数学准备—矢量及其运算1

2.矢量减法的三角形法则 两矢量相减，要将它们移到一个共同的起点，然 后从减项矢量的终点向被减项矢量的终点所引的矢 量即为所求之差。 如：
b
c a c b a c
a b c a
可见：
a减b 指向a
c a b b 减a指向b
a b 2ab cos
∴
c a b 2ab cos
2 2
— c矢量的大小
c 与任一分矢量之间 规定：c 矢量的方向是： 的夹角。
b sin tg a b cos
b
a
矢量的定义 : 既有大小又有方向,加法运算 时满足平行四边形法则的物理量叫做矢量。
再求 ：a － b = c = ?
o
cy cx
y
b
2
1
a
x
解 ： ∵
cx ax bx
a cos 1 b cos 2 c y a y by
a sin 1 b sin 2
∴c
c c
2 x
2 y
2 2
(a cos 1 b cos 2 ) (a sin 1 b sin 2 )
tg =
Cy Cx
=
a sin 1 b sin 2 a cos 1 b cos 2
再如：计算
∵
x
ab c ?
1
a a cos a a sin
y
y ab
b
2
2
a
1
bx b cos 2
b b sin ∴ c a b
y
x
y
o
它任一边 c b c b a c<a，c<b c b a c=a=b
a c>a，c>b
3.矢量加法的多边形法则 c
d c
b
a
b a
依次作出各个矢量，其中后一个矢量的 起点正好是前一个矢量的终点，那么从第一 个矢量的起点到最后一个矢量的终点所引的 矢量，即它们的矢量和.此时所有的分矢量与 合矢量围成一个多边形.所以称为矢量加法的 多边形法则。


0
2
F
2
四. 矢量的正交分解合成法（矢量的正交分解法） 矢量的加、减法的平行四边形法则或三角形法 则,均为矢量合成的几何法，用几何法处理两个矢量的 合成还是比较简单的，但对于多个矢量的合成问题再 用几何法就显得麻烦了.为解决此问题人们引入了矢量 合成的解析法——正交分解合成法，从而将矢量计算 转化为代数计算，使多个矢量的合成问题变的简单了。 1.正交分解：一个矢量 a 对应一个平行四边形 的对角线，一个对角线对应有无数个平行四边形，而 一个矢量可以由平行四边形法则分解为无数对分矢 量，在这无数对分矢量中必然包括一对相互垂直的分 矢量。
2.矢量加法的三角形法则
b
c a
o a
cb
或 o
o
b
c c = a+ b
两矢量相加，要将一个矢量的起点移到另一个矢 量的终点，然后连结一矢量的始点和另一矢量的终点, 即为两矢量的和。
由于三个矢量构成一个三角形，所以称为矢量加法 的三角形法则。 应当注意：合矢量可大于、等于、小于其它任一分 矢量
即 三角形的任一边可大于、等于、小于其
c y a y b y a sin 1 b sin 2
∴
c cx c y
2
2
tg
cy
cx
例：已知 F 200 N F 155N 1 2
方向如图，求合力F. 解：利用正交分解合成法
F1 x 200 cos 30 173N
0
F3 300 N
Y
F3
数学预备知识 ——矢量及其运算
一、矢量的概念 1.矢量的定义——既有大小又有方向的量叫做矢 量（向量）
记
号： F
大小表示：F
a v b a v b
AB AB
标量：仅有大小的量叫做标量 如：质量m 、时间 t、 路程 s、动能Ek 、势能 Ep 等。 标量仅有大小没有方向但有正负，如温度 t
N F F
1
f
mg

s
w F S FS cos
，垂直于 b 即垂直于 a 和 b 所 c矢量的方向垂直于 a 决定的平面。 c 矢量的方向用右手螺旋法则（右手抓法）
0 a 180 判定：伸开右手让右手四指从 的方向经小于 角， 抓向 b ，则大拇指伸直的方向即 c 的方向。
a
小结：由分矢量求合矢量（加法）或由合矢量求分 矢量（减法），从数学角度来说就是求解三角形的 边和角的问题,因此一切解算三角形的数学方法均 可使用。
如：正弦定理、余弦定理、勾股定理、等边三角形、 相似三角形、全等三角形、菱形特性等都可以使用。 注意：①.已知合矢量F的大小和方向与另一个分矢量 F1的方向，则另一个分矢量F2与F1相互垂直时F2有极 小值 且 F2 min F sin F F2 F1 ②.已知一个分矢量F1的大小和方向与合矢量F的方 向，则另一个分矢量F2与合矢量F相互垂直时 有极小 F 值 即： F2 min F1 sin F2 0
b c a c (a )
c a b
c
b
c
a
a
b
和，可以按平行四边形法则或三角形法 则计算——即矢量的减法实质上仍是矢 量的加法，矢量的加、减法统称为矢量 的合成.
可见求 c与 a的差即求 c 与 (a ) 的
a
2. 矢量的图形表示：带有箭头的线段 线段长度——矢量大小 箭头指向——矢量的方向
A 起点 F B 终点
F=5N，方向为水平向右
3. 两矢量相等的条件：大小相等，方向相同. 与起点无关 B
D
A
AB = CD
C
4.矢量可以平移
b b
b b
5. 负矢量——— 两矢量等大反向叫做平移的负 矢量 —
矢 二. 矢量的加法 量 加 1.平行四边形法则 法 的 两矢量 a 与 b表 的和是以这两个矢量为两边的平行 四边形的对角线矢量 示 c，记为： 式 a
注：①三力平衡时，构成一个封闭的三角形. ——三力平衡力三角形自行封闭 F2 F2 F1 F1 F3 F3 ②在共点力的作用下，物体处于平衡状态 时，合力为零，构成一个封闭的多边形 ——多力平衡力多边形自行封闭 F .
F3 F2
3
F1
F4 F4 F1
F2
三.矢量的减法 1.矢量减法的平行四边形法则 ∵ ∴
2.两矢量的叉积（矢量积） c a b 定义：两个矢量 和 的叉积定义为另一个矢量 即：c a×b c 它的数值是： c ab sin θ a与b 之间的夹角 a

b
b=3 x
a=-5
=-5+3 =-2 C矢量大小为2方向与规定正方向相反
六. 两矢量的乘法 1. 两矢量的点积（数量积） 定义：两个矢量 a 和 b 的乘积定义为
c a b ab cos
——两矢量之间的夹角。
注：由于这种矢量的乘法是在 a 和 b 之间 放上一点来表示的，因此积得点积。由于这种 乘积的实际定义是 ab cos ，这是一个数量 （标量），因此又称为数量积。 如：物体向右运动 求力F可作的功W=？
x
2
x
x
a cos 1 b cos 2
c
a sin 1 b sin 2
∴
c C C
2 x
2 y
tg c
cy
x
y
b
计算 a b c ?
2
1
a b a
x
cx ax bx a cos 1 (b cos 2 )
a cos 1 b cos 2
x 2
y
2
∴
cx ax bx a cos 1 b cos 2
c y a y by a sin 1 b sin 2
∴ c c 2 c 2 (a cos b cos ) 2 (a sin b sin ) 2 x y 1 2 1 2 方向 ：tan
将一个矢量在选定的直角坐标系中，沿两个坐 标轴的方向分解——矢量的正交分解法。 y 如右图所示： a a cos
x
（可正、可负）0 ax — a在x轴上的分量 （可正、可负） a y — a在y轴上的分量
a y a sin
ax
a

ay
x
ay 矢量a的方向： tg —— 矢量a与x轴正向夹角 ax 2 2 矢量 a的大小: a ax a y
五
在同一直线上的矢量的运算
在同一直线上的矢量其方向仅有两个,因此可以 用正、负两个符号表示两个方向，具体做法是：沿着 矢量所在的直线选定一个正方向,即建立一维坐标系 （直线坐标系）.凡方向与正方向相同的矢量取正 值，凡方向与正方向相反的矢量取负值。这样用一个 带有正、负号的数值把矢量的大小和方向都表示出 来，从而将同一直线上的矢量运行转化为代数运算， 实际上这也是平行四边形法则在特殊情况下的运用。
注：已知一个矢量的大小和方向，它在直角坐 标系中的分量唯一确定,反之已知一个矢量在直角坐 标系中的两个分量则可完全确定该矢量的大小和方 向。 y c 2. 正交合成 求： a + b =? b 解： ∵ a x a cos 1 a y a sin 1 2 a 1 x o 又 b b sin b b cos
如：∵a=5 b=-3 ∴c=a+b=5-3=2
b=-3