模型专项突破练-2.1.1

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2022年高考物理模型专题突破-斜面体模型(附答案)

真题模型——斜面体模型受力分析、运动的图象、牛顿第二定律受力分析、滑动摩擦力、模型核心归纳斜面模型是中学物理中常见的模型之一。

斜面模型的基本问题有物体在斜面上的平衡、运动及受力问题。

1.常考的斜面模型(1)斜面中的“平衡类模型”(2)斜面中的“动力学模型”(3)斜面中的“连接体模型”2.模型解法(1)注意斜面的几何特点，尤其是斜面的角度关系的应用。

(2)利用共点力的平衡条件、牛顿运动定律、匀变速运动规律以及功能关系列方程。

(3)注意整体法与隔离法、合成法、正交分解法等物理方法的应用。

【预测1】(多选)如图13所示，地面上固定一个斜面，斜面上叠放着A、B两个物块并均处于静止状态。

现对物块A施加一斜向上的力F作用，A、B两个物块始终处于静止状态。

则木块B的受力个数可能是()图13A.3个B.4个C.5个D.6个解析对A受力分析可得，A受竖直向下的重力、斜向左上方的拉力F、竖直向上的支持力及水平向右的摩擦力，对B受力分析可得，B受重力、A对B的压力、斜面的支持力、A对B向左的摩擦力，且斜面若对B没有摩擦力则B受到4个力，若斜面对B有摩擦力则B受5个力，选项A、D错误，B、C正确。

答案BC【预测2如图14甲所示，一物块放在粗糙斜面体上，在平行斜面向上的外力F 作用下，斜面体和物块始终处于静止状态，当F按图乙所示规律变化时，物块与斜面体间的摩擦力大小变化规律可能是图中的()图14解析在t0时刻F为零，t0以后摩擦力和重力沿斜面向下的分力等大、反向，摩擦力恒定不变，故A、B错误；若刚开始F>mg sin θ，此时有F＝mg sin θ＋F f，随着F的减小，摩擦力也在减小，当F＝mg sin θ时，摩擦力减小到零，F继续减小，有F＋F f＝mg sin θ，则摩擦力增大，当F减小到零后F f＝mg sin θ，摩擦力恒定不变，这种情况下，摩擦力先减小后增大；若刚开始F<mg sin θ，有F＋F f＝mg sin θ，随着F 的减小摩擦力在增大，当F 减小到零后F f ＝mg sin θ，摩擦力恒定不变，这种情况下，摩擦力先增大，然后不变，故C 错误，D 正确。

认识无理数(知识梳理与考点分类讲解)-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

专题2.1认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】不是有理数的数（无理数的产生）如图，用剪拼的方法将两个边长为1的小正方形拼成如图①②③的某个大正方形，若大正方形边长为a，由拼法可知2=2.我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为2的大正方形的面积夹在面积为1和面积为4的两个正方形的面各之间，它的边形必然在1和2之间，显然a不为整数。

又因为最简分数的平方仍为分数，若a为最简分数nm，则2nm⎛⎫⎪⎝⎭仍然是一个分数，也不等于2，所以a也不为分数。

从上面分析与推理，若2,x a a x=若当不能写成一个整数或一个分数的平方形式时，就不是有理数。

【知识点2】无理数的概念1.无理数的概念无限不循环小数称为无理数，如圆周率π≈3.14159265...,1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)等2.常见的无理的的几种类型（1）一般的无限不循环小数，如1.4142345...；（2）有规律的不循环小数，如1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)；（3）含π的一些数，如5π；（4）开方开不尽的数，（5）无理数与有理数的和，如π+4；（6）无理数乘以或除以一个不为0的有理数，结果是无理数，如3π.【考点一】无理数➼➻无理数的产生与证明【例1】证明：2=2中x 不是有理数．【分析】假设x 是有理数，则x 可以表示为a b（,a b 均为整数且互质），从而可得222a b =，由此判断出a 是偶数，再设2a c =（c 为整数），从而可得222b c =，由此判断出b 是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．证明：假设x 是有理数，故x 可以表示为a b（,a b 均为整数且互质），则222a b =，因为22b 是偶数，所以2a 是偶数，所以a 是偶数，设2a c =（c 为整数），则22242c a b ==，即222b c =，所以b 也是偶数，这和,a b 互质矛盾．所以假设不成立，x 是无理数．【点拨】本题考查了无理数，熟练掌握无理数的定义是解题关键．【举一反三】【变式】设a 是有理数，x 是无理数，证明：a x +是无理数，且当0a ≠时，ax 是无理数．【分析】根据有理数的和差积商仍为有理数证明即可．解：假设a x +是有理数，则a x a x +-=也是有理数，这与题中“x 是无理数”矛盾，所以a x +是无理数．同理假设ax 是有理数，ax x a=也是有理数，这与题中“x 是无理数”矛盾，所以ax 是无理数．【点拨】本题考查了用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．【考点二】无理数➼➻无理数的概念【例2】把下列各数的序号填入相应的横线内：①13-，②＋8，③20%，④0，⑤ 5.1-+，⑥π2，⑦()1.8--，⑧3-，⑨0.1313313331 （每两个“1”之间依次多一个“3”）．整数：{}；负分数：{}；无理数：{}．【答案】整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨【分析】先化简多重符号及绝对值，然后根据有理数及无理数的定义求解即可．解： 5.1 5.1-+=-，()1.8 1.8--=，整数：＋8，0，3-；负分数：13-， 5.1-+；无理数：π2，0.1313313331 （每两个“1”之间依次多一个“3”）．故答案为：整数：②④⑧；负分数：①⑤；无理数：⑥⑨．【点拨】题目主要考查数的分类及化简，熟练掌握数的分类是解题关键．【举一反三】【变式1】把下列各数分别填入相应的大括号内：7-，3.5， 3.1415-，π，0，1317，0.03，132-，10，0.23 ．整数集合{___________…}；正分数集合{___________…}；非正数集合{___________…}；无理数集合{___________…}．【分析】根据各自的定义：整数（正整数、零和负整数）；无理数（无限不循环的小数），即可求解．解：7-负整数；3.5是小数也是分数； 3.1415-是负数，也是小数；π是无理数；0是整数；1317是分数；0.03是小数也是分数；132-是带分数，也是负数；10是正整数，0.23 是循环小数，也是有理数；即有：整数集合：{7-，0，10，L }；正分数集合：{3.5，1317，0.03，0.23 ，L }；非正数集合：{7-， 3.1415-，0，132-，L }；无理数集合：{π，L }．【点拨】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、无理数、非正数的定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．正分数是首先是分数，即是有理数，再是正数．【变式2】把下列各数的序号填入相应的集合里.-①|2|--，0②，③47-，④2022π-，⑤22，⑥ 3.14，⑦|4|-，⑧ 4.010010001…正数集合：{___________…}；整数集合：{___________…}；负分数集合：{___________…}；无理数集合：{___________…}.【答案】⑤，⑥，⑦，⑧；①，②，⑤，⑦；③；④，⑧【分析】根据有理数及无理数的分类解答即可．解：|2|2--=-，22=4，|4|4-=，正数集合：{⑤，⑥，⑦，⑧…}；整数集合：{①，②，⑤，⑦…}；负分数集合：{③…}；无理数集合：{④，⑧…}.故答案为：⑤，⑥，⑦，⑧；①，②，⑤，⑦；③；④，⑧【点拨】本题考查了有理数及无理数的分类，解决本题的关键是熟练掌握有理数及无理数的分类方法．【考点三】无理数➼➻勾股定理与无理数【例3】500多年前，数学各学派的学者都认为世界上的数只有整数和分数，直到有一天，大数学家毕达哥拉斯的一个名叫希帕索斯的学生，在研究1和2的比例中项时（若1：x=x ：2，那么x 叫1和2的比例中项），他怎么也想不出这个比例中项值．后来，他画了一个边长为1的正方形，设对角线为x ，于是由毕达哥拉斯定理x 2=12+12=2，他想x 代表对角线的长，而x 2=2，那么x 必定是确定的数，这时他又为自己提出了几个问题：（1）x 是整数吗？为什么不是？（2）x 可能是分数吗？是，能找出来吗？不是，能说出理由吗？亲爱的同学，你能帮他解答这些问题吗？【答案】（1）在1和2之间不存在另外的整数．（2）不是.【分析】（1）根据比例中项的定义，可知x 2=2，结合无理数的概念，就能得出x 是不是整数的结论．（2）根据分数的定义，任何分数的平方还是分数，即能得出结论．解：（1）不是，∵1<2<4，而x2=2∴1<x2<4，若x>0，1<x<2，∴在1和2之间不存在另外的整数.（2）不是，因为任何分数的平方不可能是整数.【点拨】本题主要考查无理数和勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．【举一反三】【变式1】已知长方体的体积是1620，它的长、宽、高的比是5：4：3，问长方体的长、宽、高是无理数吗？为什么？【答案】长、宽、高分别为15，12，9，不是无理数．分析：首先根据题中条件求出长方体的长、空、高的值，然后再根据无理数的定义判断这些值是否是无理数即可.解答：该长方体的长、宽、高不是无理数，理由如下：设该长方体的长、宽、高分别为5x，4x，3x．由题意可得：60x3=1620，解得x=3，∴该长方体的长、宽、高分别为15，12，9，∵15，12，9都是整数，属于有理数，不属于无理数，∴该长方体的长、宽、高不是无理数.【变式2】请你在方格纸上按照如下要求设计直角三角形：（1）使它的三边中有一边边长不是有理数；（2）使它的三边中有两边边长不是有理数；（3）使它的三边边长都不是有理数．【分析】（1）可使直角边长分别为2和3，斜边长即不是有理数；（2）可使一条直角边长为边长1与2的长方形的对角线，另一条直角边长为边长为2和4的长方形的对角线，由此得到图形；（3）可使两条直角边长均为边长为1和2的长方形的对角线，连接即可得到图形．解：（1）如图，（2）如图，（3）【点拨】此题考查作图能力，掌握知识点：无理数的定义，画无理数线段，直角三角形的定义，正确掌握无理数的确定方法是解题的关键．。

专题03 相交线与平行线中的M模型(含锯齿型)--2024年中考数学核心几何模型重点突破(解析版)

专题03相交线与平行线中的M 模型（含锯齿型）模型分析【模型1】M 型（1）如图，已知CD AB //，BF 与DF 相交于点F ⇒BFDD B ∠=∠+∠【证明】如图，延长BF 交CD 于点GCDAB // FGDB ∠=∠∴又DFGD BFD ∠+∠=∠ DB BFD ∠+∠=∠∴（2）如图，已知BFD D B ∠=∠+∠，BF 与DF 相交于点F ⇒CDAB //【证明】如图，延长BF 交CD 于点GBFDD B ∠=∠+∠ 又DFGD BFD ∠+∠=∠ FGDB ∠=∠∴CDAB //∴【M 型变式】如图，已知CD AB //，21P P 、是平行线内的两点⇒DB P DP P BP ∠+∠+︒=∠+∠1801221【证明】分别过21P P 、做AB M P //1，CDN P //2CDAB // CDN P M P AB //////21∴NDP D M BP B 21,∠=∠∠=∠∴DNP P NP P MP M BP P DP P BP 2122111221∠+∠+∠+∠=∠+∠∴CDN P M P AB //////21 NDP D M BP B P NP P MP 211221,,180∠=∠∠=∠︒=∠+∠∴DB P DP P BP ∠+∠+︒=∠+∠∴1801221【模型2】锯齿型如图，已知CD AB //，M、N 是平行线内的两点，点P 是线段CD 上一点，连接BM、MN、NP,⇒NPDM N B ∠+∠=∠+∠【证明】如图：分别过点M、N 做CDGH AB EF //,//CD AB // CD GH EF AB //////∴NPD GNP MNG FMN BMF B ∠=∠∠=∠∠=∠∴,,MNG B FMN BMF BMN ∠+∠=∠+∠=∠∴MNG B BMN ∠+∠=∠∴NPD MNG GNP MNG MNP ∠+∠=∠+∠=∠∴NPD MNG MNP ∠+∠=∠∴NPD MNP MNG ∠-∠=∠∴NPD MNP B BMN ∠-∠+∠=∠∴MNP B NPD BMN ∠+∠=∠+∠∴NPDM N B ∠+∠=∠+∠∴典例分析【例1】如图，∠BCD ＝70°，AB ∥DE ，则∠α与∠β满足（）A ．∠α+∠β＝110°B ．∠α+∠β＝70°C ．∠β﹣∠α＝70°D ．∠α+∠β＝90°【答案】B 【分析】过点C 作CF ∥AB ，根据平行线的性质得到∠BCF ＝∠α，∠DCF ＝∠β，由此即可解答．【解析】如图，过点C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠BCF＝∠α，∠DCF＝∠β，∵∠BCD＝70°，∴∠BCD=∠BCF+∠DCF＝∠α+∠β＝70°，∴∠α+∠β＝70°．故选B．【例2】如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x，y，z的关系式为______．【答案】y=90°-x+z．【分析】作CG//AB，DH//EF，由AB//EF，可得AB//CG//HD//EF，根据平行线性质可得∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z，由∠C＝90°，可得∠1+∠2=90°，由∠y=∠z+∠2，可证∠y=∠z+90°-∠x即可．【解析】解：作CG//AB，DH//EF，∵AB//EF，∴AB//CG//HD//EF，∴∠x=∠1，∠CDH=∠2，∠HDE=∠z∵∠BCD＝90°∴∠1+∠2=90°，∠y=∠CDH+∠HDE=∠z+∠2，∵∠2=90°-∠1=90°-∠x，∴∠y=∠z+90°-∠x．即y =90°-x +z ．【例3】问题情境：如图①，直线AB CD ∥，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上．(1)猜想：若1130∠=︒，2150∠=︒，试猜想P ∠=______°；(2)探究：在图①中探究1∠，2∠，P ∠之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若12325∠+∠=︒，75EPG ∠=︒，求PGF ∠的度数．【答案】(1)80︒(2)36012P ∠=︒-∠-∠；证明见详解(3)140︒【分析】（1）过点P 作MN AB ∥，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．【解析】(1)解：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN ∠+∠=︒，2180FPN ∠+∠=︒．∵1130∠=︒，2150∠=︒，∴12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒∴36013015080EPN FPN ∠+=︒-︒-︒=︒．∵P EPN FPN ∠=∠+∠，∴∠P =80°．故答案为：80︒；(2)解：36012P ∠=︒-∠-∠，理由如下：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB MN CD ∥∥．∴1180EPN ∠+∠=︒，2180FPN ∠+∠=︒．∴12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒∵EPN FPN P ∠+∠=∠，36012P ∠=︒-∠-∠．(3)如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥∵AB CD ∥，∴AB MN KR CD ∥∥∥．∴1180EPN ∠+∠=︒，180NPG PGR ∠+∠=︒，2180RGF ∠+∠=︒．∴12540EPN NPG PGR RGF ∠+∠+∠+∠++∠=︒∵75EPG EPN NPG ∠=∠+∠=︒，PGR RGF PGF ∠+∠=∠，12325∠+∠=︒，∴12540PGF EPG ∠+∠+∠+∠=︒∴54032575140PGF ∠=︒-︒-︒=︒故答案为：140︒．模型演练一、单选题1．如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（）（1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【解析】解：∵AB ∥CD ，∴∠A +∠C ＝180°，又∵∠A ＝110°，∴∠C ＝70°，∴∠AED ＝∠C +∠D ＝85°，故（2）正确，∵∠C +∠D +∠CED ＝180°，∴∠D +∠CED ＝110°，∴∠A ＝∠CED +∠D ，故（3）正确，∵点E 在AC 上的任意一点，∴AE 无法判断等于CE ，∠BED 无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B ．2．如图,AB //EF,∠D=90°,则α,β,γ的大小关系是（）A ．βαγ=+B ．90βαγ=+-︒C ．90βγα=+︒-D ．90βαγ=+︒-【答案】D 【分析】通过作辅助线,过点C 和点D 作CG //AB,DH //AB,可得CG //DH //AB,根据AB //EF,可得AB //EF //CG //DH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．【解析】解：如图,过点C 和点D 作CG //AB,DH //AB,∵CG //AB,DH //AB,∴CG //DH //AB,∵AB //EF,∴AB //EF //CG //DH,∵CG //AB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,∵CG //DH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HD //EF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D ．3．如图，已知直线a ∥b ，∠1=40°，∠2=60°．则∠3等于（）A ．100°B ．60°C ．40°D ．20°【答案】A【解析】解：过点C 作CD ∥a ，∵a ∥b ，∴CD ∥a ∥b ，∴∠ACD=∠1=40°，∠BCD=∠2=60°，∴∠3=∠ACD+∠BCD=100°．故选A．4．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG ＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF11n++∠MGC＝90°．正确的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．【解析】解：①过点F作FH∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2，∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°，即2∠1=180°-2∠2-∠CGF，∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF，∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)，∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)=360°-(180°-∠CGF)=180°+∠CGF，∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确；③∵∠MGF＝2∠CGF，∴∠MGC＝3∠CGF，∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)=3 90°＝270°；3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确；④∵∠MGF ＝n ∠CGF ，∴∠MGC ＝(n+1)∠CGF ，即∠CGF =11n +∠MGC ，∵∠AEF +∠CGF =90°，∴∠AEF 11n ++∠MGC ＝90°，故④正确．综上，①②③④都正确，共4个，故选：A ．二、填空题5．如图，AB//CD ，15,25A C ︒︒∠=∠=则M ∠=______【答案】40°【分析】首先过点M 作//MN AB ，由//AB CD ，即可得////MN AB CD ，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得M ∠的度数．【解析】解：过点M 作//MN AB ，//AB CD ，////MN AB CD ∴，115A ∴∠=∠=︒，225C ∠=∠=︒，12152540AMC ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故答案为：40︒．6．如图，AB CD ∥，EF 平分BED ∠，66DEF D ︒∠+∠=，28B D ∠-∠=︒，则BED ∠=__________．【答案】80︒【分析】过E 点作EM ∥AB ，根据平行线的性质可得∠BED =∠B +∠D ，利用角平分线的定义可求得∠B +3∠D =132°，结合∠B -∠D =28°即可求解．【解析】解：过E 点作EM ∥AB ，∴∠B =∠BEM ，∵AB ∥CD ，∴EM ∥CD ，∴∠MED =∠D ，∴∠BED =∠B +∠D ，∵EF 平分∠BED ，∴∠DEF =12∠BED ，∵∠DEF +∠D =66°，∴12∠BED +∠D =66°，∴∠BED +2∠D =132°，即∠B +3∠D =132°，∵∠B -∠D =28°，∴∠B =54°，∠D =26°，∴∠BED =80°．故答案为：80°．7．如图，已知AB //CD ，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4=540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n =__________°．【答案】()1801n -【分析】过点P 作平行于AB 的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和；分别过点P ，Q 作AB 的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角的和；同样作辅助线，运用（n -1）次平行线的性质，则n 个角的和是()1801n -︒．【解析】解：（1）如图，过点P 作一条直线PM 平行于AB ，∵AB ∥CD ，AB ∥PM∵AB ∥PM ∥CD ，∴∠1+∠APM =180°，∠MPC +∠3=180°，∴∠1+∠APC +∠3=360°；（2）如图，过点P 、Q 作PM 、QN 平行于AB ，∵AB ∥CD ，∵AB ∥PM ∥QN ∥CD ，∴∠1+∠APM =180°，∠MPQ +∠PQN =180°，∠NQC +∠4=180°；∴∠1+∠APQ +∠PQC +∠4=540°；根据上述规律，显然作（n -2）条辅助线，运用（n -1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n -1）．故答案为：()1801n -︒三、解答题8．（1）已知：如图（a ），直线DE AB ∥．求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠；（2）如图（b ），如果点C 在AB 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C 在AB 与ED 之外时，ABC CDE BCD ∠-∠=∠，见解析【分析】（1）由题意首先过点C 作CF ∥AB ，由直线AB ∥ED ，可得AB ∥CF ∥DE ，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC +∠CDE =∠BCD ；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC =∠BFD ，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC -∠CDE =∠BCD ．【解析】解：（1）证明：过点C 作CF ∥AB ，∵AB ∥ED ，∴AB ∥ED ∥CF ，∴∠BCF =∠ABC ，∠DCF =∠EDC ，∴∠ABC +∠CDE =∠BCD ；（2）结论：∠ABC -∠CDE =∠BCD ，证明：如图：∵AB ∥ED ，∴∠ABC =∠BFD ，在△DFC 中，∠BFD =∠BCD +∠CDE ，∴∠ABC =∠BCD +∠CDE ，∴∠ABC -∠CDE =∠BCD ．若点C 在直线AB 与DE 之间，猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ，∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.9．如图，//AB CD ，点E 在直线AB ，CD 内部，且AE CE ⊥．（1）如图1，连接AC ，若AE 平分BAC ∠，求证：CE 平分ACD ∠；（2）如图2，点M 在线段AE 上，①若MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 移动时，BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若1MCE ECD n∠=（n 为正整数），当直角顶点E 移动时，BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系?并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE+12∠MCD=90°，理由见解析；②∠BAE+1nn+∠MCD=90°，理由见解析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC+∠DCA=180°，再根据AE CE⊥可得∠EAC+∠ECA=90°，根据AE平分∠BAC可得∠BAE=∠EAC,等量代换可得∠ECD+∠EAC=90°，继而求得∠DCE=∠ECA；（2）①过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E作EF∥AB，先利用平行线的传递性得出EF∥AB∥CD，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【解析】（1）解：因为//AB CD，所以∠BAC+∠DCA=180°，因为AE CE⊥，所以∠EAC+∠ECA=90°，因为AE平分∠BAC，所以∠BAE=∠EAC，所以∠BAE+∠DCE=90°，所以∠EAC+∠DCE=90°，所以∠DCE=∠ECA，所以CE平分∠ACD；（2）①∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+12∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE +12∠MCD =90°；②∠BAE 与∠MCD 存在确定的数量关系：∠BAE +1n n +∠MCD =90°，理由如下：过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ∥CD ，∴∠BAE =∠AEF ，∠FEC =∠DCE ，∵∠E =90°，∴∠BAE +∠ECD =90°，∵∠MCE =1n ∠ECD ，∴∠BAE +1n n +∠MCD =90°.10．已知直线l 1//l 2，A 是l 1上的一点，B 是l 2上的一点，直线l 3和直线l 1，l 2交于C 和D ，直线CD 上有一点P ．（1）如果P 点在C ，D 之间运动时，问∠PAC ，∠APB ，∠PBD 有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P 在C ，D 两点的外侧运动时（P 点与C ，D 不重合），试探索∠PAC ，∠APB ，∠PBD 之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】（1）PAC PBD APB ∠+∠=∠；（2）当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1//PE l ，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12////PE l l ，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．【解析】解：（1）PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1//PE l ，如图1所示．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠ ，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）结论：当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1//PE l ．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠-∠ ，PBD PAC APB ∴∠-∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1//PE l ．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠-∠ ，PAC PBD APB ∴∠-∠=∠．11．如图1，//AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是：如图2，过P 作//PE AB ，通过平行线性质可求APC ∠的度数．（1）请你按小明的思路，写出APC ∠度数的求解过程；（2）如图3，//AB CD ，点P 在直线BD 上运动，记PAB α∠=∠，PCD β∠=∠．①当点P 在线段BD 上运动时，则APC ∠与α∠、β∠之间有何数量关系？请说明理由；②若点P 不在线段BD 上运动时，请直接写出APC ∠与α∠、β∠之间的数量关系．【答案】（1）见解析；（2）①APC αβ∠=∠+∠，见解析；②APC αβ∠=∠-∠【分析】（1）过P 作//PE AB ，利用平行线的性质即可得出答案；（2）①过P 作//PE AB ，再利用平行线的性质即可得出答案；②分P 在BD 延长线上和P 在DB 延长线上两种情况进行讨论，结合平行线的性质即可得出答案【解析】解：（1）如图2，过P 作//PE AB//AB CD Q ，////PE AB CD ∴，180PAB APE ∴∠+∠=︒，180PCD CPE ∠+∠=︒，130PAB ∠=︒ ，120PCD ∠=︒，50APE ∴∠=︒，60CPE ∠=︒，110APC APE CPE ∴∠=∠+∠=︒．（2）①、APC αβ∠=∠+∠，理由：如图3，过P 作//PE AB ，//AB CD Q ，////AB PE CD ∴，APE α∴∠=∠，CPE β∠=∠，APC APE CPE αβ∴∠=∠+∠=∠+∠；②、APC αβ∠=∠-∠．如备用图1，当P 在BD 延长线上时，APC αβ∠=∠-∠；理由：如备用图1，过P 作PG//AB ，//AB CD Q ，////AB PG CD ∴，APG α∴∠=∠，CPG β∠=∠，APC APG CPG αβ∴∠=∠-∠=∠-∠；如备用图2所示，当P 在DB 延长线上时，APC βα∠=∠-∠；理由：如备用图2，过P 作PG//AB ，//AB CD Q ，////AB PG CD ∴，APG α∴∠=∠，CPG β∠=∠，APC CPG APG βα∴∠=∠-∠=∠-∠；综上所述，APC αβ∠=∠-∠．12．直线AB ∥CD ，M 为AB 上一定点，N 为CD 上一定点，E 为直线AB 和直线CD 之间的一点．（1）当点E 在MN 上时，如图1所示，请直接写出∠MEN ，∠CNE ，∠AME 之间的数量关系；（2）当点E 在MN 左侧时，如图2所示，试猜想∠MEN ，∠CNE ，∠AME 之间的数量关系，并证明；（3）当点E 在MN 右侧时，如图3所示，试猜想∠MEN ，∠CNE ，∠AME 之间的数量关系，并证明．【答案】（1）∠MEN ＝∠CNE +∠AME ；（2）∠MEN ＝∠CNE +∠AME ，证明见解析；（3）∠MEN +∠CNE +∠AME ＝360°，证明见解析．【分析】（1）由平行线的性质及平角的定义即可得解；（2）过点E 作直线EF ∥AB ，则EF ∥CD ，由平行线的性质即可得解；（3）过点E 作直线EG ∥AB ，则EG ∥CD ，由平行线的性质即可得解．【解析】解：（1）如图1，∠MEN ＝∠CNE +∠AME ，证明如下：∵AB ∥CD ，∴∠CNE +∠AME ＝180°，∵∠MEN ＝180°，∴∠MEN ＝∠CNE +∠AME ；（2）如图2，∠MEN ＝∠CNE +∠AME ，证明如下：过点E 作直线EF ∥AB ，则EF ∥CD ，∴∠AME ＝∠MEF ，∠CNE ＝∠NEF ，∵∠MEN ＝∠MEF +∠NEF ，∴∠MEN ＝∠CNE +∠AME ；（3）如图3，∠MEN +∠CNE +∠AME ＝360°，证明如下：过点E 作直线EG ∥AB ，则EG ∥CD ，∴∠AME +∠MEG ＝180°，∠CNE +∠NEG ＝180°，∴∠AME +∠MEG +∠CNE +∠NEG ＝360°，∵∠MEG +∠NEG ＝∠MEN ，∴∠MEN +∠CNE +∠AME ＝360°．13．如图1，已知AB ∥CD ，∠B ＝30°，∠D ＝120°；(1)若∠E ＝60°，则∠F ＝；(2)请探索∠E 与∠F 之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP 平分∠BEF ，FG 平分∠EFD ，反向延长FG 交EP 于点P ，求∠P 的度数．【答案】(1)90︒(2)30F E ∠=∠+︒，理由见解析(3)15︒【分析】（1）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，根据平行线的性质得到30B BEM ∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，180D DFN ∠+∠=︒，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到30B BEM ∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，由//AB CD ，//AB FN ，得到//CD FN ，根据平行线的性质得到180D DFN ∠+∠=︒，于是得到结论；（3）如图2，过点F 作//FH EP ，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒，根据角平分线的定义得到12PEF BEF x ∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒，根据平行线的性质得到PEF EFH x ∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，于是得到结论．【解析】(1)解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒ ，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN∠=∠+︒，60EFD MEF ∴∠=∠+︒3090EFD BEF ∴∠=∠+︒=︒；故答案为：90︒；(2)解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒ ，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN∠=∠+︒，60EFD MEF ∴∠=∠+︒，30EFD BEF ∴∠=∠+︒；(3)解：如图2，过点F 作//FH EP ，由（2）知，30EFD BEF ∠=∠+︒，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒，EP 平分BEF ∠，GF 平分EFD ∠，12PEF BEF x ∴∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒，//FH EP ，PEF EFH x ∴∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，15HFG EFG EFH ∠=∠-∠=︒ ，15P ∴∠=︒．14．如图1，点A 、B 分别在直线GH 、MN 上，GAC NBD ∠=∠，C D ∠=∠.（1）求证：//GH MN ；（提示：可延长AC 交MN 于点P 进行证明）（2）如图2，AE 平分GAC ∠，DE 平分BDC ∠，若AED GAC ∠=∠，求GAC ∠与ACD ∠之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，BF 平分DBM ∠，点K 在射线BF 上，13KAG GAC ∠=∠，若AKB ACD ∠=∠，直接写出GAC ∠的度数．【答案】（1）见解析；（2）3ACD GAC ∠=∠，见解析；（3）54019⎛⎫ ⎪⎝⎭°或54023︒⎛⎫ ⎪⎝⎭．【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到AQD E EAQ ∠=∠+∠，结合平行线的性质得到BDQ E EAQ ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义证得2CDB E GAC ∠=∠+∠，结合已知即可得出结论；（3）分当K 在直线GH 下方和当K 在直线GH 上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．【解析】解：（1）如图1，延长AC 交MN 于点P ，∵ACD C ∠=∠，∴//AP BD ，∴NBD NPA ∠=∠，∵GAC NBD ∠=∠，∴GAC NPA ∠=∠，∴//GH MN ；（2）延长AC 交MN 于点P ，交DE 于点Q ，∵180E EAQ AQE ∠+∠+∠=°，180AQE AQD ∠+∠=°，∴AQD E EAQ ∠=∠+∠，∵//AP BD ，∴AQD BDQ ∠=∠，∴BDQ E EAQ ∠=∠+∠，∵AE 平分GAC ∠，DE 平分BDC ∠，∴2GAC EAQ ∠=∠，2CDB BDQ ∠=∠，∴2CDB E GAC ∠=∠+∠，∵AED GAC ∠=∠，ACD CDB ∠=∠，∴23ACD GAC GAC GAC ∠=∠+∠=∠；（3）当K 在直线GH 下方时，如图，设射线BF 交GH 于I ，∵//GH MN ，∴AIB FBM ∠=∠，∵BF 平分MBD ∠，∴1(180)2DBF FBM DBN ∠=∠=-∠°，∴AIB DBF ∠=∠，∵AIB KAG AKB ∠+∠=∠，AKB ACD ∠=∠，∴ACD DBF KAG ∠=∠+∠，∵13KAG GAC ∠=∠，GAC NBD ∠=∠，∴11(180)332GAC DBN ACD GAC ∠+-∠=∠=∠°，即1190332GAC GAC GAC ∠+-∠=∠°，解得：54019GAC ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭ ．当K 在直线GH 上方时，如图，同理可证得1(180)2AIB DBN AKB KAG ∠=-∠=∠+∠°，则有113(180)32GAC GAC GAC ∠+∠=-∠ ，解得：54023GAC ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭ ．综上，故答案为54019⎛⎫ ⎪⎝⎭°或54023︒⎛⎫ ⎪⎝⎭．15．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数；（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．【答案】（1）65°（2）3606α︒-︒（3）2n ∠M +∠BED =360°【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义可求∠M 的度数；（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；（3）先由已知得到ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．【解析】解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，∵AB CD ∥，∴EG AB FH CD ∥∥∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒，∴360ABE BEG GED CDE ∠+∠+∠+∠=︒，∵100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，∴260ABE CDE ∠+∠=︒，∵ABE ∠的角平分线和CDE ∠的角平分线相交于F ，∴130ABF CDF ∠+∠=︒，∴130BFD BFH DFH ∠=∠+∠=︒，∵BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线，∴12MBF ABF ∠=∠，12MDF CDF ∠=∠，∴65MBF MDF ∠+∠=︒，∴1306565BMD ∠=︒-︒=︒；（2）如图2，∵13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠，∴3ABF ABM ∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴6ABE ABM ∠=∠，6CDE CDM ∠=∠，∴66360ABM CDM BED ∠+∠+∠=︒，∵BMD ABM CDM ∠=∠+∠，∴6360BMD BED ∠+∠=︒，∴3606BMD α︒-︒∠=；（3）∵∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n ∠CDF ，∴ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴2ABE n ABM ∠=∠，2CDE n CDM ∠=∠，∴22360n ABM n CDM BED ∠+∠+∠=︒，∵M ABM CDM ∠=∠+∠，∴2360n M BED ∠+∠=︒．。

模型专项突破练 2.1.3

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模型专项突破练三板块模型(25分钟50分)1. (12分)(2017·郴州二模)如图所示,平板小车静止于水平地面上,在其最右端放一可视为质点的小木块,已知木块的质量m=1kg,小车的质量M=4kg,上表面与木块间的动摩擦因数μ=0.3,地面给小车的阻力与地面所受正压力成正比,比值为λ=0.2。

现用向右的水平恒力F=30N拉平板小车,该水平恒力F作用时间t1=2s,g取10m/s2,求:(1)水平恒力F作用过程中,木块和小车的加速度各为多大。

(2)水平恒力F撤去后,木块再经过一段时间后恰好停在小车左端,则小车长L为多少。

(3)小车从开始运动到最终停下来运动的距离为多少。

【解析】(1)水平恒力F作用的过程中,木块的加速度a1=μg=3m/s2,小车的加速度a2==m/s2。

(2)t 1=2s内,木块的位移x1=a1=6m。

小车的位移x 2=a2=8.5m。

t1=2s末,木块的速度v1=a1t1=6m/s,小车的速度v2=a2t1=8.5m/s。

水平恒力F撤去后,木块的加速度a1不变,小车的加速度a2′==m/s2,方向向左。

木块停在小车左端时,木块与小车速度相等,v=v1+a1t2=v2-a2′t2,得t2=0.4s,v=7.2m/s。

恒力F撤去后,木块的位移x 1′=v1t2+a1=2.64m。

恒力F撤去后,小车的位移x 2′=v2t2-a′2=3.14m。

小车长度L=(x2-x1)+(x2′-x1′)=3m。

(3)达到共同速度后,二者一起做匀减速运动,有a=λg=2m/s2。

共同做匀减速直线运动的位移x3==12.96m,小车运动的总位移x=x2+x2′+x3=24.6m。

答案:(1)3m/s2m/s2(2)3m(3)24.6m2. (12分)如图所示,在光滑的水平面上有一质量为M=0.2kg足够长的木板,在其左端放置一质量m=0.1kg,电荷量q=+0.2C的滑块(可视为质点,运动过程电量保持不变),滑块与木板之间的动摩擦因数μ=0.5,开始时系统处于静止状态。

2020高考地理之解题技巧专项突破专题2-1 地理过程类(解析版)

专题2.1 地理过程类【设问形式】“说明三角洲位置变化的主要过程”、“说明天气系统的影响过程”等。

【考查方式】地理过程是指地理事物和现象发生、发展、演变的过程，强调地理事物和现象的时间变化特征。

过程性分析型综合题考查方向主要为:①有限时段内的依时行为。

在一定的时间间隔内，尽可能详尽地记录地理现象的依时行为，从中发现地理事实变化规律，以便推测该时段之前或之后的变化状况；②对未来可能发生的地理行为进行模拟和预测；③研究地理过程与地理分布之间的耦合关系，从而把地理学的规律统一于时间与空间的共同基础之上。

一般以区域地理环境特征图文材料为载体，根据材料和地理原理分析得出主要地理过程。

1.自然地理部分（1）大气受热过程：主要包括太阳辐射、地面辐射、大气逆辐射等大气对太阳辐射的削弱作用和对地面的保温作用等。

（2）热力环流的形成过程：主要包括近地面冷热不均引起的大气垂直运动、同一水平面上气压高低的变化、空气的水平运动、等压面的弯曲变化及热力环流的典型案例（如山谷风、城市风、海陆风等）的形成过程。

（3）三圈环流的形成过程：主要包括全球主要气压带、风带的形成过程及低纬环流圈、中纬环流圈、高纬环流圈的形成过程等。

（4）常见的天气系统或气象灾害的形成过程：主要包括气旋（或低压）、反气旋（或高压）、冷锋、暖锋、台风、寒潮、洪涝、干旱及旱灾、锋面气旋等常见天气系统或气象灾害的形成过程。

（5）地壳内部物质的循环过程：主要包括岩浆转化为岩浆岩、地表岩石转化为沉积岩、所有岩石转化为变质岩、所有岩石转化为岩浆等。

（6）外力作用对地表形态的影响过程：主要包括风、海浪、流水、冰川等外力作用对地表形态的影响过程及形成的地貌（如沙丘、冲积平原、山麓冲积扇、河口三角洲、黄土高原千沟万壑的地表形态、地上河等）的过程。

（7）水循环的过程：主要包括水循环（如海陆间水循环、海上内循环、陆上内循环等）中的蒸发、水汽输送、降水等环节的过程，河流的春汛、夏汛、凌汛的形成过程等。

专题01平行线(四种模型)专项训练(解析版)

专题01平行线（四种模型）专项训练题型一：M 模型（锯齿形）题型二：笔尖型题型三：“鸡翅”型题型四：“骨折”型模型一：M 模型如图，若 AB // CD ，你能确定∠B 、∠D 与∠BED 的大小关系吗？解：∠B ＋∠D ＝∠DEB ．理由如下：过点E 作 EF // AB又 ∵ AB//CD ．∴ EF//CD ．∴ ∠D =∠DEF ．∠B=∠BEF ．∴∠B ＋∠D ＝∠BEF ＋∠DEF ＝∠DEB即∠B ＋∠D ＝∠DEB ．一．选择题（共3小题）1．（2023春•临淄区期末）如图，//AB EF ，90C Ð=°，则a 、b 和g 的关系是( )A ．b a g =+B ．180a b g ++=°C ．90a b g +-=°D ．180b g a +-=°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC 交AB 与G ，延长CD 交EF 于H ．在直角BGC D 中，190a Ð=°-；EHD D 中，2b g Ð=-，//AB EF Q ，12\Ð=Ð，90a b g \°-=-，即90a b g +-=°．故选：C ．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．（2023春•天宁区校级期中）如图，//AB CD ，EMNF 是直线AB 、CD 间的一条折线．若140Ð=°，260Ð=°，370Ð=°，则4Ð的度数为( )A ．55°B ．50°C ．40°D ．30°【分析】过M 作//OM AB ，//PN AB ，根据平行线的性质得到1EMO Ð=Ð，4PNF Ð=Ð，OMN PNM Ð=Ð，由角的和差得到(1)(4)14EMN MNF MNP MNP Ð-Ð=Ð+Ð-Ð+Ð=Ð-Ð，代入数据即可得到结论．【解答】解：如图2，过M 作//OM AB ，//PN AB ，//AB CD Q ，//////AB OM PN CD \，1EMO \Ð=Ð，4PNF Ð=Ð，OMN PNM Ð=Ð，(1)(4)14EMN MNF MNP MNP \Ð-Ð=Ð+Ð-Ð+Ð=Ð-Ð，6070404\°-°=°-Ð，450\Ð=°．故选：B ．【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．3．（2022春•海安市校级月考）如图，//AB EF ，90C Ð=°，则a 、b 、g 的关系为( )A ．b a g =+B ．90a b g +-=°C ．180a b g ++=°D ．90b g a +-=°【分析】此题可以构造辅助线，利用三角形的外角的性质以及平行线的性质建立角之间的关系．【解答】解：延长DC 交AB 于G ，延长CD 交EF 于H ．直角BGC D 中，190a Ð=°-；EHD D 中，2b g Ð=-，//AB EF Q ，12\Ð=Ð，90a b g \°-=-，即90a b g +-=°．故选：B ．【点评】此题主要考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线，构造了三角形以及由平行线构成的内错角．二．解答题（共6小题）4．（2023春•仪征市期末）如图1，已知线段AB 、线段CD 被直线l 所截于点A 、点C ，150Ð=°，2Ð的度数是1Ð的3倍少20°．（1）求证：//AB CD ；（2）如图2，连接BD ，AB 沿BD 方向平移得到EF ，点F 在BD 上，点G 是BD 上的一点，连接AG 、EG ，30BAG Ð=°，20FEG Ð=°，求AGE Ð的度数；（3）如图3，点M 是线段BD 上一点，点N 是射线CD 上一点，CAM Ð度数为k ，AMN Ð度数为m ，MND Ð度数为n ，请直接写出k 、m 、n 之间的数量关系．（本题的角均小于180)°【分析】（1）根据已知先求得1Ð的邻补角BAC Ð的度数，得到2BAC Ð=Ð即可得结论；（2）过G 作//GQ AB ，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可；（3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可．【解答】证明：（1）150Ð=°Q ，2Ð的度数是1Ð的3倍少20°，23120130\Ð=Ð-°=°，180250ACD \Ð=°-Ð=°，12\Ð=Ð，//AB CD \；（2）过G 作//GQ AB ，30AGQ BAG \Ð=Ð=°，//AB EF Q ，//GQ EF \，20GEF EGQ \Ð=Ð=°，50AGE AGQ EGQ \Ð=Ð+Ð=°；（3）//AB CD Q ，与（2）同理可得：AMN MAB MND Ð=Ð+Ð，AMN m Ð=Q ，MND n Ð=，m n MAB \=+Ð，150Ð=°Q ，CAM k Ð=，180118050BAM CAM k \Ð=°-Ð-Ð=°-°-，130m n k \=+°-，即130m n k -+=°．【点评】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，理解题意是解决问题的关键．5．（2022春•赣榆区期末）已知：如图，//AB CD ，BFE FEC Ð=Ð．求证：ABF DCE Ð=Ð．（1）下面是小明同学的推理过程，请按先后顺序填写空格：解：连接BC ．BFE FEC Ð=ÐQ （已知），\　BF　// （内错角相等，两直线平行）．\Ð=Ð )，FBC ECB(AB CDQ（已知），//\Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）ABC DCB\Ð-Ð=Ð- ( )，ABC FBC DCB即ABF DCEÐ=Ð．（2）试用其他方法进行推理，并书写证明过程．【分析】（1）连接BC，根据已知，得出//AB CDÐ=Ð，再根据//BF CE，根据平行线的性质得到FBC ECB得出ABC DCBÐ-Ð=Ð-Ð即可得出答案；Ð=Ð，进而得出ABC FBC DCB ECBÐ=Ð，再利用等量代换可得H DCE （2）延长BF交DC的延长线于H，根据平行线的性质可得ABF HÐ=Ð，进而可判定//Ð=Ð．BH CE，然后可得BFE FEC【解答】（1）解：连接BC．BFE FECQ（已知），Ð=ÐBF CE\（内错角相等，两直线平行）．//FBC ECB\Ð=Ð两直线平行，内错角相等），(Q（已知），//AB CD\Ð=Ð（两直线平行，内错角相等）ABC DCBABC FBC DCB ECB\Ð-Ð=Ð-Ð等式的基本性质），(即ABF DCEÐ=Ð．故答案为：BF，CE；两直线平行，内错角相等；ECBÐ；等式的基本性质．（2）证明：延长BF交DC的延长线于H，Q，AB CD//\Ð=Ð，ABF HABF DCE Ð=ÐQ ．H DCE \Ð=Ð，//BH CE \，BFE FEC \Ð=Ð．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．6．（2023春•天宁区校级期中）已知：如图，180ABE CEB Ð+Ð=°，12Ð=Ð，求证：M N Ð=Ð．【分析】首先证明//AB CD ，再根据平行线的性质得出ABE DEB Ð=Ð，然后结合已知条件可得到MBE NEB Ð=Ð，进而可判定//BM EN ，据此可得出结论．【解答】证明：180ABE CEB Ð+Ð=°Q ，//AB CD \，ABE DEB \Ð=Ð，即：12MBE NEB Ð+Ð=Ð+Ð，又12Ð=ÐQ ，MBE NEB \Ð=Ð，//BM EN \，M N \Ð=Ð．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质：两直线平行Û同位角相等，两直线平行Û内错角相等，两直线平行Û同旁内角互补．7．（2023春•崇川区期中）如图1，已知直线EF 与直线AB 交于点E ，与直线CD 交于点F ，EM 平分AEF Ð交直线CD 于点M ，且FEM FME Ð=Ð．（1）试判断直线AB 与CD 的位置关系，并说明理由；（2）点G 是射线MD 上的一个动点（不与点M ，F 重合），EH 平分FEG Ð交直线CD 于点H ，过点H 作//HN EM 交直线AB 于点N ．设EHN a Ð=，EGF b Ð=．①如图2，当点G 在点F 的右侧，且50a =°时，求b 的值；②当点G 在运动过程中，a 和b 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．【分析】（1）由EM 平分AEF Ð，得到AEM FEM Ð=Ð，又FEM FME Ð=Ð，所以AEM FME Ð=Ð，证得//AB CD ．（2）①由EH 平分FEG Ð，EM 平分AFE Ð，得到12HEM HEF FEM AEG Ð=Ð+Ð=Ð，由//HN EM ，//AB CD 可得，HEM EHN a Ð=Ð=，GEB EGF b =Ð=，即可得到结果．②当点G 在点F 的左侧时，由EM 平分AEF Ð，EH 平分FEH Ð，得到12HEM HEF FEM AEG Ð=Ð+Ð=Ð，由//AB CD ，//HN EM ，得到AEG b Ð=，HEM a Ð=，从而得到结果．【解答】解（1）如图1，//AB CD ，理由如下：EM Q 平分AEF Ð，AEM FEM \Ð=Ð，FEM FME Ð=ÐQ ，AEM FME \Ð=Ð，//AB CD \．（2）①如图2，EH Q 平分FEG Ð，12HEF FEG \Ð=Ð，EM Q 平分AFE Ð，12FEM AEF \Ð=Ð，12HEM HEF FEM AEG \Ð=Ð+Ð=Ð，//HN EM Q ，HEM EHN a \Ð=Ð=，//AB CD Q ，GEB EGF b \Ð=Ð=，1(180)2a b \=°-，180218025080b a \=°-=°-´°=°．②a 和b 之间的数量关系为2b a =或1802b a =°-．理由如下：当点G 在点F 的右侧时，由①得1802b a =°-，当点G 在点F 的左侧时，如图3，EM Q 平分AEF Ð，2AEF FEM \Ð=Ð，EH Q 平分FEH Ð，2GEF HEF \Ð=Ð，222AEG AEF GEF FEM HEF HEM \Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð，//AB CD Q ，AEG b \Ð=，//HN EM Q ，HEM a \Ð=，2b a \=，综上得，a 和b 之间的数量关系为2b a =或1802b a =°-．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题关键．8．（2023春•海安市期末）如图，在ABC D 中，ACB BAC Ð=Ð．过点A 作//MN BC ．（1）判断AC 是否平分BAN Ð，并说明理由；（2）如图2，点D 是射线CB 上一动点（不与点B ，C 重合），AE 平分BAD Ð交射线BC 于E ，过点E 作EF AC ^于F ．①当点D 在点B 左侧时，若20AEF Ð=°，求ADB Ð的度数；②点D 在运动过程中，AEF Ð和ADB Ð之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．【分析】（1）根据//MN BC 得ACB CAN Ð=Ð，结合已知条件得证；（2）①在直角三角形AFE 中，20AEF Ð=°，则9070EAF EAF Ð=°-Ð=°，根据19020702EAF BAC BAE DAE CAN DAN Ð=Ð+Ð=°-°=°=Ð+Ð=Ð，从而求出140DAN Ð=°，即可求出ADB Ð；②分两种情况进行讨论，当点D 在点B 左侧时和点D 在点B 右侧时，数形结合即可解答．【解答】解：（1）AC 平分BAN Ð，//MN BC Q ，ACB CAN \Ð=Ð，ACB BAC Ð=ÐQ ．BAC CAN \Ð=Ð，AC \平分BAN Ð，（2）EF AC ^Q ，9070EAF EAF \Ð=°-Ð=°，AC Q 、AE 是角平分线，DAE BAE \Ð=Ð，BAC CAN Ð=Ð，19020702EAF BAC BAE DAE CAN DAN \Ð=Ð+Ð=°-°=°=Ð+Ð=Ð，140DAN \Ð=°，40ADB \Ð=°．②设AEF a Ð=，EF AC ^Q ，90EAF a \Ð=°-，如图2，当点D 在点B 左侧时，由（1）知12NAC BAC BAN Ð=Ð=Ð，AE Q 平分BAD Ð交射线BC 于E ，12DAE BAE BAD \Ð=Ð=Ð，又1111()902222EAF BAE BAC BAD BAN BAD BAN DAN a Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°-Q ，1802DAN a \Ð=°-，//MN BC Q ，180ADB DAN \Ð+Ð=°，180180(1802)2ADB DAN a a \Ð=°-Ð=°-°-=，2ADB AEF \Ð=Ð；当点D 在点B 右侧时，如图：AC Q 、AE 是角平分线，12DAE BAE BAD \Ð=Ð=Ð，12BAC CAN BAN Ð=Ð=Ð，1111()902222EAF BAC BAE BAN BAD BAN BAD DAN a Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð-Ð=Ð=°-Q ，1802DAN a \Ð=°-，//MN BC Q ，1802ADB DAN a \Ð=Ð=°-，1802ADB AEF \Ð=°-Ð．综上，2ADB AEF Ð=Ð或1802AEF °-Ð．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用，解决问题的关键是掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角，利用角的和差关系进行推理论证．9．（2023春•姜堰区期末）已知12//l l ，李想同学将ABC D 放置在这两条平行线上展开探究，其中ABC D 三边与两条平行线分别交于点D 、E 、F 、G ．（1）【特例探究】如图1，90C Ð=°．①CED CGF Ð+Ð=　270　度；②若CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点P ，则EPG Ð= 度；（2）【一般探索】如图2，C a Ð=，EPG b Ð=．①若13DEP CED Ð=Ð，13FGP CGF Ð=Ð，求a 与b 的关系；②若1DEP CED n Ð=Ð，1(2FGP CGF n nÐ=Ð…且n 为整数），直接写出a 与b 的关系；（3）【拓展应用】如图3，CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点1P ，1PED Ð与1PGF Ð的角平分线相交于点2P ，2P ED Ð与2P GF Ð的角平分线相交于点3P ；¼，以此类推，则2023360C EP G°-ÐÐ的值是多少？（直接写出结果）【分析】（1）①作1//CM l 根据平行线的性质可得180CED ECM Ð+Ð=°，_180CGF GCM Ð+Ð=°两式相加即可得360CED CGF C Ð+Ð=°-Ð；②由①知：360CED CGF C Ð+Ð=°-Ð，再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得：1()2EPG CED CGF Ð=Ð+Ð化简整理即可；（2）①13DEP CED Ð=Ð，13FGP CGF Ð=Ð时，结合（1）中的结论和平行线的性质，可得a 与b 之间的关系；②类似于前面的证明，结合平行线的性质和角平分线的定义即可得结论；（3）根据角平分线的定义和平行线的性质找到规律即可得结论．【解答】解：（1）①作1//CM l，180CED ECM \Ð+Ð=°，2l Q //1l ，2//CM l \，_180CGF GCM \Ð+Ð=°，360CED ECM CGF GCM \Ð+Ð+Ð+Ð=°，90ECG ECM CGF Ð=Ð+Ð=°Q ，_90360CED CGF \Ð+Ð+°=°，270CED CGF \Ð+Ð=°，故答案为270°；②CED ÐQ 与CGF Ð的角平分线相交于点P ，2CED CEP \Ð=Ð，2CGF CGP Ð=Ð，由①知：270CED CGF Ð+Ð=°，22270CEP CGP \Ð+Ð=°，135CEP CGP \Ð+Ð=°，360CEP CGP EPG ECG Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，135EPF \Ð=°；（2）21//l l Q ，ECG a Ð=，由（1）①知360CED CGF ECF Ð+Ð+Ð=°，360360CED CGF ECG a \Ð+Ð=°-Ð=°-，由（1）②知若13DEP CED Ð=Ð，13FGP CGF Ð=Ð，\23CED CEP Ð=Ð，23CGF CGP Ð=Ð，2222()(360)3333CEP CGP CED CGF CED CGF a \Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°-，360CEP CGP EPG ECG Ð+Ð+Ð+Ð=°Q ，\2(360)3603a b a °-++=°，整理得：3360a b +=°；②若1DEP CED n Ð=Ð，1(2FGP CGF n nÐ=Ð…且n 为整数）时，由①同理可得a 与b 的关系：360n a b +=°；（3）通过前面的证明易得360360CED CGF C a Ð+Ð=°-Ð=°-，当CED Ð与CGF Ð的角平分线相交于点1P ，1PED Ð与1PGF Ð的角平分线相交于点2P ，2P ED Ð与2P GF Ð的角平分线相交于点3P ；¼，以此类推，则111111()()(360)222EPG CED CGF CED CGF a Ð=Ð+ÐÐ+Ð=°-，222111()())(360)422EP G CED CGF CED CGF a Ð=Ð+Ð=Ð+Ð==°-，333111()())(360)822EP G CED CGF CED CGF a Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°-，444111()())(360)1622EP G CED CGF CED CGF a Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=°-，551(360)2EP G a Ð=°-，.....．1(360)2n nEP G a Ð=°-，当2023n =时，202320231(360)2EP G a Ð=°-，\20232023202336036021(360)2C EP G a a °-Ð°-==Ð°-，【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定理，灵活运用所学知识找到规律是解决问题的关键．模型二、笔尖型如图，AB // CD ，探索∠B 、∠D 与∠DEB 的大小关系？解：∠B ＋∠D ＋∠DEB ＝360°．理由如下：过点E 作 EF // AB．又∵AB//CD．∴EF//CD．∴∠B+∠BEF＝180°．∠D+∠DEF＝180°．∴∠B＋∠D+∠DEB＝∠B＋∠D+∠BEF＋∠DEF ＝360°．即∠B＋∠D＋∠DEB＝360°．一．选择题（共3小题）1．（2022春•海陵区期末）如图//a b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么Ð+Ð+Ð= )123(A．180°B．270°C．360°D．540°【分析】首先过点P作//PA a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补进行做题．【解答】解：过点P作//a b PA，PA a，则////Ð+Ð=°，1180NPA\Ð+Ð=°，3180MPA\Ð+Ð+Ð=°．123360故选：C．【点评】两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的．2．（2023春•沭阳县期末）如图，把一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果137Ð=°，那么2Ð的度数是( )A．30°B．25°C．23°D．37°【分析】根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，进而可以得出答案．【解答】解：如图，Q直尺的两条边平行，137Ð=°，\Ð=Ð=°，1337Q直角三角板的一个角为30°，\Ð+Ð=°，2360\Ð=°-°=°，2603723故选：C．【点评】本题主要考查了平行线的性质，注意隐含条件，直尺的两条对边平行和直角三角板的一个锐角是30°是解题的关键．3．（2023春•东台市月考）某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知AB 垂直于水平地面AE．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高，CD段则一直保持水平状态上升（即CD与AE始终平行），在该运动过程中ABC BCDÐ+Ð的度数始终等于( )度A．360B．180C．250D．270【分析】过点B作//Ð+Ð=°，从而可C CBGBG AE，利用平行线的性质可得180BAE ABGÐ+Ð=°，180得360BAEÐ=°，最后进行计算即可解答．Ð+Ð+Ð=°，然后根据垂直定义可得90BAE ABC BCD【解答】解：过点B作//BG AE，BAE ABG\Ð+Ð=°，180AE CDQ，//\，BG CD//\Ð+Ð=°，180C CBG\Ð+Ð+Ð+Ð=°，BAE ABG CBG C360BAE ABC BCD\Ð+Ð+Ð=°，360^Q，BA AE\Ð=°，90BAE\Ð+Ð=°-Ð=°，ABC BCD BAE360270故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握铅笔模型是解题的关键．二．填空题（共3小题）4．（2022春•崇川区校级月考）如图，直线//Ð=°，则3Ð=　78　度，Ð=°，250a b，128Ð+Ð+Ð= 度．345【分析】过3Ð的顶点作已知直线的平行线，充分运用平行线的性质，不难发现：312Ð=Ð+Ð，Ð+Ð+Ð=°345360【解答】解：如图所示：过3Ð的顶点作//c a，a bQ，//\，a b c////Ð=Ð，16\Ð=Ð，72又367Ð=Ð+Ð，\Ð=Ð+Ð=°；31278又4675180Ð+Ð=Ð+Ð=°\Ð+Ð+Ð=°．345360【点评】注意此类题中常见的辅助线：构造已知直线的平行线．根据平行线的性质发现并证明：312Ð=Ð+Ð；345360Ð+Ð+Ð=°．5．（2022春•淮安期末）如图，//Ð和AB CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是AEGÐ=　125　°．GÐ=°，则HCFGÐ的角平分线．若110【分析】过点G作//CD GM，Ð+Ð=°，再结合已知可得// GM AB，根据平行线的性质可得180AEG EGM然后利用平行线的性质可得180Ð+Ð=°，再利用角平分线的定AEG CFGÐ+Ð=°，从而可得250CFG MGF义可得125Ð+Ð=°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．HEG GFH【解答】解：过点G作//GM AB，\Ð+Ð=°，AEG EGM180Q，//AB CD//CD GM \，180CFG MGF \Ð+Ð=°，360AEG EGM CFG MGF \Ð+Ð+Ð+Ð=°，110EGF EGM MGF Ð=Ð+Ð=°Q ，360250AEG CFG EGF \Ð+Ð=°-Ð=°，EH Q 、FH 分别是AEG Ð和CFG Ð的角平分线，12HEG AEG \Ð=Ð，12GFH CFG Ð=Ð，1112522HEG GFH AEG CFG \Ð+Ð=Ð+Ð=°，360125H HEG HFG EGF \Ð=°-Ð-Ð-Ð=°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．6．（2023春•邗江区期中）将一副三角板如图1所示摆放，30BAC Ð=°，45E Ð=°，直线//GH MN ，现将三角板ABC 绕点A 以每秒1°的速度顺时针旋转，同时三角板DEF 绕点D 以每秒3°的速度顺时针旋转，如图2，设时间为t 秒，当0120t ……时，若边BC 与三角板DEF 的一条直角边（边DE ，)DF 平行，则所有满足条件的t 的值为 15或105或60　．【分析】先根据题意画出旋转后的图形，由已知条件，利用平行线的旋转，求出旋转角之间的关系，列出方程解答即可．【解答】解：由题意得：30HAC BAH BAC t Ð=Ð+Ð=°+°，3FDM t Ð=°，（1）当//BC DE 时，如图所示：延长AC 交MN 于点P ，①DE 在MN 上方，//DE BC Q ，DE DF ^，AC BC ^，//AP DF \，FDM MPA \Ð=Ð，//MN GH Q ，MPA HAC \Ð=Ð，FDM HAC \Ð=Ð，即330t t =+，15t =；②1DE 在MN 下方时，1(3180)F DP t Ð=-°，1//DE BC Q ，11DE DF ^，AC BC ^，1//AP DF \，1F DM MPA \Ð=Ð，//MN GH Q ，MPA HAC \Ð=Ð，1F DM HAC \Ð=Ð，即318030t t -=+，解之得：105t =；如图：当//BC DF 时，延长AC 交MN 于点I ，①DF 在MN 上方，(1803)FDN t Ð=-度，//DF BC Q ，AC BC ^，//AI DE \，90FDN MIA \Ð+Ð=°，//MN GH Q ，MIA HAC \Ð=Ð，90FDN HAC \Ð+Ð=°，即18033090t t -++=，解之得：60t =；②DF 在MN 下方，2(1803)F DN t Ð=-度，2//DF BC Q ，AC BC ^，22ED DF ^，2//AC DE \，2AIM MDE \Ð=Ð，//MN GH Q ，MIA HAC \Ð=Ð，2E DM HAC \Ð=Ð，即318030t t -=+，解之得：105t =，综上可知：所有满足条件的t 的值为：15或105或60，故答案为：15或105或60．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是根据题意，画出旋转后的图形．三．解答题（共3小题）7．（2022春•海州区校级期中）如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在AB 、BC 上，且//DE AC ，12Ð=Ð．求证：//AF BC ．【分析】根据平行线的性质得出1C Ð=Ð，求出2C Ð=Ð，根据平行线的判定得出即可．【解答】证明：//DE AC Q ，1C \Ð=Ð，12Ð=ÐQ ，2C \Ð=Ð，//AF BC \．【点评】本题考查了平行线的判定和性质，熟练应用判定定理和性质定理是解题的关键，平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．8．（2023春•盐都区期中）如图，在ABC D 中，点D 、E 分别在AB 、BC 上，//AF BC ，12Ð=Ð，求证：//DE AC ．【分析】由两直线平行内错角相等得到1C Ð=Ð，再根据同位角相等两直线平行可解题．【解答】证明：//AF BC Q ，1C \Ð=Ð，12Ð=ÐQ ，2C \Ð=Ð，//DE AC \．【点评】本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．9．（2022春•亭湖区校级月考）如图，已知1BDC Ð=Ð，23180Ð+Ð=°．（1）AD 与EC 平行吗？试说明理由．（2）若DA 平分BDC Ð，DA FA ^于点A ，182Ð=°，试求FAB Ð的度数．【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出//AB CD ，进而得出3180ADC Ð+Ð=°，即可得出答案；（2）利用角平分线的定义结合平行线的性质得出2Ð，即可得出答案．【解答】（1）解：AD 与EC 平行，理由如下：1BDC Ð=ÐQ ，//AB CD \（同位角相等，两直线平行），2ADC \Ð=Ð（两直线平行，内错角相等），23180Ð+Ð=°Q ，3180ADC \Ð+Ð=°（等量代换），//AD CE \（同旁内角互补，两直线平行）；（2）解：1BDC Ð=ÐQ ，182Ð=°，82BDC \Ð=°，DA Q 平分BDC Ð，1412ADC BDC \Ð=Ð=°（角平分线定义），241ADC \Ð=Ð=°（已证），又DA FA ^Q ，90FAD \Ð=°（垂直定义），2904149FAB FAD \Ð=Ð-Ð=°-°=°．【点评】此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出90AEC FAD Ð=Ð=°是解题关键．模型三、“鸡翅”型如图，已知AB//CD ，试猜想∠A 、∠E 、∠C 的关系，并说明理由．解：∠AEC=∠A-∠C,理由如下：过点E 作 EF // AB又 ∵AB//CD ．∴EF//CD ．∴∠A+∠FEA=180°，∠C+∠FEC=180°∴ ∠AEC ＝ ∠FEC- ∠FEA= 180°- ∠C –(180°-∠A)=∠A-∠C即：∠AEC=∠A-∠C一、单选题1．（2021下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C Ð+Ð+Ð=°；②如图2，AB ∥CD ，则P A C Ð=Ð-Ð；③如图3，AB ∥CD ，则1E A Ð=Ð+Ð；④如图4，直线AB ∥CD ∥ EF ，点O 在直线EF 上，则180a b g Ð-Ð+Ð=°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正确；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A +∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A +∠AEC ﹣∠1＝180°，即∠AEC ＝180°+∠1﹣∠A ，故③错误；④如图4，∵AB ∥EF ，∴∠α＝∠BOF ，∵CD ∥EF ，∴∠γ+∠COF ＝180°，∵∠BOF ＝∠COF +∠β，∴∠COF ＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为3，故选：C ．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．二、解答题2．（2021下·浙江台州·七年级统考期末）如图，已知AD AB ^于点A ，AE ∥CD 交BC 于点E ，且EF AB ^于点F ．求证：12C Ð=Ð+Ð．证明：∵AD AB ^于点A ，EF AB ^于点F ，（已知）∴90DAB EFB Ð=Ð=°．（垂直的定义）∴AD ∥EF ，（）∴__________1=Ð（）∵AE ∥CD ，（已知）∴C Ð=________．（两直线平行，同位角相等）∵2AEB AEF Ð=Ð+Ð，∴12C Ð=Ð+Ð．（等量代换）【答案】见解析Q 1PE l ∥，12l l ∥，\12PE l l ∥∥，PAC APE \Ð=Ð，PBD BPE Ð=Ð，APB APE BPE Ð=Ð+ÐQ ，PAC PBD APB \Ð+Ð=Ð．（2）解：结论：当点P 在直线1l 上方时，Ð-Ð=ÐPBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，Ð-Ð=ÐPAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1PE l ∥．Q 1PE l ∥，12l l ∥，\12PE l l ∥∥，PAC APE \Ð=Ð，PBD BPE Ð=Ð，APB BPE APE Ð=Ð-ÐQ ，PBD PAC APB \Ð-Ð=Ð．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1PE l ∥．Q 1PE l ∥，12l l ∥，\12PE l l ∥∥，PAC APE \Ð=Ð，PBD BPE Ð=Ð，APB APE BPE Ð=Ð-ÐQ ，PAC PBD APB \Ð-Ð=Ð．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．4．（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB CD P ，猜想BPD Ð与B D ÐÐ、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD P ，猜想图中的BPD Ð与B D ÐÐ、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB CD P ，猜想图中的BPD Ð与B D ÐÐ、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D Ð+Ð+Ð=°，理由见解析；（2）BPD B D Ð=Ð+Ð，理由见解析；（3）图（3）BPD D B Ð=Ð-Ð，图（4）BPD B DÐ=Ð-Ð【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE Ð+Ð=°，由AB CD P ，EF AB ∥，得到EF CD P ，得到180EPD D Ð+Ð=°，由此得到360B BPD D Ð+Ð+Ð=°；（2）过点P 作PE AB P ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D Ð=ÐÐ=Ð，，从而得到结论12BPD B D Ð=Ð+Ð=Ð+Ð；（3）由AB CD P ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD Ð与B D ÐÐ、的关系．【详解】（1）解：猜想360B BPD D Ð+Ð+Ð=°．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE Ð+Ð=°，∵AB CD P ，EF AB ∥，∴EF CD P ，∴180EPD D Ð+Ð=°，∴360B BPE EPD D Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴360B BPD D Ð+Ð+Ð=°；（2）BPD B D Ð=Ð+Ð．理由：如图，过点P 作PE AB P ，∵AB CD P ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D Ð=ÐÐ=Ð，，∴12BPD B D Ð=Ð+Ð=Ð+Ð；（3）如图（3）：BPD D B Ð=Ð-Ð．理由：∵AB CD P ，∴1D Ð=Ð，∵1B P Ð=Ð+Ð，∴D B P Ð=Ð+Ð，即BPD D B Ð=Ð-Ð；如图（4）：BPD B D Ð=Ð-Ð．理由：∵AB CD P ，∴1B Ð=Ð，∵1D P Ð=Ð+Ð，∴B D P Ð=Ð+Ð，即BPD B D Ð=Ð-Ð．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．5．（2021下·浙江·七年级期末）已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ^于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A Ð与C Ð之间的数量关系为______；（2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ^于点D ．①如图2，说明ABD C Ð=Ð成立的理由；②如图3，BF 平分DBC Ð交DM 于点,F BE 平分ABD Ð交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ÐÐÐÐ+=°=，求EBC Ð的度数．【答案】（1）∠A +∠C =90°；（2）①见解析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B 作BG ∥DM ，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B 作BG ∥DM ，根据角平分线的定义，得出∠ABF =∠GBF ，再设∠DBE =α，∠ABF =β，根据∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB ⊥BC ，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE =15°，进而得出∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．【详解】解：（1）如图1，AM 与BC 的交点记作点O ，∵AM ∥CN ，∴∠C =∠AOB ，∵AB ⊥BC ，∴∠A +∠AOB =90°，∴∠A +∠C =90°；（2）①如图2，过点B 作BG ∥DM ，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，BG CN\//,∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC =3α+β，∵∠AFC +∠NCF =180°，∠FCB +∠NCF =180°，∴∠FCB =∠AFC =3α+β，△BCF 中，由∠CBF +∠BFC +∠BCF =180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB ⊥BC ，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE =15°，∴∠EBC =∠ABE +∠ABC =15°+90°=105°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．6．（2021下·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期中）已知，//AE BD ，A D Ð=Ð．（1）如图1，求证：//AB CD ；（2）如图2，作BAE Ð的平分线交CD 于点F ，点G 为AB 上一点，连接FG ，若CFG Ð的平分线交线段AG 于点H ，连接AC ，若ACE BAC BGM Ð=Ð+Ð，过点H 作HM FH ^交FG 的延长线于点M ，且3518E AFH Ð-Ð=°，求EAF GMH Ð+Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）72°【分析】（1）根据平行线的性质得出180A B Ð+Ð=°，再根据等量代换可得180B D Ð+Ð=°，最后根据平行线的判定即可得证；（2）过点E 作//EP CD ，延长DC 至Q ，过点M 作//MN AB ，根据平行线的性质及等量代换可得出ECQ BGM DFG Ð=Ð=Ð，再根据平角的含义得出ECF CFG Ð=Ð，然后根据平行线的性质及角平分线的定义可推出,BHF CFH CFA FAB Ð=ÐÐ=Ð；设,FAB CFH a b Ð=Ð=，根据角的和差可得出2AEC AFH Ð=Ð，结合已知条件35180AEC AFH Ð-Ð=°可求得18AFH Ð=°，最后根据垂线的含义及平行线的性质，即可得出答案．AFH CFH CFA CFH FABÐ=Ð-Ð=Ð-ÐQ AFH b a \Ð=-，BHF CFH bÐ=Ð=222ECF AFH AEC EAB AFH AEC b\Ð+Ð=Ð+Ð+Ð=Ð+22ECF AFH E BHF\Ð+Ð=Ð+Ð2AEC AFH\Ð=Ð35180AEC AFH Ð-Ð=°Q 18AFH \Ð=°FH HM^Q 90FHM \Ð=°90GHM b\Ð=°-180CFM NMF Ð+Ð=°Q 90HMB HMN b\Ð=Ð=°-EAF FABÐ=ÐQ 18EAF CFA CFH AFH b \Ð=Ð=Ð-Ð=-°189072EAF GMH b b \Ð+Ð=-°+°-=°72EAF GMH \Ð+Ð=°．【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，角平分线的定义，能灵活根据平行线的性质和判定进行推理是解此题的关键．模型四、“骨折模型”如图，已知BC//DE ，试猜想∠A 、∠B 、∠D 的关系，并说明理由．解：∠BAD=∠D-∠B ,理由如下：过点A 作 AG // BC又 ∵CB//DE ．∴AG//DE∴∠GAB+∠B=180°，∠GAD+∠D=180°∴ ∠BAD ＝ ∠GAB- ∠GAD=180°-∠B–(180°-∠D)=∠D-∠B即：∠BAD=∠D-∠B注：平行线四大模型大题不可直接使用，必须证明后再用，选择填空满足条件即可直接用！【答案】60°【分析】过点B作BD∥2CBDÐ=Ð，进而可得Ð【详解】解：如图，过点Q Rt ABC△中，30AÐ=°，\9060ABC AÐ=°-Ð=°．Q BD EF∥，\1ABDÐ=Ð．【答案】40°/40度∥【分析】过C作CF ABÐ=°即可得到答案；CDE140【点睛】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是作出辅助线，根据平行线性质得到角度关系．二、解答题4．（2021·全国·九年级专题练习）已知AB //CD ，求证：∠B ＝∠E ＋∠D【答案】见解析【分析】过点E 作EF ∥CD ，根据平行线的性质即可得出∠B =∠BOD ，根据平行线的性质即可得出∠BOD =∠BEF 、∠D =∠DEF ，结合角之间的关系即可得出结论．【详解】证明：过点E 作EF ∥CD ，如图∵AB ∥CD ，∴∠B =∠BOD ，∵EF ∥CD （辅助线），∴∠BOD =∠BEF （两直线平行，同位角相等）；∠D =∠DEF （两直线平行，内错角相等）；∴∠BEF =∠BED +∠DEF =∠BED +∠D （等量代换），∴∠BOD=∠E +∠D （等量代换），即∠B =∠E +∠D ．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．5．（2021下·山西晋中·七年级统考期中）综合与探究【问题情境】王老师组织同学们开展了探究三角之间数量关系的数学活动（1）如图1，//EF MN ，点A 、B 分别为直线EF 、MN 上的一点，点P 为平行线间一点，请直接写出PAF Ð、PBN Ð和APB Ð之间的数量关系；【问题迁移】（2）如图2，射线OM 与射线ON 交于点O ，直线//m n ，直线m 分别交OM 、ON 于点A 、D ，直线n 分别交OM 、ON 于点B 、C ，点P 在射线OM 上运动，①当点P 在A 、B （不与A 、B 重合）两点之间运动时，设ADP a Ð=Ð，BCP b Ð=Ð．则CPD Ð，a Ð，Ðb 之间有何数量关系？请说明理由．②若点P 不在线段AB 上运动时（点P 与点A 、B 、O 三点都不重合），请你画出满足条件的所有图形并直接写出CPD Ð，a Ð，Ðb 之间的数量关系．【答案】（1）360PAF PBN APB Ð+Ð+Ð=°；（2）①CPD a b Ð=Ð+Ð，理由见解析；②图见解析，CPD b a Ð=Ð-Ð或CPD a bÐ=Ð-Ð【分析】（1）作PQ ∥EF ，由平行线的性质，即可得到答案；（2）①过P 作//PE AD 交CD 于E ，由平行线的性质，得到DPE a Ð=Ð，CPE b Ð=Ð，即可得到答案；②根据题意，可对点P 进行分类讨论：当点P 在BA 延长线时；当P 在BO 之间时；与①同理，利用平行线的性质，即可求出答案．【详解】解：（1）作PQ ∥EF ，如图：∵//EF MN ，∴////EF MN PQ ，∴180PAF APQ Ð+Ð=°，180PBN BPQ Ð+Ð=°，∵APB APQ BPQÐ=Ð+Ð∴360PAF PBN APB Ð+Ð+Ð=°；（2）①CPD a b Ð=Ð+Ð；理由如下：如图，过P 作//PE AD 交CD 于E ，∵//AD BC ，∴////AD PE BC ，∴DPE a Ð=Ð，CPE b Ð=Ð，∴CPD DPE CPE a b Ð=Ð+Ð=Ð+Ð；②当点P 在BA 延长线时，如备用图1：∵PE ∥AD ∥BC ，∴∠EPC=b ，∠EPD =a ，∴CPD b a Ð=Ð-Ð；当P 在BO 之间时，如备用图2：∵PE ∥AD ∥BC ，∴∠EPD =a ，∠CPE =b ，∴CPD a b Ð=Ð-Ð．【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角。

专题07碰撞模型及其拓展(原卷版)

专题07 碰撞模型及其拓展目录1．碰撞问题遵循的三条原则 (1)2．两种碰撞模型的特点 (1)3．碰撞模型拓展 (1)(1)“保守型”碰撞拓展模型 (1)(2)“耗散型”碰撞拓展模型 (2)1．碰撞问题遵循的三条原则2．两种碰撞模型的特点(1)弹性碰撞两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒定律和机械能守恒定律。

以质量为m 1、速度为v 1的小球与质量为m 2的静止小球发生弹性正碰为例，有m 1v 1＝m 1v 1′＋m 2v 2′12m 1v 12＝12m 1v 1′2＋12m 2v 2′2 解得v 1′＝(m 1－m 2)v 1m 1＋m 2，v 2′＝2m 1v 1m 1＋m 2。

结论：①当m 1＝m 2时，v 1′＝0，v 2′＝v 1，两球碰撞后交换了速度。

②当m 1＞m 2时，v 1′>0，v 2′>0，碰撞后两球都沿速度v 1的方向运动。

③当m 1＜m 2时，v 1′<0，v 2′>0，碰撞后质量小的球被反弹回来。

④当m 1≫m 2时，v 1′＝v 1，v 2′＝2v 1。

(2)完全非弹性碰撞动量守恒，末速度相同，m 1v 1＋m 2v 2＝(m 1＋m 2)v共，机械能损失最多，机械能的损失ΔE ＝12m 1v 12＋12m 2v 22－12(m 1＋m 2)v 共2。

3．碰撞模型拓展(1)“保守型”碰撞拓展模型小球－弹簧模型小球－曲面模型小球－小球模型相当于完全非弹性碰撞，系统水平方向动量守恒，满足m v ＝(m ＋M )v ，(2)“耗散型”碰撞拓展模型相当于完全非弹性碰撞，动量满足m v＝(m＋M)v，损失的动能最大，分物块B向A运动，t＝0时与弹簧接触，到t＝2t0时与弹簧分离，第一次碰撞结束，A、B的v－t图像如图(b)所示。

已知从t＝0到t＝t0时间内，物块A运动的距离为0.36v0t0。

A、B分离后，A滑上粗糙斜面，然后滑下，与一直在水平面上运动的B再次碰撞，之后A再次滑上斜面，达到的最高点与前一次相同。

高考部分基础模型专题突破(高二10公开课)

高考部分基础模型专题突破
一、叠加体模型
二、弹簧模型
分析下图：
M m
练习1：弹簧+圆周+平抛
半径为R 的光滑半圆环轨道竖直固定在一水平光滑的桌面上，桌距水平地面的高度也为a
、b 两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态．同时释放两个小球，小球a 、b 与弹簧在水平桌面上分离后，a 球从B 点滑上光滑半圆环轨道并恰能通过半圆环轨道最高点A ，b 球则从桌面C 点滑出后落到水平地面上，落地点距桌子右侧的水平距离为
．已知小球a 质量为m ，重力加速度为g ．
求：（1）释放后a 球离开弹簧时的速度大小；
（2）释放后b 球离开弹簧时的速度大小；
（3）释放小球前弹簧具有的弹性势能．
练习2：叠加体+圆周+弹簧
（另外1/4圆弧轨道光滑）
三、传送带模型
拓展：上述情况，如何求Q 热?
练习3：子弹+滑块+皮带模型
拓展：若L=1m，小木块在传送带上运动的时间是多少？。

五年级下册数学扩展专题练习-几何五大模型B级学生版-全国通用

例题精讲一、鸟头定理1 11 fl I J I, j 自j【例1】如图16-4,已知.AE= AC, CD= BC, BF= AB,那么二角形DEF的面积等于多少?5 46 三角形ABC的面积【巩固】如图，在△ ABC中，延长AB至D，使BD = AB，延长BC至E，使CE = 1BC , F是AC的中2 点，若△ ABC的面积是2，则△ DEF的面积是多少？二、三角形相似模型【例2】如图，三角形PDM的面积是8平方厘米，长方形ABCD的长是6厘米，宽是4厘米，M是BC的中点，则三角形APD的面积是_______ 平方厘米.五大模型（一）赛，"第16-【巩固】如图，ABCD 为正方形，AM = NB = DE = FC = 1cm 且MN = 2cm ，请问四边形PQRS 的面积为多少？【巩固】如图，三角形ABC 的面积为60平方厘米，D 、 E 、F 分别为各边的中点，那么阴影部分的面积平方厘米.【例3】如图，已知s△ ABC 四边形DBEF △ ABE=14 ,点 D , E , F 分别在 AB , BC , CA 上，且 AD = 2,BD = 5, AF = FC ，则5^ABE 是多少？三、蝴蝶模型梯形的下底是上底的1.5倍，三角形OBC 的面积是9cm 2，问三角形AOD 的面积是多少？如图，梯形ABCD 中，A AOB 、A COD 的面积分别为1.2和2.7 ,求梯形ABCD 的面积.如图，长方形中，若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5，四边形2的面积为36,则三角形1的面积为【巩固】如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点.求图中阴影部分的面积.【例4】【巩固】【例5】【例6】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是 _______ 平方厘米.【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 _____ 平方厘米.B E C【例7】E是平行四边形ABCD的CD边上的一点，BD、AE相交于点尸，已知三角形AFD的面积是6, 三角形DEF的面积是4,求四边形BCEF的面积为多少？【巩固】如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，ADEF的面积是5平方厘米，A CED的面积是10平方厘米.问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？如图所示，BD 、CF 将长方形ABCD 分成4块，ADEF 的面积是4平方厘米，A CED 的面积是6平方厘米.问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为正方形ABCD 的边长为6 , E 是BC 的中点（如图）。

2023届高考物理模型专项突破课件：与斜面结合的的平抛运动

2022年高考物理模型问题专项突破
【知识归纳】
思路：解答时要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同位移和
速度与水平方向夹角的关系是解题的关键。
解决平抛运动的方法是分解，若知道末速度方向，则分解末
速度；若知道位移方向，则分解位移。
平抛运动与斜面模型组合是一种常见的题型,也是高考考查的热点题型。
1.对着斜面平抛（垂直打到斜面上）
方法：分解速度，构建速度三角形，找到斜面倾角θ与速度方向的关系。
模型
β
方法应用
抛出点距撞击点的竖直高度：
2
1
v
0
2
2
h= gt

v
0
2
2 g tan 2
抛出点距撞击点的水平位移：
2
v
0
x= v0t
v0 2
g tan
合位移和水平方向的夹角β
tanβ=
1
2 tan
例1
例题 1 （2022·四川·宜宾市·一模）如图所示，将一小球以速度 v0=3m/s 的速度从 A 点水平
0
x
2vo 2 tan
s

vo 2
cos
gcos
v合
vx 2 vy 2

v0 2 ( gt ) 2

2v 0 tan 2
v0 ( g
)
g
2
v 0 1 4 tan 2
2vo tan
2
x v0t
vo
g
2
规
律
小
结
1 2 2vo tan
2
h gt
vy gt
vo tan
方向:tan θ= vx v0 t

难关必刷01三角形综合(4种解题模型专练)(解析版)

难关必刷01三角形综合（4种解题模型专练）【模型梳理】一、“8”字模型三角形三个内角的和等于180°；对顶角相等二、“A”字模型三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.三、“老鹰捉小鸡”（风筝）模型三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.四、（双）角平分线模型1.双内角平分线2.双外角平分线3.内角平分线+外角平分线三角形三个内角的和等于180°；三角形的外角等于与它不相邻的两本内角的和.【题型专练】一、“8”字模型一．填空题（共6小题）1．（2023春•蓬莱区期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　180°　．【分析】本题运用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，将已知角转化在同一个三角形中，再根据三角形内角和定理求解．【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠E，∠2＝∠1+∠C，∠A+∠2+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．故答案为：180°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．2．（2022春•北林区校级期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　360°　【分析】根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360°．【点评】此题考查三角形的内角和，角的和与差，掌握三角形的内角和定理是解决问题的关键．3．（2022春•彭山区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　360°　．【分析】连接AD，利用三角形内角和定理可得∠B+∠C＝∠1+∠2，然后利用四边形内角和为360°可得答案．【解答】解：连接AD，在△AOD和△BOC中，∵∠AOD＝∠BOC，∴∠B+∠C＝∠1+∠2，∴∠B+∠C+∠BAF+∠EDF＝∠1+∠2+∠BAF+∠EDF＝∠EDA+∠FAD，∵∠EDA+∠FAD+∠E+∠F＝360°，∴∠BAF+∠EDF+∠B+∠C+∠E+∠F＝360°，故答案为：360°．【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握四边形内角和为360°．4．（2022秋•黄石期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是　180°　．【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A+∠2，∠2＝∠E+∠C，进而利用三角形的内角和定理求解．【解答】解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠E+∠C，在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故答案为：180°．【点评】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．5．（2022秋•滨海新区校级期中）如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为　360°　．【分析】根据三角形的外角性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝∠A+∠F，∠2＝∠1+∠E，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠B+∠C+∠D+∠2＝360°．故答案为：360°．【点评】此题考查三角形的外角性质，四边形内角和，掌握三角形的外角性质和四边形内角和等于360°是解决问题的关键．6．（2022秋•庆阳期中）如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝　540　°．【分析】利用三角形外角性质得到∠1＝∠B+∠F+∠C，然后利用五边形的内角和求∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G的度数．【解答】解：如图，∵∠1＝∠B+∠2，而∠2＝∠F+∠C，∴∠1＝∠B+∠F+∠C，∵∠A+∠1+∠D+∠E+∠G＝∠A+∠B+∠C+∠F+∠D+∠E+∠G＝（5﹣2）×180°＝540°．故答案为540．【点评】本题考查了多边形内角与外角：多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数），此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．也考查了三角形外角性质．二．解答题（共1小题）7．（2022秋•天门期中）如图，已知∠A＝50°，∠D＝40°（1）求∠1度数；（2）求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【分析】（1）根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【解答】解：（1）∠1＝∠A+∠D＝90°；（2）∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠B+∠E，∠1+∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．二、“A”字模型一．选择题（共4小题）1．（2022秋•东莞市校级期中）如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE 交于点P，若∠A＝60°，则∠BPC等于（）A．90°B．120°C．150°D．160°【分析】首先根据直角三角形的两个锐角互余，求得∠ABE的度数，再根据三角形的内角和定理的推论进行求解．【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，又∵CD⊥AB，∴∠BDP＝90°，∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．故选：B．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．2．（2022秋•萨尔图区校级期中）如图，△ABC中∠A＝115°，若图中沿虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（）A．180°B．230°C．290°D．295°【分析】根据题意由三角形内角和可得出∠B+∠C＝65°，再根据四边形的内角和可求出∠1+∠2．【解答】解：∵∠A＝115°，∴∠B+∠C＝65°，∵∠1+∠2+∠B+∠C＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣65°＝295°．故选：D．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握三角形的内角和、四边形内角和是解题的关键．3．（2022秋•官渡区校级期中）如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2＝（）A．140°B．180°C．250°D．360°【分析】根据三角形内角和定理求出∠3+∠4，继而可求出∠1+∠2的值．【解答】解：∵∠C＝70°，∴∠3+∠4＝180°﹣70°＝110°，∴∠1+∠2＝（180°﹣∠3）+（180°﹣∠4）＝360°﹣（∠3+∠4）＝250°．故选：C．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，解答本题的关键是掌握三角形内角和是180°，本题也可用外角的性质求解．4．（2022秋•宁河区校级期中）如图，已知△ABC中，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．270°D．315°【分析】本题利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解．【解答】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣90°＝270°．故选：C．【点评】本题是一道根据四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解的综合题，有利于锻炼学生综合运用所学知识的能力．二．填空题（共3小题）5．（2022秋•富阳区期中）如图，作CE⊥AF于点E，CE与BF相交于点D，若∠F＝45°，∠C＝30°，则∠A＝　60　°，∠DBC＝　105　°．【分析】首先利用垂直的定义和三角形的内角和定理可以求出∠A，然后利用三角形的外角和内角的关系可以求出∠DBC．【解答】解：∵CE⊥AF，∴∠AEC＝∠FEC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，又∠DBC＝∠F+∠A，∠F＝45°∴∠DBC＝60°+45°＝105°故答案为：60；105．【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．6．（2022秋•南康区期中）如图，△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，将△ABC沿EF折叠，A点落在形内的A′，则∠1+∠2的度数为　60°　．【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，进而可得出∠A′EF+∠A′FE的度数，根据图形翻折变换的性质得出∠AEF+∠AFE的度数，再由四边形的内角和为360°即可得出结论．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝80°，∠C＝70°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣80°﹣70°＝30°，∴∠A′＝30°，∴∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝180°﹣30°＝150°，∵△AFE由△A′FE翻折而成，∴∠AEF+∠AFE＝∠A′EF+∠A′FE＝180°﹣∠A′＝150°，∴∠1+∠2＝360°﹣∠B﹣∠C﹣（∠AEF+∠AFE）＝360°﹣80°﹣70°﹣150°＝60°．故答案为：60°．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．7．（2022秋•梁平区期中）在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝　270°　．【分析】首先根据三角形的内角和定理求得∠A与∠B的度数的和，然后利用四边形的内角和定理即可求解．【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°．【点评】本题考查了三角形的内角和定理以及四边形的内角和定理，正确理解定理是关键．三．解答题（共2小题）8．（2022秋•余干县期中）一个三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．（点A′在△ABC的内部）（1）如图1，若∠A＝45°，则∠1+∠2＝　90　°．（2）利用图1，探索∠1，∠2与∠A之间的数量关系，并说明理由．（3）如图2，把△ABC折叠后，BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠1+∠2＝108°，利用（2）中得出的结论求∠BA′C的度数．【分析】（1）根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；根据翻折变换的性质用∠1、∠2表示出∠ADE和∠AED，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，继而可得答案；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A知∠A＝54°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．【解答】解：（1）∵点A沿DE折叠落在点A′的位置，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠ADE＝（180°﹣∠1），∠AED＝（180°﹣∠2），在△ADE中，∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∴45°+（180°﹣∠1）+（180°﹣∠2）＝180°，整理得∠1+∠2＝90°；故答案为：90；（2）∠1+∠2＝2∠A，理由：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A；（3）由（1）∠1+∠2＝2∠A，得2∠A＝108°，∴∠A＝54°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A＝90°+×54°＝117°．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°，综合题，但难度不大，熟记性质准确识图是解题的关键．9．（2022秋•赣州期中）如图1，已知∠ACD是△ABC的一个外角，我们容易证明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？尝试探究：（1）如图2，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，则∠DBC+∠ECB　＝　∠A+180°（横线上填＞、＜或＝）初步应用：（2）如图3，在△ABC纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1＝135°，则∠2﹣∠C＝　45°　．（3）解决问题：如图4，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案　∠P＝90°﹣∠A　．（4）如图5，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB，请利用上面的结论探究∠P 与∠A、∠D的数量关系．【分析】（1）根据三角形外角的性质得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，两式相加可得结论；（2）利用（1）的结论：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，将∠1＝135°代入可得结论；（3）根据角平分线的定义得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根据三角形内角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的结论：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；（4）根据平角的定义得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分线得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四边形的内角和与三角形的内角和可得结论．【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．故答案为：＝．（2）∠2﹣∠C＝45°．理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，∴∠2﹣∠C+135°＝180°，∴∠2﹣∠C＝45°．故答案为：45°；（3）∠P＝90°﹣∠A，理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．故答案为：∠P＝90°﹣∠A，（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），∵四边形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．【点评】本题是四边形和三角形的综合问题，考查了三角形和四边形的内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义等知识，难度适中，熟练掌握三角形外角的性质是关键．三、“老鹰捉小鸡”（风筝）模型一．选择题（共4小题）1．（2022春•威海期中）如图，在△ABC中，∠C＝40°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（）A．40°B．80°C．90°D．140°【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝40°，根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+80°，则∠1﹣∠2＝80°．故选：B．【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），以及外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．2．（2022秋•巴南区校级期中）如图，在△ABC中，将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若∠B＝30°，∠2＝25°，则∠1的度数是（）A．55°B．65°C．75°D．85°【分析】设直线m交AB于点E，交BC于点F，利用折叠的性质可得出∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，∠D＝∠B＝30°，由邻补角互补及∠2的度数，可求出∠DFE的度数，在△DEF中利用三角形内角和定理可求出∠DEF的度数，再结合∠BEF+∠DEF+∠1＝180°，即可求出∠1的度数．【解答】解：设直线m交AB于点E，交BC于点F，如图所示.由折叠可知：∠BEF＝∠DEF，∠BFE＝∠DFE，∠D＝∠B＝30°．∵∠BFE+∠CFE＝180°，∠DFE＝∠CFE+∠2＝∠CFE+25°，∴∠DFE＝（∠BFE+∠CFE+∠2）＝×（180°+25°）＝102.5°，∴∠DEF＝180°﹣∠D﹣∠DFE＝180°﹣30°﹣102.5°＝47.5°．又∵∠BEF+∠DEF+∠1＝180°，∴∠1＝180°﹣∠BEF﹣∠DEF＝180°﹣2×47.5°＝85°．故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及邻补角，利用折叠的性质及邻补角互补，求出∠DFE的度数是解题的关键．3．（2022春•无锡期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCED的外部时，则∠A与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（）A．2∠A＝∠1﹣∠2B．3∠A＝2（∠1﹣∠2）C．3∠A＝2∠1﹣∠2D．∠A＝∠1﹣∠2【分析】根据翻折的性质可得∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，再利用三角形的内角和定理和三角形的外角性质分别表示出∠AED和∠A′ED，然后整理即可得解．【解答】解：如图，由翻折的性质得，∠3＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，∴∠3＝（180°﹣∠1），在△ADE中，∠AED＝180°﹣∠3﹣∠A，∠CED＝∠3+∠A，∴∠A′ED＝∠CED+∠2＝∠3+∠A+∠2，∴180°﹣∠3﹣∠A＝∠3+∠A+∠2，整理得，2∠3+2∠A+∠2＝180°，∴2×（180°﹣∠1）+2∠A+∠2＝180°，∴2∠A＝∠1﹣∠2．故选：A．【点评】本题考查了翻折变换的性质，三角形的内角和定理和外角性质，熟记性质并表示出∠AED和∠A′ED是解题的关键，也是本题的难点．4．（2022秋•洛龙区期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【解答】解：由折叠得：∠A＝∠A'，∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∵∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，故选：A．【点评】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．二．填空题（共1小题）5．（2022秋•静安区校级期中）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是　∠1+∠2＝2∠A　．【分析】可连接AA′，分别在△AEA′、△ADA′中，利用三角形的外角性质表示出∠1、∠2；两者相加联立折叠的性质即可得到所求的结论．【解答】解：连接AA′．则△A′ED即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE＝∠DA′E．由三角形的外角性质知：∠1＝∠EAA′+∠EA′A，∠2＝∠DAA′+∠DA′A；则∠1+∠2＝∠DAE+∠DA′E＝2∠DAE，即∠1+∠2＝2∠A．故答案为：∠1+∠2＝2∠A．【点评】此题主要考查的是三角形的外角性质和图形的翻折变换，理清图中角与角的关系是解决问题的关键．三．解答题（共2小题）6．（2022秋•青云谱区校级期中）放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB＝AC，DB＝DC，他发现AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD即可解决问题．【解答】解：结论正确．证明如下：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∠BDA＝∠CDA，即AD不仅平分∠BAC，且平分∠BDC，∴结论正确．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质与判定，比较简单．7．（2022秋•开州区期中）问题1如图①，一张三角形ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点．研究（1）：如果沿直线DE折叠，使A点落在CE上，则∠BDA′与∠A的数量关系是　∠BDA′＝2∠A　研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系是　∠BDA′+∠CEA′＝2∠A　研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠BDA′、∠CEA′和∠A的数量关系，并说明理由．猜想：　∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A　理由问题2研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°　．【分析】（1）根据三角形的外角的性质以及折叠的特点即可得到结论；（2）连接AA′，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（3）连接AA′构造等腰三角形，然后结合三角形的外角性质进行探讨证明；（4）根据平角的定义以及四边形的内角和定理进行探讨．【解答】解：（1）根据折叠的性质可知∠DA′E＝∠A，∠DA′E+∠A＝∠BDA′，故∠BDA′＝2∠A；（2）由图形折叠的性质可知，∠CEA′＝180°﹣2∠DEA′…①，∠BDA′＝180°﹣2∠A′DE…②，①+②得，∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣2（∠DEA′+∠A′DE即∠BDA′+∠CEA′＝360°﹣2（180°﹣∠A），故∠BDA′+∠CEA′＝2∠A；（3）∠BDA′﹣∠CEA′＝2∠A．证明如下：连接AA′构造等腰三角形，∠BDA′＝2∠DA'A，∠CEA'＝2∠EA'A，得∠BDA'﹣∠CEA'＝2∠A，（4）如图④，由图形折叠的性质可知∠1＝180°﹣2∠AEF，∠2＝180°﹣2∠BFE，两式相加得，∠1+∠2＝360°﹣2（∠AEF+∠BFE）即∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B），所以，∠1+∠2＝2（∠A+∠B）﹣360°．【点评】注意此类一题多变的题型，基本思路是相同的，主要运用三角形的内角和定理及其推论进行证明．四、（双）角平分线模型1．（2022秋•黄冈期中）如图，△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∠A ＝50°，则∠BOC 等于（）A ．110°B ．115°C ．120°D ．130°【分析】根据三角形的内角和定理和角平分线的定义求出∠OBC +∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和等于180°即可求出∠BOC 的度数．【解答】解：∵∠A ＝50°，∴∠ABC +∠ACB ＝180°﹣∠A ＝180°﹣50°＝130°，∵BO ，CO 分别是∠ABC ，∠ACB 的平分线，∴∠OBC ＝∠ABC ，∠OCB ＝∠ACB ，∴∠OBC +∠OCB ＝（∠ABC +∠ACB ）＝×130°＝65°，∴∠BOC ＝180°﹣（∠OBC +∠OCB ）＝180°﹣65°＝115°．故选：B ．【点评】本题主要利用三角形的内角和定理和角平分线的定义，熟练掌握定理和概念是解题的关键．2．（2022秋•西陵区校级期中）如图，△ABC 的三边AB 、BC 、AC 的长分别是9、12、15．其三条角平分线交于点O ，将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（）A ．1：1：1B ．1：2：3C ．3：4：5D ．2：3：4【分析】过O 点作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，根据角平分线的性质可知：OD ＝OE ＝OF ，利用三角形的面积公式计算可求解．【解答】解：过O 点作OD ⊥AB ，OE ⊥BC ，OF ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，F ，∵△ABC 的三条角平分线交于点O ，∴OD ＝OE ＝OF ，在△ABC 中，AB ＝9，BC ＝12，AC ＝15，∴S △ABO ：S △BCO ：S △CAO ＝AB •DO ：BC •EO ：AC •OF ＝AB ：BC ：AC ＝9：12：15＝3：4：5，故选：C ．【点评】本题主要考查勾股定理，三角形的面积，角平分线的性质，利用角平分线的性质求得OD ＝OE ＝OF 是解题的关键．3．（2022秋•金乡县期中）如图，△ABC 中，AB ＝6，AC ＝8，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD 、CD 交于点D ．过点D 作EF ∥BC ，分别交AB 、AC 于点E 、F ，则△AEF 的周长为（）A ．12B ．13C ．14D ．15【分析】根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形，即可解答．【解答】解：∵BD 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，∴∠ABD ＝∠DBC ，∠ACD ＝∠DCB ，∵EF ∥BC ，∴∠EDB ＝∠DBC ，∠FDC ＝∠DCB ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∠ACD ＝∠FDC ，∴EB ＝ED ，FD ＝FC ，∵AB ＝6，AC ＝8，∴△AEF 的周长＝AE +EF +AF＝AE +ED +DF +AF＝AE +EB +AF +FC＝AB +AC＝14，∴△AEF 的周长为：14，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线与平行这两个条件可证明等腰三角形是解题的关键．二．填空题（共1小题）4．（2022秋•金州区期中）如图，△ABC的角平分线BD，CE交于点O，∠A＝60°，则∠BOC＝　120　°．【分析】由三角形的内角和可求得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分线的定义可得∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，则可求得∠CBO+∠BCO＝60°，再利用三角形的内角和可得∠BOC＝120°．【解答】解：∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，∵△ABC的角平分线BD、CE交于点O，∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∴∠CBO+∠BCO＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°，∴∠BOC＝120°．故答案为：120°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．三．解答题（共2小题）5．（2022秋•瑶海区期中）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，根据下列条件，求∠BPC的度数．（1）若∠A＝68°，则∠BPC＝　124　°；（2）从上述计算中，我们能发现：∠BPC＝　90°+∠A　（用含∠A的式子表示），并说明理由．【分析】（1）先根据三角形的内角和求出∠ABC+∠ACB＝112°，再由角平分线定义得：∠PBC+∠PCB ＝56°，从而得出∠BPC的度数；（2）与（1）同理可得：∠BPC＝90°+∠A．【解答】解：（1）∵∠A＝68°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣68°＝112°，∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠ACB）＝×112°＝56°，∴∠BPC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124°；（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A由（1）得：∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°﹣∠A）＝90°+∠A故答案为：90°+∠A．【点评】本题主要考查了内角平分线和外角平分线的定义，与三角形内角和相结合，得出内角平分线的夹角和外角平角线的夹角与第三个角的关系．6．（2022秋•滨海新区期中）（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，根据角平分线的定义得出∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，根据三角形内角和定理得出∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC），再求出答案即可；（2）根据三角形外角性质得出∠ACE＝∠A+∠ABC，∠P＝∠PCE﹣∠PBC，根据角平分线的定义得出，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【点评】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角性质等知识点，能熟记三角形的内角和等于180°和角平分线的定义是解此题的关键．。

六年级数学上册期末列脱式计算题专项突破练习(含答案)人教

六年级数学上册期末列脱式计算题专项突破练习(含答案)人教一、填空题1. 3456除以8的商是______，余数是______。

2. 9的因数有______，其中最大的因数是______。

3. 324的因数有______，其中最小的因数是______。

4. 4个连续的偶数，它们的和是______。

5. 6的倍数有______，其中最小的倍数是______。

6. 5的倍数有______，其中最大的倍数是______。

7. 两个数的最大公因数是______，它们的最小公倍数是______。

8. 3456除以9的商是______，余数是______。

9. 7的因数有______，其中最大的因数是______。

10. 两个数的最大公因数是______，它们的最小公倍数是______。

二、选择题1. 下列各数中，既是2的倍数，又是5的倍数的是（）。

A. 20B. 30C. 40D. 502. 下列各数中，既是3的倍数，又是4的倍数的是（）。

A. 12B. 15C. 18D. 243. 下列各数中，既是2的倍数，又是3的倍数的是（）。

A. 12B. 15C. 18D. 244. 下列各数中，既是4的倍数，又是5的倍数的是（）。

A. 20B. 30C. 40D. 505. 下列各数中，既是2的倍数，又是5的倍数的是（）。

A. 12B. 15C. 18D. 24三、解答题1. 求3456除以9的商和余数。

2. 求9的因数。

3. 求324的因数。

4. 求4个连续的偶数的和。

5. 求6的倍数。

6. 求5的倍数。

7. 求7的因数。

8. 求3456除以8的商和余数。

9. 求9的因数。

10. 求324的因数。

答案：一、填空题1. 432，02. 1、3、9，93. 1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54、81、108、162、324，14. 365. 6、12、18、24、30、36、42、48、54、60、66、72、78、84、90、96、102、108、114、120、126、132、138、144、150、156、162、168、174、180、1、192、198、204、210、216、222、228、234、240、246、252、258、264、270、276、282、288、294、300，66. 5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70、75、80、85、90、95、100、105、110、115、120、125、130、135、140、145、150、155、160、165、170、175、180、185、190、195、200、205、210、215、220、225、230、235、240、245、250、255、260、265、270、275、280、285、290、295、300，3007. 1、3、7、9、21、63，638. 432，09. 1、7、9，910. 1、2、3、4、6、9、12、18、27、36、54、81、108、162、324，1二、选择题1. B2. D3. A4. B5. C三、解答题1. 3456除以9的商是384，余数是0。

难关必刷03旋转综合题(2种解题模型专练)(原卷版)

难关必刷03旋转综合题（2种解题模型专练）【模型梳理】模型一：“奔驰”模型旋转是中考必考题型，奔驰模型是非常经典的一类题型，且近几年中考中经常出现。

我们不仅要掌握这类题型，提升利用旋转解决问题的能力，更重要的是要明白一点:旋转的本质是把分散的条件集中化，从而解决问题模型二：“费马点”模型最值问题是中考常考题型，费马点属于几何中的经典题型，目前全国范围内的中考题都是从经典题改编而来，所以应熟练掌握费马点等此类最值经典题。

【题型专练】模型一：“奔驰”模型一．选择题（共2小题）1．（2023•中原区校级三模）小星利用平面直角坐标系绘制了如下风车图形，他先将△OBA固定在坐标系中，其中A（2，4），B（2，0），接着他将△OBA绕原点O逆时针转动90°至△OB1A1，称为第一次转动，然后将△OB1A1绕原点O逆时针转动90°至△OB2A2，称为第二次转动，…那么按照这种转动方式，转动2023次后，点A的坐标为（）A．（4，﹣2）B．C．D．（2，4）2．（2020秋•顺平县期中）如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，将△ABP绕点B顺时针旋转60°到△CBQ位置．连接PQ，则以下结论错误的是（）A．∠QPB＝60°B．∠PQC＝90°C．∠APB＝150°D．∠APC＝135°二．填空题（共1小题）3．（2022秋•新抚区期中）如图，正方形ABCD中，将边AB绕着点A旋转，当点B落在边CD的垂直平分线上的点E处时，∠BED的度数为．三．解答题（共5小题）4．（2021秋•长乐区期中）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝4，将△ABC绕点B顺时针旋转一定的角度得到△DBE，点A，C的对应点分别是D，E，连接AD．（1）如图1，当点E恰好在边AB上时，求∠ADE的大小；（2）如图2，若F为AD中点，求CF的最大值．5．（2021春•高州市期中）如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10．若将△PAC 绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB．（1）求点P与点P′之间的距离；（2）求∠APB的度数．6．（2023•崂山区模拟）阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝1，PD＝，则∠APB的度数等于，正方形的边长为　；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA＝2，PB＝1，PF＝，则∠APB的度数等于，正六边形的边长为．7．（2023•青岛二模）（1）探究发现下面是一道例题及其解答过程，请补充完整．如图1，在等边三角形ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5．求∠APB的度数．解：将△APC绕点A逆时针旋转60°，得到△AP′B，连接PP'，则△APP'为等边三角形．∵P′P＝PA＝3，PB＝4，P'B＝PC＝5，∴P'P2+PB2＝P′B2△BPP'为三角形∴∠APB的度数为．（2）类比延伸如图2，在正方形ABCD内部有一点P，若∠APD＝135°，试判断线段PA、PB、PD之间的数量关系，并说明理由．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．点P在直线AB上方且∠APB＝60°，试判断是否存在常数k，满足（kPA）2+PB2＝PC2．若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．8．（2020秋•田家庵区校级月考）（原题初探）（1）小明在数学作业本中看到有这样一道作业题：如图1，P 是正方形ABCD内一点，连结PA，PB，PC现将△PAB绕点B顺时针旋转90°得到的△P′CB，连接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，则PC的长为，正方形ABCD的边长为．（变式猜想）（2）如图2，若点P是等边△ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，请猜想∠APB的度数，并说明理由．（拓展应用）（3）聪明的小明经过上述两小题的训练后，善于反思的他又提出了如下的问题：如图3，在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长度为．模型二：“费马点”模型一．填空题1．（2022秋•大冶市期末）如图，D是等边三角形ABC外一点，连接AD，BD，CD，已知BD＝8，CD＝3，则当线段AD的长度最小时，①∠BDC＝；②AD的最小值是．2．（2020•荷塘区模拟）在△ABC中，若其内部的点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则称P为△ABC的费马点．如图所示，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，设P为△ABC的费马点，且满足∠PBA＝45°，PA＝4，则△PAC的面积为．二．解答题3．（2021•山西模拟）阅读下列材料，完成后面相应的任务：费马（Ferrmat，1601年8月17日﹣1665年1月12日），生于法国南部图卢兹（Toulouse）附近的波蒙•德•罗曼，被誉为业余数学家之王．1643年，费马曾提出了一个著名的几何问题：给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置．另一位数学家托里拆利成功地解决了这个问题：如图1，△ABC（三个内角均小于120°）的三条边的张角都等于120°，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°的点P，就是到点A，B，C的距离之和最小的点，后来人们把这个点P称为“费马点”．下面是“费马点”的证明过程：如图2，将△APB绕着点B逆时针旋转60°得到△A′P′B，使得A′P′落在△ABC外，则△A′AB为等边三角形，∴P′B＝PB＝PP′，于是PA+PB+PC＝P′A′+PP′+PC≥A′C，…．任务：（1）材料中，判定△A′AB为等边三角形的依据是．（2）请你完成剩余的部分．（3）如图，△ABC为锐角三角形，以AC为一边作等边△ACD，⊙O是△ACD的外接圆，连接BD交⊙O于点M，求证：M是△ABC的费马点．4．（2023•桐城市校级开学）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最近值”．【基础巩固】（1）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD为BC边上的高，已知AD上一点E满足∠DEC＝60°，AC＝，求AE+BE+CE＝　；【尝试应用】（2）如图2，等边三角形ABC边长为，E为高线AD上的点，将三角形AEC绕点A逆时针旋转60°得到三角形AFG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形ABC的“最近值”；【拓展提高】（3）如图3，在菱形ABCD中，过AB的中点E作AB垂线交CD的延长线于点F，连接AC、DB，已知∠BDA＝75°，AB＝6，求三角形AFB“最近值”的平方．5．（2019秋•台州期中）（1）知识储备①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的BC上任意一点．求证：PB+PC＝PA．②定义：在△ABC所在平面上存在一点P，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离．（2）知识迁移①我们有如下探寻△ABC（其中∠A，∠B，∠C均小于120°）的费马点和费马距离的方法：如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，根据（1）的结论，易知线段的长度即为△ABC的费马距离．②在图3中，用不同于图2的方法作出△ABC的费马点P（要求尺规作图）．（3）知识应用①判断题（正确的打√，错误的打×）：ⅰ．任意三角形的费马点有且只有一个；ⅱ．任意三角形的费马点一定在三角形的内部．②已知正方形ABCD，P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为，求正方形ABCD的边长．。

2018版高中物理二轮复习核心素养提升模型专项突破练 2-1-1 含答案精品

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模型专项突破练一绳杆模型(25分钟50分)1.(9分)(多选)(2018·枣庄一模)如图所示,穿在一根光滑固定杆上的小球A、B通过一条跨过定滑轮的细绳连接,杆与水平方向成θ角,不计所有摩擦。

当两球静止时,OA绳沿竖直方向,OB绳与杆的夹角为θ,则下列说法正确的是( )A.小球A可能受到3个力的作用B.小球B一定受到3个力的作用C.小球A、B的质量之比m A∶m B=1∶tanθD.小球A、B的质量之比m A∶m B=tanθ∶1【解析】选B、D。

由于OA绳沿竖直方向,小球A只能受到重力和拉力2个力的作用,且有F T=m A g,小球B一定受到重力、拉力和光滑固定杆支持力3个力的作用,A错,B对;B球静止时有F T cosθ=m B gsinθ,因此小球A、B 的质量之比m A∶m B=tanθ∶1,C错,D对。

2.(9分)(多选)(2018·黄山二模)如图所示,光滑的直杆竖直固定在地面上,小球M套在杆上并可上下自由滑动,轻质细绳(不可伸长)绕过定滑轮Q(滑轮大小不计),两端分别连着小球M和物块N。

同时由静止释放两物体,M上升并能到达与小滑轮等高的P点,N未着地,不计滑轮摩擦和空气阻力,在M上升到P点的过程中,下列说法正确的是世纪金榜导学号49294212( )A.小球M可能一直做加速运动B.小球M到达P点时物块N的速度等于零C.绳对小球M的拉力做的功等于小球M的动能的变化量D.物块N的机械能的减少量等于小球M的机械能的增加量【解析】选B、D。

小球M上升到达与小滑轮等高的P点时加速度向下,M 上升到P点的过程中先加速后减速,到达P点时沿绳方向速度为零,即物块N的速度等于零,A错B对;绳对小球M的拉力做的功与重力做功总和等于小球M的动能的变化量,C错,轻绳不可伸长,小球M和物块N组成的系统机械能守恒,物块N的机械能的减少量等于小球M的机械能的增加量,D 对。

2018版高中物理二轮复习核心素养提升模型专项突破练 2-1-6 含答案精品

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模型专项突破练六导体杆轨模型(25分钟50分)1.(9分)(多选)如图所示,竖直放置的平行金属导轨上端跨接一个阻值为R的电阻。

质量为m的金属棒MN可沿平行导轨竖直下滑,不计轨道与金属棒的电阻。

金属棒自由下落了h后进入一个有上下边界的匀强磁场区域,磁场方向垂直轨道平面,磁场宽度也为h,设金属棒MN到达上边界aa′时的速度为v1,到达下边界bb′时的速度为v2,则以下说法正确的是( )世纪金榜导学号49294227A.进入磁场区后,MN可能做匀速运动,则v1=v2B.进入磁场区后,MN可能做加速运动,则v1<v2C.进入磁场区后,MN可能做减速运动,则v1>v2D.通过磁场区域的过程中,R上释放出的焦耳热一定是mgh【解析】选A、B、C。

棒在进入磁场前做自由下落,当刚进入磁场时产生感应电流对应的安培力刚好等于重力,则接着做匀速直线运动,此时v1=v2,A正确;当刚进入磁场时产生感应电流对应的安培力大于重力,则根据牛顿第二定律,则做减速运动,此时v1>v2,C正确;当刚进入磁场时,产生感应电流对应的安培力小于重力时,则由牛顿第二定律,则做加速运动,此时v1<v2,B正确;当进入磁场后匀速运动时,通过磁场区域的过程中,R上释放出的焦耳热为mgh,根据能量守恒定律知,当棒在磁场中加速运动时,产生的焦耳热小于mgh,当棒在磁场中减速运动时,产生的焦耳热大于mgh,D错误。

2. (9分)(多选)如图所示,两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ=30°,间距为l。

导轨上端接有一平行板电容器,电容为C,在宽度为h的两虚线间的导轨上涂有薄绝缘涂层,匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向与导轨平面垂直,质量为m的导体棒从h高度处由静止释放,导体棒始终与导轨垂直且仅与涂层间有摩擦,动摩擦因数为,重力加速度为g,所有电阻忽略不计。

板块模型专项练习1(可编辑修改word版)

V 0板块模型专项练习 1一、不受已知外力情况下，物块在木板上的运动例题 1：如图所示，长为 L ＝2 m 、质量为 M ＝8 kg 的木板，放在水平地面上，木板向右运动的速度v 0＝6 m/s 时，在木板前端轻放一个大小不计，质量为m ＝2 kg 的小物块．木板与地面、物块与木板间的动摩擦因数均为μ＝0.2，g ＝10 m/s 2.求：(1) 物块及木板的加速度大小． (2) 物块滑离木板时的速度大小．例题 2：如图所示，一质量 M=0.2kg 的长木板静止在光滑的水平地面上，另一质量 m=0.2kg 的小滑块，以 V 0=1.2m/s 的速度从长木板的左端滑上长木板。

已知小滑块与长木板间的动摩擦因数μ1=0.4， g=10m/s 2, 问：（1）经过多少时间小滑块与长木板速度相等？（2）从小滑块滑上长木板，到小滑块与长木板相对静止，小滑块的位移是多少？木板的位移是多少？滑块相对于木板的位移是多少？（滑块始终没有滑离长木板）（3）请画出木板与滑块的运动过程示意图，以及它们的速度时间图例题 3：如图甲所示，质量为 M 的长木板，静止放置在粗糙水平地面上，有一个质量为 m 、可视为质点的物块，以某一水平初速度 v 0 从左端冲上木板．从物块冲上木板到物块和木板达到共同速度的过程中，物块和木板的 v －t 图象分别如图乙中的折线 acd 和 bcd 所示，a 、b 、c 、d 点的坐标为 a(0,10)、b(0,0)、 c(4,4)、d(12,0)．根据 v －t 图象，求：(1)物块相对长木板滑行的距离Δx. (2)物块质量 m 与长木板质量 M 之比．二、木板受外力情况下，物块在木板上的运动例题4：如图所示，质量M＝8 kg 的长木板放在光滑的水平面上，在长木板左端加一水平恒推力F＝8 N，当长木板向右运动的速度达到 1.5 m/s 时，在长木板前端轻轻地放上一个大小不计，质量为m＝2 kg 的小物块，物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.2，长木板足够长．(g＝10 m/s2)(1)小物块放后，小物块及长木板的加速度各为多大？(2)经多长时间两者达到相同的速度？(3)从小物块放上长木板开始，经过t＝1.5 s 小物块的位移大小为多少？例题5：如图所示，有一块木板静止在光滑且足够长的水平面上，木板质量为M=4kg，长为L=1.4m；木板右端放着一小滑块，小滑块质量为m=1kg，其尺寸远小于L。

高考物理二轮复习高分突破训练：专项1模型4板块模型

模型4板块模型(对应学生用书第90页)[模型统计]1．板块模型的特点板块模型一直以来都是高考考查的热点，板块模型问题，至少涉及两个物体，一般包括多个运动过程，板块间存在相对运动，应准确求出各物体在各个运动过程中的加速度(注意两过程的连接处加速度可能突变)，找出物体之间的位移(路程)关系或速度关系是解题的突破口，求解中应注意速度是联系两个过程的纽带，每一个过程的末速度是下一个过程的初速度，问题的实质是物体间的相互作用及相对运动问题，应根据题目中的已知信息及运动学公式综合分析，分段分步列式求解．2．板块模型的求解问题(1)相互作用、动摩擦因数．(2)木板对地的位移．(3)物块对地的位移．(4)物块对木板的相对位移．(5)摩擦生热，能量转化．3．板块模型的解题关键解决板块模型问题，不同的阶段要分析受力情况和运动情况的变化，抓住两者存在相对滑动的临界条件是两者间的摩擦力为最大静摩擦力，静摩擦力不但方向可变，而且大小也会在一定范围内变化，明确板块达到共同速度时各物理量关系是此类题目的突破点：(1)板块达到共同速度以后，摩擦力要发生转变，一种情况是板块间滑动摩擦力转变为静摩擦力；另一种情况是板块间的滑动摩擦力方向发生变化．(2)板块达到共同速度时恰好对应物块不脱离木板时板具有的最小长度，也就是物块在木板上相对于板的最大位移．(3)分析受力，求解加速度，画运动情境图寻找位移关系，可借助v-t图象．[模型突破]考向1有外力作用的板块问题[典例1]如图1所示，质量为M的木板(足够长)置于光滑水平面上，质量为m的木块与木板间的动摩擦因数为μ.开始时木板和木块均静止，某时刻起，一恒定的水平外力F作用在木板上，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则木块和木板各自运动的加速度a m、a M的大小分别为多少？图1【解析】若两物体相对静止一起向右做匀加速运动对整体，根据牛顿第二定律有F＝(M＋m)a则木块与木板间的摩擦力f＝ma＝m FM＋m≤μmg，即0＜F≤μ(M＋m)g此时a m ＝a M ＝F M ＋m当F ＞μ(M ＋m )g 时，两物体发生相对运动对木板，根据牛顿第二定律有μmg ＝ma m ，解得a m ＝μg对木块，根据牛顿第二定律有F －μmg ＝Ma M ，解得a M ＝F －μmg M综上所述，若0＜F ≤μ(M ＋m )g ，则a m ＝a M ＝F M ＋m若F ＞μ(M ＋m )g ，则a m ＝μg ，a M ＝F －μmg M .【答案】若0＜F ≤μ(M ＋m )g ，则a m ＝a M ＝F M ＋m ；若F ＞μ(M ＋m )g ，则a m ＝μg ，a M ＝F －μmg M[跟踪训练](1)若将典例1中的水平外力F 作用在木块上，其他条件不变，则木块和木板各自运动的加速度a m 、a M 的大小分别为多少？【解析】若0＜F ≤(M ＋m )M μmg ，则a m ＝a M ＝F M ＋m；若F ＞(M ＋m )M μmg ，则a m ＝F －μmg m ，a M ＝μmg M .(2)若将典例1中的木板置于粗糙水平面上，且木板与水平面间的动摩擦因数为μ2，木块与木板间的动摩擦因数为μ1，其他条件不变，则木块和木板各自运动的加速度a m 、a M 的大小分别为多少？【解析】若0＜F ≤μ2(M ＋m )g ，木块和木板的加速度均为零；若μ2(M ＋m )g ＜F ≤μ2(M ＋m )g ＋μ1(M ＋m )g ，则a m ＝a M ＝F －μ2(M ＋m )g M ＋m；若F ＞μ2(M ＋m )g ＋μ1(M ＋m )g ，则a m ＝μ1g ，a M ＝F －μ2(M ＋m )g －μ1mg M .考向2 水平面上具有初始速度的板块模型[典例2] 如图2所示，质量为M 的小车静止在光滑的水平面上，车长为L ，现有质量为m 、可视为质点的物块，以水平向右的初速度v 0从小车最左端滑上小车，物块与车面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g ，求：(1)物块在车面上滑行的时间t ；(2)要使物块不从小车最右端滑出，物块滑上小车最左端的初速度v 0′应满足的条件．图2【解析】 (1)假设小车足够长，物块以水平向左的加速度a 1＝μg 做匀减速直线运动，而小车以水平向右的加速度a 2＝μmg M 做匀加速直线运动，最终两物体以相同的速度v 一起向右做匀速运动，根据动量守恒定律有m v 0＝(M ＋m )v设物块在小车上滑行的距离为s ，根据能量守恒定律有μmgs ＝12m v 20－12(M ＋m )v 2联立解得s ＝M v 202μ(M ＋m )g若L ≥s ，则物块最终与小车一起以速度v 做匀速运动，根据运动学公式有v＝a 2t ，联立解得t ＝M v 0μ(M ＋m )g若L ＜s ，则物块一直以水平向左的加速度a 1＝μg 做匀减速直线运动，直到从小车最右端滑离小车，根据运动学公式有x 1＝v 0t －12a 1t 2，x 2＝12a 2t 2，x 1－x 2＝L联立以上几式解得t ＝M v 0－Mv 20－2μ(M ＋m )gL M μ(M ＋m )g . (2)要保证物块不从小车最右端滑离，物块滑上小车最左端的最大初速度v max 应满足：物块恰好到达小车最右端时两者共速．根据动量守恒定律和能量守恒定律有m v max ＝(M ＋m )v ，μmgL ＝12m v 2max －12(M ＋m )v 2，联立解得v max ＝2μ(M ＋m )gL M即要使物块不从小车最右端滑出，物块滑上小车最左端的初速度v 0′应满足的条件为v 0′≤2μ(M ＋m )gL M. 答案：见解析如图所示，光滑水平地面上有一质量为m 2的滑板，滑板最左端放有一个可视为质点的质量为m 1(m 1≠m 2)的物块，滑板与物块之间的动摩擦因数为μ，二者以相同的初速度v 0一起向右运动，滑板与竖直墙碰撞时间极短，且没有机械能损失，重力加速度为g ，为保证物块不从滑板上滑落，滑板的长度L 至少为多少？【解析】 (1)若m 2＞m 1，滑板与竖直墙碰撞后，以原速反弹，总动量向左，当二者达到相同速度后一起向左做匀速运动，物块在滑板上滑动的距离最大，设为L 1.根据动量守恒定律有(m 2－m 1)v 0＝(m 2＋m 1)v 1，v 1为物块与滑板碰撞后速度相同时的速度大小根据能量守恒定律有μm 1gL 1＝12(m 2＋m 1)v 20－12(m 2＋m 1)v 21联立解得L 1＝2m 2v 20μ(m 1＋m 2)g. (2)若m 2＜m 1，滑板与竖直墙碰撞后，以原速反弹，总动量向右，当二者达到相同速度后一起向右运动，再次与墙相碰，重复之前的运动，但两者共速时的速度越来越小．最终，滑板静止在竖直墙处，此过程物块一直相对滑板向右运动，当滑板(包括滑板上的物块)最终静止时，物块在滑板上滑动的距离最大，设为L 2.根据能量守恒定律有μm 1gL 2＝12(m 2＋m 1)v 20，解得L 2＝(m 1＋m 2)v 202μm 1g 所以L 2－L 1＝(m 1－m 2)2v 202μm 1(m 1＋m 2)g＞0，即L 1＜L 2，故滑板的长度至少为L ＝L 2＝(m 1＋m 2)v 202μm 1g .答案：(m 1＋m 2)v 202μm 1g考向3 传送带模型[典例3] (2018·赤峰4月模拟)如图3所示，一个可视为质点的物块，质量为m ＝1 kg ，从光滑四分之一圆弧轨道顶端由静止滑下，到达底端时恰好进入与圆弧轨道底端相切的水平传送带，传送带由电动机驱动着匀速逆时针转动，速度大小为v ＝3 m/s.已知圆弧轨道半径R ＝0.45 m ，物块与传送带间的动摩擦因数为μ＝0.1，两皮带轮之间的距离为L ＝4 m ，物块滑到圆弧轨道底端时对轨道的作用力为F ，物块与传送带摩擦产生的热量为Q .重力加速度取g ＝10 m/s 2.下列说法正确的是( )图3A ．F ＝10 NB ．F ＝20 NC ．Q ＝10 JD ．Q ＝4 JC [物块滑到圆弧轨道底端的过程中，由机械能守恒：mgR ＝12m v 20，解得：v 0＝2gR ＝3 m/s ，在轨道的底端，由牛顿第二定律得：F －mg ＝m v 20R ，代入数据解得F ＝30 N ，故A 、B 错误；物块滑上传送带将做匀减速运动，设匀减速运动的最大距离为s m ，加速度大小为a ，由牛顿第二定律得：μmg ＝ma ，解得a ＝1 m/s 2，可得：s m ＝v 202a ＝322×1m ＝4.5 m ，因为两皮带轮之间的距离为L ＝4 m ，所以物块将从传送带的右端离开传送带．设物块在传送带上滑行时间为t ，则有：L ＝v 0t －12at 2，解得：t ＝2 s ，在t ＝2 s 时间内传送带的位移大小为x ＝v t ＝2×3 m ＝6 m ，物块相对于传送带的位移为Δx ＝x ＋L ＝10 m ，热量Q ＝μmg Δx ＝10 J ，所以C 正确，D 错误．](2018·甘肃天水一模)如图所示，绷紧的水平传送带始终以恒定速率v 1运行．初速度大小为v 2的小物块从与传送带等高的光滑水平地面上的A 处滑上传送带．若从小物块滑上传送带开始计时，小物块在传送带上运动的v -t 图象(以地面为参考系)如图乙所示．已知v2>v1，则()甲乙A．t2时刻，小物块离A处的距离达到最大B．t2时刻，小物块相对传送带滑动的距离最大C．0～t2时间内，小物块受到的摩擦力方向先向右后向左D．0～t3时间内，小物块始终受到大小不变的摩擦力作用B[0～t1时间：滑动摩擦力向右，物体向左做匀减速运动，t1时刻向左位移达到最大，即离A处的距离最大，t1～t2时间：滑动摩擦力向右，物体向右由静止开始先做匀加速直线运动，t2以后物体做匀速直线运动，摩擦力为零．t2以后物体相对传送带静止，相对滑动的距离最大，故B正确．]。

手拉手模型专题训练含解析

手拉手模型专题训练一、解答题1. (1)如图①，和△(?£)£1都是等边三角形，且点3，C,七在一条直线上，连结8。

和AE,直线B。

，人石相交于点。

.则线段6。

与A石的数量关系为. 30与AE相交构成的锐角的度数为.(2)如图②，点3, C,石不在同一条直线上，其它条件不变，上述的结论是否还成立.图①图②图③(3)应用：如图③，点3，C, E不在同一条直线上，其它条件依然不变，此时恰好有NAEC = 30’.设直线AE交CO于点。

，请把图形补全.若PQ = 2,则。

p =2.在朋aAbC中，ABAC = 90°, AB = AC.(1)如图1,点。

为5c边上一点,连接AO,以AD为边作Rt/^ADE, ZDAE =90° , AD=AE,连接及二直接写出线段3。

与CE的数量关系为，位置关系为.(2)如图2,点。

为5c延长线上一点，连接40,以A。

为边作HfAAOf, ZDAE = 90°, AD = AE,连接EC.①用等式表示线段6C, DC, EC之间的数量关系为.②求证：BD2 + CD2 = 2AD2 .(3)如图3,点。

为-AbC外一点，且NA3C = 45。

，若60 = 13, CD=5 ,求A。

的长.图13.如图，在AA3C中，。

是6c边上一点，RAD = AB.AE//BC. ABAD = ZCAE ,(1)若4 = 65。

，求NC的度数.(2)若AE = AC,则AO平分4。

石是否成立？判断并说明理由.4.如图，△AC8和△反Z＞都是等腰直角三角形，C4 = C5,CO=CE,7C6的顶点A在△&?£＞的斜边。

石上，连接(1)求证：BD = AE.(2)若4£' =女叫4。

= 6。

n］，求AC的长.5.如图，。

为等边△ A6c的边5C延长线上的一动点，以AP为边向上作等边连接CO.(1)求证：4ABp 经4ACD •,(2)当尸C = AC时，求NPOC的度数;(3)NP0C与/尸4C有怎样的数量关系？随着点/＞位置的变化，NPOC与/PAC的数量关系是否会发生变化？请说明理由.D6 .如图，若△A60和△ACE 都是等边三角形，求N8OC 的度数.7 .在直线A3的同一侧作两个等边三角形△A6O 和△5CE,连接4月与CO,试解决下列问题：（1）求证：AE = DC ；（2）求的度数；（3）连接G /，试判断z^G 厂形状.8 .如图，点。

专题08十字模型综合应用(专项训练)(原卷版)

专题08 十字架模型综合应用（专项训练）1．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝（）A．B．C．D．2．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN＝EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN＝EF．你认为（）A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对3．如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点，且CE＝DF，AE、BF相交于点O，下列结论：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF；（3）AO＝OE；（4）S△AOB＝S四边形DEOF 中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．正方形ABCD中，E、F分别为AB、BC的中点，AF与DE相交于点O，则＝．5．如图，正方形ABCD中，BE＝EF＝FC，CG＝2GD，BG分别交AE、AF于M、N，下列结论：①AF⊥BG；②；③S四边形CGNF＝S△ABN；④．其中正确结论的序号有．6．如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是CD，BC边上的动点，且CE+CF＝4，BE和AF相交于点G，在点E、F运动的过程中，当△AGB中某一个内角是另一个内角的2倍时，△BCG的面积为．7．如图，正方形ABCD中，点P，Q分别为CD，AD边上的点，且DQ＝CP，连接BQ，AP．求证：BQ⊥AP．8．如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，CD于N，证明：AP＝MN；如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N．（1）求证：EF＝ME+FN；（2）若正方形ABCD的边长为2，则线段EF的最小值＝，最大值＝．9．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．10．综合与实践：如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F．（1）如图1，求证：△ABF≌△BCE；（2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG；（3）如图3，若AB＝4，连接AG，当点E在边AB上运动的过程中．AG是否存在最小值，若存在，请直接写出AG最小值，及此时AE的值；若不存在，请说明理由．11．如图，BD是矩形ABCD的一条对角线，EF⊥BD交AD于点E，交BC于点F，若AB ＝3，BC＝4，则EF的长是（）A．B．C．D．4。

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