新课练19 等比数列-2020年新高二数学(人教版)(wd无答案)

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高二数学等比数列试题答案及解析

高二数学等比数列试题答案及解析1.在等比数列中，，公比.若，则=( )A．9B．10C．11D．12【答案】C【解析】根据等比数列的通项公式，有，所以【考点】本小题主要考查等比数列通项公式的应用，考查学生的运算能力.点评：等差数列和等比数列是两种常考的数列，它们的基本运算要加以重视.2.已知实数列－1，x，y，z，－2成等比数列，则xyz等于()A．－4B．±4C．－2D．±2【答案】C【解析】.3.在等比数列中，且，则的值为（）A．16B．27C． 36D． 81【答案】B【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：设公比为q，因为，即，所以，q=3，从而=，=27，故选B。

4.在等比数列中，已知，则= （）A．8B．－8C．D． 16【答案】A【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：因为，所以，，，故选A。

5.若正项等比数列的公比为，且，成等差数列，则。

【答案】【解析】主要考查等差、等比数列的概念及其通项公式。

解：因为成等差数列，所以，即，所以，解得，所以=。

6.已知等差数列的前4项和为10，且成等比数列，求数列的通项公式。

【答案】数列的通项公式为或。

【解析】主要考查等比数列的概念、通项公式。

解：设数列的首项为，公差为，则，则，由于成等比数列，所以，化简得所以解得或所以数列的通项公式为或。

7.在等比数列中,,则公比 .【答案】【解析】因为,解之得.8.在数列{an }中，其前n项和Sn＝，若数列{an}是等比数列，则常数a的值为．【答案】【解析】当n=1时，,因为{an}是等比数列,所以.9.设椭圆C：与直线相交于P,Q两点，且（O为坐标原点）（1）求证：等于定值（2）若椭圆的离心率，求椭圆长轴长的取值范围【答案】（1）见解析；（2）.【解析】（Ⅰ）证明：消去得设点，则，由，，即化简得，则即，故（Ⅱ）解：由化简得由得，即故椭圆的长轴长的取值范围是。

10.某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为()A．q B．12qC．(1＋q)12D．(1＋q)12－1【答案】D【解析】设第一年第1个月的生产总值为1，公比为(1＋q)，该厂一年的生产总值为S1＝1＋(1＋q)＋(1＋q)2＋…＋(1＋q)11.则第2年第1个月的生产总值为(1＋q)12，第2年全年生产总值S2＝(1＋q)12＋(1＋q)13＋…＋(1＋q)23＝(1＋q)12S1，所以该厂生产总值的年平均增长率为＝(1＋q)12－1.本题选择D选项.11.（1）设数列满足且，求的通项公式；（2）数列的前项和，求数列的通项公式.【答案】(1) (2)【解析】（1）由可得为等差数列，于是，从而可得结果；（2）当时，直接由前项和求首项，当大于等于时，由求解即可得结果.试题解析：（1）∵，∴数列是公差为1的等差数列，∴.∴.（2）当时，；当时，.∴【方法点睛】本题主要考查等差数列的定义及通项公式、数列通项与前项和之间的关系以及公式的应用，属于中档题.已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.12.设是公比为正数的等比数列，.(1)求的通项公式；(2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n项和.【答案】（1）an＝2n（2）2n＋1＋n2－2.【解析】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，设出等比数列的首项与公比，借助等比数列通项公式列方程组，解方程组得出首项与公比，写出通项公式，根据首项与公差写出通项公式，利用分组求和法求出数列的和，一组利用等差数列前n项和公式求和，另一组采用等比数列前n项和公式求和，另外注意运算的准确性.试题解析：(1)设q为等比数列{an }的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2.所以{an }的通项为an＝2·2n－1＝2n(n∈N*)(2)Sn＝.【点睛】求等差数列或等比数列的通项公式基本方法是列方程组解方程组，得出首项与公比（或公差），然后写出通项公式；有关数列求和问题，主要方法有倒序相加法、错位相减法、分组求和法、公式法等，本题采用分组求和法求和，本题要根据数列通项的形式特点采用相应的方法求和.13.等比数列中，若，，则（）A．64B．-64C．32D．-32【答案】A【解析】数列是等比数列，，，即解得那么故选A．14.已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（）A．5B．6C．7D．12【答案】B【解析】把配方得得到顶点坐标为，即由成等比数列，则，故选B．15.已知函数的最低点为.（1）求不等式的解集；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）根据函数的最低点为，得到对称轴与最小值，列方程组求出，，即可求得函数解析式，然后利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）由由，可得，分别求出与的最大值与最小值，利用不等式恒成立可得结果.试题解析：（1）依题意，得，①，②由①②解得，，.∴.则原不等式可化为，解得或.故不等式的解集为.（2）由，得，即，则，即.∵，∴的最小值是.的最大值是.∴，即.故实数的取值范围是.16.已知数列是递减等比数列，且，，则数列的通项公式__________．【答案】【解析】因为，，所以, ,又因为数列是递减等比数列，所以，数列的通项公式，故答案为.17.已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）令，设数列的前项和为，求；（3）令，若对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1); (2);(3)【解析】(1) 当时，利用公式；，可得，验证当时是否适合即可；（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可（3）讨论当为奇数时，当为偶数时两种情况，分别利用等差数列求和公式求和，然后利用放缩法可证明结论.试题解析：(I)当时，当时，，适合上式，（）.(II)，则•，‚，•-‚得，..(III),当为奇数时，，当为偶数时，，综上所述，【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项与求和公式以及错位相减法求数列的的前项和，属于中档题.一般地，如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解, 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式.18.已知数列{a}满足．n（1）求{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn }的前n项和Sn．【答案】（1）；（2）【解析】(1)分类讨论和两种情况可得数列{an}的通项公式为；(2)结合(1)的结论错位相减可得数列{bn}的前n项和.试题解析：（1）当n＝1时，，，两式相减得，∴，当n＝1时也满足，∴．（2），∴Sn ＝1×3+2×32+3×33+…+n×3n，3Sn＝1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，两式相减得∴-2Sn＝3+32+33+34+…+3n-n×3n+1，∴．19.在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等比数列，那么位于表中的第10行第11列的数是________________.【答案】【解析】由题意知，第1列的数是首项为1，公比为2的等比数列，所以第10行的第一个数为。

【新高二】 19 等比数列-2020年新高二数学(人教版)(解析版)

新课练19 等比数列一．选择题1．等比数列{}n a 的公比3q =，则13572468a a a a a a a a ++++++等于A ．13- B ．3- C ．13D ．3【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比3q =，则结合等比数列的性质可知，13572468113a a a a a a a a q +++==+++，故选C ．2．已知等比数列{}n a 的公比大于1，3772a a =，2827a a +=，则12a = A ．48 B ．64 C ．72 D ．96【答案】D【解析】在公比大于1的等比数列{}n a 中，372872a a a a ==，2827a a +=，等比数列{}n a 的公比大于1，且28a a <，解得23a =，824a =，则有6828a q a ==，则22q =， 1051223296a a q ==⨯=．故选D ．3．已知数列{}n a 的前n 项和21n n S p =⨯+，则{}n a 为等比数列的充要条件是 A ．p l =- B ．01p << C ．2p =- D ．1p >【答案】A【解析】21n n S p =⨯+，当1n =时，112121a S p p ==⨯+=+，当2n 时，11121(21)2n n n n n n a S S p p p ---=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列，21p p ∴+=， 1p ∴=-，故选A ．4．等比数列{}n a ，0n a >且563854a a a a +=，则3132310log log log a a a ++⋯+= A ．12 B ．15 C ．8D ．32log 5+【答案】B【解析】等比数列{}n a ，0n a >且563854a a a a +=，563827a a a a ∴==，3132310312310log log log log ()a a a a a a a ∴++⋯+=⨯⨯⨯⋯⨯53563()5log 2715log a a ===．故选B ．5．正项等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则28a a += A ．4- B ．4 C ．4± D ．8【答案】B【解析】根据题意，等比数列{}n a 满足2237610216a a a a a ++=，则有222288216a a a a ++=，即228()16a a +=，又由数列{}n a 为正项等比数列；故284a a +=；故选B ．6．已知正项等比数列{}n a ，满足227202016a a a =，则121017a a a ⋯= A ．10174 B ．10172C ．10184D ．10182【答案】B【解析】根据题意，正项等比数列{}n a 中，若227202016a a a =，则有271011()16a a =，所以710114a a =，则有5092a =，所以508101712101771011509()2a a a a a a ⋯==．故选B ．7．已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a += A ．7 B ．7± C ．7- D ．5-【答案】C【解析】{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，由等比数列的性质，56478a a a a =-=，∴4742a a =⎧⎨=-⎩或4724a a =-⎧⎨=⎩，当4742a a =⎧⎨=-⎩时，312q =-，则3411073817a a a a q q+=+=-+=-，当4724a a =-⎧⎨=⎩时，32q =-，则3411073817a a a a q q+=+=-+=-，故选C ．二．填空题8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =-，若6378S S =，则3a = ．【答案】18-【解析】依题意，因为6378S S =，所以333(1)78q S S +=，所以3718q +=，所以12q =-，所以23111()28a a =-=-，故答案为：18-．9．在正项等比数列{}n a 中，246825a a a a =，则19a a = ．【答案】5【解析】在正项等比数列{}n a 中，224681925()a a a a a a ==，则195a a =，故答案为：9．10．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1233a a a =，78927a a a =，则456a a a = ．【答案】9【解析】依题意，312323a a a a ==，得2a =3789827a a a a ==，得83a =，143333233224565(33)339a a a a ∴======．故答案为：9．11．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，若1232a a a +=，则6789a a a a ++等于．【答案】14【解析】{}n a 是各项均为正数的等比数列，若1232a a a +=，21112a a q a q ∴+=，2q ∴=，或1q =-（舍去），则67289114a a a a q +==+，故答案为：14．三．解答题12．已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a +=+，*()n ∈N ．（1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．【答案】（1）详见解析；（2）122n n s n +=-- 【解析】（1）121n n a a +=+，*()n ∈N ，112(1)n n a a +∴+=+，∴1121n n a a ++=+，∴数列{1}n a +是以2为公比的等比数列，（2）由（1）知，数列{1}n a +是等比数列，且2q =，首项为112a +=，11222n n n a -∴+==， 21n n a ∴=-，∴数列{}n a 的前n 项和212(12)(222)2212n nn n s n n n +-=++⋯+-=-=---．。

2019-2020年新人教A版数学必修五§2.4等比数列(一)精品导学案附答案解析

2019-2020年新人教A版数学必修五§2.4等比数列(一)精品导学案附答案解析课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．2．等比数列的通项公式：a n＝a1q n－1.3．等比中项的定义如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G＝±ab.一、选择题1．在等比数列{a n}中，a n>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为( )A．16 B．27 C．36 D．81答案 B解析由已知a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，∴q2＝9.∴q＝3(q＝－3舍)，∴a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.2．已知等比数列{a n}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7等于( )A．64 B．81 C．128 D．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2 答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2， ∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ， ∴q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2. ∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9 B ．b ＝－3，ac ＝9 C ．b ＝3，ac ＝－9 D ．b ＝－3，ac ＝－9 答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( ) A.53 B.43 C.32 D.12 答案 A解析设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53. 6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于( )A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)， ∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍) ∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12. 二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________.答案 4·(32)n －1解析由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________. 答案 18解析由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析设公比为q ，则⎩⎨⎧3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎨⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________．答案5－12解析设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203. 解得q 1＝13，q 2＝3.当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3.12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列． (1)解由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a1＝－12.又S2＝13(a2－1)，即a1＋a2＝13(a2－1)，得a2＝14.(2)证明当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝13(a n－1)－13(a n－1－1)，得anan－1＝－12，又a2a1＝－12，所以{a n}是首项为－12，公比为－12的等比数列．能力提升13．设{a n}是公比为q的等比数列，|q|>1，令b n＝a n＋1(n＝1,2，…)，若数列{b n}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.答案－9解析由题意知等比数列{a n}有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q＝－3 2，∴6q＝－9.14．已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1，(1)求证：数列{a n＋1}是等比数列；(2)求a n的表达式．(1)证明∵a n＋1＝2a n＋1，∴a n＋1＋1＝2(a n＋1)，∴an＋1＋1an＋1＝2.∴{a n＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解由(1)知{a n＋1}是等比数列．公比为2，首项a1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n.∴a n＝2n－1.。

4.3.1 等比数列的概念-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学选

x
由题意知
从而
x(x d ) 16,
(x d)(x d)2
x
128.
消去d , 整理得
x4 4x2 32 0,
解得
x1 d1
26,,或dx22
-2, -6。
因此所求的四个数为
4,2,8,32
或4,2,8,32.
8.例4. 用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率 0.400 %的复利计息,12个月能获得多少利息 (精确到1元)?
则f (1) ka, f (2) ka2 ,, f (n) kan ,构成一个
等比数列 kan ,其首相为 ka,公比为a.
●
● ● ● ●
四、应用新知
1.例1．若等比数列an的第4项和第6项分别为 48和12,
解法1:求由aan4的第485项 , a.6 12, 得
aa11qq53
48, 12.
所以,12个月后的利息为 10490 .7 104 491元
8.例4. 用10000元购买某个理财产品一年.
(1)若以月利率 0.400 %的复利计息,12个月能获得多少利息 (精确到1元)?
(2)若以季度复利计息 , 存4个季度,则当每季度利率为多少时,
按季度结算的利息不少于按月结算的利息 (精确到105 ) ?
(1)若an为等差数列 ,公差d 2, 证明数列 3an 为等比数列 ;
(2)若an
为等比数列,公比q
1 9
,
证明数列log 3
an 为等差数列.
证明： (2)由a1
an
3
3,
(1 9
q 1, 9
)n1 332n.
两边取以3为底的对数 ,得

专题4.3等比数列(含答案)高二数学同步培优专练(人教A版2019选择性必修第二册)

专题4.3 等比数列知识储备知识点一　等比数列的概念思考1　观察下列4个数列，归纳它们的共同特点.①1,2,4,8,16，…；②1，12，14，18，116，…；③1,1,1,1，…；④－1,1，－1,1，…【答案】从第2项起，每项与它的前一项的比是同一个常数.思考2　类比等差数列，归纳出等比数列的概念和特点.(1)文字定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0).(2)递推公式形式的定义1n n a a -＝q (n >1).(或1n naa +＝q ，n ∈N *)(3)等比数列各项均不能为0；故只有非零常数列才是等比数列.知识点二　等比中项的概念思考1　在2,8之间插入一个数，使之成等比数列.这样的实数有几个？【答案】设这个数为G .则82G G=，G 2＝16，G ＝±4.这样的数有2个.思考2　对比等差中项与等比中项的异同，完成表格知识点三　等比数列的通项公式对比项等差中项等比中项定义若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项若a ，G ，b 成等比数列，则G 叫做a 与b 的等比中项定义式A －a ＝b －AG b a G=公式A ＝2a b+ G ＝±ab个数a 与b 的等差中项唯一a 与b 的等比中项有两个，且互为相反数备注任意两个数a 与b 都有等差中项只有当ab ＞0时，a 与b 才有等比中项思考　类比等差数列通项公式的推导过程，推导首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式.【答案】根据等比数列的定义得：21a a ＝q ，32a a ＝q ，43aa ＝q ，…，1n n a a -＝q (n ≥2).将上面n －1个等式的左、右两边分别相乘，得21a a ·32a a ·43a a ·…·1n n a a -＝q n －1，化简得1n a a ＝q n －1，即a n ＝a 1q n －1(n ≥2).当n ＝1时，上面的等式也成立.∴a n ＝a 1q n －1(n ∈N *).知识点四　等比数列通项公式的推广思考1　我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d .等比数列也有类似变形吗？【答案】在等比数列中，由通项公式a n ＝a 1q n －1，得n m a a ＝1111n m a q a q--＝q n －m ，所以a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *).思考2　我们知道等差数列的通项公式可以变形为a n ＝dn ＋a 1－d ，其单调性由公差的正负确定；你能用等比数列的通项公式研究其单调性吗？【答案】设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .则a n ＋1－a n ＝a 1q n －a 1q n －1＝a 1q n －1(q －1)，差的正负由a 1，q ，q －1的正负共同决定.当101a q >ìí>î或1001a q <ìí<<î时，{a n }是递增数列；当101a q <ìí>î或1001a q >ìí<<î时，{a n }是递减数列；q ＜0时，{a n }是摆动数列，q ＝1时，{a n }是常数列.知识点五　由等比数列衍生的等比数列思考1　等比数列{a n }的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是：(1){3a n }是等比数列；(2){3＋a n }是等比数列；(3){1na }是等比数列；(4){a 2n }是等比数列.【答案】由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确.思考2　试把思考1推广到一般的等比数列.【答案】(1)在等比数列{a n }中按序号从小到大取出若干项：ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…，若k 1，k 2，k 3，…，k n ，…成等差数列，那么ak 1，ak 2，ak 3，…，ak n ，…是等比数列.(2)如果{a n }，{b n }均为等比数列，那么数列{1n a }，{a n ·b n }，{n nb a }，{|a n |}仍是等比数列.知识点六　等比数列的性质思考1　在等比数列{a n }中，a 25＝a 1a 9是否成立？a 25＝a 3a 7是否成立？a 2n ＝a n －2a n ＋2(n >2)是否成立？【答案】∵a 5＝a 1q 4，a 9＝a 1q 8，∴a 1a 9＝a 21q 8＝(a 1q 4)2＝a 25，a 25＝a 1a 9成立.同理a 25＝a 3a 7成立，a 2n ＝a n －2·a n ＋2也成立.思考2　由思考1你能得到等比数列更一般的结论吗？该结论如何证明？【答案】一般地，在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝s ＋t ，则有a m ·a n ＝a s ·a t (m ，n ，s ，t ∈N *).若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k (m ，n ，k ∈N *).证明：∵a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，∴a m ·a n ＝a 21q m ＋n －2，同理，a s ·a t ＝a 21q s ＋t －2，∵m ＋n ＝s ＋t ，∴a m ·a n ＝a s ·a t .若m ＋n ＝2k ，则a m ·a n ＝a 2k .知识点七　等比数列的前n 项和公式的推导思考1　对于S 64＝1＋2＋4＋8＋…＋262＋263，用2乘以等式的两边可得2S 64＝2＋4＋8＋…＋262＋263＋264，对这两个式子作怎样的运算能解出S 64?【答案】比较两式易知，两式相减能消去同类项，解出S 64，即S 64＝641212--＝264－1≈1.84×1019.思考2　类比思考1中求和的方法，如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?【答案】设等比数列{a n }的首项是a 1，公比是q ，前n 项和为S n .S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.①则qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＋a 1q n .②由①－②得：(1－q )S n ＝a 1－a 1q n .当q ≠1时，S n ＝1(1)1n a q q--.当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝na 1.思考3　等比数列前n 项和公式：S n ＝111(1)=(1)11(1)n n a a qa q q q qna q ì--¹ï--íï=î 知识点八　等比数列的前n 项和公式的应用思考1　怎样求等比数列前8项的和：(1)若已知前三项12，14，18，用哪个公式比较合适？(2)若已知a 1＝27，a 9＝1243，q ＝－13.用哪个公式比较合适？【答案】(1)用S n ＝1(1)1n a q q --；(2)用S n ＝11n a a q q--.思考2　一般地，使用等比数列求和公式时需注意什么？【答案】(1) 一定不要忽略q ＝1的情况；(2) 知道首项a 1、公比q 和项数n ，可以用1(1)1n a q q --；知道首尾两项a 1、a n 和q ，可以用11n a a q q--；(3) 在通项公式和前n 项和公式中共出现了5个量：a 1，n ，q ，a n ，S n .知道其中任意三个，可求其余.知识点九　等比数列前n 项和公式的函数特征思考1　若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，那么数列{a n }是不是等比数列？若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－1呢？【答案】当S n＝2n －1时，a n ＝11,1,,2,nn S n S S n -=ìí-³î＝11,1,2,2,n n n -=ìí³în ∈N *，是等比数列；当S n ＝2n ＋1－1时，a n ＝11,1,,2,n n S n S S n -=ìí-³î＝3,1,2,2,n n n =ìí³î不是等比数列.思考2　对于一般的等比数列，前n 项和有什么特征？【答案】当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝1(1)1n a q q --＝1(1)1n aq q --.设A ＝11a q -，则上式可以写为S n ＝A (q n －1).当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，S n 是n 的正比例函数.知识点十　错位相减法思考1　在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 的？【答案】在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减消去即可.思考2　如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，上述方法还能不能用？【答案】能用.S n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，①qS n ＝a 1b 1q ＋a 2b 2q ＋…＋a n b n q ＝a 1b 2＋a 2b 3＋…＋a n b n ＋1，②①－②：(1－q )S n ＝a 1b 1＋(a 2－a 1)b 2＋(a 3－a 2)b 3＋…＋(a n －a n －1)b n －a n b n ＋1，＝a 1b 1＋d (b 2＋b 3＋…＋b n )－a n b n ＋1＝a 1b 1＋d 12(1)1n b q q ---－a n b n ＋1，∴S n ＝()111122(1)11n n n a b a b b q d q q -+--+-- 能力检测注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单选题1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( )A ．－24 B ．0C ．12 D ．24【答案】A【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则57a a 等于( )A.56 D ．65C.23D ．32【答案】D【解析】公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴57a a ＝21q ＝262æöç÷ç÷èø＝32.3．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( )A ．100B ．－100C ．10 000D ．－10 000【答案】C【解析】∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.∴a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.4．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( )A ．a 1＝1 B ．a 3＝1C ．a 4＝1 D ．a 5＝1【答案】B【解析】由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又因为a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.5．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2 B ．4C ．8 D ．16【答案】C【解析】等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.6．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190 B ．191C ．192 D ．193【答案】C【解析】设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由71112112a éùæö-êúç÷èøêúëû-＝381，解得a 1＝192.7．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则52S S 等于( )A ．11 B ．5C ．－8 D ．－11【答案】D【解析】设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0.所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0.因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2. )A ．若{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，…仍为等差数列()k N *ÎB ．若{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则k S ，2k k S S -，32k k S S -，L 仍为等比数列()k N *ÎC ．若{}n a 为等差数列，10a >，0d <，则前n 项和n S 有最大值D ．若数列{}n a 满足21159,4n n n a a a a +=-+=，则121111222n a a a +++<---L 【答案】ACD【解析】对于A 中，设数列{}n a 的公差为d ，因为12k k S a a a =+++L ，2122k k k k k S S a a a ++-=+++L ，3221223k k k k k S S a a a ++-=+++L ，L ，可得()()()()22322k k k k k k k S S S S S S S k d k N *--=---==ÎL ，所以k S ，2k k S S -，32k k S S -，L 构成等差数列，故A 正确；对于B 中，设数列{}n a 的公比为()0q q ¹，当1q =-时，取2k =，此时2120S a a =+=，此时不成等比数列，故B 错误；对于C 中，当10a >，0d <时，等差数列为递减数列，此时所有正数项的和为n S 的最大值，故C 正确；对于D 中，由2159n nn a a a +=-+，可得()()2135623n n n n n a a a a a +-=-+=-×-，所以2n a ¹或3n a ¹，则()()1111132332n n n n n a a a a a +==------，所以1111233n n n a a a +=----，所以1212231111111111222333333n n n a a a a a a a a a ++++=-+-++----------L L 1111111333n n a a a ++=-=----.因为14a =，所以2159n nn n a a a a +=-+>，可得14n a +>，所以11113n a +-<-，故D 正确.故选：ACD12．在数列{}n a 中，2a 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根，下列说法正确的是（）A ．实数b 的取值范围是4b £-或4b ³B ．若数列{}n a 为等差数列，则数列{}n a 的前7项和为4b C ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则42a =±D ．若数列{}n a 为等比数列且0b >，则26a a +的最小值为4【答案】AD【解析】对A ，240x bx -+=Q 有两个根，24140b \D =-´´³，解得：4b £-或4b ³，故A 正确；对B ，若数列{}n a 为等差数列，2a Q 和6a 是关于x 的一元二次方程240x bx -+=的两个根，26a a b \+=，则()()76712777222a a a S a b++===，故B 错误；对C ，若数列{}n a 为等比数列且0b >，由韦达定理得：26264a a b a a +=ìí×=î，可得：20a >，60a >，40a \>，由等比数列的性质得：2426a a a =×，即42642a a a =×==，故C 错误；对D ，由C 可知：24264a a a =×=，且20a >，60a >，262624a a a a \+³×=，当且仅当262a a ==时，等号成立，故D 正确.故选AD.三、填空题13．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．【答案】3或27【解析】设此三数为3，a ，b ，则223(6)3a b a b=+ìí-=î解得33a b =ìí=î或15,27,a b =ìí=î所以这个未知数为3或27.14．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.【答案】18【解析】由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝54a a ＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝1322æö+ç÷èø×32＝18.15．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．【答案】2048【解析】这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N *)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝21122æöç÷èø＝211＝2 048.16．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．【答案】450【解析】由241001399a a a a a a ++++++L L ＝q ，q ＝2，得24100150a a a +++L ＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.四、解答题17．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝12na -；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＝13×13æöç÷èøn －1＝13n ，S n ＝111113331213n n æö--ç÷èø=-，所以S n ＝12n a -.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－(1)2n n +.所以{b n }的通项公式为b n ＝－(1)2n n +.18．容器A 中盛有浓度为a %的农药m L ，容器B 中盛有浓度为b %的同种农药m L ，A ，B 两容器中农药的浓度差为20%(a >b )，先将A 中农药的14倒入B 中，混合均匀后，再由B 倒入一部分到A 中，恰好使A 中保持m L ，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?【解析】设第n 次操作后，A 中农药的浓度为a n ，B 中农药的浓度为b n ，则a 0＝a %，b 0＝b %.b 1＝15(a 0＋4b 0)，a 1＝34a 0＋14b 1＝15(4a 0＋b 0)；b 2＝15(a 1＋4b 1)，a 2＝34a 1＋14b 2＝15(4a 1＋b 1)；…；b n ＝15(a n －1＋4b n －1)，a n ＝15(4a n －1＋b n －1)．∴a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)＝…＝35(a 0－b 0)·35æöç÷èøn －1.∵a 0－b 0＝15，∴a n －b n ＝15·35æöç÷èøn .依题意知15·35æöç÷èøn <1%，n ∈N *，解得n ≥6.故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.19．已知等差数列{}n a 中，22a =，156a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n S .【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为22a =，156a a +=，所以112246a d a d +=ìí+=î，解得11a d ==，所以1(1)n a n n =+-=；（2）由（1）可得，22n a n n b ==，即数列{}n b 为等比数列，所以数列{}n b 的前n 项和()12122212n n n S +-==--.20．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*n S n n N =Î，数列{}n b 满足12b =，()*1322,n n b b n n N -=+³Î.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求证：数列{}1n b +是等比数列；（3）设数列{}n c 满足1n n n a c b =+，其前n 项和为n T ，证明：1n T <.【解析】（1）当1n =时，111a S ==.当2n ³时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-.检验，当1n =时11211a ==´-符合.所以()*21n a n n N=-Î.（2）当2n ³时，()111113113213111n n n n n n b b b b b b -----++++===+++，而113b +=，所以数列{}1n b +是等比数列，且首项为3，公比为3.（3）由（1）（2）得11333-+=×=n n n b ，211(21)133nn n n n a n c n b -æö===-ç÷+èø，所以1231n n n T c c c c c -=+++++L 23111111135(23)(21)33333n nn n -æöæöæöæöæö=×+×+×++-×+-×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ①2341111111135(23)(21)333333n n n T n n +æöæöæöæöæö=×+×+×++-×+-×ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL ②由①-②得12342111111(21)23333333n n n T n +éùæöæöæöæöæö=--×+++++êúç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøêúëûL 2111113311(21)213313n n n -+éùæöæö-êúç÷ç÷èøèøêúæöëû=--×+ç÷æöèø-ç÷èø11111(21)3333n n n +æöæö=--×+-ç÷ç÷èøèø2221333n n +æöæö=-ç÷ç÷èøèø，所以11(1)3n n T n æö=-+ç÷èø.因为1(1)03n n æö+>ç÷èø，所以1n T <.21．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n a S -=.（1）求n a 与n S ；（2）记21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【解析】（1）由21n n a S -=，得21n n S a =-，当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n ³时，()()112121n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，所以数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a -=.所以2121n n n S a =-=-.（2）由（1）可得1212n n n b --=，则()2121135211111135211222222n n n n T n ---=++++=´+´+´++-×L L ，()23111111352122222n n T n =´+´+´++-×L ，两式相减得()2311111111221222222n n n T n -æö=+++++--×ç÷èøL ，所以()31111111242122222n n n T n 2--æö=+++++--×ç÷èøL ()1111123222421612212n n n n n ---+=+×--×=--.22．已知数列{}n a 满足：114a =，11230n n n n a a a a ++-+=.（Ⅰ）证明：数列11n a ìü-íýîþ为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记()221n n n b a n =++，求使[][][][]1232020n b b b b ++++£L 成立的最大正整数n 的值.（其中，符号[]x 表示不超过x 的最大整数）【解析】∵11230n n n n a a a a ++-+=，显然10n n a a +¹∴1132n n a a +=-，111131n n a a +æö-=-ç÷èø11n a ìü-íýîþ是以1113a -=为首项，3为公比的等比数列即113n n a -=，所以131n n a =+.（2）212131n n n b n æö=+=ç÷++èø()2221(1)31n n n n n ++++()222(1)1(1)31n n n n n =-+++++()22322(1)(1)31n n n n n ´++=-+++.因为n ≥2时，1223(12)1C 2C 212n n n n n =+=+´+´+>+L ，()()22(1)31232(1)31n n n n n n n n ++-´++=-´-+-2(1)(12)1n n n n >-+-+-220n =->.所以n ≥2时，()223201(1)31n n n n ´++<<++.又n =1时，()22326129248(1)31n n n n ´++++==´++，所以[]11b =；2n ³时， []2(1)n b n =-，所以2n ³时，[][][][]123121222(1)n b b b b n ++++=+´+´++-L L 21(1)1n n n n =+-=-+.由212020n n -+£，及n Î+N ，得45n £.所以使[][][][]1232020n b b b b ++++£L 成立的最大正整数n 的值为45.。

新课练15-2020年新高二数学(2019人教版)(wd无答案)

新课练15-2020年新高二数学（2019人教版）(wd无答案)一、单选题
(★) 1. 若向量，向量，则（）
A．B．C．D．
(★) 2. 已知空间向量，1，，，，，且，则实数（）A．B．C．D．6
(★) 3. 已知点，向量，则点坐标是（）
A．B．C．D．
(★★) 4. 在下列条件中，使与，，一定共面的是（）
A．B．
C．D．
(★★) 5. 如图，在平行六面体中，为与的交点.若，，，则下列向量中与相等的向量是（）
A．B．C．D．
(★★) 6. 在四面体中，点在上，且，为中点，则等于（）
A．
B．
C．
D．
(★★★) 7. 在空间直角坐标系中，，为的中点，
为空间一点且满足，若，，则（）
A．9B．7C．5D．3
二、填空题
(★★★) 8. 已知，，，则 ______ .
(★★) 9. 已知为平面的一个法向量，为直线的方向向量.若，则______.
(★★) 10. 已知点 M在平面 ABC内，并且对空间任意一点 O，有，则x＝ ________ .
(★) 11. O为空间中任意一点， A， B， C三点不共线，且，若 P， A，B， C四点共面，则实数 t＝______．
三、解答题
(★★★) 12. 如图，，原点是的中点，点的坐标为，，，点在平面上，且，．
（1）求向量的坐标．
（2）求与的夹角的余弦值．。

2020年高二数学人教A必修5练习数列复习课 Word版含解析

第二章章末复习课课时目标综合运用等差数列与等比数列的有关知识，解决数列综合问题和实际问题．一、选择题1．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 1 2 121 a b cA.1 B ．2 答案 A解析由题意知，a ＝12，b ＝516，c ＝316，故a ＋b ＋c ＝1.2．已知等比数列{a n }，a 1＝3，且4a 1、2a 2、a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( ) A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 答案 C解析由题意可设公比为q ，则4a 2＝4a 1＋a 3，又a 1＝3，∴q ＝2.∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2(1＋q ＋q 2) ＝3×4×(1＋2＋4)＝84.3．已知一个等比数列首项为1，项数为偶数，其奇数项和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为( )A ．4B ．6C ．8D ．10 答案 C解析设项数为2n ，公比为q .由已知S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1. ① S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n . ②②÷①得，q ＝17085＝2，∴S 2n ＝S 奇＋S 偶＝255＝a 1(1－q 2n )1－q ＝1－22n1－2，∴2n ＝8.4．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 7依次成等比数列，前7项和为35，则数列{a n }的通项a n 等于( )A ．nB ．n ＋1C ．2n －1D ．2n ＋1 答案 B解析由题意a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，∴a 1＝2d ，S 7＝7a 1＋7×62d ＝35d ＝35.∴d ＝1，a 1＝2，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋1.5．在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N ＋)，则a 3a 5的值是( )A.1516B.158C.34D.38 答案 C解析由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴a 3·a 2＝a 2＋(－1)3，∴a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，∴a 4＝3， ∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34. 6．已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 答案 C解析 ∵{a n }是各项不为0的正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴b 1＝22，d ＝－2，∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ，＝－(n －232)2＋2324∴当n ＝11或12时，S n 最大， ∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132. 二、填空题7．三个数成等比数列，它们的和为14，积为64，则这三个数按从小到大的顺序依次为__________．答案 2,4,8解析设这三个数为a q ，a ，aq .由aq·a ·aq ＝a 3＝64，得a ＝4.由a q ＋a ＋aq ＝4q ＋4＋4q ＝14.解得q ＝12或q ＝2. ∴这三个数从小到大依次为2,4,8.8．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项与奇数项和之比为32∶27，则这个等差数列的公差是____．答案 5解析 S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12；S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11. 则⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354S 偶÷S 奇＝32∶27，∴S 奇＝162，S 偶＝192， ∴S 偶－S 奇＝6d ＝30，d ＝5. 9．如果b 是a ，c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且x ，y ，z 都是正数，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝______.答案 0解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，设公差为d ，则(b －c )log m x ＋(c －a )log m y ＋(a －b )log m z ＝－d log m x ＋2d log m y －d log m z＝d log m y 2xz＝d log m 1＝0.10．等比数列{a n }中，S 3＝3，S 6＝9，则a 13＋a 14＋a 15＝________. 答案 48解析易知q ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝3S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝9，∴S 6S 3＝1＋q 3＝3，∴q 3＝2. ∴a 13＋a 14＋a 15＝(a 1＋a 2＋a 3)q 12 ＝S 3·q 12＝3×24＝48. 三、解答题11．设{a n }是等差数列，b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，已知：b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1b 2b 3＝18，求等差数列的通项a n .解设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1⎝⎛⎭⎫12a n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫12d . ∴数列{b n }是等比数列，公比q ＝⎝⎛⎭⎫12d.∴b 1b 2b 3＝b 32＝18，∴b 2＝12. ∴⎩⎨⎧b 1＋b 3＝178b 1·b 3＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＝18b 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18.当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝18b 3＝2时，q 2＝16，∴q ＝4(q ＝－4<0舍去)此时，b n ＝b 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫18·4n －1＝22n －5. 由b n ＝⎝⎛⎭⎫125－2n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2b 3＝18时，q 2＝116，∴q ＝14⎝⎛⎭⎫q ＝－14<0舍去此时，b n ＝b 1q n －1＝2·⎝⎛⎭⎫14n －1＝⎝⎛⎭⎫122n －3＝⎝⎛⎭⎫12a n ， ∴a n ＝2n －3.综上所述，a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.12．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1n (a n ＋3)(n ∈N *)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，∴d ＝2 ∵a 1＝1.∴a n ＝2n －1 (n ∈N *)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 能力提升13．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，其中ak 1，ak 2，…，ak n 恰为等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，求k 1＋k 2＋…＋k n .解由题意知a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )． ∵d ≠0，由此解得2d ＝a 1.公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3.∴ak n ＝a 1·3n －1.又ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝k n ＋12a 1，∴a 1·3n －1＝k n ＋12a 1.∵a 1≠0，∴k n ＝2·3n －1－1，∴k 1＋k 2＋…＋k n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)－n ＝3n －n －1.14．设数列{a n }的首项a 1＝1，前n 项和S n 满足关系式： 3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t (t >0，n ＝2,3,4，…)．(1)求证：数列{a n }是等比数列；(2)设数列{a n }的公比为f (t )，作数列{b n }，使b 1＝1，b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1bn －1(n ＝2,3,4，…)．求数列{b n }的通项b n ；(3)求和：b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n ·b 2n ＋1. (1)证明由a 1＝S 1＝1，S 2＝1＋a 2，得a 2＝3＋2t 3t ，a 2a 1＝3＋2t3t.又3tS n －(2t ＋3)S n －1＝3t ， ① 3tS n －1－(2t ＋3)S n －2＝3t . ② ①－②，得3ta n －(2t ＋3)a n －1＝0. ∴a n a n －1＝2t ＋33t ，(n ＝2,3，…)．∴数列{a n }是一个首项为1，公比为2t ＋33t的等比数列．(2)解由f (t )＝2t ＋33t ＝23＋1t ，得b n ＝f ⎝⎛⎭⎫1b n －1＝23＋b n －1.∴数列{b n }是一个首项为1，公差为23的等差数列．∴b n ＝1＋23(n －1)＝2n ＋13.(3)解由b n ＝2n ＋13，可知{b 2n －1}和{b 2n }是首项分别为1和53，公差均为43的等差数列．于是b 1b 2－b 2b 3＋b 3b 4－b 4b 5＋…＋b 2n －1b 2n －b 2n b 2n ＋1＝b 2(b 1－b 3)＋b 4(b 3－b 5)＋b 6(b 5－b 7)＋…＋b 2n (b 2n －1－b 2n ＋1)＝－43(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝－43·12n ⎝⎛⎭⎫53＋4n ＋13＝－49(2n 2＋3n )．1．等差数列和等比数列各有五个量a 1，n ，d ，a n ，S n 或a 1，n ，q ，a n ，S n .一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a 1和d (或q )，问题可迎刃而解．2．数列的综合问题通常可以从以下三个角度去考虑：①建立基本量的方程(组)求解；②巧用等差数列或等比数列的性质求解；③构建递推关系求解．.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

2020-2021学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第二册 4.3.1等比数列的概念(2)-

分析：实际问题
（1）
“用 10 000元购买某个理财产品”
12个月能获得的本利和 “12个月能获得的利息”
数学问题
分析：实际问题（2）“季度利息”
存4个季度的本利和 “存4个季度结算的利息” “按季结算的利息不少于按月结算的利息”
数学问题
对实际问题抽象、简化确定“本金”、“利率”、“本利和”、
4.3.1 等比数列的概念（2）
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数列的通项公式吗？
问题1 在前面的学习中，我们类比等差数列，得到等比数列的概念和通项公式，你能准确写出等比数列的通项公式吗？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.
通过证明可知，此性质并不需要等比数列各项均为正.
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方程思想建模思想转化思想
课堂小结
等比数列有关计算问题
将实际问题转化为数学问题，并加以解决.
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课后作业
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2020-2021学年高二数学人教A版(2019 )选择性必修第二册 4.3.1等比数列的概念（2）-课件【精品】 2020-2021学年高二数学人教A版(2019 )选择性必修第二册 4.3.1等比数列的概念（2）-课件【精品】

2019-2020年高考数学专题复习第30讲等比数列练习新人教A版

2019-2020年高考数学专题复习第30讲等比数列练习新人教A 版[考情展望] 1.运用基本量法求解等比数列问题.2.以等比数列的定义及等比中项为背景，考查等比数列的判定.3.客观题以等比数列的性质及基本量的运算为主，突出“小而巧”的特点，解答题注重函数与方程、分类讨论等思想的综合应用．一、等比数列证明{a n }是等比数列的两种常用方法(1)定义法：若a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2且n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)中项公式法：在数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．二、等比数列的性质1．对任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k . 2．通项公式的推广：a n ＝a m q n －m (m ，n ∈N *)3．公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n ；当公比为－1时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 不一定构成等比数列．4．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n bn (λ≠0)仍是等比数列．等比数列的单调性单调递增 a 1＞0，q ＞1或者a 1＜0,0＜q ＜1 单调递减 a 1＞0,0＜q ＜1或者a 1＜0，q ＞1常数数列 a 1≠0，q ＝1 摆动数列q ＜01．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则公比q 等于( )A ．－12B ．－2C ．2D.12【解析】由题意知：q 3＝a 5a 2＝18，∴q ＝12.【答案】 D2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．－11B ．－8C ．5D ．11【解析】 8a 2＋a 5＝0，得8a 2＝－a 2q 3，又a 2≠0，∴q ＝－2，则S 5＝11a 1，S 2＝－a 1，∴S 5S 2＝－11. 【答案】 A3．公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3a 11＝16，则log 2a 10＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7【解析】由题意a 27＝a 3a 11＝16，且a 7＞0，∴a 7＝4， ∴a 10＝a 7·q 3＝4×23＝25，从而log 2a 10＝5. 【答案】 B4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n＝________.【解析】 ∵S 3＝21，q ＝4，∴a 11－q 31－q ＝21，∴a 1＝1，∴a n ＝4n －1. 【答案】 4n －15．(xx·大纲全国卷)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10)B.19(1－310)C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)【解析】由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，故数列{a n }是公比q ＝－13的等比数列．又a 2＝－43，可得a 1＝4.所以S 10＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101－⎝⎛⎭⎫－13＝3(1－3－10).【答案】 C6．(xx·江西高考)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24【解析】由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 A考向一 [090] 等比数列的基本运算(1)(xx·北京高考)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.(2)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． ①求{a n }的公比q ；②若a 1－a 3＝3，求S n .【思路点拨】建立关于a 1与公比q 的方程，求出基本量a 1和公比，代入等比数列的通项公式与求和公式．【尝试解答】 (1)设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .设等比数例{a n }的首项为a 1，公比为q ，则：由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2)＝20.① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2)＝40.② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.故S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－2n 1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2,2n ＋1－2(2)①∵S 1，S 3，S 2成等差数列， ∴a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)．由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0，又q ≠0，从而q ＝－12.②由已知可得a 1－a 1(－12)2＝3，故a 1＝4，从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 规律方法1 1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，体现了方程思想的应用.2.在使用等比数列的前n 项和公式时，应根据公比q 的情况进行分类讨论，此外在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算.对点训练 (1)(xx·辽宁高考)已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.(2)(xx·晋州模拟)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2，且a 2，a 4，a 8成等比数列．①求数列{a n }的通项公式； ②求数列{3a n }的前n 项和．【解析】 (1)设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ， ∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①21＋q 2＝5q ， ② 由①得a 1＝q ；由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n . 【答案】 2n(2)①设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由题意得 a 24＝a 2·a 8，即(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )．又a 1＝2，所以d ＝2或d ＝0(舍去)． ∴a n ＝2n .②由①可知3a n ＝32n ＝9n . 故数列{3a n }的前n 项和为91－9n 1－9＝98(9n －1) 考向二 [091] 等比数列的判定与证明(xx·荆州模拟)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋54是等比数列．【思路点拨】正确设出等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差d ，从而求出数列{b n }的首项、公比；利用等比数列的定义可解决第(2)问．【尝试解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，(7－d )(18＋d )＝100，解之得d ＝2或d ＝－13(舍去)， ∴b 3＝5，公比q ＝2，因此b 1＝54.故b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明由(1)知b 1＝54，公比q ＝2，∴S n ＝541－2n 1－2＝5·2n －2－54，则S n ＋54＝5·2n －2，因此S 1＋54＝52，S n ＋54S n －1＋54＝5·2n －25·2n －3＝2(n ≥2)．∴数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．规律方法2 1.本题求解常见的错误：1计算失误，不注意对方程的根公差d 的符号进行判断；2不能灵活运用数列的性质简化运算.2.要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比即可. 对点训练 (1)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋S n ＝n ，c n ＝a n －1，求证：数列{c n }是等比数列，并求{a n }的通项公式．【解析】 (1)由题意知a n －2a n －1＝0， ∴a n ＝2a n －1(n ≥2)，∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． ∴S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－2n 1－2＝2n ＋1－2.【答案】 2n ＋1－2(2)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，∴a 1＋S 1＝1，得a 1＝12，∴c 1＝a 1－1＝－12.又a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1，a n ＋S n ＝n ， ∴2a n ＋1－a n ＝1，即2(a n ＋1－1)＝a n －1. 又∵a 1－1＝－12，∴a n ＋1－1a n －1＝12，即c n ＋1c n ＝12，∴数列{c n }是以－12为首项，以12为公比的等比数列．则c n ＝－12×⎝⎛⎭⎫12n －1＝－⎝⎛⎭⎫12n ， ∴{a n }的通项公式a n ＝c n ＋1＝1－⎝⎛⎭⎫12n.考向三 [092] 等比数列的性质及应用(1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于( ) A ．1∶2 B ．2∶3 C ．3∶4D ．1∶3(2)(xx·衡水模拟)在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10＝________. 【思路点拨】 (1)借助S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比求解． (2)应用等比数列的性质a 7a 10＝a 8a 9求解．【尝试解答】 (1)由等比数列的性质：S 3、S 6－S 3、S 9－S 6仍成等比数列，于是(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，将S 6＝12S 3代入得S 9S 3＝34.(2)法一 a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158，a 8a 9＝a 7a 10＝－98， ∴1a 7＋1a 8＋1a 9＋1a 10 ＝a 8a 9a 10＋a 7a 9a 10＋a 7a 8a 10＋a 7a 8a 9a 7a 8a 9a 10＝a 8a 9a 10＋a 9＋a 8＋a 7a 7a 8a 9a 10＝a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 7a 10＝158－98＝－53.法二由题意可知⎩⎨⎧a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝158， ①a 8a 9＝－98， ②①÷②得a 7＋a 8＋a 9＋a 10a 8a 9＝－53，即a 7a 8a 9＋a 8a 8a 9＋a 9a 8a 9＋a 10a 8a 9＝－53， ∴a 7a 7a 10＋1a 9＋1a 8＋a 10a 7a 10＝－53，所以1a 10＋1a 9＋1a 8＋1a 7＝－53.【答案】 (1)C (2)－53规律方法3 在解决等比数列的有关问题时，要充分挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ”，可以减少运算量，提高解题速度.对点训练 (1)(xx·课标全国卷)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( )A ．7B ．5C ．－5D ．－7(2)(xx·大连模拟)已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2【解析】 (1)由于a 5·a 6＝a 4·a 7＝－8，a 4＋a 7＝2， ∴a 4，a 7是方程x 2－2x －8＝0的两根，解之得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4. ∴q 3＝－12或q 3＝－2.当q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝4×(－2)＋(－2)×(－12)＝－7，当q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7·q 3＝－2－2＋4×(－2)＝－7.(2)∵a 5·a 2n －5＝a 2n ＝22n，且a n ＞0，∴a n ＝2n ， ∵a 2n －1＝22n －1， ∴log 2a 2n －1＝2n －1，∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n[1＋2n－1]2＝n2.【答案】 (1)D (2)C思想方法之十三分类讨论思想在等比数列求和中的应用分类讨论的实质是将整体化为部分来解决．其求解原则是不复重，不遗漏，讨论的方法是逐类进行．在数列的学习中，也有多处知识涉及到分类讨论思想，具体如下所示：(1)前n 项和S n 与其通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2(2)等比数列的公比q 是否为1；(3)在利用公式S n 求和时，数列的项的个数为偶数还是奇数等等．求解以上问题的关键是找准讨论的切入点，分类求解．——— [1个示范例] ———— [1个对点练] ————(xx·天津高考)已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．【解】 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1＜S n ≤S 1＝32，故0＜S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.34＝S2≤S n＜1，故0＞S n－1S n ≥S2－1S2＝34－43当n为偶数时，S n随n的增大而增大，所以＝－712. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. (xx·青岛模拟)已知数列{d n }满足d n ＝n ，等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n ；(2)令c n ＝1－(－1)n a n ，不等式c k ≥xx(1≤k ≤100，k ∈N *)的解集为M ，求所有d k ＋a k (k ∈M )的和．【解】 (1)设{a n }的首项为a 1，公比为q ，所以(a 1q 4)2＝a 1q 9，解得a 1＝q ，又因为2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，所以2(a n ＋a n q 2)＝5a n q ，则2(1＋q 2)＝5q,2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝12(舍)或q ＝2，所以a n ＝2×2n －1＝2n . (2)c n ＝1－(－1)n a n ＝1－(－2)n ，d n ＝n ，当n 为偶数，c n ＝1－2n ≥2 014，即2n ≤－2 013，不成立；当n 为奇数，c n ＝1＋2n ≥2 014，即2n ≥2 013，因为210＝1 024,211＝2 048，所以n ＝2m ＋1,5≤m ≤49，则{d k }组成首项为11，公差为2的等差数列，{a k }(k ∈M )组成首项为211，公比为4的等比数列，则所有d k ＋a k (k ∈M )的和为4511＋992＋2111－4451－4＝2 475＋2101－2 0483＝2101＋5 3773. .。

2020年高二数学人教A必修5练习：2.4.2 等比数列的性质 Word版含解析

课时训练12 等比数列的性质一、等比数列性质的应用1.若{a n }是等比数列,那么( )A.数列{1a n}是等比数列B.数列{√a n }是等比数列C.数列{2a n }是等比数列D.数列{na n }是等比数列答案:A解析:由等比数列的定义判断即可.2.在等比数列{a n }中,a 2 013=8a 2 010,则公比q 的值为( ) A.2 B.3C.4D.8答案:A解析:∵a 2 013=8a 2 010,∴a 2 010q 3=8a 2 010.∴q 3=8.∴q=2.3.已知项数相同的等比数列{a n }和{b n },公比分别为q 1,q 2(q 1,q 2≠1),则数列①{3a n };②{2a n};③{3a n };④{2a n -3b n };⑤{2a n ·3b n }中等比数列的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4答案:C解析:在①中,3a n+13a n=q 1,是等比数列;在②中,2a n+12a n =1q 1,是等比数列;在③中,令a n =2n-1,则数列{3a n }为3,32,34,…,因为323≠3432,故不是等比数列;在④中,数列的项可能为零,故不一定是等比数列;在⑤中,2a n+1·3b n+12a n ·3b n=q 1·q 2,是等比数列.4.(2015山东威海高二期中,5)已知各项均为正数的等比数列{a n },a 1a 2a 3=5,a 7a 8a 9=10,则a 4a 5a 6=( ) A.5√2 B.7 C.6 D.4√2答案:A解析:a 1a 2a 3=5⇒a 23=5;a 7a 8a 9=10⇒a 83=10. a 52=a 2a 8,∴a 56=a 23a 83=50, ∴a 4a 5a 6=a 53=5√2.故选A .5.(2015河南郑州高二期末,10)已知各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,则2a 7+a 11的最小值为( ) A.16 B.8C.2√2D.4答案:B解析:∵各项为正的等比数列{a n }中,a 4与a 14的等比中项为2√2,∴a 4·a 14=(2√2)2=8, ∴a 7·a 11=8, ∵a 7>0,a 11>0,∴2a 7+a 11≥2√7·a 112√2×8=8.故选B . 二、等差、等比数列的综合问题6.等差数列{a n }的公差为2,若a 2,a 4,a 8成等比数列,则{a n }的前n 项和S n =( ) A.n (n+1) B.n (n-1) C.n (n+1)2D.n (n -1)2答案:A解析:因为a 2,a 4,a 8成等比数列,所以a 42=a 2·a 8,所以(a 1+6)2=(a 1+2)·(a 1+14),解得a 1=2.所以S n =na 1+n (n -1)2d=n (n+1). 7.数列{a n }是等差数列,若a 1+1,a 3+3,a 5+5构成公比为q 的等比数列,则q= . 答案:1解析:设等差数列的公差为d ,则a 3=a 1+2d ,a 5=a 1+4d ,所以(a 1+2d+3)2=(a 1+1)(a 1+4d+5),解得d=-1,故q=a 3+3a 1+1=a 1-2+3a 1+1=1. 8.已知1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则a 1+a2b 2的值为 .答案:2.5解析:∵a 1+a 2=1+4=5,b 22=1×4=4,且b 2与1,4同号,∴b 2=2,∴a 1+a 2b 2=52=2.5.9.在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求此四个数. 解:设前三个数分别为a-d ,a ,a+d ,(a-d )+a+(a+d )=48,即a=16. 再设后三个数分别为b q,b ,bq , 则有bq·b ·bq=b 3=8 000,即b=20.∴四个数分别为m ,16,20,n.∴m=2×16-20=12,n=20216=25,即这四个数分别为12,16,20,25.10.已知等差数列{a n }的公差和等比数列{b n }的公比都是d (d ≠1),且a 1=b 1,a 4=b 4,a 10=b 10. (1)求a 1和d 的值;(2)b 16是不是数列{a n }中的项?如果是,是第几项?如果不是,请说明理由. 解:(1)由题意得{a 1+3d =a 1d 3,a 1+9d =a 1d 9,所以{3d =a 1·(d 3-1),9d =a 1·(d 9-1).两式相除,得3=d 9-1d 3-1=d 6+d 3+1,解得d 3=-2或d 3=1(舍去). 所以d=-√23,代入得a 1=-d=√23. (2)b 16=a 1d 15=√23×(-√23)15=-32√23, a n =a 1+(n-1)d=√23+(n-1)×(-√23) =-√23n+2√23.令a n =-32√23,得-√23n+2√23=-32√23,解得n=34∈N *,故b 16是数列{a n }中的第34项.(建议用时:30分钟)1.在等比数列{a n }中,a 3a 4a 5=3,a 6a 7a 8=24,则a 9a 10a 11的值为( )A.48B.72C.144D.192答案:D解析:∵a 6a 7a8a 3a 4a 5=q 9=8(q 为公比),∴a 9a 10a 11=a 6a 7a 8q 9=24×8=192.2.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数,且a 3a 11=16,则a 5=( ) A.1 B.2 C.4 D.8答案:A解析:∵a 3a 11=a 72=16,且a n >0,∴a 7=4.又a 7=a 5·q 2=4a 5,∴a 5=1.3.已知等比数列{a n }满足a 1=3,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列,则a 3+a 4+a 5等于( ) A.33 B.84C.72D.189答案:B解析:由条件得,4a 1+(a 1q 2)=2×(2a 1q ),即(q-2)2=0,∴q=2.∴a 3+a 4+a 5=3×(22+23+24)=84.4.等比数列{a n }中,已知a 9=-2,则此数列的前17项之积为( ) A .216 B .-216C .217D .-217答案:D解析:∵数列{a n }为等比数列,∴a 1a 2a 3…a 17=a 917.又∵a9=-2,∴a1a2a3…a17=(-2)17=-217.5.已知1<a<b<c,且a,b,c成等比数列,且n≥2,n∈N*,则log a n,log b n,log c n的关系为()A.成等差数列B.成等比数列C.各项倒数成等差数列D.以上都不对答案:C解析:由已知b2=ac.∴log n b2=log n ac.∴2log n b=log n a+log n c.∴2log b n =1log a n+1log c n,即1log a n ,1log b n,1log c n成等差数列.6.已知数列{a n}是等比数列,公比q>1,且a1+a6=8,a3a4=12,则a116=.答案:3解析:由已知a3a4=12得a1a6=12,又∵a1+a6=8.当q>1时,解得a1=2,a6=6.又∵a1a11=a62,∴a116=a61=3.7.在等比数列{a n}中,若a n>0,a1·a100=100,则lg a1+lg a2+lg a3+…+lg a100=.答案:100解析:由等比数列性质知:a1·a100=a2·a99=…=a50·a51=100.∴lg a1+lg a2+lg a3+…+lga100=lg(a1·a2·a3·…·a100)=lg(a1·a100)50=lg 10050=lg 10100=100.8.公差不为零的等差数列{a n}中,2a3-a72+2a11=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b6b8=.答案:16解析:∵2a3-a72+2a11=2(a3+a11)-a72=4a7-a72=0,∵b7=a7≠0,∴b7=a7=4.∴b6b8=b72=16.9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可以成等比数列,这三个数的和为12,求这三个数.解:设这三个数为a-d,a,a+d,则(a-d)+a+(a+d)=12,所以a=4.所以这三个数可以表示为4-d,4,4+d.①若4-d为等比中项,则有(4-d)2=4×(4+d),解得d=12,或d=0(舍去).此时,这三个数是-8,4,16.②若4+d为等比中项,则有(4+d)2=4×(4-d),解得d=-12,或d=0(舍去).此时,这三个数是16,4,-8.③若4为等比中项,则有42=(4-d)×(4+d),解得d=0(舍去),综上所述,这三个数是-8,4,16或16,4,-8.10.已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.(1)若a=1,求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{a n}唯一,求a的值.解:(1)设{a n}的公比为q,则b1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+√2,q2=2-√2.∴{a n}的通项公式为a n=(2+√2)n-1或a n=(2-√2)n-1.(2)设{a n}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0(*).由a>0得Δ=4a2+4a>0,故方程(*)有两个不同的实根.由{a n}唯一,知方程(*)必有一根为0,.代入(*)得a=13.....................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。