【推荐】专题02 函数的性质及其应用备战2019年高考数学二轮复习热点难点全面突破(上海地区)

专题02 函数的性质及其应用专题点拨1．建立函数关系、进行函数运算、判断函数奇偶性和图像的对称性、函数的单调性时，要避免因忽略函数定义域而导致的错误.研究函数，优先考虑其定义域.2．关于函数的基本性质的综合性问题，要学会利用函数的奇偶性、单调性和周期性，以及图像的对称性，简化研究的范围,事半功倍.3．处理存在性与恒成立问题时，通常可以通过分离变量，转化为函数最值问题，当分离变量遇到困难时，可以考虑采用数形结合、主参换位、分类讨论等方法加以解决.4．涉及函数周期性问题，要从定义域、函数解析式、函数性质、图像等多方面认真加以推敲掌. 5．利用分类讨论方法建立分段函数模型时，要做到不重不漏，分段分析，整体把握； 6．掌握常用函数图象变换：平移、对称、翻折和伸缩变换.真题赏析1．(2018·上海)设常数a ∈R ，函数．若()f x 的反函数的图像经过点(3,1)，则a =_______．【答案】 7【解析】a ∈R ，()f x 的反函数的图象经过点(3,1)∴的图象经过点(1,3)，∴，解得7a =．2．(2018·上海)设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数，若()f x 的图像绕原点逆时针旋后与原图像重合，则在以下各项中，(1)f 的可能取值只能是（ ）.B C D ．0【答案】B【解析】 由题意得到：问题相当于圆上由12我们可以通过代入和赋值的方法当时，，0，然而此时0x =或者1x =时，都有2个y 与之对应，而函数的定义就是要求一个x 只能对应一个y 因此只有当，此时满足一个x 只会对应一个y ，因此选B ．例题剖析【例1】 （2018·黄浦区二模）已知函数（1）求函数()f x 的反函数1()fx -；（2）试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； （3）若方程的三个实数根 123x x x 、、满足: 123x x x <<，且，求实数a 的值．(2) 答 函数图像上存在两点关于原点对称. 设点是函数图像上关于原点对称的点，则，即， 解得，且满足01x <≤ .因此，函数图像上存在点关于原点对称.(3) 考察函数()y f x =与函数的图像，可得当时，有，原方程可化为，解得，且由，得.当时，有，原方程可化为，化简得，解得 (当时，).于是，.由，得，解得.因为，故不符合题意，舍去；，满足条件.因此，所求实数.【变式训练1】（2018·徐汇区二模）已知函数，其定义域为，(1) 当2t =时，求函数()y f x =的反函数；(2) 如果函数()y f x =在其定义域内有反函数，求实数t 的取值范围．(1)；，即0t ≤，则()y f x =在定义域上单调递增，所以具有反函数； ，即10t ≥，则()y f x =在定义域上单调递减，所以具有反函数； ，即28t ≤≤时，由于区间[]0,3关于对称轴[]33,3t t -，于是当，即[)2,4t ∈或(]6,8t ∈时， 函数()y f x =在定义域上满足1-1对应关系，具有反函数． 综上，．【例2】已知集合M 是满足下列性质的函数()f x (定义域为D)的全体：存在非零常数k ，对任意x D ∈，有成立．(1)判断函数是否属于集合M ； (2)证明，并找到一个常数k .【解析】(1)()f x M ∉.假设，得.于是，一方面，1k =，另一方面，0k =.这是矛盾！故()f x M ∉.(2)若()f x M ∈，则有22kk =，取2k =，则满足，即()f x M ∈.【变式训练2】 定义区间、、、的长度均为，已知不等式的解集为A ．求A 的长度；函数的定义域与值域都是，求区间的最大长度.【解析】不等式的解集为A．，，，，，集合A的长度为：．函数的定义域是，函数的定义域与值域都是，，，，化简，得：在区间上都是单调递增，，，n是方程的同号相异的实数根，，n是方程同号相异的实数根，，，只需要，即，解得或，，的最大值为，此时．区间的最大长度为．【例3】（2019·浦东新区一模）已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】解：当时，当时，若，则在上是单调递增函数，所以若满足题目要求，则所以，，又，所以．【变式训练3】已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）|x﹣a2|+|x﹣2a2|﹣3a2），若∀x∈R，f（x﹣1）≤f（x），则实数a的取值范围为（）A．[B．[C．[D．[【答案】B【解析】当x≥0时，由f （x ）=x ﹣3a 2，x ＞2a 2，得f （x ）＞﹣a 2； 当a 2＜x≤2a 2时，f （x ）=﹣a 2；由f （x ）=﹣x ，0≤x≤a 2，得f （x ）≥﹣a 2． ∴当x ＞0时，2min ()f x a =-．∵函数f （x ）为奇函数， ∴当x ＜0时，2max()f x a =．∵对∀x ∈R ，都有f （x ﹣1）≤f（x ）， ∴2a 2﹣（﹣4a 2）≤1，解得：．故选：B ．【例4】（2019·青浦区一模）对于在某个区间[,)a +∞上有意义的函数()f x ，如果存在一次函数使得对于任意的[,)x a ∈+∞，有恒成立，则称函数()g x 是函数()f x 在区间[,)a +∞上的弱渐近函数.（1）若函数()3g x x =是函数在区间[4,)+∞上的弱渐近函数，求实数m 的取值范围；（2）证明：函数()2g x x =是函数在区间[2,)+∞上的弱渐近函数.【解析】（1）因为函数()3g x x =是函数在区间[)+∞4，上的弱渐近函数， 所以，即在区间[)+∞4，上恒成立，即（2），令任取122x x ≤<，则，即函数在区间[)2,+∞上单调递减，所以，又，即满足()2g x x =使得对于任意的[)2,x ∈+∞有恒成立，所以函数()2g x x =是函数在区间[)2,+∞上的弱渐近函数．巩固训练一、填空题1. （2018·建平中学模拟）若函数f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x ﹣2，则f ﹣1（3）= ． 【答案】1【解析】∵函数f （x ）是奇函数，且x ＜0时，f （x ）=x ﹣2， 故x ＞0时，﹣x ＜0，f （﹣x ）=﹣x ﹣2=﹣f （x ）， 即f （x ）=x+2， 若f ﹣1（3）=a ， 则f （a ）=3，当a ＜0时，f （a ）=a ﹣2=3，即a=5（舍去） 当a ＞0时，f （a ）=a+2=3，即a=1， 故f ﹣1（3）=1.2．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，，那么，不等式的解集是__________． 【答案】(7,3)-【解析】因为()f x 为偶函数，所以，则,可化为，即，所以|2|5x +<，解得73x -<<，所以不等式的解集是(7,3)-．3. （2018·建平中学模拟）已知函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，则实数a的取值集合为 ．【答案】（，1]【解析】a=0时，函数f （x ）=lg （﹣4x+5），应满足﹣4x+5＞0，解得x ＜，不满足题意；a ＞0时，由题意知，解得＜a ≤1；a ＜0时，由题意知，此时无解；综上，函数f （x ）=lg （ax 2﹣4x+5）在（1，2）上为减函数，实数a 的取值集合是（，1]．4. 若不等式对任意[]1,1m ∈-恒成立，求实数x 的取值范围是______.【答案】【解析】可转化为，设，则()f m 是关于m 的一次型函数，要使()0f m <恒成立，只需，解得.5．（2019·普陀区一模）设a 为常数记函数且，的反函数为，则______．【答案】6. 已知定义在R 上的奇函数()f x，满足，且在区间[]0,2上是增函数，若方程在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则__________．【答案】8-【解析】 因为定义在R 上的奇函数，且，则，函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由知，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上是增函数，所以)(x f 在区间[2,0]-上也是增函数. 如图所示，那么方程在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设由对称性知344x x +=所以7. 已知函数的图像关于点(2,0)-中心对称，设关于x 的不等式的解集为A ，若，则实数m 的取值范围是 ．【答案】3m ≤-或3m =【解析】函数()f x 的图象关于点(2,0)-中心对称，则，由此求得4a =，所以，，显然0m =不舍题意，当0m >时，⇔，由题意3m ⇒=，当0m <时，⇔，因为，所以由题意3m ⇒≤-或3m ≥3m ⇒≤-，综上，m 的取值范围是3m ≤-或3m =．二、选择题1. 函数，[3,5]x ∈的值域为( )A ．[2,3]B ．[2,5]C ．D 【答案】A 【解析】f (x )＝x ＋4x －2－4＝x －2＋4x －2－2，∵3≤x ≤5，∴1≤x －2≤3，∴f (x )≥24－2＝2，故当x ＝4时，f (x )＝2即为最小值，又因为f (3)＝3，f (5)＝73，故f (x )在[3，5]上的值域为[2，3]．2. 若函数f （x ）=ax 2+bx+c 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M ﹣m （ ）A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】设函数f （x ）=ax 2+bx+c 在x 1处取的最大值，在x 2处取的最小值，0≤x 1≤1，0≤x 2≤1，且x 1≠x 2， ∴M=f （x 1）=ax 12+bx 1+c ，m=f （x 2）=ax 22+bx 2+c ，∴M ﹣m=ax 12+bx 1+c ﹣ax 22﹣bx 2﹣c=a （x 12﹣x 22）+b （x 1﹣x 2）， ∴与a ，b 有关，但与c 无关.3. 已知,x y ∈R ，且0x y >>，则（ ）.B. C.D.【答案】C【解析】选项A 错误：因为；选项B 错误：三角函数sin y x =在()0,+∞上不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，举反例如，当时，；选项C 是减函数，可得；选项D 错误：举一个反例如，e x =，.,x y 满足0x y >>，但.4. 已知函数，则使得的x 的范围是（ ）A ．()0,2B ．(),0-∞C ．D ．()2,+∞【答案】A 【解析】由于，所以函数为偶函数，且在()0,+∞上为减函数，因此，则需，解得()0,2x ∈.5. 已知定义在R 上的函数)(x f 满足)2(x f -为奇函数，函数)3(+x f 关于直线1=x 对称，则下列式子一定成立的是（ ） A ． B.C. D.【答案】B【解析】因为(2)f x -为奇函数，所以，则．又因为(3)f x +关于直线1x =对称，所以()f x 关于4x =对称，所以，则，于是8为函数()f x 的周期，所以，故选B ．6．定义区间12[,]x x 的长度为21x x -（21x x >），函数的定义域与值域都是，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A ．-3 C ．1 D ．3 【答案】D【解析】由0x ≠，或，故函数在[]n m ,上单调递增,则()()⎩⎨⎧==n n f mm f ，故n m ,是方程的同号的相异实数根，即的同号的∴n m ,同号，只需∴1a >或3a <-3-<a ，，m n -取最大值为．此时3=a . 三、解答题1.（2019·松江区一模）已知函数（常数a ∈R ）（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[2,3]x ∈，都有成立，求m 的最大值. 【解析】（1）若)(x f 为奇函数，必有得1a =，当1a =时，，∴当且仅当1a =时，)(x f 为奇函数，，∴对任意实数a ，都有∴)(x f 不可能是偶函数（2）由条件可得：恒成立，记21x t =+，则由[2,3]x ∈ 得[5,9]t ∈，此时函数在[5,9]t ∈上单调递增，所以()g t 的最小值是，即m 的最大值是2.（2019·徐汇区一模）已知函数其中.a R ∈（1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数. 【解析】（1）不等式()1f x ≤-即为当1a <-时，不等式解集为； 当1a =-时，不等式解集为；当1a >-时，不等式解集为(]2,0.-（2）任取120,x x <<则所以要使()f x 在(0,)+∞递减即只要10a +<即1,a <-故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.3.已知函数(1) 若是偶函数,且在定义域上ax x F ≥)(恒成立,求实数a 的取值范围；(2) 当1=a 时,令,问是否存在实数λ,使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数,在()0,1-上是增函数？如果存在,求出λ的值；如果不存在,请说明理由.【解析】(1)是偶函数,0=∴b 即,R x ∈又ax x F ≥)(恒成立即当1=x 时a R ∈；当1>x 时, ,当1<x 时, ,，综上:(2))(x ϕ∴是偶函数,要使)(x ϕ在()1,-∞-上是减函数在()0,1-上是增函数,即)(x ϕ只要满足在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数. 令2x t =,当()1,0∈x 时()1,0∈t ；()+∞∈,1x 时()+∞∈,1t ,由于()+∞∈,0x 时,2x t =是增函数记，故)(x ϕ与)(t H 在区间()+∞,0上有相同的增减性,当二次函数在区间()+∞,1上是增函数在()1,0上是减函数,其对称轴方程为1=t .4.已知函数：.(1) 证明：函数的图像关于点(,1)a -成中心对称图形； (若函数()f x 在定义域内满足，则说函数图像关于点(,)m n 成中心对称图形 )(2) 当()f x 的定义域为时，求证：()f x 的值域为[]3,2--； (3) 设函数，求()g x 的最小值．①当时，则函数在上单调递增，如果时，)(x g 在处无定义，故)(x g 最小值不存在； ②当如果如果当综合得： g （x ）最小值不存在； ，g （x ）时 g （x ）最小值是2)1(-a ；当 g （x5.【拔高题】（2018·建平中学模拟）已知函数f （x ）=log n x （n ＞0，n ≠1）． （1）若f （x 1x 2）=10，求f （x 12）+f （x 22）的值；（2）设g （x ）=f （），当x ∈（m ，n ）时，g （x ）的值域为（1，+∞），试求m 与n 的值；（3）当n=3时，记h （x ）=f ﹣1（x ）+（m ＞0），如果对于区间[﹣1，0]上的任意三个实数r ，s ，t ，都存在以h （r ）、h （s ）、h （t ）为边长的三角形，求实数m 的取值范围． 【解析】（1）若f （x 1x 2）=10， 则log n x 1x 2=10，则f （x 12）+f （x 22）=log n x 12+log n x 22=log n x 12x 22=log n （x 1x 2）2=2log n x 1x 2=20．（2）g （x ）=f （）=log n=log n （）=log n （1+），则y=1+在（1，+∞）上为减函数，∵当x ∈（m ，n ）时，g （x ）的值域为（1，+∞）， ∴m=1，n ＞1，则函数g （x ）在（m ，n ）上为减函数，则g （n ）=1，即log n （1+）=1，得1+=n ，即=n ﹣1，的（n ﹣1）2=2，得n ﹣1=±，则n=1或n=1﹣（舍）．（3）当n=3时，记h （x ）=f ﹣1（x ）+=3x +，（m ＞0），∵﹣1≤x ≤0，∴设t=3x，则≤t ≤1，即y=t+，（≤t ≤1），由题意得在≤t ≤1上恒有2y min ＞y max 即可．①当0＜m ≤时，函数h （x ）在[，1]上递增，y max =1+m ，y min =3m+．由2y min ＞y max 得6m+＞1+m ，即5m ＞，得m ＞．此时＜m ≤．②当＜m≤时，h（x）在[，]上递减，在[，1]上递增，y max=max{3m+.1+m}=1+m，y max=3m+，y min=2，由2y min＞y max得4＞1+m，得．此时＜m≤．。