山东省德州市第十中学2020年中考数学模拟考试试卷

山东省德州市第十中学2020年中考数学模拟考试试卷
一、选择题（共12题；共24分）
1.已知其中满足的条件是（）
A. b＜0
B. b≥0
C. b必须等于零
D. 不能确定
2.已知，则x+y的值为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
3.在平面直角坐标系中，点P（－2，－5）关于原点对称的点的坐标是（）
A. （－2，5）
B. （2，5）
C. （－2，－5）
D. （2，－5）
4.下列图形中，旋转后可以和原图形重合的是（）
A. 正三角形
B. 正方形
C. 正五边形
D. 正六边形
5.将数字0.0000031用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则tan A等于（）
A. 2
B.
C.
D. 24
7.已知⊙O和⊙O＇的半径分别为5 cm和7 cm，且⊙O和⊙O＇相切，则圆心距OO＇为（）
A. 2 cm
B. 7 cm
C. 12 cm
D. 2 cm或12 cm
8.关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）
A. B. C. D. 且
9.圆O的半径为6cm，P是圆O内一点，OP=2cm,那么过点P的最短弦的长等于（）
A. cm
B. cm
C. cm
D. 12cm
10.如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的三种形状图,则组成这个几何体的小正体的个数是（）
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
11.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，分别以A、C为圆心，以的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（）
A. （24− ）cm2
B. cm2
C. （24− ）cm2
D. （24− ）cm2
12.如图，一块边长为8 cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置时，顶点C从开始到结束所经过的路径长为(点A、B、C′在同一直线上)（）cm
A. 16π
B. π
C. π
D. π
二、填空题（共6题；共6分）
13.因式分解：a3－ab2＝________.
14.亮亮想制作一个圆锥模型，它的侧面是用一个半径为9cm，圆心角为240°的扇形铁皮制作的，再用一块圆形铁皮做底．计算这块铁皮的半径为________cm．
15.在⊙O中，半径为2，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为________；
16.某种型号的电视机经过两次降价，价格从原来每台元降为每台元，则平均每次下降的百分率是________．
17.Rt△ABC中，∠C＝90°，若直角边AC＝5，BC＝12，则此三角形的内切圆半径为________．
18.如图示二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，其图象与x轴交于点A（﹣1，0）与点C（x2，0），且与y轴交于点B（0，﹣2），小强得到以下结论：①0＜a＜2；②﹣1＜b＜0；③c=﹣1；④当|a|=|b|时x2＞﹣1；以上结论中正确结论的序号为________．
三、计算题（共1题；共2分）
19.计算：+20170×（﹣1）﹣4sin45°．
四、综合题（共6题；共34分）
20.为配合全市“禁止焚烧秸秆”工作，某学校举行了“禁止焚烧秸秆，保护环境，从我做起”为主题的演讲比赛．赛后组委会整理参赛同学的成绩，并制作了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．
分数段（分数为x分）频数百分比
60≤x＜70 8 20%
70≤x＜80 a30%
80≤x＜90 16 b%
90≤x＜100 4 10%
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的a＝________，b＝________；请补全频数分布直方图；________
（2）若用扇形统计图来描述成绩分布情况，则分数段70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数是________；（3）竞赛成绩不低于90分的4名同学中正好有2名男同学，2名女同学．学校从这4名同学中随机抽2名同学接受电视台记者采访，则正好抽到一名男同学和一名女同学的概率为________．
21.如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的俯角为α其中tanα=2 ，无人机的飞行高度AH为500 米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
22.如图，已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点A（1，4）和点B（n，）．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围．
23.如图，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，连接BE，CF相交于点D。

（1）求证：BE＝CF ；
（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长。

24.如图示AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE=EF，线段CE交弦AB于点D．
①求证：CE∥BF；
②若BD=2，且EA：EB：EC=3：1：，求△BCD的面积（注：根据圆的对称性可知OC⊥AB）．
25.如图，在平面直角坐标系中，以点C(0，4)为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A，AB是⊙C的切线．动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从O点开始沿x轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒)．
（1）当t＝1时，得到P1、Q1，求经过A、P1、Q1三点的抛物线解析式及对称轴l；
（2）当t为何值时，直线PQ与⊙C相切？并写出此时点P和点Q的坐标；
（3）在(2)的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NP＋NQ最小，求出点N的坐标并说明理由．
答案解析部分
一、选择题
1.【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，∴b≥0．
故答案为：B．
【分析】根据二次根式乘法法则的条件解答即可．
2.【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，，
∴1－x=0，2－y=0，解得：x=1，y=2，∴x+y=3．
故答案为：C．
【分析】根据非负数的性质可得关于x、y的方程，解方程即可求出x、y的值，然后代入所求式子计算即可．
3.【答案】B
【解析】【解答】解：点P（－2，－5）关于原点对称的点的坐标是（2，5）．
故答案为：B．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标互为相反数解答即可．
4.【答案】D
【解析】【解答】A：正三角形旋转的最小角为：，不符合题意；
B：正方形旋转的最小角为：，不符合题意；
C：正五边形旋转的最小角为：，不符合题意；
D：正六边形旋转的最小角为：，符合题意.
所以答案为D选项.
【分析】根据旋转对称图形性质求出各图的中心角，度数若为60°，即为符合题意答案.
5.【答案】B
【解析】【解答】解：0.0000031= ．
故答案为：B．
【分析】根据科学记数法的表示方法解答即可．
6.【答案】A
【解析】【解答】设AC=k,由cosA= ,得AB=5k,
根据勾股定理,得BC= k,
所以
tanA= 2
故答案为：A
【分析】设AC=k,由cosA= ,得AB=5k,根据勾股定理,得BC，tanA= .
7.【答案】D
【解析】【解答】解：当⊙O和⊙O'相外切时，OO'=5+7=12cm；
当⊙O和⊙O'相内切时，OO'=7－5=2cm．
故答案为：D．
【分析】分⊙O和⊙O'相外切、内切两种情况，根据圆心距d与两圆的半径r、R之间的关系解答即可．8.【答案】D
【解析】【解答】解：∵一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根,
∴△=22﹣4k×（﹣1）＞0，且k≠0，
解得：k＞﹣1，且k≠0.
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程kx2+2x－1=0有两个不相等的实数根，可得△＞0且k≠0，据此解答即可. 9.【答案】B
【解析】【解答】解：如图，过点P的最短弦是垂直于OP的弦CD，
连接OC．根据勾股定理，得PC＝cm，
由垂径定理，得CD＝2CP=8 cm．
故答案为：B．
【分析】如图，过点P的最短弦是垂直于OP的弦CD，根据勾股定理和垂径定理求解即可．
10.【答案】C
【解析】【解答】解：综合三视图，这个几何体的底层有3+2+1=6个小正方体，第二层有1+1=2个小正方体，第三层有1个，因此组成这个几何体的小正方形有6+2+1=9个．
故答案为：C．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行判断．11.【答案】A
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8cm，BC=6cm，
∴cm，
则=5 cm，
∴S阴影部分=S△ABC−S扇形面积= （cm2），
故答案为：A．
【分析】利用勾股定理得出AC的长，再利用图中阴影部分的面积=S△ABC−S扇形面积求出即可．
12.【答案】D
【解析】【解答】如图，
∵一块边长为8cm的正三角形木板ABC，在水平桌面上绕点B按顺时针方向旋转至A′BC′的位置，
∴∠CBC′=120°，BC=8cm，（cm），
故答案为：D．
【分析】如图，由题意知，顶点C从开始到结束所经过的路径为圆弧CC′，对的圆心角为120°，根据弧长公式计算即可．
二、填空题
13.【答案】a（a+b）（a﹣b）
【解析】【解答】原式
故答案为：
【分析】先提公因式，再根据平方差公式分解即可.
14.【答案】6
【解析】【解答】这个扇形铁皮的弧长为
设这块圆形铁皮的半径为
则
解得
故答案为：6．
【分析】先根据弧长公式求出这个扇形铁皮的弧长，再根据“圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长”即可得．
15.【答案】30°或150°
【解析】【解答】解：如图，弦AB所对的圆周角为∠C，∠D，连接OA、OB，
∵AB＝OA＝OB＝2，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，
根据圆周角定理知，∠C＝∠AOB＝30°，∴∠D＝180°﹣∠C＝150°，
∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．
【分析】弦所对的弧有优弧和劣弧，故弦所对的圆周角有两个，它们的关系是互补关系．如图，弦长等于半径时易得△AOB是等边三角形，然后根据等边三角形的性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质解答即可．
16.【答案】20%
【解析】【解答】设平均每次下降的百分率是x，
根据题意得：2250(1﹣x)2=1440，
解得x=20%或x=1.8（舍去）.
故答案为20%.
【分析】设平均每次下降的百分率是x，根据“下降前的量×（1-降低率2）=下降后的量”列出方程求解即可。

17.【答案】2
【解析】【解答】解：如图；
在Rt△ABC，∠C=90°，AC=5，BC=12；
根据勾股定理AB=
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AE，BD=BF，CE=CF；
∴CE=CF= （AC+BC-AB）；
即：r= （5+12-13）=2．
故答案为2．
【分析】设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、F、E；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF= （AC+BC-AB），由此可求出r的长．
18.【答案】①④
【解析】【解答】由A（﹣1，0），B（0，﹣2），得b=a﹣2，
∵开口向上，
∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴﹣＞0，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2；
∴0＜a＜2；
∴①符合题意；
∵抛物线与y轴交于点B（0，﹣2），
∴c=﹣2，故③不符合题意；
∵抛物线图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b﹣2=0，无法得到0＜a＜2；②﹣1＜b＜0，故①②不符合题意；
∵|a|=|b|，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴在y轴的右侧，
∴二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为y= ，
∴x2=2＞﹣1，故④符合题意．
故答案为①④．
【分析】根据抛物线与y轴交于点B（0，-2），可得c=-2，依此判断③；由抛物线图象与x轴交于点A（-1，0），可得a-b-2=0，依此判断①②；由|a|=|b|可得二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x= ，可得x2=2，比较大小即可判断④；从而求解．
三、计算题
19.【答案】解：
+20170×（﹣1）﹣4sin45°
=2 +1×（﹣1）﹣4×
=2 ﹣1﹣2
=﹣1．
【解析】【分析】根据立方根的定义、零指数幂及特殊角的三角函数值求得各项的值，再计算即可．
四、综合题
20.【答案】（1）12；40；
（2）108°
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵分数段为60≤x＜70的频数为8，占20%，∴总人数为8÷20%＝40人，∴a＝40﹣8﹣16﹣4＝12，b%＝×100%＝40%，即b＝40；
故答案为：12，40；
补全图如下
；（2）∵分数段为70≤x＜80所占的百分比为30%，
∴分数段70≤x＜80对应扇形的圆心角的度数为：360°×30%＝108°，
故答案为：108°；（3）用A、B表示2名男生，用a、b表示2名女生，列表得：
∵共有12种等可能的结果，其中一男一女的有8种情况，
∴P（正好抽到一男一女）＝．
故答案为：．
【分析】（1）首先根据分数段为60≤x＜70的频数除以频率求得总人数，然后减去其它小组的频数即可求得a的值，根据总人数和分数段为80≤x＜90的频数即可求得b的值；根据求出的a的值，即可补全频数分布直方图；（2）用360°乘以相应分数段所占的百分比即可求得圆心角的度数；（3）列表将所有等可能的结果列举出来，再利用概率公式求解即可．
21.【答案】解：①在Rt△AHP中，∵AH=500 ，
由tan∠APH=tanα= = =2 ，可得PH=250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC=AH=500 ，∠BQC=30°，
∴CQ= =1500米，
∵PQ=1255米，
∴CP=245米，
∵HP=250米，
∴AB=HC=250﹣245=5米．
答：这架无人机的长度AB为5米．
【解析】【分析】①在Rt△AHP中，由tan∠APH=tanα= ，即可解决问题；②设BC⊥HQ于C．在Rt△BCQ中，求出CQ= =1500米，由PQ=1255米，可得CP=245米，再根据AB=HC=PH﹣PC计算即可；
22.【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象过点A（1，4），
∴4= ，即m=4，
∴反比例函数的解析式为：y= ．
∵反比例函数y= 的图象过点B（n，﹣2），
∴﹣2= ，
解得：n=﹣2
∴B（﹣2，﹣2）．
∵一次函数y=ax+b（k≠0）的图象过点A（1，4）和点B（﹣2，﹣2），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y=2x+2；
（2）解：由图象可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数的值小于反比例函数的值．
【解析】【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m的值，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标，把A、B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a，b的值，从而确定一次函数的解析式；（2）根据函数的图象即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
23.【答案】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的，∴AE=AB，AF=AC，
∠EAF=∠BAC，∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，∵AB=AC，∴AE=AF，∴△AEB可由△AFC 绕点A按顺时针方向旋转得到，∴BE=CD
（2）解：∵四边形ACDE为菱形，AB=AC=1，∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE，∴∠AEB=∠ABE，
∠ABE=∠BAC=45°，∴∠AEB=∠ABE=45°，∴△ABE为等腰直角三角形，∴BE= AC= ，∴BD=BE﹣DE= ．
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC，则∠EAB=∠FAC，于是结合已知条件可得△AEB可由△AFC绕点A按顺时针方向旋转得到，由旋转的性质可得BE=CD；
（2）由菱形的性质和已知条件易得△ABE为等腰直角三角形，用勾股定理可求得BE的长，则
BD=BE﹣DE 可求解。

24.【答案】①证明：连接AC，BE，作直线OC，如图所示：
∵BE=EF，
∴∠F=∠EBF；
∵∠AEB=∠EBF+∠F，
∴∠F= ∠AEB，
∵C 是的中点，∴，
∴∠AEC=∠BEC，
∵∠AEB=∠AEC+∠BEC，
∴∠AEC= ∠AEB，
∴∠AEC=∠F，
∴CE∥BF；
②解：∵∠DAE=∠DCB，∠AED=∠CEB，
∴△ADE∽△CBE，
∴，即，
∵∠CBD=∠CEB，∠BCD=∠ECB，
∴△CBE∽△CDB，
∴，即，
∴CB=2 ，
∴AD=6，
∴AB=8，
∵点C为劣弧AB的中点，
∴OC⊥AB，AG=BG= AB=4，
∴CG= =2，
∴△BCD的面积= BD•CG= ×2×2=2．
【解析】【分析】①连接AC，BE，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠F= ∠AEB，由圆周角定理得出∠AEC=∠BEC，证出∠AEC=∠F，即可得出结论；②证明△ADE∽△CBE，得出，
证明△CBE∽△CDB，得出，求出CB=2 ，得出AD=6，AB=8，由垂径定理得出OC⊥AB，AG=BG= AB=4，由勾股定理求出CG= =2，即可得出△BCD的面积．
25.【答案】（1）解：当t＝1时，AP1=1，OQ1=4，则A、P1、Q1的坐标分别为A（0，8）、P1（1，8）、Q1（4，0），
设所求抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，则，解得：
∴抛物线的解析式为y＝，对称轴为直线l：x＝；
（2）解：设PQ与⊙C相切于点M，如图1，连接CP、CM、CQ，则PA＝PM＝t，QO＝QM＝4t，
∵CP、CQ分别平分∠APQ和∠OQP，∴，，
∵∠APQ+∠OQP＝180°，∴∠CPQ+∠CQP=90°，
∴∠PCQ＝=90°，
∵CM⊥PQ，∴可得Rt△CMP∽Rt△QMC，
∴，即，∴t=±2，
由于时间t只能取正数，所以t=2，即当运动时间t=2秒时，PQ与⊙C相切．
此时：P（2，8），Q（8，0）；
（3）解：∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），∴设此时抛物线的解析式为，
把A，P，Q代入，得：，解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝，此时抛物线的对称轴为直线l：x＝1，
作点P关于直线l的对称点P'，如图2，则P'（0，8），即为点A，设P'Q与直线x＝1交于点N，则此时NP＋NQ最小，
∵P'（0，8），Q（8，0），∴直线P'Q的解析式为：y＝﹣x+8，当x＝1时，y＝﹣1+8＝7．
因此N点的坐标为（1，7）．
【解析】【分析】（1）先求出t＝1时P1，Q1的坐标，然后用待定系数法即可得出抛物线的解析式，进而可求出对称轴l的解析式；（2）当直线PQ与圆C相切时，连接CP，CQ，根据平行线的性质、角平分线的性质和三角形的内角和可得∠PCQ＝90°，则有Rt△CMP∽Rt△QMC（M为PQ与圆C的切点），
然后根据相似三角形的性质即可求出t的值；（3）本题是典型的“将军饮马”问题，解题的关键是确定N的位置，可先利用待定系数法求出此时抛物线的解析式，然后作出P点关于直线l的对称点P′的坐标，连接P′Q，那么P′Q与直线l的交点即为所求的N点，至此只要求出直线P′Q的解析式，即可求出N点的坐标，问题即得解决．。