ch12-2数项级数的审敛法 [兼容模式]

1 )! 1 解 (3) un1 ( n 1) 0 ( n ), 1 un n1 n! 1 故级数 收敛 . n 1 n!
un1 ( n 1)! 10 n n 1 (4) ( n ), n 1 un n! 10 10 n! 故级数 n 发散 . n 1 10
n
1 , 6
li a 2 n1 lim
n
3 , 2
un1 lim lim an 不存在. n u n n
例 4.判别下列级数的敛散性
n! 1） （ n 2 n 1

解： lim un1
n
un
(n 1)! n 1 n 1 2 lim lim n n 2 n! 2n
(5) ( )
un1 ( 2n 1) 2n lim lim 1, n u n ( 2n 1) ( 2n 2) n
比值审敛法失效, 改用比较审敛法
1 1 1 2 , 级数 2 收敛 , ( 2n 1) 2n n n 1 n 1 故级数 收敛 . n 1 2n ( 2 n 1)
收敛
部分和序列
收敛 , ∴部分和数列 收敛 , 从而
故有界. 单调递增, 也收敛.
定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 对 切 有
是两个正项级数, (常数 k > 0 ), 也收敛 ; 也发散 .
(1) 若强级数 (2) ( ) 若弱级数
收敛 , 则弱级数 发散 , 则强级数
证略（ 略 P234）或见附录 或见附录:
3.条件是充分的,而非必要.
2 ( 1) 3 例 un n vn , n 2 2
n
2 ( 1)n 级数 un 收敛 , n 2 n 1 n 1


un1 2 ( 1)n1 但 an , n un 2( 2 ( 1) )
lim a 2 n
是交错级数，且
u n 1 1 u n 1 n n 1
及
1 li u n lim lim li n 0 n n
n1 1 ( 1) 由莱布尼兹判别法 得级数 由莱布尼兹判别法，得级数 n n 1

收敛
(1) n n （2） n 1 n2

解
x (1 x ) ( ) 0 ( x 2) 2 x 1 2 x ( x 1)
n
n 由根值审敛法 得级数 由根值审敛法， n 1 2 n 1
收敛 收敛。
an （2） p (a 0) n 1 n

lim n n 1
n
解：因为 lim n u n lim n n
a a (n n ) p

n a np 由根值审敛法， 当a 1时级数 n 1 n a np 当a1时级数 n 1
比值法 收敛 比值法，收敛

三、绝对收敛与条件收敛 定义: 对任意项级数 数 绝对收敛 ； 若 收敛 , 则称原级
若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级 数 条件收敛 .
n 1 1
例如 ： (1)
n 1
n
为条件收敛 .
n 1
(1)

n 1
n 均为绝对收敛. n 10
则 1时级数收敛;
n 1
n
1时级数发散; 1时失效. 时失效
注 注：一般用于通项中含 般用于通项中含n次方的正项级数.
例5.判别下列级数的敛散性
n （1） 2 n 1 n 1
n
解 （1）因为 lim
n
n
n 1 u n lim 1 n 2n 1 2
3在通项为零时，有时可适当找与通项等价或同 在通项为零时 有时可适当找与通项等价或同
阶 的无穷小量作比较，如

1 1 1 1 sin p , ln(1 p ), tan p , tan n , 等 n n n n 1 2 n 1 n 1 n 1
例3 判定下列级数的敛散性
(1)

n 1

1 n2 n 1
解（1）因为
1
2 1 n n 1 lim 1 lim n n 1 1 1 1 2 n n n
1 而级数 n 1 n

发散， 所以原级数发散
4 (2) ln (1 2 ) n n 1
4 4 ln(1 2 ) 2 n n 解：（2）因为 lim lim 4 n 1 n 1 2 n2 n 1 而级数 2 收敛， n 1 n
n2
1 (6) lim 1 n n
n
1 1 e
故原级数收敛
二 、交错级数及其审敛法
设 u n 0 , n 1, 2 ,, 则各项符号正负相间的级数
称为交错级数 . 定理6 . ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:
1) u n u n 1 ( n 1, 2 , ) ;
由比值敛法，得级数
1 1 e


n 1
n! n n
收敛。
n sin n （ 3） n 3 n 1
2 2 2 n sin n n 解： n n 3 3

2
2
对于级数
(n 1) 2 n 1 un 1 3 lim lim 2 n u n n n 3n
n n n 1 3
复
习
一.常数项级数的基本概念 二.基本审敛法如下：
1.由定义,若 s n s ,则级数收敛;
li un 0,则级数发散; 2 当 lim 2.当 则级数发散
n
3.基本性质. 基本性质
两个结论

当 q 1时, 收敛 aq n 0 当 q 1时, 发散
n

1 n n 1
由比值审敛法，得级数
2
n 1

n!
n
发散。
n! （2） n n 1 n

解：
(n 1)! un 1 n n (n 1) n 1 lim lim lim ( ) n u n n n 1 n! n nn
1 lim n 1 n (1 ) n
例1(P235) 讨论下列级数的敛散性
πn (1) sin 2 n 1

(2)

n2

1 ln n
( n 1, 2, )
π 解： （1） 因为 sin n 0 2
π π 且 sin n n 2 2
而几何级数

n 1

π 2n 收敛
n 1 n
sin π 由比较审敛法得级数 2
收敛。 发散。
n a np 当a = 1时 级数 n 1

为p-级数，
故当 p 1
时收敛，
当 p 1 时发散。
例6（练习）判定下列级数的敛散性
1 （） 1 sin n n 1

1 （2） n n 1 3 n

1 （3） n 1 n !
1 （5） n 1 (2n 1) 2n

所以原级数收敛。
(3)
2
n 1

1
n 1
3
1
1 lim n 3 2 n 2 2

解：
n 1 3 2 lim n 1 2n
1
1 而级数 n n 1 2
收敛，
所以原级数收敛
定理4.比值审敛法（D’Alembert判别法）
un 1 设 un 是正项级数,如果 lim (数或 ) n u n 1 n
根据比较审敛法可知, 所给级数发散 .
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数 un l , 则有 满足 lim n vn (1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ; (2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证略,教材P236
几点说明： 1.比较判别法只能用于正项级数 2.为能更好的应用比较判别法解题，必须掌握一 些已知敛散性的级数 以其作为比较的标准 常 些已知敛散性的级数，以其作为比较的标准。常 用的如 1 n ,q 等 p n 1 n n 1
定理7. 绝对收敛的级数一定收敛 . 证: 设 收敛 , 令
vn 1 ( u n u n ) ( n 1 , 2 , ) 2 显然 vn 0 , 且 vn u n , 根据比较审敛法 vn 收敛,
u n 2 vn u n
n 1
n 1
un 也收敛

n 1
则 1 时级数收敛;

1 时级数发散; 1
不能确定，此法不能用.
证明见教材P237 略
几点说明:
1.当 当 1时比值审敛法失效;
1 例 级数 发散, n 1 n

1 级数 2 收敛 , n 1 n

( 1)
n !, 或 a n 的正项级数
2.此法常用于通项中含

发散
第十二章
第二节 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 *四、绝对收敛级数的性质
一、正项级数及其审敛法 若 u n 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
定理 1. 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ”若 ” 有界, 故
收敛
（2） 因为n 2时， 1 1 0 ln n n
1 而调和级数 n 1 n

发散，
1 n 2 ln n

由较审敛法得级数
发散。
例2(P235)
讨论 P-级数
1 1 1 1 1 p p p p 的收敛性. ( p 0) 2 3 4 n
证明略，见附录 记结论
当p 1时, 收敛 P - 级数 当p 1时, 发散
调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 对一切 切n N, 若存在 N N , 对
例2（补） 证明级数 例2（补）. 证: 因为
1 n (n 1) 1 (n 1) 2

发散 .
而级数
1 发散 k 2 k
2)

n
lim u n 0 ,
n 1
则级数 ( 1)
n 1
u n 收敛 , 且其和 S u1 , 其余项满足
rn u n 1 .
证明略P240
例7(P241). 7(P241) 判别下列级数的敛散性
(1) (1)
n 1 n1
1 n

解 解：
n1 1 ( 1) 级数 n n 1
x 故函数 单调递减 , un un1 , x 1 n 又 lim un lim 0. 原级数收敛. n n n 1
（练）用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:
1 1 1 n 1 1 1) 1 (1) 2 3 4 n 1 1 1 n 1 1 2) 1 (1) 2! 3! 4! n!
收敛 收敛
1 2 3 4 n 1 n 3) 2 3 4 (1) 收敛 10 10 10 10 10 n 思考：上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?
1 1) ; n 1 n
发散

1 2) ; n 1 n !
比值法 收敛 比值法，收敛

n 3) n . n 1 10

2
1 1 2 1 lim (1 ) 1 n 3 n 3
收敛
2 n 由比值审敛法， n n 1 3


n 2 sin 2 n 收敛 再由比较审敛法 n 3 n 1
定理5.根值审敛法（柯西判别法）
设
n u lim u 是正项级数,如果 n n

( 为数或 ),


n! （4） n 10 n 1
1 (6) 1 n n 百度文库
n2

1 sin n 解 (1) lim n 1 n
1,
故原级数发散.
1 n 1 3 n 1, lim ( 2) lim n 1 n n 1 n n 3 3 1 n收敛 , 故原级数收敛. n 1 3