第15次课2学时

第 15 次课 2 学时
第四章 拉普拉斯变换与S 域分析
本章的内容
1.拉普拉斯变换与逆变换
2.连续时间系统的s 域分析和求解
3.系统函数H(s)的零、极点分布
与h(t)、系统响应和频响特性的对应
4.二阶谐振系统的s 平面分析
5.线性系统的稳定性分析
一、拉普拉斯变换
拉氏变换的定义——从傅氏变换到拉氏变换
有几种情况不满足狄里赫利条件：
u(t) (0)at
e a > 增长信号 1c o s
t ω 周期信号
若乘一衰减因子t e σ-,σ为任意实数，则().t f t e σ-收敛，于满足狄里赫利条件 ()t u t e σ-，.()at t e e a σσ->，1cos t e t σω-
拉氏正变换的推导
对一般信号)(t f ，乘以衰减因子t e σ-，即在σ的某范围内（ασ>）收敛。

依定义： ()()t t j t F f t e f t e e dt σσω+∞----∞⎡⎤⎡⎤⋅=⋅⎣⎦⎣⎦⎰()()j t f t e dt σω+∞-+-∞
=⋅⎰ ()F j σω=+ 1. 拉氏变换定义
()t e f t σ-傅里叶变换中引入使信绝对可积号条件成立
()()st def e dt s j F f t s σω∞-=+⎰=单边拉氏变换：　,其中（因果系统） [][]()()()(),()()f t F s f t F s F s f t −−−→−−−→　：原函　象氏换函拉变对L L
lim ()0()t t t f t e f t e σσσσσσ-→∞
->>=００拉氏变换的收：当时　,即在范敛域围内收敛
()f t S σσσ０００其中与有关，过的垂直线为，在平面内称收敛轴收敛坐标 ;;0σσ>-∞>如非周期信号有稳定幅度的信号有界周期 ;0at e a σσ>>随时间成的信号按指数的信长增长号正比增。

0(0),0)0(()st def f F e d s f t t ---∞
-=⎰：若某些信号在且已知则有跳变系统点 2. 基本信号的单边拉氏变换
(1)阶跃函数
[]011()10st st L u t e dt e s
s ∞--∞=⋅==-⎰ (2)指数函数 ()()010s t t st e L e e e dt s s
αααααα-+∞---∞⎡⎤===⎣⎦-++⎰ (3)有限长信号
0()0
t
e t T
f t α-⎧<<=⎨⎩其他 []()011T
s T t st F s e e dt e s ααα-+--⎡⎤=⋅=
-⎣⎦+⎰ (4) n t （n 为正整数）
[]0
1st n L t t e dt ∞-==⋅⎰01st tde s ∞-=-⎰010st st t e e dt s ∞--⎡∞⎤=⋅-⎢⎥-⎣⎦⎰21110st e s s s -⎡∞⎤=--=⎢⎥-⎣⎦ 0n n st L t t e dt ∞-⎡⎤=⋅⎣⎦⎰1100
0n st n st n st t n n e t e dt t e dt s s s ∞∞-----∞=+=-⎰⎰ ∴ 1n n n L t L t s
-⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦ ∴ []223
2212L t L t s s s s ⎡⎤==⋅=⎣⎦ 32343326L t L t s s s s ⎡⎤⎡⎤==⋅=⎣⎦⎣⎦
即1!:n n n n t L t s +⎡⎤=⎣⎦
(5) 单位冲激信号
()()0
1st L t t e dt δδ∞-=⋅=⎡⎤⎣⎦⎰ s 域全平面收敛 ()()0000st st L t t t t e dt e δδ∞
---=-⋅=⎡⎤⎣⎦⎰ 常用函数的拉氏变换表可查用。

()0220020
02sin()c 6os()s t s t s ωωωωω−−→−−+→+正弦信号 L L ()0022
00220()7sin()cos()()at at s a s a e t e a t s ωωωωω--−−→+−−→++++　衰减正弦 L L
()211
8()()!n t n a at t t n e s a e s a -+-−−→+−−→
+衰减斜升　
L L
()02220220
220
2
00sin()cos(()
29))(s s t t t t s
s ωωωωωω−−→-+−−→+斜升正弦
L L。