贝塞尔方程勒让德方程PPT课件
合集下载
贝塞尔函数PPT演示课件
1
r 2 sin 2
2u
2
k 2u
0
设u(r, ,) R(r)( )()，代入原方程
''() m2() 0
1
s in
d
d
s in
d ( 2 d
m2
sin 2 ) 0
d r 2 dR (k 2r 2 2 )R 0
要使等式两边成立，则x各次幂的系数为零
(1) (c2 v2 ) C0 0 (k 0)
(c2 v2 ) 0
c v
(2) [(c 1)2 v2 ]C1 0 (k 1)
(3) [(c k)2 v2 ]Ck Ck2 0 (k 2)
将c=v代入(2)，得C1=0
k 2u
0
u(,, z) R()()Z(z)
''() m2() 0
Z''(z) 2Z(z) 0
2
d 2R
d 2
dR
d
(k 2
2 ) 2
m2
R
0
x (k 2 2) y(x) R()
贝塞尔方程
x2
0
0
0
0
(1) etdt et 1 0 0
(2) 1 (1) 1
(3) 2 (2) 2!
(4) 3(3) 3! (n 1) n!
求证： 1 2
(x) ett x1dt
令t=u2
(1)m
2(2mv) m ! (m 1 v)
数学物理方法课件：特殊函数
c2k 1
(2k 1)!
c1
(4.26)
至此，我们得l阶勒让德方程的级数解(通解)为
y(x)＝y0(x)＋y1(x)
(4.27)
22
其中，y0(x)只含有x的偶次幂，即
y0
(x)
c0 [1
k 1
(2k
2
l)(2k
4
l)...(2
l)(l)(l (2k )!
1)(l
3)...(l
2k
1)
x2k
(4.3)
在该圆内有唯一的一个解析的解w(z)满足初值条件
w(z0)＝C1
w'(z0)＝C2
(4.4)
7
其中，C1和C2是任意给定的复常数，并且解w(z)在该圆 内是单值解析的。
注意：
(1)因为解w(z)在|z－z0|<R是解析的，故w(z)可用(z－z0)的 幂级数表示，这就是幂级数解法的基础。即这个解析解可表
，可得确定收敛域为(－∞，＋∞)。
a k k2
17
例4.2 求l阶勒让德方程
(1－x2)y"－2xy'＋l(l＋1)y＝0 (4.17)
在x0＝0点邻域内的级数解。
解：方程可标准化为
y
1
2
x x
2
y
l(l 1) 1 x2
yቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
(4.18)
2x
其系数 p(x) 1 x2 即x0＝0是方程的常点。
]
(4.28)
y1(x)只含有x的奇次幂，即
y1 ( x)
c1[ x
k 1
(2k
1
l)(2k
3
l)...(1 l)(l (2k 1)!
数学物理方程课件第六章勒让德多项式
0
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三 勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)
第 3 章 勒让德函数和贝塞尔函数及其应用
k
n 2
2 2k ! P1 x 1 1 x1 2 k x 2 k!1 k !1 2k ! k 0
0 k
P2 x 1
k 0
1
k
4 2k ! 3 2 1 22k x x 2 2 k!2 k !2 2k ! 2 2
令 xk 的系数为零, 可得系数递推公式
ak 2
k k 1 a k 2k 1 k
k 0,1,2,
设a0=1，由系数递推公式可得方程的一个特解
pν x a 2 k x 2 k
k 0
设a1=1，由系数递推公式可得方程的另一个特解
k 2k 1 k k k 1
1 2
1
可以用高斯判别法证明，当ν 不等于非负整数情况下，在 x=±1处，pν(x)和qν(x)都是发散的。 当ν=n(非负整数)时，pn和qn中仅有一个是n次多项式，另 一个仍然是无穷级数。 当n为偶数时，pn是n次多项式， qn是无穷级数。 当n为奇数时，qn是n次多项式， pn是无穷级数。 此结论可由系数递推关系式证实：
n 1 dn 2 Pn 1 lim n x 1 x 1 2 n! dx n
x -1 y n 1 dn 2 lim n y 2y y 0 2 n! dy n （由二项式展开定理） n 1 d n 2 y 1 lim n y 0 2 n! dy n
第二类 n 阶勒让德函数
设 v( r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ), 代入亥姆霍兹方程，两边同除 RΘΦ有
1 2 r R 1 sin θΘ 2 1 1 Φ 2 r k 0 2 2 R r sin θ Θ sin θ Φ
n 2
2 2k ! P1 x 1 1 x1 2 k x 2 k!1 k !1 2k ! k 0
0 k
P2 x 1
k 0
1
k
4 2k ! 3 2 1 22k x x 2 2 k!2 k !2 2k ! 2 2
令 xk 的系数为零, 可得系数递推公式
ak 2
k k 1 a k 2k 1 k
k 0,1,2,
设a0=1，由系数递推公式可得方程的一个特解
pν x a 2 k x 2 k
k 0
设a1=1，由系数递推公式可得方程的另一个特解
k 2k 1 k k k 1
1 2
1
可以用高斯判别法证明，当ν 不等于非负整数情况下，在 x=±1处，pν(x)和qν(x)都是发散的。 当ν=n(非负整数)时，pn和qn中仅有一个是n次多项式，另 一个仍然是无穷级数。 当n为偶数时，pn是n次多项式， qn是无穷级数。 当n为奇数时，qn是n次多项式， pn是无穷级数。 此结论可由系数递推关系式证实：
n 1 dn 2 Pn 1 lim n x 1 x 1 2 n! dx n
x -1 y n 1 dn 2 lim n y 2y y 0 2 n! dy n （由二项式展开定理） n 1 d n 2 y 1 lim n y 0 2 n! dy n
第二类 n 阶勒让德函数
设 v( r,θ,φ)=R(r)Θ(θ)Φ(φ), 代入亥姆霍兹方程，两边同除 RΘΦ有
1 2 r R 1 sin θΘ 2 1 1 Φ 2 r k 0 2 2 R r sin θ Θ sin θ Φ
14第十四章 勒让德多项式
12
2
结论：本征问题
(1
−
x2
) |
y′′ − 2x y′ + y(±1) |< +∞
µ
y
=
0
本征值：µ = l (l + 1), l = 0,1,2,...
本征函数：l 次多项式 y( x) = y(1) Pl ( x)
规定 Pl(1)=1，称 Pl(x) 为 l 阶勒让德多项式
可以证明
Pl(l )(1)
标准形式
d2w dz 2
+
p(z ) dw dz
+
q(z) w
=
0
• 若 p(z) 和 q(z) 都在 z0 处解析，则称 z0 为 方程的常点；否则称 z0 为方程的奇点
∞
常点附近存在幂级数解 ∑ w(z) = ck (z − z0 )k k =0
• 若 p(z)(z–z0) 和 q(z)(z–z0)2 都在奇点 z0 处解析， 则称 z0 为方程的正则奇点；正则奇点附近
∑ ∑ r
ulm(r) =
(cl rl + dl r−l−1) Plm(cos θ)[am cos(mϕ) + bm sin(mϕ)]
m≥0 l≥m
5
2. 勒让德方程的幂级数解
求解本征问题
Θ′′ +
Θ′ tan θ
−
m2 Θ sin2 θ
+
µ
Θ
= 0，
Θ(0), Θ(π ) 有限
作变换 x = cosθ , − 1 ≤ x ≤ 1, y(x) = Θ(θ )
c2 p = A0 A2 ... A2 p−2 c0 ∝ c0 , c2 p+1 = A1 A3 ...A2 p−1 c1 ∝ c1
勒让德多项式及球函数53页PPT
勒让德多项式及球函数
6、纪律是自由的第一条件。——黑， 集体的 表情， 集体的 信念。 ——马 卡连柯
8、我们现在必须完全保持党的纪律， 否则一 切都会 陷入污 泥中。 ——马 克思 9、学校没有纪律便如磨坊没有水。— —夸美 纽斯
10、一个人应该：活泼而守纪律，天 真而不 幼稚， 勇敢而 鲁莽， 倔强而 有原则 ，热情 而不冲 动，乐 观而不 盲目。 ——马 克思
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
数理方程5 贝塞尔函数.ppt
T ' a2T 0
T (t) Aea2t
2V 2V V 0 亥姆霍兹方程（Helmholtz）
x2 y2求V改用极坐标源自在极坐标系下，V的问题可以写成2V
2
1
V
1
2
2V
2
V 0
0 R
V | R 0
再次分离变量,令 V , P ，代入化简得
P " ( ) 1 P ' ( )
dP dP dr dP
d dr d
dr
d 2P
d2
d 2P dr 2
r
方程转化为
r 2 F"r r F'r r 2 n2 Fr 0
这是n阶贝塞尔方程的标准形式.
Nanjing University of Posts and Telecommunications
5.2 贝塞尔方程的求解
数学物理方程
主讲：周澜
南京邮电大学 、理学院、应用物理系 E_mail: zhoul@ 答疑：周三中午11：30～13：00，教2＃103室
Nanjing University of Posts and Telecommunications
第五章 贝塞尔函数
➢ 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔 方程。 稳恒状态热传导问题—欧拉方程。 瞬时状态圆盘上的热传导问题—贝塞尔方程。 ➢ 讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质.
m0
其中 c, am为常数。
Nanjing University of Posts and Telecommunications
逐将项此求级导数, 解有代入原方程中可得到：
(c
2
y'
贝塞尔函数3幻灯片
o
246
-0.5
8 10 12
9
以
(n) m
(m1,2,L)表示
J
n
(
x
)
的非负零点,
则
lim
m
(n)
(n)
m1 m
.
1.0 J 0 ( x )
0.5
J1( x )
函数以为周期振荡
o
2 4 6 8 10 12
-0.5
10
方程 Jn R 0 的解为：
R m n , m 1 ,2 ,L
由 条 件 （ 8 ） 知 D 0.
29
二、求本征值、本征函数
再 由 条 件 （ 9） 得 ,
R(b)CJ0( b)0
即 ， J 0 ( b ) 0， 由 此 可 知b是 J 0 (x )的 零 点 。
以 (0 ) m
表 示 J 0 (x )的 正 零 点 ， 有
J0(m(0)) 0
从 而 ， 得 到 方 程 （ 7 ） 在 条 件 （ 8 ） 、 （ 9 ） 下 的
由 条 件 (4） ， 得
z 0
z h
u(,0)
m 1
(C mD m)J0(b m (0))0
于是得
C m D m 0 ( m 1 , 2 ,L )( 1 1 )
再 由 条 件 （ 5） 得
u b 0 (5)
(0)
mh
(0)
mh
(0)
u(,h) (C me m 1
D me )J0(b m
的 通 解 为 P ( r ) A J n (
r ) B Y n (
r ) 26
一、建立方程 方 程 （ 7 ） 为 零 阶 贝 塞 尔 方 程 ， 其 通 解 为
勒让德多项式及球函数PPT课件
π
π 0
cos2
sin 2
l/2
d
1 π
π
d 1
0
电子科技大学物理电子学院
19.2 勒让德多项式的性质
19.2.1 勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
Pl (x) 1 ， (1 x 1) （19.1.14）
【证明】 如从 x 回到原来的变量 ， x cos
，则
Pl
(x)
1 π
πcos i sin cos l d
0
Pl (x)
1 π
π cos i sin cos l d 1
0
π
π 0
cos2
sin 2
cos 2
l
/2
d
1
1 128
(63cos 5
35cos 3
30 cos )
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105 x 2
5)
1 512
(231cos
6
126
cos
4
105 cos
2
50)
电子科技大学物理电子学院
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
电子科技大学物理电子学院
2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
Pl (x) (1)l Pl (x)
（19.2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
π 0
cos2
sin 2
l/2
d
1 π
π
d 1
0
电子科技大学物理电子学院
19.2 勒让德多项式的性质
19.2.1 勒让德多项式的性质
1. 勒让德多项式的零点 对于勒让德多项式的零点，有如下结论：
（i） Pn (x) 的 n 个零点都是实的，且在 (1,1) 内；
（ii） Pn1(x) 的零点与 Pn (x) 的零点互相分离．
Pl (x) 1 ， (1 x 1) （19.1.14）
【证明】 如从 x 回到原来的变量 ， x cos
，则
Pl
(x)
1 π
πcos i sin cos l d
0
Pl (x)
1 π
π cos i sin cos l d 1
0
π
π 0
cos2
sin 2
cos 2
l
/2
d
1
1 128
(63cos 5
35cos 3
30 cos )
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105 x 2
5)
1 512
(231cos
6
126
cos
4
105 cos
2
50)
电子科技大学物理电子学院
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
电子科技大学物理电子学院
2. 奇偶性 根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
Pl (x) (1)l Pl (x)
（19.2.1）
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
勒让德多项式及球函数53页PPT
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
勒让德多项式及球函数
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
勒让德多项式及球函数
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
第四章-特殊函数(上)-勒让德多项式和球谐函数PPT课件
[l]
Pl(x)k20(1)k2lk!((l2lk)2!(kl)!2k)!xl2k （4.1.7）
上式中[l/2]表示不 大于l/2的最大整数
[2l]l22l1,,
l 2n l 2n1
(n0,1,2,)
上式具有多项式的形式，故称 P l ( x ) 为 l 阶勒让德多项式．
勒让德多项式也称为 第一类勒让德函数．
(nl) (nl)
当 n
l
时满足
1
1Pn(x)Pl(x)d，x0
(4.2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
N l 1 1P l2(x)dx2l2 1 (l0,1 ,2, )
(4.2.4)
下面给出公式（4.2.2），及其模(4.2.4)的证明
【证明】 （1）正交性 勒让德多项式必然满足勒让德方程(4.1.6)，故有
Pn (cos) ，这时有
f(cos) CnPn(cos) n0
(4.2.7)
其中系数为 (注意积分上、下限)
C n2 n 2 1 0 πf(c o s)P n(c o s)sin d （4.2.8）
4.2.2.勒让德多项式的应用（广义傅氏级数展开）
例4.2.1 将函数 f (x) x3 按勒让德多项式形式展开.
再进行 l 次分部积分，即得
Nl22(2 l(1 l)!l)2
1(x21)l d2l(x21)l dx
1
dx2l
(x2 1)l 是 2l 次多项式，其 2l 阶导数也就是最高幂项
x 2 l 的 2l 阶导数为 (2l )! ．故
N l2(1)l 22 (l2 (ll)!!)2
1(x1)l(x1)ldx
注意到 (x2 1 )l(x 1 )l(x 1 )l以 x1 为 l 级零点，
§11[1].2 贝塞尔方程
![§11[1].2 贝塞尔方程](https://img.taocdn.com/s3/m/078f320df78a6529647d537f.png)
=0
= µ J m′ ( µ ρ0 ) = 0
当 µ ≠ 0 时，得 对应的本征值
J m′ ( µ ρ )
ρ = ρ0
=0
µ
(m) n
=(
( xnm)
ρ0
)
2
(m xn ) 为 Jm′ (x) 的第 n 个零点
讨论： 讨论： 当 m=0 当 m≠0
J 0′ ( x) = − J1 ( x) = 0
− k 2 a 2t
∆ 3v( r ) + k 2 v (r ) = 0 cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ cosν z Z (z) = ; 但 ν = 0则 sin ν z 1 Z (z) = z
cos mϕ Φ (ϕ ) = sin mϕ Θ ( x ) :阶连带 亥姆霍兹方程 ∆ 3v ( r ) + k 2 v ( r ) = 0 勒让德方 程 R ( r ) : l 阶球贝塞 尔方程 ( k ≠ 0) r R (r ) = 1 r l +1
R( ρ ) ∼ J m ( x) = J m ( µ ρ ) (m ≥ 0)
讨论： 讨论： 1. 第一类齐次边界条件 R(ρ) ρ =ρ0 = 0 本征值： 代入 J m ( µ ρ 0 ) = 0 得本征值：
( µnm) = ( ( (m xnm)
ρ
)2
其中： (m 的第n 零点。 其中：xn ) 为 J m (x) 的第n个零点。
(m 而 xn ) 是上式的第
n个根
(P347.8)半径为 的半圆形膜, 例1：(P347.8)半径为ρ0 的半圆形膜,边缘固 定,求其本征频率和本征振动。 求其本征频率和本征振动。 采用极坐标系， 解： 采用极坐标系，定解问题为
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
9
§6.2 贝塞尔函数的递推公式
10
11
§6.3 贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的渐近式
当x很大时,
Jn(x) 2xcos(xn)o(x1 2) Yn(x) 2xsin(xn)o(x1 2)
n大于等于0为整数
Jn( )0,Yn( )0
12
1.Jn(x)与Yn(x)在实轴上有无穷多个零点,分布与n值有关
2.Jn(x)与Yn(x)的幅值正比于
1 x
, 在正实轴上衰减至零
13
14
6.4 贝塞尔级数
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
例8.1（P257）
35
36
37
38
39
40
41
Fourier & Laplace Transform
n是否为整数，贝塞尔方程的通解均可表示为
y(x)A Jn(x)B Y n(x).
7
第三类Bessel函数 研究波动问题时，方程的通解习惯用汉克尔函数表示 (1) 汉克尔函数的定 义 既然Y n ( x ) 与 J n ( x ) 是贝塞尔方程线性无关解，因此可以将它们作如下线性组合：
Hn(1)(x) Jn(x) jYn(x) Hn(2)(x)Jn(x)jYn(x).
• 周期函数的像函数
• 乘积定理 f1(t)f2(t)d t2 1 F 1()F 2()d
1 L[f(t)]1esT
Tf(t)estdt
0
• 微分性质
• 微分性质 L[f(n)(t)]snF(s)sn1f(0)sn2f'(0)
F[f (n)(t)](j)nF() F(n)()F[(jt)n f(t)]
• 卷积定理
Def:
f1(t)*f2(t) f1()f2(t )d.Def:
t
f1 (t)*f2(t)0f1 ()f2 (t)d.(t 0 )
F[f1(t)*f2(t)]F1()F2()
F[f1(t)
f2(t)]21
F1()*F2()
L [f1 ( t)* f2 ( t) ] L [f1 ( t) ] L [f2 ( t) ]
52
53
54
55
56
57
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
1
第6章 柱面坐标中的偏微分解法
2
贝塞尔方程
3
4
n 阶Bessel方程: x 2 y ''( x ) x y '( x ) ( x 2 n 2 ) y ( x ) 0
一解：
y1(x) akxkn a2mx2mn
k0
m0
m 022(mm 1)!m (m n!a0n)!x2mn
m 02(2m 1m )!m ((m n 1n)a 01)x2mn.
• 积分性质
t
F[
f(x)dx] 1 F()
j
f(n1)(0).
F(n)(s)L[(t)n f(t)]
• 积分性质
L[ t f(t)dt]1F(s)
0
s
F(s)dsL[
f
(t)]
s
tБайду номын сангаас
43
44
45
46
47
第九章 Green函数法
48
49
50
51
引入Green函数使得一个非齐次方程与任意边值问题所构成的定解问题转化为 求解一个特定的边值问题，一般后者的解容易求得.
Define
F(s) f(t)estdt 0
f(t)21j
jF(s)estds.
j
(t0)
Properties
• 线性性质
• 对称性质(无)
• 延迟、位移性质
LL[1f[F(t(st0)a])]eesta0tLf[(ft)(t)]
• 相似性质
L[f(at)]1F(s),a0 aa
42
• 卷积定理
Define
F() f(t)ejtdt
f(t)1 F()ejtd
2 Properties • 线性性质 • 对称性质
F [ F (t)]2 f()
• 延迟、位移性质
F F[1f[(Ft(t0)]0)e]jwet0Fjw [0tff(t()t])
• 相似性质
F[f(at)] 1 F().
|a| a
注:(1)可以验证诺伊曼函数Y n ( x ) 是Bessel方程的解
(2)当 n 整数时,诺伊曼函数 Y n ( x ) 与第一类Bessel函数 J n ( x ) 线性无关.
(见课本P198)
结论. 当 n 整数时，由Y n ( x ) 的定义可见，它为 J n ( x ) 与 J n ( x ) 的线性组合，既然 J n ( x ) 与 J n ( x ) 线性无关，显然 J n ( x ) 与 Y n ( x ) 也是线性无关的；由此可见，无论
在y1(x)中令
a0
1 2n (n 1)
得到n阶第一类Bessel函数：
Jn(x)m 0m!((m 1 )m n1)2 x2mn.
5
-n阶第一类贝塞尔函数：
Jn(x)m 0m!((m 1 )m n1)2 x2mn.
1、当 n 整数时，Bessel函数 J n ( x ) 与 J n ( x ) 是线性无关的.
可重新定义一个与 J n ( x ) 线性无关的函数作为特解，即诺伊曼函数 Y n ( x )
6
诺伊曼函数(第二类Bessel函数)为
Y n(x) lJ i m nn (x J)c (o s xs i)n n c n o s s i n J n (J x) ,(n x) 整 1 数 [J (x)( 1 )nJ (x)] n,n整 数
它们也是贝塞尔方程的无关解，它们称为汉克尔函数(第三类贝塞尔函数).这样， 贝塞尔方程的通解可以表示为
y(x)A H n (1 )(x)B H n (2)(x).
8
三类贝塞尔函数间的关系
Jn
(x)
1 2
[
H (1) n
(x)
H (2) n
(
x)]
Yn
(x)
1 2j
[Hn(1)
(x)
H (2) n
(x)].
注：当 x 0 时， Jn(x)
(x)n 1 0. 2 (n1)
而当 x 0时，Jn(x)
(x)n 1 . 2 (n1)
可见，当 n 整数时，J n ( x ) 与 J n ( x ) 的行为是完全不同的，
是两个线性无关的特解. 因此，通解为其线性组合.
2、当n为整数时 J n ( x ) 与 J n ( x ) 是线性相关的. J n(x ) ( 1 )nJn(x ) Jn ( x )