5.1 刚体运动的描述
大学物理第五章刚体力学1
例：课本P182习题5.5
质量连续分布: J r2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
例1、求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动 惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。
a物对地＝
g－a 3
0
a人对地＝
2a
0 3
g
习题册 P12 典型例题4
典例4．一个质量为M半径为R的匀质球壳可 绕一光滑竖直中心轴转动。轻绳绕在球壳 的水平最大圆周上，又跨过一质量为m半径 为r的匀质圆盘，此圆盘具有光滑水平轴， 然后在下端系一质量也为m的物体，如图。 求当物体由静止下落h时的速度v。
B
已知滑轮对 o 轴的转动惯量
J=MR2/4 ,设人从静止开始以
相对绳匀速向上爬时,绳与滑
轮间无相对滑动,求 B 端重物
上升的加速度？
解：受力分析如图 由题意 a人=aB=a
由牛顿第二定律 由转动定律 :
人 : Mg T 2 Ma
B
:
T
1
1 4
Mg
1 Ma 4
① ②
对滑轮 :
(T2 -T1)R J
再利用 v 2ah 得
1
v
12mgh
2
4M 9m
练习1.一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮, 绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间 无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为 mr2/2, 将由 两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释放,求 重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。
大学物理 刚体的定轴转动
⑶ t =6 ·0 s 时转过的角度为
6s
0
6s
d t 0
0(1et)dt
0 [te t]6 0 s 9 [6 ( 2 0 0) 5 (0 2 )]369rad
则 t =6 ·0 s
时电动机转过的圈数
N 587圈 2
5.2 5.4 刚体的转动定律及应用
5.2.1力对转轴的力矩
转轴
§5.1 刚体的运动的描述 §5.2 刚体定轴转动 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 转动定律应用 §5.5 角动量守恒 §5.6 定轴转动中的功和能
5.1 刚体的运动的描述
•刚体（rigid body）
任何情况下形状和体积都不改变的物体(理想化模型)。 刚体是特殊的质点系。 刚体可以看作是由许多质点组成,每一个质点叫做 刚体的一个质元,刚体这个质点系的特点是,在外 力作用下各质元之间的相对位置保持不变。
2、刚体定轴转动的转动定律
M d(J )dL J
dt dt
刚体绕定轴转动时，它的角加速度与作用于刚体上的 合外力矩成正比，与刚体对转轴的转动惯量成反比。
刚体定轴转动的转动定律
M＝J 与 F ma地位相当 m反映质点的平动惯性，J 反映刚体的转动惯性
力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度的原因。力
ri
即 F itfitΔ m iri
则刚体转动定律为
变形有 F ir tifir tiΔm iri2
M J
对所有质元求和:
F ir ti fir ti (m ir i2 ) 上式表明:
这里 FitriM i M外
刚体绕定轴转动时,刚
fitri 0 定义 JΔmiri2 叫转动惯量
体的角加速度与它所 受的合外力矩成正比.
大学物理2-1第5章
若质量离散分布：
（质点，质点系）
J i mi ri2
J r2 dm
若质量连续分布：
dm dl
其中： d m d s
d m dV
例题补充 求质量为m，半径为R 的均匀圆环的对中心 轴的转动惯量。 解： 设线密度为λ； d m d l
J R dm
2
2R
0
R dl
2
o
R
dm
R2 2R mR2
例题5-3 求质量为m、半径为R 的均匀薄圆盘对中心轴 的转动惯量。 解： 设面密度为σ。
取半径为 r 宽为d r 的薄圆环,
R
d m d s 2 r d r
J r d m r 2 2r 2 d r
2
3 3g 2L
2)由v r得： v A L
L 3 3 gL 3 3 gL vB 2 8 2
5.2 定轴转动刚体的功和能
一、刚体的动能 当刚体绕Oz轴作定轴转动时，刚体上各质元某一瞬时 均以相同的角速度绕该轴作圆周运动。
2 2 质元mi的动能 E ki mi v i mi ( i ri )2 mi ri 2
2）取C 点为坐标原点。 在距C 点为x 处取dm 。 说明
A
A
x dm
B
L
C
x
x
xd m B
L2
L2
2 mL x 2 d x 12
JC x 2 d m
L 2 L 2
1) 刚体的转动惯量是由刚体的总质量、质量分布、 转轴的位置三个因素共同决定; 2) 同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡提到转动惯量 必须指明它是对哪个轴的。
2010大学物理学——5.刚体的转动
c a b
(2) 刚体的定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作不同半径 圆周运动， 的 圆周运动 ， 且在相同时间内转过相 同的角度(角速度相同 角速度相同)。 同的角度 角速度相同 。
at v an
o
θ
v vv
s
S = Rθ v = Rω at = Rα 2 an = Rω
R
dθ ω = dt 2 α = dω = d θ 2 dt dt
= 6bt −12ct
2
Note:
角速度的矢量表示法： 角速度的矢量表示法：
ω
v
大小： 大小：ω 方向： 转轴 转轴, 方向：//转轴 符合右手螺旋
ω
r⊥
v
v v
v v v 线速度： 线速度：v = ω × r
验证： 验证：
v r Ｏ
v v ω×r
大小： 大小： r⊥ ω 方向： 方向： 圆周切向
§5.5 转动中的功和能 (Rotational Work and Energy) 1.力矩的功 力矩的功
v F ⊥
F⊥t
ω
对于θ →θ +dθ，有
例5-8 已知：圆盘转动惯量J，初角速度ω0 已知：圆盘转动惯量 ， 阻力矩M=-kω (k为正的常量 为正的常量) 阻力矩 为正的常量 所需的时间. 求：角速度从ω0变为ω0/2所需的时间 所需的时间 dω 转动定律： 解：转动定律： − kω = J dt t ω0 / 2 dω k → ∫ − dt = ∫ 0 ω0 J ω k ω /2 J ln 2 →− t = (ln ω) ω →t = J k [思考 思考] 思考
2
dm ∫
2
O
R
= mR
刚体的运动及描述
v r
P点线加速度 an r
2
dv at r dt
z
ω ,α v r θ
匀角加速转动的运动学关系：
P
参 考 方 向
0 t ( 0 ) 0 t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
刚体
r O ×
定轴
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
矢量形式
v r 2 an r at r
或： a t r e
刚体定轴转动(一维转动) 的转动方向可以用角速 度的正、负来表示。 角加速度
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
定点转动：
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该固
定点的某一瞬时轴线转动.
如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
3 平面平行运动 刚体上各点都平行于某一固定平面的运动称为刚体的 平面运动，又称为刚体的平面平行运动。 如：车轮直线滚动 可以分解为： 刚体随质心的平动（i=2） 和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动（i=1）
·
Δ
· o
o
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
刚体的一般运动可看作： 随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
第5章 刚体力学基础
5-1 刚体的运动及描述
5.1.3 刚体定轴转动的运动学描述
定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动。
O
z
ω
r P’(t+dt) d P(t)
大学物理教程-刚体的定轴转动
大学物理教程
哈尔滨工业大学(威海)
5.1 刚体的运动 Harbin Institute of Technology at Weihai
1.平动:
刚体在平动时，在任意一段时间内，刚体
中所有质点的位移都是相同的。而且在任何
时刻，各个质点的速度和加速度也都是相同
5.2.1 对轴的力矩
M ro F (r rz ) F
M z (r F ) z r (F Fz )z r F
M z rF sin r F rF
➢ 说明： ① 只有垂直于轴的分量（或在转动平面内的分量）
才能产生沿轴方向的力矩！ ② 作用点到轴的垂直距离决定对轴的力矩
大学物理教程
例3. 圆环绕中心轴旋转的转动惯量。
解： 选圆环上dl长度质量微元dm，
设线密度为 m 2 R
dl
m R
Jz R2 d m R2 d l
O
R22 R
mR2
大学物理教程
延伸：
薄壁圆筒： J mR2
哈尔滨工业大学(威海)
5.2 刚体定轴转动定律 Harbin Institute of Technology at Weihai
（A）
（B）
解： （A）
M J
FR 1 mR2
2F mR
2
2F
mR
a R 2F / m
R
R
m
m
（B） m1g T m1a
TR J 1 mR2
2
a R
m1
g
m1
1 2
m
R
a
m1
g
m1
1 2
m
恒力 F
大学物理Ⅰ刚体定轴转动的转动定律
5.1刚体运动的描述
一.刚体
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变 化的物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点 组）
（1）刚体的运动
刚体的运动形式：平动、转动 .
平动：若刚体中所有点 的运动轨迹都保持完全相同， 或者说刚体内任意两点间的 连线总是平行于它们的初始 位置间的连线 .
F F11 F
其中F11对转轴的力 矩为零，故 F 对转轴的力矩
M zk r F
z
k F11
F
O r
F
M z rF sin
2）合力矩等于各分 力矩的 矢量和 M M1 M2 M3
第五章 刚体的定轴转动
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
O
rj
d ri
i
j
Fji Fij
M
rdf
l
grdr
0
1 gl 2
2
1 mgl
2
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别
为质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
第五章 刚体的定轴转动
m 例1 一质量为 、长为 l 的均匀细长棒，求通过棒中
心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
Or
l 2 O´ dr l 2
O´ dr l
r 解 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质
fi
第五章 刚体的定轴转动
M i外 M i内 miri2
i
i
i
Mi内 0
i
M i外 ( miri2 )
i
i
z
O rj
刚体运动的描述
60
rad/s；t
20s时, t
0.
t
0t
1 2
t2
600
rad
N
t 2
300 r
(2) t 0 t 60 3 10 30 rad/s
(3) t 10s时：
线速度：v r 0.5 30 47.1 m/s
切向加速度：at r 0.5 (3 ) 4.71 m/s2 法向加速度：an r 2 0.5 (30 )2 4.44 103 m/s2
刚体运动的描述
一、 刚体及其运动形式 1. 刚体 在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体. (1) 刚体是任意两质点间距离均保持不变的特殊质点系; (2) 刚体是一种理想的力学模型.
2. 刚体的运动形式 平动
刚体的基本运动形式 转动
1. 刚体的平动 刚体运动时，若刚体内任意两点间的连线总是平行于
小结
本节课我们讲解了刚体的定义及其基本运动形式； 重点讲述了刚体定轴转动过程中的角坐标、角位移、 角速度和角加速度的概念以及刚体定轴转动的公式。
这部分内容是学习后面课程的基础，希望同学们课后 好好复习，熟练掌握。
其角加速度为负值；
方向: 与角速度增量的方向一致.
当与同号时，刚体加速转动；当与异号时，刚体减速转动.
3. 刚体定轴转动公式
(1) 角量和线量的关系
刚体上离转轴距离为 r 的质点的线速度与刚体的角速度之间
的关系为：v r
该点的切向加速度和法向加速度与刚体的角加速度和角速度
之间的关系分别为：at r an r 2
它们的初始位置间的连线，则刚体的这种运动叫做平动.
B A
B A
B A
平动的特点：
1) 刚体中各质点的 运动情况完全相同; 2) 刚体的平动可用 质点的运动来表示.
刚体运动的理论力学分析
刚体运动的理论力学分析刚体运动是经典力学研究的重要内容之一，涉及物体在空间中作直线运动、旋转运动以及复杂运动等方面的分析和研究。
本文将针对刚体运动的理论力学进行分析，并探讨刚体运动的力学定律和相关公式。
一、刚体的定义与特性刚体是指物体在受力作用下，各部分的相对位置不会发生变化的物体。
刚体具有以下特性：1. 形状不变性：刚体的形状和大小在运动过程中保持不变。
2. 组成部分的相对位置不变：刚体各部分相对位置保持不变，即不发生形变。
3. 刚体可以进行平动和转动。
二、刚体运动的描述刚体运动可以通过刚体在空间中的位置和姿态的变化来描述。
刚体可以存在三种运动状态：平动、转动和整体运动。
1. 平动：刚体的各个部分保持平行移动，位置和相对位置不发生变化。
平动运动可以由平动的速度和加速度来描述。
2. 转动：刚体绕固定轴线旋转，各个部分围绕轴线进行圆周运动。
转动运动可以通过角速度和角加速度来描述。
3. 整体运动：刚体在空间中同时进行平动和转动，即平动和转动的叠加。
三、刚体运动的力学定律刚体运动的力学定律主要包括牛顿第二定律和角动量守恒定律。
1. 牛顿第二定律：对于平动的刚体，根据牛顿第二定律可以得出以下公式：$$\sum F = ma$$其中，$\sum F$表示作用在刚体上的合力，m为刚体的质量，a为刚体的加速度。
2. 角动量守恒定律：对于转动的刚体，根据角动量守恒定律可以得出以下公式：$$L = I\omega$$其中，L为刚体的角动量，I为刚体的转动惯量，$\omega$为刚体的角速度。
四、刚体运动的相关公式1. 刚体的质心位置：刚体的质心位置可以通过以下公式计算：$$\bar{r} = \frac{1}{M}\int r dm$$其中，$\bar{r}$为质心的位置矢量，M为刚体的总质量，r为刚体中各个质点的位置矢量，dm为刚体中微小质元的质量。
2. 刚体的转动惯量：刚体的转动惯量可以通过以下公式计算：$$I = \int r^2 dm$$其中，I为刚体的转动惯量，r为刚体质点到转轴的距离，dm为刚体中微小质元的质量。
5.1 刚体和刚体的基本运动
5.1 刚体和刚体的基本运动导入：质点模型是牛顿为了简化运动分析而提出来的，质点系包含众多质点，也是理想模型，因为它们都是描述有质量的点，根据研究问题的性质，忽略了其大小和形状。
与其对应，有另外一种理想模型--刚体。
刚体是考虑其大小和形状的物体，而且在力的作用下保持不变。
刚体是由大量质点组成的的，在力的作用下，组成物体的所有质点之间的距离始终保护不变。
物体受力作用总是要发生变形的，因此没有真正的刚体，刚体是力学中一个十分有用的理想模型。
刚体的运动可以分为平动和定轴转动，是刚体的两种最简单、也是最基本的运动形式。
刚体的运动一般说来是比较复杂的，但可以证明，刚体的复杂运动可分解为平动和绕瞬时轴的转动。
因此，研究刚体的平动和转动时研究刚体复杂运动的基础。
讨论：刚体的平动怎么描述？刚体运动时，若在刚体内所作的任意一条直线，都始终保持和自身平行，这种运动就称为刚体的平动。
因此，作平动的刚体上的各点的运动轨迹都相同，在任意时刻各点的速度、加速度也都相同。
综上所述，在刚体平动时，只要知道刚体上任意一点的运动，就可以完全确定整个刚体的运动，通常是用刚体的质心运动来代表作平动刚体的运动。
质心，质量中心的简称，指物质系统上被认为质量集中于此的一个假想点。
质点系的质心是质点系质量M分布的平均位置，刚体看作是一个质点系。
设质点系由n个质点组成，它们的质量分别是m1,m2,…,m n，若用r1⃗⃗ ,r2⃗⃗⃗ ,…,r n⃗⃗⃗分别表示质点的位置。
则质点系的质心位置rσ⃗⃗⃗ 为，rσ⃗⃗⃗ =∑m i r i⃗iM讨论：刚体的转动怎么描述？在某一时刻t刚体的转动，是绕着某一转轴转动，角速度为ω，角加速度为α，假设刚体绕转轴转动，角坐标θ是时间t的单值连续函数，即θ=f(t)则有ω=dθdt =f′(t)；α=dωdt=f′′(t)通过给出绕定轴转动的角速度和角加速度，可以描述刚体的转动。
思考：对于刚体绕定轴的匀速和匀变速转动，角速度和角加速度是怎么变化？想想看：5.1，5.2，5.3，5.4，进一步熟悉转动的描述。
刚体运动的描述
刚体的定轴转动是指 刚体上各点都绕同一直线 作圆周运动， 作圆周运动，而直线本身 在空间的位置保持不动的 一种转动。 一种转动。 这条直线称为转轴 转轴。 这条直线称为转轴。 刚体定轴转动的特点： 刚体定轴转动的特点： 1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周 刚体上各个质点都在作圆周运动， 刚体上各个质点都在作圆周运动 运动的半径不一定相等。 运动的半径不一定相等。 2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线， 各质点圆周运动的平面垂直于转轴线 线上，这个平面我们称为转动平面。 线上，这个平面我们称为转动平面。 3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。 各质点的位矢
10
ω = ω 0 + βt 1） （ ）
1 2 ） θ − θ 0 = ω 0t + βt （2） 2
）、（2） 由（1）、（ ）式消 t得： ）、（ 得
2 2 0
ω = ω + 2 β (θ − θ 0 ) （3） ）
与匀变速直线运动计算公式有对应关系： 与匀变速直线运动计算公式有对应关系：
dθ ∆θ = 角速度 ω = lim ∆t → 0 ∆ t dt
角速度为角坐标对时间的一次导数。 角速度为角坐标对时间的一次导数。 方向：满足右手定则， 方向：满足右手定则，沿刚体 转动方向右旋大拇指指向。 转动方向右旋大拇指指向。 角速度是矢量， 角速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角速度的方向只有两个， 动角速度的方向只有两个，在表示角 速度时只用角速度的正负数值就可表 示角速度的方向，不必用矢量表示。 示角速度的方向，不必用矢量表示。
dθ ω= dt
∆t → 0
大学物理：第 05 章 刚体力学基础
j
i
设作用在质元Dmi上的外力
位于转动平面内。
z
合外力对刚体做的元功： P
力矩的功：
功率：
三、刚体定轴转动的动能定理
合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。
四、刚体的重力势能
以地面为势能零点，刚体和地球 系统的重力势能：
z
i O
五、 刚体定轴转动的功能原理
将重力矩作的功用重力势能差表示：
如：直立旋转陀螺不倒。
o
此时，即使撤去轴承的支撑作用， 刚体仍将作 定轴转动——定向回转仪—— 可以作定向装置。
二、非刚体( J 可变)的角动量守恒
当 J 增大， 就减小，当 J 减小， 就增大。
如：芭蕾舞，花样滑冰中的转动， 恒星塌缩 (R0，0) (R，) 中子星 的形成等。
[例5-11] 水平转台(m1 、 R ) 可绕竖直的中心轴转动，初角 速度0，一人(m2 )立在台中心，相对转台以恒定速度u沿 半径向边缘走去，计算经时间 t，台转过了多少角度。 解：人与转台组成的系统对竖直 轴的角动量守恒：
(2)
(3) (4)
[例5-16] 细杆A ： (m ， L)可绕轴转动，水平处静止释放， 在竖直位置与静止物块B ： (m) 发生弹性碰撞，求碰后： (1)物块B的速度 vB ，(2)细杆A 的角速度2 ， (3)细杆A 转过的最大角度 θmax 。 解： B
A
碰后反方向转动。
A
B
[例5-17] 圆锥体R，h，J，表面有浅槽，令以ω0转动， 小滑块m 由静止从顶端下滑，不计摩擦，求滑到底部滑 块相对圆锥体的速度、圆锥体角速度。
是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
第5章 刚体定轴转动1
z
Li
Liz ri pi
Liz
pi
Liz ri pi mi ri vi mi ri2
轴向总角动量：
ri O riR
Lz
i
Liz
i
mi ri
2
OR
r 注意： i 为质元到转轴的垂直距离。
2
I C I1 ml 2
1 2 ml 12
例: 求质量为m 半径为R 的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。
解: 在环上任取一小线元dl 其质量
J
m dm dl 2R
R 2 dm
O
R dm
m
0 2
R
2 R
0
m dl 2R
均匀圆环的 转动惯量： J mR 2
求得。所以
v v r sin r sin900 r 78.5m / s
v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如图所示
相应的切向加速度和向心加速度分别为
at ar 3.14m / s 2
an 2 r 6.16 103 m / s 2
t 边缘上该点的加速度 a a n a其中 a t的方向与 n 向相反， a的方向指向轮心， a 的大小为
第五章 刚体的转动
本章主要内容
§5-1 刚体转动的描述 §5-2 转动定律 §5-3 转动惯量的计算 §5-4 转动定律的应用
§5-5 角动量守恒
§5-6 转动中的功和能
§5-7 进动
§5-1 刚体转动的描述
刚体的概念
没有形状和体积的变化； 理想模型； 特殊的质点系；
刚体的定轴转动定理和方程
N
N
N
F irisin i firisiin ( m iri2)
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sini 0
i1
N
N
得到： Firisini (miri2)
i1
i1
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表
示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚
A r1 o 1
A
B r2
o2
B
角速度 d
dt
角加速度 d
dt
•刚体定轴转动的运动学
转动平面:
p'
刚体上垂直转轴 的平面
p
坐标系如图：O 点是转轴
0
x
和平面的交点
转动方向逆时针方向为正
P 为刚体上的任一质点其角坐标可确定刚体在空间的 位置
角坐标: ft 左式为定轴转动的运动方程
角位移: 21
N21.62
圈
(4) ' t' 0 .8 ra /sd
a n r ' 2 0 .3m 2 /s 2
at
a ' a 2 n a t 2 0 . 5 m s 2 1a
合加速度的方向与轮缘切线方向夹角
arctaann 38.70
at
a
an
§5.2 力矩 刚体绕定轴转动微分方程
一. 力矩
理论计算 J
miri2（分立）单位：
r2dm（连续）kg m2
例：
mr
O
dm
一质点对O点：J = m r 2
同样质量做成半径r 的圆环，对中心轴
刚体
E p mi ghi
mi hi mg
mghc m
若A外+ A内非=0， 则Ek +Ep =常量。
例5.7 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定 的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水 平位置，求它由此下摆角时的角速度。
O
mg
§5.6 刚体定轴转动的角动量守恒 一、定轴转动的角动量定理 （力矩对时间的积累效果）
x
O
M＝ gxdm g xdm
dm
X
d d d d M J J J J Md Jd dt d dt d mgl sin 1 3g sin 0 2 mgl cosd 0 Jd J l
据质心定义 xdm mxC M mgxC ＝ 1 1 xc l cos M mgl cos 2 2
线量与角量
2
v r v r
dv an r at r dt 0 t 若 const . ( 0 ) t 1 t 2 2 2 2 0 2 ( 0 )
§5.2 刚体的定轴转动定律
N α R · a m T′ - T = 运动学关系：
a
R 1 2 h at 2
(4)
G
T
mg
gt 2 ( 1) mR2 114 kg m2 . J 2h
§5.5 定轴转动中的功和能
一. 力矩的功 φ r z · 轴 F
dA F ds Fr cos d Fr sin( )d 2
第五章 刚体的定轴转动
§5.1 刚体的运动 §5.2 刚体定轴转动定律 §5.3 转动惯量的计算 §5.4 刚体定轴转动定律的应用 §5.5 转动中的功和能 §5.6 刚体的角动量和角动量守恒定律
刚体运动的描述
刚体运动的描述一、刚体的平动（最简单）1、定义：在运动中，刚体上任意一条直线在各个时刻的位置都保持平行。
2、特点：①刚体上任意两点的连线在平动中是平行且相等的！②刚体上任意质元的位置矢量不同，相差一恒矢量，但各质元的位移、速度和加速度却相同。
因此，常用“刚体的质心”来研究刚体的平动：3、平动的自由度：3个二、刚体的定轴转动（较简单）1、定义：若刚体运动时，所有质元都在与某一直线垂直的诸平面上作圆周运动且圆心在该直线上，则称刚体绕固定轴转动，该直线称作转轴。
2、特点：①刚体中始终保持不动的直线就是转轴。
②刚体上轴以外的质元绕轴转动，转动平面与轴垂直且为圆周，圆心在轴上。
③和转轴相平行的线上各质元的运动情况完全一样。
3、定轴转动刚体的自由度：1个（刚体的角坐标θ）如图示：建立o-xyz系,z轴与转轴重合，o点任意选取，截取刚体一个剖面o-xy平面，此位置只要确定，刚体的位置就确定了，除o点外，再选一个A点，此图形的位置可由矢量来确定，而矢量的大小是不变的，方向只需由矢量与x轴的夹角θ来确定，此θ角称为：绕定轴转动刚体的角坐标。
θ角的正负规定：定轴转动刚体转动的方向和z轴成右手螺旋时，θ角为正，否则θ角为负。
4、定轴转动刚体运动的描述：①运动学方程：即：角坐标随时间的变化规律。
②描述刚体整体运动的物理量——角量，包括：角位移，角速度，角加速度。
角位移：定轴转动刚体在时间内角坐标的增量。
任意质元的角位移是相同的——是一整体运动的量。
面对z轴观察：逆时针转动，；反之，。
角速度ω：在这一过程中，即：瞬时角速度等于角坐标对时间的导数。
面对z轴观察逆时针转动时：；反之，。
角加速度β：∴即：瞬时角加速度等于角速度对时间的导数。
加速转动，β与ω同号；反之，。
③线量：描述定轴转动刚体上任一质元运动的物理量：线位移，线速度，线加速度。
如图示：A质元的线速度不同于B质元的线速度，以刚体上质元A为例：线位移：线速度：线加速度：即：由定轴转动刚体角量和线量关系可知：1、角速度矢量定义：方向规定：右手螺旋法则：四指的方向和转动方向一致，大母指的指向就是的方向，沿转轴，如图示：必须满足平行四边形法则：因此：刚体上任意质元的线速度：表示质元相对于转动任意点的位矢，组成右手螺旋。
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2 Ax 2 Ay
25π = Rω = = 0.26 m / s 300
dvAx aAx = = Rω2 cos(ωt +θ0 ) dt dvAy 2 aAy = = Rω sin(ωt +θ0 ) dt 25π 2 2 2 2 3 2 aA = aAx + aAy = Rω = = 2.7×10 m/ s 2 300
二.刚体绕定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴) 圆周运动----刚体转动 刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动----刚体转动 运动---转轴固定不动 — 定轴转动 刚体的平动和 刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 平动 两种最简单最基本运动 1. 描述 刚体绕定轴转动的角量 角坐标 角速度 角加速度 I θ
A′′
r r rA = rB + AB r r rA = rB r r vA =vB r r aA = aB
A
A′ B′′
B
B′
(2) 刚体的平动可归结为质点运动
一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， ， 例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 供人乘坐的吊箱高度 。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。 转速为 。 吊箱底部A点的轨迹及 点的速度和加速度的大小。 点的轨迹及A点的速度和加速度的大小 求 吊箱底部 点的轨迹及 点的速度和加速度的大小。
r v
P
参
O
刚体
r'
θ
v = r' ω an = r'ω2 dv aτ = = r' β dt
r r
×
轴
O
定轴
考 方 向
速度与角速度的矢量关系式
r r dr r r v = =ω× r dt
加速度与角加速度的矢量关系式
z
ω,β
r v
P
参 考 O 定轴 方 向
r r r r dv d(ω× r ) a= = dt dt r r dω r r dr = × r +ω× dt dt
O
刚体
r'
θ
r r
×
轴
r r r r =β × r +ω×v
r r aτ = β × r
r r r an = ω ×v
本章内容
5.1 刚体运动的描述 5.2 力矩 刚体绕定轴转动的转动定律 5.3 绕定轴转动刚体的动能 动能定理 5.4 动量矩和动量矩守恒定律
5.1 刚体运动的描述
一.刚体的平动
刚体运动时， 刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自 身平行 — 刚体平动 平动的特点 (1) 刚体中各质点 的运动情况相同
z
θ = f (t) dθ ω = = f '(t)
dt
dω d2θ β= = 2 = f "(t) dt dt
P
II
M
当 β =c
ω = ω0 + β t 1 2 (θ θ0 ) = ω t + β t 2 2 ω2 ω0 = 2β(θ θ0 )
z ω,β
与质点的匀加速直线运动公式相象 2. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度 任意点都绕同一轴作圆周运动, 任意点都绕同一轴作圆周运动 且 ω，β 都相同
2 π 2 π π 解 ω= = = T 10× 60 300 10×
吊箱平动 吊箱平动
xA = xB = Rcos(ωt +θ0 )
yA = yB L = Rsin(ωt +θ0 ) L
x + ( yA + = R
2 A 2 2
dxA vAx = = Rωsin(ωt +θ0 ) dt dyA vAy = = Rω cos(ωt +θ0 ) dt
第5章 刚体的定轴转动
猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。 猫习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期 的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时， 的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度 将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？ 将随高度的增加而减少，为什么会这样呢？