椭圆及其标准方程(1)

F1
F2
MF + MF2 = 2a > 2C 1
椭圆标准方程推导
方案一 y M 方案二
y F2 0
F1
0
F2
x
x
F1
1.建系: 所在直线为X 线段F 1.建系:以F1F2所在直线为X轴，线段F1F2 的中点为原点 建系 2.设点：设M（x，y）为椭圆上任意一点，设|F1F2|=2c， 设点： 设点 （ ， ）为椭圆上任意一点， F ， ），F ），设 与 的距离和为2a 则F1（-c，0），F2（c，0），设M与F1和F2的距离和为 ， ）， ， ）， 3.列式：|M F1|+|MF2|=2a 列式： 列式 F 即
练习：已知点P是椭圆 练习：已知点 是椭圆 的动点,O是坐标原点 求线段 的中点M 的动点 是坐标原点,求线段 的中点 是坐标原点 求线段OP的中点 的轨迹方程. 的轨迹方程
作业：
1)P106习题 习题8.1 习题
2)已知∆ABC的一边 长为 ，周长为 ，求顶 已知∆ 的一边BC长为 已知 的一边 长为6，周长为16， 的轨迹方程。 点A的轨迹方程。 的轨迹方程
1.当绳长大于两点间距离时 1.当绳长大于两点间距离时
为椭圆
2.当绳长等于两点间距离时
为线段
3.当绳长小于两点间距离时
无轨迹
小结[一 ： 小结 一]：椭圆必须满足的几个条件
[1]平面上 这是大前提 平面上----这是大前提 平面上 [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a 动点 [3]常数 2a 要大于焦距 2C M 常数
练习1: 练习
已知椭圆的焦距是6,椭圆上的点到两个 已知椭圆的焦距是 椭圆上的点到两个 焦点的距离的和等于10,写出椭圆的标准方程 写出椭圆的标准方程. 焦点的距离的和等于 写出椭圆的标准方程 因为|F 解:因为 1F2|=2c=6,2a=10,即c=3,a=5,所以 因为 即 所以 b2=a2-c2=25-9=16. 当焦点在x轴上时 轴上时,得椭圆的标准方程 当焦点在 轴上时 得椭圆的标准方程
M
F1
F2
点轨迹？ 实验 （1）当绳长大于两点间距离时，M点轨迹？ ）当绳长大于两点间距离时， 点轨迹 点轨迹？ （2）当绳长等于两点间距离时，M点轨迹？ ）当绳长等于两点间距离时， 点轨迹 （3）当绳长小于两点间距离时，M点轨迹？ ）当绳长小于两点间距离时， 点轨迹？ 点轨迹
M
F1
F2
实验结果
和(6，0),边AC和BC所在直线的斜率之积为-4/9,求顶 点C的轨迹方程.
小结： ）椭圆的定义； 小结：1）椭圆的定义； 2）椭圆的标准方程 ） 当焦点在x轴上时 当焦点在 轴上时 x + y = 1 (a > b > 0) a2 b2
2 2
y2 x2 当焦点在y轴上时 当焦点在 轴上时 2 + 2 = 1 (a > b > 0) a b
3、已知椭圆 、
上一点P到椭圆一个焦点 上一点 到椭圆一个焦点 的距离为3， 到另一个焦点的距离是（ 的距离为 ，则P到另一个焦点的距离是（ D ） 到另一个焦点的距离是 A 2 B 3 C 5 D 7
4、椭圆 A 5 B 3
的焦距为2 的焦距为2，则m的值为( C ) 的值为( C 3或5 3或 D 6
椭圆及其标准方程
y
P F1 O F2
中学
高2012级16、17班 2012级16、17班
M
F1
F2
一、椭圆的定义
平面内与两个定点F 平面内与两个定点 1、F2的距离的和等于常数 大于|F ）的点的轨迹叫做椭圆 椭圆， （大于 1F2|）的点的轨迹叫做椭圆， 椭圆的焦点， 这两个定点叫做椭圆的焦点 这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 两焦点的距离叫做椭圆的焦距. 椭圆的焦距
3)已知P 3)已知P是椭圆 已知
上一点， 为焦点， 上一点，F1,F2为焦点，
求三角形PF 的面积。 且∠F1PF2=600 ，求三角形PF1 F2的面积。
2010年11月 年 月
a −cx= a (x −c) + y
2 2
4 2 2 2
2
两边再平方
a − 2a cx + c x = a x − 2a cx + a c + a y
2 2 2 2 2 2
2
(a − c ) x + a y = a (a − c ) 2 2 2 2 2 由定义2a>2c,得 a −c > 0 令 a −c =b 其中 >0 其中b 由定义 得
练习2 练习
1）已知椭圆的焦距是4，椭圆上的点到两个焦 ）已知椭圆的焦距是 ， 点的距离的和等于10，写出椭圆的标准方程。 点的距离的和等于 ，写出椭圆的标准方程。 2）“一个动点到两个定点的距离之和为常数” ） 一个动点到两个定点的距离之和为常数” 这个动点的轨迹为椭圆” 条件。 是“这个动点的轨迹为椭圆”的( )条件。 条件 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 充分不必要条件 必要不充分条件 (C)充要条件 (D)即不充分也不必要 充要条件 即不充分也不必要 3）若方程 ） 所表示的曲线是椭圆,则 所表示的曲线是椭圆 则m 的取值范围是_________. 的取值范围是
(y≠0) ≠
课堂总结： 课堂总结：
1、椭圆的定义 、 平面内点M与两个定点F1、F2的距离的和等 点 于常数（记|MF1|+|MF2|=2a）的点M的轨迹是： 椭圆 （1）当|MF1|+|MF2|>|F1F2|时点M的轨迹是为_____； 线段F1F2 （2）当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时点的轨迹为_________;. 不存在 （3）当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时点M的轨迹________。 2、椭圆的标准方程 、 -----X型 ----Y 型 其中椭圆的焦点的位置由___________________ X2、y2项的分母的大小 来确定。
4）已知椭圆的方程为11x2+20y2=220,那么 ）已知椭圆的方程为 那么 它的焦距为____________. 它的焦距为 5）椭圆 上点P到椭圆一个焦点 ）椭圆25x2+16y2=400上点 到椭圆一个焦点 上点 距离是3,则点 到另一个焦点的距离为_____. 则点P到另一个焦点的距离为 距离是 则点 到另一个焦点的距离为 6）若椭圆2kx2+ky2=1的一个焦点坐标是 ）若椭圆 的一个焦点坐标是(0,4), 的一个焦点坐标是 的值为______. 则k的值为 的值为 小结： 小结： 1）椭圆的定义及其标准方程。 ）椭圆的定义及其标准方程。 2）如何根据椭圆的标准方程知道椭圆 ） 的焦点位置? 的焦点位置
小结：
1）求点的轨迹要建立适当的坐标系； ）求点的轨迹要建立适当的坐标系； 2）求出曲线方程后，要注意检查一下方程的解为坐标 ）求出曲线方程后， 的点是否都符合题意，若有不合题意的点， 的点是否都符合题意，若有不合题意的点，应在所得 方程后注明限制条件。 方程后注明限制条件。
•练习：△ABC的两个顶点A、B的坐标分别是(-6，0)
例1、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 、求适合下列条件的椭圆的标准方程。 1) 两个焦点的坐标分别是 两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上 、 ， 一点到两焦点距离的和等于10； 一点到两焦点距离的和等于 ； 2) 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且经过 两个焦点的坐标分别是(0,-2)、(0,2)并且经过 3 5 点 (− , ) ； 2 2 练习：课本 练习：课本P106 EX 1,2,3
a = b +c
2 2
2
课堂练习
1、判断下列各椭圆的焦点所在的坐标轴并指出a、 、判断下列各椭圆的焦点所在的坐标轴并指出 、 b、c的值 、 的值
(1)因为 项的分母大，故椭圆的焦点在 轴上。其中 因为x项的分母大 故椭圆的焦点在x轴上 轴上。 因为 项的分母大， a=5,b=4,c=3 (2)因为 项的分母大，故椭圆的焦点在 轴上。其中 因为y项的分母大 轴上。 因为 项的分母大，故椭圆的焦点在y轴上 a=10,b=8,c=6
( x + c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2 = 2a
4.化简 4.化简 移项平方 整理得
( x + c) + y + ( x − c) + y = 2a
2 2 2 2
( x + c ) 2 + y 2 = 4a 2 − 4a ( x − c ) 2 + y 2 + ( x − c ) 2 + y 2
2 2 2 2 2 2 2 2
代入上式得
b x +a y =a b
2 2 2 2 2
2
x y + 2 = 1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
y M
叫做椭圆的标准方程
F1 0
F2
x
它表示： 椭圆的焦点在 椭圆的焦点在x轴 它表示：[1]椭圆的焦点在 轴 [2]焦点是 1（-C，0）、 焦点是F ， ）、 焦点是 F2（C，0） ， ） [3]C2= a2 - b2
轴上， 若F1、F2在y轴上，且 F1(0,-c)、F2(0,c) 轴上 、
x y M F1 O F2 x y
y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
思考: 思考:
在以上化简的过程中,根号如何消去的 在以上化简的过程中 根号如何消去的? 根号如何消去的 课本P106习题 第1题 习题8.1第 题 课本 习题
例3 如图，已知一个圆的圆心为坐标原点，半径 为2，从这个圆上任意一点P向x轴作垂线段PP′， 求线段PP′中点M的轨迹。