝⎛⎭⎫1622×4＝2563π(m 3)．(2分) 若按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积 V 2＝13Sh ＝13×π×⎝⎛⎭⎫1222×8＝96π(m 3)．(4分) (2)若按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝82＋42＝45(m)， 则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．(7分)若按方案二，仓库的高变成8 m ，棱锥的母线长为l ＝82＋62＝10(m)． 则仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(10分) (3)∵V 2>V 1，S 2<S 1，故方案二比方案一更加经济．(12分)20. (12分)(2013·石家庄质检)如图，已知三棱柱 ABC －A 1B 1C 1. (1)若M ，N 分别是AB ，A 1C 的中点，求证：MN ∥平面BCC 1B 1；(2)若三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长均为2，∠B 1BA ＝∠B 1BC ＝60°，P 为线段B 1B 上的动点，当PA ＋PC 最小时，求证：B 1B ⊥平面APC.连接AC 1，BC 1，则AN ＝NC 1， ∵AM ＝MB ，∴MN ∥BC 1.(3分)又BC 1⊂平面BCC 1B 1，MN ⊄平面BCC 1B 1， ∴MN ∥平面BCC 1B 1.(5分)(2)将平面A 1B 1BA 展开到与平面C 1B 1BC 共面，A 到A ′的位置，此时A ′BCB 1为菱形，(7分) 可知PA ＋PC ＝PA ′＋PC ，A ′C 即为PA ＋PC 的最小值，(9分) 此时，BB 1⊥A ′C ，∴BB 1⊥PA ′，BB 1⊥PC ，即BB 1⊥PA ，BB 1⊥PC ， ∴BB 1⊥平面APC.(12分)21. (12分)(2013·南昌模拟)如图，多面体ABC －A 1B 1C 1中，三角形ABC 是边长为4的正三角形，AA 1∥BB 1∥CC 1，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4.(1)若O 是AB 的中点，求证：OC 1⊥A 1B 1；(2)在线段AB 1上是否存在一点D ，使得CD ∥平面A 1B 1C 1？若存在，确定点D 的位置；若不存在，请说明理由．取线段A 1B 1的中点E ，连接OE ，C 1E ，CO ， 已知等边三角形ABC 的边长为4，AA 1＝BB 1＝2CC 1＝4， AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1∥CC 1，∴四边形AA 1B 1B 是正方形，OE ⊥AB ，CO ⊥AB.(3分) 又CO ∩OE ＝O ，∴AB ⊥平面EOCC 1，又A 1B 1∥AB ，OC 1⊂平面EOCC 1，故OC 1⊥A 1B 1，(6分)(2)设OE ∩AB 1 ＝D ，则点D 是AB 1的中点，连接CD ， ∴ED ∥AA 1，ED ＝12AA 1，(8分)又CC 1∥AA 1，CC 1＝12AA 1，∴CC 1∥ED ，CC 1＝ED ，∴四边形CC 1ED 是平行四边形，(10分) ∴CD ∥C 1E ，∴CD ∥平面A 1B 1C 1，即存在点D 使得CD ∥平面A 1B 1C 1，点D 是AB 1的中点．(12分)22. (14分)(2013·天津模拟)如图所示，△PAD为等边三角形，四边形ABCD为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD，AB＝2，E，F，G分别为PA，BC，PD的中点，AD＝2 2.(1)求PB与平面ABCD所成的角；(2)求证：AG⊥EF；(3)求多面体P－AGF的体积．取AD中点M，连接PM，BM.∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，等边三角形PAD中，M为AD的中点，∴PM⊥AD，∴PM⊥平面ABCD，∴∠PBM即为所求．(2分)∵PM＝32×2 2＝6，MB＝6，又△PMB为直角三角形，∴∠PBM＝45°，即PB与平面ABCD所成角为45°.(4分) (2)连接EM，MF.∵等边△PAD中，G是PD中点，∴GA⊥PD，△APD中，E是AP的中点，M是AD的中点，∴EM∥PD，∴AG⊥ME.∵平面PAD⊥平面ABCD，交线为AD，MF⊥AD，∴MF⊥平面PAD. (6分)∵AG⊂平面PAD，∴MF⊥AG.∵EM∩MF＝M，∴AG⊥平面EMF，∴AG⊥EF. (9分)(3)VP－AGF ＝VF－AGP＝13MF·S△AGP＝13×2×12×2×6＝.(14分)。

2015年全国高考文科数学试题及答案

2015年全国高考文科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1。

答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答。

若在试题卷上作答,答案无效。

3。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合A=｛x|x=3n+2,n ∈N｝，B=｛6,8,12，14｝,则集合A ⋂B中元素的个数为(A）5 (B）4 （C）3 （D）2(2）已知点A（0，1）,B(3,2），向量AC=(-4，—3），则向量BC=（A）（—7，—4） (B）（7,4）（C）（—1,4）（D）（1，4）（3）已知复数z满足（z—1)i=i+1，则z=（A）—2-I （B)—2+I （C）2-I （D）2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3,4,5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103(B）15(C）110(D）120(5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点，则｜AB｜= （A）3 (B）6 （C)9 （D)12（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为8尺,米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3,估算出堆放斛的米约有A.14斛 B。

2015年全国高考文科数学试题及标准答案

2015年全国高考文科数学试题及标准答案

绝密★启封并使用完毕前2０１５年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项:1. 答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

２. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用２B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用０．５毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。

3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(１）已知集合A={x｜x=３n+2,ｎ∈N}，Ｂ＝{6,8,12,１４｝，则集合A ⋂Ｂ中元素的个数为ﻩ（A)5ﻩ(B）4ﻩﻩ（C）3 （D)2(2）已知点Ａ（0，1）,Ｂ（3,2)，向量AC＝（-4，－3），则向量BC＝（Ａ）（-7，-4）(B）(7,4）（C)(－１,4) (D）(1，4）(3)已知复数z满足(z－1)i=i+１，则z=（A)-2-I （B）-2+I （C)2-Ｉ (D）２+i（4)如果３个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这３个数为一组勾股数,从１,2,3，４，5中任取３个不同的数,则3个数构成一组勾股数的概率为(A）103（B)15(Ｃ）110(Ｄ)120（５）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²＝8x的焦点重合,A,Ｂ是C的准线与E的两个焦点，则|AB｜＝（A）3 (B)6 （Ｃ)9 (Ｄ)12(６)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问：积及为米几何?”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为８尺,米堆的高为５尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为１.６2立方尺,圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有ﻩ A.１4斛 B.22斛Ｃ.36斛 D.66斛（7）已知是公差为1的等差数列，则＝4，=(A)（B）（Ｃ）１0 (D）12(８）函数ｆ(x)＝的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为(A)(k－， k-),ｋ(A）(2k-, ２ｋ-),k。

2015年全国高考文科数学试题及答案

2015年全国高考文科数学试题及答案

绝密★启封并使用完毕前2015年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷1）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷4至6页。

注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷必须用0。

5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效.3。

考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合A={x｜x=3n+2,n ∈N},B=｛6，8,12,14},则集合A ⋂B中元素的个数为（A）5 （B）4 （C)3 （D）2(2）已知点A（0，1),B（3,2)，向量AC=（—4,—3），则向量BC=(A）（—7，—4）（B）（7，4）（C）（—1，4) （D）(1，4)（3）已知复数z满足(z—1)i=i+1,则z=（A）-2—I （B)-2+I （C）2-I （D)2+i（4）如果3个整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2，3，4，5中任取3个不同的数，则3个数构成一组勾股数的概率为（A）103（B）15（C）110（D)120（5）已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y²=8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个焦点,则|AB｜= （A）3 （B）6 （C）9 （D）12(6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。

问:积及为米几何？”其意思为:“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？"已知1斛米的体积约为1。

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——5)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试(11——5)含解析

2015届高三文科数学一轮单元测试（5）第五章 数 列 (时间：120分钟 满分：150分)一、 选择题(每小题5分，共60分)1. (2013·山西诊断)正项等比数列{a n }中，若a 2a 18＝16，则log 2a 10等于 A. 2 B. 4 C. 8 D. 162. (2013·荆州质检)已知数列{a n }是等比数列，a 4＝4，a 7＝12，则公比q 等于A. －12B. －2C. 2D. 123. (2013·全国高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于A. 3B. 4C. 5D. 64. 已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项a n 等于 A. 2n －3 B. 2n ＋1C. 2n －5D. 2n －15. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知 a 2·a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于 A. 334 B. 314C. 172D. 1526. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cosB 等于A. 34B. 23C. 24D. 147. (2013·江西七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于A. 150B. －200C. 150或－200D. 400或－508. (2012·全国高考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于 A. 7 B. 5 C. －5 D. －79. (2013·江南十校联考)已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n≥2)，则log 2(a 2＋b 2)等于A. －1或2B. 0或2C. 2D. 110. 已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n≥2且 n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n 等于A.2nn ＋1 B. n ＋12n C. n ＋1 D. (n ＋1)2n11. (2013·浙江名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S nS n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n∈N *且n≥2)，则a 81等于A. 638B. 639C. 640D. 64112. (2013·昆明调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是A. a 100＝－1，S 100＝5B. a 100＝－3，S 100＝5C. a 100＝－3，S 100＝2D. a 100＝－1，S 100＝2二、 填空题(每小题5分，共20分)13. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，其前n 项和S n 满足S k ＋2－S k ＝24，则k ＝ ．14. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为 ．15. (2013·北京朝阳综合练习)在等比数列{a n }中，2a 3－a 2a 4＝0，则a 3＝ ．{b n }为等差数列，且b 3＝a 3，则数列{b n }的前5项和等于 ．16. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝11a 2a 4，且它的前2n 项的和等于它的前2n 项中偶数项之和的 11倍，则数列{a n }的通项公式a n ＝ ．三、 解答题(共70分)装订线学校 班级 姓名 考号17. (10分)求数列{(2n－1)2}的前n项和S n.18. (10分)(2013·济南模拟)正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a4＝16，且a2，a3的等差中项为S2.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝na2n－1，求数列{b n}的前n项和T n.19. (12分)(2013·江苏高考)设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列(d≠0)，S n是其前n项和．记b n＝nS nn2＋c，n∈N*，其中c为实数．(1)若c＝0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk＝n2S k(k，n∈N*)；(2)若{b n}是等差数列，证明：c＝0.20. (12分)(2013·东北三校模拟)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n＝2a n＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{a n}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n＋23（－1）n为等比数列，并求出{a n}的通项公式．21. (12分)已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，且a1，a2，a4成等比数列，a3＝3.数列{b n}满足b n－b n－1＝a n－1(n≥2，n∈N*)，b1＝a1.(1)求a n和b n；(2)记c n＝1b n＋2n(n∈N*)，若{c n}的前n项和为T n，求T n.22. (14分)在公差不为零的等差数列{a n}中，前四项之和为14，a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n＝[log2(a n－1)]，S n为数列{b n}的前n项和，求S2n.参考答案一、 选择题(每小题5分，共60分)1. (2013〃山西诊断)正项等比数列{a n }中，若a 2a 18＝16，则log 2a 10等于(A)A. 2B. 4C. 8D. 16依题意得，a 2a 18＝a 210＝16，又a 10>0，因此a 10＝4, log 2a 10＝log 24＝2. 2. (2013〃荆州质检)已知数列{a n }是等比数列，a 4＝4，a 7＝12，则公比q 等于(D)A. －12B. －2C. 2D. 12由题知a 7a 4＝q 3＝124＝18，∴q ＝12.3. (2013〃全国高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于(C) A. 3 B. 4 C. 5D. 6m －S m －1＝a m ＝2，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝3，∴d ＝1，S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，解得a 1＝－m －12，a m ＝a 1＋(m －1)d ＝－m －12＋m －1＝2，解得m ＝5.4. 已知等差数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，2a ＋3，则此数列的通项a n 等于(A) A. 2n －3 B. 2n ＋1 C. 2n －5 D. 2n －1依题意得2(a ＋1)＝(a －1)＋(2a ＋3)，解得a ＝0，故首项 a 1＝a －1＝－1，公差d ＝(a ＋1)－(a －1)＝2，故此数列的通项a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3.5. 设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知 a 2〃a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于(B) A. 334 B. 314C. 172D. 152依题意知，a 21q 4＝1，又a 1>0，q>0，则a 1＝1q 2.又S 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝7，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1q －2＝0，因此有q ＝12，a 1＝4，∴S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1251－12＝314.6. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且c ＝2a ，则cos B 等于(A)A. 34B. 23C. 24D. 14∵三边a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac ，又c ＝2a ，∴b ＝2a ，∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝34.7. (2013〃江西七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于(A)A. 150B. －200C. 150或－200D. 400或－50依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30.又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 30－S 20＝40，S 40－S 30＝80，则S 40＝80＋70＝150.8. (2012〃全国高考)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10等于(D) A. 7 B. 5 C. －5 D. －7设数列{a n }的公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5〃a 6＝a 4〃a 7＝－8， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2 或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝－2，a 7＝4， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，a 10＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 10＝－8，∴a 1＋a 10＝－7. 9. (2013〃江南十校联考)已知正项等差数列{a n }满足：a n ＋1＋a n －1＝a 2n (n ≥2)，等比数列{b n }满足：b n ＋1b n －1＝2b n (n ≥2)，则log 2(a 2＋b 2)等于(C)A. －1或2B. 0或2C. 2D. 1由题意可知，a n ＋1＋a n －1＝2a n ＝a 2n ，解得a n ＝2(n ≥2)(由于数列{a n }每项都是正数)，又b n ＋1b n －1＝b 2n ＝2b n (n ≥2)，∴b n ＝2(n ≥2)，log 2(a 2＋b 2)＝log 2 4＝2.10. 已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ≥2且 n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n等于(B)A. 2nn ＋1 B. n ＋12n C. n ＋1 D. (n ＋1)2n由a n ＝12a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ≥2，且n ∈N *)得2n a n ＝2n －1〃a n －1＋1，∴数列{2na n }是首项为2，公差为1的等差数列，∴2na n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，故a n ＝n ＋12.11. (2013〃浙江名校联考)已知每项均大于零的数列{a n }中，首项a 1＝1且前n 项和S n 满足S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1(n ∈N *且n ≥2)，则a 81等于(C)A. 638B. 639C. 640D. 641由已知S n S n －1－S n －1S n ＝2S n S n －1，S n ＞0可得，S n －S n －1＝2，∴{S n }是以1为首项，2为公差的等差数列，故S n ＝2n －1，S n ＝(2n －1)2，∴a 81＝S 81－S 80＝1612－1592＝640.12. (2013〃昆明调研)已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，a 1＝1，a 2＝3，记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则下列结论正确的是(A)A. a 100＝－1，S 100＝5B. a 100＝－3，S 100＝5C. a 100＝－3，S 100＝2D. a 100＝－1，S 100＝2依题意a n ＋2＝a n ＋1－a n ＝－a n －1，即a n ＋3＝－a n ，a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故数列{a n }是以6为周期的数列，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋ a 6)＝0.注意到100＝6×16＋4，因此有a 100＝a 4＝－a 1＝－1，S 100＝16(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝a 2＋a 3＝a 2＋(a 2－a 1)＝2×3－1＝5.二、 填空题(每小题5分，共20分)13. 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2，其前n 项和S n 满足S k ＋2－S k ＝24，则k ＝__5__．数列{a n }的前n 项和S n ＝n ＋n （n －1）2×2＝n 2，由S k ＋2－S k ＝24，可得(k ＋2)2－k 2＝24，解得k ＝5.14. 已知公差不为0的等差数列{a n }满足a 1，a 3，a 4成等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，则S 3－S 2S 5－S 3的值为__2__．设数列{a n }的公差为d ，则(a 1＋2d)2＝a 1(a 1＋3d)，即a 21＋4a 1d ＋4d 2＝a 21＋3a 1d ，解得a 1＝－4d(舍去d ＝0)．S 3－S 2S 5－S 3＝a 3a 4＋a 5＝－4d ＋2d－4d ＋3d －4d ＋4d＝2. 15. (2013〃北京朝阳综合练习)在等比数列{a n }中，2a 3－a 2a 4＝0，则a 3＝__2__，{b n }为等差数列，且b 3＝a 3，则数列{b n }的前5项和等于__10__．在等比数列中2a 3 －a 2 a 4 ＝ 2a 3 －a 23 ＝ 0，解得a 3＝2.在等差数列中b 3＝a 3＝2，∴S 5＝5（b 1＋b 5）2＝5×2b 32＝5b 3＝5×2＝10. 16. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝11a 2a 4，且它的前2n 项的和等于它的前2n项中偶数项之和的 11倍，则数列{a n }的通项公式a n ＝__102－n__．设等比数列{a n }的公比为q ，前2n 项和为S 2n ，前2n 项中偶数项之和为T n ，由题意知q ≠1，则S 2n ＝a 1（1－q 2n ）1－q ，T n ＝a 1q （1－q 2n ）1－q 2.由题意可知S 2n ＝11T n ，即a 1（1－q 2n ）1－q ＝11a 1q （1－q 2n）1－q 2，解得q ＝110(或令n ＝1，则S 2＝11T 1，即a 1＋a 2＝11a 2，化简得a 1＝10a 2，故q ＝110)．又a 3＋a 4＝11a 2a 4，∴a 1q 2＋a 1q 3＝11a 21q 4，化简得 1＋q ＝11a 1q 2，将q ＝110代入可得a 1＝10，故a n ＝a 1q n －1＝110n －2＝102－n.三、 解答题(共70分)17. (10分)求数列{(2n －1)2}的前n 项和S n.∵(2n －1)2＝4n 2－4n ＋1(2分) ∴S n ＝12＋32＋52＋…＋(2n －1)2(4分)＝4(12＋22＋32＋…＋n 2)－4(1＋2＋3＋…＋n)＋n(7分) ＝4×16n(n ＋1)(2n ＋1)－4×12n(n ＋1)＋n ＝13n(4n 2－1)．(10分)18. (10分)(2013〃济南模拟)正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝16，且a 2，a 3的等差中项为S 2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na 2n －1，求数列{b n }的前n 项和T n.设等比数列{a n }的公比为q(q ＞0)，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝16，a 1q ＋a 1q 2＝2（a 1＋a 1q ），解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2.(4分) ∴a n ＝2n.(6分) (2)∵b n ＝n a 2n －1＝n22n －1，∴T n ＝12＋223＋325＋427＋…＋n22n －1，14T n ＝123＋225＋327＋…＋n －122n －1＋n22n ＋1，(8分) ∴34T n ＝12＋123＋125＋127＋…＋122n －1－n 22n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－141－14－n 22n ＋1＝23－4＋3n 3〃22n ＋1，故T n ＝89－4＋3n 9〃22n －1.(10分)19. (12分)(2013〃江苏高考)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记b n ＝nS n n 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d.(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12 d.又b 1，b 2，b 4成等比数列，∴b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.∵d ≠0，∴d ＝2a.因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a.从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(5分)(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋(b 1－d 1－a ＋12d)n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)．(7分)令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c(d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D. (*)在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0， ①19A ＋5B ＋cd 1＝0， ②37A ＋7B ＋cd 1＝0， ③解得A ＝0，B ＝0，cd 1＝0.即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.(9分)若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0，得d ＝0，与题设矛盾，∴d 1≠0.又cd 1＝0，∴c ＝0.(12分)20.在S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)中分别令n ＝1，2，3得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2a 1－1，a 1＋a 2＝2a 2＋1，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 2＝0，a 3＝2.(5分)(2)由S n ＝2a n ＋(－1)n(n ∈N *)得S n －1＝2a n －1＋(－1)n －1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2a n －1－2(－1)n(n ≥2)，a n ＝2a n －1－43(－1)n －23(－1)n ＝2a n －1＋43(－1)n －1－23(－1)n(n ≥2)，∴a n ＋23(－1)n＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a n －1＋23（－1）n －1(n ≥2)．(9分)故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋23（－1）n 是以a 1－23＝13为首项，公比为2的等比数列．∴a n ＋23(－1)n ＝13×2n －1，∴a n ＝13×2n －1－23×(－1)n ＝2n －13－23(－1)n.(12分)21. (12分)已知数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列，a 3＝3.数列{b n }满足b n －b n －1＝a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝a 1.(1)求a n 和b n ；(2)记c n ＝1b n ＋2n(n ∈N *)，若{c n }的前n 项和为T n ，求T n.设数列{a n }的公差为d(d ≠0)，则由a 1，a 2，a 4成等比数列得(a 1＋d)2＝a 1〃(a 1＋3d)，得a 1＝d.又a 3＝3，∴a 1＋2d ＝3d ＝3，得d ＝1，a 1＝1， ∴a n ＝1＋(n －1)〃1＝n.(3分) 又b n －b n －1＝a n －1＝n －1. ∴当n ≥2时，b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋(b n －2－b n －3)＋…＋(b 3－b 2)＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋2＋1＋1，∴b n ＝n （n －1）2＋1＝n 2－n ＋22，又b 1＝a 1＝1满足b n 的公式，∴b n ＝n 2－n ＋22.(7分)(2)∵c n ＝1b n ＋2n ＝2n 2＋3n ＋2＝2（n ＋1）（n ＋2）＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2，(9分)∴T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫14－15＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝1－2n ＋2＝n n ＋2.(12分) 22. (14分)在公差不为零的等差数列{a n }中，前四项之和为14，a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n －1)]，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S 2n.设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14，（a 1＋2d ）2＝a 1（a 1＋6d ），解得d ＝1或d ＝0(舍去)， ∴a 1＝2，故a n ＝n ＋1.(5分)(2)由(1)知a n ＝n ＋1，∴b n ＝[log 2(a n －1)]＝[log 2 n]，[x]表示不超过实数x 的最大整数，当2t≤n<2t ＋1时，[log 2 n]＝t. (7分)S 2n ＝[log 2 1]＋[log 2 2]＋[log 2 3]＋[log 2 4]＋[log 2 5]＋…＋[log 2(2n－1)]＋[log 2 2n] ＝[log 21]＋([log 2 21]＋[log 错误！未找到引用源。

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(陕西卷,含解析)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）文科数学一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（本大题共10小题，每小题5分，共50分）.1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =（ ）A ．[0,1]B ．(0,1]C ．[0,1)D ．(,1]-∞ 【答案】A考点：集合间的运算.2. 某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）A ．93B ．123C ．137D ．167（高中部）（初中部）男男女女60%70%【答案】C 【解析】试题分析：由图可知该校女教师的人数为11070%150(160%)7760137⨯+⨯-=+= 故答案选C 考点：概率与统计.3. 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ） A ．(1,0)- B ．(1,0) C ．(0,1)- D ．(0,1) 【答案】B【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =，所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.4.设10()2,0xx f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则((2))f f -=（ ） A ．1- B ．14 C ．12 D ．32【答案】C考点：1.分段函数；2.函数求值.5. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+【答案】D【解析】试题分析：由几何体的三视图可知该几何体为圆柱的截去一半，所以该几何体的表面积为21121222342πππ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故答案选D考点：1.空间几何体的三视图；2.空间几何体的表面积. 6. “sin cos αα=”是“cos20α=”的（ ）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要 【答案】A考点：1.恒等变换；2.命题的充分必要性.7. 根据右边框图，当输入x 为6时，输出的y =（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．10【答案】D 【解析】试题分析：该程序框图运行如下：6330x =-=>，330x =-=，0330x =-=-<，2(3)110y =-+=，故答案选D .考点：程序框图的识别.8. 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ）A ．||||||a b a b ∙≤B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+D ．22()()a b a b a b +-=- 【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.9. 设()sin f x x x =-，则()f x =（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数 【答案】B 【解析】 试题分析：()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数.故答案选B 考点：函数的性质.10. 设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是（ ）A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q => 【答案】C 【解析】试题分析：1ln 2p f ab===；()ln 22a b a bq f ++==；11(()())ln 22r f a f b ab=+=因为2a b +>()ln f x x =是个递增函数，()2a bf f +>所以q p r >=，故答案选C考点：函数单调性的应用.11. 某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额表所示，如果生产1吨甲乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）A．12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元【答案】D当直线340x y z +-=过点(2,3)A 时，z 取得最大值324318z =⨯+⨯= 故答案选D 考点：线性规划.12. 设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率（ ）A ．3142π+B ． 112π+C ．1142π-D ． 112π-【答案】C 【解析】试题分析：22(1)||1(1)1z x yi z x y =-+⇒=≤⇒-+≤如图可求得(1,1)A ,(1,0)B ，阴影面积等于21111114242ππ⨯-⨯⨯=-若||1z ≤，则y x ≥的概率211142142πππ-=-⨯ 故答案选C考点：1.复数的模长；2.几何概型.填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.13、中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________ 【答案】5考点：等差数列的性质.14、如图，某港口一天6时到18时的谁深变化曲线近似满足函数y ＝3sin(6πx ＋Φ)＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为____________.【答案】8【解析】试题分析：由图像得，当sin()16xπ+Φ=-时min2y=，求得5k=，当sin()16xπ+Φ=时，max3158y=⨯+=，故答案为8.考点：三角函数的图像和性质.15、函数xy xe=在其极值点处的切线方程为____________.【答案】1 ye =-考点：导数的几何意义.16、观察下列等式：1－11 22 =1－11111 23434 +-=+1－11111111 23456456 +-+-=++…………据此规律，第n个等式可为______________________.【答案】11111111 1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++【解析】试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++.故答案为11111111 1234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++考点：归纳推理.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 17．ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，向量()m a =与(cos ,sin )n A B =平行. (I)求A ； (II)若2a b ==求ABC ∆的面积.【答案】(I)3A π=；(II) 2.试题解析：(I)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -=， 又sin 0B ≠，从而tan A =，由于0A π<<所以3A π=(II)解法一：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，而2a b ==，3A π=，得2742c c =+-，即2230c c --=因为0c >，所以3c =，故ABC ∆面积为1sin 2bc A =.解法二：由正弦定理，得2sin sin3Bπ=从而sin 7B =又由a b >知A B >，所以cos B =故sin sin()sin()3C A B B π=+=+sin coscos sin33B B ππ=+=，所以ABC ∆面积为1sin 22ab C =. 考点：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面积.18．如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,2AD BC BAD AB BC π∠==12AD a ==，E 是AD 的中点，O 是OC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，得到四棱锥1A BCDE-.(I)证明：CD ⊥平面1AOC ；(II)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，四棱锥1A BCDE-的体积为，求a 的值.【答案】(I) 证明略，详见解析；(II) 6a =.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE = ，又由(I)知，1A O BE⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O是四棱锥1A BCDE-的高，易求得平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE -的为31136V S A O =⨯⨯=，由33=6a =.(II)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，且平面1A BE平面BCDE BE =又由(I)知，1AO BE ⊥，所以1AO ⊥平面BCDE ，即1A O是四棱锥1A BCDE-的高，由图1可知，122AO AB ==，平行四边形BCDE 面积2S BC AB a =⋅=，从而四棱锥1A BCDE-的为231113326V S AO a a =⨯⨯=⨯⨯=，由3=6a =.考点：1.线面垂直的判定；2.面面垂直的性质定理；3.空集几何体的体积.(I)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(II)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.【答案】(I) 1315； (II) 78.【解析】试题分析：(I)在容量为30的样本中，从表格中得，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是26133015=. (II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为147168=，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.试题解析：(I)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，4月份任选一天，西安市不下雨的概率是1315.(II)称相邻两个日期为“互邻日期对”（如1日与2日，2日与3日等）这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16对，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为78，以频率估计概率，运动会期间不下雨的概率为78.考点：概率与统计.20．如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点(0,1)A -，且离心率为2.(I)求椭圆E 的方程；(II)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点,P Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【答案】(I) 2212x y +=； (II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题意知1c b a ==，由222a b c =+，解得a =为2212x y +=；(II) 设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，化简得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=，则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，由已知∆>， 从而直线AP与AQ的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+化简得12122(2)AP AQ x x k k k k x x ++=+-()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-.试题解析：(I)由题意知1c b a ==，综合222a b c =+，解得a =，所以，椭圆的方程为2212x y +=.(II)由题设知，直线PQ 的方程为(1)1(2)y k x k =-+≠，代入2212x y +=，得22(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=， 由已知0∆>，设()()1122,P x y Q x y ，120x x ≠则1212224(1)2(2),1212k k k k x x x x k k --+==++，从而直线AP 与AQ 的斜率之和121212111122AP AQ y y kx k kx kk k x x x x +++-+-+=+=+121212112(2)2(2)x x k k k k x x x x ⎛⎫+=+-+=+- ⎪⎝⎭()4(1)222(21)22(2)k k k k k k k k -=+-=--=-. 考点：1.椭圆的标准方程；2.圆锥曲线的定值问题. 21. 设2()1,, 2.n n f x x x x n N n =+++-∈≥(I)求(2)n f '；(II)证明：()n f x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n a ），且1120233nna ⎛⎫<-< ⎪⎝⎭. 【答案】(I) (2)(1)21n n f n '=-+ ；(II)证明略，详见解析.【解析】试题分析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++，此式等价于数列1{2}n n -⋅的前n 项和，由错位相减法求得(2)(1)21n n f n '=-+；(II)因为(0)10f =-<，2222()12120333n n f ⎛⎫⎛⎫=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()n f x 在2(0,)3内至少存在一个零点，又1()120n n f x x nx-'=+++>，所以()n f x 在2(0,)3内单调递增，因此，()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ，由于1()11n n x f x x -=--，所以10()11n n n n n a f a a -==--，由此可得1111222n n n a a +=+>故1223n a <<，继而得111112120222333n nn nn a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.试题解析：(I)由题设1()12n n f x x nx -'=+++，所以1(2)1222n n f n -'=+⨯++ ①由22(2)12222nn f n'=⨯+⨯++ ②①-②得21(2)12222n nn f n -'-=++++-2122(1)2112n n n n -=-⋅=---，所以(2)(1)21n n f n '=-+(II)因为(0)10f =-<222133222()112120233313nn n f ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=-=-⨯≥-⨯> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以()n f x 在2(0,)3内至少存在一个零点， 又1()120n n f x x nx -'=+++>所以()n f x 在2(0,)3内单调递增，因此，()n f x 在2(0,)3内有且只有一个零点n a ， 由于1()11nn x f x x -=--，所以10()11nn n n na f a a -==--由此可得1111222n n n a a +=+>故1223n a <<所以111112120222333n nn n n a a ++⎛⎫⎛⎫<-=<⨯=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭考点：1.错位相减法；2.零点存在性定理；3.函数与数列.考生注意：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题是以后的方框涂黑.22. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，,BC DE ⊥垂足为C . (I)证明：CBD DBA ∠=∠ (II)若3,AD DC BC ==O 的直径.【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】试题分析：：(I)因为DE 是O 的直径，则90BED EDB ∠+∠=︒，又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒，又AB 切O 于点B ，得D B A B E D ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠；(II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD ==，又BC =，从而AB =，由222AB BC AC =+，解得4AC =，所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅，解得6AE =，故3DE AE AD =-=，即O 的直径为3.试题解析：(I)因为DE 是O 的直径， 则90BED EDB ∠+∠=︒又BC DE ⊥，所以90CBD EDB ∠+∠=︒ 又AB 切O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠ 所以CBD DBA ∠=∠ (II)由(I)知BD 平分CBA ∠，则3BA ADBC CD ==，又BC =，从而AB =所以4AC == 所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅即26AB AE AD ==，故3DE AE AD =-=， 即O 的直径为3.考点：1.几何证明；2.切割线定理.23. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为132(2x tty⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=.(I)写出C的直角坐标方程；(II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标.【答案】(I)(223x y+-=；(II)(3,0).【解析】试题分析：(I)由ρθ=，得2sinρθ=，从而有22x y+=，所以(223x y+-=(II)设13,22P t⎛⎫+⎪⎝⎭，又C，则PC==，故当0t=时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0).试题解析：(I)由ρθ=，得2sinρθ=，从而有22x y+=所以(223x y+-=(II)设132P t⎛⎫+⎪⎝⎭，又C，则PC==，故当0t=时，PC取得最小值，此时P点的坐标为(3,0).考点：1. 坐标系与参数方程；2.点与圆的位置关系.24. 选修4-5：不等式选讲已知关于x的不等式x a b+<的解集为{|24}x x<<(I)求实数,a b的值；(II)+.【答案】(I)3,1a b=-=；(II)4.【解析】试题分析：(I)由x a b+<，得b a x b a--<<-，由题意得24b ab a--=⎧⎨-=⎩，解得3,1 a b=-=；(II)柯西不等式得+221≤4==，1=即1t=时等号成立，故min4+=.试题解析：(I)由x a b+<，得b a x ba--<<-则24b ab a--=⎧⎨-=⎩，解得3, 1.a b=-=+=≤4===即1t=时等号成立，故min4=考点：1.绝对值不等式；2.柯西不等式.。

2015高三数学文科11月联考试卷(含答案)

2015高三数学文科11月联考试卷(含答案)

2015高三数学文科11月联考试卷(含答案)2015届江淮十校11月联考文科数学试题考试时间120分钟，满分150分第Ⅰ卷选择题（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（）A.4B.2C.8D.12．设集合，，则等于（）A．B.C.D.3．命题“存在”的否定是（）A.任意B.任意C.存在D.任意4.在中，已知，则角A为（）A.锐角B.直角C.钝角D.锐角或钝角5.在中，有如下三个命题：①；②若D为边中点，则；③若，则为等腰三角形．其中正确的命题序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③6.将函数的图像（），可得函数的图像.A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7.已知，则“向量的夹角为锐角”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．若函数满足：存在非零常数，则称为“准奇函数”，下列函数中是“准奇函数”的是（）A.B.C.D.9．已知函数，其中，为参数，且．若函数的极小值小于，则参数的取值范围是（）A.B.C.D.10.设实数满足，则（）A.0B.3C.6D.9第Ⅱ卷非选择题（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.设向量满足：且的夹角是，则_________12.__________13.设，若，则___________14.在中，的对边分别为，若，则此三角形周长的最大值为________15.已知定义在上的函数对任意均有：且不恒为零。

则下列结论正确的是___________①②③④函数为偶函数⑤若存在实数使，则为周期函数且为其一个周期.三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．16.（本题满分12分）已知条件：实数满足，其中；条件：实数满足.(1)若,且“”为真,求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.17.（本题满分12分）设函数，（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数在的最值.18.（本题满分12分）如图，在平面四边形中，.（1）求;（2）若,求的面积.19.（本题满分12分）已知函数,其中是自然对数的底数．(1)证明：是上的奇函数；(2)若函数,求在区间上的最大值.20.（本题满分13分）已知。

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第3题2015届高三文科数学基础题训练119月22日 星期一1、函数32)(-=x x f 零点所在的区间是 （C ）A ．)0,1(-B ．)1,0(C ．)2,1(D ．)3,2( 2、已知等差数列}{n a 中，前5项和155=S ，前6项和216=S ，则前11项和11S =（ C ）A ．64B．36C ．66D ．303、y =的定义域为 [)0,1 .4、已知函数2()cos 12sin ,f x x x x x R =+-∈． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得到的图像再向左平移6π单位，得到的函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值． 解：（1）因为2()cos 12sin 2cos2f x x x x x x =+-=+=)62sin(2π+x , 3分函数f （x ）的最小正周期为T =π． 由≤+≤-6222πππx k 22ππ+k ，Z k ∈，得f （x ）的单调递增区间为6,3[ππππ+-k k ， Z k ∈． 6分（2）根据条件得)(x g =654sin(2π+x ，当∈x 80[π，时，654π+x ∈]34,65[ππ， 所以当x =8π时，min ()g x =- 12分 9月23日 星期二 1、函数()sin(2)4f x x π=-图象的对称轴方程可以是( D )A ．4x π=B ．8x π=C ．4x π=-D ．8x π=-2、函数()323922y x x x x =---<<有（ C ）A ．极大值5，极小值－27B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值 3、如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足 函数sin()y A x B ωϕ=++，(0,00,20)A B ωπϕ>>>-≤<，，则温度变 化曲线的函数解析式为510sin 2084y x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭。

4、已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，设(c o s ,s i n )m B C =-，1(cos ,sin ),2n C B m n =⋅=- .(1)求角A 的大小； (2)若4,ABC b S ∆==求a 的值.解(1)证明∵12m n ⋅=- ∴ 1cos cos sin sin 2B C C B -=- 即1cos()2B C +=-又(0,)B C π+∈,∴B C +=120 ∴ A=60………6分（2）∵4,ABC b S ∆==∴14sin 602ABC S c ∆=⨯⨯⨯= ∴2c = ……9分由余弦定理得2222212cos 60422422a b c bc =+-=+-⨯⨯⨯ =12 ∴a =………12分9月24日 星期三1、已知i 为虚数单位, 若复数11z i =-，22z i =+，则12z z ⋅=（ B ） A ．3i - B ．13i - C ．1i + D ．22i +2、已知数列{}n a 的通项为21,n n a n S =-为数列{}n a 的前n 项和，令1n n b S n=+，则数列{}n b 的前n 项和的取值范围为（ A ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1(,1)2C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭3、等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是11．4、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==， （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．解析：（1）由121n n a S +=+----①得121n n a S -=+----②， ①-②得112()n n n n a a S S +--=-，113,3n n n n a a a -+∴=∴=；5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-； -（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--， 311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即363n n k -∴≥对*n N ∈恒成立， 令363n n n c -=，11363927333n n nn nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．9月25日 星期四1、已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（ B ）A B C ．5 D ．132、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ B ）A ．12-B ．12C ．2-D ．23、设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m －3m，则m 的取值范围是(-∞，1)(0- ，3)。

4、宜昌市2010年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长5%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米. 以2010年为第一年，那么,到哪一年底,（Ⅰ）该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米? （Ⅱ）所有建造的中低价房的面积占建造总住房面积的比例首次大于75%?（附:可参考数据：234561.05 1.103,1.05 1.158,1.05 1.216,1.05 1.276;1.05 1.340=====） 解 (1)设中低价房面积形成数列{}n a ,由题意可知{}n a 是等差数列,其中1250,50a d ==,则21250(1)50252252n S n n n n n =+-⨯=+， 令2252254750n n +≥,即291900n n +-≥,而n 是正整数, 10n ∴≥.到2019年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.第n 年所建造的中低价房面积为{}n a ，新建住房面积为{}n b ，n 年内新建住房总面积为n S ，中低价住房总面积为n T ，则50200n a n =+，1400 1.5n n b -=⨯，所以21400400 1.05400 1.05400 1.058000(1.051)n n n S -=+⨯+⨯++⨯=-22503003505020025225n T n n n =+++++=+ ，依题意：0.75n n T S >，28000(1.051)0.7525225n n n ∴-⨯<+1,2,3n =时，0.75n n T S <，4n =时，0.75n n T S >到2013年底所有建造的中低价房的面积占建造总住房面积的比例首次大于75% 9月26日 星期五1、已知命题1:(0,),p x x a x∀∈+∞+>，则“a <p 为真命题”的（A ）A ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件2、已知定义在R 上的偶函数y=()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，当[0,1]x ∈时，2()f x x =，则方程()ln |1|0f x x --=的根的个数为（ C ）A ．4B ．5C ．6D ．83、已知下列命题：（1）已知函数()1pf x x x =+-（p 为常数且0p >），若()f x 在区间(1,)+∞的最小值为4，则实数p 的值为94； （2）[0,],sin cos 2x x x π∃∈+>3）正项等比数列{}n a 中：468a a =，函数357()()()()f x x x a x a x a =+++，则(0)162f '=（4）若数列{}n a 的前n 项和为221n S n n =-+，且21n n b a =+，则数列{}n b 前n 项和为242n T n n =-+. 上述命题中正确的序号是（1）（3）（4）。

4、3212().33y x f x x bx =--=-已知直线与曲线相切 (1)b 求的值；212(2)()(0,),,f x x m x x =++∞若方程在上有两个解求：①m 的取值范围； ②121293()x x x x ++比较与的大小第3题2015届高三文科数学基础题训练119月1日 星期一1、函数32)(-=x x f 零点所在的区间是 （ ） A ．)0,1(- B ．)1,0( C ．)2,1( D ．)3,2(2、已知等差数列}{n a 中，前5项和155=S ，前6项和216=S ，则前11项和11S =（ ）A ．64B ．36C ．66D ．303、y =的定义域为 .4、已知函数2()cos 12sin ,f x x x x x R =+-∈． （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数()y f x =的图像上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得到的图像再向左平移6π单位，得到的函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值．9月2日 星期二 1、函数()sin(2)4f x x π=-图象的对称轴方程可以是( )A ．4x π=B ．8x π=C ．4x π=-D ．8x π=-2、函数()323922y x x x x =---<<有（ ）A ．极大值5，极小值－27B ．极大值5，极小值－11C ．极大值5，无极小值D ．极小值－27，无极大值3、如图，已知某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数sin()y A x B ωϕ=++，(0,00,20)A B ωπϕ>>>-≤<，，则温度变 化曲线的函数解析式为 。

4、已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，设(c o s ,s i n )m B C =-，1(cos ,sin ),2n C B m n =⋅=- .(1)求角A 的大小； (2)若4,ABC b S ∆==求a 的值.9月3日 星期三1、已知i 为虚数单位, 若复数11z i =-，22z i =+，则12z z ⋅=（ ）A ．3i -B ．13i -C ．1i +D ．22i +2、已知数列{}n a 的通项为21,n n a n S =-为数列{}n a 的前n 项和，令1n n b S n=+，则数列{}n b 的前n 项和的取值范围为（ ）A ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1(,1)2C ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭3、等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．4、数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==， （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围．9月4日 星期四1、已知向量p ()2,3=-,q (),6x =,且//p q ，则+p q 的值为（ ）A B C ．5 D ．132、曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12C ． D3、设周期函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若()f x 的最小正周期为3，且满足(1)f ＞－2，(2)f ＝m －3m，则m 的取值范围是 。

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