长郡中学2019届高三第一次月考理科数学试卷(含答案)

长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数121i z i i+=+-，则z =（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．32.已知集合{}240A x x x =-+≥，1{327}18x B x=<<，{}2,C x x n n N ==∈，则()A B C =（ ） A ．{}2,4 B ．{}0,2C ．{}0,2,4D ．{}2,x x n n N =∈3.若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的零点个数是（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4.计算sin133cos197cos47cos73︒︒+︒︒的结果为（ ）A ．12B ．12- C. 2 D 5.已知A 、B 、P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且A 、B 连线经过坐标原点，若直线PA 、PB 的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ）A B 2 D ．36.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：ˆˆ2yx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ） A ．56千瓦·时 B ．62千瓦·时C. 64千瓦·时 D ．68千瓦·时A ．5003πB ．3 C.1253π D ．3 8.知平面向量a ，b 满足()3a a b ⋅=，且2a =，1b =，则向量a 与b 夹角的正弦值为（ ）A ．12-B ．2- C.12D ．2 9.设,a b R ∈，则“()20a b a -⋅<”是“a b <”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ） A ．112 B ．114 C. 115 D ．11811.过抛物线24y x =焦点的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，与圆()2221x y r -+=交于C 、D 两点，若有三条直线满足AC BD =，则r 的取值范围为（ ） A ．3(,)2+∞ B ．(2,)+∞ C. 3(1,)2 D ．3(,2)212.设函数()()1x f x e x =-，函数()(),0g x mx m m =->，若对任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()12f x g x =，则实数m 的取值范围是（ ） A ．213,3e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．2,e ⎡⎤+∞⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设,x y 满足约束条件3310x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩，则y z x =的最大值为 ． 14.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术。

得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟。

”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：=====，则n = ． 15.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈，满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为 ．16.如图，在边长为e （e 为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c()cos 2cos C b A =.（1）求角A 的大小；（2）若2a =，求ABC ∆面积的最大值.18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD AB ⊥，//AB DC ，2AD DC AP ===，1AB =，点E 为棱PC 的中点.（1）证明：BE PD ⊥；（2）若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB D --的余弦值.19. 某家电公司销售部门共有200名销售员，每年部门对每名销售员都有1400万元的年度销售任务.已知这200名销售员去年完成的销售额都在区间[]2,22（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组、第2组、第3组、第4组、第5组对应的区间分别为[)2,6，[)6,10，[)10,14，[)14,18，[]18,22，并绘制出如下的频率分布直方图.（1）求a 的值，并计算完成年度任务的人数；（2）用分层抽样的方法从这200名销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2名，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2名销售员在同一组的概率.20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x C y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C 的渐近线的距离为尝（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于12,M M 两点，与2C 相交于12,Q Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-，求12M M 的取值范围.21. 已知函数()ln ,m x f x m R x+=∈，1x >. （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若()f x mx <恒成立，求m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x t y a t =+⎧⎨=-⎩（其中t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）分别写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a x a =++-.（1）当1a =时，解不等式()4f x ≥；（2）若()6f x ≥在x R ∈上恒成立，求a 的取值范围.长郡中学2019届高三月考试卷（一）数学（理科）参考答案一、选择题1-5:DCCBC 6-10:ADDAC 11、12：BD二、填空题 13.1314. 63 15.2 16.22e - 三、解答题17.【解析】（1cos 2sin cos cos A C B A C A =.()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A =又A 为三角形内角，所以6A π=.（2）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，所以如(42bc ≤+，所以1sin 22ABC S bc A ∆=≤ABC ∆面积的最大值为2. 18.【解析】依题意，以点A 为原点，以AB 、AD 、AP 为轴建立空间直角坐标系如图， 可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2P ，由E 为校PC 的中点，得()1,1,1E ，（1）向量()0,1,1BE =，()0,2,2PD =-，故0,BE PD ⋅=BE PD ⊥（2）()1,2,0BC =.()2,2,2CP =--，()2,2,0AC .()1,0,0AB =，由点F 在棱PC 上，设,01CF CP A λ=≤≤，故()12,22,2BF BC CF BC CP λλλλ=+=+=--，由BF AC ⊥，得0BF AC ⋅=.因此，()()2122220λλ-+-=，34λ=即113(,,)222BF =-，即1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩不妨令1z =-，可得()10,3,1n =-为平面FAB 的一个法向量， 取平面ABD 的法向量()20,0,1n =-，则1212121cos ,1010n nn n n n ⋅===⋅ 所以二面角F AB D --的余获值为10 19.【解析】（1）∵()0.020.080.09241a +++⨯=，∴0.03a = 完成年度任务的人数为2420048a ⨯⨯=（2）第1组应抽取的人数为0.024252⨯⨯=，第2组应抽取的人数为0.084258⨯⨯=.第3组应抽取的人数为0.094259⨯⨯=，第4组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=，第5组应抽取的人数为0.034253⨯⨯=（3）在（2）中完成年度任务的销售员中，第4组有3人，记这3人分别为123,,A A A ；第5组有3人，记这3人分别为123,,B B B ；从这6人中随机选取2名，所有的基本事件为12A A ，13A A ，11A B ，12A B ，13A B ，23A A .21A B ，22A B ，23A B ，A.B112A A ，A ，B212A A ，AsB 12A A ，B1B212A A ，B1B112A A ，B.B112A A ，共有15个基本事件。

获得此奖励的2名销售员在同一组的基本事件有6个，故所求概率为62155= 20.【解析】（1）由题意可知：23a=，又椭圆1C 的上顶点为()0,b ，双曲线2C的渐近线为：0y x =⇔±=，（2）易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，代入2213x y -=，消去y 并整理得： ()222136330k x kmx m ----=，要与2C 相交于两点，则应有：()()2222213036413330k k m k m ⎧-≠⎪⎨----->⎪⎩22213013k m k ⎧-≠⎪⇒⎨+>⎪⎩ 设()()111222,,,Q x y Q x y ， 则有：122613km x x k+=-，21223313m x x k --⋅=-. 又12OQ OQ ⋅=()()12121212x x y y x x kx m kx m +=+++()()2212121k x x km x x m =++++. 又：125OQ OQ ⋅=-，所以有：2221[(1)(33)13k m k+--+-22226(13)]5k m m k +-=-， 2219m k ⇒=-，②将y kx m =+，代入2213x y +=，消去y 并整理得：()222136330k x kmx m +++-=， 要有两交点，则()22236413k m k ∆=-+()22233031m k m ->⇒+>.③ 由①②③有：2109k <≤ 设()133,M x y 、()244,M x y . 有：342613km x x k-+=+，23423313m x x k -⋅=+12M M==将2219m k =-代入有：12M M=12M M ⇒=12M M ⇒=令2t k =,1(0,]9t ∈ 令()()()2113t t f t t +=+()()31'13t f t t -⇒=+,1(0,]9t ∈. 所以()'0f t >在1(0,]9t ∈内恒成立，故函数()f t 在1(0,]9t ∈内单调递增，故()5(0,]72f t ∈12M M ⇒∈. 21.【解析】（1）()21ln 'm x f x x --=，1x >， 当10m -≤时，即1m ≥时，1ln 0m x --≤在[)1,+∞上恒成立，所以()f x 的单调减区间是[)1,+∞，无单调增区间当10m ->时，即1m <时，由()'0f x >得1(1,)m x e-∈.由()'0f x <，得1(,)m x e -∈+∞， 所以()f x 的单调减区间是1(,)m e -+∞，单调增区间是1(1,]m e -（2）由题意，()2ln 1x m x <-，1x >恒成立，()()2ln 1g x x m x =--.1x >.()max 0g x <， ()2112'2mx g x mx x x-=-=，1x >. ①0m ≤时，()'0g x >.（1x >），()g x 在()1,+∞上单调递增.∴1x >，()()10g x g >=，舍去。