北师版数学高二-选修2-3课件1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
高中数学选修2-3优质课件2：1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理
第一步 从书架上层任取一本数学书，有5种不同的方法； 第二步 从书架中层任取一本语文书，有3种不同的方法； 第三步 从书架下层任取一本英语书，有2种不同的方法。
由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有N =5×3×2=30（种）.
变式练习
用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶 数？ 解：完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法： 第一类办法 四位偶数的个位数字为0，这件事分三个步骤完成： 第一步 从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4种不同的 选取方法； 第二步 从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字做百位数 字，有3种不同的选取方法； 第三步 从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种 不同的选取方法；由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有 N1=4×3×2=24（个）
由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有N =4×4×3×2=96
（个）
合作探究
(3) 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤： 第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有 2种不同的选取方法； 第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一 个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个 数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法； 第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做 十位数字，有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有 N=2×3×3×2 =36（个）.
区别1（方 完成一件事，共有n类办法，完成一件事，共分n个步
式不同） 方式是“分类”
2020北师大版高中数学选修2-3 教师课件：第一章 第二课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用
高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级 去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有________种. 解析：三个班在四个工厂中任意选择一个进行社会实践，共有 43 种不同方案，其中 工厂甲没有班选择，即三个班分别在乙、丙、丁三个工厂中选择一个的方法有 33 种， 故符合题意的不同分配方案有 43－33＝37(种). 答案：37
[自主梳理] 分类加法计数原理与分步乘法计数原理回答的都是有关做一件事的不同方法种数 的问题．其区别在于：分类加法计数原理针对的是“_分__类___”问题，其中各种方法 __相__互__独__立___，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的 是“__分__步____”问题，各步的每一种方法只能完成任务的一部分，并且完成这件事的 任何一种方法都需要分步，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．
四个人
取贺年卡的方法
①
222333444
②
134144133
③
441412212 6 7 8 9
由表格可知，共有 9 种不同的方法.
[答案] (1)C (2)9 种
[感悟提高] 计数问题是数学中的重要研究对象，除了分类加法计数原理和分步乘法计数原理 的理论支持，对于较复杂的计数问题要针对其问题特点，灵活的运用列举法、列 表法、树形图法等方法来帮助解决，使问题的解决更加实用、直观.
也有 2 种方法，种 c 或 a.
(1)若第三块试验田种 c：
a
b
c
则第四、五块田分别有 2 种种法，共有 2×2 种种法.
(2)若第三块试验田种 a：
第四块田仍有 2 种种法.
aba
①若第四块田种 c：
则第五块田仍有 2 种种法.
高二年级数学选修2-3《计数原理》优质课件
4、用0，1，2，…，9这十个数字可以组成无重复数字 的三位数的个数为
布置作业：课本习题1.1 A组（必做）
B组（选做）
本节课结束 同学们，再见！
分步乘法计数原理：
完成一件事情需要两个步骤，做第1步有m种不 同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完 成这件事共有N=m ×n种不同的方法。
推广
如果完成一件事需要三个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做 第2步有m2种不同的方法，做第3步有m3种不同的方法，那么完成这 件事共有多少种不同的方法？
完成这件事总共有几种方法？
给座位编号
2个步骤：确定字母、 确定数字 不能
第1步：6种 第2步：9种 6×9=54种
练习2.设某班有男生30名，女生24名．现要 从中选出男、女各一名代表班级参加比赛， 共有多少种不同的选法?
解：第1步，从30名男生中选出1名，有30种不同选择；
第2步，从24名女生中选出1名，有24种不同选择． 共有30×24=720种不同的选法．
A8
9
A9
1
2
3
4
5
…
F
6
7
8
9
1 2
树
3 4
形
5 6
图
7
8
9
所以，共有9+9+9+9+9+9=6×9=54种不同号码
用前6个大写英文字母和1~9九个阿拉伯数字，以A1，A2，···，B1， B2，···的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
高中数学(北师大版)选修2-3课件：第1章 分类加法技术原理和分布乘法计数原理 第二课时参考课件
主题探究导学
典型例题精析
知能巩固提升
一、选择题（每题5分，共15分）
1. A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量
分别为1，1，2，2，3，4，从中任取三条网线且使这三条网 线通过最大信息量的和大于等于6的方法共有（ ）种.
(A)13
(B)14
(C)15
(D)16
【解析】选C.设这六条网线分别用a1,a2,b1,b2,c,d表示，则满 足条件的所有可能的结果为:a1a2d,a1b1c,a1b1d,a1b2c,a1b2d, a2b1c, a2b2c,a2b1d,a2b2d, a1cd, a2cd, b1b2c, b1b2d,b1cd, b2cd共15种情况.
=240.
答案：240
4.（15分）在六一儿童节来临之前，某中学要把9台型号相同 的电脑赠送给三所希望小学作为送给孩子们的节日礼物，每所 小学至少得两台，问不同的送法种数为多少？ 【解析】依题意，把9台电脑分为三组：（2，2，5），（2，3， 4），（3，3，3）共三种不同的方法，然后，再分配到学校 . 对于第一种情况，由于电脑是相同的，所以只需要确定哪个学 校得5台即可，共有3种不同的方法.对于第二种情况：第一步 先确定哪个学校得2台，有三种方法；第二步确定哪个学校得 3
二、填空题（每题5分，共10分）
4.定义集合A与B的运算A*B如下：A*B={（x,y)|x∈A,y∈B},若 A={1,2,3}，B={1,3,4,5},则集合A*B的元素个数为____. 【解析】集合中的元素为：（1，1），（1，3），（1，4）， （1，5），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），
时，a有3种取法，b有3种取法，排除2条重复的，这样的直线
高中数学选修2-3 北师大版 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用 ppt课件(45张)
2．对于问题 1 中，用分步的方法如何来求？
【提示】 可先对元素 a 的取舍考虑，有两种可能；第 二步对元素 b 的取舍考虑，有两种可能；第三步对元素 c 的 取舍考虑有两种可能．共有：2×2×2＝23＝8 个．
3．问题 1、2 的共同点是什么？
【提示】 把一个原始事件分解成若干个事件来完成． 4．问题 1、2 的不同点是什么？ 【提示】 一个是分类来完成，一个是分步来完成．
第 2 课时 分类加法计数原理和分步乘法计 数原理的应用
1.掌握分类加法计数原理与分步 课标 乘法计数原理．(重点) 解读 2．会应用两个计数原理解决实 际问题．(难点)
两个原理的异同点
【问题导思】 1．若集合 A＝{a，b，c}，集合 A 所有子集的个数用分 类的方法如何来求？ 【提示】 A 中无元素的集合共有 1 个， A 中有一个元素 的集合共有 3 个， A 中有两个元素的集合共有 3 个， A 中有三 个元素的集合共有 1 个，共有 1＋3＋3＋1＝8 个．
各类方法之 间是互斥 ， 不 ．． 各步之间是有关联的 ．．．． ． 的 ，并列的 ，独立的 . 独立的 . ． ．．． ．．． ．．．
数字问题
从 0 到 9 十个数字中选出 4 个组成一个四位数， 问组成的数字不重复的四位偶数共有多少个？
【思路探究】 情况来解． 本题就要根据 0 在末位和 0 不在末位的
【答案】 12
涂色(种植)问题
用 5 种不同颜色给下图中的 A、B、C、D
图 1－1－2 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区 域颜色不相同，问有多少种不同的涂色方法？
【思路探究】 注意结合具体图形中的形状， 由于 A， B， C 两两相邻，那么就从 A 与 D 的关系入手加以分类讨论它们 是否同色，进而解答．
高中数学选修2-3优质课件：分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理【応识梃理】1.完成一件事有两类不同的方案，在第1类方案中有加种不同的方法，在第2类方案中有〃种不同的方法，那么完成这件事共有N= R+门种不同的方法.2.完成一件事有〃类不同的方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有加2种不同的方法，…，在第〃类方案中有观”种不同的方法，则完成这件事共有N=... + ®种不同的方法.3.完成一件事需要两个步骤，做第1步有加种不同的方法，做第2步有〃种不同的方法，那么完成这件事共有N =心种不同的方法.4.完成一件事需要〃个步骤，做第1步有加1种不同的方法，做第2步有加2种不同的方法，…，做第n步有m n 种不同的方法，则完成这件事共有NSF…x®种不同的方法.【纟考麵型】同的选法?(2)从高三(1)班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1 名学生任学生会生活部部长，有多少种不同的选法？［解］(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，共有三类 男生数女生数 总数 高三⑴班30 20 50 高三⑵班30 30 60 高三⑶班 35 20 55某校高三共有三个班，各班人数如下表.(1)从三个班中选1名学生任学生会主席，有多少种不 分类加法计数原理[例1]不同的方案：第1类，从高三(1)班中选出1名学生，有50种不同的选法;第2类，从高三(2)班中选出1名学生，有60种不同的选法;第3类，从高三⑶班中选出1名学生，有55种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从三个班中选1名学生任学生会主席，共有50+60+55 = 165种不同的选法.(2)从高三⑴班、(2)班男生中或从高三⑶班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有三类不同的方案:第1类，从高三⑴班男生中选出1名学生，有30种不同的选法；第2类，从高三⑵班男生中选出1名学生，有30种不同的选法;第3类，从高三(3)班女生中选出1名学生，有20种不同的选法.根据分类加法计数原理知，从高三⑴班、(2)班男生中或从高三(3)班女生中选1名学生任学生会生活部部长，共有30+30+20=80种不同的选法•［类题通法］利用分类加法计数原理时要注意(1)要准确理解题意，确定分类的标准.(2)分类时要做到“不重不漏”，即类与类之间要保证相互间的独立性.［对点训练］若小且x+yW6,试求有序自然数对（兀，刃的个数. 解：按兀的取值进行分类:兀=1时，丿=1，2,3,4,5,共构成5个有序自然数对;兀=2 时，y = l，2,3,4,共构成4个有序自然数对;兀=5时，j = l,共构成1个有序自然数对.根据分类加法计数原理，共有^=5+4+3+2+1 = 15个有序自然数对.题型二分步乘法计数原理［例2］从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则满足下列条件的数有多少个?(1)三位数；(2)三位偶数.［解］(1)三位数有三个数位: 百位十位个位故可分三个步骤完成: 第1步，排个位，从1,23,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法;第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法.根据分步乘法计数原理，共有4X3X2=24个满足要求的三位数.(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法.根据分步乘法计数原理，共有2X3X2=12个满足要求的三位偶数.［类题通法］利用分步乘法计数原理时要注意(1)仔细审题，抓住关键点确立分步标准，有特殊要求的先行安排；(2)分步要保证各步之间的连续性和相对独立性.［对点训练］一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.(1)从两个口袋里各取1封信，有多少种不同的取法?(2)把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的投法?解：(1)各取1封信，不论从哪个口袋里取，都不能算完成了这件事，因此应分两个步骤完成，由分步乘法计数原理，共有5 X4=20种不同的取法.(2)若从每封信投入邮筒的可能性考虑，第一封信投入邮筒有4种可能，第二封信仍有4种可能，・・・，第九封信还有4种可能，所以共有4°种不同的投法.两个计数原理的综合应用［例3］现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30 人，组成冬令营.(1)若从中选1人作总负责人，共有多少种不同的选法?(2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法?(3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种选法?［解］(1)从高一选1人作总负责人有50种选法；从高二选1 人作总负责人有42种选法；从高三选1人作总负责人有30种选法.由分类加法计数原理，可知共有50+42+30=122种选法.(2)从高一选1名负责人有50种选法；从高二选1名负责人有42种选法；从高三选1名负责人有30种选法.由分步乘法计数原理，可知共有50X42X30=63 000种选法.(3)①从高一和高二各选1人作中心发言人，有50X42=2100种选法；②从高二和高三各选1人作中心发言人，有42X30=1 260种选法；③从高一和高三各选1人作中心发言人，有50X30=1 500种选法.故共有2 100+1 260+1 500=4 860种选法・［类题通法］在用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重” “不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序, 注意“步”与“步”之间的连续性.［对点训练］有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加.(1)若只需一人参加，有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法?(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同的选法?解：(1)有三类:3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法.由分类加法计数原理知，有3+8+5=16种选法.(2)分三步：第1步选老师，有3种方法；第2步选男同学, 有8种方法；第3步选女同学，有5种方法.由分步乘法计数原理知，共有3X8X5=120种选法.(3)可分两类，每一类又分两步.第1类，选一名老师再选一名男同学，有3X8=24种选法；第2类，选一名老师再选一名女同学，共有3X5 = 15种选法. 由分类加法计数原理知，共有24+15=39种选法.【俅习反僦】1.现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为（）B. 12A. 7C. 64D. 81解析：要完成长裤与上衣配成一套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步, 选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法.故共有4X3=12种不同的配法.答案：B2.已知集合M={19 -2,3}，N={—4,5,6,7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一.二象限内不同的点的个数是（）B. 17A. 1C. 16D. 10解析：分两类：第1类，M中的元素作横坐标，N中的元素作纵坐标，则有3X3=9个在第一、二象限内的点；第2 类，N中的元素作横坐标，M中的元素作纵坐标，则有4X2 =8个在第一、二象限内的点.由分类加法计数原理，共有9+8=17个点在第一、二象限内.答案：B3.从集合｛0,1,2,3,4,5,6｝中任取两个互不相等的数a, b组成复数a+肘，其中虚数有解析：第1步取b的数，有6种方法；第2步取"的数，也有6种方法.根据分步乘法计数原理，共有6X6 =36种方法.答案：364. 一学习小组有4名男生，3名女生，任选一名学生当数学课代表，共有种不同选法；若选男女生各一名当组长,共有_________ 种不同选法.解析：任选一名当数学课代表可分两类，一类是从男生中选,有4种选法；另一类是从女生中选，有3种选法.根据分类加法计数原理，共有4+3=7种不同选法.若选男女生各一名当组长，需分两步：第1步，从男生中选一名，有4种选法；第2步，从女生中选一名，有3种选法.根据分步乘法计数原理，共有4X3=12种不同选法.答案：7 125.有不同的红球8个，不同的白球7个.(1)从中任意取出一个球，有多少种不同的取法?(2)从中任意取出两个不同颜色的球，有多少种不同的取法？解：(1)由分类加法计数原理得, 从中任取一个球共有8+7 = 15种取法.⑵由分步乘法计数原理得' 从中任取两个不同颜色的球共有8X7 = 56种取法.。
高中数学选修2-3精品课件：1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(一)
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3.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成 复数a＋bi，其中虚数有___3_6____个. 解析 第一步取b的数，有6种方法， 第二步取a的数，也有6种方法， 根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法.
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4.将3封信投入6个信箱内，不同的投法有___2_1_6___种. 解析 分三步，每一步投一封信. 每封信都有6种投法， 共有6×6×6＝216(种)不同的投法.
从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法； 从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法. 所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10 ＋9×10＝431(种).
规律方法 (1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是 “分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步” 的具体标准是什么，选择合理的标准处理事件，关键是看 能否独立完成这件事，避免计数的重复或遗漏. (2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运 用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图 或列出表格，使问题更加直观、清晰.
2.用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1， A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能 编出多少个不同的号码？ 答 编写一个号码要先确定一个英文字母， 后确定一个阿拉伯数字，我们可以用树形图 列出所有可能的号码.如图：
由于前6个英文字母中的任意一个都能与9个数字中的任 何一个组成一个号码，而且它们各不相同，因此共有 6×9＝54(个)不同的号码.
第一章——
1.1 分类加法计数原理与分步乘法 计数原理(一)
[学习目标] 1.理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 2.会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题.
高中数学选修2-3课件：1.1分类加法计数原理和分步乘法计数原理
议、展
探究二：有一项活动，需在3名教师、8名男生
和5名女生中选人参加. （1）若只需一人参加，有多少种选法？ （2）若需教师、男生、女生各1人参加，有几种选法？
解 （1）只要选出1人就可以完成这件事， 而选出的1人有3种不同类型，即教师、 男生或女生，因此要分类相加. 第一类：选出的是教师，有3种选法. 第二类：选出的是男生，有8种选法. 第三类：选出的是女生，有5种选法. 根据加法原理，共有N=3+8+5=16种选
加法原理
乘法原理
联系
区分一
分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。 完成一件事情共有n类 完成一件事情,共分n个 办法，关键词是“分类” 步骤，关键词是“分步”
区分二Байду номын сангаас
每类办法都能独立完成 这件事情。
每一步得到的只是中间结果，
任何一步都不能独立完成 这件事情，缺少任何一步也
甲地
乙地 N1=2×3=6
N2=4×2=8
丙地
N= N1+N2 =14
丁地
法.
（2）完成这件事需要分别选出1名教师、1名 男生和1名女生，可以先选教师，再选男 生，最后选女生，因此要分步相乘. 第一步：选1名教师，有3种选法. 第二步：选1名男生，有8种选法. 第三步：选1名女生，有5种选法.
根据乘法原理， 共有N=3×8×5=120 种选法.
评 小结：分类计数与分步计数原理的区分和联系：
第一章 计数原理
§1.1 分类加法计数原理和分步 乘法计数原理
高二数学备课组
学习目标
❖ 1．理解分类加法计数原理与分 步乘法计数原理．
❖ 2．会用这两个原理分析和解决 一些简单的实际计数问题．
数学高中选修2-3第一章 计数原理1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理1.1 分类加法计数原理
制作 冯健璇
问题1 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车。若一天中火车有3列,汽车有2辆。那么一天中乘坐 这些交通工具从温州到杭州有多少种不同的走法?
变式： 从温州到杭州旅游,可以乘火车，也可以乘汽
车，还可以乘飞机。若一天中火车有3列,汽车有2辆， 飞机有４架。那么一天中乘坐这些交通工具从温州到 杭州有多少种不同的走法?
分类计数原理
(加法原理)
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，
则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
在1,2,3,…,200中，能够被5整除的数共有 多少个？ 解：能够被5整除的数，末位数字是0或5， 因此，我们把1,2,3,…,200中，能够被5整除的 数分成两类来计数： 第一类：末位数字是0的数，一共有20个． 第二类：末位数字是5的数，一共有20个． 根据加法原理，在1,2,3,…,200中，能够被5整 除的数共有20+20=40个．
一个商店销售某种型号的电视机， 其中本地的产品有4种，外地的产 品有7种，要买1台这种型号的电视 机，有多少种不同的选法？
N= 4 + 7 =11
分类计数原理
针对的是“分类”问题
(加法原理)
各类方法相互独立
完成一件事，有n类办法. 在第1类办法中有m1 种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方 法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法， 则完成这件事共有 N= m1+m2+… +mn 种 不同的方法．
完成一件工作，有两种方法，有5个人只会 用第一种方法，另外有4个人只会用第二种 方法，从这9个人中选1人完成这件工作， 一共有多少种选法？ 分类计数原理： 针对的是“分类”问题
高中数学北师大版选修2-3 分类加法计数原理与分步乘法计数 课件(32张)
第四步：选取左边第四个位置上的数字，有 3 种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有 6×5×4×3＝360(个)． (2)分步解决． 第一步：首位数字有 5 种选取方法； 第二步：百位数字有 5 种选取方法； 第三步：十位数字有 4 种选取方法； 第四步：个位数字有 3 种选取方法． 由分步乘法计数原理知，可组成四位整数有 5×5×4×3＝300(个)．
法二
(以盒子为研究对象)盒子标上序号 1,2,3,4,5，分成以下 10 类：
第一类：空盒子标号为(1,2)，选法有 3×2×1＝6(种)； 第二类：空盒子标号为(1,3)，选法有 3×2×1＝6(种)； 第三类：空盒子标号为(1,4)，选法有 3×2×1＝6(种)； 分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)， (3,5)，(4,5)，共 10 类，每一类都有 6 种方法． 根据分类加法计数原理得，共有方法数 N＝6＋6＋„＋6＝60(种)．
【答案】 (1)C (2)9
求解抽取(分配)问题的方法 1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框 图法或者图表法． 2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接法：直 接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．②间接法：去掉 限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的 抽取方法数即可．
§ 1
分类加法计数原理和分步乘法计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数 原理的应用
第 2 课时
1．掌握分类加法计数原理和分步乘法计数原理．(重点) 2．会应用两个计数原理解决简单的实际问题．(难点)
[ 基础· 初探] 教材整理 分类加法计数原理与分步乘法计数
原理的联系与区别 阅读教材 P3“例 1”和 P4“例 2”部分，完成下列问题． 两个计数原理的联系与区别： 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理
北师大版高中数学选修2-3 分类加法计数原理和分步乘法计数原理教学精品课件 (共27张ppt)
北师大版高中数学选修2-3 第一章1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学课 件 (共27张PPT)
例1 书架的第一层放有4本不同的语文书，第二层放有3本不同 的数学书，第三层放有2本不同的英语书. （1）从书架上任取1本书，有多少种取法？ （2）从书架的第一、二、三层各取1本书,有多少种不同的取法?
分类加法计数原理
分步乘法计数原理
相同点
用来计算完成一件事的方法种数
分类、 相加
分步、相乘
不同点 每类方案中的任意一 种方法都能独立完成
这件事
每步中的任意一种方 法都不能独立完成这 件事
北师大版高中数学选修2-3 第一章1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学课 件 (共27张PPT)
注意点 类类独立 不重不漏 步步相依 缺一不可
N m1 m2 mn 种方法.
★分类加法计数原理又称“加法原理”
北师大版高中数学选修2-3 第一章1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学课 件 (共27张PPT)
北师大版高中数学选修2-3 第一章1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学课 件 (共27张PPT)
问题3 如果中途增加上海游，假设一天中从赣州 到上海有3班飞机，从上海到北京有2班火车，那 么，从赣州经上海到北京共有多少种不同的走法？
我国的《九章算术》中 提到远古人结而计之.
古希腊毕达哥拉斯 学派倡导数而计之.
春秋战国时期出现了加法、乘法表, 人们开始倡导算而计之.
你有想过手机号码 为什么是11位数吗?
北师大版高中数学选修2-3 第一章1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 教学课 件 (共27张PPT)
赣B· A 1 4 9 7
北师版数学高二选修2-3教学设计1.1第1课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理
§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理第1课时分类加法计数原理和分步乘法计数原理三维目标1．知识与技能(1)理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(2)会利用两个计数原理分析和解决一些简单的应用题．重点难点重点：理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理，根据具体的问题特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题．难点：正确理解“完成一件事情”的具体含义，根据具体问题特征，正确选择某个计数原理解决一些简单的实际问题．教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认识水平(如列举法、树状图)和所需的知识(归纳推理、抽象概括、分类讨论思想)的特点入手．本节课内容中，两个原理是大量实践中总结出来的基本计数规律，它的表述通俗易懂，但通俗的语言，往往会掩盖其科学的，严谨的内涵．故教学处理时，仍以课本中两个简单的问题入手，问题一中引导学生归纳出分类计数原理；在问题二中，要分析清楚为什么将各步方法数相乘，再启发学生直接用类比方法得出分步计数原理．在此基础上，让学生分析两个原理的区别与联系，从而达到理解两个原理的目的．对于两个原理的简单应用，首先要让学生搞清“完成一件事情”的含义，然后确定是分类完成此事，还是分步完成此事，进而解决问题．教学中要适时激发学生的学习兴趣和探究精神，在教师的指导下，让学生自主探究与合作交流，从而加深对两个原理的理解与应用，从而突破了难点，也强化了重点．教学建议本节课的教学中，学生可能遇到的问题是如何选择对应的原理解决具体问题，产生这一问题的原因是学生无法把具体问题的特征与两个计数原理的基本思想联系起来．要解决这一问题，在本节教学中，应让学生先明确两个原理的适用条件及方法，再通过例题，引导学生逐步体会两个原理在实际问题中如何应用．教学流程提出问题，引入新课．通过两个具体实例的问题分析，点出本节所学内容．⇒观察归纳，形成概念．对于上面问题，引导学生弄清完成哪件事；按事情完成特点可分为多少类；每类包含的基本方法有哪些？总数是多少？⇒得出原理、知识应用．通过上面分析，得出加法原理，再通过例1及变式训练，巩固分类加法计数原理．⇒用同样的方法，通过例2、例3及变式训练引导学生学习分步乘法计数原理及两个原理的简单应用．⇒归纳小结，整理本节所学知识．⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识.1．一个三层书架的上层放15本不同的数学书，中层放16本不同的语文书，下层放14本不同的化学书，某人从中取出一本书，则本题中要“完成的一件事”是做什么？【提示】本题中要“完成的一件事”是“从书架上取一本书”．2．在问题1中，应该怎样从书架上取一本书(说一下位置即分几类办法)?【提示】这本书既可以从上层取，也可以从中层取，还可以从下层取．3．在问题1中，共有多少种不同的取法？【提示】由2可知，完成这件事可分为三类办法，即从上层、中层、下层中取一本书，而每一类办法中依次有15种、16种、14种办法．所以共有15＋16＋14＝45(种)办法．(1)定义：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法．(也称加法原理)(2)特点特点完成一件事可以有n类办法把每一类办法中的方法数相加，就可以得到完成这件事的方法数每一类办法中的每一种方法都可以完成这件事1．有三个盒子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个，现从盒子里任取红、白、黄小球各一个，则本题中要“完成的一件事”是做什么？【提示】本题中“要完成的一件事”是“要从盒子里任取红、白、黄小球各一个”．2．在问题1中应该如何“完成这件事”(说一下过程)?【提示】“要完成这件事”应分三个步骤：第一步是从一个盒子选出一个红球，第二步是从另一个盒子里选出一个白球，第三步是从最后一个盒子里选出一个黄球，即分三步完成这件事．3．在问题1中，共有多少种不同的取法？【提示】由2知，第一步共有6种方法(但不能“完成这件事”)，第二步共有5种方法，第三步共有4种方法．共有6×5×4＝120(种)方法．(1)定义：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法．(也称乘法原理)(2)特点特点完成一件事需要n个步骤，缺一不可把每一步的方法数相乘，就可以得到完成这件事的方法数完成每一步有若干种方法例1设有彩画中只选一幅布置房间，有几种不同的选法？【思路探究】(1)完成这件事是做什么？(2)一幅油画能完成此事吗？一幅国画呢？一幅水彩画呢？(3)应用哪个计数原理能解决此事？解：选一幅画布置房间分三类计数：第一类：选油画，有5种不同的选法；第二类：选国画，有2种不同的选法；第三类：选水彩画，有7种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝5＋2＋7＝14种不同的选法．规律方法分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原理：(1)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；(2)分别属于不同两类的两种方法是不同的方法．前者保证完成这件事的方法不遗漏，后者保证不重复，即分类要做到不重不漏．变式训练1．某班有男生26人，女生24人，从中选一位担任学习委员，不同的选法有() A．50种B．26种C．24种D．616种【解析】选一位学习委员分两类办法：第一类：选男生，有26种不同的选法；第二类：选女生，有24种不同的选法．根据分类加法计数原理，共有N＝26＋24＝50种不同的选法．【答案】 A2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4,5}，设P(x，y)，x∈M，y∈N，若点P在直线y＝x的上方，则这样的点P有多少个？解：∵点P(x，y)在直线y＝x的上方，∴x<y.∴以x的取值进行分类，应分三类．第一类：当x＝1时，y＝2,3,4,5，共4种选法；第二类：当x＝2时，y＝3,4,5，共3种选法；第三类：当x＝3时，y＝4,5，共2种选法．由分类加法计数原理知，共有4＋3＋2＝9种选法，即点P共有9个.例2以配制成多少种不同的品种？【思路探究】(1)完成的这件事是什么？(2)如何完成这件事？(3)它属于分步还是分类？(4)运用哪个计数原理．解：完成这件事是配制套餐，选一个荤菜，选一个素菜，选一个汤，因此需分三步完成此事，由分步乘法计数原理可得：配制成不同的套餐品种共有6×5×3＝90种．规律方法解决分步乘法计数问题的思考过程是(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，怎样才算是完成这件事．(2)完成这件事如何进行分步，每一步中有多少种方法．(3)完成这件事共有多少种方法．变式训练将3封信投到4个邮筒，共有多少种投法？解：完成这件事是“把3封信投完”，需分三步完成，而每一封有4种投法，由分步乘法计数原理知共有4×4×4＝43＝64种投法．例3坐标，则在直角坐标系中，第一、二象限内不同点的个数为()A．18B．16 C．14D．10【思路探究】(1)完成的这件事是什么？(2)如何完成这件事？(3)它属于分步还是分类？(4)如何进行求解．【解析】完成这件事是确定第一、二象限内的总的坐标，确定点的坐标可分两步完成，一是先确定横坐标，二是确定纵坐标；而哪个集合中的元素作横坐标，哪个集合中的元素作纵坐标，需要分两类完成．因此，完成此事可分两类办法．第一类，以集合M中的元素作为点的横坐标，集合N中的元素作为点的纵坐标．在集合M中任取一个元素，有3种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合N中的5,6中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理，有3×2＝6个不同的点．第二类，以集合N中的元素作为点的横坐标，集合M中的元素作为点的纵坐标．在集合N中任取一个元素，有4种不同的方法，而适合题意的点在第一、二象限，必须且只需从集合M中的1,3中取1个，有2种不同的取法．由分步乘法计数原理有4×2＝8个不同的点．由分类加法计数原理，得第一、二象限内不同的点共有6＋8＝14个．【答案】 C规律方法应用两个计数原理解决应用问题的方法：(1)分清是“分类”还是“分步”；(2)清楚“分类”或“分步”的具体标准是什么；(3)“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．变式训练从0、1、2、3、4、5这些数字中选出4个，问能形成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？解：满足条件的四位数可分为两类．第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成．第一步确定首位有5种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．∴第一类共有5×4×3＝60个．第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．第二类共有4×4×3＝48个．∴满足条件的四位数共有60＋48＝108个.易错题对完成一件事理解不透致误典例甲、乙、丙、丁4位同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，每门学科只有一名冠军产生，有多少种不同的冠军获得情况？【错解】方法一分4步完成这件事．第1步，第一位同学去夺三项冠军，有可能一个也没获得，也可能获得1个或2个或全部，因此，共有4种不同情形；同理，第2、3、4步分别由其他3位同学去夺这三项冠军，都各自有4种不同情况，由分步乘法计数原理知，共有4×4×4×4＝44＝256种冠军获得情况．方法二分4步完成这件事．第1步，第一位同学去夺三项冠军，有3种可能；同理，第2、3、4步分别由其他3位同学去夺这三项冠军，都各自有3种不同情况．由分步乘法计数原理知，共有3×3×3×3＝34＝81种冠军获得情况．【错因分析】A，B两位同学的解答都是错误的．要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每个学科只有一名冠军产生”．但A，B两同学的解答都有可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情况，另外A 同学的解答中还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．【防范措施】上述问题是一类元素允许重复选取的计数问题，可以用分步计数原理来解决，关键是明确要完成的一件事是什么．上述问题研究的对象是3门学科，而不是4名同学，不同的学科冠军是可以被同一名同学夺得的．也就是说，用分步乘法计数原理求解元素可重复选取的问题在分步时，哪类元素必须“用完”就以哪类元素作为分步的依据．如：3个人分别从5个城市中任选一个去旅游，有多少种不同的选法？因为这里3个人必须“用完”，所以，以3个人为分步的依据进行分步，有5×5×5＝53＝125种不同的选法．【正解】可先举例说出其中的一种情况，如数学，物理，化学竞赛的冠军分别是甲、甲、丙，可见研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生一名冠军，才完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分3步．第1步，产生第1个学科冠军，它一定被其中一名同学获得，有4种不同的获得情况；第2步，产生第2个学科冠军，因为夺得第一个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第3步，同理，产生第3个学科冠军，也有4种不同的获得情况．由分步乘法计数原理知，共有4×4×4＝43＝64种不同的冠军获得情况．课堂小结1．加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事要分为若干类，各类中的各种方法相互独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事．2．乘法计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成一个事件，注意各步骤间的连续性即不漏步骤也不重步骤.当堂达标1．两个书橱，一个书橱内有7本不同的小说，另一个书橱内有5本不同的教科书，现从两个书橱内任取一本书的取法有()种A．7B．5C．12 D．35【解析】根据分类加法计数原理，不同的取法为N＝7＋5＝12(种)．【答案】 C2．教学大楼共有5层，每层均有两个楼梯，由一楼到五楼的走法有()种A．10 B．25C．52D．24【解析】根据分步乘法计数原理，不同的走法为N＝24(种)．【答案】 D3．乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)展开后，共有________项．【解析】∵乘积(a＋b＋c)(m＋n)(x＋y)的展开式中的每一项是由a＋b＋c中的一个字母与m＋n中的一个字母与x＋y中的一个字母的乘积组成．可分步完成此事．所以共有3×2×2＝12项．【答案】124. 若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0,1,2,3,5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？解：分两类完成：第1类：当A或B中有一个为0时，表示的直线为x＝0或y＝0，共2条；第2类：当A，B都不为0时，确定直线Ax＋By＝0需分两步完成：第1步：确定A的值，有4种不同的方法，第2步：确定B的值，有3种不同的方法，由分步乘法计数原理，共可确定4×3＝12条直线．由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线共有2＋12＝14条.(教师用书独具)备选例题现有高一四个班学生共34人，其中一、二、三、四班分别是7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．推选二人做中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？【思路探究】主要考查两个计数原理的综合应用，先考虑分类再考虑分步．解：分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法；所以共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431种．规律方法1．本例中，应注意以下两点：(1)按规律分类，做到不重不漏，而这一规律也是列举法的常用技巧；(2)解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时应“先分类后分步”．2．用两个计数原理处理问题时，首先要分清是“分类”还是“分步”，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准．在“分类”时，要遵循“不重、不漏”的原则；在“分步”时，要正确设计“分步”的程序，注意“步”与“步”之间的连续性．备选变式由数字0,1,2,3,4,5,6这七个数字能组成多少个无重复数字的四位偶数？解：分两类：第一类，首位取奇数数字(可取1,3,5中任一个)，则末位数字可取0,2,4,6中任一个，而百位数字不能取与这两个数字重复的数字，十位则不能取与第三个数字重复的数字，故共有3×4×5×4＝240种取法．第二类，首位取2,4,6中的某个偶数数字，则末位只能取剩余的3个偶数数字中任一个，百位又不能取与上述有重复的数字，十位不能取与这三个数字重复的数字，故共有3×3×5×4＝180种取法．故共有240＋180＝420个无重复数字的四位偶数．【开心阅读】计数和计数原理计数是一个重复加(或减)的数学行为，通常用于计算所求对象的数目．此外，计数也可以被人们(主要是被儿童)用来学习数字名称和数字系统的知识．由现今的考古证据可以推测人类计数的历史至少有五万年，它的发展推动了数学符号及计数系统的发展．古代人主要使用计数来记录如负债和资本等经济数据.中国人在计数时，常常用笔画“正”字，一个“正”字有五画，代表5，两个“正”字就代表10，以此类推．这个计数方法简便易懂，很受中国人欢迎．那么，到底是谁最先使用的这个巧妙方法呢？据说这种方法最初是戏园司事们记“水牌账”时用的．清末民初，戏园(俗称茶园)是人们日常生活中重要的娱乐场所．每天戏园里要迎来很多观众，可是那时候还没有门票这种东西，戏园就安排“案目”(就是现在所说的服务员)在戏园门口招待看客，领满五位入座，司事(记账先生)便在大水牌(类似黑板)上写出一个“正”字，并标明某案目的名字．座席前设有八仙桌，看客可边品茶边看戏．稍后由案目负责计数、收费．到散场结账时准确无误.这个方法随着戏园实行门票制而被废弃，但是作为一种简明、易懂、方便的记数法，一直流传下来．到现在很多中国人在统计选票、清点财物等时候，都还保持着用“正”字计数的习惯．分类加法计数原理和分步乘法计数原理是处理计数问题的两种基本思想方法．一般地，面对一个复杂的计数问题时，人们往往通过分类或分步将它分解为若干个简单计数问题，在解决这些简单问题的基础上，将它们整合起来而得到原问题的答案，这是在日常生活中也经常使用的思想方法．通过对复杂计数问题的分解，将综合问题化解为单一问题的组合，再对单一问题各个击破，可以达到以简驭繁、化难为易的效果．。
课堂设计高中数学 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计
完成一件事,共有 n 类办法, 关键词是“分类”
完成一件事,共分 n 个步骤,关键词是“分 步”
区 别 二
每类办法中每种方法都能独 立地完成这件事,它是独立 的、一次的且每次得到的是 最后结果
每一步得到的只是中间结果,任何一步都 不能独立完成这件事,缺少任何一步也不 能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才 能完成这件事
做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.
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特别提醒应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点:
第一,明确题目中“完成一件事”所指的是什么事,怎么才算是完成这件 事,完成这件事可以有哪些办法.
第二,完成这件事的 N 种方法是相互独立的,无论哪类办法中的哪种方 法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.
第三,确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种 方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法是不同的方法,也就是
特别提醒应用分步乘法计数原理要注意的问题:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某 一步骤的某种方法是不能完成这件事的,也就是说必须要经过几步才能完 成这件事.
(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成 这件事,缺少哪一步骤,这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去
思考 2 应用分步乘法计数原理的关键是什么?
提示:应用分步乘法计数原理的关键是依据题意把完成的一件事恰当
2019-2020学年北师大版高中数学选修2-3同步配套课件：1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理的应用1.1.1
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题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练3】 若直线方程Ax+By=0中的A,B可以从0,1,2,3,5这 五个数字中任取两个不同的数字,则方程所表示的不同直线共有多 少条?
分析:因为有特殊数字0,应对它进行讨论. 解:分两类完成: 第1类:当A或B中有一个为0时,表示的直线为x=0或y=0,共2条; 第2类:当A,B都不为0时,确定直线Ax+By=0需分两步完成: 第1步:确定A的值,有4种不同的方法, 第2步:确定B的值,有3种不同的方法,
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题型三 两个计数原理的综合应用
【例3】 现有高一四个班的学生34人,其中一、二、三、四班各 7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法? (2)每班选一名组长,有多少种不同的选法? (3)推选两人做发言,这两人需来自不同的班级,有多少种不同的 选法? 分析:对于(1),由于负责人可以是这四个班中的任何一个学生,故 用加法原理;对于(2),由于每班都要选一名班长,要分步进行,故用乘 法原理解决;对于(3),由于两个人来自于不同的班级,可以是一、二 班,也可以是……,故要用加法原理和乘法原理.
第一章 计数原理
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§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
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第1课时 分类加法计数原理和分步乘法计数原理
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1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些 简单的实际问题.
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探究三
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点评应用分类加法计数原理解题时应注意:
(1)清楚怎样才是完成“一件事”的含义,即知道做“一件事”,或完成一 个“事件”或“任务”在每个题中的具体所指.
学生会的体育部长,有多少种不同的选法?
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§ 分类加法计数原理和 分步乘法计数原理
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解:(1)选一名学生有三类不同的选法: 第一类:从高二(一)班选一名,有 50 种不同的方法; 第二类:从高二(二)班选一名,有 60 种不同的方法; 第三类:从高二(三)班选一名,有 55 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50+60+55=165 种. (2)选一名学生任学生会的体育部长有三类不同的选法: 第一类:从高二(一)班男生中选,有 30 种不同的方法; 第二类:从高二(二)班男生中选,有 30 种不同的方法; 第三类:从高二(三)班女生中选,有 20 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会的体育部长有 30+30+20=80 种不同的方法.
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§1 分类加法计数原理和 分步乘法计数原理
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表解如下:
加法原理
乘法原理
区 别 一
完成一件事,共有 n 类办法, 关键词是“分类”
完成一件事,共分 n 个步骤,关键词是“分 步”
在应用分步乘法计数原理时,各个步骤都完成,才算完成这件事.各步骤
之间互不影响,即前一步用什么方法,不影响后一步采取什么方法.运用分步
乘法计数原理时,要确定好次序. 【例 2】(1)4 名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,
共有多少种报名方法? (2)4 名同学争夺跑步、跳高、跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一
简言之,在应用分类加法计数原理解题时应注意:①明确任务,②确定分 类标准,③不重不漏.
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探究二分步乘法计数原理的应用
区 别 二
每类办法中每种方法都能独 立地完成这件事,它是独立 的、一次的且每次得到的是 最后结果
每一步得到的只是中间结果,任何一步都 不能独立完成这件事,缺少任何一步也不 能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才 能完成这件事
区 别 三
各种方法之间是互斥的、并 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保
列的、独立的
特别提醒应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点:
第一,明确题目中“完成一件事”所指的是什么事,怎么才算是完成这件 事,完成这件事可以有哪些办法.
第二,完成这件事的 N 种方法是相互独立的,无论哪类办法中的哪种方 法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法.
第三,确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种 方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法是不同的方法,也就是
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解:(1)要完成的是“4 名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因 为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人 可在三项中选一项,选法为 3 种,所以共有 3×3×3×3=81 种报名方法.
(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能有一 人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主” 为线索进行分步,而每项冠军是四人中的某一人,有 4 种可能的情况,于是共 有 4×4×4=64 种可能的情况.
分类必须既“不重复”也“不遗漏”.
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思考 1 应用分类加法计数原理的关键是什么?
提示:应用分类加法计数原理的关键是依据题意把完成的一件事恰当
以独立地完成这件事时,用分类加法计数原理来解决.在分类时要注意:(1)
分类的标准并不是统一的,可以有多种分类的办法,我们在平时解题时,争取
找到最简单的分类办法;(2)分类时要满足不重不漏的原则,避免造成错误. 【例 1】高二(一)班有学生 50 人,男生 30 人;高二(二)班有学生 60 人,
女生 30 人;高二(三)班有学生 55 人,男生 35 人. (1)从中选一名学生任学生会主席,有多少种不同选法? (2)从高二(一)班、(二)班男生中,或从高二(三)班女生中选一名学生任
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探究一
探究二
探究三
探究四
【例 3】由 0,1,2,3,4,5,6 这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位 偶数?
解:要组成无重复数字的四位偶数可分两类.
特别提醒应用分步乘法计数原理要注意的问题:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某 一步骤的某种方法是不能完成这件事的,也就是说必须要经过几步才能完 成这件事.
(2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成 这件事,缺少哪一步骤,这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去
第一章 计数原理
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课程目标
学习脉络
1.理解并掌握分类加法计数原理和分步 乘法计数原理. 2.能根据具体问题的特征,正确地选用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理进
去掉放在首位剩余两个中任一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数
字,十位数字则不能取与这三个数字重复的数字,依据分步乘法计数原理,有
3×3×5×4=180 种取法.
根据分类加法计数原理,共可以组成 240+180=420 个无重复数字的四
位偶数.
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行处理.
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1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1种方法,在第二类办 法中有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种方法.(也称加法原理)
(2)每个问题中,标准不同,分类也不同.分类时,首先要根据问题的特点 确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注 意满足两条基本原则:①完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类(不 漏).②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法(不重复),即分类加法计 数原理中的“不重不漏”原则.
地分成若干个步骤.只有每一步都完成了,才算完成了这件事.
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3.两个原理的关系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的 不同方法的种数问题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题, 其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法 计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤 都完成才算做完这件事.
不遗漏,“独立”确保不重复
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探究三
探究四
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探究一分类加法计数原理的应用
当完成一件事有几类不同的办法,其中每一类办法的每一种方法都可
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探究三
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点评正确使用两个基本计数原理的前提是要清楚两个基本计数
原理的使用条件,合理进行分类和分步.一定要做到分类明确,层次清楚,不 重不漏.
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