八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理2学案无答案新版北师大版
北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.1 探索勾股定理(教案)
1. 探究勾股定理1.经历用测量法和数格子的方法探究勾股定理的过程,开展合情推理才能,体会数形结合的思想.2.会解决直角三角形的两边求另一边的问题.1.经历“测量—猜测—归纳—验证〞等一系列过程,体会数学定理发现的过程.2.在观察、猜测、归纳、验证等过程中培养语言表达才能和初步的逻辑推理才能.3.在探究过程中,体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法.通过让学生参加探究与创造,获得参加数学活动成功的经历.【重点】勾股定理的探究及应用.【难点】勾股定理的探究过程.【老师准备】分发给学生打印的方格纸.【学生准备】有刻度的直尺.导入一:展示教材P2开头的情境.如下图,从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索,假如这条钢索在地面的固定点间隔电线杆底部6 m,那么需要多长的钢索?事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一个特殊关系,学完了这节课,我们就会很容易地求出钢索的长度.[设计意图]创设问题情境,造成学生的认知冲突,激发学生的求知欲望.导入二:如下图,强大的台风使得一个旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处.旗杆折断之前有多高?【师生活动】在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边确定吗?为什么?在直角三角形中,任意两条边确定了,第三条边也就随之确定,三边之间存在着一种特定的数量关系.事实上,古人发现,直角三角形的三条边长度的平方存在一种特殊的关系.让我们一起去探究吧!一、用测量的方法探究勾股定理思路一【学生活动】1.画一个直角三角形,使直角边长分别为3 cm和4 cm,测量一下斜边长是多少.2.画一个直角边长分别是6 cm和8 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.3.画一个直角边长分别是5 cm和12 cm的直角三角形,测量一下斜边长是多少.【问题】你能观察出直角三角形三边之间的关系吗?[设计意图]帮助学生感知直角三角形三条边的长度存在特殊的关系,进而激发学生的探究欲望.思路二任意画一个直角三角形,分别测量三条边长,把长度标在图形中,计算三边的平方,把结果填在表格中.直角三角形直角边长直角边长斜边长123【师生活动】师:观察表格,有什么发现?生1:a2+b2=c2.生2:两直角边的平方和很接近斜边的平方.师:很准确,他用了很接近这个词,非常棒!有哪些数据得到了a2+b2=c2?生:3,4,5;6,8,10;2,1.5,2.5;5,12,13……师:哪些数据没得到a2+b2=c2?生:2,4,4.5;5,8,9.5;2.4,4.8,9.3……师:怎样验证直角三角形三边之间的平方关系呢?二、验证直角三角形三条边长度存在的特殊关系,用数格子的方法探究勾股定理1.探究等腰直角三角形的情况.思路一展示教材P2图1 - 2局部图.探究问题:(1)这个三角形是什么样的三角形?(2)直角三角形三边的平方分别是多少?它们满足怎样的数量关系?(学生通过数格子的方法可以得出S A+S B=S C)[设计意图]通过三个正方形面积的关系,得到直角三角形三边的关系.思路二展示教材P2图1 - 2,直角三角形三边的平方分别是多少,它们满足上面所猜测的数量关系吗?你是如何计算的?【师生活动】师:在这幅图中,边长的平方是如何刻画的?我们的猜测如何实现?生:用正方形A,B,C刻画的,就是证A+B=C.师:再准确点说呢?生:是用三个正方形A,B,C的面积刻画的,就是证明正方形A的面积加上正方形B的面积等于正方形C的面积.师:请同学们快速算一算正方形A,B,C的面积.(学生交流面积C的求法,老师巡视点评)生:A的面积是9,B的面积也是9,C的面积是18.师:你用什么方法得到正方形C的面积为18个单位面积?生1:我先数整个格子有12个,两个三角形格子拼成一个正方形格子,能凑6个,一共是18个.生2:把正方形对折,得到两个三角形.(学生板演,并列式计算) 生3:分成四个全等的直角三角形.(学生板演,口述面积求法)师:方法不错,你们很擅长动脑筋,我们用数格子、分割图形的方法得到C的面积,还有什么方法可以得到吗?生:在正方形C的外侧画一个大正方形,用大正方形的面积减去4个三角形的面积.(学生板演,口述面积求法)师:很好,他采用了补形的方法计算面积,我们能得到什么结论?生1:S A+S B=S C.生2:a2+b2=c2.师:我们看到上面的三角形具有特殊性,是等腰直角三角形,一般三角形能验证吗?2.探究边长为3,4,5的直角三角形的情况.展示教材P2图1 - 3局部图.对于一般的直角三角形是否也有这样的关系?你是如何计算的?【问题】(1)正方形A的面积是多少个方格?正方形B的面积是多少个方格?(2)怎样求出正方形C的面积是多少个方格?(3)三个正方形的面积之间有什么关系?同桌交流、小组讨论,共同讨论如何求正方形的面积,找到三边平方之间的关系.【提示】在正方形C的四周再补上三个相等的直角三角形,变成一个新的大正方形.【拓展】假如直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度,上面所猜测的数量关系还成立吗?说明你的理由.学生考虑、交流,老师请学生口答,并板书,指出这就是这节课要学习的勾股定理.【学生总结】直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.[考虑](1)运用此定理的前提条件是什么?(2)公式a2+b2=c2有哪些变形公式?(3)由(2)知直角三角形中,只要知道条边,就可以利用求出.[设计意图]让学生经历“独立考虑——小组讨论——合作交流〞的环节,进一步加深对勾股定理的理解,并激发学生的爱国热情.[知识拓展]1.由勾股定理的根本形式a2+b2=c2可以得到一些变形关系式,如a2=c2-b2=(c+b)(c-b);b2=c2-a2=(c+a)(c-a).2.在钝角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2<c2,在锐角三角形中,三角形三边长分别为a,b,c,假设c为最大边长,那么有a2+b2>c2.1.勾股定理的由来.2.勾股定理的探究方法:测量法和数格子法.3.勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.假如a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.1.直角三角形ABC的两直角边BC=12,AC=16,那么ΔABC的斜边AB的长是()C.9.6D.8解析:BC2=122=144,AC2=162=256,AB2=AC2+BC2=400=202.应选A.2.直角三角形两直角边长分别是6和8,那么周长与最短边长的比是()A.7∶1B.4∶1C.25∶7D.31∶7解析:利用勾股定理求出斜边的长为10.应选B.3.(2021·温州模拟)如下图,在ΔABC中,AB=AC,AD是ΔABC的角平分线,假设BC=10,AD=12,那么AC=.解析:根据等腰三角形三线合一,判断出ΔADC为直角三角形,利用勾股定理即可求出AC的长为13.故填13.4.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AB=10,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分别记为S1,S2,那么S1+S2的值等于.解析:根据半圆面积公式结合勾股定理,知S1+S2等于以斜边为直径的半圆的面积.所以S1+S2=1πAB2=12.5π.故填12.5π.8第1课时1.概念:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.表示法:假如用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2+b2=c2.一、教材作业【必做题】教材第3页随堂练习第1,2题.【选做题】教材第4页习题1.1第2题.二、课后作业【根底稳固】1.在RtΔABC中,AB=6,BC=10,∠A=90°,那么AC=.2.假设三角形是直角三角形,且两条直角边长分别为5,12,那么此三角形的周长为,面积为.3.(2021·凉山中考)直角三角形的两边长分别是3和4,那么第三边长为.4.假如梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是.【才能提升】5.如下图,在正方形网格中,ΔABC的三边长a,b,c的大小关系是() A.a<b<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<a<c6.如下图,在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中,以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是.7.如下图,阴影局部是一个正方形,它的面积为.8.如下图,三个正方形的面积中,字母A所在的正方形的面积是.9.飞机在空中程度飞行,某一时刻飞机刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处,过20秒,飞机间隔这个男孩头顶5000米,飞机每小时飞行多少千米?10.一个门框的尺寸如下图,一块长3 m,宽2.2 m的薄木板能否从门框内通过?为什么?11.在ΔABC中,AB=25,AC=30,BC边上的高AD=24,求BC的长.【拓展探究】12.如下图,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,以点A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点D,那么BD=.13.如下图,一个机器人从O点出发,向正东方向走3米到A1点,再向正北方向走6米到达A2点,再向正西方向走9米到达A3点,…,按此规律走下去,当机器人走到A6点时,离O点的间隔是.【答案与解析】1.8(解析:AC2=BC2-AB2=64.)2.3030(解析:由题意得此直角三角形的斜边长为13.)3.5或√74.12米5.D(解析:两个正数比拟大小,可以按照下面的方法进展:假如a>0,b>0,并且a2>b2,那么a>b.可以设每一个小正方形的边长为1,在直角三角形BDC中,根据勾股定理可以求出a2=10,同理可以求出b2=5,c2=13,因为a>0,b>0,c>0,且b2<a2<c2,所以b<a<c.)6.5∶8(解析:可以设每个小正方形的边长为1,那么正方形ABCD的面积就是4×4=16,斜放的小正方形的边长应该是直角三角形DEF的斜边长,另外两条直角边长分别是1和3,根据勾股定理可以求出小正方形的面积是10.所以以EF为边的小正方形与正方形ABCD的面积比是10∶16=5∶8.)7.64 cm2(解析:设阴影局部的边长为x,那么它的面积为x2=172-152=64(cm2).)8.7(解析:根据正方形的面积公式和勾股定理,知以直角三角形的两条直角边为边的正方形的面积和等于以斜边为边的正方形的面积,由勾股定理可知A=16-9=7.故A的面积为7.)9.解:根据题意可以先画出符合题意的图形.如下图,在ΔABC中,∠C=90°,AC=4000米,AB=5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在20秒的时间里飞行的路程,即图中的CB长,由于RtΔABC的斜边AB=5000米=5千米,AC=4000米=4千米,由勾股定理得BC2=AB2-AC2,即BC=3千米.飞机20秒飞行3千米,那么它1小时飞行×3=540(千米).答:飞机每小时飞行540千米.的间隔为36002010.解:连接AC,在RtΔABC中,根据勾股定理得AC2=AB2+BC2=12+22=5.又因为2.22=4.84<5.所以AC>木板的宽,所以木板可以从门框内通过.11.解:在RtΔABD中,由勾股定理得BD2=AB2-AD2=252-242=49,所以BD=7.在RtΔADC中,由勾股定理得CD2=AC2-AD2=302-242=324,所以CD=18.所以BC=BD+DC=7+18=25.12.2(解析:∵在RtΔABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,∵以点A为圆心,AC 长为半径画弧,交AB于点D,∴AD=AC,∴AD=3,∴BD=AB-AD=5-3=2.)13.15(解析:解此题时要求出A1A2,A2A3,A3A4,A4A5,A5A6等各线段的长,再利用勾股定理求解.)从本节课教案的思路设计看,始终贯彻以学生为主体,充分运用各种手段调动学生参与探究活动的积极性.课前的导入利用生活中的问题,唤起学生带着问题进入本节课的学习.在探求直角三角形三边平方关系时,遵循了发现问题、证实问题到推导问题的认识过程.在引导学生进展探究的过程中,对学生的指导过多,不敢放手让学生自己进展尝试.比方在利用教材第2页下面的两幅图的时候,要求学生选取与教材一致的数据.在这里应该放手让学生自己选取数据.在总结勾股定理的时候,可以让学生自己总结勾股定理的数学表达式.在利用教材给出的例如进展勾股定理结论探究的时候,一定要立足于“面积相等〞这个探究的立足点,这样才能保证学生找准探究活动的方向.随堂练习(教材第3页)1.解:字母A代表的正方形的面积=225+400=625,字母B代表的正方形的面积=225-81=144.2.解:不同意他的想法,因为29 in的电视机是指屏幕长方形的对角线长为29 in,由屏幕的长为58 cm,宽为46 cm,可知屏幕的对角线长的平方=(46025.4)2+(58025.4)2,所以对角线长≈29 in.习题1.1(教材第4页)1.解:①x2=62+82=100,x=10.②y2=132-52=144,y=12.2.解:172-152=64,所以另一条直角边长为8 cm.面积为12×8×15=60(cm2).3.解:此题具有一定的开放性,现给出4种方案:如下图,设①的面积为g,③的面积为e,④的面积为f,⑦的面积为a,⑨的面积为b,⑧的面积为d ,⑩的面积为c ,那么(1)a +b +c +d =g ,(2)a +b +f =g ,(3)e +c +d =g ,(4)e +f =g.4.解:过C 点作CD ⊥AB 于D ,因为CA =CB =5 cm,所以AD =BD =12AB =3 cm .在Rt ΔADC 中,CD 2=AC 2-AD 2,所以CD =4 cm,所以S ΔABC =12AB ·CD =12×6×4=12(cm 2).(2021·淮安中考)如左下列图所示,在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,点A ,B 都是格点,那么线段AB 的长度为( )C .7D .25〔解析〕 此题考察勾股定理的知识,解答此题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用,建立格点三角形.如下图,利用勾股定理求解AB 的长度即可.由图可知AC =4,BC =3,那么由勾股定理得AB =5.应选A .如下图,直线l 上有三个正方形a ,b ,c ,假设a ,c 的面积分别为3和4,那么b 的面积为 .〔解析〕 ∵∠ACB +∠ECD =90°,∠DEC +∠ECD =90°,∴∠ACB =∠DEC.∵∠ABC =∠CDE ,AC =CE ,∴ΔABC ≌ΔCDE ,∴BC =DE.根据勾股定理的几何意义,b的面积=a的面积+c的面积,∴b的面积=3+4=7.故填7.。
北师大版八年级上册第一章勾股定理1.1.2 探索勾股定理(教案)
1.1.2 探索勾股定理1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜测、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.培养学生大胆探索,不怕失败的精神.【重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【难点】用拼图法验证勾股定理.【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).一、勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 -5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 -6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 - 5采用的是“补〞的方法,而图1 - 6采用的是“割〞的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流. (2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚刚讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做〞,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做〞的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.二、勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕 根据题意,可以画出右图,其中点A 表示小王所在位置,点C ,点B 表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C 是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB 2=BC 2+AC 2,也就是5002=BC 2+4002,所以BC =300. 敌方汽车10 s 行驶了300 m,那么它1 h 行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h .[知识拓展] 利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意局部面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏. 曾任美国总统的伽菲尔德在?新英格兰教育日志?上发表了他提出的一个勾股定理证明,如下图,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 1.以下选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.应选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如下图的图形,那么以下结论中正确的选项是 ( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C.c2=a2-2ab+b2D.c2=(a+b)2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.里面的小四边形也为正方形,边长为b-a,那么有c2=12应选A.3.如下图,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如下图,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪假设干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c 之间有什么关系?解析:根据图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.一、教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.二、课后作业【根底稳固】1.我国古代数学家赵爽的?勾股圆方图?是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如下图).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是 ()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如下图的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如下图.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书?周髀算经?中就有“假设勾三,股四,那么弦五〞的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,那么矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如下图,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,假设大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,那么a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如下图的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如下图,在平面内,把矩形ABCD 绕点B 按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB =a ,BC =b ,BD =c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图〞,后人称其为“赵爽弦图〞(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD ,正方形EFGH ,正方形MNKT 的面积分别为S 1,S 2,S 3.假设S 1+S 2+S 3=16,那么S 2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法〞给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法〞来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2.证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,那么DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab ,又∵S 四边形ADCB =S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE. 验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴a 2+b 2=c 2. 【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,那么(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.应选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.应选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如下图. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如下图,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,那么ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,那么a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.应选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,那么S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,那么BF =b-a ,∵S 五边形ACBED =S ΔACB +S ΔABE +S ΔADE =12ab +12b 2+12ab ,又∵S 五边形ACBED =S ΔACB +S ΔABD +S ΔBDE =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回忆,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理〞,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散.勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.随堂练习(教材第6页)解:因为OM 2=MN 2+NO 2=302+402=502,所以OM =50 km .因为OQ 2=OP 2+PQ 2=502+1202=1302,所以OQ =130 km .所以该沿江高速公路的造价预计是(50+130)×5000=900000(万元).答:该沿江高速公路的造价预计是900000万元.习题1.2(教材第6页)1.解:因为42+32=52,所以旗杆折断之前的高为5+3=8(m).2.解:因为S 梯形=12(a +b )·(a +b )=12(a 2+2ab +b 2)=12a 2+ab +12b 2,S 梯形=12ab +12ab +12c 2=ab +12c 2,所以12a 2+ab +12b 2=ab +12c 2,所以a 2+b 2=c 2.(这个方法与本节探索的方法思路一样,都是构造一个图形,利用两种方法计算该图形的面积,从而得到a 2+b 2=c 2)3.解:箱子能放进储藏室,因为0.82+0.52<1.22.古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲;出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边;渔人观看忙向前,花离原位两尺远;能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗?〔解析〕 要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如下图.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如下图,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.设CD =x 尺,那么AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2. 解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结]建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。
(完整word版)北师大版数学八年级上册全套精品学案,导学案
第一章 勾股定理 1.1探索勾股定理一、问题引入：（1）观察下面下图，若每个小正方形的面积为1，则第①个图中，A S = ，B S = ，C S = . 第②个图中，A S = ，B S = ，C S = .三个正方形A 、B 、C 的面积之间有什么关系？以上结论与三角形三边有什么关系？ 通过这种关系你发现了什么？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么 即直角三角形 的平方和等于 的平方. 二、基础训练：1、如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A 的面积为 .（1） （2）2、如图（2），三角形中未知边x 与y 的长度分别是x = ，y = .3、在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AC ＝6，BC ＝8，则AB 的长为（ ）A.6B.8C.10D.12ABCCBA257三、例题展示：例1:在△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =3，b=4，则c=_____________； （2）若a =9，c=15，则b=______________；例2:如图,一根旗杆在离地面9米处折断倒下,旗杆顶部落在离旗杆底部12米处,旗杆折断前有多高？（提示：用数学符号去表示线段的长）四、课堂检测：1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝13，BC ＝5，则AC 的长为（ ）A.5B.12C.13D.182、已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若14=+b a cm ，10=c cm ，则Rt △ABC 的面积为（ ）A.24cm 2B.36cm 2C.48cm 2D.60cm 23、若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4， c =10，则a= ，b = .4、如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为 . （π不取近似值）第4题图5、一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:4，求两直角边的长.6、（选做题）一个长为10m为梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8m，梯子的顶端下滑2m后，底端向外滑动了多少米？第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗一、问题引入：1、分别以下列每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗?(1)3, 4, 5 (2)6, 8, 102、以上每组数的三边平方存在什么关系？结合上题你能得到什么结论？3、如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形.4、满足a2+b2=c2的三个，称为勾股数.二、基础训练：1、在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是（）A. 5，6，7B. 1，4，9C. 5，12，13D. 5，11，122、下列几组数中，为勾股数的是（）A. 4，5，6B. 12，16，20C. 10，24，26D. 2.4，4.5，5.13、若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是（）A.42B.52C.7D.52或74、将直角三角形的三边扩大同样的倍数，得到的三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形 D .都有可能三、例题展示：例1：一个零件的形状如下左图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都是直角，工人师傅量得某个零件各边尺寸如下右图所示，这个零件符合要求吗？例2：如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形？请说出你的判断理由.四、课堂检测：1、三角形的三边分别等于下列各组数，所代表的三角形是直角三角形的是（）A. 7，8，10B. 7，24，25C. 12，35，37D. 13，11，102、若△ABC的三边a、b、c满足（a－b）（2a＋2b－2c）＝0，则△ABC是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A. b2 =c2－a2B. a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C =∠A+∠BD.∠A∶∠B∶∠C =2∶3∶44、若三角形的三边之比为3﹕4﹕5，则此三角形为三角形.5、已知一个三角形的三边长分别是12cm，16cm，20cm，则这个三角形的面积为 .6、如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，∠B与∠C相等吗？为什么？7、（选做题）若△ABC的三边长为a，b，c满足a2+b2+c2+200=12a+16b+20c根据条件判断△ABC的形状.第一章勾股定理1.3 勾股定理的应用一、问题引入：1、勾股定理：直角三角形两直角边的 等于 .如果用a ，b 和c 表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 .2、勾股定理逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足 ，那么这个三角形是直角三角形. 二、基础训练：1、在△ABC 中，已知AB=12cm ，AC=9cm ，BC=15cm ，则△ABC 的面积等于（ ）A.108cm 2B.90cm 2C.180cm 2D.54cm 22、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)三、例题展示：例1：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？π的值取3)。
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案 新版北师大版
八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第一章“探索勾股定理”的目的是让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵，并能够运用勾股定理解决实际问题。
本节课是该章节的第一课时，主要让学生验证勾股定理。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对三角形、直角三角形等概念有一定的理解。
但他们对勾股定理的发现过程和证明方法可能还不够深入了解，因此需要通过本节课的教学，让学生从实践中感受勾股定理的真理，提高他们的数学思维能力。
三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵。
2.培养学生运用几何图形进行推理和验证的能力。
3.提高学生对数学的兴趣和探索精神。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实际操作，验证勾股定理。
2.教学难点：引导学生理解并证明勾股定理。
五. 教学方法1.实践教学法：让学生通过实际操作，发现并验证勾股定理。
2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索。
3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成验证勾股定理的任务。
六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、圆规等教具。
2.制作课件，展示勾股定理的发现过程和证明方法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，让学生了解勾股定理的发现过程，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师展示勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
然后提出问题：如何验证这个定理呢？3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用教具和直尺，尝试构造直角三角形，并测量两条直角边和斜边的长度。
每组学生将自己的测量结果填入表格中。
4.巩固（5分钟）教师邀请几组学生汇报自己的测量结果，引导学生发现：不论直角三角形的直角边和斜边的长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。
5.拓展（5分钟）教师提出挑战性问题：如何证明这个结论对所有的直角三角形都成立呢？引导学生进一步思考和探索。
八年级数学上册第一章勾股定理1.1.1探索勾股定理学案无答案新版北师大版
探索勾股定理
-32.观察下面地板砖示意图， 你能发现每幅图中的三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
3. 观察下边两图并填写下表(每个小正方形的面积为单位1) ：
分析表中数据你发现了什么？
（1）你能用直角三角形的两直角边的长a ，b 和斜边长c 来表示图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. （2）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
结论：（1）勾股定理：直角三角形的两直角边的，等于。
如果用a,b,和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么。
（2）直角三角形中较短的直角边称为，较长的直角边称为，斜边称为。
探究2:
如图，从电线杆离地面8 m处向地面拉一条钢索，如果这条钢索在地面的固定点距离电线杆底部6 m，那么需要多长钢索？
2．如图1-1-3所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积的和
是cm2．
3.已知：Rt△ＡBC中，AB=４，AC=３,则BC2的长为____________
4.求斜边长为17cm,一条直角边长为15cm的直角三角形的面积。
5．如图，求等腰三角形A BC的面积。
【初中】八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理2学案无答案北师大版
探索勾股定理教师寄语：目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的武器之一一、学习目标——目标明确、有的放矢1、运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；2、掌握勾股定理及其简单应用．课标要求：会运用勾股定理解决简单问题．二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理；学习难点：用面积证勾股定理．预习提示：阅读教材4-6页.三、课前热身——激发兴趣、温故知新在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c为其三边长．1. 若a=3，b=4，则c=_____；2. 若a=5，c=13，则b=_____；3. 若b=8，c=10，则a=______；4. 若c=20，a：b=4：3，则b=______．四、课堂探究——质疑解疑、合作探究探究点1：勾股定理的证明勾股定理是初中几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明.例题：1．传说中毕达哥拉斯的证法在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，你利用这个图试说明勾股定理?2．赵爽弦图的证法如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b .利用这个图试说明勾股定理?3．美国第20任总统茄菲尔德的证法下图是美国总统Garfield 于1876年给出的另一种方法，你能根据图中所给的数据验证勾股定理吗？请写出推理过程。
练习：如图，将竖直放置的砖块ABCD 推到CGEF 的位置，长方形ABCD 的长和宽分别为a 和b ，对角线长为c ，⑴ 你能用只含a ，b 的代数式表示S △ABC ，S △CEG 和S梯形EGBA 吗？能只用含c 的代数式表示S △ACE吗 ？⑵ 利用⑴的结论，你能验证勾股定理吗？探究点2：勾股定理的简单应用 例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧C拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400米，l0秒后，汽车与他相距500米，请你帮小王计算敌方汽车的速度.练习：1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？并说明理由？2. 如图，某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少万元？3．一辆卡车装满货物后，高4m，宽3m，这辆卡车能通过横截面如图的隧道吗？为什么？。
八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理学案(无答案)(新版)北师大版
1.1 研究勾股定理第 2 课时 考证勾股定理学习目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的研究意识和合作沟通的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用。
要点难点要点：能娴熟应用拼图法证明勾股定理．难点：用面积证勾股定理．学习过程一、创建问题情境，激发学生学习热忱，导入课题我们已经经过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系， 终究是几个实例， 能否拥有广泛 的意义， 还需要加以论证， 下面就是今日所要研究的内容， 下面请大家画四个全等的直角三角形，并把它剪下来，用这四个直角三角形拼一拼、摆一摆，看看可否获得一个含有以斜边c 为边长的正方形，并与同学们沟通。
在同学操作的过程中，教师展现投影1（书中 P7 图 1 — 7）接着发问：大正方形的面积可表示为何？同学们回答有两种可能： （1） ( a +b ) 2（2） 1ab 4 c 2 2在同学沟通形成共鸣后教师把这两种表示大正方形面积的式子用等号连结起来。
(ab)2 1 ab 4 c 2 2请同学们对上式进行化简，获得： a2 2ab b 2 2ab c 2 即 a 2 b 2 c 2这就能够从理论上说了然勾股定理存在。
请同学们回去用其他拼图方法说明勾股定理。
二、解说例题例 1、飞机在空中水平飞翔， 某一时辰恰好飞到一个男孩头顶正上方 4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶 5000 米，飞机每时飞翔多少千米？剖析：依据题意，能够先画出切合题意的图形。
如右图，图中△ ABC 的∠ C ＝ 90°， AC = 4000 米， AB=5000 米欲求飞机每时飞翔多少千米，就要知道 20 秒时间里飞翔的行程， 即图中的 CB 的长，因为△ ABC 的斜边AB =5000 米， AC= 4000 米，这样 BC 就能够经过勾股定理得出，这里必定要注意单位的换算。
BC 2AB 2 AC 2 5 2 4 2 千米 2 ) 解：由勾股定理得9(即 BC=3 千米飞机 20 秒飞翔 3 千米．那么它 l 小时飞翔的距离为：36003 540 20 （千米／时）答：飞机每小时飞翔 540 千米。
八年级数学上册第一章勾股定理1.1探索勾股定理1学案无答案新版北师大版
探索勾股定理教师寄语：每一个成功者都有一个开始。
勇于开始，才能找到成功的路一、学习目标——目标明确、有的放矢1、 经历用数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力.课标要求：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题. 学习难点：勾股定理的推导. 预习提示：阅读教材2-3页.三、课前热身——激发兴趣、温故知新1. ⑴ 平方差公式：_______________；⑵ 完全平方公式：________________.2. 三角形按角进行分类：_________三角形，_________三角形，_________三角形.3. 三角形全等判定方法：________，________，_______，_________. 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：探索勾股定理1.测量下面直角三角形三边的长度，看看三边的平方存在怎样的特殊关系?2.（1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？3.（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方称为毕达哥拉斯定理）探究点2：用勾股定理求直角三角形的边长 例题：求出下列直角三角形中未知数的长度．练习：1．Rt△ABC 中，∠C =90°，若a =5 cm ，c =13 cm ，则b =_________．2．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长________． 3．直角三角形的两条直角边的边长分别是3 cm ，4 cm ，则斜边上的高为_______． 4．等腰三角形的腰长为10 cm,底长为12 cm,则其底边上的高为________． 探究点3：用勾股定理求面积例题：如图1，求下图中字母所代表的正方形的面积为A=_______,B=_________.弦股勾图1AB CABC练习：1．斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是 ．2．如图2，已知△ABC 中，∠C=90°，BA=15,AC=12，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．3. 如图3，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积_______.4. 如图4，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，计算阳光透过的最大面积_______.探究点4：勾股定理的应用例题：一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？练习：1． 如图5,小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( )A ．9英寸(23厘米)B ．21英寸(54厘米)C ．29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)2．如图6，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，则木条的长为____m.3．如图7，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否图6图7图5图3图2ACB15cm3图4到达墙的顶端?_______(答：是或否)五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1. 已知一个直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长的平方是．2. 长方形的一边长为3cm，面积为12 cm2，那么它的一条对角线长是_____cm．3. 如图8，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为____cm2.4. 如图9，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？5. 在Rt△ABC中, 斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=.6. 如图10，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A.2mB.3mC.4mD.5m7．在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．14或4 C．8 D．4或88. 如图11，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AE⊥BC于E，若AB=12，BC=10，•AC=8，求DE的长．图11图8图9图10。
八年级数学上册第一章勾股定理1.1.2探索勾股定理学案(无答案)北师大版(2021年整理)
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1。
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2探索勾股定理课题内容1。
1.2探索勾股定理学习目标掌握勾股定理的验证以及勾股定理的实际应用学习重点能熟练运用拼图的方法证明勾股定理学习难点能熟练运用拼图的方法证明勾股定理学法指导1。
阅读教材4-6页并思考：课本是怎样通过割、补的方法来验证勾股定理的？2。
在一个直角三角形中，如果用a 、b分别表示两条直角边的长度,用c表示斜边的长度，则三边的平方之间有什么关系？3.若一个直角三角形的两条直角边分别是5和12，问斜边的长度是多少？探究1:画四个与右图全等的直角三角形,并把它剪下来。
用这四个三角形拼一拼、摆一摆,看看是否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？并与同伴交流。
列出我的疑惑一、预习案二、探究案探究2：（1）观察图一，大正方形的面积可以表示为，中间的正方形的面积可以表示为，每一个直角三角形的面积可以表示为。
因为：所以：化简得：图一图二（2)如图二，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，因此列出等式为，化简得。
探究3:我方侦察员小王在距离东西向公路400M处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶。
他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400M。
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探索勾股定理教师寄语：每一个成功者都有一个开始。
勇于开始，才能找到成功的路一、学习目标——目标明确、有的放矢1、 经历用数格子的方法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系；2、 探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单的推理的意识及能力.课标要求：体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：了解勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题. 学习难点：勾股定理的推导. 预习提示：阅读教材2-3页.三、课前热身——激发兴趣、温故知新1. ⑴ 平方差公式：_______________；⑵ 完全平方公式：________________.2. 三角形按角进行分类：_________三角形，_________三角形，_________三角形.3. 三角形全等判定方法：________，________，_______，_________. 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：探索勾股定理1.测量下面直角三角形三边的长度，看看三边的平方存在怎样的特殊关系?2.（1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？3.（1）你能用直角三角形的边长a 、b 、c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？勾股定理：如果直角三角形两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么222c b a =+．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名． （在西方称为毕达哥拉斯定理）探究点2：用勾股定理求直角三角形的边长 例题：求出下列直角三角形中未知数的长度．练习：1．Rt△ABC 中，∠C =90°，若a =5 cm ，c =13 cm ，则b =_________．2．直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ，另一直角边长为6 cm ，则它的斜边长________． 3．直角三角形的两条直角边的边长分别是3 cm ，4 cm ，则斜边上的高为_______． 4．等腰三角形的腰长为10 cm,底长为12 cm,则其底边上的高为________． 探究点3：用勾股定理求面积例题：如图1，求下图中字母所代表的正方形的面积为A=_______,B=_________.练习：1．斜边的边长为17cm ，一条直角边长为8cm 的直角三角形的面积是 ．弦股勾图1AB CABC2．如图2，已知△ABC 中，∠C=90°，BA=15,AC=12，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．3. 如图3，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积_______.4. 如图4，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4米，高3米，长20米，棚的斜面用塑料布遮盖，不计墙的厚度，计算阳光透过的最大面积_______.探究点4：勾股定理的应用例题：一棵大树在一次强烈台风中于离地面9m 处折断倒下，树顶落在离树根12m 处. 大树在折断之前高多少？练习：1． 如图5,小军量得家里新购置的彩电荧光屏的长为58厘米,宽为46厘米,则这台电视机的尺寸是(实际测量的误差可不计) ( )A ．9英寸(23厘米)B ．21英寸(54厘米)C ．29英寸(74厘米) D. 34英寸(87厘米)2．如图6，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，则木条的长为____m.3．如图7，一座城墙高11.7米，墙外有一个宽为9米的护城河，那么一个长为15米的云梯能否到达墙的顶端?_______(答：是或否)图6图7图5图3图2ACB15cm3图4五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1. 已知一个直角三角形两边长分别为3和4，则第三边长的平方是．2. 长方形的一边长为3cm，面积为12 cm2，那么它的一条对角线长是_____cm．3. 如图8，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为____cm2.4. 如图9，从电线杆离地面6 m处向地面拉一条长10 m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有多远？5. 在Rt△ABC中, 斜边AB=2，则AB2+BC2+CA2=. 6. 如图10，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（）A.2mB.3mC.4mD.5m7．在△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为（）A．14 B．14或4 C．8 D．4或88. 如图11，在△ABC中，AD是BC边上的中线，且AE⊥BC于E，若AB=12，BC=10，•AC=8，求DE的长．图11图8图9图10。
八年级数学上册第一章勾股定理1.3勾股定理的应用学案无答案新版北师大版
勾股定理的应用教师寄语：奋斗是人生过程中最宝贵的财富一、学习目标——目标明确、有的放矢1、能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题；2、通过本节学习，使学生真正体会数学来源于生活，又应用于生活，增加如何在日常生活中用数学知识解决问题的经验和感受.课标要求：会运用勾股定理解决简单问题． 二、温馨提示——方法得当、事半功倍学习重点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题； 学习难点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题． 预习提示：阅读教材13-14页. 三、课前热身——激发兴趣、温故知新1. 圆柱的侧面展开图是_____形,其中长方形的长为圆柱体的底面______,长方形的宽为圆柱体的____.2. 线段公理:_________________________ .3. 两点间的距离：连接两点的线段的_______,叫两点间的距离. 四、课堂探究——质疑解疑、合作探究 探究点1：圆柱侧面上两点间的最短路线问题例题：有一个圆柱，它的高等于12cm ，底面半径等于3cm ，在圆柱下底面的顶点A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A 点相对的B 点处的食物，沿圆柱爬行的最短路程是多少？(π的值取3)．（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？练习：1．如图1,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点沿圆柱的侧面爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是________cm.2．如图2,圆柱形坡璃容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线的长度是________cm ．3．如图3,一圆柱高5cm,底面半径5cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程(π取3)是_______cm.探究点2：长方体（正方体）两点间的最短路线问题例题：一只蚂蚁从长、宽都是3cm ，高是8cm 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是多少?练习：1. 如图，是棱长为1cm 的立方体木块，一只蚂蚁现在A 点，若在B 点处有一块糖，它想尽快吃到这块糖，则蚂蚁沿正方体表面爬行的最短路程是 cm.2．如图，长方体中AB=BB′=2，AD=3，一只蚂蚁从A 点出发，•在长方体表面爬到C′点，求蚂蚁怎样走最短，最短路径是多少？BA 图1图2B图33．一个无盖的长方体盒子，长、宽、高分别是8cm 、8cm 、12cm ，一只蚂蚁想从盒底的A 点爬到盒顶的B 点，蚂蚁要爬行的最短路程是多少？探究点3：平面上两点间的最短路线问题例题： 如图，是一个滑梯示意图，若将滑道AC 水平放置，则刚好与AB 一样长.已知滑梯的高度CE=3m ，CD=1m ，试求滑道AC 的长.练习：1. 甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以10千米/时的速度向东行走,1时后乙出发，他以15千米/时的速度向北行进.上午10∶00时,甲、乙两人相距______千米.2．如图 4，有两棵树,一棵高8米,另一棵高2米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,则它至少要飞行_____米.图45米3米图53．如图5,为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要___米.五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）1. 如图6，有一圆柱，高为8cm，底面直径为4cm，（设π=3），在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想吃上底面与A相对的B点处的食物，需爬行的最短路程大约为_____cm.2．如图7，长方体的长为15 cm，宽为10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是_____cm.3. 如图所示为一棱长为3cm的正方体，把所有的面都分成3×3个小正方形，其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面A点沿表面爬行于右侧面的B点，最少要花几秒钟？4. 如图8,所示为一圆柱高8cm,底面半径为π6cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是_____cm.5. 有一个长宽高分别为3cm，1cm，3cm的长方体，有一只小蚂蚁想从点A爬到点C1处，小蚂蚁爬行的最短路线是_____cm.6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？图6 图7图8 图9。
北师大版八年级上册数学 学案 1.1探索勾股定理(2)(无答案)
§1.1 探索勾股定理（2）
姓名___________ 学号_____
学习目标：
1、会利用拼图的方法证明勾股定理，并体会解决问题策略的多样性．
2、掌握勾股定理，并用来解决问题．
一、学案导航
(一) 证明勾股定理
1、拼图：剪4个全等的直角三角形，设两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，能否得到一个正方形？将得到的图形粘在下面空白处．
2、从下面的拼图中任选两个证明勾股定理．
总结勾股定理的证明方法：_________________________________．
3、 如图，△ABC 中，BC=a ，AC=b ，AB=c ，若根据勾股定理，则222c b a =+，
22
2
北师大版八年级（上）第一章
a b b b a b a c c c a a c （1） c （2） b b c c （3）
（二）应用勾股定理解决问题（2）：（课本上的题做到学案反面）
1、（1）完成课本15页随堂练习1． （2）求图中的x ．
（3）如图，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD ，使点D 落在BC 边的点F 处，
已知cm AB 8=，cm BC 10=，求EC 的长．
2、在Rt ⊿ABC 中，斜边AB 上的高为CD ，若4,3==BC AC ，求CD 的长．
3、如图，∠A =90°，D E 为BC 的垂直平分线．探索BE 、AC 、AE 的关系．
4、实际问题：完成课本15页问题解决1．
拓展：直角三角形的周长是56cm ，斜边的长是25cm ，求其面积．
二、预习小结：
总结勾股定理的类型题：
E x +8
x 12 B A C
D E。
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探索勾股定理
教师寄语：目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的武器之一
一、学习目标——目标明确、有的放矢
1、运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯；
2、掌握勾股定理及其简单应用．
课标要求：会运用勾股定理解决简单问题．
二、温馨提示——方法得当、事半功倍
学习重点：能熟练运用拼图的方法证明勾股定理；
学习难点：用面积证勾股定理．
预习提示：阅读教材4-6页.
三、课前热身——激发兴趣、温故知新
在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c为其三边长．
1. 若a=3，b=4，则c=_____；
2. 若a=5，c=13，则b=_____；
3. 若b=8，c=10，则a=______；
4. 若c=20，a：b=4：3，则b=______．
四、课堂探究——质疑解疑、合作探究
探究点1：勾股定理的证明
勾股定理是初中几何中的一个基本定理.这个定理有十分悠久的历史，两千多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，因为这个定理太贴近人们的生活实际，以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总统都愿意探讨和研究它的证明．下面结合几种图形来进行证明.
例题：1．传说中毕达哥拉斯的证法
在西方，人们认为是毕达哥拉斯最早发现并证明这一定理的，你利用这个图试说明勾股定理?
⑴⑵
2．赵爽弦图的证法
如图，在边长为c 的正方形中，有四个斜边为c 的全等直角三角形，已知其直角边长为a ，b .利用这个图试说明勾股定理?
3．美国第20任总统茄菲尔德的证法
下图是美国总统Garfield 于1876年给出的另一种方法，你能根据图中所给的数据验证勾股定理吗？请写出推理过程。
练习：如图，将竖直放置的砖块ABCD 推到CGEF 的位置，长方形ABCD 的长和宽分别为a 和b ，对角线长
为c ，
⑴ 你能用只含a ，b 的代数式表示S △ABC ，S △CEG 和S 梯形EGBA 吗？能只用含c 的代数式表示S △ACE 吗 ？
⑵ 利用⑴的结论，你能验证勾股定理吗？ 探
究点2：勾股定理的简单应用
例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400米处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶．他赶紧拿出
红外测距仪，测得汽车与他相距400米，l0秒后，汽车与他相距500米，请你帮小王计算敌方汽
车的速度.
C
练习：1．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.
如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？并说明理由？
2. 如图，某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M，O，Q三城市
的沿江高速，已知沿江高速的建设成本是100万元/千米，该沿江高速的造价预计是多少万
元？
3．一辆卡车装满货物后，高4m，宽3m，这辆卡车能通过横截面如图的隧道吗？为什么？
五、巩固提升——（有效训练、反馈矫正）
1．如果梯子底端离建筑物9m ，那么15m 长的梯子可达到建筑物的高度是_____m ．
2. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ，当他把绳子下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高度为（ ）
A.8m
B.10m
C.12m
D.14m 3. 如图1，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a b ，，那么2
()a b 的值是
_________.
4. 如图2，铁路上A 、B 两站（视为直线上两点）相距25 km ，C 、D 两村庄（视为两个点）DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA ＝15 km ，CB ＝10 km ，现在要在铁路上建一个土特产收购站E 使得C 、
D 两村到
E 站的距离相等，则E 站应建在距A
站________千米处？
5. 如图3，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A,在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地
B ，在AB 间建一条直水管，则水管的长为（ ） A.45m B.40m C.50m D. 56m
6．如图4,一架2.5米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC 上,这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米,如果梯子的顶端下滑0.4米,则梯足将向外移( ) 米. A.0.6 B.0.7 C.0.8
D.0.9
7． 某人到岛上去探宝，从A 处登陆后先往东走4km ，又往北走 1.5km ，遇到障碍后又往西走2km ，再转向北走到4.5km 处往东一拐，仅走0.5km 就找到宝藏.问登陆点A 与宝藏埋藏点B 之间的距离是多少？
图 1
图
2
A
B 东南
西
北
图
3
图4
O。