2015-2016学年度九年级数学(下)(北师大版)第一章直角三角形的边角关系检测题附答案解析

第一章直角三角形的边角关系检测题【本检测题满分:120分，时间:120分钟】一、选择题（每小题3分，共30分）1.计算：A. B.232+C.23D.231+2.在△ABC中，若三边BC、CA、AB满足BC∶CA∶AB=5∶12∶13，则cos B（）A．125B．512C．135D．13123.（2015·浙江丽水中考）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（）A. B.C.D.第3题图第5题图4.（2015•湖北荆门中考）如图，在△ABC中，∠BAC=90゜,AB=AC,点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连接BD,则tan∠DBC的值为（）A. B.-1 C.2- D.5.(2015·山西中考)如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A.2B.C.D.6.已知在Rt ABC△中，390sin5C A∠==°，，则tan B的值为（）A.43B.45C.54D.347.如图，一个小球由地面沿着坡度的坡面向上前进了10 m，此时小球距离地面的高度为( )A.5 mB.25mC.45mD.310m8.如图，在菱形中，，3cos5A=，，则tan∠的值是（）第7题图A．12B．2 C．52D．559.直角三角形两直角边和为7，面积为6，则斜边长为（）A. 5B.C. 7D.10.（2015·哈尔滨中考）如图，某飞机在空中A处探测到它的正下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m,从飞机上看地平面指挥台B的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B的距离为（）A.1 200 mB.1 200mC. 1 200mD.2 400 m第10题图二、填空题（每小题3分，共24分）11.（2014·山东东营中考）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行_________米．12.（2015·陕西中考）如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC为5.3米，铅直高度BC为2.8米，则∠A的度数约为________.（用科学计算器计算，结果精确到0.1°）13.如图，小兰想测量南塔的高度.她在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至处，测得仰角为60°，那么塔高约为_________ m.（小兰身高忽略不计，732.13 ）14.等腰三角形的腰长为2，腰上的高为1，则它的底角等于________ ．15.如图，已知Rt△中，斜边上的高，，则________.16.如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则_ ．17.(2015·江西中考)如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC=BD＝15 cm，∠CBD=40°，则点B到CD的距离为___________cm(参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766，结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器).① 第17题图18.如图，在四边形中，，，，，则__________.三、解答题（共66分）19.（8分）计算下列各题： (1)()42460sin 45cos 22+- ；（2）2330tan 3)2(0-+--.20.（7分）在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度，设计的方案及测量数据如下：(1)在大树前的平地上选择一点A ，测得由点看大树顶端C 的仰角为35°； (2)在点A 和大树之间选择一点B （A ，B ，D 在同一直线上），测得由点B 看大树顶端C 的仰角恰好为45°；(3)量出A ，B 两点间的距离为4.5 .请你根据以上数据求出大树CD 的高度.(精确到0.1 m)21.（7分）每年的5月15日是“世界助残日”.某商场门前的台阶共高出地面1.2米，为帮助残疾人便于轮椅行走，准备拆除台阶换成斜坡，又考虑安全，轮椅行走斜坡的坡角不得超过，已知此商场门前的人行道距商场门的水平距离为8米(斜坡不能修在人行道上)，问此商场能否把台阶换成斜坡? （参考数据：)22.（8分）如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100 m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45°.已知测角仪的高度是1.5 m ，请你计算出该建筑物的高度．（取3≈1.732，结果精确到1 m ）23.（8分）已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为 45°，沿着坡度为30°的斜坡前进400米到D 处（即 ∠，米），测得A 的仰角为︒60，求 山的高度AB ．24.（8分）一段路基的横断面是直角梯形，如左下图所示，已知原来坡面的坡角α的正弦值为0.6，现不改变土石方量，全部充分利用原有土石方进行坡面改造，使坡度变小，达到如右下图所示的技术要求．试求出改造后坡面的坡度是多少？25.（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD，CB相交于点H，E，AH＝2CH.（1）求sin B的值；BE的值.（2）如果CD26.（10分）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）.（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在1.41 1.73）第一章直角三角形的边角关系检测题参考答案一、选择题1.C 解析：2.C 解析：设，则，，则，所以△是直角三角形，且∠．所以在Rt △ABC 中，135135==x x AB BC ． 3.Ｃ90BAC α∠+∠=︒，90DAC DCA ∠+∠=︒，∴DCA α∠=∠，∴cos cos CD DCA ACα=∠=，故D 项正确；而sin sin AD DCA ACα=∠=，故C 项错误.4.A 解析：根据题意DE ⊥BC ，∠C =45°，得DE =CE ,设DE =CE =x ，则CD =2x ，AC =AB =22x ，BC =4x ，所以BE =BC -CE =3x .根据锐角三角函数，在Rt △DBE 中，tan ∠DBE =BE DE =3x x =31，即tan ∠DBC =. 5.D 解析：如图所示，连接AC ，则AC，2AB 2 ，8； BC，10.∵，∴ △ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角， 第5题答图∴ tan ∠ABC . 6.A 解析：如图，设则由勾股定理知，所以tan B .7.B解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以29.A解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边BC 第6题答图长10. D 解析：根据题意，得∠B==30°，在Rt△ABC中，∠C=90°，∴AB=2AC.∵AC=1 200 m，∴AB=2 400 m.故选D.二、填空题11.10 解析：如图，过点A作AC⊥BC,则AC= 8米,BC=12-6=6（米）.在Rt△ACB中,根据勾股定理，得AB（米）.12. 27.8°解析：根据正切的定义可知2.8tan0.528 35.3BCAAC==≈,然后使用计算器求出A∠的度数约为27.8°.13.43.3 解析：因为，所以所以所以).14.15°或75°解析：如图，.在图①中，，所以∠∠；在图②中，，所以∠∠.15.解析：在Rt △中，∵，∴sin B =，．在Rt △中，∵，sin B =，∴．在Rt △中，∵，∴．第14题答图BCD②B C①16.5解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得,所以sinA =517. 14.1 解析：如图，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵ BC =BD ，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得∠CBE =12∠CBD =20°.在Rt △BCE 中，cos ∠CBE =BE BC，∴ BE =BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940=14.1（cm ）.18. 解析：如图，延长、交于点，∵ ∠，∴．∵ ，∴，∴．∵，∴．三、解答题19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°, ∠45°，∴∵ ，∴则 m ，∵ ∠35°， ∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理，得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡. 22.解：设，则由题意可知，m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE，即tan 30°＝100+x x ， ∴33100=+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503.经检验，50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为 23.解:如图，过点D 分别作⊥于点，⊥于点，在Rt △中， ∠，米，所以（米），（米）.在Rt △ADE 中，∠ADE =60°，设米，则（米）.在矩形DEBF 中，BE =DF =200 米，在Rt △ACB 中， ∠，∴，即x x +=+32002003，∴， ∴米．24.解：由原题左图可知：BE⊥DC，m，.在Rt△BEC中，)(506.030sinsin mBEBCBCBE===∴=αα，（m）.由勾股定理得，m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积＝梯形的面积．1202120204030213020EC⋅⨯+⨯=⨯⨯+⨯∴，解得＝80（m）.∴改造后坡面的坡度4:180:20:11===ECEBi.25.分析：(1)根据已知条件得出∠B＝∠DCB＝∠CAE，可以在Rt△ACH中求出sin B的值.（2）通过解Rt△ABC求出AC与BC的长，解Rt△ACH求出CE的长，利用BE=BC-CE 得到答案.解：（1）∵CD是斜边AB上的中线，∴CD=BD,∴∠B＝∠DCB.∵∠ACB＝90°，AE⊥CD，∴∠DCB=∠CAE,∴∠B=∠DCB=∠CAE.∵AH＝2CH，∴sin B=sin∠CAE=CHAC＝5.（2）∵CD AB∴BC cos B=4，AC sin B=2,∴CE=AC·tan∠CAE=1,∴BE=BC-CE=3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形.26.分析：（1）过点C作CE⊥AB于点E，构造直角三角形.设AE=a海里，通过解直角三角形，用含a的代数式表示出CE，AC.在Rt△BCE中，根据BE=CE，列出方程，求出a，进而求出A C.(2)判断巡逻船A在沿直线AC去营救船C的途中有无触礁危险，只要求出观测点D到AC的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D作DF⊥AC，构造出Rt△ADF，求出DF，将DF与100海里进行比较.解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，设AE=a海里，则BE=AB-AE a（海里）.在Rt△ACE中，∠AEC=90°,∠EAC=60°，∴AC=cos 60AE︒=12a=2a（海里），CE =AE ·tan 60°（海里）. 在Rt △BCE 中，BE =CE ，∴ a = a ，∴ a =100（海里）. ∴ AC =2a =200（海里）.在△ACD 和△ABC 中，∠ACB =180°-45°-60°=75°=∠ADC ,∠CAD =∠BAC ，∴ △ACD ∽△ABC ，∴ ADAC =AC AB ,即200AD∴ AD 海里).答：A 与C 间的距离为200海里，A 与D 间的距离为-1)海里. （2）如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F . 在Rt △ADF 中，∠DAF =60°，∴ DF =AD ·sin 60°-1)×2∴ 船A 沿直线AC 航行，前往船C 处途中无触礁危险. 点拨：（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.第一章 直角三角形的边角关系检测题参考答案一、选择题 1.C 解析：2.C 解析：设，则，，则，所以△是直角三角形，且∠．所以在Rt △ABC 中，135135==x x AB BC ．3.Ｃ90BAC α∠+∠=︒，90DAC DCA ∠+∠=︒，∴DCA α∠=∠，∴cos cos CD DCA ACα=∠=，故D 项正确；而sin sin AD DCA ACα=∠=，故C 项错误.4.A 解析：根据题意DE ⊥BC ，∠C =45°，得DE =CE ,设DE =CE =x ，则CD =2x ，AC =AB =22x ，BC =4x ，所以BE =BC -CE =3x .根据锐角三角函数，在Rt △DBE 中，tan ∠DBE =BE DE =3x x =31，即tan ∠DBC =. 5.D 解析：如图所示，连接AC ，则AC，2AB 2 ，8； BC ，10.∵，∴ △ABC 是直角三角形，且∠BAC 是直角， 第5题答图∴ tan ∠ABC . 6.A 解析：如图，设则由勾股定理知，所以tan B .7.B 解析：设小球距离地面的高度为则小球水平移动的距离为所以解得8.B 解析：设又因为在菱形中，所以所以所以由勾股定理知所以29.A 解析：设直角三角形的两直角边长分别为则所以斜边长10. D 解析：根据题意，得∠B ==30°，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∴ AB =2AC . ∵ AC =1 200 m ，∴ AB =2 400 m.故选D. 二、填空题 11.10 解析：如图，过点A 作AC ⊥BC ,则AC = 8米,BC =12-6=6（米）.在Rt △ACB 中,根据勾股定理，得BC 第6题答图AB（米）.12. 27.8°解析：根据正切的定义可知2.8tan0.528 35.3BCAAC==≈,然后使用计算器求出A∠的度数约为27.8°.13.43.3 解析：因为，所以所以所以).14.15°或75°解析：如图，.在图①中，，所以∠∠；在图②中，，所以∠∠.15.解析：在Rt△中，∵，∴ sin B =，．在Rt△中，∵，sin B =，∴．在Rt△中，∵，∴．16.5解析：设每个小方格的边长为1，利用网格,从点向所在直线作垂线,利用勾股定理得,所以sinA =517. 14.1 解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，∵BC=BD，根据等腰三角形的“三线合一”性质，得∠CBE=12∠CBD=20°.第14题答图BCD②B C①在Rt △BCE 中，cos ∠CBE =BE BC，∴ BE =BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940=14.1（cm ）.第17题答图18. 解析：如图，延长、交于点， ∵ ∠，∴．∵ ，∴，∴．∵，∴． 三、解答题19.解：（1）()46223222242460sin 45cos 22+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=+-.226262262322=+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=（2）2330tan 3)2(0-+--3231-+-=.323-=20.解：∵ ∠90°, ∠45°，∴∵ ，∴则 m ，∵ ∠35°， ∴ tan ∠tan 35°5.4+x x.整理，得35tan 135tan 5.4-⨯=x ≈10.5. 故大树的高约为10.521.解：因为所以斜坡的坡角小于，故此商场能把台阶换成斜坡.22.解：设，则由题意可知，m ．在Rt △AEC 中，tan ∠CAE ＝AE CE，即tan 30°＝100+x x ， ∴33100=+x x ，即3x 3(x ＋100)，解得x 50＋503.经检验，50＋503是原方程的解．∴故该建筑物的高度约为 23.解:如图，过点D 分别作⊥于点，⊥于点，在Rt △中， ∠，米，所以（米），（米）.在Rt △ADE 中，∠ADE =60°，设米，则（米）.在矩形DEBF 中，BE =DF =200 米，在Rt △ACB 中， ∠，∴，即x x +=+32002003，∴， ∴米．24.解：由原题左图可知：BE ⊥DC ， m ，.在Rt △BEC 中，)(506.030sin sin m BE BC BC BE ===∴=αα， （m ）. 由勾股定理得，m.在不改变土石方量，全部充分利用原有土石方的前提下进行坡面改造，使坡度变小，则梯形的面积＝梯形的面积．1202120204030213020EC ⋅⨯+⨯=⨯⨯+⨯∴， 解得＝80（m ）.∴ 改造后坡面的坡度4:180:20:11===EC E B i .25.分析：(1)根据已知条件得出∠B ＝∠DCB ＝∠CAE ，可以在Rt △ACH 中求出sin B 的值.（2）通过解Rt △ABC 求出AC 与BC 的长，解Rt △ACH 求出CE 的长，利用BE =BC -CE 得到答案. 解：（1）∵ CD 是斜边AB 上的中线， ∴ CD =BD ,∴ ∠B ＝∠DCB. ∵ ∠ACB ＝90°，AE ⊥CD ，∴ ∠DCB =∠CAE ,∴ ∠B =∠DCB =∠CAE . ∵ AH ＝2CH ，∴ sin B =sin ∠CAE =CHAC5.（2）∵ CDAB∴ BCcos B =4，ACsin B =2, ∴ CE =AC ·tan ∠CAE =1, ∴ BE =BC -CE =3.点拨：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形. 26.分析：（1）过点C 作CE ⊥AB 于点E ，构造直角三角形.设AE =a 海里，通过解直角三角形，用含a 的代数式表示出CE ，AC.在Rt △BCE 中，根据BE =CE ，列出方程，求出a ，进而求出A C.(2)判断巡逻船A 在沿直线AC 去营救船C 的途中有无触礁危险，只要求出观测点D 到AC 的距离，然后与100海里比较即可.因此，过点D 作DF ⊥AC ，构造出Rt △ADF ，求出DF ，将DF 与100海里进行比较. 解：（1）如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E ，设AE =a 海里，则BE =AB -AEa （海里）. 在Rt △ACE 中，∠AEC =90°,∠EAC =60°，∴ AC =cos 60AE︒=12a =2a （海里），CE =AE ·tan 60°（海里）. 在Rt △BCE 中，BE =CE ，∴a= a ，∴ a =100（海里）. ∴ AC =2a =200（海里）.在△ACD 和△ABC 中，∠ACB =180°-45°-60°=75°=∠ADC ,∠CAD =∠BAC ，∴ △ACD ∽△ABC ，∴ AD AC =AC AB ,即200AD∴ AD海里).答：A 与C 间的距离为200海里，A 与D 间的距离为-1)海里. （2）如图，过点D 作DF ⊥AC 于点F.在Rt△ADF中，∠DAF=60°，∴DF=AD·sin 60°-1)×2∴船A沿直线AC航行，前往船C处途中无触礁危险.点拨：（1）解斜三角形的问题时，一般通过作高构造直角三角形求解；（2）已知两个直角三角形边长的和或边长的差，常通过列方程的方法解直角三角形.。