欧拉与“费马数”
费马小定理及应用
费马小定理及应用知识定位费马小定理是初中数学竞赛数论中经常出现的一种。
要熟练掌握费马小定理是数论中的一个定理，数学表达形式和应用。
本节我们通过一些实例的求解，旨在介绍数学竞赛中不定方程相关问题的常见题型及其求解方法本讲将通过例题来说明这些方法的运用。
知识梳理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p nαn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ ②若p 为素数，则1()1,()(1),kk p p p pp ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ； ④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()n dϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；2、欧拉定理：若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ). 证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系，∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )， 又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).补充：设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )，我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： （1）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k)，特别地，a u≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )u a a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡.用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kq r a a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡， 由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡（2）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ，而k 个数a , a 2,…, a k模m 互不同余.（3）设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. （4）设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, ado −1对模p两两不同余.特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系.定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 3、费尔马小定理若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 4、证明费马小定理的预备定理定义1：设a 、b 和m 是整数，其中0>m ，如果有)(b a m -，则有)(mod m b a ≡。
欧拉线欧拉函数等数学文化题(学生版)
欧拉线欧拉函数等数学文化题认识欧拉莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家、自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。
欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。
13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。
欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。
他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。
欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。
此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。
瑞士教育与研究国务秘书Charles Kleiber曾表示：“没有欧拉的众多科学发现，我们将过着完全不一样的生活。
”法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。
以欧拉的数学成就为背景的数学问题一、单选题1．正整数1，2，3，…，n 的倒数的和111123n++++已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；当n 很大时1111ln 23n n γ++++≈+.其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111232022⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln 20.69,ln 3 1.10≈≈，ln10 2.30≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 2．2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()πln x x x≈的结论.若根据欧拉得出的结论，估计1000以内的素数的个数为（素数即质数，lge 0.43429≈，计算结果取整数）（ ）A ．189B ．186C ．145D ．109 3．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿､欧拉并列为世界四大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：][3.54,2.12⎡⎤-=-=⎣⎦.已知函数()e 11e 2x x f x =-+，则函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的值域是（ ） A ．{}1,0,1- B ．{}1,0- C ．[]1,1- D ．[]1,0- 4．欧拉公式cos sin i e i θθθ=+把自然对数的底数e 、虚数单位i 、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”，若复数z 满足i π(2e i)i z +⋅=，则||z =（ ）A ．15B ．13CD 5．数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n 叫做调和数列，此数列的前n 项和已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式：当n 很大时，1111ln 23n n γ++++≈+，其中γ称为欧拉-马歇罗尼常数，0.577215664901γ≈，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数.设[]x 表示不超过x 的最大整数.用上式计算1111233456⎡⎤++++⎢⎥⎣⎦的值为（ ）（参考数据：ln20.69,ln3 1.10,ln10 2.30≈≈≈） A ．7 B ．8 C ．9 D ．106．欧拉公式i e cos isin (i x x x =+为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知i a e 为纯虚数，则复数sin211ia ++在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．若ABC 满足AC BC =，顶点1,0A ，()1,2B -，且其“欧拉线”与圆M ：()2223x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．圆M 上的点到原点的最大距离为3B ．圆M 上不存在三个点到直线10x y --=C ．若点(),x y 在圆M 上，则1y x +的最小值是 D ．若圆M 与圆()222x y a +-=有公共点，则[]3,3a ∈-8．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点()0,2A 和点()10B ,为ABC 的顶点，则：“ABC 的欧拉线的方程为1x =”是“点C 的坐标为(2,2)”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题9．对于正整数n ，)(n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．函数)(n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，又称为ϕ函数，例如(10)4ϕ=，（10与1，3，7，9均互质）则（ ）A ．(12)(29)32ϕϕ+=B ．数列{}()n ϕ单调递增C ．若p 为质数，则数列{}()n p ϕ为等比数列 D ．数列(3)n n ϕ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前4项和等于582710．瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉在1765年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是11-D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a 的取值范围是1⎡-+⎣11．1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C -，重心12,63G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形C ．欧拉线方程为2430x y +-=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12．欧拉公式i e cos isin x x x =+（其中i 为虚数单位，x ∈R ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（ ）A ．i e 1π=B ．i 2e π为纯虚数C 12=D ．复数2i e 对应的点位于第三象限13．瑞士著名数学家欧拉在1765年得出定理：三角形的外心､重心､垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,ABC AB AC =，点()1,3B -，点()4,2C -，圆()2200:(3)4,,M x y P x y ++=是“欧拉线”上一点，过P 可作圆的两条线切，切点分别为,D E .则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上存在点N ，使得π6MPN ∠=C ．四边形PDME 面积的最大值为4D ．直线DE 恒过定点14．对于正整数n ，()n ϕ是不大于n 的正整数中与n 互质的数的个数.函数()n ϕ以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数.例如：()96ϕ=.则（ ）A ．()2811ϕ=B ．数列(){}3ϕ''为等比数列C ．数列(){}n ϕ不单调D ．()777log 75log 6ϕ=+ 15．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点()2,0A 、()0,4B ，其欧拉线方程为20x y +-=，则顶点C 的坐标不可以是（ ） A ．()2,2- B ．()1,1- C ．11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ 16．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作ABC ，4AB AC ==，点()1,3B -，点()4,2C -，且其“欧拉线”与圆()222:3M x y r -+=相切，则下列结论正确的是（ ）A ．ABC 的“欧拉线”方程为1y x =-B ．圆M 上点到直线30x y -+=的最大距离为C ．若点(),x y 在圆M 上，则22x y +的最小值是3D ．圆()()2218x a y a --+-=与圆M 有公共点，则a的取值范围是1⎡-+⎣17．欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数()y f x =，如果对于其定义域D 中任意给定的实数x ，都有x D -∈，并且()()1f x f x ⋅-=，就称函数()y f x =为倒函数，则下列函数是倒函数的为（ ）A ．()ln f x x =B ．()e x f x =C ．()11xf x x+-= D ．(),01,0x x f x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩三、填空题18．数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如221nn F =+（0n =，1，2，…）的数都是质数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：()2log 1n n a m F =-（n =1，2，3，…），m 为常数，n S 表示数列{}2log n a 的前n 项和，若520S =，则5a =______.19．莱昂哈德·欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线．后来人们称这条直线为该三角形的欧拉线．已知ABC 的三个顶点坐标分别是(1,0)-，(3,0)，(0,2)则ABC 的欧拉线方程为______．四、双空题20．对正整数n ，函数()n ϕ是小于或等于n 的正整数中与n 互质的数的数目．此函数以其首名研究者欧拉命名，故被称为欧拉函数．根据欧拉函数的概念，可得()441ϕ=______，数列(){}7n n ϕ的前n 项和n S =______．。
欧拉-费马小定理定理（证明及推论）
欧拉-费马⼩定理定理（证明及推论）欧拉定理：若正整数a , n 互质，则aφ(n)≡1(mod n)其中φ(n) 是欧拉函数（1~n) 与n 互质的数。
证明如下：不妨设X1，X2 ...... Xφn是1~n与n互质的数。
⾸先我们先来考虑⼀些数：aX1，aX2 ...... aXφn 这些数有如下两个性质： （1）任意两个数模n余数⼀定不同：（反证）若存在aX1≡aX2（mod n），则 n |（ aX1 - aX2 ），⽽a，n互质且（X1 -X2）< n，所以n不可能整除（ aX1 - aX2 ），也就是说不存在aX1≡aX2（mod n）。
归纳法：对于任意的与n互质的X i均成⽴。
故得证。
那么因为有φn个这样的数，X i mod n（i=1~φn）所以就有φn 个不同的余数，并且都是模数⾃然是（0~n-1）。
（2）对于任意的aX i（mod n）都与n互质。
这不难想，因为a与n互质这是欧拉函数的条件，X i是（1~n）与n互质的数的集合中的元素。
所以如果a*X i做为分⼦，n做为分母，那么他们构成的显然就是⼀个最简分数，也就是aX i和n互质。
接下来就可以⽤欧⼏⾥得算法：因为：gcd（aX i，n）==1所以：gcd（aX i，n）== gcd（n，aX i%n）== 1 这样，我们把上⾯两个性质结合⼀下来说，aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）构成了⼀个集合（性质1证明了所有元素的互异性），并且这些数是1~n与n互质的所有数构成的集合（性质1已说明）。
这样，我们巧妙的发现了，集合{ aX1（mod n），aX2（mod n） ...... aXφn（mod n）}经过⼀定的排序后和集合{ X1，X2 ...... Xφn }完全⼀⼀对应。
那么：aX1（mod n）* aX2（mod n）* ...... * aXφn（mod n）= X1 * X2 * ...... * Xφn 因此：我们可以写出以下式⼦：aX1 * aX2 * ...... * aXφn ≡ X1 * X2 * ...... * Xφn（mod n），即：（aφn -1）X1 * X2 * ...... * Xφn≡ 0 （mod n） ⼜因为X1 * X2 * ...... * Xφn与n互质，所以，（aφn -1）| n，那么aφn ≡ 1（mod n）。
费马定理、欧拉定理、威尔逊定理(讲稿)
欧拉定理、费马定理、威尔逊定理1、欧拉函数：φ(m )是1, 2, …, m 中与m 互质的个数，称为欧拉函数.①欧拉函数值的计算公式：若m ＝p 1α1p 2α2…p n αn , 则φ(m )＝m (1－1p 1)(1－1p 2)…(1－1p n) 例如，30＝2·3·5，则.8)511)(311)(211(30)30(=---=ϕ②若p 为素数，则1()1,()(1),k k p p p p p ϕϕ-=-=-若p 为合数，则()2,p p ϕ≤-③不超过n 且与n 互质的所有正整数的和为1()2n n ϕ；④若(,)1()()(),a b ab a b ϕϕϕ=⇒= 若()()a b a b ϕϕ⇒⑤设d 为n 的正约数，则不大于n 且与n 有最大公因数d 的正整数个数为()ndϕ， 同时()()d nd nn d n dϕϕ==∑∑；例1、证明：φ(n )＝14n 不可能成立.不可能成立假设不成立上式不成立，左边是一个奇数，上式右边是一个偶数，又即：即：为奇质数，则：设成立，则证：若不可能成立；【练习】证明：n p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p n p p p p p p n n n n k k k k k kk k k k k k k k k k 41)4()1()1)(1(4)1()1)(1(22)1()1)(1(2241)(,,),2(,2|441)4(41)4(212121112112122211212121212121212121=∴∴∴---=---=---==≥===----ϕϕαϕϕααααααααααααααααααααΘΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ例2、证明：数列{2n －3}中有一个无穷子数列，其中任意两项互质.}{}32{1,,,1),(mod 1321),(mod 122)(32,,,,}32{}32{21211)()((()(1)(12121212121i n k k i u u u i u u u u u u u u u k k n n u k u u u u ki u ki u x u u u u k k k k k 互素的无穷子数列中一定有一个任意两项数列依此方法一直下去项两两互素的子数列，是、数列＝理有：是欧拉函数，由欧拉定其中作项是两两互素的，记为中已有证明：设数列其中任意两项互素；中有一个无穷子数列，、证明：数列例））-+∴≤≤-≡-∴≤≤≡-=--++++ΛΛΛΛΛΛϕϕϕϕϕϕϕ例3、已知p 为质数，在1, 2, …, p α中有多少个数与p α互质？并求φ(p α). 直接用性质②例4 将与105互素的所有正整数从小到大排成数列，求出这个数列的第2010项.解：1~105的所有正整数中共有(105)(3)(5)(7)48ϕϕϕϕ==个与105互素，他们从小到排列为：12345481,2,4,8,11,,104a a a a a a ======L . 对于任一的n a ，由带余除法存在唯一的q , r 使得 105,0,0105n a q r q r =+≥≤<，由(a n ，105)＝1，可得(r ，105)＝1，即1248{,,,}r a a a ∈L .反之，对于任意固定非负整数q , 1248{,,,}r a a a ∈L 有(105q ＋r ，105)＝1，于是105q ＋r 都是数列的项， 从而存在正整数n ，使得105n a q r =+. 因此数列{}n a 仅由105(1,2,,48)n q a n +=L 的数由小到大排列而成的.因为2010＝48*41＋42，所以有2010424842201010541,104,89,4394a a a a a =⨯+===而由求得所以. 2、(欧拉定理) 若(a , m )＝1，则a φ(m )≡1(mod m ).证明：设r 1，r 2，…，r φ(m )是模m 的简化剩余系，又∵(a , m )＝1，∴a ·r 1，a ·r 2，…，a ·r φ(m )是模m 的简化剩余系， ∴a ·r 1×a ·r 2×…×a ·r φ(m )≡r 1×r 2×…×r φ(m )(mod m )，又∵(r 1·r 2·…·r φ(m ), m )＝1，∴a φ(m )≡1(mod m ). 注：这是数论证明题中常用的一种方法，使用一组剩余系，然后乘一个数组组成另外一组剩余系来解决问题. 应用：设(a , m )＝1, c 是使得a c ≡1(mod m )的最小正整数, 则c |φ(m ).2、(定义1) 设m ＞1是一个固定的整数, a 是与m 互质的整数，则存在整数k (1≤k ≤m )，使a k ≡1(mod m )， 我们称具有这一性质的最小正整数(仍记为k )称为a 模m 的阶，由a 模m 的阶的定义，可得如下性质： ⑴ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，u , v 是任意整数，则a u ≡a v (mod m )的充要条件是u ≡v (mod k )， 特别地，a u ≡1 (mod m )的充要条件是k |u 证明：充分性显然.必要性：设,u l u νν>=-，由(mod )ua a m ν≡及(,)1a m =知1(mod )la m ≡. 用带余除法，,0,l kq r r k =+≤<故1(mod )kqra a m ⋅≡，∴1(mod )ra m ≡，由k 的定义知，必须0r =，所以(mod ).u v k ≡⑵ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则数列a , a 2, …, a k , a k ＋1,…是模m 的周期数列，最小正周期为k ， 而k 个数a , a 2,…, a k 模m 互不同余.⑶ 设(a , m )＝1，k 是a 模m 的阶，则k |φ(m )，特别地，若m 是素数p ，则a 模p 的阶整除p －1. (4) 设(a , p )＝1, 则d 0是a 对于模p 的阶⇔0da ≡1(mod p ), 且1, a , …, a do −1对模p 两两不同余. 特别地, d o ＝φ(p )⇔1, a ,…, a φ(p )−1构成模p 的一个简化剩余系. 定理：若l 为a 对模m 的阶，s 为某一正整数，满足)(m od 1m a s≡，则s 必为l 的倍数. 例5、设a 和m 都是正整数，a ＞1. 证明：).1(|-ma m ϕ证明：实上，显然1-m a a 与互素，且1-m a a 模的阶是m ，所以由模阶的性质③导出).1(|-ma m ϕ 例6：设m , a ,b 都是正整数，m ＞1，则(.1)1,1),(-=--b a bam m m证明：记).1,1(--=bam m d 由于(a , b )|a 及(a , b )|b ，易知1|1),(--a b a m m及1|1),(--b b a m m ，故d mb a |1),(-， 另一方面设m 模d 的阶是k ，则由)(m od 1),(m od 1d m d m b a ≡≡推出，k |a 及k |b ，故k |(a ，b ). 因此.1|),(m od 1),(),(-≡b a b a m d d m 即综合两方面可知，.1),(-=b a md 证毕.3、(费尔马小定理) 若p 是素数，则a p ≡a (mod p ) 若另上条件(a ，p )＝1，则a p −1≡1(mod p ) 证明：设p 为质数，若a 是p 的倍数，则)(m od 0p a a p≡≡.若a 不是p 的倍数，则1),(=p a 由欧拉定理得：)(mod 1,1)()(p ap p p ≡-=ϕϕ，)(mod ),(mod 11p a a p a p p ≡≡∴-，由此即得.4、(威尔逊定理) p 为质数 ⇔ (p －1)!≡－1 (mod p )证明：充分性：若p 为质数，当p ＝2，3时成立，当p ＞3时，令x ∈{1, 2, 3, …, p −1}，则1),(=p x ，在x p x x )1(,,2,-Λ中，必然有一个数除以p 余1， 这是因为x p x x )1(,,2,-Λ则好是p 的一个剩余系去0. 从而对}1,,2,1{},1,2,1{-∈∃-∈∀p y p x ΛΛ，使得)(mod 1p xy ≡；若)(m od 21p xy xy ≡，1),(=p x ，则)(m od 0)(21p y y x ≡-，)(|21y y p -，这不可能. 故对于不同的}1,,2,1{,21-∈p y y Λ，有1xy ≡／)(m od 2p xy .即对于不同的x 对应于不同的y ， 即1,,2,1-p Λ中数可两两配对，其积除以p 余1，然后有x ，使)(m od 12p x ≡，即与它自己配对， 这时)(m od 012p x ≡-，)(mod 0)1)(1(p x x ≡-+，∴1-=p x 或1=x .除1,1-=p x 外，别的数可两两配对，积除以p 余1.故)(mod 11)1()!1(p p p -≡⋅-≡-.必要性：若(p －1)!≡－1 (mod p )，假设p 不是质数，则p 有真约数d ＞1，故(p －1)!≡－1 (mod d )，另一方面，d ＜p ，故d |(p －1)!，从而(p －1)!≡0 (mod d )，矛盾！ ∴p 为质数.5、算术基本定理：任何一个大于1的整数都可以分解成质数的乘积. 如果不考虑这些质因子的次序，则这种分解法是唯一的. 即对任一整数n ＞1，有n ＝p 1α1p 2α2…p k αk ，其中p 1＜p 2＜…＜p k 均为素数， α1、α2、…、αk 都是正整数.①正整数d 是n 的约数⇔ d ＝p 1β1p 2β2…p k βk ，(0≤βi ≤αi , i ＝1, 2, …, k )② 由乘法原理可得：n 的正约数的个数为r (n )＝(α1＋1)(α2＋1)…(αk ＋1) ③ n 的正约数的和为S (n )＝(1＋p 1＋…＋p 1α1)(1＋p 2＋…＋p 2α2)…(1＋p k ＋…＋p k αk )④ n 的正约数的积为T (n )＝1()2r n n⑤ n 为平方数的充要条件是：r (n )为奇数.(2) 判断质数的方法：设n 是大于2的整数，如果不大于n 的质数都不是n 的因子，则n 是质数. (3) n !的标准分解：设p 是不大于n 的质数，则n !中含质数p 的最高次幂为：).]([][][][)!(132+<≤++++=m m m p n p pnp n p n p n n P Λ 从而可以写出n !的标准分解式.例7、证明：当质数p ≥7时，240|p 4－1.1|2401|531653161|51|31),5(,1),3(16422)1)(1)(1(1111,1,1)1)(1)(1(1,72401744442242244-∴-⋅⋅--∴==⋅⋅++-=-+-++-++-=-∴≥-≥p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p 两两互素，则与，又费马小定理有：又整除＝能被是相邻的偶数，则：和均为偶数，且又是奇数素数证：整除；能被时，、证明当素数例ΘΘΘΘ例8、求20052003被17除所得的余数.解：()2005200520052003171141414(mod17),=⨯+≡因为(17,14)1,=所以由费马小定理得16141(mod17),≡ 故()()()()()5420052005161255520031414143334312(mod17),⨯+≡≡≡≡-≡--≡--≡所以20052003被17除所得的余数是14.变式拓展：已知a 为正整数，a ≥2，且(a , 10)＝1，求a 20的末两位数字.解：∵(a , 10)＝1，∴a 为奇数，∴a 20＝a φ(25)≡1(mod 25)，又∵a 2≡1(mod 4)⇒ a 20≡1(mod 4)， 又∵(25, 4)＝1，∴a 20≡1(mod 100)，∴a 20的末两位数字01.例9、证明：方程325y x =+无整数解.解：若y 是偶数，则8 |3y ，x 2≡3(mod 8)不可能. 故必有y 一定是奇数，从而x 是偶数.令x ＝2s ，y ＝2t ＋1得t t t s 36422232++=+, 知t 是偶数，令t ＝2j ，代入得s 2＋1＝j (16j 2＋12j ＋3) 由(16j 2＋12j ＋3)≡3(mod 4) 知存在4k ＋3型的奇素数p ，使得p |(16j 2＋12j ＋3)，从而p | s 2＋1，即s 2≡－1(mod p )，有(s ，p )＝1, 21212)1()(---≡p p s (mod p )，于是 1-p s ≡－1(mod p )与费尔马小定理矛盾.例10、 试证：对于每一个素数p ，总存在无穷多个正整数n ，使得p |2n －n.. 证明：若p ＝2，则n 为偶数时结论成立.若p ＞2，则(2，p )＝1，由费尔马小定理2 p －1≡1(mod p )，故对于任意m ，有2 m (p −1)≡1(mod p ). ∴2 m (p −1)－m (p －1)≡1＋m (mod p )，令1＋m ≡0(mod p )，即m ＝kp －1， 则对于n ＝m (p －1)＝(kp －1)(p －1)(k ∈N *)，均有2 n －n 被p 整除例11、设a , b 为正整数，对任意的自然数n 有n na nb n ++，则a ＝b . 证明：假设a 与b 不相等. 考虑n ＝1有11a b ++，则a ＜b .设p 是一个大于b 的素数，设n 是满足条件的正整数：1(mod(1)),(mod ),n p n a p ≡-≡- 由孙子定理这样的n 是存在的，如 n ＝(a ＋1)(p －1)＋1. 由费马定理(1)1(mod ),nk p a aa p -+=≡所以0(mod ),n a n p +≡也即,(mod )n n p b n bn ba p ++≡-再由费马定理，所以pb a -，矛盾. 例12、设p 是奇素数，证明：2 p －1的任一素因了具有形式x px ,12+是正整数.证明：设q 是2 p －1的任一素因子，则q ≠2. 设2模q 的阶是k ，则由)(m od 12q p≡知k |p ，故k ＝1或p (因p 是素数，这是能确定阶k 的主要因素).显然k ≠1，否则),(m od 121q ≡这不可能，因此k ＝p .由费马小定理)(mod 121q q ≡-推出.1|,1|--q p q k 即因p 、q 都是奇数，故q －1＝2px (x 是个正整数).例13、设p 是大于5的素数, 求证：在数列1, 11, 111, …中有无穷多项是p 的倍数.证明： 因5p >是素数, 故(,10) 1.p =由费马小定理1101(mod ),p p -≡故对每一个正整数l 有()11010(mod ),l p p --≡ 而()()(){1111019999111,l p l p l p ----==⨯L L 123个个因()1(,9)1,101,l p p p -=- 故(){111 1.l p p -L 个例14、证明：若0(mod ),ppm n p +≡则20(mod ),ppm n p +≡这里p 是奇素数.证明：因p 是奇素数，故由费马定理得，(mod ),(mod ).ppm m p n n p ≡≡于是，(mod ).ppm n m n p +≡+ 故可由已知条件0(mod )ppm n p +≡得0(mod ).m n p +≡故存在整数k 使得,.m n pk n pk m +==- 因此()()()()()()()12122111210(mod ).p p p p p p p p p rp rrrp p ppm n m pk m pk C pk m C pk m Cpk m Cpk m p -----+=+-=-+++-++≡LL例15、(2004第36届加拿大奥林匹克) 设p 是奇质数，试证：∑-=-+≡11212)(mod 2)1(p k p p p p k例16、(第44届IMO ) 设p 是质数，试证：存在一个质数q ，使对任意整数n ，数n p −p 不是q 的倍数.例17、已知p是给定的质数，求最大正整数m满足：⑴1≤m≤p−1；⑵∑-=≡11) (modpkm p k.例18、(2006国家集训队测试题) 求所有的正整数对(a, n)，使得n|(a＋1)n−a n课外练习题：1、①证明：f (x )＝15x 5＋13x 3＋715x 是一个整值多项式. ②求证：f (n )＝15n 5－32n 2＋1310n －1被3除余2.①则只需证=)(15x f x x x 75335++是15的倍数即可. 由3，5是素数及Fetmat 小定理得)5(mod 5x x ≡，)3(mod 3x x ≡，则)5(m od 07375335≡+≡++x x x x x ；)3(m od 0275335≡+≡++x x x x x而(3，5)＝1，故)15(mod 075335≡++x x x ，即)(15x f 是15的倍数, 所以)(x f 是整数. 2、 证明：2730|n 13－n (n ∈N *))(|2730137532),(137532)(|2),(|3),(|5),(|7)(,)(,)(,)(,)()1)(1)(1)(1)(1()1)(1)(1()1)(1(),(|13),(,)(1375322730)(,|273043212433527162263366131313n f n f n f n f n f n f n f n n n f n n n f n n n f n n n f n n n n n n n n n n n n n n n n n n f N n n n n f N n n n 两两互素，故，，，，且均整除，，，，即由费马小定理可知：的因式都是故由于可知则由费马小定理，，若记＝证明：【练习】证明：-=-=-=-=++-+++-=++-=+-=-∈-=⋅⋅⋅⋅∈-Θ3、 已知有正整数b a b a ab ba b a ++++的最大公约数不超过与是整数，求证：使得11,.证明：由于a ＋1b ＋b ＋1a ＝a 2＋b 2＋a ＋b ab……①，设(a , b )＝d ，则d 2|a 2＋b 2，显然d 2|ab ，由①得，d 2|a ＋b于是a ＋b ≥d 2，a ＋b ≥d ，即 (a , b )≤a ＋b .4、求最小的正整数k ，使得存在非负整数m ，n 满足k ＝19m －5n5、将与105互素的所有正整数从大到小排列，试求出这个数列的第1000项；法一：由105=3×5×7；故不超过105而与105互质的正整数有105×(1－13)(1－15)(1－17)=48个.1000=48×20＋48－8， 105×20=2100. 而在不超过105的与105互质的数中第40个数是86． ∴ 所求数为2186. 法二：6．设n m ,为正整数，具有性质：等式(171,)(171,)k m k n -=-对所有的正整数k 成立. 证明：17rm n =，其中r 是某个整数.。
欧拉与“费马数”
欧拉与“费马数”同学们，你知道“费马数”吗？1640年，著名的法国数学家费马认为自己找到了一个质数公式．这个公式是n22+1（n为自然数）．他举例说：当n=1时，n22+1=122+1=22+1=5；当n=2时，n22+1=222+1=42+1=17；当n=3时，n22+1=322+1=82+1=257；当n=4时，n22+1=422+1=162+1=55537．现在数论中把可由n22+1得出的数称之为“费马数”．上述费马数均为质数．1729年12月1日，瑞士的大数学家、22岁的欧拉收到哥德巴赫的一封信，信中说：“……你知道费马在一本书注中提出的一个质数表达式吗？这就是‘一切形如n22+1（n是自然数）的数都是质数’，费马本人说这是证明不了的，据我所知，他身后已过了半个世纪，迄今还没有人能证明它，虽然如此，人们还是相信这个结论．”欧拉深知这封信的来意是要求他要么证明“一切形如n22+1（n是自然数）的数都是质数”，要么否定这个结论．为此，他对n=5时的情况进行了研究。
当n=5时，n22+1=522+1=232+1=（2×27）4+1=24×1284+1=（1+15）×1284+1=［1+5（128－125）］×1284+1=（1+5×128）×1284+1－54×1284=（1+5×128）×1284+（1+52×1282）（1+5×128）（1－5×128）=（1+5×128）［1284+（1+52×1282）（1－5×128）］=641×6700417．由此可见，第五个费马数522+1=4294967297不是个质数，而是个合数，它是641和6700417的乘积，从而推翻了费马的猜想．这里的证明，欧拉用的不是什么高深的数学知识，而是像“因式分解”这种最基础的知识和最基本的技能，以及诸如“分解质因数”“逆用法则与公式”“拆项”等基本技巧．这件事启示我们：谁想成为高素质的人才，在知识经济时代有所作为，现在就必须重视基础知识的学习，基本技能和技巧的训练，基本思想方法的活用．。
费马—欧拉两平方和定理
事实 上 ，当 Ｐ＝４ｎ＋１时 ，化为
２ｎ
（４凡）！＋１＝（２ｎ）！Ⅱ （２ｎ＋ ）＋１ ｉ＝ｌ ２ｎ
＝ （２凡）！Ⅱ （Ｊｐ— ）＋１
ｉ＝ ｌ
三（（２ｎ）！） ＋１－０（ｍｏｄ Ｐ）．
若令 Ｎ＝（２ｎ）！，Байду номын сангаас 样就证 明 了 Ｎ２三 一１（ｍｏｄ Ｐ）．
记 ［ ］表示 不超过实数 的最 大整数．
３，５，７，１ １，１３，１７，１９，… ，
另一 条则 在 １９世 纪 ，至 于 第 三 条 道 路 的 发
发现其 中数 ５、１３、１７均可表示 为两个平方数 现 ，则 已经 是 ２０世纪 的事 了．
之 和 ：
５＝ １ ＋２ ， １３ ＝２ ＋３ ，１７： １ ＋４ ，
１ 拉 格 朗 日的证 明
下 面有三 条道 路 通 向 １７世 纪这项伟 大
由于这种整数对的个数为（【 】＋１） ＞ｐ，
则其 中至少 存在 两个不 同的整 数 对 （ｍ ，ｋ ） 与 （ｍ ，ｋ ），使得 对应的 ｍ。＋ 。与 ｍ ＋ ２ 模 Ｐ同余．
故 ＰＩ（（ｍｌ—ｍ２）＋（ｋ。一ｋ２）Ⅳ）． 改 记 口＝ｍｌ—ｍ２，ｂ＝ｋｌ—ｋ２，即 Ｐ Ｉ（ａ＋Ⅳ６）． 易知 ，ＩⅡｌ＜ ，Ｉ ｂ ｌ＜ （显然 口、ｂ皆不 为
收稿 日期 ：２０１８—０６—２６
０；否则 ，由一 个为 Ｏ将导致另一个 为 ０）．
８
中 等 数 学
故 口 一Ｎ ６ ＝（Ⅱ＋Ｎｂ）（ａ—Ｎｂ）
Ｙ２－Ｘｌ— １一 ｌ＝（ ＋ ）一 ＋（Ｙ一 一 ）＝ｙ，
＝
－
０（ｒ ｏｏｄ Ｐ）．
２ Ｙｌ ·
又 Ⅳ 三 一１（ｒ ｏｏｄ Ｐ），于 是 ，
初等数论中的欧拉定理
定理内容在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则a^φ(n) ≡ 1 (mod n)证明首先证明下面这个命题：对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n 且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 则S = Zn1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。
所以，很明显，S=Zn既然这样，那么（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n)= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n)= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)考虑上面等式左边和右边左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n)右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n)而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：a^φ(n) ≡ 1 (mod n)推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n)费马定理:a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。
第二章第4节 欧拉定理 费马小定理 《信息安全数学基础》课件
ari rj (mod m)
所以 (ar1 )(ar2 ) (ar (m) ) r1r2 r (m) (mod m)
即 a(m)r1r2 r(m) r1r2 r(m) (mod m)
又因
所以
(ri , m) 1, i 1, 2, ,(m)
(r1r2 r (m) , m) 1
故
16
6、有布7丈5尺，裁剪成大人和小孩的衣料，大人一件 衣服用布7尺2寸，小孩一件衣服用布3尺，问各裁剪多 少件衣服恰好把布用尽。 7、求201319852004 被7除余数是几？
17
本章主要内容
同余
剩余类
基本性质
简化剩余类
完全剩余系 简化剩余系 欧拉定理 费马定理
欧拉函数及其计算方法
15
半期试题 第1题10分，2-7题各15分。 1、p 3为素数，求证8 p2 1不能为素数。 2、问123451234的最后两位数？ 3、用同余的方法证明：是否存在五个连续自然数， 将得前四个数的平方和等于第五个数的平方。 4、解同余式方程589x 1026(mod 817) 5、求20!的标准分解式。
证 因p是素数,则对任何整数a,有p | a,或(a, p) 1.
若p | a,显然有 a p a (mod p).
若(a, p) 1,则由欧拉定理 a( p) 1 (mod p)
又( p) p 1, 于是
a p1 1 (mod p) a p a (mod p)
5
例5 设p, q是两个不同的奇素数, n pq, (a, pq) 1,
aed a (mod p) aed a (mod q)
aed a (mod[ p, q])
aed a (mod n)
奇完全数的欧拉因子
奇完全数的欧拉因子
奇完全数的欧拉因子
欧拉因子的研究可追溯到18世纪，是非常重要的数学研究领域之一。
英国数
学家埃拉托斯特·欧拉是该术语的发明者，并以他的名字命名。
数学家认为，某个数字的欧拉因子是原始数字及其所有小于它的正因子的乘积。
因此，它可用来测定某个数字是否为完全数，即它尚未被任何小于它的因素所整除。
素数是一种特殊类型的因数，它只能被1和其自身整除。
如果一个数字的欧拉因子是原始数字和它所有不同的素因数的乘积，那么它就是一个奇完全数。
因此，奇完全数的欧拉因子就是它及所有不同的素因子的乘积。
例如，9的欧拉因子是1 x 3 x 3 = 9, 9是一个奇完全数，因为它的欧拉因子是它的原始数字及其两个不
同的素数因子的乘积。
另一方面，偶完全数（也称为双完全数）的欧拉因子不仅包括原始数字，而且还包括一个特殊类型的完全数，即2的幂因数。
例如，28的欧拉因子是1 x 2 x 2 x 7 x 7 = 28。
这是因为28的欧拉因子不仅包括它的原始数字和它的四个不同的素数因子，还包括一个2的幂因数。
奇完全数的欧拉因子可以用来确定某个数字是否为完全数，以及它是否属于某个特定的完全数类型。
但是，由于欧拉因子的复杂性，数学家仍在寻找方法来自动确定某个数字是否为完全数，并确定它的类型。
除了欧拉因子，人们还在研究一种新型的完全数，包括一种叫做费马完全数的特殊数字。
费马完全数不仅具有欧拉因子的特性，而且还可以判断某个数字是否为完全数。
课外数学百科小知识：费马大定理
课外数学百科小知识：费马大定理数学世界是广大无垠的，大家不能只局限于课本上的知识，课外的许多知识也需要我们了解，查字典数学网为大家准备了课外数学百科小知识，希望大家认真学习。
费马大定理，又被称为“费马最后的定理”，由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。
它断言当整数n >2时，关于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
德国佛尔夫斯克曾宣布以10万马克作为奖金奖给在他逝世后一百年内，第一个证明该定理的人，吸引了不少人尝试并递交他们的“证明”。
被提出后，经历多人猜想辩证，历经三百多年的历史，最终在2019年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。
接力证明1753年瑞士著名数学家欧拉，在给哥德巴赫的信中说，他证明了n=3时的费马猜想，1770年其证明发表在《代数指南》一书中，方法是“无限下降法”和形如a+根号(-3)数系的唯一因子分解定理，这一方法也被后人多次引用。
1816年巴黎科学院把费马猜想转化简化归结为n是奇素数的情况，认为费马猜想应该成立，并称为为费马大定理(以区别费马关于同余的小定理)，并为证明者设立大奖和奖章，费马大定理之谜从此进一步风靡全球。
费马自己证明了n=4的情形。
十九世纪初法国自学成才的女数学家热尔曼证明了当n和2n+1都是素数时费马大定理的反例x，y，z至少有一个是n 整倍数。
在此基础上，1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明费马大定理在n=5时成立，用的是欧拉所用方法的延伸，但避开了唯一因子分解定理。
1839年，法国数学家拉梅对热尔曼方法作了进一步改进，并证明了n=7的情形，他的证明使用了跟7本身结合得很紧密的巧妙工具，只是难以推广到n=11的情形;于是，他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明，但没有成功。
1844年，库默尔提出了“理想数”概念，他证明了：对于所有小于100的素指数n，费马大定理成立，此一研究告一阶段。
费马大定理非常美妙的证明
费马大定理非常美妙的证明
费马大定理，又名费马欧拉定理，是古希腊数学家尤里乌斯·费马在300年前发现的一个非常重要的定理。
定理的全称叫做：任何一个大于等于3的自然数，都可以表示成2的幂次的和。
比如，21可以表示成2的4次方加2的0次方，即16+1；而25则可以表示成2的4次方加2的2次方，即16+4；以此类推，任意一个大于等于3的正整数都可以表示成2的幂次之和的形式。
费马定理非常美妙，但到目前为止，它仍然是一些未解决的数学掘臼。
在已经知道这个定理之前，费马有一段时间都在探索这个问题，但他没有真正意识到这一实质性问题。
直到他孤身一人在他的实验室里探索这个问题，他才永久的突破性的证明了这一定理。
除了费马，还有一些古希腊数学家也在研究这个定理，包括伟大的欧拉，当他研究完事实证明，这一定理的正确性时，它被命名为“费马欧拉定理”。
尽管已经有一些它被认可的证明，但费马定理仍然具有重要的理论价值，因为它可以帮助我们理解和研究数字、空间和时间的联系。
总体而言，费马大定理是由费马发现的一个非常美妙的定理，它有着重要的理论价值，对于解释飞电的某些特殊性质有着重要的启示意义。
它足以证明，数学有力地证明和强调了可预测性和超然。
这个古代现代与数论有关名称和内容
这个古代现代与数论有关名称和内容
在古代和现代数学中，与数论相关的名称和内容包括：
1.《九章算术》：古代中国数学著作，其中包含了有关整数和分数的运算法则、公约数和公倍数、同余等内容。
2.欧几里得算法：古希腊数学家欧几里得提出的一种求解两个整数最大公约数的算法，也被称为辗转相除法。
3.素数：只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7等。
素数一直以来都是数论中的重要研究对象。
4.费马大定理：由法国数学家费马提出的一个关于整数解存在性问题的猜想，其内容是对于大于2的整数n，方程x^n + y^n = z^n没有非零整数解。
5.欧拉函数：指对于正整数n，小于等于n且与n互质的正整数的个数，常用符号为φ(n)。
欧拉函数与模运算和同余等概念密切相关。
6.同余：指两个数对某个正整数取余得到的结果相等，如a ≡b (mod m)表示a 与b在模m下同余。
7.离散对数问题：指在模n的剩余系中，已知底数和幂，求解指数的问题。
离散
对数问题是现代密码学中的一个重要问题。
以上仅是数论中与古代和现代数学相关的几个名称和内容，数论作为数学的一个分支领域，还涉及到更多的概念、定理和问题。
数论是研究整数性质及其相互关系的学科，对密码学、编码、交通网络、通信等领域都有重要应用。
解密数学谜题逻辑推理
解密数学谜题逻辑推理数学是一门充满谜题和逻辑推理的学科，其中涉及的问题既有巧妙的逻辑推导，也有需要解密的数学谜题。
本文将介绍几个常见的数学谜题，并通过逻辑推理来解密这些谜题。
一、费马大定理费马大定理是数学史上最著名的数学猜想之一，由法国数学家费马于17世纪提出。
该猜想断言，对于任何大于2的自然数n，方程x^n+y^n=z^n没有整数解。
数学家们经过长时间的努力，终于在20世纪证明了费马大定理。
他们通过巧妙的逻辑推导和数学技巧，消除了一个个可能性，最终得到了严格的证明。
二、欧拉恒等式欧拉恒等式是一个非常有趣的数学谜题，它涉及到数学家欧拉的两个重要数学常数：自然对数的底e、虚数单位i和π（圆周率）。
这个等式被写为e^(iπ)+1=0。
这个等式的美妙之处在于，它将三个看似没有直接关系的数学常数联系在一起，并且在一个等式中呈现出来。
它通过对数学符号和运算规则进行巧妙的变换和使用，呈现出了数学的深邃和神秘。
三、数学家和犹太人的问题这是一个关于逻辑推理的经典问题，它要求在一间黑屋子里确定数学家和犹太人的颜色。
房间里有三个帽子：两顶黑色的帽子和一顶白色的帽子。
数学家和犹太人分别戴上了帽子，并不能互相看到自己的帽子颜色。
问题的规则是数学家不能说出自己的帽子颜色，但可以观察其他人的帽子颜色。
犹太人可以根据数学家的发言来确定自己的帽子颜色。
逻辑推理很重要的一步就是排除一些可能性。
数学家可以考虑以下情况：如果他看到自己的两个同伴戴黑帽子，那么他自己一定戴白帽子。
因为如果他戴的是黑帽子，犹太人就可以根据数学家的发言来确定自己戴的是白帽子。
通过这样的逻辑推理，数学家和犹太人最终可以确定自己的帽子颜色。
这个问题展示了逻辑推理在解决问题中的重要性。
四、桥和岛的问题这是一个著名的数学谜题，也是对逻辑推理的考验。
问题的背景是一个连接两个岛屿的河流上有四座桥。
这四座桥被画在一张纸上，目标是通过逻辑推理确定连接哪些岛屿的桥。
通过观察四座桥的布局和连接情况，我们可以得出以下结论：每个岛屿都与其他三个岛屿通过桥相连，没有孤立的桥存在。
数学家被数字困扰的小故事
数学家被数字困扰的小故事
有一位著名的数学家名叫费马，他曾在一个小小的困扰上面栽了一个小小的跟头。
费马在阅读丢番图的《算术》时，在书页的空白处，他写下了他解决这个问题的方法，其中他提出了一个观点，他认为2的26次方减1这个数字能被7整除。
然而，费马并没有给出证明。
许多年以后，一位名叫欧拉的人发现了费马的这个结论，并试图证明它。
欧拉发现，如果2的26次方减去1，然后再除以7，余数应该是6。
然而，欧拉却无法找到一个整数使得这个余数为6。
欧拉向费马的朋友写信询问费马是如何证明这个结论的，但是他的朋友也表示不知道。
于是欧拉决定自己尝试证明这个结论，他用了很多方法，但都没有成功。
直到1994年，一位名叫库尔沃瓦尔的数学家才找到了费马原来的证明过程。
这个故事告诉我们，即使是最伟大的数学家也会犯错误，并且有时候他们也会忘记自己的证明过程。
这也提醒我们，在解决问题时需要小心谨慎，并且对自己的结论进行验证和证明是非常重要的。
费马数之猜想
费马数之猜想伟大的科学家也会犯错误，连费马这位被誉为十七世纪最伟大的数学家也不例外。
费马三十岁时候得到图卢兹地方议会律师的职位。
他一方面在做律师的工作，同时还利用业余时间从事数学研究。
虽然费马一生中发表的著作不多，但他与同时代的许多一流数学家都有通信往来，并在当时有相当大的影响。
例如，费马提出的费马大定理问题，一个永远的谜，带给后人的影响持续了350年之久。
费马对数学有很多的贡献，其中最突出的是他在数论方面奠基性的工作。
而他所犯的错误也恰恰是在他最擅长的数论领域。
1640年费马在数论领域留下一个不可磨灭的足迹，他思考这样一个式子：2^(2^n) + 1 的值是否一定为素数。
当n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65 537 ，费马发现这五个数都是素数。
由此，费马提出一个猜想：形如2^(2^n) + 1的数一定为素数。
由于F5太大（F5 ＝4294967297），费马没有再往下继续进行验证。
费马在给朋友的一封信中写道：“我已经发现形如2^(2^n) + 1的数永远为素数。
很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。
”费马同时坦白地承认，他自己未能找到一个完全的证明。
费马所研究的Fn=2^(2^n) + 1这种具有美妙形式的数，被人称之为费马数。
就这样费马提出了一个猜想：所有费马数都一定是素数。
费马的判断是正确的吗？要验证费马的猜想并不容易。
因为随着n的增大，Fn 迅速增大。
比如对后人来说第一个需要检验的F5＝4 294967297已经是一个十位数了。
大约过了近百年，他的猜想被证明是错的。
费马过分相信自己的直觉，做出了一个错误猜测。
后来的研究的证明了费马不但是错的，而且是大错特错呢！1729年12月1日，哥德巴赫在写给欧拉的一封信中问道：“费马认为所有形如2^(2^n)+1的数都是素数，你知道这个问题吗？费马说他没能作出证明。
据我所知，也没有其他任何人对这个问题作出过证明。
费马大定理的前世今生
费马大定理的前世今生如果问数学界近几十年最重要的成果是什么，那依我看，非费马大定理获证不可。
在费马提出这个问题三百多年后的1994年，来自英国的数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）一锤定音，最终彻底解决了该问题。
能见证这样的盛事，可谓我辈之幸。
业余数学之王—费马费马(1601-1665)出生于法国西南的一个小镇，父亲是当地富裕的皮革商人。
优越的家庭条件使得费马从小便接受了良好的教育，但和牛顿一样，少年时代的费马并未显露出有什么数学天赋。
之后迫于父亲的要求，费马走上了仕途，当了一名政府文官，而且还成为了一位成功的律师。
在费马的时代，数学家不是什么“正经”职业，或者说不是专门的职业，绝大部分数学家都是业余的，他们同时也或多或少干着其他的工作，研究数学只是业余的爱好。
而费马就是其中一个最为突出的业余数学狂热爱好者。
从来没有记载指出费马到底受了当时哪些数学家的影响，但可以肯定的是，丢番图的《算术》一书必定对费马的数学研究产生了深刻影响。
1637年左右，在研究《算术》第二卷的时候，费马被毕达哥拉斯方程(我国俗称的勾股方程:x^2+y^2＝z^2)有无穷多个整数解这个现象所吸引，但雄心勃勃的费马决心搞点比古希腊人高明的东西出来，于是他把方程的幂提高到3，一番苦苦思索之后，费马并没有得到整数解，而他还不满足于此，继续思考如果幂次更高是否也无解呢？费马把他思考的结果写在了这本书靠近第八个问题的空白处:“不可能将一个立方数写出两个立方数之和；或者将一个4次幂写出两个4次幂之和；或者，总的来说，不可能将一个高于2次的幂写成两个同样次幂的和”。
用数学语言描述出来就是:方程x^n+y^n＝z^n当n≥3且为整数时无整数解。
费马还不满足于此，他还在自己的结论旁边加了一句:我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里空白太小，写不下！到底费马是真的有了证明还是恶作剧已经无从考证，但以现在数学家的眼光来看，费马吹牛的可能性更大。
离散数学中数论知识点详解
离散数学中数论知识点详解数论作为离散数学的一个重要分支，主要研究整数及其性质。
在数论中有着许多重要的概念和定理，本文将对其中的一些知识点进行详解。
一、整数的性质整数是数论研究的基础，我们首先来看一些整数的基本性质。
1. 奇数与偶数整数可以分为奇数和偶数两类。
一个整数若能被2整除，则为偶数；否则为奇数。
2. 素数与合数素数是指除了1和自身外，不能被其他整数整除的整数。
合数则是指除了1和自身外，能被其他整数整除的整数。
3. 最大公约数与最小公倍数两个整数a和b的最大公约数（GCD）是指能够同时整除a和b 的最大正整数。
最小公倍数（LCM）则是指能够被a和b同时整除的最小正整数。
二、质数与素数质数是指只有1和自身两个因数的正整数。
质数在数论中起到了重要的作用。
1. 质数的判断对于一个给定的整数n，判断其是否为质数可以通过试除法来进行。
试除法就是遍历2到n-1之间的所有整数，判断是否能整除n，若不能整除则n为质数。
2. 质因数分解任意一个大于1的自然数n，可以唯一地分解为一系列质数的乘积。
这个分解过程称为质因数分解。
三、同余与模运算同余关系是数论中一个重要的概念，通过它我们可以得到很多有用的结论。
1. 同余关系对于给定的整数a、b和正整数m，若a与b除以m所得的余数相等，则称a与b关于模m同余，记作a ≡ b (mod m)。
2. 模运算模运算是指在进行加减乘除等运算时，将结果限制在一个模m的范围内。
具体做法是对运算结果取模。
例如，(a + b) mod m = [(a mod m) + (b mod m)] mod m。
四、费马小定理与欧拉定理费马小定理和欧拉定理是数论中非常重要的定理，它们在密码学领域有着广泛的应用。
1. 费马小定理若p为质数，且a是不可被p整除的整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
这个定理在许多数论问题中都有重要的应用。
2. 欧拉定理若a与m互质，则有a^φ(m) ≡ 1 (mod m)，其中φ(m)表示小于或等于m的正整数中与m互质的数的个数。
数论研究的三个阶段
数论研究的三个阶段[摘要]十八世纪前数论还没有形成完整体系，十八世纪后由于代数方法和解析方法的引入，数论出现了两大分支，即代数数论和解析数论。
高斯对二次互反律的研究催生了代数数论，之后经库默尔、狄利克雷、戴德金等数学家的工作而得到了进一步的发展与完善。
欧拉的研究引出了解析数论，黎曼、阿达马等数学家的研究直接推动了解析数论的发展。
关键词：数论；代数数论；解析数论The Three Stages of Number Theory ResearchAbstractThe Number theory had not formed a complete system until it was divided into two branches in the 18th century, namely the algebraic number theory and analytic umber theory. Gauss's research on the law of quadratic reciprocity had given rise to the algebraic number theory, which obtained the further development and perfection by Kummer, Dirichlet and Dedekind’s work. Euler's researches led to analytic number theory, and Riemann and Hadamard’s studies further promote the analytic number theory.Key words:the number theory; the algebraic number theory; the analytic number theory数论是对整数性质的研究，所以又叫算术或整数论。
欧拉数论定理
欧拉数论定理欧拉数论定理是数学中的一项重要定理，它涉及到数论中的欧拉函数和模运算。
欧拉函数是指小于n的正整数中与n互质的数的个数，用φ(n)表示。
而模运算是指在整数集合中，对于给定的模数m，将一个整数a除以m所得到的余数。
欧拉数论定理的表述是：若a和n是互质的正整数，则a的φ(n)次方与1对n取模同余。
即a^φ(n) ≡ 1 (mod n)。
这个定理的证明比较复杂，需要用到一些数学知识，如欧拉定理、费马小定理等。
但是，这个定理的应用却非常广泛，尤其是在密码学中。
在密码学中，欧拉数论定理被广泛应用于RSA加密算法中。
RSA 加密算法是一种非对称加密算法，它的安全性基于大数分解的难度。
RSA加密算法的原理是，将明文转化为数字，然后用公钥加密，再用私钥解密。
公钥和私钥是一对密钥，其中公钥可以公开，私钥只有拥有者知道。
RSA加密算法的安全性基于两个大质数p和q的乘积n的难度分解。
欧拉数论定理在RSA加密算法中的应用是，选择两个大质数p 和q，计算它们的乘积n和欧拉函数φ(n)，然后选择一个与φ(n)互质的整数e作为公钥，计算出私钥d，使得e×d ≡ 1 (mod φ(n))。
这样，公钥就是(n,e)，私钥就是(n,d)。
明文m经过加密后变成了c ≡m^e (mod n)，解密时用私钥d计算出明文m ≡ c^d (mod n)。
欧拉数论定理在RSA加密算法中的应用，保证了加密和解密的正确性。
同时，由于欧拉函数的计算难度，使得RSA加密算法的破解变得非常困难。
欧拉数论定理是数学中的一项重要定理，它在密码学中的应用使得RSA加密算法成为了一种非常安全的加密算法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
欧拉与“费马数”
同学们，你知道“费马数”吗？
1640年，著名的法国数学家费马认为自己找到了一个质数公式．这个公式是n22+1（n为自然数）．他举例说：
当n=1时，n22+1=122+1=22+1=5；
当n=2时，n22+1=222+1=42+1=17；
当n=3时，n22+1=322+1=82+1=257；
当n=4时，n22+1=422+1=16
2+1=55537．
现在数论中把可由n22+1得出的数称之为“费马数”．上述费马数均为质数．1729年12月1日，瑞士的大数学家、22岁的欧拉收到哥德巴赫的一封信，信中说：“……你知道费马在一本书注中提出的一个质数表达式吗？这就是‘一切形如n22+1（n是自然数）的数都是质数’，费马本人说这是证明不了的，据我所知，他身后已过了半个世纪，迄今还没有人能证明它，虽然如此，人们还是相信这个结论．”
欧拉深知这封信的来意是要求他要么证明“一切形如n22+1（n是自然数）的数都是质数”，要么否定这个结论．为此，他对n=5时的情况进行了研究。
当n=5时，
n
2
2+1=522+1=232+1=（2×27）4+1
=24×1284+1
=（1+15）×1284+1
=［1+5（128－125）］×1284+1
=（1+5×128）×1284+1－54×1284
=（1+5×128）×1284+（1+52×1282）（1+5×128）（1－5×128）
=（1+5×128）［1284+（1+52×1282）（1－5×128）］
=641×6700417．
由此可见，第五个费马数522+1=4294967297不是个质数，而是个合数，它是641和6700417的乘积，从而推翻了费马的猜想．这里的证明，欧拉用的不是什么高深的数学知识，而是像“因式分解”这种最基础的知识和最基本的技能，
以及诸如“分解质因数”“逆用法则与公式”“拆项”等基本技巧．这件事启示我们：谁想成为高素质的人才，在知识经济时代有所作为，现在就必须重视基础知识的学习，基本技能和技巧的训练，基本思想方法的活用．。