3.2+选择位移函数
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一次项。3 结点三角形单元的位移模式正好满足这个基本要求。 (2)多项式描述的位移形式与局部坐标系无关； (3) 广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。如 3 结点三角形 单元有 6 个结点自由度(结点位移)，广义坐标个数应取 6 个，因此二个方向的位移 u 和 v 各取三项 多项式。对于 4 结点的矩形单元，广义坐标数为 8，位移函数可取四项多项式作为近似函数。 （4）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单 元边每边具有 2 个端结点的应保证一次完全多项式，如图 3.2.3 中的二维 3 结点、4 结点单元或三 维 4 结点、6 结点单元及 8 结点单元。每边有 3 个结点时应取二次完全多项式，如图中的二维 6 结 点、8 结点单元和三维 20 结点单元。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有 坐标的对称性。并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。 不同结点单元位移模式的选择将在以后几节及下一章结合具体单元进行讨论。
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy v ( x, y ) =a7 + a8 x + a9 y + a10 x 2 + a11 y 2 + a12 xy
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3．2．3 收敛性要求
由于有限元法是一种数值方法，故当单元的尺寸逐渐缩小时，就得到一系列近似解．对于一个数 值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得到的解答收敛于问题的精确解。从上面对于有限单 元法的分析中可以看出，在单元形状确定以后，位移模式的选择是关键。载荷的移置、应力矩阵和 刚度矩阵的建立等等，都依赖于位移模式。很难想象，选择一个与真正位移分布有很大差别的位移 模式而能得到良好的数值解。已经证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确的要 大。这样一来，在给定的载荷之下，计算模型的变形比实际结构的要小。因此，当单元网格分割得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。 在有限元分析中，当节点数目或单元插值位移的项数趋于无穷大时，即当单元尺寸趋近于零时， 最后的解答如果能够无限地逼近准确解，那么这样的位移函数(或形状函数)是逼近于真解的，这就 称为收敛(convergence)。图 2.2.4 表示出几种可能的收敛情况。其中曲线 1 和 2 都是收敛的，但曲 线 1 比曲线 2 收敛更快。曲线 3 虽然趋向于某一确定值，但该值不是问题的准确解 (correct solution)，所以也不能算是收敛的。曲线 4 虽然收敛，但不是单调收敛(monotonic convergence)， 所以也不是收敛的，它不能构成准确解的上界(upper bound)或下界(lower bound)，即近似解并不 总是大于或小于准确解。至于曲线 5，它是发散(divergence)的，所以完全不符合要求。
图 3.2.2 二、三维常用单元
第(1)条要求在后面讨论．第(2)条要求即在不同局部坐标系中，位移函数(多项式)表达式不变， 这种性质称为几何等向性，为获得几何等向性，多项式中应含有不违反如图 3.2.3 所示对称性的那 些项．
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图 3.2.3 位移函数多项式选择 如二维线性单元中，含有 x 和 y 两项，而不仅仅是其中一项． 在二维高阶单元(三角形)情况下，如果由于种种原因忽略了 x 的几何等向性，也不应包括 y 3 (或 xy 2 )项． 选择插值多项式阶次的最后一个要求，是使多项式中所含的总项数等于单元的结点自由度数 目．如三结点三角形平面单元，插值多项式选为
三维单元中
u ( x, y, z ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x 2 + a6 y 2 + a7 z 2 + a8 xy + a9 yz + a10 zx + + am z n
在大多数实际应用中，插值函数的多项式的阶数都取为一次、二次或三次，因此，上述方程对 于实际情况简化为 n=1 一维 二维 三维 n=2 一维 二维 三维 n=3 一维 二维
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u ( x= ) a1 + a2 x u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y u ( x, y , z ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z u ( x) = a1 + a2 x + a3 x 2 u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy u ( x, y , z ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x 2 + a6 y 2 + a7 z 2 + a8 xy + a9 yz + a10 zx u ( x) = a1 + a2 x + a3 x 2 + a4 x 3 u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy + a7 x 3 + a8 y 3 + a9 x 2 y + a10 xy 2
3．2 选择位移函数
有限元法的基本思想是分段逼近，即把感兴趣的区域分为许多小区域(有限元)后再对每个子域用 简单函数近似求解，最后得到复杂问题的解：因此，最必要的步骤是为每一个单元的解选择一个简 单的函数，用以表示单元内位移形状的这种函数称为位移函数，由于以下原因，多项式形式的位移 函数用得最为广泛． (1)用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易，特别是易于进行微分和积分． (2)如图 2.2.1 所示，增加多项式的阶数可以改善结果的精度．在理论上，无限次多项式就相当 于准确解．但在实际中，我们只取有限次的多项式作为近似解．
3
(或 x 2 y )项，则为了保持模式
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y v ( x, y ) =a4 + a5 x + a6 y
因为单元结点自由度 3 x 2=6，插值多项式系数包含 a1 , a 2 , , a 6 ，从而可以用单元结点未知 数来表示多项式系数． 又如六结点三角形平面单元，插值多项式可选为：
图 3.2.4 几种可能的收敛情况 在有限单元法中，场函数的总体势能作为整体泛函是由单元势能（单元泛函）集成的。如果采 用完全多项式作为单元的插值函数(即试探函数)，那么每一个单元的势能泛函有可能趋于它的精确 值，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致；若插值函数还满足连续性要求， 则整个系统的势能趋于它的精确值，有限元解就趋于精确解，也就是说解是收敛的。这就需要位移 函数满足某些条件，当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。 就势能泛函Π而言，它取决于弹性体的位移和应变，而应变也就是位移的某种导数。所以，研 究它的收敛性，就是要研究所选择的位移函数及对应于应变的导数能够“无限地接近”真实的位移 及其导数(应变)。所谓“无限地接近”就是指：任意给定一个误差界限，相应地，我们总可以把单 元尺寸缩小到这样一种程度，使得假设的位移函数(及其导数)同真正的位移(及其导数)之间的差， 限定在上述给定的界限之内。也就是说，当单元尺寸趋于零时，其位移函数及其应变总是趋向于某 一常数，否则，单元的势能将不存在。由此可见，对位移函数的基本要求应当是：函数本身应在单 元上连续，还要包括使得位移函数及对应于应变的导数都为常数的项，即常位移项和常应变项。 要保证单元的收敛性，还要考虑单元之间的位移协调。不仅节点处的位移应协调，沿整个单元 边界上的位移都应当是协调的(或相容的)，这也是最小势能原理所要求的基本前提。
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如上所知，收敛性的含义为，当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋近于真实解。以下两个有关单元 内部以及单元之间的函数构造准则可以保证单元的收敛性。 准则 1：完备性(completeness)要求(针对单元内部)：如果在(势能)泛函中所出现位移函数的最高 阶导数是m阶，则有限元解答收敛的条件之一是选取单元内的位移场函数至少是m阶完全多项式。 以上准则有两方面含义: (1)位移函数中必须含有反映刚体运动的项数． 多项式形式的常数项即体现这一刚体位移．每个单元的位移一般总是包含两部分，一是由本单 元形变引起，另一部分是与本单元形变无关的，即刚体位移，它是由其他单元发生形变而连带引起 的，如悬臂梁自由端处本身形变小，位移主要是连带引起． (2)位移函数应反映单元的常应变，即位移函数的导数中必须有常数项存在． 当单元尺寸无限缩小时，单元应变将趋近于常量，因此单元位移函数中应包括常应变项．平面 应力和空间应力中，应变是位移的一阶导数，常应变即要求位移函数含有一次项． 二维问题和三维问题的 m 阶完全多项式已包含了刚体位移和常应变项。 单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。(一般都较易满足) 在平面问题中，泛函 Π 中出现的是位移 u 和 v 的一次导数，即 ε x ,ε y ,γ xy ，因此 m=l。收敛准则 1 要求插值函数或位移函数至少是 x、y 的一次完全多项式。我们知道位移及其一阶导数为常数的项 是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。所以完备性的要求由插值函数所构成的有 限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体 位移(零应变)或常应变的位移值时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可 能收敛于真正解。 应该指出，在 Bazeley 等人开始提出上述收敛准则时，是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满 足完备性收敛准则。如果将此收敛准则用于有限尺寸的单元，将使解的精度得到改进。 至于连续性的要求，当试探函数是多项式的情况下，单元内部函数的连续性显然是满足的，如 试探函数是m次多项式，则单元内部满足C m-1 连续性要求。因此需要特别注意的是单元交界面上的连 续性，这就提出另一个收敛准则。 准则 2：协调性(compatibility)要求(针对单元之间)：如果在(势能)泛函中位移函数出现的最高阶 导数是m阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m—1)阶的连续导数，即C m-1 ，连续性。 这意味着:位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的． 当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。(在单元和单元之间的公共边界上对 于高阶连续性要求较难满足) 在有限单元法中，按位移(即按最小势能原理)求解时，只计算了各单元内部的功(应变能)，没 有计算相邻两单元接触面上的功，由于接触面的厚度是零，当接触面上的应变是有限值时，此功等 于零，反之，当接触面上的应变不是有限值时，此功就可能不等于零，忽略它会引起一定的误差． 在平面应力和空间应力问题中，应变是位移的一阶导数，接触面上应变有限即意味着位移连 续．在板壳问题中，应变是位移的二阶导数，因此要求在接触面上位移及其一阶导数都连续．此条 件即保证不会发生两相邻部分互相脱离或互相侵入现象．如由
3．2．2 插值多项式阶次的选择
在选择插值函数多项式的阶次时，必须考虑到下列因素： (1)插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求；选取多项式时，常数项和坐标的一次项 必须完备。位移模式中的常数项和一次项反映了单元刚体位移和常应变的特性。当结点位移是由某 个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。这样，位移模式就不但要具有描述单元本身形变的能 力，而且还要具有描述由于其他单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。当划分的单元 数趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变，否则就不可能收敛于正确解。 为了保证单元这两种最基本的特性能得到满足，因此要求位移模式中一定要有常数项和完备的
图 3.2.1 一维多项式近似
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3．2．1 位移函数的多项式形式
一维单元中，位移函数的多项式形式表示为
u ( x ) = a1 + a2 x + a3 x 2 + + an +1 x n
二维单元中，表示为
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy + + am y n
一次项。3 结点三角形单元的位移模式正好满足这个基本要求。 (2)多项式描述的位移形式与局部坐标系无关； (3) 广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。如 3 结点三角形 单元有 6 个结点自由度(结点位移)，广义坐标个数应取 6 个，因此二个方向的位移 u 和 v 各取三项 多项式。对于 4 结点的矩形单元，广义坐标数为 8，位移函数可取四项多项式作为近似函数。 （4）多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。一般来说对于单 元边每边具有 2 个端结点的应保证一次完全多项式，如图 3.2.3 中的二维 3 结点、4 结点单元或三 维 4 结点、6 结点单元及 8 结点单元。每边有 3 个结点时应取二次完全多项式，如图中的二维 6 结 点、8 结点单元和三维 20 结点单元。若由于项数限制不能选取完全多项式时，选择的多项式应具有 坐标的对称性。并且一个坐标方向的次数不应超过完全多项式的次数。 不同结点单元位移模式的选择将在以后几节及下一章结合具体单元进行讨论。
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy v ( x, y ) =a7 + a8 x + a9 y + a10 x 2 + a11 y 2 + a12 xy
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3．2．3 收敛性要求
由于有限元法是一种数值方法，故当单元的尺寸逐渐缩小时，就得到一系列近似解．对于一个数 值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得到的解答收敛于问题的精确解。从上面对于有限单 元法的分析中可以看出，在单元形状确定以后，位移模式的选择是关键。载荷的移置、应力矩阵和 刚度矩阵的建立等等，都依赖于位移模式。很难想象，选择一个与真正位移分布有很大差别的位移 模式而能得到良好的数值解。已经证明，对于一个给定的位移模式，其刚度系数的数值比精确的要 大。这样一来，在给定的载荷之下，计算模型的变形比实际结构的要小。因此，当单元网格分割得 越来越细时，位移的近似解将由下方收敛于精确解，即得到真实解的下界。 在有限元分析中，当节点数目或单元插值位移的项数趋于无穷大时，即当单元尺寸趋近于零时， 最后的解答如果能够无限地逼近准确解，那么这样的位移函数(或形状函数)是逼近于真解的，这就 称为收敛(convergence)。图 2.2.4 表示出几种可能的收敛情况。其中曲线 1 和 2 都是收敛的，但曲 线 1 比曲线 2 收敛更快。曲线 3 虽然趋向于某一确定值，但该值不是问题的准确解 (correct solution)，所以也不能算是收敛的。曲线 4 虽然收敛，但不是单调收敛(monotonic convergence)， 所以也不是收敛的，它不能构成准确解的上界(upper bound)或下界(lower bound)，即近似解并不 总是大于或小于准确解。至于曲线 5，它是发散(divergence)的，所以完全不符合要求。
图 3.2.2 二、三维常用单元
第(1)条要求在后面讨论．第(2)条要求即在不同局部坐标系中，位移函数(多项式)表达式不变， 这种性质称为几何等向性，为获得几何等向性，多项式中应含有不违反如图 3.2.3 所示对称性的那 些项．
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图 3.2.3 位移函数多项式选择 如二维线性单元中，含有 x 和 y 两项，而不仅仅是其中一项． 在二维高阶单元(三角形)情况下，如果由于种种原因忽略了 x 的几何等向性，也不应包括 y 3 (或 xy 2 )项． 选择插值多项式阶次的最后一个要求，是使多项式中所含的总项数等于单元的结点自由度数 目．如三结点三角形平面单元，插值多项式选为
三维单元中
u ( x, y, z ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x 2 + a6 y 2 + a7 z 2 + a8 xy + a9 yz + a10 zx + + am z n
在大多数实际应用中，插值函数的多项式的阶数都取为一次、二次或三次，因此，上述方程对 于实际情况简化为 n=1 一维 二维 三维 n=2 一维 二维 三维 n=3 一维 二维
ຫໍສະໝຸດ Baidu
u ( x= ) a1 + a2 x u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y u ( x, y , z ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z u ( x) = a1 + a2 x + a3 x 2 u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy u ( x, y , z ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 z + a5 x 2 + a6 y 2 + a7 z 2 + a8 xy + a9 yz + a10 zx u ( x) = a1 + a2 x + a3 x 2 + a4 x 3 u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy + a7 x 3 + a8 y 3 + a9 x 2 y + a10 xy 2
3．2 选择位移函数
有限元法的基本思想是分段逼近，即把感兴趣的区域分为许多小区域(有限元)后再对每个子域用 简单函数近似求解，最后得到复杂问题的解：因此，最必要的步骤是为每一个单元的解选择一个简 单的函数，用以表示单元内位移形状的这种函数称为位移函数，由于以下原因，多项式形式的位移 函数用得最为广泛． (1)用多项式形式的插值函数来建立和计算有限元方程比较容易，特别是易于进行微分和积分． (2)如图 2.2.1 所示，增加多项式的阶数可以改善结果的精度．在理论上，无限次多项式就相当 于准确解．但在实际中，我们只取有限次的多项式作为近似解．
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(或 x 2 y )项，则为了保持模式
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y v ( x, y ) =a4 + a5 x + a6 y
因为单元结点自由度 3 x 2=6，插值多项式系数包含 a1 , a 2 , , a 6 ，从而可以用单元结点未知 数来表示多项式系数． 又如六结点三角形平面单元，插值多项式可选为：
图 3.2.4 几种可能的收敛情况 在有限单元法中，场函数的总体势能作为整体泛函是由单元势能（单元泛函）集成的。如果采 用完全多项式作为单元的插值函数(即试探函数)，那么每一个单元的势能泛函有可能趋于它的精确 值，则有限元解在一个有限尺寸的单元内可以精确地和真正解一致；若插值函数还满足连续性要求， 则整个系统的势能趋于它的精确值，有限元解就趋于精确解，也就是说解是收敛的。这就需要位移 函数满足某些条件，当单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真正解。 就势能泛函Π而言，它取决于弹性体的位移和应变，而应变也就是位移的某种导数。所以，研 究它的收敛性，就是要研究所选择的位移函数及对应于应变的导数能够“无限地接近”真实的位移 及其导数(应变)。所谓“无限地接近”就是指：任意给定一个误差界限，相应地，我们总可以把单 元尺寸缩小到这样一种程度，使得假设的位移函数(及其导数)同真正的位移(及其导数)之间的差， 限定在上述给定的界限之内。也就是说，当单元尺寸趋于零时，其位移函数及其应变总是趋向于某 一常数，否则，单元的势能将不存在。由此可见，对位移函数的基本要求应当是：函数本身应在单 元上连续，还要包括使得位移函数及对应于应变的导数都为常数的项，即常位移项和常应变项。 要保证单元的收敛性，还要考虑单元之间的位移协调。不仅节点处的位移应协调，沿整个单元 边界上的位移都应当是协调的(或相容的)，这也是最小势能原理所要求的基本前提。
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如上所知，收敛性的含义为，当单元尺寸趋于零时，有限元的解趋近于真实解。以下两个有关单元 内部以及单元之间的函数构造准则可以保证单元的收敛性。 准则 1：完备性(completeness)要求(针对单元内部)：如果在(势能)泛函中所出现位移函数的最高 阶导数是m阶，则有限元解答收敛的条件之一是选取单元内的位移场函数至少是m阶完全多项式。 以上准则有两方面含义: (1)位移函数中必须含有反映刚体运动的项数． 多项式形式的常数项即体现这一刚体位移．每个单元的位移一般总是包含两部分，一是由本单 元形变引起，另一部分是与本单元形变无关的，即刚体位移，它是由其他单元发生形变而连带引起 的，如悬臂梁自由端处本身形变小，位移主要是连带引起． (2)位移函数应反映单元的常应变，即位移函数的导数中必须有常数项存在． 当单元尺寸无限缩小时，单元应变将趋近于常量，因此单元位移函数中应包括常应变项．平面 应力和空间应力中，应变是位移的一阶导数，常应变即要求位移函数含有一次项． 二维问题和三维问题的 m 阶完全多项式已包含了刚体位移和常应变项。 单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是完备的。(一般都较易满足) 在平面问题中，泛函 Π 中出现的是位移 u 和 v 的一次导数，即 ε x ,ε y ,γ xy ，因此 m=l。收敛准则 1 要求插值函数或位移函数至少是 x、y 的一次完全多项式。我们知道位移及其一阶导数为常数的项 是代表与单元的刚体位移和常应变状态相应的位移模式。所以完备性的要求由插值函数所构成的有 限元解必须能反映单元的刚体位移和常应变状态。若不能满足上述要求，那么赋予结点以单元刚体 位移(零应变)或常应变的位移值时，在单元内部将产生非零或非常值的应变，这样有限元解将不可 能收敛于真正解。 应该指出，在 Bazeley 等人开始提出上述收敛准则时，是要求在单元尺寸趋于零的极限情况下满 足完备性收敛准则。如果将此收敛准则用于有限尺寸的单元，将使解的精度得到改进。 至于连续性的要求，当试探函数是多项式的情况下，单元内部函数的连续性显然是满足的，如 试探函数是m次多项式，则单元内部满足C m-1 连续性要求。因此需要特别注意的是单元交界面上的连 续性，这就提出另一个收敛准则。 准则 2：协调性(compatibility)要求(针对单元之间)：如果在(势能)泛函中位移函数出现的最高阶 导数是m阶，则位移函数在单元交界面上必须具有直至(m—1)阶的连续导数，即C m-1 ，连续性。 这意味着:位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的． 当单元的插值函数满足上述要求时，我们称单元是协调的。(在单元和单元之间的公共边界上对 于高阶连续性要求较难满足) 在有限单元法中，按位移(即按最小势能原理)求解时，只计算了各单元内部的功(应变能)，没 有计算相邻两单元接触面上的功，由于接触面的厚度是零，当接触面上的应变是有限值时，此功等 于零，反之，当接触面上的应变不是有限值时，此功就可能不等于零，忽略它会引起一定的误差． 在平面应力和空间应力问题中，应变是位移的一阶导数，接触面上应变有限即意味着位移连 续．在板壳问题中，应变是位移的二阶导数，因此要求在接触面上位移及其一阶导数都连续．此条 件即保证不会发生两相邻部分互相脱离或互相侵入现象．如由
3．2．2 插值多项式阶次的选择
在选择插值函数多项式的阶次时，必须考虑到下列因素： (1)插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求；选取多项式时，常数项和坐标的一次项 必须完备。位移模式中的常数项和一次项反映了单元刚体位移和常应变的特性。当结点位移是由某 个刚体位移所引起时，弹性体内不会有应变。这样，位移模式就不但要具有描述单元本身形变的能 力，而且还要具有描述由于其他单元形变而通过结点位移引起单元刚体位移的能力。当划分的单元 数趋于无穷时，单元缩小趋于一点，此时单元应变应趋于常应变，否则就不可能收敛于正确解。 为了保证单元这两种最基本的特性能得到满足，因此要求位移模式中一定要有常数项和完备的
图 3.2.1 一维多项式近似
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3．2．1 位移函数的多项式形式
一维单元中，位移函数的多项式形式表示为
u ( x ) = a1 + a2 x + a3 x 2 + + an +1 x n
二维单元中，表示为
u ( x, y ) = a1 + a2 x + a3 y + a4 x 2 + a5 y 2 + a6 xy + + am y n