线性空间一(13)
线性空间试题
向量空间
一 判断题
(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上
的向量空间. ( ) .
(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上
的向量空间. ( ).
(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ). (4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (5) 121
{(,,
,)|1,}n
n i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ).
(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ). (7)11{(,0,
,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ).
(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++
是V 的一组基. ( ).
(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ). (10)设12,,
,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα
线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ).
(11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,
,n βββ与12,,
,n ααα等价, 则
12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ).
(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ). (13)设12,,
第1章 线性空间与线性变换
( 2)( a b ) c = (ab) c = (ab)c = a (b c );
+ ( 3) R 中存在零元素 1, 对任何 a R , 有 +
a 1 = a 1 = a; + + (4) a R , 有负元素 a 1 R , 使
a a - 1 = a a - 1 = 1;
(8) l (a b ) = l (ab) = ab = a l b l
l
= a l b l = l a l b.
所以 R +对所定义的运算构成线性空间.
12
线性空间的性质
(1) V中的零元素是惟一的。 (2) V中任何元素的负元素是惟一的。 (3)数零和零元素的性质:
R
m n
= { A | A = (aij ) mn , aij R }
Amn + Bmn = C mn R m n ,
l Amn = Dmn R mn ,
∴ Rm×n是一个线性空间。
6
例3 次数小于n 的多项式的全体,记作 P[x]n
P[ x ]n = { an -1 x n-1 + + a1 x + a0 an -1 , , a0 R }
对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。
7
例4 n -1次多项式的全体
第一章线性空间
§1.2 线性空间的基、维数与向量的坐标
在线性代数中讨论 n 维向量时,我们曾引进了线性组 合、线性相关(无关)、等价向量组、极大无关组等许多重 要概念, 而这些概念仅与n维向量的加法及数乘有关,所以 不难将它们推广到一般的数域P上的线性空间V。 定义3 设 α1 , α 2 ,
, α r 是向量空间V的r个向量,
性质,在代数中经常是将有共同性质的对象统一 进行讨论。关于数的加、减、乘、除等运算的性 质通常称为数的代数性质。代数所研究的问题主 要涉及数的代数性质,这方面的大部分性质是有 理数、实数、复数的全体所共有的。有时我们还 会碰到一些其它的数的范围,为了方便起见,当 我们把这些数当作一个整体来考虑时,常称它为 一个数的集合,简称数集。有些数集也具有与有 理数、实数、复数的全体所共有的代数性质。为 了讨论中能够把它们统一起来,我们引入一个一 般的概念。
线性空间的基底,维数与坐标 定义6 设V是数域P上一个向量空间.V 中满足下列两个条件 的向量组(α1 , α 2 , , α n ) 叫做V的一个基: (1)α1 , α 2 ,
零向量显然可以由任意一组向量 α1 , α 2 , 表示,因为 0 = 0α1 + 0α 2 +
, α r 线性
+ 0α r .
定义4 设 {α1 , α 2 , , α r }和 {β1 , β 2 ,..., β s } 是向量 空间V的两个向量组,如果每一个 α i都可以由 {β1 , β 2 ,..., β 线 s} α1 , α 2 , ,线性表示 αr 性表示,而每一 β 也可以由 , 那么就 i 说这两个向量组等价. 例 向量组 α1=(1,2,3), α2=(1,0,2) 与向量组β1=(3,4,8), β2=(2,2,5), β3=(0,2,1) 等价.
矩阵论第一章线性空间和线性变换
所以要再规定数系的元和V 中的元之间的结合关系,不妨称之为“乘
法”。根据我们对数量乘积所记录的经验,我们认为这个乘法应该服 从某些经验规则,特别是结合律和分配律。当然,因为“乘”表示同 类物质的数量累积,而累积了的物质仍是物质,所以“乘”应该是对
(交换律) (结合律)
记 F 为数域,在 F 和V 之间定义“乘法”,使其满足(按通常的记法,
乘号略去,符号紧靠并列就表示乘):
M1 : ∀a∈ F, ∀x∈V ax∈V
(对V 的封闭性)
M2 : ∀a∈ F, ∀x, y ∈V , a( x + y) = ax + ay
(数乘对向量加法的分配律)
M3 : ∀a,b∈ F, ∀x∈V (a + b) x = ax + bx
∀x∈V ,∃θ ∈V , x +θ =θ + x = x
(1.2 − 3)
称θ 为零元。不仅此也,由 A4 还可得出 x,θ ∈V ,∃y, x + y =θ
(1.2 − 4)
对 x 而言,按 A4 ,这样的 y 一定有,将其记作(−x),于是
x∈V ,∃ − x∈V , x + (−x) = (−x) + x =θ
线性代数与空间解析几何01-第13节 距离与平面束_13
2.3 空间平面与直线
2.3.3 距离与平面束 1. 点到直线的距离
例2.3.11 求两条平行直线 x 1 y 2 z 1
2 2 1 与 x y 1 z 之间的距离 .
2 2 1
解 在两条直线上分别取点M0(-1, 2, 1) 和 M(0, -1, 0), 则 MM0 (1, 3, 1). 又 s =(-2, 2, 1),
作平面π的法向量n=(A, B, C)
n
过点P0 , 再在平面π上任取一
·P0
点P(x, y, z), 得向量
d
PP0 ( x0 x , y0 y, z0 z),
π P·
则 d Prj n PP0 ,
2.3 空间平面与直线
2.3.3 距离与平面束 2. 点到平面的距离
而
Prjn PP0
PP0 n n
3. 平面束方程
A1x B1 y C1z D1 (A2x B2 y C2z D2) 0
2.3.3 距离与平面束
(二)思考题 求直线l: x 1 y 2 z 3 在平面π:
2 1 1
x+ 2y-z+1=0上的投影直线方程.
2.3 空间平面与直线
作业
P68 11; 12; 13
2.3.3 距离与平面束
1. 点到直线的距离
设M0是直线l 外一点, M是直线l 上任一点, 且 直线的方向向量为s , 求点M0 到直线l 的距离为d.
第四章_线性空间_S1_线性空间的概念[1][1]资料.
§4.1 线性空间的概念
§4.1.1 线性空间的定义和例子
一.数域 下面的Leabharlann Baidu程有解吗?
x2 1 0
•在自然数、整数、有理数、实数范围内无解。 •在复数范围内有解:0±i
可见,在不同的讨论范围内,得到的回答不一样。
常见的讨论范围:有理数的全体,实数的全体, 复数的全体。
• 在代数中,我们常把有共同性质的对象一起讨论。 • 关于数的加、减、乘、除等运算的性质通常称为
证:(反证法)若S是线性空间,则 x1, x2 S ,有
A(x1 x2 ) Ax1 Ax2 2b b,于是 x1 x2 S
所以S不是线性空间。
a,
b例9V
设V R , F R,定义 a b ab ,k a ak , k F, 。证明:V对于指定的运算构成数域F上的线性空间。
f (x), g(x) C[a,b] 有 f (x) g(x)C[a,b]
kf (x) C[a,b] (k R)
所考虑的对象虽然完全不同,但是它们都有一 个共同点,那就是它们都有加法和数量乘法两种运 算。当然,随着对象不同,这两种运算定义也不同。
为了抓住它们的共同点,把它们统一起来 研究,因而引入线性空间的概念。
实数域R上的线性空间简称为实空间,复数域C上 的线性空间简称为复空间。
说明:
• 凡满足以上八条规律的加法及乘数运算,称为线性 运算.
线性空间习题解答
第六章 线性空间习题解答P267
.1设,,M N M N M M N N ⊆==I U 证明: 证明: 一方面.M N M ⊆I 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M I ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M I Y I Y I =.
(2))()()(L M N M L N M Y I Y I Y =
证明: (1) .),(L N x M x L N M x Y Y I ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且
L x ∈且. 于是有)()(L M N M x I Y I ∈.
另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M Y I I Y I I ⊆⊆,所以
)()()(L N M L M N M Y I I Y I ⊆.
(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M Y I Y Y I Y ⊆⊆,所以
)()()(L M N M L N M Y I Y I Y ⊆.
另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x Y Y Y I Y ∈∈∈∀且则
若).(,L N M x M x I Y ∈∈则 若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N I 总之有
)()()(),(L N M L M N M L N M x I Y I I Y I Y ⊆∈所以.
3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间. (1) 次数等于n(n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法.
矩阵理论第一章线性空间与线性变换13
例1 复数域 C 上次数不超过 n 的一元多项式全体 Cn [ x],
按通常多项式加法和数与多项式乘法,构成一个复数域 C上的
线性空间,记为
Cn [ x] { f ( x) an x n an1 x n1 a1 x a0 | an ,, a1 , a0 C}.
R( A) { y | y Ax , N ( A) {x | Ax 0,
x C n} x C n}
按 C n 中的加法和数乘运算,则 R( A) 和 N ( A) 都是复数 域C上的线性空间,其中 N ( A) 叫做矩阵A的零空间,(或核), 也叫做方程组Ax=0的解空间。
证明: 设 y1, y2 R( A), 则存在 x1 , x2 Cn, 使得 y1 Ax1, y2 Ax 2
例7
求 Cn [ x] 的基,维数及向量 f(x) 的坐标。 解: 取
1 1, 2 x, 3 x 2 ,, n1 x n
f ( x) a0 a1 x a2 x 2 an x n
f ( x) a0 1 a1 2 an n1
n 又 C n 为线性空间, 故 x1 x2 C ,因此 A( x1 x2 ) R( A),
又 A( x1 x2 ) Ax1 Ax 2 y1 y2 故 y1 y2 R( A), 同理, 当 k C 时,有 ky1 R( A), 由于 C n 为线性空间, 容易验证 R( A) 中的加法和数乘满足8条规则,故 R( A) 为C上的线性空间。
第1,2章 线性空间与线性变换
内容: 内容: 线性空间的一般概念 重点: 重点:空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点: 重点:其中的矩阵处理方法 特点: 特点 研究代数结构——具有线性运算的集合。 研究代数结构——具有线性运算的集合。 具有线性运算的集合 看重的不是研究对象本身,而是对象之间的结构关系。 看重的不是研究对象本身,而是对象之间的结构关系。 研究的关注点:对象之间数量关系的矩阵处理。 研究的关注点:对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点:具有抽象性和一般性。 学习特点:具有抽象性和一般性。
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算(所成完美集合) 线性空间=集合+两种运算(所成完美集合) Example
R 3={x=(x1,x2,x3)T:xi ∈R} ={x= ={空间中所有向量} ={空间中所有向量 空间中所有向量}
交集: W1∩W2={α α∈W1 而且 α∈W 2}⊆Vn(F) α∈W α∈W 交集: W1∩W2是子空间,被称为“交空间” 是子空间,被称为“交空间”
四、坐标
坐标的来历: 是空间V 坐标的来历:设{α1,α2,…,α n } 是空间V的一 组基, 可以由基α 组基, ∀β ∈V, β可以由基α1,α2,…,α n唯一 线性表示 β=x1α1+x2α2+…+xnα n 在基{ 下的坐标。 则x1 ,x2, …, xn 是β在基{αi}下的坐标。
线性代数第三章 线性空间
为实向量; 把个分量均为复数的向量称为复向量.
n 维向量可以写成一行形式 T (a1, a2 ,
a1
也可以一列的形式
a2
(a1, a2 ,
, an )T.
an
, an ),
按照上一章的约定,通常用黑体希腊字母 , ,
表示列向量,而用符号 T , T , 表示行向量.
3)对于任意的 Rn,均有 0 ;
4)对于任意的 Rn,均存在负向量 ,使得
5) 1 ;
( ) 0;
6)数乘结合律:k(l) (kl) ;
7)(k l) k l;
8)k( ) k k .
二、n 维向量的线性相关性 定义4 将若干个维数相同的向量所组成的集合称为 向量组; 将由向量组的一部分向量组成的向量组称 为原向量组的部分组.
k R,则
1)称向量 与 相等,记作 ,如果 与
对应的分量均相等,即 ai bi , i 1, 2, , n;
2)称向量
(a1 b1, a2 b2 , , an bn )T 为向量 与 的和,并记 ;
3)称向量
k (ka1, ka2 , , kan )T
在本书中,如果没有特别说明,我们涉及的向量 均指分量为实数的列向量,即列形式的实向量.
第一章线性空间与线性变换
第⼀章线性空间与线性变换
第⼀章
线性空间和线性变换
§1.1线性空间
集合
v 集合:作为整体看的⼀堆东西
元素?⼦集S
a ?2
1S S ì?集合相等
运算
交
并
和122121S S S S S S ìì?=且21S S I 2
1S S U },|{2121S y S x y x S S ??+=+
数域
v数域: 如果⼀个数集中任意两个数的和、差、积、商(除数不为0)仍在该数集中
v常⽤数域有:有理数域、实数域、复数域
v奇数集和偶数集不能形成数域
映射
v映射:集合S到集合S’的⼀个映射是指⼀个法则(规则)f: S →S’,对S中任何元素a,都有S’中的元素a’与之对应,记为:f(a)=a’或a→a’。⼀般称a’为a的象,a为a’的原象。
v若S =S’,则称映射为变换。
v映射的相等:设有两个映射f: S →S’和g: S →S’,若对任何元素a∈S都有f(a)=g(a)则称f与g相等。
映射的例⼦
v例⼦1:设集合S是数域F上所有⽅阵的集合,则
f(A)=det(A)
为S到F的映射。
v例2:设S为次数不超过n的多项式构成的集合,则求导运算:
δ(f(t))=f’(t)
为S到S的变换。
映射的乘积
v映射的乘积(复合):若f : S1→S2 和g: S 2→S3,则映射的乘积g○f定义为:g○f(a)=g(f(a))。
v在不⾄混淆的情况下,简记g ○f为gf
v映射的乘积满⾜结合律,即(fg)h=f(gh)
v映射的乘积不满⾜交换律,⼀般⽽⾔fg≠gf
线性空间的定义
v定义:设V是⼀个⾮空的集合,K是⼀个数域,在集合V 中定义两种封闭的代数运算, ⼀种是加法运算,⽤+ 来表⽰,另⼀种是数乘运算, ⽤?来表⽰, 并且这两种运算满⾜下列⼋条运算律:
1.3 线性空间
及 (), 定义加法和数乘为:
x y (a1 b1 , a2 b2 , , an bn ) ,
T
x ( a1 , a2 , , an ) ;
T
n n n n 显然, , x y ( ) x ( ) .
(k l ) a a
k l
a a a a k a l a;
k l k l
(8)1 a a a.
1
所以, 是一个实线性空间。
例1.13
次数为 n的全体多项式的集合V ,按
C[ a, b]上的加法和数乘,不能构成线性空间,因
为 V 对加法(和数乘)不封闭。 二.线性空间的子空间 设 X是 上的线性空间,Y 是 X
一. 线性空间概念 1.实际背景 3 3 在 中, a , b, c 及 , ,可以进行 加法运算 a b 和数乘 a 运算,并且
a ; (1)“ + ”和“ ”满足: a b ,
3 3
(2)“+”满足:
① a b = b a, ② a (b + c ) (a + b) c, ③ a + 0 = a, ④ a + (a ) 0;
为 x). 若“ + ”满足加法公理,即 (1)交换律: x, y X ,有 x y y x ; x, y, z X , (2) 结合律: 有 ( x y ) z x ( y z ); (3) 零元存在性: 0 X , s.t. x X 有 x 0 x
第1章线性空间与线性变换
1.1线性空间的定义与性质
定义 1.1.1设 V是一个非空集合,它 的元素用 x,y,z 等表示,并称之为 向量.K 是一个数域,它的元素用 k,l,m等表示. 如果 V满足下列条 件; 1. 在V中定义一个加法运算,即当 x,y∈V 时,有唯一的和x+y ∈V , 且加法运算满足下列性质 ① 结合律 (x+y)+z= x+(y+z); ② 交换律x+y=y+x; ③ 存在零元素 0, 使得x+0=x; ④ 存在负元素,即对任一向量 x∈V,存在y∈V使得x+y=0 2. 在 V中定义数乘(数与向量 的乘法)运算,即当 x∈V, k∈K时,有唯一的kx∈V, 且数乘运算满足下列性质 ① 数因子分配律 k(x+y)=kx+ky; ② 分配律(k+l)x=kx+lx; ③ 结合律k(lx)=(kl)x; ④ 1x=x. 则称V为数域 K上的线性空间. • 实线性空间-K=R • 复线性空间-K=C
1.2线性空间的基与坐标
一、维数与坐标 1 , 2 ,, r是 定义1.2.1设V是数域K上的一个线性空间, V中的一组向量,k1 , k2 ,, kr 是数域K中的数,那么向 量 k11 k2 2 kr r 称为向量 1 , 2 ,, r 的一 个线性组合,有时也称向量 可以由 1 , 2 ,, r 线 性表出。 (1)1 , 2 ,, r 定义1.2.2设V是数域K上的一个线性空间, 和(2)1 , 2 ,, s 是V上的两个向量组,如果(1)中的 任一向量都可由向量组(2)表出,则称向量组(1) 可由向量组(2)线性表出。如果向量组(1)和(2 )可以互相线性表出,则称向量组(1)和(2)是等 价的。
线性空间习题解答
第六章 线性空间习题解答P267
.1设,,M N M
N M M
N N ⊆==证明:
证明: 一方面.M N M ⊆ 另一方面, 由于M M ⊆,,N M ⊆ 得.N M M ⊆ 2 证明: (1))()()(L M N M L N M =.
(2))()()(L M N M L N M =
证明: (1) .),(L N x M x L N M x ∈∈∈且则设 即.M x N x M x ∈∈∈或且
L x ∈且. 于是有)()(L M N M x ∈.
另一方面,因为 )(,)(L N M L M L N M N M ⊆⊆,所以
)()()(L N M L M N M ⊆.
(2) 一方面, ))(,)(L M L N M N M L N M ⊆⊆,所以
)()()(L M N M L N M ⊆.
另一方面, .),()(L M x N M x L M N M x ∈∈∈∀且则
若).(,L N M x M x ∈∈则 若∈∈∈∉x L x N x M x 所以且则.,.L N 总之有
)()()(),(L N M L M N M L N M x ⊆∈所以.
3. 检查以下的集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.
(1) 次数等于n(n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法. (2) 设A 是n n 实矩阵, A 的实系数多项式f (A)的全体, 对于矩阵的加法和数量乘法.
(3) 全体n 级实对称(反对称,上三角)矩阵, 对于矩阵的加法和数量乘法.
(4) 平面上不平行于某一向量的全体向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法.
第一章 线性空间与线性变换
构成实数域 R上的线性空间。 例4:全体正的实数 R+ 在下面的加法与数乘的定义下构成实数
域上的线性空间:对任意 k∈R, a,b∈R+
加法运算:a b ab 数乘运算:k a ak
线性空间的例子(续)
例5:R∞表示实数域 R 上的全体无限序列组成的集 合。即
于是同可一得向量在13不24同的 基x1下10坐标11不同x2,
1 0 那1 它1们
有什么关系x呢3 ?10
1 1
x4
1 1
1 0
解得
x1
7, 3
x2
4 3
,
x3
1, 3
x4
2 3
同样可解出在第二组基下的坐标为
y1 1, y2 1, y3 1, y4 4
基变换与坐标变换
设
1,
2
,
,
(旧的)与
基底的例子(续)
例 3 实数域 R上的不超过n次多项式的全体Pn中的向
量组
1, x, x2,, xn
与向量组 1, x 2,(x 2)2,,( x 2)n
都是 Pn 的基底,Pn的维数为 n+1。
注意: 通过上面的例子可以看出线性空间的基底并不 唯一,但是维数是唯一确定的。由维数的定义, 线性 空间可以分为有限维线性空间和无限维线性空间。目 前,我们主要讨论有限维的线性空间。
《线性代数》教学课件—第6章 线性空间与线性变换 第一节 线性空间与线性变换
(an xn a1x a0 ) (bn xn b1x b0 ) (an bn )xn (a1 b1)x (a0 b0 ) P[x]n ,
(i) + = + ;
(ii) ( + ) + = + ( + ) ; (iii) 在 V 中存在零元素 0, 对任何 V ,
都有 + 0 = ;
(iv) 对任何 V , 都有 的负元素 V,
使
+=0;
(v) 1 = ;
(vi) ( ) = ( ) ;
(vii) ( + ) = + ; (viii) ( + ) = + .
(an xn a1x a0 ) (an )xn (a1)x (a0 ) P[x]n ,
所以 P[ x ]n 是一个向量空间.
例 2 n 次多项式的全体
Q[x]n {p anxn a1x a0 | an,,a0 R,且an 0}
对于通常的多项式加法和数乘运算不构成向量空 间. 这是因为 0 p = 0 xn + ···+ 0 x + 0 Q[ x ]n , 即 Q[ x ]n 对运算不封闭.
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非线性空间举例
所有n阶可逆矩阵在矩阵加法和数乘运算下不 构成线性空间(0矩阵不可逆)。
•所有次数等于n 的多项式在多项式加法和 数乘运算下不构成线性空间。
•相容的线性非齐次方程组 运算不构成线性空间
解的全体按 中的
实例5 设R+为所有正实数组成的集合,其上的加法与乘
法分别定义为 试证R+是R上的线性空间。 证明 设 即对所定义的加法“”与乘法“”是封闭的。且 满足
二、基变换与过渡矩阵
x1 ,x2 , …,xn与y1 ,y2 , …, yn是n维线性空间V 的两组不同基。则由基的定义,有
记作: 其中
称P是由基x1 ,x2 , …,xn到基y1 ,y2 , …, yn的过渡 矩阵。
过渡矩阵结论 (1) 过渡矩阵P是可逆矩阵; (2) 设P是由基x1 ,x2 , …,xn到基y1 ,y2 , …, yn的过 渡矩阵,则P-1是由基y1 ,y2 , …, yn到基x1 ,x2 , …,xn 的过渡矩阵。
注意:上述定义所规定的加法运算与数乘运算也称为 V的线性运算,满足“封闭性”,即对V的任意两个元 素及F的任一数k,所定义的“和” 与“积” 仍属于V。
当F是实数域时,V称为实线性空间; 当F是复数域时,V称为复线性空间。
可以验证:
n维实向量空间是线性空间,仍记作 ;
n维复向量空间是线性空间,仍记作
2、生成子空间 设x1 ,x2 , …,xk 是线性空间V的任意一组向量,
则称所有x1 ,x2 , …,xk线性表示的集合构成的子空间 (可以验证其为V的子空间)为生成子空间,记
例 在三维向量空间R3中,e1 ,e2 , e3是自然基。 则 e1 ,e2的生成子空间是x1-x2 平面; e2 ,e3的生成子空间是x2–x3 平面; e1 ,e3的生成子空间是x1–x3 平面;
设
,则
解齐次线性方程组
得出基础解系(1,-4,3,-1)T 则
是交空间的一组基。
例4、设 的两个子空间为
试将
表示为生成子空间
提示:首先将 表示为生成子空间:
方程
的基础解系为
它们对应着 的一组基:
即
从而
求得5个矩阵对应的5个向量的一个极大无关组即可。
三、子空间的直和
设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间,如果交空 间={0},则称和空间为直和,记做
第一章 第一节 线性空间
主要内容:
线性空间的定义及其性质
向量组的线性相关性 线性空间的基与向量在基下的坐标 坐标变换与过渡矩阵 子空间与生成子空间 子空间的运算 子空间的直和
概述
•数学空间是指一个赋予了“某种结构”的集合。
• 线性空间是n维向量空间R n 的推广,是矩阵理论 的基础。
•线性空间是一类具有“线性结构”的元素集合, 这种线性结构是通过两种线性运算“加法”、 “数乘”在一定公理体系下给出的。
由于x1 ,x2 , …,xn 是线性无关的,故 进而
所以X可由x1 ,x2 , …,xn是线性表示。 因此x1 ,x2 , …,xn可构成V 的一组基
推论1 在n维线性空间中,任意m(m>n)个 向量必是线性相关的
推论2 在n维线性空间中,任意两组基 中所含的向量的数目相同。
下面,讨论当线性空间的基改变时,向量的坐标 如何变化,为此,首先介绍过渡矩阵的概念。
例1 在二维空间R2中,任意一个二维向量 都可由标准单位向量e1 , e2 线性表示。
例2、在线性空间 中,
例3 在三维空间R3中,求k1 , k2 , k3 ,使得
求解
注:讨论向量组的线性表示可化为讨论线性方程组的求
解问题。
给定线性空间V 的两个向量组
与
,
如果
中的每一个向量都可以由向量组
线性表示,则称向量组
则称x由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示的系数为向 量x在基x1 ,x2 , …,xn下的坐标,记为X.
即设
则 引入坐标的意义就在于将抽象的向量与具体的 数组向量联系起来了。
说明: 在不同的坐标系(或基)中,同一向量的坐 标一般是不同的。例如:
例4、在R3中, x1 ,x2 , x3是与y1 ,y2 , y3都是 线性空间R3 的一组基
定义 设V是一个非空集合,F是一个数域(如实数域R或
复数域C),如果在V上规定了下列两种运算,
则称V是数域F上的一个线性空间
[1]加法运算 对V的任意两个元素x、y,都有V的 唯一的
“和”
,且满足
•(1)交换律 x+y=y+x;
•(2)结合律 x+(y+z)=(x+y)+z;
•(3)存在0元 x+0=x;
是由原点( L1 与L2的交点)构成的零子空间; 是由 L1 与L2所决定的平面上全体向量构成的 子空间。
子空间的维数公式
设S1 ,S2 是线性空间V的两个子空间,则
证明 记
要证明
事实上,取
的一组基x1 ,x2 , …,xt,
将它分别扩充为S1 ,S2的基x1 ,x2 , …,xt , y1 ,y2 ,
(3)1是零元,因为 (4)a的负元是1/a,因为
故R+是R上的线性空间。
定理 设V是数域F上的一个线性空间,则
(1)V的零元是唯一的;
(2)V中任意元的负元是唯一的;
(Hale Waihona Puke Baidu)
(4)如果
,则k=0或
。
线性表示
设V是一个线性空间, 如果存在一组数
是V的向量组。 使得
则称x可由x1 ,x2 , …,x p线性表示,称x是 x1 ,x2 , …,x p的线性组合。
等价命题
命题一 向量组x1 ,x2 , …, xp是线性无关的充要条件 是仅当k1 = k2 = … = kp= 0 时成立
命题二 向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的充 要条件是其中的一个向量可由其余的向量线性表 示。
可以证明:
1、在线性空间
中,
线性无关。
其中 表示第i行元素第j列元素1,其它元素为0的 矩阵。
说明:线性空间的基不唯一
例1、 证明:在三维向量空间R3中 x1 ,x2 , x3 与y1 ,y2 , y3都是线性空间R3的一组基
这是因为:
从而它们各自都线性无关, 而对于任意向量 分别有:
例2、P[x]n表示所有次数不超过n 的多项式所构 成的一个线性空间,则:
P[x]n是n+1维线性空间 可以验证:1 , x , x2 , … , xn是线性空间 P[x]n的一组基, P[x]n的维数是n+1。
可以由向量组
线性表示;
如果向量组 则称向量组
与 与向量组
可以相互表示, 是等价的。
等价向量组具有:自反性、对称性、传递性
线性相关
设 x1 ,x2 , …,x p 是线性空间V 的向量组。 如果存在一组不全为 0 的数 k1 ,k2 , …,kp 使得
则称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性相关的; 否则,就称向量组 x1 ,x2 , …,xp 是线性无关的。
进而得x=0,及
故向量组x1 ,x2 , …,xt , y1 ,y2 , …,yr-t , z1 ,z2 , …,zs-t 线性无关,并构成S1+S2的基。
例3、求
的交空间与和空间的维 数与基
解 由于
并且
是
的极大线性无关组,故 是和空间L的一组基。
由维数公式得交空间的维数是1,现在要求交空间 的一组基。
一、线性空间的基与向量在基下的坐标
设x1 ,x2 , …,x n是线性空间V的向量组,如果 (1) x1 ,x2 , …,x n是V的线性无关组, (2)V的任一向量x可由x1 ,x2 , …,x n线性表示;
则称x1 ,x2 , …,x n是线性空间V 的一组基。 称n是线性空间V 的维数,记作dimV。 或称线性空间V 是n维线性空间 即:线性空间的维数是其基中所含向量的个数。 若在V中可以找到任意多个线性无关的向量,则称V 是无限维线性空间
例1、n元齐次方程组 称为解空间,记为
的解的集合构成线性空间, 即
若设
则
称 为A的核空间,A的核空间的维数称为A的零度。
例2、矩阵Am×n的列空间: 设矩阵 则 有
矩阵A的列空间又称为A的值域,记为
生成子空间的维数 x1 ,x2 , …,xk 的任一极大无关组构成生成子空间
L(x1 ,x2 , …,xk ) 的基。 记dim L (x1 ,x2 , …,xk )= r r为向量组x1 ,x2 , …,xk的秩.
P[x]表示实系数多项式所构成的一个线性空间, 则:
P[x]是无限维线性空间
因为对于任何整数N,多有N个线性无关的向量
1 , x , x2 , … , xN。
例3、 表示所有m×n 矩阵构成一个线性空间, 则 是m×n 维线性空间
令E ij为第(i,j)元为1,其余元为0的 m×n矩阵,
则{Eij:i=1,2, …,m;j=1,2, …,n}是线性空间
一、子空间与生成子空间 1、定义:设V是一个线性空间,S是V的一个子集, 如果S关于V的加法及数乘也构成一个线性空间,则 称S是V的一个子空间。记为 定理 : 线性空间V的一个子集S是V的一个子空
间当且仅当S关于V的加法及数乘是封闭的,即
说明:每个非零线性空间至少有两个子空间,一个是 它自身,另一个是仅由零向量所构成的子集合,称为 零子空间。
。
线性空间实例
•例1 所有
型矩阵在矩阵加法和数乘运算下
构成一个线性空间,记为
•例2 所有次数不超过n 的多项式在多项式加法 和数乘运算下构成一个线性空间,记为
•例3 二阶齐次线性微分方程的解集合对于函数加 法与数与函数的乘法构成一个线性空间。
•例4 闭区间[a,b]上所有连续函数的集合在函数加 法和数乘运算下构成一个线性空间,记为
•(4)存在负元-x x+(-x)=0 .
[2]数乘运算 对V的任一元x,及F的任一数k,都存在唯一的
“积”
,且满足
• (5)分配律 k(x+y)=k x+k y • (6)分配律 (k+l)x=k x+lx • (7)结合律 k(lx)=(k l)x • (8)1x=x
线性空间的元素也称为向量,它比n维向量有更广泛 的含义。
同一向量在不同基下的坐标是不同的。设
由于基向量线性无关,则 得坐标变换公式
例5、求向量 在基x1 ,x2 , x3下的坐标
解法1:由向量坐标的定义,可设: 得方程组
解方程组即可 λ1 1,λ2 1,λ3 1
解法2: 由自然基到基x1 ,x2 , x3的过渡矩阵为 求得
利用坐标变换公式,则基x1 ,x2 , x3的坐标为
的一组基, 的维数是 m×n 。
引理1
设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基,则对于V 的任一元x, x可由x1 ,x2 , …,xn唯一线性表示。 证明 设x可由x1 ,x2 , …,xn有两种线性表示:
x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基,它们线性无关,
坐标 设x1 ,x2 , …,xn是线性空间V 的一组基,
从而有:
基的扩充定理 n维线性空间V 的任意一组线性无关 的向量x1 ,x2 , …,xr 都可扩充为线性空间V 的一组 基。(可用归纳法证明)
二、子空间的运算
设S1 ,S2 是线性空间V 的两个子空间,定义子 空间的交空间与和空间(仍为V的子空间):
例如,在线性空间R3中, v1 表示过原点的直线L1 上所有 向量形成的子空间,v2 表示另一条过原点的直线L2 上所 有向量形成的子空间,则
向量
在这两组基下的坐标分别为
引理2 n维线性空间V 的任意n个线性无关的向量 x1 ,x2 , …,xn都可构成线性空间V 的一组基。 证明 设x1 ,x2 , …,xn 是n维线性空间V 的任意一组 线性无关的向量,x是V的任一向量,只要证明:
X可由x1 ,x2 , …,xn是线性表示即可
设存在一组不全为0的数k , l1 , l2 , …, ln使
…, yr-t 与x1 ,x2 , …,xt , z1 ,z2 , …,zs-t
只需证明S1+S2的基恰好是 x1 ,x2 , …,xt , y1 ,y2 , …,yr-t , z1 ,z2 , …,zs-t
设 记 则 从而可设 由
得 由x1 ,x2 , …,xt , z1 ,z2 , …,zs-t 为S2的基知
2、在线性空间
中,
线性无关。
定义 设 (1) (2)任一向量
是线性空间V的向量组,如果 是线性无关组,
可由
线性表示;
则称
是向量组
并称 r 为向量组的秩,记为
的极大无关组;
说明:一般地,向量组的极大无关组不是唯一的,但向 量组的每一个极大无关组都与向量组自身是等价的,并 且向量组的每一个极大无关组中所含有的向量的个数都 等于向量组的秩。