大学高数课件 7.2 第二节 二重积分的计算ver1

第二节 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
一、利用直角坐标系计算二重积分
如果积分区域为： a x b, ［X－型］
y 2 ( x )
1 ( x ) y 2 ( x ).
y 2 ( x )
D
y 1 ( x )
a
b
D
( ) d 0 f ( r cos , r sin )rdr. 2 d ( ) f ( r cos , r sin )rdr.

0

0
（在积分中注意使用对称性）
思考题
设 f ( x ) 在[0,1] 上连续，并设 f ( x )dx A ， 求 0dx x f ( x ) f ( y )dy .
ri ri i ,
o
i i
i
D
i
A
f ( x, y)dxdy f ( r cos , r sin )rdrd .
D D
二重积分化为二次积分的公式（１）
区域特征如图
r 1 ( )
r 2 ( )
,
2 2 D 是由直线 2、 ( x y x )d 其中
D
y 2, y x及 y 2 x 所围成的闭区域.
D
3、
f ( x , y)d
D
2 0
dx
x
cos y ( x )( x y ) 2
0
dy
。
4、
D
y x 2 dxdy, 其中D : 1 x 1,0 y 2 .
D3
D1
D2

D
.
D1 D2 D3
例1：计算 xydxdy 其中D由x=0,y=0,x+y=1围成。
D
例2：计算 e d , D：x 0, y 1, y x围成。
y2
例3：设f ( x, y)在D上连续，将I f ( x, y )dxdy
D : 0 x 1,0 y 1.
D
练习题
2 、 x cos( x y )d _______________.其中D 是顶
( , ) 的三角形闭区域 . 点分别为 ( 0,0 ) ，( ,0) ，
D
x 轴及半圆周 3 、将二重积分 f ( x , y )d ,其中D 是由
解 根据对称性有 D 4 D1
在极坐标系下
D1
x y a r a,
2 2 2
( x 2 y 2 )2 2a 2 ( x 2 y 2 ) r a 2 cos 2 ,
r a 2 cos 2 由 , ra
得交点 A ( a, ) , 6
所求面积 dxdy 4 dxdy
c
d
2 ( y )
1 ( y )
f ( x , y )dx［ . Y－型］
（在积分中要正确选择积分次序）
二重积分在极坐标下的计算公式
f (r cos , r sin )rdrd D d f ( r cos , r sin )rdr .
2 ( ) 1 ( )
D
1 ( ) r 2 ( ).
o


A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d


2 ( )
1 ( )
f ( r cos , r sin )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（２）
区域特征如图
r ( )
,
y 1 ( x )
a
b
其中函数 1 ( x ) 、 2 ( x ) 在区间 [a , b] 上连续.
f ( x , y )d 的值等于以 D 为底，以曲面 z
D
f ( x , y ) 为曲顶柱体的体积．
z
z f ( x, y)
应用计算“平行截 面面积为已知的立 体求体积”的方法,
1 1
0 1
思考题解答


1
x
f ( y )dy 不能直接积出, 改变积分次序.
令 I dx
0

1 0
1
1
1
x
f ( x ) f ( y )dy ,
y
则原式 dy

0
0
f ( x ) f ( y )dx .
x
f ( x )dx f ( y )dy,
0
故2 I
f ( x )dx
D
其中D：x y 2 x 0围成。
2 2
例4：计算 xydxdy,
D
其中D：x 2 y 2 2 x, x 2 y 2 1且y 0。
y 1.计算 x sin d , 其中D：y=x,y=0,x=1围成。 x D
2.计算 xyd , 其中D：y=x-4,y =2x围成。
D
例9 求 xydxdy ，其中 D 是由直线 y x 1 及
y 2 2 x 6 所围成的闭区域.
D
例 10 求两个底圆半径相等的直交圆柱面 x 2 y 2 R 2 及 x 2 z 2 R 2 所围成的立体 的体积.
二、利用极坐标系计算二重积分
1 1 2 2 i ( ri ri ) i ri i 2 2 r ri ri 1 r ri ( 2ri ri )ri i 2 ri ( ri ri ) ri i 2
0 r ( ).

o
D

A
f (r cos , r sin )rdrd
D
d


( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
二重积分化为二次积分的公式（３）
区域特征如图
0 2,
0 r ( ).
r ( )
2 D
3.计算 xd , 其中D：x +y x
2 2 D
例 求由下列曲面所围成的立体体积， z x y ， z xy ， x y 1， x 0 ， y 0 .
解 曲面围成的立体如图.
所围立体在 xoy 面上的投影是
0 x y 1, x y xy,
所求体积V ( x y xy)d
D
0 dx 0 ( x y xy)dy
1
1 x
1 7 3 0 [ x(1 x ) (1 x ) ]dx . 24 2
1
例 求曲线 ( x 2 y 2 ) 2 2a 2 ( x 2 y 2 ) 和 x 2 y 2 a 2 所围成的图形的面积.
D
D1
4 d
0
6
a 2 cos 2
a
rdr
a ( 3 ). 3
2
三、小结
二重积分在直角坐标下的计算公式
f ( x, y )d dx
D a
b
2 x , y )dy. ［X－型］

D
f ( x , y )d dy
D
D
化为两种积分次序下的二次积分。 1.D：y =4x与y=x围成。 2.D：y=x,x=2及xy=1(x>0)围成。
2
例4：交换积分次序： [
0
1
1+ 1-y2
y
f(x,y)dx]dy
例5：计算 min x, y dxdy 其中D： 0 x 3,0 y 1
D
例6：设f ( x, y)为连续函数，且f ( x, y)＝xy f (u, v)dudv，
0
1
1
x
f ( y )dy f ( x )dx f ( y )dy
0 0 x
1
x
f ( x )dx[(
0 1 0 0
1
0
) f ( y )dy]
x
1
f ( x )dx f ( y )dy A2 .
1
一、填空题: 1 、 ( x 3 3 x 2 y y 3 )d ________________.其中
2
2.D : x y 1位于第一象限部分。
2 2
问题：什么情况下用极坐标比较简单：
1.积分区域是中心在坐标轴上的圆域或部分圆域；
y 2. f 以x +y ，，xy为中间变量。 x
2 2
例2：计算 e
D
( x2 y 2 )
dxdy,
其中D：x 2 y 2 a 2 ( x 0, y 0)。 例3：计算 x 2 y 2 d ,
D
其中D：y 0, y x , x 1围成，求f ( x, y)。
2
例7：计算I
D
1 x y
2 2
dxdy, 其中D：x y 4.
2 2
例 8 求 ( x 2 y )dxdy ，其中 D 是由抛物线
y 2 x 2 及 y 1 x 2 所围成的闭区域.
D
o
A
f (r cos , r sin )rdrd
d
0
D
2
( )
0
f ( r cos , r sin )rdr .
极坐标系下区域的面积
rdrd .
D
例1：把 f(x,y)dxdy化为极坐标下的二次积分：
D
1.D : y x , y 0, x 1围成；