方差分析解决的主要问题是什么单因素方差分析与双因素方共76页
单因素方差分析
ij 为试验误差，相互独立且服从正态分布
即 ij ~ N 0, 2
整个试验的均值
1 令 i , i 1, 2, a
, a,称其为因素A的总体平均值。
i i , 称为因素A的第 i 个水平 Ai 的效应。
则线性统计模型变成
X ij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a.
例1 为了比较4种单层皱纹海运集装箱的抗压程度，从每种集装 箱中各随机选取6个进行最大抗压试验，得到数据如下表显示， 假设集装箱的抗压程度服从正态分布。问：不同种类的海运集 装箱的抗压强度是否有显著差别？若有差异，哪一种抗压程度 高？
集装箱类 型 最大抗压强度
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4
1
... r
列和Ti X ij
j 1 r
T 1
T2
...
Ta 总和 Ti T
i 1
r
列平均X i Ti r
（水平组内平均值）
X1
X2
...
Xa
X
（总平均值）
T ar
例：五个水稻品种单位产量的观测值
品种
重复 1 2 3
A1
A2
A3
A4
A5
41 39 40
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. X i ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1 , X 2 ,... X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
方差分析(单因素、多因素方差分析)
单因素方差分析1.基本理解方差分析：是一种利用实验获取数据并进行分析的统计方法，经常用于研究不同效应对指定实验的影响是否显著。
方差分析用于检验连续型随机变量在三及以上分类数据不同水平上的差异情况。
方差分析包括：单因素方差分析、多元素方差分析、多元方差分析、协方差分析、重复测量方差分析。
在问卷数据中：单因素方差分析使用较多。
单因素方差分析：用于检验单个因素取不同水平是某因变量的均值是否有显著的变化，也可进一步用于因变量均值的多重比较（检验某些水平下的实验结果具体区别于其他水平的显著差异）。
图1检验步骤2.单因素方差分析操作步骤操作步骤第一步：首先将数据导入spss中并进行赋值后，点击分析、比较平均值、单因素ANOVA检验。
图2单因素方差分析第一步操作步骤第二步：进入图中对话框后将需检验的变量放入因变量列表中，在因子中放入分类变量，点击事后比较勾选假定等方差（LSD），不假定等方差（塔姆黑泥T2）点击继续。
图3单因素方差分析事后比较勾选3.当因素方差分析结果后点击线性进入图中下方选项框、勾选描述、方差齐性检验点击继续、确定。
图4单因素方差分析选项勾选然后单因素方差分析的描述、方差齐性、假设检验就出来了。
图5单因素方差分析结果单因素方差分析事后两两比较结果。
图6事后比较结果4.结果整理将首先将描述统计的结果粘贴复制到Excel表格中进行整理，保留均值和标准差及前面的内容，后在后面加入ANOVA表中的F和p值，将整理好的两两比较结果粘贴到表格的最后，最后将整理好的结果粘贴到Word文档中进行整理。
可参考图中结果整理。
（注：一般在看结果时首先看ANOVA表的结果，看显著情况，显著（p<0.05）看方差齐性检验的结果，若方差齐性检验的结果方差齐（p>0.05），然后再看事后比较的结果，方差齐看LSD，方差不齐看塔姆黑泥的结果，同样差异的显著看事后比较每行对应的显著性（若p<0.05，代表比较的对象显著。
方差分析原理
方差分析原理方差分析（Analysis of Variance，简称ANOVA）是一种统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它能够帮助我们确定多个样本的均值是否存在显著差异，并进一步了解差异来自于哪些因素。
本文将介绍方差分析的原理和应用。
一、方差分析的背景在实际问题中，我们常常需要比较不同样本的均值，以了解它们之间是否存在差异。
例如，我们想要知道不同药物对治疗某种疾病的疗效是否有差别，或者不同教学方法对学生成绩是否有影响等。
这时候，我们需要用到方差分析这个统计工具。
二、方差分析的基本原理方差分析的基本原理是通过比较组内变异（Within-group variation）与组间变异（Between-group variation）的大小来判断多个样本的均值是否存在显著差异。
组内变异指的是同一组内个体（观察值）之间的差异，也可以看作是测量误差或个体内部差异。
组间变异指的是不同组之间的差异，也可以理解为组与组之间的差别。
我们的目标是判断组间变异是否显著大于组内变异。
统计学家通过构建方差分析的假设检验来实现这一目标。
假设检验的零假设（null hypothesis）是所有样本的均值相等，备择假设（alternative hypothesis）则是至少存在一个样本的均值与其他样本不同。
三、方差分析的步骤进行方差分析时，一般需要按照以下步骤进行：1. 提出假设：定义零假设和备择假设。
2. 选择显著性水平：通常为0.05，表示我们要找到的结论是在5%的显著水平下成立。
3. 收集数据：需要收集多个组别的数据，并记录下来。
4. 计算方差：通过计算组内变异和组间变异。
5. 计算F统计量：F统计量用于判断组间变异是否显著大于组内变异，可以通过计算组间均方与组内均方之比得到。
6. 判断：根据F统计量与给定显著性水平的临界值进行比较，如果F统计量大于临界值，则拒绝零假设，表示至少存在一个样本均值与其他不同。
7. 进行事后分析（post hoc analysis）：如果方差分析的结果是显著的，我们可以进行事后分析，以确定具体哪些组别之间存在差异。
单因素方差分析
基 本 概 念
试验指标——试验结果。 试验结果。 试验指标 试验结果 因素——影响一个试验的指标变化的原因。 影响一个试验的指标变化的原因。 因素 影响一个试验的指标变化的原因 可控因素——在影响试验结果的众多因素中， 可控因素——在影响试验结果的众多因素中，可人为 在影响试验结果的众多因素中 控制的因素。 控制的因素。 水平——可控因素所处的各种不同的状态。每个水 可控因素所处的各种不同的状态。 水平 可控因素所处的各种不同的状态 平又称为试验的一个处理。 平又称为试验的一个处理。 单因素试验——如果在一项试验中只有一个因素改变， 如果在一项试验中只有一个因素改变， 单因素试验 如果在一项试验中只有一个因素改变 其它的可控因素不变， 其它的可控因素不变，则该类试验称为 单因素试验。 单因素试验。
r
因此， 因此， X i1 , X i 2 ,... X ir 相互独立，且与 X i同分布。 相互独立， 同分布。 我们的目的是通过试验数据来判断因素 A 的不 同水平对试验指标是否有影响。 同水平对试验指标是否有影响。
单因素试验资料表
重复 1 ... r
列和 Ti • = ∑ X ij
j =1
例：五个水稻品种单位产量的观测值 品种 重复 1 2 3
3
A1
A2
A3
A4
A5
41 39 40
xij
33 37 35
105
38 35 35
108
37 39 38
114
31 34 34
99
∑
xi
120
∑∑x
i = 1 j =1
3
5
3
ij
= 546
15 = 36.4
j =1
单因素方差分析
2. 3.
一、方差分析的内容
4. 试验
这里只涉及一个因素，因此称为单因素四水
平的试验
5. 总体
个总体 6. 样本数据 上面的数据可以看作是从这四个总体中抽取 的样本数据
因素的每一个水平可以看作是一个总体 比如A1、A2、A3、 A4四种颜色可以看作是四
二、方差分析的基本思想
（一）比较两类误差，以检验均值是否相等 （二）比较的基础是方差比
该饮料在五家超市的销售情况 超市
1 2 3 4 5
无色
26.5 28.7 25.1 29.1 27.2
粉色
31.2 28.3 30.8 27.9 29.6
橘黄色
27.9 25.1 28.5 24.2 26.5
绿色
30.8 29.6 32.4 31.7 32.8
一、方差分析的内容
（二）几个基本概念
1. 因素或因子 所要检验的对象称为因子 要分析饮料的颜色对销售量是否有影响，颜色是要检 验的因素或因子 水平 因素的具体表现称为水平 A1、A2、A3、 A4四种颜色就是因素的水平 观察值 在每个因素水平下得到的样本值 每种颜色饮料的销售量就是观察值
什么时候起最好的影响作用。
方差分析是鉴别各因素效应的一种有效统计 方法，它是通过实验观察某一种或多种因素 的变化对实验结果是否带来显著影响，从而 选取最优方案的一种统计方法。
在科学实验和生产实践中，影响一件事
物的因素往往很多，每一个因素的改变 都有可能影响产品产量和质量特征。有 的影响大些，有的影响小些。为了使生 产过程稳定，保证优质高产，就有必要 找出对产品质量有显著影响的那些因素 及因素所处等级。方差分析就是处理这
（三）如果系统(处理)误差显著地不同于随机误差， 则均值就是不相等的；反之，均值就是相等的 （四）误差是由各部分的误差占总误差的比例来测 度的
双因素方差分析课件
能够同时考虑两个因素对连续变量的 影响，并比较不同因素之间的交互作 用。
适用范围
适用于研究两个分类变量对一个或多 个连续变量的影响，并分析不同因素 之间的交互作用。
适用于数据满足正态分布、方差齐性 和独立性等假设的情况。
目的与意义
目的
通过双因素方差分析，可以比较不同组之间的差异，了解两个因素对连续变量的影响程度和交互作用，为进一步 的数据分析和决策提供依据。
意义
双因素方差分析在社会科学、医学、经济学等领域有广泛应用，能够帮助研究者深入了解不同因素之间的交互作 用，为科学研究和实际应用提供有力支持。
02 双因素方差分析的数学原 理
方差分析的基本思想
01
方差分析是通过比较不同组别 的平均值差异来检验多个总体 均值是否相等的一种统计方法 。
02
它将数据总变异分为组内变异 和组间变异，通过比较组间变 异与组内变异的比例来判断各 总体均值是否存在显著差异。
在弹出的对话框中，选择“因子变 量”和“组变量”，并设置相应的 级别和组别。
03
点击“确定”，SPSS将自动进行 双因素方差分析，并输出结果。
04
其他统计软件介绍
01பைடு நூலகம்
02
03
Stata
Stata是一款功能强大的统 计软件，可以进行各种统 计分析，包括双因素方差 分析。
SAS
SAS是一款商业统计软件， 广泛应用于各种统计分析， 包括双因素方差分析。
在双因素方差分析中，数学模型通常采用如下形式：Yijk=μ+αi+βj+εijk， 其中Yijk表示第i组第j类的观测值，μ表示总体均值，αi表示第i个因素的效
应，βj表示第j个因素的效应，εijk表示随机误差。
方差分析PPT课件
方差分析的用途
1. 用于多个样本平均数的比较 2. 分析多个因素间的交互作用 3. 回归方程的假设检验 4. 方差的同质性检验
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
第一节 方差分析的基本问题
▪ 一、方差分析问题的提出 问题：为了探索简便易行的发展大学生心 血管系统机能水平的方法，在某年级各项 身体发育水平基本相同，同年龄女生中抽 取36人随机分为三组，用三种不同的方法 进行训练，三个月后，测得哈佛台阶指数 如表 1 ，试分析三种不同的训练方法对女 大学生心血管系统的影响有无显著性差异。
结果的好坏和处理效应的高低，实际中具体测 定的性状或观测的项目称为试验指标。常用的 试验指标例如有：身高、体重、日增重、酶活 性、DNA含量等等。
影响因素（ experimental factor）： 观测中所
研究的影响观测指标的定性变量称之为因素。 当考察的因素只有一个时，称为单因素试验； 若同时研究两个或两个以上因素的影响时，则 称为两因素或多因素试验。
N (3, 2)
A3
61.31 60.00
┆ 67.26 69.05
为了规范事业单位聘用关系，建立和 完善适 应社会 主义市 场经济 体制的 事业单 位工作 人员聘 用制度 ，保障 用人单 位和职 工的合 法权益
分析
根据研究目的，这里有三个正态总体 N (1, 2)，N (2, 2 )， N (3 , a2 ) 。三组数据分别为来自三个总体的样本，问题是 推断 1 ,2 和 3 之间有无显著差异。 由 x1, x2, x3不相等，不能直接得出1, 2, 3不尽相等的结论， 原因是：造成 x1, x2, x3不相等可能有两个方面因素：一是 1, 2, 3 不等，二是1 2 3，但由于抽样误差，造成 x1, x2, x3 之间有差异。现在的任务是通过样本推断1, 2, 3之间有无 显著性差异。
单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用（论文资料）
专题研究 ZHUANT IYANJ I U92 数学学习与研究 201017单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用◎张 玲 (辽宁丹东地质工程职业学院 118008) 【摘要】本文主要介绍了方差分析的基本原理及其统计应用,并总结出进行方差分析的计算步骤、计算公式汇总、离差的分解,同时利用单因素及双因素的方差分析的原理对生产中的实际问题做了比较详实的剖析,以便对学生在学习这一理论的过程中能深入浅出,加深理解.【关键词】单因素方差分析;双因素方差分析;离差分解;F 检验方差分析是研究一个(或多个)自变量对一个(或多个)因变量影响的方法.在科学试验和生产实践中,影响一事物的因素往往是很多的.例如,在化工生产中,在原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备操作人员的水平等因素,每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量,有些因素影响较大,有些较小,为了使生产过程得以稳定,保证优质、高产,就有必要找出对产品质量有显著影响的那些因素.为此,我们需要进行试验.方差分析就是根据试验结果进行分析,鉴别各个有关因素对试验结果的影响的有效方法.我们称自变量为因素,单个表现形式为因素分组.可根据因素个数划分方差分析的类型.若只有1个自变量和1个因变量,则称为单因素方差分析;相应的,若有2个自变量,则称为双因素方差分析,以此类推.若因变量多于一个,则称为多维方差分析.进行方差分析的过程我将其总结为三个步骤:(1)表述问题.(2)分析离差平方和.(3)检验统计独立性.一、单因素方差分析11表述问题为了找出方差分析的核心,我们先看下面这个问题:为了考察某种化工产品收率(%)的影响,选择了四种不同的温度.在同一温度下,各做五次试验.测得的结果如下表所示:表1:试验结果表 试验号温 度 12345平均收率60℃84908793818765℃97899688959370℃92878287828675℃817989908184 总平均收率x =8715.我们的目的是考察温度这个因素对产品收率的影响,所以在做试验时,除了温度外,其他条件如工人的技术水平、原材料、试验器械等都要尽可能地相同.从平均收率来看,好像温度对收率有一定的影响.但仔细观察一下又不是那样直观.表现在:(1)同一温度下的收率并不完全一样.所以产生这种差异,是由于试验过程中存在着各种偶然因素的干扰和测量误差等因素所致.这一类误差统称为试验误差或随机误差.(2)存在着不同温度的影响.这种由于条件变更引起的差异,称为条件变差.现在的问题为:试验误差和条件变差哪一个是主要的.如果条件变差是主要的,那么应选择较好的工艺条件进行生产或确定进一步的试验方向.为了叙述方便,我们把不同条件称为水平,上面的例子中,温度分为四个水平,机器分为m 个水平.这里我们引入如下记号:x ij =观察值.其中:i:作为自变量表现形式的因素分组标号(i =1,2,3,…);j :因素分组内观察值的标号(j =1,2,3,…);x i :因素分组观察值的平均值;x:所有观察值的总均值.21分析离差平方和我们可以这样理解,若温度对收率无影响,则某化工产品收率的预测值是x .若假设温度对收率有影响,则应根据温度,化工产品的预测值分别为x 1,x 2,x 3,x 4.观察值与预测值的偏差(x ij -x i )归因于随机外部影响,因而未被解释.于是,总离差可分解为两部分(所谓的离差分解):总离差=已解释离差+未解释离差.在方差分析中,可将上述单个观察值的总离差分解推广到所有观察的离差平方和.即总离差平方和=因素分组间离差平方和+因素分组内离差平方和.现将方差分析计算公式总结如下表二所示:表2:一个因素的方差分析表偏差来源偏差平方和自由度均 方组 间Q 1=n∑ni =1(x i -x )2m -1S 21=Q 1m -1组 内Q 2=∑mi =1∑nj =1(x ij -x i )2m n -mS 22=Q 2m n -m 总 和Q =∑mi =1∑nj =1(x ij -x )2m n -1S 2=Q 2m n -1 ZHUANT IYANJ I U 专题研究93数学学习与研究 201017 我们把数据按表二计算如下:表3:离差平方的计算偏差来源偏差平方和自由度均 方组 间Q1=n∑ni=1(xi-x)2=195m-1=3S21=Q1m-1=65组 内Q2=∑mi=1∑nj=1(xij-x i)2=334m n-m=16S22=Q2m n-m=201875总 和Q=∑mi=1∑nj=1(xij-x)2=546m n-1=191S2=Q2m n-1=281737 31检验统计独立性我们认为求出的因素分组间和因素分组内方差表明,可猜测因子“温度”对产品的收率没有影响,为了能在统计上检验此猜测,我们用S21比S22:F实际=S21S22,其中F实际表示实际F值.根据表四有F实际=S21S22=65201875=311138.实际F值的评价标准取决于F分布的状况.检验的出发点是零假设(H):不同的温度对产品收率相同;备选假设H1为:不同的温度对产品的收率的影响不同.F检验提出的问题用公式表示为:H0:α1=α2=α3=0.H1:至少有一个α值≠0.通过比较F值与查表所得的理论F值进行检验,理论F值表对各信任概率给出的一个检验值,如果给定的显著水平为α=0105,则F0105(3116)=3124,由于311138<3124,所以认为温度对产品的收率没有显著影响.二、双因素方差分析我们上面讨论的是单因素的方差分析,但是影响产品质量和数量的重要因素往往不只一个,例如,机器、工人的技术水平、原料等都是重要因素.这就需要讨论多因素的方差分析.为了方便起见,我们对于两个因素的方差分析也可以总结成下表所示的形式,便于同学们计算及记忆和理解.表4:两个因素的方差分析表偏差来源平方和自由度均 方F值A的影响Q1=n∑ni=1(xi-x)2m-1S21F A=S21S23B的影响Q2=m∑nj=1(xj-x)2n-1S22F B=S22S23交互影响A×BQ3=c∑mi=1∑nj=1(xij-x i-x j+x)2(m-1)·(n-1)S23=Q3(n-1)(m-1)F A×B=S23S24误差Q4=∑mi=1∑nj=1(xij-x i-x j+x)2m n(c-1)S24=Q4m n(c-1)总和Q=∑mi=1∑nj=1(xij-x)2m nc-1 那么我们还是按照上面所论述的因素方差分析的步骤进行两个因素的方差分析.11表述问题要试验8台同类机器性能是否相同,4名工人的技术是否有显著差异,使每位工人在每台机器上操作一个工作日得到产量如表五所示:表5:某种橡胶各种不同配方试样的拉力 氧化锌(B)拉伸力 促进剂(A) 一二三四131.3334.3635.3639.38233.3436.3737.3938.41335.3737.3839.4042.44 21分析离差平方和根据方差分析基本原理(离差分解)我们以如下树形图为基础.根据上图有如下关系式:总偏差=因素A造成的偏差+因素B造成的偏差+因素A和B的交互作用造成的偏差+组内偏差.将其结果计算如下表六所示:表6:某种橡胶不同配方拉伸力的方差分析表偏差来源平方和自由度均 方F 值A56.6228.319.4B132.2344.130.2A×B4.760.80.55误 差17.5121.46总 和211.023 31检验统计独立性在双因素方差分析中,比较所有的均值可以检验两个因素的不同效应.若所有的均值相等,则可假设两个因素的各因素分组对因变量的影响相同(零假设).否则,可假设至少一个因素分组与其他因素分组产生的影响不同(备选假设).其他问题的解决涉及各因素及交互效应的单独分析.此时的零假设为:各因素分组及交互效应的平均值相等.根据计算的方差分析表,对α=0101,F0101(2112)=619,F0101(2112)=6,F0101(0112)=4182,因1914>619,3012>6,0155<4182,所以促进剂和氧化锌的影响都是显著的,而它们的交互作用则可以忽略.三、方差分析的推广在以上的论述中,我们都认为每个单元格中的观察值个数相同,方差分析的第一个推广是引入数据个数不等的单元格,由此须调整标准差分解分式,但标准差分解的原理不变,只是增加对每个观察值的加权.另一个推广是在分析引入两个以上的因素,标准差分解的原理同样保持不变.例如,三因素方差分析与双因素方专题研究 ZHUANT IYANJ I U 94 数学学习与研究 201017差分析的原理相同,加入第三个因素仅使标准差分解略微发生变化.总离差平方和分解如下图所示:三因素设计的总离差平方和分解与双因素方差分析相比,三因素方差分析的特点在于,可能的交互效应有两个层面:一是因素间两两的交互效应,二是所有的三个因素的交互效应.分析中引入三个以上的因素,则因素交互效应的分析层面相应增多,但此时交互作用的实际意义就会降低或减少.若根据F 检验,拒绝所有的因素分组影响相同的零假设,则必然会产生这样的问题:哪些因素分组的影响不同于其他?对此,可运用所谓的我维检验(均值检验).该检验实现了成对均值的比较或均值线性组合间的比较.四、方差分析的应用建议要应用方差分析,必须满足一些前提条件,这涉及调查数据特征和数据的评价.从科学理论角度看,必须提出关于自变量(如温度)与因变量(如收率)间影响关系的假设,要由方差分析解答的理论问题不能先从数据中得出.除了得出统计上显著的结果,还能否得出具有重要实际意义的论断取决于影响关系假设的质量.统计方法对数据的选择提出了一定要求.在研究中,自变量可能具有任意的测试标准(名义、序数及基数的尺度),但因变量必须是基数测度的.因素间必须具有明显的区别,就是说,它们的必须是完全不同的因变量影响量.若从两个假定不同因素中得出相同的关系,则因变量的波动不再明确地归因于其中一个因素.【参考文献】[1]盛骤.概率与数理统计.北京:高等教育出版社,2001(12).[2]李志伟.统计分析概论.北京:对外贸易出版社,1984(10).[3][德]克劳斯·巴克毫斯.多元统计分析方法.上海:上海人民出版社,2008(10).[4][美]P .L.Meyer .概率引论及统计应用.北京:高等教育出版社,1986(8).[5]薛毅.最优化原理和方法.北京:北京工业大学出版社,2001(1).[6]孙文瑜,徐成贤,朱德通.最优化方法[M ].北京:高等教育出版社,2004(1).[7]吴乙申.应用统计学.北京:机械工业出版社,1986(11).(上接91页)52z 5x 5y=-sec 2x sec 2y tan (x +y )- sec 2x tan y sec 2(x +y )-tan x sec 2y sec 2(x +y ),µ∼52z 5y2=-2tan x sec 2y sec 2(x +y )-2tan x tan y tan (x +y )[sec 2y +sec 2(x +y )].νυ联立组成方程组5z 5x=-sec 2x tan y tan (x +y )-tan x tan y sec 2(x +y )=0,5z 5y=-tan x sec 2y tan (x +y )-tan x tan y sec 2(x +y )=0,解之得x =π3,y =π3.∴x =y =p =π3.将x =y =p =π3分别代入 µ} µ∼ νυ,得A =123,B =83,C =123,Δ=B 2-AC =(83)2-123·123=-240<0,且A =123>0,∴由命题1知:z =tan x tan y tan p 在x =y =p =π3时取得极小值,极小值为z 极小=tanπ3tan π3tan π3=33.由这个问题的实际意义知该极小值就是所求最小值.解法2(利用拉格朗日乘数法) 略.推广6 在三角形ABC 中,x,y,p 分别是它的三个内角,求tanx m tan y m tanpm(m 是不小于1的实数)的最值.总之,有了导数这一有力的武器,三角形中同名三角函数的最值就转化成了简单的求导运算,有了这种普遍适应的方法,学生也就不再需要刻意的去记一些特殊的技巧和方法,就能方便、快捷地求出最值.但是使用导数方法一定要检验问题是否只有满足命题1或命题2的条件,在满足命题1或命题2的条件下,才能应用该方法.【参考文献】[1]曾庆柏.大学数学应用基础(下).长沙:湖南教育出版社,2004:70.[2]同济大学数学系.高等数学(下).北京:高等教育出版社,2007:115.。
方差分析(ANOVA)简介
方差分析(ANOVA)简介方差分析（AnalysisofVariance，简称ANOVA）是统计学中常用的一种方法，用于比较两个或两个以上样本均值之间是否存在显著性差异。
通过ANOVA可以帮助我们判断不同因素对于数据的影响程度，进而做出科学的决策。
为什么需要方差分析在现实生活和科研领域中，我们经常会遇到需要比较多个组别或处理之间差异的情况。
例如，我们想知道不同教学方法对学生成绩的影响是否显著，或者不同药物治疗方法在疾病治疗中的效果是否存在差异。
此时，方差分析就是一种非常有效的工具。
ANOVA的基本原理方差分析通过比较组内变异和组间变异的大小来判断各组之间均值是否存在显著性差异。
如果组间差异显著大于组内差异，我们就可以认为因素之间的差异是显著的。
单因素方差分析与多因素方差分析在实际应用中，方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析。
单因素方差分析是指只考虑一个因素对结果的影响，而多因素方差分析则同时考虑多个因素之间的相互作用。
方差分析的假设进行方差分析时需要满足一些基本假设，如样本的正态性、方差齐性和独立性等。
只有在这些基本假设成立的情况下，我们才能对方差分析结果进行合理解释。
如何进行方差分析在实际应用中，进行方差分析通常需要借助统计软件进行计算和分析。
我们需要输入不同组别的数据，然后进行方差分析的步骤和计算，最终得出结果并进行统计推断。
方差分析作为一种强大的统计工具，能够帮助我们解决许多实际问题，提供科学依据和数据支持。
通过对数据的比较和分析，我们可以更清晰地了解不同因素之间的关系，有效地做出决策和优化方案。
在实际应用中，我们应当谨慎分析数据、合理选择模型，才能得出准确可靠的。
希望本文对您理解方差分析有所帮助，欢迎深入学习和实践应用！在统计分析中，方差分析（ANOVA）是一种重要的方法，可以有效比较不同组别或处理之间的均值差异。
通过合理的数据分析和实际应用，我们能够更好地理解数据背后的意义，为决策提供可靠的支持。
方差分析公式单因素与多因素方差分析的关键公式
方差分析公式单因素与多因素方差分析的关键公式方差分析是一种统计方法，用于比较不同因素对变量的影响是否显著。
通过方差分析，我们可以确定不同因素之间是否存在统计学差异，并进一步研究这些差异的来源。
在方差分析中，单因素与多因素方差分析是两种常见的方法。
本文将介绍这两种方差分析中的关键公式。
一、单因素方差分析公式在单因素方差分析中，我们只考虑一个因素对变量的影响。
假设我们有k个水平（或组），每个水平下有n个观测值。
那么总观测值的个数为N=k*n。
在进行单因素方差分析之前，我们需要计算以下几个统计量：1. 总平方和（SST）：表示所有观测值与整体均值之间的差异的总和。
计算公式为：SST = Σ(Σ(x_ij - X¯)^2)其中，x_ij表示第i组的第j个观测值，X¯表示所有观测值的均值。
2. 组间平方和（SSB）：表示各组均值与整体均值之间的差异的总和。
计算公式为：SSB = Σ(n_i * (X¯_i - X¯)^2)其中，n_i表示第i组的观测值个数，X¯_i表示第i组的均值。
3. 组内平方和（SSW）：表示每组内个体与组内均值之间的差异的总和。
计算公式为：SSW = Σ(Σ(x_ij - X¯_i)^2)其中，x_ij表示第i组的第j个观测值，X¯_i表示第i组的均值。
根据以上统计量，我们可以计算方差分析的F值，来判断组间差异是否显著。
F值的计算公式为：F = (SSB / (k-1)) / (SSW / (N - k))其中，k表示组数，N表示总观测值的个数。
二、多因素方差分析公式在多因素方差分析中，我们考虑两个或两个以上的因素对变量的影响。
假设我们有r个因素，每个因素有k个水平（或组）。
那么总观测值的个数为N = k^r。
在进行多因素方差分析之前，我们需要计算以下几个统计量：1. 总平方和（SST）：表示所有观测值与整体均值之间的差异的总和。
单因素方差分析
在第八章第二节中，我们讨论了两个方差相 等的正态总体对均值比较的假设检验问题，而在 实际应用中还经常需要对有相同方差的多个正态
总体均值进行比较的假设检验问题.方差分析就
是解决这类问题的有效方法，在实际中有着广泛
的应用。
一、基本概念 二、单因素方差分析的数学模型
三、单因素方差分析的假设检验
A3 69 100 98
n1 4， 2 6， 3 3， n n
n 13
T
s nj
T
j 1
s
j
949
x
j 1 i 1
2 ij
nj
75721
2 ij
样本 和 样本 均值
184 46
267 89
1 2 S T x T n j 1 i 1
H 1：μ1，μ 2， ，μ s 不全相等.
μ1 , μ2 ,, μ s 和 σ 2的估计量 （2）求出未知参数
三、单因素方差分析的假设检验
单因素方差分析法是将样本全部偏差的 平方和分解成两个平方和，通过这两个平方
和之间的比较，导出假设检验的统计量和拒
绝域.
偏差平方和及其分解
总平方和：
S T ( X ij X )
x11
x21
· · ·
x12 …
x22 … xn22 … T.2 …
· · ·
x1s
x2s
· · ·
…
xn11 样本和T.j 样本均值 x j T.1
x nss T.s
x 1
x 2
…
xs
单因素方差分析的任务: 根据样本提供的信息， （1）检验假设： H 0：μ1 μ 2 μ s
单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用
单因素及双因素方差分析及检验的原理及统计应用一、本文概述本文将全面探讨单因素及双因素方差分析及检验的原理及其在统计中的应用。
方差分析是一种在多个样本均数间进行比较的统计方法，其基本原理是通过分析不同来源的变异对总变异的贡献大小，从而确定可控因素对研究结果的影响。
单因素方差分析适用于只有一个独立变量影响研究结果的情况，而双因素方差分析则适用于存在两个独立变量的情况。
这两种方法在科学研究、经济分析、医学实验等众多领域具有广泛的应用价值。
本文将首先介绍单因素及双因素方差分析的基本概念和原理，包括方差分析的前提假设、模型的构建以及检验的步骤。
随后，通过实例演示如何进行单因素及双因素方差分析，并解释分析结果的意义。
本文还将讨论方差分析的局限性，以及在实际应用中需要注意的问题。
通过本文的学习，读者将能够掌握单因素及双因素方差分析及检验的基本原理和方法，了解其在不同领域的统计应用，提高数据分析和处理的能力。
本文还将为研究者提供有益的参考，帮助他们在实践中更好地运用方差分析解决实际问题。
二、单因素方差分析（One-Way ANOVA）单因素方差分析（One-Way ANOVA）是一种统计方法，用于比较三个或更多独立组之间的均值差异。
这种方法的前提假设是各组间的方差相等，且数据服从正态分布。
在进行单因素方差分析时，首先需要对数据进行正态性和方差齐性的检验。
如果数据满足这些前提条件，那么可以进行单因素方差分析。
该分析的基本思想是，如果各组之间的均值没有显著差异，那么各组内的变异应该主要来自随机误差。
如果有显著差异，那么各组间的变异将大于组内的变异。
单因素方差分析通过计算F统计量来检验各组均值是否相等。
F 统计量是组间均方误差与组内均方误差的比值。
如果F统计量的值大于某个显著性水平（如05）下的临界值，那么我们可以拒绝零假设，认为各组间的均值存在显著差异。
单因素方差分析在许多领域都有广泛的应用，如医学、生物学、社会科学等。
方差分析解决的主要问题是什么单因素方差分析与双因素方共78页文档
51、山气日夕佳，飞鸟相与还。 52、木欣欣以向荣，泉涓涓而始流。
53、富贵非吾愿，帝乡不可期。 54、雄发指危冠，猛气冲长缨。 55、土地平旷，屋舍俨然，有良田美 池桑竹 之属， 阡陌交 通，鸡 犬相闻 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
Thank you
单因素方差、双因素方差、协方差
方差分析（analysis of variance，简称ANOVA）最早由英国统计学家R.A.Fisher提出，主要应用于对三个以上的数据样本进行差异性检验。
方差分析能够解决t检验、z检验所无法解决的问题，对统计学和行为科学的发展起了巨大促进作用，因此方差分析的关键步骤检验以Fisher的名字命名，以纪念其对统计学所作出的杰出贡献。
方差分析的基本假定学习方差分析之前我们首先要了解方差分析的假定条件。
当前提条件满足时，自变量均方和误差均方的比值是呈分布的。
如果分布的假设不能得到满足，二者均方比值的分布就不是分布，用方差分析得出的结论可能是不正确的。
使用方差分析之前需要考察数据是否满足以下三条假设：1．总体正态分布2．数据样本间的方差齐性3．各个观测值之间相互独立方差分析与实验设计实验设计的基本思想•任何实验的基本步骤都是提出假设、收集数据、得出结论。
当研究的对象是可以直接观察的客观事物（如物理现象、化学现象），研究假设可以被证实或证伪。
然而在社会学的研究领域，由于研究对象之间往往具有很大的差异性，对一个研究假设的检验就要对总体的所有成员进行观察，而这往往是不能实现的。
因此研究往往不直接对研究假设进行证实，而是检验假设的否定形式即虚无假设。
虚无假设的意思是数据样本间的差异是误差引起的。
检验虚无假设的依据是小概率原理，即概率很小的事件在一次实验中几乎不可能发生。
方差分析的基本思想•方差分析是对数据变异量的分析，将总变异分解为由自变量（或称实验处理）引起的变异和误差因素引起的变异，如果由自变量产生的变异显著多于误差造成的变异，那么我们可以有把握的推断自变量对因变量确实产生了影响。
在这里就涉及方差分析的逻辑基础，即方差的可分解性。
用公式表示即:。
SS表示离差平方和，SSt代表总变异，SSb代表组间变异即由自变量引起的变异，SSw代表组内变异即误差造成的变异。
组间变异与组内变异分别除以各自的自由度得到组间方差与组内方差。
方差分析----单因素方差分析
方差分析----单因素方差分析2.什么是方差分析(ANOVA)1.引例＊研究问题：各肥料品种是否有差异。
＊问题转化：各肥料品种是否有差异体现为各肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异。
记X1 为肥料A1下的小麦亩产量，μ1为平均亩产量；X2 为肥料A2下的小麦亩产量，μ2为平均亩产量；X3 为肥料A3下的小麦亩产量，μ3为平均亩产量；X4 为肥料A4下的小麦亩产量，μ4为平均亩产量；问题转化为H0: μ1= μ2= μ3= μ4H: μ1μ2μ3μ4不全等12.什么是方差分析检验多个母体平均数是否相等＊手段：分析数据的误差判断各母体均值是否相等1、从散点图上可以看出＊不同行业被投诉的次数是有明显差异的＊即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次数也明显不同＊家电制造被投诉的次数较高，航空公司被投诉的次数较低2、行业与被投诉次数之间有一定的关系＊如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图上所呈现的模式也就应该很接近方差分析的思想1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不同行业被投诉的次数之间有显著差异＊这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著，也就是进行方差分析＊所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值，但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差＊这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析判断不同母体的均值是否相等。
因此，进行方差分析时，需要考察数据误差的来源。
两类误差1、随机误差＊因素的同一水平(母体)下，子样各观察值之间的差异，对数据形成组内差。
＊比如，同一行业下不同企业被投诉次数是不同的＊这种差异可以看成是随机因素的影响，称为随机误差附：两类误差2、系统误差＊因素的不同水平(不同母体)下，各观察值之间的差异，对数据形成组间差。
＊比如，不同行业之间的被投诉次数之间的差异＊这种差异可能是由于抽样的随机性所造成的，也可能是由于行业本身所造成的，后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统误差单因素方差分析：众多因素中仅有一个因素的的水平有多个，其余因素只有一个水平。
第三节单因素方差分析
第三节单因素⽅差分析试验中要考察的指标称为试验指标，影响试验指标的条件称为因素（分类变量），因素所处的状态称为⽔平，若试验中只有⼀个因素改变则称为单因素试验，若有两个因素改变则称为双因素试验，若有多个因素改变则称为多因素试验。
⽅差分析就是对试验数据进⾏分析，检验⽅差相等的多个正态总体均值是否相等，进⽽判断各因素对试验指标的影响是否显著，根据影响试验指标条件的个数可以区分为单因素⽅差分析、双因素⽅差分析和多因素⽅差分析。
如果有4组的均数需要⽐较，如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，那需要进⾏6次。
⽽每次t检验不犯第⼀类错误的概率为0.95，6次都不犯的概率即是0.95的6次⽅，所以如果使⽤t检验进⾏两两⽐较，6次t检验⾄少有⼀次犯第⼀类错误的概率为0.2469，将被放⼤。
如果仍然要使⽤两两的t 检验，就需要控制总的犯第⼀类错误的概率各组内部变异（组内变异）：反映个体差异（随机变异）的⼤⼩各组均数差异（组间变异）：反映了个体差异（随机效⽤）的影响与可能存在的处理因素的影响之和总变异=组内变异+组间变异F检验统计量： F=(SSA/(k-1))/(SSE/(n-k))=MSA/MSE前提条件：独⽴性，正态性，⽅差齐性（）如果得出的结论是多组均数间存在差异，则需要进⾏事后的两两⽐较两两⽐较中会遇到的⼀类错误CER：⽐较误差，即每做⼀次⽐较犯⼀类错误的概率EERC：在完全⽆效假设下的试验误差率，即在H0成⽴时做完全⽐较所犯的⼀类错误的概率，⽅差分析检验/卡⽅检验本⾝控制的就是EERCMEER：最⼤试验误差率，即在任何完全或者部分⽆效假设下，做完全部⽐较所犯的⼀类错误的最⼤概率值，适⽤范围更⼴控制⼀类错误 直接校正P值： sidak校正，当⽆效假设实际成⽴，即各组均数⽆差别时，完全两两⽐较犯第⼀类错误的概率为1-0.95^(k(k-1)/2)，次即EERC，通过控制总的EERC=0.05反向推导没⼀个检验犯第⼀类错误的概率，统计软件直接往往将每个检验的屁p值放⼤（最⼤放⼤为1），⽽固定每个⽐较的α⽔准仍为0.05⽅便阅读 bonferroni校正：⼤多数实际问题中，都是有些组均数相同，有些不同，因此使⽤MEER更合适，通过控制CER，使得MEER被控制在所设定的⽔准内，计算公式为CER=α/c(需要进⾏⽐较的次数) 直接校正的缺陷：将两两⽐较分别进⾏，不仅使⽤⿇烦，也增加了误差的影响，因为每次两两⽐较只会⽤到这⼀组的数据⽽利⽤不到所有的数据，联合检验可解决此类问题，⽽且对⼀类错误的控制太严格，结果往往是偏保守的 联合检验：LSD-t检验，LSD最⼩显著差异，t检验的⼀个变形，在标准误和⾃由度的计算上利⽤了全部样本信息，使得结果更为准确，t 检验的标准误和⾃由度的计算只利⽤了相应的两组的信息。