2020南通名师高考原创卷数学一
江苏省2020南通名师高考原创卷数学压轴卷含附加题(含答案)
2020南通名师高考原创卷压轴卷数学 (含附加题)数学I参考公式:圆柱的侧面积S= 2πrl,其中r 为底面半径,l 为母线长.球的面积24,S R π=其中R 为球的半径.一、填空题:本大题共14小题，每小题5分,共70分.1.已知集合A={x|2x -4<0} ,B= {x|log 2x>-1},则A∩B=___2.若复数z 满足(1-2i)z=5(其中i 为虚数单位) ,则z 的模是___3.右图是一个算法流程图,若输人3πθ=−，则输出的y 的值是___4.用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为40的样本,将400名学生随机地编号为1~400, 按编号顺序平均分成40个组(1~10号,11~20号,......391~400号).若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为3,则第10组抽取的号码是____5.将分别写有“中”“国”“梦”的3张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是_____6.已知a 1(0,),cos()233ππα∈+=，则cos(2)6πα+的值是____ 7.已知数列{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，若47103115,62a a a S ++==,则d 的值是____8.在△ABC 中,,3B AC π==若△ABC ABC 的周长是_____ 9.制作一个如图所示的密封饮料罐，需要将一个高为9 cm,底面直径为6 cm 的圆柱体的底部改为内凹的半球面，则该密封饮料罐的表面积为____cm².10.在平面直角坐标系xOy 中12,F F 分别是双曲线2221(0,0)zx y a b a b−=>>的左、右焦点,过1F 作圆222x y a +=的切线l 与双曲线的右支交于点P,且22()0OP OF F P +⋅= ，则该双曲线的离心率是____11.在平面直角坐标系xOy 中,C 为直线x-2y=0在第一象限内的点,以C 为圆心的圆C 与y 轴相切,且截x 轴所得弦长为则圆C 的标准方程为____12. 已知正三角形ABC 的边长为EF 为△ABC 的外接圆O 的一条直径,点M 在△ABC 的边上运动,则ME MF ⋅ 的最小值是____13.已知函数f(x)的定义域为(0, +∞),f(1)=0,且()()f x xf x ′<在(0,+∞)内恒成立(()f x ′为f(x)的导函数),则关于t 的不等式f(t)<0的解集为____ 14. 已知x,y ∈R ,且x+y>0,则2232x xy y x y++++的最小值为___ 二、解答题:本大题共6小题，共计90分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2020年高考模拟试卷江苏省南通市通州区高考数学一模试卷 含解析
2020年高考模拟试卷高考数学一模试卷一、填空题1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝．2．设复数z+2i＝，则|z|＝．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为．9．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．参考答案一、填空题：本题共14个小题，每题5分，满分70分.1．已知集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}，则A∩B＝（1，2）．【分析】求出集合A，集合B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|x＜2，x∈R}，集合B＝{x|x2﹣3x+2＜0，x∈R}＝{x|1＜x＜2}，∴由题得A∩B＝{x|x＜2，x∈R}∩{x|1＜x＜2，x∈R}＝（1，2）．故答案为：（1，2）．2．设复数z+2i＝，则|z|＝3．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：∵z+2i＝＝﹣i，∴z＝﹣2i﹣i＝﹣3i，则|z|＝3，故答案为：3．3．已知函数f（x）＝，若f（a）＝f（a+2），则f（）＝2．【分析】当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，求出a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．从而f（）＝f（1），由此能求出结果．解：∵函数f（x）＝，f（a）＝f（a+2），∴当0＜a＜2时，a2+a＝﹣2a﹣4+8，解得a＝﹣4（舍）或a＝1；当a≥2时，﹣2a+8＝﹣2a﹣4+8，无解．∴a＝1，f（）＝f（1）＝12+1＝2．故答案为：2．4．数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n﹣1，则数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值为﹣6．【分析】由已知求得，再由配方法求数列b n＝a n2﹣7a n+6的最小值．解：由S n＝2n﹣1，得a1＝S1＝1，当n≥2时，，a1＝1适合上式，∴．则b n＝a n2﹣7a n+6＝．∴当a n＝4时．故答案为：﹣6．5．若变量x，y满足，且x﹣2y≤a恒成立，则a的最小值为4．【分析】令z＝x﹣2y，作平面区域，从而可得到z＝x﹣2y的最大值，从而求得a的最小值．解：令z＝x﹣2y，作变量x，y满足的平面区域如下，结合图象可知，C（0，﹣2）；且z＝x﹣2y在A（0，﹣2）处有最大值4，故a≥4，即实数a的最小值为4，故答案为：4．6．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．【分析】利用分导抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，由此能求出事件A的概率．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．7．底面半径都是3且高都是4的圆锥和圆柱的全面积之比为．【分析】直接求出圆锥或圆柱的全面积，即可确定二者的比值．解：由题意，圆柱与圆锥的底面半径R＝3，圆柱与圆锥的高h＝4，则圆锥的母线长为l＝5，则圆锥的全面积为：πR2+×2πR×l＝9π+15π＝24π；圆柱的全面积为：2πR2+π×2R×h＝18π+24π＝42π．∴圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为：．故答案为：．8．执行如图的程序框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为3．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．解：∵输入的a，b的值分别为0和9，i＝1．第一次执行循环体后：a＝1，b＝8，不满足条件a＞b，故i＝2；第二次执行循环体后：a＝3，b＝6，不满足条件a＞b，故i＝3；第三次执行循环体后：a＝6，b＝3，满足条件a＞b，故输出的i值为：3，故答案为：39．已知x∈（0，），tan（x+）＝﹣3，则＝．【分析】利用两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式可求cos x，sin x，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可求解．解：∵x∈（0，），tan（x+）＝＝﹣3，∴tan x＝2，即sin x＝2cos x，∴sin2x+cos2x＝（2cos x）2+cos2x＝5cos2x＝1，解得cos x＝，sin x＝，∴＝＝＝．故答案为：．10．函数的图象在x＝1处的切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则实数a的值为﹣6或2．【分析】由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），函数f（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．所以圆心到切线的距离．则，解得实数a的值是﹣6或2．解：f′（x）＝，由题可知切线的斜率k＝f'（1）＝1．又f（1）＝a，所以切点坐标为（1，a），所以函数的图象在x＝1处的切线方程为y＝x+a﹣1．又因为圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0的圆心坐标为（1，﹣2），半径为3，所以圆心到切线的距离．因为切线被圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4＝0截得弦长为2，则，解得a＝﹣6或2．故答案为：﹣6或2．11．若正实数x、y满足x2﹣xy+y2＝9，且|x2﹣y2|＜9，则xy的取值范围为（6，9]．【分析】运用基本不等式可得xy的最大值，再由不等式的性质可得xy＞6，即可得到所求范围．解：x＞0，y＞0，x2﹣xy+y2＝9，可得xy＝（x2+y2）﹣9≥2xy﹣9，即xy≤9，当且仅当x＝y＝3取得最大值9；由|x2﹣y2|＜9，即﹣9＜x2﹣y2＜9，即xy﹣x2﹣y2＜x2﹣y2＜x2+y2﹣xy，（x＞0，y＞0），即xy＜2x2，xy＜2y2，化为x＜y＜2x，由x2+y2＝9+xy＞9，可得x＞3，则xy＞x2＞6，综上可得xy∈（6，9]．故答案为：（6，9]．12．已知直角三角形ABC的两直角边CA＝3，CB＝4，圆O是该三角形的内切圆，P是圆O上的任意一点，则的最大值为﹣4．【分析】利用直角三角形三边与内切圆半径的关系求出半径；建立坐标系求出各点坐标以及对应向量的坐标；结合三角函数的有界性即可求解解：由题意，直角三角形，斜边长为5，由等面积，可得内切圆半径r＝＝1，建立如图所示坐标系则O（0，0），C（﹣1，﹣1），A（2，﹣1），B（﹣1，3）；设P（cosθ，sinθ）；∴＝（2﹣cosθ，﹣1﹣sinθ），＝（﹣1﹣cosθ，3﹣sinθ）；∴＝cos2θ﹣cosθ﹣2+sin2θ﹣2sinθ﹣3＝﹣（2sinθ+cosθ）﹣4＝﹣sin（θ+φ）﹣4；其中tanφ＝；∴sin（θ+φ）＝﹣1时的最大值为：﹣4；故答案为：﹣4．13．已知函数f（x）＝（）x﹣1，x∈[﹣1，0]，g（x）＝a2log2x+3a，x∈[，2]，对任意的x0∈[，2]，总存在x1∈[﹣1，0]使得g（x0）＝f（x1）成立，则实数a的取值范围是{a|0≤a≤1}．【分析】由已知问题可转化为函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域的子集，结合导数及函数的性质分别求解函数的值域即可．解：∵，∴f（0）≤f（x）≤f（﹣1），即0≤f（x）≤4，即函数f（x）的值域为B＝[0，4]，若对于任意的x1∈[﹣1，0]，总存在，使得g（x0）＝f（x1）成立，则函数g（x）在上值域是f（x）在[﹣1，0]上值域A是集合B的子集，即A⊆B，①若a＝0，g（x）＝0，此时A＝{0}，满足条件．②当a≠0时，g（x）＝a2log2x+3a在是增函数，g（x）∈[﹣+3a，a2+3a]，即A＝[﹣+3a，a2+3a]，∴，解可得0≤a≤1，故答案为：{a|0≤a≤1}．14．已知函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a，若对任意的t∈[1，e]，f（x）在区间[﹣1，1]总存在唯一的零点，则实数a的取值范围是[1+，e]．【分析】根据导数求出函数的最值，再根据存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a 在t∈[1，e]上恒成立，得到≤f（x0）≤e，即≤﹣lnt+a≤e，得到关于a的不等式组，解得即可．解：函数f（x）＝x2e x+lnt﹣a＝0可得x2e x＝a﹣lnt，令g（x）＝x2e x，则g′（x）＝2xe x+x2e x＝xe x（x+2），x∈[﹣1，1]，令g′（x）＝0，则x＝0，当g′（x）＞0时，0＜x≤1，当g′（x）＜0时，﹣1≤x＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，在（0，1]上单调递增，∴g（x）min＝f（0）＝0∵g（﹣1）＝＜g（1）＝e，∴g（x）max＝g（1）＝e，∵存在唯一的x0∈[﹣1，1]，使得f（x0）＝﹣lnt+a在t∈[1，e]上成立，∴≤f（x0）≤e，因为≤﹣lnt+a≤e在t∈[1，e]上成立，∴，解得1+≤a≤e，故答案为[1+，e]．二、解答题：共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若a＝1，求△ABC面积的最大值．【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解cos A，进而可求A；（2）由余弦定理结合基本不等式可求bc的最大值，然后结合三角形的面积公式即可求解．解：（1）由及正弦定理可得，整理可得，sin A cos B+sin B cos A＝2sin C cos A，即sin（A+B）＝sin C＝2sin C cos A，因为sin C≠0，所以cos A＝，所以A＝，（2）由余弦定理可得，＝，所以b2+c2＝1+bc≥2bc，当且仅当b＝c时取等号，所以bc≤1，即bc的最大值为1，此时三角形的面积取得最大值S＝＝．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，E为CD的中点，O为BD上一点，且BC∥平面AOE．（1）求证：O是BD的中点；（2）若AB＝AD，BC⊥BD，求证：平面ABD⊥平面AOE．【分析】（1）利用线面平行的性质即可得证；（2）直接利用面面垂直的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵BC∥平面AOE，BC在平面BCD内，平面BCD∩平面AOE＝OE，∴BC∥OE，∵E为CD的中点，∴O为BD的中点；（2）∵OE∥BC，BC⊥BD，∴OE⊥BD，∵AB＝AD，O为BD的中点，∴OA⊥BD，∵OE∩OA＝A，且都在平面AOE内，∴BD⊥平面AOE，∵BD在平面ABD内，∴平面ABD⊥平面AOE．17．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）上的一点到两个焦点的距离之和为4，离心率为，点A为椭圆C的左顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设圆M：x2+（y﹣2）2＝r2（0＜r＜2），过点A作圆M的两条切线分别交椭圆C 于点B和D，求证：直线BD过定点．【分析】（1）根据椭圆的定义，利用椭圆的离心率公式即可求得c和b，即可求得椭圆的标准方程；（2）设切线方程，根据点到直线的距离公式等于半径，求得k1k2＝1，将直线方程代入椭圆方程，求得B和D点坐标，求得直线BD的方程，即可判断直线BD过定点．解：（1）由椭圆的定义2a＝4，则a＝2，，则c＝，所以b2＝a2﹣c2＝1，因此椭圆C的标准方程；（2）证明：设切线AB，CD的方程为y＝k（x+2），则，即（4﹣r2）k2﹣8k+4﹣r2＝0，设两切线AB，AD的斜率为k1，k2，则k1k2＝1，联立，得（1+4k2）x2+16k2﹣4＝0，设B（x1，y1），D（x2，y2），则x1＝，y1＝，同理得x2＝＝，y2＝＝，所以直线BD的斜率k BD＝＝．则直线BD的方程为y﹣＝（x﹣），整理得y＝（x+），故直线BD过定点（﹣，0）．18．（16分）如图，一条小河岸边有相距8km的A，B两个村庄（村庄视为岸边上A，B 两点），在小河另一侧有一集镇P（集镇视为点P），P到岸边的距离PQ为2km，河宽OH为0.05km，通过测量可知，∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3．当地政府为方便村民出行，拟在小河上建一座桥MN（M，N分别为两岸上的点，且MN垂直河岸，M在Q的左侧），建桥要求：两村所有人到集镇所走距离之和最短，已知A，B两村的人口数分别是1000人、500人，假设一年中每人去集镇的次数均为m次．设∠PMQ＝θ．（小河河岸视为两条平行直线）（1）记L为一年中两村所有人到集镇所走距离之和，试用θ表示L；（2）试确定θ的余弦值，使得L最小，从而符合建桥要求．【分析】（1）通过∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，推出PA：PB＝3：1，求出L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），得到解析式．（2），求出函数的导数，判断函数的单调性，得到函数的最值即可．解：（1）因∠PAB与∠PBA的正切值之比为1：3，所以，所以PA：PB＝3：1，即PA＝6，PB＝2，因PQ＝2，所以，，所以L＝1000（AN+MN+MP）+500（BN+MN+MP），所以，化简得，．（2）由（1）知，所以，化简得，由L'＝0，得，令，且，当θ∈（0，θ0）时，，L'＜0；当时，，L'＞0；所以函数L（θ）在（0，θ0）上单调递减；在上单调递增；所以θ＝θ0时函数L（θ）取最小值，即当时，符合建桥要求，答：（1），；（2）当时，符合建桥要求．19．（16分）已知数列{a n}，其前n项和为{S n}，满足a1＝2，S n＝λna n+μa n﹣1，其中n≥2，n∈N*，λ，μ∈R．（1）若λ＝0，μ＝4，b n＝a n+1﹣2a n（n∈N*），求证：数列{b n}是等比数列；（2）若数列{a n}是等比数列，求λ，μ的值；（3）若a2＝3，且λ+μ＝，求证：数列{a n}是等差数列．【分析】（1）利用数列的递推关系，结合等比数列的定义进行证明即可．（2）根据等比数列的性质建立方程关系进行求解．（3）利用数列的递推关系，结合等差数列的定义进行证明．【解答】（1）证明：若λ＝0，μ＝4，则当S n＝4a n﹣1（n≥2），所以a n+1＝S n+1﹣S n＝4（a n﹣a n﹣1），即a n+1﹣2a n＝2（a n﹣2a n﹣1），所以b n＝2b n﹣1，又由a1＝2，a1+a2＝4a1，得a2＝3a1＝6，a2﹣2a1＝2≠0，即b n≠0，所以＝2，故数列{b n}是等比数列．（2）若{a n}是等比数列，设其公比为q（q≠0），当n＝2时，S2＝2λa2+μa1，即a1+a2＝2λa2+μa1，得1+q＝2λq+μ，①当n＝3时，S3＝3λa3+μa2，即a1+a2+a3＝3λa3+μa2，得1+q+q2＝3λq2+μq，②当n＝4时，S4＝4λa4+μa3，即a1+a2+a3+a4＝4λa4+μa3，得1+q+q2+q3＝4λq3+μq2，③②﹣①×q，得1＝λq2，③﹣②×q，得1＝λq3，解得q＝1，λ＝1．代入①式，得μ＝0．此时S n＝na n，（n≥2），所以a1＝2，{a n}是公比为1的等比数列，故λ＝1，μ＝0．（3）证明：若a2＝3，由a1+a2＝2λa2+μa1，得5＝6λ+2μ，又λ+μ＝，解得λ＝，μ＝1．由a1＝2，a2＝3，λ＝，μ＝1，代入S n＝λna n+μa n﹣1得a5＝4，所以a1，a2，a3成等差数列，由S n＝a n+a n﹣1，得S n+1＝a n+1+a n，两式相减得：a n+1＝a n+1a n+a n﹣a n﹣1，即（n﹣1）a n+1﹣（n﹣2）a n﹣2a n﹣1＝0，所以na n+2﹣（n﹣1）a n+1﹣2a n＝0，相减得：na n+2﹣2（n﹣1）a n+1+（n﹣2）a n﹣2a n+2a n﹣1＝0，所以n（a n+2﹣2a n+1+a n）+2（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝﹣（a n+1﹣2a n+a n﹣1）＝（a n﹣2a n﹣1+a n﹣2）＝…＝（a3﹣2a2+a1），因为a3﹣2a2+a1＝0，所以a n+2﹣2a n+1+a n＝0，即数列{a n}是等差数列．20．（16分）若函数f（x）+g（x）和f（x）•g（x）同时在x＝t处取得极小值，则称f （x）和g（x）为一对“P（t）函数”．（1）试判断f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是否是一对“P（1）函数”；（2）若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”．①求a和t的值；②若a＜0，若对于任意x∈[1，+∞），恒有f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x），求实数m的取值范围．【分析】（1）设立两个新函数h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x），分别求导，看在x＝1处是否有极小值，从而得出判断．（2）①设立两个新函数h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），分别求导，由f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数，对a进行分类讨论，看极小值从而得到结论．②由①的结论，对不等式进行转化，根据恒成立的条件进行求解即可．解：令h1（x）＝f（x）+g（x），h2（x）＝f（x）•g（x）．（1）则h′1（x）＝2x+a+1，h′2（x）＝3x2+2ax+b．∵f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b是一对“P（1）函数”；∴，∴此时，因h′2（x）＝3x2﹣6x+3＝3（x﹣1）2≥0，h2（x）无极小值．故f（x）＝x与g（x）＝x2+ax+b不是一对“P（1）函数”．（2）①h1（x）＝e x+x2+ax+1，h2（x）＝e x•（x2+ax+1），h′1（x）＝e x+2x+a，h′2（x）＝e x[x2+（a+2）x+a+1]＝e x•（x+1）（x+a+1）．若f（x）＝e x与g（x）＝x2+ax+1是一对“P（t）函数”，由h′2（x）＝e x•（x+1）（x+a+1）＝0，得x1＝﹣1，x2＝﹣a﹣1，1°若a＞0，则有﹣a﹣1（﹣1，+∞）x（﹣∞，﹣1）﹣1（﹣1，﹣a﹣1）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝1，从而h′1（﹣1）＝e﹣1﹣2+a＝0，a＝2﹣，经验证知h1（x）＝e x+x2+（2﹣）x+1，在x＝﹣1处取得极小值，∴2°若a＜0，则有x（﹣∞，﹣a﹣1）﹣a﹣1（﹣a﹣1，﹣1）﹣1（1，+∞）h′2（x）+0﹣0+h2（x）↑极大值↓极小值↑因为h2（x）在x＝t处取得极小值，所以t＝﹣a﹣1；从而h′1（﹣a﹣1）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2＝0令φ（a）＝e﹣a﹣1﹣a﹣2，a＜0，φ（a）在（﹣∞，0）是减函数，且φ（﹣1）＝0，所以a＝﹣1，从而，经验证知h1＝（x）＝e x+x2﹣x+1在x＝0处取得极小值，所以3．当a＝0时，h′2（x）＝e x•（x+1）2≥0，h2（x）是增函数，无极小值，与题设不符．综上所述：或，②∵a＜0，由①结论可知，f（x）＝e x与g（x）＝x2﹣x+1，∴易见f（x）＞0，g（x）＞0，故不等式f（x）+g（x）＜m⋅f（x）g（x ）等价于：，令H（x ）＝，则H（x）max＜m．∵x≥1，∴H（x）单调递减，∴H（x）max＝H（1）＝+1，从而m．【选做题】本题包括21、22两小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．已知矩阵M＝满足：Ma i＝λi a i，其中λi（i＝1，2）是互不相等的实常数，a i（i ＝1，2）是非零的平面列向量，λ1＝1，a2＝，求矩阵M．【分析】由题意λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，由λ1＝1得ab＝1，由Ma2＝λ2a2得•＝λ2，求得，再由λ1≠λ2求得a、b的值即可．解：由题意，λ1，λ2是方程f（λ）＝＝λ2﹣ab＝0的两根，因为λ1＝1，所以ab＝1；又因为Ma2＝λ2a2，所以•＝λ2，从而，所以，因为λ1≠λ2，所以λ2＝﹣1，从而a＝b＝﹣1，故矩阵M＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：，曲线C2：（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）曲线C3：（t为参数，t＞0，）分别交C1，C2于A，B 两点，当α取何值时，取得最大值．【分析】（Ⅰ）利用x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，求曲线C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）＝＝＝，即可得出结论．解：（Ⅰ）因为x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，x2+y2＝ρ2，C1的极坐标方程为，C2的普通方程为x2+（y﹣1）2＝1，即x2+y2﹣2y＝0，对应极坐标方程为ρ＝2sinθ．（Ⅱ）曲线C3的极坐标方程为θ＝α（ρ＞0，）设A（ρ1，α），B（ρ2，α），则，ρ2＝2sinα，所以＝＝＝，又，，所以当，即时，取得最大值．【必做题】第23题、第24题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．23．平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）及点M（2，0），动直线l过点M交抛物线于A，B两点，当l垂直于x轴时，AB＝4．（1）求p的值；（2）若l与x轴不垂直，设线段AB中点为C，直线l1经过点C且垂直于y轴，直线l2经过点M且垂直于直线l，记l1，l2相交于点P，求证：点P在定直线上．【分析】（1）当直线l过点M且垂直于x轴时，由AB＝4知抛物线所过的点，代入抛物线方程求得p的值；（2）设直线l的方程，与抛物线方程联立，消去x化简得关于y的方程，利用根与系数的关系以及中点坐标求出直线l1的方程，再根据垂直关系求出直线l2的方程，由此求得两直线的交点坐标P，并判断点P在定直线x＝1上．【解答】（1）解：当直线l过点M（2，0），且垂直于x轴时，由AB＝4，知抛物线y2＝2px（p＞0）过点（2，2），代入抛物线方程，得4＝2p×2，解得p＝1；（2）证明：由题意设直线l的方程为：y＝k（x﹣2），且k≠0，点A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去x，化简得ky2﹣2y﹣4k＝0，由根与系数的关系得y1+y2＝，y1y2＝﹣4；又点C在直线AB上，则y C＝＝，所以直线l1的方程为y＝；又直线l2过点M且与直线l垂直，则直线l2的方程为y＝﹣（x﹣2）；联立，解得，所以点P（1，），所以点P在定直线x＝1上．24．设实数c＞0，整数p＞1，n∈N*．（Ⅰ）证明：当x＞﹣1且x≠0时，（1+x）p＞1+px；（Ⅱ）数列{a n}满足a1＞，a n+1＝a n+a n1﹣p．证明：a n＞a n+1＞．【分析】第（Ⅰ）问中，可构造函数f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），求导数后利用函数的单调性求解；对第（Ⅱ）问，从a n+1着手，由a n+1＝a n+a n1﹣p，将求证式进行等价转化后即可解决，用相同的方式将a n＞a n+1进行转换，设法利用已证结论证明．【解答】证明：（Ⅰ）令f（x）＝（1+x）p﹣（1+px），则f′（x）＝p（1+x）p﹣1﹣p ＝p[（1+x）p﹣1﹣1]．①当﹣1＜x＜0时，0＜1+x＜1，由p＞1知p﹣1＞0，∴（1+x）p﹣1＜（1+x）0＝1，∴（1+x）p﹣1﹣1＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0]上为减函数，∴f（x）＞f（0）＝（1+0）p﹣（1+p×0）＝0，即（1+x）p﹣（1+px）＞0，∴（1+x）p＞1+px．②当x＞0时，有1+x＞1，得（1+x）p﹣1＞（1+x）0＝1，∴f′（x）＞0，∴f（x）在[0，+∞）上为增函数，∴f（x）＞f（0）＝0，∴（1+x）p＞1+px．综合①、②知，当x＞﹣1且x≠0时，都有（1+x）p＞1+px，得证．（Ⅱ）先证a n+1＞．∵a n+1＝a n+a n1﹣p，∴只需证a n+a n1﹣p＞，将写成p﹣1个相加，上式左边＝，当且仅当，即时，上式取“＝”号，当n＝1时，由题设知，∴上式“＝”号不成立，∴a n+a n1﹣p＞，即a n+1＞．再证a n＞a n+1．只需证a n＞a n+a n1﹣p，化简、整理得a n p＞c，只需证a n＞．由前知a n+1＞成立，即从数列{a n}的第2项开始成立，又n＝1时，由题设知成立，∴对n∈N*成立，∴a n＞a n+1．综上知，a n＞a n+1＞，原不等式得证．。
试卷速递〣南通教研室高三模拟系列(高考数学)
直线AM 与BC 交于点 D ． ① AM 6DM ，求直线 AM 的方程；
②若 OQ 3OP ， MN∥BC ，求直线 AM 的方程．
19．(本小题满分 16 分) 已知函数 f x x ln x a 、 g x ln x ax (1)求函数 f x 的极值； (2)若函数 g x 有 2 个不同的零点、求实数 a 的取值范围； (3)若对任意的 x 1 、 f x g x 0 恒成文，求实数 a 的最大值．
7．如图，在四棱锥 P ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形， PD 平面 ABCD ， E 为 PD 的中 点，已知 AB 4 ， AD 2 ， PD 3 ，则三棱锥 P BCE 的体积为________．
8．设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，已知 a2 9,a4 5 ，则满足 Sn 35 的正整数 n 的值
2020 年江苏高考数学全真模拟试卷一(南通教研室)
数学Ⅱ附加题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:
1．本试卷共 4 页，均为非选择题(第 21 题~第 23 题)．本卷满分为 40 分，考试时间为 30 分
钟，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的
C
在
x
2
上运动
设 2b OE ，则 E 在 x 1上运动，∵ 2b c 2 ，∴ OE OC CE 2
CE
中点
G
在
x
3 2
上运动.
∴
b
c
1 2
OE
OC
1 2
OG
2
EG
2
1 2
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷答案解析一、填空题（共14题，共70分）1．已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝{﹣1，2} ．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．2．已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．【解答】解：由（1+i）z＝2i，&得．则复数z的模为：．故答案为：．3．某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为40 ．【解答】解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：404．根据如图所示的伪代码，输出的a的值为11 ．—【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．5．已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为 1 ．【解答】解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．$化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．6．将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．:7．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．【解答】解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A 1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．8．已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为5．【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，~即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．9．已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，1）．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，[即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）10．在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．【解答】解：设点B的横坐标为m，;因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．11．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的1000倍．【解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE ＝4.8+1.5M．、2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．12．已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．【解答】解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，【设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．]即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为{8，8﹣2，8+2}．【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，|即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．14．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．【解答】解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，>设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．二、解答题（共6题，共90分）15．如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面P AB⊥平面P AC．~【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵P A⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴P A⊥AB，又PC⊥AB，P A∩PC＝P，且P A，PC都在平面P AC内，%∴AB⊥平面P AC，∵AB在平面P AB内，∴平面P AB⊥平面P AC．16．在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．【解答】解：（1）如图，∵，∴，!又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝^＝．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．}【解答】解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．<解法二：设直线AP的方程为（k 1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k 2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．(18．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．【解答】解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，…所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝\所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．19．已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．）①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【解答】解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），%而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n （n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；@当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20．设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．【解答】解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．—令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，·∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，^设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．$【选做题】（3选2，每题10分）21．已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．【解答】解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．.（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．【解答】解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l 的距离d＝＝，？当sin（）＝1时，．23．已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；}（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．【必做题】（每题10分）24．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．&【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．25．一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y 的数学期望（用n表示）．【解答】解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．。
2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷
绝密★启用前2020届江苏省高考数学南通名师冲刺模拟卷数学Ⅰ卷注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。
本卷满分为160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。
4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．．1. 设复数z满足(2i)1iz-=+（i为虚数单位），则复数z=▲．2. 已知集合{}1,0A=-，{}0,2B=，则A B共有▲个子集．3. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为▲．4. 某地区连续5天的最低气温（单位：°C）依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为▲．5. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为▲．6. 函数()f x的定义域为▲ ．7. 若函数的部分图象如图所示，则的值为▲．8. 现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为▲ ．9. 已知F是抛物线C：28y x=的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M是FN的中点，则FN的长度为▲．xOy C xy±=Csin()(0)y xωϕω=+>ω（第3题）（第11题）A BCMN（第12题）ABCB 1C 1A 1MN（第16题）10. 若函数()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x x =，则不等式()e f x <-的解集为 ▲ ．11. 钢材市场上通常将相同的圆钢捆扎为正六边形垛（如图）．现将99根相同的圆钢捆扎为1个尽可能大的正六边形垛，则剩余的圆钢根数为 ▲ ．12. 如图，在△ABC 中，点M 为边BC 的中点，且2AM =，点N 为线段AM 的中点，若74AB AC ⋅=，则NB NC ⋅的值为 ▲ ． 13. 已知正数x y ，满足11910x y x y +++=，则1x y+的最小值是 ▲ ． 14. 若方程有四个不同的实数根，且，则的取值范围是 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）已知向量1(sin 22x =，m ，1(3)22x =，n ，函数()f x =⋅m n ． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若//m n ，且(0,)2x π∈，求(4)f x 的值． 16．（本小题满分14分） 如图，在三棱柱中，已知，分别为线段，的中点，与所成角的大小为2|21|0x x t ---=1234,,,x x x x 1234x x x x <<<41322()()x x x x -+-111ABC A B C -M N 1BB 1A C MN 1AA90°，且．求证：（1）平面平面；（2）平面．17．（本小题满分14分）某厂花费2万元设计了某款式的服装．根据经验，每生产1百套该款式服装的成本为1万元，每生产x （百套）的销售额（单位：万元）20.4 4.20.805()914.7 5.3x x x P x x x ⎧-+-<⎪=⎨->⎪-⎩≤，，， （1）该厂至少生产多少套此款式服装才可以不亏本？（2）试确定该厂生产多少套此款式服装可使利润最大，并求最大利润． （注：利润=销售额-成本，其中成本=设计费+生产成本）18．（本小题满分16分）已知在平面直角坐标系中，椭圆C ：，其短轴长为2．1MA MC =1A MC ⊥11A ACC //MN ABCxOy 22221(0)y x a b a b+=>>（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，A 为椭圆C 的左顶点，P ，Q 为椭圆C 上两动点，直线PO 交AQ 于E ，直线QO 交AP 于D ，直线OP 与直线OQ 的斜率分别为，，且，，（为非零实数），求的值．19．（本小题满分16分）设数列{a n }的前n 项和为，且满足：．（1）若，求a 1的值； （2）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式．20．（本小题满分16分）已知函数()e (1)xf x a x =-+，其中e 为自然对数的底数，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调性，并写出相应的单调区间；（2）已知0a >，b ∈R ，若()f x b ≥对任意x ∈R 都成立，求ab 的最大值； （3）设()(e)g x a x =+，若存在0x ∈R ，使得00()()f x g x =成立，求a 的取值范围．1k 2k 1212k k =-AD DP λ=AE EQ μ=λμ，22λμ+n S ()()2*0n n n a S a p n p >=+∈∈N R ，，29p =123a a a ，，。
2020年高考数学全真模拟试卷一(江苏南通专用)(原卷版)
2020年高考数学全真模拟试卷（一）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1．若集合A={x|x2−2x−3≤0}，B={x|2x≥√2}，则A∩B═.2.如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较为稳定(方差较小)的那名运动员的得分的方差为______ ．3.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为______．4.欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足(e iπ+i)⋅z=i，则|z|=.5.若实数x，y满足约束条件{2x+y−4≥0x−y+4≥03x+2y−3≥0，则z=2x−y的最小值是6.某高中高三(1)班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“人班即静”.“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：小王说：“人班即静”是我写的；小董说：“天道酶勤“不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败“不是我写的．若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“人班即静”的书写者是7.设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d <0”是“∀n ∈N ∗，S n+1<S n ”的 条件.(在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选填)8.我国著名数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就，哥德巴赫猜想内容是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注：如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，在不超过15的素数中，随机选取2个不同的素数a 、b ，则|a −b|<3的概率是9.△ABC 中，点D 在AB 上，CD 平分∠ACB.若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=1，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ = .10.若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S 1、S 2，则有S 1：S 2= ______ ．11.若mcos80°+√3tan10°=1，则m = .12.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为点F ，点B 是虚轴的一个端点，点P 为双曲线C 左支上一个动点，若△BPF 周长的最小值等于实轴长的4倍，则双曲线C 的渐近线方程为______．13.《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形(黄)和两个小直角三角形(朱、青).将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a +b ，宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3.设D 为斜边BC 的中点，作直角三角形ABC 的内接正方形对角线AE ，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，则下列结论正确的是 .①由图1和图2面积相等可得d =ab a+b ；②由AE ≥AF 可得√a 2+b 22≥a+b 2； ③由AD ≥AE 可得√a 2+b 22≥21a +1b；④由AD ≥AF 可得a 2+b 2≥2ab ．14.若关于x 的不等式ax −2a >2x −lnx −4有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围是 .二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.在△ABC中，a=√2，c=√10，________.(补充条件) (Ⅰ)求△ABC的面积；(Ⅰ)求sin(A+B)．从①b=4，②cosB=−√55，③sinA=√1010这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.16.如图，在四棱锥P−ABCD中，PB⊥平面ABCD，AB⊥BC，AD//BC，点E为棱PD的中点．(Ⅰ)求证：CE//平面PAB；(Ⅰ)求证：AD⊥平面PAB；17.某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x(n∈N∗)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10(a−3x500)万元(a>0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．(1)若要保证剩余与员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？(2)在(1)的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余与员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？18.已知椭圆C的方程为x24+y23=1，斜率为12的直线与椭圆C交于A，B两点，点P(1,32)在直线l的左上方．(1)若以AB为直径的圆恰好经过椭圆C的右焦点F2，求此时直线l的方程；(2)求证：△PAB的内切圆的圆心在定直线x=1上．19.在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“Z拓展”.如数列1，2第1次“Z拓展”后得到数列1，3，2，第2次“Z拓展”后得到数列1，4，3，5，2.设数列a，b，c经过第n次“Z拓展”后所得数列的项数记为P n，所有项的和记为S n．(Ⅰ)求P1，P2；(Ⅰ)若P n≥2020，求n的最小值；(Ⅰ)是否存在实数a，b，c，使得数列{S n}为等比数列？若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，说明理由．20.已知函数f(x)=sinx，g(x)=x⋅cosx−sinx．x(1)判断函数g(x)在区间(0,3π)上零点的个数；(2)函数f(x)在区间(0,3π)上的极值点从小到大分别为x1，x2，证明：f(x1)+f(x2)<0；数学附加题21. 【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修4-2：矩阵与变换](本小题满分10分)求椭圆C ：x 216＋y 24＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤140012对应的变换作用下所得曲线C ′的方程．B ：[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为(t 为参数),若以直角坐标系xOy 的原点O 为极点,Ox 为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,则曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos .若直线l 与曲线C 交于A,B 两点,求线段AB 的长度.C ：[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)若正数a ,b ,c 满足a +b +c =1,求++的最小值. 1,2x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩π-4θ⎛⎫ ⎪⎝⎭132a +132b +132c +【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)在如图所示的几何体中,四边形ABCD 为矩形,平面ABEF ⊥平面ABCD, EF ∥AB,∠BAF=90°, AD= 2,AB=AF=2EF =1,点P 在棱DF 上.(1) 若P 是DF 的中点, 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值;(2) 若二面角D-AP-C 的平面角的余弦值为,求PF 的长度.(第22题)23. (本小题满分10分)把正整数按如下规律分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13,14,15),(16,17,18,19,20,21),…,记各组包含的正整数的和分别为S 1,S 2,S 3,….(1) 求第10组的最后一个数;(2) 猜测f(n)=S 1+S 3+S 5+…+S 2n-1(n ∈N *)的结果,并用数学归纳法给出证明.3。
2020江苏南通名校名师数学原创卷1
【答案】 210．
【解析】由题设可知，AB＝2ab2＝3a，即 b2＝32a2，e＝ac＝ a2a+2b2＝ 1＋32＝ 210．
9． 如图，正六棱锥 P－ABCDEF 的体积为 300，S 为 PA 的中点，则三棱锥 S－BDF 的体积是 ▲ ．
【答案】75．
【解析】由题设可知，三棱锥 S－BDF 高是原六棱锥高的12，
若 ax－a＋2＜0，则方程无实根．
若 ax－a＋2≥0，则方程等价于 (a2－a)x2－(2a－5)ax＋a2－4a＋2＝0．
上式仅有 1 个实根，有以下三种情况：
(i) a2－a ＝0，此时检验知 a＝1 符合要求．
(ii) a2－a ≠0，方程有两个相等的实根，即△＝(2a－5)2a2－4(a2－a)(a2－4a＋2)＝0，
所以 AO // C1O1 ，AO = C1O1，所以四边形 AOC1O1 是平行四边形，于是 AO1∥C1O．
又 C1O平面 BC1D，AO1平面 BC1D，所以，AO1∥平面 BC1D． （2）因为 四边形 ABCD 是正方形，所以 AC⊥BD，BC=CD．
又因为 ∠BCC1=∠DCC1，C1C= C1C，所以 △C1BC≌△C1DC．所以 C1B=C1D． 因为 DO=OB，所以 C1O⊥BD．
= =
19a1 20a1
+19 9d 0 + 10 19d
， ，即
0，
a1 + 9d 2a1 + 19d
0， 由 0．
a2
=
20，得
a1
=
20
−
d，
代入解得 − 5 d − 40 ．
2
17
11．已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意 x 0 ，+ ) ，满足 f (x + 2) = f (x) ．若当
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位量上.1.（5分）已知集合=（-1.0.2},8={-1,】，2},则=.2.（5分）已知复数z满足（l+i）z=2i,其中，是虚数单位，则z的模为—.3.（5分）某校高三数学组有5名党员教师，他们一夭中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35,35,41,38,51,则这5名党员教师学习积分的平均值为—.4.（5分）根据如图所示的伪代码，输出的a的值为—.C------•0—1;/<-1;While心::il+l\End While:Prinl a:5.（5分）已知等差数列{%}的公差d不为°，且句，a,,角成等比数列，则与的值为d6.（5分）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为_7.（5分）在正三棱柱ABC一同用弓中，A&=.4B=2,则三棱锥A t-BB,C X的体积为.8.（5分）已知函数/（x）=S in（/y.r--X^>0）,若当.r=-时，函数/（x）取得最大值，则36/的最小值为—.9.（5分）已知函数/（x）=（m-2）x2+（m-8）x（m g R）是奇函数，若对于任意的e R,关于x的不等式/（x2+l）</（a）恒成立，则实数。
的取值范围是—.10.（5分）在平面直角坐标系中，已知点刃，8分别在双曲线C：j-矿=1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段X8的中点.若点*的横坐标为2,则点8的横坐标为—11.（5分）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解,例如.地震时释放出的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级X之间的关系为/g£=4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的—倍.12.（5分）已知AJ8C的面积为3.且zlg=XC,若CD^2DA,则的最小值为____.13.（5分）在平面直角坐标系中.已知圆q：F+/=8与圆C2：X2+y2+2x+y-a=0相交于X、3两点.若圆G上存在点P，使得山8P为等腰直角三角形，则实数。
正文2020年江苏高考南通名师原创卷
荷牙子总算走点运气,原先他只想找个把人同 去 就 行,如 今 有 了 两 个 自 己 找 上 门 的,于
是他们什么都不管,急忙出发。
七月的太阳虽然到了下午四点钟,还是火一样地烧着。
一到毛家坝,荷牙子把牛绳随便系在草地的一株小树上,就匆忙把褂子剥掉,把裤子脱下
来,狂奔到坝边,纵步跳进水,扑通 一 声,水 沫 腾 上 三 四 尺 高,人 沉 在 水 底,还 故 意 攀 住 水 底 的
更想幽期处,还寻北郭生。
子也不管她,随她怎么弄。后来她渐渐地胆大了,公 然 把 身 子 浸 在 水 里 只 剩 出 个 头,打 得 水
入门高兴发,侍立小童清。
点跳上来几尺高。成妹子这种 游 泳 法,荷 牙 子 的 弟 弟 也 会,也 伏 在 水 边 凑 热 闹。 小 坝 里 有
落景闻寒杵,屯云对古城。
3 分)
∙∙∙
( ▲ )
② 担簦:一副行李,一把雨伞。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ( ▲
5.对下列加点词的解释,不正确 的一项是(
3 分)
∙∙∙
弥
十日,
仍往富家糊口
弥:
满
A.
∙
昧爽:黎明
B. 明日昧爽 ,担簦即行
∙∙
视:看待
C. 视 吾妇领上扣相去几何
∙
青衿:读书人
D. 孺人初生儿三十余岁,已列青衿
∙∙
( ▲
6.下列对原文有关内容的概括和分析,不正确 的一项是(
① 坐草:分娩。
瞧着他说:
③ 感情的本性,就是和“动”分不开的。
⑥ 如“举杯邀明月,对影成三人”,画面的持续性克服了刹那间才显出情的动态。
B. ①④②③⑥⑤
2020学年江苏省南通市高考一模数学
2020年江苏省南通市高考一模数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为 . 解析：根据函数y=Asin(ωx+φ)的周期等于2πω，得出结论.函数y=2sin(3x-3π)的最小正周期为23π.答案：23π.2.设集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}，则A ∪B= .解析：由交集的定义，可得a+2=3，解得a ，再由并集的定义，注意集合中元素的互异性，即可得到所求.集合A={1，3}，B={a+2，5}，A ∩B={3}， 可得a+2=3，解得a=1， 即B={3，5}，则A ∪B={1，3，5}. 答案：{1，3，5}.3.复数z=(1+2i)2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为 . 解析：直接利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.∵z=(1+2i)2=1+4i+(2i)2=-3+4i ， ∴z 的实部为-3. 答案：-3.4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35，则摸出蓝球的概率为 . 解析：利用对立事件的概率公式，可得结论.∵摸出红球的概率为0.48，摸出黄球的概率为0.35， ∴摸出蓝球的概率为1-0.48-0.35=0.17. 答案：0.17.5.如图是一个算法的流程图，则输出的n 的值为 .解析：由已知的程序框图可知，该程序的功能是利用循环计算a 值，并输出满足a ＜16的最大n 值，模拟程序的运行过程可得答案.当n=1，a=1时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=5，n=3. 满足进行循环的条件，执行循环后，a=17，n=5. 满足进行循环的条件，退出循环. 故输出n 值为5. 答案：5.6.若实数x ，y 满足243700x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，则z=3x+2y 的最大值为 .解析：作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分).由z=3x+2y 得3122y x z +-=， 平移直线3122y x z +-=，31312222y x z A y x z =+=+--由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z 最大. 由2437x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得A(1，2)，代入目标函数z=3x+2y 得z=3×1+2×2=7. 即目标函数z=3x+2y 的最大值为7. 答案：7.7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩(单位：分)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位学生成绩的方差为 . 解析：根据题意，对于甲，其平均数6580708575755x ++++==甲，其方差S甲2=15[(65-75)2+(80-75)2+(70-75)2+(85-75)2+(75-75)2]=50. 对于乙，其平均数8070758070755x ++++==乙，其方差S乙2=15[(80-75)2+(70-75)2+(75-75)2+(80-75)2+(70-75)2]=20.比较可得：S 甲2＞S 乙2，则乙的成绩较为稳定. 答案：20.8.如图，在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ，则三棱锥D 1-A 1BD 的体积为 cm 3.解析：∵在正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=3cm ，AA 1=1cm ， ∴三棱锥D 1-A 1BD 的体积：1111111111311133326213D A BD B A D D A D D V V SAB A D DD AB --==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=(cm 3). 答案：32.9.在平面直角坐标系xOy 中，直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .解析：利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，然后求解双曲线的离心率即可.直线2x+y=0为双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，可得b=2a ，即c 2-a 2=4a 2，可得ca=10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为 升. 解析：设最上面一节的容积为a 1，利用等差数列的通项公式、前n 项和公式列出方程组：111()43432986596()422a d a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⨯⎪+-+=⎪⎩， 解得11322a =. 答案：1322.11.在△ABC 中，若2BC BA AC AB CA CB +=，则sin sin AC的值为 . 解析：根据题意，利用平面向量的数量积，结合余弦定理和正弦定理，即可求出sin sin AC的值. 在△ABC 中，设三条边分别为a 、b ，c ，三角分别为A 、B 、C ， 由2BC BA AC AB CA CB +=， 得ac ·cosB+2bc ·cosA=ba ·cosC ， 由余弦定理得：()()()2222222221122a c b b c a b a c +-++-=+-，化简得222a ac c==，则，由正弦定理得sin sin A aC c==.12.已知两曲线f(x)=2sinx ，g(x)=acosx ，x ∈(0，2π)相交于点P.若两曲线在点P 处的切线互相垂直，则实数a 的值为 . 解析：联立两曲线方程，可得sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0，设交点P(m ，n)，分别求出f(x)，g(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，再由同角基本关系式，化弦为切，解方程即可得到a 的值. 由f(x)=g(x)，即2sinx=acosx ， 即有sin tan cos 2x ax x ==，a ＞0， 设交点P(m ，n)，f(x)=2sinx 的导数为f ′(x)=2cosx ， g(x)=acosx 的导数为g ′(x)=-asinx ， 由两曲线在点P 处的切线互相垂直， 可得2cosm ·(-asinm)=-1，且tan 2a m =， 则222sin cos 1sin cos a m m m m=+， 分子分母同除以cos2m ， 即有22tan 11tan a mm=+，2214a a a =+=即为，解得.13.已知函数f(x)=|x|+|x-4|，则不等式f(x 2+2)＞f(x)的解集用区间表示为 .解析：令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，通过讨论x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可.令g(x)=f(x 2+2)-f(x)=x 2+2+|x 2-2|-|x|-|x-4|，x ≥4时，g(x)=2x 2-2x+4＞0，解得：x ≥4.≤x ＜4时，g(x)=2x 2-4＞0，解得： 4x x x -＜＜.0≤x 时，g(x)=0＞0，不合题意.≤x ＜0时，g(x)=2x ＞0，不合题意.x ＜时，g(x)=2x 2+2x-4＞0，解得：x ＞1或x ＜-2，故x ＜-2，即不等式的解集用区间表示为(-∞，-2)∪，+∞).答案：(-∞，-2)∪，+∞).14.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为 .解析：在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2+y 2=4上两点，点A(1，1)，且AB ⊥AC ，如图所示：当BC ⊥OA 时，|BC|取得最小值或最大值.由2214y x y =⎧⎨+=⎩，可得B ())，由2211x x y =⎧⎨+=⎩，可得C ((1或， 解得：min max BC BC ===故线段BC 的长的取值范围为.答案：+.二、解答题：本大题共6小题，共计90分.15.如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA 为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B ，AB=5.(1)求cosβ的值.解析：(1)由条件利用余弦定理，求得cosβ的值.答案：(1)在△AOB中，由余弦定理得，AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos∠AOB，∴222222113 cos22115OA OB ABAOBOA OB+-+-∠===⨯⨯⎝⎭，即cosβ=35.(2)若点A的横坐标为513，求点B的坐标.解析：(2)利用任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦、余弦公式，求得点B的坐标.答案：(2)∵30 52cosπββ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，，，∴4sin5β===.55cos1313Aα=点的横坐标为，由三角函数定义可得，，∵α为锐角，∴12sin13α===.∴5312433 cos cos cos sin si()n13513565αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-，1235456sin sin cos cos sin135165 ()35αβαβαβ+=+=⨯+⨯=，即点B33566565⎛⎫⎪⎝-⎭，.16.如图，在四棱锥P-ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AC ，BD 相交于点O ，点E 为PC 的中点，OP=OC ，PA ⊥PD.求证：(1)直线PA ∥平面BDE.解析：(1)连结OE ，说明OE ∥PA.然后证明PA ∥平面BDE. 答案：(1)证明：连结OE ，∵O 为平行四边形ABCD 对角线的交点， ∴O 为AC 中点. ∵E 为PC 的中点， ∴OE ∥PA.∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ， ∴直线PA ∥平面BDE.(2)平面BDE ⊥平面PCD.解析：(2)证明OE ⊥PD.OE ⊥PC.推出OE ⊥平面PCD.然后证明平面BDE ⊥平面PCD. 答案：(2)证明：∵OE ∥PA ，PA ⊥PD ， ∴OE ⊥PD.∵OP=OC ，E 为PC 的中点， ∴OE ⊥PC.∵PD ⊂平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，PC ∩PD=P ， ∴OE ⊥平面PCD. ∵OE ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面PCD.17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为2，焦点到相应准线的距离为1.(1)求椭圆的标准方程.解析：(1)由已知条件可得21c a c a c =-=，然后求解椭圆的方程. 答案：(1)由题意得，221c a c a c=-=， 解得a=2，c=1，b=1.所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线于点Q ，求2211OP OQ+的值. 解析：(2)由题意知OP 的斜率存在.当OP 的斜率为0时，求解结果.当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.联立方程组，推出OP 2=222221k k ++.OQ 2=2k 2+2.然后求解即可. 答案：(2)由题意知OP 的斜率存在. 当OP 的斜率为0时，22111OP OQ OP OQ ==+=. 当OP 的斜率不为0时，设直线OP 方程为y=kx.()22222222222121222121x k y k x x y k k y kx⎧+=⎪+===⎨++⎪=⎩由得，解得，所以， 所以OP 2=222221k k ++. 因为OP ⊥OQ ，所以直线OQ 的方程为1y kx =-.由1k y y x-⎧=⎪⎨=⎪⎩得x =，所以OQ 2=2k 2+2. 所以222221*********k OP OQ k k ++=+=++. 综上，可知22111OP OQ+=.18.如图，某机械厂要将长6m ，宽2m 的长方形铁皮ABCD 进行裁剪.已知点F 为AD 的中点，点E 在边BC 上，裁剪时先将四边形CDFE 沿直线EF 翻折到MNFE 处(点C ，D 分别落在直线BC 下方点M ，N 处，FN 交边BC 于点P)，再沿直线PE 裁剪.(1)当∠EFP=4π时，试判断四边形MNPE 的形状，并求其面积. 解析：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π.可得FN ⊥BC ，四边形MNPE 为矩形.即可得出. 答案：(1)当∠EFP=4π时，由条件得∠EFP=∠EFD=∠FEP=4π. 所以∠FPE=2π.所以FN ⊥BC ， 四边形MNPE 为矩形.所以四边形MNPE 的面积S=PN ·MN=2m 2.(2)若使裁剪得到的四边形MNPE 面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由. 解析：(2)解法一：设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ.可得()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.四边形MNPE 面积为：()22223326sin 2tan tan si 112n 22S NP ME MN θθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-+- ⎪⨯=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，化简利用基本不等式的性质即可得出.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t ，可得PE=PFt BP =-，()()22131332323t t BP NP t t t --==-+--，，四边形MNPE面积为()()()()213231132226263233t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝-⎭⎣=+=-++-⨯=--+--⎦，利用基本不等式的性质即可得出. 答案：(2)解法一： 设∠EFD=θ(0＜θ＜2π)，由条件，知∠EFP=∠EFD=∠FEP=θ. 所以()222233sin 2sin 2sin 2tan PF NP NF PF ME πθθθθ===-=-=--，，.2230sin 232ta 2sin 32ta n 000232n θθθθππθθ⎧-⎪⎪-⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩＞＞由＞得＞＜＜＜＜ (*)所以四边形MNPE 面积为()221122sin tan tan si 22223326222n (sin cos )tan tan sin cos tan 2366662S NP ME MN θθθθθθθθθθθ⎛⎫=+=-+-⨯=-- ⎪⎝⎭+⎛⎫=-⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢-=-+≤-=- ⎪⎝⎭⎣⎭⎥⎝⎦当且仅当tan tan tan 33πθθθθ===，即时取“=”. 此时，(*)成立. 答：当∠EFD=3π时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE面积最大， 最大值为2.解法二：设BE=tm ，3＜t ＜6，则ME=6-t. 因为∠EFP=∠EFD=∠FEP ，所以PE=PFt BP =-.所以()()()22131333332323t t BP NP PF PE t BP t t t --==-=-=--=-+--，. ()()22236361302312310133023t t tt t t t t t t ⎧⎪⎪⎧⎪⎪-⎪⎨⎨-⎪⎪-+⎩⎪-⎪-+-⎪⎩＜＜＜＜由＞得＜＞(*).所以四边形MNPE 面积为()()()()2133612232636312232t S NP ME MN t t t t t ⎡⎤⎛-=+=-++-⨯-=--⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡+≤⎢⎥⎣⎦--⎤()3232333t t t -==+=+-当且仅当，即“=”. 此时，(*)成立.答：当点E 距B 点3+233m 时，沿直线PE 裁剪，四边形MNPE 面积最大，最大值为2.19.已知函数f(x)=ax 2-x-lnx ，a ∈R.(1)当a=38时，求函数f(x)的最小值. 解析：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx.求出函数的导数，得到极值点，然后判断单调性求解函数的最值. 答案：(1)当a=38时，f(x)=38x 2-x-lnx. 所以()()()32113424x x f x x x x+-'=--=(x ＞0). 令f'(x)=0，得x=2，当x ∈(0，2)时，f'(x)＜0.当x ∈(2，+∞)时，f'(x)＞0， 所以函数f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增. 所以当x=2时，f(x)有最小值()122ln 2f =--.(2)若-1≤a ≤0，证明：函数f(x)有且只有一个零点.解析：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=，x ＞0.当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点，当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞，推出结果.答案：(2)由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()212121ax x f x ax x x--'=--=(x ＞0).所以当a ≤0时，()2210ax x f x x--'=＜，函数f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.因为当-1≤a ≤0时，f(1)=a-1＜0，2210e e af e e -⎛⎫ ⎪⎝⎭+=＞， 所以当-1≤a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上有零点.综上，当-1≤a ≤0时，函数f(x)有且只有一个零点.(3)若函数f(x)有两个零点，求实数a 的取值范围.解析：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点.说明a ＞0，由f(x)=ax 2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，说明函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增.要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要ax 02-x 0-lnx 0＜0.通过函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，推出0＜a ＜1.验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点.证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，利用导数求解函数的最值即可.答案：(3)由(2)知，当a ≤0时，函数f(x)在(0，+∞)上最多有一个零点. 因为函数f(x)有两个零点，所以a ＞0.由f(x)=ax2-x-lnx ，得()221ax x f x x--'=(x ＞0)，令g(x)=2ax 2-x-1.因为g(0)=-1＜0，2a ＞0，所以函数g(x)在(0，+∞)上只有一个零点，设为x 0.当x ∈(0，x 0)时，g(x)＜0，f'(x)＜0.当x ∈(x 0，+∞)时，g(x)＞0，f'(x)＞0. 所以函数f(x)在(0，x 0)上单调递减.在(x 0，+∞)上单调递增. 要使得函数f(x)在(0，+∞)上有两个零点，只需要函数f(x)的极小值f(x 0)＜0，即ax 02-x 0-lnx 0＜0＜0.又因为g(x 0)=2ax 02-x 0-1=0，所以2lnx 0+x 0-1＞0，又因为函数h(x)=2lnx+x-1在(0，+∞)上是增函数，且h(1)=0，所以x 0＞1，得0＜1x ＜1. 又由2ax 02-x 0-1=0，得2200011241112a x x x =+=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎭⎝⎭-⎝+，所以0＜a ＜1.以下验证当0＜a ＜1时，函数f(x)有两个零点. 当0＜a ＜1时，2121110a a g a aa a ⎛⎫ -==⎝--⎪⎭＞， 所以1＜x 0＜1a. 因为2221110a e e a f e e e e ⎛⎫ ⎪⎝-+=-+=⎭＞，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(1e，x 0)上有一个零点. 又因为224222ln 2110a f a a a a a a =-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝≥⎭---=＞(因为lnx ≤x-1)，且f(x 0)＜0. 所以函数f(x)在(x 0，2a)上有一个零点. 所以当0＜a ＜1时，函数f(x)在12ea ⎛⎫⎪⎝⎭，内有两个零点. 综上，实数a 的取值范围为(0，1).下面证明：lnx ≤x-1.设t(x)=x-1-lnx ，所以()111x t x x x-'=-=(x ＞0). 令t'(x)=0，得x=1.当x ∈(0，1)时，t'(x)＜0.当x ∈(1，+∞)时，t'(x)＞0. 所以函数t(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增. 所以当x=1时，t(x)有最小值t(1)=0. 所以t(x)=x-1-lnx ≥0，得lnx ≤x-1成立.20.已知等差数列{a n }的公差d 不为0，且1k a ，2k a ，…，kn a ，…(k 1＜k 2＜…＜k n ＜…)成等比数列，公比为q.(1)若k 1=1，k 2=3，k 3=8，求1a d的值. 解析：(1)由已知得：a 1，a 3，a 8成等比数列，从而4d 2=3a 1d ，由此能求出1a d的值.答案：(1)由已知可得：a 1，a 3，a 8成等比数列，所以(a 1+2d)2=a 1(a 1+7d)，整理可得：4d 2=3a 1d. 因为d ≠0，所以143a d =. (2)当1a d为何值时，数列{k n }为等比数列. 解析：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3，推导出11a d=，从而n k n a k d =，进而k n =k 1q n-1.由此得到当11a d=时，数列{k n }为等比数列. 答案：(2)设数列{k n }为等比数列，则k 22=k 1k 3. 又因为ak 1，ak 2，ak 3成等比数列，所以[a 1+(k 1-1)d][a 1+(k 3-1)d]=[a 1+(k 2-1)d]2.整理，得a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(k 1k 3-k 22-k 1-k 3+2k 2).因为k 22=k 1k 3，所以a 1(2k 2-k 1-k 3)=d(2k 2-k 1-k 3). 因为2k 2≠k 1+k 3，所以a 1=d ，即11a d=. 当11a d=时，a n =a 1+(n-1)d=nd ，所以n k n a k d =. 又因为1111n n n k k a a qk dq --==，所以k n =k 1q n-1.所以1111nn n n k k q q k k q+-==，数列{k n }为等比数列. 综上，当11a d=时，数列{k n }为等比数列.(3)若数列{k n }为等比数列，且对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立，求a 1的取值范围.解析：(3)由数列{k n }为等比数列，a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).得到111112n n k q a n k q --+＞，111111121022n n nn k q q na k q k q--+=+＜＜恒成立，再证明对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n q ＜ε. 要证11n n q＜ε，即证lnn 1＜n 1lnq+ln ε.由此能求出a1的取值范围.答案：(3)因为数列{k n }为等比数列，由(2)知a 1=d ，k n =k 1q n-1(q ＞1).1111111n n n n k k a a q k dq k a q ---===，a n =a 1+(n-1)d=na 1.因为对于任意n ∈N*，不等式2n n k n a a k +＞恒成立.所以不等式1111112n n na k a q k q --+＞，即111111111112101222n n n n nk q n k q q na n k q a k q k q----+=++＞，＜＜恒成立. 下面证明：对于任意的正实数ε(0＜ε＜1)，总存在正整数n 1，使得11n n q ε＜. 要证11n n qε＜，即证lnn 1＜n 1lnq+ln ε. 因为1ln 21x x x e ≤＜，则1ln n=1ln ln n q ε+，即2ln 0q ln ε＞，21n⎝⎭＞. 不妨取201n ⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则当n 1＞n 0时，原式得证. 所以10211a ≤＜，所以a 1≥2，即得a1的取值范围是[2，+∞).附加题：选做题本题包括四小题，请选2题作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21.已知圆O 的直径AB=4，C 为AO 的中点，弦DE 过点C 且满足CE=2CD ，求△OCE 的面积.解析：由相交弦定理，得CD ，DE 中点H ，则OH ⊥DE ，利用勾股定理求出OH ，即可求出△OCE 的面积.答案：设CD=x ，则CE=2x. 因为CA=1，CB=3，由相交弦定理，得CA ·CB=CD ·CE ，所以1×3=x ·2x=2x 2，所以取DE 中点H ，则OH ⊥DE.因为222235284OH OE EH x =-=-⎫ ⎪⎭=⎛⎝，所以.又因为，所以△OCE 的面积1122S OH CE ==⨯=.[选修4-2：矩阵与变换]22.已知向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy 中，点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)，求矩阵A. 解析：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，根据矩阵变换，列方程组，即可求得a 、b 、c 和d 的值，求得A. 答案：设A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， ∵向量11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦是矩阵A 的属于特征值-1的一个特征向量， ∴()1111111a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎢⎥--⎣⎥⎣⎦⎦⎣⎦⎣⎦. ∴11a b c d -=-⎧⎨-=⎩∵点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下变为P'(3，3)，∴1313a b c d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎤⎢⎥⎣⎦⎦⎡. ∴33a b c d +=⎧⎨+=⎩解得a=1，b=2，c=2，d=1，所以A=1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦.[选修4-4：坐标系与参数方程]23.在极坐标系中，求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长. 解析：极坐标方程化为直角坐标方程，联立，求出A ，B 的坐标，即可求直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.答案：以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系. 直线θ=4πρ∈R)的直角坐标方程为y=x ①， 曲线ρ=4sin θ的直角坐标方程为x 2+y 2-4y=0②. 由①②得0202x x y y ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 所以A(0，0)，B(2，2)， 所以直线θ=4π(ρ∈R)被曲线ρ=4sin θ所截得的弦长.[选修4-5：不等式选讲]24.求函数3sin y x =+.解析：利用二倍角公式化简函数的解析式，利用柯西不等式求解函数的最值即可.答案：3sin 3sin y x x =+=+，由柯西不等式得(()()222222334sin sincos 25y x x x =+≤++=，所以y max =5，此时sinx=35.所以函数3sin y x =+ 5.[必做题]共2小题，满分20分25.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 为棱C 1D 1的中点，Q 为棱BB 1上的点，且BQ=λBB 1(λ≠0).(1)若λ=12，求AP 与AQ 所成角的余弦值. 解析：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.求出()20)2(121AP AQ ==，，，，，，利用数量积求解AP 与AQ 所成角的余弦值.答案：(1)以{}1AB AD AA ，，为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz.∵()20)2(121AP AQ ==，，，，，，∴1cosAP AQ AP AQ AP AQ⨯===＜，＞∴AP 与AQ 所成角的余弦值为15.(2)若直线AA 1与平面APQ 所成的角为45°，求实数λ的值.解析：(2)1()00)2(022AA AQ λ==，，，，，.求出平面APQ 的法向量，利用空间向量的数量积求解即可.答案：(2)由题意可知，1()00)2(022AA AQ λ==，，，，，. 设平面APQ 的法向量为n =(x ，y ，z)，2202200n AP x y z x z n AQ λ⎧=++=⎧⎪⎨⎨+=⎩=⎪⎩则，即 令z=-2，则x=2λ，y=2-λ. ∴n =(2λ，2-λ，-2).∵直线AA 1与平面APQ 所成角为45°，∴111cos 22(n AA n AA n AA ===＜，＞， 可得5λ2-4λ=0，又因为λ≠0，所以λ=45.26.在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线x 2=2py(p ＞0)上的点M(m ，1)到焦点F 的距离为2.(1)求抛物线的方程.解析：(1)求出抛物线x 2=2py(p ＞0)的准线方程为2py =-，由抛物线定义，得到p=2，即可求解抛物线的方程.答案：(1)抛物线x 2=2py(p ＞0)的准线方程为2p y=-， 因为M(m ，1)，由抛物线定义，知MF=1+2p ， 所以1+2p=2，即p=2， 所以抛物线的方程为x 2=4y.(2)如图，点E 是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E 处的切线与x 轴相交于点P ，直线PF 与抛物线相交于A ，B 两点，求△EAB 面积的最小值.解析：(2)求出函数的y ′=12x.设点E(t ，24t )，t ≠0，得到抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.求出P(2t，0).推出直线PF 的方程，点E(t ，24t )到直线PF 的距离，联立2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩求出AB ，表示出△EAB 的面积，构造函数，通过函数的导数利用单调性求解最值即可. 答案：(2)21142y x y x ='=因为，所以. 设点E(t ，24t )，t ≠0，则抛物线在点E 处的切线方程为()2124t y t x t -=-.令y=0，则x=2t ，即点P(2t， 0). 因为P(2t，0)，F(0，1)，所以直线PF 的方程为22t y x t ⎛=--⎫ ⎪⎝⎭，即2x+ty-t=0.则点E(t ，24t )到直线PF的距离为d ==.联立方程2420x y x ty t ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩消元，得t 2y 2-(2t 2+16)y+t 2=0. 因为△=(2t 2+16)2-4t 4=64(t 2+4)＞0， 所以12y y ==，所以()22121222442161122t t AB y y y y t t ++=+++=++=+=. 所以△EAB 的面积为()()322221122444t t S tt++=⨯=⨯.不妨设()()()()()22122223()44024x x g x x g x xxx++='=-＞，则.因为x ∈(0，2)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(0，2)上单调递减.x ∈(2，+∞)上，g'(x)＞0，所以g(x)在(2， +∞)上单调递增.())3224min x g x +===所以当所以△EAB 的面积的最小值为。