人教A版高中数学选修4-6初等数论初步第一讲1.1.整除的概念和性质教学课件
1.同余的概念-人教A版选修4-6初等数论初步教案
同余的概念-人教A版选修4-6 初等数论初步教案一、教学目标1.了解同余的概念。
2.掌握同余运算的性质。
3.能够使用同余运算的性质解决初等数论问题。
二、教学重点1.同余的概念。
2.同余运算的性质。
三、教学难点1.应用同余运算的性质解决初等数论问题。
四、教学内容及进度安排课时教学内容学时第一课时同余的概念1学时第二课时同余运算的性质1学时第三课时应用同余运算的性质解决初等数论问题1学时五、教学步骤第一课时-同余的概念1.引入：回顾模运算的概念、性质及应用。
2.学习：同余的概念及其表示法，同余数的概念。
3.总结：总结同余的概念及其表示法。
第二课时-同余运算的性质1.引入：引入同余运算的性质及其证明方法。
2.学习：同余运算的基本性质，同余运算的逆元及其应用。
3.总结：总结同余运算的性质及其应用。
第三课时-应用同余运算的性质解决初等数论问题1.引入：引入应用同余运算的性质解决初等数论问题的方法。
2.学习：应用同余运算的性质解决初等数论问题的例子。
3.总结：总结应用同余运算的性质解决初等数论问题的方法。
六、教学评估1.在课堂上布置练习题，检查学生对同余运算的掌握情况。
2.布置一道探究题，让学生归纳总结同余运算的性质和应用。
3.综合考虑学生的平时表现、作业和考试情况，评估其对同余运算的掌握情况。
七、拓展阅读1.同余式及其应用2.解一元高次同余方程八、参考资料1.《数学（高中必修）》人教版下册2.《初等数论》程开甲著。
人教版高中数学选修4-6《初等数论：算术基本定理》
第六节 算术基本定理
推论2 设正整数a与b的标准分解式是
a p1 p2 pk q1 ql , b p1 p2 pk r1 rs
1 2 k 1 s
1
2
k
1
l
其中pi(1 i k)，qi(1 i l)与ri(1 i s)是两 两不相同的素数，i，i(1 i k)，i(1 i l) 与i(1 i s)都是非负整数，则
1 2
任何大于1的整数n可以
k
n p1 p2 pk
，
(2)
2, , k是正整数。
证明 由引理1，任何大于1的整数n可以表示成 式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯 一性。
第六节 算术基本定理
假设pi（1 i k）与qj（1 j l）都是素数，
p1 p2 pk，q1 q2 ql，
n = p1p2pm， (1) 其中pi（1 i m）是素数.
第六节 算术基本定理
引理1 即 任何大于1的正整数n可以写成素数之积，
n = p1p2pm，
其中pi（1 i m）是素数。 证明 当n = 2时，结论显然成立。
(1)
假设对于2 n k，式(1)成立，我们来证明式(1) 对于n = k 1也成立，从而由归纳法推出式(1) 对任何大于1的整数n成立。
[a, b] p p p ， i max{ i , i }， 1 i k。
1 1
1 2
k k
第六节 算术基本定理
推论3 设a，b，c，n是正整数，
ab = cn ，(a, b) = 1，
则存在正整数u，v，使得
(5)
人教高中数学选修 第一讲 整数的整除一整数的整除 课件
人教高中数学选修 第一讲 整数的整除一整数的整除 课件
情感态度与价值观
1.通过对整除的认识和学习，能够体会数 学中的联系与结合，有利于理解和掌握.
2.将知识应用到现实生活中. 3.培养合作交流意识.
人教高中数学选修 第一讲 整数的整除一整数的整除 课件
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实例
如：3的正因数只有1和3所以3为 素数；6的正因数有1、2、3、6所以 由定义知6为合数. 思考：最小的素数和最小的合数各是几？
最小的素数是：2 最小的合数是：4
人教高中数学选修 第一讲 整数的整除一整数的整除 课件
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想一想 如何判 断一个 数是不 是素数
如果大于1的整数a不能
被所有不超过 a 的素数整
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
（ 9、12、20 ）
人教高中数学选修 第一讲 整数的整除一整数的整除 课件
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定义
仅有两个正因数的正整数叫做素 数，不是素数又不是1的正整数叫做 合数.1既不是素数，也不是合数.
自然数
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素数 1 合数
人教高中数学选修 第一讲 整数的整除一整数的整除 课件
人教A版高中数学选修4-6初等数论初步第一讲1.1.整除的概念和性质教学课件 (共17张PPT)
昨日的明天是今天。明天的昨日是今天。为什么要计较于过去呢（先别急着纠正我的错误，你确实可以在评判过去中学到许多）。但是我发现有的人过分地瞻前顾后了。为 何不想想“现在”呢？为何不及时行乐呢？如果你的回答是“不”，那么是时候该重新考虑一下了。成功的最大障碍是惧怕失败。这些句子都教育我们：不要惧怕失败。如 果你失败了他不会坐下来说：“靠，我真失败，我放弃。”并且不是一个婴儿会如此做，他们都会反反复复，一次一次地尝试。如果一条路走不通，那就走走其他途径，不 断尝试。惧怕失败仅仅是社会导致的一种品质，没有人生来害怕失败，记住这一点。宁愿做事而犯错，也不要为了不犯错而什么都不做。不一定要等到时机完全成熟才动手。 开头也许艰难，但是随着时间的流逝，你会渐渐熟悉你的事业。世上往往没有完美的时机，所以当你觉得做某事还不是时候，先做起来再说吧。喜欢追梦的人，切记不要被 梦想主宰；善于谋划的人，切记空想达不到目标；拥有实干精神的人，切记选对方向比努力做事重要。太阳不会因为你的失意，明天不再升起；月亮不会因为你的抱怨，今 晚不再降落。蒙住自己的眼睛，不等于世界就漆黑一团；蒙住别人的眼睛，不等于光明就属于自己！鱼搅不浑大海，雾压不倒高山，雷声叫不倒山岗，扇子驱不散大雾。鹿 的脖子再长，总高不过它的脑袋。人的脚指头再长，也长不过他的脚板。人的行动再快也快不过思想！以前认为水不可能倒流，那是还没有找到发明抽水机的方法；现在认 为太阳不可能从西边出来，这是还没住到太阳从西边出来的星球上。这个世界只有想不到的，没有做不到的！不是井里没有水，而是挖的不够深；不是成功来的慢，而是放 弃速度快。得到一件东西需要智慧，放弃一样东西则需要勇气！终而复始，日月是也。死而复生，四时是也。奇正相生，循环无端，涨跌相生，循环无端，涨跌相生，循环
人教版高中数学选修4-6《整除的概念》
a
i 1
m
i
b j 中，除某一项外，其
j 1
n
余各项都能被c整除，则这一项也能被c整除。
常用结论：
（1）设p为素数 ，若p ∣ b a ，则p ∣a 或 p ∣b . （2） p|a 或 (p，a)=1 .
（3）素数判定法则：
p a pa
2
设n是一个正整数，如果对所有的素数p≤ 都有p n，则n一定是素数.
2
例4 设正整数d 不等于2,5,13，证明集合 得a b-1 不是完全平方数。
2,5,13.d 中可以找到两个数a ，b ，使
二、整除
• 1、定义：设a，b是整数，b≠0。如果存在一个整数q使得等式： a=bq 成立，则称b能整除a或a能被b整除，记b∣a； 如果这样的q不存在，则称b不能整除a，记为b a。
a1 , a2 , 例2 设n 为奇数， ，n 的任意一个排列， 证明 (a 1)(a 2) (a n)
1 2 n
, an
是1,2，
必是偶数。
例3 将正方形ABCD分割成 n 个相等 的小方格（n 是正整数），把相对的顶 点A,C染成红色，B,D染成蓝色，其他 交点任意染成红蓝两色中的一种颜色， 证明：恰有三个顶点同颜色的小方格的 数目必是偶数。
ab b
a (b1)
2
a ( b 2)
... 2 1)
a
当n为素数时, 22 – 1=3, 23 – 1＝7, 24 – 1＝31, 27 – 1=127 都是素数, 而 211 – 1 = 2047 = 23 x 89 是合数．
设P为素数, 称如 2p–1的数为梅森(Matin Merdenne)数.
2、整除的性质
人教版高中数学选修4-6-第一讲-整数的整除(一)整数的整除-课件(共33张PPT)
观察
12，21，24，30，33，51可同时被什么数整除， 有什么规律？
分析：以上6个数均可同时被3整除，并且各位 数字之和也能被3整除.
由此猜想：一个正整数的各位数字之和能被3 整除，那么这个正整数能被3整除.
带余除法
在生活中并不是什么情况下都可以整除， 很多情况都是不能除尽的.如：13÷2=6…1,在 整数集中这种表示法依然成立，叫做带余除法 （或欧氏除法算式）.
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
导入新课
从以前学过的乘法中我们知道
若A×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
第一讲整数的整除
教学目标
知识与能力
1．在熟悉整数的基础上充分理解整除 的概念和性质；熟练掌握带余除法的运算， 且能进行运算.
2．理解什么是素数的概念，并掌握素数 的判别方法.
过程与方法
1.通过复习以前的乘法、除法的知识，让 学生合作探讨，老师启迪，自然引出整除的概 念及性质.•
2.在整除的基础上通过生活中的实例，引 导学生考虑不能整除的情况，并让学生自己进 一步思考不能整除情况的解决方法并总结带余 除法的概念.
共六条鱼，平均一只猫咪得几条鱼？
若是再多一条鱼，平均一只猫咪又各 得几条鱼呢？
想一想
在上一页第一种情况下，平均每 只猫咪得到 6÷2 = 3（条）；第二种 情况下每只猫咪在得到3条鱼后还剩一条，就是 说这种情况下鱼并不能平均分给两只猫咪. 生活中这样的例子还有很多，我们从数 学的角度该怎样理解，又怎样定义呢？它们 又有怎样的性质？下面我们将具体的分析.
1整除的概念和性质
请从如下所给的正整数中找出能被3整除的数： 5，6，17，18，21，43，54，81，85，96，98，108，121，243； 这些数有什么规律？并猜想能被3整除的正整数特征？
一、整除的概念
一般地：设 a,b 为整数，且 b ? 0 ，如果存在整数 q ，使得 a ? bq ，
那么称b 整除 a ，或者 a 能被 b整除，记作 b a ，并且称 b是 a的因数， a 是 b 的倍数。如果这样的整数 q 不存在，就称 b 不整除 a ，记作 例如，6 24，-4 56,8 0 能除尽 a 的整数是 a 的因数，例如能除尽6的整数为1，-1，2，-2，3， -3，6，-6。
整除的概念和性质 二、整除的性质
1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c
整除的概念和性质
二、整除的性质 1. 若a b ,b a ,则a ? b或a ? ?b 2. 若a b ,b c ,则a c 3. 若a b ,a c , 对任意整数x, y, 恒有a bx ? cy
三、整除问题的应用举例 例：判断710316能否被3，7，9，11整除？
整除的概念和性质
习题：判断下列整数中哪些能分别被3，7，9，11整除？ 45，98，120，189，1001，1331，56382
运算公式：
被除数÷除数=商
如：6 ? 3=2
商?除数=被除数 如：2 ? 3=6
初等数论初步(1)
二、整除的性质和概念
定义：设a,b为整数，且b≠0. 如果存在整数q，使得 a=bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作b|a， 并且称b是a的因数，a是b的倍数. 如果这样的整数q 不存在，就称b不整除a，记作b | a . 性质: 若 a 0, b 0 ，则 (1)若 a | b, b | a ，则 a b或a b ； (2)若 a | b, b | c ，则 a | c ； (3)若 a | b, b | c ，则对任意整数x,y，恒有a|bx+cy； (4)若 a | b, a | c ，且a,b互质，则ab|c； (5)若p为质数，p|ab，则p|a或p|b，特别地，若
p | an , n N , 则p | a
结论：一个正整数的各位数字之和能被3整除， 那么这个正整数能被3整除.
请根据上面整除的性质证明这个命题.
探究：
利用类似的方法证明能被9,11,7整除的正整数的特征。 1、一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这个正 整数能被9整除。 2、一个正整数的奇数位数字之和与偶数为数字之和的 差能被11整除，那么这个整数能被11整除. 3、一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之 前的数字组成的数之差能被7(或11)整除，那么这个正 整数能被7(或11)整除.
一、最小公倍数
定义：任给两个非零整数a,b，一定存在一个 整数，它同时为a,b的倍数，这个倍数叫做a,b 的公倍数。我们把a,b的最小的正公倍数叫做 a,b的最小公倍数，记作[a，b]. 类似地，我们也可以定义三个非零整数或更多 个非零整数的最小公倍数的概念，将a,b,c的 最小公倍数记作[a,b,c]，依此类推。
高中数学人教A版选修4-6《1.整除的概念和性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学人教A版选修4-6初等数论初步《1.整除的概念和性质》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课
教案
【省级名师教案】
1教学目标
1、理解整除的定义和自然数的意义。
知道整除的要素,掌握整除的两种表述方法。
2、理解因数与倍数的意义,会求一个整数的因数和倍数。
3、概括出能被2,5整除的数的特征。
2学情分析
除数、被除数都是整数;被除数除以除数,商是整数而且余数为零。
3重点难点
素数、合数与分解素因数
1、一个正整数,如果只有1和它本身两个因素,这样的数叫做素数,也叫做质数;如果除了1和它的本身以外还有别的因素,这样的数叫做合数。
2、1既不是素数,也不是合数。
这样,正整数又可以分为1、素数和合数三类。
3、100以内的数的素数表
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、
53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
4、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式,其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的素因数。
把一个合数用素因素相乘的形式表示出来,叫做分解素因数。
一般我们用短除法分解素因数,步骤如下:
先用一个能整除这个合数的素数(通常从最小的开始)去除。
得出的商如果是合数,再按照上面的方法继续除下去,直到得出的商是素数为止。
然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式。
4教学过程。
1.整除的概念和性质
思考题： 由整除的概念，你能否推出下列整除的基
本性质？ (1)若a|b，b|a，则a=b或a=-b (2)若a|b，b|c，则a|c (3)若a|b，a|c，则对任意整数x，y恒有
a|bx+cy 解： （1）因为a|b，b|a，所以存在整数m，n 使得b=ma，a=nb，即b=ma=mnb， 又因为b≠0，所以mn=1， 即m=n=1或m=n=-1 所以a=b或a=-b
果存在整数q，使得a=bq，那么称b整除a，
或者a能被b整除，记作b|a，并且称b是a的
因数，a是b的倍数。如果这样的整数q不存
在，就称b不能整除a。
• 例如：6|-24，-4|56，8|0
注：
1b 0 0 b 0 21 a a 1 a 3a a a a 1(a 0)
整数的整除
• 我们知道，乘法与除法是互逆的两种运 算。要判断一个整数能否除尽另一个整数， 只需考察被除数能否写成除数和某个整数 的乘积。只有当被除数可以表示为除数和 某个整数的乘积时，除数恰好能除尽被除 数。此时，我们就说除数整除被除数，或 者说被除数能被除数整除。
整除的定义：
•
一般地，设a,b为整数，且b≠0，如
999d 99c 9b d c b a
3 999d 99c 9b,3 d c b a时，3 N
练习：
• 1．若五位数12a34是3的倍数，那么a是
探究：
2、一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么 这个正整数能被9整除。 3、一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之 和的差能被11整除，那么这个正整数能被11整除。 4、一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数 字之前的数字组成的数之差能被7（或11）整除， 那么这个正整数能被7（或11）整除。
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。
人教版高中数学选修4-6《1.1整数的整除》
课后思考题： 已知45|x1993y，求所有满足条件的 六位数。
（5）能被4（或25）整除的数，它的末两 位能被4（或25）整除 （6）能被8（或125）整除的数，它的末 三位能被8（或125）整除 （7）能被11整除的数，它的奇数位上的数 字之和偶数位上的数字之和的差能被11整除
Hale Waihona Puke （8）能被7（或11或13）整除的数，它的 末三位数字所表示的数与末三位数以前的 数字组成的数之差能被7（或11或13）整除
6÷2=3
6÷2=3 若有六条鱼，平均一只猫可得几条鱼？ 若是再多一条鱼，平均一只猫可得几条 鱼呢？7不是2的倍数，7不能被2整除，说明 7条鱼不能平均分给这两只猫
生活中这样的例子还有很多，我们从 数学的角度该怎样理解，又该怎样定义呢？ 它们又有怎样的性质？这就是我们今天要 一起研究的问题。
整数的整除
1.1整数的整除
人教A版选修4-6《初等数论初步》
以前学习过的整数加法，减法， 乘法运算得到的结果有什么特点？ 整数除法的商又是怎样的？
整数的加法，减法，乘法运算 得到的结果为整数。两个整数 的商不一定是整数。
从以前学过的乘法中我们知道，若 A×B=C，那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆 的运算。 例如： 3×2=6 6÷3=2
例如：6|-24，-4|56，8|0
思考题： 由整除的概念，你能否推出下列整除的基 本性质？ (1)若a|b，b|a，则a=b或a=-b (2)若a|b，b|c，则a|c (3)若a|b，a|c，则对任意整数x，y恒有 a|bx+cy 解： （1）因为a|b，b|a，所以存在整数m，n 使得b=ma，a=nb，即b=ma=mnb， 又因为b≠0，所以mn=1， 即m=n=1或m=n=-1 所以a=b或a=-b
人教版高中数学选修4-6第一讲整数的整除(二)最大公因数与最小公倍数上课课件
12，也就是说12是3和4共同的倍数即公倍数.
想一想是否3和4是否还有其它的公 倍数，它们的最小公倍数是什么？
用长4厘米、宽3厘米的长方形，照下图
的样子拼成正方形.拼成正方形的边长最小是
多少厘米？
…… 思考 …… 分析：正方形的边长
证明: 设(a, b) = d，则a = da1，b = db1，(a1, b1) = 1， 由a2b2c得a12b12c，a12c，因为c无平方因子， 所以a1 = 1，a = d，b = ab1，即ab.
课堂练习
1、如果a=b-1（a、b为自然数），a和 b的最大公因数是（ ）1 ，最小公倍数是 （ a(b-1）)
探究
(8，24) = 8 . (2，14) = 2 . [8，24] = 24 . [2，14] = 14 . 8×24 = 192 . 2×14 = 28 . 想一想（a，b）[a,b]和ab有什么关系
(a,b)[a,b]=︱ab︱
课堂小结
公因数性质
1、如果两个数是倍数关系时,较小数是这两个 数的最大公因数.
解析： 设
(C12n,C32n,,C22nn1) d，由C12n C32n C22nn1 22n1
知 d22n1，设 2k|n 并且2k+1不整除n，由
| 2k +1||
C12n 及2k 1
Ci2n
2n i
Ci1 2 n 1
，i
3,
5,......,
2n 1
得d = 2k + 1.
3、 设a，b，cN，c无平方因子，a2b2c， 证明：ab.
高中数学A版4-6初等数论初步(引言)优秀课件
精彩源于发现
03÷3=0…0 13÷3=0…1 23÷3=2…2
思考左边 的等式是否成 立，能否列举 其它类似的例
子
回顾
一元一次方程是如何定义 的？求解过程又是怎样的？
还记得
x 3 7 吗？
议一议
他们是怎么加密的?
古人对数论的认识 我国古代西周人商高提
出的“勾广三，股修四，径 隅五”的论断，及现在常说 的“勾三股四径五”.
耐心点，好好想想吆
8÷7=1…1 15÷7=2…1 22÷7=3…1 29÷7=4…1 36÷7=5…1
观察
观察左列的一组数有 什么样的共同点. Nhomakorabea8÷7=1…1 16÷7=2…2 25÷7=3…3 33÷7=4…5 39÷7=5…4
议一议
观察左列的一组式 子的有什么共同点，有 什么不同点，可与上一 页对比.
引言
6个橘子 ，2个小朋 友平均每个小朋友分几个?
如何判 断非零整 数整除给
定数
探究
不能被整除的整数怎 么办？ 12个圆圈一组5个分几组?
125与150的最大公因数是什么?
5 125 150
5
25
30
5
6
得到最大公因数是25
13与2的乘积是多少？ 三者之间的关系是什么？
试一试
若将24分解成几个数乘积的形式，一直 分解，直到不能再分解为止，会是什么样子 的.
54 3
x2 y2 z2
在我国古代古人对数论的研究就有鲜 明的直观、实用和算法的特性.
选修4－6 初等数论初步
第一讲 整数的整除 第二讲 同余与同余方程 第三讲 一次不定方程 第四讲 数论在密码中的应用
整体学习目标
初等数论 第一章 整除
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第1页，本讲稿共58页
数论的基本内容
按照研究方法的不同，数论可分为
初等数论 解析数论 代数数论 几何数论
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参考书目
1、南基洙主编《初等数论》； 2、柯召、孙琦编著《数论讲义》，高等教育 出版社； 3、闵嗣鹤、严士健编《初等数论》，高等教 育出版社； 4、郑克明主编《初等数论》，西南师范大学 出版社。
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定理5 鸽巢原理
设n是一个自然数.现有n个盒子和n+1个物体. 无论怎样把这n+1个物体放入这n个盒子中， 一定有一个盒子中被放了两个或两个以上的 物体。
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§2 整除
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定义1
设a，b是整数，a 0，如果存在整数q， 使得b = aq，则称b可被a整除，记作ab ， 且称b是a的倍数，a是b的约数(因数、除数)； 如果不存在整数q使得b = aq成立，则称b不被
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定理 9
(a1 , a2 , , ak) = 1的充要条件是存在整数x1, x2 , , xk ，使得a1x1 a2x2 akxk = 1. 充分性 若式(1)成立，如果 (a1 , a2 , , ak) = d > 1，那么由dai（1 ≤ i ≤ k）推出 d a1x1 a2x2 akxk = 1，这是不可能的. 所以有(a1, a2, , ak) = 1 . 证毕 .
最大公因数与最小公倍数
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23.现实的压力压的我们喘不过气也压的我们走向成功。 88.我不去想是否能够成功，既然选择了远方，便只顾风雨兼程！ 49.配件虽小作用大，谨慎小心没误差。
数学
整除的概念 和性质
选自：选修4-6人民教育出版社
教学过程
西天取经的路上，师徒四人走的口干舌燥，饥肠辘辘，悟空和 八戒因为谁去化斋争的面红耳赤……师傅灵机一动，出了一道 题目：有两个四位正整数，它既能被3整除又能被7整除，还能 被11整除，并且各位数字之和为6。谁先说出这两个正整数， 就让另一个人去化斋。悟空和八戒被师傅问的抓耳挠腮不知所 措。同学们能否帮他们想想办法呢？
教学过程
能被3、9、11、7整除的正整数的特征
一个正整数的各位数字之和 能被3整除，那么这个正整 数能被3整除。
一个正整数的奇数位数字之 和与偶数位数字之和的差能 被11整除，那么这个正整数 能被11整除。
一个正整数的各位数字 之和能被9整除，那么这 个正整数能被9整除。
一个正整数的末三位数字组成的数 与末三位数字之前的数字组成的数 之差能被7（或11）整除，那么这 个正整数能被7（或11）整除。
教学过程 【例题1】判断710316能否被9,11整除。
教学过程
牛刀小试
判断下列整数中那些能分别被3,7,9,11整除 98,120,189,1331,2178,21315,56382
课堂小结
概念 性质
特征
课课后堂作小结业
课后作业：习题1.1，1.2
THANKS
1.痛不痛只有自己知道，变没变只有自己才懂。不要问我过得好不好，死不了就还好。 79.活在当下，别在怀念过去或者憧憬未来中浪费掉你现在的生活。 4、您不必保持顺畅，就可以拥有优点，也不必走到任何地方。您不必讲虚假的话，就可以真诚地环游世界。 1.痛不痛只有自己知道，变没变只有自己才懂。不要问我过得好不好，死不了就还好。 90.我从不把安逸和快乐看作是生活的本身--这种伦理基础，我叫它猪栏的理想。 90.我从不把安逸和快乐看作是生活的本身--这种伦理基础，我叫它猪栏的理想。 让人醍醐灌顶的励志语录
教学过程
1.1整除的概念和性质
教学过程
如何从乘法角度来判断一个整数能除尽另一个整数
思考
11能除尽1001吗？ 1001=11×91 7能除尽1001吗？ 1001=7×143 3能除尽1001吗？ 1001=3× b×q=a（b≠0） a÷b=q（b≠0）
教学过程
整除的概念
一般地，设a，b为整数，且b≠0。如果存在整数q， 使得a=bq，那么称b整除a，或者a能被b整除，记作 bІa，并且称b是a的因数，a是b的倍数。如果这样的 整数q不存在，就称b不整除a，记作b a。
10、对地位和特权的喜爱陪伴我们走完人生之路，从摇篮到坟墓。——堂恩 18、人们最大的对手通常不是别人，而是他们自己的懒惰。不要指望运气大，运气不可能永远在你身上，你必须随时依靠自己的饮食能力。 您必须尽最大的努力才能获得厄运。
54.人的一生，好不好只有自己知道，乐不乐只有自己明白。快乐是一种心情，一种自然积极向上的心态。在平凡之中寻求快乐，在磨难之中 寻求快乐，在曲折之中需求快乐。
1.痛不痛只有自己知道，变没变只有自己才懂。不要问我过得好不好，死不了就还好。 27.年代的人要跟年代的人去竞争。 11、一个人不应该白白浪费一天的时间。您至少应该听一首好歌，读一首好诗，看一幅好图画。如果可能，请至少说几句理解的话。 11、一个人不应该白白浪费一天的时间。您至少应该听一首好歌，读一首好诗，看一幅好图画。如果可能，请至少说几句理解的话。 12、不要急于让生活给你所有的答案。有时，您必须表现出耐心等等。即使您向空谷大喊，也要等一会儿才能听到长声回音。换句话说，生 活总会给你答案，但不会立即告诉你一切。
说明： 1.能被非零整数n整除的整数是n的倍数，其一般形式 为nq，这里q为任意整数。 2.能除尽n的整数是n的因数。
教学过程
整除的基本性质
探究
（1）若a∣b,b∣a, 则a=b或a=-b。 （2）若a∣b,b∣c, 则a∣c。 （3）若a∣b,a∣c,则对任意整数x,y,
恒有a∣bx＋cy。
教学过程
• 一个正整数的各位数字之和能被9整除，那么这 个正整数能被9整除。
教学过程
请用类似的方法证明能被11、7整除的正整数的下列特征
小组讨论
• 一个正整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被 11整除，那么这个正整数能被11整除。
• 一个正整数的末三位数字组成的数与末三位数字之前的数 字组成的数之差能被7（或11）整除，那么这个正整数能 被7（或11）整除。
教学过程
231×5 =1155 231×6 =1386 231×7 =1617 231×8 =1848 231×9 =2079 231×10=2310 231×11 =2541 231×12=2772 231×13=3003 231×=3234 231×15=3465
231×16=3696 231×17=3927 231×18=4158 231×19=4389 231×20=4620 231×21=4851 231×22=5082 231×23=5313 231×24=5544 231×25=5775 231×26=6006
教学过程
西天取经的路上，师徒四人走的口干舌燥，饥肠辘辘，悟空和 八戒因为谁去化斋争的面红耳赤……师傅灵机一动，出了一道 题目：有两个四位正整数，它既能被3整除又能被7整除，还能 被11整除，并且各位数字之和为6。谁先说出这两个正整数， 就让另一个人去化斋。悟空和八戒被师傅问的抓耳挠腮不知所 措。同学们能否帮他们想想办法呢？
给定两组正整数： 第一组6,18,21,54,81,96,108,243
探究
第二组5,17,43,80,85,98,121,212
第一组数有什么规律？它们能被什么整数整除？第二 组数呢？计算每组数的各位数字之和，你能发现什么 特征？
教学过程
一个正整数的各位数字之和能被3整除，那 么这个正整数能被3整除。