平面向量与平面几何
平面向量的概念
平面向量的概念平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。
平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。
平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。
平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。
即用平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)来表示平面向量AB。
向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。
另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。
例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。
平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。
平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。
例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。
减法也是同样的方法。
数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。
平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。
例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。
向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。
平面向量的几何应用
平面向量的几何应用平面向量是研究几何的重要工具，它们不仅可以描述物体的位置和方向，还可以用于求解几何问题。
本文将详细介绍平面向量在几何中的应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
一、向量的平移向量的平移是指将一个向量沿着指定方向移动一定距离的操作。
平移后的向量与原向量具有相同的大小和方向。
使用平移向量可以方便地描述物体的位移以及多边形的平移。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量M表示平移向量，平移后的向量为AM=M+AB。
通过平移向量，我们可以方便地计算出物体的新位置。
二、向量的旋转向量的旋转是指将一个向量绕某个点或轴旋转一定角度的操作。
向量在旋转后具有相同的大小，但方向发生改变。
向量的旋转常用于描述物体的旋转以及多边形的旋转。
例如，有一向量OA表示物体的位置，向量θ表示旋转向量，旋转后的向量为OA'=OA*cosθ+OB*sinθ，OB为垂直于OA的单位向量。
通过向量的旋转，可以方便地计算出物体旋转后的新位置。
三、向量的投影向量的投影是指将一个向量在指定方向上的投影长度。
设有向量a和向量b，向量a在向量b上的投影长度为a•cosθ，其中θ为a与b之间的夹角。
向量的投影可用于计算物体在某个方向上的分量。
例如，有一向量AB表示物体的位移，向量n表示指定方向，物体在指定方向上的分量为AB•cosθ。
通过向量的投影，我们可以方便地计算出向量在指定方向上的分量大小。
四、向量的共线和垂直两个向量共线意味着它们的方向相同或相反，可以表示为a=k*b，其中k为常数。
共线的向量在几何中常用于求解相似三角形或线段的比例关系。
两个向量垂直意味着它们的夹角为90度，可以表示为a•b=0。
垂直的向量在几何中常用于求解垂直平分线、垂直平面等概念。
总结：平面向量具有广泛的几何应用，包括向量的平移、旋转、投影以及共线、垂直等概念。
通过运用向量的几何性质，我们可以更加便捷地解决各类几何问题。
掌握平面向量的几何应用，有助于提高解题效率，深入理解几何学中的相关概念和原理。
平面向量与平面的关系
平面向量与平面的关系平面向量是向量的一种形式，它的组成部分是一个起点和一个终点，可以用箭头来表示。
平面是二维的，由二维点的集合构成，其上的点可以用二维坐标表示。
本文将探讨平面向量与平面之间的关系及相关的性质。
一、平面向量的定义与性质平面向量可以表示为两个点之间的差向量。
设点A(x1, y1)和点B(x2, y2)是平面上的两个点，其联结的平面向量可以表示为AB = (x2 -x1, y2 - y1)。
平面向量具有以下性质：1. 平面向量的模：平面向量AB的模可以通过勾股定理求得，即|AB| = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]。
2. 平面向量的加法：两个平面向量的加法可以通过将它们的对应分量相加得到。
设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的和为A +B = (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的数量积：两个平面向量的数量积定义为它们对应分量的乘积的和。
设平面向量A(x1, y1)和平面向量B(x2, y2)，它们的数量积为A · B = x1x2 + y1y2。
4. 平面向量的夹角：设平面向量A和平面向量B不同时为零向量，它们的夹角θ可以由余弦定理求得，即cosθ = (A · B) / (|A| |B|)，从而可以计算出夹角的大小。
二、平面向量与平面之间的关系平面向量和平面之间有着密切的关系，我们将讨论以下几个方面：1. 平面上的平行向量：若两个平面向量的方向相同或相反，它们为平行向量。
若平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)平行，则存在实数k，使得a = kx，b = ky。
2. 平面上的法向量：设平面向量A(a, b)与平面向量B(x, y)垂直，则A为平面的法向量。
当且仅当a = -ky，b = kx时，平面向量A与平面向量B垂直。
3. 平面与平面之间的夹角：设平面P1的法向量为A(a1, b1)，平面P2的法向量为B(a2, b2)，则两个平面之间的夹角θ可以由以下公式计算得到：cosθ = (a1a2 + b1b2) / (|A| |B|)。
平面向量的向量积与平面方程
平面向量的向量积与平面方程平面向量的向量积是向量分析中的重要概念，它在解决平面几何和空间几何问题中发挥着重要作用。
本文将介绍平面向量的向量积的定义、性质以及与平面方程的关联。
一、平面向量的向量积的定义平面向量的向量积又称为叉乘，它是一个二元运算，用符号"×"表示。
给定两个平面向量a和b，它们的向量积a×b的模记为|a×b|，方向与a、b所在的平面垂直，并符合右手法则。
二、平面向量的向量积的性质1. 反交换律：a×b = -b×a2. 分配律：a×(b+c) = a×b + a×c3. 数乘结合律：(ka)×b = a×(kb) = k(a×b)，其中k为实数。
4. 垂直性：a与b的向量积a×b的方向垂直于a和b所在的平面。
5. 模长关系：|a×b| = |a||b|sinθ，其中θ为a和b之间的夹角。
三、平面向量的向量积与平面方程的关联1. 平面方程的一般形式平面方程的一般形式为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为方程的系数，D为常数。
平面上的一个法向量可以表示为n = (A, B, C)。
2. 设平面上有两个向量a和b，它们的向量积为n，即n = a×b。
则平面方程可以表示为n·(P-P0) = 0，其中P(x,y,z)为平面上的任意一点，P0(x0,y0,z0)为平面上的一点。
3. 利用向量积求解平面方程已知平面上的三个点A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，可以通过构造两个向量AB和AC，然后计算它们的向量积n = AB×AC来求解平面方程。
四、示例应用假设平面上有三个点A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)。
首先，计算向量AB和向量AC：AB = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)AC = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)然后，计算向量积n = AB×AC：n = (3, 3, 3)×(6, 6, 6) = (0, 18, -18)最后，代入其中一点A，可得平面方程：0(x-1) + 18(y-2) - 18(z-3) = 0即 18y - 36z + 18 = 0，这就是所求平面的方程。
平面向量与平面几何的应用
平面向量与平面几何的应用在数学中，平面向量是一种具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量在几何学中具有广泛的应用，可以用于解决平面几何问题。
本文将介绍平面向量的基本概念和性质，并探讨其在平面几何中的应用。
一、平面向量的定义与表示平面向量表示空间中的有向线段，其大小用线段的长度表示，方向用箭头所指的方向表示。
平面向量通常用有序数对表示，例如向量$\overrightarrow{AB}$可以表示为$(x_2-x_1,y_2-y_1)$，其中$A(x_1,y_1), B(x_2,y_2)$为向量的起点和终点。
二、平面向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
即对于向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$，有$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$。
2. 向量的数量积向量的数量积也称为点积，表示为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}$，定义为$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|·|\overr ightarrow{AC}|·cos\theta$，其中$\theta$为两个向量的夹角。
3. 向量的向量积向量的向量积也称为叉积，表示为$\overrightarrow{AB}×\overrightarrow{AC}$，其大小等于以$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{AC}$为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形所在的平面。
三、平面向量在平面几何中的应用1. 向量的共线与共面通过向量的数量积可以判断向量的共线性。
若$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=0$，则$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AC}$共线。
巧用平面向量求解某些平面几何问题
2013-01课堂内外巧用平面向量求解某些平面几何问题文/邱雪婉平面向量是一种既有大小,又有方向的量。
它是重要的数学工具,在数学、物理等学科及工程技术中有着非常广泛的应用。
而且,平面向量具有代数形和几何形的双重身份和内涵,在高中数学中,特别是几何方面起着桥梁和工具的作用。
众所周知,平面向量最难之处在于添辅助线。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景,使得平面几何的很多性质,如全等、相似、平移、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示,而不必添加辅助线。
一、平面向量在几何证明方面的应用以三角形的中位线定理为例,例1.如图1所示,△ABC 的两边AB 和AC 的中点分别是E 、F ,则EF ∥BC ,EF =12BC用向量方法证明如下:证:∵E 、F 分别是AB 、AC 两边的中点∴AE =12AB ,AF =12AC ,又在△AEF 中,EF =AF -AE ,从而EF =12AC -12AB =12(AC -AB )=12BC 亦EF ∥BC ,EF =12BC不用辅助线,直接用向量方法证明是比较容易的。
再如:例2.证明菱形的两条对角线互相垂直。
分析:可以通过求菱形的两条对角线对应的向量的内积,由其内积等于零得到垂直的关系。
证:在菱形ABCD 中,设AB =DC =a ⭢,AD =BC =b ⭢,且a ⭢=b ⭢,则AC =AB +AD =a ⭢+b ⭢,DB =AB -AD =a ⭢-b ⭢,∴AC ·DB =(a ⭢+b ⭢)·(a ⭢-b ⭢)=a ⭢2-b ⭢2=0,∴AC ⊥DB ,即AC ⊥DB∴菱形的两条对角线互相垂直。
小结:很多情况下,我们都可以通过证明两个向量的内积为零而得到两条直线(或线段)互相垂直。
当然,更多情况下,直线(或线段)是不垂直的,这时候,我们也可以通过向量的内积公式而求出夹角。
二、平面向量在求直线(或线段)的夹角方面的应用例3.已知三点坐标:A (-1,3),B (1,1),C (3,5),求∠CAB 的大小。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
巧用平面向量求解某些平面几何问题
＝
０
图３
（ ３ ， ５ ） 一 （ 一 １ ， ３ ） ＝ （ ３ ＋ １ ， ５ － ３ ） ＝ （ ４ ， ２ ） ，
、
平 面 向 量在 几何 证 明 方 面 的 应 用
ｌ Ｉ ： 、 ／ 砑
＝ ２ 、 ／ ，
以三角形的 中位线定理为例 ， 例 １ ．如图 １ 所示 ， △Ａ Ｂ Ｃ的两边 Ａ Ｂ和 Ａ Ｃ的中点分别是 Ｅ、
・ ．
当然 ， 更多情况下 ， 直线 （ 或线段 ） 是不垂直的 ， 这 时候 ， 我们也 可 以通过向量的内积公式而求 出夹角 。
二、 平面向量在 求直线 （ 或线段 ） 的夹角方面 的应用
ＡＣ ＝ ２
小结： 在 向量 问题 中 ， 求线段 的长度问题 ， 通常用到两 向量 的
夹角公式
已知 ＡＢ ＝ ８ ， Ａ Ｄ ＝ Ｉ Ｏ ， ／ ＿ Ｂ Ａ Ｄ＝ ６ ０ 。 ， 求对角线
ＡＣ的 长度 。 Ｃ
不用辅 助线 ， 直接用向量 方法证 明是 比较容易的。再 如 ：
分析 ： 显然 ， 在这个平行 四边 形中 ， 涉
图４
例２ ． 证 明菱形 的两条对角线互相垂直。
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小结 ： 这道题利用了向量 的内积求两边所成 的夹角。 首先需要 分别求出两个 向量 的内积及各 自的长度 ，特别要注意 的是得弄清 图 １ Ｃ 楚所求的夹 角对应 的是哪两个 向量 的夹角 。
(整理版)第七讲平面向量的概念与几何意义
第七讲 平面向量的概念与几何意义一、知识回忆知识点1：向量：我们把既有大小又有方向的量叫向量知识点2：向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a ，b ； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ；知识点3：向量AB 的大小――长度称为向量的模，记作|AB |. 知识点4： ①长度为0的向量叫零向量，记作0 ，0 的方向是任意的.②长度为1个长度的向量，叫向量.知识点5：平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0 与任一向量平行.知识点6：相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.〔1〕向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； 〔2〕零向量与零向量相等；〔3〕两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 知识点7：共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，任一组平行向量都可移到同一直线上〔与有向线段的起点无．．．．．．．．．关〕．．.说明：〔1〕平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；〔2〕共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二、典型例题例 1、A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，那么ａ与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点ａ与ｂ不共线，那么ａ与ｂ都是非零向量例 2、判断：〔1〕平行向量是否一定方向相同？〔2〕不相等的向量是否一定不平行？〔3〕与零向量相等的向量必定是什么向量？〔4〕与任意向量都平行的向量是什么向量？〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？〔6〕两个非零向量相等的当且仅当什么？〔7〕共线向量一定在同一直线上吗？例4、 如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC相等的向量.A(起点) B 〔终点〕a变式一：与向量OA 长度相等的向量有多少个？ 变式二：是否存在与向量OA 长度相等、方向相反的向量？变式三：与向量OA 共线的向量有哪些？三、课堂练习1、①向量AB 与CD 是共线向量，那么A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形A BCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.四、总结提升1、 描述向量的两个指标：模和方向.2、 平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、 向量的图示，要标上箭头和始点、终点.五、课后作业1、以下各量中不是向量的是〔 〕错误的选项是．．．．．．〔 〕 A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为03．把平面上一切向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是〔 〕A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点4．非零向量b a //,假设非零向量a c //，那么c 与b 必定 .5．a 、b 是两非零向量,且a 与b 不共线,假设非零向量c 与a 共线,那么c 与b 必定 .ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,那么_______,||=KL ________=KL。
高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影
高中数学知识点总结平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影高中数学知识点总结：平面向量与几何应用之平面向量的数量积与向量的投影在高中数学中，平面向量是一个重要的概念，它能够用来描述空间中的位置和方向。
平面向量的数量积与向量的投影是平面向量的重要运算和应用。
本文将详细介绍平面向量的数量积和向量的投影，并探讨其在几何问题中的应用。
一、平面向量的数量积平面向量的数量积也叫点积，它是两个向量之间的一种运算。
设有两个平面向量a和b，它们的数量积表示为a·b。
1. 数量积的定义数量积的定义如下：a·b = |a| * |b| * cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 数量积的性质数量积具有以下性质：（1）a·b = b·a，即数量积满足交换律。
（2）a·a = |a|^2，即一个向量与自身的数量积等于它的模长的平方。
（3）a·b = 0，当且仅当a和b垂直。
3. 数量积的应用数量积在几何问题中有广泛的应用，包括求向量夹角、判断向量垂直和平行关系，以及求向量投影等。
（1）求向量夹角利用数量积的定义，可以得到以下结论：cosθ = (a·b) / (|a| * |b|)通过以上公式，可以求得向量a和向量b的夹角θ的余弦值，然后进一步求得夹角θ。
（2）判断向量垂直和平行关系设有两个非零向量a和b，利用数量积可以得到以下结论：（i）若a·b = 0，则向量a和向量b垂直。
（ii）若a·b = |a| * |b|，则向量a和向量b平行。
通过以上结论，可以判断两个向量之间的垂直和平行关系。
（3）求向量投影向量投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。
设有非零向量a和向量b，向量a在向量b上的投影表示为proj_b a，其计算公式如下：proj_b a = (a·b) / |b|通过这个公式，可以求得向量a在向量b上的投影。
高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)
平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标： 一）向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二）考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点：(1) 理解有关概念是基础，掌握线性运算、坐标运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时，应注意运用数形结合的数学思想，将共线、垂直等问题，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.4.难点：向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件，综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质，会用向量的几何意义解决问题，有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述：常见的向量法解决简单的平面几何问题： 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离（长度）问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用：已知ABC D 中，(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ，求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标（x ，y ），由AD 是BC 边上的高可得⊥，且B 、D 、C 共线，∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为（1，1），AD ＝（－1，2）. 【答案】AD ＝（－1，2）【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ，，(12)B --，，(31)C ，，且2BC AD =u u u r u u u r，则顶点D 的坐标为 （ ） A ．722⎛⎫ ⎪⎝⎭，B ．122⎛⎫- ⎪⎝⎭，C ．(32)，D ．(13)，【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ ， 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1，点D E 、分别为AB BC 、的中点，求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r （1，），（，1），cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用：已知向量3(sin ,)4a x =r ，(cos ,1)b x =-r ．设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ，已知在ABC ∆中，内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、，若a =2b =，sin B =()4cos(2)6f x A π++（[0,]3x π∈）的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为，所以4A π=.因为+.所以, ，, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用：（1）已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________．【解析】如图所示，以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ， 则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得， 平行四边形OACB 是矩形，OA →⊥OB →.由图象得，直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2（2)椭圆的焦点为F F ，点P 为其上的动点，当∠F P F 为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （3cos ,2sin ）.为钝角，.∴=9cos 2－5＋4sin 2=5 cos 2－1<0.解得： ∴点P 横坐标的取值范围是（）. 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r（θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】（） 法二：F 1（－,0）F 2（,0）,设P （x,y ）.为钝角，∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得：353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是（）. 【答案】（） 2. 在物理学中的应用：如图所示，用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N ，则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的（对称） ，∴OA =OB ，∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ，∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD ， ∴三角形OAD 为等边三角形 ，∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 ， ∴OA =10 ，∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）A ．2-B ．32-C ．43- D ．1-【解析】如图，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线DA 为y 轴，D 为坐标原点建立平面直角坐标系，则A ，(1,0)B -，(1,0)C ，设(,)P x y ，所以()PA x y =-u u u r ，(1,)PB x y =---u u u r，(1,)PC x y =--u u u r ，所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ，22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-，当(0,2P 时，所求的最小值为32-，故选B ． 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中，已知点()10A -，、()20B ，，E 、F 是y 轴上的两个动点，且||2EF =u u u r ，则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________．【解析】根据题意，设E （0，a ），F （0，b ）；∴2EF a b =-=u u u r；∴a =b +2，或b =a +2；且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ，；∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r； 当a =b +2时，()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r；∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-； ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3，同理求出b =a +2时，AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3．故答案为：﹣3．【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u r u u u r，则点A 的横坐标为___________．【解析】设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【解析】方法一：222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ，所以|2|+==a b .方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图，在同一个平面内，向量OA u u u r ，OB uuu r ，OC uuu r 的模分别为1，1，2，OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α，且tan α=7，OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°．若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ，则m n +=___________．【解析】由tan 7α=可得sin 10α=，cos 10α=，根据向量的分解，易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩，即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩，即得57,44m n ==，所以3m n +=． 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ，b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________，最大值是___________．【解析】设向量,a b 的夹角为θ，则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+，据此可得：()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ，即++-a b a b 的最小值是4，最大值是【答案】4，7. 【2016·江苏卷】如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，BA →·CA →＝4， BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →＝a ，AC →＝b ，则BA →·CA →＝(－a )·(－b )＝a ·b ＝4.又∵D 为BC 中点，E ，F 为AD 的两个三等分点，则AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，AF →＝23AD →＝13a ＋13b ，AE →＝13AD →＝16a ＋16b ，BF →＝BA →＋AF →＝－a ＋13a ＋13b ＝－23a ＋13b ，CF →＝CA →＋AF →＝－b ＋13a ＋13b ＝13a －23b ，则BF →·CF →＝⎝⎛⎭⎫－23a ＋13b ·⎝⎛⎭⎫13a －23b ＝－29a 2－29b 2＋59a ·b ＝－29(a 2＋b 2)＋59×4＝－1. 可得a 2＋b 2＝292.又BE →＝BA →＋AE →＝－a ＋16a ＋16b ＝－56a ＋16b ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋16a ＋16b ＝16a －56b ，则BE →·CE →＝⎝⎛⎭⎫－56a ＋16b ·⎝⎛⎭⎫16a －56b ＝－536(a 2＋b 2)＋2636a ·b ＝－536×292＋2636×4＝78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b （1）若a ∥b ，求x 的值；（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．【解析】（1）因为co ()s ,sin x x =a，(3,=b ，a ∥b，所以3sin x x =． 若cos 0x =，则sin 0x =，与22sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．于是tan 3x =-．又[]0πx ∈，，所以5π6x =．（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b ． 因为[]0πx ∈，，所以ππ7π[,]666x +∈，从而π1cos()62x -≤+≤． 于是，当ππ66x +=，即0x =时，()f x 取到最大值3； 当π6x +=π，即5π6x =时，()f x取到最小值-【答案】（1）5π6x =；（2）0x =时，()f x 取到最大值3；5π6x =时，()f x取到最小值-．1.已知数列{}n a 为等差数列，且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ，若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，点O 为直线BC 外一点，则12017a a +=（ ）A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ， ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r， 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r ， 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r，∴3201511a a ++=， ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中， AD 为斜边BC 边的高，若1AC =u u u r ， 3AB =u u u r，则CD AB ⋅=u u u r u u u r （ ）【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B，所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为，平面ABC 内的动点P ，M 满足1AP =uu u r ，PM MC =uuu r uuu r ，则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心，以D 为原点，直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系，由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ，得()2221x y -+=，又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ，它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14，()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ，故选B.【答案】B4.已知曲线C ：x =直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r，则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点，设(,)P x y ，则(2,)Q m x y --，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1，则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示， 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中，∠ABC ＝120°，BA ＝2，BC ＝3，D ，E 是线段AC 的三等分点，则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →＝(BA →＋AD →)·(BC →＋CE →)＝⎝⎛⎭⎫BA →＋13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋13CA → ＝⎣⎡⎦⎤BA →＋13（BC →－BA →）·⎣⎡⎦⎤BC →＋13（BA →－BC →）＝⎝⎛⎭⎫13BC →＋23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA → ＝29BC →2＋59BC →·BA →＋29BA →2＝29×9＋59×2×3×cos 120°＋29×4＝119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF . 若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. 【解析】法一、 如图，AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋1λDC →＝BC →＋1λAB →，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →＋1λAB →＝⎝⎛⎭⎫1＋13λAB →·BC →＋1λAB →2＋13BC →2＝⎝⎛⎭⎫1＋13λ×2×2×cos 120°＋4λ＋43＝1，解得λ＝2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A (0，1)，C (0，－1)，B (－3，0)，D (3，0).由BC ＝3BE ，DC ＝λDF .可求点E ，F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫－233，－13，F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ， ∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫－233，－43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1－1λ，－1λ－1＝－2⎝⎛⎭⎫1－1λ＋43⎝⎛⎭⎫1＋1λ＝1，解得λ＝2. 【答案】28.在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________.【解析】AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ－23AB →·AC →－13AB →2＋2λ3AC →2＝λ－23×3－13×32＋2λ3×22＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.【答案】3119.在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝__________；y ＝__________.【解析】MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.【答案】 12 －1610.在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ·19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则B (2，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，D ⎝⎛⎭⎫12，32.又BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则E ⎝⎛⎭⎫2－12λ，32λ，F ⎝⎛⎭⎫12＋19λ，32，λ＞0，所以AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫2－12λ⎝⎛⎭⎫12＋19λ＋34λ＝1718＋29λ＋12λ≥1718＋229λ·12λ＝2918，λ＞0， 当且仅当29λ＝12λ，即λ＝23时取等号，故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠P AQ ＝π4，则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (2，0)，D (0，1).设∠P AB ＝θ，则AP →＝(2，2tan θ)，AQ →＝⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1，0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →＝(2，2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ，1＝2tan ⎝⎛⎭⎫π4－θ＋2tan θ＝2（1－tan θ）1＋tan θ＋2tan θ＝41＋tan θ＋2tan θ－2＝41＋tan θ＋2(tan θ＋1)－4≥42－4，当且仅当tan θ＝2－1时，“＝”成立，所以AP →·AQ →的最小值为42－4.法二(基底法) 设BP ＝x ，DQ ＝y ，由已知得，tan ∠P AB ＝x2，tan ∠QAD ＝y ，由已知得∠P AB ＋∠QAD ＝π4，所以tan ∠P AB ＋tan ∠QAD 1－tan ∠P AB tan ∠QAD ＝1，所以x ＋2y 2＝1－xy2，x ＋2y ＝2－xy ≥2x ·2y ，解得0＜xy ≤6－42，当且仅当x ＝2y 时，“＝”成立.AP →·AQ →＝22·（4＋x 2）（1＋y 2）＝22·（xy ）2＋（x ＋2y ）2－4xy ＋4＝22·（xy ）2＋（2－xy ）2－4xy ＋4＝（xy ）2－4xy ＋4＝2－xy ≥42－4. 【答案】 42－412.设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x ＝________.【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即yx ＝± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中，已知AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，若点P 满足AP →＝AB →＋λAC →，且BP →·CP →＝1，则实数λ的值为________.【解析】 由AB ＝1，AC ＝2，∠A ＝60°，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝3，即BC ＝ 3.又AC 2＝AB 2＋BC 2，所以∠B ＝90°.以点A 为坐标原点，AB →，BC →的方向分别为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则B (1，0)，C (1，3).由AP →＝AB →＋λAC →，得P (1＋λ，3λ)，则BP →·CP →＝(λ，3λ)·(λ，3λ－3)＝λ2＋3λ(λ－1)＝1，即4λ2－3λ－1＝0，解得λ＝－14或λ＝1.【答案】 －14或114.证明:同一平面内，互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图，用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力，且r a ,r b ,rc 互成120°，模相等，按照向量的加法运算法则，有：r a +r b +r c = r a +（r b +r c ）=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知：三角形OBD 为等边三角形， 故r a 与u u u r OD 共线且模相等，所以：u u u r OD = －r a ，即有：r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域（含边界）上，且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.（1）若23m n ==，求||OP u u u r ；（2）用,x y 表示m n -，并求m n -的最大值.【解析】（1）(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ，(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ，又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r，|OP ∴u u u r（2）OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩，两式相减得：m n y x -=-.令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【答案】（1）（2）m n y x -=-，1.16.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足AP →＝mAB →＋nAD →(m ，n 均为正实数)，求1m ＋1n的最小值.【解析】 如图，建立平面直角坐标系，得A (0，0)，B (4，0)，D (0，4)，C (1，4)，则AB →＝(4，0)，AD →＝(0，4).设AP →＝(x ，y )，则BC 所在直线为4x ＋3y ＝16. 由AP →＝mAB →＋nAD →，即(x ，y )＝m (4，0)＋n (0，4)，得x ＝4m ，y ＝4n (m ，n >0)， 所以16m ＋12n ＝16，即m ＋34n ＝1，那么1m ＋1n ＝⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ⎝⎛⎭⎫m ＋34n ＝74＋3n 4m ＋m n ≥74＋23n 4m ·m n ＝74＋3＝7＋434(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号). 17.已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且m ⊥n . (1)求cos 2α的值； (2)若sin(α－β)＝1010，且β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ，得2cos α－sin α＝0，sin α＝2cos α，代入cos 2α＋sin 2α＝1，得5cos 2α＝1， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝55，cos 2α＝2cos 2α－1＝－35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，得α－β∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.因为sin(α－β)＝1010，所以cos(α－β)＝31010，而sin α＝1－cos 2α＝255， 则sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以β＝π4.。
平面向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用平面向量是高中数学中常见的概念之一，也是学习平面几何的基础知识。
它在平面几何中有着广泛的应用，本文将探讨平面向量在平面几何中的应用。
一、向量的加减法向量的加减法是平面向量中最基本的概念之一。
通过向量的加减法可以求出向量之间的关系，包括平移、共线、垂直等。
特别地，通过向量的加减法可以得到两条直线的方向向量，从而判断直线的位置关系。
例如，如果两条直线的方向向量共线，则这两条直线是平行的。
二、向量的数量积向量的数量积是平面向量中最重要的概念之一。
通过数量积可以求出向量之间的夹角，从而判断向量之间的位置关系。
特别地，如果两个向量的数量积为0，则这两个向量垂直。
在平面几何中，数量积可以应用于求解线段的长度，以及求解两条直线的夹角等。
三、向量的叉积向量的叉积是平面向量中较为高级的概念之一。
它可以用来求解向量之间的平面面积，从而进一步应用于求解多边形的面积和体积。
特别地，通过向量的叉积可以求解三角形的面积公式，即：$$S=\frac{1}{2}|\vec{AB}\times \vec{AC}|$$其中，$S$为三角形的面积，$\vec{AB}$和$\vec{AC}$为三角形的两个边向量。
四、向量的投影向量的投影是平面向量中重要的概念之一。
它可以用来求解向量在另一个向量上的投影长度，从而应用于求解点到直线的距离、向量的正交投影以及向量的正交分解等。
在平面几何中，向量的投影可以进一步应用于求解角度平分线、中垂线等重要的几何概念。
五、向量的叠加向量的叠加是平面向量中较为高级的概念之一。
它可以用来求解平面图形的重心、质心等重要的几何概念。
特别地，在三角形中，三条中线的交点即为三角形的重心，而三角形的面积的三分之一乘以重心到任意一顶点的距离即为三角形的质心。
六、向量的推导向量的推导是平面向量中较为复杂的部分之一。
通过向量的推导可以应用于证明平面几何中的许多重要定理，例如向量的夹角公式、平面几何中的海涅定理等。
借助平面向量处理平面几何问题
借助平面向量处理平面几何问题【用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 】(1)建立平面几何与向量的联系——用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题.(2)通过向量运算——线性运算和数量积，研究几何元素之间的关系，如距离、平行、垂直及夹角等问题.(3)把运算结果通过“翻译”——还原成几何元素间的关系. 流程图为：形转换成向量→向量运算→运算结果还原为形.向量在平面几何中的应用是非常广泛的.下面我们就五个方面来进行初步研究. (一) 点共线与线共点问题:例1.设两个非零向量e 1，e 2不共线,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2, 求证:A 、B 、D 三点共线.证明：∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+3e 2)+(6e 1+23e 2)+( 4e 1-8e 2)=12e 1+18e 2 =6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵ AB 与AD 共点A ， 故 A 、B 、D 三点共线.例2.如图1.5—1.在三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 是DA 的中点，F 是AC 上的点，3AF=FC. 求证：B 、E 、F 三点共线. 证明：设BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2，由定比分点的向量形式得， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12(e 1+e 2). BF ⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA⃗⃗⃗⃗⃗ =34(e 1+e 2). ∴ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 23BF ⃗⃗⃗⃗ ，⇒ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BF ⃗⃗⃗⃗ . 又∵ BE 与BF 共点B ， 故 B 、E 、F 三点共线.说明：证明A 、B 、C 三点共线的基本思路是：先选取两不共线线段所对应的向量作为基底，然后将所证三点对应的两向量用基底表示出来，从而得到某个定值λ，使得AB⃗⃗⃗⃗⃗ = λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 再说明AB 与AC 共点A,从而推出A 、B 、C 三点共线.想一想①： 如图1.5—2.已知∆ABC ，在AC 上取点N ，使3AN=AC ， 在AB 上取点M 使3AM=AB ，在BN 的延长线上取点P ，使2NP=BN ， 在CM 的延长线上取点Q ，使2MQ=CM. 求证：P 、A 、Q 三点共线. 例3.用向量方法证明：三角形的三中线交于一点.已知：在∆ABC 中，G 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 交于点P.求证：AD 、BE 、CL 三线共点.证明：设AD∩BE=P . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a , AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 b . CL ⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +12b . 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ =m(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴ CP ⃗⃗⃗⃗ =(−1+m )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1+m 2)a +m2 b . ① 又设 EP⃗⃗⃗⃗ =n EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP ⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ =n(EC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CP ⃗⃗⃗⃗ =(1−n )CE ⃗⃗⃗⃗ +nCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+n 2a +nb ② 由①、②得:m =23且n =13. ∴CP ⃗⃗⃗⃗ = -23a +13b = 23(-a +12b )= 23CL⃗⃗⃗⃗ B D C F AE 图1.5—1e 1 e 2B MCN PA Q 图1.5—2A LB D CE Pa b 图1.5—3∴ C 、P 、L 三点共线, 故 AD 、BE 、CL 三线共点.说明:1.证明三线共点的基本思路是：先假设两线交于一点P ，然后说明第三条线也过该点.通常要用平面向量基本定理得出参数的等量关系式.2.此题的证明也可参见§1.6【与重心有关的问题】中，命题1的证明.例4.如图1.5—4.设P 、Q 、R 分别是三角形ABC 三边(异于顶点)上的点，若AR=xRB ，BP=yPC ，CQ=zQA. 求证:AP 、BQ 、CR 三线共点的充要条件是：xyz=1.证明:①必要性:设AP 、BQ 、CR 交于点G, ∵ A 、G 、P 三点共线,∴ CB 1CA )-(1CP CA )-(1CG y++=+=αααα(0<α<1). 又∵ B 、G 、Q 三点共线,∴ CA 1CB )-(1CQ CB )-(1CG zz ++=+=ββββ,(0<β<1）.另外可令:))CB AC (11()11()(CG +++=++=+==xCA r AB x CA r AR CA r CR r=CB xxr CA xxr +++11.由平面向量基本定理知：,111,111xr y x rx z z +=+=-+=+=-αββα且⇒1111,11,11-+-=--+=-+-=--+=r r x z y ββααβααββα.由关于x 的两个等式,⇒0)2(=-++r r βα,⇒2=++r βα,⇒ αβ--=11x , ⇒ xyz=1.②充分性:设 xyz=1 ,设AP 与BQ 交于G,连CG 并延长交AB 于R 1,又设AR 1=x 1R 1B.由必要性知 x 1yz=1,⇒ x=x 1 , ⇒R 与R 1重合. AP 、BQ 、CR 三线共点. 由①②知命题成立.想一想②：由例4的结论，你能否给出三角形的三中线、三内角的平分线都是交于一点的.(二)垂直性的证明：例5.已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ， PF ⊥BC 于点F ，连接DP 、EF.求证DP ⊥EF.证明：选择正交(相互垂直)基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1) 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a)，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，a).∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1).∵ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1) ∙(1−a ，a)=0， ∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗ ， 因此DP ⊥EF.例6.若非零向量a ，b 满足|a -b |=|a +b |，则向量a ，b 的关系是_________________. 解法1：(把向量用坐标表示，利用坐标关系体现向量关系).设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，.则a + b=( x 1+ x 2，y 1+ y 2) ，a -b=( x 1-x 2，y 1-y 2).∵ |a -b |=|a +b |，()221221221221)()()(y y x x y y x x -+-=+++，B CP QA RG 图1.5—4 图1.5—5即 x 1x 2+y 1y 2=0，∴ a ⊥b . 解法2：(通过等价转化寻找向量a ，b 的关系). 将|a -b |=|a +b |两边平方得，a 2+b 2-2a ·b=a 2+b 2+2a ·b ， 化简得a ·b =0，∴ a ⊥b .解法3：(利用向量加法，减法的几何意义). 如图1.5—6.根据向量加法，减法的三角形及平行四边 形法则知，对角线相等的平行四边形ABCD 是矩形.所以相邻两边垂直，因此 a ⊥b .例7.已知a 、b 是单位向量，a ·b =0.若向量c 满足| c -a -b |=1，求|c |的取值范围. 分析1.由|a |=|b |=1，将|c -a -b |=1，两边平方可得|c |2-2|a+b ||c |cos θ+1=0 (1).其中θ为向量(a +b )与c 成的角. 再由a ·b =0，⇒|a +b |=√2. 从而由(1)式可得， ]1,1[||221||cos 2-∈+=c c θ，解得 |c |]12,12[+-∈.上述解答过程无论是解题思路、还是计算过程都是比较繁琐的.倘若我们换一个角度来思考，其解答过程将要简洁得多. 分析2.由已知，a 、b 是互相垂直的单位向量，设O 为坐标原点. 则a +b为正方形OACB 的对角线OC 所对应的向量.如图1.5—7(1). 而|c -a -b |=1的几何意义为：向量c 的终点在以C 为圆心， 以1为半径的圆上运动.由圆的性质易得|c |]12,12[+-∈.分析3.建立如图1.5—7(2)所示的平面直角坐标系.设a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)， b =OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1)，c =(x ，y).可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =(1，1)， 由|c -a -b |=1可得(x -1)2+(y -1)2=1. ∴|c |=√x 2+y 2, 再由圆的性质易知|c |]12,12[+-∈.例8.在平面上，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12(O 为坐标原点)，则|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 分析：此题若仿例7的法1，从数的角度去处理，将比例7要繁杂得多，因为这里的变数更多.若从几何意义出发，由，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可知点B 1、B 2在单位圆上运动.作为填空题，在这里我们不妨将点B 1放在 特殊位置——单位圆与x 轴的正半轴的交点.如图1.5—8.结合图形知，当点A 在B 1A 上移动时，点P 在B 1O 间移动. 当点A移动到A ′ (此时|B 1A ′|= √32，|OP|= 12).当点在A ′A间移动 时(AB 2与单位圆相切)，点P 在OP 间移动，且满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |< 12. 由此易知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是(√72，√2].至于点B 2在单位圆的其它位置移动时，由圆的对称性，上述结论仍然成立.说明：从以上几例可以看出，“以形代数”，再利用其对应的几何意义和几何特性来处理一些A 图1.5—6CD aba+b a -bxy B 1 B 2 AP P O图1.5—8O AB C ab a+b图1.5—7(1) OAB C yx与向量的模有关的问题时，往往可以收到化繁为简、事半功倍的效果.这也是数形结合思想方法的重要体现.例9.如图1.5—9在四边形ABCD 中，若AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，则AC ⊥BD. 证明：由AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，⇒2222DA B C CD A B +=+， ⇒2222CD DA BC AB -=-，⇒)CD -DA ()CD DA ()B C -AB ()B C AB (⋅+=⋅+， ⇒)CD -DA (CA )B C -AB (AC ⋅=⋅，⇒0)]CD B C (-DA AB [AC =++⋅，⇒0DB 2AC =⋅，⇒ 0DB AC =⋅，⇒AC ⊥BD.说明：欲证AB ⊥CD ，只需证明 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.想一想③：1.例9的逆命题成立吗？2.求证：平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是：两对角线AC ⊥BD.3.若在Rt △ACB 中，∠ACB=900，AC=BC,D 为AC 的中点，E 为AB 上的点，且2AE=EB ，求证：BD ⊥CE(三)线段的等量关系：例10.如图1.5—10.已知平行四边形ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，并且BE =FD .求证AECF 是平行四边形. 证明：由已知设==DC AB a ，==FD BE b.=+=BE AB AE a + b ，=+=DC FD FC b + a ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即边AE 、FC 平行且相等，AECF 是平行四边形.例11.求证平行四边形对角线互相平分．证明：如图1.5—11.设平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，.,BD y BM AC x AM == 则AD x AB x AC x AM +==.∵ AD y AB y AB AD y AB BD y AB BM AB AM +-=-+=+=+=)1()(.根据平面向量基本定理知，∴ x=1-y 且x=y ，⇒ x=y=12.∴ 点M 是AC 、BD 的中点，即两条对角线互相平分.例12.如图1.5—12. 在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 猜想：AR=RT=TC解：设.,,AB r AR b AD a === 则 =AC a+b. 由于 AC AR 与 共线，故设r=n(a+b ). 又∵ EB ,ER 共线，故设)21(ER b a m -=，∵ ER AE AR +=, ∴ )21(21b a m b r -+=， 因此n(a+b )=)21(21b a m b -+，⇒ m=n=13 ，⇒AR=13AC. 同理 TC=13.AC. 故AT=RT=TCAB CD图1.5—9CADM B图1.5—11ABCD EFRT 图1.5—12A B C D EF图1.5—10例13.如图1.5—13.设AC 是平行四边形ABCD 的长对角线，从C 引AB 、AD 的的垂线CE 、CF ，垂足分别是E 、F.试用向量方法证明：AB·AE+AD·AF=AC 2. 证明：在Rt △AEC 中，cos |AC ||AE |=∠BAC ， 在Rt △AFC 中，cos |AC ||AF |=∠DAC ，∴ |AC ||AB ||AE ||AB |=⋅cos ∠BAC=AC AB ⋅，|AC ||AD ||AF ||AD |=⋅cos ∠DAC=AC AD ⋅,⇒+⋅|AE ||AB |=⋅|AF ||AD |AC AB ⋅+AC AD ⋅=2AC AC )AD AB (=⋅+.即：AB ·AE+AD ·AF=AC 2.点评：证明线段的等量关系时,通常要用向量加减法的三角形及平行四边形法则、平面向量基本定理及a 2=|a|2等基本结论.想一想④：用向量证明三角形及梯形的中位线性质定理.(四)平面几何中基本定理的向量证法： 例14.证明直径所对的圆周角是直角.如图1.5—14.已知⊙O ，AB 为直径，C 为⊙O 上任意一点. 求证∠ACB=900.证明：设b OC a ==,AO ，由已知得|a |=|b |. , 则0)()(22=-=-⋅+=⋅b a b a b a BC AC ，∴ AC ⊥BC . 即 ∠ACB=900.例15.(任意三角形中的射影定理).在三角形ABC 中，设AB=c ，AC=b ，BC=a. 求证：b=a·cosC+c·cosA ①.c=a·cosB+b·cosA ②. a=c·cosB+b·cosC ③. 证明：如图1.5—15.设=AB c ，=BC a ，=AC b . 则a+c =b ，⇒(a+c )·b =b 2，⇒a ·b+c ·b=b 2，⇒|a ||b |cosC+|c ||b |cosA=|b |2，⇒|a | cosC+|c |cosA=|b |， 即 b=a·cosC+c·cosA ①类似地可得 c=a·cosB+b·cosA ② a=c·cosB+b·cosC ③说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角形中三角函数的定义来证明.例16.(直角三角形中的射影定理)如图1.5—16.在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：AC 2=AD ·AB ① BC 2=BD ·AB ② 证明：∵ BA -BC AC =.(1) DC AD AC +=.（2）又 ∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，⇒ 0DC B A 0,AC B C =⋅=⋅.AEBC FD图1.5—13AOBC图1.5—14A CBb ca 图1.5—15 ADBC图1.5—16由(1)、(2)得：AD BA -)DC AD (BC )DC AD ()BA -BC (AC 2⋅+⋅=+⋅= =||||cos |AD ||B A |-AC B C AD BA =⋅⋅π， 即 AC 2=AD ·AB. ① 类似地可得: BC 2=BD ·AB.②想一想⑤：用向量方法证明勾股定理.例17.已知PT 是圆O 的切线，PAB 是圆的割线.求证：PT 2=PA ·PB.(圆幂定理). 证明：设圆O 的半径为R ，P 是平面上任意一点，如图1.5—17.过P 引射线交圆O 于A 、B ，e 为PB 上的单位向量，21,λλ分别表示PA 、PB 的长度， 则 1OP OA λ+=e ，2OP OB λ+= e. 设M 是PB 上的一动点，|PM |为x ，则x +=OP OM e.∵ 点M 在圆O 上的充要条件是22R OM =. 即22R e)OP (=+x . ∴ 0||)(2222=-+⋅+R OP x e OP x (1) 当点M 与A 重合时，得到PA 的长度1λ是方程（1）的根， 当点M 与B 重合时，得到B P 的长度也2λ是方程（1）的根. 由一元二次方程根与系数的关系知：2221R |OP |—=⋅λλ. 当P 在圆外时，过P 引切线PT(T 为切点). 则由勾股定理易得：222R |OP |PT —=, ∴ PB PA PT 212⋅=⋅=λλ说明：换一个角度看：如果A 与B 重合，PA 即切线，此时PA 2也应等于22R |OP |-.由勾股定理之逆便可得到：过切点的半径垂直于切线这一结论.想一想⑥：你能否用例17的结论来证明相交弦及垂径定理.(五)最值问题：例18.如图1.5—18.在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．解法1.解题思维的入手点是在“Rt △ABC 中”，据此进行翻译和转化．∵AC AB ⊥，∴ 0=⋅AC AB .AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,, ，)()(AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴AC AB AQ AB AC AP AQ AP ⋅+⋅-⋅-⋅=AP AB AC AP a ⋅+⋅--=2)(2AC AB AP a -⋅--=22cos a a θ=-+． cos 1,0(),0PQ BC BP CQ θθ==⋅故当即与方向相同时最大,其最大值为．解法2.以直角项点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图1.5—19所示的平面直角坐标系.设|AB|=c, |AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ），且|PQ|=2a ，|BC|=a.设点P 的坐标为(x ，y)，则Q(-x ，-y).ABCQP 图1.5—18PT A 图1.5—17OMB·∴),(),,(b y x CQ y c x BP ---=-=，(,),(2,2)BC c b PQ x y =-=-- ∴ )())((b y y x c x CQ BP --+--=⋅=by cx y x -++-)(22. ∵ 2||||cos a by cx BC PQ BC PQ -=⋅⋅=θ； ∴ θcos 2a by cx =-. ∴ θcos 22a a CQ BP +-=⋅. 故当1cos =θ，即0=θ(PQ 与BC 方向相同)时，CQ BP ⋅最大， 其最大值为0.例20.在锐角∆P 1P 2P 3内找一点P ，使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短.解:设在锐角三角形P 1P 2P 3内有一点P 使得:∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=∠P 3P P 1=1200.令：的长度是是单位向量i i i i i i PP ,,PP αεεα=（i=1，2，3） 易知0321=++εεε，又设Q 是任意一点，|||||||||QP |i i i i i i i QP QP PP QP εαεεα+=+=+=≥)(i i i QP εαε+⋅三式相加得：233222211321321)(|||||QP |εαεαεαεεε+++++≥++QP QP QP =321ααα++=|P 1P|+|P 2P|+|P 3P|由此可知点P 是使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短的点. 为了找到这样的点P ，可在∆P 1P 2P 3外分别以P 1P 2与P 2P 3为边作两个正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B ，再分别作正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B 的外接圆，两圆除P 2外的另一个交点即为所求的点P ，这是因为∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=1200.习题1.51.设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ·b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ).A.3.B.4.C.5.D.6.2. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b =0，(a -c ) ·(b -c )≤ 0，则|a+b -c |的最大值为( ). A.12-. B.1. C..2 D.2.3.在∆ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 为DA 的中点， F 是AC 上一点，如图1.5—21.3AF=FC ，求证：B 、E 、F 三点共线.4.已知OA ⊥BC ，B ⊥AC ，求证：OC ⊥AB5.如图1.5—22. 以AB 、AC 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，M 是BC 的中点，求证：AM ⊥EF.6.证明∆ABC 三边的中垂线交于一点.7.在∆ABC 中，若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = b .求证：S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2. 8.已知G 为∆ABC 的重心，且GA=3，GB=5，GC=7.(1)证明﹕GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)求GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值﹒(3)求△AGB 的面积﹒P 1P 2P 3P图1.5—20BACDEF 图1.5—21 A B M CD EN FG图1.5—22ABCQP图1.5—19xy参考答案想一想①：证明：∵ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵A 是公共点，∴ P 、A 、Q 三点共线. 想一想②：对于三中线易知x=y=z=1;对于三内角平分线,可利用内角平分线的性质，得到x.y.z=1. 想一想③：1.成立. 设AC 与BD 交于P ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵ AP ⊥PB, ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，于是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 即：AB 2=AP 2+PB 2 ①(实质是证明了勾股定理).同理CD 2=DP 2+PC 2 ② 由①、②得：AB 2 +CD 2=AP 2+PB 2 +DP 2+PC 2=BC 2+DA 2. 2.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = a+b ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-b 2 =|a |2-|b |2=0，|a |=|b |. ∴ 命题成立. 3.证明：如图D1.5—1.以两直角边为坐标轴，C 为原点建立坐标系，设A(1，0)、B(0，1)、C(0，0)，则D(12，0)，E(23，13). 得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，−1)，CE ⃗⃗⃗⃗ =(23，13), BD ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE ⃗⃗⃗⃗ =0， ∴ BD⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CE ⃗⃗⃗⃗ 即BD ⊥CE. 想一想④：利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则. 想一想⑤： (略). 想一想⑥：当P 在圆内时，由例4的结论知：λ1λ2=R 2-|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，易得相交弦定理. 当P 是弦AB 的中点时，λ1λ2=PA 2(或PB 2)也易得结论成立.习题1.5 1.C. 2.B.3.如图D1.5—2.设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =b.则易得： BF⃗⃗⃗⃗ =34(13b + a )，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13b + a ). (下略). 4.证明：如图1.5—3.∵OA ⊥BC ，B ⊥AC ，∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ① 及 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ② ①-② 得OC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴ .则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OC ⊥AB. 5.证明：∵ AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12[-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC )+|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC)] =0. ∴ AM ⊥EF.6.证明：如图D1.5—4.设边BC 、AC 的中垂线交于点O ，则OA=OB=OC ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAFB ，由向量加法的平行四边形法则知OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA B D E xy图D1.5—1BACDE F图D1.5—2A B M CD ENFG图D1.5—3 AFBCD EO图D1.5—4∴ 四边形OAFB 是菱形，则OF 垂直平分AB.即边AB 的中垂线也过点O.∴三角形ABC 三边的中垂线交于一点. 7.证明：设a ，b 的夹角为θ，则S ∆ABC =12|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ，∵ sin 2θ=cos 2θ=1-(a∙b)2(|a|∙|b|)2∴ S ∆ABC 2=14(|a|∙|b|)2sin 2θ=14[(|a|∙|b|)2-(a ∙b)2]故 S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2 .8.解(1)连AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 交BC⃗⃗⃗⃗⃗ 于D ，∵ G 是三角形ABC 的重心﹐∴ D 为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点﹒ 延长AD⃗⃗⃗⃗⃗ 使得GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒因此D 亦为GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点.故GB G ′ C 为平行四边形﹒ ∵ G 是△ABC 的重心﹐∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒又∵D 是GG′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中点﹐所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒ 因此﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2) ∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2﹐可得GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =152. (3) 由(2)得知﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =52﹒利用数量积的定义得知，|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AGB=152， 解得∠AGB=600 ﹒∴ S △ABG =15√34.。
利用平面向量巧解几何问题
利用平面向量巧解几何问题平面向量具有数与形的双重身份,是解决其它数学问题的有力工具,下面通过例子说明平面向量在解析几何和平面几何中的应用.一、利用平面向量解决解析几何问题【例1】求通过点A （－2，1），且平行于向量(3,1)a = 的直线方程.点拨：在直线上任取一点P(x,y),可知AP a = ，利用向量平行的条件列方程.解：设P(x,y)是所求直线上的任一点，(2,1)AP x y =+- ，AP a = ，(2)13(1)0x y ∴+⨯--=，即所求直线方程为350.x y -+=点评：直线的方向向量和斜率（倾斜角）都是表示直线相对于x 轴正方向的量，要注意分清这些量的区别和联系，以便灵活应用。
【例2】在椭圆221259x y +=上求一点，使它与两个焦点的连线所成的角是直角. 点拨：设椭圆上的满足条件的点为00,)P x y （，利用1290F PF ∠= 和点P 在椭圆上，联立方程组求解。
解：由题意得，椭圆两焦点为12(4,0),(4,0)F F -，设所求点00,)Px y （，则2200925225x y +=①，因为100200(4,),(4,),F P x y F P x y =+=- 12F P F P ⊥ ，所以120F P F P = ，即2200160x y +-=②，由①②得， 0094x y ==±，故所求点的坐标为9999),(),().4444-- 点评：在处理解析几何问题时，需要将向量用点的坐标表示，利用向量的有关法则、性质列出方程.其中向量平行、垂直的条件是经常用到的.二、利用平面向量解决平面几何问题【例3】如图：在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，DE AC ⊥，E 是垂足，F 是DE 的中点，求证：AF BE ⊥.点拨：要证AF BE ⊥，可转化为证向量的数量积为零，即0AF BE = .证明： AB AC =，且D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥ ，0AD BD ∴= .又DE AC ⊥ ，0DE AE ∴= ，BD DC = ，F 是DE 的中点，12EF DE ∴=- ， ()()AF BE AE EF BD DE ∴=++AE BD AE DE EF BD EF DE =+++AE BD EF BD EF DE =++()AD DE BD EF BD EF DE =+++AD BD DE BD EF BD EF DE =+++1122DE DC DE DC DE DE =-- 1110222DE DC DE DE DE EC =-== 点评：解决本题关键是将AF BE 、用其他已知位置关系的向量来表示。
高中数学知识点《平面向量》《平面向量的概念及几何运算》《平面
高中数学知识点《平面向量》《平面向量的概念及几何运算》《平面高中数学知识点《平面向量》《平面向量的概念及几何运算》《平面向量的概念》精选课后作业【37】(含答案考点及解析)班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________1.过圆x＋y＝1上一点P作圆的切线与x轴和y轴分别交于A，B两点，O是坐标原点，则的最小值是．【答案】9【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的概念及几何运算》平面向量的概念【解析】试题分析：这种问题关键是选用一个参数，把待求式表示为这个参数的式子，然后关于这个参数求最值．由于是过圆上的点的切线与坐标轴的交点，因此我们可以设点坐标为，则过点的切线方程为，那么，，当且仅当最小值为9．考点：圆的切线，向量的模，基本不等式．，即时等号成立，故所求两点的坐标为别为，，则222.已知单位向量【答案】的夹角为60°，则=__________.【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的概念及几何运算》平面向量的概念【解析】试题分析：考点：1.向量模长的求解.，所以3.已知点【答案】，向量，且，则点的坐标为。
【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的概念及几何运算》平面向量的概念【解析】试题分析：设点的坐标为（x,y）,则由x=8,y=12，即点的坐标为。
得，（x-2,y-4）=2(3,4),所以x-2=6,y-4=8，所以考点：本题主要考查平面向量的概念及其坐标运算。
点评：简单题，注意若A （a,b）,B(c,d),则。
4.设四边形ABCD中，有A．平行四边形【答案】B=，且||=||，则这个四边形是 C．矩形D．菱形B．等腰梯形【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的概念及几何运算》平面向量的概念【解析】解：因为四边形ABCD中，有组对边相等的四边形为等腰梯形，选B=，且||=||，，因此一组对边平行，另一5.已知m>0,n>0,向量【答案】，且，则的最小值是【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的概念及几何运算》平面向量的概念【解析】略6.若三点A．【答案】C共线，则有B．C．D．【考点】高中数学知识点》平面向量》平面向量的概念及几何运算》平面向量的概念【解析】本题考查利用向量解决三点共线问题。
平面向量与几何应用知识点总结
平面向量与几何应用知识点总结一、平面向量的定义与基本性质平面向量可以用有向线段表示，具有大小和方向两个特征。
向量的相等与几何位置无关，只与大小和方向相同有关。
平移、伸缩和旋转都不改变向量相等的性质。
二、平面向量的表示方式1. 数学表示法：用字母加上一个箭头（→）表示向量，如AB→表示从点A到点B的向量。
2. 列向量表示法：用一个有序数对表示向量，该数对的第一个数是向量在水平方向上的分量，第二个数是向量在垂直方向上的分量。
三、向量的运算法则1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 向量的减法：向量的减法可看作加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中- B表示B的相反向量。
3. 向量的数乘：向量的数乘就是将向量的每个分量乘以一个常数，如kA表示向量A的每个分量都乘以k。
4. 平面向量的数量积：向量的数量积（内积）是向量的一个重要运算，数量积是一个标量。
它的计算公式为A·B = |A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模，θ表示A和B之间的夹角。
四、向量的线性运算1. 在平面内，若A、B和C为三个向量，m和n为实数，则m(A +B) = mA + mB，(m + n)A = mA + nA，(mn)A = m(nA)。
2. 若向量A与向量B共线，且m为实数，则m(A + B) = mA + mB。
五、平面向量的几何应用1. 向量共线及坐标计算：两个向量共线的充要条件是它们的分量成比例，即A = k × B，其中k为常数。
2. 向量的模计算：向量的模定义为向量的大小，计算公式为|A| =√(x² + y²)，其中x和y分别为向量A的水平和垂直分量。
3. 向量的投影：向量A在向量B上的投影定义为A在B方向上的分量，计算公式为A在B上的投影= |A|cosθ。
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结
平面向量与平面解析几何的联系知识点总结平面向量和平面解析几何是高中数学中重要的概念和工具。
它们在几何图形的描述、方程的求解和数学推理中有着广泛的应用。
本文将总结平面向量与平面解析几何的联系知识点，并探讨它们之间的重要关系。
一、平面向量的基本概念和表示方法平面向量是空间中的有向线段，具有大小和方向。
它可以用一个具有大小和方向的箭头表示。
常用的表示方法有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示：假设平面上有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则以A 为起点，B为终点的向量AB可以用坐标表示为向量(a, b)，其中a = x2 - x1， b = y2 - y1。
其中，x1、y1为向量的起点坐标，x2、y2为向量的终点坐标。
2. 分量表示：向量AB的分量表示为(ABx, ABy)，其中ABx为向量AB在x轴上的投影，ABy为向量AB在y轴上的投影。
分量表示形式方便进行向量的运算和推导。
二、平面解析几何的基本概念和表示方法平面解析几何是用代数方法研究平面上的几何问题。
它通过线性方程和坐标表示来研究几何图形的性质和关系。
1. 直线的解析方程：设直线L的解析方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，x、y为变量。
通过解析方程可以确定直线L在平面上的位置和方向。
2. 圆的解析方程：设圆C的解析方程为(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2，其中(a, b)为圆心的坐标，r为半径长度。
解析方程确定了圆C在平面上的位置和半径。
三、平面向量与平面解析几何的关系平面向量和平面解析几何有着密切的联系，它们可以相互转化、相互补充，共同应用于几何问题的研究。
1. 平移变换：平移变换是平面向量的一种基本运算，也是几何图形的一种基本变换。
平移变换可以通过平面向量的加法来表示。
设向量u 表示平移的位移，则点P(x, y)经过平移变换得到的新点P'(x', y')的坐标可以表示为(x', y') = (x, y) + u。
平面向量在几何问题中的应用
平面向量在几何问题中的应用平面向量是在二维平面上具有大小和方向的量，它在几何学中具有广泛的应用。
本文将从几何问题的角度，探讨平面向量在几何问题中的应用。
1. 向量在平面平行四边形中的应用平行四边形是指有两组对边平行的四边形。
在平行四边形中，向量的性质得到了很好的应用。
例如，在平行四边形中，对角线互相平分，并且对角线所对应的向量相等。
这个特性可以用来证明两条线段平行或者两个向量相等。
2. 向量在三角形中的应用在三角形中，向量的性质可以帮助我们解决一些几何问题。
例如，可以利用向量来证明三角形的中线互相平行且等于三角形的和向量。
此外，向量还可以帮助我们证明三角形的内心、外心、垂心等特殊点的相关性质。
3. 向量在平面曲线运动中的应用平面向量在描述平面上物体的运动过程中也具有重要的应用。
例如，我们可以用向量来表示物体的位移向量，速度向量和加速度向量。
通过分析这些向量之间的关系，我们可以获得物体的运动轨迹、速度大小和方向上的变化，以及物体受到的加速度的大小和方向。
4. 向量在平面图形的平移、旋转和缩放中的应用平面向量在平面图形的平移、旋转和缩放中也起到了重要的作用。
例如，平移可以通过向量的加法来实现，旋转可以通过向量的旋转公式来实现，缩放可以通过向量的数乘来实现。
通过使用向量进行这些变换，我们可以方便地描述和计算平面图形的变化过程。
5. 向量在解析几何中的应用解析几何是利用代数方法研究几何图形的一门数学学科。
在解析几何中，平面向量可以用来描述和计算图形的性质和变化。
例如，通过向量的点乘和叉乘可以求解两条直线的夹角、判定点是否在直线上、判断两条直线是否相交、求解三角形的面积等问题。
总结：平面向量在几何问题中具有重要的应用，它可以帮助我们解决平行四边形、三角形、平面曲线运动、平面图形变换和解析几何等问题。
通过合理使用向量的概念、运算规则和几何性质，我们可以更加简洁、准确地描述和分析几何问题，进而提高问题解决的效率和准确性。
平面向量概念
平面向量概念1. 概念定义平面向量是指在平面上具有大小和方向的量。
它由两个有序实数对（x，y）表示，其中x表示向量在x轴上的投影，y表示向量在y轴上的投影。
平面向量通常用小写字母加上一个箭头来表示，如→a。
2. 重要性平面向量是数学中的重要概念，具有广泛的应用。
它在几何、物理、工程等领域中起着重要作用。
2.1 几何应用平面向量可以用于描述平面上的点、直线、曲线等几何对象的位置、方向和形状。
通过向量的加法、减法、数乘等运算，可以得到平面上的向量和向量之间的关系，从而解决几何问题。
2.2 物理应用在物理学中，平面向量用于描述物体的位移、速度、加速度等物理量。
通过向量的运算，可以分析物体的运动规律，解决物理问题。
2.3 工程应用在工程领域中，平面向量可以用于描述力、力矩、电场强度等物理量。
通过向量的运算，可以分析结构的受力情况、电场的分布等问题，为工程设计和分析提供依据。
3. 平面向量的基本运算3.1 加法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a+→b=(x1+x2, y1+y2)。
向量加法满足交换律和结合律。
3.2 减法设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a-→b=(x1-x2, y1-y2)。
减法可以看作加法的逆运算。
3.3 数乘设有向量→a=(x, y)和实数k，则k→a=(kx, ky)。
数乘改变向量的大小，但不改变其方向。
3.4 数量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的数量积为→a·→b=x1x2+y1y2。
数量积的结果是一个实数，表示两个向量的夹角的余弦值乘以两个向量的模的乘积。
3.5 向量积设有向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则向量→a与向量→b的向量积为→a×→b=x1y2-y1x2。
向量积的结果是一个向量，其大小表示两个向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于这个平行四边形。
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1、．若|a |＝2，|b |＝2，且a b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角是 （ ）
A ．
6
π
B ．
4
π C ．
3
π
D ．
512
π 2、已知O ，A ，B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足20AC CB += ，则OC =
（ ）
A ．2OA O
B -
B ．2OA OB -+
C ．2133OA OB -
D ．1233
OA OB -+
3、若OA =a ，b OB = ，则AOB ∠平分线上的向量OM 为 （ ）
A ．
b
b a
a +
B )(
b
b a
a +
λ，λ由OM 决定
C ．
b
a b a ++ D
b
a b
a a
b ++
4、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=
，则 （ ） A.0PA PB += B.0PC PA += C.0PB PC += D.0PA PB PC ++=
5、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延长线与
CD 交于点F ．若AC = a ，BD = b ，则AF =
（ ）
A ．
11
42
+a b B ．
21
33
+a b
C ．
11
24
+a b
D ．1
233
+
a b 6、在以下关于向量的命题中，
①若0=+b a ，则0
==b a ; ②b a b a b a -=+⇔⊥；
③在ABC ∆中，若0
=++OC OB OA ，则O 为ABC ∆的重心；
④非零向量a 和b 满足||||||==-a b a b ，则a 与+a b 的夹角为60
．
其中正确的命题个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
7、设P 是ABC ∆所在平面上一点，且满足PB PC AB +=
，若ABC ∆的面积为1，则BC P ∆
的面积为 （ ）
A.
13 B. 1
2
C. 1
D.2 8在四面体O －ABC 中，,,,OA a OB b OC c D ===
为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE =
（用,,a b c
表示）.
9、已知,,b OB a OA ==，且2==b a ，∠AOB=60°，则||a b +r r
=____；a b +r r 与b r 的夹
角为_____。
10、ABC ∆的面积为1，,,b AC a AB ==P 为ABC ∆内一点，
且a b BP 6
5
31-=，则B C P
∆的面积为 。
11、如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，且
k AB
DC
=，设21,e AB e AD ==，以21,e e
为基底表示向量MN BC DC ,,。
12、如图:已知不共线向量21,e e 和a ，其中 32,4,121===a e e ，试用21,e e 表示a
13、如图,在四边形ABCD 中,E,F,G,H 分别是各边的中点,且EF 与GH 相交于点M. (1)求证:0=+++MD MC MB MA
(2) 在平面上任取一点O,求证:OM OD OC OB OA 4=+++
A
B
C
D
M
N
1e
2e
a
120
30
A B
C
D
E
G
F
H
M
O
14、过ABC ∆的重心G 作直线分别交AB,AC 于点P,Q ，且AC k AQ AB h AP ==,,APQ ∆与ABC ∆的面积分别是S,T. 求证：（1）
31
1=+k
h ； 15、、如图2,OM ∥AB,点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界)
运动,且OP xOA yOB =+ , （1）求x 的取值范围；
（2）当1-=x 时，求y 的取值范围；
A
O
M
P
B
图2。