高中数学解三角形最值

三角形中的最值（或范围）问题

解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。

类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决

例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值.

变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ⋅=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边.

(1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值.

解：由m n ⋅=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2

=ab=2abcosC

所以cosC=

2

1，从而C=60

故sin sin sin sin(120)O

A B A A +=+-sin(60 +A)

所以当A=30

时，sin sin A B +

变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2

C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解：根据题意得：

2R(224R a —2

24R c )=(2a —b)*R

b

2 化简可得 c 2=a 2+b 2

—2ab, 由余弦定理可得：

C=45 , A+B=135

S=

2

1absinC=21

2RsinA*2RsinB*sinC

=2sinAsin(135 —A) =2

2R (2sin(2A+45 )+1 ∵0

2

2

12R ＋。 类型二：利用重要不等式来解决

例2（13年重庆中学）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为c b a ,,且4,4

1

cos ==

a A . （1）若6=+c

b ，且b <

c ，求c b ,的值．（2）求ABC ∆的面积的最大值。

解 （1）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，

∴bc bc c b 2

1

2)(162--+=

∴8=bc ，

又∵,6=+c b b

解方程组⎩

⎨⎧==+86

bc c b

得4,2==c b 或2,4==c b (舍)． ∴4,2==c b

（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，

∴bc c b 2

1

1622-+=

∵bc c b 222≥+

∴3

32

≤bc ，又415sin =A

∴3

15

4sin 33221sin 21=⨯⨯≤=∆A A bc S ABC

即c b =时三角形最大面积为3

15

4

变式3．在⊿ABC 中，角A,B,C 的对边是a,b,c, ⊿ABC 的外接圆半径R=3,且

B

C

cos cos ＝B

C

A sin sin sin 2—

（1）求B 和b 的值； （2）求⊿ABC 面积的最大值

解：由已知

B C cos cos ＝B

C

A sin sin sin 2—，整理可得：sinBcosC+cosBsinC=2sinAcos

B 即sin(B+C)= 2sinAcosB

∵A+B+C=π ∴sinA =2sinAcosB

∵sinA ≠0 ∴cosB=2

1

∴B=60 。 ∵R=3, ∴b=2RsinB=23sin60 =3,

故角B=60 ,边b=3

由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2accosB 即9＝a 2+c 2-2accos 60

∴9＋ac= a 2+c 2≥2ac(当且仅当a=b 时取等号) 即ac=9(当且仅当a=b=3时取等号)

∴三角形得面积s=

21acsinB ≤2

1

*9*sin60 =349 ∴三角形得面积的最大值是34

9

变式4：⊿ABC 中，若AB=1,BC=2,则角C 的取值范围是 答案：解法1.由a=2,c=1, ∴a=2c ∴2sinA=4sinC ∴sinC = 21sinA ≤2

1 ∵0

解法2.cosC=ab c b a 2222－＋=b b 4142－＋=4

1(b+b 3)≥23,故0

练习：

1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π

2且b a －b ＝sin2C sin A －sin2C

。

（1）判断△ABC 的性状； (2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·

BC 的取值范围． 解：(1)由

b

a －

b ＝sin2C

sin A －sin2C

及正弦定理得sin B ＝sin2C ，∴B ＝2C ，且B ＋2C ＝π， 若B ＝2C ，π3＜C ＜π

2，∴23π＜B ＜π，B ＋C ＞π(舍)；∴B ＋2C ＝π，则A ＝C ，∴△ABC 为等腰三角

形．

(2)∵|BA ＋BC |＝2，∴a 2

＋c 2

＋2ac ·cos B ＝4，∴cos B ＝2－a

2

a

2(∵a ＝c )，而cos B ＝－cos2C ，

π3＜C ＜π2，∴12＜cos B ＜1，∴1＜a 2

＜43，又BA ·

BC ＝ac cos B ＝2－a 2，∴BA ·BC ∈(23

，1)．