2020届二轮(理科数学) 不等关系与不等式 专题卷(全国通用)
2020高考理科数学二轮提分教程全国通用不等式选讲考情考点考题突破(73张)
所以 f(x)的最小值为 9.
所以 a>9，即实数 a 的取值范围为(9，＋∞)．
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角度 2 绝对值不等式恒成立(或存在性)问题 例 2 (2019·德阳市高三第二次诊断)已知函数 f(x)＝|x－a|－|x＋2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≤－x 的解集； (2)若 f(x)≤a2＋1 恒成－
7或－3<x<－1，
所以原不等式的解集是(－∞，－2－ 7)∪(－3，－1)．
(2)令 f(x)＝|x|＋2|x－9|，则关于 x 的不等式
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|x|＋2|x－9|<a 有解等价于 a>f(x)min.
3x－18，x≥9，
f(x)＝18－x，0≤x<9， 18－3x，x<0，
10 分，一般会出现在选考部分第二题的位置.
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1
PART ONE
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1.绝对值的三角不等式
定理 1：如果 a，b 是实数，则 □01 |a＋b|≤|a|＋|b|
，当且仅当 ab≥0
时，等号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么
□02 |a－c|≤|a－b|＋|b－c|
当 x＞1 时，由 f(x)＜0 得 2(x＋1)－(x－1)＜0，
即 x＋3＜0，得 x＜－3，此时无解，
综上，不等式的解集为x－3＜x＜－13
.
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2020高考数学(理科)二轮专题复习课标通用版 跟踪检测： 专题1 不等式、函数和导数第1部分 专题1 第4讲
5 答案 2 13．(2019·江西上饶模拟)在△ABC 中，AB＝3AC，AD 是∠A 的平分线，且
AD＝mAC，则实数 m 的取值范围是________.
解析 由三角形角平分线性质知 BD＝3DC，不妨设 AC＝1，则 AB＝3，AD＝m.在△
ABD 和△ACD 中，由余弦定理得
A
A
BD2＝AB2＋AD2－2AB×ADcos2，DC2＝AC2＋AD2－2AC×ADcos2.又 BD2＝9DC2，所以
图 1 图 2
(1)图 1 中，若 AD⊥BC，求∠BAC 的大小；
π (2)图 2 中，若∠ABC＝4，求△ADC 的面积．
解析 (1)设∠BAD＝α，∠DAC＝β.
因为 AD⊥BC，AD＝6，BD＝3，DC＝2，
11 ＋ 23
1
1
tan α＋tan β
11
1－ ×
π A． 6
π C． 2
π B．3
2π D． 3
B 解析 因为 p∥q，所以(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，即 b2＋a2－c2＝ab，利用余弦定理可
b2＋a2－c2 ab 1
π
得 cos C＝ 2ab ＝2ab＝2，所以 C＝3.故选 B 项．
A c－b
3．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 sin22＝ 2c ，则△ABC 的
27 3
27 3
大值为 100 km2，故生活区△ABE 面积的最大值为 100 km2.
能力提升(建议用时：25 分钟)
π 11．(2019·广东东莞模拟)在△ABC 中，AB＝2，C＝6，则 AC＋ 3BC 的最大值为( )
A．4 7
B．3 7
2020届高考数学(理)二轮专题复习： 专题二 函数、不等式、导数 1-2-4 Word版含答案.doc
限时规范训练七 导数的综合应用限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)1．如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减；③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )取极大值．则上述判断中正确的是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④⑤D ．③解析：选D.当x ∈(－3，－2)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，①错；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(2,3)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，②错；当x ＝2时，函数y ＝f (x )取极大值，④错；当x ＝－12时，函数y ＝f (x )无极值，⑤错．故选D.2．若函数f (x )＝2x 2－ln x 在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．[1,2)C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2 解析：选C.f ′(x )＝4x －1x＝x －x ＋x，∵x ＞0，由f ′(x )＝0得x ＝12.∴令f ′(x )＞0，得x ＞12；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜12.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k －1≥0，k －1＜12＜k ＋1⇒1≤k ＜32.故C 正确．3．已知函数f (x )(x ∈R )满足f ′(x )＞f (x )，则( ) A ．f (2)＜e 2f (0) B ．f (2)≤e 2f (0) C ．f (2)＝e 2f (0)D ．f (2)＞e 2f (0)解析：选D.由题意构造函数g (x )＝f xex，则g ′(x )＝f x －f xex＞0，则g (x )＝f xex在R 上单调递增，则有g (2)＞g (0)，故f (2)＞e 2f (0)．4．不等式e x－x ＞ax 的解集为P ，且[0,2]⊆P ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，e －1) B ．(e －1，＋∞) C ．(－∞，e ＋1)D ．(e ＋1，＋∞)解析：选A.由题意知不等式e x－x ＞ax 在区间[0,2]上恒成立，当x ＝0时，不等式显然成立，当x ≠0时，只需a ＜e xx －1恒成立，令f (x )＝e xx－1，f ′(x )＝e xx －x 2，显然函数在区间(0,1]上单调递减，在区间[1,2]上单调递增，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值e －1，则a ＜e －1，故选A.5．设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，它们的图象在x 轴上的公共点处有公切线，则当x ＞1时，f (x )与g (x )的大小关系是( )A ．f (x )＞g (x )B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＝g (x )D ．f (x )与g (x )的大小关系不确定解析：选B.由题意得f (x )与x 轴的交点(1,0)在g (x )上，所以a ＋b ＝0，因为函数f (x )，g (x )的图象在此公共点处有公切线，所以f (x )，g (x )在此公共点处的导数相等，f ′(x )＝1x，g ′(x )＝a －b x 2，以上两式在x ＝1时相等，即1＝a －b ，又a ＋b ＝0，所以a ＝12，b ＝－12，即g (x )＝x 2－12x ，f (x )＝ln x ，令h (x )＝f (x )－g (x )＝ln x －x 2＋12x ，则h ′(x )＝1x －12－12x 2＝2x －x 2－12x2＝－x －22x2，因为x ＞1，所以h ′(x )＜0，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以h (x )＜h (1)＝0，所以f (x )＜g (x )．故选B.6．设函数f (x )＝ax 3－x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]都有f (x )≥0，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[0，＋∞)C ．[0,2]D ．[1,2]解析：选C.∵f (x )＝ax 3－x ＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－1，当a ＜0时，f ′(x )＝3ax 2－1＜0，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝a ＜0，不符合题意．当a ＝0时，f (x )＝－x ＋1，f (x )在[－1,1]上单调递减，f (x )min ＝f (1)＝0，符合题意． 当a ＞0时，由f ′(x )＝3ax 2－1≥0，得x ≥13a 或x ≤－13a ，当0＜13a ＜1，即a ＞13时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－13a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13a，13a 上单调递减，在⎝⎛⎦⎥⎤13a ，1上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝－a ＋1＋1＝2－a ≥0f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫13a 3－13a ＋1≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2a ≥427a ＞13，∴13＜a ≤2； 当13a ≥1，即0＜a ≤13时，f (x )在[－1,1]上单调递减， f (x )min ＝f (1)＝a ＞0，符合题意．综上可得，0≤a ≤2.二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，且xf ′(x )＋f (x )＞0，则函数g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)的零点个数为________．解析：因为g (x )＝xf (x )＋1(x ＞0)，g ′(x )＝xf ′(x )＋f (x )＞0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又g (0)＝1，y ＝f (x )为R 上的连续可导函数，所以g (x )为(0，＋∞)上的连续可导函数，又g (x )＞g (0)＝1，所以g (x )在(0，＋∞)上无零点．答案：08．在函数f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)的图象上任取两个不同点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，总能使得f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，则实数a 的取值范围为________．解析：不妨设x 1＞x 2，则x 1－x 2＞0，∵f (x 1)－f (x 2)≥4(x 1－x 2)，∴f x 1－f x 2x 1－x 2≥4，∵f (x )＝a ln x ＋(x ＋1)2(x ＞0)∴f ′(x )＝a x ＋2(x ＋1)，∴a x ＋2(x ＋1)≥4，∴a ≥－2x 2＋2x ，又－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋12≤12，∴a ≥12. 答案：a ≥129．设函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，且f (3)＝0，则不等式x －1f x≥0的解集为________． 解析：∵函数y ＝f (x )图象上任意一点(x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(3x 20－6x 0)(x －x 0)，∴f ′(x 0)＝3x 20－6x 0，∴f ′(x )＝3x 2－6x ，设f (x )＝x 3－3x 2＋c ，又f (3)＝0，∴33－3×32＋c ＝0，解得c ＝0，∴f (x )＝x 3－3x 2，∴x －1f x ≥0可化为x －1x 3－3x 2≥0，解得0＜x ≤1或x ＜0或x ＞3. 答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分) 10．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x －1－a ln x . (1)若f (x )≥0，求a 的值；(2)设m 为整数，且对于任意正整数n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <m ，求m 的最小值．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，①若a ≤0，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－12＋a ln 2<0，所以不满足题意．②若a >0，由f ′(x )＝1－a x ＝x －ax知，当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在(0，a )单调递减，在(a ，＋∞)单调递增． 故x ＝a 是f (x )在(0，＋∞)的唯一最小值点． 因为f (1)＝0，所以当且仅当a ＝1时，f (x )≥0， 故a ＝1.(2)由(1)知当x ∈(1，＋∞)时，x －1－ln x >0. 令x ＝1＋12n ，得ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12n ，从而ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122＋…＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <12＋122＋…＋12n ＝1－12n <1.故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n <e.而⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋123>2，所以m 的最小值为3. 11．设函数f (x )＝e mx＋x 2－mx .(1)证明：f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增；(2)若对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1，求m 的取值范围． 解：(1)证明：f ′(x )＝m (e mx－1)＋2x .若m ≥0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1≤0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1≥0，f ′(x )＞0.若m ＜0，则当x ∈(－∞，0)时，e mx－1＞0，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，e mx－1＜0，f ′(x )＞0.所以，f (x )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．(2)由(1)知，对任意的m ，f (x )在[－1,0]单调递减，在[0,1]单调递增，故f (x )在x ＝0处取得最小值．所以对于任意x 1，x 2∈[－1,1]，|f (x 1)－f (x 2)|≤e －1的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧f －f －1，f－－f －1，即⎩⎪⎨⎪⎧e m－m ≤e－1，e －m＋m ≤e－1.①设函数g (t )＝e t－t －e ＋1，则g ′(t )＝e t－1. 当t ＜0时，g ′(t )＜0；当t ＞0时，g ′(t )＞0. 故g (t )在(－∞，0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．又g (1)＝0，g (－1)＝e －1＋2－e ＜0，故当t ∈[－1,1]时，g (t )≤0. 当m ∈[－1,1]时，g (m )≤0，g (－m )≤0，即①式成立； 当m ＞1时，由g (t )的单调性，g (m )＞0，即e m－m ＞e －1； 当m ＜－1时，g (－m )＞0，即e －m＋m ＞e －1. 综上，m 的取值范围是[－1,1]．12．已知函数f (x )＝mx 4x 2＋16，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |，其中m ∈R 且m ≠0. (1)判断函数f (x )的单调性；(2)当m ＜－2时，求函数F (x )＝f (x )＋g (x )在区间[－2,2]上的最值；(3)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥2，g x ，x ＜2，当m ≥2时，若对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，试求m 的取值范围．解：(1)依题意，f ′(x )＝m－x2x 2＋2＝m －x ＋xx 2＋2，①当m ≥0时，解f ′(x )≥0得－2≤x ≤2，解f ′(x )＜0得x ＜－2或x ＞2；所以f (x )在[－2,2]上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减． ②当m ＜0时，解f ′(x )≤0得－2≤x ≤2，f ′(x )＞0得x ＜－2或x ＞2； 所以f (x )在[－2,2]上单调递减；在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增． (2)当m ＜－2，－2≤x ≤2时，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －m ＝2m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在[－2,2]上单调递减，由(1)知，f (x )在[－2,2]上单调递减，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝mx 4x 2＋16＋2m ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[－2,2]上单调递减；∴F (x )max ＝F (－2)＝4×2m－m16＝2m ＋2－m16；F (x )min ＝F (2)＝2m －2＋m16.(3)当m ≥2，x 1∈[2，＋∞)时，h (x 1)＝f (x 1)＝mx 14x 21＋16，由(1)知h (x 1)在[2，＋∞)上单调递减， 从而h (x 1)∈(0，f (2)]，即h (x 1)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，m 16；当m ≥2，x 2＜2时，h (x 2)＝g (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x 2－m |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ·2x 2在(－∞，2)上单调递增， 从而h (x 2)∈(0，g (2))，即h (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2；对于任意的x 1∈[2，＋∞)，总存在唯一的x 2∈(－∞，2)，使得h (x 1)＝h (x 2)成立，只需m16＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，即m 16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2＜0成立即可．记函数H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2，易知H (m )＝m16－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －2在[2，＋∞)上单调递增，且H (4)＝0. 所以m 的取值范围为[2,4)．。
2020届二轮(理科数学) 不等式 数列 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）不等式 数列 专题卷（全国通用）一、选择题 1．在ABC △中，若cos 1cos 2cos 1cos 2b C Cc B B+=+，则ABC △的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形2．已知实数x y ，满足约束条件1022x y x y y a ++≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，若目标函数2z x y =-的最大值为5， 则a 的值为（ ） A ．73-B ．13C ．1D ．23．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别是723n n S n T n +=+，则7n ab =（ ） A ．214B ．6512C ．278D ．65164．设0x >，0y >，下列不等式中等号能成立的有（ ）①114x y x y ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②()114x y x y ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭4≥；④4x y ++≥； A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的焦距为C与圆(2216x y ++=交于M N ，两点，且4MN =，则椭圆C 的方程为（ ）A ．2211512x y += B ．221129x y += C ．22163x y += D ．22196x y += 6．连结ABC Rt △的直角顶点C 与斜边AB 的两个三等分点D E ，，所得线段CD CE ，的长分别为sin α和cos α（02απ<<），则AB 长为（ ）A ．43BCD7．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半．问两鼠在第几天相遇？（ ） A ．第2天B ．第3天C ．第4天D ．第5天8．已知点P 为抛物线214y x =上的动点，点P 在x 轴上的射影为点H ，点A 的坐标为()126，，则PA PH +的最小值是（ ）A ．13B ．12C ．11D ．10二、填空题9．已知ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．若1c =，ABC △的面积为2214a b +-，则ABC △面积的最大值为 ． 10．在数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，其前n 项和为n S 满足()21n n n S a S =-，设22log nn n S b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足6n T ≥的最小正整数n 是 ．三、简答题11．如图，在ABC △中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5sin 13B =，3cos 5ADC ∠=．（1）求边AD 的长；（2）若ABC △的面积为480，求角C 的值．12．抛物线24y x =的焦点为F ，斜率为正的直线l 过点F 交抛物线于A B ，两点，满足2AF FB =u u u r u u u r ．（1）求直线l 的斜率；（2）过焦点F 与l 垂直的直线交抛物线于C D ，两点，求四边形ACBD 的面积．13．已知函数()ln 1af x x x=+-，a ∈R ． （1）若曲线()y f x =在点()()11P f ，处的切线平行于直线1y x =-+，求实数a 的值； （2）讨论函数()y f x =的单调区间．答案一、选择题 1．【答案】D【解析】由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b CB B B c B+===+， 所以cos cos C b B c =或cos 0cos CB=， 即90C =︒或cos sin sin cos sin cos sin 2sin 2cos sin C BB BC C B C B C=⇒=⇒=，因为B C ，均为ABC △的内角，所以22B C =或22180B C +=︒，即B C =或90B C +=︒， 所以ABC △为等腰三角形或直角三角形． 2．【答案】B【解析】作出不等式对应的平面区域如图，()22A a a +，，由2z x y =-，得2y x z =-，由图象可知当直线2y x z =-，经过点A 时，直线A 的截距最小，此时z 最大为5， 即25x y -=，()2225a a +-=，得13a =． 3．【答案】D【解析】由n S 与n T 分别是等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和，且723n n S n T n +=+， 不妨设()72n S n n =+，()3n T n n =+，∴()()5545752474265a S S =-=⨯⨯+-⨯+=．()()77677366316b T T =-=⨯+-⨯+=，则576516a b =． 4．【答案】C【解析】设0x >，0y >，12x x +≥，12y y+≥，所以①成立， ()11224y x x y x y x y ⎛⎫++=++≥+=⎪⎝⎭利用柯西不等式，所以②成立，=此时254x +=，显然③不成立，4x y ++≥≥，当x y =时，④成立， 故正确的有三个． 5．【答案】D 【解析】圆(2216x y ++=的圆心为()0，半径为4，且c = 由椭圆和圆都关于x 轴对称，且4MN =，可设2y =，代入圆的方程可得x ==- 由24c <，可得M N ，在第一、四象限，可设)2M，代入椭圆方程得22341a b+=， 又2223c a b ==-，解得3a =，b =则椭圆方程为22196x y +=． 6．【答案】B【解析】如图建立平面直角坐标系，设()30A a ，，()03B b ，，则三等分点()2D a b ，，()2E a b ，，由已知得222222224sin 4cos OD a b OE a b αα⎧=+=⎨=+=⎩，可得()2251a b +=，则AB ==． 7．【答案】B【解析】第一天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：1+1＝2；第二天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：2+0.5＝2.5，两天总和：2+2.5＝4.5，第三天：大老鼠与小老鼠的打洞尺数：4+0.25＝4.25，厚墙5尺，第3天不足打洞尺数， 两鼠在第3天相遇， 故选B ． 8．【答案】B 【解析】化抛物线214y x =为标准形式24x y =， 得它的焦点为()01F ，，准线为1l y =-：，延长PH 交准线于G ，连接PF ，根据抛物线的定义， 得11PA PH PA PG PA PF +=+-=+-，∵PA PF AF +≥，∴当且仅当P A F ，，三点共线时，PA PF AF +=为最小值．∵13AF ==，∴PA PH +的最小值为13112-=．二、填空题 9．【解析】当1c =，ABC △的面积为22222111cos sin 4422a b a b c ab C ab C +-+-===，∴cos sin cos sin 4C C C C C π=⇒=⇒==2222cos c a b ab C =+-22121a b ab =+-≥-，当且仅当a b =时，取等号，∴ab ≤max 11sin 22S ab C === 10．【答案】10【解析】由题意可得()()()2111n n n n n n S a S S S S -=-=--，∴1111n n S S --=，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴11n n n S S n =⇒=，2222log log n n n S n b S n++==， ∴()()22123452log log 61232n n n n T n ++⎡⎤+⎛⎫=⋅⋅⋅⋅=≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦L ，即()()12128n n ++≥， 所以当10n ≥时，满足条件．三、简答题11．【答案】（1）25；（2）90︒． 【解析】（1）由3cos 5ADC ∠=，得4sin 5ADC ∠==， 由3cos 5ADC ∠=，得ADC ∠为锐角，则ADB ∠为钝角，∴B 为锐角， ∵5sin 13B =，∴12cos 13B ==，∴()33sin sin sin cos cos sin 65BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-=∠-∠=，在ADB △中，由正弦定理，得sin sin AD BDB BAD=∠， ∴335331365AD =，解得25AD =． （2）在ADB △中，()4sin sin sin 5ADB ADC ADC ∠=π-∠=∠=， 由正弦定理，得sin sin AB BDADB BAD=∠∠，即33433565AB =，解得52AB =， 由ABC △的面积为480，得1sin 4802AB BC B ⋅⋅⋅=，解得48BC =，∴15DC BC BD =-=．由余弦定理，得20AC ==，在ADC △中，222625AD AC DC =+=， ∴由勾股定理的逆定理可知，90C =︒． 12．【答案】（1）2）81．【解析】（1）依题意知()10F ，，设直线AB 的方程为1x my =+，214x my y x=+⎧⎨=⎩，联立可得244y my =+． 设()11A x y ，，()22B x y ，，124y y m +=，124y y =-； ①因为2AF FB =u u u r u u u r，得122y y =-； ②联立①和②，消去12y y ，，得218m =， 又0m >，则m =AB的斜率是AB k =． （2）由条件有AB CD ⊥，∴直线CD的斜率CD k =； 则直线CD的方程)1y x =-；将直线CD的方程与抛物线的方程联立)214y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得23410x x -+=，设()33C x y ，，()44D x y ，，∴3434x x +=，3434236CD x x p =++=+=， 由（1）知124y y m +==，∴()12125222x x m y y +=++=+=， 则1259222AB x x p =++=+=， 所以1193681222ACBDS AB CD =⋅=⨯⨯=， 故四边形ACBD 的面积为81．13．【答案】（1）2；（2）()a +∞，上单调递增，()0a ，上单调递减． 【解析】（1）∵()ln 1a f x x x =+-（0x >），∴()21a f x x x'=-+， ∵曲线()y f x =在点()()11P f ，处的切线平行于直线1y x =-+， ∴()111k f a '==-+=-，∴2a =． （2）∵()221a x af x x x x-'=-+=（0x >）， ∴当0a ≤时，()0f x '>在()0+∞，上恒成立；当0a >时，令()0f x x a '>⇒>；()00f x x a '<⇒<<， 综上，当0a ≤时，函数()y f x =在()0+∞，上单调递增；当0a >时，函数()y f x =在()a +∞，上单调递增，在()0a ，上单调递减．。
2020届二轮(理科数学)不等式选讲专题卷(全国通用)
2019届二轮（理科数学）不等式选讲专题卷（全国通用）
一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
的解集是
1．不等式|x–1|+|x–2|≥３
A．（–∞，1]∪[2，+∞）B．[1，2]
C．（–∞，0]∪[3，+∞）D．[0，3]
【答案】C
【解析】设f（x）=|x–1|+|x–2|，则f（x）=，
函数y=f（x）的图象如图所示．
，
由图可得，当x≤０或x≥３时，y=|x–1|+|x–2|≥３
故不等式|x–1|+|x–2|≥３
的解集为（–∞，0]∪[3，+∞）故选C．
【名师点睛】含绝对值不等式的解法中，关键是根据自变量的取值化去绝对值，在解决过程中，可以先求出各区间的临界点，划分出不同的区间，再依次化简绝对值不等式.
2．若关于的不等式的解集为，则实数
A．B．-
C．D．
【答案】B
【解析】则,,。
2020届二轮(理科数学) 不等式 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 不等式 专题卷（全国通用）一、选择题1．若,,a b c 为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若0a b <<，则22a ab b >> C ．若a b <，则11a b> D ．若0a b >>，则b a a b> 2．已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}32x x -<<，则不等式20cx bx a ++>的解集为（ ） A ．1132x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B ．1132x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C ．{}32x x -<<D ．{}32x x x <->或3．若不等式222424mx mx x x +-<+的解集为R ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()2,2- B ．(]2,2-C ．()[),22,-∞-+∞UD ．(],2-∞4．不等式102x x ->-的解集为（ ） A ．()1,2B ．()2,+∞C ．()()2,12,-+∞UD ．()(),12,-∞+∞U5．已知a ，b ∈R ，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B ．a b +>C ．11a b +>D ．2b aa b+≥ 6．当1a <-时，不等式()()013x ax x -≤+-的解集是（ ）A ．()[],1,3a -∞-UB ．()[],1,3a -∞-UC ．()(),1,3a -∞-UD ．(](),1,3a -∞-U 7．若不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，则a 的取值范围是（ ）A ．23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．23,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．()1,+∞D ．23,5⎛⎫-∞-⎪⎝⎭8．国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实现征收附加税政策．现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k 元(称为税率%k )，则每年的产销量将减少10k 万瓶．要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k 的取值范围为（ ） A ．[]2,8 B ．()2,8C ．()4,8D ．()1,7二、填空题9．若x ，y 满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是________．10．已知,x y +∈R ，若222x y +=，则x y +的最大值为________．三、简答题11．已知a b ≠，求证：()2242a b b a b +>+．12．某新成立的汽车租赁公司今年年初用102万元购进一批新汽车，在使用期间每年有20万元的收入，并立即投入运营，计划第一年维修、保养费用1万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加1万元，该批汽车使用后，同时该批汽车第(),20x x x ∈≤*N 年底可以以1302x ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元的价格出售．（1）求该公司到第x 年底所得总利润y (万元)关于x (年)的函数解析式，并求其最大值； （2）为使经济效益最大化，即年平均利润最大，该公司应在第几年底出售这批汽车?说明理由．13．设函数()22c f x a x x b=+- (a ，b ，c 为常数，且0a >，0c >)．（1）当1a =，0b =时，求证：()2f x c ≥；（2）当1b =时，如果对任意的1x >都有()f x a >恒成立，求证：21a c +>．答案一、选择题 1．【答案】B【解析】选项A ，当0c =时不成立；选项B ，∵0a b <<，∴22a ab b >>，正确；选项C ，取1a =-，2b =，11a =-，112b =，则11a b >不成立； 选项D ，若0a b >>，则b aa b<，因此不正确．2．【答案】B【解析】由不等式20ax bx c ++>的解集为{}32x x -<<，得0a <，且方程20ax bx c ++=的两个根分别为3-，2．由韦达定理得1b a -=-，6ca=-，所以20cx bx a ++>可化为260ax ax a -++>， 化简得2610x x -->，即()()31210x x +->，解得13x <-或12x >，即不等式20cx bx a ++>的解集为1132x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． 3．【答案】B【解析】222424mx mx x x +-<+可化为()()224240m x m x -+-+>，当2m =时，不等式为40>恒成立；当2m ≠时，不等式的解集为R ；当2m ≠时，则()()220421620m m m ->⎧⎪⎨---<⎪⎩，解得22m -<<， 综上有22m -<≤． 4．【答案】D 【解析】不等式102x x ->-等价于()()120x x -->，所以2x >或1x <，故选D ． 5．【答案】D【解析】因为222a b ab +≥，当且仅当a b =时，等号成立，所以A 错误； 对于D ，因为0ab >，所以2b a a b +≥=，故D 正确；对于B ，C ，当0a <，0b <时，明显错误． 6．【答案】D【解析】当1a <-时，不等式()()013x ax x -≤+-等价于()()()130x a x x -+-≤，且30x -≠，10x +≠，解得x a ≤或13x -<<， 故不等式的解集为(](),1,3a -∞-U ． 7．【答案】A【解析】∵关于x 的不等式220x ax +->在区间[]1,5上有解，∴2a x x >-，[]min21,5x a x x ⎛⎫∈⇒>- ⎪⎝⎭，[]1,5x ∈． ∵函数()2f x x x =-在[]1,5x ∈单调递减，∴当5x =时，函数()f x 取得最小值235-． ∴实数a 的取值范围为23,5⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 8．【答案】A【解析】设产品销量为每年x 万瓶，则销售收入每年70x 万元，从中征收的税金为70%x k ⋅万元，其中10010x k =-．由题意，得()7010010%112k k -⋅≥，整理得210160k k -+≤，解得28k ≤≤．二、填空题 9．【答案】3【解析】满足约束条件11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩的平面区域如下图所示：由图易得，当2x =，1y =-时，目标函数2z x y =+的最大值为3． 10．【答案】2【解析】∵222x y xy +≥，∴()()2222222x y x y xy x y +≥++-+，即()222x y ⨯≥+，即()24x y +≤，∴2x y +≤，当且仅当1x y ==时等号成立，即x y +的最大值是2．三、简答题11．【答案】证明见解析． 【解析】证明：()()2222222224242222a b b a b a b ab b a ab b a b b +-+=+--=-+=-+，∵a b ≠，∴()20a b ->，20b ≥，∴()220a b b -+>，即()2242a b b a b +>+．12．【答案】（1）见解析；（2）第12年底出售该批汽车．【解析】（1）依题意得()()211120102301972222x x f x x x x x +=--+-=-+-， ∵x ∈*N ，20x ≤，∴当19x =时，()max 2172f x =， ∴该公司到第19年所得的总利润最大，最大值为2172万元．（2）依题意年平均利润为()()17272191922f x x g x x x x x ⎛⎫==--+=-+ ⎪⎝⎭，∵72122x x+≥=，当且仅当2144x =，即12x =时等号成立， ∴该公司在第12年底出售该批汽车时经济效益最大． 13．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）当1a =，0b =时，()2c f x x x=+．①当0x >时，()22c f x x c x≥+≥，当且仅当x c =时，上式取“=”号；②当0x <时，则0x ->，()()()222c c f x x x c x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪-⎝⎭，当且仅当x c =-时，上式取“=”号， 综上，()2f x c ≥．（2）当1b =时，()221c f x a x x =+-对任意的1x >都有()f x a >恒成立，则()min f x a >．∵1x >，∴()()2222121c f x a x a ac a x =-++≥+-， 当且仅当()2211c a x x -=-，即()11c x a=+>时，()f x 取得最小值22ac a +，∴22ac a a +>， 又0a >，∴21a c +>．。
2020届二轮(理科数学) 不等式 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 不等式专题卷（全国通用）1．已知a ，b ，c 满足a b c <<，且0ac <，则下列选项中不能恒成立的是（ ） A ．a b c c < B ．0b c a -> C ．0c a ac -< D ．22b a c c > 2．若a b >，c d >，则下列不等式中恒成立的是（ ）A ．a b d c >B ．ac bd >C ．a c b d +>+D ．a c b d ->- 3．若关于x 的不等式230ax x b -+<的解集为{}|12x x <<，则实数,a b 的值是（ ）A ．1,2a b ==B ．2,1a b ==C ．1,2a b =-=D ．2,1a b ==- 4．点(1,0)与(2,5)位于10mx y +-=异侧，则m 的范围是（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(1,)-+∞D ．(,2)-∞5．设x 、y 满足约束条件20x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A ．0B ．2C ．3D ．4 6．若正数,a b 满足211a b +=，则4821a b +--的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C．D ．16 7．已知关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，则k 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞+∞UD ．()[),01,-∞+∞U 8．设,x y +∈R ，()11()x y a x y++≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16二、填空题9．已知实数,x y 满足00220x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，目标函数z ax y =+的最大值为2，则实数a 的取值范围是__________．10．正数,a b 满足192a b+=，若不等式23620a b x x m +≥-+-+对任意实数(1,2]x ∈恒成立，则实数m 的取值范围_____．三、简答题11．已知x ∈R ，比较24216x x -+与236x x +的大小．12．已知23{|1}1x A x x -=≤-，()2{10}B x x a x a =-++≤． （1）若12a =，求A B U ； （2）若A B Ü，求实数a 的取值范围．13．家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有8000个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有1300个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润?答案一、选择题1．【答案】D【解析】∵a b c <<，且0ac <，∴0a c <<，而b 与0的大小关系不确定， ∴a b c c <，0b c a ->，0c a ac-<均正确，而2b c 与2a c 的大小关系不确定． 故选D ．2．【答案】C【解析】因为a b >，c d >，由不等式的性质可得a c b d +>+，故C 正确； 令2a =，1b =，1c =-，2d =-，所以1a d =-，1b c =-，所以a b d c =，故A 错；2ac bd =-=，故B 错；3a c b d -==-，故D 错，故选C ．3．【答案】A【解析】∵不等式230ax x b +<﹣的解集为{}|12x x <<， ∴312120a b a a ⎧+=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪>⎪⎪⎩，解得1a =，2b =，故选A ． 4．【答案】A【解析】由题点(1,0)与(2,5)位于10mx y +-=异侧，将两点分别代入直线方程中， 则()()12510m m -+-<，即()()1240m m -+<，21m ∴-<<， 故选A ．5．【答案】C【解析】作出不等式组20x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分区域表示：联立2x y y x+=⎧⎨=⎩，得1x y ==，可得点A 的坐标为()1,1． 平移直线2z x y =+，当该直线经过可行域的顶点A 时，直线2z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，故选C ．6．【答案】B【解析】∵211a b +=，0a >，0b >，∴2a >，1b >，2a b ab +=， ∴484(1)8(2)8420421021(2)(1)22b a a b a b a b a b ab a b -+-+-+===+-------+21222(2)()102(5)102(5108a b a b a b b a =++-=++-≥+-=， 当且仅当22a b b a=，即3a b ==时，等号成立， ∴4821a b +--的最小值是8，故选B ． 7．【答案】A【解析】当0k =时，不等式2680kx kx k -++≥可化为80≥，其恒成立，当0k ≠时，要满足关于x 的不等式2680kx kx k -++≥对任意x ∈R 恒成立，只需()2036480k Δk k k >⎧⎨=-+≤⎩，解得01k <≤， 综上可知：k 的取值范围是[]0,1，故选A ．8．【答案】B【解析】由于()11()224x y x y x y y x ++=++≥+=，当且仅当1x y ==时等号成立，而()11,,()x y x y a x y+∈++≥R 恒成立， 故4a ≤，也即a 的最大值为4，故选B ．二、填空题9．【答案】(,2]-∞【解析】作出可行域如下：将目标函数z ax y =+变为直线方程的斜截式为y ax z =-+，所以直线y ax z =-+在y 轴上的截距的最大值为2，当斜率0a -≥，即0a ≤时，由图可知最优解为(0,2)A ，将最优解的坐标代入目标函数022z =+=符合；当斜率0a -<，即0a ≥时，要使最优解为(0,2)A 必须有2a -≥-，即2a ≤，所以02a ≤≤，综上所述，实数a 的取值范围是(,2]-∞，故答案为(,2]-∞．10．【答案】15m ≥【解析】因为190,0,2a b a b>>+=，所以(119191()()(10)108222b a a b a b a b a b +=+⋅+=++≥+=， 所以283620x x m ≥-+-+对任意实数(1,2]x ∈恒成立，即23612m x x ≥-++对任意实数(1,2]x ∈恒成立，又因为2236123(1)15x x x -++=--+在(1,2]x ∈时，212361215x x ≤-++<， 所以15m ≥，故填15m ≥．三、简答题11．【答案】22421636x x x x -+≥+．【解析】()22224216(36)81640x x x x x x x -+-+=-+=-≥， 22421636x x x x ∴-+≥+．12．【答案】（1）122A B x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭U ；（2）2a ≥． 【解析】（1）若12a =，则{}23{|1}|121x A x x x x -=≤=<≤-， 2311{|0}{|1}222B x x x x x =-+≤=≤≤， 1{|2}2A B x x ∴=≤≤U ． （2）()()()210{|}{|10}B x x a x a x x x a =-++≤=--≤，A B Q Ü，所以必有1a >，{|1}B x x a ∴=≤≤，2a ∴≥．13．【答案】安排生产200把椅子，900张桌子时，利润最大为21000元．【解析】设每天生产桌子x 张，椅子y 张，利润总额为p ，目标函数为1520p x y =+， 则4880002130000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，作出可行域：把直线:340l x y +=向右上方平移至l '的位置时，直线经过可行域上的点B ，此时1520p x y =+取最大值，解方程48800021300x y x y +=⎧⎨+=⎩，得B 的坐标为()200900，． 152002090021000p =⨯+⨯=．。
2020届二轮(理科数学) 选考部分 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）选考部分专题卷（全国通用） (2) 1不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是()A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}f(x)=|x+3|+|x-2|={-2x-1,x<-3,5,-3≤x<2,2x+1,x≥2,则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.2某人要买房,随着楼层的升高,上下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n 层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为9n,则此人应选() A.1楼 B.2楼 C.3楼 D.4楼n层总的不满意程度为f(n),则f(n)=n+9n ≥2√9=2×3=6,当且仅当n=9n,即n=3时,等号成立.3设a1≤a2≤…≤a n,b1≤b2≤…≤b n为两组实数,S1=a1b n+a2b n-1+…+a n b1,S2=a1b1+a2b2+…+a n b n,则 ()A.S1>S2B.S1<S2C.S1≥S2D.S1≤S2,得顺序和≥反序和,即S1≤S2.4已知m,n∈R,则1m >1n成立的一个充要条件是()A.m>0>nB.n>m>0C.m<n<0D.mn(m-n)<0>1n ⇔1m−1n>0⇔n-mmn>0⇔mn(n-m)>0⇔mn(m-n)<0.5已知a,b∈R,且a>b,下列不等式:①ba>b-1a-1;②(a+b)2>(b+1)2;③(a−1)2>(b−1)2.其中不成立的是.6若f(x)=3x2-x+1,g(x)=2x2+x-1,则f(x)与g(x)的大小关系是.(x)-g(x)=3x2-x+1-(2x2+x-1)=x2-2x+2=(x-1)2+1≥1>0,所以f(x)>g(x).(x)>g(x)7若a>0,b>0,则下列两式的大小关系为:l g(1+a+b2)12[lg(1+a)+lg(1+b)].+a)+lg(1+b)]=12lg[(1+a)(1+b)]=lg[(1+a)(1+b)]12,l g(1+a+b2)=lg(a+b+22).∵a>0,b>0,∴a+1>0,b+1>0.∴[(a+1)(1+b)]12≤a+1+b+12=a+b+22,当且仅当a=b时,等号成立.∴l g(1+a+b2)≥lg[(1+a)(1+b)]12,即l g(1+a+b2)≥12[lg(1+a)+lg(1+b)].8已知a>0,b>0,且a+b=1,则1a +1b+1ab与8的大小关系是.a>0,b>0,且a+b=1,所以1=a+b≥2√>0,ab ≥2,于是得1ab≥4.又1a +1b+1ab=a+b+1ab=2ab=2·1ab≥8,故1a +1b+1ab≥8.+1b +1ab≥89(用分析法证明)已知a>6,求证:√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.√a-3−√a-4<√a-5−√a-6,只需证√a-3+√a-6<√a-4+√a-5,只需证√<√,只需证(a-3)(a-6)<(a-4)(a-5),只需证a2-9a+18<a2-9a+20,只需证18<20,显然成立,所以当a>6时,√a-3−√a-4<√a-5−√a-6.能力提升1已知实数a,b,c满足a<b,且c≠0,则下列不等式一定成立的是()A.1a >1bB.a2>b2C.ac<bcD.ac2<bc2a,b,c满足a<b且c≠0,对于选项A,取a=-2,b=1,可知不成立.对于选项B,取a=1,b=2,可知不成立.对于选项C,取a=-2,b=1,c=-1,可知不成立.由c2>0,知ac2<bc2.故D成立.2已知0<a<1b ,且M=11+a+11+b,N=a1+a+b1+b,则M,N的大小关系是.方法一)M-N=1+1−a−b=1-a1+a+1-b1+b=2(1-ab)(1+a)(1+b).由已知可得a>0,b>0且ab<1, ∴1-ab>0.∴M-N>0,即M>N.(方法二)MN =2+a+ba+b+2ab.∵0<a<1b,∴0<ab<1.∴0<2ab<2,∴0<a+b+2ab<a+b+2.∴2+a+ba+b+2ab>1.又M>0,N>0,∴M>N.3若a>b>0,m>0,n>0,则ab ,ba,b+ma+m,a+nb+n按由小到大的顺序排列为.a>b>0,m>0,n>0,知ba <b+ma+m<1,且ba<b+na+n<1,所以ab>a+nb+n>1,即1<a+nb+n<a b .<b+ma+m <a+nb+n<ab★4若-1<a<2,-2<b<1,则a-|b|的取值范围是.-2<b<1,∴0≤|b|<2.∴-2<-|b|≤0.∵-1<a<2,∴-3<a-|b|<2.-3,2)5若x∈R,试比较(x+1)(x2+x2+1)与(x+12)(x2+x+1)的大小.(x+1)(x2+x2+1)=(x+1)(x2+x+1-x2)=(x+1)(x2+x+1)−x2(x+1),(x +12)(x2+x +1)=(x +1-12)(x2+x +1) =(x+1)(x 2+x+1)−12(x2+x +1),∴(x+1)(x 2+x 2+1)−(x +12)(x2+x +1)=(x+1)(x 2+x+1)−x 2(x +1)−(x +1)(x2+x +1)+12(x2+x +1)=12(x2+x +1)−12(x2+x)=12>0. ∴(x+1)(x 2+x 2+1)>(x +12)(x2+x +1).6若已知二次函数y=f (x )的图象过原点,且1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4.求f (-2)的取值范围.二次函数y=f (x )的图象过原点,∴可设f (x )=ax 2+bx (a ≠0).∴{f (1)=a +b ,f (-1)=a -b . ∴{a =12[f (1)+f (-1)],b =1[f (1)-f (-1)]. ∴f (-2)=4a-2b=3f (-1)+f (1).∵1≤f (-1)≤2,3≤f (1)≤4,∴6≤f (-2)≤10,即f (-2)的取值范围是[6,10].★7已知x ,y ∈R . (1)比较(13x +23y)2与13x2+23y2的大小;(2)当p ,q 都为正数,且p+q=1时,试比较代数式(px+qy )2与px 2+qy 2的大小.)(13x +23y)2−(13x 2+23y 2)=−29x2−29y2+49xy=−29(x2+y2−2xy)=−29(x −y)2≤0,所以(13x+23y)2≤13x2+23y2.(2)(px+qy)2-(px2+qy2)=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0.所以(px+qy)2≤px2+qy2,当且仅当x=y时,不等式中的等号成立.。
2020届二轮(理科数学) 数列与不等式 专题卷(全国通用)
回顾4 数列与不等式[必记知识]1．等差数列设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则(1)a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ，若p ＋q ＝m ＋n ，则a p ＋a q ＝a m ＋a n . (2)a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )⇒a p ＋q ＝0；S m ＋n ＝S m ＋S n ＋mnd . (3)S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…构成的数列是等差数列．(4)S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2是关于n 的一次函数或常数函数，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．(5)S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （a 2＋a n －1）2＝n （a 3＋a n －2）2＝….(6)若等差数列{a n }的项数为偶数2m (m ∈N *)，公差为d ，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m ＝m (a m ＋a m ＋1)(a m ，a m ＋1为中间两项)，S 偶－S 奇＝md ，S 偶S 奇＝a m ＋1a m.(7)若等差数列{a n }的项数为奇数2m －1(m ∈N *)，所有奇数项之和为S 奇，所有偶数项之和为S 偶，则所有项之和S 2m －1＝(2m －1)a m (a m 为中间项)，S 奇＝ma m ，S 偶＝(m －1)a m ，S 奇－S 偶＝a m ，S 奇S 偶＝m m －1. (8)若S m ＝n ，S n ＝m (m ≠n )，则S m ＋n ＝－(m ＋n )． 2．等比数列 (1)a n ＝a m ·qn －m，a n ＋m ＝a n q m ＝a m q n (m ，n ∈N *)．(2)若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ；反之，不一定成立(m ，n ，p ，q ∈N *)． (3)a 1a 2a 3…a m ，a m ＋1a m ＋2…a 2m ，a 2m ＋1a 2m ＋2…a 3m ，…成等比数列(m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，S kn －S (k －1)n ，…成等比数列(n ≥2，且n ∈N *)．(5)若等比数列的项数为2n (n ∈N *)，公比为q ，奇数项之和为S 奇，偶数项之和为S 偶，则S 偶S 奇＝q . (6){a n }，{b n }成等比数列，则{λa n }，{1a n }，{a n b n }，{a n b n}成等比数列(λ≠0，n ∈N *)．(7)通项公式a n ＝a 1qn －1＝a 1q·q n，从函数的角度来看，它可以看作是一个常数与一个关于n 的指数函数的积，其图象是指数型函数图象上一系列孤立的点．(8)与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数．(9)三个数成等比数列，通常设这三个数分别为x q，x ，xq ；四个数成等比数列，通常设这四个数分别为x q 3，x q，xq ，xq 3.a n[提醒] (1)如果数列{a n }成等差数列，那么数列{A a n }（A a n总有意义）必成等比数列.(2)如果数列{a n }成等比数列，且a n ＞0，那么数列{log a a n }（a ＞0且a ≠1）必成等差数列. (3)如果数列{a n }既成等差数列又成等比数列，那么数列{a n }是非零常数列；数列{a n }是常数列仅是数列{a n }既成等差数列又成等比数列的必要不充分条件.(4)如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原来两个等差数列的公差的最小公倍数.(5)如果由一个等差数列与一个等比数列的公共项顺次组成一个新数列，那么常选用“由特殊到一般”的方法进行讨论，且以等比数列的项为主，探求等比数列中哪些项是它们的公共项，从而分析构成什么样的新数列.3．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小．4．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.5．分式不等式f （x ）g （x ）＞0(＜0)⇔f (x )g (x )＞0(＜0)；f （x ）g （x ）≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0（≤0），g （x ）≠0.[提醒] (1)不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.(2)解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a ＞0，a ＜0进行讨论.(3)应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.6．利用基本不等式求最值(1)对于正数x ，y ，若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p . (2)对于正数x ，y ，若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.(3)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y＝(ax ＋by )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(4)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋by＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.[提醒] 利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：①所求式中的相关项必须是正数.②求积xy 的最大值时，要看和x ＋y 是否为定值，求和x ＋y 的最小值时，要看积xy 是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧.③当且仅当对应项相等时，才能取等号.以上三点应特别注意，缺一不可.[必会结论]1．判断数列单调性的方法(1)作差比较法：a n ＋1－a n ＞0⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1－a n ＜0⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．(2)作商比较法：①当a n ＞0时，则a n ＋1a n ＞1⇔数列{a n }是递增数列；0＜a n ＋1a n＜1⇔数列{a n }是递减数列；a n ＋1a n ＝1⇔数列{a n }是常数列．②当a n ＜0时，则a n ＋1a n＞1⇔数列{a n }是递减数列；0＜a n ＋1a n ＜1⇔数列{a n }是递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列． (3)结合相应函数的图象直观判断． 2．数列中项的最值的求法(1)借用构造法求解：根据数列与函数之间的对应关系，构造函数f (n )＝a n (n ∈N *)，利用求解函数最值的方法进行求解即可，但要注意自变量的取值必须是正整数．(2)利用数列的单调性求解：利用不等式a n ＋1≥a n (或a n ＋1≤a n )求出n 的取值范围，从而确定数列单调性的变化，进而求出数列中项的最值．(3)转化为关于n 的不等式组求解：若求数列{a n }的最大项，则可转化为求解⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1，若求数列{a n }的最小项，则可转化为求解⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1，求出n 的取值范围之后再确定取得最值的项．3．求数列通项公式的常用方法(1)公式法：①等差数列的通项公式；②等比数列的通项公式．(2)已知S n (a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n )，求a n ，用作差法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）.(3)已知a 1·a 2·…·a n ＝f (n )，a n ≠0，求a n ，用作商法：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （1）（n ＝1），f （n ）f （n －1）（n ≥2）.(4)已知a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n ，用累加法：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝f (n －1)＋f (n －2)＋…＋f (1)＋a 1(n ≥2)．(5)已知a n ＋1a n ＝f (n )，求a n ，用累乘法：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝f (n －1)·f (n －2)·…·f (1)·a 1(n ≥2)．(6)构造等比数列法：若已知数列{a n }中，a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0，p ≠1，q ≠0)，a 1≠q1－p，设存在非零常数λ，使得a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，其中λ＝q p －1，则数列{a n ＋qp －1}就是以a 1＋q p －1为首项，p 为公比的等比数列，先求出数列{a n ＋qp －1}的通项公式，再求出数列{a n }的通项公式即可．(7)倒数法：若a n ＝ma n －1k （a n －1＋b ）(mkb ≠0，n ≥2)，对a n ＝ma n －1k （a n －1＋b ）取倒数，得到1a n＝k m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a n －1，即1a n ＝kb m ·1a n －1＋k m .令b n ＝1a n，则{b n }可归纳为b n ＋1＝pb n ＋q (p ≠0，q ≠0)型． 4．数列求和的常用方法(1)公式法：①等差数列的求和公式；②等比数列的求和公式；③常用公式，即1＋2＋3＋…＋n ＝12n (n ＋1)，12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2，n∈N *.(2)分组求和法：当直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中的“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和．(3)倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项的和有共性，则常考虑选用倒序相加法进行求和．(4)错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成的，那么常选用错位相减法将其和转化为“一个新的等比数列的和”，从而进行求解．(5)裂项相消法：如果数列的通项可分裂成“两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和．常用的裂项形式有①1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；②1n （n ＋k ）＝1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋k ；③1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1，1k－1k ＋1＝1（k ＋1）k ＜1k 2＜1（k －1）k ＝1k －1－1k； ④1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）. 5．解不等式恒成立问题的常用方法(1)若所求问题可以化为一元二次不等式，可以考虑使用判别式法求解，利用二次项系数的正负和判别式进行求解，若二次项系数含参数时，应对参数进行分类讨论．(2)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于零的问题，一般的转化原理是：在闭区间D 上，f (x )≥0恒成立⇔f (x )在区间D 上的图象在x 轴上方或x 轴上；f (x )≤0⇔f (x )在区间D 上的图象在x 轴下方或x 轴上．(3)对于含参数的函数在闭区间上的函数值恒大于等于或小于等于常数的问题，即“f (x )≥a ”或“f (x )≤a ”型不等式恒成立问题，通常利用函数最值进行转化，其一般的转化原理是：f (x )≥a 在闭区间D 上恒成立⇔f (x )min ≥a (x ∈D )；f (x )≤a 在闭区间D 上恒成立⇔f (x )max ≤a (x ∈D )．(4)分离参数法：将恒成立的不等式F (x ，m )≥0(或≤0)(m 为参数)中的参数m 单独分离出来，不等号一侧是不含参数的函数，将问题转化为求函数最值的问题，该方法主要适用于参数与变量能分离和函数的最值易于求出的题目，其一般转化原理是：当m 为参数时，g (m )＞f (x )⇔g (m )＞f (x )max ；g (m )＜f (x )⇔g (m )＜f (x )min .[必练习题]1．已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，若a 3＝6，S 3＝12，则公差d ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．53解析：选B.在等差数列{a n }中，S 3＝3（a 1＋a 3）2＝3（a 1＋6）2＝12，解得a 1＝2，又a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ＝6，解得d ＝2，选B.2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＋a 4＝6，则S 5等于( ) A ．10 B ．12 C ．15D ．30解析：选C.由等差数列的性质可得a 2＋a 4＝a 1＋a 5，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝15，故选C.3．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2·a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．－13D ．13解析：选D.设数列{a n }的公比为q ，由a 2·a 6＝9a 4，得a 2·a 2q 4＝9a 2q 2，解得q 2＝9，所以q ＝3或q ＝－3(舍)，所以a 1＝a 2q ＝13.故选D.4．已知数列{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝( ) A ．7 B ．5 C ．－5D ．－7解析：选D.设数列{a n }的公比为q .由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 1q 4×a 1q 5＝a 1q 3×a 1q 6＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝－2，a 1q 6＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝4，a 1q 6＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12.当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q 3＝－2时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝1＋(－2)3＝－7；当⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－8，q 3＝－12时，a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝(－8)×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＝－7.综上，a 1＋a 10＝－7.故选D.5．下列三个不等式：①x ＋1x ≥2(x ≠0)；②c a <c b (a >b >c >0)；③a ＋m b ＋m >ab (a ，b ，m >0且a <b )，恒成立的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B.当x <0时，①不成立；由a >b >c >0得1a <1b ，所以c a <c b 成立，所以②恒成立；a ＋mb ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ），由a ，b ，m >0且a <b 知a ＋m b ＋m －ab>0恒成立，故③恒成立，所以选B.6．若数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列，且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11解析：选B.依题意可设等差数列{b n }的公差为d ，则b 10＝b 3＋7d ＝－2＋7d ＝12，解得d ＝2，所以b n ＝b 3＋(n －3)d ＝2n －8，又b n ＝a n ＋1－a n ，则b 7＝a 8－a 7，b 6＝a 7－a 6，…，b 1＝a 2－a 1，采用累加法可得，b 7＋b 6＋…＋b 1＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋…＋(a 2－a 1)＝a 8－a 1，又易知b 1＋b 2＋…＋b 7＝0，则a 8＝a 1＝3，故选B.7．在各项均不为零的数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝13，2a n a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2＋a n a n ＋1(n ∈N *)，则a 2 018＝( )A ．14 033B ．14 034C ．14 035D ．14 037解析：选C.因为2a n a n ＋2＝a n ＋1a n ＋2＋a n a n ＋1(n ∈N *)，所以2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，其公差d ＝1a 2－1a 1＝2，所以1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，a n ＝12n －1，所以a 2 018＝14 035.8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≥1，21－x －2，x ＜1，则不等式f (x －1)≤0的解集为________．解析：由题意，得f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2－2，x ≥2，22－x －2，x ＜2，当x ≥2时，由2x －2－2≤0，解得2≤x ≤3；当x ＜2时，由22－x－2≤0，解得1≤x ＜2.综上所述，不等式f (x －1)≤0的解集为{x |1≤x ≤3}．答案：[1，3]9．已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝3na n －12a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则通项公式a n ＝________．解析：由a n ＝3na n －12a n －1＋n －1⇒n a n ＝13·n －1a n －1＋23，令n a n ＝b n ，则b n ＝13·b n －1＋23⇒b n －1＝13·(b n－1－1)，由a 1＝32，得b 1－1＝－13，所以{b n －1}是以－13为首项，13为公比的等比数列，所以b n －1＝－13·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1，得a n ＝n b n ＝n ·3n3n －1.答案：n ·3n3n－110．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝1，a n a n ＋1＝3n，则S 2 017＝________． 解析：由a n a n ＋1＝3n，得a n －1a n ＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＋1a n －1＝3(n ≥2)，则数列{a n }的所有奇数项和偶数项均构成以3为公比的等比数列，又a 1＝1，a 1a 2＝3，所以a 2＝3，所以S 2 017＝1×（1－31 009）1－3＋3×（1－31 008）1－3＝31 009－2.答案：31 009－2。
2020届二轮(理科数学) 一元二次不等式的应用 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学） 一元二次不等式的应用 专题卷（全国通用）1．(2018·河北张家口质检，3)对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4＜0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2，2)D ．(－2，2]1．D 当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0，4（a －2）2＋16（a －2）＜0， 解得－2＜a ＜2，∴－2＜a≤2.故选D.2．(2018·天津河东一模，7)在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y)，若对任意x ＞2，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，7]B ．(－∞，3]C ．(－∞，7]D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)2．C 由题意可知，不等式(x －a)⊗x≤a ＋2可化为(x －a)(1－x)≤a ＋2，即x －x 2－a ＋ax≤a ＋2，则a≤x 2－x ＋2x －2对x ＞2都成立，即a≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－x ＋2x －2min(x ∈(2，＋∞))， 由于x 2－x ＋2x －2＝(x －2)＋4x －2＋3 ≥2（x －2）·4x －2＋3＝7(x ＞2)， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立， ∴a≤7，故选C.3．(2018·安徽合肥模拟，6)“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(1，2)，得a ⎝⎛⎭⎫1x 2＋b ⎝⎛⎭⎫1x ＋c ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1，即关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式b x ＋a ＋x ＋b x ＋c ＜0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －b x －c＞0的解集为( ) A ．(－1，1)B.⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 3．B 根据题意，由b x ＋a ＋x ＋b x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－13∪⎝⎛⎭⎫12，1， 得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c＜0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1， 即b x －a －x －b x －c＞0的解集为 ⎝⎛⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎭⎫13，1. 故选B.4．(2018·江苏苏州一模，11)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x≥0，1，x ＜0则满足不等式f(1－x 2)＞f(2x)的x 的取值范围是________．4．【解析】 当x ＝－1时，无解．当－1＜x ＜0时，1－x 2＞0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞1，恒成立．当0≤x≤1时，1－x 2≥0，2x≥0，f(1－x 2)＞f(2x)化为(1－x 2)2＋1＞(2x)2＋1，即1－x 2＞2x ，(x ＋1)2＜2，∴0≤x ＜2－1.当1－x 2＜0时，无解．综上可知－1＜x ＜2－1.【答案】 (－1，2－1)5．(2018·重庆模拟，14)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．5．【解析】 因为不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，所以Δ＝64sin 2α－32cos 2α≤0，即64sin 2α－32＋64sin 2α≤0， 解得－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π. 所以α∈⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 【答案】 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 6．(2018·山东青岛模拟，15)已知a 为正的常数，若不等式1＋x ≥1＋x 2－x 2a对一切非负实数x 恒成立，则a 的最大值为________．6．【解析】 原不等式可化为x 2a ≥1＋x 2－1＋x ，令1＋x ＝t ，t≥1，则x ＝t 2－1.所以（t 2－1）2a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t≥1恒成立，所以（t ＋1）2a ≥12对t≥1恒成立．又a 为正的常数，所以a≤[2(t ＋1)2]min ＝8，故a 的最大值是8.【答案】 8【点击高考】1．(2018·课标Ⅰ，1，易)设集合A ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x|2x －3>0}，则A∩B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－32B.⎝⎛⎭⎫－3，32 C.⎝⎛⎭⎫1，32 D.⎝⎛⎭⎫32，32．(2018·课标Ⅲ，1，易)设集合S ＝{x|(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x|x>0}，则S∩T ＝( )A ．[2，3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0，2]∪[3，＋∞)2．D S ＝{x|x≤2或x≥3}，T ＝{x|x>0}，∴S∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞)．3．(2018·天津，4，易)设x ∈R ，则“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．A 由|x －2|＜1⇔－1＜x －2＜1⇔1＜x ＜3.由x 2＋x －2＞0⇔x ＜－2或x ＞1.而(1，3)(－∞，－2)∪(1，＋∞)，所以“|x －2|＜1”是“x 2＋x －2＞0”的充分而不必要条件，故选A.4．(2018·安徽，6，中)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( ) A.{}x |x<－1或x>－lg 2B.{}x |－1<x<－lg 2C.{}x |x>－lg 2D.{}x |x<－lg 2 4．D ∵f(x)<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x<－1或x>12， ∴f(x)>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－1<x<12. ∴由f(10x )>0得，－1<10x <12，解得x<－lg 2. 5．(2018·陕西，9，中)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30]6．(2018·天津，8，难)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|)，设关于x 的不等式f(x ＋a)<f(x)的解集为A.若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0B.⎝⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 6．A 由题意可得0∈A ，即f(a)<f(0)＝0，所以a(1＋a|a|)<0，当a>0时无解，所以a<0，此时1－a 2>0，所以－1<a<0.抛物线的对称轴x ＝12a ，x ＝－12a之间的距离大于1，而[x ＋a ，x]的区间长度小于1，所以不等式f(x ＋a)<f(x)的解集是⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a 2，所以 ⎣⎡⎦⎤－12，12⊆⎝⎛⎭⎫12a －a 2，－12a －a 2， 所以⎩⎨⎧12a －a 2<－12，－12a －a 2>12， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －1<0，a 2＋a ＋1>0， 解得1－52<a<1＋52，又－1<a<0， 所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0. 7．(2018·浙江，17，难)设a ∈R ，若x ＞0，均有[(a －1)x －1]·(x 2－ax －1)≥0，则a ＝________.7．【解析】 (1)当a ＝1时，不等式可化为对∀x ，x>0时均有x 2－x －1≤0，由二次函数的图象知，显然不成立，∴a≠1.(2)当a<1时，∵x>0，∴(a －1)x －1<0，则不等式可化为x>0时均有x 2－ax －1≤0.∵二次函数y ＝x 2－ax －1的图象开口向上，∴不等式x 2－ax －1≤0在x ∈(0，＋∞)上不能恒成立，∴a<1不成立．(3)当a>1时，令f(x)＝(a －1)x －1，g(x)＝x 2－ax －1，两函数的图象均过定点(0，－1)．∵a>1，∴f(x)在x∈(0，＋∞)上单调递增，且与x 轴交点为⎝⎛⎭⎫1a －1，0，即当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a －1时，f(x)<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a －1，＋∞时，f(x)>0.又∵二次函数g(x)＝x 2－ax －1的对称轴为x ＝a 2>0，则只需g(x)＝x 2－ax －1与x 轴的右交点与点⎝⎛⎭⎫1a －1，0重合，如图所示，则命题成立，即⎝⎛⎭⎫1a －1，0在g(x)图象上，所以有⎝⎛⎭⎫1a －12－a a －1－1＝0，整理得2a 2－3a ＝0，解得a ＝32，a ＝0(舍去)．综上可知a ＝32. 【答案】 32。
2020届高考数学(理)二轮强化专题卷(7)不等式+Word版含答案
（7）不等式1、设0.22log 0.3,log 0.3a b ==,则( ) A.0a b ab +<< B.0ab a b <+< C.0a b ab +<<D.0ab a b <<+2、若实数0a b <<，则下列不等式中正确的是（ ）A.11a b <B. b a >C. 2a bb a +> D. 2ab b <3、若,a b c d >>，则下列不等式不一定成立．．．．．的是（ ） A.a b d c ->- B.a b d c +>+ C.a c b c ->-D.a c a d -<- 4、不等式2340x x -++<的解集为（ ） A.{}1|4x x -<< B.1{}4|x x x <->或 C.4{}1|x x x <->或D.{}4|1x x -<<5、不等式2(2)(2)10a x a x -+-+>对一切R x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[)2,6B.(2,6)C.(],2(6,)-∞⋃+∞D.(,2)(6,)-∞⋃+∞6、不等式111x ≤-的解集为( ) A.()[),12,-∞⋃+∞B. (](),01,-∞⋃+∞C. (]1,2D. [)2,+∞7、如果对于正数a ,满足35a a >,那么( )A. 2< B. 0.10.2a a <C. a a <D. 0.10. 2a a -->8、已知,x y 满足10240220x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，如果目标函数1y z x m +=-的取值范围为[0,2),则实数m 的取值范围是（ ）A ．1[0,]2B ．1(,]2-∞C ．1(,)2-∞D ．(,0]-∞9、所有，未经书面同意，不得复制发布设x y ，满足约束条件210100x y x y m --≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若目标函数2z x y ＝﹣的最小值大于-5，则m 的取值范围为（ ）A ．11(1,)3- B ．11(3,)3- C ．[3,2)- D ．(,2)-∞10、若两个正实数x y 、，满足141x y +=，且不等式234yx m m +<-有解，则实数m 的取值范围是( ) A.()1,4-B.()(),14,-∞-⋃+∞C.()4,1-D.()(),03,-∞⋃+∞11、已知,,,a b c d 均为实数,有下列命题:①若0,0ab bc ad >->,则0c da b->;②若0,0c dab a b>->,则0bc ad ->;③若0,0c dbc ad a b->->,则0ab >.其中正确的命题是_________.12、若函数2()lg(2)f x ax x a =-+的定义域为R ,则实数a 的取值范围为__________. 13、已知14x>0y>0x+y=+x y，，，则x+y 的最小值为__________.14、某加工厂用某原料由甲车间加下A 产品,由乙车间加工B 产品.甲车间用一箱原料可加工出7千克A 产品,需耗费工时10小时,每千克A 产品获利40元;乙车间用一箱原料可加工出4千克B 产品, 需耗费工时6小时,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时,那么要满足上述的要求,并且获利最大,甲、乙两车间应当各加工多少箱原料? 15、已知二次函数2()1(R)f x x kx k =-+∈．(1).若()f x 在区间[2)+∞，上单调递增，求实数k 的取值范围； (2).若2k =，当[1,1]x ∈-时，求(2)x f 的最大值；(3).若()0f x ≥在(0)x ∈+∞，上恒成立，求实数k 的取值范围答案以及解析1答案及解析： 答案：B解析：∵0.22log 0.3,log 0.3a b ==,∴0.30.311log 0.2,log 2a b ==, ∴0.311log 0.4a b +=, ∴1101a b <+<,即01a b ab+<<.又∵0,0a b ><, ∴0ab <,即0ab a b <+<. 故选B.2答案及解析： 答案：C解析：令1b =-，2a =-，则C 正确，A ，B ，D 错误。
2020届二轮(理科数学) 数列 不等式 专题卷(全国通用)
2020届二轮（理科数学）数列 不等式 专题卷（全国通用）一、选择题1．在空间直角坐标系中，点A 的坐标为(1,2,3)，则它关于y 轴的对称点A '的坐标为（ ） A ．(1,2,3)--B ．(1,2,3)---C ．(1,2,3)-D ．(1,2,3)--2．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且36S =，972S =，则9a =（ ） A ．12B ．14C ．16D ．183．已知两个正数x ，y 满足1142x y+=，则42x y +的最小值为（ ） A ．74B ．2C ．94D ．524．对于以1F ，2F 为公共焦点的椭圆E 和双曲线C ，设P 是它们的一个公共点，1e ，2e 分别为它们的离心率，若12F PF △是以1F 为顶点的等腰三角形，则1211e e +的值为（ ） A ．4B ．3C ．2D5．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45A =︒，30B =︒，2c =，则a =（ ） AB．C．2-D．2+6．设1F ，2F 是双曲线22154x y -=的两个焦点，P 在双曲线上，当12F PF V 的面积为12时，12F PF ∠的余弦值为（ ） ABC ．35D ．457．已知点P 是抛物线24y x =上的动点，抛物线的焦点为F ，点(4,1)A ，则PA PF ＋的最小值是（ ）A ．72B ．4C ．92D ．58．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45A =︒，b =，2c =，则a =（ ） A．B ．3CD．二、填空题9．数列3n a n =，若28,,a m a 成等比数列，则m 的值为_________． 10．设ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且4cos 4c bB a+=，2a =， 则ABC △的面积S 的取值范围为__________．三、简答题11．在首项为2且各项均不相等的等差数列{}n a 中，1a ，3a ，11a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若11(1)(1)n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项和n T ．12．在ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若(cossin )22B B =-+m ，(cossin )22B B =+-n ，且12⋅=m n ． （1）求角B 的大小；（2）若ABC △面积S 为6a c +=，求b 的值．13．已知抛物线2:4C x y =，过(0,1)点的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，圆M 以线段AB 为直径．（1）证明：圆M 与直线1y =-相切；（2）当圆M 过点(2,3)P ，求直线l 与圆M 的方程．答案一、选择题 1．【答案】A【解析】点A 的坐标为(1,2,3)，关于y 轴的对称点A '的坐标为(1,2,3)--． 2．【答案】C【解析】329536,972S a S a ====，所以252,8,2a a d ===，95416a a d =+=． 3．【答案】C【解析】1111221942()(42)(41)(542444y x x y x y x y x y +=++=+++≥+=， 当且仅当22y x x y =即38x y ==时成立． 4．【答案】C【解析】设椭圆方程是2222111x y a b +=，双曲线方程是2222221x y a b -=，由定义可得1212PF PF a +＝，1222PF PF a ﹣＝（令12PF PF >），12F PF △为等腰三角形，所以有12PF c =，所以有21222222PF a c PF a c +-⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，两式相加有12422c a a =+，即有122a a c c+＝，即12112e e +=．5．【答案】C【解析】180105C A B =︒--=︒，sin105sin 60cos 45sin 45cos 60︒=︒︒+︒︒=，由正弦定理可得sin 2sin c Aa C⋅===． 6．【答案】D【解析】双曲线22154x y -=的两个焦点坐标为1(3,0)F -，2(3,0)F ，设P 的坐标为(,)x y ，由12F PF V 的面积为12，16122y ⨯⨯=∴，4y =， 代入双曲线方程，解得5x =，不妨取(5,4)P ，则12(8,4),(2,4)PF PF =--=--uuu r uuu r，1212124cos 5PF PF F PF PF PF ⋅∠===⋅uuu r uuu r uuu r uuu r ． 7．【答案】D【解析】过点P 作抛物线准线1x =-的垂线，垂足为M ，交y 轴于点N ， 结合抛物线的定义则有1PF PM PN =+＝，1PA PF PA PN =+＋＋， 当,,P A N 三点共线时，即(0,1)N ，1(,1)4P ，此时PA PF ＋有最小值， 即15PA PF PA PN =+=＋＋． 8．【答案】C【解析】由余弦定理可得2222cos 1841210a b c bc A =+-=+-=，所以a =．二、填空题 9．【答案】12±【解析】28326,3824a a =⨯==⨯=，12m ==±． 10．【答案】 【解析】2224cos 42c b a c b B a ac ++-==，所以有22224222c bc a c b +=+-， 整理可有222222c b a bc +-=-，即可得222124c b a bc +-=-，即1cos 4A =-，所以sin A =．又2222cos a b c bc A =+-，即22142b c bc =++，而221522b c bc bc ++≥， 所以85bc ≤，118sin 225S bc A =≤⨯=， 所以ABC △面积S的取值范围为．三、简答题11．【答案】（1）31n a n =-；（2）99n nT n =+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1a ，3a ，11a 成等比数列可得23111a a a =⋅，即有2(22)2(210)d d +=+，解得3d =或0d =（舍）， 所以有1(1)31n a a n d n =+-=-． （2）由（1）可得111(1)(1)9(1)n n n b a a n n +==+++，1231111[]91223(1)n n T b b b b n n =++++=+++⨯⨯+L L 11111111[(1)()()](1)922319199nn n n n =-+-++-=-=+++L ． 12．【答案】（1）2π3B =；（2）b =．【解析】（1）(cos sin )(sin )2222B B B B⋅=+++-m n 22cos 23sin cos 122B BB =-+-=+，所以有1cos 2B =-，可得2π3B =．（2）由正弦定理可得1sin 2S ac B ==，所以有8ac =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得22()28b a c ac =+-=，b =． 13．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析．【解析】（1）直线l 过抛物线C 的焦点，且交抛物线于A ，B 两点，所以直线的斜率一定存在，可设直线为1y kx =+，与抛物线联立有2440x kx --=，124x x k +=，124x x ⋅=-，则有21212()244AB y y p k x x p k =++=+++=+，圆M 的半径为222k +，AB 的中点即圆M 的圆心为2(2,21)k k +，圆心到直线1y =-的距离为222k +，等于圆M 的半径， 所以有圆M 与直线1y =-相切．（2）由（1）知圆M 的方程可写为22222(2)(21)(22)x k y k k -+--=+，把点(2,3)P 代入后得23210k k +-=，解得1k =-或13k =． 当1k =-时，直线l 的方程为10x y +-=，圆M 的方程22(2)(3)16x y ++-=； 当13k =时，直线l 的方程为330x y -+=，圆M 的方程22211400()()3981x y -+-=．。
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2020届二轮（理科数学）
不等关系与不等式 专题卷（全国通用）
1．当m >2时，m m 与2m 的大小关系是( ) A ．m m >2m B ．m m ＜2m C ．m m ＝2m D ．无法确定
【答案】A
【解析】由于m m
>0,2m
>0，故可采用作商法.m m 2m ＝⎝⎛⎭⎫m 2m .∵m >2，∴m 2
>1，∴⎝⎛⎭⎫m 2m >1，即m m >2m
. 2．已知a ＜b ＜0，则下列不等式中成立的是( ) A ．a
b ＜1
B ．|a |＞－b
C ．1a ＜1b
D ．b 2＞a 2
【答案】B
【解析】∵a ＜b ＜0，令a ＝－3，b ＝－1，∴a b ＝3＞1，故A 错误；1a ＝－13＞－1＝1
b ，故
C 错误；b 2＝1，a 2＝9，故
D 错误．故选B ．
3．若1a <1
b <0，则不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④ab <b 2中，正确的有( )
A ．①②
B ．②③
C ．①④
D ．③④ 【答案】C
【解析】∵1a <1
b <0，∴b <a <0，易得②③不正确．∵a ＋b <0，ab >0，∴a ＋b <ab ，①正确．在
b <a 两边同时乘以b ，∵b <0，∴b 2＞ab ，④正确．故正确的是①④.
4．(2019年吉林长春期末)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．c ≥b ＞a
B ．a ＞c ≥b
C ．c ＞b ＞a
D ．a ＞c ＞b 【答案】A
【解析】∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(2－a )2≥0，∴c ≥b .∵(b ＋c )－(c －b )＝2a 2＋2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＞0，∴b ＞a .故选A ．
5．若x ＝(a ＋3)(a －5)，y ＝(a ＋2)(a －4)，则x 与y 的大小关系是________． 【答案】x ＜y
【解析】x －y ＝(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4)＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7＜0，∴x ＜
y .
6．已知a ，b 为实数且a ≠b ，a ＜0，则a ________2b －b 2
a .(选填“＞”“＜”或“＝”)
【答案】＜
【解析】∵a ≠b ，a ＜0，∴a －⎝⎛⎭⎫2b －b 2
a ＝(a －
b )2
a ＜0，∴a ＜2
b －b 2
a
. 7．有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每艘轮船每天可运输300 t 粮食和250 t 石油，每架飞机每天可运输150 t 粮食和100 t 石油．现在要在一天内运输2 000 t 粮食和1 500 t 石油．写出安排轮船艘数和飞机架数所满足的所有不等关系的不等式．
【解析】设需安排x 艘轮船和y 架飞机，则 ⎩⎪⎨⎪
⎧
300x ＋150y ≥2 000，250x ＋100y ≥1 500，x ，y ∈N ，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
6x ＋3y ≥40，5x ＋2y ≥30，x ，y ∈N .
8．已知－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤1
2，求9x ＋y 的取值范围．
【解析】设9x ＋y ＝a (2x ＋y )＋b (3x ＋y )＝(2a ＋3b )x ＋(a ＋b )y ， 比较两边系数得2a ＋3b ＝9，a ＋b ＝1， 解得a ＝－6，b ＝7.
∵－12≤2x ＋y ≤12，－12≤3x ＋y ≤1
2，
∴－3≤－6(2x ＋y )≤3，－72≤7(3x ＋y )≤72.
以上两不等式相加，得－132≤9x ＋y ≤13
2
.
【能力提升】
9．下列各式中，对任何实数x 都成立的一个式子是( ) A ．lg(x 2＋1)≥lg(2x ) B ．x 2＋1＞2x C ．1
x 2＋1≤1
D ．x ＋1
x
≥2
【答案】C
【解析】A 中x ＞0时才成立；B 中x ＝1时，x 2＋1＝2x ；C 中任意x ，x 2＋1≥1，故1
x 2
＋1≤1；D 中当x ＜0时，x ＋1
x
＜0.
10．设a ＝sin 15°＋cos 15°，b ＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是( ) A ．a ＜a 2＋b 22＜b
B ．a ＜b ＜a 2＋b 2
2
C ．b ＜a ＜a 2＋b 2
2
D ．b ＜a 2＋b 2
2＜a
【答案】B
【解析】a ＝sin 15°＋cos 15°＝2sin 60°，b ＝sin 16°＋cos 16°＝2sin 61°，∴a ＜b ，排除C ，D 两项．又a ≠b ，∴a 2＋b 22－ab ＝(a －b )22＞0.∴a 2＋b 2
2＞ab ＝2sin 60°×2sin 61°＝3sin 61°
＞2sin 61°＝b .故a ＜b ＜a 2＋b 2
2
成立．
11．若规定⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a b c
d ＝ad －bc ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a 与⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
a －a
b b (a ，b ∈R ，a ≠b )的大小关系为________．(选填“＞”“＝”或“＜”)
【答案】＞
【解析】∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a ＝a 2＋b 2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －a b b ＝ab －(－ab )＝2ab ，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a －⎪⎪⎪⎪⎪⎪
a －a
b b ＝
a 2＋
b 2－2ab ＝(a －b )2.∵a ≠b ，∴(a －b )2＞0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b b a ＞⎪⎪⎪⎪
⎪⎪
a －a
b b .
12．设a ＞0，b ＞0且a ≠b ，试比较a a b b 与a b b a 的大小． 【解析】a a b b a b b a ＝a a －b ·b b －
a ＝⎝⎛⎭⎫a
b a －b ， 当a ＞b ＞0时，a
b ＞1，a －b ＞0，
则⎝⎛⎭⎫a b a －b
＞1，于是a a b b ＞a b b a
. 当b ＞a ＞0时，0＜a
b ＜1，a －b ＜0，
则⎝⎛⎭⎫a b a －b
＞1，于是a a b b ＞a b b a
.
综上所述，对于不相等的正数a ，b ，都有a a b b ＞a b b a .。