高等代数
高等代数知识点总结
将二次型化为标准型，即将其转化为一个完全平方和 的形式。
对角化
通过一系列的线性变换，将二次型化为对角线形式，即 每个变量只出现一次。
特殊二次型的解法与应用
特殊二次型的解法
对于一些特殊的二次型，如正定二次型、负定二次型等，有特殊的解法。
应用
二次型在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。例如，二次型的矩阵表示在统计学、信号处理等领域都有应 用。
设f是数域P上线性空间V的线性变换，若λ 是f的特征值，α为f的属于特征值λ的特征向
量，则有f(λα)=λf(α)=λλα=λα^2。
05
二次型
二次型的定义与性质
定义
二次型是指一个多项式，其各项按照某种字母升降幂 排列，且每个项的次数不超过2。
性质
二次型的系数不一定相同，但它们都是实数。
二次型的标准型与对角化
3
互换行列式的两行(列)，行列式的值变号，即 |...|=|-...|。
行列式的定义与性质
01
若行列式的某行(列)所有元素都是两数乘积，则可以对该行(列) 进行拆项，拆项后行列式的值不变。
02
若行列式的某行(列)所有元素都是同一个数，则可以对该行(列)
进行提公因式，提公因式后行列式的值不变。
若行列式的两行(列)对应元素互为相反数，则可以对该行(列)进
矩阵在计算机图形学中的应用
高等代数
g ( x ) = bm x m + bn1 x m 1 + + b1 x + b0 ,
f ( x ) = g ( x ) m = n, ai = bi , i = 0,1,2, , n .
§1.2 一元多项式
3.多项式的运算:加法(减法),乘法 .多项式的运算:加法(减法),乘法 ),
f ( x ) = an x n + an1 x n1 + + a1 x + a0 = ∑ a i x i , g ( x ) = bm x m + bm 1 x m 1 + + b1 x + b0 = ∑ b j x j ,
j=0 i =0 m n
加法: 若 n ≥ m , 在 g ( x ) 中令 加法:
§1.2 一元多项式
f ( x ) g ( x ) 的首项系数 = f ( x ) 的首项系数× g ( x ) 的首项系数 的首项系数× 的首项系数.
3) 运算律
f ( x ) + g( x ) = g( x ) + f ( x ) ( f ( x ) + g( x )) + h( x ) = f ( x ) + ( g ( x ) + h( x )) f ( x ) g( x ) = g( x ) f ( x ) ( f ( x ) g ( x ))h( x ) = f ( x )( g( x )h( x )) f ( x )( g( x ) + h( x )) = f ( x ) g ( x ) + f ( x )h( x )
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结
高等代数是一门研究抽象代数结构的数学学科。它是线性代数的拓展，主要涉及向量空间、线性变换、矩阵理论、线性方程组、特征值与特征向量、行列式等知识点。以下是高等代数的主要知识点的总结。
1.向量空间：向量空间是高等代数的核心概念之一、它是一组满足特
定性质的向量的集合。向量空间具有几何和代数两种性质，包括加法、数乘、零向量、负向量等。
2.线性变换：线性变换是一种保持向量空间线性组合关系的变换。它
可以通过矩阵来表示，矩阵的乘法与线性变换的复合运算等价。线性变换
的性质包括保持加法和数乘、保持零向量、保持线性组合等。
3.矩阵理论：矩阵是高等代数中常用的工具，用于表示线性变换、求
解线性方程组等。矩阵具有加法、数乘、乘法等运算规则，还可以求逆矩阵、转置矩阵等。矩阵的秩、特征值与特征向量等性质也是矩阵理论的重
要内容。
4.线性方程组：线性方程组是高等代数中的基本问题之一、它是一组
包含线性方程的方程组，可以用矩阵形式表示。线性方程组的求解可以通
过消元法、高斯消元法、矩阵求逆等方法来实现。
5.特征值与特征向量：特征值与特征向量是线性变换的重要性质。特
征值是线性变换在一些向量上的纵向缩放比例，特征向量是特征值对应的
非零向量。特征值与特征向量在很多应用中起到重要作用，如矩阵对角化、求解微分方程等。
6.行列式：行列式是矩阵的一个标量量。行列式的值代表矩阵所对应
的线性变换对单位面积进行的放缩倍数。行列式具有反对称性、线性性、
乘法性等性质，可以用于求解矩阵的逆、计算特征值等。
7.正交性与正交变换：正交性是高等代数中的一个重要概念。向量空
高等代数知识点
高等代数知识点
高等代数是大学数学专业的一门核心课程，主要研究线性代数的更深层次的内容和推广。它是数学中的一门基础学科，对于很多数学分支都有着重要的应用。下面是高等代数的主要知识点：
1.向量空间理论：
向量空间是高等代数的核心概念之一、它研究向量的基本性质和运算规律，包括向量的加法、数乘、内积、外积等。
2.线性变换和矩阵理论：
线性变换是向量空间中的一个重要概念，它是一种保持向量加法和数乘运算的函数。矩阵是线性变换在两个有限维向量空间基下的坐标矩阵表示。
3.特征值和特征向量：
特征值和特征向量是线性变换中重要的概念，它们描述了一个线性变换在一些向量上的作用。特征值是一个标量，特征向量是满足特定条件的非零向量。
4.行列式和特征多项式：
行列式是一个方阵所确定的一个标量值，它描述了一个矩阵的一些特征。特征多项式则是通过行列式来描述一个线性变换的特征。
5.正交性和正交矩阵：
正交性是线性代数中重要的概念，它描述了向量空间中向量的垂直性质。正交矩阵是一种特殊的方阵，它的列向量两两正交并且长度为1
6.线性方程组：
线性方程组是高等代数中一个基本的研究对象。通过矩阵的运算和消
元法可以求解线性方程组的解。
7.广义逆矩阵和正规方阵：
广义逆矩阵是矩阵理论的重要扩展，它在未必是方阵的情况下，求解
矩阵方程和线性方程组具有重要应用。正规方阵则是满足一定条件的方阵。
8.特殊矩阵：
特殊矩阵是高等代数中特别重要的一类矩阵，包括对角矩阵、上三角
矩阵、下三角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵等。
9.特征值分解和奇异值分解：
特征值分解是一种将线性变换表示成特征向量和对应特征值的形式的
大学高等代数知识点总结
大学高等代数知识点总结
高等代数的基础知识包括群论、环论和域论。群论是研究群的代数结构及其性质的分支学科。群是一个集合，配上一个二元运算，并满足封闭性、结合律、单位元存在性和逆元存在性等性质。环论是研究环的代数结构及其性质的学科，环是一个集合，配上两个二元运算，并满足加法封闭性、加法交换律、乘法封闭性、乘法结合律和分配律等性质。域论是研究域的代数结构及其性质的学科，域是一个集合，配上两个二元运算，并满足加法和乘法的交换性、加法和乘法的结合性、零元和单位元的存在性以及乘法可逆性等性质。
接下来，我们将从群论、环论和域论的角度分别介绍高等代数的重要知识点。
1. 群论
群的定义：群是一个集合G，配上一个二元运算*，并满足以下性质：
封闭性：对任意的a、b∈G，都有a*b∈G。
结合律：对任意的a、b、c∈G，都有(a*b)*c=a*(b*c)。
单位元存在性：存在一个元素e∈G，对任意的a∈G，都有a*e=e*a=a。
逆元存在性：对任意的a∈G，存在一个元素b∈G，使得a*b=b*a=e。
群的性质：群的性质包括阿贝尔群、循环群、子群、同态映射、正规子群等概念，这些性质对于研究群的结构及其性质非常重要。
2. 环论
环的定义：环是一个集合R，配上两个二元运算+和*，并满足以下性质：
加法封闭性：对任意的a、b∈R，都有a+b∈R。
加法交换律：对任意的a、b∈R，都有a+b=b+a。
加法结合律：对任意的a、b、c∈R，都有(a+b)+c=a+(b+c)。
乘法封闭性：对任意的a、b∈R，都有a*b∈R。
乘法结合律：对任意的a、b、c∈R，都有(a*b)*c=a*(b*c)。
高等代数
多项式
第一节 数域
定义1 设Ｐ是由一些复数组成的集合，其中包括０与１.如果Ｐ中任意两个数（这两个数也可以相同）的和·差·积·伤（除数不为零）仍然是P 中的数，那么Ｐ就称为一个数域。
第二节 一元多项式 定义２ 设ｎ是一非负整数。形式表达式
1
10
...n
n n n a x a x
a --+++（１），其中
01,,...,n
a a a 全
属于数域Ｐ，称为系数在数域Ｐ中的一元多项式，或者简称为数域P 上的一元多项式。 定义3 如果在多项式f （x ）与g （x ）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，那么f （x ）与g （x ）就称为相等，记为f （x ）=g （x ）系数全为零的多项式称为零多项式，记为0
定义4 所有系数在数域P 中的一元多项式的全体，称为数域Ｐ上的一元多项式环，记为［Ｐ］，Ｐ称为［Ｐ］的系数域
第三节 整除的概念
带余除法 对于Ｐ［ｘ］中任意两个多项式ｆ（ｘ）与ｇ（ｘ），其中()0
g x ≠，一定有Ｐ
［ｘ］中的多项式ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）存在，使
()()()()f
x q x g x r x =+成立，其中
()()()()
r x g x ∂<∂或者
()0
r x =，并且这样的ｑ（ｘ），ｒ（ｘ）是唯一决定的。
定义５ 数域Ｐ上的多项式ｇ（ｘ）称为整除ｆ（ｘ），如果有数域Ｐ上的多项式ｈ（ｘ）使等式()()()f
x g x h x =成立。我们用“()()|g x f x ”表示ｇ（ｘ）整除ｆ（ｘ）
，用
“
()|()
g x f x ”表示ｇ（ｘ）不能整除ｆ（ｘ）
定理１ 对于数域Ｐ上的任意两个多项式ｆ（ｘ），ｇ（ｘ），其中
高等代数知识点总结
高等代数知识点总结
一、群论
群是高等代数中最基本的代数结构之一，它是一个集合和上面的一个二元运算构成的代数
系统。群满足以下四个性质：
1. 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的乘积ab也属于G。
2. 结合律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，有(a·b)·c = a·(b·c)。
3. 存在单位元：存在一个元素e∈G，对于任意元素a∈G，有a·e = e·a = a。
4. 存在逆元：对于群G中的任意元素a，存在一个元素b∈G，使得a·b = b·a = e。
群的性质有很多重要的结论，比如：每个群都有唯一的单位元，每个元素都有唯一的逆元，乘法运算满足左消去律和右消去律等。
群还有很多重要的概念和定理，比如：子群、陪集、拉格朗日定理、卡曼定理等。
二、环论
环是一个比群更一般化的代数结构，它包括一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。环满足以下性质：
1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。
2. 乘法满足结合律。
3. 分配律成立，即对于环R中的任意三个元素a、b、c，有a·(b+c) = a·b + a·c和(b+c)·a = b·a + c·a。
环还有一些重要的概念和定理，比如：整环、域、多项式环、欧几里德环、唯一因子分解
整环等。
三、域论
域是一个更加一般化的代数结构，它是一个集合和上面的两个二元运算：加法和乘法。域
满足以下性质：
1. 集合对加法构成一个阿贝尔群。
2. 非零元素对乘法构成一个阿贝尔群。
3. 分配律成立。
域是代数学中一个非常重要的概念，它是线性代数和代数几何的基础。
高等代数还包括一些其他的内容，比如：线性代数、模论、范畴论等。线性代数是代数学
高等代数基础知识
高等代数基础知识
代数是数学的一个分支，涵盖了一系列基本的代数操作以及它们的扩展。其中最基础的分支就是高等代数，也是所有数学学科中最重要且基础的一门学科之一。高等代数包含了如线性代数、群论、环论和域论等多个分支，本篇文章将重点讲述高等代数基础知识。
一、线性代数
线性代数是高等代数中最基础的部分。它是对于向量空间这样一个对象进行研究的，而向量空间是指在加法和数乘下满足一定条件的一组向量所组成的集合。在线性代数中，我们可以对向量进行加法和数乘等操作，同时还可以定义矩阵和行列式的概念，通过它们来求解线性方程组等问题。
在线性代数的学习过程中，我们需要掌握向量的代数性质（如加法和数乘运算的结合律、分配率和交换律等）、向量空间的基本性质（如线性组合、线性相关/无关和基和维数等）、矩阵的基本性质（如矩阵的加法和数乘运算、矩阵的秩和逆矩阵等）以及行列式的基本性质（如行列式的加法和数乘运算、行列式的性质和行列式的应用等）。
二、群论
群论是对称性的一种数学描述。它研究的是一种由一组抽象的对象及其上的一种代数运算所构成的系统，这个运算必须满足封闭性、结合律、单位元和逆元等基本条件。在群论中，我们可以根据群的定义来讨论如群的分类、子群的定义和性质、同态映射和陪集的概念等问题。
在群论的学习中，我们需要掌握群和子群的定义和性质，群的同态和同构的概念和相关性质，化简群和群的商的概念和相关性质，以及Sylow定理和有限群的分类等内容。
三、环论
环论是环的代数性质的研究。在环论中，我们研究的对象是一个非空集合，该集合上定义了两个二元运算，同时满足一些特殊的性质。这些性质包括封闭性、结合律、分配律、幺元元素等。在环论中，我们可以研究环、整环、域、多项式环以及模。通过环论的学习，可以更好的理解线性代数中矩阵行列式的概念和相关性质。
高等代数全套教案
高等代数全套教案
教案标题：高等代数全套教案
教案目标：
1. 确保学生掌握高等代数的基本概念和技巧。
2. 培养学生在高等代数领域的问题解决能力和逻辑思维能力。
3. 培养学生的数学推理和证明能力。
4. 培养学生的团队合作和沟通能力。
教案一：引入高等代数
教学目标：
1. 确保学生了解高等代数的定义和意义。
2. 引导学生认识高等代数在现实生活中的应用。
3. 激发学生对高等代数学习的兴趣。
教学步骤：
1. 介绍高等代数的定义和基本概念。
2. 分享高等代数在科学、工程和经济等领域的应用案例。
3. 进行小组讨论，让学生思考高等代数对他们个人生活的影响。
4. 提出问题，引导学生思考高等代数的重要性和学习动力。
教案二：线性代数
教学目标：
1. 确保学生理解线性代数的基本概念和技巧。
2. 培养学生在线性代数领域的问题解决能力。
3. 培养学生的矩阵运算和线性方程组求解能力。
教学步骤：
1. 介绍线性代数的基本概念，如向量、矩阵和线性变换等。
2. 讲解矩阵的基本运算和性质，如矩阵加法、矩阵乘法和矩阵转置等。
3. 教授线性方程组的求解方法，包括高斯消元法和矩阵求逆法。
4. 给予学生练习题和实际问题，培养他们的线性代数应用能力。
教案三：群论
教学目标：
1. 确保学生理解群论的基本概念和性质。
2. 培养学生在群论领域的问题解决能力。
3. 培养学生的抽象思维和证明能力。
教学步骤：
1. 介绍群论的基本概念，如群的定义、群运算和群的性质等。
2. 讲解群的子群、同态映射和同构等重要概念。
3. 引导学生进行群的证明和推理练习，培养他们的抽象思维和证明能力。
高等代数
三、举例
例 1 平面上的向量构成实数域上的二维线性
空间. 空间 把平面围绕坐标原点按反时针方向旋转 θ 角 就是一个线性变换， 表示. 就是一个线性变换，我们用 Rθ 表示 如果平面上 一个向量 α 在直角坐标系下的坐标是 ( x , y ), 那么 的坐标， 像 Rθ (α ) 的坐标，即 α 旋转 θ 角之后的坐标 ( x′ , y′ ) 是按照公式
x′ x
θ β
O
x
图7-1
例 2 设 α 是几何空间中一固定的非零向量， 是几何空间中一固定的非零向量，
把每个向量 ζ 变到它在 α 上的内射影的变换也是 一个线性变换， 表示它. 一个线性变换，以 ∏α 表示它 用公式表示就是
(α , ζ ) Πα (ζ ) = α. (α ,α )
这里 (α , ζ ), (α , α ) 表示内积. 表示内积 几何意 所示. 义如图 7 - 2 所示 x o
那么它们的像之间也有同样的关系 k1A ( α1 ) + k2A ( α2 ) + …+ krA ( αr ) = 0 . 以上两点，根据定义不难验证， 以上两点，根据定义不难验证，由此即得
性质 3 线性变换把线性相关的向量组变成
线性相关的向量组. 线性相关的向量组. 但应该注意， 的逆是不对的， 但应该注意，性质 3 的逆是不对的，线性变换 可能把线性无关的向量组也变成线性相关的向量 例如零变换就是这样 组. 例如零变换就是这样.
高等代数(绪论)讲解课件
向量与矩阵
向量
向量是一个有方向的量，它由一组有 序数组成。在高等代数中，向量通常 表示为有序数对的序列，这些数对可 以表示空间中的点、方向和大小。
矩阵
矩阵是一个矩形阵列，由若干行和若 干列组成。在高等代数中，矩阵是重 要的数学工具，它可以表示向量之间 的关系、线性变换等。
多项式与分式
多项式
多项式是一个数学表达式，它由变量、常数和有限次数的加减乘法运算组成。 在高等代数中，多项式是基础概念之一，它可以表示为线性组合的形式，也可 以通过因式分解来研究其性质。
详细描述
在高等代数中，线性方程组的求解通常转化为向量空间和矩阵的问题。通过矩阵的初等变换、消元法 等技巧，可以快速求解线性方程组，并得到唯一解或通解。
矩阵计算与数据处理
总结词
矩阵计算是高等代数中处理数据的重要手段，它可以用于数据分析和处理，以及机器学 习等领域。
详细描述
矩阵是高等代数中的基本概念之一，它可以用于表示和处理大量数据。通过矩阵运算和 特征值分解等技巧，可以对数据进行降维、分类和聚类等操作，从而挖掘出数据中的潜
根的性质
了解多项式的根的性质，如重根、根与系数的关系等 。
代数基本定理
掌握代数基本定理，理解多项式可以分解为线性因式 的必要性。
行列式与矩阵的计算技巧
行列式的计算
掌握行列式的计算方法，如按行展开、按列展开等。
高等代数
(1) α1 = (1, 2, 3), α 2 = (2,4,6), α 3 = (3,5, −4) (2) α1 = (1,0,0), α 2 = (1,1,0), α 3 = (1,1,1)
2、线性无关 、
定义2：若向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 不线性相关，则称 若向量组 不线性相关， 定义 线性无关的. 向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的 即
的一个线性组合． 的一个线性组合． 事实上， 事实上，有对任意 α = (a1 , a2 ,L , an ) , 皆有
α = a1ε 1 + a2ε 2 + L + anε n .
ε 1 , ε 2 ,L , ε n也称为 n 维单位向量组． 维单位向量组．
例1
线性表出. 判断向量 α 能否由向量组 α1 ,α 2 ,α 3 线性表出源自文库
k1α1 + k2α 2 + L + k sα s = 0
必有
k1 = k2 = L = k s = 0,
则称向量组 α1 ,α 2 ,L ,α s 为线性无关的 线性无关的.
3、线性相关性的有关性质 、
1）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量； ）单独一个向量线性相关当且仅当它是零向量； 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量. 单独一个向量线性无关当且仅当它是非零向量 2）一个向量组中若有一向量为零向量，则该向量 ）一个向量组中若有一向量为零向量， 组一定线性相关. 组一定线性相关 3）向量组 α1 ,α 2 线性相关 ⇔ α1 ,α 2 成比例 ） 成比例.
《高等代数》课程简介
《高等代数》课程简介
一、课程概述
《高等代数》是高等院校数学专业的一门重要的基础课，其主要任务是使学生获得数学的基本思想方法和多项式理论、行列式、线性方程组、矩阵论、向量空间、线性变换、欧氏空间和酉空间、二次型、群，环和域简介等方面的系统知识。它一方面为后继课程（如近世代数、数论、离散数学、计算方法、微分方程、泛函分析）提供一些所需的基础理论和知识。尤其在本世纪，计算机技术、通讯信息技术和现代生物工程技术已成为最热门的学科领域，这些学科均需要代数学的发展。《高等代数》是中学代数的继续和提高。通过这一课程的教学，应使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，且对初等代数内容有比较深入的了解，并能居高临下地处理中学数学的有关教材，培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推断能力和迅速准确的运算能力，对开发学生智能、加强“三基”（基础知识、基本理论、基本理论）及培养学生创造能力、树立辩证唯物论观点等有重要的作用。
二、本课程的教学目的及要求
1、使学生掌握多项式理论、线性代数理论的基础知识和基本理论，着重培养学生解决问题的基本技能。
2、使学生熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。
3、使学生进一步掌握具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养其辩证唯物主义观点。
4、逐步培养学生的对知识的发现和创新的能力，训练其对特殊实例（正例和反例）的观察、分析、归纳、综合、抽象概括和探索性推理的能力。
5、使学生对中学数学有关内容从理论上有更深刻的认识，以便能够居高临下地掌握和处理中学数学教材，进一步提高中学数学教学质量。
高等代数
例如乘法结合律 ∞
i i=0 ∞
( ∑ a i X )( ∑ b j X )( ∑ c l X )
j l j=0
∞
∞
= (∑ (
=
m =0
∑(∑
∞
k =0 ∞
i+ j= k
∑
a ib j ) X
i+ j=k
k
)(∑ cl X )
l l=0
l∞ 0 =
(
i
k +l=m
∑ab
i
j
)cl ) X
m
m
记 f = an X + an 1 X
n
n 1 m 1
+ + a1 X + a0，an ≠ 0 + + b1 X + b0，令
13
g = bm X + bm 1 X
m
an nm q1 = X , bm
则 g q1 与 f 的首项相同。
பைடு நூலகம்
∴ f gq 1 = f1 的次数比 f 低，对 f1同样讨论， deg r0 < deg g 或 r0 = 0 存在 q1 , , q s 使 f gq 1 gq 2 gq s = f s的次数比 g 的低 .
§1- 1基本概念与运算
定义1：（ i）设 F为一个域， X是不属于 F的 任一个符号，则形如 an X n + a n 1 X n 1 + + a1 X + a0 , ai ∈ F 的表达式称为域 F上的一个多项式形式 . n称为其次数，ai (i = 0,1,, n)称为其i次系数,
高等代数简介
高等代数简介
高等代数是现代数学中的一个分支学科，是线性代数和抽象代数的扩展和深化。它主要研究代数结构，包括群、环、域、向量空间等。高等代数研究的对象不再仅限于向量的运算和矩阵的性质，而是通过抽象化和推广，研究了更一般的代数结构。
高等代数的研究对象中包括了具有特定运算规则的集合，例如群是一种带有封闭性、结合性和逆元素等性质的集合，环是在封闭性、结合律下增加了乘法和乘法逆元的集合，域是除了上述性质外还包括分配律的集合等。
高等代数研究的基本思想是通过抽象抓住问题的本质，从而推广已有的代数概念和理论，构造出更大范围、更广泛适用的代数结构，形成更为深入和抽象的理论体系。高等代数的研究成果被广泛应用于数学、物理学、计算机科学等领域，为解决实际问题提供了强有力的数学工具和思维方法。
高等代数
2、向量组的秩 、 定义 向量组的极大无关组所含向量个数称为这个 向量组的秩 向量组的秩. 性质： ） 性质：1）一个向量组线性无关的充要条件是 它的秩与它所含向量个数相同； 它的秩与它所含向量个数相同； 一个向量组线性相关的充要条件是 它的秩＜它所含向量个数 它的秩＜它所含向量个数. 2）等价向量组必有相同的秩. ）等价向量组必有相同的秩.
α 3 = (3,0,7,14), α 4 = (1, −1,2,0), α 5 = (2,1,5,6)
的极大无关组. 的极大无关组. 解： 作矩阵
1Leabharlann BaiduA = −1 2 4
0 3 1 2
3 0 7 14
1 −1 2 0
2 1 5 6
对矩阵A作初等行变换化阶梯形 对矩阵 作初等行变换化阶梯形
中，方程的个数 s ＜未知量的个数 r ， 所以（ ）有非零解. 所以（3）有非零解 从而有不全为零的数 x1 , x2 ,L , xr ，使 使
x1α1 + x2α 2 + L + x r α r = 0
线性相关。 所以α1 ,α 2 ,L ,α r线性相关
推论1 推论 若向量组 α1 ,α 2 ,L ,α r 可经向量组 β 1 , β 2 ,L , β s 线性表出， 线性表出，且α1 ,α 2 ,L ,α r 线性无关 则 线性无关，则 推论2 推论 维向量必线性相关. 任意 n＋1 个 n 维向量必线性相关. ＋
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高等代数其实是代数学基础，在数学系课程中相对比较简单。因为其高度形式化和抽象化，初学者往往不适应。就内容而言，高等代数除了多项式的基础外主要是线性代数，包括行列式、线性方程组、矩阵和线性空间。作为数学分支的代数具有与初等数学中代数不同的特点。初等代数主要就是计算，方程的求根或式子的化简。在本科数学专业教学计划上，从高等代数开始，经过抽象代数，最后到群和环等专业选修课，代数学演变成对带有运算的结构进行刻画、分类等研究的学科。这种形式化，在一定程度上体现了现代数学高度抽象化的特点。
在学习高等代数书时，要注意下列几点。
第一，适应研究对象的抽象和扩展。高等代数开篇，就会引入数域的概念，作为数系概念的抽象。数域概念的特点是突出了数的两种运算的特性。随着学习的深入，会相继出现过去没有接触过的新研究对象，如映射、高维向量、矩阵、线性空间、变换等。这些新的研究对象分别由各自的运算规律而界定。这样将个别的演算抽象出共同的规律，并因此实现理论应用的广泛性。因此，对新的研究对象要特别注意所定义的相应运算。
第二，深入理解等价和化简的概念。等价是相同和相等关系的抽象和推广，用自反、对称和传递3个性质刻画。高等代数中有大量的等价关系，如线性方程组的同解、矩阵的等价、矩阵的合同、矩阵的相似、线性空间的同构等。每种等价的结构，可用种最简单的形式代表，这样就有了各种标准形。构造标准形的过程就是在保持等价的前提下化简。各种等价类的标准形式的数量特征也很重要，如秩、维数、惯性指数等。
第三，注意不同结构的联系。特别是矩阵是高等代数的核心内容。矩阵可以表示线性方程组，矩阵可以表示给定基下的线性变换，对称矩阵对应着二次型。
第四，熟悉化繁为简的常用技巧。在许多证明中，善于把问题转化为实质相同但更简单的形式。这类过程常用“不失一般性”开头。可以把向量组或矩阵的行或列重新排列，也可以选择线性空间的特定组基，或者直接写成矩阵的某种标准形式。在计算行列式等题目中，善于递推、类比等。求和号的应用也能突出问题的本质而略去重复繁复的枝节。
上次说高等代数，感觉意犹未尽，现在再补充几句。
就高等代数内容而言，我自己概括为3点加2块，如果不算抽象代数的入门知识的话。3点
的内容比较规整，多项式，行列式和线性方程组。这些内容各种书籍的差别也不大。多项式及其代数方程论后续课或许还要学到，而行列式和线性方程组基本都是本课程中封闭的专题。行列式比较特殊，而代数方程组是重要的具体例子，整门课程的内容包括后面提到的矩阵和空间都可以在其中应用。
2块的内容就多些，1块是矩阵论，另一块是线性空间及其线性影射。两者实质上关系密切，但逻辑上也可以基本独立。侧重矩阵的讲法比较实用，主要是计算，但没有反映出线性代数的几何意义。如果是从事概率统计、线性系统、稳定性等应用领域，矩阵论很重要。因此，矩阵理论是不少学校的工科研究生的必修学位课。侧重空间的讲法概念清晰，数学上看也更高级，但具体计算上有欠缺。如果单纯从代数学甚至核心数学的角度而不考虑应用，空间和变换或许更重要。有限维空间到泛函分析中发展为无限维，而不掌握对偶空间就难以理解微分几何中的余切丛。随着线性系统分析的几何方法的兴起，从事系统控制等应用领域现在也要很好掌握线性空间等概念。
不同的教材各有侧重。现在的教学基本要求是两者兼顾，因此现行教材中两者大体均衡，典型的如北大的《高等代数》。传统的苏联线性代数教材，如有译本的《线性代数基础》、《线性空间引论》和《线性代数学》都是侧重空间和变换，矩阵理论另外有课程。还有堪称经典的Finite-Dimensional Vector Spaces也是主要从线性空间角度展开。国内教材有些是偏重矩阵讲法的，如许以超《代数学引论》和谢邦杰的《线性代数》。这两块在高等代数中的内容仅是基础，深入学习研究还有专门课程。
从高等代数学习的角度，还要有算法的概念。所谓算法是指完成一个特定工作所需要的具体操作程式。高等代数中很多定理的证明都是所谓构造性的，证明存在就是找出来。矩阵在各种等价关系下的标准型，也由相应的算法确定。线性空间中也有算法问题，典型的如标准正交基的构造。
学习高等代数时还要注意实数域与复数域的差别。实数域在分析意义上是完备的，但在代数意义上不完备。复数才是完备的，所有方程都有根。高等代数有些结论是对一般数域都成立的，这种结论要弱些。典型的例子是在合同关系下，不同数域的对称矩阵的标准形式不一样。当然，线性空间本身也可以与数域无关的方式定义，不过这样就属于抽象代数的内容了。A Survey of Modern Algebra和《抽象代数学2线性代数》就包括从更统一也更抽象的观点讲述线性代数。当然，这种论述一定是侧重空间和影射的。
所谓高等代数，其实是代数学基础，包括多项式、线性代数和抽象代数简介。因为抽象代数后面专门有课程，而多项式的内容也不多，因此高等代数的主要部分是线性代数。因此，有些名为线性代数的教材其实也是高等代数，这些教材往往有多项式的附录。这门课程我特别
喜欢，看的书也就多些。
用的教材是北大编的《高等代数》。特点我在“数学学习漫谈5”专门说过，就不重复了。这本书当年下过大功夫，解答了全部习题包括补充题。书上也写了大量的批注。大概是自己单本教材最下功夫的。
参考书中我最喜欢的是本重印的许以超《代数学引论》。该书是作者在北大和科大的讲稿，内容还包括解析几何和抽象代数。该书强调矩阵的应用，空间和变换的内容相对少些。矩阵论的深度超过初级课程的水平。而且比较高级的问题与基本内容交织在一起。例如，通常教材都会讲两个方阵乘积的行列式，而该书讲的是两个矩阵乘积的行列式，自然复杂的多。该书后面的一些内容我没看，题目也没有全做。感觉该书的论证比较严格，而且求和号运用的很巧妙。看了该书以后，再也不用把求和号逐项写出，而且也容易适应后来的重复哑元的求和约定。或许是受该书影响，我写文章必须喜欢写出求和号而不用求和约定，有次给女儿看我的论文，好多4重求和。
线性代数还看过些印象深刻的书。一本是谢邦杰的《线性代数》，非常灵活的运用矩阵分块，简介了广义逆，而且把容易的内容放在前面，还有些定理的证明比较独特巧妙，不过我现在想不起来是那些定理了。另本是张远达的《线性代数原理》，讲解的比较仔细，而且习题有提示甚至答案；内容也有所扩充，有些矩阵分析和矩阵论的专题。还有本是蒋尔雄等《线性代数》，写法比较算法化，初学感到有些高深，其实习惯了反而容易；也有矩阵分析的初步，还有广义逆。后来，我研究中需要用到广义逆，我至少知道有这样的现成工具，可以去翻专著现学现用。讲广义逆的入门性教材不多，谢邦杰的是另个例外。
还有些书读过印象不深刻。多是些重印的《高等代数》，有张禾瑞和郝鈵新的，周伯勋的，还有王湘浩和谢邦杰的。新书有武汉大学数学系的《线性代数》。
俄苏教材译本也不能不读。我特别喜欢的是马力茨夫院士的《线性代数基础》，内容讲解的很细致，有些菲赫金格尔茨讲微积分的风格；只是最后的多重张量让我很困惑，每行也能读懂，但不知道要干什么。后来知道这是康德哲学的境界，至于黑格尔的哲学大概每句读来都觉得不通。两位名家的盖尔芳德《线性代数学》和希洛夫的《线性空间引论》，当时真没看出什么好处。后来体会都有打通线性代数和泛函分析的尝试。这3本书都是很正宗的线性代数，主要讲空间和变换，关于矩阵的内容比较少。甘特马赫的两卷本《矩阵论》体大虑周，借阅过才知道是线性代数的后续课。