七年级数学下册52旋转一道图形旋转的典型例题及其变式素材湘教版

一道图形旋转的典型例题及其变式

典例 已知：如图1，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，且∠EAF =45°. 求证： BE +FD =EF

分析：可把△ADF 绕点A 旋转至图2所示位置则F ′B =FD ，再证△AF ′E ≌△AFD ，则EF ′=EF ，又E F ′=BE +F ′B =BE +FD 所以，BE +FD =EF .

证明：如图2，把△ADF 绕点A 顺时针旋转90︒，到△ADF ′的位置.

∵AD =AB ，∠DAB =90°

∴点B 与D ′重合

∵∠ABE +∠ABF ′=180°，∴F ′、B 、E 在一条直线上，即F ′E =BE +DF

∵∠EAF =45°，∴∠BAE +∠DAF =45°

∴∠F ′AB +∠BAE =45°，

∴∠F ′AB =∠FAE =45°

又∵AF =AF ′，AE =AE ，∴△F ′AE ≌△FAE

∴EF =EF ′，∴BE +FD =EF 点拨：本题解题方法体现了转化的数学思想，利用图形的旋转将分散了的条件转化为整体的.

本题为一经典旋转题，它其实是人教课标数学九上课本P64页例题的变式。以本典例为原型的中考题近几年出现很多，下面例举两道，供同学们学习参考。

变式1 （牡丹江市）已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB DC ，（或它们的延长线）于点M N ，．

当MAN ∠绕点A 旋转到BM DN =时（如图3），易证BM DN MN +=．

（1）当M A N ∠绕点A 旋转到BM DN ≠时（如图4），线段BM DN ，和MN 之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

（2）当MAN ∠绕点A 旋转到如图5的位置时，线段BM DN ，和MN

之间又有怎样的数

图2

量关系？请直接写出你的猜想．

解：（1）BM DN MN +=成立．

如图4，把AND △绕点A 顺时针90，得到ABE △，

（证明过程与典例相同，所以略）。

（2）DN BM MN -=

点拨：本题是典例的变式，第（1）小题与典例完全相同；第（2）小题是在典例的基础上，变换MAN ∠的位置，如图5.

变式2 （甘肃陇南）四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．

（1）求证：AE =CG ；

（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，

并证明你的猜想．

（1） 证明： 如图6，

∵ AD =CD ，DE =DG ，∠ADC =∠GDE =90o ，

又 ∠CDG =90o +∠ADG =∠ADE ，

∴ △ADE ≌△CDG ． ∴ AE =CG ．

（2）猜想： AE ⊥CG ．

证明： 如图6，

设AE 与CG 交点为M ，AD 与CG 交点为N ．

∵ △ADE ≌△CDG ， ∴ ∠DAE =∠DCG ．

又∵ ∠ANM =∠CND ， ∴ △AMN ∽△CDN ．

∴ ∠AMN =∠ADC =90o ．∴ AE ⊥CG ．

点评：本题也是典例的一个变式题，不仅有正方形旋转的情形（正方形ABCD 可绕点D 旋转），还隐含着三角形的旋转（△ADE 绕点D 旋转某一角度与△CDG 重合）.第一小题是常规题，只需找到相应的全等三角形即可证明，较易解决；第（2）小题是一开放探索题，可大胆猜想，细M B C N A D 图3 图4

图5 M B C N A D E A C N D 图6

心求证.