北师大七年级下全等三角形全章复习基本题型
1北师大版七年级下册数学[.全等三角形的概念和性质(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形的概念和性质（基础）【学习目标】1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素. 2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.【要点梳理】要点一、全等形形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点三、对应顶点，对应边，对应角1. 对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.2. 找对应边、对应角的方法（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；（3）有公共边的，公共边是对应边；（4）有公共角的，公共角是对应角；（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.要点四、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.【典型例题】类型一、全等形和全等三角形的概念1、下列每组中的两个图形，是全等图形的为（）A． B．C．D．【答案】A【解析】B，C，D选项中形状相同，但大小不等.【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.举一反三：【变式】（2014秋•岱岳区期末）下列各组图形中，一定全等的是（）A.各有一个角是45°的两个等腰三角形B.两个等边三角形C.各有一个角是40°，腰长3cm的两个等腰三角形D.腰和顶角对应相等的两个等腰三角形【答案】D；解析：A、两个等腰三角形的45°不一定同是底角或顶角，还缺少对应边相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；B、两个等边三角形的边长不一定相等，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；C、40°角不一定是两个三角形的顶角，所以，两个三角形不一定全等，故本选项错误；D、腰和顶角对应相等的两个等腰三角形可以利用“边角边”证明全等，故本选项正确．类型二、全等三角形的对应边，对应角2、（2016•厦门）如图，点E，F在线段BC上，△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，AF与DE交于点M，则∠DCE=（）A．∠B B．∠A C．∠EMF D．∠AFB【思路点拨】由全等三角形的性质：对应角相等即可得到问题的选项【答案与解析】∵△ABF与△DCE全等，点A与点D，点B与点C是对应顶点，∴∠DCE=∠B，故选A．【总结升华】全等三角形对应角所对的边是对应边；全等三角形对应边所对的角是对应角. 举一反三：【变式】如图，△ABD≌△ACE，AB＝AC，写出图中的对应边和对应角.【答案】AB和AC是对应边，AD和AE、BD和CE是对应边，∠A和∠A是对应角，∠B和∠C，∠ADB和∠AEC是对应角.类型三、全等三角形性质3、已知：如图所示，Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°.以B为中心，将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，求∠ADB的度数.解：∵Rt△EBC中，∠EBC＝90°，∠E＝35°，∴∠ECB＝________°.∵将Rt△EBC绕点B逆时针旋转90°得到△ABD，∴△________≌△_________.∴∠ADB＝∠________＝________°.【思路点拨】由旋转的定义，△ABD≌△EBC，∠ADB与∠ECB是对应角，通过计算得出结论.【答案】55；ABD，EBC；ECB，55【解析】旋转得到的图形是全等形，全等三角形对应边相等，对应角相等.【总结升华】根据全等三角形的性质来解题.4、（2014秋•青山区期中）如图，△ABC≌△DEC，点E在AB上，∠DCA=40°，请写出AB的对应边并求∠BCE的度数．【思路点拨】根据全等三角形的性质得出即可，根据全等得出∠ACB=∠DCE ，都减去∠ACE 即可．【答案与解析】解：AB 的对应边为DE ，∵△ABC ≌△DEC ，∴∠ACB=∠DCE ，∴∠ACB —∠ACE=∠DCE —∠ACE ，即∠BCE=∠DCA=40°．【总结升华】本题考查了全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．举一反三：【变式】如图，将△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转20°，B 点落在B '位置，A 点落在A '位置，若AC A B ''⊥，则BAC ∠的度数是____________.【答案】70°；提示：BAC ∠＝∠B A C ''＝90°－20°＝70°.。
2024年北师大版七年级下册数学第四章三角形专项复习3 全等三角形的基本模型
180°－∠ADE，所以∠EDB＝∠EDF＋∠FDB＝∠A＋
∠AED.又因为∠A＝∠EDF，所以∠AED＝∠FDB.
又因为DE＝DF，∠A＝∠B，
所以△AED≌△BDF（AAS），
所以AE＝BD，AD＝BF，
所以AB＝BD＋AD＝AE＋BF＝3＋5＝8.
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＝，
所以△ADC≌△CEB（AAS）.
所以AD＝CE，DC＝BE.
所以DE＝CE＋DC＝AD＋BE.
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（3）如图③，在△ABC中，点D为AB上一点，DE＝
DF，∠A＝∠EDF＝∠B，AE＝3，BF＝5，请直接写
出AB的长.
解：（3）AB＝8.
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点拨： （3）因为∠A＋∠AED＝180°－∠ADE，∠EDB＝
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点拨：（1）因为∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
所以∠ACD＋∠CAD＝∠ACD＋∠BCE＝90°，
所以∠CAD＝∠BCE.
又因为AC＝BC，
所以△ADC≌△CEB（AAS），
所以CE＝AD，CD＝BE，
所以DE＝CD＋CE＝AD＋BE.
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（2）如图②，将（1）中条件改为∠ADC＝∠CEB＝
＝，
所以△ABC≌△DEF（SAS）.所以∠B＝∠E.
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模型2
对称模型
2.【2023·福建】如图，OA＝OC，OB＝OD，
∠AOD＝∠COB.试说明：AB＝CD.
解：因为∠AOD＝∠COB，所以∠AOD－∠BOD＝∠COB－∠BOD，
(完整word版)北师大2015七年级下全等三角形全章复习基本题型
B O DC 图1 A三角形全等条件分类复习专题一、三角形全等的条件之SAS 边角边的判定方法的两个三角形全等，简称边角边或SAS . 1. 如下图，AB=AD ，∠BAC=∠DAC ， 求证：△ABC ≌△ADC2.如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA 。
连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB 。
连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？课堂练习：1.如图，已知AD 平分∠BAC ，要使△ABD ≌△ACD ，根据“SAS ”需要添加条件 .2. 如图：在△ABE 和△ACF 中，AB ＝AC, BF ＝CE.求证：⑴△ABE ≌△ACF ⑵AF ＝AE课外延伸：1．如图1，已知；AC =DB ，要使ABC ∆≌DCB ∆，只需增加一个条件是_____ ____.2. 如图2，已知：在ABC ∆和DEF ∆中，如果AB ＝DE ，BC ＝EF ，只要找出∠ ＝∠ 或___ ___＝___ __或 // ，就可证得ABC ∆≌DEF ∆.3. 如图3，已知AB 、CD 交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，则在以下结论中：①AD ＝BC ；②AD ∥BC ；③∠A ＝∠C ；④∠B ＝∠D ；⑤∠A ＝∠B ，正确结论的个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4. 如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明：∠B ＝∠C.DBCA图3D F CE B A 图2EDCBA5.如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∠1＝∠2，试说明：△ABE ≌△DBC6.如图，已知点E 、F 在BC 上，且BE ＝CF ，AB ＝CD ，∠B =∠C ，试说明AF ＝DE7.如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2，试说明：BC ＝ DE8如图，E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝CD ，AB ∥CD 说明：（1）△ABF ≌ △DCE （2）AF ∥DE9.如图（16）AD ∥BC ，AD ＝BC ，AE ＝CF.求证：（1）DE ＝DF ，（2）AB ∥CD.ECD AB12F（图16）EDCBA二、三角形全等的条件之ASA与AAS角边角边的判定方法的两个三角形全等，简称角边角或.角角边的判定方法：的两个三角形全等，简称。
北师大版七年级数学下册第三章《三角形》单元复习题
第3章三角形单元复习题一、选择题1.一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点,这交点一定在 ( ）A.三角形内部B。
三角形的一边上C.三角形外部D.三角形的某个顶点上2.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是（)A。
4、5、6 B.6、8、15C.5、7、12D.3、9、133.在锐角三角形中,最大角α的取值范围是 ( )A。
0°＜α＜90° B.60°＜α＜90°C。
60°＜α＜180° D.60°≤α＜90°4.下列判断正确的是（）A。
有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B.有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C.有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D.有两角和一边对应相等的两个三角形全等5.等腰三角形的周长为24cm,腰长为xcm，则x的取值范围是( ）A.x＜6B.6＜x＜12C。
0＜x＜12 D。
x＞126.已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A。
则此三角形( )A.一定有一个内角为45°B.一定有一个内角为60°C.一定是直角三角形D.一定是钝角三角形7。
三角形内有一点，它到三边的距离相等,则这点是该三角形的 ( )A。
三条中线交点 B.三条角平分线交点C。
三条高线交点D。
三条高线所在直线交点8。
已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）A。
30°B。
75°C.105°D。
30°或75°9。
如图5—124，直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站,要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（)A。
一处 B.二处C。
三处D。
四处10。
三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是（)A.锐角三角形B.直角三角形C。
最新北师大版七年级下册三角形全等的证明单元测试试题以及答案
最新七年级下册三角形单元测试试题一、选择题1．一定在△ABC内部的线段是（）。
A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2．下列说法中，正确的是（）。
A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形3．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（）。
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定5．下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是（）A．4厘米、5厘米、6厘米B．4厘米、4厘米、4厘米C．5厘米、13厘米、6厘米D．7厘米、9厘米、7厘米6．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（）。
A．18 B．15 C．18或15 D．无法确定7．两根木棒分别为6cm和9cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（）种。
A．3 B．4 C．5 D．68．△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b＝4，那么这样的三角形共有（）个。
A．4 B．6 C．8 D．109．各边长均为整数的不等边三角形的周长小于13，这样的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．三角形所有外角的和是（）A．180° B．360° C．720° D．540°11．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（ ） A ．0°＜α＜90°; B ．60°＜α＜180°; C ．60°＜α＜90°; D ．60°≤α＜90°12．如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为（ ）A ．锐角或直角三角形;B ．钝角或锐角三角形C ．直角三角形;D ．钝角或直角三角形13．已知△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ）A ．小于直角;B ．等于直角;C ．大于直角;D ．大于或等于直角 二、填空题1．如图:（1）AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是________的高， ∠________＝∠________＝90°；（2）AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则AE 叫________，∠________＝∠________＝∠________，AH叫________；（3）若AF ＝FC ，则△ABC 的中线是________；（4）若BG ＝GH ＝HF ，则AG 是________的中线，AH 是________的中线．212．如图，∠ABC＝∠ADC＝∠FEC＝90°．（1）在△ABC中，BC边上的高是________；（2）在△AEC中，AE边上的高是________；（3）在△FEC中，EC边上的高是________；（4）若AB＝CD＝3，AE＝5，则△AEC的面积为________．3．在等腰△ABC中，如果两边长分别为6cm、10cm，则这个等腰三角形的周长为________．4．五段线段长分别为1cm、2cm、3cm、4cm、5cm，以其中三条线段为边长共可以组成________个三角形．5．已知三角形的两边长分别为3和10，周长恰好是6的倍数，那么第三边长为________．6．一个等腰三角形的周长为5cm，如果它的三边长都是整数，那么它的腰长为________cm．7．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝5∶2∶3，则∠A＝______；∠B ＝______；∠C＝______．8．如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点I．（1）若∠ABC＝70°，∠ACB＝50°，则∠BIC＝________；（2）若∠ABC＋∠ACB＝120°，则∠BIC＝________；（3）若∠A＝60°，则∠BIC＝________；（4）若∠A＝100°，则∠BIC＝________；（5）若∠A＝n°，则∠BIC＝________．三、解答题1．在△ABC中，∠BAC是钝角．画出：（1）∠ABC的平分线；（2）边AC上的中线；（3）边AC上的高．2．△ABC 的周长为16cm ，AB ＝AC ，BC 边上的中线AD 把△ABC 分成周长相等的两个三角形．若BD ＝3cm ，求AB 的长．3．如图，AB ∥CD ，BC ⊥AB ，若AB ＝4cm ，，求△ABD 中AB 边上的高．212cm =∆ABCS4．学校有一块菜地，如下图．现计划从点D 表示的位置（BD ∶DC ＝2∶1）开始挖一条小水沟，希望小水沟两边的菜地面积相等．有人说：如果D 是BC 的中点的话，由此点D 笔直地挖至点A 就可以了．现在D 不是BC 的中点，问题就无法解决了．但有人认为如果认真研究的话一定能办到．你认为上面两种意见哪一种正确，为什么?5．在直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，如下图所示．作BC 边上的高，图中出现三个直角三角形（3＝2×1＋1）；又作△ABD 中AB 边上的高，这时图中便出现五个不同的直角三角形（5＝2×2＋1）；按照同样的方法作、、……、．当作出时，图中共有多少个不同的直角三角形?1DD 21D D 32D D k k D D 1-k k D D 1-6．一块三角形优良品种试验田，现引进四个良种进行对比实验，需将这块土地分成面积相等的四块．请你制订出两种以上的划分方案．7．一个三角形的周长为36cm，三边之比为a∶b∶c＝2∶3∶4，求a、b、c．8．已知△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求△ABC各边的长．9．已知三角形三边的长分别为：5、10、a－2，求a的取值范围．10．已知等腰三角形中，AB＝AC，一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成18cm和9cm两部分，求这个等腰三角形的底边的长．11．如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD－BC＜AD－AB．12．如图，△ABC 中，D 是AB 上一点．求证：（1）AB ＋BC ＋CA ＞2CD ；（2）AB ＋2CD ＞AC ＋BC ．13．如图，AB ∥CD ，∠BMN 与∠DNM 的平分线相交于点G ，（1）完成下面的证明：∵ MG 平分∠BMN （ ），∴ ∠GMN ＝∠BMN （ ），同理∠GNM ＝∠DNM ．∵ AB ∥CD （ ），∴ ∠BMN ＋∠DNM ＝________（ ）．∴ ∠GMN ＋∠GNM ＝________．2121∵∠GMN＋∠GNM＋∠G＝________（），∴∠G＝ ________．∴ MG与NG的位置关系是________．（2）把上面的题设和结论，用文字语言概括为一个命题：_________________________________________________．14．已知，如图D是△ABC中BC边延长线上一点，DF⊥AB交AB于F，交AC于E，∠A＝46°，∠D＝50°．求∠ACB的度数．15．已知，如图△ABC中，三条高AD、BE、CF相交于点O．若∠BAC ＝60°，求∠BOC的度数．16．已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．17．已知，如图CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，BE是∠ABC内任一射线，交CE于E．求证：∠EBC＜∠ACE．18．画出图形，并完成证明：已知：AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，且AD∥BC．求证：∠B＝∠C．。
新北师大版七下第三章全等三角形的判定专题复习
E A C
D
全等三角形判定
2、如图所示，已知∠B=∠C ，请你添加 一个条件 ，依据 AAS 使得 BD=CE △ABC≌△ABD
B
E A C
D
全等三角形判定
1、如图所示，已知AB=DC，请你添加一 AC=DB 个条件 ∠ACB=∠DBC ，依据 SAS 使得 △ABC≌△DCB
B
思 路
E A C
A D
B
C
全等三角形判定
1、如图所示，已知∠ABC=∠DCB，请你 添加一个条件∠ACB=∠DBC ，依据 ASA 使 得△ABC≌△DCB
A D
B
C
全等三角形判定
1、如图所示，已知∠ABC=∠DCB，请你 添加一个条件 ∠A=∠D ，依据 AAS 使 得△ABC≌△DCB 思
A
D
B
C
已 知 一 边 一 角
D
已 找夹边(ASA) 知 两 角 找任一对边 (AAS)
全等三角形判定
1、如图所示，已知∠A=∠D，请你添加 一个条件 ∠ABC=∠DC ，依据 AAS 使 B 得△ABC≌△DCB 思
路
A D 已 知 一 边 C 一 角 若 边 为 角 找任一角 (AAS) 的 对 边
B
全等三角形判定
1、如图所示，已知∠ABC=∠DCB，请你 添加一个条件 AB=D ，依据 SAS 使 C 得△ABC≌△DCB
大湖中学 赖世挺
一、知识点
1、定义：能够 完全重合的两个三角形 称为全等 三角形。 2、表示法：符号“≌”，如下图，△ABC与 A △DEF全等，记作 △ABC≌△DEF 。 注意：记两个三角形全等时，要把 B C 对应顶点 的字母写在 对应位置 上。 D 全等三角形的 对应边 相等； 3、性质： E 全等三角形的 对应角 相等。 4、判定三角形全等的方法： SSS SAS ASA AAS
北师大版数学七年级下全等三角形、等腰三角形专题复习
初中数学试卷全等三角形、等腰三角形专题复习一、知识回顾1.全等三角形的性质：全等三角形对应边 ；全等三角形对应角 .2.全等三角形的判断方法有 ： ， ， ， ， （简记形式）3.等腰三角形：（1）定义 ；（2）性质：①等腰三角形的两底角 ；简记为②“三线合一”是指 . ③对称性，等腰三角形有 条对称轴，是 .（3）等腰三角形的判定：①两边相等的三角形是 （定义）② ；简记 .4.等边三角形：（1）定义：腰和底边相等的等腰三角形是 ；（2）性质：①等边三角形的三边 ，②等边三角形三内角 ，都为 . ③等边三角形对称性，等边三角形有 条对称轴，是 .④在直角三角形中，300角所对的 的一半.（3）等边三角形的判定方法：①三边相等的三角形是 ；②三内角相等的三角形是 ，③有两个角为600的三角形是 ；④有一个角为600的 是等边三角形.二、典例讲解1.利用相等线段的和差找对应边相等证明三角形全等.例1.如图，在△ABC 与△FED 中，AD=CF ，BC=DE ，BC ∥DE ；求证:AB ∥FE.D A B C F EF E D C B A E D B C A F EDC B A2.利用相等角的和差找对应角相等证明三角形全等.例2.如图， 若AB=AE, ∠1=∠2=∠EFB ，那么AF=AC 吗？说明理由.3.利用三角形全等找出对应相等的边或角，再次证明三角形全等解题（两次全等）例3. 如图，在四边形ABCD 中，AE ⊥BD,CF ⊥BD, AB=CD, AE=CF ，试判断AD 与BC 有何关系？并说明理由.4.通过添加辅助线，完成解题.例4．如图，在△ACB 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，DB=DE ，（1）若AC=8,AB=10 , S △ABC =24 ,求CD 的长.（2）探究线段AB 、AC 、CE 之间的数量关系，并证明你的结论.5.等腰三角形问题.例5.如图，点E 在△ABC 的AC 边的延长线上，D 点在AB 边上，DE 交BC 于点F ，DF=EF ，BD=CE. 求证：△ABC 是等腰三角形.6.等边三角形问题.例6.如图，已知△ABC 、△ADE 是等边三角形.(1)找出图中一对全等三角形,并证明. A B F C E 1 2ED C B A B A FE D C EF D BCA (2)猜想线段AC 、CE 、CD 三者有何数量关系，说明理由.知识应用：1．如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是（ ）A.SSSB.SASC.AASD.ASA1题图 2题图 4题图 2.如图，∠1=∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需添加一个条件, 那么补充下列一个条件后, 仍无法判定△ABD ≌△ACD 的是( )A.∠B=∠CB.∠BAD=∠CADC. BD=CDD. AB=AC3．如图，是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ， AB=8m ，∠A=30°，则DE 等于（ ）A.1mB.2m C,3m D.4m4.如图，∠EAF=15°，AB=BC=CD=DE=EF ，则∠DEF 等于（ ）A.90°B. 75°C.70°D.60°5．如图所示，∠BAC =108° ,AB =AC=BE=CD ,则图中共有等腰三角形（ ）A.6个B.5个C.4个D.3个5题图 6题图 8题图6．已知，如图：AB ∥DE ，AB=DE ，要使ΔABC ≌ΔDEF.(1) 若以“SAS ”为依据，还要添加的条件为_ _；(2) 若以“ASA ”为依据，还要添加的条件为__ ___；(3) 若以“AAS ”为依据，还要添加的条件为_ ；7.若等腰三角形的一个内角是800, 则它的另两个角是 ；若等腰三角形的两边长a, b ；满足0136422=+-+-b b a a ，则周长为 .8.如图，∠BAC=30º，点D 为∠BA C 角平分线上一点，DE⊥A B 于E ，DF//AB ，交AC 于点F ，DE=5 ，则△AFD 的面积为 . 9.如图，AB=BC=10, AD ⊥BC, AF ⊥CD, BD=4 ,求CE 的长.3题图 E D C B A D CB A F EA21D B C A P N M E D CB A10.如图，在△ABC 中，BD=DC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC.11.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE ⊥AB 于点E ，AD=AC ，AF 平分∠CAB•交CE 于点F ，DF 的延长线交AC 于点G ，求证：（1）DF ∥BC ； （2）FG=FE.12.如图，长方形ABCD 中，E 是AD 上一点，∠EBC=30º，∠ECD=15º，求证：BC=2CD.13.如图，在△ABC 中，AB >AC ，AD 为∠A 的平分线， 求证：AB -AC >BD -CD.14.如图，△ABC 和△DCE 都是等边三角形，B 、C 、E 共线，BD 与AC 、AE 相交于M 、P ，AE 与CD 相交于N.求证：（1）△BCD≌△ACE； (2)∠APB= 度； (3) PC 平分∠BPE 吗？说明理由.15.如图，点P 是等腰Rt △ACB 内任意一点（AC=BC ），连接AP 、BP 、CP ，以CP 为腰作等腰Rt △PCE ，连接BE ，(1)图中的全等三角形是 .（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)当∠APB=1150 时，求∠PBE 的度数；(3)在(2)的条件下，设∠APC= x 0 ，试探究：△PBE 可以是等腰三角形吗？若能，求满足条E D C BA件的x的值；若不能，说明理由.。
北师大版七年级下册数学[全等三角形判定一(基础)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习全等三角形判定一（SSS,ASA ，AAS ）（基础）【学习目标】1．理解和掌握全等三角形判定方法1——“边边边”，判定方法2——“角边角”，判定方法3——“角角边”；能运用它们判定两个三角形全等．2．能把证明角相等或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．【要点梳理】要点一、全等三角形判定1——“边边边”全等三角形判定1——“边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS ”）.要点诠释：如图，如果''A B ＝AB ，''A C ＝AC ，''B C ＝BC ，则△ABC ≌△'''A B C .要点二、全等三角形判定2——“角边角”全等三角形判定2——“角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA ”）. 要点诠释：如图，如果∠A ＝∠'A ，AB ＝''A B ，∠B ＝∠'B ，则△ABC ≌△'''A B C .要点三、全等三角形判定3——“角角边”1.全等三角形判定3——“角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS ”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论.2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在△ABC 和△ADE 中，如果DE ∥BC ，那么∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，又∠A ＝∠A ，但△ABC 和△ADE 不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等.要点四、如何选择三角形证全等1.可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；2.可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；3.由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；4.如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.【典型例题】类型一、全等三角形的判定1——“边边边”1、已知：如图，△RPQ 中，RP ＝RQ ，M 为PQ 的中点．求证：RM 平分∠PRQ ．【思路点拨】由中点的定义得PM ＝QM ，RM 为公共边，则可由SSS 定理证明全等.【答案与解析】证明：∵M 为PQ 的中点（已知），∴PM ＝QM在△RPM 和△RQM 中，()(),,RP RQ PM QM RM RM ⎧=⎪=⎨⎪=⎩已知公共边 ∴△RPM ≌△RQM （SSS ）．∴ ∠PRM ＝∠QRM （全等三角形对应角相等）．即RM 平分∠PRQ.【总结升华】在寻找三角形全等的条件时有的可以从图中直接找到，如：公共边、公共角、对顶角等条件隐含在题目或图形之中. 把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等，综合应用全等三角形的性质和判定.举一反三：【变式】（2015•武汉模拟）如图，在△ABC 和△DCB 中，AB=DC ，AC=DB ，求证：△ABC ≌△DCB ．【答案】证明：在△ABC和△DCB中，，∴△ABC≌△DCB（SSS）．类型二、全等三角形的判定2——“角边角”2、（2016•安徽模拟）如图，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是．（1）小明添加的条件是：AP=BP．你认同吗？（2）你添加的条件是，请用你添加的条件完成证明．【思路点拨】（1）根据全等三角形的判定进行解答即可；（2）添加∠APO=∠BPO，利用ASA 判断得出△AOP≌△BOP．【答案】（1）不认同；（2）∠APO=∠BPO．【解析】解：（1）不认同，按小明添加的条件，就是用“边边角”证明全等，而“边边角”是不能说明三角形全等的；（2）∠APO=∠BPO．理由：∵点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP=∠BOP，在△AOP和△BOP中，∴△AOP≌△BOP（ASA）.故答案为：∠APO=∠BPO．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件.举一反三：【变式】如图，AB∥CD，AF∥DE，BE＝CF.求证：AB＝CD.【答案】证明：∵AB ∥CD ，∴∠B ＝∠C.∵AF ∥DE ，，∴∠AFB ＝∠DEC.又∵BE ＝CF ，∴BE ＋EF ＝CF ＋EF ，即BF ＝CE.在△ABF 和△DCE 中，B C BF CEAFB DEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABF ≌△DCE （ASA ）∴AB ＝CD （全等三角形对应边相等）.类型三、全等三角形的判定3——“角角边”3、已知：如图，AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∠E ＝∠B ，DE ＝CB ．求证：AD ＝AC ．【思路点拨】要证AC ＝AD ，就是证含有这两个线段的三角形△BAC ≌△EAD.【答案与解析】证明：∵AB ⊥AE ，AD ⊥AC ，∴∠CAD ＝∠BAE ＝90°∴∠CAD ＋∠DAB ＝∠BAE ＋∠DAB ，即∠BAC ＝∠EAD在△BAC 和△EAD 中BAC EAD B E CB=DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩∴△BAC ≌△EAD （AAS ）∴AC ＝AD【总结升华】我们要善于把证明一对角或线段相等的问题，转化为证明它们所在的两个三角形全等．举一反三：【变式】如图，AD 是△ABC 的中线，过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵AD 为△ABC 的中线∴BD ＝CD∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，∴∠BED ＝∠CFD ＝90°，在△BED 和△CFD 中BED CFD BDE CDFBD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（对顶角相等） ∴△BED ≌△CFD （AAS ）∴BE ＝CF4、已知：如图，AC 与BD 交于O 点，AB ∥DC ，AB ＝DC ．（1）求证：AC 与BD 互相平分；（2）若过O 点作直线l ，分别交AB 、DC 于E 、F 两点，求证：OE ＝OF.【思路点拨】（1）证△ABO ≌△CDO ，得AO ＝OC ，BO ＝DO （2）证△AEO ≌△CFO 或△BEO ≌△DFO【答案与解析】证明：∵AB ∥DC∴∠Ａ＝∠Ｃ在△ABO 与△CDO 中A C (AOB COD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝对顶角相等） AB=CD∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝CO ，BO=DO在△AEO 和△CFO 中A C (AOE COF ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝AO=CO＝对顶角相等） ∴△AEO ≌△CFO （ASA ）∴OE ＝OF.【总结升华】证明线段相等，就是证明它们所在的两个三角形全等．利用平行线找角等是本题的关键.类型四、全等三角形判定的实际应用5、在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉敌军的碉堡，要知道碉堡与我军阵地的距离.在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一名战士想出了这样一个办法：他面向碉堡站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部.然后，他转身向后，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己这岸的某一点上.接着，他用步测的办法量出了自己与该点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.这名战士的方法有道理吗？请画图并结合图形说明理由.【答案与解析】设战士的身高为AB ，点C 是碉堡的底部，点D 是被观测到的我军阵地岸上的点，由在观察过程中视线与帽檐的夹角不变，可知∠BAD ＝∠BAC ，∠ABD ＝∠ABC ＝90°.在△ABD 和△ABC 中，ABD ABC AB ABBAD BAC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABD ≌△ABC （ASA ）∴BD ＝BC.这名战士的方法有道理.【总结升华】解决本题的关键是结合图形说明那名战士测出的距离就是阵地与碉堡的距离，可以先画出示意图，然后利用全等三角形进行说明.解决本题的关键是建立数学模型，将实际问题转化为数学问题并运用数学知识来分析和解决.。
最新北师大版七年级下册数学期末复习三角形全等证明练习试题以及答案
七年级下册数学期末复习试题1、已知：如图，∠A＝∠B，∠3＝∠4，求证：AC＝BD．2、如图，D在AB上，E在AC上，BD、CE交于O，若AB=AC，∠B=∠C．求证：AD=AE．3、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB。
求证：AE=CE。
5、已知：如图，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C .求证：AF=DE。
6、将两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，求证：（1）DC＝BE；（2）（2）DC⊥BE。
7、已知：如图，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2。
求证：△ABD≌△ACE.8、已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线DE经过点A，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足为D、E．求证：BD＝AE。
9、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E．AD⊥CE于点D．求证：BE+DE＝AD．10、已知：如图3，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB＝CD，AD＝BC．11、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．12、已知：如图，在△ABC和△DBC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，P是BC上任意一点．求证：PA＝PD．13、14、15、16、如图所示，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.(1)试说明：△ACD≌△BCE；(2)若∠D＝50°，求∠B的度数.17、把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在AC上连接AE、BD，试判断AE与BD的关系，并说明理由。
18、如图：E在线段CD上，EA、EB分别平分∠DAB和∠CBA, 点F在线段AB上运动，AD＝4㎝,BC＝3㎝, 且AD∥BC（1）你认为AE和BE有什么位置关系？并验证你的结论；（2）当点F运动到离点A多少㎝时，△ADE才能和△AFE全等？为什么？（3）在（2）的情况下，此时BF＝BC吗？为什么？并求出AB的长。
北师大版七年级数学下册(三角形全等)专题训练
七年级数学定制一、选择题1.如图给出了四组三角形，其中全等的三角形有( )组．A. 1B. 2C. 3D. 42.如图，要测量河两岸相对的两点A、B间的距离，先在过点B的AB的垂线l上取两点C、D，使CD=BC，再在过D的垂线上取点E，使A、C、E在一条直线上，这时△ACB≌△ECD，DE=AB.测得DE的长就是A、B的距离，这里判断△ACB≌△ECD的理由是( )A. SASB. ASAC. AASD. SSS3.下列条件中不能判定△ABC≌△DEF的是( )A.AB=DE，AC=DF，BC=EFB. AB=DE，∠A=∠D，BC=EFC. AB=DE，∠B=∠DEF，BC=EFD. ∠B=∠DEF，∠A=∠D AB=DE4、如图所示，AD平分∠BAC，AB=AC，连结BD、CD并延长分别交AC、AB于F、E 点，则此图中全等三角形的对数为( )A.2对B. 3对C. 4对D. 5对5、下列判断正确的是( )A. 顶角相等的的两个等腰三角形全等B. 腰相等的两个等腰三角形全等C. 有一边及一锐角相等的两个直角三角形全等D. 顶角和底边分别相等的两个等腰三角形全等6、如图，已知MB=ND，∠MBA=∠NDC，下列条件中不能判定△ABM≌△CDN的是( )A. ∠M=∠NB. AM//CNC. AB=CDD. AM=CN7、在△ABC和△A′B′C′中A′B′=AB，∠B=∠B′，补充条件后仍不一定能保证△A′B′C′≌△ABC，则补充的条件是( )A. A′C′=ACB. B′C′=BCC. ∠A′=∠AD. ∠C′=∠C8、观察如图图形，图(1)中有3个三角形，图(2)中有5个三角形，图(3)中有7个三角形，…若依此规律下去，则第2014个图形中三角形的个数是( )A. 4028B. 4029C. 4030D. 4031二、填空题9、按如下规律摆放三角形：第(n)堆三角形的个数为______ ．10、当三角形中一个内角β是另一个内角α的12时，我们称此三角形为”希望三角形“，其中角α称为”希望角“.如果一个”希望三角形“中有一个内角为54∘，那么这个”希望三角形“的”希望角“度数为______ ．三、解答题11、如图，AC 与BD 交于点O ，AD=CB ，E 、F 是BD 上两点，且AE=CF ，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B ；⑵AE ∥CF ．12、如图，ΔABC 中，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ． ⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论． ⑵若连结DE ，则DE 与AB 有什么关系？并说明理由．13、如图，在△ABC 中，∠B=2∠C,AD 是△ABC 的角平分线，∠1=∠C,求证AC=AB+BDB C D AF G E14、如图1，将一块等腰直角三角板ABC的直角顶点C置于直线l上，图2是由图1抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为D、E．(1)△ACD与△CBE全等吗？说明你的理由．(2)猜想线段AD、BE、DE之间的关系.(直接写出答案)14、如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE．(1)请判断：AF与BE的数量关系是______ ，位置关系是______ ；(2)如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变为“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”，第(1)问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予说明；(3)若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第(1)问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断．16、如图△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120∘的等腰三角形，以D为顶点作一个60∘角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：(1)线段BM、MN、NC之间的数量关系．(2)若点M、N分别是AB、CA延长线上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC 之间的数量关系，在图中画出图形.并对以上两种探究结果选择一个你喜欢的加以证明．。
专题4.3 全等三角形的性质【八大题型】(举一反三)(北师大版)(解析版)七年级下册
专题4.3全等三角形的性质【八大题型】【北师大版】【题型1全等图形的概念】 (1)【题型2全等三角形的对应元素判断】 (4)【题型3全等三角形的性质（求长度）】 (6)【题型4全等三角形的性质（求角度）】 (9)【题型5全等三角形的性质（判断结论）】 (12)【题型6全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】 (17)【题型7全等三角形的性质（动点问题）】 (21)【题型8全等三角形的性质（证明题）】 (25)【题型1全等图形的概念】【例1】（2022春•偃师市期末）下列说法不正确的是（）A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关C．全等图形的面积相等，面积相等的两个图形是全等图形D．全等三角形的对应边相等，对应角相等【分析】直接利用全等图形的定义与性质分别分析得出答案．【解答】解：A．如果两个图形全等，那么它们的形状和大小一定相同，正确，不合题意；B．图形全等，只与形状、大小有关，而与它们的位置无关，正确，不合题意；C．全等图形的面积相等，但是面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项错误，符合题意；D．全等三角形的对应边相等，对应角相等，正确，不合题意；故选：C．【变式1-1】（2021秋•思南县期中）有下列说法，其中正确的有（）①两个等边三角形一定能完全重合；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同；③两个等腰三角形一定是全等图形；④面积相等的两个图形一定是全等图形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】直接利用全等图形的性质分别分析得出答案．【解答】解：①两个等边三角形不一定能完全重合，故此选项不合题意；②如果两个图形是全等图形，那么它们的形状和大小一定相同，故此选项符合题意；③两个等腰三角形不一定是全等图形，故此选项不合题意；④面积相等的两个图形不一定是全等图形，故此选项不合题意．故选：A．【变式1-2】（2021秋•蔡甸区期中）如图，有①～⑤5个条形方格图，每个小方格的边长均为1，则②～⑤中由实线围成的图形与①中由实线围成的图形全等的有（）A．②③④B．③④⑤C．②④⑤D．②③⑤【分析】本题可通过旋转，看后边四个实线图形能和①中图形完全重合的便是①的全等形．【解答】解：②以右下角顶点为定点顺时针旋转90°后，两个实线图形刚好重合，③中为平行四边形，而①中为梯形，所以不能和①中图形完全重合，④可上下反转成②的情况，然后旋转可和①中图形完全重合，⑤可旋转180°后可和①中图形完全重合，故选：C．【变式1-3】（2021春•宁德期末）在如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为1．沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．在所有的分割方案中，最长分割线的长度等于．【分析】沿着图中的虚线，可以将该图形分割成2个全等的图形．画出所有的分割方案，即可得到最长分割线的长度．【解答】解：分割方案如图所示：由图可得，最长分割线的长度等于7．故答案为：7．【知识点3全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）【题型2全等三角形的对应元素判断】【例2】（2021秋•南沙区期末）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．115°B．65°C．40°D．25°【分析】根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣115°﹣25°＝40°，∵两个三角形全等，∴∠1＝∠2＝40°，故选：C．【变式2-1】（2021秋•大连期中）如图，△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB和AC 是对应边，其它对应边及对应角正确的是（）A．∠ANB和∠AMC是对应角B．∠BAN和∠CAB是对应角C．AM和BM是对应边D．BN和CN是对应边【分析】全等三角形的对应顶点在对应位置，按顺序找即可．关键要细心，找对对应角和对应边．【解答】解：∵△ABN≌△ACM，∠B和∠C是对应角，AB与AC是对应边，∴对应边：AN与AM，BN与CM；对应角：∠BAN＝∠CAM，∠ANB＝∠AMC．故选：A．【变式2-2】（2021春•泰兴市期末）边长都为整数的△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，AB＝2，BC＝4，若△DEF的周长为奇数，则DF的值为（）A．3B．4C．3或5D．3或4或5【分析】根据三角形的三边关系求得AC的范围，然后根据全等三角形的对应边相等即可求解．【解答】解：AC的范围是2＜AC＜6，则AC的奇数值是3或5．△ABC和△DEF全等，AB与DE是对应边，则DE＝AB＝2，当DF＝AC时，DF＝3或5．当DF＝BC时，DF＝4．故选：D．【变式2-3】（2021秋•鲁甸县期末）如果△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x﹣2，2y﹣1，若这两个三角形全等，则x+y＝．【分析】根据全等三角形的对应边相等列出方程，解方程分别求出x 、y ，计算即可，注意分类讨论．【解答】解：∵两个三角形全等，∴3x ﹣2＝5，2y ﹣1＝7或3x ﹣2＝7，2y ﹣1＝5，解得：x =73，y ＝4或x ＝3，y ＝3，则x +y =193或6，故答案为：193或6．【题型3全等三角形的性质（求长度）】【例3】（2021秋•青田县期末）如图，已知△ABC ≌△DEF ，B ，E ，C ，F 在同一条直线上．若BF ＝8cm ，BE ＝2cm ，则CE 的长度（）cm ．A ．5B ．4C ．3D ．2【分析】根据全等三角形的性质得出BC ＝EF ，求出BE ＝CF ＝2cm ，再求出答案即可．【解答】解：∵△ABC ≌△DEF ，∴BC ＝EF ，∴BC ﹣CE ＝EF ﹣CE ，∴BE ＝CF ，∵BE ＝2cm ，∴CF ＝BE ＝2cm ，∵BF ＝8cm ，∴CE＝BF﹣BE﹣CF＝8﹣2﹣2＝4（cm），故选：B．【变式3-1】（2022秋•巴南区期末）如图，△ABC≌△BDE，AB⊥BD，AB＝BD，AC＝4，DE＝3，CE的长为（）A．1B．2C．3D．4【分析】根据全等三角形的性质和线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵△ABC≌△BDE，∴BE＝AC＝4，BC＝DE＝3，∴CE＝BE﹣BC＝1，故选：A．【变式3-2】（2020秋•永嘉县校级期末）如图，已知△ABC≌△DBE，点A，C分别对应点D，E，BC交DE于点F，∠ABD＝∠E，若BE＝10，CF＝4，则EF的长为（）A．4B．5C．6D．7【分析】根据全等三角形性质，可得：∠ABC＝∠DBE，进而得出∠ABD＝∠FBE，得出∠FBE＝∠E，得出BF＝EF即可．【解答】解：∵△ABC≌△DBE，∴∠ABC＝∠DBE，BE＝BC，∴∠ABC﹣∠DBF＝∠DBE﹣∠DBF，即∠ABD＝∠FBE，∵∠ABD＝∠E，∴∠FBE＝∠E，∴BF＝EF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6，故选：C．【变式3-3】（2021春•沙坪坝区期末）如图，△ABC中，点D、点E分别在边AB、BC上，连结AE、DE，若△ADE≌△BDE，AC：AB：BC＝2：3：4，且△ABC的周长比△AEC 的周长大6．则△AEC的周长为．【分析】由AC：AB：BC＝2：3：4，可设AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．△ABC的周长比△AEC的周长大6，可推断出x＝2，故AC＝4，BC＝8．由△ADE≌△BDE，得AE＝BE，故CAEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC＝12．△【解答】解：∵△ADE≌△BDE，∴BE＝AE．∴CAEC＝AE+EC+AC＝BE+EC+AC＝BC+AC．△∵AC：AB：BC＝2：3：4，∴设AC＝2x，AB＝3x，BC＝4x．∵△ABC的周长比△AEC的周长大6，∴CABC﹣C△AEC＝6．△∴（AB+BC+AC）﹣（BC+AC）＝6．∴AB＝3x＝6．∴x＝2．∴AC＝2x＝4，BC＝4x＝8．∴CAEC＝BC+AC＝8+4＝12．△故答案为：12．【题型4全等三角形的性质（求角度）】【例4】（2022春•鼓楼区校级期末）如图，△ABC≌△A′B′C′，边B′C′过点A且平分∠BAC交BC于点D，∠B＝27°，∠CDB′＝98°，则∠C′的度数为（）A．60°B．45°C．43°D．34°【分析】根据对顶角相等求出∠ADB，根据三角形内角定理求出∠BAD，根据角平分线的定义求出∠BAC，进而求出∠C，根据全等三角形对应角相等解答即可．【解答】解：∵∠CDB′＝98°，∴∠ADB＝∠CDB′＝98°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝55°，∵AB′平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAD＝110°，∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝43°，∵△ABC≌△A′B′C′，∴∠C′＝∠C＝43°，故选：C．【变式4-1】（2021秋•民权县期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC的度数的值为（）A．84°B．60°C．48°D．43°【分析】根据全等三角形的性质得出∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ADB＝∠ABD＝43°，根据平行线的性质得出∠EAD＝∠ADB＝43°，再求出答案即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，∵∠BAD＝94°，∴∠ADB＝∠ABD=12×（180°﹣∠BAD）＝43°，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝43°，∴∠BAC＝∠EAD＝43°，故选：D．【变式4-2】（2021秋•招远市期中）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝56°，则∠CAF的度数为（）A．36°B．24°C．56°D．34°【分析】根据全等三角形的性质得出∠BCA＝∠ECD，求出∠BCE＝∠ACF，求出∠ACF ＝56°，再根据直角三角形的两锐角互余得出即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴∠BCA＝∠ECD，∴∠BCA﹣∠ECA＝∠ECD﹣∠ECA，即∠BCE＝∠ACF，∵∠BCE＝56°，∴∠ACF＝56°，∵AF⊥CD，∴∠AFC＝90°，∴∠CAF＝90°﹣∠ACF＝＝34°，故选：D．【变式4-3】（2022春•武侯区期末）如图，在△ABC中，在边BC上取一点D，连接AD，在边AD上取一点E，连接CE．若△ADB≌△CDE，∠BAD＝α，则∠ACE的度数为（）A．αB．α﹣45°C．45°﹣αD．90°﹣α【分析】根据全等三角形的性质可得∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，进一步可得∠CDE＝90°，∠ACD＝45°，即可求出∠ACE的度数．【解答】解：∵△ADB≌△CDE，∴∠ADB＝∠CDE，AD＝CD，∠DCE＝∠BAD，∵∠ADB+∠CDE＝180°，∴∠CDE＝90°，∴∠ACD＝∠CAD＝45°，∵∠BAD＝α，∴∠DCE＝α，∴∠ACE＝45°﹣α，故选：C．【题型5全等三角形的性质（判断结论）】【例5】（2022•龙岗区模拟）如图，△ABC≌△A′B′C，且点B′在AB边上，点A′恰好在BC的延长线上，下列结论错误的是（）A．∠BCB′＝∠ACA′B．∠ACB＝2∠BC．∠B′CA＝∠B′AC D．B′C平分∠BB′A′【分析】根据全等三角形的性质得出BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，再逐个判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△A′B′C，∴BC＝B′C，∠ACB＝∠A′CB′，∠B＝∠A′B′C，A．∵∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB﹣∠ACB′＝∠A′CB′﹣∠ACB′，∴∠BCB′＝∠ACA′，故本选项不符合题意；B．∵BC＝B′C，∴∠B＝∠CB′B，∴∠A′CB′＝∠B+∠BB′C＝2∠B，∵∠ACB＝∠A′CB′，∴∠ACB＝2∠B，故本选项不符合题意；C．不能推出∠B′CA＝∠B′AC，故本选项符合题意；D．∵∠B＝∠BB′C，∠B＝∠A′B′C，∴∠A′B′C＝∠BB′C，即B′C平分∠BB′A′，故本选项不符合题意；故选：C．【变式5-1】（2021春•海口期末）如图，△ABC≌△AEF，AB＝AE，∠B＝∠E，则对于结论①AC＝AF，②∠FAB＝∠EAB，③EF＝BC，④∠EAB＝∠FAC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据全等三角形对应边相等，全等三角形对应角相等结合图象解答即可．【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，故①正确；∠EAF＝∠BAC，∴∠FAC＝∠EAB≠∠FAB，故②错误；EF＝BC，故③正确；∠EAB＝∠FAC，故④正确；综上所述，结论正确的是①③④共3个．故选：C．【变式5-2】（2021秋•新乐市期末）如图，△ABD≌△EBC，AB＝12，BC＝5，A，B，C 三点共线，则下列结论中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正确的是【分析】根据全等三角形的性质和等腰直角三角形的性质可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．【解答】解：延长AD交EC于点N，延长CD交AE于点M，∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，∴∠BAE+∠BCD＝90°，∴∠AMC＝90°，∴CD⊥AE，故①正确；∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，∴∠BAD+∠ECB＝90°，∴∠ANC＝90°，∴AD⊥CE，故②正确；∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∴∠EAD＝∠ECD，故③正确；故填：①②③．【变式5-3】（2021秋•五常市期末）如图，点E是CD上的一点，Rt△ACD≌Rt△EBC，则下结论：①AC＝BC，②AD∥BE，③∠ACB＝90°，④AD+DE＝BE，成立的有个．【分析】根据全等三角形的性质得出AC＝BE，CD＝BC，∠ACD＝∠CBE，∠D＝∠BCE，根据以上结论即可推出AC＜BC，∠D≠∠BED，∠ACB＝90°，AD+DE＝CD＝BC＞BE，即可判断各个小题．【解答】解：∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AC＝BE，∵在Rt△BEC中，BE＜BC，∴AC＜BC，∴①错误；∵∠CAD＝∠CEB＝∠BED＝90°，∠D＜∠CAD，∴∠D≠∠BED，∴AD和BE不平行，∴②错误；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴∠ACD＝∠CEE，∠D＝∠BCE，∵∠CAD＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BDE＝90°，∴③正确；∵Rt△ACD≌Rt△EBC，∴AD＝CE，CD＝BC，CD＝CE+DE＝AD+DE＝BC，∵BE＜BC，∴AD+DE＞BE，∴④错误；故答案为：1．【题型6全等三角形的性质（探究角度之间的关系）】【例6】（2022•长春二模）如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O＝∠D＝90°，记∠OAD＝α，∠ABO＝β，当BC∥OA时，α与β之间的数量关系为（）A．α＝βB．α＝2βC．α+β＝90°D．α+2β＝180°【分析】根据全等三角形对应边相等可得AB＝AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO ＝∠CAD，然后求出∠BAC＝α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．【解答】解：∵△AOB≌△ADC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAD，∴∠BAC＝∠OAD＝α，在△ABC中，∠ABC=12（180°﹣α），∵BC∥OA，∴∠OBC＝180°﹣∠O＝180°﹣90°＝90°，∴β+12（180°﹣α）＝90°，整理得，α＝2β．故选：B．【变式6-1】（2021秋•林州市期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边AB，BC，CA 上（不与顶点重合），设∠BAC＝α，∠FED＝θ．若△BED≌△CFE，则α，θ满足的关系是（）A．α+θ＝90°B．α+2θ＝180°C．α﹣θ＝90°D．2α+θ＝180°【分析】由∠BAC＝α，得∠B+∠C＝180°﹣α，根据△BED≌△CFE，即有∠B＝∠C＝90°−12α，∠BDE＝∠FEC，故∠FEC+∠BED＝90°+12α，从而90°+12α+θ＝180°，即可答案．【解答】解：∵∠BAC＝α，∴∠B+∠C＝180°﹣α，∵△BED≌△CFE，∴∠B＝∠C＝90°−12α，∠BDE＝∠FEC，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝180°﹣（90°−12α）＝90°+12α，∴∠FEC+∠BED＝90°+12α，∵∠FED＝θ，∠FEC+∠BED+∠FED＝180°，∴90°+12α+θ＝180°，∴α+2θ＝180°，故选：B．【变式6-2】（2022春•徐汇区校级期末）如图，N，C，A三点在同一直线上，在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（）A．1：2B．1：3C．2：3D．1：4【分析】利用三角形的三角的比，求出三角的度数，再进一步根据各角之间的关系求出∠BCM、∠BCN的度数可求出结果．【解答】解：在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB＝3：5：10设∠A＝3x°，则∠ABC＝5x°，∠ACB＝10x°3x+5x+10x＝180解得x＝10则∠A＝30°，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°∴∠BCN＝180°﹣100°＝80°又△MNC≌△ABC∴∠ACB＝∠MCN＝100°∴∠BCM＝∠NCM﹣∠BCN＝100°﹣80°＝20°∴∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4故选：D．【变式6-3】（2022•定远县模拟）如图，锐角△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点，△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，且C′D∥EB′∥BC，BE、CD交于点F，若∠BAC＝α，∠BFC＝β，则（）A．2α+β＝180°B．2β﹣α＝145°C．α+β＝135°D．β﹣α＝60°【分析】延长C′D交AC于M，如图，根据全等的性质得∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，再利用三角形外角性质得∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，接着利用C′D∥B′E得到∠AEB＝∠C′MC，而根据三角形内角和得到∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣α，则∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，所以∠C′+∠B′＝180°﹣3α，利用三角形外角性质和等角代换得到∠BFC＝∠C＝α+∠C′+∠B′，所以∠BFC＝β＝180°﹣2α，进一步变形后即可得到答案．【解答】解：延长C′D交AC于M，如图，∵△ADC≌△ADC′，△AEB≌△AEB′，∴∠C′＝∠ACD，∠C′AD＝∠CAD＝∠B′AE＝α，∴∠C′MC＝∠C′+∠C′AM＝∠C′+2α，∵C′D∥B′E，∴∠AEB′＝∠C′MC，∵∠AEB′＝180°﹣∠B′﹣∠B′AE＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+2α＝180°﹣∠B′﹣α，∴∠C′+∠B′＝180°﹣3α，∵β＝∠BFC＝∠BDF+∠DBF＝∠DAC+∠ACD+∠B'＝α+∠ACD+∠B′＝α+∠C′+∠B′＝α+180°﹣3α＝180°﹣2α，即：2α+β＝180°．故选：A．【题型7全等三角形的性质（动点问题）】【例7】（2021秋•柘城县期中）如图，∠C＝∠CAM＝90°，AC＝8cm，BC＝4cm，点P 在线段AC上，以2cm/s速度从点A出发向点C运动，到点C停止运动．点Q在射线AM 上运动，且PQ＝AB．若△ABC与△PQA全等，则点P运动的时间为（）A．4s B．2s C．2s或3s或4s D．2s或4s【分析】分△ABC≌△PQA和△ABC≌△QPA两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△PQA时，AP＝AC＝8，∵点P的速度为2cm/s，∴8÷2＝4（s）；当△ABC≌△QPA时，当AP＝BC＝4，∵点P的速度为2cm/s，∴4÷2＝2（s）故选：D．【变式7-1】（2021春•浦东新区校级期末）△ABC中，AB＝AC＝12厘米，∠B＝∠C，BC＝9厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米/秒，则当△BPD与△CQP全等时，v的值为（）A．2.5B．3C．2.25或3D．1或5【分析】分两种情况讨论：①若△BPD≌△CPQ，根据全等三角形的性质，则BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP=12BC=12×9＝4.5（厘米），根据速度、路程、时间的关系即可求得；②若△BPD≌△CQP，则CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，得出v＝3．【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC＝12厘米，点D为AB的中点，∴BD＝6厘米，若△BPD≌△CPQ，则需BD＝CQ＝6厘米，BP＝CP=12BC=12×9＝4.5（厘米），∵点Q的运动速度为3厘米/秒，∴点Q的运动时间为：6÷3＝2（s），∴v＝4.5÷2＝2.25（厘米/秒）；若△BPD≌△CQP，则需CP＝BD＝6厘米，BP＝CQ，∴v＝3，∴v的值为：2.25或3，故选：C．【变式7-2】（2021春•和平区期末）如图，CA⊥AB于点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB于点B，一动点E从A点出发以2个单位/秒沿射线AB运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，若点E经过t秒（t＞0），△DEB与△BCA全等，则t的值为秒．【分析】此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC＝BE，AB＝BE进行计算即可．【解答】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8﹣4＝4，∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；②当E在BN上，AC＝BE时，∵AC＝4，∴BE＝4，∴AE＝8+4＝12，∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，AE＝8+8＝16，点E的运动时间为16÷2＝8（秒），故答案为：2，6，8．【变式7-3】（2021春•高新区期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从A点出发沿A→C→B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B→C→A 路径向终点运动，终点为A点．点P和Q分别以每秒1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E、作QF ⊥l于F，当点P运动秒时，以P、E、C为顶点的三角形和以Q、F、C为顶点的三角形全等．【分析】根据题意分为五种情况，根据全等三角形的性质得出CP＝CQ，代入得出关于t 的方程，解方程即可．【解答】解：分为五种情况：①如图1，P在AC上，Q在BC上，则PC＝6﹣t，QC＝8﹣3t，∵PE⊥l，QF⊥l，∴∠PEC＝∠QFC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PCE+∠QCF＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∵△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，即6﹣t＝8﹣3t，t＝1；②如图2，P在BC上，Q在AC上，则PC＝t﹣6，QC＝3t﹣8，∵由①知：PC＝CQ，∴t ﹣6＝3t ﹣8，t ＝1；t ﹣6＜0，即此种情况不符合题意；③当P 、Q 都在AC 上时，如图3，CP ＝6﹣t ＝3t ﹣8，t =72；④当Q 到A 点停止，P 在BC 上时，AC ＝PC ，t ﹣6＝6时，解得t ＝12．⑤P 和Q 都在BC 上的情况不存在，因为P 的速度是每秒1cm ，Q 的速度是每秒3cm ；答：点P 运动1或72或12秒时，以P 、E 、C 为顶点的三角形上以O 、F 、C 为顶点的三角形全等．故答案为：1或72或12．【题型8全等三角形的性质（证明题）】【例8】（2021秋•大化县期中）如图所示，已知△ABD ≌△CFD ，AD ⊥BC 于D ．（1）求证：CE ⊥AB ；（2）已知BC ＝7，AD ＝5，求AF 的长．【分析】（1）由△ABD ≌△CFD ，得出∠BAD ＝∠DCF ，再利用三角形内角和即可得出答案；（2）根据全等三角形的性质得出AD ＝DC ，即可得出BD ＝DF ，进而解决问题．【解答】（1）证明：∵△ABD≌△CFD，∴∠BAD＝∠DCF，又∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CDF＝90°，∴CE⊥AB；（2）解：∵△ABD≌△CFD，∴BD＝DF，∵BC＝7，AD＝DC＝5，∴BD＝BC﹣CD＝2，∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．【变式8-1】（2021秋•海淀区校级期中）如图，A，E，C三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）线段DE，CE，BC有怎样的数量关系？请说明理由．（2）请你猜想△ADE满足什么条件时，DE∥BC，并证明．【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，DE＝AC，再求出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出∠AED＝∠C，根据平行线的性质得出∠C＝∠DEC，再根据邻补角互补得出∠AED+∠DEC＝180°，再求出∠AED＝90°即可．【解答】（1）解：DE＝CE+BC．理由：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，DE＝AC．∵A，E，C三点在同一直线上，∴AC＝AE+CE，∴DE＝CE+BC；（2）猜想：DE∥BC，则∠DEC＝∠C．∵△ABC≌△DAE，∴∠AED＝∠C，∴∠AED＝∠DEC．又∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠AED＝∠DEC＝90°，∴当△ADE满足∠AED＝90°时，DE//BC．【变式8-2】（2021秋•灌云县月考）如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）求证：BC＝DE+CE；（2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，AC＝DE，再求出答案即可；（2）根据平行线的性质得出∠BCE＝∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠E，求出∠ACB＝∠BCE，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，AC＝DE，又∵AE＝AC+CE，∴BC＝DE+CE；（2）解：∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E，又∵△ABC≌△DAE，∴∠ACB＝∠E，∴∠ACB＝∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE＝180°，∴∠ACB＝90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．【变式8-3】（2021秋•定远县校级期中）如图所示，△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∠ACB＝90°．（1）求证：CD⊥AB；（2）求∠B的度数；（3）求证：EF∥AC．【分析】（1）由△ACD≌△ECD可得出∠ADC＝∠EDC，结合点A、D、E、B共线即可得出∠ADC＝∠EDC＝90°，即CD⊥AB；（2）设∠B＝α，根据△ACD≌△ECD、△CEF≌△BEF可得出∠A＝∠CED、∠B＝∠BCE，由三角形的外角性质结合三角形内角和定理即可得出关于α的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）根据全等的性质得∠EFB＝∠EFC，再利用平角定义得到∠EFB＝90°，则∠ACB ＝∠EFB，然后根据平行线的判定可判断EF∥AC．【解答】（1）证明：∵△ACD≌△ECD，∴∠ADC＝∠EDC．∵点A，D，E，B共线，∴∠ADC+∠EDC＝180°，∴∠ADC＝∠EDC＝90°，∴CD⊥AB；（2）解：设∠B＝α，∵△ACD≌△ECD，△CEF≌△BEF，∴∠A＝∠CED，∠B＝∠BCE＝α，∵∠CED＝∠B+∠BCE，∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴2α+α+90°＝180°，∴α＝30°，即∠B＝30°；（3）证明：∵△CEF≌△BEF，∴∠EFC＝∠EFB，而∠EFB+∠EFC＝180°，∴∠EFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EFB，∴EF∥AC．。
北师大版七年级下《三角形》全等、倍长中线、截长补短、动点等专题(PDF版无答案)
专题一：倍长中线1.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．2.已知：如图，M是△ABC的边BC上一点，F，E在AM上，且BE∥CF，BE=CF，试说明AM是BC边上的中线．3.如图，在△ABC中，点D是BC中点，连接AD并延长到点E，连接BE．若要使△ACD≌△EBD，应添上的条件是______．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F．（1）求证：△DAE≌△CFE；（2）若AB=BC+AD，求证：BE⊥AF．5.如图，A，B两点分别位于一个池塘的两侧，池塘西边有一座假山D，在DB的中点C处有一个雕塑，张倩从点A出发，沿直线AC一直向前经过点C走到点E，并使CE=CA，然后她测量点E到假山D的距离，则DE的长度就是A，B两点之间的距离．（1）你能说明张倩这样做的根据吗？（2）如果张倩恰好未带测量工具，但是知道A和假山、雕塑分别相距200米、120米，你能帮助她确定AB的长度范围吗？（3）在第（2）问的启发下，你能“已知三角形的一边和另一边上的中线，求第三边的范围吗？”请你解决下列问题：在△ABC中，AD是BC边的中线，AD=3cm，AB=5cm，求AC的取值范围．6.如图，△ABC中，AB=AC，线段BC的垂直平分线AD交BC于点D，过点BE作BE∥AC，交AD 的延长线于点E，求证：AB=BE7.如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，以下结论，正确的是①DE=BE；②点E是BC的中点；③∠AED=90°；④AD=AB+CDA．①②③B．①②④C．①③④D．②③④8.在△ABC中，D是AB的中点，E是CD的中点．过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF．求证：DB=CF．专题二：一线三等角1.如图，△ABC中，∠ABC=∠BAC=45°，点P在AB上，AD⊥CP，BE⊥CP，垂足分别为D，E，已知DC=2，求BE的长．2.已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF∥AC交CE的延长线于点F．求证：AC=2BF．3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=5，线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AO上运动，当AP=______时，△ABC和△PQA全等．4.如图，已知∠ABC=90°，D是直线AB上的点，AD=BC．过点A作AF⊥AB，并截取AF=BD，连接DC，DF，CF．（1）判断△CDF的形状并证明．（2）若BC=6，AF=2，求AB的长．5.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．（1）当直线MN绕点C旋转到图甲的位置时，试说明：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；（2）当直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，试说明：DE=AD－BE；（3）当直线MN绕点C旋转到图丙的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．6.已知：在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是AB边上一点．（1）BF垂直于CE于点F，交CD于点G（如图①），求证：AE=CG；（2）AH垂直于CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M（如图②），找出图中与BE相等的线段，并证明．7.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D在CB上，连接AD，EA⊥AD，∠ACE=∠ABD．(1)求证：AD=AE；(2)若点F为CD中点，AF交BE于点G，求∠AGE的度数．8.经验积累：如图①，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD=∠C（不需要证明）；（1）方法迁移：如图②，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B，C在∠MAN的边AM，AN 上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证：△ABD≌△CAF．（2）归纳提升：如图③，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：CF+EF=BE．（3）拓展应用：如图④，在△ABC中，AB=AC，AB>BC．点D在边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为15，求△ACF与△BDE的面积之和．专题三：截长补短1.想一想，证一证已知：如图，射线BM 平分∠ABC ，点P 为射线BM 上一点，PD ⊥BC 于点D ，BD=AB+CD ，过点P 作PE ⊥BA于点E ．求证：△PAE ≌△PCD ．2.已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，∠C=45°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ．求证：BC=AB+AD ．3.已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90º，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，且1,2AE BD 求证：BD 是∠ABC 的平分线。
北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析复习过程
北师大版七年级下全等三角形压轴题分类解析BA O D CE图8 七年级下三角形综合题归类一、 双等边三角形模型1. （1）如图7，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小.2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM,△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM ② 求 ∠AOB 的度数。
③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q ，求证：PQ ∥AB 。
（湘潭·中考题）CBD 图7 A EABC M NOPQ同类变式：已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点．（1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.4. 如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接BG 与DE 相交于点H ．（1）证明：△ABG ≌△ADE ；（2）试猜想∠BHD 的度数，并说明理由；（3）将图中正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转（0°＜∠BAE ＜180°），设△ABE 的面积为1S ，△ADG 的面积为2S ，判断1S 与2S 的大小关系，并给予证明．CF GEDB AHA 图①E 图②5.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB ，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．CGAEDBF二、 垂直模型（该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容） 考点1：利用垂直证明角相等1. 如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ． 求证：（1）AE ＝CD ； （2）若AC ＝12 cm ，求BD 的长．考点2：利用角相等证明垂直1. 已知BE ，CF 是△ABC 的高，且BP=AC ，CQ=AB ，试确定AP 与AQ 的数量关系和位置关系2. 如图，在等腰R t△ABC 中，∠ACB =90°，D 为BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，过点B 作BF ∥AC 交DE 的延长线于点F ，连接CF ． (1)求证：CD=BF ； (2)求证：AD ⊥CF ；(3)连接AF ，试判断△ACF 的形状.拓展巩固：如图9所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．BACE FQPD（提示：对比此题的条件和上面那题的条件，对比此题的图形和上题的图像，有什么区别和联系？）3. 如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.4.如图1，ABC∆的边BC在直线l上，,AC BC⊥且,AC BC=EFP∆的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF FP=（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP∆沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接A BCDEF图,AP BQ .猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结,AP BQ ,你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.三、 等腰三角形（中考重难点之一） 考点1：等腰三角形性质的应用1. 如图，ABC ∆中，AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BC 中点，ED FD ⊥，ED 与AB 交于E ，FD 与AC 交于F ．求证：BE AF =，AE CF =．ABCDE F2. 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连结BD ，取BD 的中点M ，连结,ME MC ．试判断EMC ∆的形状，并说明理由．MED C BAl (1) A B (F) (E) C PA B E C F P Q (2) lA B EC F P l(3Q压轴题拓展：（三线合一性质的应用）已知Rt ABC ∆中，AC BC =，90C ∠=︒，D 为AB 边的中点，90EDF ∠=︒，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S ∆∆∆+=．当EDF ∠绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，DEF S ∆，CEF S ∆，ABC S ∆又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．F EDCBA图1AECF BD图2AECFBD图3提示：此题为上面题目的综合应用，思路与第一题相似。
第4章 三角形 全等三角形判定(基础版) -北师大版数学七年级下册(含答案)
全等三角形判定(基础版) (北师版数学）一．选择题（共24小题）1．下列命题中正确的是（）A．有两条边相等的两个等腰三角形全等B．两腰对应相等的两个等腰三角形全等C．两角对应相等的两个等腰三角形全等D．一边对应相等的两个等边三角形全等2．如图，已知∠1＝∠2，要说明△ABD≌△ACD，还需从下列条件中选一个，错误的选法是（）A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠C C．DB＝DC D．AB＝AC3．利用尺规进行作图，根据下列条件作三角形，画出的三角形不唯一的是（）A．已知三条边B．已知三个角C．已知两角和夹边D．已知两边和夹角4．如图，已知MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列哪个条件不能判定△ABM≌△CDN（）A．AM＝CN B．AB＝CD C．AM∥CN D．∠M＝∠N5．如图，∠C＝∠B，能用ASA来判断△ABD≌△ACE，需要添加的条件是（）A．AE＝AD B．AB＝AC C．CE＝BD D．∠ADB＝∠ABC 6．如图，已知∠A＝∠D，∠1＝∠2，那么要得到△ABC≌△DEF，还应给出的条件是（）A．∠B＝∠E B．CD＝AF C．AB＝EF D．BC＝ED7．如图，已知AB＝DC，需添加下列（）条件后，就一定能判定△ABC≌△DCB．A．AO＝BO B．∠ACB＝∠DBC C．AC＝DB D．BO＝CO8．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS9．下列说法正确的是（）A．垂直于同一条直线的两条直线互相平行B．如果△ABC的三个内角满足∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则这个三角形是锐角三角形C．有两角与一边相等的两个等腰三角形全等D．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等10．如图，E是线段AB的中点，∠AEC＝∠DEB，再添加一个条件，使得△AED≌△BEC，所添加的条件不正确的是（）A．AD＝BC B．DE＝CE C．∠A＝∠B D．∠C＝∠D 11．下列说法中正确的个数是（）①两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等；②两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；③有一边对应相等的两个等边三角形全等．A．0B．1C．2D．312．如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三个结论：①AS＝AR②QP∥AR③△BRP≌△QSP．其中正确的是（）A．①③B．②③C．①②D．①②③13．下列判断正确的是（）A．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B．有一角和一条边相等的两个直角三角形全等C．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等D．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等14．下列说法错误的是（）A．同旁内角互补，两条直线平行B．相等的角不一定是对顶角C．有两个角和一条边对应相等的三角形一定全等D．两条直线被第三条直线所截，同位角相等15．不能判定两个三角形全等的条件是（）A．三条边对应相等B．两角及一边对应相等C．两边及夹角对应相等D．两边及一边的对角相等16．一定能确定△ABC≌△DEF的条件是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠DC．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E D．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D17．具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是（）A．能够完全重合B．三边对应相等C．两角及一边对应相等D．两边及一角对应相等18．如图，已知∠A＝∠D，AF＝CD，那么要得到△ABC≌△DEF，还应该给出的条件是（）A．AB＝EF B．∠E＝∠B C．CD＝AF D．ED＝BC19．下列语句中不正确的是（）A．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等B．有两边对应相等的两个直角三角形全等C．有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形全等D．在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P，则P A＝PB＝PC20．如图，如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对21．如图，等腰△ABC中，点D，E分别在腰AB，AC上，添加下列条件，不能判定△ABE ≌△ACD的是（）A．AD＝AE B．BE＝CD C．∠ADC＝∠AEB D．∠DCB＝∠EBC 22．如图，在直线AC的同一侧作两个等边三角形△ABD和△BCE，连接AE与CD交于点H，AE与DB交于点G，BE与CD交于点F，下列结论：（1）△ABE≌△DBC；（2）∠AHD＝60°；（3）△AGB≌△DFB；（4）BH平分∠GBF；（5）GF∥AC；（6）点H是线段DC的中点．正确的有（）A．6个B．5个C．4个D．3个23．如图，AB＝DB，∠ABD＝∠CBE，①BE＝BC，②∠D＝∠A，③∠C＝∠E，④AC＝DE，能使△ABC≌△DBE的条件有（）个．A．1B．2C．3D．424．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，点D在BC的延长线上，作∠ACD的平分线交BF延长线于E点，过点E作EG∥BD分别交AB、AC于G、H点．连接AE，有以下结论，①BG＝EG；②∠BEC＝∠BAC；③△HEF≌△CBF；④∠AEB+∠ACE＝90°；⑤BG﹣CH＝GH．其中正确的结论的个数是（）A．2B．3C．4D．5全等三角形判定(基础版) - 2021年暑假初一升初二(北师版数学）参考答案与试题解析一．选择题（共24小题）1．D2．C3．B4．A5．B6．B7．C8．A9．D10．A11．C12．C13．A14．D15．D16．C17．D18．B19．C20．D21．B22．C23．C24．B。
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B O DC 图1A 三角形全等条件分类复习专题一、三角形全等的条件之SAS边角边的判定方法的两个三角形全等，简称边角边或SAS . 1. 如下图，AB=AD ，∠BAC=∠DAC ， 求证：△ABC ≌△ADC2.如图，有一池塘，要测池塘两端A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点C ，连接AC 并延长到D ，使CD ＝CA 。
连接BC 并延长到E ，使CE ＝CB 。
连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？课堂练习：1.如图，已知AD 平分∠BAC ，要使△ABD ≌△ACD ，根据“SAS ”需要添加条件 .2. 如图：在△ABE 和△ACF 中，AB ＝AC, BF ＝CE.求证：⑴△ABE ≌△ACF ⑵AF ＝AE课外延伸：1．如图1，已知；AC =DB ，要使ABC ∆≌DCB ∆，只需增加一个条件是_____ ____.2. 如图2，已知：在ABC ∆和DEF ∆中，如果AB ＝DE ，BC ＝EF ，只要找出∠ ＝∠ 或______＝_____或 // ，就可证得ABC ∆≌DEF ∆.3. 如图3，已知AB 、CD 交于点O ，AO ＝CO ，BO ＝DO ，则在以下结论中：①AD ＝BC ；②AD ∥BC ；③∠A ＝∠C ；④∠B ＝∠D ；⑤∠A ＝∠B ，正确结论的个数为（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个4. 如图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，试说明：∠B ＝∠C. DBCA 图3D FC E B A 图2 EDA5.如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，∠1＝∠2，试说明：△ABE ≌△DBC6.如图，已知点E 、F 在BC 上，且BE ＝CF ，AB ＝CD ，∠B =∠C ，试说明AF ＝DE7.如图，已知AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠1＝∠2，试说明：BC ＝ DE8如图，E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝CD ，AB ∥CD 说明：（1）△ABF ≌ △DCE （2）AF ∥DE9.如图（16）AD ∥BC ，AD ＝BC ，AE ＝CF.求证：（1）DE ＝DF ，（2）AB ∥CD.二、三角形全等的条件之ASA 与AASECD A B 1 2 F（图16）EDCBA角边角边的判定方法的两个三角形全等，简称角边角或.角角边的判定方法：的两个三角形全等，简称。
1.如右图，O是AB的中点，∠A=∠B求证：△AOC≌△BOD1.1.若将第一题中的∠A=∠B改为∠C=∠D，其他条件不变，你还能得到△AOC≌△BOD吗？2.（1）如图，AB＝AC，∠B=∠C，试说明△ABE≌△ACD全等.（2）如果将上题中的AB＝AC改为AD＝AE，其他条件不变，你能说明AB＝AC吗？3.已知：OP是∠MON的平分线，C是OP上一点，CA⊥OM，CB⊥ON，垂足分别是A、B△AOC与△BOC全等吗？为什么？4.找出图中的全等三角形，写出表示他们全等的式子，并说明理由.课外延伸：1.欲证△ABC ≌△DFE ，已知DF AB D A =∠=∠,,根据ASA 还需要的条件是 ，理由是2.如图，已知AO=DO ，∠AOB 与∠DOC 是对顶角，还需补充条件_________=________，就可根据“ASA ”说明△AOB ≌△DOC ；或者补充条件___________=____________，就可根据“AAS ”，说明△AOB ≌△DOC 3.3.下面能判断两个三角形全等的条件是（ ）A . 有两边及其中一边所对的角对应相等B . 三个角对应相等C .两边和它们的夹角对应相等D . 两个三角形面积相等4.如图，将一张长方形纸片ABCD 中沿对角线AC 折叠后，点D 落在点E 处， 与BC 交于点F ，图中全等三角形有( )对？ (包含△ADC )A .1对B .2对C .3对D .4对第4题 第5题 第6题 第7题5.如图，已知MB=ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列添加的条件中，下列哪一个选项不能用于判定△ABM ≌△CDN 的 选项是 ( )A .∠M ＝∠NB ．AB ＝CDC ．AM ＝CND ．AM ∥CN6.如图，D 是AB 边上的中点，将ABC ∆沿过D 的直线折叠，使点A 落在BC 上F 处，若50B ∠=︒， 则BDF ∠= __________度．7.如图，△ABC 中，∠C=900，AD 平分∠CAB ，BC=8cm ，BD=5cm ，那么D 点到直线AB 的距离是 cm . 8.如图，B ，E ，C ，F 在同一直线上，且BC ＝EF ，∠B ＝∠DEF ，使△ABC ≌△DEF ，需补充的一个条件是B CDEFABCD oF EDC BAF EDC BAA B C D M N A_____________.9．如图，点B 在AE 上，∠CAB=∠DAB ，要使ΔABC ≌ΔABD,可补充的一个条_____________. 10．如图，AE=AD ，要使ΔABD ≌ΔACE ，请你增加一个条件是_____________. 11．如图AD ＝AB ，∠C ＝∠E ，∠CDE ＝55°，则∠ABE ＝_____ .第八题 第九题 第十题 第十一题12．△ABC 和△FED 中，AD ＝FC ，∠A ＝∠F ．当添加条件 时，就可得到△ABC ≌△FED ，依据是 (只需填写一个你认为正确的条件) 写出证明过程。
13.如图，∠B ＝∠E ，∠ACB ＝∠DFE ，BF ＝CE ．△ABC ≌△DEF 吗？为什么？14．已知：∠ABC ＝∠DCB ，∠ACB ＝∠DBC ，试说明△ABC ≌△DCB ；△AOB ≌△DOCF E DCB A E DC B AE D CBA ABCDEA D EB CF D B AO15．已知，如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D ，AD ＝EC ，△ABD ≌△EBC 吗？为什么？16．已知，如图4、点A 、F 、E 、C 在同一条直线上，AF ＝CE ，BE ∥DF ，AB ∥CD 试说明：△ABE ≌△CDF17．已知：如图，在△ABC 中， BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，垂足分别为点Ｅ、Ｆ． ⑴若AD 是ΔABC 的中线，则 BE 与CF 相等吗？⑵若BE ＝CF ，则AD 是ΔABC 的中线吗？为什么?三、三角形全等的条件之SSS边边边的判定方法的两个三角形全等，简称边边边或SSS . 1. 如图，C 点是线段BF 的中点，BA=DF ，AC=DC .△ABC 和△DFC 全等吗？ 写出证明过程。
ABCDE 1 2ABCDE FB1.1.若将这两个三角形，向内侧移动形成下图，若AB=DF ，AC=DE ，BE=CF .你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由.1.2.若将第一题中的两个三角形拉开，再翻折形成下图，如图，点B 、C 、E 、F 在同一条直线上，AB ＝DF ，BC ＝EF ，AC ＝DE .那么∠B 与∠E 相等吗？为什么？课堂反馈：1. 连一连：找出下列全等的一对三角形并连线.2. 如图①，△ABC 是一个钢架， AB ＝AC ，AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架. 试说明：△ABD ≌△ ACDB F CA DB F AC D E选一选：⑴如图①，在上题条件不变的情况下，以下结论不正确的是（）A. △ABD≌△ACDB. ∠B=∠CC. AD是的△ABC的角平分线D.AD不是△ABC的高⑵图①变如图②，若使△ABD≌△ACD，只需满足（）A.AB＝AC ∠B＝∠CB. AB＝AC ∠ADB＝∠ADCC.BD＝CD ∠BAD＝∠CADD.AB＝AC BD＝CD填一填：如图③，AB＝AC，EB＝EC，AE的延长线交BC于D，那么图中的全等三角形共有对.做一做：如图④，AB＝AD，BC＝DC.证明：∠B＝∠D课外延伸：1．如图，AB＝DC，AC＝DB，△ABC≌△DCB吗？写出证明过程。
2、如图：AB＝AC，DB＝DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：BF＝CF。
DCBAF DCBADCB A3. 在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝DC（1）试说明△ABC ≌△CDA ；（2）AD 与BC 平行吗？请说明你的理由4.已知AC ＝FE ，BC ＝DE ，点A 、D 、B 、F 在一条直线上，AD ＝BF ，说明：∠E ＝∠C5.已知如图，AB ＝CD ，CE ＝DF ，AE ＝BF ，则AE ∥DF 吗?为什么?6.如图，已知AB ＝AC ，BD ＝CD ，试用“边边边”识别法说明：∠B ＝∠CECFD B AFED C B A DCB A7.如图，已知AB ＝AE ，AC ＝AD ，BC ＝DE ，试说明∠CAE ＝∠DAB8.已知：AB ＝AC ，EB ＝EC ，AE 的延长线交BC 于D ， 试说明：BD ＝CD9.（2011浙江省）如图，点D ，E 分别在AC ，AB 上．(1) 已知，BD ＝CE ，CD ＝BE ，求证：AB ＝AC ；(2) 分别将“BD ＝CE ”记为①，“CD ＝BE ” 记为②，“AB ＝AC ”记为③．添加条件①、③，以②为结论构成命题1，添加条件②、③以①为结论构成命题2．命题2是 命题．（选择“真”或“假”填入空格）．四、三角形全等的条件之HLHL 的判定方法：的两个直角三角形全等，简称 。
1、如图（1）：AD ⊥BC ，垂足为D ，BD=CD 。
求证：△ABD ≌△ACD 。
BCE（图1）D CB A2.如图 在△ABC 中，已知BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，BD=CE 。
证明：△EBC ≌ △DCB3、如图（5）：AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，AB ＝CD ，BC ＝DE 。
求证：AC ⊥CE 。
4、如图15△ABC 中，AB ＝2AC ，∠BAC ＝90°，延长BA 到D ，使AD ＝12AB ，延长AC 到E ，使CE ＝AC 。
求证：△ABC ≌△AED 。
5、如图,D 是△ABC 的BC 边上的中点,DE ⊥AC,DF ⊥AB,垂足分别为E,F,且DE ＝DF. 求证: △ABC 是等腰三角形.6、已知:如图,AB ＝CD,DE ⊥AC,BF ⊥AC,垂足分别为E,F,DE ＝BF.E（图5）D CBA（图15）E DCB A A B C∟∟E D求证:(1)AE ＝AF;(2)AB ∥CD.7、如图：在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，过点C 在△ABC 外作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N. （1）求证：MN ＝AM+BN.（2）若过点C 在△ABC 内作直线MN ，AM ⊥MN 于M ，BN ⊥MN 于N ，则AM 、BN与MN 之间有什么关系？请说明理由.五、角平分线的性质1、角平分线的性质： 。