江苏省八年级数学上册 第20讲 勾股定理的使用课后练习 苏科版
苏科版八年级数学上册《3.3-勾股定理的简单应用》同步练习题(含答案)
苏科版八年级数学上册《3.3 勾股定理的简单应用》同步练习题(含答案)一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是( )A. 3尺B. 4尺C. 5尺D. 6尺2.如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑多少米？( )A. 0.4B. 0.6C. 0.7D. 0.83.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为( )A. x2−6=(10−x)2B. x2−62=(10−x)2C. x2+6=(10−x)2D. x2+62=(10−x)24.将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度ℎcm，则ℎ的取值范围是( )A. ℎ≤17cmB. ℎ≥8cmC. 15cm≤ℎ≤16cmD. 7cm≤ℎ≤16cm5.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米(即DE=3米)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为( )A. 1米B. √ 2米C. 2米D. 4米6.一辆装满货物，宽为2.4米的卡车，欲通过如图的隧道，则卡车的外形高必须低于( )A. 4.1米B. 4.0米C. 3.9米D. 3.8米7.如图，王大伯家屋后有一块长12m，宽8m的长方形空地，他在以长边BC为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用( )A. 3mB. 5mC. 7mD. 9m8.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( )A. 9B. 6C. 4D. 39.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读kǔn，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸)，则AB的长是( )A. 50.5寸B. 52寸C. 101寸D. 104寸二、填空题10.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米.一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行米.11.如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是dm．12.如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到点D，则橡皮筋被拉长了_____cm．13.《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈=10尺)，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是_________尺．14.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB=2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则AD=_____米．15.在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的索，划过90°的弧到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN=______．16.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了_____米.(假设绳子是直的)三、解答题17.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/ℎ.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：1m/s=3.6km/ℎ)18.如图，为了测量池塘的宽度DE，在池塘周围的平地上选择了A、B、C三点，且A、D、E、C四点在同一条直线上∠C=90°，已测得AB=100m，BC=60m，AD=20m，EC=10m，求池塘的宽度DE．19.如图所示的一块地∠ADC=90°，AD=4m，CD=3m，AB=13m，BC=12m，求这块地的面积．20.由于大风，山坡上的一棵树甲被从A点处拦腰折断，如图所示，其树顶端恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB=4米，BC=13米，两棵树的水平距离为12米，求这棵树原来的高度．21.在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB=AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得CB=3千米CH=2.4千米，HB=1.8千米．(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路？(即问：CH与AB是否垂直？)请通过计算加以说明；(2)求原来的路线AC的长．答案和解析1.【答案】B【解析】解：设杆子折断处离地面x尺，则斜边为(9−x)尺根据勾股定理得：x2+32=(9−x)2解得：x=4．故选：B．杆子折断后刚好构成一直角三角形，设杆子折断处离地面x尺，则斜边为(9−x)尺．利用勾股定理解题即可．此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．2.【答案】D【解析】解：∵AB=2.5米，AC=0.7米∴BC=√ AB2−AC2=2.4(米)∵梯子的顶部下滑0.4米∴BE=0.4米∴EC=BC−0.4=2米∴DC=√ DE2−EC2=1.5米．∴梯子的底部向外滑出AD=1.5−0.7=0.8(米)．故选：D．首先在直角三角形ABC中计算出CB长，再由题意可得EC长，再次在直角三角形EDC中计算出DC长，从而可得AD的长度．此题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，关键是掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．3.【答案】D【解析】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10−x，BC=6在Rt△ABC中AC2+BC2=AB2，即x2+62=(10−x)2．故选：D．根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x尺，再利用勾股定理列出方程即可．本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．4.【答案】D【解析】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长∴ℎ=24−8=16cm；当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短在Rt△ABD中AD=15，BD=8，∴AB=√ AD2+BD2=17∴此时ℎ=24−17=7cm所以ℎ的取值范围是7cm≤ℎ≤16cm．故选D．如图，当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后分别利用已知条件根据勾股定理即可求出ℎ的取值范围．本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5.【答案】A【解析】本题主要考查的是勾股定理的应用的有关知识，作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F根据题意得：AB=AC=5米，CF=DE=3米由勾股定理可得AF2+CF2=AC2∴AF=√ AC2−CF2=√ 52−32=4(米)∴BF=AB−AF=5−4=1(米)∴此时木马上升的高度为1米．故选A．6.【答案】A【解析】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出CD的长是解题关键．根据题意欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度比车高即可，根据勾股定理得出CD的长，进而得出CH的长，即可得出答案．【解答】解：∵车宽2.4米∴欲通过如图的隧道，只要比较距隧道中线1.2米处的高度与车高．在Rt△OCD中，由勾股定理可得：CD2=OC2−OD2=22−1.22=1.62(m)CD=1.6mCH=CD+DH=1.6+2.5=4.1米∴卡车的外形高必须低于4.1米．故选：A．7.【答案】A【解析】此题考查了勾股定理的应用，确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．为了不让羊吃到菜，必须小于等于点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6，AB=8，所以根据勾股定理得OA=10.那么AE的长即可解答．【解答】解：连接OA，交半圆O于E点在Rt△OAB中OB=6，AB=8所以OA2=OB2+AB2=102；又OE=OB=6所以AE=OA−OE=4．因此选用的绳子应该小于4m，排除B、C、D选项故选A．8.【答案】D【解析】本题考查勾股定理的应用完全平方公式的应用本题属于基础题型．由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与中间小正方形面积的和列出等式即可求出小正方形的边长．【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a−b∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8=4∴4×12ab+(a−b)2=25∴(a−b)2=25−16=9∵a>b∴a−b=3即中间小正方形的边长为3．故选D．9.【答案】C【解析】本题考查了勾股定理的应用弄懂题意构建直角三角形是解题的关键．构造直角三角形根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：过D作DE⊥AB于E如图2所示：由题意得：OA=OB=AD=BC设OA=OB=AD=BC=rCD=1寸AE=(r−1)寸则AB=2r DE=10寸OE=12在Rt△ADE中AE2+DE2=AD2即(r−1)2+102=r2解得：r=50.5∴2r=101∴AB=101寸故选：C．10.【答案】10【解析】本题考查正确运用勾股定理善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行所行的路程最短运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图过点B作BC⊥AC于C在Rt△ABC中由勾股定理得AB2=AC2+BC2=62+82=102∴AB=10米即小鸟至少飞行10米.11.【答案】25【解析】本题考查了平面展开−最短路径问题用到台阶的平面展开图只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．先将图形平面展开再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可．【解答】解：如图所示．∵三级台阶平面展开图为长方形长为20dm宽为(2+3)×3=15dm∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm由勾股定理得：x2=202+152=252解得：x=25．故答案为：25．12.【答案】2【解析】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．根据勾股定理可求出AD BD的长则AD+BD−AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：AD=BDRt△ACD中AC=1AB=4cm CD=3cm；2根据勾股定理得：AD=√ AC2+CD2=5cm；∴AD+BD−AB=2AD−AB=10−8=2cm；故橡皮筋被拉长了2cm．故答案为2．13.【答案】3.2【解析】此题考查了勾股定理的应用解题的关键是利用题目信息构造直角三角形从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成一直角三角形设竹子折断处离地面x尺则斜边为(10−x)尺利用勾股定理解题即可．【解答】解：设竹子折断处离地面x尺则斜边为(10−x)尺根据勾股定理得：x2+62=(10−x)2．解得：x=3.2∴折断处离地面的高度为3.2尺故答案为3.2．14.【答案】1.5【解析】本题考查了勾股定理的应用解题的关键是作出辅助线构造直角三角形利用勾股定理求得线段AD的长度．过点D作DE⊥AB于点E构造Rt△ADE利用勾股定理求得AD的长度即可．【解答】解：如图过点D作DE⊥AB于点E∵AB=2.5米BE=CD=1.6米ED=BC=1.2米则AE=AB−BE=2.5−1.6=0.9(米)．在Rt△ADE中由勾股定理得到：AD=√ AE2+DE2=√ 0．92+1．22=1.5(米)故答案是：1.5．15.【答案】2米【解析】解：作AE ⊥OM BF ⊥OM∴∠OEA =∠BFO =90°∵∠AOE +∠BOF =∠BOF +∠OBF =90°∴∠AOE =∠OBF在△AOE 和△OBF 中{∠OEA =∠BFO∠AOE =∠OBF AO =OB,∴△AOE ≌△OBF(AAS)∴OE =BF AE =OF∵CM =AE MD =BF ．即OE +OF =AE +BF =CM +MD =CD =17米∴2EO +EF =17∵EM =AC =10米 FM =BD =3米．∵EF =EM −FM =AC −BD =10−3=7(米)∴2EO =10∴OE =5(米) OF =7+5=12(米)∴OM =OF +FM =15(米)∵OE =5米 AE =OF =12米 ∠OEA =90°∴根据勾股定理 OA =√ AE 2+OE 2 =13(米)又∵ON =OA =13米∴MN =OM −ON =15−13=2(米)．答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN 为2米．故答案为：2米．首先得出△AOE ≌△OBF(AAS) 进而得出OE 的长 进而求出OM MN 的长即可．此题主要考查了勾股定理的应用以及全等三角形的应用 正确得出△AOE ≌△OBF 是解题关键． 16.【答案】9【解析】此题考查勾股定理的应用 解决的关键是熟练掌握在直角三角形中 两直角边的平方和等于斜边的平方．【解答】解：根据题意AC=8BC=17根据勾股定理可得AC2+AB2=BC2即82+AB2=172解得AB=15有人用绳子拉船靠岸开始时绳子BC的长为17米此人以1米每秒的速度收绳7秒后绳子长为17−1×7=10则此时AD=√ 102−82=6所以船向岸边移动AB−AD=15−6=9m故答案为9．17.【答案】解：在Rt△ABC中AC=30m AB=50m；据勾股定理可得：BC=√ AB2−AC2=√ 502−302=40(m)∴小汽车的速度为v=40=20(m/s)=20×3.6(km/ℎ)=72(km/ℎ)；2∵72(km/ℎ)>70(km/ℎ)；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．【解析】本题求小汽车是否超速其实就是求BC的距离直角三角形ABC中有斜边AB的长有直角边AC的长那么BC的长就很容易求得根据小汽车用2s行驶的路程为BC那么可求出小汽车的速度然后再判断是否超速了．本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题可把条件和问题放到直角三角形中进行解决．要注意题目中单位的统一．18.【答案】解：在Rt△ABC中AC=√ AB2−BC2=√ 1002−602=80(m)所以DE=AC−AD−EC=80−20−10=50(m)∴池塘的宽度DE为50米．【解析】本题考查了勾股定理的应用将数学知识与生活实际联系起来是近几年中考考点之一．根据已知条件在直角三角形ACB中利用勾股定理求得AC的长用AC减去AD CE求得DE即可．19.【答案】解：连接AC∵∠ADC=90°AD=4CD=3∴AC=5．由AB=13BC=12可得AC2+BC2=AB2∴△ABC是直角三角形∴S△ABC=30S△ACD=630−6=24(m2).故这块地的面积为24m2．【解析】此题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点难度不大解答此题的关键是连接AC 求出三角形ABC的面积再减去三角形ACD的面积即可．连接AC由AD=4m CD=3m∠ADC=90°利用勾股定理可求出AC的长再根据AB=13m BC=12m利用勾股定理的逆定理可证△ACB为直角三角形即可求出这块地的面积．20.【答案】解：如图所示：延长AB过点C作CD⊥AB交AB延长线于点D由题意可得：BC=13m DC=12m故BD 2=BC2−CD2=132−122=25∵BD>0则BD=5m即AD=AB+BD=9m则AC2=AD2+CD2=92+122=225∵AC>0则AC=15m故AC+AB=15+4=19(m)．答：这棵树原来的高度是19米．【解析】本题主要考查了勾股定理的实际应用得出BD的长是解题关键属于中档题．首先构造直角三角形进而求出BD的长进而求出AC的长即可得出答案．21.【答案】解：(1)是理由是：在△CHB中∵CH2+BH2=2.42+1.82=9BC2=9∴CH2+BH2=BC2∴CH⊥AB所以CH是从村庄C到河边的最近路；(2)设AC=x千米在Rt△ACH中由已知得AC=x千米AH=(x−1.8)千米CH=2.4千米由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x−1.8)2+2.42解得x=2.5答：原来的路线AC的长为2.5千米．【解析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可；(2)根据勾股定理解答即可．此题考查勾股定理及勾股定理的逆定理的应用关键是熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理．。
苏科版数学 八年级上册 3.3 勾股定理的简单应用 课后练习题
一、单选题1. 如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米2. 如图所示，要在离地面5m处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L1=5.2m，L2=6.2m，L3=7.8m，L4=10m四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用()A．L1B．L2C．L3D．L43. 一架5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角3m，如果梯子的顶端沿墙下滑1m，那么梯脚移动的距离是（）A．0.5m B．0.8m C．1m D．1.2m4. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD 的长为()A．4 B．5 C．6 D．85. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与一边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．则这根芦苇长为（）A．12尺B．13尺C．6尺D．7尺二、填空题6. 如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．7. 一个直角三角形的三边长为三个连续的整数，则这个直角三角形的斜边长为___________.8. 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何，意思是：一根竿子横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去，则竿长是______尺．三、解答题9. 本题分为A，B两题，可以自由选择一题，你选择题A：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m，则旗杆的高度为多少米？B：如图，AB为一棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B，再由B跑到C，已知两只猴子所经路程都是16m，求树高AB．10. 某校八年级学生准备测量校园人工湖的深度，他们在保证安全的情况下把一根竹竿AB垂直插到离湖边3dm的水底（即），只见竹竿高出水面OC的距离，把竹竿的顶端拉向湖边（底端不变），竿顶A和湖沿的水面C处平齐（即），求湖水的深度OB和竹竿AB的长．11. 如图，A 市气象站测得台风中心在 A 市正东方向800 千米的B处，以50千米/时的速度向北偏西60的 BF方向移动，距台风中心500千米范围内是受台风影响的区域．（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？。
苏科版八年级数学上册2.1.2 勾股定理(2)(含答案)-
2.1.2 勾股定理（2）目标与方法1．通过拼图等数学活动，进一步验证勾股定理．2．能利用勾股定理进行有关计算．基础与巩固1．（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°．①若AB=41，AC=9，则BC=_______； ②若AC=1.5，BC=2，则AB=______，△ABC 的面积为________．（2）如图，以直角三角形三边为直径的三个半圆面积A 、 B 、 C 之间的关系是：___________．2．如图，在一个长方形木板上截下△ABC ，使AC=6cm ，BC=8cm ，则截线AB 有多长？若过点C 向AB 作高，则点C 到AB 的距离是多少？C AB3．4个全等的直角三角形的直角边分别为a 、b ，斜边为c ．现把它们适当拼合， 可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？ 请试一试．ca b拓展与延伸4．一个长为10m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．（1）如果梯子的顶端下滑1m ，那么梯子的底端也将下滑1m 吗？说明你的方法；CA B（2）如果梯子的顶端下滑2m呢？说说你的理由．10m8m5．如图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm．你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？请试一试．CDBA后花园智力操从课本上，我们已经知道，中国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”（弦图），由形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明．他利用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范．据说，在古印度，也有人利用如下的拼图证明了勾股定理．他是如何证明的呢？试一试，看看你能否对此作出解释．cba答案1．（1）①40；②2.5；1.5 （2）A+B=C 2．cm 2453．由图可知，边长为a 、b 的正方形的面积之和等于边长为c 的正方形的面积4．（1）底端下滑不止1米；（2）底端也下滑2 米 5．49cm 2。
最新苏科版八年级数学上册勾股定理(含解析)
勾股定理一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c 的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD的长（）A．2 B．3 C．4 D．53．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝9，BC＝4，则正方形ABDE 的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．72 4．在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（）A．7 B．8 C．9 D．10 5．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9 B．C．D．36．如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF 平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36 B．9 C．6 D．18 7．若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 8．2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（）A．2 B．0.5 C．13 D．1二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为．10．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝．11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC 三边为直径作半圆，则阴影部分面积为．14．如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为．15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．16．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为．三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE ＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．18．如图，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．19．阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．20．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，所以4ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．21．【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为、（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是（等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．22．如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC ＝15，DB＝9．（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．答案与解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2020春•江苏省沛县期中）两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为（）A．（a+b）2＝c2 B．（a﹣b）2＝c2 C．a2﹣b2＝c2 D．a2+b2＝c2【分析】用两种方法求图形面积，一是直接利用梯形面积公式来求；一是利用三个三角形面积之和来求．【解析】根据题意得：S（a+b）（a+b），S ab ab c2，（a+b）（a+b）ab ab c2，即（a+b）（a+b）＝ab+ab+c2，整理得：a2+b2＝c2．故选：D．2．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AE为△ABC的角平分线，且ED⊥AB，若AC＝6，BC＝8，则BD 的长（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】根据勾股定理和角平分线的性质解答即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB，AB=10∵AE为△ABC的角平分线，ED⊥AB，∴CE＝ED，∴△ACE≌△ADE（AAS），∴AD＝AC＝6，∴BD＝10﹣6＝4，故选：C．3．（2019秋•江苏省常州期中）如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AC ＝9，BC＝4，则正方形ABDE的面积为（）A．18 B．36 C．65 D．72【分析】首先利用勾股定理求出AB的长，再利用正方形面积求法得出即可．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝4，∴AB，则正方形ABDE的面积为：AB＝65．故选：C．4．（2019秋•江苏省新吴区期中）在直角三角形中，若直角边为6和8，则斜边为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】在直角三角形中，已知两直角边为6、8，则根据勾股定理即可计算斜边的长度．【解析】在直角三角形中，根据勾股定理：两直角边的平方和为斜边的平方，设斜边为c∴c²10²，c=1故选：D．5．（2019秋•江苏省沭阳县期中）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9 B．C．D．3【分析】先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：AB2＝AC2+BC2，进而可将阴影部分的面积求出．【解析】在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝3，设AE=EC=a，CF=BC=b，AD=BD=c，则AC²=2a²，BC²=2b²，AB²=2c²，S阴影＝S△AEC+S△BFC+S△ADB22c2（AC2+BC2+AB2）AB232．故选：B．6．（2019秋•江苏省建湖县期中）如图，∠ACD是△ABC的外角，CE平分∠ACB，交AB于E，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC、CF于M、F，若EM＝3，则CE2+CF2的值为（）A．36 B．9 C．6 D．18【分析】根据角平分线的定义可以证明出△CEF是直角三角形，再根据平行线的性质以及角平分线的定义证明得到EM＝CM＝MF 然后求出EF的长度，然后利用勾股定理列式计算即可求解．【解析】∵CE平分∠ACB交AB于E，CF平分∠ACD，∴∠1＝∠2∠ACB，∠3＝∠4∠ACD，∴∠2+∠3（∠ACB+∠ACD）＝90°，∴△CEF是直角三角形，∵EF∥BC，∴∠1＝∠5，∠4＝∠F，∴∠2＝∠5，∠3＝∠F，∴EM＝CM，CM＝MF，∵EM＝3，∴EF＝3+3＝6，在Rt△CEF中，CE2+CF2＝EF2＝62＝36．故选：A．7．（2019秋•江苏省金台区校级期中）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，则该直角三角形的第三边长的平方为（）A．25 B．7 C．25或7 D．25或16 【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵a2﹣6a+9+|b﹣4|＝0，∴（a﹣3）2＝0，b﹣4＝0，∴a＝3，b＝4，∴直角三角形的第三边长的平方5，或直角三角形的第三边长的平方，∴直角三角形的第三平方为25或7，故选：C．8．（2019秋•江苏省吴中区期中）2002年国际数学家大会在北京召开，大会选用了赵爽弦图作为会标的中心图案．如图，由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是25，直角三角形较长的直角边长是a，较短的直角边长是b，且（a+b）2的值为49，那么小正方形的面积是（）A．2 B．0.5 C．13 D．1【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝49，大正方形的面积为25，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．【解析】∵（a+b）2＝49，∴a2+2ab+b2＝49，∵大正方形的面积为25，∴2ab＝49﹣25＝24，∴小正方形的面积为25﹣24＝1．故选：D．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）9．（2020春•泰兴市校级期中）一直尺与一缺了一角的等腰直角三角板如图摆放，若∠1＝53°，则∠2的度数为98°．【分析】根据邻补角得出∠3，进而利用等腰直角三角形得出∠4，应用平行线的性质和四边形的内角和解答即可．【解析】如图所示：由题意可得：∠4＝45°，∵∠1＝53°，∴∠3＝127°，∴∠5＝360°﹣90°﹣45°﹣127°＝98°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠5＝98°，故答案为：98°10．（2019秋•江苏省宿豫区期中）在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，AC＝ 5 ．【分析】在△ABC中，∠C＝90°，则AB2＝AC2+BC2，根据题目给出的BC＝12，AB＝13，根据勾股定理可以求AC的长．【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AB＝13，∴AC5．AC=5故答案为：5．11．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、AB为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则Rt△ABC的面积为 6 ．【分析】由正方形的面积和勾股定理得出AC2+BC2＝AB2，可求BC的长，再根据三角形面积公式即可求解．【解析】∵∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，∴9+BC2＝25，∴BC2＝25﹣9＝16，∴BC＝4，∴Rt△ABC的面积＝42＝6．故答案为：6．12．（2019秋•江苏省宿豫区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，AD⊥BC，垂足为D，则AD的长为．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，再利用三角形面积公式得出AB•AC BC•AD，即可求出AD．【解析】∵∠BAC＝90°，AC＝16，BC＝20，∴AB144，AB=12∵S△ABC AB•AC BC•AD，∴12×1620AD，∴AD．故答案为：．13．（2019秋•江苏省亭湖区校级期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为 6 ．【分析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，证明S1+S2＝S3；推出S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，由此即可解决问题．【解析】设别BC，AC，AB三边为直径的三个半圆面积分别表示为S1、S2、S3，则有：S1π（）2，同理，S2，S3，∵BC2+AC2＝AB2，∴S1+S2＝S3；∴S阴影＝S1+S2+S△ABC﹣S3＝S△ABC，在直角△ABC中，BC9，BC=3则S阴影＝S△ABC AC•BC4×3＝6．故答案为6．14．（2019秋•江苏省苏州期中）如图，以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，若AB＝2，则正方形S1，S2的面积和为 4 ．【分析】根据正方形的面积公式和勾股定理得到正方形S1，S2的面积和是斜边AB的平方．【解析】∵以Rt△ABC的两条直角边为边长向外作正方形S1，S2，∴正方形S1的面积是AC2，正方形S2的面积是BC2，AC2+BC2＝AB2，∴正方形S1，S2的面积和为：AC2+BC2＝AB2＝22＝4．故答案是：4．15．（2019秋•江苏省邳州市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．如果直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 3 ．【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长．【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：ab8＝4，∴4ab+（a﹣b）2＝25，∴（a﹣b）2＝25﹣16＝9，∴a﹣b＝3，故答案是：316．（2019秋•江苏省常州期中）△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝16，则BC边上的高长为 6 ．【分析】过A作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质求出BD的长，根据勾股定理求出AD的长即可．【解析】过A作AD⊥BC于D，则BD＝8，在Rt△ABD中，AB＝10，BD＝8，则AD6．AD=6所以BC边上高的长的高为6．故答案为：6．三、解答题（本大题共6题，共52分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2019秋•江苏省海陵区校级期中）如图，已知△ABC和△BDE 是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE（SAS）即可．（2）证明∠DCE＝90°，求出DE，利用勾股定理计算即可．【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD与△CBE中，AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，∴△ABD≌△CBE（SAS）．（2）∵△BDE是等腰直角三角形，∴DE BD，∵△ABD≌△CBE，∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，∴AD2+CD2＝2．18．（2019秋•江苏省新北区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD ＝90°，∠DCB＝90°，E、F分别是BD、AC的中点．（1）请你猜想EF与AC的位置关系，并给予证明；（2）当AC＝16，BD＝20时，求EF的长．【分析】（1）结论：EF⊥AC．利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质即可解决问题．（2）在Rt△ECF中，利用勾股定理即可解决问题．【解析】（1）EF⊥AC．理由如下：连接AE、CE，∵∠BAD＝90°，E为BD中点，∴AE DB，∵∠DCB＝90°，∴CE BD，∴AE＝CE，∵F是AC中点，∴EF⊥AC；（2）∵AC＝16，BD＝20，E、F分别是边AC、BD的中点，∴AE＝CE＝10，CF＝8，∵EF⊥AC．∴EF6．EF=619．（2019秋•江苏省大丰区期中）阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2＝c2+4ab ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理：a2+b2＝c2【初步运用】（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝5：9 ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为28 ；【迁移运用】如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4ab，∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c a，∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，故故答案为5：9．（2）空白部分的面积为＝52﹣24×6＝28．故答案为28．[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积可得：（a+b）×k（a+b）＝3b×ka c×ck，∴（a+b）2＝3ab+c2∴a2+b2﹣ab＝c2．20．（2020春•无锡期中）（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4ab+（a﹣b）2，所以4ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．（2）试用勾股定理解决以下问题：如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为．（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．【解析】（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）a2+ab b2，也利用表示为ab c2ab，∴a2+ab b2ab c2ab，即a2+b2＝c2；（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为3×45×h，∴h，故答案为；（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：21．（2020春•江阴市期中）【知识生成】我们已经知道，通过不同的方法表示同一图形的面积，可以探求相应的等式，2002年8月在北京召开了国际数学大会，大会会标如图1所示，它是由四个形状大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，四个直角三角形的两条直角边长均分别为a、b，斜边长为c．（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a）；（2）图中阴影部分小正方形的面积用两种方法可分别表示为c2﹣2ab 、（b﹣a）2（3）你能得出的a，b，c之间的数量关系是a2+b2＝c2 （等号两边需化为最简形式）；（4）一直角三角形的两条直角边长为5和12，则其斜边长为13 【知识迁移】通过不同的方法表示同一几何体的体积，也可以探求相应的等式．如图2是边长为a+b的正方体，被如图所示的分割线分成8块．（5）用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个等式，这个等式可以为（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2（6）已知a+b＝4，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．【分析】（1）根据直角三角形的两边长即可得到结论；（2）求出图形的各个部分的面积，即可得出答案；（3）根据（1）的结果，即可得出答案；（4）代入求出即可；（5）求出大正方体的条件和各个部分的体积，即可得出答案；（6）代入（5）中的等式求出即可．【解析】（1）图中阴影部分小正方形的边长可表示为（b﹣a），故答案为：（b﹣a）；（2）图中阴影部分的面积为c2﹣2ab或（b﹣a）2，故答案为：c2﹣2ab，（b﹣a）2；（3）由（1）知：c2﹣2ab＝（b﹣a）2，即a2+b2＝c2，故答案为：a2+b2＝c2；（4）∵a2+b2＝c2，a＝5，b＝12，∴c＝13，故答案为：13；（5）图形的体积为（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，故答案为：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（6）∵a+b＝4，ab＝2，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）∴43＝a3+b3+3×2×4，解得：a3+b3＝40．22．（2019秋•江苏省宜兴市期中）如图，已知在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知数据和勾股定理直接可求出DC的长即可；（2）有（1）的数据和勾股定理求出AD的长，进而求出AB的长，继而求出△ABC的面积．【解析】（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BDC中，CD2+BD2＝BC2，即CD2+92＝152，解得CD＝12；（2）在Rt△ADC中，AD2+CD2＝AC2，∴AD2+122＝202，解得AD＝16，∴AB＝AD+BD＝16+9＝25．∴S△ABC AB•CD25×12＝150．。
八年级数学上册第20讲勾股定理的使用课后练习新版苏科版
第20讲勾股定理的使用题一：一直角三角形的两条直角边长度分别为7和24，则第三边长度是多少？题二：一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）．A．5 B．7 C．5 D．5或7题三：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC=______．题四：在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a：b=3：4，c=10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（）．A．3 B．6 C．8 D．12题五：如图，以数轴上的单位长度为边做长方形，以数轴上的原点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．题六：如图以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为______．题七：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（）．A．10 B．5 C．245D．125题八：已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，求斜边AB上的高CD的长度．题九：把一根长为35cm的铁丝弯成一个直角三角形的两直角边，且两边之比为4：3，那么还要准备一个长为_____cm的铁丝，才能把这个三角形做好．题十：把一根长为10cm的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9cm2，那么还要准备一根长为______的铁丝才能按要求把三角形做好．第20讲 勾股定理的使用题一： 25．详解：22724+=25．题二： D ．详解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为7，故选D ．题三： 9．详解：设BC =3x ，AC =4x ，又其斜边AB =15，∴9x 216x 2=152， 解得：x =3或3（舍去∴BC =3x =9．故答案为：9．题四： B ．详解：由a ：b =3：4，设a =3k ，b =4k ， 在Rt△ABC 中，a =3k ，b =4k ，c =10，根据勾股定理得：a 2b 2=c 2，即9k 216k 2=100，解得：k =2或k =2（舍去则a =3k =6．故选B ．题五： 5-．详解：如图：连接MB ，在数轴上A 表示的数是415+=． 故答案为：5题六：2．2，则点A 2．题七： C ．详解：：∵BC =8，AC =6，∴AB =10， ∵S △ABC =12×6×8=12×10×CD ，∴CD =245，故选C ． 题八：6 详解：在Rt△ABC 中，由勾股定理得：AB ()()222262822AC BC +=+==由面积公式得：S △ABC =12AC •BC =12AB •CD ∴CD =AC BC AB ⨯=2 题九： 25．详解：∵35cm 的铁丝弯成一个直角三角形的两直角边，且两边之比为4：3， ∴两直角边分别为20cm 和15cm ，由勾股定得第三边的长为：=25cm ，∴还要准备一个长为25cm 的铁丝， 故答案为：25．题十： 8cm ．详解：设两直角边分别为x ，y ∵xy =10，12xy =9 ∴（xy ）2=x 2yxy =102 ∴x 2y ×18=100 ∴x 2y 2=64=82 ∴还需要准备一根8cm 的铁丝．。
苏科版-数学-八年级上册- 勾股定理 课后练习二及详解
勾股定理课后练习（二）主讲教师：傲德题一：若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，斜边的长是．题二：四个全等的直角三角形拼成如图1、图2所示的图形．任选其中一个证明勾股定理．题三：如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC于C，则四边形ABCD的面积是．题四：一个直角三角形的两边长分别为9和40，则第三边长的平方是．题五：如图是某年召开的国际数学家大会会标，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a3+b3的值为．题六：如图，折叠矩形的纸片ABCD，先折痕（对角线）DB，再过点D折叠，使AD落在折痕BD上，得另一折痕DG，若AB=2，BC=1，则AG= ．勾股定理课后练习参考答案题一：25cm．详解：设直角三角形的斜边是x cm，则另一条直角边是（x1）cm．根据勾股定理，得：（x1）2+49=x2，解得，x=25．则斜边的长是25cm．题二：见详解．详解：图1：∵大正方形的面积表示为(a+b)2大正方形的面积，也可表示为c2+4×12 ab∴(a+b)2=c2+4×12ab，a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．图2：∵大正方形的面积表示为：c2，又可以表示为：12ab×4+(b a)2∴c2=12ab×4+(b a)2，c2=2ab+b22ab+a2，∴c2=a2+b2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．题三：48．详解：AB=10，AD=8，AC⊥BC于C，由勾股定理可知：AC=6，根据平行四边形的面积公式可得：四边形ABCD的面积是8×6=48．题四：1681或1519．详解：设第三边为x（1）若40是直角边，则第三边x 是斜边，由勾股定理，得：92+402=x 2，所以x 2=1681．（2）若40是斜边，则第三边x 为直角边，由勾股定理，得：92+x 2=402，所以x 2=1519． 所以第三边的长为1681或1519．题五： 35．详解：由题意得：大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a ，较短直角边为b ，即a 2+b 2=13，a b =1，解得a =3，b =2，∴a 3+b 3=35，故两条直角三角形的两条边的立方和=a 3+b 3=35．题六： 512-． 详解：矩形ABCD 中，AD =BC =DE =1，在直角△ABD 中，BD =22=5AD AB +， 设AG =x ，则GE =AG =x ．在直角△BGE 中，BE =BD DE =51-，BG =2x ．根据勾股定理可得：BE 2+GE 2=BG 2，即(51-)2+x 2=(2x )2，解得：x =512-．。
苏科版-数学-八年级上册- 勾股定理逆定理 课后练习二及详解
勾股定理逆定理课后练习（二）主讲教师：傲德题一：如图，已知四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，且AB⊥BC，求四边形ABCD面积．题二：以下列各组数据为三角形三边，能构成直角三角形的是（）A．4cm，8cm，7cmB．2cm，2cm，2cmC．2cm，2cm，4cmD．13cm，12 cm，5 cm题三：如图，在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的长分别为2、2、23、2，且AB⊥BC，则∠BAD的度数等于．题四：如图，在4×3的长方形网格中，已知A、B两点为格点（网格线的交点称为格点），若C也为该网格中的格点，且△ABC为等腰直角三角形，则格点C的个数为．题五：观察第一个数为偶数的勾股数：4、3、5； 6、8、10； 8、15、17；…，若用2n 表示第一个偶数，请分别用n的代数式来表示其他两边，并证明确实是勾股数．勾股定理逆定理课后练习参考答案题一：36．详解：∵AB⊥BC∴∠B=90°，由勾股数知：AC=5，∵AC 2+CD 2 =5 2+12 2=169=AD 2，∴△ACD为直角三角形，∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=12×3×4+12×5×12=36．题二：D．详解：A、∵42=16，82=64，72=49，∴42+72≠82∴不能构成直角三角形，故本选项错误；B、∵22=4，22=4，22=4，∴22+22≠22，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵22=4，22=4，42=16，∴22+22≠42，∴不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵132=169，122=144，52=25，∴122+52=132，∴能构成直角三角形，故本选项正确．题三：135．详解：连接AC．∵AB⊥BC于B，∴∠B=90°，在△ABC中，∵∠B=90°，∴AB 2+BC 2=AC 2，又∵AB=CB=2，∴AC=22，∠BAC=∠BCA=45°，∵CD=23，DA=2，∴CD 2=12，DA2=4，AC 2=8．∴AC 2+DA2=CD 2，由勾股定理的逆定理得：∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=45°+90°=135°．故答案为135．题四：6个．详解：根据等腰直角三角形的判定和长方形网格的特点易作出满足条件的C点．如图：故6个．题五：2n表示第一个偶数，那么其它两个数为n21，n2+1详解：若用2n表示第一个偶数，那么其它两个数为n21，n2+1∴(2n)2+(n21)2=n4+2n2+1=(n2+1)2，∴2n、n21、n2+1是一组勾股数．。
苏科版-数学-八年级上册- 勾股定理的应用 课后练习二及详解
勾股定理的应用课后练习（二）主讲教师：傲德题一：如图为梯形纸片ABCD，E点在BC上，且∠AEC＝∠C＝∠D＝90°，AD＝3，BC＝9，CD＝8．若以AE为折线，将点C折至BE上，使得CD与AB交于F点，则BF长度为（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6题二：现有四块直角边为a，b，斜边为c的直角三角形的纸板，我们可以从中取出若干块拼图（需画出所拼的图形）然后证明勾股定理．如拼成下图，可利用相等面积关系证明勾股定理．（1）利用所拼的图形证明勾股定理；（2）请你再拼一个图形，然后通过上述的方法证明勾股定理．题三：如图，校园内有一块梯形草坪ABCD，草坪边缘本有道路通过甲、乙、丙路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条直“路”EF，假设走1步路的跨度为0.5米，结果他们仅仅为了少走步路，就踩伤了绿化我们校园的小草．（“路”宽忽略不计）题四：有一个棱长为1m且封闭的正方形体纸箱，一只蚂蚁沿纸箱表面从顶点A爬到顶点B，那么这只蚂蚁爬行的最短路程是m．题五：如图，等腰直角三角形ABC中，AC=BC，计算阴影部分的面积．题六：如图，一架梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，已知AC=7m，这时梯脚B到墙底端C 的距离BC为2m，当梯子的顶端沿墙下滑时，梯脚向外移动，如果梯脚B向外移动到B1的距离为1m时，那么梯子的顶端沿墙下滑的距离AA11．（用＞、＜、=来填空）题七：如图，甲是第七届国际数学教育大会（简称I CM E～7）的会徽，会徽的主体图案是由如图乙的一连串直角三角形演化而成的其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，如果把图乙中的直角三角形继续作下去，那么OA1，OA2，…OA25这些线段中有多少条线段的长度为正整数（）勾股定理的应用 课后练习参考答案题一： B ．详解：由题意得：EE '＝EC ＝AD ＝3，∴BE '＝BC －E 'E －EC ＝3， ∴AB ＝22BE AE +＝10，又∵△BE 'F ∽△BEA ，∴BEE B AB BF '=，∴BF ＝5．故选B ．题二： 见详解．详解：（1）①如图：②证明：∵大正方形的面积表示为(a +b )2，大正方形的面积也可表示为c 2+4×12ab ， ∴(a +b )2=c 2+4×12ab ，a 2+b 2+2ab =c 2+2ab ∴a 2+b 2=c 2， 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． （2）①如图②证明：∵大正方形的面积表示为：c 2， 又可以表示为：12ab ×4+ (b -a )2，∴c 2=12b ×4+(b -a )2，c 2=2ab +b 2-2ab +a 2， ∴c 2=a 2+b 2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．题三：4．详解：根据图中所给的信息可知，EF 是梯形的中位线， 故EF =12（4+10）=12×14=7m ，走捷径时少走了（2+4+3）-7=2米， 2÷0.5=4步．即少走4步路．题四：5m ．详解：如图：因为BC =1m ，AC =2m ， 所以AB =2212=5+m ．题五： 10.26．详解：由图意可知：阴影部分的面积=以6为直径的2个半圆的面积（1个圆的面积）减去三角形ABC 的面积，据此即可求解． 3.14×(62)2-6×6÷2=3.14×9-36÷2=28.26-18=10.26； 答：阴影部分的面积是10.26．题六： ＜．详解：在直角三角形ABC 中，根据勾股定理，得：AB =2272=53+， 在直角三角形A 1B 1C 中，根据勾股定理，得A 1C =53-9=44， 6＜44＜7，则AA 1＜1．题七： 5．3,，25，。
苏科版数学八年级上3.3勾股定理的简单应用同步练习含答案
3.3 勾股定理的简单应用1．等腰三角形ABC的面积为12 cm2，底上的高AD＝3 cm，则它的周长为_______ cm．2．一个长方形的长为40 cm，对角线长为41 cm，则这长方形的周长为_______．3．轮船在大海中航行，它从点A出发，向正北方向航行20 km，遇到冰山后，又折向正东方向航行15 km，则此时轮船距点A的距离为_______km．4．已知两线段分别为5 cm，12 cm，则当第三条线段长为_______时，这三条线段可以构成直角三角形．5．如图，一个宽1m，高2.4 m的大门，需在相对角的顶点间加一块加固木板．求木板长．6．如图，要为一段高5m，长13 m的楼梯铺上红地毯．问：红地毯至少需要多少米？7．如图，铁路上A、B两点相距25 km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上修建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应修建在离A站多少千米处？8．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm，正方形A的边长为6 cm、B的边长为5 cm、C的边长为5 cm，则正方形D的边长为( )．A cm B．4 cmC D．3 cm9．如图，有一条小路穿过长方形的草地ABCD，若AB＝60 m，BC＝84 m，AE＝100 m，求这条小路的面积．10．如图，一块砖宽AN＝5 cm，长ND＝10 cm，CD上的点B距地面的高BD＝8 cm地面上A处的一只蚂蚁到B处吃食，要爬行的最短路线是多少？11．如图，一棵树CD，在其10m高的点B处有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃向池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？12．已知△ABC的三边长分别为5，13，12，则△ABC的面积为( )．A．30 B．60C．78 D．不能确定13．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为_______．14．在等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝2，边AC 上高BD BC 的长．15．一辆装满货物的卡车，高2.5 m ，宽1.6 m ，要开进形状如图所示的某工厂厂门，这辆卡车能否通过厂门？说明你的理由．16．如图，E 为正方形ABCD 的边AB 上的一点，AE ＝3，BE ＝1，P 为AC 上的动点，求PB ＋PE 的最小值．17．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9，BC ＝12，则点C 到AB 的距离是( )．A ．365B ．1225C ．94D 18．如图在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝8，AC ＝6，DE 是AB 边的垂直平分线，垂足为D ，交边BC 于点E ，连接AE ，则△ACE 的周长为( )A ．16B ．15C ．14D ．1319．如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积S1＝258π，S2＝2π，则S3是_______．参考答案1．18 2．98 cm 3．254．13 cm5．2.6m6．17(m)．7．10．8．A 9．240 m210．17 cm11．15 m．12．A 13．4.514．BC＝2 m或m15．卡车能过厂门．16．517．A 18．A19．9 8π。
2019--2020学年江苏省八年级上册数学(苏科版)期末考试《勾股定理》试题分类——解答题(2)
2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）1．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．2．如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC＝90°，CD ＝6m，AD＝8m，BC＝24m，AB＝26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？3．如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？4．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝5．点D为AC上一点，且BD＝4，CD＝3．（1）求证：BD⊥AC；（2）求AB的长．5．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB ＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．6．一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？7．已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为点D，AC＝20，BC＝15，DB＝9．（1）求CD的长．（2）求AB的长．8．如图，四边形ABCD中，AB＝10，BC＝13，CD＝12，AD＝5，AD⊥CD，求四边形ABCD的面积．9．两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC．（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；（2）证明：DC⊥BE．10．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．11．已知某校有一块四边形空地ABCD如图，现计划在该空地上种草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC ＝12m，CD＝13m，DA＝4m．若种每平方米草皮需100元，问需投入多少元？12．如图，在离水面高度为5米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为13米，此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子是直的，结果保留根号）13．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个顶点叫做格点．（1）在图（1）中以格点为顶点画一个面积为10的正方形；（2）在图（2）中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为2，，；这个三角形的面积为．14．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．15．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝16cm，BC＝12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．16．如图，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AD＝24cm，BC+CD＝34cm，C是直线l上一动点，请你探索当C离B多远时，△ACD是一个以CD为斜边的直角三角形？17．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD＝4米，CD＝3米，∠ADC＝90°，AB＝13米，BC＝12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？18．如图，笔直的公路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到收购站E 的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？19．如图，四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，CD＝12cm，DA＝13cm，且∠ABC＝90°，求四边形ABCD的面积．20．正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点，（1）在图①中，画一个面积为10的正方形；（2）在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它们的三边长都是无理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．一辆“小汽车”在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C 处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．23．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）2019--2020学年江苏省八年级上册数学（苏科版）期末考试《勾股定理》试题分类——解答题（2）参考答案与试题解析一．解答题（共23小题）1．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD，DA＝5，∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．2．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，在Rt△ACD中，AC2＝CD2+AD2＝62+82＝102，在△ABC中，AB2＝262，BC2＝242，而102+242＝262，即AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，S四边形ABCD＝S△ACB﹣S△ACD•AC•BCAD•CD，10×248×6＝96．所以需费用96×200＝19200（元）．3．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2解得：OB＝20，答：这个云梯的底端离墙20米远；（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：，∴BD＝24﹣20＝4米，答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．4．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵CD＝3，BC＝5，BD＝4，∴CD2+BD2＝9+16＝25＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴BD⊥AC；（2）解：设AD＝x，则AC＝x+3．∵AB＝AC，∴AB＝x+3．∵∠BDC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴AB2＝AD2+BD2，即（x+3）2＝x2+42，解得：x，∴AB3．5．【答案】见试题解答内容【解答】解：设AC＝x，∵AC+AB＝10，∴AB＝10﹣x．∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．解得：x＝4.55，即AC＝4.55．6．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵42+32＝52，52+122＝132，即AB2+BC2＝AC2，故∠B＝90°，同理，∠ACD＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD3×45×12＝6+30＝36．答：这块钢板的面积等于36．7．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，在Rt△BCD中，∵BC＝15，DB＝9，∴CD12；（2）在Rt△ACD中，∵AC＝20，CD＝12，∴AD16，则AB＝AD+DB＝16+9＝25．8．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，过点C作CE⊥AB于点E．∵AD⊥CD，∴∠D＝90°．在Rt△ACD中，AD＝5，CD＝12，AC13．∵BC＝13，∴AC＝BC．∵CE⊥AB，AB＝10，∴AE＝BEAB10＝5．在Rt△CAE中，CE12．∴S四边形ABCD＝S△DAC+S△ABC5×1210×12＝30+60＝90．9．【答案】见试题解答内容【解答】（1）△ABE≌△ACD．证明：∵△ABC与△AED均为等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°．∴∠BAC+∠CAE＝∠EAD+∠CAE．即∠BAE＝∠CAD，在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD；（2）证明∵△ABE≌△ACD，∴∠ACD＝∠ABE＝45°，又∵∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°，∴DC⊥BE．10．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴ADBD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．11．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A＝90°，AB＝3m，DA＝4m，∴DB5（m），∵BC＝12m，CD＝13m，∴BD2+BC2＝DC2，∴△DBC是直角三角形，∴S△ABD+S△DBC3×45×12＝36（m2），∴需投入总资金为：100×36＝3600（元）．12．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝13米，AC＝5米，∴AB12（米），∵此人以0.5米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，∴CD＝13﹣0.5×10＝8（米），∴AD（米），∴BD＝AB﹣AD＝12（米），答：船向岸边移动了（12）米．13．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）面积为10的正方形的边长为，∵，∴如图1所示的四边形即为所求；（2）∵，，∴如图2所示的三角形即为所求这个三角形的面积2×2＝2；故答案为：2．14．【答案】见试题解答内容【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE4.8（cm）∴CE3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．15．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵BQ＝2×2＝4（cm），BP＝AB﹣AP＝16﹣2×1＝14（cm），∠B＝90°，∴PQ（cm）；（2）BQ＝2t，BP＝16﹣t，根据题意得：2t＝16﹣t，解得：t，即出发秒钟后，△PQB能形成等腰三角形；（3）①当CQ＝BQ时，如图1所示，则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°．∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ，∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝10，∴BC+CQ＝22，∴t＝22÷2＝11秒．②当CQ＝BC时，如图2所示，则BC+CQ＝24，∴t＝24÷2＝12秒．③当BC＝BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE，∴CE，∴CQ＝2CE＝14.4，∴BC+CQ＝26.4，∴t＝26.4÷2＝13.2秒．综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．16．【答案】见试题解答内容【解答】解：设BC＝xcm时，三角形ACD是以DC为斜边的直角三角形，∵BC+CD＝34，∴CD＝34﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝36+x2，在Rt△ACD中，AC2＝CD2﹣AD2＝（34﹣x）2﹣576，∴36+x2＝（34﹣x）2﹣576，∴当C离点B8cm时，△ACD是以DC为斜边的直角三角形．17．【答案】见试题解答内容【解答】解：连结AC，在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，AD＝4米，CD＝3米，由勾股定理得：AC5（米），∵AC2+BC2＝52+122＝169，AB2＝132＝169，∴AC2+BC2＝AB2，∴∠ACB＝90°，该区域面积S＝S△ACB﹣S△ADC5×123×4＝24（平方米），即铺满这块空地共需花费＝24×100＝2400元．18．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km，∴收购站E应建在离A点10km处．19．【答案】见试题解答内容【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，∵CD＝12cm，DA＝13cm，AC2+CD2＝52+122＝169＝132＝DA2，∴△ADC为直角三角形，∴S四边形ABCD＝S△ACD﹣S△ABCAC×CDAB×BC5×124×3＝30﹣6＝24．故四边形ABCD的面积为24cm2．20．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）如图①所示：（2）如图②③所示．21．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）三边分别为：3、4、5 （如图1）；（2）三边分别为：、2、（如图2）；（3）画一个边长为的正方形（如图3）．22．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意知，AB＝130米，AC＝50米，且在Rt△ABC中，AB是斜边，根据勾股定理AB2＝BC2+AC2，可以求得：BC＝120米＝0.12千米，且6秒时，所以速度为72千米/时，故该小汽车超速．答：该小汽车超速了，平均速度大于70千米/时．23．【答案】见试题解答内容【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：（m）∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．。
【苏科版】八年级数学上册2.1 勾股定理 练习题(含答案)
2.1 勾股定理[趣题导学]动手做一做：剪裁出若干个大小、形状完全相同的直角三角形，三边长分别记为a 、b 、c ，如图2.1-1①.然后进行拼图：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图2.1-1②③的形状，观察图2.1-1②③，图2.1-1②中两个小正方形的面积之和与图2.1-2③中小正方形的面积相等吗？你可以用怎样的关系式图2.1-1表示？③中小正方形的面积相等.可以用关系式[双基锤炼] 一、选择题1、一直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ） A. 4 B. 8C. 10D. 122、CD 为直角三角形ABC 斜边AB 上的高，若AB = 10，AC ：BC = 3：4，则这个直角三角形的面积为（ ）A. 6B. 8C.12D.243、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m ，当它把绳子的下端拉开5 m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为（ ） A. 8m B. 10m C. 12m D. 14m4、一等腰三角形底边长为10cm ，腰长为13cm ，则腰上的高为 ( ) A. 12cm B. cm 1360 C.cm 13120 D.cm 5135、如图2.1-2，一圆柱高8cm ，底面半径2cm ，一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食，要爬行的最短路程(π 取3)是 ( )A.20cm;B.10cm;C.14cm;D.无法确定. 二、填空题6、已知在Rt △ABC 中，∠C=90°.①若a=3，b=4，则c=________； ②若a=40，b=9，则c=________；③若a=6，c=10，则b=_______； ④若c=25，b=15，则a=________. 7、在Rt ⊿ABC 中，斜边AB = 2，则______222=++CA BC AB . 8、直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5 cm ，则其面积为.9、如果一个直角三角形的一条直角边是另一条直角边的2倍，斜边长是5 cm ，那么这个直角三角形的面积是 .10、图2.1-3中所示的线段的长度或正方形的面积为多少.(注：下列各图中的三角形均为直角三角形)答：A=________，y=________，B=________.178By361564289A图2.1-3三、解答题11、如图2.1-4，一根旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处，旗杆折断之前有多高？12m5mCB A图2.1-412、如图2.1-5求下列阴影部分的面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆.（1） （2） （3）图2.1-5[能力提升] 一、综合渗透1、如图2.1-6，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=5cm ，BC=10cm ，将△ABC 折叠，点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 的长为（ ）A B C D ....252152254154EDBCA图2.1-6 图2.1-72、如图2.1-7，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=6cm ，AC=8cm ，D 是斜边AB 的中点，则CD=_______.3、△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c 、若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=.若△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与2c 的关系，并证明你的结论、图 1CB A图 2CBA图 3CBA图2.1-8二、应用创新1、如图2.1-9，折叠矩形纸片ABCD ，得折痕BD ，再折叠AD 使点A 与点F 重合，折痕为DG ，若AB=4，BC=3，求AG 的长.DC BAGFDCBA图2.1-92、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4800米处，过了10秒后，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？3、如图2.1-10，从电线杆离地面6 m 处向地面拉一条长10 m 的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远?4、假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝旅游，按照探宝图2.1-11，他们登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A 到宝藏埋藏点B 的距离是多少千米？三、探究发散1、小明的妈妈买了一部29寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，她觉得一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？图2.1-1082A图2.1-111S 2S3S2、为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图2.1-12所示AB 所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C 和点D 处，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，已知AB = 25km ，CA = 15 km ，DB = 10km ，试问：图书室E 应该建在距点A 多少km 处，才能使它到两所学校的距离相等？3、小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积是482m ，其对角线长为10m ，为建起栅栏，要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮小明算一算吗？4、如图2.1-13，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，边长分别a 、b 、c （c 表示斜边）然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆，三个圆的面积分别记为S 1、S 2、S 3，试探索三个圆的面积之间的关系.图2.1-13[链接中考]1、如图2.1-14，以Rt △ABC 的三边为边向外作正方形，其面积分别为S 1、S2、S 3，且S 1=4，S 2=8，则AB 的长为__ __.2、如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2、3、如图2.1-15，由Rt △ABC 的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为8cm ，则正方形M 与正方形N 的面积之和为 2cm .参考答案[双基锤炼]一、选择题1、C2、 D3、 C4、B5、 B图2.1-14图2.1-15二、填空题6、 ①5；②41；③8；④207、 88、 26cm9、 25cm 10、 15，39，15 三、解答题11、解：∵222512AB +=，∴AB=13m ，∴旗杆折断之前高度为5+13=18m. 12、()()()222125,251,38cm cm cm π [能力提升] 一、综合渗透 1、C 2、5cm3、解：若△ABC 是锐角三角形，则有222a b c +>若△ABC 是钝角三角形，C ∠为钝角，则有222a b c +<. 当△ABC 是锐角三角形时，DB证明：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，设CD 为x ，则有BD ＝a x -根据勾股定理，得22222()b x AD c a x -==-- 即222222b x c a ax x -=-+-. ∴2222a b c ax +=+∵0,0a x >>， ∴20ax >. ∴222a b c +>. 当△ABC 是钝角三角形时，证明：过B 作BD ⊥AC ，交AC 的延长线于D.设CD 为x ，则有222BD a x =- 根据勾股定理，得2222()b x a x c ++-=、即2222a b bx c ++=.∵0,0b x >>， ∴20bx >， ∴222a b c +<.二、应用创新B1、解：设AG=x ，在矩形ABCD 中，BC=AD=3；在Rt△A DB 中，222BD AD AB =+，即2223425.BD =+=∴BD=5.又∵Rt△DGA ≌Rt△DGF ，∴DF=AD=3，∠GFD=∠A=90°. GF=AG=x ，则4GB x =-，BF=BD-DF=5-3=2.在Rt△GFB 中，222GB BF FG =+，即()22242, 1.5.x x x -=+∴=因此AG 的长为1.5.2、解：根据题意，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =5000米，AC =4800米. 由勾股定理，得AB 2=AC 2+BC 2.即50002=BC 2+48002， 所以BC =1400米.飞机飞行1400米用了10秒， 那么它1小时飞行的距离为 1400×6×60=504000米=504千米， 即飞机飞行的速度为504千米/时.3、这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部8m.4、10千米 三、探究发散1、解：小明的想法是错误的.若设电视机屏幕对角线的长为x ，由勾股定理容易知道，22225846,5480,74.x x x +=∴=∴≈也就是说，这个电视机的尺寸符合要求.2、解：设,AE x =则25BE x =-.由勾股定理可知222222,CE AC AE DE BE DB =+=+， ∵CE=DE ，∴2222.AC AE BE DB +=+ ∴()2222152510x x +=-+，解之得10.x =∴图书室E 应该建在距点A10km 处. 3、这个矩形养鱼池的周长为28m 4、S 1+S 2=S 3 [链接中考]1、 2、30 3、644800A第2题图。
【苏科版】八年级数学上册2.7 勾股定理的应用练习题(含答案)
2.7 勾股定理的应用[趣题导学]你知道吗？勾股定理从被发现至今已有五千多年的历史了.东方的几个文明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理，他们还知道许多勾股数组.古埃及人在建筑宏伟的金字塔和尼罗河泛滥后测量土地时，也应用过勾股定理.我国也是最早了解勾股定理的国家之一.早在三千多年前，周朝数学家就提出“勾三.股四.弦五”，它被记载于《周髀算经》中.相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理.国外人通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理.[双基锤炼]一.选择题1.等腰直角三角形三边长度之比为（）A.1：1：2B. 1：1：2C. 1：2：3D.不确定2.若一个直角三角形的一条直角边长是7cm，另一条直角边比斜边短1cm，则斜边长为（）A.18 cmB.20 cmC.24 cmD.25 cm3.一架2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是（）A. 1.5mB. 0.9mC. 0.8mD. 0.5m4.如图2.7-1，在Rt△ABC中，两直角边AC.BC的长分别为6和8，现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A.2B.3C.4D.55.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m，他在水中实际游了520m，那么该河的宽度为（）A.440 mB.460 mC.480 mD. 500 m二.填空题6.如图2.7-2，在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，AD=12，AC=13，BC=14. 则AB=_____.AB CD图2.7-2图2.7-35m图2.7-4AC BDE图2.7-17.如图2.7-3是一个育苗棚，棚宽a=6m ， 棚高b=2.5m ，棚长d=10m ，则覆盖在棚斜面上的塑料薄膜的面积为_________m 2.8.在高5m ，长13m 的一段台阶上铺上地毯，台阶的剖面图如图2.7-4所示，地毯的长度至少需要___________m.9.小明和小强的跑步速度分别是6m/s 和8m/s ，他们同时从同一地点分别向东.南练习跑步，那么从出发开始需__________s 可以相距160m .1610.王刚的身高为1.70m ，现想摘取高5.70m 处的一个椰子，为了安全需要，使梯子底端离椰树根部3m ，那么梯子较合适的长度是__________m . 三.解答题11.如图2.7-5，△ABC 中，AB=15cm ，AC=24cm ，∠A=60°，求BC 的长.CBA图2.7-512.甲.乙两人同时从同一地点匀速出发1小时，甲往东走了4km ，乙往南走了6km. ⑴这时甲.乙两人相距多少km ？⑵按这个速度，他们出发多少小时后相距13km ？DCBA[能力提升] 一.综合渗透1.如图2.7-6，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20， ∠A=∠C=30°，求AD.CD 的长.2.第七届国际数学教育大会的会徽如图2.7-7.它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的.设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积.OA 1 OA 2 OA 3OA 4OA 5OA 6OA 7OA 8二.应用创新1.如图2.7-8，是一个三级台阶，它的每一级的长.宽.高分别为20dm ，3dm ，2dm ，A 和B 是这个台阶两相对的端点，A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是多少dm ？2.如图2.7-9，在正方形ABCD 中，E 为AD 的三等分点，且AE=13AD ，G 为DC 上一点，且DG ：GC=2：7，那么BE 与EG 垂直吗？为什么？GED CBA图2.7-93.在某一平地上，有一棵树高8米的大树，一棵树高3米的小树，两树之间相距12米.今一只小鸟在其中一棵树的树梢上，要飞到另一棵树的树梢上，问它飞行的最短距离是多少？（画出草图然后解答）4.如图2.7-10所示的一块土地，经测量可知AD=12m ，CD=9 m ，∠ADC=90°，AB=39 m ，BC=36 m ，根据测量出的数据，你能求出这块土地的面积吗？图2.7-7A·· B3220图2.7-8DCBA图2.7-10三.探究发散1.一块长4m ，宽2.18m 的薄木板能否从一个宽1m.高2m 的门框内通过？试说明理由.2.如图2.7-11，一个高18m ，周长5m 的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？ (建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)[链接中考]1.如图2.7-12是一块长.宽.高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块.一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ）A.cm 85B. cm 97C. 109cmD. cm 92.如图2.7-13，将一根25㎝长的细木棒放入长.宽.高分别为8㎝.6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ㎝.参考答案[双基锤炼] 一.选择题1.B2.D3.C4.B5.C 二.填空题6.157.658.179.16 10.5图2.7-12 图2.7-13图2.7-11三.解答题11.解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，∠A=60°，∴∠ACD=90°—∠A=90°—60°=30°. ∴AD=()112412.22AC cm =⨯= 222222412432,1512 3.CD AC AD DB AB AD =-=-==-=-=在Rt △BDC 中，()22223432441,21.BC DB CD BC cm =+=+=∴=12.（1）（2）2[能力提升] 一.综合渗透1.解：过点B 分别向作两边AD.CD 的垂线BE.BF.在Rt △ABE 中，∵∠A =30°，∴BE=12AB=5. ∴==在Rt △CBF 中，∵∠C =30°，∴BF=12BC=10. ∴==. 在矩形BEDF 中，DF=BE=5，DE=BF=10.∴AD=AE+ED==53＋10；CD=CF+DF ＝103＋5. 2.这8325672237270=二.应用创新 1.25dm2. 解：连接BG ，设2,DG a =则7,9.GC a DC a AD =∴==第11题图F图2.1-2∴1193.33AE AD a a ==⨯=则936.ED a a a =-= ∴在Rt△ABE 中，()()2222229390;BE AB AE a a a =+=+= 在Rt△EDG 中，()()2222226240;EG ED DG a a a =+=+= 在Rt△BC G 中，同理可得()()222297130.BG a a a =+= ∴222.BG BE EG =+∴△BEG 是以BG 为斜边的直角三角形，即∠BEG=90°， ∴BE ⊥EG.3.如右图所示，作DE ⊥AB 于E ，则DE=BC=12，BE=CD=3 ， ∴AE=8—3=5.在Rt△A DE 中，13.AD ===∴小鸟飞行的最短距离是13米. 4.解：连结AC.在Rt △ADC 中，22222129225,15.AC CD AD AC =+=+=∴=在△ABC 中，222221521,15361521.AB AC BC =+=+= ∴222,90AB AC BC ACB =+∴∠=， ∴1122ABC ACD S S AC BC AD CD ∆∆-=- ()21115361292705421622m =⨯⨯-⨯⨯=-=. 答：这块土地的面积是216平方米. 三.探究发散1. 2.236≈. 因为2.18 2.236<，所以木板能从门框内通过. 2.19.5m [链接中考] 1.B 2.58312第3题图B第4题G第4题图。
江苏省八年级数学上册 第20讲 勾股定理的逆定理讲义 (新版)苏科版
第20讲勾股定理的逆定理
新知新讲
知识点1. 勾股定理的逆定理
例1：判断正误：
这样描述勾股定理的逆定理正确吗？
如果一个三角形斜边的平方等于直角边的平方和，那么这个三角形为直角三角形．
知识点2. 如何判定直角三角形
例2：分别以下列四组数为一个三角形的边长（1）1，2，3；（2）3，4，5；
（3）5，12，13；（4）6，8，10．
其中能组成直角三角形的有（）．
A．4组 B．3组 C．2组 D．1组
金题精讲
题一：如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）．
A．CD、EF、GH B．AB、EF、GH
C．AB、CF、EF D．GH、AB、CD
F
题二：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，则下列说法中错误的是（）．A．如果∠C－∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°
B．如果a：b：c=3：4：5，则∠B=60°，∠A=30°
C．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，那么△ABC是直角三角形
D．如果c2－a2=b2，那么△ABC是直角三角形
题三：如图所示，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°，求四边形ABCD 的面积．
B
第20讲勾股定理的逆定理
新知新讲
例1：错．例2：B．
金题精讲
题一：B．题二：B．题三：36．
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3.3 勾股定理的简单应用 苏科版数学八年级上册堂堂练(含答案)
3.3勾股定理的简单应用—2023-2024学年苏科版数学八年级上册堂堂练1.《九章算术》中有一问题，译文如下：现有一竖立着的木柱，木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺，若牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长?若设木柱长度为x尺，根据题意，可列方程为( )A. B.C. D.2.如图，高速公路上有两点A，B相距25 km，C，D为两个乡镇，已知km，km，于点A，于点B，现需要在AB上建一个高速收费站E，使得C，D两个乡镇到E站的距离相等，则BE的长为( )A.10 kmB.15 kmC.20 kmD.25 km3.现在人们锻炼身体的意识日渐增强，但是一些人保护环境的意识却很淡薄，如图是兴庆公园的一角，有人为了抄近道而避开横平竖直的路的拐角，而走“捷径AC”，于是在草坪内走出了一条不该有的“路AC”，已知米，米，他们踩坏了______米的草坪，只为少走________米路( )A.20，50B.50，20C.20，30D.30，204.图是一个底面为等边三角形的三棱柱，为了漂亮，小丽在三棱柱的侧面上，从顶点A到顶点镶上一圈金属丝，已知此三棱柱的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为( )A.8 cmB.13 cmC.12 cmD.15 cm5.如图，第9号台风“利奇马”过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是( )A.5 mB.8 mC.9 mD.12 m6.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则___________米.7.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2m，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为___________（滑轮上方的部分忽略不计）.8.如图是某“飞越丛林”俱乐部最近打造的一款项目的示意图，BC段和垂直于地面的AB 段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m，矩形CDEF为一木质平台的主视图.经过测量得，，请求出立柱AB段的长度.答案以及解析1.答案：D解析：设绳索长为x尺，可列方程为，故选D.2.答案：A解析：解：设，则，由勾股定理得：在中，，在中，，由题意可知：，，解得：，km.故选A.3.答案：B解析：在中，米，米，，米，（米），他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米路.故选B.4.答案：B解析：将三棱柱的侧面沿展开，如图所示，由勾股定理得，所以cm.故选B.5.答案：B解析：根据勾股定理可知：折断的树高，所以折断的树高m，则这棵大树折断前的树高m.故选B.6.答案：1.5解析：如图所示，过点D作于点E，米，米，米，则（米）.在中，由勾股定理得，（米）.7.答案：11m解析：如图，设旗杆高度为x m，可得m，m.根据勾股定理得，解得.所以旗杆的高度为11m.8.答案：立柱AB段的长度为9米解析：延长FC交AB于点G，则，，，设，则，在中，，，解得，，AB的长度为9m.。
苏科版-数学-八年级上册- 勾股定理与三角板 课后练习一及详解
勾股定理与三角板课后练习（一）主讲教师：傲德题一：把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，则∠BCD等于______．题二：如图，若以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACFE，再以它的对角线CE为边作第三个正方形CEGH，如此下去，设S1=S正方形ABCD =1，S2=S正方形ACFE，S3=S正方形，…，那么第八个正方形的面积S8= ，第n个正方形的面积S n= ．CEGH题三：如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，BC=7，AC=7，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置．若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积．题四：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是斜边AB的中点，DE⊥AC，垂足为E，若DE=2，CD=25，则BE的长为．题五：如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E．已知AB=6cm，求△DEB的周长．题六：三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2b2（a、b都是正整数），则这个三角形是______．勾股定理与三角板课后练习参考答案题一： 15°．详解：由题意可知△ACB ≌△EDB ，∴CB =BD ，∵∠DBE =30°，∴∠CBD =150°，∴∠BCD =15°．题二： 27、2n 1． 详解：根据勾股定理得：正方形的对角线是正方形的边长的2倍；即第二个正方形的面积是第一个正方形面积的2倍，即是2，…依此类推第n 个正方形的面积是上一个正方形面积的2倍，即2×2×2…×2（n 1个2）=2n 1，故S 8=27，故答案为27、2n 1．题三： 8．详解：∵△A ′B ′C ′由△ABC 平移而得到，∴AC ∥A ′C ′，∴∠ACB =∠A ′C ′B ′=90°，∵∠ABC =45°，∴阴影部分三角形为等腰三角形． ∵BC ′=CB CC ′=73=4，∴阴影部分的面积S =12×42＝8． 题四： 2详解：∵点D 为AB 的中点，DE =2，∴BC =4，∵DE ⊥AC ，垂足为E ，若DE =2，CD =5在直角三角形CDE 中由勾股定理得CE =4，∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BE 2242BC CE +=2题五： 6cm ．详解：∵AD 是∠CAB 的平分线，DE ⊥AB ，∠C =90°，∴CD =ED ，∵在Rt △ACD 和Rt △AED 中，AD ＝AD ，CD ＝ED ，∴Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ），∴AC=AE，又∵AC=BC，∴△DEB的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，∵AB=6cm，∴△DEB的周长=6cm．题六：直角三角形．详解：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形，∵(a2b2)2+(2ab)2=(a2+b2)2，∴三角形为直角三角形．。
苏科版八年级数学上册勾股定理课后练习一及详解
勾股定理课后练习（一）主讲教师：傲德题一：一个直角三角形的斜边长为5cm，一条直角边比另一条直角边长1cm，则这个直角三角形的面积是．题二：如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c 和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．题三：（1）画出拼成的这个图形的示意图；（2）证明勾股定理．题四：如图，四边形ABCD的面积等于．题五：一个直角三角形两边长分别为10和24，则第三边长的平方为．题六：如图，是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积为13，小正方形的面积是1，直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，则(a b)(a2+b2)的值等于．题七：如图，长方形ABCD中，AB=3，BC=5，如果将该长方形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是．勾股定理课后练习参考答案题一：6cm2．详解：设较短的一个直角边长为x cm，则另一直角边的长为：（x+1）cm．由勾股定理得：x2+（x+1）2=52．解得，x=3．则x+1=4．∴这个直角三角形的面积=12×3×4=6cm2．题二：见详解．详解：（1）如图；（2）证明：∵大正方形的面积表示为(a+b)2大正方形的面积也可表示为c2+4×12 ab∴(a+b)2=c2+4×12ab，a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．解法二：（1）如图：（2）证明：∵大正方形的面积表示为：c2，又可以表示为：12ab×4+(b a)2∴c2=12ab×4+(b a)2，c2=2ab+b22ab+a2，∴c2=a2+b2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．题三：36．详解：在直角△ABD中，BD为斜边，已知AD=3，AB=4，则BD=5，∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AD•AB+12BD•BC=6+30=36．题四：676或476．详解：设第三边为x（1）若24是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理，得102+242=x2，所以x2=676；（2）若24是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理，得102+x2=242，所以x2=476 所以第三边长的平方为676或476．题五：13．详解：观察图形，根据勾股定理，知a2+b2即大正方形的面积是13，又根据直角三角形的面积公式，知2ab即其中四个直角三角形的面积和=131=12∵(a b)2=a2+b22ab=1312=1 ∵又a＞b∴a b=1 ∴(a b)(a2+b2)=13．题六：5.1．详解：∵将该长方形沿对角线BD折叠，∴∠C′BD=∠DBC，∵四边形ABCD是长方形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ADB=∠C′BD，∴BE=DE，设BE=DE=x，∴AE=5x，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A=90°，∴AE 2+AB 2=BE 2，（5x）2+32=x2，解得：x=3.4，∴S△EDB=12×3.4×3=5.1．。
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第20讲勾股定理的使用
题一：
一直角三角形的两条直角边长度分别为7和24，则第三边长度是多少？
题二：
一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（）．
A．5 B．7C．5D．5或7
题三：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，BC：AC=3：4，则BC=______．
题四：
在Rt△ABC中，∠C=90°，已知a：b=3：4，c=10，其中a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，则a的长为（）．
A．3 B．6 C．8 D．12
题五：
如图，以数轴上的单位长度为边做长方形，以数轴上的原点为圆心，长方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是_____．
题六：
如图以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为______．
题七：
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知BC=8，AC=6，则斜边AB上的高是（）．
A．10 B．5 C．24
5
D．
12
5
题八：
已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2，求斜边AB上的高CD的长度．
题九：
把一根长为35cm的铁丝弯成一个直角三角形的两直角边，且两边之比为4：3，那么还要准备一个长为_____cm的铁丝，才能把这个三角形做好．
题十：
把一根长为10cm的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边，如果要使三角形的面积是9cm2，那么还要准备一根长为______的铁丝才能按要求把三角形做好．
第20讲 勾股定理的使用
题一： 25． 详解：22724+=25．
题二： D ．
详解：（1）当两边均为直角边时，由勾股定理得，第三边为5，
（2）当4为斜边时，由勾股定理得，第三边为7，故选D ．
题三： 9．
详解：设BC =3x ，AC =4x ，又其斜边AB =15，∴9x 2+16x 2=152，
解得：x =3或-3（舍去），∴BC =3x =9．故答案为：9．
题四： B ．
详解：由a ：b =3：4，设a =3k ，b =4k ，
在Rt△ABC 中，a =3k ，b =4k ，c =10，
根据勾股定理得：a 2+b 2=c 2，即9k 2+16k 2=100，解得：k =2或k =-2（舍去）， 则a =3k =6．故选B ．
题五： 5-．
详解：如图：连接MB ，
在数轴上A 表示的数是415-+=
故答案为：5
题六： 2．
2，则点A 2． 题七： C ．
详解：：∵BC =8，AC =6，∴AB =10，
∵S △ABC =12×6×8=12×10×CD ，∴CD =245
，故选C ． 题八：
6 详解：在Rt△ABC 中，
由勾股定理得：AB ()()222262822
AC BC +=+==
由面积公式得：S △ABC =12AC •BC =12AB •CD ∴CD =AC BC AB ⨯=2． 题九： 25．
详解：∵35cm 的铁丝弯成一个直角三角形的两直角边，且两边之比为4：3， ∴两直角边分别为20cm 和15cm ，
=25cm ，∴还要准备一个长为25cm 的铁丝， 故答案为：25．
题十： 8cm ．
详解：设两直角边分别为x ，y ∵x +y =10，12
xy =9 ∴（x +y ）2=x 2+y 2+2xy =102 ∴x 2+y 2+2×18=100 ∴x 2+y 2=64=82
∴还需要准备一根8cm 的铁丝．
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