第十五章_整式乘除与因式分解_全章导学案

第十五章整式乘除与因式分解

§15.1 整式的乘法 第

同底数幂乘法

学习目标

⒈在推理判断中得出同底数冪乘法的运算法则，并掌握“法则”的应用. ⒉经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程，感受幂的意义，发展推理能力和表达能力，提高计算能力.

⒊在组合作交流中，培养协作精神,探究精神，增强学习信心. 学习重点：同底数冪乘法运算性质的推导和应用. 学习难点：同底数冪的乘法的法则的应用. 学习过程：

一、预习与新知： ⒈⑴ 阅读课本P 141-142

（2）3

2 表示几个2相乘？2

3表示什么？

5a 表示什么？m a 呢？

（3）把22222????表示成n

a 的形式.

⒉请同学们通过计算探索规律.

（1）()())

(2

2222222224

3

=?????=?

(2)35 ?45= )(5= （3）

7)3(-?6

)3(-= ())(3-= （4）)

(?

?

? ??=??? ?????? ??1011011013

（5）3

a ?4

a = =()

a

⒊计算（1）3

2?4

2和72 ； （2）5233?和73

（3）3a ?4a 和7a (代数式表示)；观察计算结果，你能猜想出m a ?n

a 的结果吗？

问题：（1）这几道题目有什么共同特点？

（2）请同学们看一看自己的计算结果，想一想这个结果有什么规律？

⒋请同学们推算一下m a ?n

a 的结果？

同底数幂的乘法法则： 二、课堂展示：

（1）计算 ①310?410 ②3a a ? ③53a a a ?? ④x x x x ?+?2

2

（2）计算 ①1

1010+?m n ②57x x ? ③9

7m m m ?? ④-4

444?

⑤()3

9

22-? ⑥12222

+?n n

⑦ y y y y ???425 ⑧5

32333??

三、随堂练习：（1）课本P 142页练习题

（2）课本P 148页15.1第1①②，2①

C 组

1.计算：①10

432b b b b ??? ②()()8

7

6

x x x -?- ③()()()5

6

2

x y y ----

④()()()3

6

4

5

p p p p ?-+-?-

2.把下列各式化成()n

y x +或()n

y x -的形式.

① ()()4

3

y x y x ++ ②()()()x y y x y x ---2

3

③()

()12+++m m

y x y x

3.已知9x x x

n m n

m =?-+求m 的值.

四．小结与反思

第二课时 幂的乘方

学习目标

⒈理解幂的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义；通过推理得出幂的乘方的运算性质，并且掌握这个性质.

⒉经历一系列探索过程，发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力，通过情境教学，培养学生应用能力.

⒊培养学生合作交流意识和探索精神，让学生体会数学的应用价值. 学习重点：幂的乘方法则.

学习难点：幂的乘方法则的推导过程及灵活应用. 学习过程：

一.预习与新知：

1填空①同底数幂相乘 不变，指数 。②=?32a a =?n

m 1010

③()()=-?-6

7

33 ④=??3

2a a a

⑤()

)(22

2

3= ())(x x =5

4 (

))(223100

=

2计算：①23a a ? ②5

5x x + ③()63

a

a -? ④()33x

3计算①()3

2

2

和6

2

②()34

2

和122 ③)(3210和610

问题：①上述几道题目有什么共同特点？

②观察计算结果，你能发现什么规律？

③你能推导一下)(

n m

a

的结果吗？请试一试

二.课堂展示：1计算①()3

510 ②()3

n x ③()

7

7x -

2下面计算是否正确，如果有误请改正.

①()

63

3x x

= ②2446a a a =?

3选择题：①计算()

[

]

)(=-5

2x

（A ）7

x （B ）7

x - （C ）10

x （D ）10

x -

②16

a 可以写成（ ）

（A ）88a a + （B ）2

8a a ? （C ）()8

8a

（D ）()2

8a

三.随堂练习 ①课本P 143页练习

②课本P 148页习题15.1第1，2题.

C 组

（1）下列各式正确的是（ ） （A ）()

52

322

=（B ）7772m m m =+（C ）55x x x =?（D ）824x x x =?

（2）计算 ①()4

7p

；②()7

32x

x ? ；③()()4

33

4a a

-

④ n

1010105

7

?? ；⑤()

[

]3

2b a - ⑤()[]6

22- ⑥()[]{}54

3a -

（3）已知：a m

=3 ；b n

=3 ，用a ，b 表示n

m +3和n

m 323

+

⑷已知168123=??

?

??n

求n 的值

⑸求下列各式中的x

①6

24+=x x ②167143-=??

? ??x

四．小结与反思

第三课时 积的乘方

学习目标

⒈探索积的乘方的运算性质，进一步体会和巩固幂的意义，在推理得出积的乘方的运算

性质的过程中，领会这个性质. ⒉探索积的乘方的过程，发展学生的推理能力和有条理的表达能力，培养学生的综合能力. ⒊小组合作与交流，培养学生团结协作精神和探索精神，有助于塑造他们挑战困难的勇气和信心.

学习重点：积的乘方的运算.

学习难点：积的乘方的推导过程的理解和灵活运用. 学习过程：

一．预习与新知： ⑴阅读教材P 143-144页

⑵填空：①幂的乘方，底数 ，指数 ②计算：()

=3

210 ()=5

5b ()=-m

x 2

③)()(53

15==

x ；)()(n m mn x ==

⑶计算①()3

32?和3332? ；②()2

53?和2

253? ；③()

2

2ab

和()2

22

b

a ?（请观察比较）

④怎样计算()

4

32a ？说出根据是什么？

⑤请想一想：()=n

ab

二．课堂展示：

⑴下列计算正确的是（ ）. （A ）()42

2ab ab

= （B ）()42

222a a -=-

（C ）()3

3

3

y x xy =- （D ）()3

3

3

273y x xy =

⑵计算：①(

)3

24

y

x ? ②()3

2b ③()

2

32a ④()4

3x -⑤()3

a -

三．随堂练习：⑴课本P 144页练习

⑵课本P 148页习题15.1第三，四题

C 组

⑴计算：①3

2

5353??

? ??-???? ??- ；②()42xy - ；③()n a 3 ; ④ ()3

23ab - ；

⑤2008

2008

818

??

? ???

⑵下列各式中错误的是（ ） （A ）()

123

422

= （B ）()33

273a a -=-（C ）()844

813y x xy =（D ）()33

82a a -=-

⑶与()[]2

32

3a

-的值相等的是（ ）

（A ）1218a （B ）12243a （C ）12

243a -（D ）以上结果都不对 ⑶计算：①()

2243b a ②3

3221??

? ??y x ③()3

3n - ④()a a a 234-+- ⑤()()

2009

2008

425.0-?-

⑷一个正方体的棱长为2

102?毫米，①它的表面积是多少？②它的体积是多少？

⑸已知：823=+n m 求：n

m

48?的值（提示：823

=，422

=）

四．小结与反思

第四课时 幂的运算巩固练习

学习目标

⒈ 学生对教材的三个部分：同底数幂的乘法,幂的乘方,积的乘方有一个正确的理解，

并能够正确的运用.

⒉ 学生在已有的知识基础上，自主探索，获得幂的运算的各种感性认识，进而在理性

上获得运算法则.

⒊ 培养良好的数学构建思想和辨析能力和一定的思维批判性. 学习重点：理解三个运算法则.

学习难点：正确使用三个幂的运算法则. 学习过程：

一.预习与新知：

⑴叙述幂的运算法则？（三个）

⑵谈谈这三个幂运算的联系与区别？

二.课堂展示：⑴计算：()(

)

103

22

2

2x x

x x --?-?-（请同学们填充运算依据）

解：原式=(

)10

6

2

22x

x x x --??- （ ）

=106

222x x -++ （ ）

=1010

2x x

- （ ）

=10

x - （ ） ⑵下列计算是否有错，错在那里？请改正.

①()22

xy xy = ②()4

42

123y x xy = ③(

)

62

3497x x

=-

④33

234327x x -=??

?

??- ⑤2045x x x =? ⑥()523x x =

⑶计算：(

)()3

23

2

23

y x y x ?

三.随堂练习：⑴计算：①3

3

+?n x x ②3

254??

? ??-y x ③ ()n c ab 233- ④()()[]

322

223x x --

⑵下列各式中错误的是（ ）

（A ）3

2x x x =?- （B ）(

)

62

3x x

=- （C ）1055m m m =?（D ）()32

p p p =?-

⑶3

221??

?

??-y x 的计算结果是（ ） （A ）3621y x - （B ）3661y x - （C ）3681y x - （D ）3681

y x ⑷若811

x x x

m m =+-则m 的值为（ ）

（A ）4 （B ）2 （C ）8 （D ）10

C 组

⒈计算：⑴4

3

2

a a a a ?? ⑵()()()2

5

6

x x x -?-?- ⑶()

[

]3

2a -- ⑷()[]3

2

23xy -

⑸()[]

324

1x x -?--

⑹()()4

31212+?+x x

⒉一个正方形的边长增加了3厘米，它的面积就增加39平方厘米，求这个正方形的边长？

⒊阅读题：已知:52=m 求：m

32和m

+32

解：()12552233

3===m m

4058222

33=?=?=+m m

⒋已知：73=n

求：n

43和n

+43

⒌找简便方法计算：⑴()101

100

5.02? ⑵22532?? ⑶424532??

⒍已知：2=m

a

，3=n b 求：n m b a 32+的值

四．小结与反思

第五课时 单项式乘以单项式

学习目标

⒈知识与技能：理解整式运算的算理，会进行简单的整式乘法运算. ⒉过程与方法：经历探索单项式乘以单项式的过程，体会乘法结合律的作用和转化的思想，发展有条理的思考及语言表达能力.

⒊情感,态度与价值观：培养学生推理能力,计算能力，协作精神. 学习重点：单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习难点：单项式乘法运算法则的推导与应用. 学习过程：

一.预习与新知： ⑴P 144-145页

⑵什么是单项式？次数？系数？

⑶现有一长方形的象框知道长为50厘米，宽为20厘米，它的面积是多少？若长为a 3厘米，宽为b 2厘米，你能知道它的面积吗？请试一试？

⑷利用乘法结合律和交换律完成下列计算. ①(

)()2

3

43p p -- ②()??

? ?

?--3

21

1

7a

a ③

b a

c ab 2

227? ④()()y xz z xy 2243? ⑤

??

? ??-?z y x y x 62353432

⑸观察上式计算你能发现什么规律吗？说说看.

单项式乘以单项式的法则： 二.课堂展示：计算：①(

)3

2

23xy

x -? ②()()c b b a 2

3

2

45-?-

思路点拨：可以直接运用法则也用乘法运算律变成数与数相乘，同底数幂与同底数幂相乘的形式，单独一个字母照抄。

三.随堂练习：⑴课本P 145页练习第1，2题

⑵课本P 149页习题15.1第六题

C 组

⒈一家住房的结构如图，这家房子的主人打算把卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地板砖的价格是每平方米a 元，则购买所需地砖至少多少元？

y y 2

x

x 4

x 2

y 4

⒉计算：⑴(

)()y x xy

2

2

32- ⑵ ()()y x xz xy 2

105

15-??

?

??-

⑶()

??

? ??--abx bc a 311162

⑷3232??? ??-c b ⑸5

14913??? ??-?

⒊下列计算中正确的是（ ）

（A ）()

()122

33

22x x x

-=- （B ）()()233

2

2623b a ab b a =

（C ）(

)()

622

4

a x xa a

-=-- （D ）()()532

2y x xyz xy =-

⒋计算：()

m m

a a

a ?2所得结果是（ ）

（A ）m

a

3 （B ）1

3+m a

（C ）m

a

4 （D ）以上结果都不对

四．小结与反思

第六课时 单项式乘以多项式

学习目标

⒈让学生通过适当尝试，获得一些直接的经验，体验单项式与多项式的乘法运算法则，会进行简单的整式乘法运算.

⒉经历探索单项式与多项式相乘的运算过程，体会乘法分配律的作用和转化思想，发展有条理地思考及语言表达能力.

⒊培养良好的探究意识与合作交流的能力，体会整式运算的应用价值. 学习重点：单项式与多项式相乘的法则. 学习难点：整式乘法法则的推导与应用. 学习过程：

一.预习与新知： ⑴叙述去括号法则？

⑵单项式乘以单项式的法则是：

⑶计算：①()()2

35x

x - ②()()x x --3 ③??

? ?

???? ??xy

xy 5

2

31 ④??? ??

-?-mn m 3152

⑷写出乘法分配律？ ⑸利用乘法分配律计算：①

??

?

??+-1323233x x x ②()1326-+n m mn

⑹有三家超市以相同的价格n （单位：元/台）销售A 牌空调，他们在一年内的销售量（单位：台）分别是：x ，y ，z 请你用不同的方法计算他们在这一年内销售这钟空调的总收入？你发现了什么规律？

单项式乘以多项式的法则： 二.课堂展示；⑴计算：(

)()

32

2

532ab ab

a --

⑵化简：()

2222

10313xy y x x y xy x -?-??

?

??-?-

⑶解方程：()()3421958--=-x x x x

三.随堂练习：⑴课本P 146页练习

⑵课本P 149页习题15.1第七题

C 组

⑴计算：①(

)

83253

22

+-x x x ；②??

?

?????? ??-232211632xy xy y x

③(

)??

?

??

-

?-xy y x xy 51532

2 ④()()()()3326510103102103??-???

⑵下列各式计算正确的是（ ） （A ）(

)23422

21

2321132x y x x x xy x +-=??

? ??

-

-- （B ）()()11322++-=+--x x x x x

（C ）()221252214

5y x y x xy xy x n n -=????

??-- （D ）()()222222

5515y x y x x xy --=--

⑶先化简再求值：(

)(

)

x x x x x x 312

2

2

---- 其中2-=x

四．小结与反思

第七课时多项式乘以多项式

学习目标

⒈让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.

⒉经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，培养学生计算能力. ⒊发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯. 学习重点：多项式与多项式的乘法法则的理解及应用. 学习难点：多项式与多项式的乘法法则的应用. 学习过程：

一.预习与新知：

⑴叙述单项式乘以单项式的法则？

⑵计算;①(

)

12

+-x x x ②()

y x xy xy 225351+??

?

??-

⑶在硬纸板上用直尺画出一个矩形，

n a ①

⑷请把矩形沿竖线剪开分成如图所示的两部分。则前部分的面积为多少？后部分的面积是多少？两部分面积的和为多少？

n a ②

⑸观察图①和图②的结果你能得到一个等式吗？说说你的发现?

⑹如果把矩形剪成四块，如图所示，则：

图①的面积是多少？ n ② 图②的面积是多少？

图③的面积是多少？ a ④ 图④的面积是多少？ b 四部分面积的和是多少？

观察上面的计算结果：原图形的面积；第一次分割后面积之和；第二次分割后面积之和相等吗?用式子表示？你能发现什么规律吗?试一试 （观察等式左边是什么形式？观察等式的右边有什么特点？）

多项式乘以多项式的法则：

二.课堂展示：

⑴计算;①()()32-+x x ②()()1213+-x x 注意：应用多项式的乘法法则时应注意;21

1x x x x ==?+;还应注意符号.

⑵计算：① ()()y x y x 73+- ②()()y x y x 2352-+

⑶先化简，再求值：()()()()y x y x y x y x 4232---+-其中：1-=x ；2=y 三.随堂练习：⑴课本P 148练习第1，2题

⑵课本P 149习题15.1第9，10题

C 组

⑴计算()()122

5-+x x 的结果是（ ）

（A ）2102

-x （B ）2102

--x x （C ）24102

-+x x （D ）25102

--x x ⑵一下等式中正确的是（ ）

（A ）()()3

2

232y xy x y x y x +-=-- （B ）()()2

4412121x x x x +-=-+

（C ）()()2

2

943232b a b a b a -=+- （D ）()()2

2

93232y xy x y x y x +-=-+

⑶先化简，再求值：()()()()2

2

2

2

5533b a b a b a b a -++-++-其中8-=a ；6-=b ；

四．小结与反思

15.2乘法公式 第八课时平方差公式（一）

学习目标:

1、会推导平方差公式，并且懂得运用平方差公式进行简单计算.

2、经历探索特殊形式的多项式乘法的过程，发展学生的符号感和推理能力，使学生逐渐掌握平方差公式.

通过合作学习，体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性，体验数学活动充满着探索性和创造性.

学习重点：平方差公式的推导和运用，以及对平方差公式的几何背景的了解. 学习难点：平方差公式的应用. 学习过程：

一.预习与新知：

（1）叙述多项式乘以多项式的法则？

（2）计算;①()()11-+x x ②()()22-+a a ③()()1212-+y y ④()()y x y x -+

观察上面的计算你发现什么规律了吗？你能直接写出()()b a b a -+的结果吗？（请仔细观察等式的左，右两边）

平方差公式：（①写出数学公式 ②用语言叙述）

二.课堂展示： ⑴填表：

()()b a b a -+ a

b

22b a -

结果 ()()3232-+x x x 2

()2232-x

()()b a a b -+33 ()()n m n m --+-

⑵计算：①97103? （利用平方差公式） ②()()()()y x y x x y y x +--+-33

三.随堂练习：⑴课本P 153练习1，2

⑵课本P 156习题15.2第1，2题

C 组

⑴填空：①()()=+-y x y x 2323 ；②())(22492__23b a b

b a -=+-

③=?5

4

9951100

⑵计算：①()()a a ---11 ②()()(

)2

2

b

a b a b a ++-

③()xy m m xy 5.03321--??

?

??- ④()()()()12121212842++++

⑶你能根据下图解释平方差公式吗？请试一试？

a a

a

b ① ②

四．小结与反思

15.2.1 平方差公式复习

学习目标:

1、熟练掌握平方差公式，并能进行较灵活应用。

2、如何利用整体代换的思想计算复杂的多项式.。

3、培养推理和归纳能力。

学习重点：能正确熟练地运用平方差公式解题。 学习难点：利用整体代换的思想计算复杂的多项式。 学习过程： 一、知识回顾 1、填空

()()=-+b a b a 。 公式的条件是： 。

结论是： 。 2、填空。

（1）、=+-)1)(1(x x 。 （2）、=+-)2)(2(b a b a 。

（3）、=??

?

??+???

??-y x y x 3131 。（4）、()()()2224a a a +-+= 。 （5）、=+-+)4)(4(x x 。（6）、=+---)4)(4(x x 。

（7）、=?10298（ ）（ ）

=()()=-2

2

。

3、填空。

（1）、（ a + b ）（ ）22

b a -= （2）、（-m – n ）( ) = 2

2n m -

（3）、（ x + 3y ）（ ）=2

29x y -

（4）、()2y x +（ ）=24

x y

-

二、课堂展示

例1：（1）、(

)

52)52(2

2

--+-x x （2）、??

? ??+??? ??-??? ??+22913131y x y x y x

例2：用乘法公式进行简单计算

（1）、97.003.1? （2）、2003200120022

?-

（3）、5

1505449

?

三、随堂练习

A 组

1、判断下列各项式乘法，能用平方差公式进行的是（ ） （1）、（x+y ）(-x-y) （2）、（2x+3y ）（2x-3y ） （3）、（-a-b ）（a-b ） （4）、（m-n ）（n-m ）

2、下列各式运算结果是2

2

25y x -的是 （ ） （1）、（x+5y ）（-x+5y ） （2）、（-x-5y ）（-x+5y ） （3）、（x-y ）（x+25y ） （4）、（x-5y ）（5y-x ）

B 组

1、用简便方法计算

（1）、()()()()

1121212128

4

2

+++++

（2）、158422

1211211211211+??? ??+??? ??+??? ??+??? ??+

C 组

1、已知()0532

=+-+-+y x y x 求代数式2

2y x -的值。

2、观察 16-1=15 25-4=21 36-9=27 49-16=33 …………

用自然数n （其中n ≥1）表示上面一系列等式所反映出来的规律： 。

四、小结与反思

15.2.2完全平方公式(一)

学习目标:

1、理解完全平方公式的意义。

2、准确掌握两个公式的结构特征，熟练运用公式进行计算。

3、通过对完全平方公式的理解，培养思维的条理性和表达能力。

学习重点：完全平方公式的推导过程、结构特征、正确运用公式进行计算。 学习难点：灵活应用公式进行计算。 学习过程：

一、预习新知（课本155153p p -） 1、复习回顾：

计算下列各式，你能发现什么规律？

（1）、()()()=++=+1112

p p p 。

（2） ()=+2

2m 。

（3）、()()()=--=-1112

p p p 。

（4）、()=-2

2m 。

2、尝试归纳：

=+2)(b a =-2)(b a 公式中的字

母a 、b 可以表示 ，也可以表示单项式或 。

3、完全平方公式用语言叙述是： 。

4、（小组之间深入探究）

你能根据图（1）、图（2）中的面积说明完全平方公式吗？

()=+2b a + + ()=-2b a -

+

5.自学教材154p 例3。

试一试、用完全平方公式计算，并指出里面的a 和b 。

（1）、()2

2y x + （2）、()2

2y x -

二、课堂展示

例1、运用完全平方公式计算：

（1）、()2

4a b - （2）、212y ?

?+ ??? （3）、2

232.1??? ?

?-b a

（4）、()2

a b - （5）、()2

b a --

思考：通过例题1中（4）、（5）题的运算，请问()2

a b -与()2a b -相等吗？()2

b a +与

()2b a --相等吗？

变式练习：课本155p 练习题第1和第2大题。

例2、运用完全平方公式计算：

（1）、2

102 ⑵2

199 （3）2

79.8

三、随堂练习

A 组

1、21??? ??+x x = . 2

1??? ?

?

-x x = .

2、下列计算正确的是（ ）

A 、（m-1）2

=m 2

-1 B 、（x+1）（x+1）=x 2

+x+1 C 、（

12x-y ）2=14

x 2-xy-y 2 D 、（x+y ）（x-y ）（x 2-y 2）=x 4-y 4

3、将正方形的边长由acm 增加6cm ，则正方形的面积增加了（ ） A ．36cm 2

B ．12acm 2

C ．（36+12a ）cm 2

D ．以上都不对 4、课本156p 习题15.2的第2大题。

B 组

（1）、已知

31=+a a ，求221

a a

+的值。

（2）、用乘法公式计算()2

a b +()

2

a b -

C 组

1、课本157p 第7大题

四、小结与反思