1.3弧度制

1.1.2
弧度制
在初中几何里，我们学习过角的度量，
1度的角是怎样定义的呢？
1 周角的 为1度的角。 360
这种用1º角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其
他学科中常用的度量角的制度——弧度制。
1. 圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋 转的过程中射线上的点必然形成一条圆弧，
大小有关。
一般地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 对值：
︱ α︱ =
l r
其中l为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。
弧度与角度的换算
思考： 1.若弧是一个整圆，其圆心角的弧度数是多少？
6、 终边与Y轴重合；
( )
| 2
( )
| 2 2 2 7、第一象限内的角； | 2 2 8、第二象限内的角； 2 3 | 2 2 2 9、第三象限内的角； 3 | 2 2 2 10、第四象限内的角； 2
误区警示 角度制与弧度制混用而出错
【示例】 求终边在如图所示阴影部分(不包括边界)的角 α 的 集合． [错解一] {α|k· 360° ＋330° <α<k· 360° ＋60° ，k∈Z}． [错解二] {α|2kπ－30° <α<2kπ＋60° ， k∈Z}．
错解一中当给 k 赋了同一个值时，集合中不等式右 边的角反而小于左边的角， 应将 k· 360° 所加的两个角写成同一周角 上的且左边小于右边．错解二中，同一不等式里混用了角度与弧 度．

4
2

2
( )
45
0 (2)
0
x
| 4 2
( )
规律方法
用弧度表示区域角，实质是角度表示区域角在弧
度制下的应用需进行角度与弧度的换算．求出阴影部分边界角的 弧度数，结合角的旋转方向及终边相同的角的表示方法写出范围．
不同的点所形成的圆
弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。
AB AB = 定值， r r
设α =nº， AB 弧长为l，半径OA为r，
2 r l 2 , n 则 l n ， 360 r 360 可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的
1 ② 扇形面积公式 S lR 2
其中l是扇形弧长，R是圆的半径。 证明：设扇形所对的圆心角为nº (αrad)，则
n 1 2 S R R 360 2
2
又 αR=l，所以
1 S lR 2
l 注：在用公式 r 求圆心角时，应注意其
结果是圆心角的弧度数的绝对值．具体应用 时，既要注意其大小，又要注意其正负．
(2)设扇形的圆心角为 θ，半径为 r，弧长为 l， 面积为 S，则 l＋2r＝40. 1 1 ∴ l ＝ 40 － 2r，∴S ＝ lr＝ ×(40 － 2r)r＝ 20r－ r2 ＝－ (r－ 10)2 2 2 ＋100.(12 分) ∴当半径 r＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为 100 cm2. l 40－2×10 这时 θ＝ ＝ ＝2(rad)．(14 分) 10 r
Байду номын сангаас
(3) 75 °
(5) 300 °
3π ( 1 ) (2) 120 ° 8 5 π ( 3 ) (4) 135 ° 12 (6) - 210 ° (5)5π 3
3 (4)3π 4 (6) 7π 6
(2) 2π
例2: 把下列各弧度化成度.
π (1) 35
(2) 12
5π (4) 6
π
(1)108o (2)15o (3)-144o (4)-150o
11 5
11 11 2 是第一象限角 . 5 5 5
2000 2000 4 ( 3) 668 3 3 3 4 3 2000 又 是第三象限角 . 3 2 3
例4 试判断下列各角所在的象限.
(4) 1
0 1
【题后反思】 有关扇形的弧长 l，圆心角 α，面积 S 的题目， 一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用 l＝|α |r， 1 1 2 S＝2lr＝2|α |r 两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决．
【变式 3 】 已知扇形的周长为 20 cm ，当扇形的半径和圆心 角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？
(3)不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一 个与半径的大小无关的定值． (4)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不 写，如 sin 2 是指 sin(2 弧度 )， π＝ 180°是指π弧度＝180°；但如果 以度(°)为单位表示角时，度(°)就不能省去．
例3、把下列各角化成 2k 0 2，k Ζ 的形式： 16 11 （1） ；（2） 315 ；（3） ． 3 7 16 4 （1）： 4
名师点睛 1．弧度制定义的理解 (1)引入了弧度制后，统一了角度与长度的单位，使角的集合 与实数集之间建立了一一对应的关系．即每一个角都有唯一一个 实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一一个角(角的弧度数就等于这个实数)与它对应．
2.弧度制与角度制的比较 (1)弧度制是以“弧度”为单位度量角的单位制，角度制是以 “度”为单位度量角的单位制． (2)1 弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而 1°是 圆周的 1 所对的圆心角的大小． 360
[规范解答] (1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径为 r， l＋2r＝10 依题意有1 lr＝4 ② 2 ①
①代入②得 r2－5r＋4＝0，解得 r1＝1，r2＝4.(4 分) 当 r＝1 cm 时，l＝8 cm，此时 θ＝8 rad＞2π rad(舍去)； 2 1 当 r＝4 cm 时，l＝2 cm，此时 θ＝4＝2 (rad)．(7 分)
( ) ( ) ( )
( )
用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
① 弧长公式： l r
l 由公式： l r r
nr 比公式 l 简单. 180
弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数） 的绝对值与半径的积.
2.若弧是一个半圆，其圆心角的弧度数是多少？
360°= 2π 弧度 O 180°= π 弧度 ∴ 1 = r
l=2 π r
（B）

180 180 1 rad 57.30 57 18'
rad 0.01745rad
例1. 把下列各角化成弧度
(1) 67 °30'
7 2 （2）: 315 4 4
0
3
3
11 3 （3）： 2 7 7
例4 试判断下列各角所在的象限.
(1)
(4)

5
1
( 2)
(5)
11 5 4
2000 ( 3) 3 ( 6) 8
(1)

5
0

5


2


5
是第一象限角 .
( 2)
| 2
( )
( )
| 2
|
( )
( )
| 2 4、 终边与Y轴正半轴重合； 2
3 | 2 5、 终边与Y轴负半轴重合； 2
解 设扇形的圆心角为 θ，半径为 r cm，扇形的弧长 l＝rθ. 20－2r ∴2r＋rθ＝20，θ＝ . r 12 1 2 20－2r ∴S 扇形＝ r θ＝ r · 2 2 r ＝r(10－r)＝－r2＋10r. 10 当 r＝－ ＝5 cm 时， S 扇形最大＝25 cm2， 此时 θ＝2.所以， 2×－1 当扇形半径为 5 cm，圆心角为 2 时，扇形面积最大．

2
( 3.1 4

2
1.57)
1是第一象限的角 . 3 4是第三象限的角 . (5) 4 4 2 分析 : 由于 3.14, 得 2 6.28 ,
4 12.56.而 8介于两数之间.
3 (6) 8 8 4 (4 8) 又 4 8 2 8是第三象限的角 .
例 6 :(1)已知扇形的周长为 10 cm，面积为 4 cm2，求扇形圆心 角的弧度数． (2)已知一扇形的周长为 40 cm ，当它的半径和圆心角各取什 么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？ 审题指导 本题主要考查了弧长公式，扇形面积公式在弧度制 下的应用与二次函数求最值的方法，及消元思想的应用．
解题思路
判断一个用弧度制表示 的角所在象限 , 2 ( )的形式, 然 一般是将其化成 后再根据 所在象限予以判断 .
注意 : 不能写成(2 1) 的形式.
( )
例5：如图,已知角的终边区域, 求出角的范围 .
y
0 (1) y
45
0
x
| 2
[正解]
π π α|2kπ－ <α<2kπ＋ ，k∈Z. 6 3
也可写成{α |k· 360° －30° <α<k· 360° ＋60° ，k∈Z}．
在用角度或弧度表示角时，注意单位的统一，不能 出现二者混用的情况.
练习1. 写出满足下列条件的角的集合（用弧度制）：